Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών. Διανυσματική Ανάλυση. Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης

Transcript

1 Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Διανυσματική Ανάλυση Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 9 Ιουνίου 2011

2 2

3 Περιεχόμενα 1 Διανυσματικές συναρτήσεις Γενικά στοιχεία Όρια και συνέχεια Παραγώγιση Ολοκλήρωση Καμπύλες Ορισμοί Φυσική παραμέτρηση καμπύλης Το τρίεδρο του Frenet, καμπυλότητα, στρέψη Επικαμπύλια ολοκληρώματα Επικαμπύλια ολοκληρώματα α είδους Επικαμπύλια ολοκληρώματα β είδους Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία Γενικά Κλίση, απόκλιση, περιστροφή Συντηρητικά πεδία, βαθμωτό και διανυσματικό δυναμικό Το θεώρημα του Green Το θεώρημα Green σε απλά συνεκτικούς τόπους Ερμηνεία της περιστροφής στο επίπεδο Εφαρμογή: υπολογισμός εμβαδού Επιφανειακά ολοκληρώματα Επιφάνειες σε παραμετρική μορφή Εμβαδόν επιφάνειας Επιφανειακά ολοκληρώματα α είδους Επιφανειακά ολοκληρώματα β είδους Θεωρήματα των Gauss και tokes Θεώρημα του Gauss Θεώρημα του tokes i

4 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικές συναρτήσεις 1.1 Γενικά στοιχεία Ως διανυσματική χαρακτηρίζεται μια συνάρτηση της μορφής f : A R n R m όπου m > 1. Για να ξεχωρίζουν από τις πραγματικές συναρτήσεις n μεταβλητών, οι διανυσματικές συναρτήσεις θα συμβολίζονται από εδώ και πέρα με r : A R n R m. Για παράδειγμα, μια συνάρτηση r : A R R 2 έχει τη γενική μορφή r(t) = (t)i + (t)j = ((t), (t)) όπου οι πραγματικές συναρτήσεις (t) και (t) αποτελούν τις συνιστώσες συναρτήσεις της r. Αντίστοιχα, μια συνάρτηση r : A R R 3 απαρτίζεται από τρεις συνιστώσες συναρτήσεις: r(t) = (t)i + (t)j + z(t)k = ((t), (t), z(t)) Φυσικά μπορούν να οριστούν διανυσματικές συναρτήσεις με περισσότερες από μία μεταβλητές, όπως είναι για παράδειγμα συναρτήσεις του τύπου r : A R 2 R 2, με τη γενική μορφή r(, ) = f(, )i + g(, )j Ωστόσο, προς το παρόν θα αναφερθούμε κυρίως σε διανυσματικές συναρτήσεις που εξαρτώνται από μία μόνο μεταβλητή. Το πεδίο ορισμού μιας διανυσματικής συνάρτησης μίας μεταβλητής r(t) αποτελείται από εκείνες τις τιμές της μεταβλητής t, για τις οποίες ορίζονται οι συνιστώσες συναρτήσεις. Ας θεωρήσουμε τώρα τη διανυσματική συνάρτηση r(t) = (t)i+(t)j+z(t)k, με τη μεταβλητή t να παίρνει τιμές στο διάστημα [a, b]. Στο χώρο, το πέρας του διανύσματος r(t) για μια συγκεκριμένη τιμή της t προσδιορίζει με μοναδικό τρόπο ένα σημείο με συντεταγμένες ((t), (t), z(t)). Όταν οι συνιστώσες συναρτήσεις είναι συνεχείς, το σύνολο των σημείων που προκύπτουν για t [a, b] ανήκει σε μια καμπύλη (σχήμα 1.1), με διανυσματική εξίσωση r = (t)i + (t)j + z(t)k. Ειδικότερα, οι εξισώσεις = (t), = (t) και z = z(t) αποτελούν τις παραμετρικές εξισώσεις της. Είναι φανερό πως η καμπύλη παριστάνει γεωμετρικά το σύνολο τιμών της διανυσματικής συνάρτησης r : [a, b] R 3. Εντελώς ανάλογα, διαπιστώνεται πως μια διανυσματική συνάρτηση r : [a, b] R 2 παριστάνει γεωμετρικά μια καμπύλη στο επίπεδο. Φυσικά είναι δυνατό δύο ή περισσότερες διαφορετικές διανυσματικές συναρτήσεις να αντιστοιχούν στην ίδια καμπύλη. Για την 1

5 1. Διανυσματικές συναρτήσεις z r( t ) 2 r ( t )... 3 r( t ) r( a) 1 O r( b) Σχήμα 1.1: Καμπύλη με διανυσματική εξίσωση r = r(t), t [a, b]. 1.0 ( t), ( t) 0.5 r( t) Σχήμα 1.2: Η καμπύλη που περιγράφεται διανυσματικά από τη συνάρτηση r(t) = (2 sin t, cos t), t [0, 2π]. ακρίβεια, για μια συγκεκριμένη καμπύλη υπάρχουν άπειρες διανυσματικές συναρτήσεις για τις οποίες η αποτελεί τη γεωμετρική περιγραφή τους. Παράδειγμα 1.1: Η διανυσματική συνάρτηση r(t) = (2 sin t, cos t) με t [0, 2π] αντιστοιχεί σε μια έλλειψη (σχήμα 1.2) με παραμετρικές εξισώσεις = 2 sin t, = cos t, από τις οποίες προκύπτει εύκολα ότι ( 2 ) = 1 Παράδειγμα 1.2: Η διανυσματική συνάρτηση r(t) = (cos t, sin t, t), t [0, 2π] παριστάνει γεωμετρικά μια κυκλική έλικα (σχήμα 1.3), δεδομένου ότι είναι = 1, με τις τιμές του z να αυξάνουν, καθώς αυξάνονται οι τιμές του t. 2

6 1.1 Γενικά στοιχεία 6 4 z Σχήμα 1.3: Έλικα που περιγράφεται διανυσματικά από τη συνάρτηση r(t) = (cos t, sin t, t), t [0, 2π]. Παράδειγμα 1.3: Έστω η διανυσματική συνάρτηση r(t) = r 0 + tv όπου r 0 = 0 i + 0 j + z 0 k και v = v i + v j + v z k σταθερά διανύσματα. Η καμπύλη r = r(t) παριστάνει την ευθεία γραμμή που διέρχεται από το σημείο ( 0, 0, z 0 ) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα v, αφού ισχύει r(t) r 0 = tv δηλαδή (r(t) r 0 ) v (το διάνυσμα r(t) r 0 είναι το ( 0 ) i + ( 0 ) j + (z z 0 ) k, όπου (,, z) τυχαίο σημείο της ευθείας). Επομένως, οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας είναι (t) = 0 + tv (t) = 0 + tv z(t) = z 0 + tv z και, φυσικά, η ευθεία μπορεί να εκφραστεί ως η τομή δύο επιπέδων, αν γίνει απαλοιφή της παραμέτρου t: 0 = 0 = z z 0 v v v z όταν v v v z 0. Με βάση δύο διανυσματικές συναρτήσεις r 1 (t) και r 2 (t) μπορούν να οριστούν και οι ακόλουθες νέες (διανυσματικές ή πραγματικές) συναρτήσεις: άθροισμα: (r 1 + r 2 )(t) = r 1 (t) + r 2 (t), γινόμενο με βαθμωτή συνάρτηση: (α r 1 )(t) = α(t) r 1 (t), εσωτερικό γινόμενο: (r 1 r 2 )(t) = r 1 (t) r 2 (t), 3

7 1. Διανυσματικές συναρτήσεις εξωτερικό γινόμενο: (r 1 r 2 )(t) = r 1 (t) r 2 (t), μέτρο: r 1 (t) = r 1 (t). Παράδειγμα 1.4: Αναζητούμε το διάνυσμα (r 1 r 2 ) (1), όταν r 1 (t) = t 2 i + j + ln tk και Είναι: r 1 (t) r 2 (t) = r 2 (t) = i e t j + sin(5t)k i j k t 2 1 ln t 1 e t sin(5t) = ( sin(5t) + e t ln t ) i ( t 2 sin(5t) ln t ) j + ( t 2 e t 1 ) k Επομένως: (r 1 r 2 ) (1) = sin 5i sin 5j (e + 1) k 1.2 Όρια και συνέχεια Αρχικά ορίζουμε το όριο διανυσματικής συνάρτησης μίας μεταβλητής. Ορισμός 1.1 Η διανυσματική συνάρτηση r : A R R m έχει όριο το διάνυσμα r 0 καθώς το t τείνει στο t 0, αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει δ > 0, τέτοιος ώστε να ισχύει r(t) r 0 < ϵ όταν 0 < t t 0 < δ. Τότε γράφουμε lim r(t) = r 0 t t 0 Ισοδύναμα, μπορεί να ειπωθεί πως η συνάρτηση r(t) έχει όριο το διάνυσμα r 0 όταν το t τείνει στο t 0, αν και μόνο αν ισχύει lim t t 0 r(t) r 0 = 0 Ο παραπάνω ορισμός συνεπάγεται πως το όριο μιας διανυσματικής συνάρτησης σχετίζεται άμεσα με τα όρια των συνιστωσών συναρτήσεων. Έτσι, αν είναι r(t) = (t)i + (t)j + z(t)k, τότε θα ισχύει το εξής: lim r(t) = L 1 i + L 2 j + L 3 k = (L 1, L 2, L 3 ) t t 0 lim t t 0 (t) = L 1 lim t t 0 (t) = L 2 lim t t 0 z(t) = L 3 Έχοντας ορίσει το όριο διανυσματικής συνάρτησης, μπορούμε να δώσουμε τον ορισμό της συνέχειας. Ορισμός 1.2 Μια συνάρτηση r : A R R m λέγεται συνεχής στο σημείο t 0 A, αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει δ > 0, τέτοιος ώστε να ισχύει r(t) r(t 0 ) < ϵ όταν t t 0 < δ. 4

8 1.3 Παραγώγιση Για τη συνέχεια μιας διανυσματικής συνάρτησης ισχύει και ο ορισμός lim r(t) = r(t 0 ) t t 0 όταν το t 0 δεν είναι μεμονωμένο σημείο. Και πάλι, η συνέχεια μιας διανυσματικής συνάρτησης σχετίζεται άμεσα με τη συνέχεια των συνιστωσών συναρτήσεων. Με άλλα λόγια, μια διανυσματική συνάρτηση είναι συνεχής, αν και μόνο αν οι συνιστώσες της είναι και αυτές συνεχείς. Αν οι διανυσματικές συναρτήσεις r 1 (t), r 2 (t) και η πραγματική συνάρτηση α(t) είναι συνεχείς, τότε: η συνάρτηση r 1 (t) + r 2 (t) είναι συνεχής, η συνάρτηση α(t) r(t) είναι συνεχής, η συνάρτηση r 1 (t) r 2 (t) είναι συνεχής, η συνάρτηση r 1 (t) r 2 (t) είναι συνεχής, η συνάρτηση r(t) είναι συνεχής. 1.3 Παραγώγιση Ακολούθως ορίζουμε την παράγωγο μιας διανυσματικής συνάρτησης r(t). Ορισμός 1.3 Αν για τη διανυσματική συνάρτηση r : A R R m υπάρχει το όριο r(t 0 + t) r(t 0 ) lim t 0 t τότε η r είναι παραγωγίσιμη στο t 0 A, η τιμή του ορίου αποτελεί την παράγωγο της r στο t 0 και συμβολίζεται με τους ακόλουθους τρόπους: r dr(t 0 ) dr (t 0 ),, dt dt Για τον υπολογισμό της παραγώγου μιας διανυσματικής συνάρτησης αρκεί να υπολογιστούν οι παράγωγοι των συνιστωσών της. Αν, για παράδειγμα, είναι r(t) = (t)i + (t)j + z(t)k, τότε αποδεικνύεται ότι r (t) = (t)i + (t)j + z (t)k Επιπλέον, προκύπτει ότι αν μια διανυσματική συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό, χωρίς απαραίτητα να ισχύει και το αντίστροφο. Έστω τώρα οι παραγωγίσιμες διανυσματικές συναρτήσεις r 1 (t), r 2 (t). Τότε ισχύουν οι παρακάτω κανόνες: r(t) = c r (t) = 0, [r 1 (t) ± r 2 (t)] = r 1 (t) ± r 2 (t), [α(t) r 1 (t)] = α (t) r 1 (t) + α(t) r 1 (t), [c r 1 (t)] = c r 1 (t), c R, 5 t0

9 1. Διανυσματικές συναρτήσεις z Q r ( t ) 0 P r( t ) 0 O r( t t ) 0 Σχήμα 1.4: Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου διανυσματικής συνάρτησης. [r 1 (t) r 2 (t)] = r 1 (t) r 2(t) + r 1 (t) r 2 (t), [r 1 (t) r 2 (t)] = r 1 (t) r 2(t) + r 1 (t) r 2 (t), dr(s(t)) dt = dr(s) ds(t) = r (s)s (t). ds dt Ας επιχειρήσουμε να δώσουμε μια γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου διανυσματικής συνάρτησης, θεωρώντας μια καμπύλη στο χώρο με διανυσματική εξίσωση r = (t)i + (t)j + z(t)k = r(t) (σχήμα 1.4). Αν στις τιμές t 0 και t 0 + t του t με t > 0 αντιστοιχούν τα διανύσματα OP και OQ με OP = r(t 0 ), OQ = r(t 0 + t) τότε το διάνυσμα PQ είναι η διαφορά των OQ και OP, δηλαδή PQ = OQ OP = r(t 0 + t) r(t 0 ) Καθώς το σημείο Q πλησιάζει στο P, το διάνυσμα OQ τείνει να πάρει συγκεκριμένη διεύθυνση. Όταν t 0, αυτή η διεύθυνση είναι η εφαπτόμενη ευθεία στην καμπύλη, στο σημείο που αντιστοιχεί για t = t 0. Όμως, σύμφωνα με τα παραπάνω η παράσταση [r(t 0 + t) r(t 0 )] / t έχει όριο την τιμή της παραγώγου r (t 0 ) όταν t 0. Με άλλα λόγια, η παράγωγος r (t 0 ) είναι ένα εφαπτόμενο διάνυσμα στην καμπύλη στο σημείο t = t 0. Η φορά του είναι τέτοια που υποδεικνύει πάντα την κατεύθυνση προς την οποία αυξάνονται οι τιμές της μεταβλητής t. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και όταν t < 0, αφού τότε το διάνυσμα PQ έχει φορά αντίθετη από αυτήν του σχήματος. Συνεπώς, όταν είναι απαραίτητο να βρεθεί το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα στην καμπύλη στο σημείο με t = t 0, αυτό είναι το ϵ 0 (t) = r (t) r (t) Παράδειγμα 1.5: Για την καμπύλη r(t) = (cos t, sin t) που αντιστοιχεί σε κύκλο, θα βρεθούν τα μοναδιαία εφαπτόμενα διανύσματα στα σημεία με t = 0, t = π/2 και t = 3π/4. Η παράγωγος της διανυσματικής συνάρτησης είναι r (t) = ( sin t, cos t) με r (t) = ( sin t) 2 + (cos t) 2 = 1 6

10 1.3 Παραγώγιση ( ) 0 2 r( ) r( ) 2 3 ( ) 4 r(0) O 0 (0) Σχήμα 1.5: Εφαπτόμενα διανύσματα στην καμπύλη r(t) = (cos t, sin t). Άρα, τα μοναδιαία εφαπτόμενα διανύσματα είναι ϵ 0 (t) = r (t) r = ( sin t, cos t) (t) και για τις ζητούμενες τιμές του t έχουμε: ϵ 0 (0) = (0, 1), ϵ 0 ( π 2 ) = ( 1, 0) και ϵ 0( 3π 4 ) = ( 2/2, 2/2). Οι γεωμετρικές απεικονίσεις της καμπύλης και των εφαπτόμενων διανυσμάτων σχεδιάζονται στο σχήμα 1.5. Στην περίπτωση που η θέση ενός κινούμενου σημείου στο χώρο περιγράφεται συναρτήσει του χρόνου t από μια συνάρτηση r(t) = (t)i+(t)j+z(t)k, το διάνυσμα της ταχύτητας του σημείου είναι το v(t) = r (t), ενώ το διάνυσμα της επιτάχυνσης είναι το a(t) = v (t) = r (t). Τέλος, η διανυσματική εξίσωση r = r(t) αποτελεί την εξίσωση κίνησης του σημείου. Παράδειγμα 1.6: Έστω ότι η τροχιά ενός κινούμενου υλικού σημείου είναι η r(t) = cos ti + sin tj H ταχύτητά του είναι v(t) = r (t) = sin ti + cos tj και διαπιστώνεται άμεσα πως έχει σταθερό μέτρο: v(t) = ( sin t) 2 + (cos t) 2 = 1 Επιπλέον, η επιτάχυνση είναι a(t) = r (t) = cos ti sin tj = r(t) η οποία, βέβαια, έχει και αυτή σταθερό μέτρο. 7

11 1. Διανυσματικές συναρτήσεις 1.4 Ολοκλήρωση Έστω τώρα η διανυσματική συνάρτηση r(t) = (t)i + (t)j + z(t)k. Το αόριστο ολοκλήρωμα της r ορίζεται ως ακολούθως: ( ) ( ) ( ) r(t) dt = (t) dt i + (t) dt j + z(t) dt k Αν μια διανυσματική συνάρτηση R(t) έχει την ιδιότητα R (t) = r(t), τότε r(t) dt = R(t) + c όπου c = c 1 i + c 2 j + c 3 k είναι σταθερό διάνυσμα. Από την άλλη πλευρά, για το ορισμένο ολοκλήρωμα της r ισχύει b ( b ) ( b ) ( b ) r(t) dt = (t) dt i + (t) dt j + z(t) dt k = R(b) R(a) a a a a Παράδειγμα 1.7: Έστω ότι για μία διανυσματική συνάρτηση r(t) ισχύει και r(1) = i + j. Είναι ( r(t) = r (t) = t 3 i + 2 t j e2t k ) ( ) ( 2 t 3 dt i + t dt j ) e 2t dt k = 1 4 t4 i + 2 ln t j 1 2 e2t k + c Επιπλέον, οπότε Τελικά: r(1) = 1 4 i 1 2 e2 k + c c = 3 4 i + j e2 k r(t) = t4 + 3 i + (1 + 2 ln t ) j + 1 ( e 2 e 2t) k 4 2 8

12 Κεφάλαιο 2 Καμπύλες 2.1 Ορισμοί Έστω μια διανυσματική συνάρτηση r : [a, b] R 3, η οποία, όπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, παριστάνεται γεωμετρικά από μια καμπύλη στο χώρο (αντίστοιχα, μια συνάρτηση r : [a, b] R 2 περιγράφει επίπεδη καμπύλη). Τα διανύσματα r(a) και r(b) προσδιορίζουν, αντίστοιχα, το αρχικό και το τελικό σημείο της, δηλαδή τα άκρα της καμπύλης. Η καμπύλη r = r(t) ονομάζεται λεία, αν η παράγωγός της είναι συνεχής και μη μηδενική παντού, δηλαδή για κάθε t (a, b) ισχύει r (t) 0. Η συγκεκριμένη συνθήκη πρακτικά σημαίνει πως η καμπύλη δεν αλλάζει απότομα σχήμα, αφού δε μηδενίζεται πουθενά το διάνυσμα ταχύτητας. Με άλλα λόγια, ακολουθώντας ένα σημείο πάνω σε μια λεία καμπύλη καθώς μεταβάλλονται οι τιμές του t, οι αντίστοιχες εφαπτόμενες ευθείες στρέφονται με συνεχή και ομαλό τρόπο. Μια καμπύλη ενδέχεται να μην είναι λεία, αλλά να αποτελείται από ένα πεπερασμένο πλήθος λείων καμπυλών. Τότε χαρακτηρίζεται ως τμηματικά λεία. Τα ομαλά σημεία μιας καμπύλης είναι εκείνα στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης r παίρνει μη μηδενικές τιμές, ενώ τα σημεία όπου ισχύει r (t) = 0 χαρακτηρίζονται ως ανώμαλα και είναι θέσεις όπου εμφανίζονται γωνιακά σημεία. Φυσικά δεν είναι δυνατό να βρεθεί σε μια καμπύλη η εφαπτόμενη ευθεία σε ένα σημείο ανωμαλίας της μέσω του εφαπτόμενου διανύσματος, αφού το τελευταίο εκεί μηδενίζεται. Παράδειγμα 2.1: Η επίπεδη καμπύλη που περιγράφεται διανυσματικά από τη συνάρτηση r(t) = ( sin 3 t, cos 3 t ) με t [0, 2π] απεικονίζεται στο σχήμα 2.1. Η συγκεκριμένη καμπύλη είναι τμηματικά λεία, αφού διαθέτει ανώμαλα σημεία. Συγκεκριμένα, είναι r (t) = ( 3sin 2 t cos t, 3cos 2 t sin t ) οπότε η παράγωγος της r μηδενίζεται για τις τιμές {0, π 2, π, 3π 2, 2π}. Όπως διαπιστώνεται, στις θέσεις r(0) = r(2π) = (0, 1), r( π 2 ) = (1, 0), r(π) = (0, 1) και r( 3π 2 ) = ( 1, 0) η καμπύλη παρουσιάζει γωνιακά σημεία. Μια καμπύλη r = r(t) με t [a, b] χαρακτηρίζεται κλειστή, εάν το αρχικό και το τελικό της σημείο ταυτίζονται, δηλαδή αν ισχύει r(a) = r(b). Στην περίπτωση που είναι r(a) r(b), η καμπύλη λέγεται ανοιχτή. Επιπλέον, απλή λέγεται μια καμπύλη που δεν τέμνει τον εαυτό της, δηλαδή όταν έχει την ιδιότητα t 1 t 2 r(t 1 ) r(t 2 ) για οποιαδήποτε t 1, t 2, εξαιρώντας το αρχικό και το τελικό σημείο. Τα διάφορα είδη καμπυλών παρουσιάζονται στο σχήμα

13 2. Καμπύλες 1.0 r(0) 0.5 r(3 / 2) r( / 2) r( ) Σχήμα 2.1: Η καμπύλη r = (sin 3 t, cos 3 t), t [0, 2π], όπου σημειώνονται τα ανώμαλα σημεία της. 2.2 Φυσική παραμέτρηση καμπύλης Η φυσική παράμετρος s μιας καμπύλης : r(t) = (t)i + (t)j + z(t)k περιγράφει το μήκος της καμπύλης, ξεκινώντας τη μέτρηση από κάποιο σημείο αναφορά t = t 0 (σχήμα 2.3). Η s είναι επιπλέον γνωστή και ως παράμετρος μήκος τόξου. Η τιμή της s για κάποια τιμή του t υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα t (d(τ) ) 2 ( ) d(τ) 2 ( ) dz(τ) 2 t s(t) = + + dτ = r (τ) dτ dτ dτ dτ t 0 t 0 Η έκφραση αυτή προκύπτει προσεγγίζοντας την καμπύλη μέσω μιας διαμέρισης της τελευταίας με ένα σύνολο από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα και παίρνοντας το όριο του συνολικού μήκους των τμημάτων αυτών, όταν η λεπτότητα της διαμέρισης τείνει στο 0. Ένας τύπος αντίστοιχος με τον παραπάνω είναι ήδη γνωστός για τον υπολογισμό του μήκους μιας επίπεδης καμπύλης, όταν η τελευταία περιγράφεται με παραμετρικές εξισώσεις. Από τον παραπάνω τύπο διαπιστώνεται πως το μήκος τόξου παίρνει θετικές τιμές όταν t > t 0 και αρνητικές όταν t < t 0 (η κατεύθυνση προς την οποία αυξάνονται οι τιμές της παραμέτρου t, άρα και της s, αντιστοιχεί στη θετική φορά διαγραφής της καμπύλης). Στην περίπτωση που η καμπύλη είναι επίπεδη και βρίσκεται, για παράδειγμα, στο επίπεδο O, χρησιμοποιείται η ίδια έκφραση, απλώς παραλείπεται ο όρος z (τ). Το συνολικό μήκος L της καμπύλης είναι ίσο με L = b a (d ) 2 + dt ( ) d 2 + dt ( ) dz 2 dt = dt b a r (t) dt = s(b) s(a) Αν η r = r(t) περιγράφει την τροχιά ενός κινούμενου σημείου συναρτήσει του χρόνου, τότε από τα παραπάνω εξασφαλίζεται πως η συνολική απόσταση που διανύει το σημείο προκύπτει ολοκληρώνοντας την ταχύτητά του στο χρόνο. Με μια τέτοια ιδιότητα είμαστε ήδη εξοικειωμένοι από την περίπτωση της ευθύγραμμης κίνησης ενός σημείου. Επιπλέον, γίνεται φανερό ότι το μήκος τόξου δεν εξαρτάται από το εκάστοτε σύστημα συντεταγμένων, παρά μόνο από τις τιμές της s στο αρχικό και το τελικό σημείο. 10

14 2.2 Φυσική παραμέτρηση καμπύλης r( a) r( a) (á) r( b) (â) r( b) r( a) r ( b ) r( a) r( b ) (ã) Σχήμα 2.2: α) Απλή και ανοιχτή καμπύλη, β) όχι απλή και ανοιχτή καμπύλη, γ) απλή και κλειστή καμπύλη, δ) όχι απλή και κλειστή καμπύλη. (ä) s( t) z r( t) r( a) r( t ) 0 O r( b) Σχήμα 2.3: Η παράμετρος μήκος τόξου. Παράδειγμα 2.2: Έστω η καμπύλη με t [0, 1]. Το συνολικό της μήκος είναι: L = = = = r(t) = e t cos ti + e t sin tj + e t k [ (t)] 2 + [ (t)] 2 + [z (t)] 2 dt ( e t sin t + e t cos t) 2 + (e t sin t + e t cos t) 2 + (e t ) 2 dt 2e 2t sin 2 t + 2e 2t cos 2 t + e 2t dt = 3e t dt = 3 [ e t] 1 0 = 3(e 1) 1 0 3e 2t dt 11

15 2. Καμπύλες Παραγωγίζοντας της συνάρτηση s(t) ως προς t, διαπιστώνεται ότι: ds(t) dt (d ) 2 = + dt ( ) d 2 + dt ( ) dz 2 = r (t) 0 dt Επομένως, αν η καμπύλη είναι λεία, θα ισχύει r (t) 0, οπότε πάντα θα είναι s (t) > 0. Η ιδιότητα αυτή εξασφαλίζει τη δυνατότητα αντιστροφής της συνάρτησης s(t) (αφού είναι γνησίως αύξουσα), με αποτέλεσμα να μπορεί να βρεθεί η συνάρτηση t = t(s) Επομένως, κάθε λεία καμπύλη r(t) μπορεί να εκφραστεί με τη βοήθεια της φυσικής παραμέτρου s: r(t(s)) = (t(s))i + (t(s))j + z(t(s))k = r(s) Η r(s) αποτελεί μια αναπαραμέτρηση της r(t) και διευκολύνει τη μελέτη των γεωμετρικών ιδιοτήτων των καμπυλών. 2.3 Το τρίεδρο του Frenet, καμπυλότητα, στρέψη Εφαρμόζοντας τον κανόνα της σύνθετης παραγώγισης στην r(s) = r(t(s)), διαπιστώνεται ότι: dr(s) ds = dr(t(s)) ds = dr(t) dt(s) dt ds δηλαδή τα διανύσματα dr/dt και dr/ds είναι παράλληλα. Εφόσον το r (t) είναι εφαπτόμενο στην καμπύλη, το ίδιο θα συμβαίνει και με το r (s). Επιπλέον, είναι dr(s) ds = dr(t) dt dt(s) ds = ds(t) dt(s) = 1 dt ds δηλαδή το r (s) είναι μοναδιαίο. Επομένως, το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα σε μια καμπύλη είναι το ϵ 0 (s) = dr ds = dr/dt ds/dt = dr/dt dr/dt = r r Για να περιγράφει η απόκλιση μιας καμπύλης σε ένα σημείο από την εφαπτόμενη ευθεία της σε εκείνο το σημείο (σχήμα 2.4), εισάγεται η έννοια της καμπυλότητας: Ορισμός 2.1 Η καμπυλότητα μιας λείας καμπύλης r = r(t) σε ένα σημείο της ορίζεται ως κ(s) = dϵ 0 (s) ds = dϵ 0 /dt dr/dt 0 και εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του εφαπτόμενου διανύσματος κατά μήκος της καμπύλης. Αποδεικνύεται πως η καμπυλότητα σε ένα σημείο μπορεί να υπολογιστεί και από τον τύπο κ = r (t) r (t) r (t) 3 12

16 2.3 Το τρίεδρο του Frenet, καμπυλότητα, στρέψη z 0 O Σχήμα 2.4: Ο ρυθμός μεταβολής του μοναδιαίου εφαπτόμενου διανύσματος πάνω σε μια καμπύλη περιγράφει το κατά πόσο καμπυλώνει τοπικά. Δεδομένου ότι το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα ϵ 0 (s) έχει σταθερό μέτρο, αποδεικνύεται εύκολα πως είναι πάντα κάθετο στην παράγωγό του¹, δηλαδή ϵ 0 (s) dϵ 0(s) ds = 0 Αυτό σημαίνει πως το dϵ 0 /ds είναι κάθετο στην εφαπτομένη της καμπύλης στο συγκεκριμένο σημείο. Το μέτρο του dϵ 0 /ds είναι, όπως είδαμε προηγουμένως, ίσο με την καμπυλότητα της σε εκείνο το σημείο. Έτσι, σε σημεία με μη μηδενική καμπυλότητα ορίζεται το πρώτο μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της καμπύλης ως εξής: n 0 (s) = 1 dϵ 0 (s) = dϵ 0/ds κ(s) ds dϵ 0 /ds το οποίο έχει πάντα κατεύθυνση προς την κοίλη πλευρά της καμπύλης. Αν δοθεί μια καμπύλη και ένα σημείο P πάνω στη, τότε ο κύκλος καμπυλότητας της στο P είναι εκείνος ο κύκλος που εφάπτεται στην καμπύλη στο P, έχει την ίδια καμπυλότητα με τη στο σημείο επαφής, το κέντρο του βρίσκεται στην εσωτερική (κοίλη) πλευρά της και έχει ακτίνα ίση με 1/κ (σχήμα 2.5). Από εδώ ορίζεται και η ακτίνα καμπυλότητας ρ της στο σημείο P: ρ = 1 κ Όπως διαπιστώνεται, αν το διάνυσμα θέσης του σημείου Ρ της καμπύλης είναι το r(s), τότε το διάνυσμα r(s) + 1 κ(s) n 0(s) αντιστοιχεί στο κέντρο του κύκλου καμπυλότητας, ο οποίος περιγράφει με τον καλύτερο τρόπο τη συμπεριφορά της καμπύλης στο σημείο P. Το δεύτερο μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της καμπύλης ορίζεται ως b 0 (s) = ϵ 0 (s) n 0 (s) το οποίο, βεβαίως, είναι εξ ορισμού κάθετο στα διανύσματα ϵ 0 και n 0. Η τριάδα των διανυσμάτων ϵ 0, n 0 και b 0 αποτελεί το λεγόμενο τρίεδρο του Frenet, αποτελεί μια ορθοκανονική βάση του R 3 ¹Για μια διανυσματική συνάρτηση p(s) με σταθερό μέτρο έχουμε: p(s) = c p(s) 2 = c 2 d ds [p(s)]2 = d ds c2 2p(s) p (s) = 0 13

17 2. Καμπύλες 1 0 P Σχήμα 2.5: Κύκλος καμπυλότητας. και ορίζει ένα τοπικό² σύστημα συντεταγμένων. Τα τρία διανύσματα συνδέονται με τις παρακάτω σχέσεις: ϵ 0 = n 0 b 0 b 0 = ϵ 0 n 0 n 0 = b 0 ϵ 0 Το διάνυσμα b 0 έχει σταθερό μέτρο (ίσο με 1), οπότε b 0 db 0 ds, με αποτέλεσμα το διάνυσμα db 0 ds να βρίσκεται στο επίπεδο των ϵ 0, n 0. Επιπλέον, b 0 ϵ 0 = 0 db 0 ds ϵ 0 + b 0 dϵ 0 ds = 0 db 0 ds ϵ 0 + b 0 (κn 0 ) = 0 δηλαδή db 0 ds ϵ 0 = 0 αφού b 0 n 0 = 0. Με άλλα λόγια, η παράγωγος του b 0 είναι διάνυσμα παράλληλο προς το n 0, οπότε ισχύει db 0 ds = σn 0 όπου το μέγεθος σ ονομάζεται στρέψη. Το αρνητικό πρόσημο είναι καθαρά θέμα σύμβασης. Πολλαπλασιάζοντας την προηγούμενη σχέση εσωτερικά με n 0, διαπιστώνεται εύκολα πως σ = db 0 ds n 0 Η στρέψη μιας καμπύλης υποδεικνύει το ρυθμό με τον οποίο η καμπύλη αποκλίνει από ένα (συγκεκριμένο σε κάθε σημείο) επίπεδο. Αποδεικνύεται πως μια καμπύλη με μηδενική στρέψη παντού είναι επίπεδη. Επιπλέον, ο υπολογισμός της στρέψης μπορεί να γίνει με βάση τους τύπους ή σ = (r (s) r (s)) r (s) r (s) 2 σ = (r (t) r (t)) r (t) r (t) r (t) 2 Οι παράγωγοι των ϵ 0 και b 0 είναι ήδη γνωστές. Για τον υπολογισμό της παραγώγου dn 0 /ds έχουμε: ²Δηλαδή μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο. dn 0 ds = d ds (b 0 ϵ 0 ) = db 0 ds ϵ 0 + b 0 dϵ 0 ds 14

18 2.3 Το τρίεδρο του Frenet, καμπυλότητα, στρέψη Åõèåéïðïéïýí åðßðåäï b 0 ÊÜèåôï åðßðåäï n 0 0 Åããýôáôï åðßðåäï Σχήμα 2.6: Τα επίπεδα που ορίζον σε ένα σημείο της καμπύλης τα διανύσματα ϵ 0, n 0, b 0. = σ (n 0 ϵ 0 ) + κ (b 0 n 0 ) = σb 0 κϵ 0 Οι παρακάτω τύποι είναι γνωστοί ως τύποι των Frenet-erret και συνδέουν τα τρία διανύσματα με τις παραγώγους τους: ϵ 0 0 κ 0 ϵ 0 d n 0 = κ 0 σ n 0 ds b 0 0 σ 0 b 0 Γίνεται φανερό πως ανά δύο τα διανύσματα ορίζουν ένα συγκεκριμένο επίπεδο, όπως απεικονίζεται στο σχήμα 2.6: το επίπεδο των n 0 και b 0 ονομάζεται κάθετο και περιέχει όλες τις ευθείες που είναι κάθετες στο εφαπτόμενο διάνυσμα, το επίπεδο των ϵ 0, n 0 ονομάζεται εγγύτατο (για μια επίπεδη καμπύλη, το εγγύτατο επίπεδο είναι αυτό που περιέχει την καμπύλη), το επίπεδο των ϵ 0, b 0 ονομάζεται ευθειοποιούν. Ας δούμε πως προκύπτουν οι διανυσματικές εξισώσεις των παραπάνω επιπέδων. Για παράδειγμα, το κάθετο επίπεδο είναι κάθετο στο διάνυσμα ϵ 0. Αν R είναι το διάνυσμα θέσης ενός τυχαίου σημείου του επιπέδου, τότε αναγκαστικά το διάνυσμα R r βρίσκεται πάνω στο επίπεδο, οπότε είναι κάθετο στο ϵ 0 : (R r) ϵ 0 = 0 Ομοίως, η διανυσματική εξίσωση για το ευθειοποιούν επιπέδου είναι (R r) n 0 = 0 ενώ για το εγγύτατο επίπεδο είναι (R r) b 0 = 0 15

19 2. Καμπύλες Τέλος, για τις εξισώσεις της εφαπτόμενης ευθείας, της πρώτης και της δεύτερης καθέτου, χρησιμοποιούμε τη διανυσματική εξίσωση R = r + tu, όπου R = (,, z) είναι το διάνυσμα θέσης ενός τυχαίου σημείο της ευθείας, r = ( 0, 0, z 0 ) το διάνυσμα θέσης ενός συγκεκριμένου σημείου απ όπου διέρχεται η ευθεία και u = (u, u, u z ) ένα διάνυσμα παράλληλο προς την ευθεία. Αναλύοντας τη γενική διανυσματική εξίσωση, έχουμε: = 0 + tu = 0 + tu z = z 0 + tu z και με απαλοιφή της παραμέτρου t οδηγούμαστε στην έκφραση της ευθείας ως τομή δύο επιπέδων. Οι ζητούμενες ευθείες τελικά έχουν τις ακόλουθες διανυσματικές εξισώσεις: Εφαπτομένη: R = r + tϵ 0 α κάθετος: R = r + tn 0 β κάθετος: R = r + tb 0 16

20 Κεφάλαιο 3 Επικαμπύλια ολοκληρώματα Για την ολοκλήρωση συναρτήσεων (πραγματικών ή διανυσματικών) πάνω σε καμπύλες εισάγεται η έννοια των επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων, τα οποία διαχωρίζονται σε α και β είδους. Τα επικαμπύλια ολοκληρώματα βρίσκουν εφαρμογές στην επίλυση διαφόρων προβλημάτων, όπως είναι ο υπολογισμός της μάζας (ή άλλων μεγεθών) ενός υλικού τόξου, η εύρεση του παραγόμενου έργου μιας δύναμης, ο προσδιορισμός της δυναμικής ενέργειας, η μελέτη της ροής ρευστών κ.α. Σε κάθε περίπτωση, ο υπολογισμός επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων ανάγεται στην επίλυση απλών ολοκληρωμάτων. 3.1 Επικαμπύλια ολοκληρώματα α είδους Ας θεωρήσουμε τη λεία καμπύλη του R 3 με εξίσωση r(t) = (t)i + (t)j + z(t)k όπου t [a, b] και άκρα τα σημεία A((a), (a), z(a)), B((b), (b), z(b)). Έστω ότι στα σημεία της καμπύλης ορίζεται μια συνάρτηση f τριών μεταβλητών, η οποία δεν είναι απαραίτητο να ορίζεται στα υπόλοιπα σημεία του χώρου. Εισάγοντας το σύνολο των σημείων {P 0 = A, P 1,..., P n 1, P n = B} πάνω στην καμπύλη, κατασκευάζεται μια διαμέριση D της, η οποία διαιρεί την καμπύλη σε n επιμέρους τόξα P i P i+1, όπως απεικονίζεται στο σχήμα 3.1. Τα τόξα αυτά δεν αλληλοεπικαλύπτονται και το καθένα έχει μήκος ίσο με s i > 0, i = 0,..., n 1. Γίνεται φανερό πως αυτή η διαμέριση της καμπύλης, η λεπτότητα της οποίας ορίζεται ως D = ma{ s i }, i = 0,..., n 1 προέρχεται από μια αντίστοιχη διαμέριση {t 0 = a, t 1,..., t n 1, t n = b} του διαστήματος [a, b], έτσι ώστε κάθε σημείο P i να έχει συντεταγμένες ((t i ), (t i ), z(t i )). Σε κάθε τόξο P i P i+1 επιλέγεται ένα ενδιάμεσο σημείο P i ( i, i, z i ) της καμπύλης, με αποτέλεσμα να μπορεί να κατασκευαστεί το άθροισμα n 1 n 1 f P s i = f( i i, i, zi ) s i i=0 i=0 Για το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδους της συνάρτησης f πάνω στην καμπύλη δίνεται ο παρακάτω ορισμός: 17

21 3. Επικαμπύλια ολοκληρώματα P0 A z P 1 P 2 s i P n 1 P B n P 1 P * i i P i O Σχήμα 3.1: Διαμέριση της καμπύλης. Ορισμός 3.1 Αν υπάρχει το όριο n 1 lim D 0 i=0 f( i, i, zi ) s i και είναι ανεξάρτητο από τις επιλογές της διαμέρισης D της καμπύλης και των ενδιάμεσων σημείων P i ( i, i, z i ), η συνάρτηση f λέγεται ολοκληρώσιμη κατά μήκος της καμπύλης με άκρα τα σημεία A, B και η τιμή του ορίου αποτελεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδους της συνάρτησης f κατά μήκος της. Οι συνήθεις συμβολισμοί είναι: B f(,, z) ds, f(,, z) ds, f(,, z) ds AB Όταν αναφέρονται στο σύμβολο του ολοκληρώματος μόνο το αρχικό και το τελικό σημείο, θα πρέπει να δηλώνεται και η καμπύλη, δεδομένου ότι η τιμή του ολοκληρώματος εξαρτάται από αυτήν. Η καμπύλη καλείται δρόμος ή καμπύλη ολοκλήρωσης. Στην περίπτωση που η καμπύλη ολοκλήρωσης είναι κλειστή, τότε για το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα χρησιμοποιείται ο συμβολισμός f(,, z) ds Μια γεωμετρική ερμηνεία μπορεί να δοθεί για τα επικαμπύλια ολοκληρώματα α είδους, όταν η καμπύλη είναι επίπεδη (αν βρίσκεται, για παράδειγμα, στο επίπεδο O) και η συνάρτηση f είναι θετική σε όλα τα σημεία της. Όπως μπορεί να διαπιστωθεί από το σχήμα 3.2, σε μια τέτοια περίπτωση κάθε όρος της μορφής f( i, i ) s i είναι περίπου ίσος με το εμβαδόν μιας λωρίδας, η οποία αποτελεί τμήμα συγκεκριμένης κυλινδρικής επιφάνειας. Τότε, λοιπόν, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα f(, ) ds ισούται με το εμβαδόν της κυλινδρικής επιφάνειας που προκύπτει, φέροντας από κάθε σημείο (,, 0) της ευθύγραμμα τμήματα με μήκος z = f(, ), παράλληλα προς τον άξονα των z. Εάν η συνάρτηση f παίρνει τόσο θετικές, όσο και αρνητικές τιμές πάνω στη, τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμά της αντικατοπτρίζει τη διαφορά των εμβαδών των τμημάτων της κυλινδρικής επιφάνειας που βρίσκονται πάνω και κάτω από το επίπεδο O. Εάν η καμπύλη περιγράφεται με τη φυσική της παραμέτρηση, δηλαδή : = (s), = (s), z = z(s) με s 1 s s 2, τότε ο υπολογισμός του επικαμπύλιου ολοκληρώματος γίνεται ως ακολούθως: s2 f(,, z) ds = f((s), (s), z(s)) ds s 1 18 A

22 3.1 Επικαμπύλια ολοκληρώματα α είδους z O f (,) (,) Σχήμα 3.2: Γεωμετρική ερμηνεία επικαμπύλιου ολοκληρώματος, όταν η διαδρομή ολοκλήρωσης είναι επίπεδη καμπύλη. Από εδώ διαπιστώνεται πως για f(,, z) = 1 ισχύει s2 1 ds = ds = s 2 s 1 s 1 δηλαδή το ολοκλήρωμα ds προσδιορίζει το συνολικό μήκος της καμπύλης. Ας αναφερθούμε τώρα στην πιο γενική περίπτωση, όπου η καμπύλη δίνεται με μια τυχαία παραμέτρηση, δηλαδή : = (t), = (t), z = z(t) με a t b. Τότε, για το μήκος s i του τόξου P i P i+1 διαπιστώνεται ότι s i ( i ) 2 + ( i ) 2 + ( z i ) 2 ( i ) 2 ( ) 2 ( ) 2 i zi = + + t i t i t i t i όπου με i, i και z i συμβολίζονται οι μεταβολές των αντίστοιχων συντεταγμένων των σημείων P i ( i, i, z i ) και P i+1 ( i+1, i+1, z i+1 ). Η παραπάνω παρατήρηση έχει ως αποτέλεσμα το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδους να υπολογίζεται με τον ακόλουθο τρόπο: ή, πιο συνοπτικά, f(,, z) ds = b a (d ) 2 f((t), (t), z(t)) + dt f(,, z) ds = b a ( ) d 2 + dt f((t), (t), z(t)) r (t) dt ( ) dz 2 dt dt Αντίστοιχα, αν η καμπύλη είναι επίπεδη, για παράδειγμα της μορφής r(t) = ((t), (t)) και η f είναι συνάρτηση των και, ο υπολογισμός του επικαμπύλιου ολοκληρώματος έχει ως εξής: f(, ) ds = b a (d ) 2 f((t), (t)) + dt ( ) d 2 dt dt ή, ισοδύναμα, f(, ) ds = b a f((t), (t)) r (t) dt 19

23 3. Επικαμπύλια ολοκληρώματα Ειδικότερα, η επίπεδη καμπύλη ενδέχεται να αποτελεί το γράφημα μιας συνάρτησης = () με [ 1, 2 ]. Τότε μια διανυσματική της περιγραφή είναι r() = (, ()), οπότε r () = (1, ()) και r () = 1 + [ ()] 2 με αποτέλεσμα f(, ) ds = 2 1 f(, ()) 1 + [ ()] 2 d Συνοψίζοντας, τα βασικά βήματα που ακολουθούνται στον υπολογισμό επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων α είδους είναι τα ακόλουθα: 1) η καμπύλη ολοκλήρωσης εκφράζεται διανυσματικά ως r = r(t), 2) υπολογίζεται η παράγωγος r (t), 3) υπολογίζεται το μέτρο της, r (t), 4) η συνάρτηση που ολοκληρώνεται εκφράζεται ως προς την παράμετρο t, 5) υπολογίζεται το επικαμπύλιο με τη βοήθεια του κατάλληλου απλού ολοκληρώματος. Παράδειγμα 3.1: Θα υπολογίσουμε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ( 2 + z ) ds πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα σημεία (0, 0, 0) και (1, 1, 2). Κατά τα γνωστά, η διανυσματική περιγραφή της συγκεκριμένης ευθείας είναι: (,, z) (0, 0, 0) = t(1, 1, 2) με αποτέλεσμα r(t) = ti + tj + 2tk όπου t [0, 1]. Είναι r (t) = i + j + 2k, άρα r (t) = = = 6 Τελικά: ( 2 + z ) 1 ( ds = t 2 + t2t ) 6 dt = t 2 dt = 6 [ t 3] 1 0 = 6(1 0) = 6 Μια χαρακτηριστική ιδιότητα των επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων α είδους αναφέρεται στην ανεξαρτησία της τιμής τους από τη φορά διαγραφής της διαδρομής ολοκλήρωσης. Έτσι, πάνω σε μια καμπύλη με άκρα τα σημεία A και B ισχύει B A f(,, z) ds = 20 A B f(,, z) ds

24 3.1 Επικαμπύλια ολοκληρώματα α είδους z n A 2 n 1 B 1 O 3 Σχήμα 3.3: Τμηματικά λεία καμπύλη. και οφείλεται στο γεγονός ότι σε κάθε περίπτωση είναι s i > 0 (αφού παριστάνει μήκος). Η συγκεκριμένη ιδιότητα μπορεί να περιγραφεί και ως εξής: f(,, z) ds = f(,, z) ds όπου με συμβολίζεται η καμπύλη που έχει την ίδια απεικόνιση με τη, αλλά έχει αντεστραμμένα τα άκρα. Επιπλέον, μερικές βασικές ιδιότητες των επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων α είδους αναφέρονται παρακάτω: [κf(,, z) + λg(,, z)] ds = κ f(,, z) ds + λ g(,, z) ds αν πάνω στην καμπύλη είναι f(,, z) 0, τότε f(,, z) ds 0 αν πάνω στην καμπύλη είναι f(,, z) g(,, z), τότε f(,, z) ds g(,, z) ds αν η καμπύλη αποτελεί την ένωση διαδοχικών τόξων 1, 2,..., n, όπως στο σχήμα 3.3, τότε n f(,, z) ds = f(,, z) ds i=1 i f(,, z) ds f(,, z) ds, Το θεώρημα μέσης τιμής για επικαμπύλια ολοκληρώματα διατυπώνεται ως εξής: Θεώρημα 3.1 Αν η συνάρτηση f(,, z) είναι ολοκληρώσιμη στην καμπύλη και l είναι το μήκος της καμπύλης, τότε υπάρχει σημείο (,, z ) της, τέτοιο ώστε f(,, z ) = 1 f(,, z) ds l 21

25 3. Επικαμπύλια ολοκληρώματα Σχήμα 3.4: Σε κλειστή καμπύλη η τιμή του επικαμπύλιου ολοκλήρωματος α είδους δεν εξαρτάται από την επιλογή του αρχικού σημείου. Όταν η καμπύλη ολοκλήρωσης είναι κλειστή, η τιμή του επικαμπύλιου ολοκληρώματος είναι ανεξάρτητη από το σημείο αφετηρίας. Με άλλα λόγια, για την καμπύλη του σχήματος 3.4 ισχύει f(,, z) ds = f(,, z) ds ABΓA = f(,, z) ds BΓAB = f(,, z) ds ΓABΓ Προχωρώντας σε μια σύντομη αναφορά σε εφαρμογές, ας θεωρήσουμε ότι η καμπύλη παριστάνει ένα υλικό σώμα, με πυκνότητα μάζας που περιγράφεται από μια συνάρτηση δ(,, z) στα σημεία (,, z) της καμπύλης. Η συνολική μάζα του σώματος υπολογίζεται από το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα M = δ(,, z) ds ενώ οι πρώτες ροπές δίνονται, αντίστοιχα, από τους τύπους M z = δ(,, z) ds M z = δ(,, z) ds M = z δ(,, z) ds Το κέντρο μάζας του σώματος βρίσκεται στο σημείο ( 0, 0, z 0 ) με 0 = M z M, 0 = M z M, z 0 = M M Οι ροπές αδρανείας ως προς τους άξονες,, z είναι, αντίστοιχα, ( I = 2 + z 2) δ(,, z) ds ( I = 2 + z 2) δ(,, z) ds ( I z = 2 + 2) δ(,, z) ds Τέλος, η ροπή αδρανείας ως προς την αρχή των αξόνων υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα ( I 0 = z 2) δ(,, z) ds 22

26 3.2 Επικαμπύλια ολοκληρώματα β είδους B B 1 = 2 1 A A Σχήμα 3.5: Δύο καμπύλες με την ίδια εικόνα αλλά διαφορετικό προσανατολισμό. 3.2 Επικαμπύλια ολοκληρώματα β είδους Στα ολοκληρώματα αυτής της κατηγορίας, τα οποία αναφέρονται σε διανυσματικές συναρτήσεις, ιδιαίτερη σημασία αποκτάει η έννοια του προσανατολισμού της καμπύλης ολοκλήρωσης. Έστω η λεία καμπύλη r(t) = (t)i + (t)j + z(t)k με t [a, b] και άκρα τα σημεία A και B με συντεταγμένες ((a), (a), z(a)) και ((b), (b), z(b)), αντίστοιχα. Η καμπύλη χαρακτηρίζεται ως προσανατολισμένη, όταν έχει αντιστοιχιστεί σε αυτήν μια έννοια κατεύθυνσης, η οποία μπορεί να είναι από το A στο B ή από το B στο A (σχήμα 6.9). Ο προσανατολισμός μιας λείας καμπύλης μπορεί να περιγραφεί με ένα μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα. Αν αυτό ταυτίζεται σε κάθε σημείο με το ϵ 0 (t) = r (t)/ r (t), τότε η φορά διαγραφής της καμπύλης είναι η θετική και ακολουθεί τις αυξανόμενες τιμές της μεταβλητής t. Στην αντίθετη περίπτωση, η φορά διαγραφής της καμπύλης λέγεται αρνητική. Ας θεωρήσουμε τώρα τη διανυσματική συνάρτηση F : A R 3 R 3 που έχει τη μορφή F(,, z) = P (,, z)i + Q(,, z)j + R(,, z)k και ορίζεται στα σημεία της καμπύλης (η F χαρακτηρίζεται επιπλέον ως διανυσματικό πεδίο, όπως θα δούμε αναλυτικότερα στο επόμενο κεφάλαιο). Με τη βοήθεια του συνόλου σημείων {P 0 = A, P 1,..., P n = B}, η καμπύλη μπορεί να χωριστεί σε επιμέρους διαδοχικά τόξα μήκους s i το καθένα. Κάθε διάνυσμα με άκρα δύο τέτοια διαδοχικά σημεία είναι της μορφής P i P i+1 = i i + i j + z i k όπου i = i+1 i, i = i+1 i και z i = z i+1 z i. Εισάγοντας τα ενδιάμεσα σημεία P i ( i, i, z i ), όπου το καθένα από αυτά είναι σημείο της καμπύλης μεταξύ των P i και P i+1, μπορούμε να κατασκευάσουμε τα τρία ακόλουθα αθροίσματα: n 1 P ( i, i, zi ) i, i=0 n 1 Q( i, i, zi ) i, i=0 n 1 R( i, i, zi ) z i i=0 Αν υπάρχουν τα όρια των παραπάνω αθροισμάτων καθώς ma{ s i } 0 (οπότε n + ), τότε οι τιμές τους αποτελούν τα επικαμπύλια ολοκληρώματα β είδους των συναρτήσεων P (,, z), Q(,, z), R(,, z) κατά,, z, αντίστοιχα, πάνω στην καμπύλη και συμβολίζονται με P (,, z) d, Q(,, z) d, R(,, z) dz 23

27 3. Επικαμπύλια ολοκληρώματα z P0 A z i P 1 P 2 s i P n 1 P P B n i 1 P i i * P i O i Σχήμα 3.6: Διαμέριση λείας καμπύλης για τον ορισμό επικαμπύλιου ολοκληρώματος β είδους. Το άθροισμα αυτών των τριών ολοκληρωμάτων αποτελεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα β είδους της διανυσματικής συνάρτησης F στην καμπύλη : P (,, z) d + Q(,, z) d + R(,, z) dz = P d + Q d + R dz Δεδομένου ότι οι παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης είναι = (t), = (t), z = z(t), με t [a, b], αποδεικνύεται ότι τα επικαμπύλια ολοκληρώματα υπολογίζονται ως ακολούθως: Επομένως: οπότε P (,, z) d = Q(,, z) d = R(,, z) dz = P d + Q d + R dz = b a b a b a b a P ((t), (t), z(t)) (t) dt Q((t), (t), z(t)) (t) dt R((t), (t), z(t))z (t) dt [ P (t) + Q (t) + Rz (t) ] dt Για τη συνάρτηση που ολοκληρώνεται στο τελευταίο ολοκλήρωμα διαπιστώνεται ότι: P (t) + Q (t) + Rz (t) = (P, Q, R) ( (t), (t), z (t)) = F r (t) P d + Q d + R dz = b a F r (t) dt = b a F dr Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα β είδους μιας διανυσματικής συνάρτησης ανάγεται σε επικαμπύλιο α είδους, ακολουθώντας το παρακάτω σκεπτικό: b a F r (t)dt = b a 24 F r (t) r r (t) dt (t)

28 3.2 Επικαμπύλια ολοκληρώματα β είδους = = b a b a F ϵ 0 (t) r (t) dt F ϵ r (t) dt όπου ϵ 0 (t) το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης και F ϵ η εφαπτομενική συνιστώσα της F κατά μήκος της. Σημειώνεται ότι είναι πάντα r (t) = 0, όταν η διαδρομή ολοκλήρωσης είναι λεία καμπύλη. Επομένως, μπορούμε να πούμε πως το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα β είδους ενός διανυσματικού πεδίου κατά μήκος μιας καμπύλης είναι το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδους της εφαπτομενικής συνιστώσας του. Παράδειγμα 3.2: Παρακάτω υπολογίζεται το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα (2,4) (1,1) ( + ) d + ( )d κατά μήκος της καμπύλης = 2. Οι παραμετρικές εξισώσεις της διαδρομής ολοκλήρωσης είναι: { = = 2 με [1, 2]. Επιπλέον: { οπότε (2,4) (1,1) ( + ) d + ( ) d = = = 20 3 = 1 = 2 [( + 2 ) 1 + ( 2 )2 ] d ( ) d = [ ] Οι πιο βασικές ιδιότητες των επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων β είδους είναι οι παρακάτω: Η τιμή τους εξαρτάται από τη φορά διαγραφής της καμπύλης ολοκλήρωσης και ισχύει B A F dr = A B F dr ή, σύμφωνα με το συμβολισμό που χρησιμοποιήθηκε στην προηγούμενη παράγραφο, F dr = F dr Το γεγονός ότι ανάγονται σε επικαμπύλια ολοκληρώματα α είδους δεν έρχεται σε αντίθεση με τη συγκεκριμένη ιδιότητα των επικαμπύλιων β είδους, διότι η αντιστροφή της καμπύλης ολοκλήρωσης ουσιαστικά συνεπάγεται την αλλαγή του προσήμου της εφαπτομενικής συνιστώσας του F (στην περίπτωση αρνητικής φοράς διαγραφής, η εφαπτομενική συνιστώσα αντιστοιχεί στην προβολή του F στο ϵ 0 ). 25

29 3. Επικαμπύλια ολοκληρώματα B F 1 F 2 B A A Σχήμα 3.7: Για τα δύο πεδία αναμένεται να ισχύει F 1 dr > F 2 dr. Η τιμή τους είναι ανεξάρτητη της παραμέτρησης της καμπύλης, αρκεί ο προσανατολισμός της να παραμένει ο ίδιος, γεγονός που απαιτεί τα αρχικά και τα τελικά σημεία των παραμετρήσεων να ταυτίζονται. Δύο από τις κύριες εφαρμογές των επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων β είδους αναφέρονται στο έργο δύναμης και τη ροή ενός διανυσματικού πεδίου. Για παράδειγμα, αν F είναι ένα πεδίο δυνάμεων και r(t) μια καμπύλη με άκρα τα σημεία A και B, πάνω στην οποία κινείται ένα σώμα, τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα F dr ισούται με το έργο που παράγεται κατά τη μετατόπιση του σώματος από το A στο B πάνω στη (αυτό προκύπτει θεωρώντας ως δεδομένο το ότι το έργο μιας σταθερής δύναμης F κατά μήκος μιας μετατόπισης που περιγράφεται από το διάνυσμα AB είναι ίσο με F AB). Δηλαδή: W A B = B A F dr = B A P d + B A Q d + Επομένως, το συνολικό έργο ισούται με το άθροισμα των έργων των επιμέρους συνιστωσών. Από την άλλη πλευρά, αν η συνάρτηση F(,, z) παριστάνει την ταχύτητα ενός ρευστού συναρτήσει της θέσης, τότε κατά μήκος μίας καμπύλης μπορεί να βρεθεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα F dr. Το ολοκλήρωμα αυτό αποτελεί τη ροή του πεδίου F κατά μήκος της καμπύλης και ουσιαστικά αντιστοιχεί στην τάση του ρευστού να μετατοπίζεται παράλληλα προς τη συγκεκριμένη καμπύλη (σχήμα 3.7). Ειδικά στην περίπτωση που η καμπύλη είναι κλειστή, το ολοκλήρωμα F dr αποτελεί την κυκλοφορία του F κατά μήκος της. B A R dz 26

30 Κεφάλαιο 4 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία 4.1 Γενικά Η έννοια του πεδίου σχετίζεται με τον προσδιορισμό ενός μεγέθους που περιγράφει κάποιο φυσικό φαινόμενο, σε κάθε σημείο του φυσικού χώρου. Τα πεδία χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, τα βαθμωτά και τα διανυσματικά. Ένα βαθμωτό πεδίο στο χώρο περιγράφεται από μια πραγματική συνάρτηση ϕ : A R 3 R (π.χ. η πυκνότητα μάζας ενός σώματος, η θερμοκρασία του κ.α.). Από την άλλη πλευρά, ένα διανυσματικό πεδίο αντιστοιχίζει ένα διάνυσμα σε κάθε σημείο του χώρου και δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια διανυσματική συνάρτηση F : A R 3 R 3 (π.χ. η ταχύτητα ενός ρευστού, η ένταση της δύναμης γύρω από ένα ηλεκτρικά φορτισμένο σώμα κ.α.). Φυσικά είναι δυνατόν ένα πεδίο να υπάρχει μόνο στο επίπεδο, δηλαδή να ορίζεται σε υποσύνολο του R 2. Παράδειγμα 4.1: Στα σχήματα 4.1(α) και 4.1(β) απεικονίζονται τα διανυσματικά πεδία F(, ) = i j και G(,, z) = 1 (i + j + zk) z2 σχεδιάζοντας σε επιλεγμένα σημεία του επιπέδου και του χώρου τα αντίστοιχα διανύσματα. Για μια πληρέστερη περιγραφή των διανυσματικών πεδίων εισάγεται η έννοια των διανυσματικών γραμμών. Αυτές είναι καμπύλες, σε κάθε σημείο των οποίων η εφαπτόμενη ευθεία έχει την ίδια διεύθυνση με το διανυσματικό πεδίο που ορίζεται σε εκείνο το σημείο (σχήμα 4.2). Για να προσδιορίσουμε τη γενική τους μορφή, έστω ότι η συνάρτηση r(t) = (t)i+(t)j+z(t)k περιγράφει μια διανυσματική γραμμή ενός πεδίου F. Τότε τα εφαπτόμενα διανύσματά της για διάφορες τιμές της παραμέτρου t είναι τα r (t) = (t)i + (t)j + z (t)k. Για να είναι αυτά παράλληλα προς τα F(,, z) = P (,, z)i + Q(,, z)j + R(,, z)k, θα πρέπει να ισχύει r (t) = λf με λ 0, ή ισοδύναμα d d dz = λp (,, z), = λq(,, z), = λr(,, z) dt dt dt Συνεπώς, οι διανυσματικές γραμμές προκύπτουν επιλύοντας το σύστημα d P (,, z) = d Q(,, z) = dz R(,, z) 27

31 4. Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία z (α) (β) 1 Σχήμα 4.1: Απεικόνιση των διανυσματικών πεδίων (α) F(, ) = i j και (β) G(,, z) = (i z 2 j + zk). Παράδειγμα 4.2: Στην περίπτωση του πεδίου F(, ) = i j (σχήμα 4.1(α)), οι διανυσματικές γραμμές θα προκύψουν από τη λύση της εξίσωσης d = d απ όπου έχουμε d = d με αποτέλεσμα = c 1 δηλαδή = c 2. Άρα οι διανυσματικές γραμμές του συγκεκριμένου πεδίου είναι κύκλοι με κέντρο το σημείο (0, 0). 4.2 Κλίση, απόκλιση, περιστροφή Όταν έγινε αναφορά στην έννοια της παραγώγου κατά κατεύθυνση μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών, χρησιμοποιήθηκε στους υπολογισμούς το διάνυσμα κλίσης της συνάρτησης, ο ορισμός του οποίου επαναλαμβάνεται εδώ για λόγους πληρότητας: Ορισμός 4.1 Κλίση (grad) ενός βαθμωτού πεδίου ϕ(,, z) ονομάζεται το διανυσματικό πεδίο grad ϕ = ϕ i + ϕ j + ϕ z k = ϕ 28

32 4.2 Κλίση, απόκλιση, περιστροφή P 4 F P 4 P 1 F P 1 P 2 r( t ) 2 P 3 F P 2 r( t ) 1 F P 3 r( t ) 3 r( t ) 4 O Σχήμα 4.2: Διανυσματική γραμμή του πεδίου F. Παράδειγμα 4.3: Έστω το διανυσματικό πεδίο r(,, z) = i + j + zk Τότε η κλίση του μέτρου του, όταν (,, z) (0, 0, 0), είναι: ( ) r = z 2 = = = ( ) z 2 i + ( ) z 2 j + ( ) z z 2 k z 2 i + i + j + zk z 2 = r r z 2 j + z z 2 k δηλαδή ισούται σε κάθε σημείο με το μοναδιαίο ακτινικό διάνυσμα. Στην έκφραση της κλίσης χρησιμοποιήθηκε ο τελεστής (ανάδελτα) που ορίζεται ως = i + j + k z και με τη βοήθειά του θα εκφραστούν στη συνέχεια τόσο η απόκλιση, όσο και η περιστροφή διανυσματικών πεδίων. Το εσωτερικό γινόμενο με τον εαυτό του οδηγεί στον τελεστή του Laplace¹: ο οποίος εφαρμόζεται σε βαθμωτά, ¹Η εξίσωση 2 ϕ = 0 ονομάζεται εξίσωση Laplace. 2 = = z 2 2 ϕ = 2 ϕ ϕ ϕ z 2 29

33 4. Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία και διανυσματικά πεδία: 2 F = ( 2 P ) i + ( 2 Q ) j + ( 2 R ) k όπου F = P i + Qj + Rk. Υπενθυμίζεται ότι το διάνυσμα κλίσης μιας συνάρτησης προσδιορίζει την κατεύθυνση όπου μεγιστοποιείται ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης, ενώ το μέτρο του είναι ίσο με τη μέγιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής. Επιπλέον, το διάνυσμα ϕ είναι πάντα κάθετο στην ισοσταθμική επιφάνεια ϕ(,, z) = c, σε οποιοδήποτε σημείο P(,, z) αυτής. Όντως, αν r(t) = (t)i+(t)j+z(t)k είναι μια καμπύλη πάνω στην ισοσταθμική, τότε οι συντεταγμένες των σημείων της θα ικανοποιούν την εξίσωση ϕ((t), (t), z(t)) = c Παραγωγίζοντας ως προς t, προκύπτει ότι ή δηλαδή ϕ (t) + ϕ (t) + ϕ z z (t) = 0 ( ϕ, ϕ, ϕ ) ( (t), (t), z (t) ) = 0 z ϕ r (t) = 0 οπότε τα διανύσματα ϕ, r (t) είναι κάθετα μεταξύ τους. Θεωρώντας διάφορες καμπύλες πάνω στη ϕ(,, z) = c που διέρχονται από το σημείο P, τα αντίστοιχα διανύσματά τους r (t) ορίζουν το εφαπτόμενο επίπεδο στο σημείο αυτό. Επομένως, το διάνυσμα ϕ είναι κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο και, κατ επέκταση, κάθετο στη συγκεκριμένη ισοσταθμική στο P. Ορισμός 4.2 Περιστροφή ή στροβιλισμός (rot ή curl) ενός διανυσματικού πεδίου F(,, z) = P (,, z)i + Q(,, z)j + R(,, z)k ονομάζεται το διανυσματικό πεδίο ( R rot F = Q ) ( P i + z z R ) ( Q j + P ) k = F Για τον υπολογισμό της περιστροφής ενός διανυσματικού πεδίου F = P i + Qj + Rk χρησιμοποιείται συνήθως ο μνημονικός τύπος i j k F = z P Q R με την ορίζουσα να αναπτύσσεται ως προς την πρώτη σειρά. Ένα πεδίο με μηδενική περιστροφή ονομάζεται αστρόβιλο, όπως είναι, για παράδειγμα, το F = i + 3j (σχήμα 4.3). Παράδειγμα 4.4: Έστω το διανυσματικό πεδίο F(,, z) = 2 3 i + zj + sin()k. Η περιστροφή του σε ένα τυχαίο σημείο είναι: i j k F = z = [ cos() 1] i cos()j + ( 3 2 2) k 2 3 z sin() Επομένως, στο σημείο (0, 1, 1) η περιστροφή του F ισούται με F (0,1,1) = i j 30

34 4.2 Κλίση, απόκλιση, περιστροφή Σχήμα 4.3: Το διανυσματικό πεδίο F = i + 3j. Μερικές βασικές ιδιότητες της περιστροφής δίνονται στη συνέχεια: (c 1 F + c 2 G) = c 1 F + c 2 G, (ϕf) = ϕ( F) + ( ϕ) F, ( F) = ( F) 2 F, ( ϕ) = 0. Ορισμός 4.3 Απόκλιση (div) ενός διανυσματικού πεδίου F(,, z) = P (,, z)i+q(,, z)j+ R(,, z)k ονομάζεται η βαθμωτή συνάρτηση div F = P + Q + R z = F Ένα πεδίο με μηδενική απόκλιση ονομάζεται σωληνοειδές ή ασυμπίεστο, όπως είναι, για παράδειγμα, το F = 2 i + 2 j (σχήμα 4.4). Παράδειγμα 4.5: Διαπιστώνεται άμεσα ότι παντού το διανυσματικό πεδίο r(,, z) = i + j + zk έχει σταθερή απόκλιση, αφού r = + + z z = = 3 Μερικές βασικές ιδιότητες της απόκλισης είναι οι ακόλουθες: (c 1 F + c 2 G) = c 1 F + c 2 G, (ϕf) = ϕ( F) + ( ϕ) F, (F G) = G ( F) F ( G), ( F) = 0. 31

35 4. Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία Σχήμα 4.4: Το διανυσματικό πεδίο F = 2 i + 2 j. 4.3 Συντηρητικά πεδία, βαθμωτό και διανυσματικό δυναμικό Ορισμός 4.4 Έστω ένα διανυσματικό πεδίο F(,, z) = P (,, z)i + R(,, z)j + Q(,, z)k. Το F ονομάζεται συντηρητικό, αν υπάρχει βαθμωτό πεδίο ϕ(,, z), τέτοιο ώστε να ισχύει F(,, z) = ϕ(,, z) Αν F = ϕ, η συνάρτηση ϕ(,, z) αποτελεί τη συνάρτηση δυναμικού ή το βαθμωτό δυναμικό του πεδίου F(,, z). Η συνάρτηση δυναμικού δεν είναι μοναδική, καθώς αν ισχύει ϕ = F, τότε και (ϕ + c) = F, c R. Αυτό απλά σημαίνει ότι και η ϕ(,, z) + c αποτελεί συνάρτηση δυναμικού του πεδίου F. Με βάση αυτά που ειπώθηκαν στην προηγούμενη ενότητα, η περιστροφή ενός διανυσματικού πεδίου που προέρχεται από βαθμωτό δυναμικό είναι πάντα ίση με 0: F = ( ϕ) = 0 Επομένως, τα συντηρητικά πεδία είναι αστρόβιλα. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά, δηλαδή αστρόβιλα πεδία δεν είναι απαραίτητα και συντηρητικά. Ωστόσο, οι έννοιες του αστρόβιλου και του συντηρητικού πεδίου συμπίπτουν σε απλά συνεκτικούς τόπους. Ορισμός 4.5 Ένας τόπος ονομάζεται απλά συνεκτικός, αν μια οποιαδήποτε απλή κλειστή καμπύλη του τόπου μπορεί να μετασχηματιστεί με συνεχή τρόπο (παραμένοντας στον τόπο) σε σημείο αυτού (σχήμα 4.5(α)). Πρακτικά, ένας τόπος είναι απλά συνεκτικός, όταν δεν έχει τρύπες. Ένας τόπος που δεν είναι απλά συνεκτικός λέγεται πολλαπλά συνεκτικός, όπως είναι ο τόπος του σχήματος 4.5(β). Για τον υπολογισμό της συνάρτησης δυναμικού ενός συντηρητικού πεδίου εργαζόμαστε ως εξής: αν F = P i + Qj + Rk και ϕ = ϕ i + ϕ j + ϕ z k, για να είναι F = ϕ θα πρέπει να ισχύει ϕ ϕ = P (,, z), = Q(,, z), ϕ 32 z = R(,, z)

36 4.3 Συντηρητικά πεδία, βαθμωτό και διανυσματικό δυναμικό (α) (β) Σχήμα 4.5: (α) Απλά συνεκτικός τόπος, (β) πολλαπλά συνεκτικός τόπος. οπότε επιλύεται το παραπάνω σύστημα των διαφορικών εξισώσεων. Εναλλακτικά, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο τύπος: ϕ(,, z) = 0 P (t,, z) dt + t A tb 0 Q( 0, t, z) dt + z z 0 R( 0, 0, t) dt όπου το σημείο ( 0, 0, z 0 ) είναι ένα σημείο αναφοράς και επιλέγεται αυθαίρετα. Διαφορετικές επιλογές του σημείου αναφοράς καταλήγουν σε συναρτήσεις δυναμικού που διαφέρουν μεταξύ τους μόνο κατά μία σταθερά. Στη συνέχεια θα δείξουμε μια χαρακτηριστική ιδιότητα των συντηρητικών πεδίων που σχετίζεται με την ολοκλήρωσή τους πάνω σε καμπύλες. Έστω το συντηρητικό πεδίο F και ϕ ένα δυναμικό του, δηλαδή F(,, z) = ϕ(,, z). Αν ολοκληρωθεί το διανυσματικό πεδίο κατά μήκος μιας καμπύλης που περιγράφεται από τη διανυσματική συνάρτηση r(t) και έχει άκρα τα σημεία A και B, θα έχουμε: tb F dr = F dr t A dt dt tb ( ϕ = t A i + ϕ j + ϕ ) ( d z k dt i + d dt j + dz ) dt k dt tb ( ϕ d = dt + ϕ d dt + ϕ ) dz dt z dt = t A dϕ dt dt = ϕ B ϕ A δηλαδή μπορούμε να γράψουμε ϕ dr = ϕ B ϕ A Επομένως, η τιμή του επικαμπύλιου ολοκληρώματος ενός συντηρητικού πεδίου δεν εξαρτάται από τη διαδρομή ολοκλήρωσης, παρά μόνο από το αρχικό και τελικό σημείο. Με βάση την ιδιότητα αυτή διαπιστώνεται άμεσα πως αν το F είναι συντηρητικό πεδίο, τότε κάθε επικαμπύλιο ολοκλήρωμά του κατά μήκος κλειστής καμπύλης είναι ίσο με μηδέν: F dr = 0 Συνοπτικά, σε απλά συνεκτικούς τόπους οι παρακάτω συνθήκες είναι ισοδύναμες: 33

37 4. Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία F = ϕ, F = 0, η τιμή του F dr = 0. F dr εξαρτάται μόνο από το αρχικό και το τελικό σημείο, Παράδειγμα 4.6: Έστω το διανυσματικό πεδίο F = ( 2cz + 2) i + (b + cz) j + ( c 2 + 2) k Υπό την προϋπόθεση ότι αυτό είναι συντηρητικό, αναζητούμε τις τιμές των σταθερών b και c. Εφόσον το πεδίο ορίζεται παντού στον R 3, αρκεί να απαιτήσουμε να είναι αστρόβιλο. Έτσι, έχουμε: i j k F = z 2cz + 2 b + cz c = (2 c) i (2c 2c) j + (b 2) k = 0 Επομένως, διαπιστώνεται ότι b = c = 2 και το πεδίο έχει τη μορφή F = ( 4z + 2) i + (2 + 2z) j + ( ) k Μια συνάρτηση δυναμικού του μπορεί να βρεθεί ως εξής: ϕ(,, z) = 0 ( 4tz + 2 ) dt + (0 + 2tz) dt + 0 z 0 (0 + 0) dt = 2 2 z z Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του F από το σημείο (0, 0, 0) στο σημείο (1, 1, 1), τότε απλά έχουμε: (1,1,1) (0,0,0) F dr = ϕ(1, 1, 1) ϕ(0, 0, 0) = = 4 Προηγουμένως έγινε αναφορά στα σωληνοειδή διανυσματικά πεδία. Ένα ισοδύναμος ορισμός είναι ο ακόλουθος: Ορισμός 4.6 Το διανυσματικό πεδίο F = P (,, z)i + Q(,, z)j + R(,, z)k ονομάζεται σωληνοειδές ή ασυμπίεστο, αν υπάρχει διανυσματικό πεδίο A(,, z), τέτοιο ώστε να ισχύει F(,, z) = A(,, z) Στην περίπτωση αυτή το A ονομάζεται διανυσματικό δυναμικό. Ο ισοδύναμος ορισμός οφείλεται στην ταυτότητα F(,, z) = [ A(,, z)] = 0 34

38 4.3 Συντηρητικά πεδία, βαθμωτό και διανυσματικό δυναμικό Αν ισχύει F = A, το δυναμικό A δεν είναι μοναδικό. Για παράδειγμα, για το διανυσματικό πεδίο A + ψ, όπου ψ κάποιο βαθμωτό πεδίο, ισχύει: (A + ψ) = A + ψ = A + 0 = F Με άλλα λόγια, και κάθε πεδίο της μορφής A + ψ αποτελεί διανυσματικό δυναμικό του F. 35

39 4. Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία 36

40 Κεφάλαιο 5 Το θεώρημα του Green Το θεώρημα του Green είναι το πρώτο από τα τρία βασικά ολοκληρωτικά θεωρήματα της Διανυσματικής Ανάλυσης, εφαρμόζεται στο επίπεδο και παρέχει έναν εναλλακτικό τρόπο υπολογισμού επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων. Ουσιαστικά συσχετίζει το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ενός διανυσματικού πεδίου κατά μήκος μιας κλειστής επίπεδης καμπύλης με ένα διπλό ολοκλήρωμα, υπολογιζόμενο στον τόπο του οποίου το σύνορο είναι η κλειστή καμπύλη. 5.1 Το θεώρημα Green σε απλά συνεκτικούς τόπους Ας θεωρήσουμε μια επίπεδη, απλή και κλειστή καμπύλη, η οποία αποτελεί το σύνορο ενός απλά συνεκτικού επίπεδου τόπου D. Ως θετική φορά διαγραφής της θεωρούμε εκείνη κατά την οποία κινούμενοι πάνω στην καμπύλη, αφήνουμε στα αριστερά τα εσωτερικά σημεία του D (σχήμα 5.1). Το θεώρημα του Green διατυπώνεται αρχικά για απλά συνεκτικούς τόπους που είναι απλοί, δηλαδή οποιαδήποτε ευθεία παράλληλη προς τους άξονες των ή τέμνει το σύνορο του τόπου σε δύο το πολύ σημεία (για παράδειγμα, ο τόπος του σχήματος 5.1 ανήκει σε αυτήν την κατηγορία). Θεώρημα 5.1 Έστω D ένας απλός τόπος με σύνορο την απλή, τμηματικά λεία καμπύλη, δηλαδή = D. Αν οι συναρτήσεις P (, ) και Q(, ) ορίζονται στο D και είναι συνεχείς με συνεχείς μερικές παραγώγους, τότε ισχύει ο τύπος του Green: P d + Q d = + D ( Q P ) d d D O Σχήμα 5.1: Θετική φορά διαγραφής μιας απλής κλειστής επίπεδης καμπύλης. 37