ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ"

Transcript

1 taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά β Να βρείτε τη σχετική θέση των Α, Β, Γ uuuu uuuu γ Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα OA,OB είναι ορθογώνια uuuu uuuu δ Να αποδείξετε ότι η γωνία των OA,O είναι οξεία 5 3 ΑΣΚΗΣΗ Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα, α Δείξτε ότι β Βρείτε την, 1 με o και o 4 ΑΣΚΗΣΗ 3 Έστω τα μη μηδενικά και συνεπίπεδα διανύσματα a, b, c με τα bc, να έχουν το ίδιο μέτρο και να είναι κάθετα Να δείξετε ότι ισχύει η σχέση: a b ( a b) ( a c) ΑΣΚΗΣΗ 4 Α Έστω δύο διανύσματα ab, του επιπέδου, να αποδειχτεί ότι: a b a b (Σημείωση: Λύνεται απλά και με την εφαρμογή του βιβλίου αλλά καλύτερα να δοθεί πλήρης λύση) Β Έστω η συνάρτηση f x x 7 11 x Με την βοήθεια του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων, να βρείτε τη μέγιστη τιμή της f Σελίδα 1 από 8

2 taexeiolag ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα a και b για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις a, a b και a b a 3 α Να αποδείξετε ότι a b 3 β Να αποδείξετε ότι b a γ Αν για το διάνυσμα c ισχύει a 4c a 4b c, να δείξετε ότι a ZZ c ΑΣΚΗΣΗ 6 Δίνονται τα διανύσματα a, b, c τέτοια ώστε b c 7, a 13 και 4b 3c 7a bc α Να βρείτε την γωνία των (, ) β Αν τα τρία διανύσματα α έχουν κοινή αρχή να δείξετε ότι τα πέρατα τους είναι συνευθειακά γ Να βρείτε διάνυσμα x και το μετρό του αν x / /( b c ), ( x c ) b ΑΣΚΗΣΗ 7 uuuu uuuu uuuu Για τα σημεία A, B, C, D ισχύει ότι BD 10CD 8DA α Να αποδείξετε ότι τα σημεία A, B, C είναι συνευθειακά Αν A( 1, 4), B(4,1), C(0, k ) με k : β Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό k uuuu γ Για k 1, να λύσετε την εξίσωση u BC 0 όπου u x, x 1 με x ΑΣΚΗΣΗ 8 uuuu uuuu Δίνεται το παραλληλόγραμμο ABCD με AC 8u v και BD 4u 7v uv, μη μηδενικά και μη συγγραμικά διανύσματα ίσων μέτρων uuuu uuuu α Να αποδείξετε ότι AB u 3v και AD 6u 4v οπού Σελίδα από 8

3 taexeiolag β Αν το τετράπλευρο ABCD είναι ορθογώνιο, να δείξετε ότι τα διανύσματα uv, είναι κάθετα γ Αν u 4 και uv,, να υπολογίσετε την απόσταση AM, όπου M μέσο 3 της BC ΑΣΚΗΣΗ 9 Δίνονται τα διανύσματα u, v, w με u v w k 0 α Αν w u v 3k, να δείξετε ότι ισχύει : w ( u v) u v 3k β Αν w ( u v ) u v, να δείξετε ότι ισχύει : w u v ΑΣΚΗΣΗ 10 Δίνονται τα διανύσματα a και b με a b a b 6 και a b 9Να δείξετε ότι: α a b a b 9 β a b γ Να υπολογίσετε το ab και το ab ΑΣΚΗΣΗ 11 A Αν για τους πραγματικούς αριθμούς kl, και τα μη συγγραμικά διανύσματα ab, ισχύει ότι k a l b, να αποδείξετε ότι kl 0 uuuu uuuu B Δίνεται τρίγωνο ABC και τα διανύσματα AB u και AC v x 5x 6 u x x 8 v ως προς x i Να λυθεί η εξίσωση ii Θεωρούμε τα σημεία D, E, Z ώστε να ισχύει uuuu uuuu CE BC α Να αποδείξετε ότι uuuu 5u uuuu 4 DE v και DZ u v uuuu uuuu uuuu 4 AD AB, AZ 3 5 uuuu AC και Σελίδα 3 από 8

4 taexeiolag β Να αποδείξετε ότι τα σημεία D, E, Z είναι συνευθειακά ΑΣΚΗΣΗ 1 Δίνεται η εξίσωση x (m1) xm1 0 (1) α Έστω ότι τα σημεία Α,Β, έχουν τεταγμένες τις ρίζες της (1) και το σημείο Mk (,3),είναι το μέσον του ΑΒ i Nα βρείτε το m uuuuu ii Nα βρείτε το k ώστε το διάνυσμα MO να σχηματίζει γωνία 300o, με τον άξονα xx β Αν τα διανύσματα ab, βρείτε το m ώστε τα ab, έχουν συντελεστές διεύθυνσης τις ρίζες της (1) να να είναι συγγραμικά ΑΣΚΗΣΗ 13 Δίνονται τα διανύσματα x 1 5,3 α Αν τα διανύσματα και είναι αντίθετα τότε: i Να βρεθούν xy, και ( 1 1 x,7 3 y ) με xy, ii Να βρεθούν οι γωνίες των διανυσμάτων και με τον xx β Να εξετασθεί αν υπάρχουν xy, ώστε η γωνία του διανύσματος με τον xx να είναι 3 4 ΑΣΚΗΣΗ 14 Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα ab, και c με 3 a b b c c a Να αποδείξετε ότι: α a b c 0 1 β bc και bc 3 u xa x 1 b x c, τότε το u είναι ανεξάρτητο του x γ Αν Σελίδα 4 από 8

5 taexeiolag ΑΣΚΗΣΗ 15 Έστω τα σημεία A0,3,B0, 1, 0,6, xy, uuuu uuuu uuuu α Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων OA,OB,O και τα μήκη uuuu uuuu uuuu AB, B, A β Να βρείτε που κινείται το xy, ελάχιστο γ Να βρείτε το xy, uuuu uuuu όταν το άθροισμα A B γίνεται uuuu uuuu uuuu όταν A B 7 ΑΣΚΗΣΗ 16 Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα, να δείξετε ότι: α Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς λ και μ ισχύει : uuuuuuu uuuuuuu 0 β Αν στην προηγούμενη σχέση του (α) ερωτήματος ισχύει η ισότητα για κάποιο 0 τότε δείξτε ότι τα διανύσματα, είναι κάθετα ΑΣΚΗΣΗ 17 α) Αν e 1, e, e 3 είναι μοναδιαία διανύσματα του ιδίου διανυσματικού επιπέδου e e e e e e 1, τότε δύο από αυτά είναι αντίθετα και β) Δείξτε (κάνοντας χρήση των διανυσμάτων) ότι σε κάθε τρίγωνο ABC 3 ισχύει: A B C ΑΣΚΗΣΗ 18 Έστω τα διανύσματα,,, με 0 και 0 α Να αποδειχθεί ότι 0 0 β Να αποδείξετε ότι Σελίδα 5 από 8

6 taexeiolag ΑΣΚΗΣΗ 19 Για τα μη μηδενικά διανύσματα a, b, c ισχύουν οι σχέσεις : a b c c b a b c Να αποδείξετε ότι : a) b c ) a b ) b c και ΑΣΚΗΣΗ 0 Για τα διανύσματα a, b, c ισχύουν οι σχέσεις : a, b 1, a b 1 και a c a b 0 α Να αποδείξετε ότι το b είναι κάθετο στο w ( a c) a 4b β Να βρεθούν οι τιμές των πραγματικών xy, για τις οποίες τα μέτρα των διανυσμάτων u a xb, v ya b γίνονται ελάχιστα 1 γ Για x1, y, να βρείτε τη γωνία ( 4 uv, ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Θεωρούμε τα διανύσματα a, b, c με μέτρα ανάλογα των αριθμών 3,4,7 αντίστοιχα καθώς και το διάνυσμα u a b c α Αν ένα από τα διανύσματα a, b, c δεν είναι το μηδενικό διάνυσμα, τότε το διάνυσμα u έχει θετικό μέτρο β Αν ισχύει πως u 3b c να αποδείξετε ότι: i a b και b c 4 3 ii b c και a c 7 7 ΑΣΚΗΣΗ α Nα αναλύσετε το διάνυσμα u (16,1) σε δύο συνιστώσες, μία παράλληλη στο a ( 4,6) και μία παράλληλη στο b (6,3) β Nα αναλύσετε το διάνυσμα u (4,7) σε δύο συνιστώσες, μία παράλληλη και μία κάθετη στο a ( 1,) γ Nα αναλύσετε το διάνυσμα u (4,3) σε δύο συνιστώσες, μία παράλληλη στο a (5, ) και μία κάθετη στο b (4, 1) Σελίδα 6 από 8

7 taexeiolag ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνονται τα μη μηδενικά και μη παράλληλα διανύσματα ab, και τα σημεία O, A, B, C, Dγια τα οποία ισχύουν: uuuu OA 4 a b, uuuu OB a 4 b, uuuu OC 5a b και uuuu OD a b Να αποδείξετε ότι : α Το Ο είναι εσωτερικό σημείο του BD β Τα σημεία A,B,C,D είναι κορυφές παραλληλογράμμου uuuuu uuuu γ Αν M είναι το μέσο του OB, τότε AM OC uuuu 1uuuu Aν E είναι σημείο τέτοιο ώστε AE AB, να αποδείξετε ότι : 3 uuuu δ OE a b uuuu uuuu ε AE OD a b uuuu uuuu ζ Αν AE OD uuuu uuuu και OD AB ΑΣΚΗΣΗ 4 Δίνονται τα διανύσματα ab, έχουμε c 3, a, c και 6 bc, συνδυασμό των a και b ΑΣΚΗΣΗ τότε ab, με a και b 5 Αν για ένα διάνυσμα c, να γράψετε το c σαν γραμμικό 3 Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ABC και τα σημεία DE, με uuuu 1uuuu AE AC Οι ευθείες BE και CD τέμνονται στο σημείο M Έστω 5 uuuu AB 3 x uuuu, AC 5y uuuuu uuuu uuuuu uuuu και BM kbe, CM lcd με kl, α Να δείξετε ότι uuuu BE uuuu CD uuuu AD 1 3 uuuu και β Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς kl, (εκφράζοντας τα διανύσματα uuuu uuuu uuu στην σχέση BM MC CB 0 ως γραμμικούς συνδυασμούς των xy, ή όπως αλλιώς θέλετε) γ Να αποδείξετε ότι uuuuu uuuu uuuu 1 AM AB AC 7 7 AB Σελίδα 7 από 8

8 taexeiolag ΑΣΚΗΣΗ 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Η Ευθεία στο Επίπεδο Έστω το σημείο A (1,1) και οι ημιευθείες Az, Aw που τέμνονται κάθετα Αν η γωνία zaw στρέφεται γύρω από την κορυφή της και οι πλευρές της τέμνουν τους άξονες του ορθοκανονικού συστήματος στα B, C, τότε να προσδιορισθεί: α Η γραμμή στην οποία ανήκει το μέσο Κ του BC β Η γραμμή στην οποία ανήκει η κορυφή D του παραλληλόγραμμου BOCD, όπου O η αρχή του συστήματος αναφοράς ΑΣΚΗΣΗ 7 Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ όταν (4, 1) και ( 1):x , ( ):x3 0 είναι οι εξισώσεις του ύψους και της διαμέσου από τις κορυφές Α και Β αντίστοιχα ΑΣΚΗΣΗ 8 Δίνονται τα σημεία A( x, x) και B, x Να δείξετε ότι για κάθε x 0 x ισχύει ότι ( AB) 4 ΑΣΚΗΣΗ 9 Αν οι εξισώσεις δύο διχοτόμων των γωνιών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι οι 15 3 ( 1): xy 0 και ( ): y 1 0 και η κορυφή (, ), να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Α και Β ΑΣΚΗΣΗ 30 Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον x'x, διέρχεται από το σημείο M (,4) και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με ελάχιστο εμβαδόν, το οποίο και να βρεθεί Σελίδα 8 από 8

9 taexeiolag ΑΣΚΗΣΗ 31 Δίνονται οι εξισώσεις k x k y k : : k 1 x k k 1 y k 0 και α Να βρεθούν οι τιμές του k ώστε οι 1 και β Για τις τιμές του k που βρήκατε: i Να δείξετε ότι οι 1 και 1 είναι παράλληλες να παριστάνουν ευθείες ii Να δείξετε ότι η διέρχεται από σταθερό σημείο, το οποίο να βρεθεί iii Να βρεθούν οι εξισώσεις των απόσταση 1 και με την ελάχιστη μεταξύ τους ΑΣΚΗΣΗ 3 Ένα γήπεδο γκολφ είναι τοποθετημένο στο επίπεδο (ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων) Σε έναν αγώνα γκολφ χτυπάμε το μπαλάκι από το σημείο A( 3,0) και έστω ότι αυτό ακολουθεί τη διαδρομή ευθείας με εξίσωση yx 3 Θεωρούμε ότι η τρύπα βρίσκεται στο σημείο Β με συντεταγμένες B (,3) του ίδιου ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων α Να ελεγχθεί αν θα μπει το μπαλάκι στη τρύπα και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας β Έστω ότι η τρύπα βρισκόταν στο σημείο Γ με συντεταγμένες ( a,3 a) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε το μπαλάκι να μπει στη τρύπα γ Ποια είναι η μικρότερη απόσταση που θα έχει το μπαλάκι από την τρύπα (σημείο Β), και σε ποιο σημείο της διαδρομής του θα συμβεί αυτό; δ Ποια πρέπει να είναι η κλίση της ευθείας ώστε αν χτυπούσαμε το μπαλάκι από το σημείο Α να πετύχουμε απευθείας το στόχο μας (σημείο Β); Ποια θα είναι τότε η εξίσωση της ευθείας αυτής και ποια η απόσταση ΑΒ Σελίδα 9 από 8

10 taexeiolag ΑΣΚΗΣΗ 33 Να δειχθεί ότι το τετράγωνο που έχει κέντρο Κ(1,) και x y1 0 είναι η εξίσωση μιας πλευράς του, είναι ισεμβαδικό με το τετράγωνο που οι εξισώσεις δύο πλευρών του είναι x y 6 0, x y 10 0 ΑΣΚΗΣΗ 34 Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων S του επιπέδου, τα οποία έχουν από το σημείο A( 4,0) απόσταση, που είναι διπλάσια από την απόστασή τους από τον άξονα xx ΑΣΚΗΣΗ 35 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές πάνω στις ευθείες yx, 1 : 1 : y x 0 και στον οριζόντιο άξονα, ενός ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων ˆ, x, y βρίσκονται πάνω στον xoy Θεωρούμε ότι τα σημεία Bx y και οριζόντιο άξονα με xb x α Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του Α, Β, Γ β Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου B B γ Να βρεθεί η εξίσωση της διαμέσου ΑΜ, της διχοτόμου ΑΕ και του ύψους ΑΔ, που φέρουμε από την κορυφή Α δ Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΓ και η απόσταση της από την πλευρά ΑΒ ε Να βρεθούν τα σημεία τομής μιας ευθείας παράλληλης στον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο (4,3) με τις ευθείες, 1 ΑΣΚΗΣΗ 36 Αν το σημείο Ρ του επιπέδου κινείται στην ευθεία yx 1, να δειχθεί ότι το συμμετρικό του Ρ ως προς την ευθεία : x y1 0 κινείται στην ευθεία 7x y3 0 Σελίδα 10 από 8

11 taexeiolag ΑΣΚΗΣΗ 37 Δίνονται τα σημεία A( k 1,3), B( k,) και Ck ( 1, 1) με k α Να δείξετε ότι για κάθε k, τα σημεία A,B,C αποτελούν κορυφές τριγώνου β Για k 1, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ ώστε ( MAB) ( ABC) γ Για k 1, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Ν για τα οποία ισχύει d( N, AB) 5 d( N, BC) ΑΣΚΗΣΗ 38 Θεωρούμε τις ευθείες : kx k 1 y 3k 3k και k : k 1 x ky 010k με α Έστω, οι ευθείες που προκύπτουν από την ευθεία 1 1 και k αντίστοιχα Η ευθεία 1 σημεία Α και Β αντίστοιχα, ενώ η ευθεία για k τέμνει τους άξονες xx και yy στα τέμνει τους άξονες xx και yy στα σημεία C και D αντίστοιχα Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετράπλευρου ABCD β Αν οι ευθείες και είναι παράλληλες, να βρείτε την απόσταση τους γ Για k {0,1}, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου M των σημείων E και Z, στα οποία η ευθεία τέμνει τους άξονες των συντεταγμένων δ Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό k ώστε η αρχή των αξόνων να απέχει την μέγιστη δυνατή απόσταση από την ευθεία ΑΣΚΗΣΗ 39 - Το χαμηλότερο σημείο Ευθεία διέρχεται από τα σημεία A( a,0), B(0, b ), α, b θετικοί Σε σημείο S του τμήματος AB φέρω AB Η τέμνει τους άξονες xx και yy στα C, D αντίστοιχα Έστω T(, ) το σημείο τομής των AD και BC Βρείτε τη "χαμηλότερη " θέση του T ( δηλαδή εκείνη με το ελάχιστο ) Σελίδα 11 από 8

12 taexeiolag ΑΣΚΗΣΗ 40 Δίνεται η εξίσωση 6x y xy (1) α Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει δύο ευθείες, να σχεδιάσετε β Να βρείτε την οξεία γωνία θ που σχηματίζουν οι,, τις οποίες και 1 1 γ Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο M (0,1) και τέμνει τις ευθείες, να είναι μέσο του AB στα σημεία A,B αντιστοίχως, ώστε το σημείο Μ 1 ΑΣΚΗΣΗ 41 Το σημείο A (1,5) είναι κορυφή τετραγώνου, του οποίου η μια διαγώνιος βρίσκεται πάνω στην ευθεία y x α Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ΑΓ β Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των Ρ και Γ, όπου Ρ το σημείο τομής των διαγωνίων γ Αν x xb,να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Β και Δ ΑΣΚΗΣΗ 4 Δίνεται η εξίσωση : (3a 5) x( a 3) y 4a 8 0 α Να δείξετε ότι παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του πραγματικού α β Ποιά από τις ευθείες ισαπέχει από τα σημεία A(4, 3), B(3,) ; γ Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η ευθεία ορίζει τρίγωνο με τους άξονες καθώς και το εμβαδόν του τριγώνου δ Για ποιές τιμές του α το εμβαδόν αυτό είναι ίσο με 3 15 ; ΑΣΚΗΣΗ 43 Δίνονται οι εξισώσεις x x 1 : 1 y3 1 0 : y 6 0 με Σελίδα 1 από 8

13 taexeiolag α Να αποδείξετε ότι παριστάνουν ευθείες διερχόμενες από σταθερά σημεία β Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του ώστε η ευθεία : y3x 5 να περιέχεται σε κάποια από τις παραπάνω οικογένειες ευθειών γ Να εξετάσετε αν υπάρχει ευθεία που να ανήκει ταυτόχρονα και στις δυο παραπάνω οικογένειες ευθειών δ Να εξετάσετε αν υπάρχει ώστε 1// ΑΣΚΗΣΗ 44 Δίνεται η εξίσωση x y ( x y) k 3k 0, k α Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες ( ) και ( ) β Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) γ Να βρείτε το σημείο τομής M των ευθειών ( ) και ( ) δ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου Μ ΑΣΚΗΣΗ 45 Έστω οι ευθείες k 1 : xy 0, : xy0 3 : k ( x y 5) ( x y 1) 0 με α Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που έχουν σταθερό άθροισμα αποστάσεων από τις, ίσο με 3 1 β Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του k η ευθεία 3 διέρχεται από σταθερό σημείο (Έστω Δ) γ Αν ΑΒ είναι η προβολή του γεωμετρικού τόπου του ερωτήματος (α) πάνω στον xx Να βρείτε για ποιές τιμές του k η ευθεία τέμνει το ΑΒ 3 ΑΣΚΗΣΗ 46 Δίνονται τα σημεία A (3,) και (5, 3) και διέρχονται, αντίστοιχα από τα Α και Β B Δύο ευθείες, έχουν κλίση a 0 1 Σελίδα 13 από 8

14 taexeiolag α Να βρείτε συναρτήσει του α τις εξισώσεις των, καθώς και τις 1 συντεταγμένες των σημείων τομής τους με τους άξονες β Αν η 1 τέμνει τους x x, y y αντίστοιχα στα K,L και η τέμνει τους xx, y y αντίστοιχα στα N,M να βρείτε τις τιμές του α ώστε το τετράπλευρο KLMN να βρίσκεται στο 4ο τεταρτημόριο Για τις τιμές αυτές του α: γ Να βρείτε συναρτήσει του α το εμβαδόν του KLMN 104 δ Ποιές είναι οι εξισώσεις των 1, αν ισχύει : ( KLMN) ; 3 ΑΣΚΗΣΗ 47 α Έστω οι ευθείες : A x B y C 0 και τέμνονται στο σημείο Κ : A x B y C 0 που Να αποδειχθεί ότι κάθε εξίσωση της μορφής A x B y C m( A x B y C ) 0 με m παριστάνει ευθεία που διέρχεται από το Κ β Οι εξισώσεις τεσσάρων ευθειών είναι : ΕΑΒ :3xy1 0, ΒΓΖ :4x y 0, ΓΔΕ: x y 0, ΖΔΑ :(3x y 1) 3(4x y ) (x y ) 0, Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ΒΔ χωρίς να βρεθούν οι συντεταγμένες των Β, Δ(Κάθε ευθεία τέμνει τις άλλες τρείς στα σημεία που αναφέρονται) γ Αν η εξίσωση του (Β) είναι η :6x y 4 0 να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών ( ),( ) ώστε : O ( ) και η ( ) να είναι μεσοπαράλληλη των ( ),( ) δ Να εξετάσετε ποιό από τα σημεία ( 1, 1), N( 3,19) βρίσκεται εντός της ''ζώνης'' των παραλλήλων ( ),( ) ΑΣΚΗΣΗ 48 Έστω η ευθεία Ax By A B, α Να αποδείξετε και ότι η εξίσωση Ax y Bx y B παριστάνει ευθεία Σελίδα 14 από 8

15 taexeiolag β Ποιο είναι το σημείο τομής των δύο ευθειών; γ Βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι δύο παραπάνω ευθείες ΑΣΚΗΣΗ 49 Έστω οι εξισώσεις των ευθειών, : 3 x y 0, : 3 y x 0, : 3 x y 1, : 3 y x α Βρείτε τα σημεία τομής των ευθειών β Να αποδείξετε ότι οι παραπάνω ευθείες σχηματίζουν ρόμβο, του οποίου να βρείτε το εμβαδόν γ Ποιο σημείο της ευθείας 4 : 3 y x 1 απέχει την ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας ΑΣΚΗΣΗ 50 Έστω η ευθείας Ax By 0 (1), όπου A BΑν προσθέσουμε σε κάθε συντελεστή της ευθείας τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό λ, τότε να αποδείξετε ότι * για κάθε α Η νέα εξίσωση παριστάνει ευθεία β Όλες οι νέες εξισώσεις των ευθειών, διέρχονται από σταθερό σημείο το οποίο να υπολογίσετε Εφαρμογή: Η ευθεία 4x3y 0 Σελίδα 15 από 8

16 taexeiolag Α ΚΥΚΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 51 Δίνεται ο κύκλος c x y με και η ευθεία x : 1 4 : 1 1 y3 0 α Να αποδείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε β Να αποδείξετε ότι η ευθεία τέμνει τον κύκλο (c) για κάθε γ Για ποιες τιμές του, η ευθεία ορίζει χορδή στον κύκλο (c) με: i ελάχιστο μήκος ii μέγιστο μήκος iii μήκος ΑΣΚΗΣΗ 5 α Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται του άξονα yy στο σημείο A(0, ) και αποκόπτει από την ευθεία x y1 0 τμήμα μήκους β Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι c 1, c του (α) ερωτήματος εφάπτονται εξωτερικά γ Να βρεθούν οι εξισώσεις των κοινών εφαπτομένων των c 1, c δ Εξετάστε αν υπάρχει κύκλος που να εφάπτεται σε ένα από τους δύο κύκλους του πρώτου ερωτήματος και με τους άξονες συντεταγμένων ΑΣΚΗΣΗ 53 ( c): x y 4 x y Έστω η εξίσωση με α Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (c) παριστάνει ίσους κύκλους για κάθε που δεν διέρχονται από σταθερά σημεία β Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων (c) βρίσκονται σε σταθερή ευθεία για κάθε Σελίδα 16 από 8

17 taexeiolag γ Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι (c) εφάπτονται σε δυο σταθερές ευθείες για κάθε δ Να αποδείξετε ότι από την αρχή των αξόνων διέρχονται δυο μόνο κύκλοι της μορφής (c) ε Να περιγράψετε τα σημεία του επιπέδου από τα οποία διέρχονται i μηδέν κύκλοι της μορφής (c) ii ένας κύκλος της μορφής (c) iii δυο κύκλοι της μορφής (c) iv περισσότεροι από δυο κύκλοι της μορφής (c) ΑΣΚΗΣΗ 54 Δίνονται τα σημεία A(,0) και B (,0) α Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων M του επιπέδου για τα οποία uuuu uuuu uuuu uuuu ισχύει det( MA, MB) MAMB β Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Ν, για τα οποία οι εφαπτόμενες από το N στον κύκλο c1 : x ( y ) 8 είναι κάθετες γ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών του κύκλου x y c : ( ) 16 που διέρχονται από το σημείο (1,) δ Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου 1 1 c3 :( x ) ( y) που διέρχονται από την αρχή των αξόνων 4 ΑΣΚΗΣΗ 55 Δίνεται ο κύκλος c με κέντρο την αρχή των αξόνων O που εφάπτεται στην 1 : 3 x 4 y 5 και ο κύκλος c με κέντρο 13, 0 α Βρείτε τις εξισώσεις των c 1,c ) και ακτίνα =8 β Βρείτε την θέση των κύκλων και δείξτε ότι έχουν μοναδικό κοινό σημείο Α γ Βρείτε την εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το Α και το B (6,1) ) δ Εξετάστε αν η AB είναι κοινή εφαπτομένη των c 1, c Σελίδα 17 από 8

18 taexeiolag ε Να βρεθούν όλες οι κοινές τους εφαπτόμενες ΑΣΚΗΣΗ 56 Δίνονται η ευθεία :y x, και ο κύκλος c x x y : - 0 α Δείξτε ότι η και ο c τέμνονται σε δύο σημεία β Αν Α το σημείο τομής τους που είναι διαφορετικό του O0,0 και Μ το μέσο του ΟΑ, να βρείτε τις συντεταγμένες του Μ συναρτήσει του γ Δείξτε ότι το Μ ανήκει σε κύκλο c1 καθώς δ Δείξτε ότι οι κύκλοι ΑΣΚΗΣΗ 57 1 c και c εφάπτονται εσωτερικά α Δίνονται τα σημεία A(4,6), B(,8) και Γ το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει uuuuu uuuu uuuuu uuuu uuuu OM O OM OA OB β Να προσδιορίσετε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου c :( x 3) ( y 7) που είναι παράλληλες στην διχοτόμο το πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου γ Αν x y και 1 : 0 : x y 6 0 οι προηγούμενες εφαπτόμενες, τότε να προσδιορίσετε την εξίσωση του κύκλου c που διέρχεται από τα σημεία τομής των ευθειών ΑΣΚΗΣΗ 58 1 και 1 με τους άξονες Ένας κύκλος ( c ) έχει κέντρο το σημείο K(3 a,0), όπου a 0 και ακτίνα R a α Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του () c που απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση a β Αν οι παραπάνω εφαπτόμενες εφάπτονται του ( c ) στα σημεία Α, Β, Γ και τέμνονται μεταξύ τους στα σημεία Ε, Ζ, Η να δείξετε ότι ο λόγος των εμβαδών των τριγώνων ΑΒΓ και ΕΖΗ είναι σταθερός Σελίδα 18 από 8

19 taexeiolag ΑΣΚΗΣΗ 59 Να δείξετε ότι για κάθε t τα σημεία 4 t 4t1 M (, ) t 1 t 1 κινούνται σε έναν ορισμένο κύκλο () c, του οποίου να βρεθούν τα στοιχεία Στη συνέχεια να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου C, που διέρχονται από το σημείο P (4,4) ΑΣΚΗΣΗ 60 Έστω ο κύκλος ( c): x y 4 και τυχαίο σημείο του M(, ) με θετικές συντεταγμένες Η εφαπτομένη ευθεία ( ) του κύκλου ( c ) τέμνει τους άξονες x'x και ψ ψ στα σημεία Κ, Λ αντίστοιχα α Να βρεθούν οι συντεταγμένες των Κ, Λ συναρτήσει των α, β β Αν το τετράπλευρο ΟΚΛΝ είναι ορθογώνιο με O(0,0) και N( x, y ) να δείξετε ότι x y 4 o o γ Να βρεθούν οι αριθμοί α, β ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΟΚΝΛ να είναι ελάχιστο o o ΑΣΚΗΣΗ 61 Δίνεται η εξίσωση x y 4ax y 4a 0, a (1) α Να βρείτε τις τιμές του a για τις οποίες η (1) παριστάνει κύκλο β Να βρείτε το γτ των κέντρων των κύκλων που παριστάνει η (1) γ Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που παριστάνει η (1) εφάπτονται μεταξύ τους σε σταθερό σημείο ΑΣΚΗΣΗ 6 Δίνεται ο κύκλος ( c) : x y ax ay 0, a και η ευθεία ( ): x y 0 α Για τις διάφορες τιμές του a να βρείτε τη σχετική θέση της ( ) με τον () c Σελίδα 19 από 8

20 taexeiolag β Να βρείτε τον a ώστε η χορδή που ορίζεται από την ( ) στον ( c ) να "φαίνεται" από την αρχή των αξόνων με ορθή γωνία γ Να βρείτε τον a ώστε η χορδή που ορίζεται από την ( ) στον ( c ) να έχει μήκος 6 ΑΣΚΗΣΗ 63 Δίνεται η εξίσωση x y (3 k) x(8 4 k) y 19k 8 0 (1) με k α Nα δείξετε ότι παριστάνει κύκλο για κάθε k β Ποιός είναι ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων για k ; γ Να δείξετε ότι οι κύκλοι της (1) διέρχονται από δύο σταθερά σημεία δ Να βρεθεί η ακτίνα του μικρότερου από τους κύκλους της (1) ε Αν k 0, να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου με ακτίνα 15, οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων ΑΣΚΗΣΗ 64 Δίνονται τα σημεία K,, L( 1,4), M,, N( 6, 1) α Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΚLMN είναι ρόμβος β Να βρείτε τις εξισώσεις των κύκλων με κέντρα K, L, M, N και ακτίνα 10 γ Να δείξετε ότι οι κύκλοι δεν έχουν κοινά σημεία δ Να βρείτε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτόμενων των τεσσάρων κύκλων ΑΣΚΗΣΗ 65 Δίνεται το σημείο M(, ) με [0, ) α Να αποδείξετε ότι το σημείο M κινείται σε κύκλο ( c 1) του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα β Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων 1, του κύκλου ( c 1), που άγονται από το O (0,0) Σελίδα 0 από 8

21 taexeiolag γ Να βρεθεί η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι εξισώσεις των 1, δ Να προσδιορίσετε τις εξισώσεις των κύκλων c και c 3, που εφάπτονται εξωτερικά του κύκλου c και έχουν κοινές εφαπτόμενες τις 1, του κύκλου 1 c 1 ΑΣΚΗΣΗ 66 Δίνεται η ευθεία : x 1 y 1 x 0 με Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων M( x, y ) του επίπεδου από τα οποία: α δεν διέρχεται καμιά ευθεία της μορφής β διέρχεται μοναδική ευθεία της μορφής γ διέρχονται δυο μόνο ευθείες της μορφής δ διέρχονται άπειρες ευθείες της μορφής ΑΣΚΗΣΗ 67 Έστω κύκλος ( K, ) και σταθερή χορδή του AB Μεταβλητή χορδή CD διατηρεί το μήκος της Να δειχθεί ότι σημείο τομής των AD, BC ανήκει σε κύκλο ΑΣΚΗΣΗ 68 Δίνονται οι κύκλοι c x y lx l, c x y ly l 1 : 9 0 : 5 0,l α Να μελετήσετε την σχετική θέση των δυο παραπάνω κύκλων καθώς το l κινείται στο (*) και σε κάθε μια περίπτωση να βρείτε την ελάχιστη και μέγιστη απόσταση των σημείων M c 1 και N c β Για l να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων K( x, y ) του επιπέδου για τα οποία ισχύει πως x y lx l 9 0 x y ly l 5 γ Δυο κύκλοι λέγονται ορθογώνιοι όταν τέμνονται και στα σημεία τομής τους οι εφαπτόμενες τους είναι κάθετες, όταν δηλαδή τα σημεία τομής τους βλέπουν υπό ορθή γωνία την διάκεντρο τους Για ποια τιμή του l οι παραπάνω κύκλοι είναι ορθογώνιοι; (* τεμνόμενοι, εφαπτόμενοι εξωτερικά ή εσωτερικά, ο ένας εσωτερικός του άλλου, καθένας στο εξωτερικό του άλλου) Σελίδα 1 από 8

22 taexeiolag ΑΣΚΗΣΗ 69 Έστω Α, Β σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () x x x α Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f uuuu β Να δείξετε ότι AB 1 ΑΣΚΗΣΗ 70 α Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου c 1, που διέρχεται από τα σημεία A(0,5), B(, 1) και (,1) β Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου c, ο οποίος διέρχεται από το σημείο (,7) και εφάπτεται στον κύκλο c στο σημείο A (0,5) 1 γ Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης ( ), του κύκλου c που διέρχεται από το σημείο E( 9,) και σχηματίζει με τον άξονα xx οξεία γωνία 1 Β ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΗ 71 Έστω η παραβολή ( c): y px, p 0 και το σημείο της A( x0, y0), x0 0 Αν Ε είναι η εστία της παραβολής τότε α Να βρείτε την απόσταση του μέσου K του τμήματος EA από τον άξονα yy συναρτήσει του p και του x 0 β Να βρείτε το μήκος του τμήματος AE συναρτήσει του p και του x 0 γ Να δείξετε ότι ο κύκλος με διάμετρο EA εφάπτεται του άξονα yy ΑΣΚΗΣΗ 7 Θεωρούμε τα σημεία A( x1, y1), B( x, y ) της παραβολής C : y px Αν η χορδή AB διέρχεται από την εστία E, να δείξετε ότι : Σελίδα από 8

23 taexeiolag p 1 1 a) y1 y p, ) x1x, ) : σταθερό (ανεξάρτητο της θέσης 4 ( EA) ( EB) των Α και Β) ΑΣΚΗΣΗ 73 Δίνεται η παραβολή y px, p 0 α Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης ( ) στο σημείο A( x1, y 1) του πρώτου τεταρτημορίου η οποία απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση d β Να βρεθεί η τιμή του p, αν η προβολή του A στον άξονα x'x είναι η εστία E της παραβολής γ Για p 4 : i Να βρεθεί η προβολή C του Ο στην ( ) ii Aν η ( ) τέμνει τον άξονα x'x στο Β, να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών των τριγώνων ABE,OCB ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η εξίσωση x y 3xy 16x y 0 α Να δείξετε ότι παριστάνει δύο κωνικές τομές 1, β Να βρεθούν τα κοινά σημεία των c1, c γ Να βρεθεί η κοινή εφαπτομένη των c, c 1 c c ΑΣΚΗΣΗ 75 * Δίνεται ο κύκλος ( x 4 m) y 15m και η παραβολή y 6mx, με m α Να δείξετε ότι για κάθε τιμή του m οι δύο κωνικές τέμνονται σε σημεία A, B β Αν οι εφαπτόμενες της παραβολής στα A, B τέμνονται στο C να δειχθεί ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου στο ABC συμπίπτει με την εστία της παραβολής για κάθε τιμή του m ΑΣΚΗΣΗ 76 Σελίδα 3 από 8

24 taexeiolag Δίνεται η παραβολή ( c ) η οποία έχει άξονα συμμετρίας τον xx και διέρχεται από το σημείο A( 8,8) Να βρείτε: α Την εξίσωση της παραβολής () c β Την εστία Ε και τη διευθετούσα δ της παραβολής ( c ) γ Σημείο Β της παραβολής ( c ) διαφορετικό του Α, ώστε τα σημεία Α,Ε,Β να είναι συνευθειακά ΑΣΚΗΣΗ 77 α Αν Μ σημείο της παραβολής ( c) : y x, να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος uuuu uuuuu των σημείων Ν του επιπέδου για τα οποία ισχύει ON 4OM είναι επίσης η παραβολή ( c 1) β Να βρεθούν η εστία, η διευθετούσα της ( c1 ) και η απόστασή τους γ Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής της παραβολής που έχει μέσο το σημείο A (3,) ΑΣΚΗΣΗ 78 Δίνονται ο κύκλος c: x y R και η παραβολή c 1 : y px Οι εφαπτόμενες των δύο κωνικών σε κοινό τους σημείο S, σχηματίζουν τη γωνία ω α Δείξτε ότι η γωνία ω, δεν γίνεται ορθή, για οποιεσδήποτε τιμές των R, p β Δείξτε ότι αν ο λόγος επίσης σταθερή p R παραμένει σταθερός, η γωνία ω, παραμένει ΑΣΚΗΣΗ 79 Από σημείο A της παραβολής συνέχεια QT c : y px, p 0, φέρω AQ y y και στη OA, η οποία τέμνει τον x άξονα στο σημείο S α Δείξτε ότι η θέση του S είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου A Σελίδα 4 από 8

25 taexeiolag b Αν η AS τέμνει την παραβολή στο B, δείξτε ότι η γωνία AOB είναι ορθή ΑΣΚΗΣΗ 80 α Δείξτε ότι κάθε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα xx έχει με την παραβολή c 1 : y px ένα ακριβώς κοινό σημείο β Δίνεται η παραβολή y 4x και το σημείο M(5,4) Βρείτε την εξίσωση ευθείας, που διέρχεται από το M και τέμνει την παραβολή σε σημεία A, B ώστε το M να είναι μέσο του AB γ Αποδείξτε ότι η εφαπτομένη της παραβολής, που είναι παράλληλη με την AB, εφάπτεται της παραβολής σε σημείο που έχει την ίδια τεταγμένη με το μέσο Μ Δείξτε ότι το τελευταίο ισχύει γενικά Γ ΕΛΛΕΙΨΗ - ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΗ 81 Έστω η έλλειψη x a y b 1 με E, E' εστίες και τυχαίο σημείο D μεταξύ των εστιών διαφορετικό από το κέντρο της έλλειψης α Να προσδιορισθούν οι εξισώσεις των κύκλων E, DA, E, DA όπου AA' ο μεγάλος άξονας της έλλειψης και να δειχθεί ότι τέμνονται πάνω στην έλλειψη β Να προσδιορισθεί η κοινή χορδή των παραπάνω κύκλων και να δειχθεί ότι κάθε σημείο της είναι εσωτερικό της έλλειψης γ Να εξετασθεί αν η ευθεία CD είναι κάθετη στην έλλειψη όπου C σημείο τομής των κύκλων με την έλλειψη ΑΣΚΗΣΗ 8 Δίνεται η εξίσωση : x y 1 k k (1) Σελίδα 5 από 8

26 taexeiolag α Να βρεθούν οι τιμές του k για τις οποίες η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο β Να βρεθούν οι τιμές του k για τις οποίες η εξίσωση (1) παριστάνει έλλειψη Σε κάθε μία περίπτωση να βρεθούν τα στοιχεία της αντίστοιχης κωνικής τομής γ Να βρεθούν οι τιμές του k για τις οποίες η εξίσωση (1) παριστάνει υπερβολή ΑΣΚΗΣΗ 83 Δίνεται η έλλειψη x m y m * 1, m 0 4 α Να προσδιορισθούν οι εξισώσεις δύο ευθειών που εφάπτονται στην * έλλειψη για κάθε m β Αν οι δύο προηγούμενες εφαπτόμενες σχηματίζουν με την ευθείες x 1 και x m τετράπλευρο με εμβαδόν 3 τετ μονάδες, να προσδιορισθεί η έλλειψη ΑΣΚΗΣΗ 84 x y Δίνεται η υπερβολή c: 1 και το σημείο της M( x 1, y 1) διαφορετικό από a b τις κορυφές της Έστω η εφαπτομένη στο Μ και η κάθετη στην στο Μ Αν η τέμνει τους άξονες xx και yy στα σημεία C,D αντίστοιχα και Ν είναι το μέσο του CD: α Να βρείτε την εξίσωση της β Να βρείτε τις συντεταγμένες των C,D,N γ Να αποδείξετε ότι όταν το M μεταβάλλεται, τότε το Ν κινείται σε υπερβολή, της οποίας να βρείτε την εκκεντρότητα ΑΣΚΗΣΗ 85 Σε σημείο S του πρώτου τεταρτημορίου, που ανήκει στην έλλειψη με εξίσωση : x y c : 1 φέρνουμε την εφαπτομένη η οποία τέμνει τις δύο 16 4 Σελίδα 6 από 8

27 taexeiolag κατακόρυφες εφαπτόμενες, στα σημεία C, D και τις οριζόντιες στα E, Z Να κατασκευασθεί το σημείο S ώστε να είναι : ( AACD ) ( B BEZ ) ΑΣΚΗΣΗ 86 Για τις διάφορες τιμές του k να βρεθεί τι παριστάνει στο επίπεδο η εξίσωση : (1 k) x ky k 1 ΑΣΚΗΣΗ 87 Δίνεται το ΑΒ με τόπο των Μ ώστε : 1 (,0), 1 1 (,0) και το μέσον τους Κ Βρείτε το γεωμετρικό uuuuu uuuu uuuu uuuu uuuu MK MA MB (cos( MA, MB) 1) 1 ΑΣΚΗΣΗ 88 Δίνεται ο κύκλος c : x y, τα σημεία του A(,0) και A (,0) Σημείο S κινείται επί του κύκλου και έστω S' το συμμετρικό του ως προς τον x άξονα Οι ευθείες A'S και AS' τέμνονται στο Ρ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του Ρ ΑΣΚΗΣΗ 89 Δίνονται τα σημεία του επιπέδου A( 1, y), B( x, y), M( x, y) με xy, Σελίδα 7 από 8

28 taexeiolag uuuu uuuu α Αν OA OB να δειχθεί ότι τα σημεία M( x, y ) ανήκουν στην παραβολή με εξίσωση y x της οποίας να βρεθούν η εστία και η διευθετούσα β Αν uuuu uuuu 3OA OB 15, να δειχθεί ότι τα σημεία M( x, y ) ανήκουν στον κύκλο με εξίσωση x y 3 του οποίου να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα uuuu uuuu γ Αν OA OB 14, να δειχθεί ότι τα σημεία M( x, y ) ανήκουν στην έλλειψη με εξίσωση 4x 3y 1 της οποίας να βρεθούν η εκκεντρότητα και ο μεγάλος άξονας uuuu uuuu δ Αν 3OA OB 15, να δειχθεί ότι τα σημεία M( x, y ) ανήκουν στην υπερβολή με εξίσωση y x 6 της οποίας να βρεθεί η εκκεντρότητα και οι ασύμπτωτες ΑΣΚΗΣΗ 90 Δίνεται η έλλειψη c :9 x 5 y 5 και η υπερβολή c x y δείξετε ότι : α Οι 1, β Οι, 1 c c έχουν τις ίδιες εστίες 1 : 7 14 Nα c c τέμνονται σε τέσσερα σημεία, που αποτελούν κορυφές ορθογωνίου γ Οι εφαπτόμενες των, c c στα κοινά τους σημεία είναι κάθετες 1 Σελίδα 8 από 8

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες της εξίσωσης y + ( 5λ + μ)y

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v,

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνονται τα διανύσματα a, για τα οποία ισχύουν : 4, 5 και α)να αποδείξετε ότι 10 β)να βρείτε τη γωνία των και. 5. 8 γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a=

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= 32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= ( xy, ). Να ορίσετε τις έννοιες α)μέτρο του διανύσματος και β) συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος Α2) Να γράψετε τους τύπους

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητής : Νικόλαος. Κατσίπης 19 Απριλίου 2013 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας εύχοµαι καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1.

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1. Ασκήσεις στην ευθεία 1. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραµµών µε εξισώσεις : α) 7x-11y+1=0, x+y-=0 β) y-3x-=0, x +y =4 γ) x +y =α, 3x+y+α=0. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x +y -x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. και ακτίνα 1 3. Σ Λ

ΚΥΚΛΟΣ. και ακτίνα 1 3. Σ Λ 1 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΚΥΚΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Kωνσταντόπουλος Κων/νος Μαθηματικός ΜSc 1. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Σ, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής διαφορετικά να κυκλώσετε

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0 ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΟ Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ), y + y = r χ +ψ =ρ Κ(0,0) ρ x x y (χ-χ 0 ) +(ψ-ψ 0 ) =ρ Κ(χ 0,ψ 0 ) ρ (χ-χ 0 ) (χ -χ 0 )+(ψ-ψ 0 ) (ψ-ψ )=ρ Παρατήρηση : Η εξίσωση : χ +ψ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 17 Ιανουαρίου 015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 7 49 3 4 3 6 11 Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Α= + + : 3 9 7 3 5 10 Πρόβλημα Μία οικογένεια αγόρασε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να σχεδιάσετε την καμπύλη που παριστάνει η εξίσωση x y x 2 y. x y 2. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία τέμνει : i) τον άξονα χ'χ σε σημείο με τετμημένη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις)

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) 1 Μέρος Α Θεωρία (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) Η έννοια του διανύσματος Ορισμός του Διανύσματος Διάνυσμα ονομάζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 4. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = 2π 3 γ) ω = π 2. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο 1. Δίνεται ο κύκλος C που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σημείο Α(-3,4).Να βρείτε : i) εξίσωση του κύκλου ii) την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη )

Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη ) .Η ψυχή του ανθρώπου γίνεται παντοδύναμη, όταν συνεπαρθεί από μια μεγάλη ιδέα. Τρομάζεις όταν ύστερα από πικρές δοκιμασίες, καταλάβεις πως μέσα μας υπάρχει μια δύναμη που μπορεί να ξεπεράσει τη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα,

Διαβάστε περισσότερα

201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Α. ΘΕΩΡΙΑ. i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η

201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Α. ΘΕΩΡΙΑ. i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η 201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ - 1-1. Να αποδείξετε ότι: Α. ΘΕΩΡΙΑ i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η C : x 2 y 2 ρ 2. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου C: χ 2 + ψ 2 = ρ 2

Διαβάστε περισσότερα

πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+7=0, 3χ+2ψ-16=0, χ-5ψ+6=0. (ΑΒ=5, ΒΓ= 13,

πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+7=0, 3χ+2ψ-16=0, χ-5ψ+6=0. (ΑΒ=5, ΒΓ= 13, 1 Η Ευθεία στο Επίπεδο Η Ευθεία στο Επίπεδο 1 Να βρεθεί το είδος των γωνιών του τριγώνου που οι πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+3=0, 3χ+4ψ+4=0, χ-7ψ+8=0. (90, 45, 45 ) 2 Να βρεθεί το μήκος των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 212-213 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

φέρουμε μια οποιαδήποτε χορδή ΑΒ του κύκλου και την προεκτείνουμε κατά τμήμα

φέρουμε μια οποιαδήποτε χορδή ΑΒ του κύκλου και την προεκτείνουμε κατά τμήμα 1. Δίνεται ο κύκλος + y ρ, όπου ρ>0. Από το σημείο A( - ρ,0) του C C :x = φέρουμε μια οποιαδήποτε χορδή ΑΒ του κύκλου και την προεκτείνουμε κατά τμήμα BM = AB. Να αποδείξετε ότι το Μ κινείται πάνω σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 1ο κεφάλαιο: Διανύσματα Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα