1 Υποθέσεις και Θεωρήµατα
|
|
- Δυσμάς Ανδρεάδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Υποθέσεις και Θεωρήµατα Στο Λύκειο αλλά πολλές ϕορές και στο Πανεπιστήµιο τα µαθηµατικά µας παρουσιάζονται σαν έτοιµο προΐόν. Βλέπουµε συνήθως τη µια πλευρά των πραγµάτων, τη ϕωτεινή πλευρά όπου ϐρίσκονται τα ϑεωρήµατα που κάποιος έχει διατυπώσει και αποδείξει (συνήθως πριν από εκατοντάδες χρόνια). εν ϐλέπουµε συνήθως την άλλη πλευρά, τη σκοτεινή, που είναι τα ϑεωρήµατα που είτε κανένας δεν τα έχει σκεφτεί και διατυπώσει ακόµα, είτε έχουν µεν διατυπωθεί αλλά δεν έχουν αποδειχτεί ακόµα. Για να κατανοήσουµε καλύτερα όµως τα πράγµατα χρειά- Ϲεται όχι µόνο να µάθουµε κάποια ϑεωρήµατα, αποδείξεις και τεχνικές, αλλά να γνωρίζουµε τί ξέρουµε και τί δεν ξέρουµε. Αυτή η µεταγνώση µιας επιστη- µονικής περιοχής είναι καµιά ϕορά πιο σηµαντική από την ίδια τη γνώση. Η ενδιαφέρουσα περιοχή µε άλλα λόγια είναι το σύνορο των δυο πλευρών, εκεί που η σηµερινή έρευνα προσπαθεί να επεκτείνει τη ϕωτεινή περιοχή σε ϐάρος της σκοτεινής. Εκδοση 2005/03/22. Παρατήρηση - Υπόθεση - Απόδειξη Παρατηρώντας προσεκτικά τα δεδοµένα ενός προβλήµατος συνήθως καταλήγουµε να διατυπώσουµε µια ή περισσότερες υποθέσεις. Μια υπόθεση είναι µια υπόθεση λογική πρόταση που πιστεύουµε ότι είναι αληθής. Αν µια τέτοια πρόταση αποδειχτεί τότε λέγεται ϑεώρηµα, πρόταση, ή λήµµα. ϑεώρηµα Η διατύπωση σωστών υποθέσεων είναι συνήθως το πιο σηµαντικό ϐήµα για τη µελέτη ενός προβλήµατος. Μια καλή υπόθεση πρέπει να είναι καθαρά διατυπωµένη, να είναι απλή και λιτή και να έχει το κατάλληλο επίπεδο αφαίρεσης. Το παρακάτω διάγραµµα δείχνει µια τυπική διαδικασία που αρχίζει µε παρατηρήσεις και καταλήγει σε κατάλληλο ϑεώρηµα. πρόταση λήµµα Παρατηρήσεις, δεδοµένα Απόδειξη Λήµµα Θεώρηµα Απο τα δεδοµένα εξάγουµε συνήθως υποθέσεις τις οποίες προσπαθούµε να α- ποδείξουµε. Πολλές ϕορές αν αποτύχουµε τότε τροποποιούµε την υπόθεση και επαναλαµβάνουµε. Αλλά ακόµα και αν πετύχουµε να αποδείξουµε την υπόθεση, η ίδια η απόδειξη υποδεικνύει συχνά κατάλληλες γενικεύσεις ή εξειδικεύσεις της υπόθεσης.
2 . Υποθέσεις και Θεωρήµατα φ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ.. Ας πούµε ότι παίζουµε µε τα ακέραια πολλαπλάσια της χρυσής τοµής φ. Η χρυσή τοµή φ = είναι η µεγαλύτερη ϱίζα της εξίσωσης φ 2 = φ+ και έχει πολλές καταπληκτικές ιδιότητες. Σχετίζεται για παράδειγµα µε τους αριθµούς Fibonacci και µε την αναπαράσταση των αριθµών ως συνεχή κλάσµατα. φ = Εµφανίζεται συχνά σε ϐιολογικές διαδικασίες και ϕαίνεται να έχει σχέση µε την αισθητική αντίληψη µας λέγεται για παράδειγµα ότι κτήρια µε λόγο διαστάσεων ίσο µε φ έχουν αισθητική τελειότητα. Ας παρατηρήσουµε όµως τα πολλαπλάσια του φ και φ 2 : φ = φ 2 = φ = φ 2 = φ = φ 2 = φ = φ 2 = φ = φ 2 = φ = φ 2 = Τι παρατηρείτε για το ακέραιο µέρος των αριθµών αυτών; Μια παρατήρηση είναι ότι εµφανίζονται οι αριθµοί (αριστερά), 2 (δεξιά), 3, 4 (αριστερά), 5 (δεξιά), 6 (αριστερά) κοκ. Μια ϕυσική υπόθεση εποµένως είναι η ακόλουθη. Για να κάνουµε την υπόθεση πιο σαφή ας χρησιµοποιήσουµε το συµβολισµό x για το ακέραιο µέρος ενός πραγµατικού αριθµού x. Πιο συγκεκριµένα x Z και x x < x +. Ανάλογα ορίζεται το πάνω ακέραιο µερος x ενος πραγµατικού αριθµού x: το x είναι ο ακέραιος που ικανοποιεί x < x x. Παραδείγµατα: 3.4 = 3, 3.4 = 4, 3 = 3, 3 = 3. Πριν προσπαθήσουµε να αποδείξουµε ότι η υπόθεση ισχύει ας προσπαθήσουµε να την ελέγξουµε πειραµατικά. Ας πάρουµε για παράδειγµα ενα µε- γάλο τυχαίο αριθµό n, ας πούµε n = 000. Είναι ο n το ακέραιο µέρος κάποιου πολλαπλασίου του φ; Με ποιο ακέραιο k πρέπει να πολλαπλασιάσουµε το φ ώστε το αποτέλεσµα να είναι λίγο µεγαλύτερο απο n; Προφανώς µε το k = n/φ = 000/.68 = 69. Αλλά για k = 69 έχουµε kφ = = 00. Ο 000 λοιπόν δεν είναι ακέραιο µέρος κάποιου πολλαπλασίου του φ. Ας επαναλάβουµε τους υπολογισµούς για το φ 2. Βρίσκουµε k = n/φ 2 = 382 για το οποίο ισχύει kφ = = 000. Η υπόθεση λοιπόν ισχύει για n = 000. Αν επαναλάβουµε την ιδία διαδικασία για πολλά n ϑα παρατηρήσουµε ότι η υπόθεση ισχύει για όλα. υπόθεση x x πειραµατικός ελεγχος Υπόθεση. Το ακέραιο µέρος των πολλαπλασίων του φ και φ 2 περιλαµβάνει όλους τους ϕυσικούς αριθµούς. 2
3 Παρατήρηση - Υπόθεση - Απόδειξη Ενας τέτοιος πειραµατικός έλεγχος µιας υπόθεσης, αν και δεν µας ϐεβαιώνει απόλυτα ότι η υπόθεση είναι αληθής, µας οπλίζει µε αρκετή εµπιστοσύνη στην ορθότητα της ώστε να προσπαθήσουµε να την αποδείξουµε. Εξάλλου σή- µερα έχουµε το κατάλληλο εργαλείο για αυτό, τον υπολογιστή. Ο πειραµατικός έλεγχος πρέπει να αποτελεί ένα ουσιαστικό συστατικό της αποδεικτικής διαδικασίας. Εκτός της εµπιστοσύνης, µας δίνει συνήθως και αρκετές πληροφορίες για να µας καθοδηγήσουν στην απόδειξη. Αλλά ο πειραµατικός έλεγχος µιας υπόθεσης µπορεί να µας οδηγήσει µερικές ϕορές σε λάθος συµπεράσµατα. Μόνο µια απόδειξη ϑα µας ϐεβαιώσει για την ορθότητα µιας υπόθεσης. Η ιστορία των µαθηµατικών είναι γεµάτη απο παραδείγµατα υποθέσεων που ϕαίνονταν αληθείς αλλά αποδείχτηκαν ψευδείς και µερικές ϕορές µε εντελώς αναπάντεχο τροπο. Ας προσπαθήσουµε λοιπόν να αποδείξουµε την υπόθεση. Απόδειξη της υπόθεσης. Ας ορίσουµε απόδειξη A = { kφ : k =,2,...} B = { kφ 2 : k =,2,...} Θέλουµε να δείξουµε ότι N = A B. Είναι δύσκολο να επιχειρηµατολογούµε µε απειροσύνολα για αυτό ας επικεντρωθούµε στα υποσύνολα που περιλαµβάνουν µόνο τους αριθµούς,2,...,n. A n = A {,2,...,n} = { kφ : kφ n και k =,2,...} B n = A {,2,...,n} = { kφ : kφ n και k =,2,...} Πόσα στοιχεία έχει το A n ; Οσα είναι οι ϕυσικοί k για τους οποίους ισχύει kφ n. Αλλά αυτή η σχέση είναι ισοδύναµη µε kφ < n + k < n + φ k n + φ. ηλαδή, ο αριθµός των στοιχείων του συνόλου A n είναι A n = n+ φ. Με τον ίδιο τρόπο ϐρίσκουµε B n = n+ φ 2. Ο αριθµός λοιπόν των στοιχείων και του A n και του B n είναι n + φ + n + φ 2. (.) Θα δείξουµε ότι αυτός ο αριθµός είναι ίσος µε n. Παρατηρούµε πρώτα ότι φ + = φ 2 (αυτό προκύπτει αν διαιρέσουµε όλους τους όρους της φ 2 = φ + µε φ 2 ). Εποµένως n + φ + n + φ 2 = n +. Αφού οι δυο αριθµοί n+ φ και n+ φ 2 είναι άρρητοι και έχουν άθροισµα n +, τα ακέραια µέρη τους έχουν άθροισµα n. (Για παράδειγµα 00/.68 = , 3
4 . Υποθέσεις και Θεωρήµατα 00/2.68 = , = 00, = 000.) είξαµε λοιπόν ότι A n + B n = n. Το n υπάρχει στο A n και στο B n αλλιώς ϑα είχαµε A n + B n = A n + B n. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη της υπόθεσης. Αν παρατηρήσουµε προσεκτικά το τελευταίο µερος της παραπάνω απόδειξης ϑα παρατηρήσουµε ότι όχι µόνο αποδείξαµε ότι κάθε ϕυσικός αριθµός γράφεται σαν kφ ή σαν kφ 2 αλλά και ότι αυτό συµβαίνει µε µοναδικό τρόπο. Ο λόγος είναι το n υπάρχει στα A n και B n ακριβώς ( A n + B n ) ( A n + B n ) = n (n ) = ϕορά. Οταν ϐλέπουµε µια απόδειξη πρέπει να προσπαθούµε να καταλάβουµε ποιά είναι η κεντρική ή οι κεντρικές ιδέες. Για παράδειγµα, µια ϕυσική ερώτηση για την παραπάνω απόδειξη είναι Ποια ακριβώς ιδιότητα του φ χρησιµοποιήσαµε; Αν διαβάσουµε προσεκτικά την απόδειξη ϑα παρατηρήσουµε ότι χρησιµοποιήσαµε ακριβώς τις εξής δυο ιδιότητες: φ + φ 2 =. Ο φ και φ 2 είναι ϑετικοί άρρητοι. Την ιδιότητα αυτή χρησιµοποιήσαµε όταν ϐγάλαµε το συµπέρασµα ότι τα ακέραια µέρη των αριθµών n+ και n+ φ 2 φ έχουν άθροισµα n, επειδή οι δυο αυτοί αριθµοί έχουν άθροισµα n+. φ και n+ φ 2 ϑα Αν οι φ και φ 2 ήταν ϱητοί τότε για κάποια n οι αριθµοί n+ ήταν ακέραιοι και ϑα είχαν άθροισµα n + αντί για το επιθυµητό n. γενίκευση Εποµένως η ίδια απόδειξη ϑα ήταν σωστή για οποιουσδήποτε ϑετικούς άρρητους λ και µ που ικανοποιούν την εξίσωση λ + µ =. Ετσι µπορούµε να γενικεύσουµε την υπόθεση στο εξής ϑεώρηµα: Θεώρηµα. Για οποιουσδήποτε ϑετικούς άρρητους λ και µ που ικανοποιούν λ + µ =, κάθε ϕυσικός αριθµός γράφεται µε µοναδικό τρόπο σαν kλ ή kµ για ακέραια k. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ.2. Ας δούµε όµως ένα ακόµα παράδειγµα της διαδικασίας υπόθεση-απόδειξη-ϑεώρηµα-γενίκευση. Ας παρατηρήσουµε τις τιµές του πολυώνυµου n 2 n + 4 για n =,2,...: 4,43,47,53,6,.... Παρατηρούµε ότι όλοι αυτοί οι αριθµοί είναι πρώτοι. Εποµένως είναι ϕυσικό να κάνουµε την υπόθεση Υπόθεση 2. Για κάθε ϕυσικό αριθµό n, ο αριθµός n 2 n + 4 είναι πρώτος. οκιµάζοντας πολλές τιµές για το n διαπιστώνουµε ότι η υπόθεση δεν ισχύει. Ισχύει για n =,2,...,40, αλλά για n = 4 ϐλέπουµε ότι το = 4 2 διαιρείται προφανώς απο το 4. 4
5 Εικασίες Οπως διαπιστώσαµε, το πολυώνυµο n 2 n+4 δεν καταφέρνει να παράγει όλους τους πρώτους αριθµούς και µόνο αυτούς. Υπάρχουν πολυώνυµα που έχουν αυτή την ιδιότητα; Αναπάντεχα, η απάντηση είναι καταφατική (αλλά το πολυώνυµο πρέπει να έχει πολλές µεταβλητές). Π.χ. υπάρχει πολυώνυµο µε 26 µεταβλητές που έχει αυτή την ιδιότητα και πιο συγκεκριµένα: το σύνολο των ϑετικών τιµών αυτού του πολυώνυµου είναι ακριβώς το σύνολο των πρώτων αριθµών..2 Εικασίες Μερικές ϕορές παρά τις προσπάθειες µας δεν καταφέρνουµε να αποδείξου- µε αλλά ούτε να διαψεύσουµε µια υπόθεση. Μια τέτοια υπόθεση αποκαλείται εικασία. Οι εικασίες είναι η κινητήρια δύναµη των µαθηµατικών και της επιστήµης γενικότερα. Προσπαθώντας να αποδείξουµε εικασίες αναγκαζόµαστε να ανακαλύψουµε νέες ϑεωρίες και τεχνικές. Μερικές διάσηµες εικασίες είναι οι ακόλουθες: Η τελευταίο ϑεώρηµα του Fermat. Η εικασία, που τώρα αποτελεί ϑεώρηµα, είναι ότι η εξίσωση x n + y n = z n δεν έχει λυση για µη µηδενικούς ακέραιους x, y, και z και για ακέραιο n > 2. Προτάθηκε απο τον Pierre Fermat τον 7ο αιώνα και αποδείχτηκε απο τον Andrew Wiles τη δεκατία του 990. Η εικασία του Goldbach. Το 742 ο Christian Goldbach διατύπωσε την ε- ξής υπόθεση: Καθε άρτιος αριθµός µεγαλύτερος του 2 µπορεί να γραφτεί σαν άθροισµα 2 πρώτων αριθµών. Π.χ. 4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 3+5. Η εικασία δεν έχει αποδειχτεί ούτε καταρριφθεί ακόµα. Εχει όµως επιβεβαιωθεί µε τη ϐοήθεια υπολογιστή για όλους τους άρτιους µέχρι 0 4. Το Θεώρηµα των 4 χρωµάτων. Η εικασία, που και αυτή είναι τώρα πια ϑεώρηµα, είναι ότι κάθε επίπεδος χάρτης µπορεί να χρωµατιστεί µε 4 χρώµατα έτσι ώστε γειτονικές χώρες να έχουν διαφορετικά χρώµατα. Η υπόθεση αυτή προτάθηκε πριν απο 30 χρόνια περίπου και αποδείχτηκε τελικά το 976 απο τους Kenneth Appel και Wolfgang Haken. Η απόδειξη ϐασίζεται στον έλεγχο 936 περιπτώσεων και η κάθε περίπτωση απαιτεί τον έλεγχο πολλών λογικών συνδυασµών. Μονο µε τη ϐοήθεια υπολογιστή µπορούν να ελεγχθούν όλες οι περιπτώσεις. Παραµένει ανοικτό πρόβληµα αν υπάρχει σύντοµη απόδειξη, που δεν απαιτεί τεράστια υπολογιστική ικανότητα. Η εικασία του 3x +. Πάρε ένα ϕυσικό αριθµό x. Αν είναι άρτιος διαίρεσε τον µε το 2, αλλοιώς υπολόγισε το 3x +. Επανέλαβε µε το αποτέλεσµα µέχρι να προκύψει το. Για παράδειγµα: Η εικασία λέει ότι αν αρχίσουµε από οποιοδήποτε ϕυσικό αριθµό x ϑα καταλήξουµε πάντα στο. Η εικασία προτάθηκε από διάφορους, γι αυτό και λέγεται επίσης το πρόβληµα του 5
6 . Υποθέσεις και Θεωρήµατα Collatz, το προβληµα του Ulam, ο αλγόριθµος του Hasse, κλπ. Η εικασία δεν έχει αποδειχτεί ούτε καταρριφθεί ακόµα. Εχει όµως επιβεβαιωθεί µε τη ϐοήθεια υπολογιστή για αρκετά µεγάλους αριθµούς. Η εικασία του Riemann. Η συνάρτηση ζ του Riemann ορίζεται ως εξής: ζ(x) = x + 2 x + 3 x +... Για x > το άθροισµα συγκλίνει. Η συνάρτηση µπορεί να επεκταθεί και στους µιγαδικούς αριθµούς. Η εικασία του Riemann λέει ότι οι µόνες ϱίζες µε ϑετικό πραγµατικό τµήµα της αναλυτικής επέκτασης της συνάρτησης ζ, δηλαδή οι τιµές του x που ικανοποιούν ζ(x) = 0 µε R(x) > 0, είναι µιγαδικοί αριθµοί µε πραγµατικό τµήµα ίσο µε /2. Η εικασία προτάθηκε απο τον Riemann πριν απο 30 χρόνια περίπου και δεν έχει ακόµα αποδειχτεί ούτε καταρριφθεί. Η εικασία του Riemann σχετίζεται άµεσα µε την πυκνότητα των πρώτων αριθµών. Πόσοι πρώτοι αριθµοί είναι µικρότεροι απο 000; Απο n; Ας ορίσουµε αυτόν τον αριθµό ως π(n). Πόσο µεγάλο είναι το π(n); Εχει αποδειχτεί ότι το π(n) είναι περίπου n/ln n. Αυτό είναι το περίφηµο Θεώρηµα των πρώτων αριθµών. Αλλά πόσο κοντά στο n/ln n είναι το π(n); Η εικασία του Riemann είναι ισοδύναµη µε την πρόταση ότι το π(n) και το n/ln n διαφέρουν κατά το πολύ c n lnn για κάποια σταθερά c. Η εικασία του Riemann είναι ένα εξαίρετο παράδειγµα για την ενότητα των µαθηµατικών γιατί συνδέει διάφορες περιοχές όπως η Θεωρία αριθµών και η Ανάλυση. Υπάρχουν για παράδειγµα εικασίες ισοδύναµες µε την εικασία του Riemann ακόµα και στην ϑεωρία σηµάτων (σταθερά de Bruijn Newman). Αποτελεί επίσης εξαίρετο παράδειγµα για το πως ϑέµατα εντελώς θεωρητικά µπορεί µε την ανάπτυξη της τεχνολογίας να γίνουν πρακτικά. Η εικασία αύτη για παράδειγµα έχει άµεση σχέση µε την κρυπτογραφία δηµόσιου κλειδιού. Η εικασία P NP. Η πιο σηµαντική εικασία στην πληροφορική και µια από τις σηµαντικότερες εικασίες γενικότερα σήµερα είναι η εικασία P NP. Η εικασία λέει ότι υπάρχουν προβλήµατα που λύνονται από µη ντετερµινιστικές µηχανές Turing σε πολυωνυµικό χρόνο αλλά απαιτούν περισσότερο απο πολυωνυµικό χρόνο σε ντετερµινιστικές µηχανές. Με πιο απλά λόγια, η εικασία λέει ότι υπάρχουν προβλήµατα για τα οποία είναι αρκετά πιο δύσκολο να ϐρούµε τη λυση τους από το να την επιβεβαιώσουµε. 6
Mathematics and its Applications, 5th
Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά για Πληροφορική
Μαθηµατικά για Πληροφορική 1ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 2/10/08 2/10/08 1 / 1 Γενικό πλάνο 1 Σχετικά µε το µάθηµα 2 Υποθεσεις -
Διαβάστε περισσότεραΥποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι αλη
Υποθέσεις - - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες
Διαβάστε περισσότεραΥποθέσεις - Θεωρήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα. Η χρυσή τομή. Υποθέσεις - Εικασίες
Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροορικής ο Μάθημα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά της Πληροφορικής Επιστήµης
Μαθηµατικά της Πληροφορικής Επιστήµης 1 Περιεχόµενα Περιεχόµενα 3 Πρόλογος 5 1 Υποθέσεις και Θεωρήµατα 7 1.1 Παρατήρηση - Υπόθεση - Απόδειξη............... 7 1.2 Εικασίες.............................
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόµενα 7.1 RSA... 81
Μαθηµατικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Ιανουάριος 2008 Περιεχόµενα Περιεχόµενα 1 Σύνολα................................ 5 Άλλα Σύµβολα............................ 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήµατα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά της Πληροφορικής Επιστήµης
Μαθηµατικά της Πληροφορικής Επιστήµης Περιεχόµενα Περιεχόµενα 3 Σύνολα................................ 7 Άλλα Σύµβολα............................ 7 Υποθέσεις και Θεωρήµατα 9. Παρατήρηση - Υπόθεση - Απόδειξη.................
Διαβάστε περισσότερατη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n
Διαβάστε περισσότεραΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων
ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ LIBATI@CEIDUPATRASGR Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών ΑΜ: Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων 8// Να βρεθούν οι OGF για καθεµία από τις
Διαβάστε περισσότερα2 Αποδείξεις. 2.1 Εξαντλητική µέθοδος. Εκδοση 2005/03/22. Υπάρχουν πολλών ειδών αποδείξεις. Εδώ ϑα δούµε τις πιο κοινές:
2 Αποδείξεις Υπάρχουν πολλών ειδών αποδείξεις. Εδώ ϑα δούµε τις πιο κοινές: Εκδοση 2005/03/22 Εξαντλητική µέθοδος ή µέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβληµα έχει πεπερασµένες αριθµό περιπτώσεων τις εξετάζουµε
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή
Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University
Διαβάστε περισσότεραΥπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville
Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville Χρήστος Κονταράτος 14 Νοεµβρίου 2014 1 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 3 2 Το Θεώρηµα του Liouville 4 3 Η Υπερβατικότητα του ξ 6 4 Αριθµοί του Liouville 8 2 1 Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές
Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.
Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότεραΤελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρα. Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερα3 Αναδροµή και Επαγωγή
3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των
Διαβάστε περισσότερα1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος
Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr
Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1. Το προβληµα του διακριτου λογαριθµου Στο µάθηµα αυτό ϑα δούµε κάποιους αλγόριθµους για υπολογισµό διακριτών λογάριθµων. Θυµίζουµε ότι στο
Διαβάστε περισσότερα2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008
2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης
Διαβάστε περισσότερα4 Συνέχεια συνάρτησης
4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 10/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα. Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισµού Theory of Computation
1 ο µέρος Θεωρία Υπολογισµού Theory of Computation 1 Υπολογισιµότητα - Computability o Υπολογισιµότητα (Computability) n Τι µπορεί να υπολογιστεί και τι όχι; o Υπολογιστική πολυπλοκότητα (Computational
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΑποφασισιµότητα. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Βασικές µέθοδοι απόδειξης. 07 -Αποδείξεις. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Πέµπτη, 19/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι έχουµε δει µέχρι τώρα Κατευθυνόµενοι µη κατευθυνόµενοι
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x
o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 22 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση
Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z
Διαβάστε περισσότεραΠρόβληµα 2 (12 µονάδες)
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2015-2016 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Ε. Μαρκάκης, Θ. Ντούσκας Λύσεις 2 ης Σειράς Ασκήσεων Πρόβληµα 1 (12 µονάδες) 1) Υπολογίστε τον
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις Επαναληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015/nt015.html Τρίτη Ιουνίου 015 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική
Διαβάστε περισσότερα1 Οι πραγµατικοί αριθµοί
1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά και κλειστά σύνολα
5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί
Διαβάστε περισσότεραΌνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291
ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό
Διαβάστε περισσότερα(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX
1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα
Διαβάστε περισσότερα1 Συνοπτική ϑεωρία. 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού. p p p. p p. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-180: Λογική Εαρινό Εξάµηνο 2016 Κ. Βάρσος Πρώτο Φροντιστήριο 1 Συνοπτική ϑεωρία 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού 1. Νόµος ταυτότητας : 2. Νόµοι αυτοπάθειας
Διαβάστε περισσότερα5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.
5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.
Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)
Διαβάστε περισσότεραΤο σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.
1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται
Διαβάστε περισσότεραx(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση
Διαβάστε περισσότερα4.3 Παραδείγµατα στην συνέχεια συναρτήσεων
5. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο R. 6. Η συνάρτηση sin είναι συνεχής στο R. 7. Η συνάρτηση cos είναι συνεχής στο R. 8. Η συνάρτηση tan είναι συνεχής σε κάθε R µε k π + π/2, k Z. 9. Η συνάρτηση cotan είναι
Διαβάστε περισσότεραΘεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Την προηγούµενη φορά Τρόποι απόδειξης Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter,
Διαβάστε περισσότεραf (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος.
Πανεπιστηµιο Αιγαιου Τµηµα Μαθηµατικων 8 200 Καρλοβασι Σαµος Καρλόβασι 09/02/2012 Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. 1. Απαντήστε µε α(αλήθεια)
Διαβάστε περισσότεραΣτροβιλισµός πεδίου δυνάµεων
Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. =. Οι πρώτες µερικές u x y
ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Καταρχήν θα µελετήσουµε την συνάρτηση f Η f γράφεται f ( ) = ( x + )( x ) ( x ) ή ακόµα f ( ) = u( x,
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία
Διαβάστε περισσότεραΤρία συνηθισµένα λάθη που κάνουν µαθητές της Γ Λυκείου σε ασκήσεις του ιαφορικού Λογισµού ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ3 e-mail@p-thedrpuls.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή επισηµαίνονται
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΗ Ευκλείδεια διαίρεση
1 Η Ευκλείδεια διαίρεση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Αποδεικνύεται ότι για οποιουσδήποτε ακέραιους α και β, β 0, ισχύει το παρακάτω θεώρηµα και διατυπώνεται ως εξής : Αν α και β ακέραιοι µε β
Διαβάστε περισσότερα1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. Η δική µας Εικασία
1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ Η δική µας Εικασία Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν να διχοτοµούν µια τυχαία γωνία µε χρήση κανόνα και διαβήτη, και, κατά συνέπεια, µπορούσαν να διαιρέσουν
Διαβάστε περισσότεραa 1d L(A) = {m 1 a m d a d : m i Z} a 11 a A = M B, B = N A, k=1
Α44 ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #12 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1 Πλεγµατα Εστω ο διανυσµατικός χώρος R d διάστασης d Ο χώρος R d έρχεται µε ένα εσωτερικό γινόµενο x, y = d i=1 x iy i και τη σχετική νόρµα x = x,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης
Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία και Πολυπλοκότητα
Απόδειξη του Αλγορίθµου Tonelli - Shanks Σχολή Εφαρµοσµένων και Φυσικών Επιστηµών ευτέρα 13 Φεβρουαρίου 2011 Το Πρόβληµα Να ϐρούµε x 1, x 2 Z p τέτοια ώστε: για κάποιο a Z p. x 2 i a (mod p) i 1, 2 (1)
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν
Επαναληπτικές δοµές Η λογική των επαναληπτικών διαδικασιών εφαρµόζεται όπου µία ακολουθία εντολών εφαρµόζεται σε ένα σύνολο περιπτώσεων που έχουν κάτι κοινό. Όταν ψάχνουµε θέση για να παρκάρουµε κοντά
Διαβάστε περισσότεραΓενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης.
Γενικές Παρατηρήσεις Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα () Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Υπάρχουν µη κανονικές γλώσσες, π.χ., B = { n n n }. Αυτό
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρα. Ενότητα: Πολυωνυµικές σχέσεις - πολυώνυµα µίας µεταβλητής. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Πολυωνυµικές σχέσεις - πολυώνυµα µίας µεταβλητής Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου.
Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Ανδρέας Ζούπας 22 Ιανουαρίου 203 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/7/2017
Διαβάστε περισσότερα(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier
Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Παράγωγος
Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι
Διαβάστε περισσότεραΣχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2
A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 15 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. Εστω n 3 ακέραιος.
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΣχολικός Σύµβουλος ΠΕ03
Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις
Διαβάστε περισσότερα( x) (( ) ( )) ( ) ( ) ψ = 0 (1)
ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΘΕΣΗΣ ΟΡΜΗΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗΣ Στην προηγούµενη ανάρτηση, δείξαµε ότι η κατάσταση είναι κατάσταση ελάχιστης αβεβαιότητας των µη µετατιθέµενων ερµιτιανών τελεστών
Διαβάστε περισσότεραροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών
ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους
Διαβάστε περισσότεραΛύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε
Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε 1. Να αποδειχθεί ότι κάθε ϑετικός ακέραιος αριθµός n 6, µπορεί να γραφεί στη µορφή όπου οι a, b, c είναι ϑετικοί ακέραιοι. n = a + b c,. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο
Διαβάστε περισσότερα2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ
.3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι
Διαβάστε περισσότερα