Dragan Jukić. y 3 E 2. y 4. Nerecenzirano F 2 F 1. y 1 E 1 KONVEKSNI SKUPOVI OSIJEK, 2015.

Transcript

1 Dragan Jukić E 2 F 2 F 1 y 3 y 4 y 1 E 1 y 2 KONVEKSNI SKUPOVI OSIJEK, 2015.

2 prof.dr.sc. Dragan Jukić KONVEKSNI SKUPOVI Osijek, 2015.

3 D. Jukić Konveksni skupovi. Izdavač: Sveučilište J. J. Strossmayera, Odjel za matematiku Recenzenti: Prof.dr.sc.?? Prof.dr.sc.?? Lektor: Ivanka Ferčec, prof. Tehnička obrada: Prof.dr.sc. Dragan Jukić CIP zapis dostupan u računalnom katalogu Gradske i sveučilišne knjižnice Osijek pod brojem??. ISBN?? Udžbenik se objavljuje uz suglasnost Senata Sveučilišta J. J. Strossmayera u Osijeku pod brojem??. Udžbenik se tiska uz novčanu potporu Ministarstva znanosti, obrazovanja i športa. c Dragan Jukić, Tisak:??

4 i Sadržaj Predgovor iii 1. Uvod Konveksni skupovi Zašto konveksnost? Problem matematičkog programiranja Problem projekcije točke na skup Problem linearnog programiranja Zadaci za vježbu Konveksna ljuska i Carathéodoryjev teorem Afina geometrija Topologija konveksnih skupova Carathéodoryjev teorem Osnovni teorem linearnog programiranja Zadaci za vježbu Separacija konveksnih skupova Projekcija na zatvoren konveksan skup Dualni konus i projekcija na zatvoren konveksan konus Dekompozicija poliedarskog skupa Potporna hiperravnina Teoremi o separaciji konveksnih skupova Farkaseva lema i varijante Zadaci za vježbu Reprezentacija konveksnih skupova Ekstremalne točke i stranice konveksnog skupa Teorem Minkowskog Recesivni i asimptotski konus konveksnog skupa Asimptotski potprostor Recesivni potprostor Dekompozicija konveksnog skupa Zadaci za vježbu Poliedri Stranice poliedra Vrhovi i bridovi poliedra Recesivni konus poliedra Zadaci za vježbu Literatura 99

5 ii Indeks 101

6 iii PREDGOVOR Autor će biti zahvalan svim čitateljima na njihovim primjedbama u svezi s eventualnim pogreškama, nepreciznostima ili nedostacima koje će koristiti za novo izdanje. Na kraju, zahvaljujem svima koji su izravno ili na drugi način pomogli da se ova knjiga tiska i bude što bolja. To se posebice odnosi na recenzente koji su pažljivo pročitali rukopis i svojim primjedbama i sugestijama utjecali na mnoge dijelove teksta. U Osijeku, rujan Dragan Jukić

7

8 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Uvod Teorija konveksnosti je relativno novo područje matematike u kojem se isprepliću svojstva iz geometrije, analize, linearne algebre, topologije i kombinatorike. Bazirana je na jednostavnom geometrijskom konceptu koji joj i daje ime. Teorija konveksnosti je fundamentalna u mnogim područjima optimizacije, a od važnosti je i u statistici, matematičkoj ekonomiji, funkcionalnoj analizi, teoriji aproksimacija, itd. Primjerice, ona je osnovni matematički alat za linearno programiranje. Poznatu Rockafellarovu knjigu [10] smatra se jednom od klasičnih knjiga iz teorije konveksnosti. Vrlo detaljan prikaz teorije konveksnosti može se naći npr. u [11] i [17]. Suvremeni pristup primjenama teorije konveksnosti u optimizaciji može se naći npr. u [16]. Za primjenu konveksnosti u teorijskoj statistici zainteresiranog čitatelja upućujemo, primjerice, na knjigu [15]. Mi se u ovoj knjizi ograničavamo na konveksnost u vektorskom prostoru R n. Medutim, čitatelj treba znati da se cijela teorija može napraviti u konačno dimenzionalnim vektorskim prostorima, a mnogi rezultati će vrijediti i u beskonačno dimenzionalnim vektorskimprostorima. Na elemente od R n gledamo kao na vektorstupce, a oznaku R m n koristimo za skup svih realnih matrica tipa m n. Vektore i matrice pisat ćemo isključivo masnim pismom(fontom). U skladu s tim, euklidski skalarni produkt x,y = n x iy i vektora x = [x 1,...,x n ] T,y = [y 1,...,y n ] T R n možemo zapisati u matričnom obliku kao x,y = x T y. Nadalje, ako je x i y i za svaki i = 1,...,n, kratko ćemo pisati x y ili y x. Od vektorskih normi koristit ćemo euklidsku normu (ili 2-norma). Jasno, veza izmedu euklidskog skalarnog produkta i euklidske norme je x = x T x. Otvorenu kuglu radijusa r > 0 s centrom u točki x 0 R n, tj. skup {x x 0 : x x 0 < r}, označavat ćemo s B(x 0,r). Kao što je to i uobičajeno u matematičkoj literaturi, funkcije, varijable i skupove označavat ćemo kurzivom, a grčki alfabet ćemo koristiti isključivo za realne varijable. Za nove pojmove koji se prvi put pojavljuju u tekstu koristit ćemo san serif font. Materijal ove knjige namijenjen je prvenstveno studentima matematike, i to kao udžbenik iz kolegija Konveksni skupovi. Od studenata se pretpostavlja poznavnje linearne algebre i realne analize. Teorijski dio ilustriran je mnoštvom primjera i slika. U svakom poglavlju redom su numerirane definicije, propozicije, leme, teoremi i primjeri. Na kraju svakog poglavlja nalaze se zadaci (zajedno s uputama za rješavanje) koji služe za upotpunjavanju gradiva i poticanje na samostalni rad.

9 2 Uvod 1.1. Konveksni skupovi Po uzoru na geometriju u trodimenzionalnom euklidskom prostoru, u R n se definiraju pravac, zraka, segment, hiperravnina, afina mnogostrukost i neki drugi pojmovi. Za x,y R n skup [x,y] := {(1 λ)x+λy : λ [0,1]} nazivamo segment (ili spojnica) s krajevima x i y. x λx+(1 λ)y = y+λ(x y) y Slika 1. Pravac kroz točke x i y. Segment [x,y] je označen plavom bojom Definicija Kažemo da je skup K R n konveksan ako vrijedi ( x,y K) [x,y] K. Promatrano geometrijski, skup K je konveksan ako za svake svoje dvije točke sadrži i segment koji spaja te dvije točke. Očigledno, jednočlan skup je konveksan. Prazan skup takoder smatramo konveksnim. Lako je pokazati da je presjek proizvoljne familije konveksnih takoder konveksan skup. Slika 2. Primjeri konveksnih skupova u ravnini.

10 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, x S Slika 3. Skup S R 2 nije konveksan Primjedba Nije točno da je skup S konveksan ako ima svojstvo x,y S = 1 (x+y) S. 2 Za kontraprimjer možete uzeti skup S svih racionalnih brojeva. Izmedu svaka dva racionalna broja nalazi se beskonačno mnogo iracionalnih brojeva. Zato skup racionalnih brojeva nije konveksan, iako ima gornje svojstvo Primjer. Neka su zadani vektor a R n i realan broj β. Skup nazivamo hiperravnina, a skupovi H a,β = {x R n : a,x = β} H a,β = {x Rn : a,x β} y H + a,β = {x Rn : a,x β} nazivaju se zatvoreni poluprostori odredeni hiperravninom H a,β. Vektor a R n zovemo vektor normale na hiperravninu H a,β. Lako je pokazati da su skupovi H a,β, H a,β i H+ a,β konveksni i zatvoreni. Ako je iz konteksta jasno o kojoj normali a i o kojem β se radi, izostavljat ćemo ih u označavanju hiperravnine i odgovarajućih poluprostora te pisati samo H, H ili H +. Nadalje, radi lakšeg izražanja često je korisno H [odnosno H + ] zvati negativnim [odnosno pozitivnim] zatvorenim poluprostorom odredenim hiperravninom H. Iz istog razloga, otvorene i konveksne skupove H \H [odnosno H + \H] zvat ćemo negativnim [odnosno pozitivnim] otvorenim poluprostorom odredenim s H.

11 4 Uvod 0 x a x 0 := β a 2 a Slika 4. a T x 0 = β = H a,β = {x R n : a T (x x 0 ) = 0} = {x R n : (a x 0 ) T (x x 0 ) = 0} Primjer. Neka su A R m n, b R m. Skup P = {x R n : Ax b} zovemo poliedar u R n. Uočite da na poliedar možemo gledati kao na presjek konačno mnogo konveksnih i zatvorenih poluprostora. Zato je on takoder konveksan i zatvoren, a zovemo ga još i konveksni poliedar. H a,β ={x R n : a T x = β} P 1 P2 Slika 5. P 1 R 2 je omeden, a P 2 R 2 je neomeden poliedar.

12 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Definicija Konveksna kombinacija vektora x 1,...,x m R n je svaki vektor x oblika x = m λ i x i, gdje su λ i 0, i = 1,...,m, realni brojevi takvi da je m λ i = 1. Skup svih konveksnih kombinacija točaka iz skupa S R n naziva se konveksnaljuska skupa S i označava sa convs Primjedba Lako je pokazati da je te da je convs konveksan skup. S convs 1.7. Primjer. Matematičko očekivanje konačne slučajne varijable je usko povezano s konveksnošću. Neka konačna slučajna varijabla X ima distribuciju ( ) x1 x X 2 x m, p 1 p 2 p m gdje je p i > 0 vjerojatnost da ta slučajna varijabla primi vrijednost x i, te m p i = 1. Njezino matematičko očekivanje E[X], definirano kao E[X] = m p i x i, je konveksna kombinacija brojeva x 1,...,x m Propozicija Skup S R n je konveksan onda i samo onda ako se podudara sa svojom konveksnom ljuskom, tj. ako je S = convs. Dokaz. Ako je S = convs, budući da je convs konveksan, S je konveksan skup. Obratno, pretpostavimo da je S konveksan skup i pokažimo da je S = convs. Kako je S convs, preostaje pokazati da je convs S. Dokaz ćemo provesti pomoću matematičke indukcije po m, gdje m označava broj točaka koje ulaze u konveksnu kombinaciju. Za m = 1 i m = 2 tvrdnja proizlazi iz definicije konveksnosti. Pretpostavimodajetvrdnjadokazanazaprirodnibrojmipretpostavimodajexkonveksna kombinacija od m+1 vektora iz S. Tada postoje vektori x 1,...,x m+1 S i realni brojevi λ i 0, i = 1,...,m+1, takvi da je x = m+1 λ ix i i m+1 λ i = 1.

13 6 Uvod Ako je m λ i = 0, onda je x = x m+1 S. Ako je m λ i 0, zapišimo vektor x kao m m λ 1 x = µy+λ m+1 x m+1, gdje su µ = λ i, y = µ x i. Budući da je vektor y konveksna kombinacija od m vektora iz S, po induktivnoj pretpostavci on leži u skupu S. No tada i vektor x kao konveksna kombinacija vektora y i x m+1 iz S, takoder pripada skupu S Teorem Konveksna ljuska skupa S R n je najmanji konveksan skup koji sadrži S, tj. presjek svih konveksnih skupova koji sadrže S. Dokaz. Neka je W presjek svih konveksnih skupova iz R n koji sadržeskup S. Treba pokazati da je convs = W. Iz S W slijedi convs convw, a zbog konveksnoti skupa W i propozicije 1.8. je convw = W. Dakle, convs W. Nadalje, kako je S convs, S convs konveksan skup te kako je W najmanji konveksan skup koji sadrži S, slijedi W convs Primjer. Politop u R n je konveksna ljuska konačno mnogo točaka iz R n, koje zovemo generatorima politopa. Slika 6. Politop u R 2 i politop u R Definicija Kažemo da su točke x 1,...,x m R n konveksno nezavisne ako se ni jedna od njih ne može prikazati kao konveksna kombinacija preostalih točaka. U suprotnom, tj. ako se barem jedna od njih ne može prikazati kao konveksna kombinacija preostalih, za te točke kažemo da su konveksno zavisne. Osim konveksnih skupova, u teoriji optimizacije važnu ulogu imaju konusi i konveksni konusi. Krenimo od definicije konusa:

14 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Definicija Skup C R n je konus s vrhom u nuli ako za svaki x C i za svako λ 0 vrijedi λx C. Ako je x 0 R n i C R n konus s vrhom u nuli, onda skup C x0 := x 0 +C = {x 0 +x : x C} zovemo konus s vrhom u x 0. Ako je konus ujedno i konveksan skup, onda se on naziva konveksni konus. Prazan skup takoder smatramo konusom. Konus ne mora biti konveksan, kao ni zatvoren ili otvoren Primjer. Za zadane x 0,q R n, q 0, skup {λq : λ 0} je konveksan konus s vrhom u nuli, a skup x 0 +{λq : λ 0} = {x 0 +λq : λ 0} je konveksan konus s vrhom u x 0. Zovemo ga još i zraka ili polupravac u R n, te kažemo da je točka x 0 ishodište zrake, a q vektor smjera te zrake. x 0 C 1 x 0 C 2 x 0 Slika 7. Konus C 1 je zraka, konus C 2 kao unija dviju zraka nije konveksan, konus C 3 nije zatvoren (niti je otvoren), konus C 4 je konveksan i zatvoren Primjer. Neka je A R m n. Lako je provjeriti da je konveksni poliedar C = {x R n : Ax 0} C 3 x 0 C C 4 ujedno i konus (s vrhom u nuli). Zovemo ga poliedarski konus Propozicija Neka su A R m n, b R m. Poliedar je konus ako i samo ako je b = 0. P = {x R n : Ax b}

15 8 Uvod Dokaz. Pretpostavimo da je P konus. Kako je 0 P, mora biti b 0. Nadalje, za sve x i sve λ > 0 je λx P pa vrijedi λax b, odnosno Ax 1 λb. Puštajući limes kada λ dobivamo Ax 0. Konusi imaju sljedeća važna svojstva: (i) Presjek proizvoljne familije konusa sa istim vrhom je konus sa tim vrhom. (ii) Ako su C 1 i C 2 konusi [konveksni konusi] s vrhom u x 0, onda je αc 1 + βc 2 konus [konveksni konus] sa vrhom u (α+β)x 0 za sve α,β R. (iii) Unija konusa je konus, ali unija konveksnih konusa ne mora biti konveksan konus. Nadalje, uočite da se svaki konus s vrhom različitim od nule dobiva kao translacija konusa s vrhom u nuli. Zbog toga, s teorijskog stajališta dovoljno je opisati samo konuse s vrhom u nuli. Zato od sada pa nadalje, pod konusom ćemo uvijek podrazumijevati konus s vrhom u nuli, osim ako se posebno ne naglasi da mu je vrh različit od nule Propozicija Skup S je konveksni konus (s vrhom u nuli) onda i samo onda za sve x,y S i sve α,β 0 vrijedi αx+βy S. Dokaz. Neka je S konveksni konus s vrhom u nuli. Uzmimo bilo koje dvije točke x,y S i bilo koja dva realna broja α,β 0. Ako je α+β = 0, onda je αx+βy = 0 S. Zato nadalje pretpostavimo da je α + β > 0. Tada, zbog konveksnosti, vrijedi α α+β x+ β α+β y S. Zato je, po definiciji konusa, ( α (α+β) α+β x+ β ) α+β y S, odnosno αx+βy S. Pretpostavimo sada da je αx + βy S za sve x,y S i sve α,β 0. Tada je αx +(1 α)y S za svaki α [0,1], što nam govori da je S konveksan skup. Nadalje, ako za unaprijed zadani λ 0 odaberemo α = β = λ/2 i y = x, tada dobivamo da je λx S, tj. S je konus s vrhom u nuli Definicija Konusna kombinacija vektora x 1,...,x m R m je svaki vektor x oblika x = m λ i x i, gdje su λ i 0, i = 1,...,m, realni brojevi. Skup svih konusnih kombinacija točaka iz skupa S R n naziva se konusna ljuska skupa S i označava sa cones.

16 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Lako je pokazati da je cones konveksan konus (s vrhom u nuli). Nadalje, očigledno je S cones Propozicija Skup S R n je konveksan konus (s vrhom u nuli) onda i samo onda ako je S = cone S. Dokaz. Dovoljno je iskoristiti propoziciju i oponašati dokaz propozicije Primjer. Prema propoziciji 1.18., konusna ljuska cone{x 1,...,x m } točaka x 1,...,x m R n je konveksni konus (s vrhom u nuli). Za taj konus kažemo da je konačno generiran skupom vektora {x 1,...,x m }, te ga još označavamo kao C(x 1,...,x m ). x 3 x 2 x 1 Slika 8. Konveksni konus C(x 1,x 2,x 3 ) R Teorem Konusna ljuska skupa S R n je najmanji konveksan konus (s vrhom u nuli) koji sadrži S, tj. presjek svih konveksnih konusa (s vrhom u nuli) koji sadrže S. Dokaz. Neka je W presjek svih konveksnih konusa iz R n koji sadrže skup S. Treba pokazati da je cones = W. Iz S W slijedi cones conew, a zbog konveksnoti skupa W i propozicije je conew = W. Dakle, cones W. Nadalje, kako je S cones, S cones konveksan konus te kako je W najmanji konveksan konus koji sadrži S, slijedi W cones.

17 10 Uvod Na kraju ove točke dajemo jedan interesantan rezultat koji kaže da je projekcija poliedra takoder poliedar. Taj rezultat ćemo iskoristi i kod dokaza Weylova 1 teorema (str. 42) koji kaže da je svaki konačno generirani konus poliedarski skup Teorem Neka je projekcija π k : R n R n 1 zadana formulom π k (x 1,...,x k 1,x k,x k+1,...,x n ) = (x 1,...,x k 1,x k+1,...,x n ). Ako je P poliedar u R n, onda je π k (P) poliedar u R n 1. Dokaz. Dokaz ćemo provesti pomoću tzv. Fourier 2 -Motzkinove 3 metode eliminacije za rješavanje sustava nejednadžbi. Pretpostavimo da je P = {x R n : Ax b}, gdje su A = (a ij ) R m n i b = [b 1,...,b m ] T R m. Neka je prvo [x 1,...,x k 1,x k+1,...,x n ] T π k (P). Tada postoji x k R takav da je x := [x 1,...,x k 1,x k,x k+1,...,x n ] T P, tj. Ax b. Nejednakosti Ax b razvrstat ćemo u tri grupe. U tu svrhu prvo definirajmo skupove I + = {i : a ik > 0}, I = {i : a ik < 0}, I 0 = {i : a ik = 0}, a zatim sustav nejednakosti Ax b zapišimo u sljedećem ekvivalentnom obliku: f i (x 1,...,x k 1,x k+1,...,x n) {}}{ x k ai1 x 1 a i,k 1 x k 1 a i,k+1 x k+1 ain x n + bi i I + a ik a ik a ik a ik a ik g i (x 1,...,x k 1,x k+1,...,x n) {}}{ x k ai1 x 1 a i,k 1 x k 1 a (1.1) i,k+1 x k+1 ain x n + bi i I a ik a ik a ik a ik h i (x 1,...,x k 1,x k+1,...,x n) {}}{ 0 a i1x 1 + +a i,k 1 x k 1 +a i,k+1 x k+1 + +a inx n b i i I 0. Iz (1.1) dobivamo } g i(x 1,...,x k 1,x k+1,...,x n) f j(x 1,...,x k 1,x k+1,...,x n) (i,j) I I + h i(x 1,...,x k 1,x k+1,...,x n) 0 i I 0 a ik (1.2) Obratno, pretpostavimo da za [x 1,...,x k 1,x k+1,...,x n ] T R n 1 vrijede nejednakosti (1.2). Nakon pažljivog promatranja tog sustava nejednakosti lako je pokazati da tada postoji x k R takav da za x := [x 1,...,x k 1,x k,x k+1,...,x n ] T R n vrijede sve nejednakosti iz (1.1), odnosno, ekvivalentno, tada je Ax b. To znači da je x P i [x 1,...,x k 1,x k+1,...,x n ] T π k (P). Dakle, pokazali smo da je [x 1,...,x k 1,x k+1,...,x n ] T π k (P) ako i samo ako vrijedi(1.2). Budućidaje (1.2)sustavlinearnihnejednadžbi, skupπ k (P)jepolidear po definiciji. 1 Herman Weyl ( ), njemački matematičar. 2 Jean Baptiste Joseph Fourier ( ), francuski matematičar. 3 Theodore Samuel Motzkin ( ), američki matematičar.

18 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Zašto konveksnost? Prije nego što dublje zaronimo u teoriju konveksnosti, za motivaciju ćemo u kratkim crtama navesti nekoliko problema/situacija u kojima konveksnost ima ključnu ulogu Problem matematičkog programiranja Ovaj problem sastoji se u odredivanju ekstremnih vrijednosti (minimuma ili maksimuma) realne funkcije f : D R definirane na nepraznom skupu D iz euklidskog prostora R n. Zbog jednakosti maxf(x) = min ( f(x)) x D x D dovoljno je ograničiti se na problem minimizacije, koji se kratko matematički zapisuje kao: uz ograničenja minf(x) (1.3) x D. (1.4) Napomenimo da se minimizirajuća funkcija f još naziva funkcija cilja (ili kriterija), a za skup D se kaže da je skup mogućih (ili dopustivih) rješenja. Za točku x D (ako takva točka postoji!) sa svojstvom da je f(x ) f(x), x D (1.5) kažemo da je točka globalnog (ili apsolutnog) minimuma funkcije f na skupu D, dok jef(x )vrijednostglobalnog(iliapsolutnog)minimumafunkcije f naskupud. Točka globalnog minimuma x još se zove i optimalno rješenje problema (1.3)-(1.4). Ako u (1.5) vrijedi stroga nejednakost za svaki x D, x x, kažemo da je x točka strogog globalnog minimuma. Ako postoji realan broj ε > 0 takav da vrijedi f(x ) f(x), x D B(x,ε), (1.6) gdje je B(x,ε) := {x R n : d(x,x ) < ε} otvorena kugla radijusa ε s centrom u točki x, radi se o točki lokalnog (ili relativnog) minimuma x i o odgovarajućoj vrijednosti lokalnog (ili relativog) minimuma f(x ). Dakle, problem matematičkog programiranja sastoji se u pronalaženju svih točaka globalnog minimuma, zajedno s odgovarajućom minimalnom vrijednosti funkcije f. Nažalost, problem je taj što većina numeričkih metoda za minimizaciju funkcije cilja daje samo lokalno optimalno rješenje. U primjenama je vrlo važan tzv. slučaj konveksnog programiranja, u kojem se minimizira konveksna funkcija na nekom konveksnom skupu. Prisjetimo se definicje konveksne funkcije:

19 12 Uvod Definicija Za funkciju f : K R definiranu na konveksnom skupu K R n kažemo da je konveksna ako za sve x,y K i za svaki λ [0,1] vrijedi f(λx+(1 λ)y) λf(x)+(1 λ)f(y). (1.7) Ako u (1.7) vrijedi stroga nejednakost za svaki λ [0,1], onda kažemo da je f strogo konveksna funkcija. Fukcija f je konkavna ako je funkcija f konveksna. Analogno, fukcija f je strogo konkavna ako je funkcija f strogo konveksna. Problem konveksnog programiranja općenito ne mora imati optimalno rješenje. Medutim, ako postoji lokalno optimalno rješenje, onda postoji i globalno optimalno rješenje. O tome nam govori sljedeći teorem (vidi i npr. Neralić [9, str. 27]) Teorem Ako je f konveksna funkcija definirana na konveksnom skupu D, onda je skup D točaka u kojima f prima minimum konveksan i svaki lokalni minimum je ujedno i globalni minimum. Dokaz. Pokažimo prvo da je D konveksan skup. Ako je D prazan ili jednočlan skup, po definiciji on je konveksan. Neka su x,y D. To znači da vrijedi f(x) f(x ) = f(y ), x D. Pomoću toga i konveksnosti funkcije f za svaki λ [0,1] dobivamo f(x ) f(λx +(1 λ)y ) λf(x )+(1 λ)f(y ) = f(x ), odakle slijedi f(λx +(1 λ)y ) = f(x ) i zato je f(x) f(λx +(1 λ)y ) za svaki x D, tj. λx +(1 λ)y D. Sada ćemo pokazati da je svaki lokalni minimum x D ujedno i globalni minimum. U tu svrhu pretpostavimo suprotno, tj. da postoji točka y D za koju je f(y ) < f(x ). Neka je ε > 0 bilo koji realan broj, a B(x,ε) otvorena kugla radijusa ε s centrom u točki x. Lako je pokazati da je λy +(1 λ)x B(x,ε), λ (0,ε/ y x ). Osim toga, zbog konveksnosti funkcije f i f(y ) < f(x ), za svaki realan broj λ (0,ε/ y x ) bi vrijedilo f(λy +(1 λ)x ) λf(y )+(1 λ)f(x ) < λf(x )+(1 λ)f(x ) = f(x ), što je kontradikcija činjenici da je x lokalni minimum.

20 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Problem projekcije točke na skup Neka je D neprazan podskup od R n. Za x R n broj d(x,d) := inf{ x y : y D} nazivamo udaljenost točke x do skupa D. Za svaku točku y 0 D za koju je x y 0 = d(x,d) kažemo da je projekcija točke x na skup D. Za točku y 0 još kažemo da je najbolja aproksimacija točke x pomoću skupa D. Jasno je da projekcija ne mora postojati za svaki skup D (npr. kad je D otvorena kugla, a x točka izvan te kugle), a ako postoji, ona općenito nije jedinstvena (npr. kad je D unija dviju zatvorenih disjunktnih kugli, a x polovište dužine koja spaja centre tih kugli). Prema tome, da bi se osigurala egzistencija projekcije, od skupa D potrebno je zahtijevati neka (i to što jednostvnija!) svojstva. Zanimljivo je da konveksnost skupa D osigurava jedinstvenost projekcije. Ta tvrdnja će biti dokazna u 3. poglavlju Problem linearnog programiranja Problem linearnog programiranja(lp) je specijalan slučaj matematickog programiranja, u kojem se maksimizira linearna funkcija na skupu zadanom pomoću linearnih jednadžbi i/ili nejednadžbi. Neka su zadani m n realna matrica A = [a ij ], vektor b R m i vektor c R n. Standardni oblik LP problema zapisan u matričnom obliku glasi: max c T x (1.8) uz ograničenja Ax b (1.9) x 0, (1.10) gdje je x R n vektor varijabli. Uočimo da je skup D = {x R n : Ax b, x 0} mogućih rješenja LP problema jedan konveksni poliedar. Standardni LP problem (1.8)-(1.10) možemo svesti na tzv. kanonski oblik s ograničenjima u obliku jednadžbi, uz nenegativnost varijabli: uz ograničenja max ĉ Tˆx ˆx = b (1.11) ˆx 0. (1.12) U tu svrhu dovoljno je uvesti tzv. dopunske varijable x n+i, i = 1,...,m, tako da vrijedi n a ij x j +x n+i = b i, i = 1,...,m j=1 x n+i 0, i = 1,...,m

21 14 Uvod i definirati  = [A,I m ], ˆx = x 1 x 2.. x n+m c 1., ĉ = c n 0,. 0 gdje I m u blok matrici [A,I m ] označava jediničnu matricu reda m. Uočimo da je skup ˆD mogućih rješenja definiran s (1.11)-(1.12) neprazan onda i samo onda ako se vektor b može prikazati kao linearna kombinacija stupaca matrice  s nenegativnim koeficijentima. Drugim riječima, skup ˆD je neprazan onda i samo onda ako je b C(â 1,...,â n+m ), gdje â j predstavlja j-ti stupac matrice Â. Zadaci za vježbu 1. Dokažite da je zatvorena kugla B(x 0,r) = {x R n : x x 0 r} konveksan skup. Uputa: λx+(1 λ)y x 0 = λ(x x 0 )+(1 λ)(y x 0 ). 2. Neka su A,B R n konveksni skupovi. Provjerite: (a) Skup A+B := {a+b : a A,b B} je konveksan. (b) Skup A B := {a b : a A,b B} je konveksan. (c) Za svaki λ R, skup λa := {λa : a A} je konveksan. 3. Dokažite da je skup A R n konveksan ako i samo ako je αa+βa = (α+β)a za sve α,β Neka su A,B R n. Dokažite da je skup A B konveksan ako i samo ako su konveksni skupovi A i B. 5. Neka je S R n omeden skup. Dokažite da je tada omedena i njegova konveksna ljuska convs. 6. Neka su S,T R n. Dokažite: (a) conv(convs) = convs. (b) Ako je S T, onda je convs convt. (c) convs convt conv(s T). 7. Neka je K konveksan skup. Dokažite da je tada konveksan i njegov zatvarač ClK. Uputa: Neka su x,y ClK i λ (0,1). Tada postoje nizovi (x k ) i (y k ) u skupu K takvi da x k x i y k y. Zato je λx k + (1 λ)y k K, a zbog zatvorenosti skupa K je λx k +(1 λ)y k λx+(1 λ)y K. 8. Neka je A : R n R m afino preslikavanje zadana s A(x) = Ax+c, gdje su A R m n, c R m. Dokažite: (a) Ako je K R n konveksan skup, onda je njegova slika A(K) konveksan skup u R m. (b) Ako je K R m konveksan skup, onda je praslika A 1 (K) = {x R n : A(x) K} konveksan skup u R n.

22 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Neka su C 1 i C 2 konusi. Dokažite: (a) C 1 C 2 je konus. (b) Ako su konusi C 1 i C 2 konveksni, onda je konveksan i konus C 1 C 2. Uputa: (b) Iskoristite 4. zadatak. 10. Presjek konveksnih konusa je konveksan konus. Dokažite! Da li je presjek konusa takoder konus? 11. Dokažite da je konus C konveksan onda ako i samo ako je C = C +C. 12. Neka je C R n konveksni konusi. Dokažite da je C vektorski potprostor od R n ako i samo ako je C = C. 13. Neka su C 1 i C 2 konveksni konus. Dokažite da je C 1 +C 2 konveksan konus i da vrijedi C 1 +C 2 = conv(c 1 C 2 ). 14. Neka su f i g konveksne funkcije definirane na konveksnom skupu K. Dokažite: (a) Funkcija f+g takoderje konveksna. (b) Funkcija αf je konveksnaza svaki α 0. (c) Skup L α := {x : x K, f(x) α} je konveksan za svaki α R. Skup L α zovemo nivo skup preslikavanja f. Uočite da je L α = f 1 (α).

23 16 Konveksna ljuska i Carathéodoryjev teorem 2. Konveksna ljuska i Carathéodoryjev teorem 2.1. Afina geometrija Neprazan skup M R n je afina mnogostrukost ili afin skup ako sadrži pravac kroz svake svoje dvije medusobno različite točke. Formalno, skup M R n je afin ako za sve x,y M vrijedi {(1 λ)x+λy : λ R} M. Najjednostavnij primjeri afinog skupa su pravac i hiperravnina. Svaki potprostor od R n je afin skup. Sljedeća propozicaija u potpunosti demistificira afine skupove; govori nam da je afin skup sinonim za linearnu mnogostrukost (translacija vektorskog potprostora za neki vektor), te da se na afin skup može može gledati kao na presjek konačno mnogo hiperravnina Propozicija Neka je M R n. Sljedeće tvrdnje su ekvivalentne: (i) M je afin skup. (ii) Za svaki x 0 M, skup M x 0 je vektorski potprostor od R n. Osim toga, za svaki drugi y 0 M je M y 0 = M x 0. (iii) Postoje r N, r n, matrica A R r n ranga r i vektor b R r takvi da je sustav Ax = b konzistentan i M = {x R n : Ax = b}. Dokaz. (i) = (ii). Za x 0 M stavimo L x0 := M x 0. Kako za sve x,y M i za sve α,β R vrijedi {}}{ M 1 [{}}{] α(x x 0 )+β(y x 0 ) = x 0 +2α(x x 0 ) + 1 M [{}}{] x 0 +2β(y x 0 ) x 0, 2 2 M slijedi da je L x0 vektorski potprostor. Nadalje, za dokaz jednakosti L y0 = L x0 dovoljno je uočiti sljedeće: M {}}{ x x 0 = x+(y 0 x 0 ) y 0 = L x0 L y0 }{{} L x0 x y 0 = M {}}{ x+(x 0 y 0 ) }{{} L y0 x 0 = L y0 L x0.

24 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, (ii) = (iii) Neka je L := M x 0, a L njegov ortogonalni komplement, tj. L = {y R n : y,l = 0, l L}. Tada je R n ortogonalna suma potprostora L i L (pišemo R n = L L ), diml+ diml = n i svaki vektor x R n može se na jedinstven način prikazati u obliku x = x L +x L, x L L, x L L. Nekajer dimenzijapotprostoral, tj. r = diml. Nadalje, nekavektor-stupci a 1,...,a r čine bazu za L. Kako je L okomit na L, to je a i,x x 0 = 0, za svaki x M i sve i = 1,...,r. To matrično možemo zapisati kao A(x x 0 ) = 0, gdje je A R r n matrica kod koje se u i-tom retku nalazi a T i. Time smo pokazali da je M {x R n : Ax = b}, gdje je b := Ax 0. Za dokaz obratne inkluzije pretpostavimo da je Ax = b, tj. A(x x 0 ) = 0. To znači da je vektor x x 0 okomitnasvevektorea 1,...,a r kojitvorebazuzal, štoimpliciradajex x 0 L, odnosno x x 0 +L = M. (iii) = (i) Ovaj smjer je lako provjeriti Definicija Pod dimenzijom afinog skupa M podrazumijevamo dimenziju vektorskog potprostora L := M x 0, gdje je x 0 M proizvljna točka. Dakle, dimm := diml. Osim toga, kažemo da je afin skup paralelan s potprostorom L Primjedba Iz dokaza propozicije 2.1. vidimo da na afin skup M R n dimenzije n r, r n, možemo gledati kao na presjek od r linearno nezavisnih hiperravnina (u smislu da su im normale nezavisni vektori). Pri tome normale tih hiperravnina čine bazu u L, gdje je L ortogonalni komplement od linearnog potprostora L paralelnog s M. U nekim daljnjim razmatranjima (vidi npr. propoziciju 3.25.) koristit ćemo sljedeću propoziciju: 2.4. Propozicija Neka su zadani afin skup M R n paralelan s linearnim potprostorom L i hiperravnina H a,β = {y R n : a,y = β}. Označimo s L ortogonalni komplement od L, te rastavimo vektor a u obliku a = a L +a L, gdje su a L L, a L L. Pretpostavimo da je M H a,β. Tada:

25 18 Konveksna ljuska i Carathéodoryjev teorem (a) Ako je a L = 0, onda je M H a,β. (b) Ako je a L 0, onda je M H a,β afin skup dimenzije dim(m H a,β ) = dimm 1. Dokaz. Shvatimo M kao presjek od r linearno nezavisnih hiperravnina. Tada je dimm = n r, a normale a 1,...,a r tih hiperravnina čine bazu u L. Dakle, M H a,β je presjek od r+1 hiperravnina. (a) a L = 0 = a L, pa je zato a linearna kombinacija vektora a 1,...,a r. Zbog toga hiperravninu H a,β možemo izbaciti iz presjeka M H a,β, tj. M H a,β = M. (b) Budući da normale a 1,...,a r leže u L, a a L, lako je pokazati da su vektori a 1,...,a r,a linearno nezavisni. Dakle, M H a,β je presjek od r+1 linearno nezavisnih hiperravnina. Prema tome, M H a,β je afin skup dimenzije n r Definicija Afina kombinacija vektora x 1,...,x m R n je svaki vektor x oblika x = m λ i x i, gdje su λ i realni brojevi takvi da je m λ i = 1. Skup svih afinih kombinacija točaka iz skupa S R n naziva se afina ljuska skupa S i označava s affs Primjedba Lako je pokazati da je S affs te da je affs afin skup. Osim toga, afino zatvaranje je monotono, tj. A B = affa affb Propozicija Skup S R n je afin onda i samo onda ako je S = affs. Dokaz. Dovoljno je oponašati dokaz propozicije Teorem Afina ljuska skupa S R n je najmanji afin skup koji sadrži S, tj. presjek svih afinih skupova koji sadrže S. Dokaz. Oponašajte dokaz teorema 1.9.

26 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Definicija Za točke x 1,...,x m R n kažemo da su afino nezavisne ili u općem položaju ako su jednakosti m m λ i x i = 0 i λ i = 0 moguće jedino za λ 1 = λ 2 = = λ m = 0. U suprotnom kažemo da su afinozavisne. Lako je dokazati sljedeću propoziciju: Propozicija Točke x 1,...,x m R n su afino nezavisne onda i samo onda ako su vektori x 2 x 1,x 3 x 1,...,x m x 1 linearno nezavisni Definicija Za dimenziju skupa S R n uzima se dimenzija njegove afine ljuske, tj. dims = dim(affs). Drugim riječima, dims = m ako i samo ako maksimalan broj afino nezavisnih točaka iz S iznosi točno m Primjer. Neka je {x 0,x 1,...,x m } afino nezavisan skup točaka iz R n. Skup { m m } S := x = λ i x i : λ i = 1,λ i 0 = conv(x 0,x 1,...,x m ) i=0 i=0 zovemo m-dimenzionalni simpleks razapet (generiran) točkama x 0,x 1,...,x m. Koje je dimenzije ovaj simpleks? Nije teško pokazati da subrojevi λ i jednoznačno odredeni točkom x, i zovu se baricentričke koordinate točke x. Standardni (n 1)-dimenzionalni simpleks := { (x 1,...,x n ) R n : n } x i = 1,x i 0 je konveksna ljuska vektora kanonske baze {e 1,...,e n }, koji su, osim linearno, i afino nezavisni. I politop je generiran s konačno mnogo točaka, ali one ne moraju biti afino nezavisne. Dakle, simpleks je politop generiran pomoću afino nezavisnih točaka.

27 20 Konveksna ljuska i Carathéodoryjev teorem 2.2. Topologija konveksnih skupova Iako je konveksnost čisto algebarsko svojstvo, za njegovo potpunije razumijevanje potrebna je i topologija (inducirana euklidskom metrikom). Koristit ćemo sljedeće oznake: IntS za nutrinu (interior), ClS za zatvorenje (zatvarač) i BdS za rub (granicu) skupa S. Prisjetimo se da je BdS = ClS\IntS. Nadalje, s B(x 0,ε) označavat ćemo otvorenu kuglu u R n, s centrom u x 0 R n i radijusem ε. Kao što znamo, topološko svojstvo biti otvoren ne ovisi isključivo o skupu već i o topologiji u kojojga gledamo. Takonpr. skup {(x,y,0) R 3 : x > 0,y > 0} nije otvoren u topologiji na R 3, ali je otvoren u relativnoj topologiji na R 2. Standardni 2-simpleks { 3 } 2 = (x 1,x 2,x 3 ) R 3 : x i = 1,x i 0 ima prazan interior u R 3 jer ni jedna otvorena kugla iz R 3 nije sadržana u njemu. Medutim, ako na taj simpleks gledamo kao podskup ravnine H koja ga sadrži, { H = aff 2 = (x 1,x 2,x 3 ) R 3 : 3 } x i = 1, a za topologiju uzmemo relativnu topologiju na H, onda će njegov interior biti neprazan, a sa samim time simpleks će biti topološki bogatiji. Gornji primjeri sugeriraju nam da bi za izučavanje topoloških svojstava konveksnog skupa K R n koji nije pune dimenzije (dimaffk < n), umjesto topologije od R n, puno korisnija bila relativna topologija na affk. Za svaki slučaj, prisjetimo se osnovnih stvari vezanih uz relativnu topologiju na aff K. Kao prvo, u relativnoj topologiji na aff K otvoreni skupovi su oblika Specijalo, skup O affk, gdje je O otvoren u R n. B(x 0,r) affk = {x affk : x x 0 < r} je otvorena kugla (s centrom u x 0 i radijusa r > 0) u relativnoj topologiji na affk. Interior skupa K u relativnoj topologiji aff K označavat ćemo sa RelInt K, zatvarač s RelClK, a rub s RelBdK. Sve točke gomilanja skupa K nalaze se u affk, i zato je RelClK = ClK, RelBdK = ClK\RelIntK. Nije teško pokazati da je RelIntK = IntK onda i samo onda ako je dimaffk = n Primjedba Za skupove A = {(x,y) R 2 : 0 x 1,y = 0} B = {(x,y) R 2 : 0 x,y 1}

28 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, iz R 2 imamo RelIntA = {(x,y) R 2 : 0 < x < 1,y = 0} RelIntB = {(x,y) R 2 : 0 < x,y < 1}. Uočimo: IntA =, RelIntA i RelIntA RelIntB, bez obzira što je A B i stoga IntA IntB. Na prvi pogled izgleda zapanjujuće što RelInt A nije sadržan u RelInt B. Razlog je u tome što se relativni interior skupa A traži u relativnoj topologiji na affa, a ta topologija se razlikuje od relativne topologije na aff B u kojoj se odreduje relativni interior skupa B. Ovaj jednostavni primjer ilustrira nam da kod traženja relativnog interiora treba biti oprezan. Tako, primjerice, dobro poznate relacije za interior kao što su Int(A B) = IntA IntB A B IntA IntB ne smijemo automatski generalizirati i na relativni interior, osim u slučaju kada je affa = affb (tada u istom topološkom prostoru promatramo skupove A i B) Lema Neka je K = conv{x 0,...,x m } m-dimenzionalni simpleks iz R n generiran s afino nezavisnim točkama x 0,x 1,...,x m. Tada je K zatvoren skup, { m m } RelIntK = λ i x i : λ i = 1,λ i > 0 za svaki i, (2.1) i=0 i=0 i=0 { m m } RelBdK = λ i x i : λ i = 1,λ i = 0 za barem jedan i. Dokaz. Prvo uočimo da je i=0 { m m } K = x 0 + λ i (x i x 0 ) : λ i 1,λ i [0,1], a zatim definirajmo neprekidnu funkciju f : R m affk formulom Tada je gdje je Λ = f(λ 1,...,λ m ) = x 0 + m λ i (x i x 0 ). f(λ) = K, { (λ 1,...,λ m ) R m : m } λ i 1,λ i [0,1].

29 22 Konveksna ljuska i Carathéodoryjev teorem Odmah uočimo da je Λ zatvoren skup u R m i IntΛ = { (λ 1,...,λ m ) R m : m } λ i < 1,λ i (0,1). Nadalje, koristeći afinu nezavisnost točaka x i x 0, i = 1,...,m, lako je pokazati da je f homeomorfizam (f i njezin inverz f 1 su neprekidne funkcije). Zato f komutira s interiorom i zatvaračem, tj. RelIntf(A) = f(inta) Clf(A) = f(cla) za svaki A R m. Specijalno, za A = Λ dobivamo RelIntK = RelIntf(Λ) = f(intλ) { m m } = x 0 + λ i (x i x 0 ) : λ i < 1,λ i (0,1) i=0 { m m } = λ i x i : λ i = 1,λ i > 0 za svaki i, i=0 ClK = Clf(Λ) = f(clλ) = f(λ) = K Korolar Neka je S = conv{x 0,x 1,...,x m } simpleks iz R n generiran pomoću afino nezavisnih točaka x 0,x 1,...,x m. Neka je zadan ε (0,1). Definirajmo nove točke Tada vrijedi: x(ε) := 1 m+1 m x i, x i (ε) := x i +ε( x(ε) x i ), i = 0,1,...,m. i=0 (i) Točke x i (ε), i = 0,1,...,m, su afino nezavisne. (ii) Simpleks S(ε) := conv{x 0 (ε),x 1 (ε),...,x m (ε)}. pripada relativnoj nutrini simpleksa S, tj. S(ε) RelInt S. Osim toga, affs = affs(ε). Dokaz. (i) Lako je provjeriti da sve točke x i (ε) leže u simpleksu S, i = 0,1,...,m, te da su one afino nezavisne (to prepuštamo čitatelju!). (ii) Neka je x S(ε) oblika m x = λ i x i (ε), i=0 m λ i = 1, λ i 0. i=0

30 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Tada je m m m x(ε) = λ i x i (ε) = λ i [x i +ε( x(ε) x i )] = λ i (1 ε)x i +ε x(ε) = pa uz oznake imamo i=0 i=0 m [λ i (1 ε)+ε/(m+1)]x i i=0 i=0 λ i := λ i (1 ε)+ ε m+1, i = 0,1,...,m x = m λ ix i, i=0 m λ i = 1, λ i > 0. Prema lemi je x RelIntS. Dokaz jednaksoti affs = affs(ε) prepuštamo čitateljima za vježbu. i=0 Lema govori nam da simpleks ima neprazan relativni interior. Općenito je moguće da neprazan skup ima prazan relativni interior. No, ako je konveksan skup neprazan, neprazan je i njegov relativni interior. O tome nam govori sljedeća propozicija Propozicija Ako je K R n neprazan i konveksan skup, onda je RelIntK i dim(relintk) = dimk. Dokaz. Nekajem = dimk. TadaK sadržim+1afinonezavisnihtočakax 0,x 1,...,x m takvih da je affk = aff{x 0,x 1,...,x m }. Skup K je konveksan pa sadrži simpleks S := conv({x 0,x 1,...,x m }). Budući da je affs = affk i S K, dobivamo 4 RelIntS RelIntK. Prema lemi je RelIntS pa je zato RelIntK. Prije dokaza jednakost dim(relint K) = dim K prisjetimo se da se dimenzija dima nekog skupa A R n definira kao dimenzija njegove afine ljuske affa; dimenzija dim A je za jedan manja od maksimalnog broja afino nezavisnih vektora iz skupa A. Dimenzija ima svojstvo monotonosti, tj. A B = dima dimb. 4 Implikacija S K = RelIntS RelIntK vrijedi jer je aff S = aff K

31 24 Konveksna ljuska i Carathéodoryjev teorem Kako je RelIntK K, monotonost dimenzije daje dim(relintk) dimk = m. Preostaje dokazati obratnu nejednakost dim(relint K) m. U tu svrhu neka je S(ε) m-dimenzionalni simpleks konstruiran u dokazu korolara Budući da je S(ε) RelIntS RelIntK, zbog momotonosti dimenzije je m = dims(ε) dim(relintk). Sljedeća vrlo korisna tehnička lema kaže nam da kretanjem duž segmenta s početkom u relativnoj unutrašnjosti i krajem na zatvaraču, stalno ostajemo u relativnom interioru Lema (Princip linijskog segmenta) Neka je K R n konveksan skup, x RelIntK i x ClK. Tada je poluotvoreni segment sadržan u RelInt K. [x,x ) := {αx+(1 α)x : 0 < α 1} Dokaz. Kako je x RelIntK, postoji ε > 0 takav da je B(x,ε) affk K. Neka je y = αx+(1 α)x, 0 < α < 1. Kako je x ClK, postoji niz (x k ) točaka iz K koji konvergira prema x. Neka je x k := 1 ( ) y (1 α)x k, k N. α Tada je lim k x k = x. Zato nadalje možemo pretpostaviti da je k dovoljno velik tako da bude B(x k,ε/2) B(x,ε). Kako je B(y,αε/2) = y+b(0,αε/2) = (1 α)x k +αx k+b(0,αε/2) = (1 α)x k +αb(x k,ε/2), tada dobivamo B(y,αε/2) affk = ( (1 α)x k +αb(x k,ε/2) ) affk = ( (1 α)x k +αb(x k,ε/2) ) ( (1 α)x k +αaffk) = (1 α)x k +α( B(x k,ε/2) affk ) (1 α)x k +α ( B(x,ε) affk ) (1 α)x k +αk = K.

32 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, ε/2 x k ε/2 x 1 α y α B(y, αε/2) x x k Slika?. y x k / x k x k = α = B(y,αε/2) = (1 α)x k +αb(x k,ε/2) Korolar Neka je K R n konveksan skup. Zraka s početkom u točki x RelIntK može sječi relativnu granicu RelBdK = ClK\RelIntK u najviše jednoj točki. Koristeći lemu lako je pokazati da se kod konveksnih skupova topološki pojmovi poput zatvorenja i nutrine mogu jednostavno i lijepo opisati na čisto geometrijski način Propozicija Ako je K R n konveksan skup, onda je ClK = {x affk : y K, [y,x) K}, RelIntK = {x affk : y affk\{x}, z (x,y),[x,z] K}. Dokaz. Radi jednostavnosti, neka je B desna strana prve jednakosti. Ako je x affk takav da je [y,x) K, y x, onda je O K za svaku okolinu točke x, pa je zato x ClK. Time smo pokazali da je B ClK. Za dokaz obratne inkluzije uzmimo bilo koji x ClK. Prema propoziciji postoji y RelIntK, a prema lemi je [y,x) RelIntK K. Time smo dokazali prvu jednakost. Za dokaz druge jednakosti, neka je C desna strana te jednakosti. Očigledno je RelIntK C. Za dokaz obratne inkluzije uzmimo bilo koji x C. Odaberimo bilo koju točku y RelIntK, y x. Po definiciji skupa C, za točku 2x y affk postoji z (x,2x y) takva da je [x,z] K. Uočimo da je x (y,z). Zaista, kako je z (x,2x y), postoji λ > 0 takav da je z = x + λ(x y), odakle se dobiva x = 1 1+λ z+ λ 1+λy. Konačno, kako je z K ClK i y RelIntK, prema lemi je x RelIntK.

33 26 Konveksna ljuska i Carathéodoryjev teorem y x z 2x y 0 Slika? Korolar Ako je K R n konveksan skup, onda su konveksni njegova relativna nutrina RelIntK i zatvorenje ClK. Dokaz. Konveksnost skupa RelInt K slijedi direktno iz leme 2.17., a konveksnost zatvarača ClK dokazana je u 7. zadatku na str. 14 Pokažimo i na drugi način konveksnost zatvarača ClK. Neka su x 1,x 2 ClK. Prema propoziciji postoje y 1,y 2 K takvi da je [y 1,x 1 ) K i [y 2,x 2 ) K. Zbog konveksnosti skupa K tada je [ λy1 +(1 λ)y 2,λx 1 +(1 λ)x 2 ) K, λ [0,1], odakle, opet po propoziciji 2.19., slijedi da je λx 1 +(1 λ)x 2 ClK Korolar Ako je K R n konveksan skup, onda je ClK = Cl(RelIntK), RelIntK = RelInt(ClK). Dokaz. Očito je Cl(RelIntK) ClK. Neka je x ClK. Prema propoziciji postoji y RelIntK, a prema lemi je [y,x) RelIntK. Kako je RelIntK konveksan skup, prema propoziciji je x Cl(RelInt K). Očigledno vrijedi RelIntK RelInt(ClK). Neka je x RelInt(ClK). Odaberimo y RelInt K, y x. Neka je ε > 0 dovoljno malen, tako da bude x + ε(x y) RelInt(Cl K). Ako primjenimo propoziciju na konveksan skup ClK, dobivamo točku z ClK takvu da je z (x + ε(x y),x). Tada je x (y,z), pa je po lemi x RelIntK.

34 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, x+ε(x y) z x y 0 Slika? Carathéodoryjev teorem Sljedeći Carathéodoryjev 5 teorem ključan je za razumijevanje konveksnih skupova, on nam govori da su simpleksi cigle za konveksne skupove Teorem (Carathéodoryjev teorem za konveksne skupove) Neka je S R n. Svaka točka x convs može se prikazati kao konveksna kombinacija od najviše dims +1 afino nezavisnih točaka iz skupa S. Dokaz. Neka je x convs oblika m m x = λ i x i, x i S,λ i 0, λ i = 1. Ako su vektori x 1,...,x m afino nezavisni, onda je m dims +1 i dokaz je gotov. Zato nadalje pretpostavimo da su x 1,...,x m afino zavisni vektori. Tada postoje skalari µ 1,...,µ m, koji nisu svi jednaki nuli, takvi da je m µ i x i = 0, m µ i = 0. Bez smanjenja općenitosti, pretpostavimo da je µ 1 > 0. Neka je { λi } τ = min : µ i > 0 = λ i 0 > 0, µ i µ i0 a zatim definirajmo nenegativne brojeve λ i := λ i τµ i, i = 1,...,m. Uočite da je λ i0 = 0 i zato je 5 Constantin Carathéodory ( ), njemački matematičar grčkog porijekla.

35 28 Konveksna ljuska i Carathéodoryjev teorem m m m x = λ i x i = λ i x i τ µ i x i = i i 0 m m m λ i = λ i = (λ i τµ i ) = 1. m λ i x i, i i 0 Dakle, dobili smo novi prikaz od x kao konveksne kombinacije od m 1 točaka iz S. Gornji postupak iteriramo sve dok x ne prikažemo kao konveksnu kombinacija od najviše m dims +1 afino nezavisnih točaka iz S. Ako je skup S R n zatvoren, njegova konveksna ljuska ne mora biti zatvorena. Primjerice skup S = {(0,0)} {(x,1) : x 0} je zatvoren, a njegova konveksna ljuska convs = {(x,y) R 2 : x 0,y (0,1]} {(0,0)} nije zatvorena. Medutim, konveksno zatvaranje se dobro ponaša prema otvorenim skupovima i kompaktima Korolar Neka je S R n. Vrijedi: (i) Ako je S otvoren, onda je i convs otvoren skup. (ii) Ako je S kompaktan, onda je i convs kompaktan skup. Dokaz. (i) Neka je x convs oblika m m x = λ i x i, x i S,λ i 0, λ i = 1. Zbog otvorenosti skupa S postoji ε > 0 takav da je Tada je x i +B(0,ε) S, i = 1,...,m. B(x,ε) = x+b(0,ε) = (ii) Standardni n dimenzionalni simpleks m λ i (x i +B(0,ε)) convs. n+1 = {(λ 1,...,λ n+1 ) R n+1 : λ i = 1,λ i 0,i = 1,...,m} je kompaktan skup (Lako je pokazati da je omeden, te da se moze prikazati kao presjek zatvorenih poluprostora). Zato je, kao Kartezijev produkt kompaktnih skupova, kompaktan i skup S n+1 = {(x 1,...,x n+1,λ 1,...,λ n+1 ) : (x 1,...,x n+1 ) S n+1,(λ 1,...,λ n+1 ) }

36 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Funkcija f : S n+1 R n, definirana formulom f(x 1,...,x n+1,λ 1,...,λ n+1 ) = n+1 λ i x i je neprekidna, pa je njezina slika f(s n+1 ) kompaktan skup. Očito je f(s n+1 ) conv S. Obratna inkluzija slijedi iz Carathéodoryjeva teorema. Postupajući slično kao u dokazu Carathéodoryjevu teoremu, može se lako dokazati sljedeći teorem Teorem (Carathéodoryjev teorem za konus) Neka je S R n. Svaka točka x cones može se prikazati kao konusna kombinacija od najviše dim S linearno nezavisnih točaka iz skupa S. Svaki konus (ne nužno konveksan) sadrži nulu 0. Zahvaljujući tome, lako je pokazati da je konus otvoren ako i samo ako se podudara sa cijelim prostorom R n. Ako je skup S R n zatvoren, njegova konusna ljuska cones ne mora biti zatvorena. Primjerice skup S = {(x,1) : x 0} je zatvoren, a cones = {(x,y) R 2 : x 0,y > 0} {(0,0)} nije zatvoren. Medutim, ako je S konačan skup, onda će i cones biti zatvoren skup. O tome nam govori sljedeći korolar. Prvo ćemo dokazati jednu propoziciju Propozicija Neka je { m } C = cone{x 1,...,x m } = λ i x i : λ i 0 konačno generirani konus s linearno nezavisnim generatorima x 1,...,x m R n. Tada je C zatvoren skup, a njegova relativna nutrina RelInt C glasi { m } RelIntC = λ i x i : λ i > 0. Dokaz. Označimosaspan{x 1,...,x m }potprostorodr n razapetvektorimax 1,...,x m, azatopologijunaspan{x 1,...,x m }uzmimorelativnutopologiju. Neprekidnopreslikavanje f : R m span{x 1,...,x m } definirano formulom f(λ 1,...,λ m ) = m λ i x i je homeomorfizam (f je neprekidna bijekcija čiji je inverz takoder neprekidna funkcija). To je lako provjeriti jer su vektori x 1,...,x m linearno nezavisni.

37 30 Konveksna ljuska i Carathéodoryjev teorem Sad je dovoljno prisjetiti se da homeomorfizam čuva otvorenost i zatvorenost, tj. slika otvorenog skupa je otvoren skup, a slika zatvorenog skupa je zatvoren skup. To za posljedicu ima da homeomorfizam f komutira s interiorom i zatvaračem, tj. RelIntf(A) = f(inta) Clf(A) = f(cla) za svaki A R m. Skup A := R m + = {x R m : x 0} je zatvoren, a IntA = {x R m : x > 0}. Kako je f(a) = C, skup C je zatvoren. Nadalje, { m } RelIntC = RelIntf(A) = f(inta) = λ i x i : λ i > Korolar Svaki konačno generirani konus K R n je zatvoren skup. Dokaz. Neka je K = cones, gdje je S R n konačan skup. Budući da je S konačan skup, pomoću Carathéodoryjeva teorema za konus lako je zaključiti da se cone S može prikazati kao unija konačno mnogo konusa od kojih je svaki generiran s linearno nezavisnim podskupom skupa S. Prema propoziciji takvi konusi su zatvoreni, a unija konačno mnogo zatvorenih skupova je zatvoren skup. Sada ćemo na nekoliko primjera komentirati neke interesantne posljedice Carathéodoryjeva teorema Osnovni teorem linearnog programiranja Za zadane A R m n, b R m i c R n, promotrimo kanonski oblik LP problema: uz ograničenja max c T x (2.2) Ax = b (2.3) x 0. (2.4) Označimo li sa a i i-ti stupac matrice A, onda sustav (2.3)-(2.4) možemo zapisati u vektorskom obliku kao b = x 1 a 1 + +x n a n, x i 0, odakle vidimo da se problem nalaženja mogućih rješenja LP problema svodi na nalaženje svih mogućih prikaza vektora b kao linearne kombinacije stupaca matrice A s nenegativnim koeficijentima. Svako rješenje sustava (2.3)-(2.4) u prvom je redu rješenje matrične jednadžbe Ax = b.

38 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Definicija Neka je x = [x 1,...,x n ] T rješenje sustava jednadžbi (2.3), tj. b = x 1 a 1 + +x n a n. Ako su linearno nezavisni vektori a i za koje je x i 0, onda kažemo da je x bazično rješenje sustava jednadžbi (2.3). Za bazične rješenje koje zadovoljava i ograničenja nenegativnosti (2.4) kažemo da je bazično moguće rješenje LP problema (2.2)-(2.4). Drugim riječima, bazično rješenje x = [x 1,...,x n ] T je bazično moguće rješenje ako su vektori a i za koje je x i > 0, linearno nezavisni. Sad ćemo pokazati kako izgledaju bazično moguća rješenja. Pretpostavimo da je skup mogućih rješenja neprazan, tj. da je sustav (2.3)-(2.4) konzistentan. Tada matrica A i proširena matrica [A,b] imaju isti rang r. Ako je r < m, onda je m r jednadžbi u sustavu Ax = b suvišno i one se mogu izostaviti. Zato, bez smanjenja općenitosti, nadalje možemo pretpostaviti da je r = m. Nadalje, ako je r = m = n, onda sustav Ax = b ima jedinstveno rješenje x = A 1 b, pa u tom slučaju preostaje samo da se vidi da li je x 0 ili nije. Dakle, od interesa je samo slučaj r = m < n. Odaberimo m linearno nezavisnih stupaca a i1,...,a im matrice A i od njh napravimo matricu B = [a i1,...,a im ]. U teoriji linearnog programiranja matrica B se zove matica baze ili kraće samo baza. Bez smanjenja općenitosti, nadalje pretpostavimo da su prvih m stupaca a 1,...,a m matrice A linearno nezavisni. Tada, uz oznake B := [a 1,...,a m ], N := [a m+1,...,a n ] x B := [x 1,...,x m ] T, x N := [x m+1,...,x n ] T, sustav jednadžbi (2.3) možemo zapisati kao Bx B +Nx N = b. Varijable x 1,...,x m (koje se nalaze uz vektore baze!) zovemo bazične varijable, dok supreostalevarijablex m+1,...,x n nebazičnevarijable. KakojeBregularnamatrica, množenjem slijeva gornje jednakosti s inverzom B 1 i nakon toga sredivanjem, dobivamo x B = B 1 (b Nx N ). (2.5) Dakle, svako rješenje sustava (2.3) može se zapisati u obliku [ ] [ ] xb B x = = 1 (b Nx N ) ; (2.6) x N x N i obratno, svaki vektor x gornjeg oblika je rješenje sustava (2.3). Osim toga, veza (2.5) izmedu bazičnih (vektor x B ) i nebazičnih (vektor x N ) varijabli govori nam da su bazične varijable na jedinstven način odredene s vrijednostima nebazičnih varijabli. Zbog toga, na bazične varijable možemo gledati kao na zavisne, a na nebazične kao na nezavisne varijable.

39 32 Konveksna ljuska i Carathéodoryjev teorem Specijalno, za x N = [x m+1,...,x n ] T = [0,...,0] T iz (2.6) dobivamo bazično rješenje (sve nebazične varijable jednake su nuli!) x = [ xb ] = x N [ ] B 1 b 0 (2.7) sustava jednadžbi (2.3). Ako su sve bazične varijable x 1,...,x m različite od nule, za bazično rješenje (2.7) kažemo da je nedegenerirano; u suprotnom kažemo da je degenerirano. Ako bazične rješenje (2.7) zadovoljava i ograničenja nenegativnosti (2.4), a to je onda i samo onda ako je x B = B 1 b 0, radi se o bazično mogućem rješenju LP problema (2.2)-(2.4). Postavlja se pitanje da li LP problem (2.2)-(2.4) ima bazično moguće rješenje. Odgovor je potvrdan. Zaista, po pretpostavci skup mogućih rješenja je neprazan, tj. ekvivalentno b C(a 1,...,a n ), gdje je C(a 1,...,a n ) konveksni konus generiran stupcima a 1,...,a m. Prema Carathéodoryjevu teoremu za konuse, vektor b se može prikazati kao linearna kombinacija s nenegativnim koeficijentima od najviše k, k m, linearno nezavisnih stupaca matrice A, a to znači da postoji bazično moguće rješenje. Dokazali smo sljedeći teorem, koji ima fundamentalnu važnost u teoriji linearnog programiranja Teorem Ako LP problem (2.2)-(2.4) s matricom A R m,n, r(a) = m < n, ima moguće rješenje, onda ima i bazično moguće rješenje. Zadaci za vježbu 1. Dokažite: (a) Presjek afinih skupova je afin skup. (b) Afin skup je vektorski potprostor ako i samo ako sadrži Neka je afin skup A R n paralelan s vektorskim potprostorom L, tj. A = x 0 +L, gdje je x 0 A. Pokažite da je A A = L. 3. Neka je A R n, x 0 affa i α R. Pokažiteda je (1 α)x 0 +αaffa = affa. Uputa: Lakoje provjeritida je (1 α)x 0 +αaffa affajer, po definiciji, afin skup sadrži pravac kroz svake dvije svoje ( točke. Za provjeru ) obratne inkluzije iskoristite jednakost x = (1 α)x 0 +α x+ 1 α α (x x 0). 4. Neka je A R k, a B R m. Pokazati da je aff(a B) = affa affb. Uputa: Za dokaz inkluzije aff(a B) affa affb pretpostavimo da je (a,b) aff(a B) oblika (a,b) = r λ i(a i,b i ), r λ i = 1. Tada je a = r λ ia i affa i b = r λ ib i affb, pa je (a,b) affa affb.

40 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Za dokaz obratne inkluzije pretpostavimo da je k 1 k 1 a = λ i a i, a i A, λ i = 1, k 2 k 2 b = α j b j, b j A, α j = 1. j=1 Očito je (a i,b j ) A B za sve i = 1,...,k 1 i sve j = 1,...,k 2, a kako je j=1 k 1 k 2 (a,b) = (a 1,b 1 )+ λ i (a i,b 1 )+ α j (a 1,b j ) i 1+ k 1 λ i + k 2 j=1 α j = 1, slijedi da je (a,b) aff(a B). 5. Neka je S = conv{x 0,...,x n } simpleks u R n i x 0 IntS. Pokažite da su politopi j=1 S i := conv{x 0,...,x i1,x 0,x i+1,...,x n }, i = 0,1,...,n takoder simpleksi s medusobno disjunktnim interirorima, te da je S = n i=0 S i. Uputa: Upotrijebite lemu Ilustrirajte primjerom da relativni interior nema svojstvo monotonosti, tj. da inkluzija A B ne povlači da je RelIntA RelIntB. Uputa: Za B uzmite kocku, a za A neku njenu stranicu. 7. Neka su A,B konveksni skupovi. Dokažite da je ClA = ClB ako i samo ako je RelIntA = RelIntB. Uputa: Premakorolaru2.21. zasvakikonveksanskupk jeclk = Cl(RelIntK) i RelIntK = RelInt(ClK). Pretpostavimo li da je ClA = ClB, dobivamo RelIntA = RelInt(ClA) = RelInt(ClB) = RelIntB. 8. Nekasu A,B konveksniskupovitakvidaje RelIntA RelIntB. Dokazati: (a) Cl(A B) = ClA ClB (b) Cl(RelIntA RelIntB) = Cl(A B) (c) RelInt(A B) = RelIntA RelIntB. Uputa: Neka je x 0 RelIntA RelIntB. (a) Dokaz inkluzije ClA ClB Cl(A B): Za svaki x Cl ClB vrijedi [x 0,x) RelIntA RelIntB (lema 2.17.). Iskoristimo li sada monotonost zatvarača, dobivamo [x 0,x] Cl(RelIntA RelIntB) Cl(A B) pa je x Cl(A B).

41 34 Konveksna ljuska i Carathéodoryjev teorem (b) Iskoristite (a) i korolar (c) Skupovi RelIntA RelIntB i A B su konveksni i imaju isti zatvarač. Zato prema korolaru imaju isti relativni interior, pa vrijedi RelInt(A B) = RelInt(RelIntA RelIntB) RelIntA RelIntB. Za dokaz obratne inkluzije RelIntA RelIntB RelInt(A B) postupite ovako: Neka je x RelIntA RelIntB. Za svaki y A B je [x,y) RelInt A RelInt B (lema 2.17.), pa tvrdnja slijedi iz propozicije Neka je S R n. Pokažite da je Cl(convS) = {B R n : S B,B zatvoren i konveksan} Uputa: Ako je S B, gdje je B zatvoren i konveksan, onda je convs convb = B. 10. Neka je A : R n R m afino preslikavanje zadana s A(x) = Ax+c, gdje su A R m n, c R m. Dokazati da za svaki konveksan skup K R n vrijedi RelInt A(K) = A(RelInt K). Uputa: Lako je pokazati da je afina slika konveksnog skupa opet konveksan skup. Dakle, A(K) i A(RelIntK) su konveksni. Tada je i RelIntA(K) (korolar 2.20.) konveksan. Zbog neprekidnosti od A je A(Cl(RelIntK)) Cl(A(RelIntK)). Kako je ClK = Cl(RelIntK) (korolar 2.21.), iskoristimo li monotonost zatvarača, dobivamo A(K) A(ClK) = A(Cl(RelIntK)) Cl(A(RelIntK)) ClA(K). Dakle, A(K) Cl(A(RelInt K)) Cl(A(K)), odakle slijedi Cl(A(RelInt K)) = Cl(A(K)), tj. A(K) i A(RelInt K) imaju isti zatvarač. Zahvaljujući tome, pomoćukorolara2.21. lakojezaključitdaimjeiinterirosti, tj. RelIntA(K) = RelInt(A(RelInt K)). Zato je RelInt A(K) = RelInt(A(RelInt K)) A(RelInt K). Za dokaz inkluzije A(RelInt K) RelInt A(K) iskoristit ćemo lemu Neka je A(y) A(RelIntK). Odaberimo A(x ) RelIntA(K) takvu da je x K. Kako je y RelIntK, postoji x RelIntK K takva da je y (x,x ). Zato je A(y) (A(x),A(x )). Primjenom leme na konveksan skup A(K) dobivamo A(y) RelInt A(K). 11. Dokažite: (a) Nekasu A,B R n konveksniskupovi. Tadaje RelInt(A+B) = RelIntA + RelIntB. (b) Neka su A,B R n proizvoljni skupovi. Ako je A omeden, onda je Cl(A + B) = ClA + ClB. (c) Ilustrirajte primjerom da tvrdnja (b) ne vrijedi ako su oba skupa neomedena.

42 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Uputa: (a) Kako je RelInt(A B) = RelIntA RelIntB, a preslikavanje A : R n R n definirano formulom A(x,y) = x+y je afino, dobivamo (vidi 10. zadatak) RelIntA+RelIntB = A(RelIntA RelIntA) = A(RelInt(A B)) = RelIntA(A B) = RelInt(A+B). (b) Pokažimo prvo da je Cl(A + B) ClA + ClB. U tu svrhu, neka je a+b Cl(A+B). Tada postoji niz (a k +b k ), gdje je a k A, b k B, takav da je lim k (a k + b k ) = a + b. Zbog omedenosti skupa A bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je niz (a k ) konvergentan. Neka a k a 0 ClA. Tada i niz (b k ) mora konvergirati. Neka b k b 0 ClA. Dobili smo a+b = a 0 +b 0 ClA+ClB. Inkluziju ClA+ClB Cl(A+B) je još lakše dokazati. (c) Uzmite skupove {(0,x) : x R} i {(1,x) : x R}.

43 36 Separacija konveksnih skupova 3. Separacija konveksnih skupova 3.1. Projekcija na zatvoren konveksan skup Podsjetimo se problema projekcije točke x R n na neprazan skup K R n. Broj d(x,k) := inf{ x y : y K} je udaljenost točke x do skupa K. Točka y x K je projekcija točke x na skup K ako je x y x = d(x,k). Kao što smo već ranije kazali, projekcija ne mora postojati, niti mora biti jedinstvena. Medutim, ako je skup K zatvoren, projekcija će postojati, no ne mora biti jedinstvena. Zanimljivo je da konveksnost skupa K osigurava jedinstvenost projekcije. O tome nam govore sljedeći teorem i njegov korolar Teorem Neka je K R n neprazan skup. Tada vrijedi: (i) Ako je K zatvoren skup, onda svaka točka iz R n ima projekciju na skup K. (ii) Ako je K konveksan skup i ako postoji projekcija neke točke na skup K, onda je ona jedinstvena. Dokaz. (i) Kao prvo, ako je x K, onda je ona sama sebi projekcija. Za x K odaberimo r > 0 takav da je K ClB(x,r) neprazan skup. Taj skup je kompaktan (kao presjek zatvorene kugle Cl B(x, r) i zatvorenog skupa K), pa neprekidna funkcija y y x na njemu postiže svoj minimum u nekoj točki y x K ClB(x,r). Dakle, Nadalje, kako je y x y x x, y K ClB(x,r). y x > r y x x, y K\ClB(x,r), zaključujemodazasvey K vrijedi y x y x x. Zatojed(x,K) = y x x. (ii) Pretpostavimo da su y x K i z x K projekcije točke x na konveksan skup K. Ako u jednakost paralelograma u+v 2 + u v 2 = 2( u 2 + v 2 ) stavimou = x y x i v = x z x, zbog x y x = x z x i x y x x yx+zx imamo ( z x y x 2 = 4 x y x 2 x y x +z x 2 ) 0, 2 odakle slijedi da je z x = y x. 2

44 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Korolar Neka je K R n neprazan, zatvoren i konveksan skup. Tada svaka točka iz R n ima jedinstvenu projekciju na skup K. Pretpostavimo da je K R n neprazan, zatvoren i konveksan skup. Prema korolaru 3.2. svaka točka x R n ima jedinstvenu projekciju y x na skup K, tj. postoji samo jedna točka y x iz K takva da je y x x y x, y K. Funkciju P K : R n K koja točki x pridružuje njezinu projekciju y x zovemo operator projiciranja ili projektorom na skup K. Dakle, P K (x) x y x, y K. (3.1) 3.3. Primjedba Uočite da je P K (x) = x onda i samo onda ako je x K Teorem Neka je K R n neprazan, zatvoren i konveksan skup, y x K i x R n. Tada je y x = P K (x) onda i samo onda ako je x y x,y y x 0, y K. (3.2) Dokaz. Pretpostavimoda je y x = P K (x). Zbog konveksnostiskupa K tada zasvaki y K i sve λ (0,1) imamo y x +λ(y y x ) K, pa je odnosno, ekvivalentno, y x +λ(y y x ) x 2 y x x 2 2λ y x x,y y x +λ 2 y y x 2 0. Ako ovu nejednakost prvo podijelimo s λ, a zatim uzmemo limes kad λ 0+, dobivamo (3.2). Obratno, pretpostavimo da je y x K takav da vrijedi (3.2). Tada pomoću Bunyakovsky-Cauchy-Schwarzove nejednakosti, za sve y K dobivamo 0 x y x,y y x = x y x,y x+x y x = x y x 2 + x y x,y x x y x 2 x y x y x, odakle slijedi x y x y x. Jedinstvenost projekcije povlači y x = P K (x).

45 38 Separacija konveksnih skupova Projiciranje na neprazan, zatvoren i konveksna skup je neprekidno i neekspanzivano preslikavanje (Lipschitzovo preslikavanje). Da bi se u to uvjerili, prvo ćemo dokazati sljedeći koroalr Korolar Neka je K R n neprazan, zatvoren i konveksan skup. Tada za sve x 1,x 2 R n vrijedi P K (x 1 ) P K (x 2 ) 2 P K (x 1 ) P K (x 2 ),x 1 x 2. Dokaz. Ako u (3.2) stavimo x = x 1 i y = P K (x 2 ), imamo x 1 P K (x 1 ),P K (x 2 ) P K (x 1 ) 0. Slično, ako u (3.2) stavimo x = x 2 i y = P K (x 1 ), imamo Zbrajanjem tih nejednakosti dobivamo što je tražena nejednakost. x 2 P K (x 2 ),P K (x 1 ) P K (x 2 ) 0. P K (x 1 ) P K (x 2 ),x 2 x 1 +P K (x 1 ) P K (x 2 ) 0, Primjenom Bunyakovsky-Cauchy-Schwarzove nejednakosti na desnu stranu nejednakosti iz prethodnog korolara dobivamo P K (x 1 ) P K (x 2 ) x 1 x 2, što nam govori da je projektor P K neekspanzivno i neprekidno preslikavanje Korolar Neka je K R n neprazan, zatvoren i konveksan skup, x R n \K i y x := P K (x). Tada je P K ( {yx +λ(x y x ) : λ 0} ) = y x, tj. cijela zraka {y x +λ(x y x ) : λ 0} se projicira u istu točku. Dokaz. Kako je y x = P K (x), prema teoremu 3.4. je Zato za svaki λ 0 imamo x y x,y y x 0, y K. y x +λ(x y x ) y x,y y x 0, y K pa, opet po teoremu 3.4., slijedi P K (y x +λ(x y x )) = y x. Ako je K afin skup, onda (3.2) prelazi u jednakost koja ima jednostavnu geometrijsku interpretaciju, kaže nam da će y x biti projekcija točke x onda i samo onda ako je vektor x y x okomit na linearni potprostor paralelan skupu K. Tu tvrdnju dokazujemo u sljedećem korolaru.

46 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Korolar Neka je K R n afin skup, y x K i x R n. Tada je y x = P K (x) onda i samo onda ako je x y x,y y x = 0, y K, odnosno, ekvivalentno, ako je x y x,v = 0, v L, (3.3) gdje je L = K y x linearni potprostor paralelelan s afinim skupom K. Dokaz. To je zato jer y,y x K = y x (y y x ) K, pa stavi li se u (3.2) y x (y y x ) umjesto y, dobiva se obratna nejednakost x y x,y y x 0, y K Primjer (Linearni problem najmanjih kvadrata). Neka su zadani matrica A R m n i vektor b R m. Treba pronaći vektor x R n koji minimizira izraz Ax b, što zapisujemo kao min x R n Ax b. Ovaj problem je direktno povezan s projekcijom. Da bismo to vidjeli, neka je L linearni potprostor razapet stupcima matrice A, tj. L = {Ax : x R n }. Tada je polazni problem najmanjih kvadrata ekvivalentan problemu nalaženju vektora z L (z = Ax za neki x R n ) takvog da z b bude minimalno. Kao što već znamo, traženi minimizirajući vektor z postoji, jedinstven je i jednak je projekciji vektora b na potprostor L. Uočite da minimizirajući vektor x ne mora biti jedinstven. Nadalje, prema prethodnom korolaru vektor z = Ax će biti minimizirajući onda i samo onda ako vrijedi (3.3): b Ax,v = 0 za svaki v L, tj. ako je b Ax okomit na L. Budući da je potprostor L razapet sa stupcima matrice A, to će biti onda i samo onda ako je A T (b Ax) = O A T Ax = A T b. Dakle, vektor x će biti rješenje polaznog linearnog problema najmanjih kvadrata onda i samo onda ako je on rješenje tzv. sustava normalnih jednadžbi A T Ax = A T b.

47 40 Separacija konveksnih skupova 3.2. Dualni konus i projekcija na zatvoren konveksan konus Prije nego što navedemo teorem o projekciji na konus, uvodimo sljedeću definiciju Definicija Neka je C R n neprazan skup. Skup C = {y R n : y,x 0 za sve x C} zovemo polarni ili dualni konus skupa K. C C Slika?. Konveksni konus C i njegov dualni konus C Lako je provjeriti da polarni konusi imaju sljedeća svojstva: (i) C je konveksni konus, (ii) C 1 C 2 = C 2 C 1, (iii) C (C ), (iv) C je zatvoren skup. Zaista, prikažemo li C kao C = {y R n : y,x 0} x K i prisjetimo li se da je svaki poluprostor {y R n : y,x 0} zatvoren, konveksan i konus, onda je i C (kao njihov presjek) takoder zatvoren, konveksan i konus. Drugo i treće svojstvo slijedi iz definicije Primjer. Navedimo dva vrlo jednostavna, ali ilustrativna i važna primjera. Neka je C konačno generirani konus sastupcima a 1,...,a m R n matrice A R n m, tj. { m } C = C(a 1,...,a m ) = λ i a i : λ i 0 = {Aλ : λ 0}. C C o

48 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Lako je pokazati da je { } C = y R n : a i,y 0 za svaki i = 1,...,m = {y R n : y T A 0}. Specijalno, polara nenegativnog ortanta je nepozitivni ortant { m } R n + = {x R n : x 0} = λ i e i : λ i 0 R n = {y Rn : y 0} Teorem Neka je C R n zatvoren konveksni konus i x R n. Tada je y x = P C (x) onda i samo onda ako je y x C, x y x C, x y x,y x = 0. (3.4) Dokaz. Ako je y x = P C (x), prema teoremu 3.4. je x y x,y y x 0, y C. (3.5) Specijalno, zamijenimo li y s λy x, λ 0, dobivamo (λ 1) x y x,y x 0, λ 0. Kako λ 1 može biti bilo kakvog predznaka, dobivamo x y x,y x = 0, a (3.5) prelazi u y,x y x 0, y C, tj. x y x C. Obratno, ako y x C zadovoljava (3.4), onda za svaki y C dobivamo y x 2 = y y x +y x x 2 y x x 2 +2 x y x,y x y y x x 2 2 x y x,y y x x 2, odnosno, ekvivalentno, y x y x x. Zbog jedinstvenosti projekcije je y x = P C (x) Korolar Ako je C R n zatvoren konveksni konus, onda je (C ) = C.

49 42 Separacija konveksnih skupova Dokaz. Kako je C (C ), preostaje provjerititi obratnu inkluziju (C ) C, što ćemo napraviti tako da dokažemo implikaciju x C x (C ). Pretpostavimo da x C. Neka je y x := P C (x) i a := x y x 0. Prema prethodnom teoremu je a C i a,y x = 0. Zbog a,y x = 0 je (vidi teorem 3.4.) a,y 0, y C. Kako je a,x = a,a+y x = a 2 > 0, vrijedi a,y < a,x, y C. Specijalno za y = 0 dobivamo a,x > 0, što nam govori da x (C ) jer, budući da je a C, za svaki z (C ) vrijedi a,z Korolar Neka je zadana matrica A = [a 1,...,a m ] R n m. Konačno generirani konus i poliedarski konus C = C(a 1,...,a m ) P = {y R n : y T A 0} jedan su drugom polarni, tj. C = P i P = C. Zato je (C ) = C i (P ) = P. Dokaz. U primjeru većsmo konstatiralida je C = P. Budući da je konveksni konus C zatvoren (korolar2.26.), prema prethodnom korolaruje C = (C ) = P Dekompozicija poliedarskog skupa Intuitivno je jasno da su pojmovi politop i poliedar povezani. Preciznije o tome govore nam teorem o dekompoziciji poliedra (teorem 3.16.) i njegov korolar 3.18., koje dajemo na kraju ove točke Teorem (Weylov teorem) Konačno generirani konus C = cone{a 1,...,a m } R n je poliedarski, tj. postoji matrica B R r n takva da je C = {y R n : By 0}.

50 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Dokaz. Neka je A R n m matrica sa stupicima a 1,...,a m. Tada je C = {Ax : x 0} Definirajmo poliedar P = { (x,y) R m R n : y = Ax,x 0 } = (x,y) Rm R n : A I [ A I x y] 0 0. I 0 0 Neka je projekcija π : R m R n R n definirana formulom π(x,y) = y. Uočite da je projekcija namjerno konstruirana tako da bude π(p) = C. Takoder uočite da je π = π m π 2 π 1, gdje su π 1,...,π m projekcije definirane u iskazu teorema Višestrukom primjenom teorema dobivamo da je π(p) poliedar, tj. postoje matrica B R r n i vektor b R r takvi da je C = {y R n : By b}. Preostaje zaključiti da je b = 0, što slijedi iz propozicije Teorem (Minkowski) Poliedarski konus P je konačno generiran. Dokaz. Neka je P oblika P = {y R n : y T A 0}, gdje je A = [a 1,...,a m ] R n m. Premakorolaru3.13. njegovapolarajekonačnogeneriranikonusc(a 1,...,a m ), tj. P = C(a 1,...,a m ). Po Weylovom teoremu zaključujemo da je P poliedarski konus. Sada, opet iz korolara 3.13., slijedi da je (P ) konačno generiran i da je (P ) = P. Kombinirajući Weylov teorem s teoremom Minkowskog dobivamo sljedeći teorem, u literaturi poznat kao Minkowski-Weylov teorem Teorem (Minkowki-Weyle) Konus je poliedarski ako i samo ako je konačno generiran Teorem (Motzkinov teorem o dekompoziciji poliedra, 1936.) Skup K R n je poliedar ako i samo ako postoje politop P i poliedarski konus C takvi da je K = P +C.

51 44 Separacija konveksnih skupova Dokaz. Neka je K = {x R n : Ax b} poliedar u R n. Tada je skup {[ } x Ĉ = R λ] n R : Ax λb 0, λ 0 {[ [ ] [ x = R λ] n A b x 0 R : 0 1][ T λ 0]} poliedarski konus. Prema teoremu taj konus je generiran s konačno mnogo točaka, koje ćemo označiti s [xi ], i = 1,...,m. λ i Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je svaki λ i jednak 0 ili 1. Neka je λ 1 =... = λ k = 0, λ k+1 =... = λ m = 1. Definirajmo: C := cone{x 1,...,x k }, P := conv{x k+1,...,x m }. Uočite: [ [ ] x x x K 1] Ĉ cone 1 [ x k [ ] xi m = α 1] i + 0 x C +P. i=k+1 {[ x1 ] [ ] xk,...,, 0 0 [ ] xi α i, α 1 i 0 [ xk+1 1 ] [ ]} xm,..., 1 Obratno, neka je P politop, a C poliedarski konus u R n. Treba pokazati da je K := P + C poliedar. Prema teoremu konus C je konačno generiran, tj. postoje vektori x 1,...,x k R n takvi da je Pretpostavimo da je C = cone{x 1,...,x k }. P = conv{x k+1,...,x m }. Uočimo da je x K = P +C ako i samo ako je [ {[ ] [ ] x x1 xk cone,...,, 1] [ xk+1 ] [ ]} xm,..., =: 1 C. Prema teoremu konus C je poliedarski pa postoje matrica b à i vektor-stupac takvi da je {[ x C = R λ] n R : [ à b ][ ] } x 0 λ {[ } x = R λ] n R : Ãx+λ b 0. Dakle, x K ako i samo ako je Ãx b, što dokazuje da je K poliedar.

52 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Iz prethodnog teorema neposredno slijedi sljedeći korolar, čije otkriće se pripisuje Minkowskom (1896. g.), Steinitzu 6 (1916. g.) i Weylu (1935. g.) Korolar (Minkowski-Steinitz-Weyl) Skup K R n je politop ako i samo ako je K omeden poliedar Potporna hiperravnina Sada ćemo dati geometrijsku interpretaciju teorema 3.4. Pretpostavimo da x K, gdje je K R n neprazan, zatvoren i konveksan skup. Neka je y x := P K (x). Tada je x y x, jer je y x K. Prema teoremu 3.4. je Uvedemo li oznake imamo x y x,y y x 0, y K. a := x y x, β := a,y x, a,y β, y K. To znači da je cijeli skup K sadržan u negativnom zatvorenom poluprostoru odredenom hiperavninom koja prolazi točkom y x. Nadalje, kako je H a,β = {y Rn : a,y β} H a,β = {y R n : a,y = β} a,x = a,a+y x = a 2 + a,y x = a 2 +β > β, točka x pripada pozitivnom otvorenom poluprostoru H + a,β \H a,β = {y R n : a,y > β}. Osim toga, uočimo da za svaki y K vrijedi a,y β < β + a 2 = a,x, odakle dobivamo sup a,y < a,x. y K 6 Ernst Steinitz ( ), njemački matematičar.

53 46 Separacija konveksnih skupova H a,β H a,β K y y x = P K(x) Slika. Potporna hiperravnina H a,β na skup K u točki P K (x) Motivirani ovim gornjim razmatranjima, uvodimo sljedeće definicije: Definicija Neka je S R n i y 0 S. Za hiperravninu H kažemo da je potporna hiperravnina na skup S u točki y 0 S ako je y 0 H i ako S leži s jedne strane hiperravnine H, tj. ako je S H ili S H +. Pri tome i za odgovarajući zatvoreni poluprostor koji sadrži skup S takoder kažemo da je potprorni poluprostor. Sada gore provedena razmatranja možemo iskazati u obliku sljedeće leme: Lema Neka je K R n neprazan, zatvoren i konveksan skup, x R n \K i y x := P K (x). Tada je x y x 0 i hiperravnina H = {y R n : x y x,y y x = 0} x H + a,β podupire skup K u točki y x. Pri tome je K H, x H + \H. Osim toga, vrijedi sup x y x,y < x y x,x. (3.6) y K Primjedba Uočimo da je hiperravnina { H 1 = y R n : a,y x+y x 2 = 0 },

54 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, paralelna s hiperravninom H i sadrži točku x+yx 2. Nadalje, kako za svaki y K vrijedi a,y x+y x 2 = a,(y yx ) x y x = a,y yx a 2 < 0 te kako je x+y x x y x 1 a,x = a, = a 2 > 0, zaključujemo da je K H1 \H i x 0 H 1 + \H. H H + y x Slika?. H H 1 H 1 H + 1 x+y x 2 a = x y x Teorem (Vanjski opis zatvorenog konveksnog skupa) Svaki neprazan, zatvoren i konveksan pravi podskup K od R n može se prikazati kao presjek svih zatvorenih poluprostora koji sadrže skup K. Dokaz. Očito da skup K leži u presjeku B svih zatvorenih poluprostora koji ga sadrže. Ako x K, onda prema lemi postoji potporna hiperravnina H takva da je K H i x H + \H, pa stoga x B. Sada ćemo navesti dvije propozicije koje nam izmedu ostalog govore da potporna hiperravnina na neprazan skup S R n može postojati samo u točkama s granice tog skupa (u slučaju dims = n), odnosno relativne granice tog skupa (u slučaju dims < n) Propozicija (Slučaj dim S = n) Neka je S R n neprazan skup pune dimenzije (dims = n). Ako je H a,β = {y R n : a,y = β}, β = a,y 0 potporna ravnina skupa S u točki y 0 S, onda vrijedi: x

55 48 Separacija konveksnih skupova (i) H a,β IntS =. (ii) y 0 BdS. (iii) Skup S nije sadržan u H a,β, tj. H a,β je netrivijalna potporna hiperravnina u smislu definicje Dokaz. Bez smanjenja općenitosti, neka je S H a,β = {y Rn : a,y β}. (i) Kako je S skup pune dimenzije, to je IntS. Pretpostavimo da je y 1 H a,β. Treba pokazati da y 1 IntS, tj. da ne postoji realan broj ε > 0 takav da je cijela otvorena kugla B(y 1,ε) sadržana u skupu S. Zaista, za svaki ε > 0 je y 1 + ε 2 a a B(y 1,ε), a kako je a,y 1 = β (jer je y 1 H a,β ), vrijedi a,y 1 + ε 2 a a = β + ε a > β. 2 To znači da je y 1 + ε 2 a a H+ a,β \H a,β. Zato y 1 + ε 2 a a S jer je S H a,β. (ii) Kako je y 0 S i H a,β IntS =, imamo y 0 S\IntS ClS\IntS = BdS. (iii) Kakoje dims = n, a dimh a,β = n 1, skup S ne može biti podskup od H a,β. Dakle, akoje skup S R n pune dimenzije, onda potpornahiperravninane može prolazati kroz nutarnju točku (točku iz interiora) skupa S. Zato, ako u nekoj točki y 0 S postoji potporna hiperravnina na skup S, onda y 0 nužno pripada granici Bd S. Osim toga, budući da je S n-dimenzionalan skup, a dimenzija hiperravnine iznosi n 1, potporna hiperravnina ne može zadržavati cijeli skup S. Za sada još ne znamo u kojim će točkama s granice BdS postojati potporna hiperravnina, no jasno je da ne mora postojati u svakoj. S y 1 y 0

56 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Slika? Ako skup S R 2 izgleda kao na slici, potporni pravac neće postojati ni u jednoj točki s dijela granice označenog crvenom bojom. Npr. u točki y 1 potporni pravac ne postoji, a u točki y 0 postoji,. Medutim, ako skup S R n nije pune dimenzije (dims < n), onda u svakoj točki iz S postoji potporna hiperravnina na skup S. Zaista, neka su y 0 affs i L linearni potprostorparalelansaffs. TadajeaffS = y 0 +L. Nadalje, nekaje L ortogonalni komplement od L. Za svaki a L, hiperravnina H a,β = {y R n : a,y = β}, β := a,y 0 sadržicijeli skup affs, paprematome onasadržii skups. Zaista, a L = a L = 0, pa tvrdnja slijedi iz propozicije 2.4. Tu tvrdnju možemo dokazati i na drugi, vrlo jednostavan način. Zaista, ako je y affs, onda je y y 0 L i zato je a,y y 0 = 0, tj. a,y = β. Po definiciji, hiperravnina H a,β je potporna hiperravnina skupa S u svakoj njegovoj točki, no takve trivijalne potporne hiperravnine koje sadrže cijeli skup S nisu posebno zanimljive Definicija Za potpornu hiperravninu H a,β skupa S R n kažemo da je netrivijalna ako ona ne sadrži cijeli skup S. S y 0 H a,β affs Slika? S R 2, dims = 2. Ravnine affs i H a,β su potporne na skup S u točki y 0 S; affs je trivijalna, a H a,β netrivijalna potporna ravnina Propozicija (Slučaj dim S < n) Neka je S R n neprazan skup dimenzije dims < n, a H a,β = {y R n : a,y = β}

57 50 Separacija konveksnih skupova potporna hiperravnina skupa S u točki y 0 S. Nadalje, neka je L = affs y 0 linearni potprostor paralelan s aff S, te prikažimo vektor a na jedinstven način kao a = a L +a L, gdje su a L L, a L L. Tada vrijedi: (i) Potporna hiperravnina H a,β je netrivijalna ako i samo ako je a L 0, tj. ako a L. (ii) Ako je H a,β netrivijalna potporna hiperravnina, onda je H a,β RelIntS = i zato je y 0 RelBdS. Osim toga, dim(h a,β affs) = dims 1. Dokaz. (i) Ova tvrdnja slijedi iz propozicije 2.4. Zaista, ako je a L 0, po toj propoziciji H a,β affs je afin skup čija je dimenzija za jedan manja od dimenzije skupa affs. Zbog toga H a,β ne sadrži cijeli affs, pa je H a,β netrivijalna potporna hiperravnina. Ako je a L = 0, po toj propoziciji onda je H a,β affs = affs; dakle affs H a,β. (ii) Bez smanjenja općenitosti, neka je S H a,β. Ovu tvrdnju možemo dokazati sitnimmodifikacijamatvrdnje(i)izpropozicije3.23. Pretpostavimodajey 1 H a,β i pokažimo da tada y 1 RelIntS, tj. da ne postoji realan broj ε > 0 takav da je B(y 1,ε) affs S. Zaista, za svaki ε > 0 je y 1 + ε 2 a a L L B(y 1,ε) affs, a kako je a,y 1 = β (jer je y 1 H a,β ), vrijedi a,y 1 + ε 2 a L a L = β + ε 2 a L > β. To znači da je y 1 + ε 2 a L a L H + a,β \H a,β. Zato y 1 + ε 2 a L a L S jer je S H a,β. Po propoziciji 2.4. je dim(h a,β affs) = dims 1. Vratimo se na problem potporne hiperravnine za neprazan, zatvoren i konveksan skup K R n. Ako je x R n \K, prema lemi u točki P K (x) postoji potporna hiperravnina H a,β = {y R n : a,y = β}, gdje je a := x P K (x), β := a,p K (x). Ako je dimk = n, onda je P K (x) BdK i ta potporna hiperravnina H a,β nije trivijalna (propozicija 3.23.). Medutim, ako je dim K < n, onda ta potporna hiperravnina može biti trivijalna; a ako je netrivijalna, onda je P K (x) RelBdK (propozicija 3.25.). Budući da trivijalne potporne hiperravnine nisu od nekog interesa, postavlja se sljedeće pitanje: Postoji li netrivijalna potporna hiperravnina na skup K u točki y 0 RelBdK? Pritome, jasno, akoje dimk = n, pod relativnom granicomrelbdk podrazumijevamo pravu granicu Bd K. Ako je odgovor na postavljeno pitanje afirmativan, onda mora biti y 0 RelBdK (propozicije i 3.25.). Potpun odgovor na postavljeno pitanje daje nam sljedeća propozicija.

58 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Propozicija Zatvoren i konveksan skup K R n ima netrivijalnu potpornu hiperravninu u svakoj točki sa svoje relativne granice. Pri tome, ako je dimk = n, pod relativnom granicom RelBd K podrazumijevamo pravu granicu Bd K. Dokaz. Neka je y 0 RelBdK = K\RelIntK. Dovoljnoje pokazati dapostojitočka z 0 affk\k čija je projekcija y 0, tj. P K (z 0 ) = y 0. Zaista, prema lemi tada će H = {y R n : z 0 y 0,y y 0 = 0} biti potporna hiperravninaskupa K u točkiy 0. Akoje dimk = n, H je netrivijalna potporna hiperravnina (propozicija 3.23.). Ako je dimk < n, budući da su y 0,z 0 affk, normalaz 0 y 0 hiperravnine H je iz linearnogpotprostora paralelnogsaffk pa iz propozicije slijedi da je H netrivijalna potporna hiperravnina. Preostaje pokazati da postoji točka z 0 affk\k takva da je P K (z 0 ) = y 0. Kako je y 0 RelBdK = RelBd(affK\K), postoji niz točaka x k affk\k koji konvergira prema y 0. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je x k S(y 0,1), gdje je S(y 0,1) jedinična sferascentrom u točkiy 0. Neka je y k = P K (x k ). Svakoj točki x k možemo pridružiti jedinstvenu točku z k S(y 0,1) affk, ali tako da bude x k (y k,z k ) (vidi sliku!). Slika. y k x k y 0 z k S(y 0,1) Prema korolaru 3.6. je P K (z k ) = y k. Nadalje, iskoristimo li svojstvo neekspanzivnosti projektora P K, dobivamo y k y 0 = P K (x k ) P K (y 0 ) x k y 0 odakle zbog x k y 0 slijedi y k y 0, tj. P K (z k ) y 0. Zbog kompaktnosti jedinične sfere S(y 0,1) niz (z k ) ima konvergentan podniz (z uk ) koji konvergira nekoj točki z 0 S(y 0,1) affk. Iskoristimo li neprekidnost (Heineova definicija!) projektora P K, dobivamo P K (z 0 ) = lim k P K(z uk ) = lim k P K(z k ) = y 0. Nadalje, kako je P K (z 0 ) z 0, točka z 0 ne pripada skupu K (primjedba 3.3.); dakle z 0 affk\k.

59 52 Separacija konveksnih skupova Korolar Neka je K = convs, gdje je S R n. Svaka točka x K RelBdK može se prikazati kao konveksna kombinacija od najviše dim S točaka iz S. Dokaz. Prema Carathéodoryjevom teoremu točka x se može prikazati kao konveksna kombinacija od najviše dims +1 točaka iz skupa S. Neka je x = dim S+1 λ i x i, dim S+1 λ i = 1, λ i 0. Ako je neki λ i jednak nuli, dokaz je gotov. Zato nadalje pretpostavimo da su svi λ i strogo pozitivni. Kako je skup ClK zatvoren i konveksan, prema prethodnoj propoziciji postoji netrivijalna potporna hiperravnina H a,β = {y R n : a,y = β} skupa ClK u točki x. Bez smanjenja općenitosti, neka je Tada je a budući da je β = a,x = lako je zaključiti da mora biti ClK H a,β = {y Rn : a,y β}. a,x i β, i = 1,...,dimS +1, dim S+1 λ i a,x i, dim S+1 a,x i = β, i = 1,...,dimS +1. λ i = 1, λ i > 0, Dakle, točke x i, i = 1,...,dimS + 1, ne leže samo u skupu S već one leže i u hiperravnini H a,β. Zato sve one leže i u skupu affs H a,β. Po propoziciji je dim(affs H a,β ) = dims 1. Primjenimo li ponovo Carathéodoryjev teorem, ali sada na afin skup affs H a,β, zaključujemo da se x može prikazati kao konveksna kombinacija od najviše dims točaka iz skupa S Teoremi o separaciji konveksnih skupova Teoremi o separaciji (razdvajanju) konveksnih skupova imaju fundamentalnu ulogu u konveksnoj analizi i optimizaciji.

60 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Definicija Neka su S,T R n bilo kakvi skupovi i H a,β afina hiperravnina. Kažemo da skup S leži s jedne strane hiperravnine H a,β ako je S H a,β ili S H + a,β. Ako je S H a,β \H a,β = IntH a,β ili S H+ a,β \H a,β = IntH + a,β, kažemo da skup S strogo leži s jedne strane hiperravnine H a,β. Kažemo da hiperravnina H a,β separira ili slabo separira skupove S i T ako oni leže s različitih strana te hiperravnine. Za tu separaciju kažemo da je prava ili netrivijalna ako S T nije sadržano u H a,β. Hiperravnina H a,β strogo separira skupove S i T ako oni strogo leže s različitih strana te hiperravnine. Hiperravnina H a,β jako separira skupove S i T ako postoji ε > 0 takav da obje hiperravnine H a,β ε i H a,β+ε separiraju skupove S i T. Lako je provjeriti da vrijede implikacije: jaka sep. = stroga sep. = prava sep. = slaba sep. (3.7) Navedeni tipovi separacije ilustrirani su na sljedećoj slici. S H a,β ε H a,β T H a,β+ε S H a,β T a a) Jaka separacija b) Stroga separacija; nije moguća jaka

61 54 Separacija konveksnih skupova H a,β H a,β a S T T c) Prava separacija; nije moguća stroga Slika?. Razni tipovi separacije. S d) Separacija (slaba); nije moguća prava Primjedba Lako je provjeriti da se navedeni tipovi separacije mogu iskazati na sljedeći ekvivalentan način: Slaba separacija: Postoji a R n \{0} takav da je sup a,s inf a,t. t T s S Prava separacija: Postoji a R n \{0} takav da je sup a,s inf a,t & inf a,s < sup a,t. s S t T s S t T Stroga separacija: Postoje a R n \{0} i β R takvi da je a,s < β < a,t za sve s S i t T. Jaka separacija: Postoji a R n \{0} takav da je sup a,s < inf a,t. s S t T Teorem (Separacija točke i konveksnog skupa) Neka je K R n neprazan konveksan skup, a x R n \K. Tada vrijedi: (i) Postoji hiperravnina koja na pravi način separira skup K i točku x. (ii) Ako je K zatvoren skup, onda se skup K i točka x mogu jako separirati.

62 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Dokaz. Za dokaz ovih tvrdnje iskoristit ćemo lemu i propoziciju (ii) Ako je K zatvoren skup, tvrdnja slijedi iz (3.6). (i) Ako x ClK, onda prema (ii) postoji hiperravnina koja jako separira ClK i točku x, a jaka separacija povlači pravu separaciju. Ako je x ClK, onda je x RelBdK = ClK\RelIntK pa tvrdnja slijedi iz propozicije Sljedeća lema govori nam da se problem separacije [jake separacije] dva skupa reducira na problem separacije [jake separacije] skupa i točke. Zahvaljujući implikacijama (3.7) lako je zaključiti da ta lema vrijedi i za preostala dva tipa separacije (stroga i prava separacija) Lema Neprazne skupove S i T iz R n možemo separirati [jako separirati] onda i samo onda ako možemo separirati [jako separirati] skupove {0} i S T. Dokaz. Promotrimo samo slučaj jake separacije; slično se tretira slučaj separacije. Prvo pretpostavimo da skupove S i T možemo jako separirati. Tada postoji a R n \{0} takav da je (vidi primjedbu 3.29.) sup a,s < inf a,t. t T s S Lakoje pokazati da su sup s S a,s i inf t T a,t konačnibrojevi. Neka je x S T oblika x = s t, gdje su s S i t T. Tada je odakle slijedi a,x = a,s a,t sup a,s inf a,t < 0, sup x S T s S a,x < 0 = a,0, a to znači (opet primjedba 3.29.!) da skupove S T i {0} možemo jako separirti. Pretpostavimo sada da se skupovi S T i {0} mogu jako separirati, tj. da postoji a R n \{0} takav da je Tada za sve s S i t T vrijedi odakle se lako dobiva sup x S T a,x < 0. t T a,s a,t sup sup s S a,s inf t T x S T a,x < 0, a,t + sup a,x. x S T Pažljivim promatranjem gornje nejednakosti lako je prvo pokazati da sup s S a,s mora biti konačan broj, a zatim da i inf t T a,t mora biti konačan broj. Zato je sup a,s < inf a,t, s S t T što nam govori da se skupovi S i T mogu jako separirati.

63 56 Separacija konveksnih skupova Sada ćemo dokazati teorem Minkowskog 7 o separaciji konveksnih skupova Teorem (Minkowski) Neka su K 1 i K 2 neprazni konveksni skupovi u R n (ne nužno zatvoreni) takvi da je K 1 K 2 =. Tada K 1 i K 2 možemo separirati. Nadalje, ako su K 1 i K 2 zatvoreni skupovi, te ako je barem jedan od njih omeden, onda ih možemo jako separirati. Dokaz. Razlika K 1 K 2 konveksnih skupova K 1 i K 2 je konveksan skup. Nadalje, uočite da vrijedi K 1 K 2 = 0 K 1 K 2. Tvrdnja da skupove K 1 i K 2 možemo separirati slijedi iz leme i teorema Preostaje dokazati tvrdnju o jakoj separaciji. U tu svrhu, opet prema lemi i teoremu 3.30., dovoljno je pokazati da je uz navedene pretpostavke razlika K 1 K 2 zatvoren skup. Pretpostavimo da je K 1 zatvoren, a K 2 kompaktan (zatvoren i omeden)skupipokažimodajetadarazlikak 1 K 2 takoderzatvorenskup. Zadokaz ove tvrdnje iskoristit ćemo dobro poznatu činjenicu da je u metričkom prostoru neki skup S zatvoren ako i samo ako sadrži limese svih konvergentnih nizova iz S. Neka je (a k b k ), gdje je a k K 1, b k K 2, konvergentan niz iz skupa K 1 K 2. Treba pokazati da limes niza (a k b k ) pripada skupu K 1 K 2. Kao prvo, zbog kompaktnosti skupa K 2 niz (b k ) ima konvergentan podniz (b uk ) koji konvergira nekoj točki b 0 K 2. Shvatimo li podniz (a uk ) kao zbroj konvergentnih podnizova (a uk b uk ) i (b uk ), slijedi da je (a uk ) konvergentan niz. Neka a uk a 0. Zbog zatvorenosti skupa K 1 je a 0 K 1. Dakle, a uk b uk a 0 b 0 K 1 K 2. Kako svaki podniz konvergentnog niza konvergira prema istoj točki kao i niz, slijedi da a k b k a 0 b 0 K 1 K 2 Pod odredenim uvjetima konveksne skupove je moguće separirati čak i ako nisu disjunktni. O tome nam govori sljedeći teorem Teorem (Prava separacija konveksnih skupova) Neka su K 1,K 2 R n neprazni konveksni skupovi. Prava separacija skupova K 1 i K 2 postoji ako i samo ako je RelIntK 1 RelIntK 2 =. Dokaz. Pretpostavimo da je RelIntK 1 RelIntK 2 =. Prema korolaru skupovi RelIntK 1 i RelIntK 2 su konveksni. Neka je C := RelIntK 1 RelIntK 2. Tada 0 C i C je konveksanskup pa prema teoremu postoji prava separacijaskupa C i točke 0. Iz leme slijedi prava separacija skupova RelIntK 1 i RelIntK 2, tj. postoji hiperravnina H a,β takva da je RelIntK 1 H a,β, RelIntK 2 H + a,β, RelIntK 1 RelIntK 2 H a,β. 7 Hermann Minkowski ( ), njemački matematičar.

64 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Pomoću korolara sada je lako pokazati da hiperravnina H a,β na pravi način separira skupove K 1 i K 2, tj. da vrijedi K 1 H a,β, K 2 H + a,β, K 1 K 2 H a,β. Obratno, neka hiperravnina H a,β na pravi način separira skupove K 1 i K 2. Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je K 1 H a,β, a K 2 H + a,β. Treba pokazati da je RelIntK 1 RelIntK 2 =. Dokaz ćemo provesti kontradikcijom pa zato pretpostavimo da je y 0 RelIntK 1 RelIntK 2. Tada je y 0 H a,β H+ a,β = H a,β, pa je H a,β potporna hiperravnina (u točki y 0 ) skupova K 1 i K 2. Zbog prave separacijebaremjedanodskupovak 1 ik 2 nijecijelisadržanuh a,β. Pretpostavimo dak 1 nijesadržanu H a,β. TadajeH a,β netrivijalnapotpornahiperravninanaskup K 1 u točki y 0 i zbog toga je y 0 RelBdK 1 = ClK\RelIntK (vidi propoziciju i propoziciju 3.25.), što je kontradikcija Farkaseva lema i varijante Prisjetimo se standardnog i kanonskog oblika problema linearnog programiranja. Kod kanonskog oblika svako moguće rješenje je nenegativno rješenje x 0 sustava linearnih jednadžbi Ax = b, a kod standardnog oblika svako moguće rješenje je nenegativno rješenje x 0 sustava linearnih nejednadžbi Ax b. Nužne i dovoljne uvjete za egzistencija nenegativnog rješenja sustava linearnih jednadžbi odnosno nejednadžbi izvest ćemo pomoću sljedeće Farkaseve 8 leme Teorem (Farkaseva lema, geometrijska verzija) Neka je A R m n matrica i b R m vektor. Tada samo jedan od sljedeća dva sustava ima rješenje: (a) Ax = b, x 0 (3.8) (b) y T A 0, y T b < 0. (3.9) Dokaz. Prvo ćemo pokazati da oba sustava ne mogu imati rješenje, a zatim ćemo pokazati da drugi sustav ima rješenje ako prvi nema. Kad bi oba sustava imala rješenje, tj. kad bi postojali vektori x 0 i y R m takvi da vrijede nejednakosti (3.8) i (3.9), onda bi bilo 0 (y T A)x = y T (Ax) = y T b < 0. Time smo pokazali da oba sustava ne mogu imati rješenje. Pretpostavimo da prvi sustav nema rješenje, tj. da b C(a 1,...,a n ), gdje je C(a 1,...,a n ) konus generiran stupacima a 1,...,a n matrice A. Uočite da je C(a 1,...,a n ) = {Ax : x 0}. 8 Gyula Farkas ( ), madžarski matematičar i fizičar.

65 58 Separacija konveksnih skupova Konus C(a 1,...,a n ) je konveksan i zatvoren skup (korolar 2.26.), pa ga prema teoremu možemo jako separirati od točke b, odnosno vrijedi y,b < inf < y,ax. (3.10) x 0 Specijalno, za x = 0 dobivamo y T b = y,b < 0. Preostaje pokazati da je y T A 0, tj. da je y T a i 0 za sve i = 1,...,n. Zaista, za svaki λ > 0 je λe i 0 pa iz (3.10) dobivamo y T b < y,a(λe i ) = y,λa i = λy T a i, a kako je y T b < 0, mora biti y T a i 0. Geometrijska interpretacija Farkaseve leme: Neka je C(a 1,...,a n ) R n konus generiran stupcima matrice A, a b R n vektor. Tada je ili (a) b C(a 1,...,a n ), tj. vektor b se može prikazati kao linearna kombinacija stupaca matrice A s nenegativnim koeficijentima ili (b) b C(a 1,...,a n ), tj. postoji hiperravnina H s vektorom normale y koja razdvaja konus C(a 1,...,a n ) i točku b. Sada ćemo navesti nekoliko ekvivalentnih formulacija Farkaseve leme. Jedna od njh je sljedeća tvrdnja koja daje nužne i dovoljne uvjete za egzistenciju nenegativnog rješenja sustava Ax = b. Dokaz ekvivalentnosti je jednostavan i prepuštamo ga čitatelju Korolar (Farkaseva lema, homogena verzija) Neka je A R m n matrica i b R m vektor. Sljedeće tvrdnje su ekvivalentne: (a) Sustav Ax = b ima nenegativno rješenje x 0. (b) y T A 0 = y T b Korolar (Farkaseva lema) Neka je A R m n matrica i b R m vektor. Sustav linearnih nejednadžbi Ax b ima rješenje onda i samo onda ako je y T b 0 za svaki vektor y 0 za koji je y T A = 0. Dokaz. Prvo ćemo pokazati da se rješavanje sustava nejednadžbi Ax b svodi na traženje nenegativnog rješenja jednog novog sustava A x = b, a zatim ćemo primijeniti korolar i dobiti traženu tvrdnju. Neka je x rješenje sustava nejednadžbi Ax b. Tada postoji z 0 takav da je Ax+z = b. Nadalje, prikažimo x u obliku x = u v gdje su u 0 i v 0. Uvedimo blok stupac x i blok matricu A : x := u v, A := [A AI] z

66 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Vektorx jerješenjesustavaa x = b. Obratno,akojex rješenjesustavaa x = b, onda je x = u v rješenje sustava nejednadžbi Ax b. Time smo pokazali da se rješavanje sustava nejednadžbi Ax b svodi na traženje nenegativnog rješenja proširenog sustava A x = b. Prema koroloaru prošireni sustav A x = b ima nenegativno rješenje ako i samo ako je y T b 0 za svaki vektor y za koji je y T A 0. Preostaje uočiti da je y T A 0 ako i samo ako je y 0 i y T A = Korolar (Farkaseva lema) Neka je A R m n matrica i b R m vektor. Sustav linearnih nejednadžbi Ax b ima nenegativno rješenje onda i samo onda ako je y T b 0 za svaki vektor y 0 za koji je y T A 0. Dokaz. Postupit ćemo slično kao u dokazu prethodnog korolara. Neka je x 0 nenegativno rješenje sustava nejednadžbi Ax b. Tada postoji y 0 takav da je Ax+y = b. Definirajmo blok stupac x i blok matricu A : [ x x :=, A y] := [AI] Vektor x je nenegativno rješenje sustava A x = b. Obratno, ako je x 0 nenegativno rješenje sustava A x = b, onda je x 0 rješenje sustava nejednadžbi Ax b. Prema koroloaru prošireni sustav A x = b ima nenegativno rješenje ako i samo ako je y T b 0 za svaki vektor y za koji je y T A 0. Preostaje uočiti da je y T A 0 ako i samo ako je y 0 i y T A 0. Zadaci za vježbu 1. Pokažite da svaka potporna hiperravnina na konus C sadrži 0. Uputa: Neka je H a,β potporna hiperravnina na konus C u točki x 0 C. Tada je β = a,x 0. Pretpostavimo da je a,x β za svaki x C. Za svaki λ 0 vrijedi λβ = λ a,x 0 = a,λx 0 β, tj. (λ 1)β 0, odakle slijedi da je β = (Vanjski opis zatvorenog konveksnog konusa) Za poluprostor kažemo da je homogen ako njegova granica sadrži točku 0. Dokažite da se svaki zatvoren i konveksnan konus C može prikazati kao presjek svih homogenih zatvorenih poluprostora koji sadrže C. Uputa: Iskoristite 1. zadatak i oponašajte dokaz teorema Ako je C vektorski potprostor od R n, a C njegov ortogonalni komplement. Provjerite da je dualni konus C jednak ortogonalnom komplementu C. 4. Neka su C 1 i C 2 konusi. Dokažite: (a) (C 1 C 2 ) = C 1 C 2. (b) (C 1+C 2 ) = C 1 C 2

67 60 Reprezentacija konveksnih skupova 4. Reprezentacija konveksnih skupova 4.1. Ekstremalne točke i stranice konveksnog skupa Postavlja se pitanje kako definirati vrhove, bridove i stranice konveksnog skupa K R n. Prije nego što damo formalnu definiciju, pogledajmo kocku i tijelo sa slike. stranica brid a) Kocka K R 3 Kod kocke uočavamo: vrh x 0 F 2 E 2 F 1 y 4 b) Tijelo O R 3 Slika 4.1. Kocka K i tijelo O. a) Svaka stranica je 2-dimenzionalan konveksan skup i možemo je shvatiti kao presjek kocke s potpornom hiperravninom koja sadrži tu stranicu. b) Svaki brid je jednodimenzionalan konveksan skup i možemo ga shvatiti kao presjek kocke sa samo jednom potpornom hiperravninom. Na brid možemo gledati i kao na presjek kocke s dvije ili više potpornih hiperravnia, od kojih su barem dvije linearno nezavisne. c) Svaki vrh je 0-dimenzionalan konveksan skup i možemo ga shvatiti kao presjek kocke s jednom potpornom hiperravninom. Na vrh možemo gledati i kao na presjek kocke s tri ili više potpornih hiperravnina, od kojih su barem tri linearno nezavisne. Vrh x 0 nije moguće prikazati kao konveksnu kombinaciju dviju različitih točaka iz K, tj. K\{x 0 } je konveksan skup. Lako je provjeriti da stranice, bridovi i vrhovi kocke K imaju jedno zajedničko svojstvo koje ćemo sada istaknuti: Neka je F stranica, brid ili vrh kocke K. Ni jedna točka z F ne može se prikazati kao stroga konveksna kombinacija z = λx 1 + (1 λ)x 2 dviju točaka x 1,x 2 iz K, osim eventualno kad su obje točke x 1,x 2 iz F (zbog konveksnosti skupa F tada je i cijeli segment [x 1,x 1 ] sadržan u F). Pri tome konveksnu kombinaciju z = λx 1 +(1 λ)x 2 smatramo strogom ako je ako je x 1 x 2 i 0 < λ < 1, tj. ako je x 1 x 2 i z (x 1,x 2 ). Drugim riječima, za bilo y 1 y 3 E 1 y 2

68 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, koje dvije različite točke x 1,x 2 K vrijedi: (x 1,x 2 ) F = [x 1,x 2 ] F. (4.1) Općenito, svaki podskup F od K sa svojstvom (4.1) zvat ćemo ekstemalnim. Nadalje, ako postoji hiperravnina takva da je F = K H, za podskup F kazat ćemo da je izložen s hiperravninom H. Precizne definicije navest ćemo malo kasnije. Promotrimo sada tijelo O: Na slici istaknute plohe F 1,F 2, dužine E 1,E 2 i točke y 1,...,y 4 sukonveksnipodskupoviodo. Svakiodtih podskupovaje iekstremalan. Plohe F 1 i F 2 su izložene. Dužina E 1 je izložena, dok dužina E 2 nije. Točke y 1 i y 2 su izložene, a y 3 i y 4 nisu Definicija Neka je K R n konveksan skup. Za konveksan podskup F od K kažemo da je ekstremalna ili ekstremna stranica skupa K ako za sve x 1,x 2 K, x 1 x 2, vrijedi (x 1,x 2 ) F = [x 1,x 2 ] F. Točka x 0 K je ekstremalna ili ekstremna točka skupa K ako je jednočlani skup {x 0 } njegova ekstremalna stranica. Skup svih ekstremalnih točaka skupa K označavamo s ext K. Ako je zraka {y 0 +λq : λ 0} ekstremalna stranica od K, zovemo je ekstremalna zraka. Njezin vektor smjera q zovemo ekstremalni smjer. Skup svih ekstremalnih zraka skupa K označavamo s exthlk. Drugim riječima, ekstremalna stranica konveksnog skupa K je svaki njegov konveksanpodskup F sasvojstvomdasvaki segment[x 1,x 2 ] iz K čiji relativniinterior (interval (x 1,x 2 )) siječe F mora imati rubne točke iz F (zbog konveksnosti od F tada je i cijeli segment [x 1,x 2 ] sadržan u F!). Uočite da je točka x 0 K ekstremalna točka konveksnog skupa K ako i samo akose onane možeprikazati kaostrogakonveksnakombinacijatočakaiz K. Lakoje zaključitidajex 0 K ekstremalnatočkaakoisamoakojeskupk\{x 0 }konveksan. Svaki konveksan skup K ima dvije trivijalne ekstremalne stranice: prazan skup i cijeli skup K. Preostale ekstremalne stranice zovemo pravim. Ako je K R n konveksan skup dimenzije dim K = r, njegove(r 1)-dimenzionalne stranice zovemo facetama. Lako je dokazati sljedeću propoziciju Propozicija Presjek svake familije ekstremalnih stranica je ekstremalna stranica.

69 62 Reprezentacija konveksnih skupova ekstremalne točke K ekstremalna zraka {y 0 + λq : λ 0} Slika 4.2. Ekstremalne točke i ekstremalna zraka Definicija Neka je K konveksan skup. Presjek skupa K i njegove potporne hiperravnine zovemo izložena stranica. Točka x 0 je vrh od K ako je {x 0 } izložena stranica. Ekstremalna stranica ne mora biti izložena. Zaista, pogledajmo slike 4.1.b) i 4.3. Na slici 4.1.b) dužina E 2 je ekstremalna stranica koja nije izložena. Na slici 4.3. ekstremalne točke skupa K nalaze na polukružnicama (npr. točke x 1 i x 2 ), ali ni jedna od tih točaka nije ne može izložiti. Dakle, pojam ekstremalne stranice je širi od pojma izložene stranice. Medutim, svaka izložena stranica je i ektremalna, kao što nam govori sljedeća propozicija. y 0 x 1 x 2 q 4.4. Propozicija Slika 4.3. Lik K je unija pravokutnika i dva polukruga. (a) Svaka izložena stranica konveksnog skupa je i ekstremalna stranica. (b) Presjek svake familije izloženih stranica je ekstremalna stranica.

70 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Dokaz. (a) Neka je K konveksan skup, H a,β potporna hiperravnina od K i F := K H a,β izložena stanica od K. Očito je F konveksan skup. Pretpostavimo da je a,x β, x K. Neka su x 1,x 2 K bilo koje dvije različite točke. Tada je } a,x 1 β a,x 2 β. Pretpostavimo da je (x 1,x 2 ) F, tj. da postoji λ (0,1) takav da je λx 1 +(1 λ)x 2 F = K H a,β. Tada je a,λx 1 +(1 λ)x 2 = β, odnosno λ a,x 1 +(1 λ) a,x 2 = β. (4.2) Zbog (4.2) tada mora biti a,x 1 = β i a,x 2 = β, tj. tada su x 1,x 2 H a,β i zato je [x 1,x 2 ] F. (b) Tvrdnja slijedi iz (a) i propozicije 4.2. Obrat prethodne propozicije općenito ne vrijedi, tj. ekstremalna stranica ne mora biti izložena. Primjerice, kod tijela O sa slike 4.1 dužina E 2 je ekstremalna stranica koja nije izloživa. Ipak, svaka ekstremalna stranica konveksnog skupa K nastaje kao presjek skupa K s jednom ili više hiperravnina; za razliku od izložene stranice koja nastaje presjecanjem skupa K sa samo jednom potpornom hiperravninom. O tome nam govori sljedeći teorem Teorem Neka je K konveksan skup iz R n, a F njegov konveksan podskup. Skup F je ekstremalna stranica od K ako i samo ako je K\F konveksan skup i F = K afff. (4.3) Specijalno, točka x 0 K je ekstremalna točka skupa K ako i samo ako je K\{x 0 } konveksan skup. Dokaz. Pretpostavimo da je F ekstremalna stranica od K. Prvo ćemo pokazati da je K\F konveksan skup. Kad skup K\F ne bi bio konveksan, postojale bi točke x 1,x 2 K\F takve da je (x 1,x 2 ) F. Budući da je F ekstremalna stranica od K, slijedi [x 1,x 2 ] F. Specijalno je x 1,x 2 F, što je kontradikcija. Time smo pokazali konveksnost skupa K\F. Sad ćemo dokazati jednakost (4.3). Očigledno je F K afff. Za dokaz obratne inkluzije K afff F pretpostavimo da je x K afff. Odaberimo bilo koju točku y RelIntF, y x. Neka je p afini pravac odreden točkama y i x. Jasno, p afff jer su y,x afff. Točka 2y x leži na pravcu p, a točka y je izmedu 2y x i x (vidi i sliku 4.4!). Kako je skup F konveksan, 2y x afff i y RelIntF, po propoziciji postoji točka z (2y x,y) takva da je [z,y] F. Uočimo da je y (z,x). Kako su z,x K te kako je F ekstremalna stranica, slijedi [z,x] F. Time smo pokazali da je x F.

71 64 Reprezentacija konveksnih skupova 2y x z y x p aff F Slika 4.4. Obratno, pretpostavimo da je K\F konveksan skup i F = K afff. Pokažimo da je F ekstremalna stranica od K. U tu svrhu, neka su točke x 1,x 2 K takve da je x 1 x 2 i (x 1,x 2 ) F. Treba pokazati da je [x 1,x 2 ] F. Zbog (x 1,x 2 ) F i konveksnosti skupa K\F barem jedna od točaka x 1,x 2 mora pripadati skupu F. Neka je x 1 F. Iz x 1 F i (x 1,x 2 ) F slijedi x 2 afff. Zatoje x 2 K afff = F. Dakle, objetočkex 1,x 2 ležeuskupuf, pakonveksnost skupa F povlači [x 1,x 2 ] F Korolar Ako je K = conve, gdje je E R n neprazan skup, onda svaka ekstremalna točka skupa K leži u E, tj. ext(conve) E. Dokaz. Dokaz ćemo provesti kontradikcijom. Pretpostavimo da ekstremalna točka x 0 skupa K = conve ne leži u E. Tada je K\{x 0 } pravi konveksan podskup od K i E K\{x 0 }. To bi povlačilo K = conve conv(k\{x 0 }) = K\{x 0 } K, tj. da je K pravi podskup od K, što je kontradikcija Korolar Ako je F prava ekstremalna stranica konveksnog skupa K (F K i F ), onda je dimf < dimk. Dokaz. Kad bi bilo dimf = dimk, po definiciji dimenzije skupovi F i K bi imali isti maksimalan broj afino nezavisnih točaka. Budući da je F K, tada bi imali afff = affk. Prema (4.3) tada bi bilo F = K afff = K affk = K, što je u kontradikciji s pretpostavkom da je F prava stranica Propozicija Neka je K R n konveksan skup, a F njegova ekstremalna stranica. Podskup F 1 F je ekstremalna stranica od F ako i samo je ekstremalna stranica od K.

72 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Dokaz. NekajeF 1 ekstremalnastranicaodf. Pretpostavimodaje(x 1,x 2 ) F 1, gdje su x 1,x 2 K. Treba pokazati da je [x 1,x 2 ] F 1. Neka je z (x 1,x 2 ) F 1. Kako je F 1 F, to je z (x 1,x 2 ) F, a kako je F ekstremalna stranica od K, slijedi [x 1,x 2 ] F. Dakle, imamo da je z (x 1,x 2 ) F 1 i x 1,x 2 F, odakle, budući da je F 1 stranica od F, slijedi [x 1,x 2 ] F 1. Obratna implikacija je očigledna. Prethodna propozicija ne vrijedi za izložene stranice. Zaista, vratimo se na sliku 4.3. Segment (dužina) [x 1,x 2 ] je izloženastranicakonveksnogskupa K. Točke x 1 i x 2 su izložene stranice (vrhovi) tog segmenta, ali nisu izloženi vrhovi skupa K Korolar Ako je F ekstremalna stranica konveksnog skupa K, onda je extf = F extk, tj. ekstremalne točke od F su ekstremalne točke od K koje se nalaze u F Korolar Ako je {y 0 + λq : λ 0} ekstremalna zraka konveksnog skupa K, onda je y 0 ekstremalna točka od K. Dokaz. Dovoljno je uočiti da je y 0 ekstremalna točka zrake i primijeniti propoziciju Propozicija Neka je K konveksan skup, F ekstremalna stranica od K i S bilo koji konveksan podskup od K. Ako je F RelIntS, onda je S F. To možemo matematički zapisati kao S K, F RelIntS = S F. Dokaz. Za dokaz ove tvrdnje iskoristit ćemo drugu tvrdnju propozicije koja opisuje relativni interior. Neka je x 0 F RelIntS. Uzmimo bilo koju točku x S\{x 0 } te pokažimo da je x F. U tu svrhu, neka je p afini pravac koji prolazi točkama x 0 i x. Jasno, p affs jer su x 0,x S. Točka 2x 0 x leži na pravcu p, a točka x 0 je izmedu 2x 0 x i x (vidi i sliku 4.5!). Kako je skups konveksanix 0 RelIntS, popropoziciji2.19. postojitočkay (2x x 0,x 0 ) takva da je [y,x 0 ] S. Uočimo da je x 0 (y,x). Budući da je F ekstremalna stranica od K, slijedi [y,x] F, pa je i x F.

73 66 Reprezentacija konveksnih skupova 2x 0 x y x 0 x p aff S Slika 4.5. Zahvaljujući prethodnoj propoziciji lako se uočava da se ekstremalna stranica može definirati na sljedeći ekvivalentan način: Definicija (Ekvivalentna definicija ekstremalnih stranica) Neka je K R n konveksan skup. Konveksan podskup F od K je ekstremalna stranica od K ako za svaki konveksan podskup S od K vrijedi Korolar Neka je K konveksan skup. Vrijedi: F RelIntS = S F. a) Ako ekstremalna stranica F od K siječe RelIntK, onda se ona podudara s K. Dakle, F RelIntK = F = K. Dokaz. Za S iz prethodne propozicije stavite S = K. b) Svaka prava ekstremalna stranica F od K leži na njegovoj relativnoj granici RelBdK, tj. F RelBdK = ClK\RelIntK. Dokaz. Dovoljno je pokazati da je F RelIntK =. Zaista, kad bi bilo F RelIntK, prema tvrdnji a) bi imali K = F, što bi bila kontradikcija s pretpostavkom da je F prava ekstremalna stranica. c) Svaka prava ekstremalna stranica F od K sadržana je u nekoj pravoj izloženoj stranici E od K. Dokaz. Vrijedi: (i) F RelIntK =, (ii) F = K afff. Zaista, F je prava ekstremalna stranica pa zbog tvrdnje a) mora vrijediti (i), dok (ii) nije ništa drugo nego jednakost (4.3). Iz (i) i (ii) dobivamo: = F RelIntK = (K afff) RelIntK = afff RelIntK. Zbog toga postoji hiperravnina H koja na netrivijalan način separira skupove RelIntK i afff (vidi teorem 3.33.!), tj.

74 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, (iii) K H, (iv) afff H + i (v) barem jedan od skupova RelIntK i afff nije cijeli sadržan u H. Sad je lako provjeriti da vrijedi F H = H H +. Zaista, iz F K i (iii) dobivamo F H, a iz F afff i (iv) slijedi F H +. Kako je F H i kako vrijedi (v), H K je (po definiciji) prava izložena stranica koja sadrži F. d) Svaka ekstremalna stranica F konveksnog i zatvorenog skupa K je takoder zatvorena. Dokaz. Prema (4.3) je F = K afff. Skupovi K i affk su zatvoreni, pa je kao njihov presjek zatvorena i stranica F. e) Relativna granica zatvorenog konveksnig skupa K sastoji se od pravih izloženih stranica. Dokaz. Kroz svaku točku s relativne granice možemo postaviti netrivijalnu potpornu hiperravninu H, a zbog tvrdnje a) H K je prava izložena stranica, tj. H K K Teorem Minkowskog Prisjetimo se, ekstremalna stranica F konveksnog skupa je prava ako nije trivijalna (F = ili F = K). Neki konveksni skupovi nemaju ekstremalnih točaka Propozicija Svaki neprazan, kompaktan i konveksan skup iz R n ima ekstremalnu točku. Dokaz. Neka je x 0 2 maksimum neprekidne funkcije x x 2 na kompaktu K. Tvrdimo da je x 0 ekstremalna točka skupa K. Zaista, u suprotnom bi postojale dvije različite točke x 1,x 2 K takve da je x 0 = 1 2 (x 1+x 2 ). Zbog x 1 x 2, pomoću jednakosti paralelograma x 1 +x x 1 x 2 2 = 2( x x 2 2 ) tada bi dobili x 0 2 = x 1 +x 2 2 < ( x x 2 2 ) 1 2 ( x x 0 2 ) = x 0 2, što što nije moguće. Sada možemo iskazati fundamentalni teorem o reprezentaciji kompaktnog konveksnog skupa koji je poznat pod nazivom teorem Minkowskog ili Krein-Milmanov

75 68 Reprezentacija konveksnih skupova teorem, a čestose spominju i sva tri imena zajedno. Naime, taj teorem prvi je dokazao Minkowski, a njegovu generalizaciju u lokalno konveksnom topološkom prostoru napravili su Krein 9 i Milman Teorem (Minkowski, Krein-Milman) Svaki kompaktan konveksan skup u R n je konveksna ljuska svojih ekstremalnih točaka, tj. K = conv(extk). Dokaz. Neka je K R n kompaktan konveksan skup. Dokaz ćemo provesti matematičkom indukcijom po dimenziji dim K skupa K. Tvrdnja očigledno vrijedi ako je dimk = 0, tj. ako je K jednočlani skup. Zato pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za sve konveksne kompakte dimenzije manje od k. Neka je K kompaktan konveksan skup dimenzije k. Za svaku točku x K imamo samo dvije mogućnosti: a) x RelBdK ili b) x RelIntK. Slučaj a) x RelBd K. Odaberimo netrivijalnu u točki x potpornu hiperravninu skupa K. Po propoziciji takva potporna hiperravnina postoji. Neprazan kompaktan i konveksan skup K H je dimenzije dim(k H) = k 1 (propozicije i 3.25.). Zato i kako je x K H, po induktivnoj pretpostavci točka x se može prikazati kao konveksna kombinacija ekstremalnih točaka skupa K H, tj. x conv(ext(k H)). Izložena stranica K H je i ekstremalna (propozicija 4.4.) pa su njezine ekstremalne točke ujedno ekstremalne točke i skupa K (propozicija 4.8.). Slučaj b) x RelIntK. Odaberimo točku x K\{x}. Kako je dimk > 0, to je moguće. Afini pravac generiran točkama x i x siječe relativnu granicu RelBdK u najviše dvije točke (prema korolaru svaki polupravac s početkom u točki x siječe relativnu granicu u najviše jednoj točki). Budući da je K kompaktan skup, imamo točno dvije takve presječnetočke y i z. Pri tome je x (y,z), tj. x je stroga konveksna kombinacija točaka y i z. Prema prvom dijelu dokaza, svaka od točaka y i z može se prikazati kao konveksna kombinacija ekstremalnih točaka skupa K, pa se zato i točka x može prikazati kao konveksnu kombinaciju ekstremalnih točaka od K Korolar Neka je K R n kompaktan i konveksan skup. Ako je f: K R neprekidna i konveksna funkcija, onda ona svoj globalni maksimum postiže u nekoj ekstremalnoj točki skupa K. 9 Mark Grigorievich Krein (Mark Grigórьeviq Krein) ( ), rusko-izraelski matematičar. 10 David Pinhusovich Milman (David Pinhusoviq Milьman) ( ), ruskoizraelski matematičar.

76 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Dokaz. Prema teoremu je K = conv({v 1,...,v m }), gdje su v 1,...,v m ekstremalne točke skupa K. Neka f svoj globalni maksimum postiže u točki x 0 K. Neka je m m x 0 = λ i v i, λ i 0, λ i = 1. Stavimo li f(v i0 ) := max,...,m f(v i) i iskoristimo li konveksnost funkcije f, dobivamo ( m ) m ( m f(v i0 ) f(x 0 ) = f λ i v i λ i f(v i ) λ i )f(v i0 ) = f(v i0 ), odakle slijedi f(x 0 ) = f(v i0 ) Recesivni i asimptotski konus konveksnog skupa Tvrdnja teorema ne može se proširiti na neomedene konveksne skupove. Primjerice, zraka K = {x 0 +λq : λ 0}, q 0, je neomeden skup kome je x 0 jedina ekstremalna točka (extk = {x 0 }) pa je više nego očigledno da se ni jedna druga točka te zrake ne može prikazati kao konveksna kombinacija ekstremalnih točaka. Za potpun opis neomedenih konveksnih skupova potrebni su nam pojmovi recesivnog i asimptotskog konusa, no prvo ćemo navesti jedan rezultat Teorem Konveksan skup K R n je neomeden ako i samo ako sadrži zraku. Dokaz. Ako K sadrži zraku, onda je K očigledno neomeden. Obratno, pretpostavimo da je K neomeden. Tada postoji niz (x k ) iz skupa K takav da x k. Neka je x 0 RelIntK. Prema propoziciji takav x 0 postoji. Definirajmo novi niz točaka s jednične sfere S n 1 : q k := x k x 0 x k x 0, k N. Kako je S n 1 kompaktan skup, bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da niz (q k ) konvergira prema točki q 0 S n 1. Sad ćemo pokazati da je {x 0 +λq 0 : λ 0} K, i time završiti dokaz. Neka je λ 0. Kako x k x 0, postoji dovoljno velik k 0 N takav da je Zato je 0 < λ+1 x k x 0 < 1, k k 0. x 0 +(λ+1)q k K, k k 0 pa stoga limes konvergentnog niz ( x 0 +(λ+1)q k )k k 0 leži u zatvaraču skupa K, tj. x 0 + (λ + 1)q 0 ClK. Kako je x 0 RelIntK, prema lemi slijedi [x 0,x 0 +(λ+1)q 0 ) RelIntK.

77 70 Reprezentacija konveksnih skupova Definicija Neka je K R n neprazan konveksan skup. Za vektor q R n kažemo da je recesivan smjer ili smjer opadanja za K ako je {x+λq : λ 0} K za svaki x K. Skup svih recesivnih smjerova skupa K zovemo recesivni konus ili konus opadanja skupa K i označavamo s reck. Za vektor a R n kažemo da je asimptotski smjer za K ako postoji točka x 0 K takva da je {x 0 + λa : λ 0} K. Skup svih asimptotskih smjerova skupa K zovemo asimptotski konus skupa K i označavamo s K. Uočite da recesivni i asimptotski smjerovi leže u vektorkom potprosturu L koji je paralelan s affk; prisjetite se da je L = affk x 0 za svaki x 0 K. Drugim riječima, vektor q je recesivni smjer skupa K ako kod kretanja s početkom iz bilo koje točke x K i u smjeru vektora q stalno ostajemo u skupu K; vektor a je asimptotski smjer od K ako postoji točka x 0 K iz koje je moguće kretati se u smjeru vektora a i pritom stalno ostati u skupu K. Očito je reck K, tj. svaki recesivni smjer je i asimptotski. Obratna inkluzija ne mora vrijediti. Zaista, pogledajmo sliku 4.6. Iz svih točaka danog skupa K, osim iz točke (0,0) K, moguće je kretati se u smjeru vektora a i pritom ostati u skupu K. Dakle, vektor a je asimptotski smjer, ali nije recesivni smjer. y 1 0 a = (1,0) Slika 4.6. K = {(x,y) R 2 : x 0,y (0,1]} {(0,0)}, ClK = {(x,y) R 2 : x 0,y [0,1]}. Istaknimo: { } reck = q R n {x+λq : λ 0} K za svaki x K { } K = q R n x 0 K takav da je {x 0 +λq : λ 0} K x Uvijek je 0 K i 0 reck. Ako je K omeden skup, onda je očigledno reck = {0} i K = {0}. Nadalje, lako je provjeriti (što prepuštamo čitatelju) da su reck i K konveksni konusi, te da vrijedi relacija (vidi zadatak 4., str. 85.) A B = A B (4.4)

78 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Primjedba Za konveksne skupove A i B, inkluzija A B ne implicira reca recb. Zaista, neka je K konveksan skup sa slike 4.6. Stavimo A := K\{(0,0)} i B := K. Tada je reca = {λ(1,0) : λ 0}, a recb = {(0,0)} Primjer. Odredimo recesivni i asimptotski konus poliedra P = {x R n : Ax b}. Po definiciji dobivamo: q recp x+λq P za sve x P i sve λ 0 A(x+λq) b za sve x P i sve λ 0 λaq 0 za sve λ 0 Aq 0 Dakle, recp = {x R n : Ax 0}. Provjerite sami da je P = recp. Teorem možemo iskazati na sljedeći ekvivalentan način: Teorem Neprazan konveksan skup K je neomeden ako i samo ako je K {0} Lema Neka je K R n neprazan konveksan skup. Svaki asimptotski smjer zatvarača skupa K je recesivan smjer i za zatvarač i za njegovu relativnu nutrinu, tj. i (ClK) rec(clk) (4.5) (ClK) rec(relintk). (4.6) Drugim riječima, ako zatvarač konveksnog skupa K sadrži zraku sa smjerom q, onda je svaka zraka sa smjerom q i početkom u bilo kojoj točki iz zatvarača [relativne nutrine] takoder sadržana u zatvaraču [relativnoj nutrini]. Dokaz. Ako je ClK omeden skup, onda je rec(clk) = {0} i (ClK) = {0}. Zato nadalje pretpostavimo da je ClK neomeden skup. Neka je a (ClK), tj. {x 0 +µa : µ 0} ClK za neki x 0 ClK. Treba pokazati da je a rec(clk) i a rec(relintk). U tu svrhu prvo ćemo pokazati da je [x,x+µa] ClK za sve x ClK i sve µ 0. (4.7) Neka su x ClK i µ 0 proizvoljni. Zbog kompaktnosti skupa ClK dovoljno je pokazati da je x+µa ClK. Kako je ε ({ ClK }}{ x 0 + µ )+(1 ε)x ε a ClK, ε (0,1)

79 72 Reprezentacija konveksnih skupova i [ lim ε (x 0 + µ ) ] ε 0+ ε a +(1 ε)x = x+µa, zbog zatvorenosti skupa ClK je x+µa ClK. Time smo dokazali (4.7). Za svaki x ClK iz (4.7) slijedi {x + µa : µ 0} ClK. To znači da je a rec(clk). Sada ćemo pokazati da je a rec(relintk). Pomoću leme iz (4.7) dobivamo [x,x+µa) RelIntK za sve x RelIntK i sve µ 0. Tojedovoljnodasezaključidaje{x+λa : λ 0} RelIntK zasvakix RelIntK, tj. da je a rec(relintk) Primjedba Prema lemi 4.22., ako zatvarač konveksnog skupa K sadrži zraku sa smjerom q, onda je svaka zraka sa smjerom q i početkom u zatvaraču [relativnoj nutrini] sadržana u zatvaraču [relativnoj nutrini]. Budući da je RelIntK K ClK, da li to implicira da će zraka s početkom iz skupa K i istim tim smjerom q biti sadržana u K? Odgovor je, nažalost, općenito negativan, tj. (ClK) reck. Ilustrirajmo to sljedećim primjerom. Za konveksan skup K sa slike 4.6. imamo (ClK) = cone{(1,0)} = {λ(1,0) : λ 0}, a reck = {(0,0)} Teorem Neka je K R n neprazan i zatvoren konveksan skup. Tada je K = reck. Dokaz. Uvijek je reck K. Kako je K = ClK, prema (4.5) je K reck Korolar Zatvoren konveksan skup K je omeden ako i samo ako je njegov recesivni konus trivijalan, tj. reck = {0}. Dokaz. Tvrdnja slijedi iz teorema i Za svaku točku x 0 K možemo definirati skup R(K,x 0 ) := {q R n {x 0 +λq : λ 0} K}, za koji kažemo da je skup recesivnih smjerova (od K) u točki x 0. Lako je provjeriti da je R(K,x 0 ) konveksni konus. Uočite da je skup x 0 +R(K,x 0 ) jednak uniji svih zraka s početkom u x 0 koje leže u skupu K (jer q R(K,x 0 ) = λq R(K,x 0 ) za svaki λ 0!). Imajući to u vidu, sljedeći korolar je vrlo koristan za odredivanje recesivnog konusa zatvorenog skupa.

80 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Korolar Neka je K R n neprazan i zatvoren konveksan skup, te x 0 K. Tada je reck = R(K,x 0 ). Dokaz. Pomoću teorema dobivamo reck R(K,x 0 ) K = reck. Korisnost prethodnog korolara ilustrirana je na sljedećoj slici. x 0 x 0 +R(K,x 0 ) Slika 4.7. Zatvoren konveksan skup K = {(x,y) R 2 : y 1/x} i njegov recesivni konus reck = R(K,x 0 ). Sada ćemo navesti teorem koji nam govori da se skupovi reck i K tanko razlikuju, u smislu da je K = rec(clk) Teorem Neka je K R n neprazan konveksan skup. Tada: (a) Vrijedi identitet K reck = {q R n : K +q K}. Nadalje, ako je skup K zatvoren, onda je i recesivni konus reck zatvoren. (b) Asimptotski konus K je zatvoren skup i vrijedi K = {q R n : ClK +q ClK}, kao i K = (RelIntK) = (ClK) = rec(clk). (4.8) (c) Za svaki x 0 K, R(K,x 0 ) = {q R n : x 0 +q K}.

81 74 Reprezentacija konveksnih skupova Dokaz. (a) Prvo ćemo dokazati inkluziju reck {q R n : K +q K}. Neka je q reck. Po definiciji recesivnog konusa reck tada je x+q K za svaki x K, tj. K +q K. Sada ćemo dokazati obratnu inkluziju, tj. da je {q R n : K+q K} reck. Neka je q {q R n : K +q K}. Tada je K +2q = (K +q)+q K +q K. Nastavljajući taj postupak dobivamo K +mq K, m N. Zato i zbog konveksnosti skupa K, za svaki x K svi segmenti [x,x+q], [x+q,x+2q], [x+2q,x+3q],... sadržani su u skupu K, što implicira da za svaki x K i zraka {x+λq : λ 0} leži u skupu K, tj. q reck. Pretpostavimo da je K zatvoren skup. Neka je (q k ) bilo koji konvergentan niz točaka iz reck. Pretpostavimo da q k q 0 R n. Treba pokazati da je q 0 reck, tj. da je K +q 0 K. Za svaki x K je x+q k K, a kako je K omeden skup, dobivamox+q 0 = lim k (x+q k ) K. Zbog proizvoljnostix K je K+q 0 K, pa po već dokazanom identitetu pod (a) slijedi da je q 0 reck. b) Prema tvrdnji (a) je rec(clk) = {q R n : ClK + q ClK}, i taj skup je omeden. Preostaje pokazati da je K = rec(clk). Iskoristimo li redom relaciju (4.4), teorem 4.24., lemu 4.22., inkluziju reca A kojavrijedi za svaki konveksan skup A te na kraju opet relaciju (4.4), dobivamo K (ClK) = rec(clk) rec(relintk) (RelIntK) K, odakle slijedi K = rec(clk) i (4.8). (c) Dovoljno je oponašati dokaz tvrdnje (a) Asimptotski potprostor Očigledno je da neprazan konveksan skup K R n ima afin podskup ako i samo ako on sadrži barem jedan pravac Propozicija Neprazan konveksan skup K R n sadrži pravac ako i samo ako je K ( K ) = {q R n : q, q K } {0}. Ako je pravac {x 0 +λq : λ R} sadržan u skupu K, onda je q K ( K ).

82 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Dokaz. Ako K sadrži pravac {x 0 +λq : λ R}, q 0, onda on sadrži obje zrake {x 0 +λq : λ 0} i {x 0 +λ( q) : λ 0}, pa je stoga q K ( K ). Obratno, pretpostavimo da je 0 q K ( K ), tj. q K i q K. Po definiciji asimptotskog konusa K, tada postoje točke x 1,x 2 K takve da je {x 1 + λq : λ 0} K i {x 2 + λ( q) : λ 0} K. Neka je x 0 RelIntK. Prema propoziciji takav x 0 postoji. Prema 4.6 je {x 0 + λq : λ 0} K i {x 0 +λ( q) : λ 0} K, tj. {x 0 +λq : λ R} K Propozicija Neka je K R n konveksni konus. Skup je vektorski potprostor od R n. K ( K) Dokaz. Neka je V := K ( K). Treba pokazati da je x+y V i λx V za sve x,y V i sve λ R. Neka su x,y V i λ R. Tada je x, x,y, y K. Kako je K konveksni konus, to je x + y K i (x + y) = x + ( y) K. Time smo pokazali da je x + y V. Preostaje pokazati da je λx V, tj. λx,λx K. To je lako, slijedi iz definicije konusa K. Zaista, ako je λ 0, onda x K λx K i x K λx = λ( x) K; ako je λ < 0, onda x K λx K i x K λx = λ( x) K Definicija Neka je K R n neprazan konveksan skup, a K njegov asimptotski konus. Skup zovemo asimptotski potprostor od K. L as := K ( K ) Propoziciju možemo iskazati na sljedeći ekvivalentan način: Propozicija Neprazan konveksan skup K R n sadrži pravac ako i samo ako je L as {0}. Ako je pravac {x 0 +λq : λ R} sadržan u skupu K, onda je q L as Propozicija Neka je K R n. Ako je A afin podskup od K, onda je on oblika A = x 0 +L A, (4.9) gdje je x 0 bilo koja točka iz A, a L A potprostor od asimptotskog prostora L as = K ( K ).

83 76 Reprezentacija konveksnih skupova Dokaz. Znamo da je afin skup A oblika A = x 0 +L A, gdje su x 0 A i L A vektorski potprostor od R n (propozicija 2.1.). Treba pokazati da je L A podskup od L as. Zaista, akoje q L A, ondaje i λq L A zasvaki λ R n jer je L A vektorskiprostor, pa je zato pravac {x 0 +λq : λ R n } sadržan u skupu A. Prema propoziciji tada je q K ( K ). Valja napomenuti da afin skup oblika (4.9) ne mora biti podskup od K. Zaista, pogledajmo konveksan skup K sa slike 4.7. Njegov asimptotski konus glasi K = cone{q} = {(λ,0) : λ R}, pa je K = K i L as = K. Svi afini skupovi (x,y)+l as = {(x,y +λ) : λ R}, 0 < y < 1,x R su oblika (4.9) i sadržani su u skupu K. Afin skup (0,0) + L as je takoder oblika (4.9), ali nije sadržan u K. Skup y 1 0 Slika 4.8. q = (1,0) R(K,x 0 ) = {q R n {x 0 +λq : λ 0} K} svih recesivnih smjerova (od K) u točki x 0 je konus, pa je R(K,x 0 ) ( R(K,x 0 )) = {q R n {x 0 +λq : λ R} K} K potprostor od R n (propozicija 4.29.) Uočite da je R(K,x 0 ) ( R(K,x 0 )) K ( K ) Propozicija Neka je K konveksan skup iz R n te neka je A afin skup iz R n paralelan s potprostorom L A, tj. A = x 0 +L A, (4.10) gdje je x 0 bilo koja točka iz A. Skup A je podskup od K ako i samo ako je x x 0 K & L A R(K,x 0 ) ( R(K,x 0 )) (4.11)

84 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Dokaz. Pretpostavimo da je afin skup A podskup od K. Tada je x 0 K. Nadalje, ako je q L A, onda je pravac {x 0 + λq : λ R} sadržan u skupu A (vidi dokaz propozicije 4.32.). Zato je q R(K,x 0 ) i q R(K,x 0 ), odakle slijedi q R(K,x 0 ) ( R(K,x 0 )). Time smo pokazali da je L A R(K,x 0 ) ( R(K,x 0 )). Obratno, pretpostavimo da je x 0 K i L A R(K,x 0 ) ( R(K,x 0 )). Treba pokazati da je A K. Svaki x A je oblika x = x 0 + q, gdje je q L A. Iz pretpostavke L A R(K,x 0 ) ( R(K,x 0 )) R(K,x 0 ) i definicije skupa R(K,x 0 ) slijedi {x 0 +λq : λ 0} K; dakle x 0 +q K. Prirodno se postavlja pitanje kako izgledaju maksimalni(u smislu inkluzije) afini podskupovi konveksnog skupa. Odgovor na postavljeno pitanje daje nam sljedeći korolar Korolar Neka je K R n konveksan skup. Afin podskup A od K oblika (4.10)-(4.11) je maksimalan (u smislu inkluzije) ako i samo ako je L A = R(K,x 0 ) ( R(K,x 0 )). Dokaz. Prema propoziciji 4.33., svaki afin nadskup B od A, B K, je oblika B = x 0 +L B, gdje je L B potprostor od R(K,x 0 ) ( R(K,x 0 )). Kako je A = x 0 +L A, očito da je A B ako i samo ako je L A L B. Ova posljednja konstatacija je dovoljna da se proveri tvrdnja korolara. Na kraju ove točke navodimo još jedan interesantan rezultat. Prije toga uočimo da je reck ( reck) potprostor od R n (propozicija 4.29.). Tom potprostoru, za koji se kaže da je recesivni potprostor konveksnog skupa K, posvećena je sljedeća točka Propozicija Svaki neprazan i zatvoren konveksni skup K R n ima afinu ekstremalnu stranicu F koja je kao skup maksimalna, u smislu inkluzije, na skupu svih afinih podskupova od K. Ta maksimalna afina stranica F je paralelna s potprostorom reck ( reck). Dokaz. Dokaz ćemo provesti matematičkom indukcijom po dimenziji k skupa K. Ako je k = 0, onda je K jednočlani skup, pa je dovoljno staviti F := K. Ako je k = 1, onda je K segment, zatvorena zraka ili pravac. I u tom slučaju lako je provjeriti da vrijedi tvrdnja propozicije. Npr., ako je K zatvorena zraka oblika {x 0 + λq : λ 0}, dovoljno je staviti F := {x 0 }. Pretpostavimo sada da tvrdnja vrijedi za sve konveksne skupove dimenzije strogo manje od k. Neka je K konveksan skup dimenzije k. Moguća su samo dva slučaja: (i) RelBdK = ili (ii) RelBdK, gdje je RelBdK = ClK\RelIntA relativna granica skupa K. Kako je skup K zatvoren, to je RelBdK = K\RelIntA. Slučaj (i) RelBdK =. Tada je K = RelIntK. Dakle, u ovom slučaju je K = ClK = RelIntK, tj. K je i otvoren i zatvoren u relativnoj topologiji na affk, pa zato mora biti K = affk. Lako je provjeriti da za F := K = affk vrijede sve tvrdnje propozicije.

85 78 Reprezentacija konveksnih skupova Slučaj (ii) RelBdK. Neka je x 0 RelBdK. Po propoziciji tada postoji netrivijalna potporna hiperravnina H skupa K u točki x 0. Neprazan, zatvoren i konveksan skup K H je dimenzije najviše k 1, pa on po induktivnoj pretpostavci ima afinu stranicu F koja je maksimalna (u smislu inkluzije) na skupu svih afinih podskupova od K H. Nadalje, izložena stranica K H je i ekstremalna (propozicija 4.4.) pa je njezina ekstremalna stranica F ujedno ekstremalna stranica i skupa K (propozicija 4.8.). Pomoću propozicije lako je pokazati da je F maksimalan (u smislu inkluzije) afin podskup od K. Zaista, ako je S K afin skup koji sadrži F, onda je RelIntS = affs i zato je RelIntS F = F. Po propoziciji tada je S F. Prema korolaru maksimalna afina stranica F je paralelna s potprostorom R(K,x 0 ) ( R(K,x 0 )), gdje je x 0 bilo kojatočkaiz F. Nadalje, kakoje K zatvoren i konveksan, prema korolaru je R(K,x 0 ) = reck. Time smo pokazali da je afina stranica F paralelna s potprostorom reck ( reck) Recesivni potprostor Definicija Neka je K R n neprazan konveksan skup, a reck njegov recesivni konus. Skup zovemo recesivni potprostor skupa K. Kako je L rec := reck ( reck) { } reck = q R n {x+λq : λ 0} K za svaki x K te kako je q reck q reck, dobivamo { } reck = q R n {x λq : λ 0} K za svaki x K. Zato je { } L rec = q R n {x+λq : λ R} K za svaki x K. Dakle, q L rec ako i samo ako je, za svaki x K, pravac {x+λq : λ R} sadržan u skupu K Propozicija Neka je K R n neprazan konveksan skup, a L rec njegov recesivni potprostor. Tada je L rec = {q R n : K +q = K}. Osim toga, L as = {q R n : ClK +q = ClK}, gdje je L as asimptotski potprostor skupa K. Specijalno, ako je K i zatvoren skup, onda je L rec = L as.

86 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Dokaz. Prvo ćemo dokazati tvrdnju za recesivni potprostor. Prema teoremu je reck = {q R n : K +q K}. Zato je i reck = {q R n : K q K} L rec = {q R n : K +q K} {q R n : K q K}. Nadalje, lako je provjeriti 11 ekvivalenciju K q K K K +q. Zaista, ako je K q K, dobivamo K = K q+q K +q; a ako je K K +q onda je K q K +q q = K. Pomoću gornje ekvivalencije lako je provjeriti da je K +q = K ako i samo ako je istovremeno K +q K i K q K. Tvrdnja za asimptotski potprostor slijedi iz (4.8) i dokazane jednakosti za recesivni potprostor. Zaista, prema (4.8) je K = rec(clk), pa dobivamo L as = K ( K ) = rec(clk) ( rec(clk)) = {q R n : ClK +q = ClK} Uočite da je recesivni konus L rec najveći skup S iz R n sa svojstvom K+S = K Propozicija Neprazan i zatvoren konveksan skup K R n sadrži pravac ako i samo ako je L rec {0}. Ako je pravac {x 0 +λq : λ R} sadržan u skupu K, onda je q L rec. Dokaz. Skup K je zatvoren, pa je L as = L rec (propozicija 4.37.). Zato tvrdnja slijedi iz propozicije Propozicija Neprazan i zatvoren konveksan skup K R n ima ekstremalnu točku ako i samo ako je njegov recesivni potprostor L rec trivijalan, tj. L rec = {0}. Dokaz. Prema propoziciji skup K ima afinu ekstremalnu stranicu F koja je paralelna s potprostorom L rec. Ako je L rec = {0}, ta ekstremalna stranica F je jednočlani skup. Obratno, akoskup K ima ekstremalnutočku, onda ni jedan pravaciz K ne može prolaziti kroz tu točku i zato je reck ( reck) = {0}, tj. L rec = {0}. 11 S vektorskim sumama treba biti pažljiv jer, općenito, A B+C ne implicira A B C. Za kontraprimjer uzmite A = B = R i C = {0}.

87 80 Reprezentacija konveksnih skupova 4.4. Dekompozicija konveksnog skupa Teorem (o dekompoziciji konveksnog skupa) Neka je K R n neprazan konveksan skup, a L bilo koji potprostor od njegovog recesivnog potprostora L rec. Tada je K = L (K L ), (4.12) gdje je L ortogonalni komplement od L. Skup K L je konveksan. Ako je K zatvoren skup, onda je i K L zatvoren. Dokaz. Neka je x K. Tada se x možena jedinstven način prikazati kao x = u+v, gdje su u L, v L. Kako je u L i L L rec, vektor u je recesivan smjer za K i zato je v = x u K. Dakle, v K L. Time smo pokazali da je K L (K L ). Obratno, ako je x L (K L ), onda x možemo zapisati kao x = u + v, gdje su u L, v K L. Dakle, v K. Nadalje, budući da je L L rec, vektor u je recesivan smjer za K, pa je zato v+u K. Time smo pokazali da je L (K L ) K. Skupovi K i L su konveksni pa je konveksan i njihov presjek K L. Ortogonalni komplement L je vektorski potprostor od R n, pa je on zatvoren skup. Zato, ako je K zatvoren skup, onda je i skup K L zatvoren kao presjek dvaju zatvorenih skupova. L K K L v x 0 u L Slika 4.9. Dekompozicija K = L (K L ) Za skup S R n kazat ćemo da je bez pravaca ako on ne sadrži ni jedan pravac.

88 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Skup K L iz dekompozicije (4.12) općenito nije bez pravaca. Primjerice, ako je K = {(x,y,z) R 3 : 0 z 1}, onda je L rec = {(q 1,g 2,0) R 3 : q 1,q 2 R}. Nadalje, L := {(q 1,0,0) R 3 : q 1,q 2 R} je potprostor od L rec, njegov ortogonalni komplement glasi L = {(0,q 2,q 3 ) R 3 : q 2,q 3 R}, a skup K L = {(0,y,z) R 3 : 0 z 1} je unija svih pravaca oblika {(0,0,z)+y(0,1,0): y R}, 0 z 1. Medutim ako je K neprazan i zatvoren konveksan skup, a L = L rec, onda skup K L ne sadrži pravac. Ovu tvrdnju dokazujemo u sljedećem teoremu Teorem (o dekompoziciji zatvorenog konveksnog skupa) Neka je K R n neprazan i zatvoren konveksan skup, a L rec njegov recesivni potprostor. Tada je K = L rec (K L rec ). (4.13) Skup K L rec je konveksan, zatvoren i bez pravaca. Dokaz. Sve tvrdnje, osim tvrdnje da K L rec ne sadrži ni jedan pravac, slijede direktno iz teorema Ako skup K sadrži pravac sa smjerom q (q 0), onda je q L rec (propozicija 4.38.). Budući da je L rec L rec = {0}, skup K L rec ne sadrži ni jedan pravac. Skup K L rec iz dekompozicije (4.13) je konveksan, zatvoren i bez pravaca. Sljedećiteorem, čijeotkrićesepripisujeameričkommatematičaruvictorul.klee 12, ima važnu ulogu u teoriji konveksnosti i primjenama. On nam govori da se svaki neprazan i zatvoren konveksan skup bez pravaca može prikazati kao konveksna ljuska skupa koji se sastoji od njegovih ekstremalnih točaka i ekstremalnih zraka. Za dokaz tog teorema, koji je sličan dokazu teorema 4.15., trebat će nam sljedeća lema Lema Neka je K R n neprazan i zatvoren konveksan skup bez pravaca. Tada vrijedi: (a) RelBdK. (b) Ako je dimk 2, onda je K = conv(relbdk). Dokaz. (a) Tvrdnjaočiglednovrijediakoje dimk = 0jertadaje K jednočlanskup, pa je RelIntK =, ClK = K i RelBdK = ClK\RelIntK = K. Zato nadalje pretpostavimo da je dimk 1. Ako je RelBdK = ClK\RelIntK =, onda je K = ClK = RelIntK, tj. skup K je i otvoren i zatvoren u relativnoj topologiji na affk, pa zato mora biti K = affk. Kako affk sadrži pravac, zaključujemo da mora biti RelBdK. (b) Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je dimk = n, tj. affk = R n ; u suprotnom, umjesto u R n, sva razmatranja treba provesti u affk. Tada je RelIntK = IntK i RelBdK = BdK. 12 Victor L. Klee ( ), američki matematičar.

89 82 Reprezentacija konveksnih skupova Budući da je po pretpostavci K = ClK, to je BdK = K\IntK K i zato je conv(bdk) K. Preostaje dokazati obratnu inkluziju K conv(bdk). U tu svrhu prvo uočimo da je K = IntK (K\IntK) = IntK BdK. Neka je x K. Treba pokazati da je x conv(bdk). Ako je x BdK, onda je x conv(bdk). Zato nadalje pretpostavimo da je x IntK. Pokažimo da i u tom slučaju mora biti x conv(bdk). Dokaz ćemo provesti kontradikcijom pa zato pretpostavimo da je x IntK\conv(BdK). Tada po teoremu Minkowskog (teorem 3.32.) skup conv(bdk) i točku x možemo jako separirati, tj. postoje hiperravnina H a,β i realan broj ε > 0 takvi da je x H a,β ε & conv(bdk) H + a,β+ε. Ako pokažemo da je H a,β ε IntK, dobit ćemo kontradikciju s pretpostavkom da je skup K bez pravacai time će dokaz obratneinkluzije biti gotov. Zaista, pokažimo da iz H a,β ε IntK slijedi da skup K sadrži pravac. Neka je q Rn bilo koji vektor okomit na a, tj. a,q = 0. Budući da je po pretpostavci dimk = n 2, takav vektor q postoji. Kako je x H a,β ε, tada za svaki λ R dobivamo a,x+λq = a,x < β ε, što nam govori da je cijeli pravac {x + λq : λ R} sadržan u skupu H a,β ε IntK K. Preostaje pokazati da je H a,β ε IntK. Neka je y H a,β ε. Kako je x H a,β ε po pretpostavci, nadalje podrazumijevamo da je y x. Treba pokazati da je y IntK. U tu svrhu dovoljno je pokazati da postoji realan broj λ > 1 takav da je x+λ(y x) K jer prema lemi tada je y = x+1 (y x) IntK. Dokaz ćemo provesti kontradikcijom pa zato pretpostavimo da ne postoji realan broj λ > 1 takav da je x+λ(y x) K. Tada je skup {λ : λ > 0,x+λ(y x) K} omeden s gornje strane brojem 1. Osim toga, taj skup je neprazan, jer, budući da je x IntK, prema propoziciji postoji λ 1 (0,1) takav da je [x,x+λ 1 (y x)) IntK. Neka je λ 0 := sup{λ : λ > 0, x+λ(y x) K}. Uočite da je 0 < λ 1 λ 0 1. Pomoću propozicije i leme lako je pokazati da je x 0 := x+λ 0 (y x) ClK\IntK = BdK.

90 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Nadalje, kako su x,y H a,β ε, dobivamo a,x 0 = a,x+λ 0 (y x) = (1 λ 0 ) a,x +λ 0 a,y < (1 λ 0 )(β ε)+λ 0 (β ε) = β ε, što nam govori da je x 0 H a,β ε. Dakle, kad ne bi postojao realan broj λ > 1 takav da je x+λ(y x) K, postojala bi točka x 0 BdK H a,β ε. A budući da je conv(bdk) H + a,β+ε i H+ a,β+ε H a,β+ε =, to bi značilo da je x 0 BdK H a,β ε conv(bdk) H a,β ε H+ a,β ε H a,β ε =, što je nemoguće Teorem (Kleeov teorem) Neka je K R n neprazan i zatvoren konveksan skup bez pravaca. Tada se K podudara s konveksnom ljuskom skupa koji se sastoji od njegovih ekstremalnih točaka i ekstremalnih zraka, tj. K = conv(extk exthlk). (4.14) Dokaz. Kako je extk exthlk K, to je conv(extk exthlk) K. Dokaz obratne inkluzije K conv(extk exthlk) provest ćemo matematičkom indukcijom po dimenziji dimk skupa K. Tvrdnja očigledno vrijedi ako je dimk = 0, tj. ako je K jednočlani skup. Ako je dimk = 1, onda je K segment ili zatvorena zraka, tj. K = [x 0,x 1 ] ili K = {x 0 +λq : λ 0} ili je K = {x 0 +λq : λ 0}. U sva tri slučaja očigledno vrijedi (4.14). Zato pretpostavimo da tvrdnja teorema vrijedi za sve neprazne i zatvorene konveksne skupove bez pravaca čija je dimenzija manja od k. Neka je K neprazan, zatvoren, bez pravaca i konveksan skup dimenzije k, gdje je k 2. Prema lemi je RelBdK. Za svaku točku x K imamo samo dvije mogućnosti: a) x RelBdK ili b) x RelIntK. Slučaj a) x RelBd K. Odaberimo netrivijalnu u točki x potpornu hiperravninu skupa K. Po propoziciji takva potporna hiperravnina postoji. Neprazan i zatvorenkonveksanskup K H je dimenzije najvišek 1. Zato i kakoje x K H, po induktivnoj pretpostavci točka x se može prikazati kao konveksna kombinacija točaka iz skupa koji se sastoji od ekstremalnih točaka i ekstremalnih zraka skupa K H, tj. x conv(ext(k H) exthl(k H)). Izložena stranica K H je i ekstremalna (propozicija 4.4.) pa su njezine ekstremalne točke [ekstremalne zrake] ujedno ekstremalne točke [ekstremalne zrake] i skupa K (propozicija 4.8.). Slučaj b) x RelIntK. Prema tvrdnji (b) leme je x conv(relbdk). Neka je m m x = λ i x i, x i RelBdK, λ i 0, λ i = 1.

91 84 Reprezentacija konveksnih skupova Prema prvom dijelu dokaza je x i conv(extk exthlk) za sve i = 1,...,m, pa je zato i x conv(extk exthlk) Korolar Neka je K R n neprazan i zatvoren konveksan skup bez pravaca. Tada je K = conv(extk)+reck. Dokaz. Prema teoremu svaku točku x K možemo zapisati u obliku x = k λ i x i + m i=k+1 λ i v i, x i extk, v i exthlk,λ i 0, m λ i = 1. Nadalje, svaku točku v i možemo zapisati kao v i = y i +u i, gdje je y i rubna točka zrake (ta točka je ekstremalna točka skupa K!) i u i reck. Dakle, imamo x = k λ i x i + m i=k+1 λ i y i + m i=k+1 λ i u i conv(extk)+reck. TimesmopokazalidajeK conv(extk)+reck. Obratnainkluzijaconv(extK)+ reck K slijedi iz konveksnosti skupa K i definicije recesivnog konusa reck. Zadaci za vježbu 1. Neka je F podskup konveksnog skupa K. a) Ako je F ekstremalna stranica od K, onda je skup K\F konveksan. Dokažite! b) Ilustrirajte primjerom da ne vrijedi obrat implikacije pod a). Uputa: b) Za K uzmite kocku, a za F odgovarajući pravi podskup (ne nužno konveksan) nekog brida. 2. Otvorena kugla je primjer konveksnog skupa koji nema ekstremalnih stranica. Nadite još neki takav primjer! 3. Neka je P = {x R n : Ax b, x 0}. Pokažite da je recp = {q R n : Aq 0, q 0}. [ [ A b Uputa: Uočite da je P = {x R n : x }, a zatim primijenite I] 0] rezultat iz primjera na str. 71.

92 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Dokažite da su K i reck konveksni skupovi. Uputa: a) Za K. Ako je {x 1 +µq 1 : µ 0} K i {x 2 +µq 2 : µ 0} K, onda za sve λ 0 i svaki α [0,1] vrijedi α(x 1 +λq 1 )+(1 α)(x 2 +λq 2 ) K. b) Za reck. Iskoristite uputu pod a) za x 1 = x 2 = x. 5. Neka su A,B R n nepraznizatvoreniskupovitakvi daje A B. Pokažite da je rec(a B) = reca recb.

93 86 Poliedri 5. Poliedri Zbog velike važnosti koju imaju u linearnom programiranju, ovu točku posvećujemo poliedrima. Prisjetimo se, u linearnom programiranju je skup mogućih (dopustivih) rješenja zadan sustavom linearnih nejednadžbi a 11 x 1 + +a 1n x n b 1 a 21 x 1 + +a 2n x n b 2. a m1 x 1 + +a mn x n b m koji ćemo često zapisivati u kraćem, tzv. matričnom obliku, kao Ax b, (5.1) gdje su A R m n matrica koeficijenata sustava, a b = [b 1,...,b m ] T vektor-stupac ograničenja. Kazat ćemo da sustav nejednadžbi (5.1) ima rang r, ako matrica A ima rang r. Označimo li sa a i i-ti redak matrice A, onda sustav nejednadžbi (5.1) možemo zapisati kao a i x b i, i = 1,...,m. Osim toga, i-toj nejednadžbi prirodno je pridružiti hiperravninu i zatvorene poluprostore H i := H a i,b i = {x R n : a i x = b i } H i := H a i,b i = {x R n : a i x b i } H + i := H + a i,b i = {x R n : a i x b i }. Ako je a i x 0 = b i, onda indeks i nazivamo aktivnim indeksom u točki x 0, a uvjet (ograničenje) a i x b i nazivamo aktivnim uvjetom u točki x 0. Kao što znamo, skup P svih rješenja sustava nejednadžbi (5.1) po definiciji se zove poliedar ili poliedarski skup. Dakle, P = {x R n : Ax b} = {x R n : a i x b i, i = 1,...,m} m = Hi. HiperravnineH i zovemodefinicionimiligraničnimhiperravninamapoliedrap. Slično, za zatvorene poluprostore H i kažemo da su definicioni iii granični poluprostori poliedra P. Konveksnost i zatvorenost poliedra P slijedi iz konveksnoti i zatvorenosti definicionih poluprostora.

94 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Valja naglasiti da sustav (5.1) samo prividno uključuje jedino nejednadžbe. Naime, osim nejednadžbi mogu se pojaviti i jednadžbe, jer svaku jednadžbu možemo zapisati kao dvije nejednadžbe. Za opis sfine ljuske i ekstremalnih stranica poliedra P definiranog sustavom (5.1) ključan je skup I 0 := { i {1,...,m} : a i x = b i za svaki x P }. (5.2) 5.1. Lema Neka je poliedar P R n definiran sustavom nejednadžbi (5.1). Afinamnogostrukost razapeta poliedrom P jednaka je presjeku svih definicionih hiperravnina koje sadrže P, tj. affp = H i = H i, P H i i I 0 gdje je I 0 skup definiran s (5.2). Dokaz. Po definiciji skupa I 0 je H i = H i. Skup P H i i I 0 M := { H i = x R n : a i } x = b i za svaki i I 0 i I 0 je afin kao presjek afinih skupova H i. Pokažimo da je affp = M. Neka je I 1 := {1,...,m}\I 0. Ako je I 1 =, onda je P = M pa je očito affp = affm = M. Zato nadalje pretpostavimo da je I 1. Kako je P M, slijedi affp M. Preostaje dokazati obratnu inkluziju M affp. Neka je x M. Za svaki i I 1 prvo odaberimo točku x i P takvu da je a i x i < b i, a zatim definirajmo novu točku x 0 := 1 I 1 i I 1 x i P, gdje I 1 označava kardinalni broj skupa I 1. Budući da je a i x 0 = a i x = b i, i I 0 a i x 0 < b i, i I 1, postoji dovoljno malen realan broj ε > 0 takav da je a i (x 0 +ε(x x 0 )) = b i, i I a i (x 0 +ε(x x 0 )) < b i, i I 1. Time smo pokazali da je y := x 0 +ε(x x 0 ) P. Dakle, x 0,y P. Zato pravac p odreden točkama x 0 i y leži u affp, tj. p = {x 0 + λ(y x 0 ) : λ R} affp. Budući da taj pravac p sadrži i točku x, slijedi x affp. Time smo dokazali da je affp = M.

95 88 Poliedri 5.2. Teorem Neka je poliedar P R n definiran sustavom nejednadžbi (5.1), te neka je I 0 skup definiran s (5.2). Poliedar P je dimenzije r ako i samo ako sustav jednadžbi a i x = b i, i I 0 (5.3) ima rang n r. Drugim riječima, označimo li s A I0 matricu sustava (5.3), tvrdnju teorema možemo kratko matematički zapisati kao: gdje je r(a I0 ) rang matrice A I0. dimp = r r(a I0 ) = n r, Dokaz. Kao i u dokazu leme 5.1., neka je M := { H i = x R n : a i } x = b i za svaki i I 0. i I 0 Tada je affp = M, odakle slijedi dimp = dimm. Sada je lako je dokazati tvrdnju teorema. Zaista, kao prvo uočimo da bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da u presjeku M = i I 0 H i nema suvišnih hiperravnina, tj. da su linearno nezavisni reci matrice A I0 ; u suprotnom iz presjeka izbacimo suvišne hiperravnine. Tada je (vidi propoziciju 2.1. i primjedbu 2.3.) dimm = n r(a I0 ). Dakle, dimp = r dimm = r n r(a I0 ) = r r(a I0 ) = n r Stranice poliedra 5.3. Teorem Neka je poliedar P R n definiran sustavom nejednadžbi (5.1), te neka je I 0 skup definiran s (5.2). Neprazan podskup F od P je ekstremalna stranica poliedra P ako i samo ako je F = { x : a i x = b i, i I; a i x b i,i {1,...,m}\I } (5.4) = P i IH i. za neki skup indeksa I takav da je I 0 I {1,...,m}.

96 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Dokaz. Prvo ćemo pokazati da je skup F oblika (5.4) ekstremalna stranica poliedra P. Skup F je očigledno konveksan. Pretpostavimo da su x 1,x 2 P takve da je x 1 x 2 i (x 1,x 2 ) F. Trebapokazati da je [x 1,x 2 ] F. Utu svrhu odaberimo bilo koju točku z (x 1,x 2 ) F. Neka je z = (1 λ)x 1 +λx 2, za neki λ (0,1). Za svaki i I vrijedi b i = a i z = (1 λ)a i x 1 +λa i x 2, a budući da je a i x 1 b i i a i x 2 b i (jer su x 1,x 2 P), mora biti a i x 1 = a i x 2 = b i. Time smo pokazali da je x 1,x 2 F, odakle zbog konveksnosti skupa F slijedi [x 1,x 2 ] F. Obratno, pokažimo da je svaku ekstremalnu stranicu F poliedra P moguće prikazati u obliku (5.4). Prvo odaberimo bilo koju točku x 0 RelIntF, a zatim definirajmo skup indeksa I := { i {1,...,m} : a i x 0 = b i }. Neka je F = { x : a i x = b i, i I; a i x b i,i {1,...,m}\I }. Prema prvom dijelu dokaza, F je ekstremalna stranica od P. Sad ćemo pokazati da je F = F, i time završiti dokaz. Kako je x 0 F RelIntF, propozicija povlači F F. Preostaje dokazati obratnu inkluziju F F. Neka je x F. Budući da je a i x 0 = a i x = b i, a i x 0 < b i, i I i {1,...,m}\I, postoji dovoljno malen realan broj ε > 0 takav da je a i (x 0 +ε(x 0 x)) = b i, a i (x 0 +ε(x 0 x)) < b i, i I i {1,...,m}\I. Time smo pokazali da je y := x 0 +ε(x 0 x) F. Dakle, x,y F P. Uočimo da je x 0 (x,y) F. Budući da je F ekstremalna stranica od P, slijedi [x,y] F, pa je x 0 F Definicija Ekstremalnu stranicu poliedra kratko zovemo samo stranica. U skladu s ovom definicijom, tvrdnju teorema 5.3. možemo iskazati na sljedeći ekvivalentan način koji može poslužiti za definiciju stranica poliedra Teorem Neka je P = m H i

97 90 Poliedri poliedar iz R n. Podskup F od P je stranica poliedra P ako i samo ako se F može prikazati kao presjek poliedra P sa konačno mnogo njegovih definicionih hiperravnina H i. Kombiniranjem teorema 5.3. i 5.2. dobivamo 5.6. Teorem Neka je poliedar P R n definiran sustavom nejednadžbi (5.1). Njegova stranica F oblika (5.4) je k-dimenzionalna ako i samo ako sustav jednadžbi ima rang n k. a i x = b i, i I 5.2. Vrhovi i bridovi poliedra U teoriji linearnog programiranja (LP) važnu ulogu imaju vrhovi i bridovi poliedra, koje definiramo na sljedeći način: 5.7. Definicija Pod vrhom poliedra podrazumijevamo njegovu 0-dimenzionalnu stranicu. Pod bridom poliedra podrazumijevamo njegovu 1-dimenzionalnu stranicu. Dakle, vrhovi poliedra nisu ništa drugo nego njegove ekstremalne točke, a bridovi nisu ništa drugo nego 1-dimenzionalne ekstremalne stranice. Simpleks metodu za rješavanje LP problema razvio je godine američki matematičar G. Dantzig 13. Bez obzira što metoda radi samo s kanonskim oblikom LP problema, ona predstavlja opći algoritam za rješavanje svih oblika LP problema. Prisjetimo se kanonskog oblika LP problema. Neka su zadani matrica A R m n, vektor-stupac c R n i vektor-stupac b R m. Kanonski oblik LP problema glasi: max x {ct x : Ax = b,x 0 }. Dakle, maksimizaciju funkcije cilja f(x) = c T x treba obaviti na poliedru P = {x R n : Ax = b,x 0}, zovemo ga poliedar u standardnom obliku. Zato ćemo u ovom poglavlju posebnu pažnu posvetiti poliedru u standardnom obliku. Sljedeći opis vrhova i bridova poliedarskog skupa, koji slijedi direktno iz teorema 5.6., ključan je u teoriji linearnog programiranja Teorem Neka je poliedar P R n definiran sustavom nejednadžbi (5.1). Vrijedi: 13 George Bernard Dantzig ( ), američki matematičar.

98 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, (a) Točka v P je vrh poliedra P ako i samo ako postoji n linearno nezavisnih redaka a i1,...,a in matrice A takvih da je a i k v = b ik, k = 1,...,n. Drugim riječima, točka v R n je vrh poliedra P = m Hi ako i samo ako postoji n linearno nezavisnih definicionih hiperravnina H ik, k = 1,...,n, takvih da je n {v} = P H ik. (b) Podskup γ od P je brid poliedra P ako i samo ako postoji n 1 linearno nezavisnih redaka a i1,...,a in 1 matrice A takvih da svaki x γ zadovoljava sustav a i k x = b ik, k = 1,...,n 1. Drugim riječima, skup γ R n je brid poliedra P = m H i ako i samo ako postoji n 1 linearno nezavisnih definicionih hiperravnina H ik, k = 1,...,n 1, takvih da je n 1 L := k=1 k=1 H ik pravac i γ = P L. Za pravac L kažemo da je nosilac brida γ. Prema prethodnom teoremu, vrh v je odreden s n linearno nezavisnih definicionih hiperravnia. Medutim, jasno je da općenito kroz vrh v može prolaziti i više od n definicionih hiperravnina. Ako kroz vrh prolazi točno n definicionih hiperravnina, za taj vrh kažemo da je nedegeneriran; u suprotnom kažemo da je degeneriran. Slično, i brid može ležati u više nego li n 1 definicionih hiperravnina. Prije iskaza sljedećeg korolara korisno je vratiti se na str. 31. i podsjetiti se definicije bazično mogućeg rješenja Korolar Neka je v P, gdje je P R n poliedar oblika P = {x R n : Ax = b, x 0}, gdje su A R m n i b R m. Točka v je vrh poliedra P ako i samo ako je v bazično moguće rješenje sustava ograničenja koji definira P, tj. onda i samo onda ako su linearno nezavisni stupci matrice A koji odgovaraju strogo pozitivnim koordinatama vektora v. Dokaz. Bez smanjnja općenitosti možemo pretpostaviti da rang matrice A iznosi m; u suprotnom iz sustava jednadžbi Ax = b izbacimo suvišne jednadžbe. Ako je m = n, tvrdnja korolaraočiglednovrijedi. Zato nadalje pretpostavimo da je m < n.

99 92 Poliedri Nadalje, kako bismo mogli iskoristiti teorem 5.8., označimo s I n jediničnu matrica reda n i zapišimo poliedar P u obliku P = x Rn : A A x b b. I n 0 Neka je v = [v 1,...,v n ] T P. Tada je Av = b i v 0. Zato je b = n v i a i, v i 0, tj. b je linearna kombinacija stupaca matrice A; nenegativni koeficijenti te kombinacije su koordinate vektora v. Novom numeracijom stupaca matrice A i koordinata točke v, ako je to potrebno, možemo postići da je Dakle, v i = 0 za i s, v i > 0 za i > s. a i v = b i, i = 1,...,m e i v = v i = 0, i = 1,...,s e i v = v i > 0, i = s+1,...,n, gdje e i označava i-ti redak jedinične matrice I n. Neka je a a 1s a 1,s+1... a 1n a 1,s+1... a 1n A.. e 1  :=. = a m1... a ms a m,s+1... a mn a m,s+1... a mn e s matrica sustava aktivnih ograničenjau točki v. Dakle, matrica  se dobiva tako da matrici A pripišemo prvih s redaka e 1,...,e s jedinične matrice n-tog reda; istaknuta submatrica je jedinična matricai s reda s; znakom koji se nalazi izmedu gore navedenih dviju matrica naglasili smo da one imaju isti rang, što je lako provjeriti elementarnim operacijama samo nad recima matrice Â. Neka je r(â) rang matrice Â. Lako je zaključiti da je r(â) = n ako i samo ako su linearno nezavisni stupci a s+1,...,a n matrice A. Drugim riječima, r(â) = n ako i samo ako je v bazično moguće rješenje. Dokaz ove tvrdnje prepuštamo za vježbu. Prema tvrdnji (a) teorema 5.8. točka v je vrh od P ako i samo ako je r(â) = n. Ekvivalentno, v je vrh od P akoisamoakosu linearnonezavisnistupci a s+1,...,a n matrice A

100 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, Primjer. Neka je P = x [ ] y x y z z [ 1 =,x,y,z 0 3] poliedar. Ovdje je [ ] A =, x = x [ 1 y, b = ] z Prvo ćemo potražiti bazična rješenja (vidi str. 31) sustava jednadžbi Ax = b. Matricu baze B možemo odabrati na tri različita način: [ ] [ 1 [ ] [ ] 1 2 B = = x 4 5 B = B /3 b = =, x 4 5] 3 1/3 1 = 1/3 1/3, 0 [ ] [ 1 [ ] [ ] 1 3 B = = x 4 6 B = B /2 b = =, x 4 6] 3 1/6 2 = 1/2 0, 1/6 [ ] [ 1 [ ] [ ] B = = x 5 6 B = B 1 1 b = =, x 5 6] 3 1/3 3 = /3 Od tri bazična rješenja x 1,x 2,x 3 samo su x 1 i x 2 moguća (ispunjavaju uvjet nenegativnosti koordianta). Dakle, poliedar P ima dva vrha, to su x 1 i x 2. Sljedeća propozicija je samo specijalan slučaj propozicie, no zbog važnosti bridova u linearnom programiranju dat ćemo i drugi dokaz Propozicija Ako je γ brid konveksnog poliedra P, onada γ mora biti jedan od sljedeća tri skupa: (i) segment [v 1,v 2 ], gdje su v 1,v 2 vrhovi od P, (ii) zatvorena zraka {v 1 +λq : λ 0}, gdje je v 1 vrh od P, (iii) pravac. Dokaz. Neka je poliedar P R n definiran sustavom nejednadžbi (5.1). Neka je pravac L nosilac brida γ. Bez smanjenja općenitosti, pretpostavimo da je L odreden s prvih n 1 nejednadžbi sustava (5.1), tj. da svaki x L rješava sustav jednadžbi (vidi teorem 5.8.) a i x = b i, i = 1,...,n 1. Neka je q R n vektor smjera od L. Tada L možemo zapisati kao L = {x 0 +λq : λ R},

101 94 Poliedri gdje je x 0 bilo koja točka s pravca L. Lako je provjeriti sljedeće jednakosti Lauritzin str 43 a i q = 0, i = 1,...,n Recesivni konus poliedra Prema Motzkinovu teoremu (teorem 3.17.) skup P R n je poliedar ako i samo ako postoje politop Q = conv({v 1,...,v r }) i konus C = cone({q 1,...,q s }) takvi da je P = Q+C = conv({v 1,...,v r })+cone({q 1,...,q s }) Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da su točke v 1,...,v r konveksno nezavisne, tj. da se ni jedna od njih ne može prikazati kao konveksna kombinacija preostalih; u suprotnom ju eliminiramo iz skupa generatora i umanjeni skup generatora generira isti politop Q. Prema teoremu 4.5., tada su v 1,...,v r vrhovi politopa Q. Isto tako, možemo pretpostaviti da se ni jedan vektor q j ne može prikazati kao konusna kombinacija preostalih vektora q i Propozicija Neka je P = conv({v 1,...,v r })+cone({q 1,...,q s }) bilo koja dekompozija poliedra P R n na politop Q = conv{v 1,...,v r } i konus C = cone({q 1,...,q s }). Tada vrijedi: (a) C = recp. (b) Svaka ekstremalna točka od P jednaka je nekoj točki v j koja se ne može prikazati kao konveksna kombinacija preostalih točaka v i. Dokaz. (a) C+C = C jer je C konveksni konus. Zato vrijedi P +C Q+C+C Q+C = P, odakle slijedi C recp. Obratno, da bi pokazali inkluziju recp C, pretpostavimo da je q recp. Neka je x 0 bilo koja točka iz P. Tada je x 0 +kq P za svaki k N, pa postoje točke p k Q, c k C takve da je x 0 +kq = p k +c k, k N. Politop Q je kompaktan pa niz (p k ) ima konvergentan podniz. Bez smanjenja općenitosti, pretpostavimo da je taj niz konvergentan. Neka je lim k p k = p 0 Q. Tada je lim kq c k = lim p k x 0 = p 0 x 0, k k odakle dobivamo lim k q (1/k)c k = 0, odnosno, ekvivalentno, (1/k)c k q. Kako je (1/k)c k C za svaki k N, zatvorenost skupa C povlači q C.

102 Dragan Jukić, Konveksni skupovi, Osijek, (b) Svaka ekstremalna točka x 0 poliedra P je oblika x 0 = p+c = 1 2 p+ 1 (p+2c), p Q,c C. 2 Kako je p p+2c ako i samo ako je c 0, te kako je x 0 ekstremalna točka, slijedi c = 0. Dakle, x 0 = p Q. Po definiciji ekstremalne točke, x 0 se ne može prikazati kao konveksna kombinacija točaka iz Q pa zato x 0 mora biti jednaka nekoj točki v j koju nije moguće prikazati kao konveksnu kombinaciju preostalih točaka v i Teorem Neka je P = conv({v 1,...,v r })+cone({q 1,...,q s }) dekompozicija poliedra P R n na politop Q = conv{v 1,...,v r } i konus C = cone({q 1,...,q s }), a f: P R konveksna funkcija. Ako je supf(x) <, x P onda f svoj globalni maksimum postiže u nekoj točki v i Q. Dokaz. Neka je M := sup x P f(x). Svaki x P je oblika x = r λ i v i + s µ i q j, λ i,µ i 0, j=1 Nadalje, zbog konveksnosti funkcije f za svaki t 1 vrijedi r λ i = 1. r f(x) = f ((1 1t ) λ i v i + 1 s ) t (x+t µ i q j ) j=1 ( r ) (1 1 t )f λ i v i + 1 (x+t t f ( r (1 1 t )f λ i v i )+ M t. Uzmemo li limes kad t, dobivamo ( r ) f(x) f λ i v i s ) µ i q j j=1 Nadalje, primjenom Jensenove nejednakosti dobivamo ( r ) r f(x) f λ i v i λ i f(v i ) max{f(v 1 ),...,f(v r )}.

103 96 Poliedri Zadaci za vježbu 1. Pokažite da poliedar ima konačno mnogo ekstremalnih točaka. Uputa: Neka je P = {x R n : a i x b i, i = 1,...,m}. Ako dvije točke imaju isti skup aktivnh indeksa, onda ni jedna od njih nije ekstremalna točka. 2. Neka je E = {x 1,...,x m } skuu p točaka iz R n. Dokažite: Ako je x 1 x 2 = max 1 i,j m x i x j, onda su x 1,x 2 ekstremalne točke skupa conve.

104 97

105 98 Literatura [1] A. Barvinok, A Course in Convexity, Graduate Studies in Mathematics, Volume 54, American Mathematical Society, Providence-Rhode Island, [2] D. P. Bertsekas, A. Nedić, A. E. Ozdaglar, Convex Analysis and Optimization, Athena Scientific, Belmont-Massachusetts, [3] L. Čaklović, Geometrija linearnog programiranja, Element, Zagreb, [4] G. Dahl, An Introduction to Convexity, Polyhedral Theory and Combinatorial Optimization, University of Oslo, Oslo, [5] M. Florenzano, C. Le Van, Finite Dimensional Convexity and Optimization, Springer-Verlag, Berlin, [6] J. Gallier, Geometric Methods and Applications: For Computer Science and Engineering, Springer, New York-Dordrecht-Heidelberg-London, [7] B. Grünbaum, Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, Volume 221 (2nd edition), Springer-Verlag, [8] O. Güler, Foundations of Optimization, Springer, New York, [9] L. Neralić, Uvod u matematičko programiranje 1, Element, Zagreb, [10] R.T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton- New Jersey, [11] R. Schneider, Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Volume 44, Cambridge University Press, Cambridge, [12] A. Schrijver, Theory of Linear and Integer Programming, J. Wiley & Sons, Chichester, [13] J. Stoer, C. Witzgall, Convexity and Optimization in Finite Dimensions I, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, [14] H. Tuy, Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers, Boston-Dordrecht-London, [15] E. Torgersen, Comparison of Statistical Experiments, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Volume 36, Cambridge University Press, Cambridge, [16] J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal, Convex Analysis and Minimization Algorithms I, Springer-Verlag, 1996.

106 99 [17] R.J. Vanderbei, Linear Programming: Foundations and Extensions, 3rd edition, Springer, New York, [18] R. Webster, Convexity, Oxford University Press, Oxford, New York-Tokio, 1994.

107 100

108 Indeks baricentričke koordinate, 19 afin skup, 16 afina kombinacija, 18 afina ljuska, 18 afina mnogostukost, 16 afina zavisnost, 19 aktivan indeks, 86 aktivan uvjet, 86 asimptotski potprostor, 75 asimptotski smjer, 70 bazično moguće rješenje, 31 bazično rješenje, 31 degenerirano, 32 nedegenerirano, 32 brid, 90 Dantzig, G., 90 dimenzija afinog skupa, 17 dopunske varijable, 13 ekstremalna stranica trivijalna, 61 ekstremalna točka, 61 ekstremalna zraka, 61 ekstremalni smjer, 61 faceta, 61 Farkas, G., 57 Fourier, J.B.J.., 10 Fourier-Motzkinova metoda, 10 funkcija cilja, 90 generatori, 6 hiperravnina, 3 definicioni, 86 potporna, 46 netrivijalna, 49 separirajuća, 53 Klee, V.L., 81 konkavna funkcija, 12 konus, 7 asimptotski, 70 dualni, 40 konačno generiran, 9 opadanja, 70 polarni, 40 recesivni, 70 konusna kombinacija, 8 konusna ljuska, 8 konveksan skup, 2 konveksna funkcija, 12 konveksna kombinacija, 5 stroga, 60 konveksna ljuska, 5 Krein, K., 68 Milman, D., 68 Minkowski, H., 56 Motzkin, T.S., 10 najbolja aproksimacija, 13 nezavisnost afina, 19 konveksna, 6 nosilac brida, 91 ortogonalna suma, 17 poliedar, 4 standardni oblik, 90 poliedarski konus, 7 politop, 6 poluprostor definicioni, 86 homogen, 59 otvoreni, 3 zatvoreni, 3 problem najmanjih kvadrata, 39 projekcija točke,

109 102 projektor, 37 recesivan smjer, 70 recesivni potprostor, 78 relativna topologija, 20 segment, 2 simpleks, 19 skup bez pravaca, 80 standardni simpleks, 19 stranica ekstremalna, 61 izložena, 62 poliedra, 89 prava, 61 sustav normalnih jednadžbi, 39 varijable bazične, 31 nebazične, 31 vektor normale, 3 vrh, 62, 90 degeneriran, 91 nedegeneriran, 91 Weyl, H., 10

110 Dr.sc. Dragan Jukić, redoviti profesor u trajnom zvanju, roden je 26. veljače godine u Bračeviću, općina Split. Od godine živi u Belišću, gdje je završio osnovnu školu. Srednju školu završio je u Valpovu. Diplomirao je matematiku i fiziku na Pedagoškom fakultetu u Osijeku (1986.), a magistrirao (1990.) i doktorirao (1996.) na Matematičkom odjelu PMF-a u Zagrebu. Radio je kao asistent na Ekonomskom fakultetu u Osijeku ( ), predavač na Poljoprivrednom fakultetu u Osijeku ( ) i izvanredni profesor na Prehrambeno-tehnološkom fakultetu u Osijeku ( ). Od godine zaposlen je na Odjelu za matematiku Sveučilišta u Osijeku. U znanstveno-nastavno zvanje redovitog profesora izabran je godine. Osnovno područje znanstvenog interesa prof.dr.sc. Dragana Jukića je primijenjena i numerička matematika. Dosad je objavio oko pedeset radova u znanstvenim časopisima i zbornicima s medunarodnih konferencija. Aktivno je sudjelovao kao istraživač na četiri znanstvena projekta, a trenutno je voditelj jednog znanstvenog programa i jednog znanstvenog projekta koje financira Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske. Bio je mentor ili sumentor na dvije doktorske disertacija iz područja matematike. Član je uredivačkog odbora medunarodnih znanstvenih časopisa Mathematical Communications i Journal of Classical Analysis, kao i stručnog časopisa Osječki matematički list. Od godine je referent za matematički referativni časopis Mathematical Reviews. Od godine član je Programskog i Organizacijskog odbora medunarodnih konferencija International Conference on Operational Research koje organizira Hrvatsko društvo za operacijska istraživanja. Od član je Znanstvenog odbora medunarodnih konferencija Conference on Applied Mathematics and Scientific Computing koje organizira Matematički odsjek PMF-a u Zagrebu. Bio je član znanstvenog odbora 4. i 5. Hrvatskog matematičkog kongresa. Član je Hrvatskog matematičkog društva (HMD), Hrvatskog društva za operacijska istraživanja (HDOI) i medunarodnih udruženja: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Mathematical Association of America (MAA), Mathematical Programming Society (MPS-ISI), Institute for Operations Research and the Management Science (INFORMS).