Πανεπιστήμιο Κρήτης. 19 Οκτωβρίου 2015 Μεταπτυχιακή εργασία στα πλαίσια του προγράμματος "Μαθηματικά και εφαρμογές τους"

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Κρήτης Η ατομική δομή του H ) και ο δυισμός ανάμεσα στους H ) και MO ) Εκπόνηση: Γιώργος Ψαρομήλιγκος Επιβλέπων: Μιχάλης Παπαδημητράκης 9 Οκτωβρίου 205 Μεταπτυχιακή εργασία στα πλαίσια του προγράμματος "Μαθηματικά και εφαρμογές τους" Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών

2

3 Περιεχόμενα Η ατομική δομή του H ) και ο δυϊκός του χώρος MO ) 3 Εισαγωγή 5 Μεγιστικές συναρτήσεις και εφαρμογές τους 7 Διάσπαση Whitney και γενίκευση της διάσπασης Calderón Zygmund 25 Οι χώροι Hat ) και H ) 34 Ο Δυϊκός χώρος του H ) 50 Βιβλιογραφία 64

4 2

5 Η ατομική δομή του H ) και ο δυϊκός του χώρος MO ) Η παρακάτω εργασία ορίζει τους χώρους H ), MO ) και αποδεικνύει οτι ο δυϊκός χώρος του πρώτου χώρου είναι ισόμορφος με τον δεύτερο. Η πρώτη απόδειξη αυτού του αποτελέσματος, δόθηκε απο τους Charles Fefferman και Elias M. Stein το 972. Στον δρόμο προς την απόδειξη, θα ορίσουμε στο Κεφάλαιο μερικές μεγιστικές συναρτήσεις οι οποίες θα έχουν μεγάλη σημασία για όλη την εργασία. Στο Κεφάλαιο 2, θα αποδείξουμε κάποια αποτελέσματα τα οποία προκύπτουν απο τους ορισμόυς αυτών των μεγιστικών συναρτήσεων. Στη συνέχεια, στο Κεφάλαιο 3 θα διατυπώσουμε και θα αποδείξουμε δύο πολύ γνωστά θεωρήματα, την Διάσπαση κατα Whitney καθώς και μια Γενίκευση της Διάσπασης κατα Calderón-Zygmund. Στο Κεφάλαιο 4, θα μπούμε στο κυρίως θέμα. Θα οριστεί ο χώρος H at ) και θα αποδειχθεί οτι αυτός είναι ισόμορφος με τον χώρο H ). Με αυτό το αποτέλεσμα, στο Κεφάλαιο 5 αφού ορίσουμε τον χώρο MO ) θα διατυπώσουμε μια απλή απόδειξη του εξής: H )) = MO ) 3

6 4

7 Κεφάλαιο Εισαγωγή Oρισμοί.. Θα εργαστούμε στον πραγματικό χώρο διάστασης d, απο δώ και στο εξής. Ορίζουμε ώς μπάλα με κέντρο x και ακτίνα r την x, r). Επίσης, θα χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο ορισμό: για x και α, β N d 0 x α = x α x α d d, β x = β x β β d x β d d, α = a α d, α β α i β i i {,..., d} Θα συμβολίζουμε μεs ) τον χώρο του Schwartz. Αυτός περιλαμβάνει όλες τις συναρτήσεις ϕ C ) για τις οποίες ισχύει: sup + x 2 ) k 2 α ϕx) < + για όλα τα k N 0, x α = α,...α d ) N d 0. Παρακάτω ϕ, ψ s ). Ορίζουμε τις εξής νόρμες τουs ) : p k ϕ) = επάγεται η ακόλουθη μετρική: sup + x 2 ) k 2 α ϕx) για k N 0. Απο αυτές, x, a k dϕ, ψ) := + k=0 p k ϕ ψ) 2 k + p k ϕ ψ) Εφοδιασμένος με αυτή την μετρική, οs ) είναι μετρικός χώρος. Συμβολίζουμε μεs ) τον χώρο όλων των συνεχών γραμμικών συναρτησοειδών στονs ). Τα στοιχεία αυτού του συνόλου τα λέμε ελεγχόμενες κατανομές ή απλά κατανομές. Έστω f s ) και Φ s ). Η συνάρτηση τ x Φy) := Φy x) ανήκει στονs ) ώς συνάρτηση του y. Τότε, για κάθε x ορίζεται η συνάρτηση f Φx) με πεδίο τιμών το C και τύπο: όπου Φy) = Φ y). f Φx) := fτ x Φ) Η παραπάνω "συνέλιξη", ορίζεται και ώς κατανομή. Θα συμβολίζουμε την κατανομή με f Φ και θα δίνεται απο τον τύπο: f Φψ) := fψ Φ) όπου ψ s ). Τώρα, προχωράμε στον ορισμό μιας μεγιστικής συνάρτησης η οποία θα παίξει πολυ σημαντικό ρόλο. Έστω Φ s ) με Φx)dx 0. Τότε μπορούμε να ορίσoυμε την συνάρτηση M Φ fx) με τύπο: όπου Φ t x) = t d Φ x t ). M Φ fx) := sup f Φ t x) Τώρα, θα χρειαστεί να ορίσουμε μια μεγιστική συνάρτηση που δέν εξαρτάται απο την Φ. Έστω F μια 5

8 πεπερασμένη συλλογη απο ημινόρμες αi,β i τις οποίες ορίζουμε ως εξής: ϕ αi,β i := sup x x α i β i ϕx) Τότε ορίζω την συνάρτηση M F fx) ώς : όπου S F είναι το σύνολο: M F fx) := sup Ψ S F M Ψ fx) S F = {Φ s ) όπου Φ αi,β i για κάθε i I με I N πεπερασμένο} 6

9 Κεφάλαιο 2 Μεγιστικές συναρτήσεις και εφαρμογές τους Προχωράμε σε κάποιους επιπλέον ορίσμους μεγιστικών συναρτήσεων, που θα μας χρειαστούν. Oρισμοί 2.. MΦ fx) := sup M Φ,d fx) := x y <t f Φ t y) = sup f Φ t x y) και sup y, y <t f Φ t x y) + y t ) d+) Για τυχάιο t > 0 προκύπτει: f Φ t x) = f Φ t x 0) sup f Φ t x y) y <t Οπότε έχουμε οτι: M Φ fx) MΦ fx) ) Επίσης για y < t έχουμε ότι: ) d+) f Φ t x y) 2 d+ f Φ t x y) + y t και άρα: απο τις σχέσεις ) και 2) έχουμε οτι M Φ fx) 2d+ M Φ,d fx) 2) M Φ fx) M Φ fx) 2d+ M Φ,d fx). Προχωράμε στην διατύπωση του πρώτου Θεωρήματος που θα χρειαστούμε. Θεώρημα 2.. Για Φ όπως παραπάνω, υπάρχει μια συλλογή F απο ημινόρμες τετοια ώστε: και υπάρχουν σταθερές c Φ, c d,φ τέτοιες ώστε: M Φ f L ) M F f L ) M Φ f c Φ M F f c d,φ M Φ f Πριν την απόδειξη του Θεωρήματος 2., θα αποδείξουμε κάποια Λήμματα και πορίσματα αυτών : Λήμμα 2.. Έχουμε ότι: για a > 0. sup y <at f Φ t x y) dx c d + a) d sup f Φ t x y) dx y <t Απόδειξη. Πρώτα θα αποδείξουμε ότι 7

10 { x : sup x y <at } { f Φ t y) > β c d + a) d x : sup x y <t για a > 0. Αρκεί να το αποδείξουμε για a > αφού για a είναι προφανές.) Ορίζουμε: f Φ t y) > β} ) O := { x : sup x y <t } f Φ t y) > β και C := { x : sup x y <at } f Φ t y) > β Ορίζω A := O c. Για 0 < γ < ορίζω A = { x : A } γ για κάθε όπου = x, r) Τότε το A ονομάζεται σύνολο των σημείων x που έχουν καθολική γ-πυκνότητα ώς προς το A. Επίσης ορίζω O = A ) c. Έστω τώρα x C. Τότε υπάρχει x και t > 0 με f Φ t x) > β και x x < at. Άρα, x, t ) O αφού: αν z με z x < t τότε β < f Φ t x) Οπότε z O ) Eύκολα προκύπτει ότι x, t) όπου = x, + a)t ) 2) Από ) και 2) παίρνουμε οτι x, t) O και άρα: O x, t) = t d 0, ) 3) sup f Φ t y). z y <t Επίσης = + a) d t d 0, ) 4) O Oπότε απο τις σχέσεις 3) και 4) παίρνουμε ότι + a) 5) d Συνεπώς, λόγω της 5) και αφού το σύνολο A είναι το συμπλήρωμα του O έχουμε ότι: A Άρα για κάθε γ με γ > + a) d έχουμε οτι x / A. + a) d Δηλαδή C A ) c = O 6) A Έστω τώρα x με < γ για κάποια όπου = x, r). Τότε αυτό είναι ισοδύναμο με: Δηλαδή O = { x : O > γ για κάποια x, r) O } > γ για κάποια όπου = x, r) 7) 8

11 Άν τώρα θυμηθούμε τον ορισμό του μεγιστικού τελεστή των Hardy-Li lewood: Mf)x) := sup fx) dx r>0 x, r) όπου f L ), x,r) έχουμε οτι MX O )x) = sup r>0 O x, r) x, r) Τότε βλέπουμε οτι απο την 7) και λόγω των παραπάνω έχουμε: { } O = x : MX O )x) > γ 8) Γνωρίζουμε οτι ο παραπάνω μεγιστικός τελεστής είναι ασθενώς-,), δηλαδή: { } c d x : Mf)x) > λ f 9) λ Οπότε απο τις 8) και 9), για λ = γ, fx) = X O x) έχουμε ότι: O c d c d X O x) dx = O 0) γ γ Απο τις 6) και 0) και επειδή O = A c τότε: C c d A c ) γ Τώρα η ) ισχύει για κάθε γ με γ > + a) d άρα παίρνοντας όριο γ d απο τα + a) δεξιά, έχουμε την ). Απο την Θεωρία μέτρου, έχουμε ότι: + gx) dx = { x : gx) > β } dβ 2) 0 Τέλος, ολοκληρώνοντας ώς προς β την ) και λόγω της 2) έχουμε την απόδειξη του Λήμματος. Πόρισμα 2.. Άν M Φ f L ) τότε M Φ,d f L ) και επιπλέον: MΦ,d f 4 d+ c d M Φ f όπου η σταθερά c d εξαρτάται μόνο απο την διάσταση d. Απόδειξη. Για y και t > 0 έχουμε: 9

12 f Φt x y) ) d+) + y t + k=0 2 k)d+) sup f Φt x y) ) y <2 k t Γιατί, αν y < t ο όρος k = 0 του δεξιού μέλους της ανισότητας είναι μεγαλύτερος απο το αριστερό μέλος. Tώρα αν 2 k t < y 2 k t για τυχαίο k > 0 βλέπουμε ότι Επίσης f Φ t x y) sup f Φ t x y) 2) y <2 k t + y t ) d+) 2 k)d+) ) Απο ) και 2) αποδείξαμε την ). Τώρα, ολοκληρώνουμε την ) κατά μέλη αφού πάρουμε supremum ώς προς y και t > 0 στο αριστερό μέλος: f Φt x y) ) d+) + y t dx sup y Απο το Λήμμα 2. είδαμε οτι και αφου + k=0 sup f Φt x y) dx cd + 2 k ) d y <2 k t 2 k)d+) sup f Φt x y) dx 3) y <2 k t sup f Φt x y) dx = M Φ f < + απο την 3) έχουμε ότι: y <t MΦ,d f c d + k=0 2 k)d+) + 2 k ) d M Φ f c d M Φ f + k=0 sup f Φt x y) dx y <t 2 k)d+) 2 k+)d 2 2d+ c d M Φ f + k=0 2 k 4 d+ c d M Φ f Λήμμα 2.2. Έστω α, β N d 0 και σταθεροποιημένο M 0. Τότε ορίζουμε την πεπερασμένη συλλογή F απο ημινόρμες αi,β i με την ιδιότητα α i α + d + και β i β s + [M] + d +. Για την σταθεροποιημένη Φ και τυχαία Ψ S F υπάρχει ακολουθία η k ) τέτοια ώστε: Επιπλέον, υπάρχει A > 0 με Ψx) = + k=0 η k Φ 2 kx) sup x a β η k x) A x R 2 k M d όπου το A εξαρτάται απο τους πολυδείκτες α, β, απο τις σταθερές d, M καθώς και την Φ. 0

13 Απόδειξη. Έστω χ C ) με χ στην 0, ) και χ 0 στο 0, 2) c. Τότε, χ s ) και επειδή ο μετασχηματισμός Fourier είναι ισομορφικός απο τονs ) επι τουs ) υπάρχει ϕ s ) με ϕ = χ. Έχουμε απο τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier ότι ξ ) lim ϕ = k + 2 ϕ0) = ) k Ορίζουμε τώρα ψ 0 και ψ k για k στονs ) έτσι ώστε ψ 0 ξ) = ϕξ), για κάθε k και κάθε ξ. Παρατηρούμε οτι αν ξ < 2 k ή ξ > 2 k+ έχουμε οτι ψ k ξ) = 0. Άρα supp ψ 0 ξ) 0, 2) ενώ supp ψ k ξ) {ξ : 2 k ξ 2 k+ } για k 2) ψk ξ) = ϕ ξ ) 2 ϕ ξ ) k 2 k Επίσης εύκολα προκύπτει απο τον ορισμό των ψ k ότι: β ψk ξ) c β 3) 2 k β όπου c β εξαρτάται μονό απο τον πολυδείκτη β. N Τώρα, βλέπουμε οτι: ψ k ξ) = ϕ ξ ) λόγω της ) και άρα: 2 N N + k=0 Οπότε μπορούμε λόγω της 4) να γράψουμε: + k=0 Ψξ) = ψ k ξ) = 4) + k=0 ψ k ξ) Ψξ). Μπορούμε να έχουμε Φ0) = δεδομένου οτι Φx)dx =. Για να το πετύχουμε αυτό, αρκεί να πάρουμε μια νέα Φ την Φ πολλαπλασιασμένη με κατάλληλη σταθερα).συνεπώς υπάρχει k 0 N τέτοιο ώστε: ξ 2 k 0 Φξ) 2 5) Αυτό μας οδηγεί στο να ορίσουμε τις συναρτήσεις η k ώς εξής: Παρατηρούμε ότι η k s η k ξ) = 0 για k =,.., k 0 και η k ξ) = ψ k k0 ξ) Φ2 k ξ) Ψξ) για k k 0 6) ). ) άρα και η k s Οπότε, έχουμε τελικά απο την 4) και τον ορισμό των η k οτι: Ψξ) = η k ξ) Φ2 k ξ), k=k 0 απο το οποίο προκύπτει η αναπαράσταση της Ψ στην εκφώνηση του θεωρήματος. +

14 Τώρα, εκμεταλλευόμενοι τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier για συναρτήσεις στονs ), έχουμε την ακόλουθη εκτίμηση : x a β η k x) = = 2π) α a 2π) β α xa β η k x) ξ) e 2πiξx dξ = 2π) α 2πix)a β η k x)ξ) e 2πiξx dξ = ) β η k x)ξ) e 2πiξx dξ = 2π) α a ) ξ a β η k ξ) dξ = 2π) β α [ ] 2πiξ) β η k ξ) e 2πiξx dξ ξ a β η k ξ)) dξ 7) {ξ: 2 k k 0 ξ 2 k k 0 + } Τώρα, απλοποιούμε τον τύπο των συναρτήσεων η k : η k ξ) = g2 k ξ) Ψξ) όπου gξ) := ϕ 2 k 0 ξ) ϕ 2 k 0+ ξ) Φξ) Προχωράμε να εκτιμήσουμε την ποσότητα προς ολοκλήρωση στην σχέση 7): ) ξ a β η k ξ) = δ α, β ) c α,δ δ ξ β ) α δ η k ξ) Για να απλοποιήσουμε τις ποσότητες στην τελευταία σχέση παρατηρούμε ότι δ ξ β ) = c δ,β ξ β δ και: = = ε α δ α δ η k ξ) = α δ g2 k ξ) Ψξ) = ε α δ c α,δ,ε ε g2 k ξ) ) α δ ε Ψξ) = c α,δ,ε 2 k ε ε g ) 2 k ξ ) α δ ε Ψξ) Χρησιμοποιοιώντας τα παραπάνω και το γεγονός ότι ε g είναι φραγμένη απο σταθερά που εξαρτάται απο το ε και την Φ έχουμε: a ξ β η k ξ)) δ α,β ε α δ c α,β,δ,ε,φ ξ β δ α δ ε Ψξ) Άρα, 2

15 δ α, β ε α δ {ξ: 2 k k 0 ξ 2 k k 0 + } c α,β,δ,ε,φ {ξ: 2 k k 0 ξ 2 k k 0 + } a ξ β η k ξ)) dξ ξ β δ α δ ε Ψξ) dξ 8) Συνεχίζουμε για να εκτιμήσουμε το ολοκλήρωμα στην σχέση 8): ξ β δ α δ ε Ψξ) dξ {ξ: 2 k k 0 ξ 2 k k 0 + } ξ β δ α δ ε Ψξ) dξ {ξ: 2 k k 0 ξ 2 k k 0 + } Τώρα εισάγουμε έναν νέο πολυδείκτη γ με την ιδιότητα γ = [M] + + d. Οπότε, έχουμε: = {ξ: 2 k k 0 ξ 2 k k 0 + } {ξ: 2 k k 0 ξ 2 k k 0 + } ξ β δ ξ β δ + γ α δ ε Ψξ) dξ = α δ ε Ψξ) ξ γ dξ 9) Θα εκτιμήσουμε την ποσότητα στον αριθμητή του κλάσματος της σχέσης 9): ξ β δ + γ ) α δ ε β δ + γ Ψξ) ξ ξ d α δ ε Ψξ) ζ β δ + γ c ζ,β,γ,δ,d ξ ζ α δ ε Ψξ) ζ β δ + γ c ζ,β,γ,δ,α,ε,d ζ β δ + γ c ζ,β,γ,δ,α,ε,d ξ ζ x α δ ε Ψx) ξ) ζ[ x α δ ε Ψx) ] ξ) 0) Προχωράμε τώρα στην εκτίμηση των προσθεταίων στην σχέση 0): ζ[ x α δ ε Ψx) ] ξ) ζ[ x α δ ε Ψx) ] dx θ ζ, α δ ε c ζ,θ x α δ ε θ ζ θ Ψx) dx 3

16 = + x > θ ζ, α δ ε + x ) d+ x θ ζ, α δ ε c ζ,θ + x ) d+ + x ) d+ θ ζ, α δ ε x α δ ε θ ζ θ Ψx) dx = c ζ,θ + x ) d+ θ ζ, α δ ε c ζ,θ,d c ζ,θ,d x d+ x α δ ε θ ζ θ Ψx) dx x α δ ε θ ζ θ Ψx) dx + x α δ ε θ ζ θ Ψx) dx ) Βλέπουμε ότι: x d+ x α δ ε θ ζ θ Ψx) λ d+ c λ x λ+α δ ε θ ζ θ Ψx) Τώρα, φτάνουμε στο εξής συμπέρασμα: Θεωρούμε την πεπερασμένη συλλογή F απο ημινόρμες αi,β i όπου α i όλοι οι πολυδείκτες με α i α +d+ και β i όλοι οι πολυδείκτες με β i β +[M]+d+. Για κάθε Ψ S F βλέπουμε ότι: και x α δ ε θ ζ θ Ψx) sup x x λ+α δ ε θ ζ θ Ψx) sup x x α δ ε θ ζ θ Ψx) x λ+α δ ε θ ζ θ Ψx) = Ψ α δ ε θ, ζ θ = Ψ λ+α δ ε θ, ζ θ με την προυπόθεση οτι οι πολυδείκτες δ, ε, ζ, θ, λ ικανοποιούν τους περιορισμούς που έχουν προαναφερθεί. Συνεπώς, τα δύο ολοκληρώματα στην σχέση ) είναι πεπερασμένα και μικρότερα απο μια σταθερά c η οποία εξαρτάται απο την διάσταση d καθώς και τους πολυδείκτες α, δ, ε, ζ. Επομένως, λόγω αυτού του αποτελέσματος και της σχέσης 0) έχουμε ότι: ξ β δ + γ α δ ε Ψξ) cα,β,γ,δ,ε,d Με την σειρά του, το τελευταίο αποτέλεσμα χρησιμεύει στην ακόλουθη εκτίμηση στην σχέση 9): {ξ: 2 k k 0 ξ 2 k k 0 + } ξ β δ + γ α δ ε Ψξ) ξ γ dξ c α,β,γ,δ,ε,d {ξ: 2 k k 0 ξ 2 k k 0 + } ξ γ dξ 4

17 c α,β,γ,δ,ε,d 2 k k k k 0 dr = c r γ d+ α,β,γ,δ,ε,d,m 2 k k 0+) γ d) c α,β,γ,δ,ε,d,m,k 0 2 k M όπου στην δεύτερη ανισότητα κάναμε αλλαγή σε πολικές συντεταγμένες. Επομένως, βάση των τελευταιών αποτελεσμάτων και της σχέσης 8) έχουμε: {ξ: 2 k k 0 ξ 2 k k 0 + } Τέλος, απο την σχέση 7) έχουμε ότι: ) ξ a β η k ξ) dξ c α,β,m,φ,d sup x a β η k x) x A 2 k M όπου η σταθερά A εξαρτάται απο την διάσταση d, τo M τους πολυδείκτες α, β καθώς και την Φ. 2 k M Πόρισμα 2.2. Αν M Φ f L ) τότε υπάρχει συλλογή F απο ημινόρμες τέτοια ώστε: MF f c d,φ M Φ f Απόδειξη. Έστω Ψ S Fα όπου F α η συλλογή ημινορμών απο το Λήμμα 2.2 με β = 0,.., 0) και M = 2d + 2. Τότε: M Ψ fx) = sup f Ψt x) sup = sup sup sup t d t d = sup + k=0 + k=0 + k=0 + k=0 + k=0 f ) η k Φ x) 2 k t = ) f Φ2 t) k ηk x) t = f Φ2 t) x y) k t η y ) d k t dy ) ηk y ) f Φ 2 k t x y) dy t M Φ,dfx) + y 2 k t ) d+ η k y t ) dy 5

18 Στην τελευταία σχέση, κάνoντας αλλαγή μεταβλητής y y t έχουμε: t d 2 kd+) + 2k y t ) d+ y ) η k dy = t ) d+ ) + y ηk y dy 2 kd+) + 2 k y ) d+ ηk y ) dy 2d+2 ) + y ) η k y ) d+ dy ) + y Τώρα, θα εκτιμήσουμε την ποσότητα στον αριθμητή του κλάσματος που εμφανίζεται στο ολοκλήρωμα της σχέσης ) : Για y : για y > : + y ) 2d+2 ηk y ) 2 2d+2 η k y ) 2) ) 2d+2 ) + y ηk y 2 2d+2 y ) 2d+2 η k y 2 2d+2 α 2d+2 c α y α η k y ) 3) Για κάθε πολυδείκτη α με α 2d+2 χρησιμοποιούμε το Λήμμα 2.2 για την συλλογή F α απο ημινόρμες και έχουμε για κάθε Ψ S Fα : sup y yα η k y) A α,d,φ 2 k 2d+2) 4) Επειδή το πλήθος των πολυδεικτών α με την ιδιότητα α 2d + 2 είναι πεπερασμένο, ορίζω A d,φ = A α,d,φ και F = F α. max α 2d+2 α 2d+2 Άρα, υπάρχει σταθερά A d,φ που εξαρτάται απο την διάσταση d και την Φ τέτοια ώστε οι ποσότητες στις σχέσεις 2) και 3) φράσονται απο: για κάθε Ψ S F. A d,φ 2 k 2d+2) 5) Συνεπώς, στην σχέση ) έχουμε την ακόλουθη εκτίμηση, βάση της 5): 2 kd+) 2d+2 ) + y ) ηk y ) d+ dy 2 kd+) A d,φ 2 + y k 2d+2) ) d+ dy + y A d,φ 2 A d,φ 6) kd+) 2 k Παρακάτω θα πάρουμε άθροισμα ώς προς όλα τα k N και όπως είναι γνωστό μας ενδιαφέρει η 6

19 συμπεριφορά της σειράς στην "ουρά" δηλαδή για το άθροισμα απο έναν φυσικό αριθμό και πέρα. Αφού το αποτέλεσμα στην 6) ισχύει για k k 0 το οποίο k 0 εμφανίστηκε στην απόδειξη του Λήμματος 2.2, μας δίνεται το δικαίωμα να παραλείψουμε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, το γέγονός ότι για k < k 0 δεν ισχύει η 6). Συνεπώς, λόγω της 6) έχουμε: M F fx) = sup M Ψ fx) sup Ψ S F Τέλος απο το Πόρισμα 2. έχουμε το ζητούμενο. A d,φ M Φ,d fx) + k=0 2 k = 2 A d,φ M Φ,d fx). Λήμμα 2.3. Για την Φ έχουμε ότι: M Φf c d,φ M Φ f Απόδειξη. Αρχικά θα υποθέσουμε οτι: M Φ f < + ) Για την F που επιλέξαμε πριν και για λ > 0 ορίζουμε: F λ := { } x : M F fx) λ MΦfx) Οπότε, λόγω αυτού του ορισμού και του Πορίσματος 2.2 έχουμε τις ακόλουθες εκτιμησεις: F c λ M Φfx) dx λ F c λ M F fx) dx λ M F fx) dx = MF f λ c d M Φ f λ Αν διαλέξουμε λ = 2c d τότε: M Φfx) dx 2 M Φ f F c λ Συνεπώς, MΦfx) dx = M Φ f M Φfx) dx M Φ f 2 M Φ f = M 2 Φ f F λ δηλαδή: F c λ M Φ f 2 MΦfx) dx ) F λ Σταθεροποιούμε το λ που επιλέξαμε παραπάνω και θα χρησιμοποιούμε το συμβολισμό F για το σύνολο F λ. 7

20 Έστω τώρα x. Άν M Φ fx) = 0 τότε f Φ t ȳ) 2 M Φ fx) για κάθε ȳ, t) με x ȳ < t. Άν MΦ fx) > 0 τότε από τον ορισμό του supremum έχω ότι: ȳ, t) με x ȳ < t τέτοια ώστε: f Φ t ȳ) > 2 M Φ fx) 2) Τώρα έστω r > 0 αρκετά μικρό, το οποίο θα προσδιορίσουμε αργότερα. Τότε ορίζω την μπάλα με κέντρο ȳ και ακτίνα r t. Από το Θεώρημα Μέσης τιμής έχω οτι για x υπάρχει ξ όπου ξ = c)ȳ + cx για κάποιο c [0, ], τέτοιο ώστε: f Φ t x ) f Φ t ȳ) x ȳ f Φ t) ξ). Όμως x ȳ r t και ξ ȳ r t άρα η παραπάνω ανισότητα γίνεται: και αφού x ȳ t τότε: f Φ t x ) f Φ t ȳ) r t f Φ t x ) f Φ t ȳ) r t = r t sup z r+) t ) Επίσης, zi f Φ t x) = t f zi Φ x) 4) ) t sup z ȳ r t sup z x r+) t f Φ t) z) f Φ t) x + z) 3) f Φ t) z) = Επειδή οs ) είναι μετρικός χώρος τότε κάθε ακολουθιακά συμπαγές σύνολο είναι και συμπαγές. { } Επομένως, το σύνολο συναρτήσεωνs i := zi Φx + h) : h r +, i =,.., d είναι συμπαγές: Σταθεροποιώ ένα i και παίρνω ακολουθία zi Φx + h n ) με h n r +. Τότε, υπάρχουν υποακολουθία h nk και h τέτοια ώστε h nk n k + h. Επομένως: zi Φx + h nk ) n k + z i Φx + h) στον s ) Όμως h r + και άρα zi Φx + h) s i. Συνεπώς η ένωσηs των συνόλων αυτών είναι συμπαγές σύνολο, ως πεπερασμένη ένωση συμπαγών συνόλων. Τώρα, οι ημινόρμες α,β της πεπερασμένης συλλογής F είναι εξ' ορισμού συνεχή συναρτησοειδή και άρα για το συμπαγές σύνολοs θα ισχύει το θεώρημα μέγιστης τιμής: zi Φx + h) α,β c α,β,i Όμως οι πολυδείκτες α, β καθώς και τα i είναι πεπερασμένα το πλήθος συνεπώς ορίζουμε ως c: c := max α,β,i c α,β,i 8

21 Οπότε, προκύπτει οτι c z i Φx + h) S F για κάθε h r +. Επίσης: f zi Φ ) t x + h t) = f = f τ ) ) x+h t zi Φ t = f τ x τ h t zi Φ t) )) = f τ ) ) ) x τh t zi Φ t = τ x τ h zi Φ ) t )) = = f τ x Ψ t ) = f Ψ t x) όπου Ψx) = τ h zi Φx) = zi Φx + h). Όμως παραπάνω είδαμε ότι Ψ c S F για κάθε h r +, συνεπώς: f zi Φ x + h t) = f ) t Ψ t x) c M F fx) για h r + Χρησιμοποιώντας την σχέση 4) και το τελευταίο αποτέλεσμα, προκύπτει ότι: f Φ t ) x + h t) = t d i= Η τελευταία σχέση ισχύει για κάθε h r + άρα: f zi Φ x + h t) ) t 2 c dm F fx) t sup z r+) t ) c dm F fx) f Φ t x + z) t 5) Επιστρέφουμε τώρα στην 3) και χρησιμοποιώντας την 5) έχουμε: f Φ t x ) f Φ t ȳ) r c d MF fx) Αν περιοριστούμε στα x F και χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό αυτού του συνόλου, η τελευταία σχέση δίνει: f Φ t x ) f Φ t ȳ) 2r c dcd M Φfx) Οπότε, άν επιλέξουμε r = 4 2c εξαρτάται απο την διάσταση d και την Φ) έχουμε ότι: dc d f Φ t x ) f Φ t ȳ) f Φ t x ) f Φ t ȳ) 4 M Φfx) και λόγω της 2) έχουμε τελικά: για x F και για κάθε x. f Φ t x ) 4 M Φfx) 6) Τώρα, ορίζουμε := x, r t + t) και βλέπουμε οτι. Αν σταθεροποιήσουμε 0 < q < τότε λόγω της 6) έχουμε: 9

22 [ ] q MΦfx) 4 q Επειδή r + ) d, = r + ) d δηλαδή r = r [ M Φfx) ] q r + 4 r c d c d sup δ>0 x, δ) f Φ t x ) q dx 7) ) d MΦ f x ) q dx x,δ) και λόγω της 7) έχουμε: f Φ t x ) q dx MΦ f x ) q dx = = c d M MΦ f ) q ) x) 8) r + όπου M ο μεγιστικός τελεστής των Hardy-Li lewood και c d = 4 r Άρα απο την ) και την 8) έχουμε: M Φ f 2 ) c q d ) d [ MΦ M f ) ) ] q q x) dx c d F [ MΦ M f ) ) ] q q x) dx 9) Όπως είναι γνωστό ο μεγιστικός τελεστής των Hardy-Li lewood είναι ισχυρά p, p) για p >, δηλαδή για f L p ) Mf p c p,d f p 0) Aν πάρoυμε p = q > έχουμε: [ MΦ f ) ] q pdx x) = M Φ fx)dx < + δηλαδή, MΦ f ) q L p ) Οπότε, απο την 0) έχουμε ότι: MΦ M f ) ) q p c p,d MΦ f ) q p 20

23 [ MΦ M f ) ) ] p q x) dx c p p,d Επομένως απο τις 9) και ) προκύπτει ότι M Φ f p M Φ fx)dx = cp,d c q,d MΦ f MΦ f ) Όπου η σταθερά c q,d εξαρτάται απο την διάσταση d, απο το σταθεροποιημένο q που επιλέξαμε παραπάνω και την Φ. Τώρα, θα σκιαγραφίσουμε την απόδειξη στην περίπτωση που η ) δεν ισχύει αναγκαστικά. Θεωρούμε μια παραλλαγή της MΦ η οποία ορίζεται ώς εξής: M ε,l Φ fx) := sup f Φ t y) x y <t< ε με 0 < ε και L > 0 το οποίο θα προσδιορίσουμε σύντομα. t L ε + t + ε y ) L Αρχικά, ξέρουμε οτι εφόσον f κατανομή, τότε υπάρχουν k και C > 0 τέτοια ώστε: Συνεπώς, Όμως με απλές πράξεις έχουμε : fϕ) C pk ϕ) για κάθε ϕ s ) f ϕy) C pk τy ϕ) f Φt y) max { t k, t k} ) C + y 2 k 2 ) p k Φ Οπότε μπορώ να επιλέξω L αρκετά μεγάλο ώστε για κάθε 0 < ε να έχω M ε,l Φ f L ). Ακολουθώντας τα ίδια βήματα με πριν, καταλήγουμε στην ανισότητα: t d M ε,l Φ f c L MΦ f όπου c L εξαρτάται απο το σταθεροποιημένο L, απο την Φ και ίσως απο την f. Αφήνοντας το ε 0 + έχουμε οτι: Aν M Φ f L ) τότε: και άρα η ) μπορεί να παρακαμφθεί. M Φ f < + Απο αυτά, εύκολα προκύπτει η απόδειξη του Θεωρήματος 2.: Απόδειξη. Αν M Φ f L ) τότε απο το Λήμμα 2.3 έχουμε ότι: M Φf L ) και M Φ f c d,φ MΦ f ) 2

24 Τώρα, απο το Πόρισμα 2.2 βλεπουμε οτι άν ισχύει η ) τότε: M F f L ), και M F f c d,φ M Φ f Η συλλογή F είναι πεπερασμένη, οπότε μπορώ να βρώ μια σταθερά c Φ που εξαρτάται μόνο από την Φ τέτοια ώστε: για κάθε μια απο τις ημινόρμες της συλλογής F. Δηλαδή Φ c Φ S F και άρα: Φ c Φ αi,β i MΦ f c Φ MF f Παρατήρηση Έστω f s ). Αν υπάρχει Φ s ) με Φ 0 τέτοια ώστε M Φ f L, τότε μπορούμε να βρούμε πεπερασμένη συλλογή F απο ημινόρμες, ανεξάρτητη απο την Φ εξαρτάται μόνο απο την διάσταση d) με: M Φ f c Φ M F f c d,φ M Φ f Προφανώς, για οποιαδήποτε άλλη Ψ s ) με Ψ 0 έχουμε: MΨ f c Ψ MF f c d,ψ MΨ f και άρα υπάρχουν σταθερές c, c που εξαρτώνται απο τις Φ, Ψ και την διάσταση d τέτοιες ώστε: c MΨ f MΦ f c MΨ f Πόρισμα 2.3. Έστω M F f L ). Τότε για Φ όπως παραπάνω έχουμε ότι: M Φ f L ) Απόδειξη. Σταθεροποιούμε ένα x και έστω y με y x <. Έχουμε: f Φ t x) sup f Φ t z) sup y z < y z <t t >0 f Φ t )t z) = sup y z <tt tt >0 f Φ tt z) = M Φfy) 22

25 και επομένως, f Φ t x) x x MΦfy)dy με x = x, ). Όπως ξέρουμε, x = 0, ) =: c d και άρα: f Φ t x) c d MΦfy)dy = c d MΦf Όμως απο το Λήμμα 2.3 και το Θεώρημα 2.: Παίρνουμε supremum ως προς t > 0: f Φ t x) c d,φ MΦ f M Φ fx) c d,φ MΦ f και αφού αύτο ισχύει για κάθε x συνεπάγεται το ζητούμενο. Παρατήρηση Oρίζουμε μια νέα συλλογή από ημινόρμες, την F M που ορίζεται ως εξής: { } Με M = max α i, β i { } F M := α,β για α M, β M όπου αi,β i F. Προφανώς έχουμε ότι F F M και εύκολα προκύπτει ότι S FM και επομένως, με την προυπόθεση οτι M F f L. M FM fx) M F fx) MFM f MF f S F. Άρα: Λήμμα 2.4. Έστω μια πεπερασμένη συλλογή F απο ημινόρμες. Τότε, υπάρχει M N τέτοιο ώστε F F M. Έστω ϕ C ) με supp ϕ όπου μπάλα με ακτίνα r. Έστω f L ). Αν α ϕ c για κάθε α M και c σταθερά που εξαρτάται μόνο απο το Μ) r d+ a τότε: fx)ϕx)dx c M FM f x) c M F f x) 23

26 για κάθε x. Απόδειξη. Η δεύτερη ανισότητα προκύπτει απο την τελευταία παρατήρηση. Τώρα, για x ορίζω: ψy) := r d ϕ x ry) α) Τότε βλέπουμε ότι: ϕy) = ψ r x y) β) και άρα: fy)ϕy)dy = fy)ψ r x y)dy 2) Επίσης, αν x 0 το κέντρο της τότε απο την α) και αφού supp ϕ, για ψy) 0 έχουμε: και άρα x x 0 r y x x 0 r y y + x x 0 r 2 Eξ' ορισμού, για κάθε β M έχουμε ότι β ψy) c και άρα για κάθε α M: y α β ψy) 2 α c 2 M c = c, άρα: Οπότε με χρήση της 3) έχουμε: ψ c S FM 3) fy)ψ r x y)dy c sup = c M ψ c f x) c fy) ψ t x y) c dy = sup M Φ f x) = c M FM f x) Φ S FM 24

27 Κεφάλαιο 3 Διάσπαση Whitney και γενίκευση της διάσπασης Calderón Zygmund Τώρα θα δούμε ένα θεώρημα, γνωστό και ώς Διάσπαση κατά Whitney. Θεώρημα 3.. Έστω O ανοιχτό. Τότε, υπάρχει μια συλλογή κύβων F = τέτοια ώστε: i) = O ii) k Q k Q k ξένοι ανά δύο iii) diam Q k ) dist Qk, O c) 4 diam Q k ) { } Q, Q 2,.. Απόδειξη. Θα δούμε την απόδειξη περιγραφικά. Έστω M k, k Z η συλλογή απο κύβους με ακμή 2 k και κορυφές τα σημεία a,..., a d Z. a 2 k,..., a d 2 k ) Προφανώς αν Q M k έχουμε ότι diam Q ) d = 2. k Ένας κύβος Q της συλλογής M k περιέχει 2 d ακριβώς, κύβους της συλλογής M k+ οι οποίοι τέμνουν τις πλευρές του Q. Ορίζουμε O k := { x τέτοια ώστε επιλέξουμε αργότερα. Επίσης, βλέπουμε ότι k Z O k = O. c 2 < dist x, O c) c }, όπου c > σταθερά που θα k 2 k όπου Ορίζουμε αρχικά μια συλλογή κύβων F 0. Αργότερα, θα πάρουμε την ζητούμενη συλλογή, εξάγωντας κάποιους κύβους. Έχουμε, και τότε βλέπουμε ότι Q F 0 Q = O. F 0 := k Z { Q M k } : Q O k Επιλέγουμε c = 2 d. Αν Q F 0 απο τους ορισμόυς των diam και dist παίρνουμε την ιδιότητα iii). Για να προχωρήσουμε στην απόδειξη της ii), κάνουμε μια παρατήρηση: Έστω Q k M k και Q k2 M k2 με k k 2. Τότε αν Q k Q k2, έχουμε οτι: Ειδικότερα, έχουμε Q k Q k2 όταν k k 2. Q k Q k2 ή Q k2 Q k 25

28 Βάση αυτής της παρατήρησης, για κάθε Q F 0 υπάρχει μοναδικός κύβος Q F 0 με Q Q και Q ο μεγαλύτερος κύβος της συλλογής F 0 με αυτή την ιδιότητα. Οπότε, απο αυτούς τους "μεγιστικούς" κύβους Q φτιάχνουμε την συλλογή F του Θεωρήματος 3., η οποία πληροί και τις τρείς ιδιότητες. Παρατήρηση Αν Q, Q 2 κύβοι της συλλογής F, τότε λέμε οτι αυτοί "εφάπτονται" αν Q Q 2 Βάση αυτού του ορισμού, προχωράμε στο ακόλουθο πορισμα του θεωρήματος 3.. Πόρισμα 3.. ) Αν Q, Q 2 F εφάπτονται, τότε: 4 diamq 2) diamq ) 4 diamq 2 ). 2) Aν Q F τότε υπάρχουν N το πολύ κύβοι της συλλογής F που εφάπτονται με τον Q, όπου N = 2 d. 3) Έστω < β < 5 4. Τότε απο την συλλογή F δημιουργούμε μια συλλογή F ώς εξής: Αν Q k F, k N με κέντρο x k και ακμή λ k θεωρούμε τον κύβο Q k με το ίδιο κέντρο και ακμή β λ k Τότε, για κάθε x O υπάρχουν N το πολύ κύβοι Q k τέτοιοι ώστε x Q k Αυτό θα το ονομάζουμε "Ιδιότητα της φραγμένης τομής") Απόδειξη. Προφανής. Προχωράμε τώρα σε μια γενίκευση της γνωστής διάσπασης κατα Calderón Zygmund: Θεώρημα 3.2. Έστω f L ), α > 0 και μια συλλογή F απο ημινόρμες, έτσι ώστε M F f L ). Tότε υπάρχει μια διάσπαση της f με f = g + b όπου b = b k και μια συλλογή κύβων k N { } Q k τέτοια ώστε: ) Η gx) είναι φραγμένη, με gx) cα για σ.κ x 2) Για κάθε b k έχουμε ότι supp b k Q k, b k x)dx = 0 και Q k M Φ b k x)dx c d,φ Για Φ C ), suppφ 0, ) και Φx)dx 0. 3) Οι κύβοι Q k έχουν την ιδιότητα της φραγμένης τομής και Q k M F fx)dx 26

29 k N Q k = { x : M F fx) > α } Απόδειξη. Έστω O = { x : M F fx) > α }. Τότε απο διάσπαση κατά Whitney, υπάρχει συλλογή απο κύβους { Q, Q 2,... } με κέντρο x k και ακμή λ k τέτοιοι ώστε: i) ii) k Q k = O Q k ξένοι ανά δύο iii) diam Q k ) dist Qk, O c) 4 diam Q k ) για κάθε k N. Τώρα παίρνουμε < α < β < 5 4 και επιλέγουμε το β αρκετά κοντά στο, ώστε για τους κύβους Q k όπως τους ορίσαμε στο Πόρισμα 3., να ισχύει k Q k = O. Επίσης οι Q k έχουν την ιδιότητα της φραγμένης τομής. Οπότε, προφανώς k Q k = O όπου Q k κύβος με ακμή αλ k και κέντρο x k. Τώρα, μπορούμε να βρούμε μια συνάρτηση ζ με ζx) 0, ζ C ) τέτοια ώστε: ζ στον κύβο με κέντρο 0 και ακμή και ζ 0 έξω από τον κύβο με κέντρο 0 και ακμή α. Συνεχίζουμε, ορίζωντας τις συναρτήσεις ζ k. Άν x k το κέντρο του κύβου Q k και λ k η ακμή του ορίζουμε: οι οποίες είναι C ) συναρτήσεις. Επιπρόσθετα, παρατηρούμε ότι supp ζ k Q k. x xk ) ζ k x) := ζ, λ k Μετά ορίζουμε τις χρήσιμες για την απόδειξη συναρτήσεις η k : ζ k x) ζ j x), για x O η k x) := j 0, για x O c Παρατηρούμε ότι το άθροισμα στον παρονομαστή είναι πάνω σε πεπερασμένα το πλήθος j, καθώς και ότι το άθροισμα είναι μεγαλύτερο του 0, γιατί κάθε x O ανήκει σε τουλάχιστον ένα και σε N το πολύ κύβους Q k τα ίδια ισχύουν και για τους Q k ως υποσύνολα των Q k ). Άρα ζ j x) N ) j 27

30 Επιπλέον, παρατηρούμε ότι supp η k Q k καθώς και ότι αυτές οι συναρτήσεις δημιουργούν μια διαμέριση της μονάδας, δηλαδή: k N η k x) = για x O 2) Από τον ορισμό των η k προκύπτει ότι για γ M όπου M N όπως είδαμε στην παρατήρηση πρίν το Λήμμα 2.4), έχουμε: γ η k x) c γ λ γ k 3) όπου c γ εξαρτάται από το γ και την σταθεροποιημένη ζ. Άν για χάρη ευκολίας πάρουμε μια παραλλαγή των η k : η k x) := η kx) η k y)dy Q k Συνεπάγεται από τις ), 3) και 4) ότι 4) γ η k x) c γ N λ d+ γ k Τώρα προχωράμε στην κατασκευή των συναρτήσεων b k x): Αρχικά, ορίζουμε τις σταθερέςck ως εξής: οπότε ορίζω: Τότε, έχουμε ότι ck := b k x)dx = 0 για κάθε k N. 5) fx) η k x)dx b k x) := [ fx) ck] ηk x) Τώρα, ορίζουμε: η k x), για x O k Nck gx) = fx), για x O c 28

31 Επομένως, από την σχέση ) καθώς και από τον ορισμό των συναρτήσεων b k προκύπτει για x O ότι: fx) = gx) + k N b k x) Συνεχίζουμε, για να αποδείξουμε την ιδιότητα ) του Θεωρήματος. Για να το πετύχουμε αυτό, θα δείξουμε πρώτα ότι ck cα με c σταθερά ανεξάρτητη του k. Από την ιδιότητα 3) του Θεωρήματος 3. προκύπτει ότι για κάθε k υπάρχει x O c τέτοιο ώστε: diamq k ) dist x, Q k ) 5diamQ k ) Δηλαδή, d λk dist x, Q k ) 5 d λ k Βάση αυτής της παρατήρησης, προχωράμε και ορίζουμε ως την μπάλα με κέντρο το x k και ακτίνα 6 d λ k. Τότε εύκολα βλέπουμε ότι Q k 6) Επίσης, έχουμε x. Άρα χρησιμοποιούμε το Λήμμα 2.4 με ϕx) = η k x). Βλέπουμε οτι ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Λήμματος από τις σχέσεις 5) και 6) και αφού x έχουμε: ck = fx) η k x)dx c M N M F f x) 7) Τώρα, x O c και εξ ορισμόυ του συνόλου O έχουμε ότι M F f x) α. Συνεπώς, από την τελευταία παρατήρηση και την σχέση 7) έχουμε ότι: ck c M,d α 8) Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία, για x Q k έχουμε ότι: ck c M,d M F fx ) 9) Άρα από τον ορίσμο της gx) για x O και τις σχέσεις 2) και 8) έχουμε ότι gx) c M,d α 0) Τώρα, θυμόμαστε απο την απόδειξη του Θεωρήματος 2. ότι υπάρχει c Φ τέτοιο ώστε: Φ c Φ S F ) 29

32 Και αφού f L ) έχουμε ότι: lim f Φt x) = fx) για σ.κ. x t 0 + Οπότε, λόγω της ) έχουμε για σχεδόν κάθε x O c : fx) = lim t 0 + f Φt x) sup f Φt x) cφ sup Και άρα, απο τον ορισμό της g έχουμε για σχεδόν κάθε x O c : gx) c Φ α 2) ) Φ f x) c Φ M F fx) c Φ α τώρα, παίρνουμε c := max { c M,d, c Φ } εξαρτάται απο την διάσταση d και την Φ) και απο τις 0), 2) έχουμε την ιδιότητα ) του θεωρήματος. Προχωράμε για να αποδείξουμε την ανισότητα στην ιδιότητα 2). Θα αποδείξουμε τα εξής: a) για x Q k, M Φ b k x ) c d,φ M F fx ) c Φ t Για το a) παρατηρούμε ότι: ) d+ b) για x Q k, M Φ b k x) c λk d,φ α x x k M Φ b k x ) = M Φ fηk ckη k ) x ) M Φ fηk ) x ) + M Φ ckη k ) x ) 3) Προχωράμε στην εκτίμηση αυτών των δύο ποσοτήτων. Για την δεύτερη ποσότητα έχουμε: sup ) ckη k Φt x ) = ck Όμως εξ' ορισμού 0 η k : η k y)φ t x y)dy sup Φ t x y) η k y)φ t x y)dy 4) dy = 0,) Φy) dy cd,φ 5) Όπου c d,φ σταθερα που εξάρτάται απο την διάσταση d και απο την σταθεροποιημένη Φ. Άρα απο την 4), χρησιμοποιώντας τις 9) και 5) παίρνουμε ότι: M Φ ckη k ) x ) c d,φ M F fx ) 6) Θα δείξουμε κάτι παρόμοιo για την πρώτη ποσότητα στην 3). 30

33 Ξέρουμε ότι fηk ) Φt x ) = και θα πάρουμε τις περιπτώσεις t λ k και t > λ k. fy)η k y)φ t x y)dy 7) Για t λ k παρατηρούμε ότι για την συνάρτηση ϕy) := η k y)φ t x y) έχουμε supp ϕ x, t). Επίσης, με χρήση των κανόνων παραγώγισης, αλλά και επειδή t λ k : γ ϕ c γ,φ t γ +d όπου η σταθερά c γ,φ εξαρτάται απο το M και την Φ. Άρα, κάνοντας χρήση του Λήμματος 2.4 για την ϕ παίρνουμε: x,t) fy) ϕy) dy c M,Φ M F fx ) fy) η k y) Φ t x y)dy c M,Φ M F fx ) ) f η k Φt x ) c M,Φ M F fx ) για t λ k 8) Τώρα για t > λ k παρατηρούμε ότι για την συνάρτηση ϕy) := η k y)φ t x y) έχουμε: supp ϕ x, β dλ k ) Επίσης, με χρήση των κανόνων παραγώγισης, αλλά και επειδή t > λ k : γ ϕ c γ,φ λ γ +d k = c γ,φ β dλk ) γ +d όπου η σταθερά c γ,φ εξαρτάται απο το M και την Φ. Άρα, κάνοντας χρήση του Λήμματος 2.4 για την ϕ παίρνουμε τελικά: ) f η k Φt x ) c M,Φ M F fx ) για t > λ k 9) Και απο τις σχέσεις 8) και 9) για c Φ := max{c M,Φ, c M,Φ} το M εξαρτάται απο την Φ) παίρνουμε: M Φ fηk ) cφ M F fx ) 20) και τελικά απο τις 3), 6) και 20) προκύπτει το a), με c d,φ := c Φ + c d,φ. Συνεχίζουμε και προχωράμε στην απόδειξη του b). Όταν x Q k τότε: 3

34 b k Φ t x) = b k y) Φ t x y)dy = Q k Με την τελευταία ισότητα να προκύπτει επειδή Q k [ ] b k y) Φ t x y) Φ t x x k ) dy 2) Q k b k y)dy = 0 Xρησιμοποιώντας τον ορισμό των b k καταλήγουμε απο την 2): b k Φ t x) = [ ] fy) η k y) Φ t x y) Φ t x x k ) dy [ ] ck η k y) Φ t x y) Φ t x x k ) dy Q k Q k := I I 2 Τώρα για το I έχουμε: Αν y Q k τότε ορίζουμε: [ ] ϕy) := η k y) Φ t x y) Φ t x x k ) Απο τους κανόνες παραγώγισης και αφού x y t ή x x k t ) για κάθε y Q k λόγω του φορέα της Φ) προκύπτει για την ϕ ότι: γ ϕy) A γ λ k x x k d+ λ γ k ) d+ λk = A γ x x k λ γ +d k 22) Οπότε, αν ορίσουμε ως την μπάλα με κέντρο το x k και ακτίνα 6 dλ k είδαμε ότι υπάρχει x O c τέτοιο ώστε x. Άρα, απο το Λήμμα 2.4 έχουμε ότι: αφού x O c. ) d+ ) d+ λk I A M,d M F fx λk ) A M,d α 23) x x k x x k Για το I 2 τώρα, απο την 22) για γ = 0 παίρνουμε: Οπότε απο την 9) και την 24) έχουμε: I 2 c M,d ck Q k ϕy) A 0 λ k x x k d+ dy c M,d α Q k λ k 24) d+ x x k ) d+ λ k c λk x x k d+ M,d α 25) x x k Άρα ορίζουμε c M,d := max{a M,d, cm,d }. Ύστερα παίρνοντας απόλυτη τιμή στην 2) και supremum 32

35 ως πρός t > 0, προκύπτει, χρησιμοποιώντας τις 23) και 25) η ιδιότητα b). Περνάμε τώρα στο τελευταίο στάδιο της απόδειξης της ιδιότητας 2). Έχουμε: ) ) ) bk x)dx = M Φ bk x)dx + M Φ bk x)dx 26) M Φ Q k \ Q k Για την πρώτη ποσότητα στην 26) χρησιμοποιούμε το a) και για την δεύτερη το b). ) ) d+ bk x)dx c d,φ M F fx)dx + c λk d,φ α dx = x x k M Φ = c d,φ Q k M F fx)dx + c d,φ α \ Q k ) d+ λk dx 27) x x k Q k \ Q k Στην 27) θα εκτιμήσουμε την δεύτερη ποσότητα. Έχουμε αρχικά ότι Άρα, \ Q k \ Q k { x : x x k { x : x x k > } d λk Q k 4 } d λk := C 28) 4 Επομένως το δεύτερο ολοκλήρωμα στην 27) γίνεται: ) d+ ) d+ λk λk dx dx = c d λk d x x k x x k Άρα απο τις 27) και 29) παίρνουμε τελικά: M Φ b k x) dx c d,φ = c d,φ C Q k M F fx) dx + c d,φ M F fx) dx + c d,φ c d α dx = c d Q k 29) α Q k c d,φ Q k M F fx) dx + c d,φ Q k M F fx) dx = c d,φ M F fx) dx Q k Q k Q k Με την πρoτελευταία ανισότητα να ισχύει επειδή M F fx) > α για x Q k και c d,φ := c d,φ + c d,φ 33

36 Κεφάλαιο 4 Οι χώροι H at ) και H ) Oρισμός 4.. Μια μιγαδική συνάρτηση a : C λέγεται άτομο όταν ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες: i) ο φορέας της a είναι μια μπάλα ii) a iii) ax) dx = 0 Πόρισμα 4.. Άν a άτομο τότε a L ) και: a Απόδειξη. Απο τις ιδιότητες ) και 2) έχουμε διαδοχικά: ax) dx = ax) dx dx = Λήμμα 4.. Έστω Φ C ) με suppφ 0, ) και Φx)dx 0. Αν a άτομο έχουμε ότι: M Φ ax) dx c d,φ Με c d,φ σταθερά, ανεξάρτητη απο το άτομο a εξαρτάται μόνο απο την Φ και το d). Απόδειξη. Έστω := x, r) ο φορέας του ατόμου a και := x, 2r). Τότε για x : M Φ ax) = sup a Φt x) = sup sup ay) Φt x y) dy sup = 0,) Φy) dy = ay) Φ t x y)dy c Φ Φt x y) dy = ) 34

37 Άρα λόγω της ) παίρνουμε ότι Για x παρατηρούμε ότι: a Φ t x) = = M Φ ax) c Φ για x M Φ ax)dx cd,φ 2) ay) Φ t x y)dy = ay) [ ] Φ t x y) Φ t x x) dy ay) Φ t x y)dy = με την τελευταία ισότητα να ισχύει λόγω της ιδιότητας iii) του ατόμου a. Άρα, a Φt x) ay) [ ] Φ t x y) Φ t x x) dy Φ t x y) Φ t x x) dy 3) Τώρα θα εκτιμήσουμε την ποσότητα στο τελευταίο ολοκλήρωμα. Επειδή Φ C ) από το Θεώρημα Μέσης τιμής, υπάρχει ξ όπου ξ = c)y + c x για κάποιο c [0, ], τέτοιο ώστε: Φ t x y) Φ t x x) y x y [ Φt x ξ) ] r y [ Φt x ξ) ] 4) Τώρα, [ y Φt x ξ) ] y Φ ) x ξ ) 5) t d+ t Όμως επειδή x y t λόγω του φορέα της Φ ) και αφού y και x τότε: x ξ t ξ y + y x t 2 y x t Άρα, αφού Φ C ) τότε υπάρχει c Φ > 0 τέτοιο ώστε: y Φ ) y) c Φ για κάθε y 0, 2) Οπότε με χρήση της 5) παίρνουμε ότι y [ Φt x ξ) ] c Φ 6) d+ t 2 35

38 Συνεπώς απο τις 4), 6) και επειδή x x 2t παίρνουμε την εκτίμηση που ζητούσαμε: cd,φ Φ t x y) Φ t x x) r x x d+ 7) Επομένως, χρησιμοποιώντας τις 3), 7) και παίρνωντας supremum ως προς t > 0 έχουμε για x : Τώρα, \ M Φ ax)dx c M Φ ax) r d,φ r \ c d,φ x x d+ dx = c d+ d,φ r c d x x r = c d,φ 8) Αν θέσουμε c d,φ := c d,φ + c d,φ τότε απο τις 2) και 8) παίρνουμε το ζητούμενο. Tώρα προχωράμε στους ορισμούς των χώρων που θα μας απασχολήσουν: Oρισμοί 4.2. Oρίζουμε τον εξής χώρο: Επίσης, H at ) := { λ j a j : a j άτομα, λ j C, j N j N } λj < + H ) := { f s ) : υπάρχει Φ s ) με } Φx)dx 0 τέτοια ώστε M Φ f L ) Απο τους ορισμούς αυτούς προκύπτουν τα ακόλουθα πορίσματα: Πόρισμα 4.2. Αν a άτομο τότε: a H at ) και επίσης a H ) Απόδειξη. Έχουμε ότι a H at ) εξ ορισμου του συνόλου αυτού. Για το δεύτερο κομμάτι, χρησιμοποιούμε το Λήμμα 4.. Είδαμε για Φ C ) με suppφ 0, ) και Φx)dx 0 : MΦ a c d,φ Οπότε, απο τον ορισμό του χώρου H ) έχουμε ότι a H ). 36

39 Τώρα θα αποδείξουμε ότι και οι δύο χώροι που μόλις ορίσαμε είναι υποσύνολα του L ). Πόρισμα 4.3. H at ) L ) Απόδειξη. Έστω f ένα στοιχείο αυτού του συνόλου. Τότε υπάρχουν λ j C με j N λ j < + και a j άτομα τέτοια ώστε fx) = j N λ j a j x) Άρα, fx) dx j N λ j a j x) j N λ j < + Με την προτελευταία ανισότητα να προκύπτει απο το Πόρισμα 4..Τέλος, παρατηρούμε ότι το τελευταίο αποτέλεσμα ήταν ανεξάρτητο από την επιλογή των λ j. Άρα: { f inf j N λ j : f = j N λ j a j, a j άτομα, λ j C } Πόρισμα 4.4. H ) L ) Απόδειξη. Έστω f H ). Άρα f s ) και υπάρχει Φ s ) με Φx)dx 0 τέτοια ώστε M Φ f L ) Τώρα, για t > 0 ορίζουμε τις συναρτήσεις h t με τύπο: h t x) := f Φ t x) Τότε έχουμε ότι h t L ) και απο το Πόρισμα 2.3 έχουμε h t L ) και ht MΦ f c d,φ MΦ f Τώρα είδαμε ότι η h t μπορεί να οριστεί και σαν κατανομή. Δηλαδή, για ψ s ) έχουμε: 37

40 h t ψ) = f Φ t ψ) := fψ Φ t ) Τότε, από ιδιότητες των συναρτήσεων στονs ) έχουμε ότι: ψ Φ t t 0 + ψ στονsrd ) συνεπώς από τον ορισμό μιας κατανομής έχουμε : Δηλαδή, fψ Φ t ) t 0 + fψ) για κάθε ψ s Rd ) h t ψ) t 0 + fψ) για κάθε ψ s Rd ) ) Eπειδή h t L ) τότε υπάρχει η εξής σύνδεση μεταξύ της συνάρτησης h t και της κατανομής h t : h t ψ) = Από τις σχέσεις ) και 2) προκύπτει ότι : s h t x) ψx)dx για κάθε ψ R d ) 2) h t x) ψx)dx t 0 + fψ) για ψ s Rd ) 3) Τώρα, όπως ξέρουμε: L ) M ) όπου M ) ο χώρος των πεπερασμένων μέτρων orel. Δηλαδή, h t M ) υπό την έννοια οτι ορίζεται µ ht M ) με: ) µ ht E = h t x) dx για κάθε E σύνολο orel. E Για κάθε προσημασμένο μέτρο ν, ξέρουμε απο την διάσπαση Jordan οτι υπάρχουν μοναδικά θετικά μέτρα ν +, ν τέτοια ώστε ν = ν + ν και ν + ν. Η τελευταία σχέση δηλώνει οτι το μέτρο ν + είναι ιδιάζων ως προς το ν και αντίστροφα), δηλαδή υπάρχουν μετρήσιμα E, F με E F =, E F = και ν + E) = ν F ) = 0. Επίπλέον, αν λ,λ 2 θετικά μέτρα με ν = λ λ 2 τότε για κάθε A μετρήσιμο: ν + A) λ A) και ν A) λ 2 A) 38

41 Ως ολική κύμανση ορίζεται το μέτρο ν = ν + + ν. Απο τα παραπάνω, προκύπτουν τα εξής: ) µ + h t E = h + t x) dx για κάθε E σύνολο orel. E µ h t E ) = h t x) dx για κάθε E σύνολο orel. E όπου h + t x) = max{h t x), 0} και h t x) = min{h t x), 0}. Τώρα, µht ht MΦ f, αρα λόγω του Θεωρήματος anach-alaoglu, υπάρχει υποακολουθία t m 0 + και µ M ) τέτοιο ώστε: Επίσης, µ MΦ f. µ ht m w µ i) t m 0 + Ξανά εφαρμόζουμε το παραπάνω θεώρημα για το μέτρο µ + h tm. Τότε, υπάρχει υποακολουθία t mk 0 + και µ M ) τέτοιο ώστε: µ + h tmk w t mk 0 + µ ii) Τέλος, υπάρχει υποακολουθία t mkl 0 + και µ 2 M ) τέτοιο ώστε: µ h t m kl w t mkl 0 + µ 2 iii) Συνεπώς, απο την μοναδικότητα του w ορίου έχουμε ότι µ = µ µ 2. Επίσης, η w σύγκλιση, διασφαλίζει οτι τα µ και µ 2 είναι θετικά μέτρα, ως w όρια ακολουθιών θετικών μέτρων. Επίσης, για A μετρήσιμο έχουμε οτι µ + A) µ A) και µ A) µ 2 A) 4) Επιστρέφουμε πίσω στην w σύγκλιση. Οι σχέσεις i), ii), iii) δίνουν: ψx) h tmkl x) dx t mkl ψx) ht mkl x) dx t mkl 0 + ψx) hh t x) dx m kl t mkl 0 + ψx) dµx) για κάθε ψ C 0 R d ) 5) ψx) dµ x) για κάθε ψ C 0 R d ) 6) ψx) dµ 2 x) για κάθε ψ C 0 R d ) 7) 39

42 Όμως ξέρουμε ότιs ) C 0 ) άρα απο τις σχέσεις 3) και 5) παίρνουμε: fψ) = s ψx) dµx) για κάθε ψ R d ) 8) Τώρα θα δείξουμε ότι το μέτρο µ είναι απόλυτα συνεχές. Επειδή το µ είναι θετικό πεπερασμένο μέτρο orel, έχουμε: Έστω ε > 0 και E σύνολο orel, με E < { } µ E) = sup µ K), K E συμπαγές υπάρχει U ανοιχτό σύνολο με K U τέτοιο ώστε U \ K < βρούμε συνάρτηση Ψ C ) τέτοια ώστε: Τότε, με χρήση της σχέσης 4): Επίσης, 9) ε 4 c d,φ MΦ f. Επίσης, έστω K E, K συμπαγές. Τότε ε 4 c d,φ MΦ f. Τώρα, μπορούμε να Ψ στο K, 0 Ψ στο U \ K και Ψ 0 στο \ U. µ K) µ K) + µ 2 K) + Ψx) ht mkl x) dx + Ψx) ht mkl x) dx = Ψx) dµ x) + U Ψx) dµ 2 x) 0) Ψx) htmkl x) dx U cd,φ MΦ f = Επειδή Ψ C 0 ), λόγω των 6), 7) προκύπτει: = U \ K + K ) c d,φ M Φ f < ε 2 Ψx) dµ x) + Ψx) dµ 2 x) ε 2 ) Συνεπώς, λόγω των 0) και ) έχουμε µ K) ε 2. Eπομένως βάση της 9) προκύπτει: µ E) ε 2 και αρα: µe) µ E) < ε δηλαδή το μέτρο µ είναι απόλυτα συνεχές και άρα υπάρχει g L ) με µe) = E gx) dx για κάθε E σύνολο orel 2) 40

43 Συνεπώς, η 8) μας δίνει αν χρησιμοποιήσουμε την 2) ότι: fψ) = s ψx) gx)dx για κάθε ψ R d ) 3) Αυτό που λέει η σχέση 3) είναι οτι η κατανομή f προέρχεται απο την συνάρτηση g. Όπως είναι γνωστό ταυτίζουμε τότε την f με την g, δηλαδή f L ) μέσω της σχέσης 3). Επίσης ορίζουμε: f := g. Αν θυμηθούμε ότι g = µ τότε: f M Φ f Oρισμός 4.3. Μετά απο αυτά τα πορίσματα, ξανα-ορίζουμε τους βασικούς χώρους: H at ) := { f L ) : f = j N λ j a j, a j άτομα, λ j C, j N } λj < + και για f H at ) ορίζουμε: f H at { := inf λ j : f = j N j N λ j a j, a j άτομα, λ j C } επίσης, H ) := { s f L ) : υπάρχει Φ ) με } Φx)dx 0 τέτοια ώστε M Φ f L ) και για f H ) ορίζουμε: f H := MΦ f Βάση της παρατήρησης μετά την απόδειξη του Θεωρήματος 2. μπορούμε να ορίσουμε την ποσότητα f H να είναι οποιαδήποτε απο τις ποσότητες MΦ f αφού όλες αυτές είναι ισοδύναμες. Η μόνη προυπόθεση είναι να υπάρχει τουλάχιστον μια Φ s ) με Φx)dx 0 τέτοια ώστε: M Φ f L ) Τώρα θα διατυπώσουμε και θα αποδείξουμε τα δύο βασικά θεωρήματα. Αυτά θα δείξουν οτι οι δύο χώροι που μόλις ορίσαμε είναι "ίσοι" και οι νόρμες τους είναι ισοδύναμες. 4

44 Θεώρημα 4.. H at ) H ) και f H c d f H at Απόδειξη. Έστω f H at ). Τότε υπάρχουν λ j C με j N λ j < + και a j άτομα τέτοια ώστε f = j N λ j a j Άρα για Φ C ) με suppφ 0, ) και Φx)dx 0, έχουμε: M Φ fx) j N λ j M Φ a j x) και συνεπώς, MΦ f λ j MΦ a j c d,φ λ j ) j N j N Με την τελευταία ανισότητα να προκύπτει απο το Λήμμα 4.. Επομένως, M Φ f L ) Δηλαδή εξ' ορισμού έχουμε ότι f H ) και απο την σχέση ) έχουμε: f H = MΦ f c d,φ λj j N Και επειδή το τελευταίο αποτέλεσμα ισχύει για κάθε επιλογή των λ j και a j, με την προϋπόθεση ότι f = j N λ j a j, έχουμε: f H { c d,φ inf λ j : f = j N j N λ j a j, a j άτομα, λ j C } = c d,φ f H at 42

45 Θεώρημα 4.2. Έστω f H ). Τότε υπάρχουν a j με άτομα και λ j C όπου j N λj < + και f n j= λ j a j H n + 0 f H c d f H at Απόδειξη. Επειδή f H ) τότε υπάρχει Ψ s ) με Ψx)dx 0 τέτοια ώστε M Ψ f L. Απο τις παρατηρήσεις που έχουμε κάνει, το παραπάνω αποτέλεσμα ισχύει και για τυχαία Φ C ) με suppφ 0, ) και Φx)dx 0. Για την απόδειξη αυτή, επιλέγουμε f H := MΦ f. Επίσης, απο το Θεώρημα 2. υπάρχει πεπερασμένη συλλογή F απο ημινόρμες τέτοια ώστε M F f L. Συνεπώς, χρησιμοποιούμε το Θεώρημα 3.2 με α = 2 n για κάθε n Z. Θα κρατήσουμε τον δείκτη n στο πάνω δεξιά μέρος των συναρτήσεων ώστε να αποφευχθούν τυχόν συγχύσεις με τον μέχρι τώρα συμβολισμό. Τότε, για κάθε n Z έχουμε: Yπάρχει διάσπαση της f με f = g n + b n όπου b n = k N b n k και μια συλλογή κύβων { } Q n k τέτοια ώστε: ) Η g n x) είναι φραγμένη, με g n x) c2 n για σ.κ x 2) Για κάθε b n k έχουμε ότι supp b n k Q n k, και Με Φ όπως παραπάνω. 3) Οι κύβοι Q n k M Φ Q n k b n k x)dx = 0 b n k ) x)dx cd Q n k έχουν την ιδιότητα της φραγμένης τομής και k N Q n k M F fx)dx = { x όπου M F fx) > 2 n} := O n Αρχικά θα δείξουμε ότι Έχουμε: f g n H n

46 M Φ b n x) dx k N ) M Φ b n k x) dx ) Tώρα, για κάθε x το δεξί μέλος στην ) δεν είναι ταυτοτικά 0 για N = 2 d το πολύ Qk n την ιδιότητα της φραγμένης τομής. Άρα από την 2) έχουμε: Τώρα, O n+ O n και n N k N Κυριαρχημένης Σύγκλισης, έχουμε: Άρα απο τις σχέσεις ) και 2) παίρνω ότι b n k δηλαδη, ) M Φ b n k x) dx cd N O n M F fx)dx, από O n =. Οπότε, αφού M F fx) 0 απο γνωστό πόρισμα του Θεωρήματος O n M F fx)dx n + 0 2) H n + 0 f g n H n + 0 Έπειτα, g j c 2 j για κάθε j Z. Συνεπώς, Όπου c εξαρτάται απο το d και την Φ. Επομένως, Δηλαδή, για κάθε x Συνεπώς, Δηλαδή, g m Φ t x) g m Φt c sup g m Φ t x) c 2 m M Φ g m ) x) m + 0 ) MΦ g m 0. Οπότε, για κάθε m N έχουμε ότι g m H ) και m + 2 m g m H = M Φ g m ) m + 0 4) 44

47 n f g j+ g j) H j= m = f g n+ + g m H f g n+ H + g m H m,n + 0 Με το τελευταίο όριο να προκύπτει από τις σχέσεις 3) και 4). Επομένως, n f g j+ g j) H j= m m,n + 0 5) Τώρα θα προσπαθήσουμε να κατασκευάσουμε τα άτομα και τους συντελεστές τους. Θέτουμε: A j k x) = b j k x) η j k x)bj+ x) + m N c j k,m η m j+ x) όπου c j k,m = b j+ m x)η j k x) dx ηm j+ x) dx Παρατηρούμε τα εξής: και b j k x) = b j x), k N η j k x)bj+ x) = b j+ x) k N c j k,m = k N k N bm j+ x)η j k x) dx ηm j+ x) dx = bm j+ x) dx ηm j+ x) dx = 0 Συνεπώς, για x O j+ : k N m N c j k,m η m j+ x) = ) ηm j+ x) c j k,m = 0 m N k N Χρησιμοποιήσαμε το γεγονός οτι η j k x) = για x Oj. Στο δεύτερο αποτέλεσμα η συνάρτηση έχει k N φορέα το O j+, όμως O j+ O j και άρα η ισότητα συνεχίζει να ισχύει. Επίσης, στα τελευταία αποτέλεσμα κάναμε εναλλαγή άθροισης καθώς και ολοκληρώματος με άθροισμα, αφού οι όροι του αθροίσματος είναι πεπερασμένοι το πλήθος, για κάθε x. Επίσης, έχουμε για x O j+ : b j x) b j+ x) = b j x) fx) b j+ x) fx) ) = g j+ g j) x) 45

48 Επομένως, δείξαμε ότι για x O j+ : A j k x) = g j+ g j) x) k N Στην συνέχεια θα βρούμε τον φορέα των συναρτήσεων A j k. Παρατηρούμε, απο τον ορισμό των σταθερών c j k,m ότι: c j k,m 0 Q j+) m Τώρα, απο την ιδιότητα της φραγμένης τομής, ο κύβος Q j k Q j k τέμνεται με 2d, το πολυ, κύβους Qr j. Κάθε ένας απο αυτούς περιέχει, το πολυ, 2 d κύβους της μορφής Q m j+). Άρα, για κάθε k όπως παραπάνω, υπάρχουν, το πολύ, 24 d το πλήθος m τέτοιοι ώστε Q j+) m λ Q j+) m ) λ Q j r Q j k ) 4 λ Q j r. Για αυτά τα m έχουμε: ) 6) με την δεύτερη ανισότητητα να προκύπτει απο την η ιδιότητα του Πορίσματος 3.. Συνεπώς έχουμε οτι: όπου j k = x j k, 4 d β λ j k ) supp A j k supp η j k Μετά, θα δούμε πιο προσεκτικά τον ορισμό των A j k : m supp η j+ m j k 7) A j k x) = b j k x) η j k x) m N bm j+ x) + c j k,m η m j+ x) = m N = fx) η j k x) c j k η j k x) fx)η j k x) m N ηm j+ x) + η j k x) m N cm j+ ηm j+ x) + m N c j k,m η m j+ x) Παίρνουμε υπόψιν ότι fx) η j k x) = X O j+x) fx) η j k x) + X O j+ ) cx) fx) η j k x) και με διαφορετική ομαδοποίηση έχουμε: A j k x) = X O j+ ) cx) fx) η j k x) c j k η j k x) + fx) η j k x) X O j+x) m N ) ηm j+ x) + + η j k x) m N cm j+ ηm j+ x) + m N c j k,m η m j+ x) Όμως εξ' ορισμού έχουμε m N ηm j+ x) = X O j+x) και άρα: A j k x) = X O j+ ) cx) fx) η j k x) c j k η j k x) + η j k x) m N cm j+ ηm j+ x) + m N c j k,m η j+ m x) 8) Απο την τελευταία σχέση θα προσπαθήσουμε να φράξουμε τις ποσότητες A j k x). Αρχικά, 46

49 fx)η j c j k,m k x) dx ηm j+ x) dx η j + cm j+ k x) dx ηm j+ x) dx Ακολουθούμε την ίδια διαδικασία όπως στην σχέση 8) στην απόδειξη του Θεωρήματος 3.2 και βρίσκουμε σταθερά c d,φ > 0 τέτοια ώστε: fx)η j k x) dx ηm j+ x) dx Επίσης, απο προηγούμενες παρατηρήσεις έχουμε διαδοχικά: η j k x) dx ηm j+ x) dx c d,φ 2 j l j ) d 2 d βd k lm j+ 4d β d = 2 d ) d β 3 με την τελευταία ανισότητα να προκύπτει απο την ιδιότητα i) του Πορίσματος 3.. Άρα τελικά, υπάρχει σταθερά c d,φ τέτοια ώστε: Επιπρόσθετα, για x O j+ ) c έχουμε ότι: c j k,m c d,φ 2 j X O j+ ) cx) fx) η j k x) fx) c d,φ 2 j όπως είδαμε στην απόδειξη του Θεωρήματος 3.2. Επομένως, μπορούμε να βρούμε σταθερά c d,φ τέτοια ώστε: Τέλος, εύκολα βλέπουμε ότι A j k x) cd,φ 2 j 9) A j k x) dx = 0 0). Οπότε, αν θέσουμε a j k x) = Aj k x) λ j k όπου λ j k = c d,φ 2 j j k απο τις 7), 9) και 0) έχουμε οτι τα a j k είναι άτομα και : n g j+ g j) n n = A j k = Άρα, j= m j= m k N j= m k N λ j k aj k f n j= m k N λ j k aj k H = f n j= m g j+ g j) H m,n

50 Επίσης, + + λ j = k c d,φ 2 j j k + + cd,φ Q j = k cd,φ O j j= k N j= k N j= k N j= γιατί τα σύνολα Q j k έχουν ξένα εσωτερικά και η ένωση τους δίνει το σύνολο O j. Συνεχίζουμε και έχουμε: + j= c d,φ + O j = j= c d,φ { x : M F fx) > 2 j} + j= [ c d,φ 2j { x : M F fx) > 2 j} ] 2 dy 2 j 2c d,φ + j= 2j 2 j { x : M F fx) > y } dy με την τελευταία ανισότητα να προκύπτει επειδή: { x : M F fx) > 2 j} { x : M F fx) > y } για κάθε 2 j y 2 j Άρα, + j= c d,φ O j 2c d,φ + 0 { x : M F fx) > y } dy = 2c d,φ MF f και άρα τελικά, + j= k N λ j 2c d,φ MF f < + ) k Δηλαδή έχουμε την ιδιότητα που χρειαζόμασταν για τους συντελεστές λ j k. Συνεπώς, "ταυτίζουμε" την συνάρτηση f με το άθροισμα υπο την έννοια της σύγκλισης κατά την H νόρμα. + j= k N λ j k aj k 48

51 Τέλος, θα αποδείξουμε την ανισότητα που χρειάζομαστε ως προς τις νόρμες. Έστω και Ξέρουμε οτι A. { A = λ j : όπου f = j N j N { = λ j : όπου f = j N Απο την σχέση ) προκύπτει ότι sup 2 c d,φ Όμως: λ j a j j N λ j a j κατά την H νόρμα κατά σημείο M F f. Συνεπώς, inf A 2 cd,φ MF f } } Άρα: inf A = f H at f H 2 cd,φ MF f at Τέλος, έχουμε ότι MF f c d,φ MΦ f και άρα: f H at c d,φ f H 49

52 Κεφάλαιο 5 Ο Δυϊκός χώρος του H ) Ορισμός 5.. Έστω f L loc Rd ). Τότε ορίζω την συνάρτηση Mf με τύπο: Όπου μπάλα και f = Mfx) := sup x fy)dy R. fy) f dy Προφανώς από τον ορισμό για x έχουμε ότι: Mfx) [ 0, + ] Ορισμός 5.2. Ο χώρος MO ) ορίζεται ως εξής: MO ) := { f L loc ) : υπάρχει c 0 τέτοιο ώστε Mfx) c για κάθε x } Ο χώρος αυτός λέγεται Χώρος φραγμένης μέσης ταλάντωσης ounded Mean Oscillation). Λέμε ότι δύο συναρτήσεις f, g που ανήκουν στον χώρο MO ) είναι ίσες όταν η διαφορά τους είναι μια σταθερά. Δηλαδή: f = g στον MO ) f g = c για κάποια σταθερά c Με αυτή την σύμβαση, ορίζεται η εξής νόρμα για μια συνάρτηση f MO ) f := sup x Mfx) Tότε εύκολα προκύπτει ότι ο ορισμός είναι καλός και ότι ο χώρος MO ) είναι γραμμικός με την νόρμα Τώρα προχωράμε σε κάποιους ορισμόυς συναρτήσεων: 50

53 Για f, g MO ) ορίζουμε τις συναρτήσεις min{f, g} και max{f, g} με τύπους: fx), όταν fx) gx) min{f, g}x) := gx), όταν fx) gx) gx), όταν fx) gx) max{f, g}x) := fx), όταν fx) gx) Εύκολα προκύπτει ότι ισχύουν οι εξής τύποι: min{f, g}x) = 2 fx) + gx) fx) gx) ) και, max{f, g}x) = 2 fx) + gx) + fx) gx) ) Είμαστε έτοιμοι να διατυπώσουμε τα πρώτα πορίσματα των ορισμών: Πόρισμα 5.. Αν f MO ) τότε: f MO ) και συνεπώς αν g MO ) τότε: min{f, g}, max{f, g} MO ) Απόδειξη. Έστω x και μπάλα με x. Τότε για κάθε y : fy) f fy) f + f f fy) f + f f ) με την τελευταία ανισότητα να προκύπτει από την τριγωνική ανισότητα. Τώρα, f f = 5

54 = f fy) dy = fy) f dy fy) f dy fy) f dy 2) με την τελευταία ανισότητα να προκύπτει από την τριγωνική ανισότητα. Άρα από τις σχέσεις ) και 2) έχουμε: fy) f dy 2 fy) f dy και άρα παίρνοντας supremum ως προς όλες τις μπάλες που περιέχουν το x έχουμε: αφού f MO ). M f x) 2 Mfx) 2 f Τέλος, αφού ο χώρος MO ) είναι γραμμικός, έχουμε ότι: f g MO ) και άρα απο αυτά που μόλις είδαμε: f g MO ) Οπότε εύκολα προκύπτει οτι min{f, g}, max{f, g} MO ). Πόρισμα 5.2. Έχουμε ότι: L ) MO ) Απόδειξη. Έστω f L ). Τώρα, αν x και μπάλα με x έχουμε: Οπότε: f = fy)dy fy) f dy fy) dy f fy) dy + f 2 f 52

55 Mfx) = sup x fy) f dy 2 f Άρα f MO ) Τώρα, πριν προχωρήσουμε στα δύο βασικά θεωρήματα αυτού του κεφαλαίου, θα ορίσουμε ένα σύνολο που θα μας χρησιμεύσει. Ο χώρος H a ) ορίζεται ως εξής: { Ha ) := i I λ i a i } όπου a i άτομα και λ i C, I πεπερασμένο Είδαμε ότι αυτός ο χώρος είναι πυκνό υποσύνολο του H ) από το Θεώρημα 4.2. Τώρα πάμε στο πρώτο μας Θεώρημα: Θεώρημα 5.. Έστω f MO ). Τότε το γραμμικό συναρτησοειδές l : H a ) C με τύπο: lg) := fx) gx) dx είναι καλώς ορισμένο και μπορεί να επεκταθεί γραμμικά στον χώρο H ). Επίσης, ισχύει: l c f Απόδειξη. Η απόδειξη θα χωριστεί σε δύο μέρη. Στο μέρος a) θα αποδείξουμε το θεώρημα για f φραγμένη. Στο μέρος b) θα δείξουμε το θεώρημα για κάθε g H a ) και άρα αφού αυτό ο χώρος είναι πυκνό υποσύνολο του H ) μπορούμε να επεκτείνουμε το συναρτησοειδές σε όλο τον χώρο H ). Ξεκινάμε με το μέρος a) Έστω g H ). Τότε υπάρχουν a i άτομα και λ i C με i λ i < + τέτοια ώστε: g n i= λ i a i H n + 0 από το Θεώρημα 4.2. Συνεπώς λόγω του Πορίσματος 4.4 : g n i= λ i a i n + 0 ) 53

56 και άρα υπάρχει υπακολουθία n k + τέτοια ώστε: gx) = lim n k + n k i= λ i a i x) για σχεδόν κάθε x 2) Επομένως, από την 2) και επειδή η f είναι φραγμένη, παίρνουμε από το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης ότι: fx) gx) dx = lim n k + και από τις ιδιότητες των ατόμων a i έχουμε ότι fx) a i x) dx = όπου supp a i i. Συνεπώς, αφού ai x) i fx) gx) dx lim n k + lim n k + n k i= λ i f = f i + i= n k i= λ i fx) a i x) dx a i x) dx = 0 και άρα, [ fx) fi ] ai x) dx 3) παίρνουμε: n k i= λ i i i fx) fi dx λ i f g H at c f g H 4) Τώρα προχωράμε στο μέρος b). Θα υποθέσουμε οτι η f είναι συνάρτηση πραγματικών τιμών. Στην γενική περίπτωση η f γράφεται σαν Ref) + i Imf). Ορίζουμε την συνάρτηση f k) ώς εξής: f k) x) := min{fx) + k, 0} max{fx) k, 0} + fx) Απο το Πόρισμα 5.. έχουμε ότι f k) MO ) και αν χρησιμοποιήσουμε τους ορισμούς των συναρτησεων min, max έχουμε μια άλλη μορφή του τύπου της f k) : k, όταν fx) k f k) x) = fx), όταν k fx) k k, όταν fx) k Προφανώς, απο αυτόν τον τύπο βλέπουμε ότι f k) x) k για κάθε x και επίσης ότι: 54