x y 2 = 2 sin θ 2 dx = K R n e x pt n+p 1 e tp dt. dx = pt p 1 e tp dt dx. t x 1 e t dt.

Transcript

1 Συναρτησιακές Ανισότητες και Συγκέντρωση του Μέτρου (-) Ασκήσεις Κεφάλαιο : Ισοπεριμετρικές ανισότητες και συγκέντρωση του μέτρου Θεωρούμε την μοναδιαία Ευκλείδεια σφαίρα S n = {x R n : x = } στον R n Ορίζουμε «απόσταση» ρ(x, y) δύο σημείων x, y S n να είναι η κυρτή γωνία xoy στο επίπεδο που ορίζεται από την αρχή των αξόνων o και τα x, y (α) Δείξτε ότι: αν ρ(x, y) = θ τότε και συμπεράνατε ότι (β) Δείξτε ότι η ρ είναι μετρική στην S n x y = sin θ π ρ(x, y) x y ρ(x, y), x, y S n Εστω K ένα συμμετρικό κυρτό σώμα στον R n και έστω x = min{t : x tk} η νόρμα που επάγεται στον R n από το K (ελέγξτε ότι K = {x : x } δηλαδή το K είναι η μοναδιαία μπάλα του (R n, )) Δείξτε ότι e x dx = K t n e t dt R n Γενικότερα, δείξτε ότι για κάθε p >, p dx = K Υπόδειξη: Μπορείτε να γράψετε R n e x e x p R n dx = R n 3 Η συνάρτηση Γ : (, + ) (, + ) ορίζεται μέσω της Δείξτε ότι: (α) Γ() = (β) Γ(x + ) = xγ(x) για κάθε x > Γ(x) = (γ) Γ(n + ) = n! για κάθε n =,,, pt n+p e tp dt ( ) pt p e tp dt dx x t x e t dt (δ) Γ ( ) = π Δείξτε επίσης ότι η συνάρτηση Γ είναι λογαριθμικά κυρτή: η log Γ είναι κυρτή συνάρτηση 4 Για κάθε p, η συνάρτηση είναι νόρμα στον R n Ορίζουμε x p = ( x p + + x n p ) /p B n p = {x R n : x p }

2 Δείξτε ότι ο όγκος της B n p είναι ίσος με [ Γ Bp n = Γ ( )] n p ( + ) n p + 5 (το Λήμμα του Borell) Εστω B κυρτό σώμα στον R n Για κάθε Lebesgue μετρήσιμο υποσύνολο A του R n, ορίζουμε A B µ B (A) = B (α) Εστω M R n κυρτό και συμμετρικό ως προς το Δείξτε ότι για κάθε t > ισχύει ο εγκλεισμός R n \ M t + (Rn \ tm) + t t + M (β) Υποθέτουμε επιπλέον ότι µ B (M) = a > Χρησιμοποιώντας το (α) και την ανισότητα Brunn- Minkowski δείξτε ότι, για κάθε t >, ( ) (t+)/ a µ B (tm) a a 6 Εστω A R n κλειστό, κυρτό και συμμετρικό ως προς την αρχή των αξόνων Δείξτε ότι για κάθε x R n ισχύουν οι ανισότητες e x / γ n (A) γ n (A + x) γ n (A) 7 Εστω f, g, h : [, ) [, ) τρείς ολοκληρώσιμες συναρτήσεις που ικανοποιούν την h( rs) f(r) g(s) για κάθε r, s > Δείξτε ότι ( h(x)dx f(x)dx g(x)dx) / 8* Εστω f, g, h : [, ) [, ) τρείς ολοκληρώσιμες συναρτήσεις που ικανοποιούν την ( ) h f(r) s r r+s g(s) r+s r + s για κάθε r, s > Θεωρούμε p > και θέτουμε A = B = C = ( /p f(r)r dr) p, ( /p g(r)r dr) p, ( /p h(r)r dr) p Δείξτε ότι C A + B

3 9 Εστω (X, d, µ) μετρικός χώρος πιθανότητας και έστω α µ η συνάρτηση συγκέντρωσης του µ Υποθέτουμε ότι για κάποιο ε (, ) και κάποιο t > ισχύει α µ (t) < ε Δείξτε ότι: αν A B(X) και µ(a) ε, τότε µ(a t+r ) α µ (r) για κάθε r > Εστω (X, d), (Y, σ) μετρικοί χώροι και έστω f : (X, d) (Y, σ) Lipsichtz συνεχής συνάρτηση με νόρμα f Lip Δηλαδή, για κάθε x, y X ισχύει σ(f(x), f(y)) f Lip d(x, y) Εστω µ ένα Borel μέτρο πιθανότητας στον X και έστω ν το Borel μέτρο πιθανότητας f(µ) το οποίο ορίζεται μέσω της ν(a) = µ(f (A)), A B(Y ) Δείξτε ότι για κάθε t > α ν (t) α µ (t/ f Lip ) Εστω (X, d, µ) μετρικός χώρος πιθανότητας και έστω α µ η συνάρτηση συγκέντρωσης του µ Δείξτε ότι: (α) Αν F : (X, d) R είναι μια -Lipschitz συνεχής συνάρτηση, τότε για κάθε t > (µ µ) ({(x, y) X X : F (x) F (y) t}) α µ (t/) (β) Αν A, B B(X) και dist(a, B) = δ >, τότε µ(a)µ(b) 4α µ (δ/) Εστω (X i, i ), i n, πεπερασμένη ακολουθία χώρων με νόρμα Για κάθε i n θεωρούμε ένα πεπερασμένο υποσύνολο Ω i του X i με διάμετρο μικρότερη ή ίση του Εστω P i μέτρο πιθανότητας στο Ω i Θεωρούμε τον χώρο γινόμενο X (n) = ( i n X ) i και θέτουμε και Ω = Ω Ω Ω n P = P n = P P P n (το μέτρο γινόμενο στο Ω) Για κάθε A Ω ορίζουμε φ A (t) = d(t, conv(a)), την απόσταση του t από την κυρτή θήκη conv(a) του A στον X (n) Δείξτε ότι, για κάθε A Ω, ) E (e φ A /4 P (A) Κεφάλαιο : Το θεώρημα του Dvoretzky 3 Εστω q Δείξτε ότι για κάθε x R n ισχύουν οι ανισότητες x q x n q x q Χρησιμοποιώντας τον ταυτοτικό τελεστή δείξτε ότι d(l n, l n q ) n q 3

4 4 (α) Δείξτε ότι: αν y,, y m l n τότε m m y j = Ave ε=± ε j y j, j= όπου με Ave συμβολίζουμε το μέσο όρο ως προς όλες τις δυνατές επιλογές προσήμων ε j = ± (β) Εστω q και έστω T : l n q l n ισομορφισμός, με T : l n q l n = Δείξτε ότι n T e j n /q, j= j= και συμπεράνατε ότι T e j n q για κάποιον j n (γ) Δείξτε ότι T : l n l n q n q (δ) Εστω q Δείξτε ότι d(l n, l n q ) = n q 5 Χρησιμοποιώντας την πολλαπλασιαστική τριγωνική ανισότητα για την d και την προηγούμενη άσκηση, δείξτε ότι: αν p < q + τότε d(l n p, l n q ) n p q Χρησιμοποιώντας τον ταυτοτικό τελεστή δείξτε ότι d(l n p, l n q ) = n p q Εστω p < q Χρησιμοποιώντας την d(x, Y ) = d(x, Y ) δείξτε ότι d(l n p, l n q ) = n p q 6 Οι πίνακες Walsh είναι ορθογώνιοι k k πίνακες, που ορίζονται επαγωγικά ως εξής: Θέτουμε W = [], και [ ] Wk W W k = k, k W k W k Δείξτε ότι ο W k/ k είναι ορθογώνιος πίνακας με την ιδιότητα: όλες του οι συντεταγμένες έχουν απόλυτη τιμή k/ 7 Εστω n = k και έστω T : R n R n ο τελεστής που αντιστοιχεί στον k/ W k (α) Παρατηρήστε ότι T : l n l n = και συμπεράνατε ότι T : l n l n n (β) Παρατηρήστε ότι T e j = / n για κάθε j =,, n και συμπεράνατε ότι T : l n l n = n (γ) Δείξτε ότι d(l n, l n ) n 8* Δείξτε ότι υπάρχει σταθερά c > ώστε d(l n, l n ) c n για κάθε n N 4

5 9 Εστω T : l n l n ισομορφισμός, ο οποίος ικανοποιεί την d Bn T (B n ) B n, όπου B, n B n οι μοναδιαίες μπάλες των l n, l n αντίστοιχα (α) Αν x j = T (e j ), j =,, n, δείξτε ότι T (B n ) = n det X, n! όπου X ο πίνακας με στήλες τα x,, x n [Υπόδειξη: Αρκεί να δείξετε ότι B n = n /n!] (β) Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι x,, x n B n και την ανισότητα του Hadamard, δείξτε ότι det X n n/ (γ) Δείξτε ότι d c n, όπου c > σταθερά ανεξάρτητη από τον T και από το n (δ) Δείξτε ότι d(l n, l n ) c n, όπου c > η σταθερά στο (γ) * Εστω K συμμετρικό κυρτό σώμα στον R n το οποίο περιέχει την B n Υποθέτουμε ότι υπάρχουν λ,, λ m > και σημεία επαφής u,, u m των K και B n ώστε x = m λ j x, u j u j για κάθε x R n Δείξτε ότι η B n είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K Δίνονται x,, x m R n (όχι αναγκαστικά διακεκριμένα) ώστε I = j= m x j x j (α) Δείξτε ότι m j= x j = n (β) Δείξτε ότι, για κάθε επιλογή πραγματικών αριθμών a,, a m, j= m m a j x j j= j= a j / * Εστω K συμμετρικό κυρτό σώμα στον R n Υποθέτουμε ότι η B n είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K Δείξτε ότι υπάρχει παραλληλεπίπεδο P ώστε K P και P n nn/ n! Υπόδειξη Χρησιμοποιήστε το Λήμμα Dvoretzky-Rogers 3 Εστω v,, v m R n Υποθέτουμε ότι το συμμετρικό κυρτό πολύεδρο K = {y R n : y, v j για κάθε j =,, m} ικανοποιεί την B n K αb n για κάποιον α > Δείξτε ότι m exp(n/(α )) 4 Εστω X = (R n, ) και έστω ε (, ) Δείξτε ότι υπάρχουν N ( + ε ) n και T : X l n με την ιδιότητα ( ε) x T (x) l n ( + ε) x για κάθε x X 5

6 5 Εστω g,, g n ανεξάρτητες τυπικές κανονικές τυχαίες μεταβλητές σε έναν χώρο πιθανότητας Ω και έστω {e,, e n } ορθοκανονική βάση του R n (α) Εστω X = (R n, ) Δείξτε ότι όπου G q := ( Ω n q /q g i (ω)e i dω) = c n,q M q (X) i= και υπολογίστε τις σταθερές c n, και c n, Ω ( ) /q M q (X) = x q dσ(x), S n (β) Δείξτε ότι, αν k n, k g i (ω)e i dω i= Ω n g i (ω)e i dω (γ) Δείξτε ότι, αν Y είναι ένας k-διάστατος υπόχωρος του X, τότε όπου c > απόλυτη σταθερά i= M (Y ) c n/km (X), 6 Εστω f : S n R Lipschitz συνεχής συνάρτηση με σταθερά και έστω L ο μέσος Lévy της f (α) Δείξτε ότι, για κάθε t >, (σ σ){(x, y) S n S n : f(x) f(y) t}) σ({x S n : f(x) L t/}) c exp( c t n) (β) Εστω E(f) = f(x) dσ(x) Δείξτε ότι, για κάθε a R, S n exp(a f(x) E(f) ) dσ(x) exp(a (f(x) f(y)) ) dσ(x) dσ(y) S n S n S n (γ) Δείξτε ότι S n και, επιλέγοντας a n, δείξτε ότι S n exp(a (f(x) f(y)) ) dσ(x) dσ(y) ca S n όπου c, c > απόλυτες σταθερές (δ) Δείξτε ότι, για κάθε t >, όπου c 3, c 4 > απόλυτες σταθερές S n exp(a (f(x) f(y)) ) dσ(x) dσ(y) c, σ({x : f(x) E(f) t}) c 3 exp( c 4 t n), te a t ct n dt, 7 Εστω X = (R n, ) Συμβολίζουμε με b τη μικρότερη θετική σταθερά για την οποία η ανισότητα x b x ισχύει για κάθε x R n Δείξτε ότι { b } { q b } q max M, c M q max M, c n n για κάθε q [, n], όπου c, c είναι απόλυτες θετικές σταθερές 6

7 (α) Υπόδειξη για την δεξιά ανισότητα Η συνάρτηση : S n R είναι Lipschitz συνεχής με σταθερά b Από τη σφαιρική ισοπεριμετρική ανισότητα έπεται ότι σ ( x S n : x M > t ) exp( ct n/b ) για κάθε t > Από την τριγωνική ανισότητα στον L q (S n ), M q M x M q (β) Υπόδειξη για την αριστερή ανισότητα Υπάρχει z S n ώστε B X {y : y, z /b} Συνεπώς, {x S n : x t} C t := {x S n : x, z t/b} για κάθε t > Χρησιμοποιήστε την M q = ( q t q σ({x : x t}) dt) /q ( q t q σ(c t ) dt) /q 8 Εστω x,, x t S n Δείξτε ότι υπάρχει y S n ώστε t y, x i t i= Υπόδειξη Θεωρήστε όλα τα διανύσματα της μορφής z(ε) = t i= ε ix i όπου ε i = ±, και επιλέξτε ένα με τη μεγαλύτερη δυνατή Ευκλείδεια νόρμα 9 Εστω X = (R n, ) Εστω t(x) ο μικρότερος φυσικός t για τον οποίο υπάρχουν U,, U t O(n) ώστε ( ) για κάθε x R n Δείξτε ότι M x t t U i (x) M x i= t(x) 4 (b/m), όπου b η μικρότερη θετική σταθερά για την οποία η ανισότητα x b x ισχύει για κάθε x R n Υπόδειξη Υποθέστε ότι η ( ) ισχύει για κάποιους U,, U t O(n) Θεωρήστε x S n με x = b και χρησιμοποιήστε την Άσκηση 8 για τα x i = U i (x ) 3 Εστω X = (R n, ) και Y = (R n, ) Υποθέτουμε ότι v(b X ) n α και v(b Y ) n β για κάποιους α, β, όπου v(p ) είναι το πλήθος των κορυφών ενός πολυτόπου P Δείξτε ότι Υπόδειξη Μπορείτε να υποθέσετε ότι d(x, Y ) c α + β n log n n B n B X B n B Y nb n Παρατηρήστε ότι, για κάθε U O(n), ισχύουν οι U : Y X n και U : X Y = sup x B X U(x) Y = max x ext(b X ) max U(x), y ext(b Y ) y, όπου ext(p ) είναι το σύνολο των κορυφών του πολυτόπου P Για σταθερά x, y και ε > εκτιμήστε το ν({u O(n) : U(x), y ε}) 7

8 3 Εστω P ένα συμμετρικό πολύτοπο στον R n και έστω X = (R n, P ) Γράφουμε f(p ) για το πλήθος των (n )-διάστατων εδρών του και v(p ) για το πλήθος των κορυφών του Με K(X) συμβολίζουμε την «διάσταση Dvoretzky» n(m/b) του X (α) Δείξτε ότι k(x) log f(p ) και k(x ) log v(p ) (β) Δείξτε ότι log f(p ) log v(p ) cn, όπου c > απόλυτη σταθερά 3 Εστω K ένα συμμετρικό κυρτό σώμα στον R n Υποθέτουμε ότι η B n είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K και ότι ( K / B n ) /n = A (α) Δείξτε ότι O(n) S n Uθ n θ n σ(dθ)ν(du) = An (β) Για κάθε U O(n) και θ S n θέτουμε N U (θ) = Uθ + θ Δείξτε ότι υπάρχει U O(n) ώστε σ(dθ) An S [N n U (θ)] n και συμπεράνατε ότι N U (θ) c A για κάθε θ S n (γ) Αν ο U ικανοποιεί το (β), δείξτε ότι B n K U(K) 8A B n Κεφάλαιο 3: Η μέθοδος των martingales 33 Εστω Y,, Y n ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές στον χώρο πιθανότητας (X, A, P ) Υποθέτουμε ότι για κάθε i =,, n υπάρχουν a i, b i R ώστε a i Y i b i Αν S n = Y + + Y n, δείξτε ότι P ({S n E(S n ) + t}) e t /(D ) για κάθε t >, όπου D = n i= (b i a i ) 34 Εστω Y,, Y n ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές στον χώρο πιθανότητας (X, A, P ) με τιμές σε έναν χώρο με νόρμα (X, ) Υποθέτουμε ότι για κάθε i =,, n υπάρχει M i R ώστε Y i M i Αν S n = Y + + Y n, δείξτε ότι για κάθε t >, όπου D = n i= M i P ({ S n E( S n ) + t}) e t /(D ) 35 Εστω (X i, µ i ) χώροι πιθανότητας (i =,, n) και έστω µ = µ µ n το μέτρο γινόμενο στον X = X X n Εστω c,, c n > και F : X R συνάρτηση που ικανοποιεί την για κάθε x, y X Δείξτε ότι για κάθε t >, όπου D = n i= c i F (x) F (y) n c i xi y i i= µ({f E µ (F ) + t}) e t /(D ) 36 Λέμε ότι ένας μετρικός χώρος (X, d) έχει μήκος l αν ο l είναι ο μικρότερος θετικός αριθμός με την εξής ιδιότητα: μπορούμε να βρούμε μια αύξουσα ακολουθία {X} = X, X,, X n = {{x} : x X} διαμερίσεων του X (αύξουσα σημαίνει ότι η X i είναι εκλέπτυνση της X i ) και θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,, a n με n i= a i = l ώστε, αν X i = {A i j } j m i, τότε για κάθε i =,, n, και για κάθε p =,, m i και j, k με A i j, Ai k Ai p, υπάρχει μια - και επί απεικόνιση φ : A i j Ai k ώστε d(x, φ(x)) a i για κάθε x A i j 8

9 (α) Δείξτε ότι το μήκος l του (X, d) είναι μικρότερο ή ίσο της διαμέτρου diam(x) του X (β) Εστω (X, d, µ) μετρικός χώρος πιθανότητας με μήκος l Δείξτε ότι για κάθε -Lipschitz συνεχή συνάρτηση F : X R και για κάθε t > ισχύει µ({f E µ (f) + t}) e t /l Ειδικότερα, για κάθε t >, α µ (t) e t /8l Κεφάλαιο 4: Συναρτησοειδές Laplace και ελαχιστική συνέλιξη 37 Εστω F : R n R συνάρτηση Lipschitz με F Lip α Υποθέτουμε επίσης ότι F (x) F (y) b x y για κάθε x, y R n Δείξτε ότι, για κάθε t >, ξ n ({F M + t}) C exp ( C ( tb min, t a )), όπου C > είναι μια απόλυτη σταθερά και M είναι είτε ένας μέσος Lévy της F ή η μέση τιμή E(f) της f 38 Εστω µ ένα μέτρο πιθανότητας στον R n με πυκνότητα e V, όπου V : R n R κυρτή συνάρτηση Υποθέτουμε ότι υπάρχει w : R n R + ώστε ( ) x + y V (x) + V (y) V w(x y) για κάθε x, y R n Δείξτε ότι: για κάθε f : R n (, ] με e f dµ (, ), ισχύει e f w dµ e f dµ 39 Εστω µ ένα μέτρο πιθανότητας στον R n με πυκνότητα e V, όπου V : R n R κυρτή συνάρτηση Υποθέτουμε ότι υπάρχουν c >, p και μια νόρμα στον R n ώστε ( ) x + y V (x) + V (y) V c x y p p για κάθε x, y R n Δείξτε ότι: για κάθε Borel σύνολο A R n ισχύει e c p d(x,a)p dµ(x) µ(a), όπου d(x, A) = inf{ x y : y A} Συνεπώς, αν µ(a) τότε, για κάθε t >, ( µ({x : d(x, A) t}) exp c ) p tp 4* Εστω X ένας χώρος με νόρμα, εφοδιασμένος με ένα Borel μέτρο πιθανότητας και έστω φ : X R + κυρτή συνάρτηση κόστους Η ελαχιστική συνέλιξη μιας μετρήσιμης f : X R με την φ ορίζεται ως εξής: Q φ f(x) = inf [f(y) + φ(x y)] y X Λέμε ότι το µ ικανοποιεί την ανισότητα κυρτής ελαχιστικής συνέλιξης ως προς την φ αν για κάθε φραγμένη μετρήσιμη κυρτή συνάρτηση f : X R ισχύει e Qφf dµ e f dµ 9

10 (α) Στο προηγούμενο πλαίσιο, υποθέτουμε ότι το µ έχει φορέα κάποιο σύνολο A διαμέτρου diam(a) Δείξτε ότι το µ ικανοποιεί την ανισότητα κυρτής ελαχιστικής συνέλιξης ως προς την φ(x) = x 4 (β) Εστω X,, X n χώροι με νόρμα Υποθέτουμε ότι, για κάθε i =,, n έχουμε ένα μέτρο πιθανότητας µ i στον X i το οποίο έχει φορέα κάποιο σύνολο A i διαμέτρου diam(a i ) Δείξτε ότι το µ = µ µ n στον X = X X n ικανοποιεί την ανισότητα κυρτής ελαχιστικής συνέλιξης ως προς την φ(x) = 4 n i= x i Κεφάλαιο 5: Ανισότητα Poincaré 4 Εστω µ μέτρο πιθανότητας στον R n το οποίο ικανοποιεί την ανισότητα Poincaré με σταθερά C > Αν F : R n R είναι φραγμένη συνάρτηση και αν dν = E µ(e F ) ef dµ, δείξτε ότι το ν ικανοποιεί την ανισότητα Poincaré με σταθερά Ce 4 F 4 Εστω ν το εκθετικό μέτρο πιθανότητας στο R με πυκνότητα e x, x R Εστω f : R R συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση Δείξτε ότι fdν = f() + sign(x)f (x)dν(x) και συμπεράνατε ότι Var ν (f) 4 [f (x)] dν(x) 43 Εστω f : R n R μια -Lipschitz συνάρτηση Για κάθε ε > ορίζουμε f ε (x) = f(y)dy B(x, ε) B(x,ε) Δείξτε ότι η f ε είναι διαφορίσιμη και f ε (x) για κάθε x R n Δείξτε επίσης ότι f f ε δηλαδή f ε f ομοιόμορφα καθώς το ε + εn ε, n + 44 Με τις υποθέσεις της προηγούμενης άσκησης δείξτε ότι f ε (x) f ε (y) c n ε x y για κάθε x, y R n, όπου c > είναι μια απόλυτη σταθερά Κεφάλαιο 6: Ανισότητα Kahane-Khintchine 45 Εστω µ ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R n και έστω T : R n R m γραμμικός μετασχηματισμός Δείξτε ότι το μέτρο ν = T (µ), που ορίζεται από την ν(a) = µ(t (A)), είναι λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R m 46 Εστω f, g : R n R + λογαριθμικά κοίλες πυκνότητες (δηλαδή, f = g = ) Δείξτε ότι η συνέλιξή τους h(x) = f(y)g(x y) dy R n είναι λογαριθμικά κοίλη πυκνότητα 47 Εστω X,, X n ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές στον (Ω, A, P ) Αν X i ψ < για κάθε i =,, n, δείξτε ότι n X + + X n ψ C X i ψ, i=

11 όπου C > είναι μια απόλυτη σταθερά 48 Εστω X,, X n ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές στον (Ω, A, P ) Αν X i ψ M για κάθε i =,, n, δείξτε ότι ) P ( a X + + a n X n t) C exp ( ct M a για κάθε a = (a,, a n ) l n, όπου C, c > είναι δύο απόλυτες σταθερές 49 Εστω X,, X n ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές στον (Ω, A, P ) Αν X i ψ M για κάθε i =,, n, δείξτε ότι a X + + a n X n p CM p a για κάθε a = (a,, a n ) l n, όπου C > είναι μια απόλυτη σταθερά 5 Εστω X τυχαία μεταβλητή στον (Ω, A, P ) Αν X ψ < δείξτε ότι για κάθε < t < c/ X ψ ισχύει E(e tx ) exp(ct X ψ ), όπου C, c > είναι δύο απόλυτες σταθερές 5 Εστω X,, X n ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές στον (Ω, A, P ) Αν X i ψ M για κάθε i =,, n, δείξτε ότι ( { }) t t P ( a X + + a n X n t) C exp c min M a, M a για κάθε a = (a,, a n ) l n, όπου C, c > είναι δύο απόλυτες σταθερές Κεφάλαια 7 και 8: Λογαριθική ανισότητα Sobolev και υπερσυσταλτότητα 5 Εστω a, b R και έστω F : R n R n R n η συνάρτηση που ορίζεται από την F (x, y) = ax+by Δείξτε ότι F (γ n γ n ) = γ n, όπου [F (γ n γ n )](A) = (γ n γ n )({(x, y) : F (x, y) A}) Υπόδειξη Ο U : R n R n R n R n με U(x, y) = (ax + by, bx ay) είναι ορθογώνιος 53 Εστω L ο γεννήτορας της ημιομάδας Ornstein-Uhlenbeck στον R n Αν f είναι μια λεία συνάρτηση στον R n, δείξτε ότι L( f ) f, (Lf) f Για κάθε t θέτουμε α(t) = Ent γn (T t f) Σταθεροποιούμε t και θέτουμε F = log T t f Δείξτε ότι α (t) = F, L(log F ) dγ n L( log F )F dγ n Δείξτε ότι α (t) α (t) και συμπεράνατε την λογαριθμική ανισότητα Sobolev 54 Εστω ν το εκθετικό μέτρο πιθανότητας στο R με πυκνότητα e x, x R Δείξτε ότι: για κάθε < ρ < και για κάθε Lipschitz συνεχή συνάρτηση f : R R με f ρ < σχεδόν παντού, ισχύει Ent ν (e f ) (f ) e f dν ρ

12 Κεφάλαιο 9: Ισοτροπική σταθερά κυρτών σωμάτων 55 Δείξτε ότι: για κάθε ισοτροπικό κυρτό σώμα K στον R n ισχύει όπου c > είναι μια απόλυτη σταθερά L K L B n c, 56 Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του John δείξτε ότι για κάθε συμμετρικό κυρτό σώμα K στον R n ισχύει L K c n, όπου c > είναι μια απόλυτη σταθερά 57 Εστω K και T ισοτροπικά κυρτά σώματα στον R n και στον R m αντίστοιχα Δείξτε ότι το W := (L T /L K ) m n+m K (LK /L T ) n n+m T είναι ισοτροπικό κυρτό σώμα στον R n+m και συμπεράνατε ότι L K T = L n n+m K L m n+m T 58 Υποθέτουμε ότι υπάρχει σταθερά A > ώστε για κάθε n να ισχύει το εξής: αν K και T είναι ισοτροπικά κυρτά σώματα στον R n, τότε ( K + T /n A = A K /n + T /n) Δείξτε ότι, για κάθε κυρτό σώμα K στον R n, όπου c > είναι μια απόλυτη σταθερά L K ca 4, Υπόδειξη Θεωρήστε το W = (L Dn /L K ) / K (L K /L Dn )D n και εφαρμόστε την υπόθεση για τα W και D n (με D k συμβολίζουμε την Ευκλείδεια μπάλα όγκου στον R k ) 59 Σκοπός μας είναι να δώσουμε άνω φράγμα για τους αριθμούς κάλυψης N(K, tb n ) ενός ισοτροπικού κυρτού σώματος K στον R n μέσω της ποσότητας I(K) = x dx Δείξτε ότι: για κάθε t > ισχύει ( ) ( 4(n + )I(K) 6n N(K, tb n 3/ L K ) exp exp t t Υπόδειξη Θεωρήστε το μέτρο πιθανότητας µ στον R n K µ(a) = e pk(x) dx, c K A όπου p K (x) = inf{λ > : x λk} είναι το συναρτησοειδές Minkowski του K και c K = exp( p R n K (x))dx Δείξτε ότι c K = n! και μιμηθείτε την απόδειξη της δυϊκής ανισότητας Sudakov 6* Εστω K ένα ισοτροπικό συμμετρικό κυρτό σώμα στον R n Δείξτε ότι h K (u) (n + ) x, u dx για κάθε u S n και συμπεράνατε ότι R(K) = max{ x : x K} (n + )L K K )

13 6 Εστω K ένα συμμετρικό κυρτό σώμα στον R n Ορίζουμε φ(k) = K K x, y dydx K K Δείξτε ότι L KL K c nφ(k) και συμπεράνατε ότι L K L K c n, όπου c, c > απόλυτες σταθερές 6 Εστω K ένα ισοτροπικό κυρτό σώμα στον R n Δείξτε ότι, για κάθε q, ( S n K /q ( q x, θ dxσ(dθ)) q q + n Χρησιμοποιώντας το παραπάνω, δείξτε ότι αν f(x) = x τότε όπου c > είναι μια απόλυτη σταθερά f ψ c nl K, K x q dx ) /q 3