3. Izotopi 3.1. Periodni sistem elemenata Jedno od ranih postignuća atomske fizike u prošlom veku- ili možda pre, hemičara koji su radili zajedno sa
|
|
- Κίρκη Αναγνωστάκης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 3. Izotopi 3.1. Periodni sistem elemenata Jedno od ranih postignuća atomske fizike u prošlom veku- ili možda pre, hemičara koji su radili zajedno sa fizičarima jeste objašnjenje periodnog sistema elemenata na osnovu atomske strukture. Ovaj sistem (Tabela 3.1) je prvi predložio Mendeljejev godine i nezavisno od njega, Lothar Meyer. On se gradi redjanjem elemenata u skladu sa porastom naelektrisanja jezgra (ili atomskog broja), Z, tako da se hemijski slični atomi postavljaju jedan ispod drugog u vertikalnim stupcima (kolonama). Na ovaj način, dobija se osam vertikalnih kolona sa podgrupama i sedam horizontalnih redova ili perioda. Svaka pozicija je zauzeta atomom koji je ovde postavljen zbog svojih hemijskih osobina. Da bi bili sigurni, u sistemu je svih četrnaest elemenata tzv. retkih zemalja (lantanidi) smešteno u jednu istu poziciju Z=58, a svi aktinidi u jednu poziciju Z=89. Kako periodičnost, tako i ova odstupanja biće objašnjena pomoću elektronske strukture atoma u drugom delu knjige (Glava 19). Korišćenjem akceleratora teških jona, kao što je u GSI u Darmstadt-u, u Nemačkoj, moguće je otkriti dodatne transuranske elemente. Do kraja 1995 god., proizvedeni su elementi do atomskog broja 111. Ovi elementi imaju nestabilna jezgra i mnogi su tako kratkoživeći da su njihove osobine najvećim delom nepoznate; čak ni proces njihovog imenovanja još nije završen. Periodni sistem je redjanje elemenata prema periodično promenljivim hemijskim i fizičkim osobinama. Kao primer, ovde pokazujemo atomske zapremine i energije jonizacije u funkciji naelektrisanja jezgra Z (Slika 3.1). Hemijske osobine koje se periodično ponavljaju su, na primer, monovalentost alkalnih atoma, ili nepostojanje reaktivnosti kod inertnih gasova. Ove empirijske pravilnosti indiciraju odgovarajuće pravilnosti u atomskoj strukturi. Prvi pokušaj objašnjenja ove periodičnositi je bila Proust-ova (1815) (Prust) hipoteza prema kojoj su svi atomi izgradjeni od vodonika. Ova slika je kasnije doradjivana i modifikovana kako su sledila dalja otkrića elementarnih čestica, prvo elektrona, a onda i protona. Tek posle 193. postalo je jasno da se atomsko jezgro sastoji od protona, ali i od neutrona. Broj elektrona u atomu je manji nego maseni broj, jer jezgro sadrži isto onoliko protona koliko u elektronskim ljuskama ima elektrona, ali takodje sadrži i neutrone. Relativna atomska masa A rel je ranije mogla da se meri samo hemijskim metodama. Otkriveno je da, osim vodonikovog atoma, atomske mase ostalih atoma nisu mogle da se objasne bez kontradikcije. Ako je Prustov model korektan, onda atomske mase treba da su celi brojevi. Za najveći deo elemenata, oni i jesu u dobroj aproksimaciji celobrojni; A i A rel su skoro jednaki. Medjutim ima izuzetaka; relativna atomska masa- atomska težina- hlora je na primer A rel =33.5 u prirodnom hloru. Štaviše, otkriveno je da olovo iz raznih ruda ima razne atomske težine. Danas znamo da je ovo posledica toga što je olovo stvoreno kao krajnji produkt raspada različitih radioaktivnih nizova. Ova opažanja su bila startna tačka za istraživanja koja su dovela do otkrića izotopa. Izraz izotop označava činjenicu da atomi sa raznim masenim brojevima mogu da imaju istu poziciju u periodnom sistemu elemenata, tj. mogu da imaju isto naelektrisanje jezgra Z. Pozicija elementa u periodnom sistemu je odredjena brojem protona u atomskom jezgru. Različiti maseni brojevi rezultuju od različitog broja neutrona u atomskom jezgru. Postojanje izotopa je otkriveno i detaljno proučeno pomoću masene spektroskopije. 6
2 Slika 3.1. Zapremine atoma i energije jonizacije kao funkcije položaja u periodnom sistemu elemenata. Posebno su istaknuti velike zapremine atoma alkalnih metala i energije jonizacije atoma plemenitih gasova. 3.. Masena spektroskopija Metod parabole. Fizičke tehnike za tačno merenje atomskih masa i za odvajanje atoma sa različitim masama su većinom zasnovane na odredjivanju količnika e/m, tj. količnika naelektrisanja i mase. Za ovu svrhu, koristi se skretanje jonizovanih atoma koji se kreću kroz električno E i magnetsko polje B. Najstariji metod i najlakši za razumevanje je metod parabole (Thomson 1913). Snop jona iz gasnog pražnjenja prolazi kroz električno polje kondenzatora i magnetsko polje B koje je orijentisano paralelno električnom polju (Slika 3..). U ravni posmatranja, čestice istog naelektrisanja i masa, ali sa raznim brzinama, su rasporedjene duž parabole čiji je početak u tački gde bi prošao neskrenut snop. Ovo se može pokazati na sledeći način: homogeno električno polje E, koje se primenjuje u y pravcu izaziva skretanje u tom pravcu. y koordinata položaja čestice se nalazi iz jednačine ubrzanja (II Njutnov zakon).. y = ( e / m) E (3.1) y koordinata se nalazi iz rešenja (3.1). 1 ee 1 ee l = (3.) m m v y t = gde je poslednja jednačina dobijena izražavajući vreme koje je čestica provela u električnom polju preko brzine v i dužine l kondenzatora. Ovo je dozvoljeno sve dok je magnetsko polje B dovoljno slabo i poluprečnik putanje, r, dovoljno mali. Kako je skretanje čestice u y pravcu inverzno proporcionalno kinetičkoj energiji mv /, kondenzator se naziva i energetski filter. 7
3 Homogeno polje B koje se takodje primenjuje u y pravcu, izaziva skretanje u x pravcu. Ovo skretanje se može izračunati na sledeći način: čestica koja udje u homogeno polje B je primorana da se kreće po kružnoj orbiti u ravni normalnoj na pravac polja. Kako je polje B, prostorno ograničeno, čestica prodje samo segment kružne orbite i onda nastavi da se kreće po pravoj liniji. Rezultujuće skretanje u x pravcu se može odrediti iz poluprečnika krivine kružne orbite, koja se dobija izjednačavajući intenzitete Lorenzove sile u magnetskom polju F=e(vxB) i centrifugalne sile F c =mv r/r. r = mv / eb (3.3) Za centrifugalno ubrzanje a c = v /r dobija se (zamenjujući 3.3 u izraz za radijus) sledeća relacija 8
4 a c = ebv / m Kako se čestica kreće samo kroz relativno kratak segment kruga, može se zameniti njeno ubrzanje u x pravcu sa centrifugalnim ubrzanjem a c. Ukupno skretanje za vreme t je dato sa x= a c t / Slika 3.. Shematska prezentacija metoda parabola. Jonski snop, kolimisan otvorom S, se skreće magnetom M i kondenzatorom C u pravcima x i y. Jednačina (3.5) opisuje putanju čestica na ekranu neposredno posle izlaska iz magneta i kondenzatora. Ako se ekran smesti na većem rastojanju pojavljuje se distorzija parabole usled projekcije. Obe grane parabole su korektna rešenja ako polje B promeni znak. U ovoj jednačini, zamenimo a c sa ebv/m i vreme leta sa količnikom l/v, gde je l rastojanje predjeno u polju. Onda se dobija skretanje u x pravcu ebl x= (3.4) mv Skretanje u x pravcu je inverzno proporcionalno impulsu mv čestice. Zbog ovoga se, često, skretanje izazvano magnetima naziva filter impulsa. Iz izraza za x i y može se eliminisati v, tako da se dobija jednačina za putanju skretanja čestice: y E l B m e = x (3.5) Ovo je jednačina parabole, x =py, sa parametrom p=el B /me. Ovaj parametar ima istu vrednost za jone istog količnika m/e i ne zavisi od brzine. Primer merenja je prikazan na slici 3.3. Ukupni intenzitet pojedinačnog snopa koji proizvodi jednu parabolu je mera relativne obilnosti odgovarajućeg jona ili izotopa. Kako joni, uopšteno govoreći, imaju različite brzine, jer se oni stvaraju u pećima ili u cevima za gasno pražnjenje, 9
5 oni joni koji imaju isto m/e će se rasporediti duž cele dužine odredjenog segmenta parabole. Aston je 190. godine koristio ovaj metod za proučavanje kompozicije prirodnog neona, koji se sastoji od tri tipa atoma sa masenim brojevima 0, 1 i ; ovo je bila prva jasna demonstracija postojanja izotopa pomoću masene spektroskopije (Tabela 3.). Svakako najvažniji rezultat merenja metodom parabola je sledeći: mnogi elementi se sastoje od nekoliko izotopa, to su atomi sa istim naelektrisanjem jezgra Z i sa različitim masenim brojevima A. Jezgra sa odredjenim vrednostima A i Z se nazivaju nuklidi. Slika 3.3. Separacija smeše hidrougljeničnih jona metodom Tomsonovih parabola. Za kalibraciju koriste se joni poznatih masa. Intenziteti sekcija pojedinih parabola odgovaraju relativnom iznosu u smeši jona. (Foto, ljubaznošću Conrad u W. Finkelnburg. Springer Berlin 1976, slika 1). Table 3.. Izotopski sastav neona. Vrednosti date za A rel nisu odredjene metodom parabola već tačnijim metodama dvostruko fokusirajućeg masenog spektrometra. 0 Ne 90.9% A rel = Ne 0.6 % A rel = Ne 8.8 A rel = Poboljšanja masnih spektrometara Prvo bitno poboljšanje Thomsonovog masenog spektrografa je postignuto godine od strane Astona, uvodeći fokusiranje po brzinama. On nije koristio paralelno električno i magnetsko polje, već normalno E i B. Polje E cepa snop incidentnih čestica prema odnosu m/e, ali takodje i prema raznim brzinama. Pogodnim izborom jačine polja, može se osigurati da polje B dovede sve čestice sa raznim brzinama u odredjenu tačku prostora, tako da čestice sa raznim odnosom m/e ostaju odvojene. Čestice sa istim količnikom e/m se skupljaju u jednu tačku detektora, a ne duž jednog paraboličnog segmenta, kao što je slučaj u metori parabole (Sl. 3.4). Aparatura sa brzinskim fokusiranjem ima veću osetljivost nego metod parabole, tj. može detektovati manje iznose jona, i tako, dobiti bolju masenu rezoluciju. Rezolucija koju je postigao Aston (1919) je oko 130 za količnik m/ m, tj masa podeljena sa razlikom masa. 30
6 Drugo veliko poboljšanje je bilo uvodjenje fokusiranja po pravcu (Demster 1918). Pomoću pogodno dimenzioniranog sektorskog polja moguće je osigurati da se joni sa istim količnikom m/e, ali sa nešto različitim incidentnim uglovima, koji zbog toga skreću za različite iznose, ponovo skupe u jednu tačku. Slika 3.4. Fokusirajući maseni spektrograf konstruisan od strane Astona. Tačke 1, i 3 označavaju mesta na kojima se sakupljaju tri tipa čestica sa trima različitim odnosima m/e. Slika 3.5. Fokusiranje u polju sektorskog magneta. Čestice koje prolaze duži put u magnetskom polju su više skrenute. U modernim visoko rezolutnim masenim spektrometrima, koriste se oba metodafokusiranje po pravcu i fokusiranje po brzinama, što je dovelo do onoga što se zove dvostruko fokusiranje. Preciznost postignuta danas za relativnu atomsku masu je ispod 10-7 u. Isti kriterijum se primenjuje kao i za optičke spektrografe: korišćenjem uskih proreza dobija se visoka rezolucija, ali po cenu smanjivanja intenziteta. Ovo predstavlja principijelan problem za eksperimentalce. Ova visoka rezolucija je potrebna u nuklearnoj fizici, npr. za merenje tzv. defekta masa, ali i pri problemima u analitičkoj i strukturnoj hemiji (Paragraf 3..4). Rezolucija m/ m, koja se može postići danas, tj. mogućnost odvajanja dve mase sa vrednostima m i m+ m je veća od Primer je prikazan na slici 3.6. Slika 3.6 Primer visoko rezolutne masene spektroskopije: separacija 10 različitih jona sa masenim brojem 0 čije atomske ili molekulske težine leže izmedju i Slika je dobijena dvostruko fokusirajućim masenim spektrometrom od strane Mattuach-a i saradnika. (Iz Finkeinburg: Atomphysics, 11, 1 th Izdanje, Springer, Berlin, 1976, Slika 15.) 31
7 3..3. Rezultati masene spektrometrije U atomskoj fizici, masena spektrometri su od primarnog interesa kao instrumenti za analizu izotopskog sastava hemijskih elemenata. Elementi često imaju nekoliko izotopa, na primer hlor; izotop sa masenim brojem 35 se pojavljuje sa obilnoću od 75.4 %; drugi stabilni izotop sa masom A=37 ima obilnost 4.6. Rezultujuća relativna atomska masa smeše izotopa je A rel = Postoje elementi sa samo jednim stabilnim izotopom, na primer Be, 13Al, I ali i oni sa dva stabilna izotopa 1 1 H, 1 H % 0.014% i konačno postoje elementi sa više stabilnih izotopa. Na primer, živa, 80 Hg ima 7 stabilnih izotopa sa A izmedju 196 i 04. Nekoliko daljih primera je dato u Tabeli 3.3. Tabela 3.3. Neki primeri izotopa Hem. simbol Maseni broj Relativna at. tež. Apsolutna atomska masa u 10-7 kg 1 H H C O Cl Cl Moderne primene masene spektrometrije Pored preciznih merenja u atomskoj i nuklearnoj fizici, masena spektrometrija sa ograničenom masenom rezolucijom se danas koristi u mnogim primenama u nauci i tehnologiji. U hemiji, pojednostavljeni dvostruko fokusirajući spektrometri se koriste za analitičke svrhe. Molekularni fragmenti koji se stvaraju pri elektronskim ili jonskim bombardovanjem molekula se mogu idetifikovati: iz njihove distribucije može se obaviti identifikacija originalnog molekula. U fizici, hemiji i tehnologiji, jednostavni kompaktni spektrometri se koriste za analizu gasova preostalih u vakumskim sistemima. Za ovu svhu, masena rezolucija od m/ m =100 je obično dovoljna. Dalje primene ovih relativno prostih spektrometara je proizvodnja čistih atomskih i molekularnih snopova. Nedavno, za ovu svrhu su počeli da se primenjuju, visoko frekventni maseni spektrometri. U ovim, tzv. time of flight spektrometrima, naelektrisane čestice se različito ubrzavaju visoko frekventnim elektromagnetskim 3
8 poljem zavisno od njihovog specifičnog naelektrisanja, i prolaze kroz spektrometar sa različitim brzinama. Različito vreme leta (kroz spektrometar) je mera količnika e/m. Slika 3.7. Shematski prikaz kvadripolnog filtera masa. Jonski snop, koji se kreće u +z pravcu skreće se visoko frekventnim promenljivim naponom. Da bi snop prošao kroz filter nužno je zadovoljavanje izvesne relacije izmedju odnosa e/m, frekvencije ω, i napona U i V. Isprekidane su linije putanja koje ne zadovoljavaju dati uslov. U kvadripolnim masenim filterima, superpozicija jednosmernog i promenljivog potencijala na četiri unakrsno vezane, parabolične elektrode rezultuje u nehomogenom visokofrekventnom polju u prostoru izmedju elektroda. Statičko električno polje se superponira na visokofrekventno polje. Samo čestice sa odredjenom masom i energijom mogu da prodju kroz filter date geometrije i frekvence (Slika 3.7) Separacija izotopa Separacija izotopa je pre problem tehnologije i nuklearne fizike nego atomske fizike, koja je glavna tema ove knjige. Iz ovog razloga, samo ćemo kratko tretirati ovaj problem. U principu, bilo koji metod koji može da odvoji čestice na osnovu fizičkih osobina zavisnih od njihove mase, se može iskoristiti za separaciju izotopa. Koji će se metod primeniti u pojedinačnoj primeni zavisi od ekonomije i stanja tehnologije. Zahtevi su ipak vrlo različiti. Odvajanje dva vodonikova izotopa 1H I 1 1H sa razlikom masa od 100 % je 38 relativno lako, ali je nasuprot tome, separacija 9 i 9 U znatno teža. U poslednjem slučaju razlika masa je samo 1.5 %. Na dalje će samo najvažniji metodi biti ukratko opisani. Elektromagnetska separacija sa masenim spektrografima je obično skupa i spora. Prinos koji se dobija je obično 1 mg po satu na struji od oko 10 4 А. Na primer 35 g Cl jednostruko naelektrisanih jona odgovara As prenetom naelektrisanju. Na struji od 10-4 A, 35 g Cl će se nataložiti u toku As = A s= 30 godina Ova tehnika se ipak mnogo primenjuje za separaciju izotopa, na primer za separaciju uranovih izotopa, s ciljem proizvodnje uranskih fisionih bombi. Investicije u tehnologiju i energiju su ovde enormne. Separacija pomoću difuzije kroz porozne membrane je zasnovana na činjenici da u gasu, čestice različitih masa, m 1 i m, imaju na sobnoj temperaturi različite brzine, v 1 i v. Važi sledeća jednačina: 35 U 33
9 v v 1 = m m 1 jer m v 1 1 = m v tj. srednja kinetička energija obe vrste čestica je ista. Laki atomi se zato kreću, usrednjeno uzev, brže i difunduju lakše. Da bi se dobila efikasna separacija izotopa, mora se primeniti mnogo difundujućih slojeva u nizu. Ovaj metod je prva važna tehnologija za separaciju urana; gasno jedinjenje UF 6 je korišćeno za obogaćivanje urana izotopom 35 U u odnosu na 38 U. Gasne centrifuge se takodje mnogo koriste za separaciju urana. Ovde je teži izotop pod dejstvom jače centrifugalne sile. Lakši izotop se više obogaćuje u oblasti ose centrifugiranja. Za efikasnu separaciju, koristi se više stepena jedan iza drugog. Najozbiljniji tehnički problem je jačina materijala koji se koriste, s obzirom na ekstremna ubrzanja koja su ovde potrebna. Separacione cevi koriste termodifuziju; zasnovane su na principu da temperaturni gradijent u smeši gasova dovodi do odvajanja u smeši; efekat je pojačan konvekcijom. Duž ose dugačke cevi umetnuta je žica grejača. Lakši izotop se obogaćuje termalnom difuzijom u sredini i na vrhu, teži izotop se sakuplja konvekcijom na spoljašnjim zidovima i na dnu cevi. Frakciona destilacija koristi činjenicu da teži izotopi, u opšte, imaju višu tačku ključanja. Na primer tačka ključanja teške vode D O je za oko C viša nego za H O. Ova metoda se koristi u više ponovljenih koraka. U elektrolizi, molekuli težih izotopa se teže razgradjuju nego izotopi lakšeg izotopa. Ova tehnika se koristi za obilnu separaciju teškog i lakog vodonika. Postoje, takodje, hemijske reakcija u kojima molekuli sa različitom izotopskom kompozicijom reaguju sa raznim intenzitetima. U takvim slučajevima, izotopska separacija se može postići preko hemijskih reakcija. Laserska fotohemija, koja je omogućena postojanjem vrlo uskih svetlosnih izvora u formi lasera, se takodje koristi za separaciju izotopa. U ovoj metodi, izvesni izotopi u smeši molekula izgradjenih od raznih izotopa, se mogu selektivno fotoekscitirati, i tako dovesti do fotohemijskih reakcija selektivnih molekula. Neke interesantne nove tehnike za separaciju izotopa su razvijene poslednjih godina na osnovu ovog principa. Problemi 3.1. Pokazati da se transverzalno homogeno magnetsko polje može koristiti za sortiranje naelektrisanih čestica prema njihovim impulsima, i za selektiranje monoenergetskih čestica prema njihovoj masi. Sve čestice imaju isto naelektrisanje. 3.. Snop jona koji sadrži 1 H +, H +, i 3 H + se ubrzava potencijalnom razlikom od 1000 V i usmeren je normalno na linije sila magnetskog polja od 0.05 T. Na kom su rastojanju komponente snopa kada prodju 5 cm kroz homogeno magnetsko polje i meri se na rastojanju od 5 cm od početka magnetskog polja? 3.3. Snop pozitivnih jona prolazi kroz l=4 cm električno E=500 V/m i paralelno magnetsko polje B=0.01 T. Joni putuju normalno na pravac ova dva polja (metod parabole). Oni onda prolaze kroz prostor bez polja l =18 cm i padaju na ravan fluorescentni ekran. Koji su parametri parabole na ekranu ako se snop sastoji od jednom naelektrisanih atoma vodonika i vodonikovih molekula sa brzinama koje odgovaraju naponu ubrzanja izmedju 1000 V i 4000 V? Kako izgleda slika na ekranu ako oba, pozitivni i negativni joni padaju na ekran Izotopska obilnost 35 U i 38 U u prirodnom uranu je 0.7 % i 99.8 %. Ako se izotopi odvajaju difuzijom, izotopska smeža posle jednog koraka separacije je % 35 U. Koliko se koraka separacije mora preduzeti da se dostigne obogaćivanje 35 U do 50 %? i 99%?. Napomena: Koeficijenat separacije α =(relativna koncentracija pre separacije/relativna koncentracija posle separacije) je nezavisan od izotopske smeše. 34
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραOsnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji
Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
Διαβάστε περισσότερα10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραII. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραHEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραII. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραDimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona.
Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona Prema osnovnoj formuli za dimenzionisanje maksimalni tangencijalni napon τ max koji se javlja u štapu mora biti manji
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότερα8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραProgram testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Διαβάστε περισσότεραSTATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA
Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραZnačenje indeksa. Konvencija o predznaku napona
* Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac
Διαβάστε περισσότεραRad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet
Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti
MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραAkceleratori. Podela akceleratora. Akceleratori su mašine u kojima se naelektrisane čestice (e -, p +, etc.) ubrzavaju dejstvom elektromagnetnih polja
Akceleratori Akceleratori su mašine u kojima se naelektrisane čestice (e -, p +, etc.) ubrzavaju dejstvom elektromagnetnih polja Podela akceleratora Trajektorija čestica Linearni - konačna energija ubrzane
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότερα