Λύσεις Δεύτερου Πακέτου Ασκήσεων

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Λύσεις Δεύτερου Πακέτου Ασκήσεων"

Ἀναίτις Αλαβάνος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Μάθηµα: Μικροοικονοµική Θεωρία Ι Λύσεις Δεύτερου Πακέτου Ασκήσεων Άσκηση 1 Άσκηση 2

2 Άσκηση 3 Έχουµε: Άσκηση 4 A) H συνάρτηση είναι ισοδύναµη µε την u(x,y)=lnx+2lny. Συνάρτηση ζήτησης, έχουµε από τη σχέση MRS=Px/Py ότι Y/2X=Px/Py και από τον εισοδηµατικό περιορισµό XPx+YPy=M και Χ=Μ/3Px και Υ=2Μ/3Py. Έµµεση συνάρτηση οφέλειας: V(Px,Py,M)=ln(Μ/3Px)+2ln(2Μ/3Py). Αντισταθµισµένη συνάρτηση ζήτησης: Έχουµε eû=xy^2 και Y/2X=Px/Py, οπότε Y=(eû2Px/Py)^(1/3) και Χ=(Py/2Px) (eû2px/py)^(1/3) Συνάρτηση δαπανών: e(px,py,u)=xpx+ypy=3(eûpxpy^2/4)^(1/3)=m B) Συνάρτηση ζήτησης, έχουµε από τη σχέση MRS=Px/Py ότι (3+2Y)/2X=Px/Py και από τον εισοδηµατικό περιορισµό XPx+YPy=M έχουµε Χ=Μ/2Px +3Py/4Px και Υ=Μ/2Py-3/4 Έµµεση συνάρτηση οφέλειας: V(Px,Py,M)=3(Μ/2Px +3Py/4Px)+2(Μ/2Px +3Py/4Px)(Μ/2Py-3/4) Αντισταθµισµένη συνάρτηση ζήτησης: Από την σχέση (3+2Y)/2X=Px/Py και U=3X+2XY έχουµε Χ=(uPy/2Px)^(1/2) και Υ=XPx/Py -3/2=(uPx/2Py)^(1/2)-3/2 Συνάρτηση δαπανών: e(px,py,u)=xpx+ypy=px(upy/2px)^(1/2)+py[(upx/2py)^(1/2)- 3/2] Γ) H συνάρτηση είναι ισοδύναµη µε την u(x,y)=x/y. Εδώ ο καταναλωτής θα επιλέξει το µέγιστο Χ και το ελάχιστο Υ, δηλαδή για τη συνάρτηση ζήτησης έχουµε Χ=Μ/Px και Υ=0. Αν η ελάχιστη δυνατή τιµή του Υ είναι µεγαλύτερη από µηδέν και είναι Ymin τότε Χ=(Μ-YminPy)/Px και Υ=Ymin. Έµµεση συνάρτηση οφέλειας: V(Px,Py,M) =(Μ-YminPy)/(YminPx) Αντισταθµισµένη συνάρτηση ζήτησης: Ορίζεται για Υ µη µηδενικό X=u/Ymin και Υ=Υmin Συνάρτηση δαπανών: e(px,py,u)=xpx+ypy= upx/ymin+yminpy

3 Άσκηση 5 Α) Έχουµε µια συνάρτηση χρησιµότητας cobb-douglas µε I=20, Px=2 και Py=1, οπότε από τους γνωστούς τύπους για την βέλτιστη επιλογή της cobb-douglas (η θέτοντας MRS=Px/Py) έχουµε Χ=(1/2)20/2=5 και Υ=(1/2)20/1=10 και U(5,10)=50. Β) Και πάλι αν Ι=20, Px=1 και Py=1 τότε έχουµε Χ=(1/2)20/1=10 και Υ=(1/2)20/1=10 και U(10,10)=100. Γ) Έστω Ζ το νέο εισόδηµα. Τότε Χ=Ζ/2, Υ=Ζ/2 και U=Z^2/4. Θέλουµε το U να είναι όσο ήταν και πριν, δηλαδή 50, οπότε λύνοντας έχουµε Z= Άρα το εισόδηµα του µπορεί να µειωθεί µέχρι και =5.86 ευρώ. Αυτό ονοµάζεται compensating variation/αντισταθµιστική µεταβολή CV. Δ) Έστω Ζ το νέο εισόδηµα. Τότε Χ=Ζ/4, Υ=Ζ/2 και U=Z^2/8. Αν θέλουµε το U να είναι ίσο µε 100, τότε Ζ=28.28, οπότε θα χρειαστεί επιπλέον εισόδηµα =8.28 για να έχει την ίδια χρησιµότητα. Αυτό ονοµάζεται equivalent variation/ισοδύναµη µεταβολή EV. Ε) Έχουµε EV>CV. Εδώ ο καταναλωτής αυξάνει την χρησιµότητα από την µείωση της τιµής. Εφόσον το Χ είναι κανονικό αγαθό (normal good), αγοράζει περισσότερο Χ µετά την µείωση της τιµής. Άσκηση 6 Α) Αν αγοράσει G=20 µε τιµή 1, τότε έχει διαθέσιµα R=980 για υπόλοιπα αγαθά και MRS = dr/dg=(0.05/g)/(0.95/r)=r/19g. Για (G,R)=(20,980), MRS=2.58 που είναι µεγαλύτερο απο ένα που είναι η τιµή της βενζίνης. Στο παρακάτω διάγραµµα, ο εισοδηµατικός περιορισµός είναι το ABC και το σηµείο Β είναι η βέλτιστη επιλογή. Αυτό µπορούµε να το υπολογίσουµε επίσης παρατηρώντας ότι η συνάρτηση χρησιµότητας είναι cobb-douglas, οπότε το τµήµα του εισοδήµατος που δαπανάται σε βενζίνη είναι 0.05/( )=0.05, οπότε ο οδηγός θα ήθελε G=0.05*1000/1=50 λίτρα βενζίνης, που είναι περισσότερο από τα 20 λίτρα, άρα η βέλτιστη επιλογή θα είναι η ακραία λύση G=20.

4 B) Τώρα ο εισοδηµατικός περιορισµός είναι το τµήµα ABD και επειδή το MRS στο σηµείο Β είναι µεγαλύτερο από την τιµή στη µαύρη αγορά, η βέλτιστη επιλογή θα είναι η καµπύλη αδιαφορίας που εφάπτεται στο BD. Στο BD έχουµε R= (G20)= G και αντικαθιστώντας στην συνάρτηση χρησιµότητας έχουµε U=0.05ln(G)+0.95ln( G). To U έχει µέγιστο όταν η παράγωγος ως προς G είναι µηδέν, που συµβαίνει όταν G=36>20. Άρα ο οδηγός αγοράζει 36-20=16 από την µαύρη αγορά Άσκηση 7 α) Η συνθήκη βελτιστοποίησης MRSxy=px/py δίνει Υ/Χ = 10/15, δηλαδή Χ=1,5Υ. Συνδυάζοντας τη σχέση αυτή µε τον εισοδηµατικό περιορισµό pxχ+pyυ=m, έχουµε ότι 10Χ+15Υ= Λύνοντας το σύστηµα δύο εξισώσεων ως προς Χ και Υ, βρίσκουµε ότι Χ = 500 και Υ = 333,3. β) Για τις τελικές τιµές, αν εργαστούµε όπως παραπάνω, η συνθήκη βελτιστοποίησης MRSxy=px/py δίνει Υ/Χ = 15/15, δηλαδή Χ=Υ. Συνδυάζοντας τη σχέση αυτή µε τον εισοδηµατικό περιορισµό pxχ+pyυ=m, έχουµε ότι 15Χ+15Υ= Λύνοντας το σύστηµα δύο εξισώσεων ως προς Χ και Υ, βρίσκουµε ότι Χ = Υ = 333,3. γ) Η ισοδύναµη µεταβολή κατά Hicks είναι το εισόδηµα που πρέπει να δώσουµε στο άτοµο, έτσι ώστε αυτό µε τις αρχικές τιµές να βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο χρησιµότητας που θα βρεθεί µε τις τελικές τιµές. Το τελικό επίπεδο χρησιµότητας είναι U = XY = (333,33)(333,33) = Στις αρχικές τιµές, Χ = 1,5Υ, άρα U = 1,5Υ2 = , άρα οι ποσότητες των Χ και Υ που επιτυγχάνουν το τελικό επίπεδο χρησιµότητας είναι Χ = 408,25 και Υ = 272,17. Το εισόδηµα που χρειάζεται το άτοµο για να αγοράσει αυτές τις ποσότητες στις αρχικές τιµές είναι 10*408, *272, Το αρχικό εισόδηµα του ατόµου είναι , άρα η ισοδύναµη µεταβολή κατά Hicks είναι Η ισοδύναµη µεταβολή κατά Slutsky είναι το επιπλέον εισόδηµα που χρειάζεται το άτοµο ώστε να µπορεί να αγοράσει µε τις παλιές τιµές το νέο καλάθι αγαθών. Το εισόδηµα που θα χρειαζόταν το άτοµο είναι 10*333, *333, Εποµένως η ισοδύναµη µεταβολή κατά Slutsky είναι = δ) Η συνολική µεταβολή στην κατανάλωση του αγαθού Χ είναι ( ,33) = 167,67. Η αντισταθµιστική µεταβολή κατά Hicks είναι το εισόδηµα που πρέπει να δώσουµε στο άτοµο, έτσι ώστε αυτό µε τις τελικές τιµές να βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο χρησιµότητας που βρισκόταν στις αρχικές τιµές. Το αρχικό επίπεδο χρησιµότητας είναι U = XY = (333.33)(500) = Στις νέες τιµές, Χ = Υ, άρα U = ΧΥ = Χ2= , άρα οι ποσότητες των Χ και Υ που επιτυγχάνουν το αρχικό επίπεδο χρησιµότητας είναι Χ = Υ = ( )0,5 = 408,25. Το εισόδηµα που χρειάζεται το άτοµο για να αγοράσει αυτές τις ποσότητες στις νέες τιµές είναι 15*408, *408,25 = ,5. Το αρχικό εισόδηµα του ατόµου είναι , άρα η ισοδύναµη µεταβολή κατά Hicks είναι 2.247,5. Στην περίπτωση αυτή το άτοµο θα επιλέξει να καταναλώσει 408,25 µονάδες του αγαθού Χ. Εποµένως η µεταβολή στη ζήτηση του Χ από την αρχική ποσότητα (500) στην ποσότητα αυτή (408,25) αντιπροσωπεύει το αποτέλεσµα υποκατάστασης (= ,25 = 91,75). Η περαιτέρω µείωση της ζήτησης (408,25-333,33 = 74,92) οφείλεται στο αποτέλεσµα εισοδήµατος. Η αντισταθµιστική µεταβολή κατά Slutsky είναι το επιπλέον εισόδηµα που χρειάζεται το άτοµο ώστε να µπορεί να αγοράσει µε τις νέες τιµές το αρχικό καλάθι αγαθών. Το εισόδηµα που θα χρειαζόταν το άτοµο είναι 15* *333,33= Εποµένως

5 η αντισταθµιστική µεταβολή κατά Slutsky είναι = Εποµένως, σύµφωνα µε την ανάλυση του Slutsky, αποτέλεσµα εισοδήµατος δεν θα υπήρχε αν δίναµε στο άτοµο επιπλέον εισόδηµα ύψους Με συνολικό εισόδηµα και µε τιµές px = py = 15, το άτοµο µεγιστοποιώντας την ωφέλειά του θα έθετε Χ = Υ και = 15Χ + 15Υ. Λύνοντας, βρίσκουµε ότι Χ = 416,67. Εποµένως, το αποτέλεσµα υποκατάστασης είναι ( ,67) = 83,33, η υπόλοιπη µείωση στη ζήτηση του Χ (416,67-333,33 = 83,34) οφείλεται στο αποτέλεσµα εισοδήµατος.

Σχετικά έγγραφα

Λύσεις Δεύτερου Πακέτου Ασκήσεων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Θεωρία Ι 2015-16 Λύσεις Δεύτερου Πακέτου Ασκήσεων 1. Αν οι προτιμήσεις της Κατερίνας είναι μονοτονικές (προτιμά δηλαδή μεγαλύτερες