1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim."

Transcript

1 1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c) + f (c)(x c) Vidimo da je tangenta na graf funkcije f kroz točku (c, f(c)) upravo pravac y = f(c) + f (c)(x c) Limes koji definira derivaciju u točki ekvivalentan je s f(x) f(c) f (c)(x c) x c x c = 0, (1) tj derivacija u točki postoji ako i samo ako postoji broj f (c) (koji numerički reprezentira linearnu aproksimaciju funkcije f u točki c) takav da vrijedi (1) U slučaju funkcija više varijabli takoder funkciju pokušavamo lokalno najbolje aproksimirati linearnom funkcijom 12 Definicija Neka je A R n otvoren skup Kažemo da je f : A R m diferencijabilna u točki c A ako postoji linearan operator L : R n R m takav da vrijedi f(x) f(c) L(x c) x c x c = 0 13 Napomena Ako postoji, takav linearan operator je jedinstven, nazivamo ga diferencijal preslikavanja f u točki c i označavamo ga s Df(c) Primjetite da je Df(c) oznaka za jedan linearni operator Žeo li opisati taj linearni operator navest ćemo kako on djeluje na pojedini vektor njegove domene Takoder, primjetite da (zasad) oznake Df i D nemaju nikakvo značenje 14 Napomena Ako je f diferencijabilno u točki c, onda je i neprekidno u c Obrat, kao i u slučaju jedne varijable, ne vrijedi općenito 15 Napomena Primjetite da je funkcija jedne varijeble derivabilna u c ako i samo ako je diferencijabilna u c i tada vrijedi Df(c)(x) = f (c)x, x R 16 Definicija Kažemo da je f diferencijabilna na A ako je diferencijabilna u svakoj točki c A 17 Primjer Neka je L : R n R m linearan operator Dokažite da je DL(c) = L za svaki c R n (Linearni operator najbolje sam sebe aproksimira linearno!) Rješenje Budući da je L linearan vrijedi L(x) L(c) = L(x c) što povlači L(x) L(c) L(x c) x c = 0, pa direktno iz definicije slijedi tvrdnja 1

2 18 Zadatak Neka je f : R n R m i pretpostavimo da postoji konstanta M > 0 takva da za svaki x R n vrijedi f(x) M x 2 Dokažite da je f diferencijalno u c = 0 i da je Df(0) = 0 (nul-operator) Rješenje Pri dokazivanju razni tvrdnji koristeći definiciju diferencijala korisno je razmišljati da prirast funkcije možemo zapisati kao linearni dio + mali ostatak, f(x) f(c) = Df(c)(x c) + r(x), r(x) x c x c = 0 Iz tvrdnje zadatka slijedi da je f(0) M 0, što povlači f(0) = 0 Dakle, zapišemo li u spomenutom obliku f(x) = f(x) f(0) = 0(x c) + r(x) vidimo da bismo trebali pokazati da sam f(x) ima svojstvo malog ostatka (tj da je f(x) zanemarivo u odnosu na x) Iz tvrdnje zadatka vrijedi 0 f(x) x M x, pa prelaskom na es i primjenom teorema o sendviču zaista dobivamo f(x) x 0 x = 0 19 Primjer Ako je f : R R derivabilna i f(x) x, mora li vrijediti Df(0) = 0? Rješenje Ne, kontraprimjer je f(x) = x Za diferencijal vrijedi Df(0)(x) = f (0)x = 1 x, tj Df(0) = 1 R Primjer Neka je L : R n R m linearan operator, f : R n R m takva da za svaki x R n vrijedi f(x) M x 2 za neku konstantu M > 0 i neka je g(x) = f(x)+l(x), x R n Dokažite da je Dg(0) = L Rješenje Tvrdnja slijedi jer za f 1 i f 2 diferencijabilne u 0 slijedi da je f 1 + f 2 takoder diferencijabilno u 0 i vrijedi Df 1 (0) + Df 2 (0) = D(f 1 + f 2 )(0) (predavanja!) te primjenom pretodni zadataka 111 Žeo li izračunati diferencijal nekog preslikavanja definicija nije previše operativna jer moramo pogoditi linearni operator i računati odredeni es u više varijabli Srećom, možemo (kao što je često u matematici) račun svesti na jednostavniji, poznati slučaj poznavajući vezu izmedu diferencijala i parcijalni derivacija 2

3 112 Definicija Neka je A R n otvoren skup i f = (f 1,, f m ) : A R m Za svako c A definiramo i-tu parcijalnu derivaciju koordinatne funkcije f j u točki c kao sljedeći es (ukoliko on postoji) i f j (c) = f j f j (c + e i ) f j (c), i = 1,, n, j = 1,, m x i 0 pri čemu su e 1 = (1, 0,, 0), e 2 = (0, 1,, 0),, e n = (0,, 0, 1) vektori kanonske baze u R n Općenitije, neka je v R n takav da je v = 1 (kažemo da je v smjer) Derivacija u smjeru vektora v koordinatne funkcije f j u točki c je es (ukoliko on postoji) v f j (c) = f j v 0 f j (c + v) f j (c), j = 1,, m 113 Napomena Parcijalna derivacija po i-toj varijabli računa se kao da se radi o funkciji jedne varijable x i, dok ostale varijable smatramo konstante 114 Primjer Odredi sve parcijalne derivacije preslikavanja a) f(x, y, z) = x sin y z b) f(x, y, z) = (x 4 y, xe z ) Rješenje a) b) f sin y (x, y, z) = x z, f y f 1 x (x, y, z) = 4x3 y, f 2 x (x, y, z) = ez, x cos y (x, y, z) =, z f x sin y (x, y, z) = z z 2 f 1 y (x, y, z) = f 1 x4, (x, y, z) = 0, z f 2 y (x, y, z) = 0, f 2 z (x, y, z) = xez 115 DZ Pokažite koristeći definiciju da je diferencijal preslikavanja iz posljednjeg zadatka dan formulom Df(x 0, y 0, z 0 )(x, y, z) = (4x 3 0y 0 x + x 4 0y, e z 0 x + x 0 e z 0 z) 116 Definicija Neka postoje sve parcijalne derivacije preslikavanja f = (f 1,, f m ) : A R m Matricu dimenzija m n f 1 f x 1 (c) 1 f x 2 (c) 1 x n (c) f 2 f x f(c) = 1 (c) 2 f x 2 (c) 2 x n (c) f m f x 1 (c) m f x 2 (c) m x n (c) nazivamo Jacobijeva matrica preslikavanja f u točki c 3

4 117 Teorem Neka je A R n otvoren skup i f = (f 1,, f m ) : A R m diferencijabilna u c A Tada sve parcijalne derivacije i f j (c) preslikavanja f u c postoje te matrica operatora Df(c) u paru kanonski baza za R n i R m upravo Jacobijeva matrica f(c) Nadalje, tada vrijedi v f j (c) = Df(c)(v) = n v i i f j (c), v = (v 1, v 2,, v n ) i=1 118 Zadatak Neka je formulom f(x, y) = (xy, y ) dano preslikavanje na svojoj prirodnoj x domeni Izračunajte Df(x, y) Odredite matricu operatora Df(x, y) obzirom na bazu (e ) = {(1, 0), (1, 1)} u R 2 Rješenje Prvo je potrebno komentirati da je f diferencijabilno u svakoj točki prirodne domene D = {(x, y) R 2 : x 0} jer je svaka koordinatna funkcija diferencijabilna Naime, f 1 (x, y) = xy je diferencijabilna na R 2 jer je produkt projekcija koje su linearni operatori pa dakle i diferencijabilna preslikavanja, a f 2 (x, y) = y je diferencijabilna na D jer je količinik x projekcija Izračunamo li parcijalne derivacije (koje postoje, teorem!), vidimo da je Jacobijeva matrica preslikavanja f f(x, y) = ( y x y x 2 1 x Djelovanje operatora Df(x, y) je tada Df(x, y)(v 1, v 2 ) = (yv 1 + xv 2, yv 1 + v x 2 2 x ) Matrica prijelaza P iz baze (e) u bazu (e ) i njen inverz P 1 su redom P = ( ), P 1 = ) ( ) Matrica operatora Df(x, y) u bazi (e ) tada glasi ( y + P 1 y y + y + x 1 f(x, y) P = x 2 x 2 x y y + 1 x 2 x 2 x ) 119 Napomena Obrat teorema 117 ne vrijedi općenito, tj postojanje parcijalni derivacija nije dovoljno da bi funckija bila diferencijabila Ipak, ukoliko sve parcijalne derivacije postoje i neprekidne su u točki c, onda je i preslikavanje diferencijabilno u točki c (predavanja!) Koristeći ovu tvrdnju možemo dokazivati diferencijabilnost preslikavanja koja nisu samo kompozicije, produkti ili količnici linearni operatora Sljedeća dva primjera ilustriraju neke od ovi tvrdnji 120 DZ Pokažite da je f(x, y) = x 2 + y 2 diferencijabilno na R 2 \ {(0, 0)} te da ne postoje x f(0, 0) i y f(0, 0) i zaključite da ne postoji Df(0, 0) 4

5 121 DZ Pokažite da preslikavanje f(x, y) = { xy x 2 +y, y x2, 0, y = x 2, ima derivaciju u svakom smjeru u točki (0, 0), ali nije diferencijabilno u (0, 0) Uputa: Za v = (v 1, v 2 ) pokažite da je { f v1, v (0, 0) = 2 0, v 0, v 2 = 0 Takoder, pokažite da f nije (i ne može se dodefinirati tako da bude) neprekidno u (0, 0) 122 Zadatak Dokažite da je preslikavanje { (xy) 2, (x, y) (0, 0), f(x, y) = x 2 +y2 0, (x, y) = (0, 0), diferencijabilno u (0, 0) (i na čitavom R 2 ) Rješenje Parcijalne derivacije u točki (x, y) (0, 0) su x f(x, y) = x3 y 2 + 2xy 4 (x 2 + y 2 ) 3/2, yf(x, y) = x2 y 3 + 2yx 4 (x 2 + y 2 ) 3/2 Po definiciji računamo x f(0, 0) 0 f(,0) f(0,0) = 0 i žeo pokazati da je Imamo ocjenu 0 x 3 y 2 + 2xy 4 (x 2 + y 2 ) 3/2 = xf(x, y) = 0 = x f(0, 0) (x,y) (0,0) xy x 2 + y 2 y x2 + y 2 (x2 + 2y 2 ) (x2 + 2y 2 ) Prelaskom na es i prema teoremu o sendviču dobivamo traženi zaključak (x,y) (0,0) Ovo pokazuje da je x f neprekidno u (0, 0), a analogno se pokazuje za y f Prema napomeni sada zaključujemo da je f diferencijabilno u (0, 0) Za ostale točke iz R 2 komentiramo na standardni način, koristeći diferencijabilnost količnika, kompozicija itd 123 Zadatak Dokažite da je preslikavanje { xy, (x, y) (0, 0), f(x, y) = x 2 +y2 0, (x, y) = (0, 0), diferencijabilno u (0, 0) 5

6 Rješenje Na sličan način kao u pretodnom zadatku računamo parcijalne derivacije, no u ovom primjeru one nisu neprekidne u točki (0, 0) Ipak, neprekidnost parcijalni derivacija nije nužan uvjet za diferencijabilnost preslikavanja, pa diferencijabilnost provjeravamo direktno Budući da prema definiciji lako dobivamo x f(0, 0) = 0 i y f(0, 0) = 0 prema teoreomu 117 jedini kandidat za Df(0, 0) je nul-operator Uvjet diferencijabilnosti preslikavanja f u (0, 0) se svodi na 0 (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) xy x 2 +y 2, što nije istina jer potonji es ne postoji f(x,y) x 2 +y 2 = 124 Zadatak Neka je f : R 2 R takva da je f(x, y) = f(y, x), x, y R Dokažite da ako postoji barem jedan od brojeva 1 f(x 0, y 0 ) i 2 f(x 0, y 0 ) onda postoji i drugi i oni su jednaki Rješenje 1 f(x 0, y 0 ) t 0 f(x 0 + t, y 0 ) f(x 0, y 0 ) t t 0 f(y 0, x 0 + t) f(y 0, x 0 ) t = 2 (y 0, x 0 ) 125 Zadatak Ispitajte diferencijabilnost funkcije f : R 2 R zadane s f(x, y) = x 2 y 2 Rješenje Za svaku točku (x 0, y 0 ) uz y 0 ±x 0 postoji okolina U takva da je y ±x za svaku točku (x, y) U i funkcija je diferencijabilna na U jer se na toj okolini podudara s očito diferencijabilnom funkcijom x 2 y 2, odnosno y 2 x 2 Za točku (x 0, x 0 ) provjeravamo parcijalne derivacije po definiciji Budući da je x f(x 0, x 0 ) 0 f(x 0 + ) f(x 0 ) 0 2x (2x 0 + ) za x 0 0 zaključujemo da je x f(x 0, x 0 ) ne postoji jer 0 ne postoji, a 0 2x 0 + = 2x 0 0 Prema tome zaključujemo da f nije diferencijabilno u (x 0, x 0 ) za x 0 0, a analogno zaključujemo u točkama oblika (x 0, x 0 ), x 0 0 Još izračunamo parcijalne derivacije u točki (0, 0) x f(0, 0) 0 f(, 0) f(0, 0) f(0, ) f(0, 0) y f(0, 0) = 0, 0 = 0 Parcijalne derivacije postoje u točki (0, 0) i jedini kandidat za diferencijal u točki (0, 0) je linearni operator čija Jacobijeva matrica za elemente ima upravo x f(0, 0) i y f(0, 0), tj jedini kandidat je nul-operator Pokažimo po definiciji da je zaista Df(0, 0) = 0: f( 1, 2 ) f(0, 0) Df(0, 0)( 1, 2 ) 0 ( 1, 2 ) (0,0) ( 1, ( 1, 2 ) (0,0)

7 ( 1, 2 ) (0,0) = 0 ( 1, 2 ) (0,0) 126 Zadatak Neka je f : R n R parna funkcija (tj f( x) = f(x), x R n ), diferencijabilna u 0 Izračunajte Df(0) Rješenje Neka je g(x) := f(x) f(0) Tada je g takoder parna, diferencijabilna u 0 i g(0) = 0 Budući da je diferencijal konstante nuloperator vrijedi Dg(0) = Df(0)+0 = Df(0) Neka je g(x) = Dg(0)(x) + r(x) uz x 0 r(x) x = 0 Tada imamo g(x) = g( x) = Dg(0)( x) + r( x) = Dg(0)(x) + r( x) zbog parnosti funkcije g i linearnosti operatora Dg(0) Oduzmemo li tu jednakost od g(x) = Dg(0)(x) + r(x) dobivamo 2Dg(0)(x) = r(x) r( x), dijeljenjem s x i prelaskom na x 0 dobivamo odnosno 0 2 x 0 Dg(0)(x) x x 0 r(x) r( x) x = 0, Dg(0)(x) x 0 x Tvrdnja zadatka slijedi iz sljedeće leme = Lema Neka je A : R n R linearni operator takav da je Tada je A = 0 A(x) x 0 x = 0 Dokaz Pretpostavimo da je A 0 i neka je x R n takav da je Ax 0 Tada prelaskom na restrikciju u smjeru vektora x dobivamo A(tx) 0 t 0 tx ta(x) t 0 t x = Ax x t t 0 t, što je kontradikcija jer potonji es ne postoji Dakle, pretpostavka je bila pogrešna i vrijedi A = Definicija Neka su V, W normirani prostori Za linearni operator A : V W kažemo da je ograničen ako postoji konstanta λ > 0 takva da za svaki x V vrijedi Ax λ x 7

8 129 Napomena Linearni operator ( 0) nikad nije ograničen kao funkcija Razlikujemo pojam ograničene funkcije i ograničenog linearnog operatora 130 DZ Linearni operator je ograničen ako i samo ako je neprekidan Na konačnodimenzionalnom prostoru svi linearni operatori su ograničeni 131 Lema Za svaki linearni operator A : R n R m vrijedi sup{ Ax : x = 1} = inf{λ : Ax λ x, x R n } Dokaz Knjiga prof Ungara, str Napomena a) Za svaki linearni operator A : R n R m vrijedi Ax A x, x R n b) Preslikavanje A A je norma na prostoru svi linearni operatora c) Za dva kompozabilna linearna operatora A i B vrijedi A B A B 133 Zadatak Neka je A M n (R) simetrična matrica, a f : R n R zadana s f(x) = (Ax x) Dokažite da je f diferencijabilna na R n i nadite Df(x)(v) Rješenje Prvi način f(x 1, x 2,, x n ) = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a n2 a n1 a n2 a nn x 1 x 2 x n, x 1 x 2 v n = n a ij x i x j Budući da je i f(x 1,, x n ) = n j=1 2a ijx j (raspišite to detaljno!), množeći Jacobijevu matricu preslikavanja f vektorom v = (v 1,, v n ) dobivamo Df(x)(v) = 2(Ax v) i,j=1 Drugi način Raspišimo f(x + ) f(x) = (A(x + ) x + ) (Ax x) = (Ax x) + (Ax ) + (A x) + (A ) (Ax x) f(x + ) f(x) = 2(Ax ) + (A ), pri čemu je (A x) = ( Ax) = (Ax ) jer je A simetrična matrica i jer je sklarni produkt simetričan 8

9 Primjetimo da je preslikavanje 2(Ax ) linearno jer je skalarni produkt linearan u 2 varijabli Nadalje, prelikavanje r() = (A ) ima svojstvo malog ostatka jer vrijedi 0 r() = (A ) A A 2 = A, pri čemu smo koristili SCB nejednakost i svojstvo a) operatorske norme iz napomene Primjenimo li 0 prema teoremu o sendviču dobivamo 0 = 0 r() Ovime smo pokazali da je f diferencijabilno u točki x i da je Df(x)(v) = 2(Ax v) 134 Zadatak Neka je f : R n R m diferencijabilno preslikavanje na R n i v 0 R m fiksan vektor Dokažite da je i preslikavanje g : R n R definirano s g(x) = (f(x) v 0 ) diferencijabilna na R n Rješenje Budući da je f diferencijabilna u x možemo pisati f(x+) f(x) = Df(x)()+r() r() pri čemu je 0 = 0 Slično kao u pretodnom zadatku raspisujemo g(x + ) g(x) = (Df(x)() + r() v 0 ) = (Df(x)() v 0 ) + (r() v 0 ) Preslikavanje (Df(x)() v 0 ) je linearno jer je Df(x) linearan i jer je skalarni produkt linearan u 1 varijabli Nadalje imamo ocjenu 0 (r() v 0) r() v 0, pri čemu smo koristili SCB nejednakost Prelaskom na 0 i primjenom teorema o sendviču dobivamo (r() v 0 ) = 0, 0 što pokazuje da je g diferencijabilna u x i da je Dg(x)() = (Df(x)() v 0 ) 9

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009 November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016 Tomislav Berić tberic@math.hr Sadržaj 1 Operatori na Hilbertovim prostorima 1 1.1 Normalni operatori..................................... 3 1.2 Unitarni

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

1. Topologija na euklidskom prostoru R n 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x

Διαβάστε περισσότερα

Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije

Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo Derivacije višeg reda Derivacija

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

Osnovni teoremi diferencijalnog računa Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Ivan Ivec SOBOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE

Ivan Ivec SOBOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odjel Ivan Ivec SOOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Nenad Antonić Zagreb, siječnja 001. Zahvaljujem svojem mentoru doc.

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

KOMPAKTNI OPERATORI. Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević. Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu. u zimskom semestru akademske godine 2007./2008.

KOMPAKTNI OPERATORI. Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević. Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu. u zimskom semestru akademske godine 2007./2008. KOMPAKTNI OPERATORI Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu Sveučilišta u Zagrebu u zimskom semestru akademske godine 2007./2008. Zagreb, siječanj 2008. 2 SADRŽAJ 3

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje 1. Diferencijalni operatori. 1.1 Pojam derivacije

Poglavlje 1. Diferencijalni operatori. 1.1 Pojam derivacije Poglavlje Diferencijalni operatori U ovom uvodu donosimo neke elemente diferencijalnog računa koje koristimo kasnije. Većinu ovdje iznesenog sadržaja može se naći u [3], a ostale korisne reference su []

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja 2016. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je I kolekcija svih ograničenih jednodimenzionalnih intervala

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički

MATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Ljiljana Arambašić MATEMATIKA 3 Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i tehnike, smjer nastavnički SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler

Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih

Διαβάστε περισσότερα

Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler

Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

1. Linearni operatori. Fiksirajmo po volji odabran kut ϕ [0, 2π) i promotrimo preslikavanje R ϕ : V 2 (O) V 2 (O) koje svaki radijvektor rotira za ϕ.

1. Linearni operatori. Fiksirajmo po volji odabran kut ϕ [0, 2π) i promotrimo preslikavanje R ϕ : V 2 (O) V 2 (O) koje svaki radijvektor rotira za ϕ. 1. Linearni operatori Fiksirajmo po volji odabran kut ϕ [0, 2π) i promotrimo preslikavanje R ϕ : V 2 (O) V 2 (O) koje svaki radijvektor rotira za ϕ. Kako je V 2 (O) vektorski prostor, prirodno je pitanje

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNO PROGRAMIRANJE

KONVEKSNO PROGRAMIRANJE KONVEKSNO PROGRAMIRANJE 1 Sadržaj Konveksni skupovi Konveksne funkcije Optimalnost Dualnost Neke metode u (KP) Rješenja Osnovni pojmovi Simboli Uvod Neka je f realna funkcija sa domenom D(f) R n, i neka

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

Metode dokazivanja nejednakosti

Metode dokazivanja nejednakosti IMO/MEMO pripreme 2016. Aleksandar Bulj, 8. 6. 2016. Uvod Metode dokazivanja nejednakosti Cilj ovoga predavanja je prikazati razne tehnike za dokazivanje nejednakosti. U prvom će poglavlju kroz nekoliko

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

8 Tangencijalna ravnina plohe

8 Tangencijalna ravnina plohe 8 Tangencijalna ravnina plohe Sferu kao plohu pokrili smo sa šest, odnosno sa dvije karte u Primjeru 2. Dakle, općenito, neka točka sfere ležat će u slikama od više karata. Proučimo stoga što se dogada

Διαβάστε περισσότερα

R ω s uniformnom topologijom i aksiomi prebrojivosti

R ω s uniformnom topologijom i aksiomi prebrojivosti Opća topologija 116 Opća topologija 118 Drugi aksiom prebrojivosti 4 AKSIOMI SEPARACIJE I PREBROJIVOSTI Aksiomi prebrojivosti Aksiomi separacije Normalni prostori Urysonova lema Urysonov teorem o metrizaciji

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru

Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Darija Brajković 2. prosinca 2013. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Operacije s vektorima 4 2.1 Zbrajanje vektora...............................

Διαβάστε περισσότερα

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

4 Unitarni prostori. 4.1 Definicija i svojstva unitarnih prostora. K polje R ili C, V je vektorski prostor nad K

4 Unitarni prostori. 4.1 Definicija i svojstva unitarnih prostora. K polje R ili C, V je vektorski prostor nad K 4 Unitarni prostori 4.1 Definicija i svojstva unitarnih prostora K polje R ili C, V je vektorski prostor nad K Definicija. Skalarni produkt na V je svaka funkcija p q: V ˆ V Ñ K koja ima sljedeća svojstva:

Διαβάστε περισσότερα

1. Vektorske i skalarne funkcije

1. Vektorske i skalarne funkcije VEKTORSKE I SKALARNE FUNKCIJE 1 1. Vektorske i skalarne funkcije 1.1. Što su to skalarne i vektorske funkcije? Ako svakoj točki u nekom dijelu prostora pridružimo broj, ili drugim riječima skalar zadali

Διαβάστε περισσότερα

3 Linearani operatori Ograničenost i neprekidnost Inverzni operator O još dva principa Zatvoreni operator...

3 Linearani operatori Ograničenost i neprekidnost Inverzni operator O još dva principa Zatvoreni operator... Sadržaj 3 Linearani operatori 68 3.1 Ograničenost i neprekidnost................... 68 3.2 Inverzni operator......................... 79 3.3 O još dva principa........................ 83 3.4 Zatvoreni

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta

Διαβάστε περισσότερα

UVOD U MATEMATIKU DIJANA ILIŠEVIĆ I GORAN MUIĆ

UVOD U MATEMATIKU DIJANA ILIŠEVIĆ I GORAN MUIĆ UVOD U MATEMATIKU DIJANA ILIŠEVIĆ I GORAN MUIĆ Sadržaj 1. Osnove logike predikata i sudova 2 2. Skupovi 11 3. Relacije 20 4. Funkcije 28 5. Neke elementarne funkcije; jednadžbe i nejednadžbe (prvi dio)

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

3 Populacija i uzorak

3 Populacija i uzorak 3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.

Διαβάστε περισσότερα

Prosti brojevi. Uvod

Prosti brojevi. Uvod MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Prosti brojevi 20.12.2015. Uvod Definicija 1. Kažemo da je prirodan broj p prost broj ako ima točno dva (različita) djelitelja (konkretno, to su 1 i p). U suprotnom

Διαβάστε περισσότερα

Globalna rješenja valnih jednadžbi

Globalna rješenja valnih jednadžbi Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odjel Neven Balenović Globalna rješenja valnih jednadžbi Diplomski rad Zagreb, 1995. Sadržaj Predgovor...........................

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

Numerička analiza 26. predavanje

Numerička analiza 26. predavanje Numerička analiza 26. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2009/10, 26. predavanje p.1/21 Sadržaj predavanja Varijacijske karakterizacije svojstvenih

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα