Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες"

Transcript

1 Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α Είδος Β 3 0 Είδος Γ Ο πίνακας δικτύου αεροπορικών συνδέσεων τεσσάρων πόλεων ( υπάρχει σύνδεση, - δεν υπάρχει) : Αθήνα Θεσσαλονίκη Ηράκλειο Αλεξανδρούπολη Αθήνα 0 Θεσσαλονίκη 0 - Ηράκλειο 0 - Αλεξανδρούπολη Ορισμός πίνακα Ένας πραγματικός (μιγαδικός) πίνακας Α διάστασης mnείναι μία διάταξη nm πραγματικών (μιγαδικών αριθμών) σε m γραμμές και n στήλες Παράδειγμα: πίνακας 3και τετραγωνικός πίνακας τετραγωνικός , Ένας πίνακας που αποτελείται από μία στήλη ( m ) ή μία γραμμή ( n ), ονομάζεται πίνακας-στήλη (διάνυσμα στήλη ή απλά διάνυσμα) ή πίνακαςγραμμή (ή διάνυσμα γραμμή) αντίστοιχα Ένας πίνακας λέγεται πίνακας στοιχείο Παράδειγμα: Συχνά συμβολίζουμε τον πίνακα ως στήλης με ij, 0 9, A a και το στοιχείο της i γραμμής και j ij mn a ή ij -στοιχείο του πίνακα Συνήθως για τα ονόματα των πινάκων χρησιμοποιούμε κεφαλαία γράμματα και για τα ονόματα των διανυσμάτων πεζά Από εδώ και πέρα όταν αναφερόμαστε σε πίνακες θα εννοούμε πραγματικούς πίνακες Αν m n, τότε ο πίνακας Α είναι ένας τετραγωνικός πίνακας τάξης n Η κύρια διαγώνιος ενός τετραγωνικού πίνακα τάξης n αποτελείται από τα στοιχεία a i n ii

2 Κεφάλαιο Ισότητα πινάκων Δύο πίνακες μπορούν αν συγκριθούν εάν είναι της ίδιας διάστασης Δύο πίνακες (ιδίας διάστασης) είναι ίσοι όταν έχουν ένα προς ένα τα στοιχεία τους ίσα A B a b i m, j n ij ij Παράδειγμα: Οι παρακάτω πίνακες δεν μπορούν να συγκριθούν γιατί δεν έχουν την ίδια διάσταση Ενώ για τους πίνακες ισχύει διότι Τέλος εάν , A 3, B= [ ] [ ] τότε Βασικοί πίνακες Ένας πίνακας του οποίου όλα τα στοιχεία είναι μηδενικά ονομάζεται μηδενικός και συμβολίζεται συνήθως με O m n Ένας τετραγωνικός πίνακας D που έχει στοιχεία μόνο στη διαγώνιο του ονομάζεται διαγώνιος (diagonal) Ένας διαγώνιος πίνακας ονομάζεται μοναδιαίος In του οποίου τα διαγώνια στοιχεία είναι ίσα με, d d D, I 0 0 dn n d n n U διαγώνιος d 0 όταν i j I μοναδιαίος: διαγώνιος και I ij ii

3 Πίνακες Ο ανάστροφος A (transpose) ενός πίνακα προκύπτει εάν στον πίνακα αλλάξουμε τις γραμμές σε στήλες και τις στήλες σε γραμμές Ένας τετραγωνικός πίνακας A λέμε ότι είναι συμμετρικός αν ισχύει η σχέση A A όπου A, ο ανάστροφος του A Σε έναν πίνακα Z με μιγαδικά στοιχεία ο πίνακας με τα συζυγή στοιχεία του λέγεται συζυγής πίνακας Z z ij Ο ανάστροφος συζυγής του πίνακα Z συμβολίζεται με ερμιτιανός Z * Z Εάν ισχύει * Z Z τότε ο πίνακας ονομάζεται Παραδείγματα: , Πίνακες και πράξεις 0 9, 0 9, * i 3i i 5i 3i 5i Ορίζεται το γινόμενο (πραγματικού ή μιγαδικού) αριθμού επί πίνακα ως ένας πίνακας που έχει ως στοιχεία το γινόμενο του αριθμού επί το στοιχείο του πίνακα σε κάθε θέση ka ka ij Δύο πίνακες μπορούν να προστεθούν εάν είναι της ίδιας διάστασης Το άθροισμα δύο πινάκων (ιδίας διάστασης) είναι ένας πίνακας ιδίας διάστασης που έχει ως στοιχεία το άθροισμα (στην αντίστοιχη θέση) των στοιχείων των προσθετέων C A B c a b i m, j n ij ij ij Η διαφορά πινάκων ορίζεται ως A B A ( B) Για την πρόσθεση πινάκων (εννοείται κατάλληλων πινάκων ώστε να γίνεται η πράξη) ισχύει: A B B A (αντιμεταθετική ιδιότητα) ( A B) C A ( B C) (προσεταιρισική) AO A(ουδέτερο στοιχείο) A ( A) O 3

4 Κεφάλαιο Για το γινόμενο αριθμού επί πίνακα ισχύει: ( k l) A ka la k( AB) ka kb k( la) ( kl) A A A Αν la Oτότε ή l 0ή A O (Εννοείται ότι οι πινάκες είναι κατάλληλοι ώστε να γίνεται η πράξη) Παραδείγματα: Αφού τα διανύσματα είναι ένα είδος πίνακα, το γινόμενο πραγματικού αριθμού επί ένα διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα: x ax a a πχ z az 0 0 Κάθε συνιστώσα (ή συντεταγμένη) πολλαπλασιάζεται επί τον αριθμό Επίσης, ανάλογα ορίζεται και το άθροισμα δύο διανυσμάτων: x x x x πχ z z z z Ορίζουμε το γινόμενο πίνακα-γραμμή (ή διάνυσμα γραμμή) n επί πίνακαστήλη (διανύσματος) n : b b n a a a, n a, n ab ab a, nbn, a, nbn, a ibi i bn, b n, Το αποτέλεσμα της πράξης αυτής είναι ένας πίνακας στοιχείο

5 Πίνακες Παραδείγματα: ( ) ( ) Εάν [ ] τότε [ ] [ ] [ ] [ ] Ορίζουμε το γινόμενο πίνακα m n επί πίνακα-στήλη (διάνυσμα) n ως τον πίνακα-στήλη (διάνυσμα) που στην i -συνιστώσα του έχει το γινόμενο της i - γραμμής του πίνακα επί το διάνυσμα Παράδειγμα: b ab a, nbn, b a a a b a b a b n, am,b a m a mn m, nb n, b n, am b amnb n, mn, n n, i n i n n i n i a ab i i a b i i m, i i ( ) ( ) ( ) ( ) 0 38 Ορίζουμε το γινόμενο πίνακα Α m n επί πίνακα Β n k ως τον πίνακα m k για τον οποίο το ( i, j)- στοιχείο προκύπτει από το γινόμενο της i -γραμμής του πίνακα Α επί της j -στήλης του πίνακα Β a mi, b b i n C AB [ cij ] aipbpj p Οπότε για να ορίζεται το γινόμενο ο αριθμός των στηλών του πίνακα Α θα πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών του πίνακα Β 5

6 Κεφάλαιο Παράδειγμα: x Έστω A 3 0, B 0 0 3, C, όπου x Από τις παρακάτω παραστάσεις να υπολογισθούν όσες έχουν νόημα ΑΒ, ΒΑ, AA, CB, BC, B, A B Έχουμε x 3 x0 3 x0 3 x 3 3x AB x 0 x x 0 x x x AA 0 x 0 x 0 0, x BC Οι υπόλοιπες παραστάσεις δεν έχουν νόημα Για παράδειγμα, το πλήθος των στηλών του Β δεν είναι ίσο με το πλήθος των γραμμών του Α και επομένως δεν ορίζεται το γινόμενο BA Το άθροισμα Α+Β δεν ορίζεται γιατί οι πίνακες Α, Β είναι διαφορετικού μεγέθους Για το γινόμενο πινάκων (εννοείται η επιλογή κατάλληλων διαστάσεων πινάκων ώστε να γίνεται η πράξη) ισχύει: ( AB) C A( BC) (προσεταιρισική) A( B C) AB AC (επιμεριστική από αριστερά ιδιότητα) ( B C) A BA CA (επιμεριστική από δεξιά ιδιότητα) AO O ή OA O γενικά AI A ή IA Aκαι για τετραγωνικούς IA AI A k( AB) ( ka) B A( kb) Γενικά, ακόμη και αν ορίζεται το γινόμενο, για πίνακες δεν ισχύει η αντιμεταθετικότητα AB BA Για παράδειγμα: k Ορίζεται και η κ-δύναμη τετραγωνικού πίνακα ως A A A και 3 k φορές A I 6

7 Πίνακες Για έναν διαγώνιο τετραγωνικό πίνακα η κ-δύναμη του είναι ένας διαγώνιος τετραγωνικός πίνακας με διαγώνια στοιχεία τις κ-δυνάμεις των διαγώνιων στοιχείων του αρχικού ( ) Τώρα που ορίσαμε τις πράξεις μπορούμε να παραθέσουμε τις ακόλουθες ιδιότητες: Ιδιότητες Αναστρόφων πινάκων A A ( A B) A B ( ka) ka ( AB) B A Παράδειγμα: Ο πίνακας των πωλήσεων της εταιρείας του πρώτου παραδείγματος είναι ο Το ετήσιο σύνολο των πωλήσεων ανά είδος δίνεται από το γινόμενο Το σύνολο των πωλήσεων ανά τρίμηνο δίνεται από το γινόμενο Εάν το κέρδος για το πρώτο προϊόν είναι 0 για το δεύτερο 3 και για το τρίτο το συνολικό κέρδος ανά τρίμηνο δίνεται από το γινόμενο και το ετήσιο σύνολο των κερδών 7

8 Κεφάλαιο 3 Ο αντίστροφος πίνακα [50] Ένας τετραγωνικός πίνακας A λέμε ότι είναι μη ιδιάζων (non singular) ή - αντιστρέψιμος εάν υπάρχει πίνακας A για τον οποίο ισχύει - - AA A A I - Ο πίνακας A ονομάζεται ο αντίστροφος (inverse) του A Ένας πίνακας για τον οποίο δεν υπάρχει αντίστροφος λέγεται ιδιάζων (singular) Όταν μας δίνεται ή υπολογίζουμε κάποιον αντίστροφο καλό είναι να επαληθεύουμε - - ότι πράγματι ισχύει η σχέση AA A A I Δεν χρειάζεται ωστόσο να υπολογίσουμε και τα δύο γινόμενα παράδειγμα εάν έχουμε υπολογίσει ότι για - - AA, A A, αρκεί το ένα από αυτά Για A ισχύει A θα πρέπει AA Για έναν διαγώνιο πίνακα η αντίστροφος του είναι ένας διαγώνιος πίνακας με διαγώνια στοιχεία τους αντίστροφους των διαγώνιων στοιχείων του αρχικού επίσης υπάρχουν πίνακες που εάν υψωθούν σε μία δύναμη μας δίνουν τον μοναδιαίο πχ ( για αυτόν A I οπότε - A ) 8

9 Πίνακες Ισχύουν (εφόσον υπάρχουν οι αντίστροφοι): ( AB) ( ) B A ( ) ( ) k k ( ) ( ) Αλγόριθμος υπολογισμός του αντιστρόφου με τη μέθοδο του επαυξημένου πίνακα Θεωρούμε τον επαυξημένο πίνακα A I και εφαρμόζουμε σε αυτόν στοιχειώδεις γραμμοπράξεις που μετατρέπουν τον Α σε ανηγμένο κλιμακωτό πίνακα Κ Τότε ο A I έχει μετατραπεί σε έναν πίνακα της μορφής K B Αν K I, τότε ο Α είναι αντιστρέψιμος και A B Αν K I, τότε ο Α δεν είναι αντιστρέψιμος Παραδείγματα 0 Ας εφαρμόσουμε τα παραπάνω στον A 3 8 Έχουμε διαδοχικά A I Επειδή στο αριστερό μισό του τελευταίου πίνακα εμφανίστηκε ο μοναδιαίος, συμπεραίνουμε ότι ο Α είναι αντιστρέψιμος και A 0 6 9

10 Κεφάλαιο 0 Τώρα, εξετάζουμε αν ο A 0 είναι αντιστρέψιμος 0 0 Έχουμε A I Στο αριστερό μισό του τελευταίου πίνακα υπάρχει ο ανηγμένος κλιμακωτός 0 πίνακας 0 0 που δεν είναι ίσος με τον μοναδιαίο Άρα ο Α δεν είναι αντιστρέψιμος 5 Πίνακες μετασχηματισμών Τέλος, ας δούμε μία εφαρμογή των πινάκων που σχετίζεται με τα γραφικά υπολογιστών Εάν πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα Q cos sin c s sin cos s c όταν c cos s sin x με το διάνυσμα των συντεταγμένων ενός σημείου του καρτεσιανού επιπέδου τότε παίρνουμε τις συντεταγμένες του σημείου που προκύπτει από την αριστερόστροφη στροφή γύρω από την αρχή των αξόνων (0,0) κατά γωνία x' x c s x cx s Q ' s c sx c θ x Παραδείγματα: Εάν στρέψουμε ένα σημείο κατά ο πίνακας στροφής είναι ο 0

11 cos sin 0 Q 0 sin cos οπότε το σημείο 0 στρέφεται και πάει στο x x' πετά την περιστροφή είναι ' x Εάν στρέψουμε ένα σημείο κατά ο πίνακας στροφής είναι ο Πίνακες 0 και οι συντεταγμένες του σημείου cos sin Q sin cos x οι συντεταγμένες του σημείου πετά την περιστροφή είναι Εάν εκ νέου περιστρέψουμε κατά QQ x x ' ' x ο τελικός πίνακας περιστροφής θα είναι ο 0 0 ο οποίος είναι ο Q Με τη χρήση απλών τριγωνομετρικών τύπων μπορούμε να βρούμε ότι cos sin cos sin Q sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos και γενικότερα ότι Q Q Q Q cos sin cos sin Q sin cos sin cos cos cos sin sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos

12 Κεφάλαιο cos sin sin Q cos Υπενθυμίζεται ότι ισχύουν οι τύποι: sin( ) sin( )cos( ) cos( )sin( ) και cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) Εάν στρέψουμε ένα σημείο κατά γωνία,και στη συνέχεια κατά γωνία έχουμε οπότε συμπεραίνουμε ότι Q Εάν πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα cos0 sin 0 0 Q Q Q Q0 sin 0 cos0 0 cos sin Q cos sin sin cos sin cos c P cs x με το διάνυσμα των συντεταγμένων ενός σημείου του καρτεσιανού επιπέδου τότε παίρνουμε τις συντεταγμένες του σημείου που προκύπτει από την προβολή πάνω σε μία ευθεία η οποία έχει κλίση γωνία και περνά από τον άξονα (0,0) cs s x θ x' x P ' Παραδείγματα: c Εάν προβάλουμε το σημείο 0 τότε οι συντεταγμένες της προβολής θα είναι cs 0 ενώ εάν προβάλουμε το σημείο και οι συντεταγμένες της προβολής του cs σημείου θα είναι s

13 Στην περίπτωση που η γωνία κλίσης της ευθείας είναι 3 s sin οπότε 3 P συγκεκριμένη ευθεία έχει συντεταγμένες Εάν πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα H Πίνακες τότε c cos, 3 3 και η προβολή του σημείου P 3 c cs cs s x με το διάνυσμα των συντεταγμένων ενός σημείου του καρτεσιανού επιπέδου τότε παίρνουμε τις συντεταγμένες του σημείου που προκύπτει από την ανάκλαση ως προς την ευθεία η οποία έχει κλίση γωνία x στη θ x' x H ' Παραδείγματα: Εάν το συμμετρικό του σημείου 0 ως προς την ευθεία θα έχει συντεταγμένες c 0 ενώ το συμμετρικό του σημείου cs θα είναι το σημείο cs s 3 Στην περίπτωση που η γωνία κλίσης της ευθείας είναι τότε c cos, s sin οπότε H 6 και το συμμετρικό

14 Κεφάλαιο του σημείου ως προς τη συγκεκριμένη ευθεία έχει συντεταγμένες 3 3 H Η εφαρμογή δύο συνεχόμενες φορές της ανάκλασης ως προς την ίδια ευθεία έχει πίνακα μετασχηματισμού (c ) cs c cs cs s c cs c cs H cs s cs s c cs cs s (s ) cs 0 0 Αφού c s, s c οπότε (c ) cs (c c ) cs c c ( s ) c c επίσης (s ) cs (s s ) cs s s ( c ) s s και c cs cs s cs c s 0 Δηλαδή μας γυρνά στο αρχικό σημείο Όπως είδαμε διαδοχικά γινόμενα εφαρμόζουν διαδοχικούς μετασχηματισμούς Δηλαδή μία περιστροφή κατά γωνία, προβολή σε ευθεία με γωνία και ανάκλαση ως προς ευθεία με γωνία 3 θα έχει πίνακα μετασχηματισμού H P Q 3 Παράδειγμα: Ο τελικός πίνακας μετασχηματισμού περιστροφής ενός σημείου κατά προβολής σε ευθεία με γωνία κλίσης 3 και τελικά συμμετρίας του ως προς ευθεία με γωνία κλίσης 6 είναι, H P Q

15 6 Ορίζουσες a b Εάν A c d τότε ορίζουμε την ορίζουσα του πίνακα ως τον αριθμό a b det( A) ad bc c d Πίνακες Συμβολίζουμε την ορίζουσα του πίνακα και ως A Εάν Εάν 3 A τότε a a a A a a a a a a det( A) ( ) τότε η ορίζουσά του πίνακα ισούται με a a a 3 det( A) a a a a det( M ) a det( M ) a det( M ) a a a Για το στοιχείο aij η M ij (έλασσων ορίζουσα του στοιχείου) είναι η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει εάν από τον A αφαιρέσουμε την i γραμμή και την j στήλη a a a a a a a a a det( A) a a a a a a a3 a33 a3 a33 a3 a a a a Εάν 0 5 A τότε det( A) Εδώ αναπτύξαμε την ορίζουσα ως προς την πρώτη γραμμή Θα μπορούσαμε να την αναπτύξουμε ως προς οποιαδήποτε άλλη γραμμή ή στήλη Θα πρέπει όμως να θυμόμαστε ότι το πρόσημο του γινομένου κάθε στοιχείου ή με την ελάσσονα ορίζουσα του είναι το αποτέλεσμα i j όπου i, j η γραμμή και η στήλη του στοιχείου αντίστοιχα Το ανάπτυγμα της ορίζουσας ως προς τη δεύτερη στήλη είναι: a a a a a a a a a det( A) a a a a a a a3 a33 a3 a33 a a a a a Και για το παράδειγμά μας 5

16 Κεφάλαιο det( A) ( 6) Με παρόμοιο τρόπο αναπτύσσουμε τις ορίζουσες πινάκων x, χρησιμοποιώντας τις ελάσσονες ορίζουσες τους (που είναι ορίζουσες 3x3), αλλά και τις ορίζουσες τετραγωνικών πινάκων μεγαλύτερης διάστασης 7 Ιδιότητες οριζουσών Για τις ορίζουσες πινάκων ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: Ιδιότητα Αν Α έχει μία γραμμή ή (στήλη) με μηδενικά μόνο στοιχεία τότε det(a)= Ιδιότητα Aν Α έχει δύο γραμμές ή (στήλες) ίδιες ή ανάλογες (δηλαδή ένα προς ένα τα στοιχεία της μίας προς τα στοιχεία της άλλης δίνουν ως πηλίκο τον ίδιο αριθμό ή ισοδύναμα η μία είναι πολλαπλάσιο της άλλης) τότε det(a)=0 πχ Διότι η η και η 3 η γραμμή είναι ανάλογες Ιδιότητα 3 Αν ανταλλάξουμε αμοιβαία δύο διαδοχικές γραμμές (ή διαδοχικές στήλες ενός πίνακα) Α τότε ο πίνακας Β που θα προκύψει έχει ορίζουσα det(b)= -det(a) πχ Όπου κάναμε τις εναλλαγές 3 γραμμή, γραμμή, 3 γραμμή Ιδιότητα Αν πολλαπλασιάσουμε μία γραμμή (ή μία στήλη) ενός πίνακα Α με έναν αριθμό κ τότε ο πίνακας Β που θα προκύψει έχει ορίζουσα det(b)= κ det(a) πχ Ιδιότητα 5 Αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε το πολλαπλάσιο μίας γραμμής (ή μία στήλης) ενός πίνακα Α σε μία άλλη μία γραμμή (ή μία στήλη) του πίνακα Α τότε ο πίνακας Β που θα προκύψει έχει ορίζουσα 6

17 Πίνακες det(b)=det(a) πχ εάν σε συνέχεια του προηγούμενου παραδείγματος αφαιρέσω από την η γραμμή την 3 η πολλαπλασιασμένη με 3 έχουμε (0 ( ) ) 7 n Ιδιότητα 6 det( ka) k det( A) για n n πίνακα πχ ( ) ( ) Ιδιότητα 7 Ορίζουσα n n μοναδιαίου πίνακα det( I) Ιδιότητα 8 Ορίζουσα n n μηδενικού πίνακα det( 0 ) 0 Ιδιότητα 9 Ορίζουσα γινομένου δύο n n πινάκων det( AB) det( A)det( B) Ιδιότητα 0 Ορίζουσα n-ιοστής δύναμης n n πίνακα det( n n A ) det( A) Ιδιότητα Ορίζουσα ανάστροφου n n πίνακα det( A ) det( A) Ιδιότητα Ορίζουσα αντίστροφου n n πίνακα det( A ) det( A) det( A) Η απόδειξη αυτής της ιδιότητας είναι απλή Γνωρίζουμε ότι AA I det( AA ) det( I) det( A)det( A ) det( A) det( A) det( A) Είδαμε σε παράδειγμα στο κεφάλαιο των πινάκων ότι ο αντίστροφος 3 / 5 3/ 5 του πίνακα A 0 3 είναι ο A 0 / 5 / / 5 3/ 5 3 det( A) 3 5 επίσης det( ) / 5 / A Τα αποτελέσματα / 5 3/ είναι τα αναμενόμενα με βάση την ιδιότητα 7

18 Κεφάλαιο 8 Εύρεση αντιστρόφου πίνακα με τη χρήση του προσαρτημένου Η εύρεση του αντίστροφου ενός πίνακα μπορεί αν γίνει με τη χρήση των οριζουσών Για τους πίνακες συνήθως μαθαίνουμε τον τύπο που μας δίνει τον αντίστροφο άμεσα, αν και προκύπτει από τη διαδικασία που ακολουθούμε για τους μεγαλύτερους πίνακες Εάν a A c b d τότε Για παράδειγμα εάν d b d b A det( A) c a ad bc c a A τότε A / / 5 / 30 Για τους 3 3 πίνακες (αλλά και τους μεγαλύτερης διάστασης) υπολογίζουμε τον πίνακα των αλγεβρικών συμπληρωμάτων του πίνακα Α που έχει ως ij - στοιχείο την ελάσσονα ορίζουσα του ij -στοιχείου του πίνακα Α πολλαπλασιασμένη επί i j δηλαδή όπου c ( ) i j M ij ij c c c C c c c c c c Ο ανάστροφος του πίνακα των αλγεβρικών συμπληρωμάτων ονομάζεται προσαρτημένος πίνακας του Α και συμβολίζεται ως adj( A ) c c c3 c c c3 adj( A) C c c c c c c Ο αντίστροφος δίνεται από τον τύπο: 3 3 c3 c3 c 33 c3 c3 c 33 A det A adj( A) Από τον τύπο αυτό, είναι φανερό ότι ο αντίστροφος υπάρχει αν και μόνο αν η ορίζουσα του πίνακα δεν είναι μηδέν Παράδειγμα A A det 0 A Έχουμε: det( A) ( 3), 8

19 c c M, c M 3 M, c M, c3 M3 3, c3 M3 c3 M3 3, c 3 M 3, c 33 M 33 Επομένως, ο προσαρτημένος πίνακας είναι ο adj( A) και A Πίνακες 9 Λυμένες ασκήσεις πάνω στους πίνακες και ορίζουσες x Έστω A 0 0, B 0 3, C, όπου x 3 Από τις παρακάτω παραστάσεις να υπολογισθούν όσες έχουν νόημα ΑΒ, ΒΑ, (Α+Β)C, BC, B, 5B Λύση Ο πίνακας Α είναι x και ο Β είναι x3 επομένως ο ΑΒ ορίζεται και είναι ο επόμενος x3 πίνακας x0 0 x ( ) x3 x 3 x AB ( ) Ο πίνακας ΒΑ δεν ορίζεται, αφού το πλήθος των στηλών του Β είναι άλλο από το πλήθος των γραμμών του Α Ο πίνακας Α+Β επίσης δεν ορίζεται, αφού οι πίνακες δεν είναι του ίδιου τύπου, συνεπώς δεν ορίζεται και (Α+Β)C Ο πίνακας ΒC είναι πίνακας x, και βρίσκουμε BC Ο πίνακας Β επίσης δεν ορίζεται, αφού ο πίνακας Β δεν είναι τετραγωνικός Τέλος ο x3 πίνακας ( ) B Δίνονται οι πίνακες: A 3 3, B 3, C και D 9

20 Κεφάλαιο Να εξεταστεί αν ορίζονται και να υπολογιστούν (στην περίπτωση που ορίζονται) οι πίνακες: (i) AB (ii) BA (iii) CD και (iv) DC Λύση: (i) Ο πίνακας B, όπως και ο Β, είναι Ο πίνακας Α είναι 3 Άρα δεν ορίζεται το γινόμενο AB και επομένως και το άθροισμα AB B (ii) Ο πίνακας είναι 3 Έχουμε και ο πίνακας Α είναι 3 Επομένως ο πίνακας 3 B και άρα B είναι BA BA (iii) Ο πίνακας C είναι 3 και ο πίνακας D είναι 3 Άρα ο πίνακας CD είναι, [] δηλαδή αριθμός Έχουμε CD (iv) Ο πίνακας D είναι 3 και ο πίνακας είναι C 3 Άρα ο πίνακας DC είναι 3 3 Έχουμε DC 3 Δίνονται οι πίνακες A, B, C, D Σε ποια ειδική κατηγορία πινάκων ανήκει ο πίνακας C; Τι μπορείτε να πείτε για το C n, C - ; Αποδείξτε ότι A BCD Αφού υπολογίσετε το DB και με τη χρήση του A BCD υπολογίστε το Α Λύση: n n 0 / 0 Ο πίνακας C είναι διαγώνιος Ισχύει C n, C / DB I ( ) 5 35 ( ) BCD A, A BCDBCDBCDBCD BCICICICD BC D

21 3 3 5 A A I Πίνακες 3 Σας δίνεται ο πίνακας A 0 3 Υπολογίστε τον πίνακα 0 και στη συνέχεια υπολογίστε τον πίνακα AB 5 Λύση: A A A A I 5 3 / 5 3 / / 5 / / 5 3 / 5 3 / 5 3/ AB / 5 / / 5 3/ Οπότε B A A 3A 3I και 5 AB AA 5 I Εφαρμόζοντας τον Αλγόριθμο Υπολογισμού Αντίστροφου Πίνακα (δηλαδή με τη χρήση επαυξημένου πίνακα) βρείτε τον αντίστροφο του πίνακα: 3 A Στη συνέχεια γράψτε το ακόλουθο σύστημα με τη μορφή γινομένου κατάλληλων πινάκων και με τη χρήση της του αντίστροφου πίνακα που υπολογίσατε παραπάνω λύστε το σύστημα: x 3z 3z z Λύση A I / /( 5/ 3) / 3 0 / / 5 9 / / 5 3/ / / 5 3/ / 5 3/ 5

22 Κεφάλαιο 0 6 / 5 9 / / 5 3/ / 5 / / 5 / / 5 3/ / 5 3/ 5 Άρα / 5 3/ 5 A 0 / 5 / 5 0 / 5 3/ 5 Ένα γραμμικό σύστημα nnμπορεί να γραφεί στη μορφή Ax b Εφόσον υπάρχει ο αντίστροφος του πίνακα A, η λύση του συστήματος δίνεται από τον τύπο x A b Πράγματι, Ax b A Ax A b Ix A b x A b 3 / 5 3/ 5 A 0 3, b οπότε x A b 0 / 5 / / 5 3/ Δίνεται ο πίνακας A 5 Υπολογίστε τον A k για κ=,,3, Τι 3 παρατηρείτε; Μπορείτε να δώσετε έναν τύπο που να ισχύει για κάθε κ; Αποδείξτε στη συνέχεια την ισχύ του τύπου αυτού με τη μέθοδο της επαγωγής Λύση: Παρατηρώ ότι A = =A οπότε και A AA AA=A A και γενικά A k A Επαγωγική απόδειξη: Ισχύει φανερά για ν= Δέχομαι για v=κ και θα δείξω ότι ισχύει για ν=κ+ k k A AA AA=A A Ισχύει, οπότε η απόδειξη ολοκληρώθηκε 7 Δίνονται οι πίνακες A, B 3, C, D Να υπολογισθούν, εφ όσον έχουν νόημα, οι παρακάτω πίνακες,,, A B A D CA D C, AC D Λύση A + B δεν έχει νόημα A + D =

23 Πίνακες CA = 3 3 = DC = = AC D δεν έχει νόημα επειδή αν και ο C είναι αντιστρέψιμος o A είναι 3 ενώ ο C Σας δίνεται ο πίνακας A Υπολογίστε τον πίνακα A 6A 5I Στη συνέχεια υπολογίστε τον πίνακα AB n Λύση: A B A 6A 5I n n Οπότε AB Να λύσετε το σύστημα x x x 3 x x x 0 3 x x x 3 θεωρώντας το ως Ax b, όπου A, βρείτε πρώτα τον αντίστροφο του πίνακα Α x x x και x 3 Λύση: Έχουμε: det( A) ( 3), C C C M C M 3, M C M 3 C 3 3 M, M, 3 3 C C, 3 3 C b 0, αφού M, M 3,, 3 3 M,

24 Κεφάλαιο Επομένως, και A Τώρα, C C C3 C C C3 3 adj( A) C C C C C C C3 C3 C33 C3 C3 C33 3 det( A) Ax b A Ax A b Ix A b x A b 0, adj( A) δηλαδή x, x και x3 0 0 Με τη χρήση των ιδιοτήτων των οριζουσών υπολογίστε την ορίζουσα a x a x b b c z c z Λύση: a x a x Αν στην τρίτη στήλη του πίνακα b b c z c z a x a τότε προκύπτει ο πίνακας b b Άρα c z c a x a x a x a a x a b b b b b b 0, c z c z c z c c z c προσθέσουμε τη δεύτερη στήλη, a x a γιατί ο πίνακας b b έχει δυο ίσες στήλες c z c Με τη χρήση των ιδιοτήτων των οριζουσών αποδείξτε ότι : a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d Λύση:

25 Πίνακες Προσθέτοντας στην πρώτη στήλη όλες τις υπόλοιπες στήλες προκύπτει ο πίνακας a b c d b c d a b c d b c d Άρα a b c d b c d a b c d b c d a b c d a b c d b c d b c d a b c d b c d b c d a b c d b c d b c d a b c d b c d b c d b c d ( a b c d) b c d b c d Στον τελευταίο πίνακα αφαιρούμε την πρώτη γραμμή από κάθε άλλη γραμμή, οπότε b c d προκύπτει ο Αυτός είναι τριγωνικός και η ορίζουσά του είναι Τελικά, a b c d b c d b c d b c d ( a b c d) b c d b c d b c d b c d b c d ( a b c d) a b c d ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παρόν υλικό δεν αποτελεί αυτόνομο διδακτικό υλικό, βασίζεται στο σύγγραμμα που διανέμεται και στην προτεινόμενη βιβλιογραφία του μαθήματος Το περιεχόμενο του αρχείου απλά αποτελεί περίγραμμα των παραδόσεων του μαθήματος Αποτελεί υλικό της διδασκαλίας του μαθήματος από το διδάσκοντα για δική του χρήση και παρακαλώ να μη χρησιμοποιηθεί και να μην αναπαραχθεί και διανεμηθεί για άλλο σκοπό 5

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2010-2011 ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ Ένας πίνακας Α με στοιχεία από το σύνολο F (συνήθως θεωρούμε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορίζουσες. Άσκηση 1.1 Θεωρούμε τον πίνακα. 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 A =

1 Ορίζουσες. Άσκηση 1.1 Θεωρούμε τον πίνακα. 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 A = 1 Ορίζουσες Άσκηση 1.1 Θεωρούμε τον πίνακα 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1, όπου x είναι τυχόν στοιχείο του σώματος R. Να βρεθούν όλες οι τιμές του x για τις οποίες ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιμος.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 12: Μήτρες (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες.

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. 1 Πίνακες Ορίζουσες Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. Παράδειγμα (χορήγηση Βαλασικλοβιρης (αντιυπερτασικό) σε νήπια) Ηλικία (μήνες) Μέσο Cmax (μg/ml) Μέσο βάρος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες

Διαβάστε περισσότερα

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν.

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

2x y = 1 x + y = 5. 2x y = 1. x + y = 5. 2x y = 1 4x + 2y = 0. 2x y = 1 4x + 2y = 2

2x y = 1 x + y = 5. 2x y = 1. x + y = 5. 2x y = 1 4x + 2y = 0. 2x y = 1 4x + 2y = 2 Σημειώσεις μαθήματος Μ22 Γραμμική Άλγεβρα Ι Βασισμένες στο βιβλίο του GStrang Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2 Εισαγωγή Αυτές οι σημειώσεις καλύπτουν την ύλη του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός } o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας. Πίνακες, Ορίζουσες και Γραμμικά Συστήματα

Κεφάλαιο 1. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας. Πίνακες, Ορίζουσες και Γραμμικά Συστήματα Κεφάλαιο. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας. Πίνακες, Ορίζουσες και Γραμμικά Συστήματα Σύνοψη: Στο μάθημα των Μαθηματικών Ι είναι συχνό το φαινόμενο που περιγράφεται με τον τίτλο «σχήμα πρωθύστερο». Αναγκαζόμαστε,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Υπολογίστε τις ακόλουθες ορίζουσες a) 4 b) c) a b + a) 4 4 Παρατήρηση: Προσέξτε ότι ο συμβολισμός της ορίζουσας

Διαβάστε περισσότερα

2. Ορίζουσες-ιδιότητες -ανάπτυγμα ορίζουσας. Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ν-τάξης Α, αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός,

2. Ορίζουσες-ιδιότητες -ανάπτυγμα ορίζουσας. Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ν-τάξης Α, αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός, . Ορίζουσες-ιδιότητες -ανάπτυγμα ορίζουσας Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ν-τάξης Α, αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός, που λέγεται Ορίζουσα (Determinant) του Α, και παριστάνεται με τα σύμβολα: D(A), ή

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Γραµµικής Αλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας

Στοιχεία Γραµµικής Αλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας Νικόλαος Ατρέας Στοιχεία Γραµµικής Αλγεβρας και Αναλυτικής Γεωµετρίας ΑΠΘ Γενικό Τµήµα Πολυτεχνικής σχολής Θεσσαλονίκη 3 Περιεχόµενα Κεφάλαιο : Πίνακες σελ 4 Γενικά Είδη πινάκων Τετραγωνικοί πίνακες 3

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Πίνακες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας και της άλγεβρας των πινάκων. Το ϕυλλάδιο

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ορίζουσες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Ορίζουσα H Ορίζουσα είναι ένας αριθμός και ορίζεται μόνον για τετραγωνικούς

Διαβάστε περισσότερα

Λύση Για να είναι αντιστρέψιμος θα πρέπει η ορίζουσα του πίνακα να είναι διάφορη του μηδενός =

Λύση Για να είναι αντιστρέψιμος θα πρέπει η ορίζουσα του πίνακα να είναι διάφορη του μηδενός = 7. Άσκηση 1 2 1 Εστω ο πίνακας A = 1 3 2. Να δειχθεί ότι ο πίνακας είναι αντιστρέψιμοςκαιστησυνέχειαναυπολογιστείοαντίστροφος. 1 0 1 Για να είναι αντιστρέψιμος θα πρέπει η ορίζουσα του πίνακα να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2009-2010 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ένα σύνολο m εξισώσεων n αγνώστων που έχει την ακόλουθη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Γ 3 2Γ. Από τον τελευταίο πίνακα προκύπτει το ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα. 3x 2 2x 3 = 1 x 3 = 2

Γ 3 2Γ. Από τον τελευταίο πίνακα προκύπτει το ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα. 3x 2 2x 3 = 1 x 3 = 2 Γραμμικά συστήματα Άσκηση. Να βρεθεί η λύση του γραμμικού συστήματος x 2x 2 + x 3 = x + x 2 x 3 = 2 2x x 2 + x 3 = Απόδειξη. Θεωρούμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος 2 2 2 και εκτελούμε στοιχειώδεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

x y z d e f g h k = 0 a b c d e f g h k

x y z d e f g h k = 0 a b c d e f g h k Σύνοψη Κεφαλαίου 3: Προβολική Γεωμετρία Προοπτική. Εάν π και π 2 είναι δύο επίπεδα που δεν περνάνε από την αρχή O στο R 3, λέμε οτι τα σημεία P στο π και Q στο π 2 βρίσκονται σε προοπτική από το O εάν

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

(Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/2004) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις:

(Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/2004) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις: 1 η Εργασία 004-005 (Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/004) Άσκηση 1 (7 µονάδες) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις: (α) A+ B C µε A + B C (β) A+ B AB

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ. Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί (Linear Transformations) Τονισµός χαρακτηριστικών εικόνας (image enhancement)

ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ. Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί (Linear Transformations) Τονισµός χαρακτηριστικών εικόνας (image enhancement) Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί (Linear Transformations) Τονισµός χαρακτηριστικών εικόνας (image enhancement) Συµπίεση εικόνας (image compression) Αποκατάσταση εικόνας (Image restoration) ηµήτριος. ιαµαντίδης

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα