Αναλυτική µορφή καµπυλών (explicit representation)
|
|
- Άρχιππος Αποστόλου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Αναλυτική µορφή καµπυλών (explicit representation) 2 διαστάσεις: έκφραση της εξαρτηµένης µεταβλητής ως προς την ανεξάρτητη y=f(x), Μια τέτοια έκφραση µπορεί να µην υπάρχει για συγκεκριµένη καµπύλη Ευθεία y=mx+h, δεν καλύπτει κάθετες ευθείες Κύκλος: 2 y = ± r x 2,0 x r
2 Αναλυτική µορφή καµπυλών (explicit representation) 3 διαστάσεις: Καµπύλες: y=f(x), z=g(x)
3 Πεπλεγµένη µορφή καµπυλών (implicit representation) Καµπύλη σε 2 διαστάσεις: f(x,y)=0 ax+by+c=0, x 2 +y 2 -r=0 Συναρτήσεις αυτής της µορφής είναι συναρτήσεις ελέγχου ιδιότητας µέλους (membership functions) Η πεπλεγµένη µορφή δεν είναι εύχρηστη υσκολία στο να δηµιουργήσουµε σηµεία της καµπύλης/επιφάνειας.
4 Παραµετρική µορφή καµπυλών (parametric representation) Καµπύλες στις 3 διαστάσεις x=x(u), y=y(u), z=z(u) p(u)=[x(u), y(u), z(u)] T ιάνυσµα εφαπτόµενο στην καµπύλη. dp( u) dx( u) dy( u) dz( u) T = du du du du
5 Παραµετρική µορφή καµπυλών (parametric representation)
6 Πολυωνυµικές παραµετρικές καµπύλες Θα χρησιµοποιήσουµε µορφές µε πολυώνυµα ως προς το u (καµπύλες). Πολυωνυµική παραµετρική καµπύλη βαθµού n 3(n+1) βαθµούς ελευθερίας p( u) c = n k = 0 u k xk yk zk k c = c c c k
7 Πολυωνυµικές παραµετρικές καµπύλες Τρεις ανεξάρτητες εξισώσεις µε n+1 βαθµούς ελευθερίας (µεταβλητές) η καθεµία: n pu ( ) = k = 0 k uck Θεωρούµε 0<=u<=1 για τµήµα καµπύλης
8 Επιθυµητές Ιδιότητες Συνέχεια Μικρή πολυπλοκότητα στους υπολογισµούς Ευελιξία Local control
9 Συνέχεια Μικρές µεταβολές της παραµέτρου οδηγούν σε µικρές µεταβολές της τιµής της συνάρτησης Zeroth-order continuity C 0 : continuity of values of the curve 1st order continuity C 1 : continuity of the first derivative, i.e. tangential continuity 2nd order continuity C 2 : continuity of the second derivative
10 Μας ενδιαφέρουν συνήθως οµαλές, συνεχείς καµπύλες Στις πολυωνυµικές καµπύλες υπάρχουν όλες οι παράγωγοι και µπορούν να υπολογιστούν αναλυτικά. Οι πολυωνυµικές καµπύλες είναι infinite order continuous
11 Κατασκευή της συνολικής καµπύλης µε συνένωση µικρών τµηµάτων Τοπικός έλεγχος του σχήµατος, απαραίτητος για την αλληλεπιδραστική κατασκευή καµπύλης Τα µόνα σηµεία όπου µπορεί να υπάρξει ασυνέχεια είναι στις ενώσεις 2 καµπυλών. Στο animation αρκεί συνήθως C 1
12
13 Χρήση σηµείων ελέγχου (control, data points) για τον προσδιορισµό του σχήµατος της καµπύλης Μεταβολή των σηµείων ελέγχου για µεταβολή του σχήµατος της καµπύλης.
14 Πιθανή επιλογή: η καµπύλη να περνάει από κάποια σηµεία ελέγχου και κοντά από κάποια άλλα.
15 Κυβικές παραµετρικές καµπύλες (parametric cubic polynomial curves) ιάφορα είδη καµπυλών ανάλογα µε το πώς δίνουµε τις προδιαγραφές (σηµεία ελέγχου) για συγκεκριµένες τιµές της παραµέτρου u. Η καµπύλη να περνάει από τα σηµεία ελέγχου για συγκεκριµένες τιµές του u (interpolation) Η καµπύλη να έχει συγκεκριµένες τιµές παραγώγων σε συγκεκριµένες τιµές του u Συνθήκες συνέχειας στα σηµεία ένωσης δύο τµηµάτων Η καµπύλη να περνάει κοντά από κάποια σηµεία ελέγχου (approximation)
16 Κυβικές παραµετρικές καµπύλες (parametric cubic polynomial curves) Επιλογή βαθµού Πολυωνυµικές καµπύλες υψηλού βαθµού Πολλές ελεύθερες παράµετροι -µεγαλύτερη ευελιξία στον προσδιορισµό του σχήµατος Υψηλό κόστος για τον υπολογισµό των σηµείων της καµπύλης. Οι καµπύλες µπορεί να µην είναι πολύ οµαλές
17 Κυβικές παραµετρικές καµπύλες (parametric cubic polynomial curves) Πολυωνυµικές καµπύλες µικρού βαθµού Λιγότερες ελεύθερες παράµετροι -µικρότερη ευελιξία στον προσδιορισµό του σχήµατος Πιο οµαλές καµπύλες Χρήση κυβικών πολυωνυµικών καµπυλών.
18 Κυβικές παραµετρικές καµπύλες (parametric cubic polynomial curves) k T p( u) = c + cu+ c u + c u = c u = u c [ ] c= c c c c u c T = 1 u u u = c c c k kx ky kz T Ο πίνακας c (12x1) περιέχει όλες τις παραµέτρους που θα πρέπει να προσδιορίσουµε T 3 k = 0 k
19 Κυβικές παραµετρικές καµπύλες (parametric cubic polynomial curves) Οχρήστης καθορίζει τα σηµεία ελέγχου και από αυτά προσδιορίζονται οι παράµετροι c της καµπύλης. Χρειάζοµαι 12 ανεξάρτητες εξισώσεις Τέσσερα συστήµατα εξισώσεων µε 3 εξισώσεις το καθένα (ένα για κάθε συντεταγµένη)
20 Κυβικά πολυώνυµα (καµπύλες) παρεµβολής Κυβικές καµπύλες που περνάνε από δοσµένα σηµεία Χρησιµοποιούνται σπάνια στην πράξη Χρήσιµα για τον καθορισµό της µεθοδολογίας. Τέσσερα σηµεία ελέγχου p 0, p 1, p 2, p 3 p k x y k = k z k
21 Κυβικά πολυώνυµα (καµπύλες) παρεµβολής Ψάχνουµε τις τιµές των παραµέτρων στο c ώστε η καµπύλη p(u)=u T c να περνάει από τα p ι σε ισαπέχουσες τιµές του u: 0, 1/3, 2/3, 1
22 Κυβικά πολυώνυµα (καµπύλες) παρεµβολής p = p(0) = c p = p( ) = c + c + c + c p = p( ) = c + c + c + c p = p(1) = c + c + c + c
23 Κυβικά πολυώνυµα (καµπύλες) παρεµβολής p = Ac [ ] p= p p p p A = T
24 Κυβικά πολυώνυµα (καµπύλες) παρεµβολής εν έχουµε τις τυπικές πράξεις πινάκων! Τα p, c θεωρούνται διανύσµατα στήλης 4x1 µε κάθε στοιχείο τους ένα διάνυσµα στήλης 3x1 Πολλαπλασιασµός ενός στοιχείου του A µε ένα στοιχείο των p, c : γινόµενο διανύσµατος στήλης µε βαθµωτό µέγεθος
25 Κυβικά πολυώνυµα (καµπύλες) παρεµβολής Ο Α αντιστρέψιµος, ο αντίστροφος του είναι ο interpolating geometry matrix M I = A = c=m I p εύρεση των συντελεστών της καµπύλης.
26 Κυβικά πολυώνυµα (καµπύλες) παρεµβολής Αν έχουµε m σηµεία ελέγχου απ όπου θέλουµε να περνάει η καµπύλη: Χρήση κυβικών καµπυλών σε τετράδες σηµείων, µερικά επικαλυπτόµενων (p o, p 1, p 2, p 3 ), (p 3, p 4, p 5, p 6 ), Ο ίδιος πίνακας M I για όλες τις καµπύλες εν έχω συνέχεια παραγώγων στα συνδετικά σηµεία.
27 Κυβικά πολυώνυµα (καµπύλες) παρεµβολής
28 Πολυώνυµα ανάµειξης (blending polynomials) T T T p( u) = u c= u M p= b( u) p b( u) b0 ( u) b( u) T 1 = MI u= b2 ( u) I b3 ( u)
29 Πολυώνυµα ανάµειξης (blending polynomials) p( u) = b ( u) p + b( u) p + b ( u) p + b ( u) p
30 Πολυώνυµα ανάµειξης (blending polynomials) Μπορούµε να δούµε την επίδραση των σηµείων ελέγχου στα σηµεία της καµπύλης Απλή περίπτωση: γραµµική παρεµβολή µεταξύ δύο σηµείων p( u) = b ( u) p + b( u) p b ( u) = (1 u) 0 b( u) 1 = u Ισοδύναµη θεώρηση: τα σηµεία ελέγχου βαρύνουν τα πολυώνυµα ανάµειξης.
31 Καµπύλες Hermite Απαιτούµε από την καµπύλη να περνάει µόνο από δύο σηµεία ελέγχου p 0, p 3 (αρχή και τέλος) p = p(0) = c 0 0 p = p(1) = c + c + c + c Απαιτούµε από την καµπύλη να έχει συγκεκριµένη κλίση (παράγωγο) στα p 0, p 3
32 Καµπύλες Hermite dx du dy p'( u) = = c + 2uc + 3u c du dz du p' = p'(0) = c p' = p'(1) = c + 2c + 3c τριάδες εξισώσεων για τον προσδιορισµό των παραµέτρων c
33 Καµπύλες Hermite ίνω 2 σηµεία και δύο διανύσµατα κλίσης (π.χ. µε γραφικό τρόπο)
34 Καµπύλες Hermite p p q= = c p ' p ' c= M q M H H =
35 Καµπύλες Hermite Στα σηµεία σύνδεσης δύο τµηµάτων µπορώ να απαιτήσω ίδιες τιµές των συναρτήσεων και των παραγώγων
36 Συνέχεια ύο καµπύλα τµήµατα που προσδιορίζονται από τα πολυώνυµα p(u) q(u) Εφαρµόζουµε διάφορες συνθήκες συνέχειας εξισώνοντας τιµές των πολυωνύµων ή των παραγώγων στο u=1 για το p(u) και το u=0 για το q(u)
37 Συνέχεια Συνέχεια των τιµών της συνάρτησης, C 0 παραµετρική συνέχεια px(1) qx(0) p(1) = py(1) (0) qy(0) = q = pz(1) qz(0) Συνέχεια των παραγώγων, C 1 παραµετρική συνέχεια p'(1) x q'(0) x p'(1) = p' y(1) '(0) q' y(0) = q = p'(1) z q'(0) z Κάθε σχέση είναι 3 συνθήκες
38 Συνέχεια Χαλαρότερη συνθήκη: οι παράγωγοι (εφαπτόµενα διανύσµατα) να είναι ανάλογες p (1)=aq (0) για κάποιο θετικό a Ίδια διεύθυνση, διαφορετικό µέτρο. G 1 γεωµετρική συνέχεια. Επέκταση C n G n
39 Συνέχεια Η διαφορά στο µέγεθος των εφαπτοµενικών διανυσµάτων παίζει ρόλο. Σε αρκετές περιπτώσεις (καµπύλες κίνησης σε animation) η G 1 συνέχεια δεν είναι αρκετή.
40 Καµπύλες Bezier Απαιτούµε και πάλι από την καµπύλη να περνάει από δύο σηµεία ελέγχου p 0, p 3 (αρχή και τέλος) p = p(0) = c 0 0 p = p(1) = c + c + c + c Απαιτούµε από την καµπύλη να έχει συγκεκριµένη κλίση (διανυσµατική παράγωγο) στα p 0, p 3
41 Καµπύλες Bezier ιαφορά από καµπύλες Hermite: Η παράγωγος στα p 0, p 3 δίνεται µε βάση δύο άλλα σηµεία ελέγχου p 1, p 2 p1 p0 p '(0) = 1/3 p3 p2 p '(1) = 1/3 3( p p ) = c 1 0 3( p p ) = c + 2c + 3c
42 Καµπύλες Bezier
43 Καµπύλες Bezier c= M p B T p( u) = u M p B Bezier geometry matrix M B =
44 Καµπύλες Bezier Ηκαµπύλη βρίσκεται µέσα στο convex hull των σηµείων ελέγχου Παρόλο που δεν περνάει από τα p 1, p 2 βρίσκεται κοντά σε αυτά.
45 Καµπύλες Bezier Για m σηµεία ελέγχου χρήση καµπυλών Bezier σε τετράδες σηµείων, µερικά επικαλυπτόµενων (p o, p 1, p 2, p 3 ), (p 3, p 4, p 5, p 6 ), Έχω C 0 συνέχεια αλλά όχι C 1 συνέχεια Για συνέχεια παραγώγων πρέπει τα p 2, p 4 συνευθειακά και να ορίζουν διανύσµατα µε ίδιο µέτρο.
46 Καµπύλες Bezier Το γεγονός αυτό σε συνδυασµό µε το ότι δίνω σηµεία ελέγχου κάνουν τις καµπύλες Bezier κατάλληλες για διαδραστική σχεδίαση.
47 Υπολογισµός καµπυλών Bezier κατά De Casteljau Υπολογισµός της τιµής της καµπύλης για συγκεκριµένο u χωρίς να χρησιµοποιήσουµε τις εξισώσεις ορισµού. Γεωµετρική κατασκευή
48 Cubic B-splines Οι καµπύλες Bezier έχουν C 0 συνέχεια στα σηµεία των ενώσεων. Για συνέχεια στα σηµεία αυτά δεν απαιτούµε από τις καµπύλες/επιφάνειες να περάσουν από τα σηµεία ελέγχου αλλά απλά να τα προσεγγίσουν. Εκµεταλλευόµαστε τις χαλαρές απαιτήσεις στα σηµεία ελέγχου για να πετύχουµε συνέχεια στα σηµεία των ενώσεων.
49 Cubic B-spline καµπύλες Θα µελετήσουµε συγκεκριµένο τύπο κυβικής B-spline καµπύλης (uniform cubic B-spline) Τετράδα σηµείων ελέγχου, [p i-2, p i-1, p i, p i+1 ] µέσα σε ένα µεγαλύτερο σύνολο σηµείων Καθώς η παράµετρος u µεταβάλλεται µεταξύ 0 και 1 η καµπύλη διατρέχει το διάστηµα µεταξύ p i-1, p i, χωρίς να περνάει από αυτά.
50 Cubic B-spline καµπύλες Όµοια για το [p i-3, p i-2, p i-1, p i ] όπου η καµπύλη κινείται µεταξύ των p i-2, p i-1 Οι τετράδες σηµείων ελέγχου έχουν επικάλυψη 3 σηµεία και η καµπύλη κινείται µεταξύ των δύο µεσαίων. Έστω p(u) η καµπύλη µεταξύ των p i-1, p i και q(u) µεταξύ των p i-2, p i-1
51 Cubic B-spline καµπύλες Συνθήκες µεταξύ των p(0) και q(1) αλλά και µεταξύ του p(1) και της αρχής της στα δεξιά καµπύλης ( ) T i i i i u + = = p u Mp p p p p p ( ) T i i i i u = = q u Mq p p q p p
52 Cubic B-spline καµπύλες Χρήση διαφόρων ειδών συνθηκών. 1 p(0) = q(1) = ( pi pi 1+ pi) 6 1 p'(0) = q'(1) = ( pi pi 2) 2
53 Cubic B-spline καµπύλες p(u)=u T c 1 c0 = ( pi pi 1+ pi ) 6 1 c1 = ( pi pi 2 ) 2 Αντίστοιχες συνθήκες για το p(1) 1 p(1) = c0 + c1+ c2 + c3 = ( pi 1+ 4 pi + pi+ 1) 6 1 p'(1) = c1 + 2c2 + 3 c3 = ( pi+ 1 pi 1) 2
54 Cubic B-spline καµπύλες Β-spline geometry matrix M S =
55 Cubic B-spline καµπύλες Ηκαµπύλη περιέχεται στο convex hull των τεσσάρων σηµείων ελέγχου, αλλά δεν καλύπτει όλη του την έκταση
56 Cubic B-spline καµπύλες Επιβάλλαµε C 1 συνέχεια στα άκρα αλλά στην πραγµατικότητα η καµπύλη είναι C 2 συνεχής Τρεις φορές η δουλειά που απαιτείται για τις καµπύλες Bezier ή τις καµπύλες παρεµβολής. Στα splines η επικάλυψη είναι 3 σηµεία ελέγχου ενώ στις άλλες καµπύλες µόνο ένα. Για κάθε καινούργιο σηµείο ελέγχου έχω να υπολογίσω τις παραµέτρους µιας νέας καµπύλης Στα άλλα είδη καµπύλών νέα καµπύλη για κάθε 3 νέα σηµεία ελέγχου.
57 Cubic B-spline καµπύλες Κάθε σηµείο ελέγχου επιδρά σε 4 γειτονικά τµήµατα της καµπύλης (τοπικότητα) Θεωρώ ότι η παράµετρος u είναι συνεχής στα διαδοχικά διαστήµατα u< i 2 b ( u+ 2) i 2 u< i 1 b1 ( u+ 1) i 1 u< i Bi ( u) = { b ( u) i u < i+ 1 b ( u 1) i+ 1 u< i+ 2 0 u i+ 2
58 Cubic B-spline καµπύλες Συνάρτηση βάσης Σχηµατίζεται από σύνθεση τεσσάρων µετατοπισµένων πολυωνύµων ανάµειξης
59 Cubic B-spline καµπύλες Η συνολική καµπύλη που ορίζεται από τα σηµεία ελέγχου p 0, p 1,... p i,... p m δίνεται από το γραµµικό συνδυασµό µετατοπισµένων συναρτήσεων βάσης, κάθε µία κεντραρισµένη στο u=i και µη µηδενική σε διάστηµα µήκους 4 m 1 p( u) = Bi( u) p i= 1 i
60 Cubic B-spline καµπύλες
61 Catmull-Rom Splines Derived from Hermite, but tangents defined by control points themselves: p i t i p i-1 p i+1 Q i (u) = U M C P = [u 3 u 2 u1] p i-1 p i p i+1 p i+2
62
63 Kochanek-Bartels Splines Tension, Bias, Discontinuity (modified CR splines) Tension Bias Discontinuity
64
65
66
67
68 Controlling the motion along the curve Designing the shape of the interpolation curve is just the first step. P(u)=(x(u), y(u), z(u)): space curve The speed with which the curve is traced should also be controlled. Varying the curve parameter u in equal intervals does not correspond to equidistant points on the curve
69
70 Arc length re-parameterization As a first step to controlling the motion the curve should be parameterized by arc length s. Find relation between u & s s=g(u) u=g -1 (s) (if possible) P(u)=P(G -1 (s)) =(x(s), y(s), z(s)) After that the animator can easily control the speed by specifying s=h(t) distance-time curve
71 Space curve specifies where to go Distance-time curve specifies when to go P(u)=P(G -1 (s)) = P(G -1 (h(t)))=(x(t), y(t), z(t))
72 Arc length re-parameterization Problems to be solved for parameterization Given u 1 u 2 find Length(u 1, u 2 ) Given 0, u 2 find s=length(0, u 2 ) Essentially find s=g(u) Given a length s and u 1 find u 2 so that Length(u 1, u 2 )=s Given a length s find u 2 so that Length(0, u 2 )=s Essentially: find u=g -1 (s) Usually no analytic solution, use numerical solutions.
73 Estimating arc length by forward differencing Sample the curve at multiple, evenly spaced values of u, u i Approximate length between adjacent values u i, u i+1 using linear (Euclidean) distance Build table G(u) (indexed by evenly spaced values of u) Essentially: find s=g(u) in tabular form
74 u are equally spaced, s are NOT
75 Estimating arc length by forward differencing i=0 Length(0)=G(0)=0 i=1 Length(1)= G(0.05)=distance(P(0), P(0.05)) i=2 Length(2)= G(0.10)= G(0.05)+distance(P(0.05), P(0.10)) Example: find length s from u=0 to u s =0.73 i=(int)(u/du)=int(0.73/0.05)=14 S=Length(i)+(Length(i+1) -Length(i) )*(u s - value(i))/(value(i+1)-value(i))
76 Estimating arc length by forward differencing find Length(u 1, u 2 ): follow the procedure above twice and subtract the two lengths Given a length s find u 2 so that Length(0, u 2 )=s Essentially: find u=g -1 (s) Search s values for values closest to s i and then interpolate s values are not equally spaced but are increasing monotonically: use binary search.
77 Estimating arc length by forward differencing Given a length s and u 1 find u 2 so that Length(u 1, u 2 )=s Use table to approximate length s(u 1 ) that corresponds to u 1, add value s(u 1 ) to s, use the previous approach to evaluate u 2 Simple approach, two sources of error Approximations used to build the table Arc length between two points evaluated as their Euclidean distance. Interpolation used to find the desired value, once the table has been built.
78 Estimating arc length by forward differencing Approximations used to build the table Supersample the curve: While building a 1000 entries table evaluate each interval using 10 points (supersample to points) Interpolation used to find the desired value, once the table has been built. Use higher order interpolation than linear interpolation
79 Estimating arc length by forward differencing Adaptive approach to building the table Use more dense samples where needed, adaptive subdivision Put u=0, s=0 on the table Evaluate P(u max ), C=distance(0, P(u max )) Evaluate P(u max /2), A=distance(0, P(u max /2)), B=distance(P(u max /2), P(u max )) If A+B-C<thres put (u max /2, A), (u max, A+B) Else send the two halves for subdivision
80
81 Analytical approach
82 Analytical approach Integral cannot be evaluated analytically!!
83 Numerical integration Use numerical integration techniques to evaluate the arc length integral (distance between two u values on the curve), instead of linear distance between two points Trapezoidal integration
84 Numerical integration Simpson s integration Gaussian quadrature (nonuniformly spaced sample points
85 Numerical integration Adaptive Gaussian integration Length of an interval is evaluated using Gaussian quadrature Interval is halved and length of each half is evaluated using Gaussian quadrature If results are significantly different, the two halves are further subdivided.
86 Speed control We have P(s) (space curve) Final result of speed control: a function s=h(t) (distance-time function) Usually s, t normalized to [0,1] Specify t, obtain s=h(t), find position on the curve P(h(t)). Tracing the curve at equal spaced intervals of arc length creates constant speed motion s=h(t)=v*t : linear function (speed=v)
87 Speed control Having a separate space curve P(u) (parameterized by arclength) and a distancetime curve allows the animator to apply the same style of motion on different space curves
88 Specification of distance-time function Analytically or graphically specify s=h(t) Analytically or graphically specify v=f(t) Integrate to obtain s=h(t) Analytically or graphically specify a=g(t) and integrate to specify v=f(t)
89
90 Specification of distance-time function Frequent assumptions while building s=h(t) It is monotonic in t :we are moving only forward along the curve It is continuous: there are no jumps in position. The entire curve is to be traversed in the given time s(0)=0; s(1)=1
91
92 Ease-in ease-out Start/end the motion with zero speed Zero derivative of distance-time curve at start/end Accelerate in the beginning of motion, decelerate in the end of the motion Use sinusoid functions or combination of sinusoid and linear functions to specify easein ease-out.
93 The velocity changes continuously
94
95 When working with acceleration-time curves the fact that the object should start/end traversal with zero speed, creates constraints. Area below acceleration-time curve should be zero
96
97 When working with velocity-time curves the fact that the total distance (usually normalized to 1) should be traveled within the given time (usually normalized to 1), creates constraints. Area below velocity-time curve (total distance) should be one
98
99 The user specifies the curve graphically and the curve floats up or down to comply to the constraint The user cannot set implicitly specific velocity values The user sets graphically desired velocities at certain time instances and the shape of the curve changes so that the constraint is satisfied Might result in undesired curve shapes.
100
101
102 Object deformation Physically based approaches Deform an object by applying forces Interactive approaches Animator/modeler specifies interactively the deformations
103 Object warping Animator/modeler displaces a vertex or group of vertices The displacement propagates (attenuated) to adjacent vertices (up to a certain extent). Attenuation is a function of distance between two vertices Minimum number of edges connecting the two vertices Minimum distance between the two vertices
104
105 Object warping Attenuation comes in the form of distancedependent scaling factor applied to the displacement vector
106 Nonlinear Global Deformation
107 Nonlinear Global Deformation
108
109
110
111 Nonlinear Global Deformation Good for modeling [Barr 87] Animation is harder
112 Free Form Deformation (FFD) Deform space by deforming a lattice around an object The deformation is defined by moving the control points Imagine it as if the object were encased in rubber
113 2-D Free Form Deformation (FFD) Construct a local coordinate system (2-D grid) to place the object. Grid initially orthogonal, aligned with the global axes Transformation from local to global coordinates is just a translation and (possibly) a scaling Grid is distorted by moving its vertices (space distortion)
114 2-D Free Form Deformation (FFD) The object vertices are relocated by bilinear interpolation relative to the cell of the grid where it is located 1974 film Hunger
115
116 Polyline Deformation Draw a piecewise linear line (polyline) through the geometry For each vertex compute Closest polyline segment Distance to segment Relative distance along this segment Deform polyline and recompute vertex positions
117 Trilinear Interpolation Let S, T, and U (with origin P 0 ) define local coordinate axes of bounding box that encloses geometry A vertex, P s, coordinates are: U T S P P T S u T S U P P S U t S U T P P U T s = = = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0
118 Volumetric Control Points Each of S, T, and U axes are subdivided by control points A lattice of control points is constructed Bezier interpolation of moved control points define new vertex positions = = = = = = ijk k k n n k j j m m j i i l l i ijk P u u k n t t j m s s i l u t s P U n k T m j S l i P P U u T t S s P P ) (1 ) (1 ) (1 ),, (
119 Free Form Deformation (FFD) The lattice defines a Bezier volume Q( u, v, w) = pijk B( u) B( v) B( w) ijk Compute lattice coordinates ( u, v, w) Alter the control points p ijk Compute the deformed points Q( u, v, w) ( u, v, w) ( u, v, w)
120 FFD Example
121 FFD Example
122 Compositing of FFDs Sequential composition Hierarchical composition
123
124
125 Using FFDs to Animate Build control point lattice that is smaller than geometry Move lattice through geometry so it affects different regions in sequence Animate mouse under the rug, or subdermals (alien under your skin), etc.
126
127 Using FFDs to Animate Build FFD lattice that is larger than geometry Translate geometry within lattice so new deformations affect it with each move Change shape of object to move along a path
128
129 Animating the FFD Create interface for efficient manipulation of lattice control points over time Connect lattices to rigid limbs of human skeleton Physically simulate control points
130
131 FFD Animation Animate a reference and a deformed lattice reference deformed morphed
132 FFD Animation Animate the object through the lattice reference deformed morphed
Καμπύλες και επιφάνειες
Καμπύλες και επιφάνειες Μοντελοποίηση αντικειμένων με πολυγωνικό πλέγμα Εναλλακτικά: μοντελοποίηση με καμπύλες και επιφάνειες. Αναλυτική μορφή καμπυλών και επιφανειών (explicit representation) 2 διαστάσεις:
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ 2 η Σειρά Ασκήσεων 1. Αντί των κλασικών κυβικών πολυωνυμικών παραμετρικών καμπυλών
Διαβάστε περισσότεραApproximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude
Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth
Διαβάστε περισσότεραDESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL h in h 4 0.
DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL -7-1! PROBLEM -7 Statement: Design a double-dwell cam to move a follower from to 25 6, dwell for 12, fall 25 and dwell for the remader The total cycle must take 4 sec
Διαβάστε περισσότεραPartial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013
The boundary element method March 26, 203 Introduction and notation The problem: u = f in D R d u = ϕ in Γ D u n = g on Γ N, where D = Γ D Γ N, Γ D Γ N = (possibly, Γ D = [Neumann problem] or Γ N = [Dirichlet
Διαβάστε περισσότεραAreas and Lengths in Polar Coordinates
Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the
Διαβάστε περισσότεραAreas and Lengths in Polar Coordinates
Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the
Διαβάστε περισσότεραΑπόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.
Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action
Διαβάστε περισσότεραHomework 3 Solutions
Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For
Διαβάστε περισσότεραEE512: Error Control Coding
EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3
Διαβάστε περισσότεραParametrized Surfaces
Parametrized Surfaces Recall from our unit on vector-valued functions at the beginning of the semester that an R 3 -valued function c(t) in one parameter is a mapping of the form c : I R 3 where I is some
Διαβάστε περισσότεραHomework 8 Model Solution Section
MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά Υπολογιστών: Spline Αναπαραστάσεις
1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Spline Αναπαραστάσεις Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Σήμερα θα δούμε τις εύκαμπτες (spline)
Διαβάστε περισσότεραk A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R +
Chapter 3. Fuzzy Arithmetic 3- Fuzzy arithmetic: ~Addition(+) and subtraction (-): Let A = [a and B = [b, b in R If x [a and y [b, b than x+y [a +b +b Symbolically,we write A(+)B = [a (+)[b, b = [a +b
Διαβάστε περισσότεραMatrices and Determinants
Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z
Διαβάστε περισσότεραCHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS
CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =
Διαβάστε περισσότεραHOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch:
HOMEWORK 4 Problem a For the fast loading case, we want to derive the relationship between P zz and λ z. We know that the nominal stress is expressed as: P zz = ψ λ z where λ z = λ λ z. Therefore, applying
Διαβάστε περισσότεραSection 8.3 Trigonometric Equations
99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.
Διαβάστε περισσότεραNowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in
Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in : tail in X, head in A nowhere-zero Γ-flow is a Γ-circulation such that
Διαβάστε περισσότεραMath221: HW# 1 solutions
Math: HW# solutions Andy Royston October, 5 7.5.7, 3 rd Ed. We have a n = b n = a = fxdx = xdx =, x cos nxdx = x sin nx n sin nxdx n = cos nx n = n n, x sin nxdx = x cos nx n + cos nxdx n cos n = + sin
Διαβάστε περισσότερα9.09. # 1. Area inside the oval limaçon r = cos θ. To graph, start with θ = 0 so r = 6. Compute dr
9.9 #. Area inside the oval limaçon r = + cos. To graph, start with = so r =. Compute d = sin. Interesting points are where d vanishes, or at =,,, etc. For these values of we compute r:,,, and the values
Διαβάστε περισσότεραNumerical Analysis FMN011
Numerical Analysis FMN011 Carmen Arévalo Lund University carmen@maths.lth.se Lecture 12 Periodic data A function g has period P if g(x + P ) = g(x) Model: Trigonometric polynomial of order M T M (x) =
Διαβάστε περισσότεραANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =?
Teko Classes IITJEE/AIEEE Maths by SUHAAG SIR, Bhopal, Ph (0755) 3 00 000 www.tekoclasses.com ANSWERSHEET (TOPIC DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION # Question Type A.Single Correct Type Q. (A) Sol least
Διαβάστε περισσότεραderivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates
derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates swapnizzle 03-03- :5:43 We begin by recognizing the familiar conversion from rectangular to spherical coordinates (note that φ is used
Διαβάστε περισσότερα3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β
3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle
Διαβάστε περισσότεραFractional Colorings and Zykov Products of graphs
Fractional Colorings and Zykov Products of graphs Who? Nichole Schimanski When? July 27, 2011 Graphs A graph, G, consists of a vertex set, V (G), and an edge set, E(G). V (G) is any finite set E(G) is
Διαβάστε περισσότεραLecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3
Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3 1 State vector space and the dual space Space of wavefunctions The space of wavefunctions is the set of all
Διαβάστε περισσότερα1. (a) (5 points) Find the unit tangent and unit normal vectors T and N to the curve. r(t) = 3cost, 4t, 3sint
1. a) 5 points) Find the unit tangent and unit normal vectors T and N to the curve at the point P, π, rt) cost, t, sint ). b) 5 points) Find curvature of the curve at the point P. Solution: a) r t) sint,,
Διαβάστε περισσότεραJesse Maassen and Mark Lundstrom Purdue University November 25, 2013
Notes on Average Scattering imes and Hall Factors Jesse Maassen and Mar Lundstrom Purdue University November 5, 13 I. Introduction 1 II. Solution of the BE 1 III. Exercises: Woring out average scattering
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΕΝΑ ΦΛΟΚΑ Επίκουρος Καθηγήτρια Τµήµα Φυσικής, Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος- Μετεωρολογίας ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Πληθυσµός Σύνολο ατόµων ή αντικειµένων στα οποία αναφέρονται
Διαβάστε περισσότεραPARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities
PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities tanθ = sinθ cosθ cotθ = cosθ sinθ BASIC IDENTITIES cscθ = 1 sinθ secθ = 1 cosθ cotθ = 1 tanθ PYTHAGOREAN IDENTITIES sin θ + cos θ =1 tan θ +1= sec θ 1 + cot
Διαβάστε περισσότερα( y) Partial Differential Equations
Partial Dierential Equations Linear P.D.Es. contains no owers roducts o the deendent variables / an o its derivatives can occasionall be solved. Consider eamle ( ) a (sometimes written as a ) we can integrate
Διαβάστε περισσότερα2 Composition. Invertible Mappings
Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,
Διαβάστε περισσότεραThe Simply Typed Lambda Calculus
Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and
Διαβάστε περισσότεραΠρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής
Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους
Διαβάστε περισσότεραPg The perimeter is P = 3x The area of a triangle is. where b is the base, h is the height. In our case b = x, then the area is
Pg. 9. The perimeter is P = The area of a triangle is A = bh where b is the base, h is the height 0 h= btan 60 = b = b In our case b =, then the area is A = = 0. By Pythagorean theorem a + a = d a a =
Διαβάστε περισσότεραExample Sheet 3 Solutions
Example Sheet 3 Solutions. i Regular Sturm-Liouville. ii Singular Sturm-Liouville mixed boundary conditions. iii Not Sturm-Liouville ODE is not in Sturm-Liouville form. iv Regular Sturm-Liouville note
Διαβάστε περισσότεραProblem Set 9 Solutions. θ + 1. θ 2 + cotθ ( ) sinθ e iφ is an eigenfunction of the ˆ L 2 operator. / θ 2. φ 2. sin 2 θ φ 2. ( ) = e iφ. = e iφ cosθ.
Chemistry 362 Dr Jean M Standard Problem Set 9 Solutions The ˆ L 2 operator is defined as Verify that the angular wavefunction Y θ,φ) Also verify that the eigenvalue is given by 2! 2 & L ˆ 2! 2 2 θ 2 +
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή
Διαβάστε περισσότεραReminders: linear functions
Reminders: linear functions Let U and V be vector spaces over the same field F. Definition A function f : U V is linear if for every u 1, u 2 U, f (u 1 + u 2 ) = f (u 1 ) + f (u 2 ), and for every u U
Διαβάστε περισσότεραb. Use the parametrization from (a) to compute the area of S a as S a ds. Be sure to substitute for ds!
MTH U341 urface Integrals, tokes theorem, the divergence theorem To be turned in Wed., Dec. 1. 1. Let be the sphere of radius a, x 2 + y 2 + z 2 a 2. a. Use spherical coordinates (with ρ a) to parametrize.
Διαβάστε περισσότεραPhys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)
Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts
Διαβάστε περισσότεραInverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------
Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin
Διαβάστε περισσότερα2. THEORY OF EQUATIONS. PREVIOUS EAMCET Bits.
EAMCET-. THEORY OF EQUATIONS PREVIOUS EAMCET Bits. Each of the roots of the equation x 6x + 6x 5= are increased by k so that the new transformed equation does not contain term. Then k =... - 4. - Sol.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011
Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις
Διαβάστε περισσότεραSecond Order Partial Differential Equations
Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y
Διαβάστε περισσότεραMain source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1
Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 A Brief History of Sampling Research 1915 - Edmund Taylor Whittaker (1873-1956) devised a
Διαβάστε περισσότεραC.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions
C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order
Διαβάστε περισσότερα( ) 2 and compare to M.
Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8
Διαβάστε περισσότεραPractice Exam 2. Conceptual Questions. 1. State a Basic identity and then verify it. (a) Identity: Solution: One identity is csc(θ) = 1
Conceptual Questions. State a Basic identity and then verify it. a) Identity: Solution: One identity is cscθ) = sinθ) Practice Exam b) Verification: Solution: Given the point of intersection x, y) of the
Διαβάστε περισσότεραTMA4115 Matematikk 3
TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet
Διαβάστε περισσότεραSCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions
SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES GLMA Linear Mathematics 00- Examination Solutions. (a) i. ( + 5i)( i) = (6 + 5) + (5 )i = + i. Real part is, imaginary part is. (b) ii. + 5i i ( + 5i)( + i) = ( i)( + i)
Διαβάστε περισσότερα6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq.
6.1. Dirac Equation Ref: M.Kaku, Quantum Field Theory, Oxford Univ Press (1993) η μν = η μν = diag(1, -1, -1, -1) p 0 = p 0 p = p i = -p i p μ p μ = p 0 p 0 + p i p i = E c 2 - p 2 = (m c) 2 H = c p 2
Διαβάστε περισσότεραFourier Series. MATH 211, Calculus II. J. Robert Buchanan. Spring Department of Mathematics
Fourier Series MATH 211, Calculus II J. Robert Buchanan Department of Mathematics Spring 2018 Introduction Not all functions can be represented by Taylor series. f (k) (c) A Taylor series f (x) = (x c)
Διαβάστε περισσότεραCHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS
CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS EXERCISE 01 Page 545 1. Use matrices to solve: 3x + 4y x + 5y + 7 3x + 4y x + 5y 7 Hence, 3 4 x 0 5 y 7 The inverse of 3 4 5 is: 1 5 4 1 5 4 15 8 3
Διαβάστε περισσότεραPhysical DB Design. B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible.
B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible 3 rd -level index 2 nd -level index 1 st -level index Main file 1 The 1 st -level index consists of pairs
Διαβάστε περισσότεραSection 9.2 Polar Equations and Graphs
180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify
Διαβάστε περισσότεραOther Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests
Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Side-Note: So far we have seen a few approaches for creating tests such as Neyman-Pearson Lemma ( most powerful tests of H 0 : θ = θ 0 vs H 1 :
Διαβάστε περισσότεραST5224: Advanced Statistical Theory II
ST5224: Advanced Statistical Theory II 2014/2015: Semester II Tutorial 7 1. Let X be a sample from a population P and consider testing hypotheses H 0 : P = P 0 versus H 1 : P = P 1, where P j is a known
Διαβάστε περισσότεραSolutions to Exercise Sheet 5
Solutions to Eercise Sheet 5 jacques@ucsd.edu. Let X and Y be random variables with joint pdf f(, y) = 3y( + y) where and y. Determine each of the following probabilities. Solutions. a. P (X ). b. P (X
Διαβάστε περισσότεραMath 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme
Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry
Διαβάστε περισσότερα1 String with massive end-points
1 String with massive end-points Πρόβλημα 5.11:Θεωρείστε μια χορδή μήκους, τάσης T, με δύο σημειακά σωματίδια στα άκρα της, το ένα μάζας m, και το άλλο μάζας m. α) Μελετώντας την κίνηση των άκρων βρείτε
Διαβάστε περισσότεραω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω
0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +
Διαβάστε περισσότεραThe challenges of non-stable predicates
The challenges of non-stable predicates Consider a non-stable predicate Φ encoding, say, a safety property. We want to determine whether Φ holds for our program. The challenges of non-stable predicates
Διαβάστε περισσότεραIntegrals in cylindrical, spherical coordinates (Sect. 15.7)
Integrals in clindrical, spherical coordinates (Sect. 5.7 Integration in spherical coordinates. Review: Clindrical coordinates. Spherical coordinates in space. Triple integral in spherical coordinates.
Διαβάστε περισσότεραMock Exam 7. 1 Hong Kong Educational Publishing Company. Section A 1. Reference: HKDSE Math M Q2 (a) (1 + kx) n 1M + 1A = (1) =
Mock Eam 7 Mock Eam 7 Section A. Reference: HKDSE Math M 0 Q (a) ( + k) n nn ( )( k) + nk ( ) + + nn ( ) k + nk + + + A nk... () nn ( ) k... () From (), k...() n Substituting () into (), nn ( ) n 76n 76n
Διαβάστε περισσότεραBayesian statistics. DS GA 1002 Probability and Statistics for Data Science.
Bayesian statistics DS GA 1002 Probability and Statistics for Data Science http://www.cims.nyu.edu/~cfgranda/pages/dsga1002_fall17 Carlos Fernandez-Granda Frequentist vs Bayesian statistics In frequentist
Διαβάστε περισσότεραLocal Approximation with Kernels
Local Approximation with Kernels Thomas Hangelbroek University of Hawaii at Manoa 5th International Conference Approximation Theory, 26 work supported by: NSF DMS-43726 A cubic spline example Consider
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων. Εξάμηνο 7 ο
Εργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων Εξάμηνο 7 ο Procedures and Functions Stored procedures and functions are named blocks of code that enable you to group and organize a series of SQL and PL/SQL
Διαβάστε περισσότεραStatistical Inference I Locally most powerful tests
Statistical Inference I Locally most powerful tests Shirsendu Mukherjee Department of Statistics, Asutosh College, Kolkata, India. shirsendu st@yahoo.co.in So far we have treated the testing of one-sided
Διαβάστε περισσότερα1) Formulation of the Problem as a Linear Programming Model
1) Formulation of the Problem as a Linear Programming Model Let xi = the amount of money invested in each of the potential investments in, where (i=1,2, ) x1 = the amount of money invested in Savings Account
Διαβάστε περισσότεραSrednicki Chapter 55
Srednicki Chapter 55 QFT Problems & Solutions A. George August 3, 03 Srednicki 55.. Use equations 55.3-55.0 and A i, A j ] = Π i, Π j ] = 0 (at equal times) to verify equations 55.-55.3. This is our third
Διαβάστε περισσότεραVariational Wavefunction for the Helium Atom
Technische Universität Graz Institut für Festkörperphysik Student project Variational Wavefunction for the Helium Atom Molecular and Solid State Physics 53. submitted on: 3. November 9 by: Markus Krammer
Διαβάστε περισσότεραCalculating the propagation delay of coaxial cable
Your source for quality GNSS Networking Solutions and Design Services! Page 1 of 5 Calculating the propagation delay of coaxial cable The delay of a cable or velocity factor is determined by the dielectric
Διαβάστε περισσότεραEcon 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1
Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test
Διαβάστε περισσότερα6.3 Forecasting ARMA processes
122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear
Διαβάστε περισσότεραD Alembert s Solution to the Wave Equation
D Alembert s Solution to the Wave Equation MATH 467 Partial Differential Equations J. Robert Buchanan Department of Mathematics Fall 2018 Objectives In this lesson we will learn: a change of variable technique
Διαβάστε περισσότεραSecond Order RLC Filters
ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor
Διαβάστε περισσότεραConcrete Mathematics Exercises from 30 September 2016
Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Silvio Capobianco Exercise 1.7 Let H(n) = J(n + 1) J(n). Equation (1.8) tells us that H(2n) = 2, and H(2n+1) = J(2n+2) J(2n+1) = (2J(n+1) 1) (2J(n)+1)
Διαβάστε περισσότεραExercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.
Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given
Διαβάστε περισσότεραDifferential equations
Differential equations Differential equations: An equation inoling one dependent ariable and its deriaties w. r. t one or more independent ariables is called a differential equation. Order of differential
Διαβάστε περισσότεραAssalamu `alaikum wr. wb.
LUMP SUM Assalamu `alaikum wr. wb. LUMP SUM Wassalamu alaikum wr. wb. Assalamu `alaikum wr. wb. LUMP SUM Wassalamu alaikum wr. wb. LUMP SUM Lump sum lump sum lump sum. lump sum fixed price lump sum lump
Διαβάστε περισσότεραInstruction Execution Times
1 C Execution Times InThisAppendix... Introduction DL330 Execution Times DL330P Execution Times DL340 Execution Times C-2 Execution Times Introduction Data Registers This appendix contains several tables
Διαβάστε περισσότεραFigure A.2: MPC and MPCP Age Profiles (estimating ρ, ρ = 2, φ = 0.03)..
Supplemental Material (not for publication) Persistent vs. Permanent Income Shocks in the Buffer-Stock Model Jeppe Druedahl Thomas H. Jørgensen May, A Additional Figures and Tables Figure A.: Wealth and
Διαβάστε περισσότεραthe total number of electrons passing through the lamp.
1. A 12 V 36 W lamp is lit to normal brightness using a 12 V car battery of negligible internal resistance. The lamp is switched on for one hour (3600 s). For the time of 1 hour, calculate (i) the energy
Διαβάστε περισσότεραSection 7.6 Double and Half Angle Formulas
09 Section 7. Double and Half Angle Fmulas To derive the double-angles fmulas, we will use the sum of two angles fmulas that we developed in the last section. We will let α θ and β θ: cos(θ) cos(θ + θ)
Διαβάστε περισσότεραThe Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions
Theo p. / The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions Walter Gautschi wxg@cs.purdue.edu Purdue University Theo p. 2/ Theodorus of ca. 46 399 B.C. Theo p. 3/ spiral of Theodorus 6
Διαβάστε περισσότερα1. Ηλεκτρικό μαύρο κουτί: Αισθητήρας μετατόπισης με βάση τη χωρητικότητα
IPHO_42_2011_EXP1.DO Experimental ompetition: 14 July 2011 Problem 1 Page 1 of 5 1. Ηλεκτρικό μαύρο κουτί: Αισθητήρας μετατόπισης με βάση τη χωρητικότητα Για ένα πυκνωτή χωρητικότητας ο οποίος είναι μέρος
Διαβάστε περισσότερα[1] P Q. Fig. 3.1
1 (a) Define resistance....... [1] (b) The smallest conductor within a computer processing chip can be represented as a rectangular block that is one atom high, four atoms wide and twenty atoms long. One
Διαβάστε περισσότεραSolutions to the Schrodinger equation atomic orbitals. Ψ 1 s Ψ 2 s Ψ 2 px Ψ 2 py Ψ 2 pz
Solutions to the Schrodinger equation atomic orbitals Ψ 1 s Ψ 2 s Ψ 2 px Ψ 2 py Ψ 2 pz ybridization Valence Bond Approach to bonding sp 3 (Ψ 2 s + Ψ 2 px + Ψ 2 py + Ψ 2 pz) sp 2 (Ψ 2 s + Ψ 2 px + Ψ 2 py)
Διαβάστε περισσότεραBlock Ciphers Modes. Ramki Thurimella
Block Ciphers Modes Ramki Thurimella Only Encryption I.e. messages could be modified Should not assume that nonsensical messages do no harm Always must be combined with authentication 2 Padding Must be
Διαβάστε περισσότεραFinite Field Problems: Solutions
Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The
Διαβάστε περισσότεραDERIVATION OF MILES EQUATION FOR AN APPLIED FORCE Revision C
DERIVATION OF MILES EQUATION FOR AN APPLIED FORCE Revision C By Tom Irvine Email: tomirvine@aol.com August 6, 8 Introduction The obective is to derive a Miles equation which gives the overall response
Διαβάστε περισσότεραECE 468: Digital Image Processing. Lecture 8
ECE 468: Digital Image Processing Lecture 8 Prof. Sinisa Todorovic sinisa@eecs.oregonstate.edu 1 Image Reconstruction from Projections X-ray computed tomography: X-raying an object from different directions
Διαβάστε περισσότεραNew bounds for spherical two-distance sets and equiangular lines
New bounds for spherical two-distance sets and equiangular lines Michigan State University Oct 8-31, 016 Anhui University Definition If X = {x 1, x,, x N } S n 1 (unit sphere in R n ) and x i, x j = a
Διαβάστε περισσότεραCHAPTER 101 FOURIER SERIES FOR PERIODIC FUNCTIONS OF PERIOD
CHAPTER FOURIER SERIES FOR PERIODIC FUNCTIONS OF PERIOD EXERCISE 36 Page 66. Determine the Fourier series for the periodic function: f(x), when x +, when x which is periodic outside this rge of period.
Διαβάστε περισσότεραArithmetical applications of lagrangian interpolation. Tanguy Rivoal. Institut Fourier CNRS and Université de Grenoble 1
Arithmetical applications of lagrangian interpolation Tanguy Rivoal Institut Fourier CNRS and Université de Grenoble Conference Diophantine and Analytic Problems in Number Theory, The 00th anniversary
Διαβάστε περισσότερα