ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Διαμόρφωση Γωνίας (Angle Modulation) - 2

Transcript

1 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Διαμόρφωση Γωνίας (Angle Modulaion) - 4.3: Διαμόρφωση Συχνότητας (Frequency Modulaion FM) καθ. Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@nemode.nua.gr Τρίτη 6/6/17

2 4. Επανάληψη: Βασικοί Ορισμοί (1/4) Carrier Wave c = A c cos (πf c ) Modulaing Signal m = A m sin (πf m ) Ampliude Modulaion - AM, DSB: s = A c m()cos (πf c ) Γενικά Χαρακτηριστικά Διαμόρφωσης Γωνίας Το αποτέλεσμα Διαμόρφωσης Γωνιάς (Angle Modulaion) είναι σήμα phasor s = A c cos [θ i ] με σταθερό πλάτος A c και μεταβλητή γωνία θ i π radians που διαμορφώνεται από το m() Στιγμιαία Συχνότητα (Insananeous Frequency): f i = 1 dθ i () π d Γωνιακή Ταχύτητα (Angular Velociy) του Phasor s : πf i radians/sec Εφαρμογή σε PM με m = A m sin πf m : f i = f c + k p A m f m cos (πf m ) cos (πf m ) Phase Modulaion - PM: s = A c cos [πf c + k p m ] sin (πf m ) s = A c cos [πf c + k p A m sin (πf m )] Frequency Modulaion - FM: s = A c cos [πf c + πk f m τ dτ] Σύγκριση Επίδοσης Angle Modulaion με AM - DSB Καλύτερη διάκριση σε παρεμβολές & θόρυβο αλλά μεγαλύτερες απαιτήσεις εύρους ζώνης (bandwidh)

3 4. Επανάληψη: Διαμόρφωση Γωνίας - Βασικοί Ορισμοί (/4) Τρόποι Διαμόρφωσης Σήματος m s() σε Φέρον Σήμα c = A c cos (πf c ) s() Διαμόρφωση Πλάτους, AM - DSB: s = A c m()cos (πf c ) Διαμόρφωση Γωνίας Angle Modulaion s = A c cos [θ i ] Phase Modulaion, PM: θ i = πf c + k p m s = A c cos πf c + k p m k p : Ευαισθησία Φάσης (Phase Sensiiviy), σε rad/vol αν m σε vol Frequency Modulaion, FM: f i = f c + k f m, θ i = πf c + πk f m τ dτ s() = A c cos πf c + πk f m τ dτ k f : Ευαισθησία Συχνότητας (Frequency Sensiiviy), σε herz/vol αν m σε vol m() s() m() s() Σχέση Διαμόρφωσης Φάσης & Συχνότητας

4 4. Επανάληψη: Διαμόρφωση Γωνίας - Βασικοί Ορισμοί (3/4) Ιδιότητες Σημάτων s() Διαμορφωμένων κατά Γωνία Σταθερότητα Μέσης Ισχύος: P av = 1 A c (ανεξάρτητα από k p, k f ) Μη Γραμμικότητα: Έστω m = m 1 + m () s 1 = A c cos πf c + k p m 1, s = A c cos πf c + k p m s = A c cos πf c + k p ((m 1 + m ) s 1 + s Συγκριτικά με Διαμόρφωση Πλάτους: Δυσκολότερη Φασματική Ανάλυση αλλά (έμμεσο αποτέλεσμα) μεγαλύτερη αντοχή σε παρεμβολές & θόρυβο Μη Κανονικότητα στην Αλλαγή Πρόσημου (Zero-Crossing Irregulariy): Η αλλαγή πρόσημου περιέχει όλη την πληροφορία του διαμορφώνοντος σήματος m αν f c B m όπου B m η ζώνη διέλευσης (bandwidh) του m Δυσκολία Οπτικής Αναπαράστασης Σήματος Πληροφορίας m από τη μορφή της s. Στη Διαμόρφωση Πλάτους (AM) με ποσοστό διαμόρφωσης 1 max k a m < 1, η m είναι η περιβάλλουσα του s

5 4. Επανάληψη: Βασικοί Ορισμοί (4/4) Παράδειγμα: Zero-Crossings, m = f c = 1 Hz, a = 1 vol/s 4 PM με Ευαισθησία k p = π rad/vol s = A c cos πf c + k p m a,, < = A c cos πf c + k p a, A c cos πf c, < Η s μηδενίζεται για σε χρόνους n (zero-crossings) όταν πf c n + k p a n = π + nπ, n =,1,, ή n = 1 +n f c + k p π a = 1 + n, n =,1,, (zero-crossings με σταθερές συχνότητες f c = 1 4 Hz για < και f c + k p a π = 1 Hz για ) FM με Ευαισθησία k f = 1 Hz/vol s() = A c cos πf c + πk f m τ dτ = A c cos πf c + πk f a, A c cos πf c, < Η s μηδενίζεται για σε χρόνους n (zero-crossings) όταν πf c n + πk f a n = π + nπ, n =,1,, ή n = 1 f ak c + f c + ak f ( 1 + n) = 1 ( n) f 4 Για η στιγμιαία συχνότητα f i = d πf c+πk f a d = πk f a + πf c αυξάνεται γραμμικά ως προς

6 Διαμόρφωση FM Ημιτονοειδούς Σήματος 4.3 Διαμόρφωση Συχνότητας FM (1/5) Σήμα πληροφορίας m = A m cos πf m διαμορφώνει carrier c = A c cos πf c στο σήμα FM: s = A c cos θ i = A c cos π f i τ dτ = A c cos [πf c + k fa m f m sin πf m ] θ i = πf c + k fa m sin (πf m ), k f : Frequency Sensiiviy f m f i = 1 dθ i () = f π d c + k f m = f c + k f A m cos (πf m ) Ορίζουμε: Δf k f A m (Απόκλιση Συχνότητας, Frequency Deviaion) β Δf (Δείκτης Διαμόρφωσης, Modulaion Index) f m = A c cos πf c + πk f m τ dτ Οπότε: θ i = πf c + β sin πf m, f i = f c + Δfcos πf m s = A c cos [πf c + β sin πf m ] = A c cos πf c cos β sin πf m A c sin πf c sin β sin πf m hps://en.wikipedia.org/wiki/frequency_modulaion Αν β = Δf f m 1 rad (μικρές διακυμάνσεις συχνότητας Δf περί την f c ) : Narrow-band FM, NBFM (FM Στενής Ζώνης) π.χ. χαμηλού κόστους αμφίδρομες ραδιοζεύξεις, Amaeur Radio Για μεγαλύτες τιμές του β: Wide-band FM, WBFM (FM Ευρείας Ζώνης) π.χ. ραδιοφωνικές εκπομπές υψηλής πιστότητας (Edwin H. Armsrong, 1933), στερεοφωνική ραδιοφωνία, ήχος τηλεοπτικών εκπομπών

7 4.3 Διαμόρφωση Συχνότητας FM (/5) Διαμόρφωση Narrow-band FM (NBFM) Ημιτονοειδούς Σήματος s = A c cos πf c cos β sin πf m A c sin πf c sin β sin πf m Αν β 1 cos[β sin πf m ] 1, sin[β sin πf m ] β sin(πf m ) και s A c cos πf c βa c sin πf c sin πf m s A c cos πf c + 1 βa c cos π f c + f m cos π f c f m Αντίστοιχα στη διαμόρφωση AM: s AM = A c [1 + μ cos(πf m )]cos πf c s AM = A c cos πf c + 1 μa c cos π f c + f m + cos π f c f m m = A m cos πf m Τα σήματα s Narrow-band FM και s AM έχουν παρόμοιες απαιτήσεις ζώνης διέλευσης f m περί την f c Φέρον c = A c cos πf c Φέρον c = A c cos πf c Διαμόρφωση NBFM Διαγράμματα Phasors: Διαμόρφωση Narrow-band FM Resulan phasor του s με πλάτος A c Διαφορά φάσης phasors των s, c() Διαμόρφωση ΑM Resulan phasor του s AM με πλάτος A c Ταύτιση φάσης phasors των s, c() Διαμόρφωση ΑM

8 4.3 Διαμόρφωση Συχνότητας FM (3/6) Γενική Ανάλυση FM (NBFM WBFM) Ημιτονοειδούς Σήματος Έστω m = A m cos πf m, c = A c cos πf c, f c f m s = A c cos θ i = A c cos [πf c + β sin πf m ] = A c Re{exp[jπf c + jβ sin πf m ]} Η s δεν είναι περιοδική εκτός αν η f c είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της f m Αν f c f m μπορούμε (κατ αναλογία με την ανάλυση σημάτων band-pass) να χρησιμοποιήσουμε τη μιγαδική περιβάλλουσα (complex envelope) s που είναι σήμα low-pass, ανεξάρτητο από τo φέρον f c : s = A c exp jβ sin πf m ] και s = Re{s exp jπf c = A c Re{exp[jπf c + jβ sin πf m ]} Η s είναι περιοδική με περίοδο 1/f m και άρα περιγράφεται σαν Σειρά Fourier: s = c n exp jπnf m, c n = f m n= 1/(f m ) 1/(f m ) 1/(f m ) s exp jπnf m = f m A c exp[jβ sin πf m jπnf m ] d 1/(f m ) και με x = πf m, c n = A c π π π π π exp [j(βsin x nx)]dx A c J n (β) όπου J n β = 1 exp [j(βsin x π παράμετρο β - n h order Bessel Funcion of he firs kind wih argumen β) nx)]dx (συνάρτηση Bessel τάξης n 1 ου βαθμού με d s = A c J n (β) exp jπnf m n= s = Re[s exp(jπf c )] = A c Re J n β exp jπ f c + nf m n= και τελικά: s = A c J n (β) cos[ π f c + nf m ] n=

9 4.3 Διαμόρφωση Συχνότητας FM (4/6) Γενική Φασματική Ανάλυση FM (NBFM, WBFM) Ημιτονοειδούς Σήματος s S f = A c J n β [δ f f c nf m + δ f + f c + nf m ] n= Το εύρος ζώνης εξαρτάται κατά προσέγγιση από τα μεγέθη J n β Για κάθε β και n, J n β = 1 n J n β άπειρες συνιστώσες Fourier: Το φάσμα σημάτων FM περιλαμβάνει τη συνιστώσα φέροντος f c και άπειρες πλευρικές συνιστώσες συμμετρικές ως προς f c σε αποστάσεις ±f m, ±f m, ±3f m Για β 1: J β 1, J 1 β β, J n β για n > 1: Το φάσμα σημάτων NBFM περιλαμβάνει τη συνιστώσα φέροντος f c και δύο σημαντικές πλευρικές συνιστώσες σε αποστάσεις ±f m από την f c Οι σημαντικές πλευρικές συνιστώσες αυξάνονται όσο αυξάνεται ο δείκτης β (προς το WBFM) Η μέση ισχύς σήματος FM P FM είναι ίση με την ισχύ 1 A c του φέροντος c = A c cos πf c : Επειδή n= J n β = 1 και P FM = s d = S f df Εμπειρικός Κανόνας Carson (Carson s Rule) Για μετάδοση FM Μονοτονικού Σήματος Διαμόρφωσης συχνότητας f m m = A m cos πf m σε Φέρον c = A c cos πf c, f c f m με Απόκλιση Συχνότητας Δf k f A m και Δείκτη Διαμόρφωσης β Δf f m απαιτείται προσεγγιστικά εύρος ζώνης B T γύρω από την f c : B T Δf + f m = Δf(1 + 1 β ) Για NBFM B T f m + ε Για WBFM B T Δf + ε n max f m όπου n max ο αριθμός των σημαντικών πλευρικών συνιστωσών = 1 A c J n β = 1 n= A c WBFM - Προσέγγιση 1% B T n max f m J n β >.1, n n max β =.1 n max = β = 1 n max = 6 β = 1 n max = 8

10 4.3 Διαμόρφωση Συχνότητας FM (4/5) Δημιουργία Σημάτων FM: Direc Modulaor Χρήση Volage Conrolled Oscillaor που παράγει εναλλασσόμενο σήμα με σταθερό πλάτος και μεταβλητή συχνότητα f i f c + k f m διαμορφωμένη από το σήμα m = A m cos πf m : f i = f c + k f A m cos πf m = f c + Δf cos πf m και s = A c cos θ i = A c cos π f i τ dτ = A c cos [πf c + Δf sin πf f m ] m Διάγραμμα Διαμορφωτή WBFM f i = Volage Conrolled Oscillaor: Ταλαντωτής Harley C = C + ΔC cos(πf m ) Πυκνωτής μεταβαλλόμενος από τάση: Varacor Η συχνότητα ταλάντωσης του Ταλαντωτή Harley f i είναι: 1 = f π L 1 +L C() 1 + ΔC 1/ cos πf C m f 1 ΔC cos πf C m = f + Δf cos πf m αν ΔC C και εφόσον ΔC C = Δf f όπου f είναι η αδιαμόρφωτη συχνότητα ταλάντωσης: f = 1 π L 1 +L C

11 4.3 Διαμόρφωση Συχνότητας FM (5/5) Αποδιαμόρφωση Σημάτων FM: Direc Demodulaor Χρήση Διευκρινιστή Συχνότητας, Frequency Discriminaor: Συνδυασμός Κυκλωμάτων Κλίσης (Slope Circuis) H 1 f, H (f) και Φωρατών Περιβάλλουσας (Envelope-Deecors) Αν B T είναι η ζώνη διέλευσης του καναλιού FM γύρω από την f c, η band-pass συνάρτηση μεταφοράς H 1 f του Κυκλώματος Κλίσης (Slope Circui) είναι H 1 f = jπa f f c + B T jπa f + f c B T, f c B T f f c + B T, f c B T f f c + B T, για κάθε άλλη f Η band-pass H 1 f και η μιγαδική της low-pass H 1 f συνδέονται ως H 1 (f f c ) = H 1 f, f > H H (f) ορίζει το Συμπληρωματικό Κύκλωμα Κλίσης (Complemenary Slope Circui): H f = H 1 f s = A c cos [πf c + πk f m τ dτ] Επειδή f c B T s = A c exp [jπk f m τ dτ] S(f) S 1 f = 1 H 1 f S f = jπa f + B T s 1 = a ds d S f, B T f B T Band-pass H 1 f Low-pass H 1 f, f > B T Band-pass H f exp[jπk f m τ dτ] (Differeniaor) + jπb T s = jπb T aa C 1 + k f B T m s 1 = Re[s 1 exp jπf c = πb T aa C Αν k f B T m 1 + k f B T m cos πf c + πk f m τ dτ + π/ < 1, ο Envelope-Deecor θα δώσει s 1 = πb T aa C [1 + k f B T m ] Ομοίως s = πb T aa C [1 k f B T m ] και το Baseband signal είναι s 1 s = 4πk f aa C m()