Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου

Transcript

1 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ] συμβολίζεται με Ιδιότητες αντίστροφων πινάκων: ( ( ( ( B B ( ( Z Ανάπτυγμα ple της ορίζουσας τετραγωνικού πίνακα [ ] ως προς την γραμμή ή την j στήλη: det( j j j όπου ( j M j j M η ελάσσων ορίζουσα του j στοιχείου j (ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει εάν αφαιρέσουμε την γραμμή την j στήλη από τον Α Ιδιότητες ορίζουσας του πίνακα : det( det( det( det( R det( B det( det( B det( det( R αντιστρέψιμος det( dj( det( όπου dj( ο ανάστροφος του πίνακα αλγεβρικών j συμπληρωμάτων ( dj( ( M j j Ένα μη κενό υποσύνολο U του πραγματικού διανυσματικού χώρου V είναι υπόχωρος του δχ V αν μόνο αν R u u U ισχύει u u U Τα διανύσματα v v v είναι γραμμικά ανεξάρτητα όταν v v v Ένα σύνολο { v v v } του δχ V είναι μία βάση του V αν μόνο αν I τα διανύσματα v v v είναι γραμμικά ανεξάρτητα IΙ Ο δχ V παράγεται από τα v v v τότε η διάσταση του V είναι dv Το θεώρημα διαστάσεων για τους υποχώρους UW του δχ V είναι: d( U W du dw d( U W Για το ευθύ άθροισμα των υποχώρων U W V του δχ V ισχύει V U W V U W UW {} V U W dv du dw Εσωτερικό γινόμενο Για κάθε το εσωτερικό γινόμενο είναι ένας πραγματικός αριθμός για τον οποίο ισχύουν οι ιδιότητες Ι ( z ( z ( z z R R ΙΙ R ΙΙΙ o μέτρο του διανύσματος ορίζεται από τον τύπο Η γωνία [ ] δύο διανυσμάτων ορίζεται από τον τύπο os Τα διανύσματα R είναι κάθετα αν μόνο αν Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων R ισχύουν οι ιδιότητες: Ι ΙΙ ΙIΙ R IV (Cuh-Shwrz Προβολή p διανύσματος στη διεύθυνση του είναι p Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου R είναι ο υπόχωρος R : o Επιπλέον R ( Μία βάση u u u R ονομάζεται ορθοκανονική αν μόνο αν τα διανύσματα είναι ανά δύο κάθετα μοναδιαία (δηλ u u u j Αν ξ ξ ξ είναι βάση του διανύσματα ξ ξ ξ ξ ξ j j j j j j j j j κάθε j 3 είναι κάθετα μεταξύ τους τα δε διανύσματα u u u R τα για αποτελούν ορθοκανονική βάση του R Ο πραγματικός τετραγωνικός πίνακας με την ιδιότητα I ονομάζεται ορθογώνιος Στον ορθογώνιο πίνακα οι στήλες του ( οι γραμμές του είναι ορθοκανονική βάση Για τους ορθογώνιους πίνακες ισχύουν επιπλέον οι ιδιότητες: I det II III IV V Γινόμενο ορθογώνιων πινάκων είναι ορθογώνιος πίνακας Γραμμικοί μετασχηματισμοί Έστω UV είναι πραγματικοί διανυσματικοί χώροι Μία απεικόνιση : U V ονομάζεται γραμμική ή γραμμικός μετασχηματισμός όταν ( ( ( U R Το σύνολο er { U : ( } U ονομάζεται πυρήνας της είναι υπόχωρος του U Το σύνολο I { V : ( V } V λέγεται εικόνα της είναι υπόχωρος του V Για τη γραμμική απεικόνιση : U V ισχύει du der di Η : U V λέγεται ένα-προς-ένα (- αν U με ( ( Η : U V λέγεται επί αν I V Έστω η γραμμική απεικόνιση : U V τα διανύσματα u u u είναι βάση του U τα δε v v v είναι βάση του V Από τις ισότητες ( u v v v ( u v v v ( u v v v ορίζεται ο πίνακας που ονομάζεται πίνακας αναπαράστασης της ως προς τις συγκεκριμένες βάσεις Για τον πίνακα ισχύει ( για κάθε U Αν για τους διανυσματικούς χώρους ισχύει du dv τότε για τη γραμμική απεικόνιση : U V οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες Ι αντιστρέψιμη (υπάρχει η II είναι - III er { } IV είναι επί Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα πίνακα Για έναν πίνακα οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου p( det I det ( Αν ο είναι τριγωνικός ή διαγώνιος τότε οι ιδιοτιμές του είναι τα διαγώνια στοιχεία του Για κάθε ιδιοτιμή τα αντί-στοιχα ιδιοδιανύσματα είναι οι λύσεις ομογενούς συστήματος I ισοδύναμο με το σύστημα του ( ( ( Για τις ιδιοτιμές του ισχύουν: det ( tr το οποίο είναι όπου οι αντίστοιχοι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου p( Αν ιδιοτιμή τότε είναι ιδιοποσά του αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα του Οι ιδιοτιμές συμμετρικού πίνακα είναι αριθμοί πραγματικοί τα δε ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι κάθετα Ο πίνακας διαγωνοποιείται όταν PDP όπου D είναι διαγώνιος πίνακας με διαγώνια στοιχεία τις ιδιοτιμές του P είναι ο πίνακας με στήλες τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα Αν ( είναι πολυώνυμο τότε ( P ( D P Pdg ( ( ( P Κάθε συμμετρικός πίνακας διαγωνοποιείται ιδιαίτερα υπάρχει ορθογώνιος πίνακας Q ώστε Qdg( Q Για κάθε τετραγωνικό πίνακα ισχύει p( I O Αν ( είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου ( δια του χαρακτηριστικού πολυωνύμου p( τότε ( (

2 Τετραγωνικές μορφές Το πολυώνυμο των πραγματικών μεταβλητών της μορφής F( όπου είναι συμμετρικός πίνακας ονομάζεται τετραγωνική μορφή Αν QDQ τότε η F( μετασχηματίζεται στη διαγώνια μορφή F( όπου Αν Q η F λέγεται θετικά (αρνητικά ορισμένη αν ( λέγεται θετικά (αρνητικά ημιορισμένη ενώ σε κάθε άλλο συνδυασμό προσήμων των ονομάζεται αόριστη ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α : R ή ( Γραφική παράσταση συνάρτησης C M ( : ( Συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο ( ( με Συνάρτηση γνησίως φθίνουσα στο ( ( με Άνω φραγμένη συνάρτηση : R Υπάρχει αριθμός s (άνω φράγμα της με την ιδιότητα: ( s (Ανάλογα ορίζεται η κάτω φραγμένη Φραγμένη λέγεται η συνάρτηση αν είναι άνω κάτω φραγμένη - συνάρτηση : R : αν τότε ( ( ή ισοδύναμα: αν ( ( τότε Σύνθεση της : R με την g: B R ( g ( g( ( για τα οποία ( B Αντίστροφη συνάρτηση μιας - συνάρτησης είναι η : ( που αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο ( στο μοναδικό για το οποίο ισχύει ( δηλ ( ( Όρια συνέχεια συναρτήσεων Όριο συνάρτησης στο - Πλευρικά όρια l ( l ( l ( Κριτήριο παρεμβολής: Αν g( ( h( κοντά στο l h( l g( τότε l ( Η ιδιότητα αυτή ισχύει στην περίπτωση που s os l l Συνέχεια Η συνάρτηση : R είναι συνεχής στο αν l ( ( Παράγωγος συνάρτησης Η συνάρτηση : R είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αν υπάρχει το όριο ( ( l ( Η εφαπτομένη ευθεία της είναι ( ( ( R C στο σημείο Αν είναι παραγωγίσιμη συνεχής ( ( Αν δεν είναι συνεχής δεν είναι παραγωγίσιμη Ιδιότητες παραγώγων ( ( R ( g( ( g( ( g( ( g( ( g( ( ( g( ( g ( g ( g( g ( ν η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη η αντίστροφη είναι παραγωγίσιμη τότε Η παράγωγος της σύνθετης συνάρτησης ( g( είναι d ( g( d ( g dg( ( g( '( g( g '( d dg d Παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεων ( R ( ( R ( ( s ( os ( os ( s ( t os ( ( e ( e ( l ( s rs ( t r t Κανόνας l Hosptl ( ( ( Πρώτη διατύπωση: Αν ( g( ( g ( υπάρχουν g( τότε ( ( ( l l g( g( g( Δεύτερη διατύπωση : Αν ( g( με ( g( διαφορίσιμες στο ( g( εκτός πιθανώς του ( τότε ( ( l l g( g( Ο κανόνας ξαναχρησιμοποιείται αν ισχύουν οι ίδιες συνθήκες για τις παραγώγους των ( g( Στις απροσδιόριστες μετατροπές / g / g / / g/ g / g γίνονται οι g / g Τις απροσδιόριστες τις μετατρέπουμε με βάση τη σχέση ( ( l ( ( g e g ( l ( ( l ( l ( g e g ( Εφαρμογές των παραγώγων στο σχεδιασμό της C της : R Από πρώτη παράγωγο Αν ( I τότε η γνησίως αύξουσα Αν ( I τότε η γνησίως φθίνουσα Αν ( για κάποιο με ( ( τότε το είναι σημείο τοπικού μεγίστου (Ανάλογα για το ελάχιστο Από δεύτερη παράγωγο Αν ( I τότε η στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω Αν ( I τότε η στρέφει τα κοίλα προς τα κάνω Αν ( & ( (ή αντίστροφα τότε το είναι σημείο καμπής α Αν ( ( τότε το είναι σημείο τοπικού ελαχίστου β Αν ( ( τότε το είναι σημείο τοπικού μεγίστου Ασύμπτωτες Κάθετη ασύμπτωτη η ευθεία R αν l ( ή l ( Οριζόντια ασύμπτωτη η ευθεία R αν l ( ή l ( Πλάγια ασύμπτωτη της C στο αν l ( η ευθεία ( l l( ( R R * Σημαντικά θεωρήματα Έστω η συνάρτηση : [ ] R Bolzo: Αν η είναι συνεχής στο [ ] ( ( τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ( τέτοιο ώστε ( Ενδιάμεσης τιμής: Αν η είναι συνεχής στο [ ] ( ( τότε για κάθε αριθμό μεταξύ των ( ( υπάρχει ένα τουλάχιστον ( τέτοιο ώστε ( Μέγιστης - ελάχιστης τιμής: Αν η είναι συνεχής στο [ ] τότε η είναι φραγμένη στο [ ] Επιπλέον υπάρχουν [ ] έτσι ώστε ( ( ( [ ] Θεώρημα μέσης τιμής (ΘΜΤ: Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [ ] παραγωγίσιμη στο ( τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( ( ( τέτοιο ώστε : ( Rolle: Αν η είναι συνεχής στο [ ] παραγωγίσιμη στο ( ( ( τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( τέτοιο ώστε : ( Αν η είναι παραγωγίσιμη στο ( ( ( τότε ( Cuh: Αν οι ( g( είναι ορισμένες συνεχείς στο [ ] είναι διαφορίσιμες στο ( g( ( τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( : ( ( ( g( g( g ( Drou: Έστω η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [ ] με ( ( Αν R με ( ( τότε υπάρχει ( τέτοιο ώστε ( Εφαρμογή του θεωρήματος για την προσέγγιση ρίζας: Έστω ότι η εξίσωση ( έχει ρίζα με να είναι παραγωγίσιμη στο h h να ισχύει '( h h αυθαίρετο h h έστω Τότε η ακολουθία

3 ( συγκλίνει μονότονα στη ρίζα Ορισμένο ολοκλήρωμα Κάθε συνεχής είναι ολοκληρώσιμη ( d ( d ( d ( d ( d ( d ( d ( g( d ( d g( d ( g( ( d g( d ΘΜΤ συνεχής τότε για κάποιο [ ] ( d ( ( Αόριστο ολοκλήρωμα ή αντιπαράγωγος ( g( d ( g( Ιδιότητες ( h( d ( d h( d ( g ( d ( g( ( g( d (παραγοντική ολοκλήρωση ( d l ( ( Τυπολόγιο d d R- { } d l os d s s d os d t ( r t( d s ( r s( e d e Θεμελιώδη θεωρήματα Ολοκληρωτικού Λογισμού Ι Αν η είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα [ ] F είναι ένα αόριστο ολοκλήρωμα της τότε ( d F( F( ΙΙ Αν η είναι συνεχής στο διάστημα [ ] τότε df d ( t dt ( d d Γενικευμένα Ολοκληρώματα (α είδους d l ή d l e d d (β είδους l ( ιδιόμορφο σημείο d d e e d l d e ( ιδιόμορφο σημείο (γ είδους = συνδυασμός α β είδους e l l d d d e e e με ( ιδιόμορφα σημεία l l d d d e l l d d d ( ιδιόμορφο σημείο e d l d l d ( e e ιδιόμορφο σημείο (εσωτερικό ιδιόμορφο σημείο πρωτεύουσα τιμή του Cuh e l l d d d e e e ( ιδιόμορφο σημείο - d l d ( ιδιόμορφο σημείο e e Ο μετασχηματισμός ple μίας ολοκληρώσιμης συνάρτησης : [ R είναι t { ( t}( e ( t dt για κάθε τιμή του για την οποία το παραπάνω γενικευμένο ολοκλήρωμα συγκλίνει Εφαρμογές Ολοκληρωμάτων ( d S d (μήκος επίπεδης καμπύλης o d (επιφάνεια από περιστροφή Vo d (όγκος από περιστροφή d o V d ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ Ακολουθία είναι συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των θετικών ακέραιων αριθμών Συμβολίζεται ( Πρόοδοι Αριθμητική: ( ω [ ( ω] Άθροισμα όρων απ: S Γεωμετρική: ή Άθροισμα όρων γπ: S Γεωμετρικός μέσος: Αν είναι 3 διαδοχικοί όροι γπ τότε Σημαντικά όρια l l l l l l! l l e l l! Όπου σταθερός αριθμός Φραγμένες ακολουθίες άνω φραγμένη: M N M R κάτω φραγμένη : N R e Φραγμένη: συγχρόνως άνω κάτω φραγμένη δηλαδή αν M N για κάποιο MR Μια ακολουθία απολύτως φραγμένη είναι φραγμένη Μία φραγμένη ακολουθία δε συγκλίνει κατ ανάγκη Μονότονες ακολουθίες Μία ακολουθία N ονομάζεται αύξουσα αν ισχύει N φθίνουσα αν ισχύει N μονότονη αν είναι αύξουσα ή φθίνουσα Μονότονες φραγμένες ακολουθίες-σύγκλιση Μία μονότονη ακολουθία δε συγκλίνει κατ ανάγκη Κάθε μονότονη φραγμένη ακολουθία είναι συγκλίνουσα στο R Κάθε συγκλίνουσα σε πραγματικό αριθμό ακολουθία είναι φραγμένη Αν l N τότε l Ειδικές Κατηγορίες Σειρών α Γεωμετρικές Σειρές: r αν r : συγκλίνει Άθροισμα: r αν r : απειρίζεται θετικά αν r : κυμαίνεται το όριό της δεν υπάρχει β p-σειρές: ( p p αν p : συγκλίνει αν p : αποκλίνει γ Τηλεσκοπικές : Συγκλίνει αν μόνο αν υπάρχει το όριο l Άθροισμα: l δ Εναλλάσσουσες Σειρές: για όλα τα ή ε Σειρές lor: Αν η συνάρτηση οι πρώτες τις παράγωγοι [ ] αν η τότε για ισχύει ( ( ( είναι συνεχείς στο ( είναι διαφορίσιμη στο ( ( ( ( ( ( (!! ( ( R (! ( ( R ( είναι το υπόλοιπο της (! όπου πολυωνυμικής προσέγγισης -βαθμού Όταν τότε το ανάπτυγμα ονομάζεται ανάπτυγμα Mlur Συνήθη αναπτύγματα lor e!! 3 l( ( s ( 3! 5! (! 4 os (! 4! (! 3 5 r t ( 3 5 ε Σειρές Fourer: Έστω μία :[ ] R περιοδική με περίοδο τότε η σειρά Fourer είναι: ( ( os s όπου ( d ( os d 3

4 ( s d Εάν ( άρτια τότε ενώ εάν ( περιττή τότε Κριτήρια σύγκλισης σειρών Ι Αν l τότε η σειρά δε συγκλίνει ΙΙ α Αν οι σειρές συγκλίνουν τότε για κάθε R ( συγκλίνει β Αν συγκλίνει δε συγκλίνει τότε ( δε συγκλίνει ΙIΙ Αν η σειρά συγκλίνει τότε η συγκλίνει Το αντίστροφο δεν ισχύει ΙV (Απλό κριτήριο σύγκρισης Έστω αν συγκλίνει συγκλίνει αν δε συγκλίνει δε συγκλίνει V (Γενικευμένο κριτήριο σύγκρισης Έστω l Τότε οι σειρές είτε συγκλίνουν είτε αποκλίνουν ταυτόχρονα VI (Κριτήριο λόγου - d leert Έστω για l Τότε: αν τότε η αν τότε η αν συγκλίνει δε συγκλίνει τότε δεν μπορούμε να απαντήσουμε VIΙ (Κριτήριο Ρίζας - Cuh Έστω l αν τότε η αν τότε η αν συγκλίνει δε συγκλίνει τότε δεν μπορούμε να απαντήσουμε VIIΙ (Κριτήριο etz Έστω Αν η ακολουθία είναι θετική φθίνουσα l τότε η σειρά συγκλίνει IX Αν η ολοκληρώσιμη συνάρτηση :[ είναι θετική φθίνουσα τότε το η σειρά I d S συγχρόνως συγκλίνουν ή αποκλίνουν Στην περίπτωση σύγκλισης ισχύει I S I ( ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας: Αν ένα πείραμα έχει ν ισοδύναμα δυνατά αποτελέσματα η πιθανότητα ενός ενδεχόμενου Α είναι ο λόγος ν(α/ν όπου ν(α είναι ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων του πειράματος για το Α Στατιστικός ορισμός πιθανότητας: Η πιθανότητα ενός ενδεχόμενου Α κάποιου πειράματος είναι ο αριθμός Ρ(Α στον οποίο σταθεροποιείται η σχετική συχνότητα (Α/ του Α σε ένα μεγάλο αριθμό επαναλήψεων του πειράματος με παρόμοιες συνθήκες! Συνδυασμοί : r r! r! Διατάξεις :! Pr r -! Διατάξεις με επανάθεση: Μεταθέσεις ν αντικειμένων : r R r P! Χρήσιμοι τύποι: B B B B Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα: B P -P P B P PB P B P B P PB P B P Δεσμευμένη Πιθανότητα P / B B P B Ανεξάρτητα ενδεχόμενα: P B P PB Ολική Πιθανότητα: αν j P( B P( P( B/ P( P( B/ Τύπος Bes: P( P( B / P( / B όπου P( P( B / P( P( B / j Μέση τιμή διακριτής: ( X = ( Μέση συνεχούς διακριτής: ( X = ( d Διασπορά: vr( X = X ( ( ( Τυπική απόκλιση: = vr( X Διωνυμική κατανομή: B( p : ( p ( p ( X p Vr ( X p( p Posso P : ( e! X ( Vr( X Αρνητική διωνυμική: ( X / p X ( p ( p Vr( X ( p/ p Γεωμετρική κατανομή Gp ( είναι η αρνητική διωνυμική για Υπεργεωμετρική: NN N X ( N N N N ( N N N ( N N ( N Vr( X Ομοιόμορφη: U( ( αλλού ( X ( / Κανονική Vr X ( ( / N : ( e : X ( Vr( X Εκθετική e ( αλλού ( X / Vr( X / όπου X ( η μέση τιμή Vr( X η διασπορά της τμ Χ Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Αν X X X ανεξάρτητες με X ( Vr( X ή τότε X ( ~ ( X ~ N( 3 Χρήσιμες ταυτότητες σχέσεις: r r r ( ( ( ( 3 3 ( ( 3 ( ( 3 3 ( 3 Βασικοί τριγωνομετρικοί τύποι R s( s( os( os( s s os t os s( s os s os os( os os s s t t t t t s s os t t t os os s os t t t t t s s s os os os os os os os os s s s( os( / os( s( / s( / 6 os( /3 / s( / 3 os( / 6 3 / s( / 4 os( / 4 / C z R Σύνολο μιγαδικών Συζυγής: z z Αντίστροφος: z z z Μέτρο μιγαδικού αριθμού: r z r z z z Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού z r (os s όπου πρωτεύον όρισμα Θεώρημα De Movre s z r e r os ακέραιος Οι διακεκριμένες ρίζες της εξίσωσης z N (που λέγονται -οστές ρίζες του z δίνονται από τον τύπο z r os s Σχέση καρτεσιανών πολικών συντεταγμένων: 4

5 ros( rs( r rt 5