Je rhma John L mma Dvoretzky-Rogers
|
|
- Νανα Ταμτάκος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Kefˆlaio 2 Je rhma Joh L mma Dvoretzky-Rogers 2.1 Elleiyoeidèc mègistou ìgkou eìc kurtoô s matoc Ορισμός Ελλειψοειδές στον R είναι ένα κυρτό σώμα της μορφής { } (2.1.1) E = x R x, v i 2 : 1, όπου {v 1,..., v } είναι ορθοκανονική βάση του R και α 1,..., α είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί (οι διευθύνσεις και τα μήκη των ημιαξόνων του E αντίστοιχα). Πρόταση Ενα κυρτό σώμα E στον R είναι ελλειψοειδές αν και μόνο αν υπάρχει αντιστρέψιμος γραμμικός μετασχηματισμός T (T GL()) ώστε E = T (B 2 ). Απόδειξη. Υποθέτουμε πρώτα ότι το E είναι ελλειψοειδές, δηλαδή ορίζεται από την (2.1.1) για κάποια ορθοκανονική βάση {v 1,..., v } του R και κάποιους α 1,..., α > 0. Εστω T ο γραμμικός μετασχηματισμός του R που ορίζεται από τις T (v i ) = α i v i, i = 1,...,. Ο T είναι προφανώς αντιστρέψιμος, και x T (B2 ) αν και μόνο αν υπάρχει y = t jv j B2 με x = T y. Τότε όμως, η ισότητα (2.1.2) x, v i 2 = α 2 i α 2 i t jα j v j, v i 2 δείχνει ότι x T (B 2 ) αν και μόνο αν x E, δηλαδή E = T (B 2 ). Αντίστροφα, έστω T GL() και E = T (B 2 ). Αν γράψουμε S = T 1, έχουμε (2.1.3) x 2 E = x 2 S 1 (B 2 ) = Sx 2 2 = Sx, Sx = S Sx, x. α 2 i = t 2 i
2 2 Θεωρημα Joh Λημμα Dvoretzky-Rogers Ο S S είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος, άρα γράφεται στη μορφή U DU όπου D διαγώνιος πίνακας με διαγώνια στοιχεία α1 2,..., α 2 (όπου α i θετικοί πραγματικοί αριθμοί) και ο U είναι ορθογώνιος πίνακας. Θεωρούμε το διαγώνιο πίνακα D 1 = D με διαγώνια στοιχεία τα α1 1,..., α 1. Αφού ο U είναι ορθογώνιος, έχουμε S S = A 2, όπου A = U D 1 U. Δηλαδή, (2.1.4) x 2 E = A 2 x, x = Ax 2 2 = D 1 Ux 2 2 = Ux, e i 2 = α 2 i x, v i 2, όπου τα v i = U e i αποτελούν ορθοκανονική βάση του R. Επεται ότι x E αν και μόνο αν ικανοποιείται η (2.1.1) για τα συγκεκριμένα v i και α i, δηλαδή το E είναι ελλειψοειδές. Παρατήρηση. Από την απόδειξη είναι φανερό ότι ο όγκος του E ισούται με (2.1.5) E = B 2 α i. Θεωρούμε τώρα ένα συμμετρικό κυρτό σώμα K στον R και την οικογένεια E(K) όλων των ελλειψοειδών που περιέχονται στο K. Ο F. Joh (1948) έδειξε ότι υπάρχει μοναδικό ελλειψοειδές E που περιέχεται στο K και έχει τον μέγιστο δυνατό όγκο. Θα λέμε ότι το E είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K. Θα δούμε ταυτόχρονα ότι υπάρχει μοναδικό ελλειψοειδές E που περιέχει το K και έχει ελάχιστο όγκο: Θεώρημα Εστω K συμμετρικό κυρτό σώμα στον R. Υπάρχει μοναδικό ελλειψοειδές E K με ελάχιστο όγκο. Απόδειξη. Θεωρούμε την οικογένεια F(K) όλων των ελλειψοειδών που περιέχουν το K και ορίζουμε (2.1.6) V = if{ E : E F(K)} > 0. Υπάρχει ακολουθία T m GL() για την οποία έχουμε E m = T 1 m (B 2 ) K και (2.1.7) E m = B 2 det(t m ) V. Αφού T m : X K l 2 1 για κάθε m N, μπορούμε να βρούμε υπακολουθία {T km } και S L(R ) με T km S. Τότε, (2.1.8) det(s) = B 2 /V > 0, άρα S GL(). Ορίζουμε E = S 1 (B 2 ). Τότε, (2.1.9) S : X K l 2 = lim m T k m : X K l 2 1, α 2 i
3 2.1 Ελλειψοειδες μεγιστου ογκου ενος κυρτου σωματος 3 άρα E K. Αφού E = V, το E είναι ένα ελλειψοειδές που περιέχει το K και έχει τον ελάχιστο δυνατό όγκο. Δείχνουμε τώρα ότι υπάρχει ένα μόνο ελλειψοειδές με αυτή την ιδιότητα. Εστω ότι τα E 1 και E 2 περιέχουν το K και έχουν ελάχιστο όγκο. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι E 1 = B2 είναι η Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα, και { } (2.1.10) E 2 = x R : x, v i 2 /αi 2 1. Θεωρούμε ένα τρίτο ελλειψοειδές, το { (2.1.11) F = x R : Αφού F E 1 E 2 K, έχουμε } 1 (1 + α 2 i ) x, v i (2.1.12) F E 1 = E 2 = B 2, άρα α 1 α = 1. Παίρνοντας υπόψιν την (2.1.5), γράφουμε την (2.1.12) στη μορφή ( ) = α i 1 + α 2 i 2αi 2 = 1 + α 2 i 2α i = 1 + αi 2. Ομως, 2α i 1 + αi 2 για κάθε i = 1,..., με ισότητα μόνο αν α i = 1. Άρα, α i = 1, i = 1,...,. Επεται ότι E 1 = E 2. Το Θεώρημα και ένα απλό επιχείρημα δυϊσμού εξασφαλίζουν την ύπαρξη και τη μοναδικότητα του ελλειψοειδούς μέγιστου όγκου του K. Θεώρημα Εστω K συμμετρικό κυρτό σώμα στον R. Υπάρχει μοναδικό ελλειψοειδές E E(K) με μέγιστο όγκο. Απόδειξη. Από το Θεώρημα υπάρχει μοναδικό ελλειψοειδές F ελάχιστου όγκου του K. Θεωρούμε το E = F. Τότε E K, το E είναι ελλειψοειδές (άσκηση) και αν E 1 είναι ένα άλλο ελλειψοειδές με E 1 K, τότε E 1 K, άρα E 1 F. Τότε, (2.1.13) E 1 = B 2 2 E1 B 2 2 = E. F Ισότητα μπορεί να ισχύει μόνο αν E1 = F, δηλαδή E 1 = E. Άρα, το E είναι το μοναδικό ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K.
4 4 Θεωρημα Joh Λημμα Dvoretzky-Rogers 2.2 To je rhma tou Joh: stoiqei dhc apìdeixh Ο F. Joh (1948) έδειξε ότι αν η μοναδιαία Ευκλείδεια μπάλα B2 είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου που περιέχει το συμμετρικό κυρτό σώμα K στον R, τότε B2 K. Άμεση συνέπεια αυτού του ισχυρισμού είναι ένα άνω φράγμα για την απόσταση Baach- Mazur τυχόντος -διάστατου χώρου με νόρμα από τον l 2. Θεώρημα Για κάθε -διάστατο χώρο με νόρμα X έχουμε d(x, l 2 ). Απόδειξη. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι X = (R, ). Θεωρούμε τη μοναδιαία μπάλα B X του X και το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου E της B X. Υπάρχει T GL() ώστε E = T 1 (B 2 ). Τότε, T (B X ) B 2 και η B 2 είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου του T (B X ). Αν δεχτούμε το θεώρημα του Joh, τότε (2.2.1) Επεται ότι 1 B 2 T (B X ) B 2. (2.2.2) T : X l 2 T 1 : l 2 X 1 =, άρα, d(x, l 2 ). Το Θεώρημα και η πολλαπλασιαστική τριγωνική ανισότητα για την d μας δίνουν ένα άνω φράγμα για τη διάμετρο του Baach-Mazur compactum. Θεώρημα Αν X και Y είναι δύο -διάστατοι χώροι με νόρμα, τότε d(x, Y ). Δίνουμε τώρα μια στοιχειώδη απόδειξη του Θεωρήματος του Joh: Θεώρημα Εστω K συμμετρικό κυρτό σώμα στον R. Υποθέτουμε ότι η Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα B 2 είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου που περιέχει το K. Τότε, (2.2.3) B 2 K. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι το συμπέρασμα δεν ισχύει. Τότε, υπάρχει x στο σύνορο του K το οποίο είναι εσωτερικό σημείο της (1/ )B2. Αλλάζοντας συντεταγμένες αν χρειαστεί, μπορούμε να υποθέσουμε ότι το εφαπτόμενο υπερεπίπεδο του K στο x είναι παράλληλο με το {x : x 1 = 0}. Δηλαδή, { (2.2.4) K P = x R : x 1 1 }, c όπου c >. Για κάθε a, b > 0 ορίζουμε το ελλειψοειδές { (2.2.5) E a,b = x R : a 2 x b 2 i=2 x 2 i 1 }.
5 2.2 Το θεωρημα του Joh: στοιχειωδης αποδειξη 5 Ισχυρισμός. Αν a2 b 2 c 2 + b 2 1, τότε K E a,b. Πράγματι: αν y K, τότε y P B 2. Άρα, (2.2.6) y 1 1 c Επεται ότι και yi 2 1. a 2 y b 2 i=2 y 2 i = (a 2 b 2 )y b 2 a2 b 2 c 2 + b 2 1. y 2 i Δηλαδή, y E a,b. Ο όγκος του E a,b ισούται με E a,b = B 2 /(ab 1 ). Αν λοιπόν ab 1 > 1, τότε E a,b < B 2. Με την υπόθεση ότι c >, θα δείξουμε ότι υπάρχουν a, b > 0 που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις (2.2.7) ab 1 > 1 και a 2 b 2 c 2 + b 2 1. Αυτό είναι άτοπο, γιατί θα έχουμε βρεί ελλειψοειδές που περιέχει το K και έχει όγκο γνήσια μικρότερο από τον όγκο της B 2. Για κάθε ε (0, 1/2), θέτουμε b ε = 1 ε και a ε = (1 + ε + 2ε 2 ) 1. Τότε, (2.2.8) a ε b 1 ε = [(1 ε)(1 + ε + 2ε 2 )] 1 = (1 + ε 2 2ε 3 ) 1 > 1. Επίσης, a 2 ε b 2 ε c 2 + b 2 ε = (1 + ε + 2ε2 ) 2( 1) c 2 + (1 1c ) 2 (1 ε) 2 = 1 c 2 [1 + 2( 1)ε + O(ε2 )] + (1 1c ) 2 (1 2ε + ε 2 ) ( ) = 1 + 2ε c O(ε 2 ). Αφού (/c 2 ) 1 < 0, είναι φανερό ότι η ποσότητα αυτή γίνεται μικρότερη από 1 αν αφήσουμε το ε 0 +. Για μικρό λοιπόν ε > 0, το ελλειψοειδές E aε,b ε μας οδηγεί σε άτοπο.
6 6 Θεωρημα Joh Λημμα Dvoretzky-Rogers 2.3 ShmeÐa epaf c kai h aaparˆstash thc tautotik c a- peikìishc Υποθέτουμε ότι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K είναι η B2. Το u R λέγεται σημείο επαφής των K και B2 αν u 2 = u K = 1, δηλαδή αν x bd(k) bd(b2 ). Η «πλήρης έκδοση» του θεωρήματος του Joh περιγράφει την κατανομή των σημείων επαφής πάνω στη μοναδιαία σφαίρα S 1. Θεώρημα Εστω K συμμετρικό κυρτό σώμα στον R. Αν η B2 είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K, τότε υπάρχουν λ 1,..., λ m > 0 και σημεία επαφής u 1,..., u m των K και B2 ώστε (2.3.1) x = για κάθε x R. λ j x, u j u j Παρατηρήσεις. Το Θεώρημα λέει ότι η ταυτοτική απεικόνιση I του R αναπαρίσταται στη μορφή (2.3.2) I = λ j u j u j, όπου u j u j είναι η προβολή στην διεύθυνση του u j : (u j u j )(x) = x, u j u j. Από την (2.3.1) έπεται ότι, για κάθε x R, (2.3.3) x 2 2 = x, x = λ j x, u j 2. Επίσης, παίρνοντας x = e i, i = 1,...,, όπου {e 1,..., e } η συνήθης ορθοκανονική βάση του R, έχουμε e i 2 2 = = λ j e i, u j 2 = λ j u j 2 2 = λ j. λ j e i, u j 2 Δηλαδή, ( ) λ j =.
7 2.3 Σημεια επαφης και η αναπαρασταση της ταυτοτικης απεικονισης 7 Απόδειξη του Θεωρήματος. Από την ( ), αν υπάρχει η ζητούμενη αναπαράσταση θα πρέπει να ισχύει (λ j /) = 1. Αυτό λοιπόν που χρειάζεται να δείξουμε είναι ότι ο I/ γράφεται σαν κυρτός συνδυασμός προβολών της μορφής u u, όπου u σημείο επαφής των K και B 2. Ορίζουμε ( ) T = {u u : u 2 = u K = 1}, και θα δείξουμε ότι I/ cov(t ). Παρατηρήστε ότι το cov(t ) είναι κλειστό υποσύνολο του R 2 και ότι T : αν η B 2 δεν ακουμπούσε το σύνορο του K, θα μπορούσαμε να βρούμε r > 1 ώστε rb 2 K, οπότε η B 2 δεν θα ήταν το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K. Εστω ότι I/ / cov(t ). Από διαχωριστικό θεώρημα, μπορύμε να βρούμε φ R 2 και r R ώστε (2.3.6) φ, I/ < r φ, A για κάθε A cov(t ). Ειδικότερα, για κάθε σημείο επαφής u των K και B 2 (2.3.7) φ, I/ < r φ, u u. έχουμε Οι πίνακες I/ και u u είναι συμμετρικοί, οπότε παίρνοντας τον ψ = (φ + φ )/2 αντί του φ έχουμε ότι ο ψ είναι συμμετρικός και εξακολουθεί να ικανοποιεί την (2.3.8) ψ, I/ < r ψ, u u για κάθε u u T. Εστω β = tr(ψ)/. Αφού tr(i/) = 1 και tr(u u) = u 2 i = 1, βλέπουμε ότι ψ βi, I/ = ψ, I/ β = 0 < r β ψ βi, u u για κάθε u u T. Παίρνοντας B = ψ βi και s = r β, έχουμε: Λήμμα Αν I/ / cov(t ), τότε υπάρχουν s > 0 και B συμμετρικός με tr(b) = 0 με την ιδιότητα (2.3.9) B, u u s για κάθε u u T. Για δ > 0 αρκετά μικρό, θεωρούμε το ελλειψοειδές (2.3.10) E δ = {x R : (I + δb)x, x 1}. [Παρατηρήστε ότι αν M = max{ Bx, y : x 2 = y 2 = 1} και 0 < δ < 1/M, τότε ο I + δb είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος, άρα έχει συμμετρική θετική τετραγωνική ρίζα S δ. Αφού E δ = S 1 δ (B2 ), το E δ είναι ελλειψοειδές.]
8 8 Θεωρημα Joh Λημμα Dvoretzky-Rogers Ορισμός (ακτινική συνάρτηση). Για κάθε θ S 1 θέτουμε (2.3.11) ρ K (θ) = max{t > 0 : tθ K}. Η ρ K : S 1 R + λέγεται ακτινική συνάρτηση του K: «μετράει» την απόσταση του συνόρου του K από το 0 στη διεύθυνση του θ. Αφού ρ K (θ)θ bd(k), έχουμε (2.3.12) ρ K (θ) θ K = 1. Θα δείξουμε ότι E δ K αν το δ είναι μικρό, δείχνοντας ότι ρ Eδ (v) ρ K (v) για κάθε v S 1 : 1η Περίπτωση: Εστω U το σύνολο των σημείων επαφής των K και B 2. Αν u U και v S 1 με u v 2 < s/2m, τότε από το Λήμμα 2.3.2, (2.3.13) (I + δb)u, u 1 + δs, ενώ v + δbv, v u + δbu, u = δ Bv, v Bu, u δ Bv, v u + δ Bu, u v 2Mδ u v 2 < δs. Άρα, αν η απόσταση του v S 1 από το U είναι μικρότερη από s/2m, τότε (2.3.14) (I + δb)v, v > 1 + δs δs = 1, δηλαδή v / E δ. Ομως, v B2 έχουμε K για κάθε v S 1. Άρα, σε αυτή την περίπτωση (2.3.15) ρ Eδ (v) < 1 ρ K (v). 2η Περίπτωση: Εστω V το σύνολο των v S 1 για τα οποία d(v, U) s/2m. Τότε, το V είναι συμπαγές και r = max{ v K : v V } < 1. Θέτουμε λ = mi{ Bv, v : v V }. Αν 0 < δ < (1 r 2 )/ λ, τότε (2.3.16) (I + δb)(v/ v K ), v/ v K = δηλαδή v/ v K / E δ. Αυτό σημαίνει ότι ρ Eδ (v) 1 v K Συνδυάζοντας τα παραπάνω καταλήγουμε στο εξής: 1 + δ Bv, v v 2 K = ρ K (v). 1 + δλ r 2 > 1, Λήμμα Υπάρχει δ 0 > 0 τέτοιο ώστε E δ K για κάθε 0 < δ < δ 0.
9 2.3 Σημεια επαφης και η αναπαρασταση της ταυτοτικης απεικονισης 9 Μπορούμε τώρα να καταλήξουμε σε άτοπο: Παίρνουμε δ > 0 αρκετά μικρό ώστε ο I + δb να είναι θετικά ορισμένος και το ελλειψοειδές E δ να περιέχεται στο K. Αφού η B 2 είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K, έχουμε E δ B 2. Ομως, (2.3.17) E δ = S 1 δ (B2 ) = B2 / det(i + δb). Άρα, det(i + δb) 1. Από την άλλη πλευρά, η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου μας δίνει (2.3.18) [det(i + δb)] 1/ tr(i + δb) = 1 + δ tr(b) αφού tr(b) = 0. Για να ισχύουν τα παραπάνω, πρέπει να έχουμε ισότητα στην ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου. Τότε όμως, όλες οι ιδιοτιμές του I +δb είναι ίσες, δηλαδή I +δb = µi. Επεται ότι ο B είναι πολλαπλάσιο του ταυτοτικού πίνακα, και αφού tr(b) = 0 παίρνουμε B = 0. Αυτό είναι άτοπο, γιατί από το Λήμμα έχουμε Bu, u s > 0, u U. Συνεπώς, I/ cov(t ) και η απόδειξη είναι πλήρης. = 1, Μπορούμε τώρα να δώσουμε μια δεύτερη απόδειξη για το θεώρημα του Joh: Πρόταση Αν B 2 είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K, τότε K B 2. Απόδειξη: Θεωρούμε την αναπαράσταση της ταυτοτικής απεικόνισης (2.3.19) x = λ j x, u j u j του Θεωρήματος Αφού u j S 1, έχουμε (2.3.20) 1 = u j, u j u j K u j K = u j K για κάθε j = 1,..., m. Από την άλλη πλευρά, σε κάθε u j τα K και B2 έχουν το ίδιο εφαπτόμενο υπερεπίπεδο με κάθετο διάνυσμα το u j (για τη μπάλα, το εφαπτόμενο υπερεπίπεδο σε κάθε σημείο u S 1 έχει κάθετο διάνυσμα το u). Επομένως, για κάθε x K έχουμε x, u j 1, και λόγω συμμετρίας του K, (2.3.21) x, u j 1 για κάθε x K. Δηλαδή, (2.3.22) u j K = u j K = u j 2 = 1 για κάθε j = 1,..., m.
10 10 Θεωρημα Joh Λημμα Dvoretzky-Rogers Εστω τώρα x K. Από τις (2.3.3), ( ) και (2.3.21) παίρνουμε (2.3.23) x 2 2 = λ j x, u j 2 λ j =. Δηλαδή, x 2. Αρα, B 2 K B 2. Παρατήρηση Αν η B 2 είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K, τότε η B 2 είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου του K. Επίσης, η (2.3.22) δείχνει ότι κάθε σημείο επαφής των K και B 2 είναι σημείο επαφής των K και B 2. Άρα, αλλάζοντας τους ρόλους των K και K, βλέπουμε ότι η αναπαράσταση της ταυτοτικής απεικόνισης μέσω σημείων επαφής εξασφαλίζεται και στην περίπτωση του ελλειψοειδούς ελάχιστου όγκου. 2.4 L mmata Dvoretzky-Rogers Σε αυτή την Παράγραφο υποθέτουμε ότι το συμμετρικό κυρτό σώμα K έχει σαν ελλειψοειδές μέγιστου ή ελάχιστου όγκου την Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα B 2. Στην 2.3 αποδείξαμε το θεώρημα του Joh για την αναπαράσταση της ταυτοτικής απεικόνισης: υπάρχουν σημεία επαφής u 1,..., u m των K και B 2, και θετικοί πραγματικοί αριθμοί λ 1,..., λ m ώστε (2.4.1) I = λ j u j u j. Συνέπειες της (2.4.1) είναι οι εξής: για κάθε x R, (2.4.2) x 2 2 = και (2.4.3) λ j x, u j 2 λ j =. Χρησιμοποιώντας την (2.4.1) μπορούμε να δείξουμε ότι υπάρχουν πολλά σημεία επαφής ανάμεσα στο K και στην B 2. Πρόταση Αν η B2 είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου ή μέγιστου όγκου του K, τότε για κάθε γραμμικό μετασχηματισμό T του R υπάρχει σημείο επαφής των K και B2 με την ιδιότητα: (2.4.4) u, T u trt.
11 2.4 Λημματα Dvoretzky-Rogers 11 Απόδειξη. Από την (2.4.1) έχουμε (2.4.5) trt = T, I = λ j T, u j u j. Παίρνοντας υπόψιν και την λ j =, συμπεραίνουμε ότι υπάρχει j m με την ιδιότητα (2.4.6) u j, T u j = T, u j u j trt. Το συμπέρασμα προκύπτει αν πάρουμε u = u j. Οι Dvoretzky και Rogers έδειξαν ακριβή αποτελέσματα γιά την κατανομή των σημείων επαφής του K με την B 2. Ολα τους εκφράζουν με τον ένα ή τον άλλο τρόπο την αρχή ότι υπάρχουν πολλές και «αρκετά ορθογώνιες» διευθύνσεις στις οποίες οι δύο νόρμες K και 2 συγκρίνονται καλά. Πρόταση Αν B2 είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K, υπάρχει ορθοκανονική ακολουθία y 1,..., y στον R με την ιδιότητα ( ) 1/2 i + 1 (2.4.7) y i K y i 2 = 1 για κάθε i = 1,...,. Απόδειξη. Ορίζουμε τα y i επαγωγικά. Σαν y 1 μπορούμε να πάρουμε οποιοδήποτε σημείο επαφής των K και B2. Ας υποθέσουμε ότι έχουν επιλεγεί τα y 1,..., y i 1. Θέτουμε F i = spa{y 1,..., y i 1 }. Τότε, tr(p F i ) = i + 1, και από την Πρόταση υπάρχει σημείο επαφής u i ώστε (2.4.8) P F i u i 2 2 = u i, P F i u i i + 1. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έπεται ότι (2.4.9) P Fi u i K P Fi u i 2 (i 1)/. Ορίζουμε y i = P F i u i / P F i u i 2. Τότε, (2.4.10) 1 = y i 2 y i K u i, y i = P F i u i 2 και το συμπέρασμα προκύπτει από την (2.4.8). Πόρισμα Υποθέτουμε ότι η B 2 είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K. Αν k = [/2] + 1, μπορούμε να βρούμε ορθοκανονικά διανύσματα y 1,..., y k ώστε (2.4.11) για κάθε j = 1,..., k. 1 2 y j 1
12 12 Θεωρημα Joh Λημμα Dvoretzky-Rogers Το επόμενο λήμμα «τύπου Dvoretzky-Rogers» αποδείχθηκε από τους Szarek και Talagrad (1988). Πρόταση Υποθέτουμε ότι η B 2 είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου του K. Για κάθε k, μπορούμε να βρούμε σημεία επαφής y 1,..., y k των K και B 2, με την εξής ιδιότητα: Αν j {1,..., k} και F j = spa{y i : i j}, τότε (2.4.12) P F j (y j ) για κάθε j = 1,..., k. k + 1 Απόδειξη. Εστω k. Υπάρχουν σημεία επαφής u 1,..., u m των K και B 2, και λ 1,..., λ m > 0 ώστε (2.4.13) I = λ j u j u j. Από όλες τις k-άδες που μπορούμε να επιλέξουμε μέσα από το {u 1,..., u m }, επιλέγουμε εκείνα τα y 1 = u i1,..., y k = u ik για τα οποία μεγιστοποιείται ο k-διάστατος όγκος cov{±u i1,..., ±u ik }. Αν θέσουμε F j = spa{y i : i j}, τότε (2.4.14) P F j (y j ) 2 P F j (u i ) 2 για κάθε j = 1,..., k και i = 1,..., m. Ομως, από την Πρόταση 2.4.1, υπάρχει i m ώστε (2.4.15) P F j (u i ) 2 2 = u i, P F j (u i ) tr(p F j ) Άρα, (2.4.16) P F j (y j ) 2 = max i m P F j (u i) 2 = k + 1. k + 1 για κάθε j = 1,..., k.
Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι πεπερασµένης διάστασης µε νόρµα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Χώροι πεπερασµένης διάστασης µε νόρµα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΤο φασματικό Θεώρημα
Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή
Διαβάστε περισσότεραi=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),
Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο
Διαβάστε περισσότεραΤο φασματικό Θεώρημα
Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή
Διαβάστε περισσότερα1 Χώροι πηλίκα { } x = y x y Y. Με τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού που ορίζονται με τον
Χώροι πηλίκα Έστω διανυσματικός χώρος και Y διανυσματικός υπόχωρος του. Για κάθε θεωρούμε το σύμπλοκο σχετικά με τον Y, = + y y Y = + Y ορ { : } δηλαδή το είναι η παράλληλη μεταφορά του Y κατά το διάνυσμα.
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 14, 30 Απριλίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο (Ευκλείδειοι χώροι) 2. Βέλτιστες προσεγγίσεις
Διαβάστε περισσότεραΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014
ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο
Διαβάστε περισσότεραB = F i. (X \ F i ) = i I
Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι
Διαβάστε περισσότερα4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.
8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 07, 2 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες. Η ανάλυση Cholesky 2. Νόρμες
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και
Διαβάστε περισσότερα4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη
94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος
Διαβάστε περισσότεραΚ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ
8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος
Διαβάστε περισσότεραΙδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα
Ιδιάζουσες τιμές πίνακα Επειδή οι πίνακες που παρουσιάζονται στις εφαρμογές είναι μη τετραγωνικοί, υπάρχει ανάγκη να βρεθεί μία μέθοδος που να «μελετά» τους μη τετραγωνικούς με «μεθόδους και ποσά» που
Διαβάστε περισσότεραΗ ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα
Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Η μετρική του χώρου Στην ορίσαμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων μέσω των συντεταγμένων τους, όταν οι συντεταγμένες αυτές λαβαίνονται σε ένα Καρτεσιανό σύστημα αναφοράς του Ερχόμαστε,
Διαβάστε περισσότεραEukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata
EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata Εστω f : X Y μια εμφύτευση του μετρικού χώρου (X, ρ) στο χώρο με νόρμα (Y, ). Η παραμόρφωση της f ορίζεται ως εξής: f(x) f(y) ρ(x, y) dist(f) = sup sup x y ρ(x, y)
Διαβάστε περισσότεραΚυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραf(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).
Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:
Διαβάστε περισσότεραn 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1
Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους
Διαβάστε περισσότερα3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.
7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός
Διαβάστε περισσότερα5.9 ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ
ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Α Β Δ J 1 =A+Γ και J 3 = Β Γ Ε Δ Ε Ζ d + c x + a + b y ac+ bd x y = R A έχουμε: 1 1 1 1 Για την εξίσωση ( ) ( ) ( ) ( ) A, B,, 0, E 0, Z A = c + d = ac+ bd Γ= a + b Δ= =
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα πραγματικών συναρτήσεων
Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)].
3 Ασκήσεις ) Έστω διανυσματικός χώρος, C κυρτό και C. (α) Αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (ι) e( C) = +,(ιι), = = και (ιιι) Το σύνολο C \{ } είναι κυρτό. (β) Επίσης αποδείξτε ότι αν e( C) και
Διαβάστε περισσότεραΚυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που
Διαβάστε περισσότερα1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο
1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε
Διαβάστε περισσότερα1 + t + s t. 1 + t + s
Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι Ομάδα Α 1.1. Εστω (X, ) χώρος με νόρμα. Δείξτε ότι η νόρμα είναι άρτια συνάρτηση και ικανοποιεί την ανισότητα x y x y για κάθε x, y X. Υπόδειξη. Για κάθε x X έχουμε x = ( 1)x
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.
ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα
Διαβάστε περισσότεραΚανόνες παραγώγισης ( )
66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών
Διαβάστε περισσότερα4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη
94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις
Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου
Διαβάστε περισσότεραΚΥΡΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
Α. Γιαννόπουλος, Α. Τσολομύτης ΚΥΡΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ( ) 2013 2018 Απαγορεύεται η αναπαραγωγή του αρχείου από άλλες ιστοσελίδες εκτός των http://yria.ath.aegea.gr/~atsol και http://users.uoa.gr/~apgiaop
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες θεώρημα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ
ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 09, 9 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Επαναληπτικές μέθοδοι 2. Θεωρία γενικών επαναληπτικών μεθόδων 3. Σύγκλιση
Διαβάστε περισσότερα1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό
1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ
Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραπ B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση.
3 Παράρτημα 2 Παρατηρήσεις, ασκήσεις και Διορθώσεις Παράγραφος ) Σελίδα, : Παρατηρούμε τα ακόλουθα για το χώρο πηλίκο / Y : Y = / Y και (α) { } (β) = Y / Y { } Επίσης από τον τύπο () έπεται ιδιαίτερα ότι
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις6 Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο
Ασκήσεις6 7 Ασκήσεις6 Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Βασικά σημεία Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και (ορισμοί και ιδιότητες) Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορθογώνιο συμπλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραj=1 x n (i) x s (i) < ε.
Κεφάλαιο 5 Πληρότητα 5.1 Πλήρεις μετρικοί χώροι Ορισμός 5.1.1 (πλήρης μετρικός χώρος). Ενας μετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται πλήρης (complete) αν κάθε ρ βασική ακολουθία (x n ) στον X είναι ρ συγκλίνουσα.
Διαβάστε περισσότεραKlasikèc jèseic kurt n swmˆtwn
Klasikèc jèseic kurt swmˆtw Didaktorik Diatrib Eleujèrioc MarkesÐhc Tm ma Majhmatik Paepist mio Ajh Aj a 2015 Eishght c: Apìstoloc Giaìpouloc Perieqìmea Πρόλογος vii 1 Βασικές έννοιες 1 1.1 Κυρτά σώματα..................................
Διαβάστε περισσότεραf(t) = (1 t)a + tb. f(n) =
Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.
Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότεραa n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων
7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΑς ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα
33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.
Διαβάστε περισσότερα6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι
36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται
Διαβάστε περισσότερα8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα
Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M
Διαβάστε περισσότεραconvk. c i c i t i. c i u i c < c i φ i (F (ω)) c < ( ) c i m i < i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
Ολοκλήρωση συναρτήσεων με τιμές σε χώρους Baach Αν (Ω, S, µ είναι χώρος μέτρου και (X, είναι χώρος Baach, μια συνάρτηση F : Ω X θα λέγεται ασθενώς μετρήσιμη (αντίστοιχα, ασθενώς ολοκληρώσιμη αν για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΌταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος).
4 Τοπολογικοί χώροι. Στοιχειώδεις έννοιες της τοπολογίας Στην παράγραφο αυτή εισάγουμε τις βασικές έννοιες της τοπολογίας, δηλαδή αυτές του ανοικτού και κλειστού συνόλου, της κλειστότητας και του εσωτερικού
Διαβάστε περισσότεραΠαναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής
Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότερα1 Μέθοδοι ελαχιστοποίησης
1 Μέθοδοι ελαχιστοποίησης Θεωρούμε το n n πραγματικό σύστημα (1.1) Ax = b, με A ένα συμμετρικό και θετικά ορισμένο πίνακα και b R n. Ορίζουμε το συναρτησιακό ϕ : R n R (1.2) ϕ(x) = 1 (Ax, x) (b, x), 2
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραR ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος
73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b
Διαβάστε περισσότεραX 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 )
Εστω X : Ω R d τυχαίο διάνυσμα με ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ X Εχουμε δει ότι η γνώση της κατανομής καθεμιάς από τις X, X,, X d δεν αρκεί για να προσδιορίσουμε την κατανομή του X, αφού δεν περιέχει
Διαβάστε περισσότεραa = a a Z n. a = a mod n.
Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση
Διαβάστε περισσότεραb. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.
Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας
Διαβάστε περισσότεραETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-Art ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *
Διαβάστε περισσότεραShmei seic JewrÐac Arijm n
Shmei seic JewrÐac Arijm n Tm ma Majhmatik n Paneist mio Ajhn n Aj na, 2013 ii Perieqìmena Εισαγωγή 1 1 Διαιρετότητα και πρώτοι αριθμοί 3 1.1 Το σύνολο των ακεραίων......................... 3 1.2 Διαιρετότητα
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.
Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο , Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: 2 ώρες 18 Νοεμβρίου, 2017
ΜΑΣ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ I Εαρινό εξάμηνο 07-08, Διδάσκων: Γιώργος Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ, Διάρκεια: ώρες 8 Νοεμβρίου, 07 Δίνονται 4 προβλήματα που αντιστοιχούν σε 0 μονάδες με άριστα το 00! ΟΝΟΜΑ: Αρ.
Διαβάστε περισσότερα, ορίζουμε deta = ad bc. Πρόταση Ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε και μόνο αν deta 0.
Για κάθε πίνακα Α ορίζουμε μία τιμή που λέγεται ορίζουσα και συμβολίζεται deta ή Α Ο ορισμός γίνεται επαγωγικά για = 2, 3, 4, και ισχύουν τα εξής: a b Για 22 πίνακα Α = c d, ορίζουμε deta = ad bc a 1 b
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).
ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους
Διαβάστε περισσότεραds ds ds = τ b k t (3)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε
Διαβάστε περισσότερα,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.
Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 29 Μαρτίου 2019 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )
Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής
Διαβάστε περισσότερααπό t 1 (x) = A 1 x A 1 b.
Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε
Διαβάστε περισσότεραΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1.
ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο -7 Ασκήσεις Αποδείξτε την ανισότητα Cuch-Schwr Για R Δείξτε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά Αποδείξτε την τριγωνική ανισότητα
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις
Διαβάστε περισσότερα[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:
Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του
Διαβάστε περισσότεραLÔseic Ask sewn sta Jemèlia twn Majhmatik n I
LÔseic Ask sewn sta Jemèlia twn Majhmatik n I Rwmanìc-Diogènhc Maliki shc Tetˆrth, 6 OktwbrÐou 2010 Άσκηση 1. Για τυχόντα σύνολα A, B, C, D, να δειχθεί ότι (α ) A (B \ C) = ((A B) \ C) (A C). (β ) (A \
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Weddebu για ημιαπλούς δακτυλίους, αναπτύσσουμε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασμένων
Διαβάστε περισσότεραΚλασικη ιαφορικη Γεωµετρια
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις
Διαβάστε περισσότεραι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.
6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται
Διαβάστε περισσότεραApì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss
Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +
Διαβάστε περισσότεραf(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)
Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων
Διαβάστε περισσότερα[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)
[] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 08, 5 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Νόρμες πινάκων 2. Δείκτης κατάστασης πίνακα 3. Αριθμητική κινητής
Διαβάστε περισσότεραΜιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα
Μιχάλης Παπαδημητράκης Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα 1 Παράγωγος στο. Ας θυμηθούμε ότι μια μιγαδική συνάρτηση f ορισμένη σε ένα υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου λέμε ότι είναι
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένες Διαφορές.
Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
[] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Ας είναι ux (, ) = x+ cos( π ) και vx (, ) = cos( π x) το πραγματικό και το φανταστικό μέρος
Διαβάστε περισσότεραSugkèntrwsh tou mètrou sthn omˆda twn metajèsewn
Sugkèntrwsh tou mètrou sthn omˆda twn metajèsewn H mèjodoc thc kurt c j khc Συμβολίζουμε με την ομάδα των μεταθέσεων του συνόλου {, 2,..., N}, εφοδιασμένη με το συμμετρικό μέτρο πιθανότητας P N. Για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,
Διαβάστε περισσότεραHY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ
HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε
Διαβάστε περισσότεραn = dim N (A) + dim R(A). dim V = dim ker L + dim im L.
Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 9 Γραμμικοί Ισομορφισμοί Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 19/3/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 9 19/3/2014 1 / 12 Γραμμικές απεικονίσεις και υπόχωροι Εικόνα
Διαβάστε περισσότερα