ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ"

Αταλάντη Μακρής
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ακρότατα συναρτήσεων δύο μεταβλητών Συνάρτηση παραγωγής Ελαστικότητα Μακροοικονομικό μοντέλο Μεγιστοποίηση κερδών

2 ακρότατα Για να βρούμε τα ακρότατα μίας συνάρτησης δύο μεταβλητών εργαζόμαστε ως εξής: Λύνουμε το σύστημα fx = 0 και fy = 0. Έστω το σημείο (x 0,y 0 ) είναι μία λύση του συστήματος. Υπολογίζουμε την ποσότητα D(x 0,y 0 ) D(x 0,y 0 ) = f(x 0,y 0 )/ x * f(x 0,y 0 )/ y - [ f(x 0,y 0 )/ x y] και διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: Πρόσημο D Πρόσημο δεύτερης μερικής παραγώγου D(x 0,y 0 ) >0 f (x 0,y 0 )/ x <0, f (x 0,y 0 )/ y <0 Ακρότατο σημείο (x 0,y 0 ) Τοπικό μέγιστο D(x 0,y 0 ) <0 D(x 0,y 0 ) =0 f (x 0,y 0 )/ x >0, f (x 0,y 0 )/ y >0 Τοπικό ελάχιστο Αυχενικό ή σαγματικό σημείο Κανένα συμπέρασμα

3 Παράδειγμα ακρότατα Έστω f(x, y )= x +y +1. Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα αυτής. Λύση: Είναι f x = x, f y = y, f xx = =f yy και f yx = 0. Άρα x=0 και y=0 ( x 0, y 0 )=(0,0 ) είναι το πιθανό σημείο για ακρότατο Έχουμε D(0,0) = f (0,0) / x f(0,0)/ y - [ f (0,0)/ x y] = * -0=4 Και επειδή f(0,0)/ x =>0, f(0,0)/ y = >0 το σημείο (0,0) είναι σημείο τοπικού ελαχίστου με τιμή f (0,0)= 1.

4 Ασκήσεις ακρότατα (1) Έστω f ( x, y )=xe y. Να δείξετε ότι xf x f y = 0. Λύση: Είναι xf x f y = x e y x e y = 0. () Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της f (x, y)= x y + xy x 1. Λύση: Είναι f x = x + y 1, f y = y + x, f xx = f yy =-, f yx = 1. Άρα: f x = 0 x + y 1 = 0 και f y = 0 y+x= 0 (-/3, -1/3) η λύση και το πιθανό σημείο ακροτάτου Έχουμε D = f(-/3,-1/3)/ x * f(-/3,-1/3)/ y - [ f (-/3, -1/3)/ x y ] = Και =(-)*(-) 1 = 4-1=3 > 0 f(-/3,-1/3)/ x =-<0, f(-/3,-1/3) / y =- <0 Επομένως το (-/3, -1/3) είναι σημείο τοπικού μεγίστου με τιμή f (-/3, -1/3) = /3

5 Συνάρτηση παραγωγής Η παραγωγή Q ενός προϊόντος, εξαρτάται - από την εργασία που καταβάλλουμε, - το κεφάλαιο που έχουμε επενδύσει (πχ. Μηχάνημα, γη, κτίριο) και - άλλους παράγοντες (δύσκολο να μετρηθούν) Συνάρτηση παραγωγής Q(L, K)

6 Τύπος της συνάρτησης παραγωγής Cobb-Douglas Από μελέτες που έγιναν, η συνάρτηση παραγωγής δεν είναι γραμμική αλλά πολλαπλασιαστική συνάρτηση Συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas Ο Cobb-Douglas πρότεινε τον ακόλουθο τύπο για την συνάρτηση παραγωγής ενός προϊόντος, σε σχέση με την εργασία L και το κεφάλαιο Κ Q (Κ,L) = A L a K β όπου: Α: εξωγενής παράμετρος (π.χ. τεχνολογία) α, β: σταθερές παράμετροι (λόγος ποσοστιαίας μεταβολής Q όταν μεταβάλλεται είτε το Κ είτε το L μονομερώς) Μερικές παράγωγοι (οριακό προϊόν) Q L =A a L a-1 K β Q K =A β L a K β-1

7 Παράμετροι συνάρτησης Cobb-Douglas Q (Κ,L) = A L a K β Μερικές παράγωγοι (οριακό προϊόν) Q L =A a L a-1 K β Q K =A β L a K β-1 Όσο αυξάνει η εργασία και το κεφάλαιο, αυξάνει η παραγωγή, επομένως α,β >0, αλλά μετά από κάποιο σημείο συνήθως ο ρυθμός αύξησης μικραίνει (νόμος φθινουσών αποδόσεων) οπότε α-1<0 και β-1<0 Στις περισσότερες περιπτώσεις ισχύει 0 <α,β <1

8 ελαστικότητα Ορισμός ελαστικότητας Ποσοστιαία μεταβολή της y σε σχέση με μια μικρή ποσοστιαία μεταβολή της χ. Γενικός τύπος ε = Υ/y/ X/x = Υ/ X * x/y Ειδικότερα για την Cobb-Douglas ε L = Q/Q/ L/L= a ε Κ = Q/Q/ Κ/Κ= β

9 Μακροοικονομικό μοντέλο κλειστής οικονομίας Οικονομικά μεγέθη είναι η συνολική Κατανάλωση C, η συνολική Επένδυση I (Αποταμίευση) και το συνολικό Εισόδημα Y. Δεχόμαστε ότι το Εισόδημα είναι ίσο με την Κατανάλωση και την Επένδυση, ενώ η Κατανάλωση εξαρτάται γραμμικά από το Εισόδημα. Y=C+I C=C 0 +cy Επομένως αντικαθιστώντας : Y=C 0 +cy+i (1-c) Y=C 0 +I Y=C 0 /(1-c)+I/(1-c) Υ/ I= 1/(1-c) Μεταβολή στην επένδυση μιας μονάδας, προκαλεί μεταβολή στο εισόδημα 1/(1-c) μονάδες. Η ποσότητα 1/(1-c) ονομάζεται πολλαπλασιαστής

10 Μακροοικονομικό μοντέλο ανοικτής οικονομίας Οικονομικά μεγέθη είναι η συνολική Κατανάλωση C, η συνολική Επένδυση I (Αποταμίευση) και το συνολικό Εισόδημα Y, οι εισαγωγές Μ και οι εξαγωγές Χ. Δεχόμαστε ότι το Εισόδημα είναι ίσο με την Κατανάλωση και την Επένδυση, ενώ η Κατανάλωση εξαρτάται γραμμικά από το Εισόδημα και οι εισαγωγές εξαρτώνται γραμμικά από το εισόδημα. Y=C+I C=C 0 +cy Μ=Μ 0 +my Επομένως αντικαθιστώντας : Y= (C 0 +I+X-Μ 0 )/(1-c+m) Υ/ I= 1/(1-c+m) Μεταβολή στην επένδυση μιας μονάδας, προκαλεί μεταβολή στο εισόδημα 1/(1-c+m) μονάδες. Η ποσότητα 1/(1-c+m) ονομάζεται πολλαπλασιαστής και είναι χαμηλότερος από ότι στην περίπτωση της κλειστής οικονομίας

11 Συνάρτηση κέρδους Δεδομένα έστω ένα προϊόν ενός μονοπωλίου, που πουλιέται σε δύο αγορές με διαφορετικές συναρτήσεις ζήτησης. P 1 (Q 1 ) και P (Q ) (τιμής συνάρτηση ποσότητας) κόστος C(Q) έσοδα R(P 1,P,Q 1,Q ) Υπολογισμός συνάρτησης κέρδους έσοδα R=P 1 *Q 1 + P *Q ΚΕΡΔΟΣ Π(Q 1,Q ) = ΕΣΟΔΑ-ΚΟΣΤΟΣ= P 1 *Q 1 + P *Q - C(Q 1 +Q )

12 Μεγιστοποίηση κέρδους ΚΕΡΔΟΣ Π(Q 1,Q ) = ΕΣΟΔΑ-ΚΟΣΤΟΣ= P 1 *Q 1 + P *Q - C(Q 1 +Q ) Αφού P 1 (Q 1 ) και P (Q ) Π(Q 1,Q )= P 1 (Q 1 )*Q 1 + P 1 (Q 1 ) *Q 1 - C(Q 1 +Q ) Η συνάρτηση κέρδους εξαρτάται από τις μεταβλητές Q 1,Q και μπορούμε να προσδιορίσουμε σε ποιες τιμές των Q 1,Q έχουμε μέγιστο κέρδος.

13 Παράδειγμα συνάρτησης κέρδους Δεδομένα P 1 (Q 1 )= 5-0,Q 1 και P(Q )=8-0,3Q κόστος C(Q 1,Q )=Q 1 +7Q 1 Q +Q έσοδα R=P 1 *Q 1 + P *Q = (5-0,Q 1 ) *Q 1 +(8-0,3Q )*Q = 5Q 1-0,Q 1 + 8Q -0,3Q ΚΕΡΔΟΣ Π(Q 1,Q ) = ΕΣΟΔΑ-ΚΟΣΤΟΣ= P 1 *Q 1 + P *Q - C(Q 1,Q ) = 5Q 1-0,Q 1 + 8Q -0,3Q (Q 1 +7Q 1 Q +Q )= = -1,Q 1-7Q 1 Q -1,3Q +5Q 1 + 8Q

14 Εύρεση μεγίστου Π(Q 1,Q ) = -1,Q 1-7Q 1 Q -1,3Q +5Q 1 + 8Q Μερικές παράγωγοι πρώτου βαθμού Π Q1 =-,4Q 1-7Q +5 Π Q =-7Q 1 -,6Q +8 Σημείο μεγίστου Π Q1 =0 και Π Q =0 -,4Q 1-7Q +5=0-7Q 1 -,6Q +8 =0 Λύση Q 1 =0,013 και Q =0,369 Δεύτερες μερικές παράγωγοι Π Q1Q1 =-,4 Π QQ =-,6 Π Q1Q =-7 D= -,4 * (-,6) (-7) =6,4-49 =-4,76 <0 επομένως σαγματικό σημείο και δεν υπάρχει μέγιστο.

15 άσκηση συνάρτησης κέρδους Έστω μια επιχείρηση παράγει δύο προϊόντα με συναρτήσεις ζήτησης: P 1 (Q 1 )= 56-4Q 1 και P (Q )=48-Q Η συνάρτηση κόστους είναι C(Q 1,Q ) =Q 1 +5Q 1 Q +Q Να υπολογίσετε τη συνάρτηση εσόδων της επιχείρησης, την συνάρτηση κερδών και να βρείτε τα επίπεδα παραγωγής Q 1 και Q στα οποία μεγιστοποιείται το κέρδος. Να υπολογισθούν οι τιμές πώλησης των ποσοτήτων που μεγιστοποιούν το κέρδος.

16 άσκηση συνάρτησης εσόδων Έστω μια επιχείρηση παράγει δύο τύπους υπολογιστών με ανταγωνιστική θέση στην αγορά και με συναρτήσεις ζήτησης: Q 1 (Ρ 1,Ρ ) = 4000-Ρ 1 +Ρ και Q (Ρ 1,Ρ )= 6000+Ρ 1-3Ρ Να υπολογίσετε τη συνάρτηση εσόδων της επιχείρησης και να βρείτε τα επίπεδα τιμών Ρ 1 και Ρ στα οποία μεγιστοποιούνται τα έσοδα. Για τις τιμές μεγιστοποίησης, να υπολογισθούν οι ποσότητες κάθε τύπου υπολογιστών και τα μέγιστα έσοδα.

17 Ασκήσεις οικονομικών εφαρμογών 1. Δίνεται η συνάρτηση χρησιμότητας ενός καταναλωτή για δύο αγαθά Χ και Υ U(X,Y)=5XY-X -6Y +400X+600Y Να βρεθούν οι ποσότητες Χ και Υ που μεγιστοποιούν την χρησιμότητα. Ποια είναι η μέγιστη χρησιμότητα;. Δίνεται η συνάρτηση παραγωγής μιας επιχείρησης Q(K,L)=4LK-3L -K +6L+14K όπου Κ το ποσό κεφαλαίου και L το ποσό εργασίας. α) Να βρεθούν οι τιμές Κ και L που μεγιστοποιούν την παραγωγή της επιχείρησης. β) Αν η επιχείρηση πληρώνει 700 ευρώ τη μονάδα εργασίας και 1400 ευρώ τη μονάδα κεφαλαίου, ενώ πουλάει.500 ευρώ τη μονάδα παραγωγής, για ποιες ποσότητες κεφαλαίου και εργασίας θα μεγιστοποιήσει τα κέρδη της; 3. Δίνεται η συνάρτηση παραγωγής μιας επιχείρησης Q(K,L)=L 4/5 K 1/5 όπου Κ το ποσό κεφαλαίου και L το ποσό εργασίας. α) Να βρεθεί το οριακό προϊόν εργασίας και κεφαλαίου. (οριακό προϊόν είναι η πρώτου βαθμού μερική παράγωγος). β) Στην περίπτωση που θέλουμε η παραγωγή να είναι πάντα 100 μονάδες, γράψτε το κεφάλαιο, σαν συνάρτηση της εργασίας. γ) Υπολογίστε την μερική ελαστικότητα της παραγωγής, ως προς την εργασία και ως προς το κεφάλαιο. 4. Ένα μονοπώλιο πουλάει δύο προϊόντα με συναρτήσεις ζήτησης: Q 1 (Ρ 1 ) = 6-0,5 Ρ 1 και Q (Ρ )= 8-0,5Ρ Η συνάρτηση κόστους είναι C(Q 1,Q )=Q 1 +Q 1 Q +Q Να υπολογίσετε τη συνάρτηση κερδών και να βρείτε τα επίπεδα τιμών Ρ 1 και Ρ στα οποία μεγιστοποιούνται τα κέρδη. 5. Μια επιχείρηση πουλάει δύο προϊόντα με συναρτήσεις ζήτησης: Q 1 (Ρ 1,Ρ ) = 110-4Ρ 1 -Ρ Q (Ρ 1,Ρ )= 90-Ρ 1-3Ρ α) Να υπολογίσετε τη συνάρτηση εσόδων της επιχείρησης και να βρείτε τα επίπεδα τιμών Ρ 1 και Ρ στα οποία μεγιστοποιούνται τα έσοδα. β) Για τις τιμές μεγιστοποίησης, να υπολογισθούν οι ποσότητες κάθε τύπου υπολογιστών και τα μέγιστα έσοδα.

Σχετικά έγγραφα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έννοια συνάρτησης Παραγώγιση Ακρότατα Ασκήσεις Βασικές έννοιες Στην Οικονομία, τα περισσότερα από τα μετρούμενα μεγέθη, εξαρτώνται από άλλα μεγέθη. Π.χ η ζήτηση από την τιμή,