ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ
|
|
- Σουσάννα Λαγός
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας διαίρεσης είναι ίσο µε το 0 τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια. 3. Άρτιος - Περιττός Η διαίρεση ακεραίου α µε το 2 δίνει υπόλοιπο υ = 0 ή υ = 1. Όταν υ = 0, τότε α = 2κ, κ Z και ο α λέγεται άρτιος Όταν υ = 1, τότε α = 2κ + 1, κ Z και ο α λέγεται περιττός 4. Οι δυνατές τιµές του υπολοίπου υ = 0, 1, 2,..., β 1 5. Εφαρµογή σαν θεώρηµα Το γινόµενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι άρτιος αριθµός 6. Ορισµός Θα λέµε ότι ακέραιος β 0 διαιρεί τον ακέραιο α και θα γράφουµε β α, όταν η διαίρεση του α µε τον β είναι τέλεια, δηλαδή όταν α = κ β, κ Z 7. Ισοδύναµες εκφράσεις β α β διαιρεί α ο β είναι διαιρέτης ή παράγοντας του α ο α διαιρείται µε τον β ο α είναι πολλαπλάσιο του β α = πολβ
2 η οµάδα ιδιοτήτων Αν β α, τότε και β α ± 1 α για κάθε α Z ± α α για κάθε α Z * Αν β α τότε και κβ κα για κάθε κ Z * 9. 2 η οµάδα ιδιοτήτων Αν α β και β α, τότε α = β ή α = β Αν α β και β γ, τότε α γ Αν α β τότε α λβ για κάθε λ Z Αν α β και α γ, τότε ο α (β + γ) Αν α β και α γ, τότε ο α (κβ + λγ) για κάθε κ, λ Z Αν α β και β 0, τότε α β ΣΧΟΛΙΑ 1. Αν α β και α γ, τότε ο α (β γ) 2. Αν α β και α (β + γ), τότε ο α γ 3. Αν α β και α (β γ), τότε ο α γ
3 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι Το άθροισµα δύο άρτιων είναι άρτιος i Το άθροισµα δύο περιττών είναι άρτιος ii Το άθροισµα ενός άρτιου και ενός περιττού είναι περιττός iν) Το γινόµενο δύο άρτιων είναι άρτιος ν) Το γινόµενο ενός άρτιου και ενός περιττού είναι άρτιος ν Το γινόµενο δύο περιττών είναι περιττός νi Το τετράγωνο ενός άρτιου είναι άρτιος νii Tο τετράγωνο ενός περιττού είναι περιττός Έστω α = 2κ, β = 2λ, γ = 2µ + 1, δ = 2ρ + 1, κ, λ, µ, ρ Z α + β = 2κ + 2λ = 2( κ + λ ) άρτιος i γ + δ = 2µ ρ + 1 = 2( µ + ρ + 1) ii α + γ = 2κ + 2µ + 1 = 2(κ + µ ) + 1 iν) α β =2κ 2λ= 2(2κλ) άρτιος ν) α γ = 2κ( 2µ + 1) = 2[κ(2µ + 1)] ν γ δ = (2µ +1 )( 2ρ + 1) = = 4µρ + 2µ + 2ρ + 1 = 2(2µρ + µ + ρ) + 1 περιττός νi α 2 = 4κ 2 = 2(2κ 2 ) άρτιος νii γ 2 = 4µ 2 + 4µ + 1= 2(2µ 2 + 2µ ) +1 άρτιος περιττός άρτιος περιττός
4 4 2. είξτε ότι, για κάθε ακέραιο αριθµό α, ο αριθµός Α = α 2 + α + 1 είναι περιττός. Όταν ο α είναι άρτιος, δηλαδή α = 2κ, κ Z Α = α 2 + α + 1 = (2κ) 2 + 2κ + 1 = 4κ 2 + 2κ + 1 = 2(2κ 2 + κ) + 1 (θέτουµε 2κ 2 + κ = λ) = 2λ + 1, που είναι περιττός Όταν ο α είναι περιττός, δηλαδή α = 2κ + 1, κ Z Α = α 2 + α + 1 = (2κ + 1) 2 + (2κ + 1) + 1 = 4κ 2 + 4κ κ = 4κ 2 + 6κ = 2(2κ 2 + 3κ + 1) + 1 (θέτουµε 2κ 2 + 3κ + 1 = µ) =2µ + 1, που είναι περιττός 3. είξτε ότι το γινόµενο τεσσάρων διαδοχικών ακεραίων είναι πολλαπλάσιο του 4 Από εφαρµογή γνωρίζουµε ότι το γινόµενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι άρτιος. Άρα, το γινόµενο, έστω Γ, τεσσάρων διαδοχικών ακεραίων είναι Γ = 2µ 2λ = 4(µλ)
5 5 4. είξτε ότι ο αριθµός λ(λ 2 + 2), λ Z, είναι πολλαπλάσιο του 3. Θα είναι λ = 3κ ή λ = 3κ + 1 ή λ = 3κ + 2, κ Z Όταν λ = 3κ λ(λ 2 + 2) = 3κ[(3κ) 2 + 2] = = 3κ(9κ 2 + 2) (θέτουµε κ(9κ 2 + 2) = λ, λ Z ) = 3λ πολλαπλάσιο του 3. Όταν λ = 3κ + 1 λ(λ 2 + 2) = (3κ + 1)[(3κ + 1) 2 + 2] = (3κ + 1)(9κ 2 + 6κ ) = (3κ + 1)(9κ 2 + 6κ + 3) = 3(3κ + 1)(3κ 2 + 2κ + 1) = 3µ πολλαπλάσιο του 3 Όταν λ = 3κ + 2 Οµοίως 5. Αν α είναι άρτιος, δείξτε ότι (α +1) 2 1 = 4λ, λ Z ( 1) ( 3) 2 2 i α + α+ + α+ α+ = 3 µ, µ Z 4 α άρτιος α = 2ν, ν Z (α +1) 2 1 = ( 2ν + 1) 2 1 = 4ν 2 + 4ν = 4(ν 2 + ν) = 4λ, όπου λ = ν 2 + ν Z i α + ( α+ 1) + ( α+ 3) 2α+ 2 (2 ν ) + (2ν+ 1) + (2ν+ 3) 2(2 ν ) + 2 = ν + 4ν + 4 ν ν + 12 ν + 9 4ν+ 2 = ν + 12 ν + 12 = 4 = 3ν 2 + 3ν + 3 = 3(ν 2 + ν +1) = 3µ, όπου µ = ν 2 + ν +1 Z
6 6 6. Θεωρούµε τους ακέραιους α της µορφής α = 6κ + υ µε 0 υ < 6 και κ, υ Z. Αν οι α δεν είναι πολλαπλάσια του 2 ή του 3, να δείξετε ότι α = 6κ + 1 ή α = 6κ + 5, όπου κ Z. i α 2 = 3µ + 1, όπου µ Z. ii Η διαφορά των τετραγώνων δύο ακεραίων από τους α είναι πολλαπλάσιο του 3. Θα είναι α = 6κ ή α = 6κ + 1 ή α = 6κ + 2 ή α = 6κ + 3 ή α = 6κ + 4 ή α = 6κ + 5 και επειδή δεν είναι πολλαπλάσια του 2 ή του 3, θα είναι α = 6κ + 1 ή α = 6κ + 5 i Όταν α = 6κ + 1 α 2 = (6κ + 1) 2 = 36κ κ + 1 Όταν α = 6κ + 5 ii 2 α1 α 2 2 = 3(12κ 2 + 4κ) + 1 = 3µ + 1 α 2 = (6κ + 5) 2 = 36κ κ + 25 = 36κ κ = 3(12κ κ + 8) + 1 = 3ν + 1 (i = 3µ + 1 3ν 1 = 3(µ ν) = 3λ = πολ3 7. Αν 7 (α + 5) και 7 (40 β), να αποδείξετε ότι 7 (α + β) 7 (α + 5) α + 5 = 7κ, κ Z 7 (40 β) 40 β = 7λ, λ Z Αφαιρώντας κατά µέλη έχουµε : α β = 7κ 7λ α + β = κ 7λ α + β = 7(5 + κ λ) 7 α + β
7 7 8. Για κάθε ν 3, δείξτε ότι ο αριθµός A ν = 2 2ν + 1 9ν 2 + 3ν 2 είναι πολ54 Για ν = 3 είναι A 3 = = = = 54 = 1 54 = πολ54 εχόµαστε ότι το αποδεικτέο ισχύει για ν = κ, δηλαδή A κ = 2 2κ + 1 9κ 2 + 3κ 2 = πολ54 = 54λ, λ Z (1) Θα αποδείξουµε ότι ισχύει για ν = κ + 1, δηλαδή ότι ο A κ+ 1 = 2 2(κ+1) + 1 9(κ+1) 2 + 3(κ+1) 2 Είναι A κ+ 1 = 2 2(κ+1) + 1 9(κ + 1) 2 + 3(κ + 1) 2 = 2 2κ (κ + 1) 2 + 3(κ + 1) 2 είναι πολ54 = 2 2κ (κ + 1) 2 + 3(κ + 1) 2 (2) Όµως η (1) 2 2κ + 1 9κ 2 + 3κ 2 = 54λ + 9κ 2 3κ + 2 Η (2) γίνεται A κ+ 1 = 2 2(κ+1) + 1 9(κ + 1) 2 + 3(κ + 1) 2 = 4(54λ + 9κ 2 3κ + 2) 9(κ + 1) 2 + 3(κ + 1) 2 = 4 54λ + 36κ 2 12κ + 8 9κ 2 18κ 9 + 3κ = 4 54λ + 27κ 2 27κ = 4 54λ + 27κ(κ 1) (3) Όµως ο κ(κ 1) είναι γινόµενο δύο διαδοχικών ακεραίων, οπότε κ(κ 1) = 2µ Η (3) γίνεται A κ+ 1 = 4 54λ ρ = 54( 4λ + ρ) = = 54 µ = πολ54
8 8 9. ίνονται οι αριθµοί α = κ 1 και β = 5κ + 6, κ Z. Να δείξετε ότι Aν ο α είναι άρτιος, τότε ο β είναι περιττός i O αριθµός 3β 4α είναι πολλαπλάσιο του 11. Έστω α = 2λ, λ Z τότε 2λ = κ 1 κ = 2λ + 1. Οπότε β = 5 (2λ + 1) + 6 = 10λ + 11 i 3β 4α = 3(5κ + 6) 4(κ 1) = 15κ κ + 4 = 11κ + 22 = 10λ = 2(5λ + 5) + 1 = 2µ + 1, όπου µ = 5λ + 5 Z = 11(κ + 2) = 11ρ, όπου ρ = κ + 2 Z 10. Αν α ακέραιος, β =3α + 4 και γ = 4α + 5, δείξτε ότι ο β γ (β + γ) είναι περιττός. β γ (β + γ) = (3α + 4)( 4α + 5) ( 3α α + 5 ) = 12α α + 16α α 9 = 12α α + 11 =12α α = 2(6α α + 5) + 1 = 2µ + 1= περιττός, όπου µ= 6α α + 5 Z
9 9 11. ίνεται ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης των ακεραίων α και β µε το 5 είναι 2. Να αποδείξετε ότι ο αριθµός α 2 + β είναι πολλαπλάσιο του 5 i Nα βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 8α + 9β µε το 5. Από την υπόθεση έχουµε α = 5π + 2 και β = 5κ + 2, π, κ Z. α 2 + β = 25π π κ κ = 25π π + 25κ κ 1995 = = 5(5π 2 + 4π + 5κ 2 + 4κ 399) = 5ν = πολ5 i 8α + 9β = 8(5π + 2) + 9(5κ + 2) Όπου ν = 5π 2 + 4π + 5κ 2 + 4κ 399 Z = 40π κ + 18 = 40π + 45κ + 34 = = 40π + 45κ = = 5(8π + 9κ + 6) + 4 = 5γ + 4 Άρα το υπόλοιπο της διαίρεσης (8α + 9β) : 5 είναι υ = Αν 3µ + 6 = πολα και 5µ + 7 = πολα µε α Z, να βρείτε τις πιθανές τιµές του α 3µ + 6 = πολα και 5µ + 7 = πολα α (3µ + 6) και α (5µ + 7) α 5(3µ + 6) και α 3(5µ + 7) α (15µ + 30) και α ( 15µ +21) α [(15µ +30) (15µ + 21)] α (15µ µ 21) α 9 οπότε α = ±1 ή α = ± 3 ή α = ± 9
10 Αν οι ακέραιοι α + 3, 30 β διαιρούνται µε το 9, να αποδείξετε ότι και ο α + β διαιρείται µε το 9. 9 α + 3 α + 3 = 9κ α = 9κ β 30 β = 9λ β = 30 9λ Οπότε α + β = 9κ 9λ + 27 = 9(κ λ + 3) = 9µ 14. είξτε ότι : 19 (8α + 11β) τότε και µόνο τότε 19 (11α + 8β) 19 (8α + 11β) 8α + 11β = 19ρ 19α 11α + 19β 8β = 19ρ 11α 8β = 19ρ 19α 19β 11α + 8β = 19α + 19β 19ρ 11α + 8β = 19 (α + β ρ) 19 11α + 8β 15. Αν α, β Z και α (α 2 + αβ + β 2 ), δείξτε ότι α β 2 α α 2 και α αβ α (α 2 + αβ) Και επειδή α (α 2 + αβ + β 2 ), θα διαιρεί και τη διαφορά τους β 2
11 Να βρείτε τον ν N * ώστε (ν + 2) (ν 2 + 4) Ισχύει ν = ν = (ν +2) (ν 2) + 8 Εποµένως (ν + 2) (ν 2 + 4) (ν + 2) (ν +2) (ν 2) + 8 Αλλά ν > 0 ν + 2 > 2 Η (1) γίνεται ν + 2 = 4 ή ν + 2 = 8 ν = 2 ή ν = 6 (ν + 2) 8 ν + 2 διαιρέτης του 8 ν + 2 = ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 (1) 17. Αν α, β, γ, δ, κ Z και κ (αβ 1), και κ (αδ + γ), δείξτε ότι κ (βγ + δ) κ (αβ 1) και κ (αδ + γ) κ δ(αβ 1) και κ β(αδ + γ) κ (αβδ δ) και κ (αβδ + βγ) κ [(αβδ + βγ) (αβδ δ)] κ ( βγ + δ) 18. Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι οι οποίοι διαιρούµενοι µε το 4 δίνουν πηλίκο διπλάσιο του υπόλοιπου Έστω x ζητούµενος ακέραιος. Τότε x = 4π + υ, µε υ = 0, 1, 2, 3 Αλλά π = 2υ Η τιµή x = 0 απορρίπτεται αφού x > 0 Άρα x = 4 2υ + υ x = 9υ µε υ = 0, 1, 2, 3 x = 0 ή 9 ή 18 ή 27
12 είξτε ότι 3 (ν 3 + 2ν), όπου ν N * Θα είναι ν = 3λ ή ν = 3λ + 1 ή ν = 3λ + 2 Όταν ν = 3λ ν 3 + 2ν = 27λ 3 + 6λ = 3 ( 9λ 3 + 2λ) Όταν ν = 3λ + 1 ν 3 + 2ν = ( 3λ + 1) (3λ + 1) = (3λ +1)[(3λ +1) 2 + 2] = (3λ + 1)( 9λ 2 + 6λ + 3) Οµοίως όταν ν = 3λ + 2 = 3(3λ + 1)( 3λ 2 + 2λ + 1) = 3π
13 Αν α Z, δείξτε ότι 2 (α 4 + α) i α 2 = 5κ ή α 2 = 5κ ± 1 Όταν α = 2κ α 4 + α = α(α 3 + 1) = 2κ(8κ 3 + 1) = 2µ Όταν α = 2κ + 1 i α 4 + α = α(α 3 + 1) = (2κ + 1)[(2κ + 1) 3 + 1] = ( 2κ + 1) (8κ κ 2 +6κ ) = ( 2κ + 1) (8κ κ 2 +6κ + 2) = = (2κ + 1) 2 (4κ 3 + 6κ 2 +3κ + 1) = 2ν Θα είναι α = 5π ή α = 5π + 1 ή α = 5π + 2 ή α = 5π + 3 ή α = 5π + 4 Όταν α = 5π α 2 = 25 π 2 = 5(5π 2 ) = 5κ Όταν α = 5π + 1 α 2 = 25 π π + 1 = 5(5π 2 +2π) + 1 = 5κ + 1 Όταν α = 5π + 2 α 2 = 25π 2 +20π + 4 = 25π π Οµοίως για τις υπόλοιπες µορφές = 5(5π 2 + 4π + 1) 1= 5κ Ο 2004, όταν διαιρεθεί µε τον θετικό ακέραιο α, δίνει πηλίκο 44 και υπόλοιπο υ. Να βρείτε τους α και υ. Είναι 2004 = 44α + υ και 0 υ < α υ = α (1) και α < α (2) (2) α και α < α 44α 2004 και 2004 < 45α α ,5 και α > Η (1) δίνει υ = = 24 44,5 α = 45
14 Αν 3λ 2κ = 5 όπου κ, λ Z, να βρείτε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων κ : 3 και λ : 2 3λ 2κ = 5 2κ = 3λ 5 κ = 3 λ 5 Z (1) 2 Θα είναι λ = 2ν ή λ = 2ν + 1 Για λ = 2ν, η (1) κ = 3 2 ν 5 6ν = = 3ν Z 3(2ν+ 1) 5 Για λ = 2ν + 1, η (1) κ = 2 = 6 ν ν 2 = = (3ν 1) Z 2 2 Άρα λ = 2ν + 1, οπότε το υπόλοιπο της διαίρεσης λ : 2 είναι υ = 1 Για λ = 2ν + 1, η 3λ 2κ = 5 6ν + 3 2κ = 5 2κ = 6ν 2 κ = 3ν 1 κ = 3ν κ = 3(ν 1) + 2 κ = 3ν + 2 Άρα το υπόλοιπο της διαίρεσης κ : 3 είναι ίσο µε υ = Να δείξετε ότι ο αριθµός 2004 δεν µπορεί να γραφεί µε µορφή αθροίσµατος 399 προσθετέων καθένας από τους οποίους είναι ίσος µε 5 ή 7 ή 11. Έστω ότι µπορεί να γραφεί και x είναι τα 5-αρια, y τα 7-αρια και z τα 11-αρια Τότε x + y + z = 399 (1) και 5x + 7y + 11z = 2004 (2) (1) x = 399 y z Τότε η (2) 5(399 y z ) + 7y + 11z = y + 6z = 9 2(y + 3z) = 9 Πράγµα άτοπο αφού το πρώτο µέλος είναι άρτιος ενώ το δεύτερο περιττός.
15 Έστω οι θετικοί ακέραιοι α, β, γ για τους οποίους ισχύουν α < 4, β < 3 και α + 4β + 12γ = 82 Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης 82 : 4 i Να δείξετε ότι α = 2 ii Να βρείτε τις τιµές των β και γ α + 4β + 12γ = = 4(β + 3γ) + α µε 0 < α < 4 αυτό σηµαίνει ότι η διαίρεση 82: 4 έχει πηλίκο β + 3γ και υπόλοιπο α ii ) Ισχύει 82 = και επειδή το πηλίκο και το υπόλοιπο µιας διαίρεσης είναι µοναδικά, µε βάση το ( θα είναι β + 3γ = 20 και α = 2 ii Αφού 20 = 3γ + β και β < 3 αυτό σηµαίνει ότι η διαίρεση 20 : 3 έχει πηλίκο γ και υπόλοιπο β Όµως 20 = Πάλι λόγω της µοναδικότητας πηλίκου και υπόλοιπου, έχουµε γ = 6 και β = ίνεται ο ακέραιος αριθµός α = 12κ 5, όπου κ Z Να αποδείξετε ότι ο α είναι περιττός i Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του α δια του 4 ii Να αποδείξετε ότι ο αριθµός Α = (α )(α 2 1) είναι πολλαπλάσιο του 64 α = 12κ 5 = 12κ 6 + 1= 2(6κ 3) + 1 = 2ν + 1, οπότε α περιττός i α = 12κ = 4(3κ 2) + 3 = 4π + 3 υπόλοιπο 3 ii Επειδή α = περιττός θα είναι α 2 = 8λ + 1, λ Z Άρα Α = ( 8λ )( 8λ+ 1 1) = = ( 8λ + 16) 8λ = 8λ 8(λ + 2) = 64λ(λ + 2) = πολ64
16 Αν ρ, λ ακέραιοι µε 4ρ + 1 = 3λ, να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ρ : 3 είναι 2. Θα είναι ρ = 3κ ή ρ = 3κ + 1 ή ρ = 3κ + 2 Για ρ = 3κ, η 4ρ + 1 = 3λ 4 3κ + 1 = 3λ 1 = 3λ 12κ 1 = 3(λ 4κ) 3 1 που είναι άτοπο Για ρ = 3κ + 1, η 4ρ + 1 = 3λ 4 (3κ + 1) + 1 = 3λ 12κ = 3λ 5 = 3λ 12κ 5 = 3(λ 4κ) 3 5 που είναι άτοπο Άρα ρ = 3κ + 2, οπότε το υπόλοιπο της διαίρεσης ρ : 3 είναι 2.
17 είξτε ότι ν(ν 2 + 5) = πολ3 για κάθε ν N * i Αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν x, y N * ώστε x 3 y 3 = (x y) Ο ν µπορεί να πάρει τη µορφή ν = 3κ ή ν = 3κ + 1 ή ν = 3κ + 2, κ N * Αν ν = 3κ τότε ν(ν 2 + 5) = 3κ (9κ 2 + 5) = πολ3 Αν ν = 3κ + 1 τότε ν(ν 2 + 5) = ( 3κ + 1) ( 9κ 2 + 6κ ) = (3κ + 1) ( 9κ 2 + 6κ + 6) = (3κ + 1) 3( 3κ 2 + 2κ + 2) = πολ3, Αν ν = 3κ + 2 τότε ν(ν 2 + 5) = ( 3κ + 2) ( 9κ κ ) i = ( 3κ + 2) ( 9κ κ + 9) = (3κ + 2) 3( 3κ 2 + 4κ + 3) = πολ3 Έστω ότι υπάρχουν x, y N * ώστε x 3 y 3 = (x y) x 3 y 3 = x + 5y x 3 y 3 + 5x 5y = 1999 x( x ) y(y 2 + 5) = κ 3λ = (κ λ) = που είναι άτοπο. Οπότε δεν υπάρχουν x, y N * ώστε x 3 y 3 = (x y) (
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 4. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤH Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εάν ζητείται να δειχθεί ισότητα ή ανίσωση
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
13 ιαιρετότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Έστω α,β δυο ακέραιοι µε β 0. Θα λέµε ότι ο β διαιρεί τον α και θα γράφουµε β/α όταν η διαίρεση του α µε τον β είναι τέλεια. ηλαδή όταν υπάρχει ακέραιος
Διαβάστε περισσότερα4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,
Διαβάστε περισσότεραΗ Ευκλείδεια διαίρεση
1 Η Ευκλείδεια διαίρεση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Αποδεικνύεται ότι για οποιουσδήποτε ακέραιους α και β, β 0, ισχύει το παρακάτω θεώρηµα και διατυπώνεται ως εξής : Αν α και β ακέραιοι µε β
Διαβάστε περισσότερα4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω τα διανύσµατα u = ( 6, 8) και v = (9, 1) είξτε ότι είναι αντίρροπα Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει ηµιάξονες τα µέτρα των διανυσµάτων, κέντρο την αρχή
Διαβάστε περισσότερα(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ
ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε
Διαβάστε περισσότερα1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
1 1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ταυτότητα Ευκλείδειας διαίρεσης : Για δύο οποιαδήποτε πολυώνυµα (x) και δ(x) µε δ(x) µπορούµε να βρούµε δύο άλλα πολυώνυµα π(x) και υ(x) τέτοια ώστε να ισχύει (x) = δ(x)π(x)
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα :
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα : Βήμα 1 ο : Δείχνουμε ότι η πρόταση Ρ( ν ) είναι αληθής για το μικρότερο φυσικό για τον οποίο ζητείται
Διαβάστε περισσότερα1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις πολλαπλής επιλογής
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Η µέθοδος της µαθηµατικής επαγωγής χρησιµοποιείται για την απόδειξη προτάσεων Ρ (ν), όταν Α. ν R Β. ν Q Γ. ν R*. ν N Ε. κανένα από τα προηγούµενα 2. * Για τους ακεραίους
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 234 Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Απαντήσεις στις ερωτήσεις «Σωστό - Λάθος» 1. Λ 17. Σ 32. Σ 47. Σ 62. Σ 2. Σ 18. Σ 33. Λ 48. Λ 63. Σ 3. Λ 19. Λ 34. Σ 49. Σ 64. Λ 4.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Η ιδιότητα α+ β = β+ α λέγεται.. 2. Η ιδιότητα α ( β γ) ( ) + + = α+ β + γ λέγεται. 3. Ο αριθμός 0 είναι το..της πρόσθεσης φυσικών αριθμών αφού ισχύει:
Διαβάστε περισσότεραΠολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν
Διαβάστε περισσότερα1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.
Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας
Διαβάστε περισσότερα9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων
4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους
οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Α Μπεληγιάννης - Σ Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuogr/abelga/numbertheory/nthtml Τετάρτη 10 Απριλίου 2013 Ασκηση 1 Θεωρούµε τις αριθµητικές
Διαβάστε περισσότεραA N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)
Διαβάστε περισσότερα4.4 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ - ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ
158 44 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ - ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Έστω α, β δύο ακέραιοι Ένας ακέραιος δ λέγεται κοινός διαιρέτης των α και β, όταν είναι διαιρέτης και του α και του
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την
Διαβάστε περισσότερα(x) = δ(x) π(x) + υ(x)
Μάθηµα 12 Κεφάλαιο 4ο: Πολυώνυµα Πολυωνυµικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες: Α. ιαίρεση Πολυωνύµων Β. Σχήµα Horner Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης Αν ( χ), δ ( χ) δύο πολυώνυµα µε δ ( χ) 0 και βαθµούς
Διαβάστε περισσότεραΔιάταξη Πραγματικών Αριθμών. Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: Να είναι άνισοι, δηλαδή:
Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: α=β ή Να είναι άνισοι, δηλαδή: Πρόσθεση πραγματικών αριθμών Αν α, β ομόσημοι
Διαβάστε περισσότεραΔ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και
Διαβάστε περισσότερα1. Να σημειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισμούς :
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 1. Να σημειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισμούς : 1. Αν μια πρόταση Ρ(ν) αληθής για ν = 3 και με την υπόθεση ότι Ρ(ν) είναι αληθής αποδείξουμε ότι και η Ρ(ν+1)
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις
ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει
Διαβάστε περισσότεραf( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )
MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του
Διαβάστε περισσότεραΧαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων
Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Ορισμός Ευκλείδεια διαίρεση ονομάζεται η πράξη κατά την οποία ένας αριθμός
Διαβάστε περισσότερα( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:
( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x
Διαβάστε περισσότερα3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότερα2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο
Διαβάστε περισσότερα1.4 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ
1 4 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ Ισότητα Ευκλείδειας διαίρεσης : Αν, δ φυσικοί αριθµοί µε δ 0, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθµοί π και υ έτσι ώστε να ισχύει = δ π + υ όπου υ < δ Η διαίρεση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότερα5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ
5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://stes.google.com/ste/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΠοιος νοµίζετε ότι θα είναι ο αριθµός των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συµπεράνατε µε µαθηµατική επαγωγή.
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Παρατηρούµε ότι: 1 11 ( + = 1 ) 1+ = ( + 1) 1 3 33 ( + + + = 1 ) Ποιο νοµίζετε ότι θα είναι το άθροισµα 1 + + 3 +... + ν; Αποδείξτε την ισότητα που συµπεράνατε µε επαγωγή.. * Μετράµε
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει
μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,
Διαβάστε περισσότερα4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή
49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ( 1 ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = 3 + 23 + 19 Β = 8 +13 +45-7 Γ = 3 + 0 Α = 3+23 +19 =
Διαβάστε περισσότερα1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή
Διαβάστε περισσότεραΟι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα
Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 7 εκεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Για κάθε
Διαβάστε περισσότερα2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ο κύκλος x + y = 5 και οι εφαπτόµενες σ αυτόν από το σηµείο Μ(0, 0). Αν Α και Β είναι τα σηµεία επαφής, να βρείτε Τις εξισώσεις των εφαπτόµενων Τις συντεταγµένες των
Διαβάστε περισσότερα4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0
Διαβάστε περισσότερα2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Διαβάστε περισσότερα2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
. ιαίρεση Πολυωνύμων 1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η διαίρεση δύο πολυωνύμων στηρίζεται στο παρακάτω θεώρημα: «Για κάθε ζεύγος Δ ( x) και δ ( x) με δ ( x)
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2018
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2018 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 08/12/2018 Ώρα Εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα, αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 12+ 7 = 19 Οι αριθμοί 12 και 7 ονομάζονται ενώ το 19 ονομάζεται.. 3+5 =, 5+3 =...
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία
ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους
Διαβάστε περισσότερα1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι
_ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +
Διαβάστε περισσότεραΦ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότερα. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:
Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω
Διαβάστε περισσότεραΟρισμένες σελίδες του βιβλίου
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των
Διαβάστε περισσότερα2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.
1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες
Διαβάστε περισσότεραΟι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών
Οι Φυσικοί Αριθμοί Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί είναι ποσοτικές έννοιες και για να τους γράψουμε χρησιμοποιούμε τα αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμοί μετρούν συγκεκριμένα πράγματα και φανερώνουν το πλήθος της
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2018 3 η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 3.1 [1 μονάδα] Έστω Α={1,2,3,{1,3},4,{5,6}}. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; i. {5,6} Α vi.
Διαβάστε περισσότεραK. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ονομάζουμε μονώνυμο του x κάθε πραγματικό αριθμό ή κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α είναι πραγμ. αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Π.χ. οι παραστάσεις 2χ 4, -3χ 2, 7 είναι μονώνυμα του
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών
Διαβάστε περισσότερα= u u I, ως διαφορά συζυγών. z + 2. i) R. Λύση: α τρόπος. + z z = . Άρα. x 2 +y 2 +x-2=0. , ως. i) Re(z 2 )= -4, ii) Im(z 2 )=2, iii) Re(1+z 2 )=0.
ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ) Υπολογίστε τους µιγαδικούς, των οποίων το τετράγωνο ισούται µε: α) 6 β) - γ) -7 δ) - ε) α) 6 ± 6 β) - ± ± γ) -7() -7-7 7 0-7 ± ± ±± δ) -() - - - ± m ± m ±m 0 ε) () - ±± 0 0 ) Εάν, µιγαδικοί,
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Ασκήσεις
Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος
Κεφάλαιο 2ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ 2. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό
Διαβάστε περισσότερα4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
4 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων ( και ( με ( 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα ( και (, τέτοια ώστε : ( ( όπου το ( ή είναι το μηδενικό
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Αν α =β, τότε η τιµή της παράστασης κ= α β +β α είναι: ( ) 4 ( Β )0, ( )4 δίνονται. Α, C, ( D ), (Ε) δεν µπορεί να προσδιοριστεί από τις πληροφορίες που. Πόσα στοιχεία του συνόλου { 5,,0,4,6,7}
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 15 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. Εστω n 3 ακέραιος.
Διαβάστε περισσότεραF 5 = (F n, F n+1 ) = 1.
Λύσεις Θεμάτων Θεωρίας Αριθμών 1. (α) Να δειχθεί ότι ο πέμπτος αριθμός της μορφής Fermat, δηλαδή ο F 5 2 25 + 1 διαιρείται από το 641. (β) Εστω F n η ακολουθία των αριθμών Fermat, δηλαδή F n 2 2n + 1,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος
Κεφάλαιο ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης; Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού; Τι ονομάζουμε νιοστή δύναμη του άλφα; Ποια είναι η βάση και ποιος ο εκθέτης; Ποια είναι η προτεραιότητα των πράξεων
Διαβάστε περισσότεραΌνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291
ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΣ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ
Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: ( = g( = + 4 h( = t( = 5 φ( = ln σ( = ln(ln p( = ln m( = λ R λ - λ - k( = ln 4 s( = ηµ. Να εξετάσετε αν για τις παραπάνω συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότερα4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το
Διαβάστε περισσότεραΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999
Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και
Διαβάστε περισσότερα11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;
10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται
Διαβάστε περισσότερα4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου. Αν Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,71 δείξτε ότι Ρ( Α Β) 1,01 Ρ( Α Β) i Το ενδεχόµενο Α Β δεν είναι το κενό. Έχουµε Ρ( Α
Διαβάστε περισσότερα2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ
Διαβάστε περισσότερα2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.
Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν
Διαβάστε περισσότερα2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +
Διαβάστε περισσότεραΠολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...
3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α
Διαβάστε περισσότερα7 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε. (e + 1)dt = x 1
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 η ΕΚΑ Α 6. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε t (e + )dt για κάθε R Για δυνατούς παίκτες i) είξτε ότι e f() + f() ii) είξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την f iii)
Διαβάστε περισσότερα4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή
4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 41 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εισαγωγή Η Θεωρία Αριθμών, δηλαδή η μελέτη των ιδιοτήτων των θετικών ακεραίων, έθεσε από πολύ νωρίς τους μαθηματικούς μπροστά στο εξής πρόβλημα: Κάποια πρόταση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt204/nt204.html htts://sites.google.com/site/maths4eu/home/4
Διαβάστε περισσότεραv Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o α Α Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β Μονάδες 4 Β Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο
Διαβάστε περισσότερα