ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων)

Transcript

1 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων) Μέρος Ι (μέγιστος αριθμός μονάδων=40) Δώστε την κατάλληλη απάντηση (ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ ) στις παρακάτω προτάσεις. Κάθε σωστή επιλογή παίρνει 5 μονάδες. Για κάθε λανθασμένη επιλογή αφαιρούνται πέντε μονάδες Φερουάριος Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν (διαφορετικά μεταξύ τους) στοιχεία x 1, x 2,..., x ν και k ένας θετικός ακέραιος. Τότε κάθε διατεταγμένη k-αδα (α 1, α 2,..., α k ) που αποτελείται από k διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία του Χ (k ν) λέγεται συνδυασμός των ν στοιχείων ανά k. 2. Αν Α, Β είναι υποσύνολα ενός πεπερασμένου ασικού συνόλου Ω, τότε θα ισχύει πάντοτε η σχέση Α Β = Α + Β Α Β. 3. Αν και k είναι θετικοί ακέραιοι με 1 k ν τότε ισχύει πάντοτε η σχέση! ( ) k = ( k)! 4. Αν τα σύνολα Α 1, Α 2,..., Α ν είναι ανταλλάξιμα και για κάθε επιλογή r 1 δεικτών i 1, i 2,..., i r από το σύνολο δεικτών {1, 2,.., ν} θέσουμε Ai A 1 i... A 2 i = n, r r τότε ν ( ) r A A... A A 1 1 ν = U = n r. 1 2 ν i r i= 1 r= 1 5. Όταν k διαφορετικά σφαιρίδια τοποθετούνται σε διαφορετικά κελιά (χωρίς κανένα περιορισμό), τότε το πλήθος των διαφορετικών τρόπων τοποθέτησης των σφαιριδίων στα + k 1 κελιά είναι ίσος με = k 1 6. Για τους αριθμούς, 1 k ν των συνδυασμών των ν στοιχείων ανά k ισχύει ότι = + k 7. Αν α, είναι δύο πραγματικοί αριθμοί και ένας θετικός ακέραιος τότε α + α =. k 0 8. Αν θεωρήσουμε επάνω στην περιφέρεια ενός κύκλου ν σημεία τότε μπορούμε να σχηματίσουμε, χρησιμοποιώντας τα σημεία αυτά, ( 1)( 2) = 3 6 διαφορετικά τρίγωνα. ν Συνδυαστική Σελίδα 1 από 5

2 Μέρος ΙΙ (μέγιστος αριθμός μονάδων=40) Στις επόμενες ερωτήσεις διαλέξτε μια από τις πέντε επιλογές που δίνονται. Κάθε σωστή επιλογή παίρνει 5 μονάδες. Για κάθε λανθασμένη επιλογή αφαιρείται μία μονάδα 1. Αν το στοιχείο α 1 μπορεί να επιλεγεί με ν 1 διαφορετικούς τρόπους, το α 2 με ν 2 διαφορετικούς τρόπους,..., το α k με ν k διαφορετικούς τρόπους, τότε η επιλογή του α 1 ή α 2 ή... ή α k μπορεί να γίνει με α. ν 1 + ν ν k διαφορετικούς τρόπους.. ν 1 ν 2 ν k διαφορετικούς τρόπους. γ. (ν 1 ν 2 ν k ) /( ν 1 + ν ν k ) διαφορετικούς τρόπους, εφόσον η επιλογή του στοιχείου α i αποκλείει την επιλογή του στοιχείου α j με j i. δ. ν 1 ν 2 ν k διαφορετικούς τρόπους, εφόσον η επιλογή του στοιχείου α i αποκλείει την επιλογή του στοιχείου α j με j i. ν 1 + ν ν k διαφορετικούς τρόπους, εφόσον η επιλογή του στοιχείου α i αποκλείει την επιλογή του στοιχείου α j με j i. 2. Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν (διαφορετικά μεταξύ τους) στοιχεία x 1, x 2,..., x ν και k ένας θετικός ακέραιος. Τότε κάθε (μη διατεταγμένη) συλλογή αποτελούμενη από k διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία α 1,α 2,...,α k του Χ (k ν) λέγεται α. Επαναληπτική μετάθεση των ν στοιχείων ανά k.. Μετάθεση των ν στοιχείων ανά k. γ. Συνδυασμός των ν στοιχείων ανά k. δ. Διάταξη των ν στοιχείων ανά k. Μετάθεση των ν ειδών στοιχείων ανά k. 3. Αν Α, Β είναι υποσύνολα ενός πεπερασμένου ασικού συνόλου Ω, τότε α. Α Β = Α + Β δ. Α Β + Α Β = Α + Β. Α Β = Α Β γ. Α Β = Α + Β + Α Β Α Β Α Β = Α + Β 4. Έστω Α, Β δύο υποσύνολα ενός πεπερασμένου ασικού συνόλου Ω. Η ισότητα Α Β = Α + Β + Α Β ισχύει α. πάντοτε. όταν Α Β = Ω γ. όταν Α Β = 0 δ. όταν Α Β όταν B A 5. Αν α, είναι δύο πραγματικοί αριθμοί και ένας θετικός ακέραιος τότε k k k α. ( α + ) = ( 1) α δ. α k ( α ) = k. α + = α k k k ( ) ( α + ) = 0 ( 1) α γ. α + = α k k ( ) k k k Συνδυαστική Σελίδα 2 από 5

3 2 6. Το άθροισμα ν 2 είναι ίσο με 0 k 3 α k 4 γ. 5 δ Θέλουμε να σχηματίσουμε λέξεις έξι γραμμάτων τέτοιες ώστε το πρώτο και το τρίτο γράμμα να είναι φωνήεν ενώ το δεύτερο, το τέταρτο, το πέμπτο και το έκτο γράμμα να είναι σύμφωνα; Το πλήθος των διαφορετικών λέξεων που μπορούν να προκύψουν είναι ίσο με α γ δ Ας θεωρήσουμε ν 2 διαφορετικά γράμματα του ελληνικού αλφαήτου. Πόσες διαφορετικές λέξεις μπορούν να σχηματιστούν χρησιμοποιώντας κάθε ένα από τα γράμματα αυτά ακριώς 4 φορές; (4)! α. 4 γ. (4)! r 4!. δ. (4)! Συνδυαστική Σελίδα 3 από 5

4 Μέρος ΙΙΙ (μέγιστος αριθμός μονάδων=40) Απαντήστε στα επόμενα θέματα αιτιολογώντας τις απαντήσεις σας. Κάθε θέμα παίρνει 10 μονάδες. Προσπαθήστε να μην χρησιμοποιήσετε περισσότερο χώρο από αυτόν που δίνεται σε κάθε θέμα. 1. Να υπολογιστεί ο αριθμός των ακέραιων μη αρνητικών λύσεων της εξίσωσης ( x 1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6)( x7 + x8 + x9) = Να δείξετε ότι για 1 k m ισχύει η ταυτότητα 1 m 1 m + 1 = k + 1 m και στη συνέχεια να υπολογίσετε το άθροισμα ν 1 m n k = 0 k + 1 ν k Συνδυαστική Σελίδα 4 από 5

5 3. ν φοιτητές προσέρχονται στις εξετάσεις Συνδυαστικής και κατανέμονται σε 6 αίθουσες. Να διατυπωθεί το πρόλημα της απαρίθμησης των δυνατών κατανομών ως μοντέλο καταλήψεων Κατά πόσους τρόπους μπορούν να κατανεμηθούν στις 6 αίθουσες έτσι ώστε σε όλες τις αίθουσες να είναι περισσότεροι ή ίσοι του 20; (ν 120). Θεωρήστε ότι μας ενδιαφέρει μόνο πόσοι φοιτητές θα πάνε σε κάθε αίθουσα και όχι ποιοι. 4. Σε μια κάλπη υπάρχουν 10 σφαίρες αριθμημένες από το 1 έως το 10. Να ρεθεί το πλήθος των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούμε να εξάγουμε από την κάλπη k σφαίρες με επανάθεση (επιστροφή της σφαίρας στην κάλπη πριν γίνει η επόμενη εξαγωγή) έτσι ώστε να εμφανίζεται τουλάχιστον μια φορά καθεμία από τις σφαίρες με τις ενδείξεις 1,2,3,4,5. Συνδυαστική Σελίδα 5 από 5