ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους τους δακτύλιους με την ιδιότητα αυτή (θεώρημα του Wedderbur) Η κλάση των δακτυλίων αυτών παίζει σημαντικό ρόλο στη θεωρία αναπαραστάσεων πεπερασμένων ομάδων, πράγμα που θα δούμε στο κεφάλαιο 7 Θεώρημα του Wedderbur Ένα -πρότυπο λέγεται ημιαπλό αν είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Ο λέγεται ημιαπλός δακτύλιος αν είναι ημιαπλό ως -πρότυπο Δεχόμαστε ότι ο μηδενικός δακτύλιος είναι ημιαπλός Παραδείγματα Κάθε D-πρότυπο είναι ημιαπλό, όπου D είναι δακτύλιος διαίρεσης (Θεώρημα 5) Ειδικά κάθε k- διανυσματικός χώρος (πεπερασμένης ή άπειρης διάστασης) είναι ημιαπλό k-πρότυπο Για κάθε πρώτο αριθμό, το -πρότυπο είναι απλό και άρα ημιαπλό Επίσης και το όπου είναι ημιαπλό 3 Έστω q δυο πρώτοι αριθμοί Τότε το -πρότυπο q ισομορφισμό -προτύπων q q 4 Έστω ένας πρώτος αριθμός Το -πρότυπο είναι ημιαπλό αφού έχουμε έναν δεν είναι ημιαπλό Πράγματι, αν ήταν ημιαπλό θα είχαμε έναν ισομορφισμό -προτύπων της μορφής, όπου κάθε M είναι απλό - πρότυπο Τότε κάθε ισόμορφο με το που είναι άτοπο I IM M θα ήταν ισόμορφο με απλό - υποπρότυπο του, δηλαδή θα ήταν (από την ταξινόμηση υποομάδων πεπερασμένης κυκλικής ομάδας) Τότε 5 Το -πρότυπο είναι ημιαπλό αν και μόνο αν το δεν διαιρείται με το τετράγωνο ακεραίου > (γιατί;) 6 Αν και S είναι ημιαπλοί δακτύλιοι τότε και ο S είναι ημιαπλός Πράγματι, γράφοντας, S S, όπου τα και S είναι απλά ιδεώδη των και S αντίστοιχα, βλέπουμε ότι I J τα απλά ιδεώδη { 0}, S {0} S του S έχουν την ιδιότητα S S I J Μια οικογένεια { M } υποπροτύπων του Μ θα λέγεται ανεξάρτητη αν I m 0 κάθε m 0, m M είναι όλα σχεδόν μηδέν Τότε ορίζεται το εσωτερικό ευθύ άθροισμα σύμφωνα με την Πρόταση και ισχύει M M I Πρόταση ) Κάθε πρότυπο που παράγεται από απλά πρότυπα είναι ημιαπλό ) Έστω 0 L M N 0 μια ακριβής ακολουθία -προτύπων, όπου το Μ είναι ημιαπλό Τότε τα L, N είναι ημιαπλά -πρότυπα και επιπλέον η ακολουθία διασπάται I

2 Απόδειξη: ) Έστω για κάποιο M M, όπου τα M είναι απλά υποπρότυπα του Μ Θα δείξουμε ότι I J I Με τη βοήθεια του λήμματος του Zor, εύκολα επαληθεύεται ότι το σύνολο έχει μέγιστο στοιχείο, έστω J Ισχύει θεωρούμε ένα τυχαίο { J I { M } J M και παρατηρούμε ότι J είναι ανεξάρτητο} 8 M M, M M Πράγματι, M Για την άλλη σχέση, M J M M 0 ή M, J γιατί το M είναι απλό Η πρώτη περίπτωση δεν ισχύει λόγω του μεγίστου του J Συνεπώς M M M J για κάθε I Άρα M M για κάθε και M M ) Έστω κάθε J J : M N ο επιμορφισμός της δοθείσας ακριβούς ακολουθίας Γράφουμε M M, όπου M είναι απλό, και παρατηρούμε ότι ( ) 0 ή ( M ) M Άρα η εικόνα ( M ) N παράγεται M από κάποια απλά πρότυπα, οπότε λόγω του ) είναι ημιαπλό πρότυπο Ο περιορισμός της σε κάθε απλό προσθετέο είναι ισομορφισμός ή μηδενική απεικόνιση Από αυτό έπεται ότι η ακριβής ακολουθία 0 L M N 0 διασπάται (Πρόταση 4) Άρα το Ker L είναι ισόμορφο με ευθύ προσθετέο του Μ και συνεπώς είναι ισόμορφο με πηλίκο του M Από αυτό που αποδείξαμε πριν, έπεται ότι το L είναι ημιαπλό I J Σημειώνουμε ότι, σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση, κάθε υποπρότυπο και κάθε πηλίκο ημιαπλού προτύπου είναι ημιαπλό πρότυπο Τονίζουμε ότι δεν ισχύει το αντίστροφο του πρώτου ισχυρισμού της Πρότασης ) Για παράδειγμα, αν είναι πρώτος, το -πρότυπο δεν είναι ημιαπλό ενώ το είναι ημιαπλό και έχουμε την ακριβή ακολουθία Θεώρημα Weddebur Για κάθε δακτύλιο οι παρακάτω συνθήκες είναι ισοδύναμες ) είναι ημιαπλός ) κάθε -πρότυπο είναι ημιαπλό 3) κάθε ακριβής ακολουθία 0 A B C 0 -προτύπων διασπάται 4) κάθε -πρότυπο είναι προβολικό 5) κάθε -πρότυπο είναι εμφυτευτικό 6) ως δακτύλιοι M ( D ) M ( D ), όπου κάθε D είναι δακτύλιος διαίρεσης Απόδειξη )) Από την υπόθεση και την Πρόταση 3 ) κάθε ελεύθερο -πρότυπο είναι ημιαπλό Από την Πρόταση 3 ) προκύπτει ότι κάθε -πρότυπο είναι ημιαπλό )3) Επειδή το Β είναι ημιαπλό, η ακριβής ακολουθία 0 A B C 0 διασπάται σύμφωνα με την Πρόταση ) 3)) Παρατήρηση: Με την υπόθεση 3) ισχύει ότι κάθε ιδεώδες I 0 του περιέχει ένα απλό ιδεώδες Απόδειξη: Έστω a I, a 0 Έστω ότι το κύριο ιδεώδες (a) δεν είναι απλό Τότε υπάρχει ιδεώδες J με

3 0 J ( a) Χρησιμοποιώντας το λήμμα του Zor, συμπεραίνουμε ότι υπάρχει μέγιστο τέτοιο J (Η απόδειξη είναι πανομοιότυπη με αυτή της Πρότασης 4 με την παρατήρηση ότι το ρόλο του παίζει εδώ το α) Η ακριβής ακολουθία -προτύπων 0 J ( a) ( a) / J 0 διασπάται σύμφωνα με την υπόθεση Έτσι το ( a ) / J είναι ισόμορφο ως -πρότυπο με ιδεώδες του, που είναι απλό λόγω του μεγίστου του J Επιστρέφουμε τώρα στην απόδειξη 3) ) Έστω Ι το ιδεώδες που παράγεται απ όλα τα απλά ιδεώδη του Είναι I 0 λόγω της παρατήρησης Από την ακριβή ακολουθία 0 I / I 0 και την υπόθεση παίρνουμε ότι το / I είναι ισόμορφο με ιδεώδες J του Ισχύει I J 0, γιατί η προηγούμενη ακολουθία διασπάται Αν J 0, η παρατήρηση μας πληροφορεί ότι το J περιέχει απλό ιδεώδες και κατά συνέπεια ο ορισμός του I δίνει I J 0, άτοπο Άρα / I 0, δηλαδή I Από τον ορισμό του Ι και την Πρόταση ) παίρνουμε ότι το είναι ημιαπλός ( 3) (4) (5) Έπεται αμέσως από την Πρόταση 33 ) και τον ορισμό στη Σημείωση 36 ( ) (6) Ξεκινάμε με τρεις απλές παρατηρήσεις o α) Υπάρχει ισομορφισμός δακτυλίων Ed ( ), r f, όπου ( a) ar (πολλαπλασιασμός από δεξιά), a, r (Άσκηση 3) β) Έστω Μ ένα -πρότυπο Τότε υπάρχει ισομορφισμός δακτυλίων Ed ( M ) M ( Ed ( M )) Πράγματι, αν Ed ( M ) θέτουμε Ed (M), ε : M M M M M όπου ε ( m) (0,, m,,0) είναι η εμφύτευση στη συνιστώσα και π ( m,, m ) m είναι η προβολή στην συνιστώσα Ορίζεται έτσι ομομορφισμός δακτυλίων Φ : Ed ( M ) M ( Ed ( M )), ) ( ) Στην αντίθετη κατεύθυνση ορίζουμε ομομορφισμό δακτυλίων Ψ : M ( Ed ( M )) Ed ( M r f r π ( ), ( f m όπου, f ( m,, m ) fk ( mk ),, f k ( mk ) (Συμβολικά, f ( m,, m ) ( f ) k k m πολλαπλασιασμός πινάκων) Είναι θέμα ρουτίνας να επαληθεύσουμε ότι οι συνθέσεις Φ Ψ και Ψ Φ είναι οι αντίστοιχες ταυτοτικές συναρτήσεις γ) Έστω Μ, Ν δυο -πρότυπα με Hom ( M, N) Hom ( N, M ) 0 Τότε υπάρχει ισομορφισμός δακτυλίων Ed ( M N) Ed ( M) Ed ( N) Πράγματι, λόγω της Πρότασης και της υπόθεσης στα M, Ν υπάρχει ισομορφισμός αβελιανών ομάδων Ed ( M N) Ed ( M) Ed ( N) Αυτός ο συγκεκριμένος ) ισομορφισμός (δες την απόδειξη της Πρότασης ) εύκολα επαληθεύεται ότι είναι ισομορφισμός δακτυλίων Επιστρέφουμε τώρα στην απόδειξη ( ) (6) Έστω M, όπου τα M είναι απλά ιδεώδη Επειδή το είναι πεπερασμένα παραγόμενο -πρότυπο το ίδιο συμβαίνει για το I f I 9 M Άρα μόνο πεπερασμένου

4 πλήθους συνιστώσες του γράψουμε M είναι μη-μηδενικές, δηλαδή το Ι είναι πεπερασμένο Μπορούμε έτσι να I Έχουμε τώρα διαδοχικά ισομορφισμούς δακτυλίων o ( ) o ( Ed ( )) o (παρατήρηση α) o Ed M o M όπου M M Ed ( M ) (γιατί Hom ( M, M ) 0 αν Παρατήρηση γ) ( ) o Ed M ( S) o o S o o M ( Ed ( M ) ) (παρατήρηση β και άσκηση 33 )) Από το λήμμα του Schur (Λήμμα 7), κάθε Ed ) είναι δακτύλιος διαίρεσης και συνεπώς κάθε o D : Ed ( M ) είναι δακτύλιος διαίρεσης Έχουμε ( 6) () ( M M ( D ) Λόγω του Παραδείγματος 6), για να δείξουμε ότι ( 6) () αρκεί να δείξουμε ότι: D δακτύλιος διαίρεσης M (D) ημιαπλός δακτύλιος Έστω I k το (αριστερό) ιδεώδες του M (D) που αποτελείται από πίνακες της μορφής 0 a 0 0 a 0 όπου τα a υπάρχουν στην k στήλη Προφανώς M ( D) I I Θα δείξουμε ότι κάθε I k είναι απλό Έστω ( ) I k, α 0, και β I k Με E συμβολίζουμε τον εκτός από τη θέση (, ), όπου το στοιχείο είναι Ισχύει Αν γράψουμε ότι β β E k E E q 0 E q,, αν αν 0 πίνακα που έχει μηδέν παντού, τότε εύκολα ελέγχουμε με τη βοήθεια των προηγουμένων σχέσεων (άσκηση) β β Άρα το I k παράγεται σαν ιδεώδες από το τυχαίο μη μηδενικό στοιχείο του Η απόδειξη είναι πλήρης α 0k E 0 α Σημειώνουμε ότι η συνθήκη 6) στο Θεώρημα του Wedderbur είναι ιδιαίτερα σημαντική καθώς μας παρέχει πληροφορίες για τη δομή του δακτυλίου

5 4 Παρατήρηση Στην προηγούμενη απόδειξη, είδαμε ότι για κάθε ημιαπλό δακτύλιο υπάρχουν απλά ιδεώδη I,, I k με I Ik Εφαρμογή: Θεώρημα του Μachke Το επόμενο αποτέλεσμα μας πληροφορεί πότε ο δακτύλιος k [G] μιας πεπερασμένης ομάδας G, όπου k είναι σώμα, είναι ημιαπλός, πράγμα που θα χρησιμοποιηθεί στο κεφάλαιο 7 Θεώρημα (Machke) Έστω G μια πεπερασμένη ομάδα τάξης και k σώμα χαρακτηριστικής Αν 0 ή αν 0 και το δεν διαιρεί το, τότε ο δακτύλιος k [G] είναι ημιαπλός Αντίστροφα, αν διαιρεί το, τότε ο δακτύλιος k [G] δεν είναι ημιαπλός Απόδειξη: "" Έστω α 0 A B C 0 (*) μια ακριβής ακολουθία k[g]-προτύπων Θα δείξουμε ότι διασπάται (Θεώρημα 3 3)) Θεωρώντας την (*) ως ακολουθία k-διανυσματικών χώρων αυτή διασπάται (για παράδειγμα, βλ Πρόταση 3) Έτσι υπάρχει k-γραμμική απεικόνιση β : C B με την ιδιότητα C Από την β κατασκευάζουμε έναν ομομορφισμό k[g] -προτύπων β : C B, β( c) β( c) Παρατηρούμε εδώ ότι στο k έχουμε 0 λόγω της υπόθεσης στο Η απεικόνιση β είναι πράγματι ομομορφισμός k[g]-προτύπων, γιατί αν β ( hc) β( hc) G h h β( hc) G h β (( ) c) G h( β( c)) h G τότε Δηλαδή β( hc) hβ( c) για κάθε h G και c G Επειδή η β είναι προφανώς προσθετική προκύπτει ότι η β είναι ομομορφισμός k[g]-προτύπων Τέλος έχουμε, γιατί αν c k[ G] τότε β β( c) β( β( c)) G β G (γιατί καθώς το διατρέχει τη G, το h διατρέχει τη G) ( ββ( G c)) (γιατί β είναι ομομορφισμός k[g]-προτύπων) C ( G ( c) c c) Η ιδέα είναι να αντικαταστήσουμε την απεικόνιση, που είναι μόνο ομομορφισμός k προτύπων, με άλλη που είναι ομομορφισμός kg [ ]- προτύπων Αυτό επιτυγχάνεται λαμβάνοντας το μέσο όρο της υπεράνω της ομάδας G

6 "" Έστω τώρα ότι το 0 διαιρεί το Θεωρούμε το k ως k[g]-πρότυπο, r v r v G G κάθε v k Θα δείξουμε ότι ακριβής ακολουθία 0 ker ε k[ G] k 0 ε για δεν διασπάται, όπου ε : k[ G] k είναι ο ομομορφισμός k[g]-προτύπων ε r r Έστω για G G άτοπο ότι υπάρχει ομομορφισμός k[g]-προτύπων ε : k kg με εε k και έστω ε ( ) r Τότε για κάθε Συνεπώς h G ισχύει ε ( ) ε ( h ) hε () h r Άρα r G G r h r για κάθε h G G r για κάθε, G (γιατί;) Άρα υπάρχει r k με ε ( ) r G Όμως τότε εε( ) rε r 0, που είναι άτοπο γιατί εε k G G 3 Παρατηρήσεις στο Θεώρημα του Wedderbur Έστω ένας ημιαπλός δακτύλιος Από το θεώρημα του Wedderbur έχουμε M ( D ) M ( D ), όπου κάθε D είναι δακτύλιος διαίρεσης Είναι οι ακέραιοι,,, μονοσήμαντα ορισμένοι; Ένας δακτύλιος 0 λέγεται απλός αν δεν έχει αμφίπλευρα ιδεώδη 0, Σημειώνουμε ότι, αν είναι απλός, τότε δεν έπεται αναγκαστικά ότι είναι απλό -πρότυπο Αν όμως είναι απλό -πρότυπο, τότε είναι απλός δακτύλιος Για παράδειγμα κάθε δακτύλιος διαίρεσης είναι απλός Πιο γενικά έχουμε: 3 Λήμμα Ο M (D) είναι απλός αν ο D είναι δακτύλιος διαίρεσης Απόδειξη: Έστω I 0 αμφίπλευρο ιδεώδες του Θα δείξουμε ότι I Έστω α ( α ) I με α 0 Τότε α ke 0 για κάποιους δείκτες k, Για τους στοιχειώδεις πίνακες E ισχύει Γράφοντας α E α, Άρα το Ι περιέχει το κάθε, Άρα I Αν 0, αν E E q (*) Eq, αν παίρνουμε από την προηγούμενη σχέση E α E E ) E α E E α kαek ( k k k k k Ek, k αk Ek και συνεπώς το E α ( α E ) Από την (*) προκύπτει ότι E I για k M ( D ) M ( D ) όπως στο Θεώρημα του Wedderbur, τότε, όπου κάθε ( ) M D είναι αμφίπλευρο ιδεώδες του και επιπλέον απλός δακτύλιος από το προηγούμενο λήμμα 3 Λήμμα Έστω m και όπου τα και k k είναι αμφίπλευρα ιδεώδη του Αν

7 οι και απλοί δακτύλιοι, τότε m 3 Απόδειξη: Μια γενική παρατήρηση (άσκηση): Κάθε αμφίπλευρο ιδεώδες I του είναι της μορφής I I I, όπου I αμφίπλευρο ιδεώδες του Έχουμε ισομορφισμό δακτυλίων m Έστω m Θα δείξουμε ότι m με επαγωγή στο m Για m έχουμε ισομορφισμό και επειδή ο είναι απλός παίρνουμε ότι ο είναι απλός, οπότε Έστω m Η εικόνα του 0 0 είναι αμφίπλευρο ιδεώδες του, άρα της μορφής I I σύμφωνα με την παρατήρηση Επειδή ο 0 0 είναι απλός, η εικόνα είναι της μορφής 0 I 0 και επειδή ο k είναι απλός η εικόνα είναι 0 0 Από τον ισομορφισμό k m m επάγεται ισομορφισμός, δηλαδή ισομορφισμός Από την επαγωγική υπόθεση m m k k Τα δύο προηγούμενα λήμματα δίνουν αμέσως το εξής: 33 Πόρισμα Έστω ένας ημιαπλός δακτύλιος οπότε M ( D ) M ( D ) όπου κάθε D είναι δακτύλιος διαίρεσης Τότε ο αριθμός είναι μονοσήμαντα ορισμένος Το στο παραπάνω πόρισμα είναι ο αριθμός των απλών συνιστωσών του Θα δώσουμε παρακάτω ένα άλλο χαρακτηρισμό του (Πρόταση 35) που θα βρει εφαρμογή στην απόδειξη του Θεωρήματος 33 Έστω I, I ιδεώδη των δακτυλίων, αντίστοιχα Τα σύνολα I 0 και 0 I είναι - πρότυπα (ως ιδεώδη του ) 34 Λήμμα Με τους προηγούμενους συμβολισμούς ισχύει ότι κάθε ομομορφισμός -προτύπων I 0 I είναι ο μηδενικός 0 Απόδειξη: Έστω ομομορφισμός -προτύπων, φ: I 0 0 I και r Αν φ( r,0) (0, r ), τότε φ r,0) φ(( e,0)( r,0) ( e,0) φ( r,0) ( e,0)(0, r ) (0,0), όπου e είναι το μοναδιαίο στοιχείο του ( k k 35 Πρόταση Έστω ένας ημιαπλός δακτύλιος οπότε M ( D ) M ( D ), όπου κάθε είναι D είναι δακτύλιος διαίρεσης Tότε το πλήθος των ανά δύο μη ισόμορφων απλών -προτύπων Απόδειξη: Πρώτα θα δείξουμε ότι ο έχει τουλάχιστον ανά δύο μη ισόμορφα απλά πρότυπα Έστω V το απλό ( D ) -πρότυπο που αποτελείται από πίνακες της μορφής M

8 4 στήλη 0 0 a a 0 M 0 ( D ) (Το ότι το V είναι απλό αποδείχτηκε στο (6) () του Θεωρήματος του Wedderbur) Έστω V 0 V 0 M ( D ) M ( D όπου το V βρίσκεται στην συνιστώσα Τότε βέβαια το V είναι απλό M ( D ) M ( D ) ) Από το Λήμμα 34 (με την προφανή γενίκευση για πεπερασμένο πλήθος συνιστώσες V V για -πρότυπο ) προκύπτει ότι Θα δείξουμε τώρα ότι ο έχει το πολύ ανά δύο μη ισόμορφα απλά πρότυπα Έστω V απλό - πρότυπο Επειδή ισχύει M D ) V V και παίρνουμε ( V V ως ( D ) M -πρότυπα V V (**) Επειδή τώρα το V είναι απλό θα είναι πηλίκο του (άσκηση ) και συνεπώς πηλίκο του δεξιού σκέλους της (**) Η Πρόταση ), το γεγονός ότι τα V είναι απλά και το γεγονός ότι το V είναι απλό δίνουν ότι το V είναι ισόμορφο με ένα από τα V Γνωρίζουμε λοιπόν ότι σε έναν ημιαπλό δακτύλιο, κάθε απλή συνιστώσα του M ( D ) συνεισφέρει ακριβώς ένα απλό -πρότυπο ισόμορφων απλών -προτύπων V και το σύνολο αυτών είναι ακριβώς ένα σύνολο των ανά δύο μη 36 Πόρισμα Έστω ημιαπλός δακτύλιος οπότε M ( D ) M ( D ), όπου κάθε D είναι δακτύλιος διαίρεσης Έστω V,,V τα αντίστοιχα απλά -πρότυπα Τότε για κάθε o υπάρχει ισομορφισμός δακτυλίων Ed ( V ) D και συνεπώς οι D είναι μονοσήμαντα ορισμένοι dm V D, και συνεπώς οι αριθμοί είναι μονοσήμαντα ορισμένοι o Απόδειξη: Για τον ισομορφισμό Ed ( V ) D βλ άσκηση 6 Η σχέση dm D V είναι σαφής Εφαρμογή στις πεπερασμένες ομάδας Χρειαζόμαστε την ακόλουθη εκδοχή του Λήμματος του Schur 37 Πρόταση Έστω μια k-άλγεβρα, όπου k αλγεβρικά κλειστό σώμα, και Μ ένα απλό -πρότυπο με

9 dm k M Τότε Ed ( M ) k 5 Απόδειξη: Έστω f Ed ( M) Ως γραμμική απεικόνιση πεπερασμένης διάστασης διανυσματικού χώρου πάνω από αλγεβρικά κλειστό σώμα, η f έχει ιδιοτιμή f k Τότε f Ed ( M ) Επειδή το M f M είναι απλό -πρότυπο, έχουμε ker( f f M) M, οπότε f f M Είναι σαφές ότι η απεικόνιση f f είναι ισομορφισμός δακτυλίων Αν στην απόδειξη του θεωρήματος Wedderbur,) 6), χρησιμοποιήσουμε την προηγούμενη πρόταση στη θέση του Λήμματος του Schur, παίρνουμε το εξής αποτέλεσμα Έστω k αλγεβρικά κλειστό σώμα και k -άλγεβρα με dmk Αν ο είναι ημιαπλός, τότε υπάρχει ισομορφισμός k -αλγεβρών M ( ) ( ) k M k Ειδικά για άλγεβρες ομάδων έχουμε: 38 Πόρισμα Έστω k ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα και G μια πεπερασμένη ομάδα τέτοια ώστε ο δακτύλιος kg [ ] είναι ημιαπλός Τότε ) ) k[ G] M ( k) M ( k) (ως k -άλγεβρες),,, όπου G ) πλήθος των ανά δύο μη ισόμορφων απλών kg [ ] προτύπων, v),, είναι οι διαστάσεις των δύο μη ισόμορφων απλών kg [ ] προτύπων Απόδειξη: Τα ), ) και v) είναι γνωστά Το ) προκύπτει από το ) λαμβάνοντας διαστάσεις k -χώρων 39 Παραδείγματα ) Έστω G μια αβελιανή ομάδα με G Τότε [ G] ( φορές) Πράγματι, από το Θεώρημα του Machke, o δακτύλιος [ G ] είναι ημιαπλός Επειδή το κλειστό, η Πρόταση 38 δίνει [ G] M ( ) M ( ) Επειδή η G είναι αβελιανή παίρνουμε Αφού dm [ G] έχουμε και [ G] ( φορές) είναι αλγεβρικά Σημείωση: Στο παράδειγμα αυτό φαίνεται ότι υπάρχει ισομορφισμός αλγεβρών [ 4] [ ] αν και οι ομάδες 4, δεν είναι ισόμορφες ) Έστω G μια μη αβελιανή ομάδα τάξης 8 Τότε [ G] M( ) Πράγματι, όπως πριν έχουμε [ G] M ( ) M ( ) Από την Πρόταση 38 ) παίρνουμε ότι 8 οπότε έχουμε τις εξής περιπτώσεις ) 8 ) ), 4 5 Η περίπτωση ) απορρίπτεται γιατί η G δεν είναι αβελιανή Η περίπτωση ) απορρίπτεται γιατί κάποιο πρέπει να είναι ίσο με σύμφωνα με το Πόρισμα 36, αφού υπάρχει απλό [ G] -πρότυπο διάστασης : το με εξωτερικό πολλαπλασιασμό r v r v G G Θεωρήματος του Machke) Από την περίπτωση ) προκύπτει το ζητούμενο για κάθε v (βλ την απόδειξη του ' ' του

10 3) Εδώ θεωρούμε κυκλική ομάδα G τάξης 4 Για k από το Παράδειγμα έχουμε 6 Για το σώμα k ισχύει [ G] 4 [ G] [ x] ( x ) σύμφωνα με ην άσκηση 4 Επειδή έχουμε την ανάλυση 4 x ( x )( x )( x ) σε γινόμενο αναγώγων στο [ x ], to Κινεζικο θεωρημα υπολοίπων (βλ άσκηση 7) δίνει 4 [ x] ( x ) [ x] ( x ) [ x] ( x ) [ x] ( x ) και άρα [ G] ( ) Ασκήσεις (Οι άνω τριγωνικοί πίνακες δεν είναι γενικά ημιαπλοί δακτύλιοι) a b Έστω a, b, c 0 c Αποδείξτε ότι ο δεν είναι ημιαπλός Υπόδειξη: Ένας τρόπος είναι να θέσουμε M με εξωτερικό πολλαπλασιασμό τον a b x ax by πολλαπλασιασμό πινάκων Έστω L το υποπρότυπο του Μ που παράγεται από 0 c y cy το Τότε η ακριβής ακολουθία 0 L M M / L 0 δεν διασπάται 0 Έστω Μ ένα πεπερασμένο παραγόμενο D-πρότυπο, όπου D δακτύλιος διαίρεσης Ποιά μορφή έχουν τα Ed D (M ) -πρότυπα; Υπόδειξη: Αποδείξτε ότι ο Ed D (M ) είναι δακτύλιος πινάκων με στοιχεία από δακτύλιο διαίρεσης και εφαρμόστε αποτελέσματα σχετικά με τη θεωρία των δακτυλίων αυτών 3 Ποιοι από τους παρακάτω δακτύλιους είναι ημιαπλοί; Για του ημιαπλούς δακτύλιους ποιά μορφή έχουν ετα απλά πρότυπα; ), ), 3) [ x ], 4) [ xy,, ] 5) [ x]/( x ) Υπόδειξη για το [ x ]: ένας από τους πολλούς τρόπους απόδειξης είναι να παρατηρήσουμε ότι αν ήταν ημιαπλός, τότε από το Θεώρημα του Wedderbur έπεται ότι, και άρα ο [ x ] είναι δακτύλιος διαίρεσης, άτοπο 4 Ένα -πρότυπο είναι ημιαπλό αν και μόνο αν κάθε κυκλικό υποπρότυπό του είναι ημιαπλό 5 ) Αν ο είναι ημιαπλός, τότε το κέντρο του είναι ημιαπλός δακτύλιος Υπόδειξη: Άσκηση 0 ) Κάθε μεταθετικός ημιαπλός δακτύλιος είναι ευθύ γινόμενο σωμάτων 6 ) Αληθεύει ότι γενικά μη μηδενικός υποδακτύλιος ημιαπλού δακτυλίου είναι ημιαπλός; ) Αποδείξτε ότι κάθε μη μηδενική επιμορφική εικόνα ημιαπλού δακτυλίου είναι ημιαπλός 7 Έστω k σώμα και G πεπερασμένη ομάδα Ο δακτύλιος k[g] είναι ημιαπλός αν και μόνο αν το k είναι προβολικό k[g]-πρότυπο Υπόδειξη: Βλ την απόδειξη του Θεωρήματος του Machke 8 ) Αληθεύει ότι για κάθε ακέραιο υπάρχει πεπερασμένος ημιαπλός δακτύλιος τάξης ; 4 ) Να ταξινομηθούν ως προς ισομορφισμό οι ημιαπλοί δακτύλιοι τάξης 5 9 Έστω M ( D ) M ( D ) ημιαπλός δακτύλιος Τότε υπάρχουν στοιχεία e,, e στο με τις ιδιότητες

11 e e, e e 0 για, e e, e v v για κάθε ν στο D ), και e M ( ) 0 D M ( 0 Ένας δακτύλιος λέγεται δεξιά ημιαπλός αν είναι ευθύ άθροισμα απλών δεξιών ιδεωδών Αποδείξετε ότι ένας δακτύλιος είναι δεξιά ημιαπλός αν και μόνο αν είναι (αριστερά) ημιαπλός Ποιά είναι τα απλά δεξιά ιδεώδη του M (D), όπου D δακτύλιος διαίρεσης; Αν Μ είναι ένα -πρότυπο, συμβολίζουμε με oc ( M ) (το βάθρο του Μ) το υποπρότυπο του Μ που παράγεται από τα απλά υποπρότυπα του Μ Αν το Μ δεν έχει απλά υποπρότυπα θέτουμε oc ( M) 0 Παρατηρούμε ότι ένα μη μηδενικό Μ είναι ημιαπλό αν και μόνο αν oc ( M) M Ποια είναι τα oc ( ), oc ( ) όπου πρώτος, oc ( ) ; Ένα ημιαπλό πρότυπο είναι πεπερασμένα παραγόμενο αν και μόνο αν είναι ευθύ άθροισμα πεπερασμένου πλήθους απλών προτύπων 7 3 Αν το Μ είναι πεπερασμένα παραγόμενο ημιαπλό -πρότυπο, τότε ο δακτύλιος Ed ( ) M είναι ημιαπλός Υπόδειξη: Υπολογίστε τον Ed ( M ) (Bλαπόδειξη )6) του Θεωρήματος του Wedderbur) 4 Έστω ένας ημιαπλός δακτύλιος ) Η γραφή κάθε πεπερασμένα παραγόμενου -προτύπου ως ευθύ άθροισμα απλών προτύπων είναι ουσιαστικά μοναδική ) Η τάξη ελεύθερου -προτύπου είναι καλά ορισμένη 5 ) Να βρεθούν όλοι οι ημιαπλοί δακτύλιοι το κέντρο των οποίων είναι σώμα ) Αποδείξτε ότι το κέντρο της [ S 3] έχει διάσταση 3, όπου S 3 είναι η ομάδα μεταθέσεων 3 συμβόλων ) Έστω G μια ομάδα τάξης 0 για την οποία η άλγεβρα [ G ] έχει τουλάχιστον 8 ανά δύο μη ισόμορφα απλά πρότυπα Αποδείξτε ότι G 0 6 Έστω D ένας δακτύλιος διαίρεσης και ένας θετικός ακέραιος Θεωρούμε το δακτύλιο M ( D) και v το -πρότυπο V v Dμε εξωτερικό πολλαπλασιασμό τον πολλαπλασιασμό πινάκων v o ) Αποδείξτε ότι η απεικόνιση : D Ed ( V), ( d)( v) vd είναι μονομορφισμός δακτυλίων ) Αποδείξτε ότι η Φ είναι επί 0 Υπόδειξη: Ένας οικονομικός τρόπος είναι ο εξής Έστω v V Επειδή ως -πρότυπο, το V 0 είναι απλό, βλ απόδειξη του Θεωρήματος Wedderbur, έχουμε V () v Αν f Ed ( V), τότε η f καθορίζεται από την εικόνα () f v και έχουμε f ( v) f E v E f ( v) dv vd ( dv), για

12 κάποιο d D (Σημείωση: Η ίδια ιδέα εφαρμόζει και στην άσκηση 9 ) 7 Αν ο είναι ημιαπλός δακτύλιος, τότε και ο M ( ) είναι ημιαπλός 8 Έστω k σώμα και A M ( k) Με ka [ ] συμβολίζουμε τον υποδακτύλιο m 0 m { a I a A a A m, a k} του A M ( k) ) Δείξτε ότι αν ο A είναι διαγωνίσιμος, τότε ο ka [ ] είναι ημιαπλός ) Για και A αληθεύει ότι ka [ ] είναι ημιαπλός; 0 ) Δείξτε ότι αν το k είναι αλγεβρικά κλειστό, τότε ισχύει το αντίστροφο του ) 8

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων

Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων Ομιλητής: Νασιούλας Αντώνης Ιστιαία, Σάββατο 13 Απριλίου 213 Μέρος I (Αναλλοίωτα) Η Αρχή του Αναλλοίωτου είναι μια στρατηγική επίλυσης προβλήματων που έχουν σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. Γραμμική Άλγεβρα. Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής. uv, u v ΠΑΤΡΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. Γραμμική Άλγεβρα. Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής. uv, u v ΠΑΤΡΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γραμμική Άλγεβρα Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής 00 uv, u v ( ) ΠΑΤΡΑ dsourlas@physics.upatras.gr www.physics.upatras.gr II ΠΕΡΙΕΧΌΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... V ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι... ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. Γραμμική Άλγεβρα. Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής. uv, u v ΠΑΤΡΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. Γραμμική Άλγεβρα. Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής. uv, u v ΠΑΤΡΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γραμμική Άλγεβρα Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής uv, u v ( ) ΠΑΤΡΑ dsourlas@physics.upatras.gr www.physics.upatras.gr II ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... V ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι... ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Έργο ηλεκτροστατικής δύναμης W F Δl W N i i1 F Δl i Η μετατόπιση Δl περιγράφεται από ένα διάνυσμα που

Διαβάστε περισσότερα

N. Σ. ΜΑΥΡΟΓΙΑΝΝΗΣ. Mαθήματα Θεωρίας Αριθμών PPwWpp (με βάση το σχολικό βιβλίο)

N. Σ. ΜΑΥΡΟΓΙΑΝΝΗΣ. Mαθήματα Θεωρίας Αριθμών PPwWpp (με βάση το σχολικό βιβλίο) N. Σ. ΜΑΥΡΟΓΙΑΝΝΗΣ Mαθήματα Θεωρίας Αριθμών PPwWpp (με βάση το σχολικό βιβλίο) ΑΘΗΝΑ 2006 Σημείωμα Συνέταξα αυτές τις σημειώσεις, προς χάριν των μαθητών μου, το σχολικό έτος 1998-1999 όταν δίδασκα στο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων Πίνακες Ένας πίνακας είναι μια δισδιάστατη λίστα από αριθμούς. Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα στο Matlab εισάγουμε κάθε γραμμή σαν μια ακολουθία αριθμών που ξεχωρίζουν με κόμμα (,) ή κενό (space) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Β:περιστροφή κατά 240 ο ως προς τον άξονα z ή περιστροφή κατά 120 ο ως προς τον z. M:περιστροφή κατά 180 ο ως προς την ΟΜ ( c 2

Β:περιστροφή κατά 240 ο ως προς τον άξονα z ή περιστροφή κατά 120 ο ως προς τον z. M:περιστροφή κατά 180 ο ως προς την ΟΜ ( c 2 I ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΜΑΔΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ I Ομάδες μετασχηματισμών συμμετρίας Όπως συνηθίζεται θα διαλέξουμε μια ομάδα συμμετρίας και θα εξετάσουμε όλες τις ιδιότητες στην συγκεκριμμένη ομάδα σε ολόκληρες

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα Αλγεβρικες οµες Ι Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 4 εκεµβρίου 2012

Διαβάστε περισσότερα

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) Τα πεπερασμένα αυτόματα είναι οι απλούστερες «υπολογιστικές μηχανές». Δεν έχουν μνήμη, μόνο μία εσωτερική μονάδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Διαβάζουν τη συμβολοσειρά εισόδου

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΟΥΡΛΑΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΟΥΡΛΑΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑΔΩΝ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΟΥΡΛΑΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΤΡΑ 8 Emal: dsourlas@physcs.upatras.gr www.physcs.upatras.gr/ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ....

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 9 Λύσεις

Φροντιστήριο 9 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 9 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {a,b} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD Εισαγωγή To παρόν κεφάλαιο χωρίζεται σε μέρη. Στο (Α), μεταξύ άλλων, εξηγούμε γιατί μας ενδιαφέρει η λεγόμενη ανάλυση σε παράγοντες ειδικούς πίνακες (decompositio)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΜΕ ΚΑΝΟΝΑ ΚΑΙ ΙΑΒΗΤΗ

ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΜΕ ΚΑΝΟΝΑ ΚΑΙ ΙΑΒΗΤΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ KAI ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ 1 Γενικά Η ψηφιακή υπογραφή είναι µια µέθοδος ηλεκτρονικής υπογραφής όπου ο παραλήπτης ενός υπογεγραµµένου ηλεκτρονικού µηνύµατος µπορεί να διαπιστώσει τη γνησιότητα του,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα