ιαφορισιµότητα στον R n Χρήστος Χατζηφούντας Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ιαφορισιµότητα στον R n Χρήστος Χατζηφούντας Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης"

Transcript

1 ιαφορισιµότητα στον R n Χρήστος Χατζηφούντας Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης

2 2

3 Περιεχόµενα Εισαγωγή 5 Η µεγιστική συνάρτηση των Hardy & Littlewood 7 2 Η weak type ανισότητα 3 Το ϑεώρηµα διαφορισιµότητας του Lebesgue 7 4 Η µεγιστική συνάρτηση σε χώρους Lebesgue 23 Παρατηρήσεις 3 Βιβλιογραφία 33 3

4 4

5 Εισαγωγή Εστω µια συνεχής συνάρτηση f : R R. Τότε ορίζουµε την µέση τιµή της στο διάστηµα [x r, x + r] να είναι η ποσότητα A r f(x) = 2r x+r x r f(y) dy. Αφού η f είναι συνεχής, γνωρίζουµε ότι η A r f(x) είναι µια καλή προσέγγιση της f(x) για πολύ µικρά r > 0, δηλαδή lim A rf(x) = f(x) x R. r 0 + Η ιδιότητα αυτή των συνεχών συναρτήσεων ισχύει και σε ανώτερες διαστάσεις. Αν έχουµε µια f : R n R τότε κατ αντιστοιχία µε την µια διάσταση ϑέτουµε A r f(x) = f(y) dy, B(x, r) B(x,r) όπου έχουµε αντικαταστήσει το διάστηµα [x r, x + r] R µε την µπάλα B(x, r) R n κέντρου x και ακτίνας r, και το µήκος του διαστήµατος µε το µέτρο Lebesgue στο R n, το οποίο συµβολίζεται µε. Ισχύει όπως και στο R ότι για κάθε x R n. lim A r(x) = f(x) r 0 + Απόδειξη Εστω τυχόν ɛ > 0. Αφού η f είναι συνεχής στο x, υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για όλα τα r µε 0 < r < δ να ισχύει Εποµένως για κάθε τέτοιο r > 0 A f (x) f(x) y B(x, r) f(x) f(y) < ɛ. f(x) f(y) dy ɛ. B(x, r) B(x,r) Η υπόθεση της συνέχειας της f είναι απαραίτητη. Πράγµατι αν ϑέσουµε A = {(x, x 2,... x n ) R n : x n 0} 5

6 και f(x) = X A (x) τότε για κάθε x στο σύνορο του A έχουµε A r f(x) = A B(x, r) B(x, r) = 2 2 = f(x). Παρατηρούµε ότι το σύνορο, δηλαδή εκεί ακριβώς όπου η A r f αποτυγχάνει να συγκλίνει στην f, έχει µέτρο 0. Αυτό µας δίνει το έναυσµα να αναρωτηθούµε σε τί ϐαθµό η µέση τιµή µπορεί να προσεγγίσει «αυθαίρετες» (όχι κατ ανάγκη συνεχείς) συναρτήσεις. Στο προηγούµενο παράδειγµα, το σύνολο των προβληµατικών σηµείων είναι µέτρου µηδέν. Μήπως λοιπόν, γενικότερα, η µέση τιµή λειτουργεί καλά για σχεδόν όλα τα x; Αν η απάντηση είναι «ναι», µήπως απλά αρκεί η συνάρτηση να είναι ολοκληρώσιµη πάνω σε κάθε µπάλα (f L loc ); Αυτή είναι η ελάχιστη απαίτηση που µπορούµε να έχουµε από µια συνάρτηση για να ορίζεται η µέση τιµή της. Η έρευνα πάνω σε αυτά τα ερωτήµατα - τα οποία όπως ϑα δούµε λαµβάνουν καταφατικές απαντήσεις - ϑα είναι και ένας από του στόχους στο υπόλοιπο αυτής της διπλωµατικής εργασίας. Θα ξεκινήσουµε στο επόµενο κεφάλαιο µε µια προσεκτική µελέτη των ποικίλων εκφράσεων της µέσης τιµής και ειδικότερα του τελεστή M : L loc R, Mf = sup A r f. r>0 Ο τελεστής αυτός ονοµάζεται µεγιστική συνάρτηση των Har dy & Littlewood. Στο κεφάλαιο 2 ϑα δείξουµε πως δρα πάνω σε ολοκληρώσιµες συναρτήσεις, αποδεικνύοντας την ϑεµελιώδη ιδιότητά του, την λεγόµενη weak type ανισότητα. Στο κεφάλαιο 3 ϑα χρησιµοποιήσουµε την ανισότητα αυτή για δείξουµε ότι η προσέγγιση από την µέση τιµή είναι εφικτή (ϑεώρηµα διαφορισιµότητας του Lebesgue). Στο τελευταίο κεφάλαιο ϑα παρουσιάσουµε διάφορες ιδιότητες της µεγιστικής συνάρτηση οι οποίες έχουν ανεξάρτητο ενδιαφέρον. 6

7 Κεφάλαιο Η µεγιστική συνάρτηση των Hardy & Littlewood Η µεγιστική συνάρτηση των Hardy & Littlewood είναι ένας υπογραµµικός τελεστής στον χώρο των τοπικά Lebesgue ολοκληρώσιµων πραγµατικών συναρτήσεων. ίνεται από τον τύπο : Mf(x) = sup f(x y) dy, r>0 B(0, r) B(0,r) όπου f L loc (Rn ). Στην πορεία ϑα χρειαστούµε δύο ακόµα ϐοηθητικές συναρτήσεις µε παρόµοιες εκφράσεις. Την µεγιστική συνάρτηση πάνω σε κύβους : M f(x) = sup r>0 (2r) n f(x y) dy, Q r όπου µε Q r συµβολίζουµε τους κύβους της µορφής [ r, r] n, και την δυαδική µεγιστική συνάρτηση η οποία ορίζεται ως εξής. Για κάθε k Z έστω Q k το σύνολο όλων των k-δυαδικών κύβων, δηλαδή Q k = { n i= [ ji 2 k, j ) } i + 2 k : j,..., j n Z. Θέτουµε E k f(x) = Q Q k ( ) f X Q (x) Q Q και ορίζουµε τη δυαδική µεγιστική συνάρτηση να είναι M d f(x) = sup E k f(x). k Παρατηρούµε ότι οι Mf και M f είναι κατά σηµείο συγκρίσιµες. Πιο συγκεκριµένα, έχουµε το ακόλουθο αποτέλεσµα. 7

8 (α ) B(r, 0) [ r, r] n Σχήµα.: Συγκρισιµότητα µπάλας - κύβου (ϐ ) B(r, 0) [ r/ n, r/ n] n Πρόταση. Υπάρχουν ϑετικές σταθερές c n, C n, οι οποίες εξαρτώνται µόνο από τη διάσταση n, έτσι ώστε Mf c n M f και M f C n Mf. Απόδειξη Εστω r > 0 τότε B(0, r) [ r, r] n = Q r (σχήµα.(α )). Αφού η ολοκληρωτέα ποσότητα είναι ϑετική το ολοκλήρωµα ϑα είναι µεγαλύτερο στο µεγαλύτερο χωρίο : B(0,r) f(x y) dy f(x y) dy. [ r,r] n Εποµένως, αν v n είναι ο όγκος της µοναδιαίας µπάλας, τότε έχουµε f(x y) dy = 2n f(x y) dy 2n f(x y) dy. B(0, r) B(0,r) v n Q r B(0,r) v n Q r Q r Συνεπώς Mf(x) 2n v n M f(x). Από το σχήµα.(ϐ ) παρατηρούµε επίσης ότι B(0, r) [ r/ n, r/ n] n = Q r/ n. Εποµένως, όπως πριν, έχουµε f(x y) dy = v Q n r/ n Q r/ n ( ) n n f(x y) dy 2 B(0, r) Q r/ n ) n f(x y) dy. B(0, r) v n ( n 2 B(0,r) 8

9 Άρα ( ) n n M f(x) v n Mf(x). 2 Θα δούµε τώρα κάποιες στοιχειώδεις ιδιότητες της µεγιστικής συνάρτησης. Πρόταση.2 Η M f είναι µετρήσιµη για κάθε f τοπικά ολοκληρώσιµη. Απόδειξη Θα δείξουµε ότι το σύνολο A λ = {x : Mf(x) > λ} είναι µετρήσιµο για τυχόντα πραγµατικό αριθµό λ. Πράγµατι αν υποθέσουµε ότι x A λ τότε f(x y) dy > λ. B(0, r) sup r>0 Άρα υπάρχει r 0 > 0 τέτοιο ώστε B(0, r 0 ) B(0,r) B(0,r 0 ) f(x y) dy > λ. Με αλλαγή µεταβλητής έχουµε f(y) dy > λ. B(x, r 0 ) B(x,r 0 ) Επιλέγουµε ɛ > 0 έτσι ώστε f(y) dy > λ. B(x, r 0 + ɛ) B(x,r 0 ) Παρατηρούµε ότι για κάθε x B(x, ɛ) έχουµε B(x, r 0 + ɛ) B(x, r 0 ), όπως ϕαίνεται και στο σχήµα.2. Άρα Mf(x ) B(x f(y) dy >, r 0 + ɛ) B(x,r 0 +ɛ) f(y) dy > λ B(x, r 0 + ɛ) B(x,r 0 ) Τελικά συµπεραίνουµε ότι B(x, ɛ) A λ και ότι το A λ είναι ανοιχτό, άρα µετρήσιµο. Με παρόµοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι η M f είναι µετρήσιµη. Η µετρησιµότητα της M d f είναι άµεση συνέπεια της µετρησιµότητας των E k f. Παρολαυτά, σε ότι αφορά την ολοκληρωσιµότητα, η M αποτυγχάνει. Πράγµατι αν η f δεν είναι ταυτοτικά µηδέν τότε υπάρχουν R > 0 και ɛ > 0 τέτοια ώστε να ισχύει B(0,R) f ɛ. Τώρα για κάθε x µε x > R έχουµε B(0, R) B(x, 2 x ). Άρα Mf(x) f B(x, 2 x ) 2 n v n x n B(x,2 x ) 9 B(0,R) f ɛ 2 n v n x n.

10 Σχήµα.2: B(x, r 0 ) B(x, r 0 + ɛ) Εποµένως Mf R n x >R Mf(x)dx ɛ 2 n v n x >R dx x n = +. ηλαδή, η Mf δεν είναι ποτέ στον L, εκτός και αν η f είναι ταυτοτικά µηδέν. 0

11 Κεφάλαιο 2 Η weak type ανισότητα Οπως είδαµε το αποτέλεσµα της δράσης της µεγιστικής συνάρτησης πάνω στον L δεν είναι ποτέ ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Εχουµε όµως µια λίγο ασθενέστερη ιδιότητα, τη λεγόµενη weak (,) ανισότητα. Ορισµός 2. Εστω (X, µ), (Y, ν) δύο χώροι µέτρου και T ένας τελεστής από τον L p (X, µ) στον χώρο των µετρήσιµων συναρτήσεων από τον Y στο R. Θα λέµε ότι ο T είναι weak (p, q), p, q <, αν υπάρχει σταθερά C > 0 τέτοια ώστε να ισχύει για κάθε λ > 0. ( C f p ν({y Y : T f(y) > λ}) λ ) q, Οταν οι δύο χώροι (X, µ), (Y, ν) ταυτίζονται και p = q η weak ανισότητα είναι η γνωστή ανισότητα του Chebychev. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η M d είναι weak (,). Θεώρηµα 2. Η M d είναι weak (,). Απόδειξη Εστω f L. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι f 0. Για λ > 0, ορίζουµε τα σύνολα Ω = {x R n : M d f(x) > λ}, και Ω k = {x R n : E k f(x) > λ και E j f(x) λ αν j < k}, k Z. Αν k k 2 τότε τα σύνολα Ω k2 και Ω k2 είναι ξένα µεταξύ τους. Πράγµατι, χωρίς ϐλάβη της γενικότητας υποθέτουµε ότι k > k 2. Τότε αν x Ω k έχουµε E k2 f(x) < λ x / Ω k2.

12 Οµοια αν x Ω k2 τότε E k f(x) > λ x / Ω k και τελικά Ω k Ω k2 =. Παρατηρούµε ότι κάθε Ω k µπορεί να γραφτεί σαν ένωση k-δυαδικών κύβων, και ότι Ω = k Ω k. Πράγµατι, η σχέση Ω k Ω k είναι προφανής. Αντίστροφα, αν x Ω, τότε υπάρχει µια ακολουθία δυαδικών κύβων Q x k Q k τέτοια ώστε x Q x k. Προφανώς Ekf(x) = Q x k f. Q x k Εφόσον τώρα M d f(x) > λ, το σύνολο I = {k Z : E k f(x) > λ} είναι µη κενό. Εφόσον f L, έχουµε ότι lim k Q x k f = 0, Q x k άρα το I είναι κάτω ϕραγµένο. Θέτουµε k(x) = min I. Τότε x Ω k(x). Εποµένως {x R n : M d f(x) > λ} = Ω = Ω k = Ω k E k f λ k k k Ω k = ( ) f X Q λ k Ω k Q Q Q Q k = ( ) Q Ωk f λ k Q Q Q Q k = f = f = λ Q λ Ω k λ k Q Q k Q Ω k k S k Ω k f λ f Η τελευταία σχέση είναι η weak (,) ανισότητα µε C =. 2

13 Η weak (,) ανισότητα για την µεγιστική συνάρτηση είναι αµεση συνέπεια της weak (,) ανισότητας για την δυαδική, που µόλις αποδείξαµε, και του παρακάτω λήµµατος. Λήµµα 2. Αν η f είναι ολοκληρώσιµη τότε {x R n : M f(x) > 4 n λ} 2 n {x R n : M d f(x) > λ} Απόδειξη Μπορούµε να υποθέσουµε ότι η f είναι µη αρνητική. Με το συµβολισµό της προηγούµενης απόδειξης έχουµε {x R n : M d f(x) > λ} = k Ω k = j Q j, όπου οι Q j είναι δυαδικοί κύβοι. Για τον τυχόντα Q j ϑεωρούµε τον αντίστοιχο κύβο µε το ίδιο κέντρο και διπλάσιο µήκος πλευράς, τον οποίο συµβολίζουµε µε 2Q j. Σταθεροποιούµε τώρα ένα x 0 / j 2Q j. Αν ο Q είναι ένας κύβος µε κέντρο το x 0 και µήκος πλευράς l(q) τότε υπάρχει κάποιος ακέραιος k τέτοιος ώστε 2 k+ l(q) < 2 k. Αφού το µήκος πλευράς του Q είναι το πολύ 2 k, τέµνει το πολύ 2 n το πλήθος k-δυαδικούς κύβους τους οποίους ϑα συµβολίσουµε µε R, R 2,..., R m. Αν οποιοσδήποτε από αυτούς τους κύβους περιεχόταν σε κάποιο Q j ϑα είχαµε ότι R i i j 2Q j x 0 j 2Q j, το οποίο έρχεται σε αντίθεση µε την υπόθεση. Αφού δυο δυαδικοί κύβοι είτε είναι ξένοι, είτε περιέχεται ο ένας στον άλλον, συµπεραίνουµε ότι R i Q j = για κάθε i, j. Άρα f λ, R i R i για κάθε i. Συνεπώς f = Q Q Q 2 n m i= m i= f Q R i R i m i= R i Q R i R i f 2 n mλ 4 n λ, R i f όπου στη δεύτερη ανισότητα χρησιµοποιήσαµε την εκτίµηση R i Q = 2 kn l(q) n 3 2 kn 2 (k+)n = 2n.

14 Αυτό σηµαίνει ότι M f(x 0 ) 4 n λ Άρα {x R n : M f(x) > 4 n λ} j 2Q j. Εποµένως {x R n : M f(x) > 4 n λ} 2Q j j 2Q j = 2 n Q j j j = 2 n Q j = 2n {x R n : M d f(x) > λ} j Τώρα έχουµε τα απαραίτητα εργαλεία για την Hardy & Littlewood weak (,) ανισότητα. Πόρισµα 2. Η µεγιστική συνάρτηση των Hardy & Littlewood είναι weak (,). Απόδειξη Από το προηγούµενο κεφάλαιο γνωρίζουµε ότι Mf 2n v n M f. Εποµένως συνδυάζοντας τα αποτελέσµατα αυτού του κεφαλαίου παίρνουµε { {x R n : Mf(x) > λ} x R n : M f(x) > λ v } n 2 n το οποίο είναι και το Ϲητούµενο. 2 n { x R n : M d f(x) > λ v n 8 n } 6 n v n f λ, Θα δώσουµε τώρα µια εναλλακτική απόδειξη της weak type ανισότητας. Θέτουµε E = {x R n : Mf(x) > λ}, και έστω K E συµπαγές. Για κάθε x K υπάρχει µια µπάλα B x µε κέντρο x έτσι ώστε f > λ. B x B x Αφού το K είναι συµπαγές υπάρχει πεπερασµένη οικογένεια F {B x : x K} τέτοια ώστε K B. B F Επιλέγουµε µια ξένη υποοικογένεια D F ως εξής. Το πρώτο στοιχείο της D είναι η µεγαλύτερη µπάλα στην F, έστω B. Αφαιρούµε από την F την B και όλες τις µπάλες οι οποίες την τέµνουν. 4

15 Το δεύτερο στοιχείο της D είναι η µεγαλύτερη µπάλα ανάµεσα σ αυτές που έχουν µείνει στην F, έστω B 2. Οπως πριν, αφαιρούµε από την F την B 2 και όλες τις µπάλες οι οποίες την τέµνουν. Συνεχίζουµε µε τον ίδιο τρόπο µέχρι να εξαντλήσουµε την F. Προφανώς, η D είναι ξένη και επί πλέον B 3B, B F B D διότι στο k-ϐήµα, όλες οι µπάλες που τέµνουν την B k έχουν ακτίνα µικρότερη από την ακτίνα της B k και άρα περιέχονται στην 3B k. Ετσι έχουµε K B 3B 3B = 3 n B < 3n λ B F B D B D B D = 3n λ S f 3n B D B λ f. B D B f Η παραπάνω σχέση ισχύει για κάθε συµπαγές υποσύνολο του E, άρα από την κανονικότητα του µέτρου Lebesgue έχουµε E = sup K 3n K E λ f. K συµπαγές Ο λόγος που επιλέξαµε να δώσουµε µια έµµεση και «περίπλοκη» απόδειξη της weak (,) ανισότητας ενώ υπάρχει η παραπάνω απλούστερη, ϑα γίνει κατανοητός στο επόµενο κεφάλαιο. 5

16 6

17 Κεφάλαιο 3 Το ϑεώρηµα διαφορισιµότητας του Lebesgue Είµαστε έτοιµοι να χρησιµοποιήσουµε τώρα την weak (,) ανισότητα και στοιχειώδη εργαλεία ανάλυσης για να αποδείξουµε το ϑεώρηµα διαφορισιµότητας του Lebesgue. Θεώρηµα 3. (Θεώρηµα διαφορισιµότητας του Lebesgue.) Αν η f είναι µια ολοκληρώσιµη πραγ- µατική συνάρτηση στον R n τότε ισχύει lim r 0 f(y) dy = f(x) για σχεδόν όλα τα x. B(x, r) B(x,r) Ισοδύναµα, αν χρησιµοποιήσουµε το συµβολισµό για τη µέση τιµή από την Εισαγωγή lim A rf = f r 0 σχεδόν παντού. Απόδειξη Εστω λοιπόν µια f L. Ορίζουµε δύο ϐοηθητικούς τελεστές και T r f(x) = f(y) f(x) dy B(x, r) B(x,r) T f(x) = lim sup T r f(x). r 0 Θα δείξουµε ότι T f(x) = 0 για σχεδόν όλα τα x. Γνωρίζουµε ότι το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων µε συµπαγή ϕορέα είναι πυκνό στον L. Αυτό σηµαίνει ότι για τυχόν k N υπάρχει g C 0 (R n ) µε f g < /k. Θέτουµε h = f g. Τότε T r f T r h + T r g. 7

18 Άρα T f T h + T g. Παρατηρούµε ότι T r g(x) = A r ( g g(x) )(x). Αφού για σταθεροποιηµένο x η g g(x) είναι συνεχής, έχουµε από την Εισαγωγή ότι Εποµένως το οποίο σηµαίνει ότι lim A r( g g(x) )(z) = g(z) g(x) για κάθε z. r 0 T g = 0, T f T h (3.) Επίσης T r h(x) = h(y) h(x) dy B(x, r) B(x,r) Mh(x) + h(x). h(y) dy + h(x) B(x, r) B(x,r) Άρα Συνδυάζοντας τις (3.) και (3.2) παίρνουµε T h Mh + h. (3.2) T f Mh + h. Εστω τώρα λ > 0. Θα εκτιµήσουµε το µέτρο του συνόλου όπου T f > 2λ. Αν για κάποιο x έχουµε T f(x) > 2λ, τότε Mh(x) + h(x) > 2λ, άρα είτε Mh(x) > λ, είτε h(x) > λ. Συνεπώς {x R n : T f(x) > 2λ} {x R n : Mh(x) > λ} {x R n : h(x) > λ}. Άρα {x R n : T f(x) > 2λ} {x R n : Mh(x) > λ} + {x R n : h(x) > λ}. (3.3) Η weak (,) ανισότητα δίνει Ενώ η Chebychev {x R n : Mh(x) > λ} 6n v n λ h. {x R n : h(x) > λ} λ h. 8

19 Συνδυάζοντας µε την (3.3) παίρνουµε {x R n : T f(x) > 2λ} 6n + v n h 6n + v n v n λ v n λ k. Η ανισότητα αυτή είναι αληθής για κάθε ϕυσικό αριθµό k, άρα το αριστερό µέλος πρέπει να είναι µηδέν {x R n : T f(x) > 2λ} = 0 Αφού εκτιµήσαµε το µέτρο του {x R n : T f(x) > 2λ} όταν λ > 0 µπορούµε εύκολα να ϐγάλουµε συµπέρασµα και όταν λ = 0. Παρατηρούµε ότι Εποµένως {x R n : T f(x) > 0} = {x R n : T f(x) > 0} j= { x R n : T f(x) > 2 }. j { x R n : T f(x) > 2 } = 0. j j= Το οποίο σηµαίνει ότι η T f είναι σχεδόν παντού µηδέν. Τα σηµεία που η T f είναι µηδέν ονοµά- Ϲονται σηµεία Lebesgue. Παρατηρήσεις. Στο ϑεώρηµα διαφορισιµότητας υποθέσαµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη για να µπορέσουµε να εφαρµόσουµε την weak type ανισότητα. Παρολαυτά το ϑεώρηµα εξακολουθεί να ισχύει για οποιαδήποτε τοπικά ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Πράγµατι, αν f L loc και ϑέσουµε f k = fx B(0,k), k N, τότε f k L. Εποµένως υπάρχει E k R n µε E k = 0 έτσι ώστε lim A rf k (x) = f k (x) για κάθε x / E k. r 0 Άρα lim A rf(x) = f(x) για κάθε x / r 0 E k. k= 2. Κάθε f L p, p <, είναι τοπικά ολοκληρώσιµη, διότι για κάθε K R n συµπαγές η ανισότητα Hölder δίνει Εποµένως από την προηγούµενη παρατήρηση K f K /p f p < όπου p = p p. lim A rf = f r 0 σχεδόν παντού. 9

20 3. Μια προφανής παραλλαγή του ϑεωρήµατος διαφορισιµότητας είναι η εξής : Για κάθε x R n έστω {U k (x) : k N} µια οικογένεια από µπάλες ή κύβους τέτοια ώστε x U k (x) και lim k diam(u k(x)) = 0, όπου diam είναι η διάµετρος του συνόλου. Τότε για κάθε f L loc έχουµε lim f(y)dy = f(x) για σχεδόν όλα τα x. k U k (x) U k (x) 4. Μια άλλη παραλλαγή του ϑεωρήµατος διαφορισιµότητας είναι η ακόλουθη : Αν f L p, p <, τότε lim r 0 f(y) f(x) p dy = 0 για σχεδόν όλα τα x. B(x, r) B(x,r) Πράγµατι, για κάθε t Q υπάρχει E t R n µε E t = 0 έτσι ώστε lim f(y) t p dy = f(x) t p για κάθε x / E t. r 0 B(x, r) B(x,r) Εστω τώρα x / t Q E t, και ɛ > 0. Επιλέγουµε t 0 Q τέτοιο ώστε f(x) t 0 < ɛ. Τότε από την ανισότητα Minkowski έχουµε Άρα ( B(x, r) B(x,r) lim sup r 0 ( f(y) f(x) p dy B(x, r) και το συµπέρασµα έπεται. B(x,r) ) /p ( B(x, r) B(x,r) f(y) t 0 p dy) /p + f(x) t 0. f(y) f(x) p dy) /p 2 f(x) t 0 < 2ɛ, 5. Αν A R n είναι ένα Lebesgue µετρήσιµο σύνολο και εφαρµόσουµε το ϑεώρηµα διαφορισιµότητας στη συνάρτηση X A παίρνουµε και A B(x, r) lim = για σχεδόν όλα τα x A, r 0 B(x, r) A B(x, r) lim = 0 για σχεδόν όλα τα x / A. r 0 B(x, r) Το αποτέλεσµα αυτό συνήθως ονοµάζεται ϑεώρηµα πυκνότητας του Lebesgue. ιαισθητικά σηµαίνει ότι από µετροθεωρητική άποψη, ένα µετρήσιµο σύνολο «µοιάζει» µε διάστηµα σε πολύ µικρές κλίµακες. 20

21 Μια πολύ σηµαντική εφαρµογή του ϑεωρήµατος διαφορισιµότητας στην Ανάλυση είναι η λεγόµενη διάσπαση Calderón-Zygmund. Η απόδειξη χρησιµοποιεί ιδέες που αναπτύχθηκαν σ- το προηγούµενο κεφάλαιο. Θεώρηµα 3.2 ( ιάσπαση Calderón-Zygmund σε ύψος λ.) Εστω f µια µη αρνητική ολοκληρώσιµη συνάρτηση, και λ > 0. Τότε υπάρχει µια ακολουθία {Q j } ξένων ανά δύο δυαδικών κύβων τέτοια ώστε :. Q j j λ f. 2. λ < f 2 n λ για κάθε j. Q j Q j 3. f(x) λ για σχεδόν όλα τα x / j Q j. Απόδειξη Θεωρούµε τα σύνολα Ω k και τους αντίστοιχους δυαδικούς κύβους Q j του προηγούµενου κε- ϕαλαίου. Η πρώτη ανισότητα είναι ακριβώς η weak (,) για την M d. Αν τώρα Q j Ω k είναι ένας k-δυαδικός κύβος και Q j είναι ο µοναδικός (k )-δυαδικός κύβος ο οποίος τον περιέχει, τότε από τον ορισµό των συνόλων Ω k έχουµε λ < f Q j Q j και Q f λ. j eq j Αλλά Q j = 2 n Q j και έτσι παίρνουµε τη δεύτερη ανισότητα. Τέλος αν x / j Q j είναι ένα σηµείο Lebesgue της f, και {R i } είναι µια ϕθίνουσα ακολουθία δυαδικών κύβων τέτοια ώστε x R i, τότε από τον ορισµό των συνόλων Ω k έχουµε ότι f λ. R i R i Παίρνοντας όριο καθώς i, έχουµε την τελευταία ανισότητα. Στο επόµενο κεφάλαιο ϑα δούµε µια τυπική εφαρµογή αυτής της διάσπασης. 2

22 22

23 Κεφάλαιο 4 Η µεγιστική συνάρτηση σε χώρους Lebesgue Στα προηγούµενα κεφάλαια είδαµε τον σηµαντικό ϱόλο που έχει η weak type (,) ανισότητα. Η ανισότητα αυτή αντανακλά τον τρόπο µε τον οποίο ο µεγιστικός τελεστής δρα πάνω σε L συναρτήσεις. Τώρα ϑα εξετάσουµε µερικές επιπλέον ιδιότητες ξεκινώντας µε τον τρόπο που δρα πάνω σε L p συναρτήσεις. Για το επόµενο ϑεώρηµα που ϑα δείξουµε ϑα χρειαστούµε την ϐοήθεια της παρακάτω πρότασης. Πρόταση 4. Για κάθε πραγµατική συνάρτηση f L p ισχύει ότι f p p = p Απόδειξη 0 λ p { f > λ} dλ. Εστω f L p. Με εφαρµογή του ϑεµελιώδους ϑεωρήµατος του απειροστικού λογισµού παρατηρούµε ότι f p p = f(x) p dx = R n R n f(x) 0 pλ p dλ dx Το Ϲητούµενο προκύπτει µε µια αλλαγή στη σειρά της ολοκλήρωσης : R n 0 f(x) pλ p dλ dx = = p = p R n pλ p X { f >λ} (x) dλ dx λ p R n X { f >λ} (x) dx dλ λ p {x R n : f(x) > λ} dλ. Με χρήση τώρα του προηγούµενου αποτελέσµατος ϑα δείξουµε το παρακάτω ϑεώρηµα. 23

24 Θεώρηµα 4. Η µεγιστική συνάρτηση των Hardy & Littlewood είναι ϕραγµένος τελεστής από τον L p στον L p για κάθε p µε < p. Απόδειξη Εστω f L p. ιασπάµε την f σε δύο συναρτήσεις. f 0 = fx { f >λ/2}, f = fx { f λ/2}. Είναι προφανές ότι f = f 0 + f. Επιπλέον το χωρίο πάνω στο οποίο η f είναι µεγαλύτερη του λ/2 έχει πεπερασµένο µέτρο διαφορετικά ϑα είχαµε f p = +. Άρα από την ανισότητα Hölder f 0 = f X { f >λ/2} { f > λ/2} /q f p < +, R n όπου q είναι ο συζυγής εκθέτης του p. ηλαδή η f 0 είναι L. Η f από την άλλη είναι προφανώς L. Από την υπογραµµικότητα τώρα του M έχουµε Mf Mf 0 + Mf. Άρα { Mf > λ} { Mf 0 > λ/2} + { Mf > λ/2} = { Mf 0 > λ/2}. Εφαρµόζοντας την weak (,) ανισότητα για την M και την προηγούµενη πρόταση παίρνουµε Mf p p = p λ p { Mf > λ} dλ p λ p { Mf 0 > λ/2} dλ 0 0 p C n λ p 2 f 0 dλ = p C n λ p 2 f(x) X { f >λ/2} (x) dxdλ 0 0 R n 2 f(x) = p C n f(x) λ R p 2 X { f >λ/2} (x) dλdx = p C n f(x) λ n 0 R p 2 dλdx n 0 = 2p p C n p f(x) p p, όπου C n η σταθερά της weak (,) ανισότητας. Η σταθερά που εµφανίζεται στην προηγούµενη L p L p εκτίµηση εξαρτάται από την αντίστοιχη weak type σταθερά, η οποία µε τη σειρά της, αν παρατηρήσει κανείς τις αποδείξεις του κεφαλαίου 2, εξαρτάται εκθετικά από τη διάσταση n. Θα δώσουµε τώρα µια απόδειξη η οποία ϐελτιώνει την εξάρτηση αυτή από εκθετική σε γραµµική. Για τις ανάγκες της απόδειξης εισάγουµε τις παρακάτω ϐοηθητικές συναρτήσεις. Εστω h L loc (R).Για x R ορίζουµε την µονοδιάστατη Hardy-Littlewood µεγιστική συνάρτηση : M h(x) = sup r>0 2r 24 r r h(x t) dt.

25 Αν x R n τότε για ξ S n και f C 0 (R n ) ορίζουµε την Hardy-Littlewood µεγιστική συνάρτηση στην κατεύθυνση ξ: r M ξ f(x) = sup f(x tξ) dt. r>0 r 0 Τέλος για τυχούσα f : R n R και για x R n ορίζουµε την f x : R R µε τύπο f x (x) = f(x, x). Εστω λοιπόν µια f στον L p για < p < + και ένα ξ S n. Τότε υπάρχει συνάρτηση στροφής A ξ : R n R n µε την ιδιότητα A ξ (ξ) = e = (, 0, 0,..., 0). ηλαδή η A ξ ταυτίζει το ξ µε το µοναδιαίο e του R n. Παρατηρούµε ότι ( M ξ f A ξ ) (x) = sup r>0 r = sup r>0 r r 0 r 0 ( f ( A ξ f A ξ r ) (x tξ) dt = sup r>0 r 0 ( )x (x t) dt 2M ( f A ξ ) f A ξ ) (x te ) dt x (x ), όπου x η πρώτη συντεταγµένη στο διάνυσµα x. Εφόσον το µέτρο Lebesgue είναι αναλλοίωτο στις στροφές έχουµε ( (M ξ f(x)) p dx = M ξ f R n R n 2 p R n ( A R p ξ (x))) dx ( ) (M f A ξ Για την µονοδιάστατη Hardy-Littlewood έχουµε ήδη δείξει την ανισότητα ) p (x ) dx dx x M f P C p f p, C p > 0. Συνδυάζοντας την µε την τελευταία ανισότητα παίρνουµε R n (M ξ f(x)) p dx 2 p C p p f A ξ p p = 2 p C p p f p p. Τώρα µε αλλαγή σε πολικές συντεταγµένες έχουµε f(x y) dy = r B(0, r) B(0,r) v n r n t n Mf(x tξ) dσ(ξ) dt 0 S n r Mf(x tξ) dσ(ξ) dt v n r 0 S n = r Mf(x tξ) dt dσ(ξ) v n S n r 0 M ξ f(x) dσ(ξ), v n S n 25

26 όπου dσ είναι το επιφανειακό µέτρο Lebesgue στην µοναδιαία σφαίρα S n. Άρα Mf(x) M ξ f(x) dσ(ξ). v n S n Εποµένως από την ανισότητα Minkowski για ολοκληρώµατα έχουµε ( R n (Mf(x)) p dx ) p [ v n v n = v n R n S n ( ) p p M ξ f(x) dx] S ( n ) p (M ξ f(x)) p dx dσ(ξ) R n S n M ξ f(x) p dσ(ξ) 2C p v n σ ( S n ) f p. Επιπλέον για το v n έχουµε v n = dx = r n dσ(ξ) dr = σ ( S n ) B(0,) 0 S n 0 Τελικά καταλήγουµε ( Mf p = = 2nC p f p, το οποίο είναι και το Ϲητούµενο. ) p R n (Mf(x)) p dx 2C p σ ( S n ) f p = v n r n dr = σ ( S n ) n 2nC p σ (S n ) σ ( S n ) f p Οπως έχουµε δεί το παραπάνω ϑεώρηµα δεν ισχύει αν p =. Παρόλαυτα µπορούµε να κάνουµε κάποιες εκτιµήσεις για την L νόρµα της Mf αν επιβάλλουµε κάποιους περιορισµούς στην f. Το ϑεώρηµα που ακολουθεί µετά το παρακάτω λήµµα έχει ακριβώς αυτό τον σκοπό. Λήµµα 4. Υπάρχουν ϑετικές σταθερές C, C 2 και c έτσι ώστε για κάθε f L και κάθε λ > 0. {x : Mf(x) > 2λ} C f(x) dx. λ { f >λ} 2. {x : Mf(x) > cλ} C 2 f(x) dx. λ Απόδειξη. Θέτουµε f = fx { f >λ}. Τότε { f >λ} {x : Mf(x) > 2λ} {x : Mf (x) > λ} και η weak (,) ανισότητα δίνει {Mf > 2λ} {Mf > λ} C λ f (x) dx = C λ { f >λ} f(x) dx. 26

27 Σχήµα 4.: Q j B(x, l(q j ) n) 2. Εστω {Q j } µια διάσπαση Calderón-Zygmund της f σε ύψος λ. Για τυχόν x Q j ϑέτουµε B j = B(x, l(q j ) n). Οπως ϕαίνεται και στο σχήµα 4., έχουµε Q j B j, άρα λ < f(x) dx B j f(x) dx Q j Q j Q j B j B j c Mf(x). όπου /c = B j / Q j. Αυτό ισχύει για όλους τους κύβους Q j άρα Q j {x R n : Mf(x) > cλ} j j Q j {x R n : Mf(x) > cλ} Q j {x Rn : Mf(x) > cλ} Από τις ιδιότητες της διάσπασης γνωρίζουµε ότι f(x) λ για σχεδόν όλα τα x / j Q j. Εποµένως f(x) dx S f(x) dx = f(x) dx { f >λ} j Q j j Q j = Q j f(x) dx Q j j Q j 2 n λ Q j = 2 n λ Q j j j 2 n λ {x : Mf(x) > cλ} Το προηγούµενο λήµµα λέει ότι, κατά µια έννοια, η weak type ανισότητα µπορεί να αντιστραφεί. Είµαστε τώρα σε ϑέση να αποδείξουµε το ακόλουθο : 27

28 Θεώρηµα 4.2 Εστω B R n µια µπάλα και έστω f L µια συνάρτηση στον R n µε ϕορέα το B. Τότε Mf L (B) όπου log + f = max{0, log f }. αν και µόνο αν f log + f < +, B Απόδειξη Για απλότητα ϑα συµβολίζουµε όλες τις σταθερές µε C. Εστω ότι f log + f < +. B Τότε B Mf(x) dx = 2 Οµως ισχύει ότι = {x B : Mf(x) > 2λ} dλ {x B : Mf(x) > 2λ} dλ + 2 {x B : Mf(x) > 2λ} dλ + 0 {x B : Mf(x) > 2λ} dλ. B dλ = B και από το προηγούµενο λήµµα ότι + + {x B : Mf(x) > 2λ} dλ C f(x) dx. λ {x B: f(x) >λ} Το Ϲητούµενο έπεται συνδυάζοντας τα παραπάνω : + Mf(x) dx B + C f(x) dxdλ 2 B λ {x B: f(x) >λ} + = B + C f(x) X {x B: f(x) >λ} (x) dλ dx B λ max{, f(x) } dλ = B + C f(x) B λ dx = B + C f log + f < +. B Αντίστροφα, έστω ότι Ισχυριζόµαστε ότι B Mf(x) dx < +. Mf(x) dx < B Πράγµατι αν ϑέσουµε B(x 0, r 0 ) = B τότε για x 3 2 B \ B και r > x x 0 r 0 από το σχήµα 4.2 έχουµε B(x, r) B(x, 3r), 28

29 Σχήµα 4.2: B(x, r) B(x, 3r) όπου x είναι το συµµετρικό σηµείο του x ως προς την επιφάνεια της B. Άρα, αφού ο ϕορέας της f είναι το B έχουµε Mf(x) = sup r>0 C f(y) dy = B(x, r) B(x,r) sup r> x x 0 r 0 B(x, 3r) B(x,3r) sup f(y) dy r> x x 0 r 0 B(x, r) B(x,r) f(y) dy CMf(x ). Εποµένως, χρησιµοποιώντας πολικές συντεταγµένες, παίρνουµε 3 2 r 0 r n Mf(x) dx = Mf(x 0 + rξ) dσ(ξ) dr B\ 3 2 B r 0 S n 3 2 r 0 C r n Mf(x 0 + (2r 0 r)ξ) dσ(ξ) dr r 0 S n r0 = C (2r r 0 r) n Mf(x 0 + rξ) dσ(ξ) dr 02 S n r0 C r n Mf(x r 0 + rξ) dσ(ξ) dr 02 S n = C Mf(x)dx < +. B\ 2 B Το συµπέρασµα είναι ότι Mf(x) dx < B 29

30 Μπορούµε να επαναλάβουµε τα ϐήµατα της απόδειξης µε το 3/2B στη ϑέση του B και επαγωγικά να καταλήξουµε στο ότι για κάθε k N Mf(x)dx < +. ( 3 2) k B ηλαδή η M f είναι τοπικά ολοκληρώσιµη. Παρατηρούµε επίσης ότι Mf(x) 0 καθώς x +. Πράγµατι, αν ɛ > 0 τότε επιλέγουµε R > 0 έτσι ώστε B B(0, R) και /R < ɛ. Τότε για κάθε x µε x > 2R έχουµε Mf(x) = sup r>0 f = sup B(x, r) B(x,r) r>r Αφού το ɛ είναι αυθαίρετο έπεται ότι f C f B(x, r) B(x,r) R n < C f ɛ n. lim Mf(x) = 0. x + Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει µια αρκετά µεγάλη µπάλα B 0 τέτοια ώστε {x R n : Mf(x) > C} B 0. Άρα {x R n :Mf(x)>C} Mf(x) dx Mf(x) dx < + B 0 διότι η M f είναι τοπικά ολοκληρώσιµη. Ετσι από το προηγούµενο λήµµα έχουµε + > C {x R n :Mf(x)>C} + λ Mf(x) dx {x R n : f(x) >λ} + C f(x) dx dλ = C {x R n : Mf(x) > λ} dλ B f log + f. Το σύνολο των συναρτήσεων που ικανοποιούν τη συνθήκη του προηγούµενου ϑεωρήµατος λέγεται «χώρος L log L» και ϐρίσκεται µεταξύ του L και όλων των υπόλοιπων L p, p >. 30

31 Παρατηρήσεις Ο µεγιστικός τελεστής για n = εισήχθη από τους Hardy και Littlewood [3] οι οποίοι έδωσαν και την πρώτη απόδειξη της weak type ανισότητας. Η απόδειξη που παρουσιάσαµε, µέσω δυαδικών κύβων, στηρίζεται σε ιδέες των Calderón και Zygmund [] στους οποίους οφείλεται και η οµώνυµη διάσπαση. Η εναλλακτική απόδειξη στο τέλος του κεφαλαίου 2 δόθηκε από τον Wiener [6]. Το ϑεώρηµα 4. είναι ειδική περίπτωση του ϑεωρήµατος παρεµβολής του Marcinkiewicz, το οποίο µας επιτρέπει να περνάµε από weak type ανισότητες σε L p ανισότητες. Η τεχνική µέσω της οποίας ϐελτιώσαµε τη σταθερά στο ϑεώρηµα 4. ονοµάζεται «µέθοδος των περιστροφών» και οφείλεται στους Calderón και Zygmund [2]. Στην πραγµατικότητα, η εν λόγω σταθερά αποδεικνύεται [5] ότι δεν εξαρτάται από την διάσταση n. Είναι ανοιχτό πρόβληµα αν ισχύει το ίδιο και για την weak type σταθερά. Το ϑεώρηµα 4.2 ονοµάζεται «L log L-ϑεώρηµα». Το ευθύ οφείλεται στον Stein [4]. Το αντίστρο- ϕο στον Wiener [6]. 3

32 32

33 Βιβλιογραφία [] A. Calderón and A. Zygmund. On the existence of certain singular integrals, Acta Math. 88 (952) [2] A. Calderón and A. Zygmund. On singular integrals, Amer. J. Math. 8 (956) [3] G. H. Hardy and J. E. Littlewood. A maximal theorem with function-theoretic applications, Acta Math. 54 (930) 8-6. [4] E. M. Stein. Note on the class L log L, Studia Math. 32 (969) [5] E. M. Stein and J. O. Strömberg. Behavior of maximal functions in R n for large n, Ark. Mat. 2 (983) [6] N. Wiener. The ergodic theorem, Duke Math. J. 5 (939)

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Μαρία Μαστροθεοδώρου και Αγγελική Χαντζηθάνου Περίληψη Το κεντρικό αποτέλεσµα της εργασίας είναι ότι µια συνάρτηση f είναι απόλυτα συνεχής στο [, b] αν και µόνο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard.

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard. Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, ipschitz, Picard. Νίκος Σταµάτης nstam84@gmail.com 7 Φεβρουαρίου 212 Περίληψη Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουµε µια αναλυτική απόδειξη του ϑεωρήµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 4 Νοεµβρίου 2014, 1/19 Το ϑεώρηµα Riemann-Roch Θεωρούµε µια επιφάνεια Riemann M και το σώµα των F των

Διαβάστε περισσότερα

1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ

1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ Μια Εισαγωγή στη Θεωρία Παιγνίων Κώστας Στροπωνιάτης ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ A ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 1 Επιβλέπων Βαγγέλης Φελουζής Επιτροπή Χρήστος Νικολόπουλος Νίκος Παπαλεξίου 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης Σηµειώσεις σύντοµη εκδοχή Ε. Στεφανόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αιγαίου Καρλόβασι 2016 2 Περιεχόµενα 1 Γραµµικοι χωροι µε νορµα 5 1.1 Γραµµικοί χώροι......................................

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής 2 Ορισµός δοµικής

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Κυριάκος Γ. Μαυρίδης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΣΥΝΟΛΑ.... ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ...9 3. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ... 9 4. ΣΕΙΡΕΣ... 33 5. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 43 6. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 57 7. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ Περιεχόμενα 1. Το εξωτερικό μέτρο Lebesgue 2 2. Mετρήσιμα σύνολα 4 3. Η κανονικότητα του μέτρου Lebesgue

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης

Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Συµβάσεις και συµβολισµοί 4 1. Το εξωτερικό µέτρο Lebesgue 5 2. Μετρήσιµα σύνολα 7 3. Η

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις)

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (x+)(x 2 +) (ϐ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα f(x) f(x)+f(x+) για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειακή σύγκλιση σειρών Fourier: το ϑεώρηµα του Carleson

Σηµειακή σύγκλιση σειρών Fourier: το ϑεώρηµα του Carleson Σηµειακή σύγκλιση σειρών Fourier: το ϑεώρηµα του Carleson ιπλωµατική Εργασία Νικόλαος Σκαρµόγιαννης Επιβλέπων : Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 206 Περιεχόµενα Εισαγωγή.

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ.

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ. Άσκηση : Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα µεγέους από την κατανοµή µε σππ 3 p (,, >, > 0 α είξτε ότι η στατιστική συνάρτηση Τ( Χ : Χ ( m είναι επαρκής για την παράµετρο και πλήρης κ β Βρείτε ΑΕΕ του α Το στήριγµα

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα

Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 20/5/2000 Μηχανική ΙI Αδιαβατικά αναλλοίωτα Είδαµε ότι όταν η Χαµιλτονιανή συνάρτηση δεν εξαρτάται άµεσα από το χρόνο τότε αυτή διατηρείται κατά την κίνηση και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης.

Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης. Κεφάλαιο 1 Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης. Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Stein and Shakarchi 2009 και Wheeden 2015. 1.1 Μέτρο Lebesgue στο R Αν E R το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου. Θέμης Μήτσης. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο

Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου. Θέμης Μήτσης. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου Θέμης Μήτσης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1. Μέτρα 5 Κεφάλαιο 2. Εξωτερικά μέτρα 7 Κεφάλαιο 3. Το μέτρο Lebesgue 9 Κεφάλαιο 4. Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ.

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ Μαρτίου 00 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική

Διαβάστε περισσότερα