log( x 7) log( x 2) log( x 1)

Transcript

1 ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 013 Ημερομηνία: 0/5/013 Ημέρα:Δευτέρα Μάθημα (Μαθηματικά Κατεύθυνσης) Τάξη Β Ώρα: Χρόνος:,5 ώρες Οδηγίες: 1. Απαγορεύεται η χρήση διορθωτικού υλικού. Επιτρέπεται η χρήση μη προγραμματιζόμενης υπολογιστικής μηχανής που φέρει τη σφραγίδα του σχολείου 3. Δεν επιτρέπεται να γράφετε με μολύβι παρά μόνο με μπλε πέννα 4. Δεν επιτρέπεται να δανείζεστε οτιδήποτε από συμμαθητές σας 5. Κατοχή κινητού τηλεφώνου = δολίευση 6. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται συνολικά από 4 σελίδες 7. Επισυνάπτεται τυπολόγιο 8. Τα σχήματα μπορούν να γίνουν με μολύβι ΜΕΡΟΣ Α: Από τα 15 θέματα να απαντήσετε ΜΟΝΟ στα 1. Κάθε ορθή λύση βαθμολογείται με πέντε ( 5 ) μονάδες. 1. Να αναλύσετε το κλάσμα 7 σε άθροισμα απλών κλασμάτων.. Να βρείτε την παράγωγο ln d d της συνάρτησης: 3. Να λύσετε την εξίσωση: log( 7) log( ) log( 1). 4. Σε γεωμετρική πρόοδο, ο πρώτος και ο δεύτερος όρος έχουν άθροισμα 6 και ο τρίτος και ο τέταρτος όρος έχουν άθροισμα 4. Να βρείτε την πρόοδο και το άθροισμα των 7 πρώτων όρων της, εάν λ>0. 5. Το παράπλευρο ύψος κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι 1 cm και σχηματίζει με τη βάση της γωνία 60. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο της πυραμίδας. 6. Να βρείτε τη γενική λύση της εξίσωσης: συν-5ημχ+= Τρίγωνο έχει κορυφή Α(3,1) και πλευρά (ΒΓ): 8χ-6ψ+=0. Να βρείτε το μήκος του ύψους ΑΔ και τις συντεταγμένες του σημείου Δ Να υπολογίσετε τα όρια: α) lim β) lim. 3 0 Λύκειο Αγίας Φυλάξεως Σελίδα 1

2 9. Δίνεται η καμπύλη με εξίσωση χ -3χψ+4ψ =. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο Α με τετμημένη χ=1 και τεταγμένη θετική. 10. Στο διπλανό σχήμα δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α. Με κέντρα τα Α και Β και με ακτίνα α γράφουμε δύο τεταρτοκύκλια μέσα στο τετράγωνο τα οποία τέμνονται στο Ε. Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΓΔΕ. Α Ε Β Δ Γ 11. Σε κύλινδρο η ακτίνα R και το ύψος υ συνδέονται με τις σχέσεις R+υ=11 και R>υ. Αν το εμβαδόν της κυρτής επιφάνειας είναι Ε κ =60π cm, να βρείτε : α) την ακτίνα και το ύψος του β) το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας και τον όγκο του κυλίνδρου. 1. Η εφαπτομένη της καμπύλης ψ -3χ+χψ+3=0 στο σημείο της Α(1,-1) τέμνει τον άξονα των χ στο Β και τον άξονα των ψ στο Γ. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκάθετης του ΒΓ. 13. Να αποδείξετε την ταυτότητα: Αν οι αριθμοί log,log 9( 3 ), log3 είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. να υπολογίσετε το χ. 15. Δίνεται γεωμετρική πρόοδος με πρώτον όρο το και λόγο το συνθ. 1 α) Να δείξετε ότι το άθροισμα των απείρων όρων της είναι. β) Να λύσετε την εξίσωση 0,. στο Λύκειο Αγίας Φυλάξεως Σελίδα

3 ΜΕΡΟΣ Β: Από τα 6 θέματα να απαντήσετε ΜΟΝΟ στα 4. Κάθε ορθή λύση βαθμολογείται με δέκα ( 10 ) μονάδες. 1. Στο πιο κάτω σχήμα το ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο με τις δύο βάσεις ΑΔ=9 cm και ΒΓ=3 cm.αν το στερεό που παράγεται από την πλήρη περιστροφή του τραπεζίου γύρω από την ευθεία ψψ έχει όγκο 80π cm 3, να βρείτε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του στερεού που παράγεται. ψ Α Β Γ Δ ψ. Αν α) ln 1 να δείξετε ότι: e d d β) e d d e ( ) 0 d d 3. Σε τρίγωνο δίνονται η κορυφή Γ(3,-1) και οι εξισώσεις του ύψους ΑΔ:3χ-4ψ+6=0 και της διαμέσου ΑΜ: χ+ψ-7=0. Να βρείτε: α) την εξίσωση της πλευράς ΒΓ β) τις συντεταγμένες των κορυφών Α και Β γ) το μήκος της διαμέσου ΑΜ δ) το εμβαδόν του τριγώνου Λύκειο Αγίας Φυλάξεως Σελίδα 3

4 4. α) Να δείξετε ότι η ακολουθία 4ημθ, ημθ, ημ3θ+ημθ,.. όπου,, είναι απόλυτα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος. β) Να δείξετε ότι το άθροισμα των απείρων όρων της πιο πάνω φθίνουσας Γ.Π. είναι 4. γ) Αν να βρείτε τις τιμές του θ εάν 0<θ<π. 5. α) Να εξετάσετε σε ποιες περιπτώσεις οι συναρτήσεις 1 f( ) ln 3 και g( ) ln( 1) ln( 3) είναι ίσες. Στις περιπτώσεις που είναι f g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R για το οποίο είναι f ( ) g( ). β) Να αποδείξετε ότι η αντίστροφη της f δίνεται από τον τύπο f 1 1 ( ) e και να βρείτε το πεδίο τιμών της. γ) Να βρείτε τα όρια : 1 lim e και 1 lim e 6. α) Να λύσετε την εξίσωση: στο διάστημα 0,. log ( ) log ( ) log 4( ) β) Να βρείτε το άθροισμα: 3 0 log ( ) log ( ) log ( )... log ( ) εάν Οι Εισηγητές: Αιμιλία Ζαντή Χρυσταλλένη Χατζηπιερή Χριστόδουλος Χριστοδούλου Ο Διευθυντής. Τάσος Τάσου Λύκειο Αγίας Φυλάξεως Σελίδα 4

5 Λύκειο Αγίας Φυλάξεως Σελίδα 5