P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

Transcript

1 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Ασκήσεις στη Στοιχειώδη Συνδυαστική 1 / 12

2 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n r C(n, r) = ( ) n+r 1 r n! Ομάδες μη διακεκριμένων στοιχείων q 1!q 2!...q t! 2 / 12

3 Επανάληψη Διανομή αντικειμένων σε υποδοχές n διακεκριμένες υποδοχές r Διαφορετικά αντικείμενα: Δε μετράει η σειρά: } n n {{... n } = n r r (n + r 1)! Μετράει η σειρά: (n 1)! r Ιδια αντικείμενα: (n + r 1)! r!(n 1)! ( ) n + r 1 = r 3 / 12

4 Πόσες διαφορετικές διατάξεις παιχτών υπάρχουν σε μία ομάδα μπάσκετ; 4 / 12

5 Πόσες διαφορετικές διατάξεις παιχτών υπάρχουν σε μία ομάδα μπάσκετ; Υπάρχουν 5 παίχτες σε μία ομάδα μπάσκετ. Συνεπώς οι πιθανές διατάξεις των παιχτών είναι 5!. 4 / 12

6 Σε ένα Ολυμπιακό άθλημα συμμετείχαν 10 αθλητές. Από αυτούς 4 κατάγονται από τις ΗΠΑ, 3 από τη Ρωσσία, 2 από τη Γαλλία και 1 από την Ελλάδα. α) Πόσες είναι οι δυνατές λίστες κατάταξης των αθλητών; β) Πόσες είναι οι δυνατές λίστες κατάξης των αθλητών αν είναι γνωστή η εθνικότητά τους ; 5 / 12

7 Σε ένα Ολυμπιακό άθλημα συμμετείχαν 10 αθλητές. Από αυτούς 4 κατάγονται από τις ΗΠΑ, 3 από τη Ρωσσία, 2 από τη Γαλλία και 1 από την Ελλάδα. α) Πόσες είναι οι δυνατές λίστες κατάταξης των αθλητών; β) Πόσες είναι οι δυνατές λίστες κατάξης των αθλητών αν είναι γνωστή η εθνικότητά τους ; α) Οι δυνατές λίστες κατάταξης των αθλητών είναι: 10! εφόσον είναι 10 οι αθλητές. β) Αν είναι γνωστή η εθνικότητα των αθλητών, οι πιθανές λίστες κατάταξής τους θα είναι: 10! 4!3!2!1! 5 / 12

8 Για την εθνική επέτειο της 28ης Οκτωβρίου ένας καθηγητής Λυκείου έχει στη διάθεσή του 30 μαθητές και θέλει να χρησιμοποιήσει 2 από αυτούς να γίνουν αφηγητές του έπους του 40. Με πόσους δυνατούς τρόπους μπορεί να σχηματίσει αυτά τα ζεύγη αφηγητών ; 6 / 12

9 Για την εθνική επέτειο της 28ης Οκτωβρίου ένας καθηγητής Λυκείου έχει στη διάθεσή του 30 μαθητές και θέλει να χρησιμοποιήσει 2 από αυτούς να γίνουν αφηγητές του έπους του 40. Με πόσους δυνατούς τρόπους μπορεί να σχηματίσει αυτά τα ζεύγη αφηγητών ; Υπάρχουν: ( 30 2 ) διαφορετικά ζέυγη αφηγητών, που μπορεί να προκύψουν. 6 / 12

10 Σε μία εταιρεία εφαρμογών πληροφορικής υπάρχουν συνολικά 5 γυναίκες και 10 άντρες Μηχανικοί Η/Υ. Πόσες διαφορετικές ομάδες, που θα αποτελούνται από 2 γυναίκες και 5 άντρες μπορούν να σχηματιστούν για συμμετέχουν σ ένα project ; 7 / 12

11 Σε μία εταιρεία εφαρμογών πληροφορικής υπάρχουν συνολικά 5 γυναίκες και 10 άντρες Μηχανικοί Η/Υ. Πόσες διαφορετικές ομάδες, που θα αποτελούνται από 2 γυναίκες και 5 άντρες μπορούν να σχηματιστούν για συμμετέχουν σ ένα project ; Υπάρχουν ( ) 10 5 δυνατές ομάδες από 5 άνδρες και ) δυνατές ομάδες από 2 γυναίκες. ( 5 2 Χρησιμοποιώντας κανόνα του γινομένου: ( 10 5 ) ( 5 2) διαφορετικές ομάδες δημιουργούνται για το project. 7 / 12

12 Πόσες είναι οι διαφορετικές πινακίδες αυτοκινήτων, που μπορεί να προκύψουν με χρήση των γραμμάτων του ελληνικού αλφαβήτου και τα 10 ψηφία (δεδομένου ότι στις 3 πρώτες θέσεις υπάρχουν γράμματα και στις υπόλοιπες 4 αριθμοί) ; 8 / 12

13 Πόσες είναι οι διαφορετικές πινακίδες αυτοκινήτων, που μπορεί να προκύψουν με χρήση των γραμμάτων του ελληνικού αλφαβήτου και τα 10 ψηφία (δεδομένου ότι στις 3 πρώτες θέσεις υπάρχουν γράμματα και στις υπόλοιπες 4 αριθμοί) ; Τα ελληνικά κεφαλαία γράμματα είναι 24. Συνεπώς, εφόσον στις πινακίδες αυτοκινήτου χρησιμοποιούνται μόνο κεφαλαία γράμματα Α,..., Ω για τις τρείς πρώτες θέσεις κάθε φορά υπάρχουν 24 επιλογές. Δεν υπάρχει ζήτημα αν σημειώνονται επαναλήψεις. άρα κάθε φορά υπάρχουν 24 επιλογές. Συνεπώς για τα γράμματα υπάρχουν 24*24*24 επιλογές. Τα διάφορα ψηφία είναι 10. Συνεπώς, 0,...,9. Επίσης, δεν υπάρχει ζήτημα αν σημειώνονται επαναλήψεις, άρα κάθε φορά υπάρχουν 10 επιλογές, δηλαδή 10*10*10*10. 8 / 12

14 Συνολικά, από τον κανόνα του γινομένου: 24*24*24*10*10*10*10= / 12

15 (2ο Θέμα Ιανουάριος 2014) Εχουμε μία ομάδα 12 ατόμων που αποτελείται από 5 άνδρες και 7 γυναίκες. Χρησιμοποιώντας ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΑ να υπολογίσετε: α) Πόσες 5μελείς ομάδες μπορούν να σχηματιστούν με 3 άνδρες και 2 γυναίκες; β)πόσες 5μελείς ομάδες περιέχουν τουλάχιστον 1 άνδρα ; 10 / 12

16 (2ο Θέμα Ιανουάριος 2014) Εχουμε μία ομάδα 12 ατόμων που αποτελείται από 5 άνδρες και 7 γυναίκες. Χρησιμοποιώντας ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΑ να υπολογίσετε: α) Πόσες 5μελείς ομάδες μπορούν να σχηματιστούν με 3 άνδρες και 2 γυναίκες; β)πόσες 5μελείς ομάδες περιέχουν τουλάχιστον 1 άνδρα ; α) Υπάρχουν ( 5 3) τρόποι για να επιλέξουμε 3 άνδρες από τους 5 άνδρες και ( 7 2) τρόποι για να επιλέξουμε 2 γυναίκες από τις 7 γυναίκες. Άρα υπάρχουν συνολικά ( 5 7 3)( 2) = 210 τρόποι για να επιλέξουμε 3 άνδρες και 2 γυναίκες. β) (πλήθος ομάδων με τουλάχιστον έναν άνδρα) = (συνολικός αριθμός πενταμελών ομάδων) - (πλήθος πενταμελών ομάδων που ΔΕΝ περιέχουν κανέναν άνδρα) = ( ) ( ) = / 12

17 (Θέμα 1ο - Ιανουάριος 2013) Με πόσους τρόπους μπορούν να διανεμηθούν 2n + 1 θέσεις ενός συνεδριακού κέντρου σε 3 ομάδες, ώστε ο συνασπισμός οποιωνδήποτε δύο ομάδων να τους εξασφαλίσει πλειοψηφία ; Τόσο οι θέσεις όσο και οι σύνεδροι της κάθε ομάδας δε διακρίνονται μεταξύ τους. 11 / 12

18 (Θέμα 1ο - Ιανουάριος 2013) Με πόσους τρόπους μπορούν να διανεμηθούν 2n + 1 θέσεις ενός συνεδριακού κέντρου σε 3 ομάδες, ώστε ο συνασπισμός οποιωνδήποτε δύο ομάδων να τους εξασφαλίσει πλειοψηφία ; Τόσο οι θέσεις όσο και οι σύνεδροι της κάθε ομάδας δε διακρίνονται μεταξύ τους. Δίνεται ότι: τόσο οι θέσεις όσο και οι σύνεδροι της κάθε ομάδας δε διακρίνονται μεταξύ τους. Επομένως, διανομές των θέσεων που προκύπτουν η μία από την άλλη με ανταλλαγή θέσεων συνέδρων μεταξύ τους, ή προσώπων συνέδρων, χωρίς αλλαγή του αριθμού των συνέδρων της κάθε ομάδας, δε μετράνε ως διαφορετικές. Ετσι, το πρόβλημα μετατρέπεται σε πρόβλημα τοποθέτησης μη διακεκριμένων (δηλ., ίδιων) αντικειμένων σε διακεκριμένες υποδοχές (τις διαφορετικές ομαδες). 11 / 12

19 Αν μία ομάδα έχει n + 1 θέσεις, τότε οι δύο άλλες δε μπορούν ποτέ να έχουν πλειοψηφία. Άρα για να απαντήσουμε στην ερώτηση πρέπει: 1 να βρούμε με πόσους τρόπους μπορούν να διανεμηθούν 2n + 1 θέσεις σε 3 ομάδες χωρίς περιορισμό, και Τρόποι τοποθέτησης 2n + 1 ίδιων αντικειμένων σε 3 υποδοχές: ( 2n n+1 ) ( = 2n+3 ) 2n+1 2 να αφαιρέσουμε από αυτούς εκείνους τους τρόπους που δίνουν τουλάχιστον n + 1 θέσεις σε μία μόνο ομάδα Δίνουμε n + 1 θέσεις σε μία από τις ομάδες οπότε μένουν για διανομή 2n + 1 n 1 = n θέσεις Τρόποι ( τοποθέτησης n ίδιων αντικειμένων σε 3 υποδοχές: n+3 1 ) ( n = n+2 ) n Συνολικά, αφού υπάρχουν 3 ομάδες: 3 (n+2 ) Οπότε οι ζητούμενοι τρόποι είναι: ( 2n+3 2 n ) 3 ( n+2 2 ) = n 2 (n + 1) 12 / 12