Σφυρής Δημήτρης ΥΠΟΜΝΗΜΑ ΕΡΓΑΣΙΩΝ

Transcript

1 Σφυρής Δημήτρης ΥΠΟΜΝΗΜΑ ΕΡΓΑΣΙΩΝ Α. Επιστημονικές δημοσιεύσεις σε διεθνή περιοδικά με κριτές. Β. Επιστημονικές ανακοινώσεις σε συνέδρια. Γ. Διδακτoρική Διατριβή Δ. Συμμετοχή σε ερευνητικά προγράμματα Ε. Διδακτική εμπειρία ΣΤ. Βραβεία Z. Κριτής σε περιοδικά Η. Κριτής σε προγράμματα 1

2 Α. Επιστημονικές δημοσιεύσεις σε διεθνή περιοδικά με κριτές. 1. D. Sfyris, N. Charalambakis, V.K. Kalpakides, Variational arguments and Noether s theorem on the nonlinear continuum theory of dislocations. International Journal of Engineering Science, 44, (2006). Τεχνικές από τον Λογισμό των Μεταβολών και το θεώρημα Noether χρησιμοποιούμε για να παραγάγουμε τις εξισώσεις ορμής και υλικής ορμής για ένα συνεχές σώμα το οποίο περιέχει συνεχή κατανομή στάσιμων εξαρθρώσεων. Από την ευθεία περιγραφή της ελαστικότητας ο Λογισμός των Μεταβολών μας δίνει την εξίσωση της ορμής. Το θεώρημα Noether για τις παράλληλες μετατοπίσεις στον υλικό χώρο καταλήγει στην εξίσωση της υλικής ορμής. Σην αντίστροφη περιγραφή οδηγούμαστε στις ίδιες ακριβώς εξισώσεις εναλλάσοντας ομως τις διαδικάσιες. Έτσι, από τον Λογισμό των Μεταβολών παίρνουμε την εξίσωση της υλικής ορμής, ενώ από παράλληλες μετατοπίσεις στον φυσικό χώρο οδηγούμαστε στην εξίσωση της ορμής. Η εξίσωση αυτή δεν επηρεάζεται από την ύπαρξη των ατελειών, κάτι που δεν συμβαίνει με την εξίσωση της υλικής ορμής. Η τελευταία περιέχει έναν επιπλέον όρο στο δεξί της μέλος ο οποίος συνδέεται με τις εξαρθρώσεις. Παρά όμως το γεγονός αυτόότι, δηλαδή, η εξίσωση της υλικής ορμής αντιλαμβάνεται την ύπαρξη των ατελειών- οι δύο αυτές εξισώσεις είναι ταυτότητα η μία της άλλης με την έννοια ότι έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων. Με χρήση του λήμματος του Poincare δίνεται μια πιθανή εξήγηση για την φυσική προέλευση του επιπλέον όρου στην εξίσωση της υλικής ορμής. 2. D. Sfyris, N. Charalambakis, V.K. Kalpakides, Continuously dislocated elastic bodies with a neo-hookean like expression for the energy subjected to anti-plane shear. Journal of Elasticity, 93, (2008). Στα πλαίσια της υπερελαστικής ελαστοστατικής μελετούμε ένα σώμα το οποίο περιέχει τρείς διαφορετικές συνεχείς κατανομές στάσιμων εξαρθρώσεων. Η ελαστική ενέργεια του σώματος είναι παρόμοια με αυτή των neo-hookean υλικών, γενικευμένη κατάλληλα ώστε να περιέχει και την παρουσία των ατελειών. Το σώμα υπόκειται σε παραμόρφωση του τύπου της αντιεπίπεδης διάτμησης. Η ύπαρξη των ατελειών μεταβάλλει και την έκφραση των τάσεων με συνέπεια να έχουμε εμφάνιση του πεδίου των ατελειών και στις εξισώσεις πεδίου. Από τις τρείς διαφορετικές κλάσεις των ατελειών αναζητουμε εκείνες οι οποίες επιτρέπουν στο υλικό να δέχεται λύσεις του τύπου της αντιεπίπεδης διάτμησης. Τούτο μαθηματικά σημαίνει ότι αναζητούμε 2

3 ικανές εκφράσεις που το πεδίο των ατελειών θα πρέπει να πληροί ώστε το υπερ-ορισμένο σύστημα των διαφορικών εξισώσεων να υποβαθμίζεται σε μια μόνο διαφορική εξίσωση. Η ιδέα πίσω από την προσέγγιση αυτή είναι να χειριστεί κανείς το πεδίο των ατελειών σαν μια παράμετρο στις διαφορικές εξισώσεις και να μελετήσει συνθήκες που θα πρέπει να πληροί ώστε το υλικό να επιδέχεται μια συγκεκριμένη κλάση παραμορφώσεων. 3. D. Sfyris, N. Charalambakis, V.K. Kalpakides, Derivation of the material momentum equation from the energy balance. Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik, 60, (2009). Στα πλαίσια της κλασσικής ελαστικότητας, είναι γνωστό από το θεώρημα των Green-Rivlin ότι η εξίσωση της ορμής είναι δυνατόν να προκύψει από την αρχή διατήρησης της ενέργειας εάν θεωρηθεί αναλλοίωτη η ισχύ της υπό παράλληλες μετατοπίσεις στον φυσικό χώρο. Μελατάμε υπό ποιές συνθήκες είναι δυνατόν να προκύψει η εξίσωση της υλικής ορμής υπό παράλληλες μετατοπίσεις στον υλικό χώρο. Ουσιαστικά, μιλάμε για μια επαναδιατύπωση του θεωρήματος των Green-Rivlin στην υλική πολλαπλότητα. Το αποτέλεσμα της προσέγγισης αυτής δείχνει ότι η εξίσωση της υλικής ορμής μπορεί να παραχθεί ξεκινώντας από την αναλλοιωσιμότητας της εξίσωσης της ενέργειας υπό παράλληλες μετατοπίσεις στον υλικό χώρο. Οι συνθήκες υπό τις οποίες τούτο είναι αληθές δίνονται, επίσης. Η όλη προσέγγιση αναδεικνύει, με έναν ακόμη τρόπο, τον δυϊσμό που υπάρχει ανάμεσα στον φυσικό και στον υλικό χώρο και τον ρόλο που οι εξισώσεις ορμής και υλικής ορμής παίζουν σε αυτόν. 4. D. Sfyris, The strong ellipticity condition under changes of the reference and the current configuration. Journal of Elasticity 103, (2011). Στην εργασία αυτή εξετάζεται η συνθήκη της ισχυρής ελλειπτικότητας υπό αλλαγές στην αρχική αλλά και την τρέχουσα διαμόρφωση. Για τις αλλαγές αυτές χρησιμοποιούνται οι υποθέσεις της frame-indifference, spatial and material covariance, καθώς και μια γενικευμένη υπόθεση για μεταβολές στην ενεγεια τανυστικού χαρακτήρα. Το αποτέλεσμα είναι ότι υπό τις μεταβολές αυτές η συνθήκη της ισχυρής ελλειπτικότητας διατηρείται αρκεί κανείς να μεταβάλει ανάλογα τα διανύσματα που χρησιμοποιουνται στον ορισμό της. 5. D. Sfyris, Propagation of a plane wave to a materially uniform but inhomogeneous body. Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik, 62, (2011). 3

4 Στην εργασία αυτή μελετάται η διάδοση ενός επίπεδου κύματος σε ένα σώμα που περιέχει μια συνεχή κατανομή στάσιμων εξαρθρώσεων. Αφού παράγονται οι εξισώσεις που διέπουν τις μικρές παραμορφώσεις που υπερτίθενται σε μια μεγάλη παραμόρφωση, κάνουμε την υπόθεση της ισοτροπίας για το σώμα και ομογένειας για την μεγάλη ελαστική παραμόρφωση. Εν συνεχεία, με την υπόθεση ότι η μικρή παραμόρφωση είναι ένα επίπεδο κύμα παράγουμε την secular equation για το εν λόγω πρόβλημα. Ικανές και αναγκαίες συνθήκες δίνονται έτσι ώστε το κύμα να έχει θετική ταχύτητα. Οι συνθήκες αυτές, που ουσιαστικά περιορίζουν τους καταστατικούς νόμους, περιέχουν όρους και από το πεδίο των εξαρθρώσεων εν αντιθέση προς το κλασσικό ελαστικό πρόβλημα. Επίσης, ένα δεύτερο σετ εξισώσεων προκύπτει λόγω της ανομοιογένειας των ελαστικών σταθερών ακόμα και για ισότροπο σώμα που υφίσταται ομογενής ελαστική παραμόρφωση. Η ύπαρξη αυτών των εξισώσεων οφείλεται στην ανομοιογένεια του σώματος λόγω της παρουσίας των εξαρθρώσεων και μπορεί να ειδωθεί σαν περιορισμοί στο πεδίο των ατελειών και τα χαρακτηριστικά του κύματος. 6. D. Sfyris, Comparing the condition of strong ellipticity and the solvability of an elastic problem and the corresponding dislocated problem. Mathematics and Mechanics of Solids, 17, (2012). Στην εργασία αυτή μελετάται πως ένα πεδίο εξαρθρώσεων, το οποίο δεν δύναται να μεταβληθεί χωρικά αλλά και στον χρόνο επηρεάζει την ελλειπτικότητα του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων καθώς και την ύπαρξη αλλά και το μονοσήματο των λύσεων. Η προσέγγιση για την ελλειπτικότητα είναι γενική, με την έννοια ότι ούτε το πεδίο των εξαρθρώσεων αλλά ούτε και το σώμα το ίδιο υπόκειται σε κάποιον περιορισμό. Για μια συγκεκριμένη κατανομή εξαρθρώσεων τυπου αιχμής και για ένα υλικό με ενέργεια παρόμοια με αυτή των neo-hookean σωμάτων, μελετάται η ύπαρξη καθώς και το μονοσήμαντο των λύσεων. Τα βασικότερα συμπεράσματα έγκεινται στο ότι η ελλεπτικότητα δεν επηρεάζεται από την ύπαρξη των ατελειών. Για την ύπαρξη και το μονοσήμαντο της λύσης, και για το συγκεκριμενο παράδειγμα, υπολογίζονται τα όρια που το πεδίο των ατελειών θα πρεπει να ανήκει ώστε αυτά τα χαρακτηριστικά να διατηρούνται όταν το αντίστοιχο ελαστικό πρόβλημα έχει μοναδική λύση σε συγκεκριμένους χώρους συναρτήσεων. Η όλη προσέγγιση βρίσκεται στα πλαίσια της μη γραμμικής ελαστοστατικής. Οι μη γραμμικότητες είναι τόσο υλικές όσο και γεωμετρικές. 7. C. Broese, D. Sfyris, Ch. Tsakmakis, Isoclinic versus arbitrary rotated intermediate configuration in the case of gradient plasticity. Composites B: Engineering, 43, (2012). 4

5 Στα πλαίσια της μη-γραμμικής πλαστικότητας με βαθμίδα (gradient theories) συγκρίνουμε δύο δυνατές επιλογές για την ενδιάμεση διαμόρφωση της πλαστικότητας. Η μία ονομάζεται ισοκλίνης, ενώ η δεύτερη ελεύθερα περιστρεφόμενη. Αποδεικνύεται ότι όταν η θεωρία δεν έχει βαθμίδα τότε και οι δύο προσεγγίσεις δίνουν την ίδια δυνατότητα για την μοντελοποίηση πλαστικών καταστάσεων. Όταν όμωε εισαγάγουμε βαθμίδα, τότε εξάγουμε το συμπέρασμα ότι η θεωρία που έπεται της ελεύθερης διαμόρφωσης μας δίνει περισσότερους βαθμούς ελευθερίας για την μοντελοποίηση πλαστικών φαινομένων. 8. D. Sfyris, A. Chasalevris, An exact analytical solution of the Reynolds equation for the finite journal bearing. Evaluation of the lubricant pressure. Tribology International, 55, (2012). Επιλύουμε σε κλειστή αναλυτική μορφή την εξίσωση του Reynolds για την λύπανση ενός εδράνου. Ξεκινάμε χωρίζοντας την αναζητούμενη λύση σε δύο κομμάτια. Η μία είναι η λύση της ομογενούς εξίσωσεις και η άλλη είναι μια ειδική λύση της εξίσωσης. Για την εύρεση της ειδικής λύσης χρησιμοποιούμε την μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών σε αθροιστική μορφή. Καταλήγουμε με τον τρόπο αυτό σε δύο εξισώσεις. Η μία λύνεται με υποβιβασμό της τάξης ενώ η επίλυση της άλλης γίνεται με απευθείας ολοκλήρωση. Για την επίλυση της ομογενούς χρησιμοποιούμε πάλι χωρισμό των μεταβλητών αλλά τώρα με την πολλαπλασιαστική του μορφή. Καταλήγουμε έτσι σε δύο προβλήματα ιδιοτιμών. Επιλύομε το απλούστερο με απευθείας ολοκλήρωση, ενώ για το άλλο χρησιμοποιούμε την μέθοδο των δυναμοσειρών. 9. D. Sfyris, The role of the symmetry group on the nonuniqueness of the uniform reference. Case study: An isotropic solid body. Mathematics and Mechanics of Solids, 18, (2013). Όταν υπάρχει σε ένα σώμα μια προκαθορισμένη γνωστή κατανομή εξαρθρώσεων τότε αυτή δεν ορίζεται με μοναδικό τρόπο, όταν οι συμμετρίες του υλικού περιγράφονται από μια συνεχή ομάδα. Συνεπώς, δύναται μια κατάλληλη δράση της ομάδας συμμετρίας να άρει την κατανομή των εξαρθώσεων. Μετατρέπουμε μισ τέτοια παθολογική σε ένα κλειστό μαθηματικό πλαίσιο. Με την βοήθεια του εξωτερικού λογισμού, καταστρώνουμε ένα σύστημα εξωτερικών διαφορικών εξισώσεων και δίνουμε την γενική του λύση. Αυτή αντιστοιχεί σε όλα εκείνα τα πεδία των εξαρθρώσεων τα οποία μπορεί αν άρει η γνωστή ομάδα συμμετρίας. Εξετάζουμε την περίπτωση των ισότροπων υλικών, όπου και επιλύουμε το σύνολο των εξισώσεων αυτών. 5

6 10. A. Chasalevris, D. Sfyris, Evaluation of the finite journal characteristics using the exact analytical solution of the Reynolds equation. Tribology International, 57, (2013). Χρησιμοποιώντας την αναλυτική λύση που προγενέστερα βρήκαμε για την εξίσωση του Reynolds υπολογίζουμε με αναλυτικές μορφές τα βασικότερα χαρακτηριστικά ενός πεπερασμένου εδράνου. Οι δυνάμεις που ασκούνται σε αυτό, οι συντελεστές δυσκαμψίας, το πηλίκο εκκεντρότητας, το σημείο της μέγιστης πίεσης και της ελάχιστης τιμής του πάχους του λιπαντικού εκφράζονται σε κλειστές εκφράσεις, σε αντίθεση με την βιβλιογραφία, οπού υπολογίζονται αριθμητικά. Συγκρίνουμε τα αποτελέσματα μας με τις αριθμητικές εκφράσεις που μπορεί κανείς να βρεί στην σχετική βιβλιογραφία σαν πίνακες με την βοήθεια του αριθμού Sommerfeld. 11. D. Sfyris, R. Bustamante, Use of some theorems related with the tensor equation AX + XA = H for some classes of implicit constitutive relations. Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 66, (2013). Χρησιμοποιούμαι το θεώρημα μη-εκπεφρασμένης συνάρτησης για να πάρουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε ένας μηεκπεφρασμένος καταστατικός νόμος να μπορεί να δώσει τις τάσεις σαν συναρτήσεις των τροπών ή το αντίστροφο. Για ένα ισότροπο σώμα δίνουμε κάποιες κλειστές (ακριβείς) λύσεις των τροπών σαν συναρτήσεις των τάσεων χρησιμοποιώντας τις τανυστικές εξισώσεις του τύπου AX + XA = H. Για τις λύσεις αυτές δίνουμε και της συνθήκες ύπαρξης και μονοσήμαντου. 12. D. Sfyris, Replacing ordinary derivatives by gauge derivatives in the nonlinear continuum theory of dislocations to compensate for the action of the symmetry group. Mechanics Research Communications, 51, (2013). Ένα συνεχές σύνολο συμμετριών παίζει σημαντικό ρόλο στην μηγραμμική θεωρία συνεχώς κατανεμημένων εξαρθρώσεων αφού οδηγεί σε μη-μοναδικότητα του πεδίου που περιργάφει τις ατέλειες. Εξετάζουμε πώς επηρεάζονται κάποιες σημαντικές ποσότητες της θεωρίας από την δράση του συνόλου συμμετριών. Εκτός από τον τανυστή της χαλάρωσης, εξετάζουμε πώς οι ελαστικότητες του υλικού, οι τανυστές τάσεις και η εξίσωση της ορμής επηρεάζονται από την δράση του συνεχούς συνόλου συμμετριών. Η δράση αυτή είναι ανομοιογενής, δηλαδή διαφέρει από σημείο σε σημείο. Μια αντίστοιχη δράση υπάρχει και στις θεωρίες βαθμίδας. Παρακινούμενοι από τις θεωρίες αυτές, προτείνουμε την χρήση της εξωτερικής συναλλοίωτης διαφόρισης για να αντισταθμίσουμε την 6

7 δράση του συνόλου συμμετριών. Το βασικό πλεονέκτημα της χρήσης της διαφόρισης αυτής είναι ότι η αξίσωση της ορμής παραμένει σε μορφή κλίσης. 13. D. Sfyris, Autoparallel curves and Riemannian geodesics for materially uniform but inhomogeneous bodies. Mathematics and Mechanics of Solids, 19, (2014). Οι αυτοπαράλληλες γραμμές και οι γεωδαισιακές Riemann ορίζονται για υλικώς ομοιόμορφα αλλά ανομοιγενή σώματα. Αναχωρώντας από την έννοια του υλικού ισομορφισμού ορίζουμε την έννοια τψν υλικώς παράλληλων διανυσμάτων. Η εισαγωγή τηε μηχανικής θεωρίας έρχεται από την απαίτηση η ενεγεια να είναι αναλλοίωτη κατά την παράλληλε μεταφορά. Οι αυτοπαράλληλες γραμμές χαρακτηρίζουν ένα εξαρθρωμένο σώμα με διακριτό σύνολο συμμετριών. Οι γεωδαισιακές Riemann ορίζονται με ανάλογο τρόπο σε εξαρθρωμένα σώματα με συνεχή σύνολο συμμετριών, ως οι γραμμές ελάχιστου μήκους στην πολλάπλότητα κατά μήκος των οποιών η ενέργεια παραμένει αναλλοιώτη. Προτείνουμε την χρήση αυτών των γραμμών για την κατασκευή της ενδιάμεσης διαμόρφωσης στην μη-γραμμικά ελαστοπλαστικότητα. Επιλύουμε αριθμητικά και αναλυτικά δύο παραδείγματα. Επίσης δίνουμε την κατάλληλη έκφραση της στάθμης για τις εξαρθρώσεις, καθώς και κάποιες εκφράσεις ενέργειας που περιγράφουν εξαρθρωμένα σώματα είτε με διακριτό είτε με συνεχή σύνολο συμμετριών. 14. A. Chasalevris, D. Sfyris, Analytical evaluation of the finite journal bearing impedance forces using the exact analytical solution of the Reynolds equation. Journal of Vibrational Engineering and Technologies, 2, (2014). Επιλύουμε σε κλειστή αναλυτική μορφή την εξίσωση του Reynolds για την λύπανση ενός εδράνου. Ξεκινάμε χωρίζοντας την αναζητούμενη λύση σε δύο κομμάτια. Η μία είναι η λύση της ομογενούς εξίσωσεις και η άλλη είναι μια ειδική λύση της εξίσωσης. Για την εύρεση της ειδικής λύσης χρησιμοποιούμε την μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών σε αθροιστική μορφή. Καταλήγουμε με τον τρόπο αυτό σε δύο εξισώσεις. Η μία λύνεται με υποβιβασμό της τάξης ενώ η επίλυση της άλλης γίνεται με απευθείας ολοκλήρωση. Για την επίλυση της ομογενούς χρησιμοποιούμε πάλι χωρισμό των μεταβλητών αλλά τώρα με την πολλαπλασιαστική του μορφή. Καταλήγουμε έτσι σε δύο προβλήματα ιδιοτιμών. Επιλύομε το απλούστερο με απευθείας ολοκλήρωση, ενώ για το άλλο χρησιμοποιούμε την μέθοδο των δυναμοσειρών. 7

8 15. D. Sfyris, G.I. Sfyris, C. Galiotis, Curvature dependent surface energy for free standing monolayer graphene: some closed form solutions of the nonlinear theory. International Journal of Nonlinear Mechanics, 67, (2014). Η συνεχής μοντελοποίηση ενός μονοστρωματικού γραφενίου σαν ένα διαξονικό 2-πλέγμα, απαιτεί την εύρεση των συνιστωσών του βοηθητικού διανυσματος μετατόπισης που δρά σαν βοηθητική μεταβλητή. Οι εξισώσεις πεδίου είναι τότε η εξίσωση της ορμής, η εξίσωση της στροφορμής και η αξίσωση που διέπει το βοηθητικό διάνυσμα. Παρουσιάζουμε μια ανάλυση απλών ιστοριών φόρτισης, όπως απλός και διαξονικός εφελκυσμός/θλίψη για μία γκάμα προβλημάτων αυξανόμενης δυσκολίας. Αρχίζουμε με ένα απλοποιημένο πρόβλημα το οποίο μπορεί να περιγράψει φαινόμενα λυγισμού. Αρχικά αγνοούμε εκτός επιπέδου κινήσεις και επιλύουμε αναλυτικά τις εξισώσεις που διέπουν το βοηθητικό διάνυσμα. Εισαγάγουμε και εκτός επιπέδου παραμορφώσεις και οι εξισώσεις δυσκολεύουν δραματικά. Εξηγούμε πώς δύναται να περιγραφεί ο λυγισμός στο μοντέλο μας και χρησιμοποιούμε το θεώρημα Cauchy Kowalevski για να πάρουμε ύπαρξη και μονοσήμαντο της λύσης για κάποιες χαρακτηριστικές περιπτώσεις. Για το πιό γενικό πρόβλημα κατηγοριοποιούμε τις εξισώσεις και δίνουμε συνθήκες ώστε το θεώρημα Cauchy Kowalevski να εφαρμόζεται. 16. D. Sfyris, G.I. Sfyris, C. Galiotis, Curvature dependent surface energy for free standing monolayer graphene: geometrical and material linearization with closed form σolutions. International Journal of Engineering Science, 85, (2014). Η συνεχής μοντελοποίηση ενός μονοστρωματικού γραφενίου σαν ένα διαξονικό 2-πλέγμα, απαιτεί την εύρεση των συνιστωσών του βοηθητικού διανυσματος μετατόπισης που δρά σαν βοηθητική μεταβλητή. Οι εξισώσεις πεδίου είναι τότε η εξίσωση της ορμής, η εξίσωση της στροφορμής και η εξίσωση που διέπει το βοηθητικό διάνυσμα. Για να εισαχθεί η γεωμετρική γραμμικότητα η ενέργεια έχει τετραγωνική εξάρτηση απο τον τανυστή των τροπών, τον τανυστή καμπυλότητας και το βοηθητικό διάνυσμα. Η εξαγωνική συμμετρία του γραφενίου οδηγεί σε εννιά ελαστικές σταθερές. Παρουσιάζουμε μια ανάλυση απλών ιστοριών φόρτισης, όπως απλός και διαξονικός εφελκυσμός/θλίψη για μία γκάμα προβλημάτων αυξανόμενης δυσκολίας. Αρχικά περιοριζόμαστε μόνο σε εντός επιπέδου κινήσεις. Εισαγάγωντας το πεδίο της παραμόρφωσης βρίσκουμε το βοηθητικό διάνυσμα. Με τον τρόπο αυτόν όλες οι εξισώσεις πεδίου πληρούνται ταυτοτικά. Για τον χειρισμό των εκτός επιπέδου παραμορφώσεων υποθέτουμε μονοαξονικο εφελκυσμό/θλίψη που οδηγεί σε λυγισμό. Επιλύουμε με αναλυτικό 8

9 τρόπο τις εξισώσεις και βρίσκουμε την συνάρτηση που περιγράφει τον λυγισμό. 17. Ch. Androulidakis, E. N. Koukaras, O. Frank, G. Tsoukleri, D. Sfyris, J. Parthenios, N. Pugno, K. Papagelis, K. S. Novoselov, C. Galiotis, Failure Processes in Embedded Monolayer Graphene under Axial Compression. Scientific Reports, 4, 5271 (2014). Μονοστρωματικά φύλλα γραφενίου εμβαπτίζονται σε πολυμερική μήτρα και θλίβονται μονοαξονικά. Μετράμε την μετατόπιση της κορυφής Raman των φωνονίων για δείγματα διαφορετικού μήκους και πλάτους που είναι ελεύθερα εσωτερικών τάσεων. Το κρίσιμο ποσοστό της τροπής για τον λυγισμό υπολογίζεται πώς είναι 0.60%, που αντιστοιχεί σε τάση της τάξης του -6 Gpa. Συνδυάζοντας το κριτήριο του Euler με αυτό του Winkler δείχνουμε πώς σε αντίθεση με ένα ελεύθερο γραφένιο, η ύπαρξη του υποστρώματος οδηγεί σε σταθερή τιμή τηε τροπής για τον λυγισμό με σταθερό μήκος κύματος της τάξης του 1 2 nm. Τα αποτελέσματα συγκρίνωνται με ατομικούς υπολογισμούς σε μονομερή κορονίνης μέσα σε ολιγομερή πολυμερούς. 18. D. Sfyris, G.I. Sfyris, C. Galiotis, Constitutive modeling of some 2D crystals: graphene, hexagonal BN, MoS2, WSe2 and NbSe2. International Journal of Solids and Structures, 66, (2015). Δίνουμε το μη-γραμμικό καταστατικό πλαίσιο για διδιάστατα κρυσταλιλκά υλικά σύγχρονου ενδιαφέροντος. Τα υλικά που μας απασχολού είναι το γραφένιο, το νιτρίδιο του βορονίου, το δισουλφίδιο του μολυβδενίου, το σελήνιο βολφραμίου και το δισελήνιο του νιοβίου. Πρώτα βρίσκουμε τις αριθμητικές συμμετρίες τους χρησιμοποιοώντας την θεωρία των μονοατομικών και διατομικών 2-πλεγματων. Μετά περιοριζόμαστε σε γειτονιές ασθενούς μετασχηματισμού και χρησιμοποιούμαι τον Cauchy Born κανόνα για να μπορέσουμε να δουλέψουμε με τις γεωμετρικές συμμετρίες που χρησιμοποιεί η μηχανική συνεχών μέσων. Δίνουμε τις αναλλοίωτες της ενέργειας που εξαρτάται από ένα εντός επιπέδου μέτρο παραμόμορφωσης, τον τανυστή καμπυλότητας και το βοηθητικό διάνυσμα παραμόρφωσης. Αυτό γίνεται για την ιεραρχία του σπασίματος των συμμετριών τόσο για τα μονοατομικά όσο και για τα διατομικά 2-πλέγματα. Με την βοήθεια των ενεργειών αυτών υπολογίζουμε τις τάσεις αλλά και τις ροπές που χρειάζονται. Οι ποσότητες αυτές εμφανίζονται στις εξισώσεις ορμής, στροφορμής και 9

10 στην εξίσωση που διέπει το βοηθητικό διάνυσμα παραμόρφωσης. Με κατάλληλες υποθέσεις που αντιστοιχούν σε διαξονικό εφελκυσμό/θλίψη και σε απλή διάτμηση βρίσκουμε τις εκφράσεις που το βοηθητικό διάνυσμα μετατόπισης πρέπει να έχει ώστε να πληρούνται όλες οι εξισώσεις. Όταν οι εξισώσεις του βοηθητικού διανύσματος δεν μπορούν να λυθούν με κλειστό τρόπο χρησιμοποιούμε το θεώρημα Cauchy Kowalevski ώστε να βρούμε την μοναδική λύση. 19. D. Sfyris, A proposal for defining continuous distribution of dislocations for objective structures. Continuum Mechanics and Thermodynamics, 27, (2015). Παρότι στοχεύουν σε διαφορετικές κλίμακες η θεωρία των αντικειμενικών δομών και η θεωρία των υλικώς ομοιόμορφων σωμάτων έχουν κάποια κοινά. Δίνουμε έμφαση στα κοινά σημεία των δύο θεωριών καθώς και στις περιοχές όπου διαφέρουν. Παρακινούμενοι από την θεωρία των υλικώς ομοιόμορφων ανομοιογενών σωμάτων προτείνουμε ένα νέο τρόπο για να οριστούν συνεχείς κατανομές εξαρθρώσεων για την θεωρία των αντικειμενικών δομών. Για τον σκοπό αυτό χρειαζόμαστε συνδυασμό θεωριών αλγεβρικής τοπολογίας και διακριτής εξωτερικής άλγεβρας καθώς και μια γενίκευση των μικρομορφικών σωμάτων. 20. D. Sfyris, R. Bustamante, On the treatment of non solvable implicit constitutive relations in solid mechanics. ZAMP, 66, (2015). Αναφέρουμε αποτελέσματα σχετικά με τον χειρισμό ελαστικών υλικών με μη-εκπεφρασμένο καταστατικό νόμο. Επηρεασμένοι από την θεωρία των γενικευμένων υπερελαστικών υλικών, που εφαρμόζεται και σε πολυατομικούς κρυστάλλους, δίνουμε τις εξισώσεις πεδίου που διέπουν ένα υλικό με μη-επιλύσιμους κατασταικούς νόμους. Προσθετικά στην εξίσωση της ορμής επιπλέον μεταβλητές εμφανίζονται οι οποίες διέπονται από μια εξίσωση πεδίου. Δίνουμε την εξίσωση πεδίου αυτή και ασχολούμαστε με την ειδική περίπτωση των ισότροπων υλικών. Δίνουμε συνθήκες ώστε μια μεγάλη γκάμα ισότροπων υλικών να ειδωθούν σαν υπερελαστικά υλικά και δίνουμε τις εξισώσεις που διέπουν τα υλικά αυτά. 21. A. Ortiz-Bernardin, D. Sfyris, A finite element formulation for stressed bodies with continuous distribution of edge dislocations. Acta Mechanica, 226, (2015). 10

11 Χρησιμοποιούμε την θεωρία των υλικώς ομοιόμορφων αλλά ανομοιογενών σωμάτων σαν βάση για την μελέτη με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων ενός σώματος με μιά συνεχή κατανομή εξαρθρώσεων τύπου αιχμής. Χρησιμοποιούμε την πολλαπλασιστική αποσύνθεση της κλίσης της παραμόρφωσης όπου το πεδίο των ατελειών υπεισέρχεται στην ανάλυση διαμέσου του πλαστικού μέρους της κλίσης της παραμόρφωσης. Η υπόθεση για την ενέργεια είναι υπερελάστικού τύπου με όρισμα το πλαστικό μέρος της παραμόρφωσης. Με κατάλληλη επιλογή του μεγέθους αυτού, μοντελοποιούμε μια ράβδο με συνεχή κατανομή εξαρθρώσεων παράλληλη πρός το επίπεδο που ορίζει την διατομή της ράβδου. Το διάνυσμα Burgers του πεδίου τψν εξαρθρώσεων είναι παράλληλο στην αξονική διελυθυνση της ράβδου. Υποβάλλουμε την ράβδο σε μονοαξονικό εφελκυσμό και εξετάζουμε πώς η ύπαρξη των ατελειών επηρεάζει την ελαστική λύση. Τα αριθμητικά αποτελέσματα που προέρχονται από την εξαρθρωμένη ράβδο, συγκρίνωνται με τα αντίστοιχα που οι εξαρθώσεις δεν υπάρχουν. Το αποτέλεσμα είναι πώς η ύπαρξη των ατελειών οδηγεί σε μη-γραμμικότητα στην σχέση τάσεων-τροπών η οποία σημειακά αυξάνεται ταχύτερα όταν στο σώμα υπάρχουν εξαρθρώσεις. Οπότε αν υπάρχει ένα συγκεκριμένο όριο διαρροής τότε το εξαρθρωμένο σώμα φτάνει πρώτο σε αυτό το όριο. Εξετάζουμε ακόνη την περίπτωση που υπάρχει μόνο μία εξάρθρωση στο σώμα. Καταλήγουμε στο συμπέρασμα πώς γύρω από την ατέλεια η θεωρία μας οδηγείτε σε πεπερασμένες τάσεις. Επίσης εξετάζουμε έναν κλειστό βρόγχο από ατέλειες και όπως ήταν αναμενόμενο εξάγουμε πώς γύρω από τον βρόγχο υπάρχει συγκέντρωση τάσης. 22. R. Bustamante, D. Sfyris, Direct determination of stresses from the stress equations of motion and wave propagation for a new class of elastic bodies. Mathematics and Mechanics of Solids, 20, (2015). Για μιά συγκεκριμένη κλάσση ελαστικών σωμάτων όπου ο γραμμικοποιημένος τανυστής δίνεται σαν συνάρτηση του τανυστή τάσης του Cauchy, μελετάμε την δυναμική περίπτωση. Από τις εξισώσεις της κίνησης οδηγούμαστε σε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων που εξαρτάται μόνο από τον τανυστή των τάσεων. Είναι ένα σύστημα έξι διαφορικών εξισώσεων για έξι αγνώστους, τις έξι συνιστώσες του τανυστή των τάσεων. Λύνουμε με αναλυτικές και αριθμητικές μεθόδους ένα απλό πρόβλημα μονοδιάστατης ράβδου. 23. D. Sfyris, Ch. Androulidakis, C. Galiotis, Graphene resting on substrate: closed form solutions for the perfect bonding and the 11

12 delamination case. International Journal of Solids and Structures, 71, (2015). Εξετάζουμε κλειστές λύσεις για την περίπτωση της τέλειας διεπαφής αλλά και της μερικής αποκόλλησης ενός μονοστρωματικού γραφενίου από ένα ελαστικό υπόστρωμα. Το θεωρητικό μας πλαίσιο είναι για την γεωμετρικά και υλικά γραμμική περίπτωση. Το γραφένιο μοντελοποιείται σαν ένα ε ξαγωνικό 2-πλέγμα, ενώ το υπόστρωμα συμπεριφέρεται σαν ένα γραμμικά ελαστικό σώμα. Αρχικά αγνοούμαι τις εκτός επιπέδου παραμορφώσεις και εξετάζουμε την περίπτωση του διαξονικού εφελκυσμού/θλίψης και της απλής διάτμησης. Υπολογίζουμε τις συνιστώσες του βοηθητικού διανύσματος μετατόπισης επιλύοντας τις εξισώσεις που το διέπουν. Αντικαθιστούμε τις εξισώσεις αυτές στις εκφράσεις τη εξίσωσης της ορμής και έτσι παίρνουμε συνθήκες που οι ελαστικές σταθερές, οι σταθερές της φόρτισης αλλά και το πεδίο των εσωτερικώ τάσεων θα πρέπει να πληρούν ώστε ο διαξονικός εφελκυσμός/θλίψη να είναι λύση των εξισώσεων του συστήματος. Για την περίπτωση του μονοαξονικού εφελκυσμού και της απλής διάτμησης σχεδιάζουμε τις συσνιστώσες της μέσης τάσης με την τροπή για τρία διαφορετικά υποστρώματα. Μετά λαμβάνουμε υπόψιν μας εκτός επιπέδου παραμορφώσεις. Υποθέτουμε την εκτος επιπέδου παραμόρφωση να είναι το γινόμενο μιας ημιτονοειδούς συνάρτηση και μιας άγνωστης συνάρτησης της οποία υπολογίζουμε υπό κάποιες συνθήκες. Αυτές οι συνθήκες είναι περιορισμοί που οι ελαστικές σταθερές, οι εσωτερικές τάσεις και οι συνιστώσες της φόρτισης πρέπει να πληρούν ώστε να μιλάμε για λύση του συνόλου των εξισώσεων του προβλήματος. Τα παραπάνω είναι για την τέλεια επαφή μεταξύ υποστρώματος και φιλμ. Ξεχωρίζοντας την παραμόρφωση του γραφενίου από αυτήν του υποστρώματος μελετάμε περιπτώσεις που έχουμε μερική αποκόλληση. Και πάλι χρησιμοποιούμε μια ημι-αντίστροφη μέθοδο. Υποθέτουμε την μορφή των συναρτήσεων που περιγράφουν την μερική αποκόλληση και βρίσκουμε συνθήκες ώστε όλες οι εξισώσεις να πληρούνται. 24. C. Galiotis, O. Frank, E.N. Koukaras, D. Sfyris, Graphene mechanics: current status and perspectives. Annual Reviews of Chemical and Biomolecular Engineering 6, (2015). Πρόκειται για ένα άρθρο ανασκόπησης. Στο άρθρο αυτό συνοψίζουμε τα πειραματικά και θεωρητικά ευρήματα μέχρι σήεμρεα σχετικά με τις μηχανικές ιδιότητες ενός μονοστρωματικού γραφενίου, είτε εμβαπτισμένο σε πολυμερές είτε ελεύθερο. Αξιολογούμε τις ιδιότητες που υπολογίζονται από μονοαξονικό εφελκυσμό/θλίψη και σχολιάζουμε τις μεθόδους καθώς και τις τιμές που η κάθε μέθοδος δίνει. Σύγχρονες μέθοδοι παρασκευής ατελειών και μελέτης της επίδρασης αυτών είναι τμήμα της μελέτης μας. Επίσης, μελετάμε εκτεταμένα της επίδραση της παραμόρφωσης στις ηλεκτρονικές 12

13 ιδιότητες του γραφενίου και την πιθανή χρήση αυτών των μεθόδων σε μελλοντικές ηλεκτρονικές εφαρμογές. 25. D. Sfyris, E.N. Koukaras, N. Pugno, C. Galiotis, Graphene as a hexagonal 2-lattice: evaluation of the in-plane material constants for the linear theory. A multiscale approach. Journal of Applied Physics 118, (2015). Η συνεχής μοντελοποίηση μονοστρωματικού γραφενίου σαν δισδιάστατο 2-πλέγμα απαιτεί γνώση του βοηθητικού διανύσματος μετατόπισης (shift vector). Περιοριζόμενοι σε επίπεδες παραμορφώσεις, η ενέργεια εξαρτάται σε ένα μέτρο της εντός επιπέδου παραμόρφωσης και στο βοηθητικό διάνυσμα παραμόρφωσης. Οι υποθέσεις της υλικής και γεωμετρικά γραμμικής θεωρίας οδηγεί σε μιά τετραγωνική έκφραση για την ενέργεια ως προς το βοηθητικό διάνυσμα της παραμόρφωσης, το μέτρο της εντός επιπέδου παραμόρφωσης καθώς και συνδυασμούς αυτών. Η εξαγωνική συμμετρία του γραφενίου οδηγεί σε 4 ελαστικές σταθερές για το μοντέλο αυτό. Υπολογίζουμε τις 4 ελαστικές σταθερές αυτές με την βοήθεια της μεθόδου της Μοριακής Μηχανικής και του δυναμικού AIREBO. Τα αποτελέσματά μας συγκρίνονται με κλασσικές προσεγγίσεις για την γραμμική ελαστικότητα του γραφενίου και είναι σε καλή συσχέτιση με μικρή απόκλιση. 26. D. Sfyris, Phonon, Cauchy-Born and homogenized stability criteria for a free-standing monolayer graphene at the continuum level. European Journal of Mechanics A/Solids, 55, (2016). Στόχος της δουλειάς αυτής είναι η εξέταση τριών κριτηρίων ευστάθειας για ένα ελεύθερο μονοστρωματικό γραφένιο όταν αυτό μοντελοποιείται σαν εξαγωνικό 2-πλέγμα. Τα τρία αυτά κριτήρια είναι: κριτήριο φωνονικής ευστάθειας, Cauchy-Born κριτήριο και το ομογενοποιημένο κριτήριο ευστάθειας. Το κριτήριο φωνονικής ευστάθειας απαιτεί επίπεδα κύματα να διατρέχουν το υλικό με πραγματική ταχύτητα. Το αποτέλεσμα είναι ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώς πρός τον ακουστικό τανυστή που εξασφαλίζει ότι η ταχύτητα του κύματος να πραγματική. Το Cauchy-Born κριτήριο απαιτεί η Εσσιανή μήτρα να είναι θετικά ημιορισμένη. Επιλύωντας τις εξισώσεις του βοηθητικού διανύσματος, μπορείς κανείς να απαλείψει το βοηθητικό διάνυσμα από την ενέργεια. Το Cauchy-Born κριτήριο για την ομογενοποιημένη ενέργεια αυτή δίνει το ομογενοποιημένο κριτήριο ευστάθειας. Δίνουμε τους περιορισμούς για την ισχύ των τριών κριτηρίων αυτών. Για το κριτήριο της φωνονικής ευστάθειας έχουμε δύο επιλογές για την εξίσωση που διέπει το βοηθητικό διάνυσμα: μια εξίσωση ισορροπίας και έναν νόμο ροής με βάση μια θεωρία βαθμίδας. 13

14 27. D. Sfyris, G.I. Sfyris, R. Bustamante, Nonlinear electromagneto-mechanical constitutive modeling of monolayer graphene. Proceedings of the Royal Society of London A, 472, (2016). Χρησιμοποιώντας την κλασσική θεωρία των αναλλοιώτων για τις συμμετρίες του γραφενίου, μοντελοποιούμαι καταστατικά ηλεκτρομαγνετο-μηχανικές αλληλεπιδράσεις. Η ενέργεια του γραφενίου εξαρτάται από πέντε ορίσματα: τον Finger τανυστή τροπής, τον τανυστή καμπυλότητας, το βοηθητικό διάνυσμα, την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου και την μαγνητικό πεδίο. Μια ενέργεια με τα παραπάνω ορίσματα η οποία σέβεται τις συμμετρίες του γραφενίου, έχει 42 αναλλοίωτες. Χρησιμοποιώντας τις αναλλοίωτες αυτές υπολογίζουμε όλα τα απαιτούμενα δυϊκά μέτρα ώς πρός τα πέντε ορίσματα τις ενέργειας. Δίνουμε επίσης τις εξισώσεις πεδίου, που διέπουν το πρόβλημα. Αυτές είναι: η εξίσωση της ορμής, η εξίσωση που διέπει το βοηθητικό διάνυσμα, η εξίσωση της στροφορμής, και οι εξισώσεις του Maxwell. Το πλαίσιο μας είναι γενικό αρκετά με την έννοια ότι μπορεί να περιγράψει πλήρως συζευγμένες διεργασίες στο πλαίσιο των μεγάλων παραμορφώσεων. 28. P. Arrue, R. Bustamante, D. Sfyris, A note on incremental equations for a new class of constitutive relation for elastic bodies. Wave Motion, 65, (2016). Στην βιβλιογραφία τα τελευταία χρόνια έχουν προταθεί μηεκπεφρασμένοι καταστατικοί νόμοι, όπου οι τάσεις και οι τροπές εμφανίζονται σε μη-εκπεφρασμένες εξισώσεις. Μια ειδική περίπτωση των καταστατικών αυτών νόμων είναι όταν οι γραμμικοποιημένες τροπές είναι μη-γραμμικές συναρτήσεις των τάσεων. Για τέτοιους καταστατικούς νόμους, μελετάμε το πρόβλημα της ανάλυσης των τάσεων σε δύο μέρη: το ένα είναι η το χρονικά ανεξάρτητο τασικό πεδίο των λύσεων των εξισώσεων της ορμής και το άλλο είναι ένα μικρό χρονικά εξαρτώμενο τασικό πεδίο. Μελετάμε την επίδραση αυτού του μικρού χρονικά εξαρτώμενου τασικού πεδίου στην διάδοση ενός μικρού κύματος σε ένα άπειρο μέσο. 29. D. Sfyris, On configurational weak phase transitions in graphene. Continuum Mechanics and Thermodynamics, 28 (2016) Μελετάμε διαμορφωτικές ασθενείς αλλαγές φάσεις για ένα μονοστρωματικό ελεύθερο γραφένιο. Αρχικά χαρακτηρίζουμε τις 14

15 ασθενείς γειτονίες μετασχηματισμού περιορίζοντας κατάλληλα την μετρική του χώρου. Εν συνεχεία διαχωρίζουμε μεταξύ των διαμορφωτικών και των κατασκευαστικών αλλαγών φάσης και ασχολούμαστε με τις δεύτερες. Υπολογίζουμε τους αναλλοίωτους υπόχωρους που αντιστοιχούν σε αυτές τις αλλαγές φάσης, και δίνουμε τις τροπές που μπορούν να σπάσουν την συμμετρία του πλέγματος του γραφενίου. Στο διάγραμμα διακλαδώσεων, οι τροπές που δεν αλλάζουν την συμμετρία συνοδεύονται από αλλαγές στην ευστάθεια αλλά όχι την συμμετρία. Οι τροπές που προκαλούν αλλαγή στην συμμετρία στο διάγραμμα διακλαδώσεων αντιστοιχούν σε τρείς επί-κριτικές καμπύλες οι οποίες μπορούν να ευσταθοποιηθούν σε υπο-κριτικές. 30. D. Sfyris, C. Galiotis, Curvature dependent surface energy for free standing monolayer graphene. Mathematics and Mechanics of Solids, 21 (2016) Στόχος της δουλειάς αυτής είναι να δωθεί μια συνεχή θεωρία για το γρφένιο λαμβάνοντας της συμμετρία του υπόψιν καθώς και την συμπεριφορά του σε λυγισμό. Ξεκινάμε από την διακριτή εικόνα του γραφενίου όπου το μοντελοποιούμαι σαν ένα εξαγωνικό 2-πλέγμα και βρίσκουμε τις αριθμητικές του συμμετρίες. Περιοριζόμαστε σε γειτονιές ασθενούς μετασχηματισκού οπότε μπορούμε να δουλέψουμε με τις γεωμετρικές συμμετρίες του γραφενίου. Χρήση του κανόνα Cauchy Born επιετρέπει την σύνδεση μεταξύ διακριτής και συνεχούς εικόνας. Στο επίπεδο του συνεχούς χρησιμοποιούμαι μια ενέργεια η οποία εξαρτάται από ένα εντός επιφάνειας μέτρο τάσης, τον τανυστή καμπυλότητας και το βοηθητικό διάνυσμα μετατόπισης. Η εξάρτηση από τον τανυστή καμπυλότητας επιτρέπει την μελέτη προβλημάτων λυγισμού. Εξάρτηση από το βοηθητικό διάνυσμα μετατόπισης προκύπτει από το ότι το γεφένιο στην διακριτή εικόνα έιναι 2-πλέγμα. Δίνουμε τις αναλλοίωτες της ενέργειας αυτής και έτσι υπολογίζουμε την επιφανειακή τάση και την επιφανειακή ροπή. Το μοντέλο αυτό στην απλούστερη μορφή τυ χρειάζεται 13 ελαστικές σταθερές οι οποίες θα πρέπει να υπολογιστούν από πειράματα. Το όλο πλαίσιο είναι σε ισχύ στην γεωμετρικά και υλικά μη-γραμμική περίπτωση. Παρουσιάζουμε επίσης και τι συμβαίνει στις περιπτώσεις που οι συμμετρίες του γραφενίου σπάνε. Β. Επιστημονικές ανακοινώσεις σε συνέδρια. Β. 1. Επιστημονικές ανακοινώσεις σε συνέδρια. 15

16 (με δημοσίευση στα πρακτικά) Τίτλος Συνεδρίου: The 4th Conference on Mechanical Vibration and Noise 2012 ASME International Design Engineering TechnicalConferences (IDETC) August 12-15, 2012, Chicago, Illinois, USA. Τίτλος Εργασίας, Συγγραφείς και Περιγραφή: 1. On the analytical evaluation of the lubricant pressure in the finite journal bearing. Αποδεκτό. A. Chasalevris, D. Sfyris. Η εργασία αυτή βασίζεται στο δημοσίευμα 9. Επιλύουμε αναλυτικά την εξίσωση του Reynolds για την λίπανση των εδράνων με πεπερασμένο μήκος. Τίτλος Συνεδρίου: The Eight International conference on Vibration Engineering and Technology of Machiinery (VETOMAC-VIII), Gdansk, Poland, September 3-7, Τίτλος Εργασίας, Συγγραφείς και Περιγραφή: 2. Analytical evaluation of the finite journal bearing impedance forces using the exact analytical solution of the Reynolds equation. Αποδεκτό. A. Chasalevris, D. Sfyris. Η εργασία αυτή βασίζεται στο δημοσίευμα 9. Χρησιμοποιούμαι την αναλυτική λύση της εξίσωσης του για να υπολογίσουμε κάποια σημαντικά χαρακτηριστικά του πεπερασμένου εδράνου. Τίτλος Συνεδρίου: The fifth national conference of the Hellenic society of nondestructive testing. Non - Destructive Testing certification Applications - New Developments. Athens, National Technical University of Athens, November 18-19, Τίτλος Εργασίας, Συγγραφείς και Περιγραφή: 16

17 3. Antiplane mixed boundary value problem of electroelastic media, for a piezoelectric medium with defects in the form of holes. Proceedings of the conference, pp D.I. Bardzokas, G.I. Sfyris, D. Sfyris. Η μελέτη των ακουστικών και ηλεκτρικών πεδίων σε πιεζοηλεκτρικά μέσα με ατέλειες στα οποία επιδρούν ηλεκτρόδια, συνεπάγεται την μελέτη μεικτών συνοριακών προβλημάτων της ηλεκτροελαστικότητας για μερικώς ομογενή σώματα. Στην περίπτωση όπου η θέσεις των ηλεκτροδίων και το σχήμα των ατελειών είναι τυχαίες οι κλασσικές μέθοδοι συναντούν μεγάλες μαθηματικές δυσκολίες. Στην εργασία μελετάμε το αντιεπίπεδο δυναμικό και μεικτό συνοριακό πρόβλημα της ηλεκτροελαστικότητας για ένα σώμα με ατέλειες με μορφή οπών με χρήση της μεθόδου των μιγαδικών δυναμικών συνδυασμένη με την θεωρία των ολοκληροδιαφορικών εξισώσεων για να κάνουμε μια γενίκευση των διαφόρων θεωριών που έχουν παρουσιαστεί στην βιβλιογραφία. Τίτλος Συνεδρίου: The second International conference on non-smooth/non-convex mechanics with applications in engineering. Aristotle University of Thessaloniki, July 7-8, Proceedings of the conference, pp Τίτλος Εργασίας, Συγγραφείς και Περιγραφή: 4. On the force acting on dislocations within nonlinear elastostatics. D. Sfyris, N. Charalambakis, V. K. Kalpakides Στην παρούσα εργασία πλήρες το δημοσίευμα 1 παρουσιάζεται. Λόγος γίνεται για τα βασικότερα συμπεράσματα του αναφορικά με την φύση της δύναμης που ασκείται στο πεδίο των ατελειών. Η ταυτότητα μεταξύ των εξισώσεων ορμής και υλικής ορμήςαποτελεί το πιο ουσιαστικό αποτέλεσμα της μελέτης αυτής και παρατίθενται κάποιες ιδέες για τις αναγκαίες εξισώσεις όταν το πεδίο των ατελειών δύναται να μεταβάλλεται. Τίτλος Συνεδρίου: The 8th HSTAM International congress on mechanics. University of Patras, July 12-14, Proceedings of the conference pp

18 Τίτλος Εργασίας, Συγγραφείς και Περιγραφή: 5. Continuously dislocated elastic bodies subjected to antiplane shear. Sfyris D., Charalambakis, N., Kalpakides V. K. Η εργασία αυτή στηρίζεται στο δημοσίευμα 2. Λόγος γίνεται για τρείς συνεχείς κατανομές εξαρθρώσεων σε ένα ελαστικό σώμα το οποίο υπόκειται σε αντιεπίπεδη διάτμηση. Αναζητούμε τις εκφράσεις που πρέπει να πάρει το πεδίο των ατελειών ώστε το υλικό να επιδέχεται ως λύση την αντιεπίπεδη διάτμηση. Επιπλέον, κάποια αριθμητικά αποτελέσματα αναφορικά με τις υλικές δυνάμεις καθώς και το πεδίο της παραμόρφωσης παρατίθενται. Τίτλος Συνεδρίου: The 9th HSTAM International congress on mechanics. University of Cyprus, July 12-14, Proceedings of the conference pp Τίτλος Εργασίας, Συγγραφείς και Περιγραφή: 6. On strong ellipticity and solvability of continuously dislocated elastic bodies. Sfyris D. Η εργασία αυτή στηρίζεται στο δημοσίευμα 6. Συνοπτικά παρουσιάζεται πως η ύπαρξη των ατελειών αφήνει ενεπηρέαστη την ελλειπτικότητα των διαφορικών εξισώσεων της ελαστοστατικής. Η ύπαρξη και το μονοσήμαντο λύσης εξετάζεται για ένα συγκεκριμένο σώμα και αναζητούνται τα όρια όπου το πεδίο των ατελειών θα πρεπει να ανήκει ώστε, σε κατάλληλους χώρους, λύση να υπάρχει και να είναι μοναδική. Τίτλος Συνεδρίου: The 9th HSTAM International congress on mechanics. University of Cyprus, July 12-14, Proceedings of the conference pp Τίτλος Εργασίας, Συγγραφείς και Περιγραφή: 7. Effect of the choice of plastic intermediate configuration in anisotropic and gradient plasticity. 18

19 Broese, C., Sfyris D., Tsakmakis, Ch. Η εργασία αυτή βασίζεται στο δημμοσίευμα 8. Αναδυκνείεται πως οι δύο επιλογές για την ενδιάμεση διαμόρφωση (isoclinic, arbitrary roatetd) οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα σε κλασσικές θεωρίες ανισοτροπικής πλαστικότητας. Η μελέτη επεκτείνεται σε θεωρίες βαθμίδας όπου η προσέγγιση με την arbitrary rotated προσφέρει περισσότερες δυνατότητες για την κατάστρωση θεωρητικών προβλημάτων. Β. 2. Επιστημονικές ανακοινώσεις σε συνέδρια. (χωρίς δημοσίευση στα πρακτικά) Τίτλος Συνεδρίου: The first international conference in computational mechanics. Belgrade, November 15-17, Τίτλος Εργασίας, Συγγραφείς και Περιγραφή: 1. Some variational arguments on the nonlinear continuum theory of dislocations. Kalpakides, V.K., Sfyris, D., Charalambakis, N. Στην προφορική παρουσίαση αυτή περιγράφεται τμήμα από το δημοσίευμα 2. Ουσιαστικά, παρατίθενται οι έννοιες από τον Λογισμό των Μεταβολών καθώς και το θεώρημα Noether για την ευθεία και την αντίστροφη περιγραφή της ελαστικότητας. Το σώμα περιέχει συνεχή κατανομή εξαρθρώσεων οι οποίες όμως δεν είναι ελεύθερες να κινηθούν. Επιπλέον, κάποιες βασικές έννοιες αναφορικά με το διάνυσμα Burgers των εξαρθρώσεων παρατίθενται. Πιο συγκεκριμένα, δίνονται οι διαφορές στον ορισμό του για την γεωμετρικά μη-γραμμική ελαστικότητα που οδηγούν στον ορισμό του τοπικού και του πραγματικού διανύσματος Burger. Τίτλος Συνεδρίου: The 11 th Greek Conference on Analysis. Department of Mathematics, Aristotle University of Thessaloniki, May 23-24,

20 Τίτλος Εργασίας, Συγγραφείς και Περιγραφή: 2. On the force acting on dislocations within nonlinear elastostatics. Sfyris, D., Charalambakis, N., Kalpakides, V. K. Η προφορική αυτή παρουσίαση στηρίζεται στο δημοσίευμα 2. Από αυστηρή μαθηματική σκοπιά δίνονται οι όροι κάτω από τους οποίους δύναται να εφαρμόσει κανείς τις τεχνικές από τον Λογισμό των Μεταβολών στην ευθεία και την αντίστροφη περιγραφή της ελαστικότητας όταν το σώμα περιέχει εξαρθρώσεις. Επίσης, ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την εφαρμογή του θεωρήματος Noether παρουσιάζονται τώρα που η ύπαρξη των εξαρθρώσεων κάνει το συναρτησιακό δράσης ανομοιογενές. Τα μαθηματικά αποτελέσματα που προκύπτουν εφαρμόζοντας τις τεχνικές αυτές εκτιμούνται και θεώρημα του Poincare δίνει φυσική υπόσταση σε έναν επιπλέον όρο που προκύπτει στην εξίσωση της υλικής ορμής. Τίτλος Συνεδρίου: The First International Conference on Material Modelling, Dortmund, Germany, September 15-17, Τίτλος Εργασίας, Συγγραφείς και Περιγραφή: 3. An approach to the theory of continuously dislocated bodies by means of configurational mechanics. Sfyris, D. Στην προφορική παρουσίαση αυτή παράγονται οι επιπλέον διαφορικές εξισώσεις που διέπουν το πεδίο των ατελειών, όταν αυτό δύναται να μεταβάλλεται με τον χρόνο. Για τον σκοπό τούτο αναχωρούμε από μια γενικευμένη αρχή διατήρησης της ενέργειας και υποθέτουμε αναλλοιωσιμότητα αυτής υπό κατάλληλες ομάδες μετασχηματισμών του πεδίου των ατελειών. Β.3 Προσκεκλημένος ομιλητής σε συνέδρια Τίτλος συνεδρίου: 20

21 The 8th European Solid Mechancis Conference, Graz, Austria, July 9-15, Τίτλος Εργασίας, Συγγραφείς και Περιγραφή: 1. The elastic and the corresponding dislocated material: Definition, strong ellipticity, solvability. Sfyris, D. Η εργασία αυτή στηρίζεται στο δημοσίευμα 6. Διατυπώνουμε την έννοια της αντιστοιχίας μεταξύ ενός ελαστικού προβλήματος και του αντίστοιχου εξαρθρωμένου. Η συνθήκη της ισχυρής ελλειπτικότητας καθώς και η επιλυσιμότητα (ύπαρξη και μονοσήμαντο λύσεων) μελετάται συγκριτικά για τα δύο προβλήματα αυτά. Τίτλος συνεδρίου: The Seventh GRACM International Congress on Computational Mechanics, NTUA, 30 June-2 July, 2011, Athens, Greece, pp Τίτλος Εργασίας, Συγγραφείς και Περιγραφή: 2. Propagation of a plane wave to a materially uniform but inhomogeneous body Sfyris, D. Η εργασία αυτή στηρίζεται στο δημοσίευμα 5. Μελετάται η διάδοση ενός επίπεδου κύματος σε σώμα με συνεχή κατανομή εξαρθρώσεων. Το αποτέλεσμα είναι ένα σύνολο περιορισμών για το πεδίο των εξαρθρώσεων ώστε η διάδοση αυτή να είναι εφικτή. Τίτλος συνεδρίου: Micromechanics and Modelling of Multifunctional Materials, Thessaloniki, AUTh, July 14-15, 2011, Greece Τίτλος Εργασίας, Συγγραφείς και Περιγραφή: 3. Plane progressive waves in micropolar bodies Sfyris, D., Tsakmakis, Ch. 21

22 Η εργασία αυτή στηρίζεται σε εργασία υπό προετοιμασία. Στα πλάισια των υλικών με μικροδομή μελετάται η δυνατότητα διάδοσης επίπεδων κυμάτων. Σύγκριδη γίνεται με την θεωρία των ιδιόμορφων επιφανειών καθώς και με την συνθήκη της ισχυρής ελλειπτικότητας. Γ. Διδακτορική Διατριβή. Θέμα Διατριβής: Εφαρμογή εννοιών από την υλική μηχανική των Eshelby και Maugin στην μη-γραμμική θεωρία συνεχώς κατανεμημένων εξαρθρώσεων Επιβλέποντες: Χαραλαμπάκης Ν., Καθηγητής Α.Π.Θ. Καλπακίδης Β., Αν. Καθηγητής Παν. Ιωαννίνων Η διδακτορική διατριβή αξιοποιεί έννοιες από την «Υλική Μηχανική» για να μελετήσει σώματα που περιέχουν συνεχείς κατανομές εξαρθρώσεων. Η κεντρική ιδέα πίσω από την «Υλική Μηχανική» υποστηρίζει πώς ο υλικός χώρος είναι δυνατόν να δώσει περισσότερες πληροφορίες από τον φυσικό χώρο όταν στο σώμα υπάρχουν ατέλειες. Για τον σκοπό αυτό χρησιμοποιεί καινούριες έννοιες όπως η εισαγωγή νέου είδους δυνάμεων οι οποίες καλούνται υλικές καθώς και μια καινούρια εξίσωση πεδίου-αντίστοιχη με την εξίσωση της φυσικής ορμής-την εξίσωση της υλικής ορμής. Ενστερνιζόμενοι τις απόψεις αυτές, ξεκινήσαμε μελετώντας εάν η δύναμη η οποία ασκείται από το ελαστικό πεδίο σε μια συνεχή κατανομή στάσιμων εξαρθρώσεων είναι υλική και εάν πράγματι κάτι τέτοιο έχει να προσδώσει κάτι καλύτερο στην προσέγγιση των προβλημάτων από την υλική σκοπιά. Στάσιμες είναι εκείνες οι εξαρθρώσεις οι οποίες υπάρχουν μεν στο σώμα αλλά δεν δύναται να κινηθούν. Το συμπέρασμα στο οποίο καταλήξαμε υποστηρίζει ότι η υλική περιγραφή, με την κλασσική μορφή που δίνεται στην βιβλιογραφία, αδυνατεί να δώσει περισσότερες πληροφορίες από την φυσική περιγραφή. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι χρησιμοποιεί σαν βασικό πεδίο την αντίστροφη περιγραφή της ελαστικότητας η οποία εγκλωβίζεται στην περιγραφή του ιδίου φαινομένου απλώς με έναν διαφορετικό τρόπο-από την σκοπιά του υλικού χώρου. Το συμπέρασμα αυτό γενικεύεται ακόμα και όταν οι εξαρθρώσεις δύναται να κινηθούν-όταν έχουμε, δηλαδή, έναρξη των πλαστικών παραμορφώσεων. Συνεπώς, εξάγεται το συμπέρασμα ότι, παρότι η εξίσωση της υλικής ορμής αναδεικνύει με καλύτερο τρόπο την ύπαρξη των εξαρθρώσεων-κάτι για το οποίο η εξίσωση της ορμής είναι αναίσθητη -παραμένει μια ταυτότητα με αυτήν. Το ίδιο πρόβλημα λύνουν, ουσιαστικά, απλώς με διαφορετικό τρόπο. Επίσης, 22

23 αναφορικά με τις δυνάμεις, παίζουν τον ίδιο ρόλο στην περιγραφή του ίδιου φαινομένου με διαφορετικό τρόπο. Η ισοδυναμία αυτή μεταξύ των εξισώσεων δημιουργεί την ανάγκη να εισαχθούν νέες εξισώσεις όταν οι εξαρθρώσεις δύναται να κινηθούν-στα προβλήματα της πλαστικότητας, δηλαδή. Παραγάγουμε τις εξισώσεις αυτές ξεκινώντας από μια γενικευμένη εξίσωση ενέργειας και απαιτώντας αυτή να είναι αναλλοίωτη υπό κατάλληλη ομάδα μετασχηματισμών του πεδίου των ατελειών. Οι καινούριες εξισώσεις παίζουν τον ρόλο των εξισώσεων πεδίου για τις ατέλειες και για να καταστρωθεί ένα πλήρες πρόβλημα πλαστικότητας θα πρέπει και αυτές να συμπεριληφθούν στο σύνολο των προς επίλυση εξισώσεων. Η παραγωγή συνοδεύεται από μια μελέτη του δεύτερου θερμοδυναμικού νόμου τώρα που το πεδίο των ατελειών έχει εισαχθεί στις καταστατικές μεταβλητές του προβλήματος. Στα πλαίσια της ελαστικότητας, υπό το πρίσμα της υλικής μηχανικής, παραθέτουμε μια καινούρια παραγωγή της εξίσωσης της υλικής ορμής. Προκύπτει με εφαρμογή του θεωρήματος των Green και Rivlin στον υλικό χώρο. Η παραγωγή αυτή, η οποία είναι καινούρια στην βιβλιογραφία, ενισχύει τον υπάρχοντα δυϊσμό ανάμεσα στον υλικό και στον φυσικό χώρο. Για την περίπτωση των στάσιμων εξαρθρώσεων παρουσιάζουμε τρία συγκεκριμένα παραδείγματα. Σώμα με τρείς διαφορετικές κατανομές εξαρθρώσεων υπόκειται σε αντιεπίπεδη διάτμηση. Η παρουσία των εξαρθρώσεων μεταβάλλει τον καταστατικό νόμο των τάσεων. Αυτό έχει ως συνέπεια όροι από το πεδίο των εξαρθρώσεων να εμφανίζονται στις διαφορικές εξισώσεις της κίνησης. Μελετάμε υπό ποιές συνθήκες για το πεδίο των εξαρθρώσεων οι διαφορικές εξισώσεις μπορούν από ένα σύστημα των τριών διαφορικών εξισώσεων με δύο αγνώστους να οδηγήσουν σε μια διαφορική εξίσωση με έναν άγνωστο. Κάτω από συγκεκριμένες περιπτώσεις βρίσκουμε και αναλυτικές λύσεις. Επίσης, κάποια αριθμητικά στοιχεία παρατίθενται σε σχέση με τις τάσεις που εμφανίζονται λόγο της παρουσίας των εξαρθρώσεων. Η ερευνητική δραστηριότητα κατά την διάρκεια του διδακτορικού οδήγησε στην συγγραφή και δημοσίευση τριών επιστημονικών άρθρων. Τα άρθρα αυτά περιγράφονται εκτενέστερα πιο πάνω. Δ. Συμμετοχή σε ερευνητικά προγράμματα Επιστημονικός συνεργάτης για διάστημα έξι (6) μηνών για τις ανάγκες του έργου με τίτλο «Constitutive Equations and Boundary Conditions for the Pseudomomentum Equation». Η χρηματοδότηση έγινε από το ερευνητικό πρόγραμμα «ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ΙΙ». Στόχος του ερευνητικού αυτού έργου ήταν η μελέτη καταστατικών εξισώσεων 23

24 και συνοριακών συνθηκών για την εξίσωση της υλικής ορμής. Επιστημονικός υπεύθυνος: Βασίλειος Καλπακίδης, Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων. Από την 1 Νοέμβρη 2012 μέχρι 31 Αυγούστου 2015 εργάστηκα σαν μεταδιδακτορικός ερευνητής στο Ίδρυμα Τεχνολογίας Έρευνας, Ινστιτούτο Επιστημών Χημικής Μηχανικής και ασχολούμε με την μηχανική του γραφενίου στα πλάισια ενός ERC προγράμματος με τίτλο: Yield and Failure of Graphene and Graphene-based Nanocomposites. Επιστημονικός υπεύθυνος: Κώστας Γαλιώτης, Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών. Ε. Διδακτική Εμπειρία Επικουρικό έργο κατά την διάρκεια εργασίας για την λήψη του διδακτορικού στο Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης για τις ανάγκες του μαθήματος «Αντοχή Υλικών ΙΙ». Οι συμβάσεις ανάθεσης έργου ήταν συνολικής διάρκειας 17 μηνών. Στα πλαίσια του επικουρικού αυτού έργου περιλαμβανόταν η επίλυση ασκήσεων, η επικουρική θεωρητική διδασκαλία, η επίλυση αποριών στους φοιτητές, η διενέργεια εξετάσεων και η διόρθωση ασκήσεων, θεμάτων και γραπτών. Υπεύθυνος μαθημάτων: Χαραλαμπάκης Νικόλαος, Καθηγητής Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Από τον Οκτώβρη του 2008 μέχρι τον Μάρτη του 2009 επιστημονικός συνεργάτης στο Τ.Ε.Ι. Καλαμάτας-Παράρτημα Σπάρτης στο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών. Διδασκόμενα μαθήματα: i. Μαθηματική Ανάλυση Ι ii. Μαθηματική Ανάλυση ΙΙ, μαθήματα κορμού Α και Β εξαμήνου, αντίστοιχα. Από τις 5 ώρες διδασκαλίας εβδομαδιαίος δίδασκα τις 3, για κάθε μάθημα. Στα πλαίσια των μαθημάτων αυτών διδάσκονται οι βασικές έννοιες της ανάλυσης: ακολουθίες, σειρές, όριο, παράγωγος, ολοκλήρωμα (απλό και πολλαπλό) καθώς και συνήθης διαφορικές εξισώσεις πρώτης και ανώτερης τάξης. Από την 1 Απρίλη 2009 μέχρι τις 30 Σεπτεμβρίου 2011 εργαζόμουνα ως επιστημονικός συνεργάτης στο Τεχνικό Πανεπιστήμιο του Darmstadt. Στα πλαίσια αυτά δίδαξα τα κάτωθι μαθήματα: i. Continuum Mechanics II (θερινό εξάμηνο ) ii. Continuum Mechanics I (χειμερινό εξάμηνο ) iii. Tensor Calculus for Engineers (θερινό εξάμηνο ) iv. Plasticity Theory (χειμερινό εξάμηνο ) 24

25 v. Continuum Mechanics II (θερινό εξάμηνο ) Για το πρώτο μάθημα έφερα την πλήρη ευθύνη (αυτοδύναμη διδασκαλία), δηλαδή παράδοση θεωρίας, επίλυση ασκήσεων, αποριών καθώς και διενέργεια εξετάσεων. Το μάθημα αυτό είναι μάθημα επιλογής 3 ου έτους (8 ο εξάμηνο) και διδάσκεται 4 ώρες την εβδομάδα. Τα περιεχόμενα του μαθήματος αυτού είναι η μηγραμμική ελαστικότητα, η διάδοση κυμάτων σε ελαστικά μέσα, η γραμμική και μη-γραμμική ιξωδοελαστικότητα, η γραμμική και μηγραμμική πλαστικότητα. Για το δεύτερο μάθημα, που είναι μάθημα επιλογής 3 ου έτους (7 ο εξάμηνο), ήμουν υπεύθυνος για την επίλυση ασκήσεων και αποριών καθώς και για την διενέργεια εξετάσεων. Το μάθημα αυτό διδάσκεται 4 ώρες την εβδομάδα και η επίλυση ασκήσεων είναι 2 ώρες κάθε δεύτερη εβδομάδα. Τα περιεχόμενα του είναι οι βασικές έννοιες από την Μηχανική των Συνεχών Μέσων, την γραμμική και μη-γραμμική ελαστικότητα. Για το τρίτο μάθημα έφερα την πλήρη ευθύνη (αυτοδύναμη διδασκαλία), δηλαδή παράδοση θεωρίας, επίλυση ασκήσεων και αποριών καθώς και διενέργεια εξετάσεων. Το μάθημα αυτό είναι μάθημα επιλογής 3 ου έτους (8 ο εξάμηνο) και διδάσκεται 4 ώρες την εβδομάδα. Τα περιεχόμενα του μαθήματος αυτού είναι κάποιες βασικές έννοιες για σταθμητούς και χώρους εσωτερικού γινομένοου, η θεωρία των τανυστών δευτέρης και ανώτερης τάξης, χρήση καμπυλόγραμμων συστημάτων συντεταγμένων, τελεστές κλίσης, απόκλισης, στροφής καθώς και κάποιες βασικές έννοιες από την διαφορική γεωμετρία (μετρική και συνοχή(connection)). Για το τέταρτο μάθημα έφερα την πλήρη ευθύνη (αυτοδύναμη διδασκαλία), δηλαδή παράδοση θεωρίας, επίλυση ασκήσεων και αποριών καθώς και διενέργεια εξετάσεων. Επιπλέον, έργαψα δικές μου σημειώσεις. Το μάθημα αυτό είναι επιλογής 3 ου έτους (7 ο εξάμηνο) και διδάσκεται 4 ώρες την εβδομάδα. Τα περιεχόμενα του μαθήματος είναι γραμμική και μη γραμμική ελαστοπλαστικότητα. Στα πλαίσια της γραμμικής θεωρίας παρουσιάζουμε κάποιες προκαταρτικές έννοιες βασιζόμενοι σε μονοδιάστατα αλλά και διδίαστατα πειραματικά αποτελέσματα. Εν συνεχεία γενικεύουμε δίνοντας την κλασσική flow theory of plasticity. Γενικεύσεις αυτής σε θεωρίες με περισσότερες επιφάνειες διαρροής παρουσιάζονται επίσης. Ακόμη, οι βασικές έννοιες της ενδοχρονικής θεωρίας παραθέτωνται. Η προσέγγιση επεκτείνεται σε μη γραμμικές περιπτώσεις. Από την 1 Οκτώβρη 2011 μέχρι της 30 Ιούνη 2012 εργαζόμουνα ώς Επισκέπτης Λέκτορας στο Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Στα πλαίσια αυτά δίδαξα τα κάτωθι μαθήματα ι. Μαθηματικά (χειμερινό εξάμηνο ) ιι. Στατιστική (εαρινό εξάμηνο ) ιιι. Βιοστατιστική (εαρινό εξάμηνο ) 25