Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΟΔΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΣΤΟ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΤΕΣΣΑΡΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΑΓΑΜΕΜΝΩΝ Ν. ΜΠΑΛΤΑΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΤΡΑ 2013

2

3 Αφιερώνεται στον παππού μου Αγαμέμνονα

4

5 Η παρούσα διδακτορική διατριβή εγκρίθηκε ομόφωνα από το Γενικό Τμήμα της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών στην συνεδρίαση υπ. αριθ. 7, που έγινε στις ύστερα από τη δημόσια παρουσίαση και εξέταση ενώπιον της επταμελούς εξεταστικής επιτροπής, η οποία έγινε στις Η έγκριση της διατριβής από το Γενικό Τμήμα της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωμών του Συγγραφέα (Ν. 5343/1932,άρθρο 202)

6

7 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΟΔΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΣΤΟ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΤΕΣΣΑΡΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΑΓΑΜΕΜΝΩΝ Ν. ΜΠΑΛΤΑΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΤΡΑ 2013

8

9 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διατριβή αφορά την μελέτη περιοδικών και ασυμπτωτικών λύσεων στο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων. Εκπονήθηκε στον Τομέα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Μηχανικής του Γενικού Τμήματος της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών, υπό την επίβλεψη του Καθηγητή κ. Κ. Παπαδάκη. Τα άλλα δύο μέλη της τριμελούς συμβουλευτικής μου επιτροπής ήταν ο Καθηγητής Σ. Περδίος του Γενικού Τμήματος της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών και ο Επίκουρος Καθηγητής Γ. Βουγιατζής του Τμήματος Φυσικής της Σχολής Θετικών Επιστημών του Αριστοτελίου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Ευχαριστώ από καρδίας τον επιβλέποντα Καθηγητή μου κ. Κ. Παπαδάκη, με τον οποίο η ερευνητική μας συνεργασία ξεκίνησε από το 2009 στα πλαίσια του προγράμματος Κ. Καραθεοδωρή του Πανεπιστημίου Πατρών για την άψογη συνεργασία, την υπόδειξη του θέματος της διατριβής και την συνεχή του καθοδήγηση. Τον ευχαριστώ ιδιαίτερως, για τις πολύτιμες συμβουλές του σε υπολογιστικά και θεωρητικά θέματα της ουράνιας μηχανικής, για την συμπαράσταση και την παιδεια που ακοκόμησα ως φοιτητής και ως άνθρωπος κατά την διάρκεια της μαθητείας κοντά του, καθώς και για την οικονομική υποστήριξη μέσω του ερευνητικού προγράμματος Κ. Καραθεοδωρή. Θερμές ευχαριστίες απευθύνω στον Καθηγητή κ. Σ. Περδίο του Γενικού Τμήματος για την απλόχερη και πολύτιμη βοήθεια του. Τον ευχαριστώ επίσης για την καθοδήγηση και ουσιαστική διαμόρφωση της επιστημονικής μου σκέψης. Ευχαριστώ θερμά τον Επίκουρο Καθηγητή Γ. Βουγιατζή του Τμήματος Φυσικής του Αριστοτελίου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης για την συμβολή του, τις χρήσιμες συζητήσεις που είχαμε στις συναντήσεις μας, καθώς και για το ενδιαφέρον που έδειχνε για την πρόοδο της δουλειάς μου. Ιδιαίτερη αναφορά και ευχαριστίες οφείλω σε όλους τους φίλους μου, που συμπαραστάθηκαν και βοήθησαν κατά την περίοδο της διατριβής μου και στην οικογένεια μου για την αμέριστη υποστήριξη τους. Αγαμέμνων Μπαλταγιάννης Πάτρα, Μάιος 2013

10

11 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων Ιστορική αναδρομή - Το περιορισμένο πρόβλημα των 3 σωμάτων Το περιορισμένο πρόβλημα των 4 σωμάτων Ολοκληρώματα κίνησης Το ολοκλήρωμα Jacobi στο κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα Περιοχές κίνησης - Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας Θέσεις ισορροπίας και ευστάθεια τους Τροχιές - Εξισώσεις πρώτης μεταβολής Εξισώσεις μεταβολών στο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Ευστάθεια περιοδικών λύσεων Διακλαδώσεις περιοδικών λύσεων στο επίπεδο και τον χώρο Η τεχνική Grid Αριθμητικός υπολογισμός οικογενειών περιοδικών λύσεων Για επίπεδες συμμετρικές περιοδικές λύσεις Για επίπεδες ασύμμετρες περιοδικές λύσεις Αριθμητικός υπολογισμός σειρών ασύμμετρων οριζόντια κρίσιμων περιοδικών λύσεων Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Οι εξισώσεις της κίνησης Το ολοκλήρωμα Jacobi στο κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα Εξισώσεις θέσεων των πρωτευόντων σωμάτων Ευστάθεια του συστήματος των τριών πρωτευόντων σωμάτων Ολα τα πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα Λύσεις ισορροπίας Καμπύλες και επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας για την περίπτωση m 1 =m 2 =m Δύο από τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα Λύσεις ισορροπίας Καμπύλες και επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας για m 2 =m 3 = Καμπύλες και επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας για m 2 =m 3 =

12 2 Περιεχόμενα 2.7 Τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν διαφορετικές μάζες Λύσεις ισορροπίας για m 1 m 2 m Καμπύλες και επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας για m 2 =0.01 και m 3 = Καμπύλες και επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας για m 2 =0.42 και m 3 = Συμπεράσματα Γραμμικοποίηση γύρω από τα σημεία ισορροπίας - Ευστάθεια Εισαγωγή Ολα τα πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα Γραμμικοποίηση γύρω από τα συγγραμμικά σημεία ισορροπίας Γραμμικοποίηση γύρω από τα μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας Ευστάθεια των λύσεων ισορροπίας Δυο από τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα Γραμμικοποίηση γύρω από τα συγγραμμικά σημεία ισορροπίας Γραμμικοποίηση γύρω από τα μη-συγγραμμικά σημεία ισορροπίας Ευστάθεια των λύσεων ισορροπίας Τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν διαφορετικές μάζες Γραμμικοποίηση γύρω από τα σημεία ισορροπίας Ευστάθεια των λύσεων ισορροπίας Περιοχές σύγκλισης Συμπεράσματα Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Εξισώσεις κίνησης Περίπτωση τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών Περίπτωση δύο εκ των τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών Περίπτωση τριών άνισων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών ασύμμετρων περιοδικών τροχιών Συμπεράσματα Τρείς ίσες μάζες Δύο ίσες μάζες Τρείς άνισες μάζες Εφαρμογή στο σύστημα Ηλιος - Δίας - Αστεροειδής Εισαγωγή Εξισώσεις Σημεία ισορροπίας - Ευστάθεια

13 Περιεχόμενα Οικογένειες ασύμμετρων απλών περιοδικών τροχιών στο σύστημα Ηλιος - Δίας - Αστεροειδής Κίνηση γύρω από τα σημεία ισορροπίας Ασύμμετρες περιοδικές λύσεις γύρω από τα ευσταθή σημεία ισορροπίας L 6 - L Γύρω από το σημείο ισορροπίας L Γύρω από το σημείο ισορροπίας L Συμπεράσματα Βιβλιογραφία

14 4 Περιεχόμενα

15 Κεφαλαιο 1 Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων 1.1 Ιστορική αναδρομή - Το περιορισμένο πρόβλημα των 3 σωμάτων Το πρόβλημα των τριών σωμάτων ιστορικά απασχόλησε πολλούς επιστήμονες από τον 18 o αιώνα. Οι πιο γνωστές και σημαντικές μελέτες πάνω στο θέμα έγιναν α- πό τους ([43, Euler, 1760]), ([44, Lagrange, 1772]), ([45, Jacobi, 1836]), ([46, Hill G.W., 1878]), ([47, Brown, 1896]) και ([49, Birkhoff,1915]), ([50, Birkhoff,1950]). Οι ερευνητές περιορίζονται στη μελέτη του λιγότερα πολύπλοκου περιορισμένου προβλήματος και στην ποιοτική του μελέτη, διότι αν και οι εξισώσεις έχουν διατυπωθεί από την εποχή του Lagrange, ο ([48, Poincare, 1899]) απέδειξε ότι το πρόβλημα είναι μη ολοκληρώσιμο. Το γενικό πρόβλημα των τριών σωμάτων πραγματεύεται την κίνηση ενός κλειστού συστηματος τριών σωμάτων υπό την επίδραση βαρυτικών Νευτώνιων δυνάμεων. Παρόλο που η λύση του προβλήματος δεν μπορεί να περιγραφεί με τη βοήθεια στοιχειωδών συναρτήσεων μπορούμε να λάβουμε ποιοτικές πληροφορίες και με κατάλληλες μεθόδους και λογισμικό να εξάγουμε αριθμητικά αποτελέσματα. Ξεκινάμε από την απλοποιημένη μορφή του προβλήματος ακολουθώντας την γενική αντιμετώπιση προβλημάτων, όπου πρώτα αναλύουμε και κατανοούμε τις απλές μορφές του και αργότερα εμβαθύνουμε σε όλο και πιο γενικευμένες μορφές. Πέρα από τις ιδιότητες του συνόλου των κινήσεων, η μελέτη του προβλήματος των τριών σωμάτων συνεισφέρει στην κατανόηση και εύρεση λύσεων σε πρακτικές εφαρμογές. Με βάση την υπόθεση του ([48, Poincare, 1899]) ο ([51, Darwin G.H., 1911]) και μετέπειτα ο ([54, Stromgren, 1935]) ξεκίνησαν την ποιοτική μελέτη του χώρου των λύσεων του περιορισμένου προβλήματος. Μετά το 1950 επεκτάθηκε η μελέτη στο 5

16 6 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων γενικό πρόβλημα από τους ([25, Szebehely V., 1967]) και ([83, Szebehely V.,Peters C.F., 1967]) με την εκμετάλευση της ανάπτυξης των υπολογιστών. Οι περιοδικές λύσεις του γενικού προβλήματος μπορούν να προκύψουν από αναλυτική επέκταση λύσεων του περιορισμένου προβλήματος. Αυτό ξεκίνησε από τον ([55, Szebehely V., 1970]) ο οποίος μεταβάλλοντας την μάζα του ενός σώματος, προσδιόρισε δύο σειρές περιοδικών λύσεων του επίπεδου γενικού προβλήματος. Η απόδειξη της συνέχισης των περιοδικών τροχιών από το περιορισμένο στο γενικό πρόβλημα, έγινε από τον ([53, Hadjidemetriou J.D., 1975]) και οι ([59, Hadjidemetriou and Christides, 1975]) και ([62, Bozis and Christides, 1975]) υπολόγισαν οικογένειες περιοδικών τροχιών του γενικού προβλήματος. Το συμπέρασμα είναι ότι για την περιγραφή του χώρου των περιοδικών λύσεων του γενικού προβλήματος μπορούν να αποτελέσουν ως βάση γνωστά αποτελέσματα του περιορισμένου προβλήματος. Σχήμα 1.1: κινήσεις Τριγωνική (Lagrangian) διαμόρφωση τριών σωμάτων σε ελλειπτικές Στην ανάλυση των μοντέρνων δυναμικών συστημάτων είναι πολύ σημαντικές οι περιοδικές τροχιές σε μη ολοκληρώσιμα δυναμικά συστήματα και γι αυτό έχουν μελετηθεί συστηματικά. Το ενδιαφέρον αυτό έγγυται αφενός στην υπόθεση του ([48, Poincare, 1899]), η οποία αποδείχτηκε από τον ([50, Birkhoff,1950]) ότι εντός του συνόλου των λύσεων οι οποίες ειναι φραγμένες στο χώρο τον φάσεων, οι περιοδικές τροχιές είναι πυκνές. Και αφετέρου σύμφωνα με τον ([51, Darwin, 1911]), οι περιοδικές τροχιές βοηθάνε στην ταξινόμηση του συνόλου των τροχιών αφού χωρίζουνε τις διάφορες κατηγορίες τροχιών. Μεγάλη βαρύτητα δίνεται στην μελέτη των κατακόρυφα κρίσιμων επίπεδων περιοδικών τροχιών, οι οποίες είναι περιοδικές τροχιές από τις οποίες ξεκινούν τριδιάστατες

17 1.1. Ιστορική αναδρομή - Το περιορισμένο πρόβλημα των 3 σωμάτων 7 τροχιές χωρίς να χάνεται η περιοδικότητα τους. Η σπουδαιότητα τους είναι το ότι α- ποτελούν σημεία έναρξης του συστηματικού αριθμητικού προσδιορισμού οικογενειών τριδιάστατων περιοδικών τροχιών και συνδέονται με την ευστάθεια τόσο του επίπεδου όσο και του τριδιάστατου προβλήματος. Στο γενικό πρόβλημα των τριών σωμάτων οι ([83, Szebehely V.,Peters C.F., 1967]), ([52, Szebehely V., 1970]), ([57, Standish., 1970]), ([58, Brouke., 1975]) και ([31, Henon. M, 1973]) χρησιμοποιώντας διαφορετικές διατυπώσεις του γενικού προβλήματος, προσδιόρισαν αριθμητικά έναν αριθμό περιοδικών τροχιών. Σχήμα 1.2: Τριγωνική (Lagrangian) διαμόρφωση τριών σωμάτων σε κυκλικές κινήσεις Μελέτες για την εύρεση περιοδικών λύσεων στην περίπτωση του γενικού προβλήματος των τριών σωμάτων έγιναν ανάμεσα σε άλλους και από τους ([63, Robin I.A., Markellos V.V,1979]),([64, Markellos V.V, 1980]), ([68, Tsourouplis., 1983]),([56, Voyatzis G., Kotsialos T. and Hadjidemetriou J.D., 2005]) και ([55, Voyatzis G., Hadjidemetriou J.D., 2006]). Οι ([60, Zagouras C.,Markellos V.V, 1977]), ([69, Michalodimitrakis M., 1978]),([70, Michalodimitrakis M., 1979]), ([61, Markellos V.V, 1977]), ([65, Robin I.A.,Markellos V.V, 1982]) και([71, Papadakis.K.E,Perdios.E, Markellos V.V,1988]), ([76, Perdios E., Διδακτορική διατριβή, 1984]), ([77, Papadakis.K.E, Διδακτορική διατριβή, 1987]) ([72, Papadakis.K.E, Markellos V.V,1992]), ([73, Perdios E., Papadakis.K.E, Markellos V.V,1988]) μελέτησαν και περιοδικές τροχιές του προβλήματος στις τρείς διαστάσεις. Επίσης ο ([66, Markellos V.V, 1981a]), ([67, Markellos V.V., 1981b]) μέσω αριθμητικών μεθόδων έδωσε τις πρώτες αναλυτικές προσεγγιστικές περιοδικές λύσεις γύρω από τα συγγραμμικά σημεία ισορροπίας στις τρείς διαστάσεις καθώς και πλήρεις οικογένειες τέτοιων λύσεων. Επίσης

18 8 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων έκανε συστηματική μελέτη του τρόπου του αριθμητικού προσδιορισμού περιοδικών λύσεων όλων των τύπων συμμετρίας καθώς και σειρές κατακόρυφα κρίσιμων περιοδικών τροχιών. Επίσης οι ([74, Perdios E.,Papadakis.K.E,1997]) και ([82, Perdios E.A., Kalantonis.V.S., 2002])μελέτησαν κατακόρυφα κρίσιμες περιοδικές τροχιές καθώς και ασυμπτωτικές στο γενικό πρόβλημα των τριών σωμάτων. 1.2 Το περιορισμένο πρόβλημα των 4 σωμάτων Η προηγούμενη μελέτη από σημαντικούς επιστήμονες του επίπεδου προβλήματος τριών σωμάτων τα οποία αλληλεπιδρούν με Νευτώνιες δυνάμεις έχει δώσει δύο τελικές μόνιμες κεντρικές διαμορφώσεις, την συγγραμμική (Eulerian) και την τριγωνική (Lagrangian ή Triangular). Μια μόνιμη διαμόρφωση είναι αυτή κατά την οποία ο λόγος των αποστάσεων των πρωτευόντων σωμάτων είναι αμετάβλητος κατά την διάρκεια όλης της κίνησης. Στην περίπτωση της συγγραμμικής διαμόρφωσης τα τρία πρωτεύοντα σώματα βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή, ενώ στην δεύτερη περίπτωση της τριγωνικής τα τρία πρωτεύοντα σώματα βρίσκονται στις κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου. Και οι δύο αυτές διαμορφώσεις καλούνται κεντρικές επειδή τα διανύσματα των επιταχύνσεων και των τριών σωμάτων έχουν κατεύθυνση προς το κέντρο μάζας του συστήματος και το μέτρο του καθενός είναι ανάλογο προς το μέτρο του αντίστοιχου ακτινικού διανύσματος. Ο Lagrange, το 1772, μελέτησε τις κινήσεις τριών σωμάτων των οποίων οι αποστάσεις είναι ίσες μεταξύ τους, ενώ ο Euler επέκτεινε την εργασία και υπολόγισε τις αντίστοιχες λύσεις όταν ο λόγος των αποστάσεων μεταξύ των τριών σωμάτων παρέμενε σταθερός. Μολονότι ο Lagrange πίστευε πως οι τριγωνικές ισόπλευρες λύσεις του δεν είχαν κανένα πρακτικό ενδιαφέρον, αργότερα ανακαλύφθηκε ότι το τρίγωνο Ηλιος - Δίας - Τρωικοί αστεροειδείς ακολουθεί μια τέτοια διαμόρφωση στο ηλιακό μας σύστημα. Οι αστεροειδείς χωρίζονται σε δύο μεγάλες ομάδες, με κάθε μια από αυτές να κινείται κοντά στην περιοχή των σημείων ισορροπίας L 4 και L 5, τα οποία σχηματίζουν γωνία 60 o με τον άξονα Ηλιος - Δίας. Τα ονόματα των αστεροειδών έχουν ως βάση την ελληνική μυθολογια και τον Τρωικό πόλεμο, με αποτέλεσμα η ομάδα των αστεροειδών που βρίσκεται στην περιοχή του σημείου ισορροπίας L 4 να ονομάζεται Greeks με μεγαλύτερο αστεροειδή τον Hector και μικρότερους σε μέγεθος τους Achille, Nestor, Agamemnon, Ulysse, ενώ η ομάδα των αστεροειδών που βρίσκεται στην περιοχή του L 5 ονομάζεται T rojans με μεγαλύτερο αστεροειδή τον P atroclus και μικρότερους σε μέγεθος τους P riam, T roile. Στο πρόβλημα που μελετάμε στην παρούσα διατριβή τα τρία από τα τέσσερα σώματα εκτελούν κυκλική κίνηση γύρω από το κέντρο μάζας τους, σύμφωνα με την λύση του Lagrange, βρίσκονται πάντα στις τρείς κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου και καλούνται πρωτεύοντα, ενώ το τέταρτο σώμα είναι αμελητέας μάζας. Υποθέτουμε ότι η μάζα m 4 είναι αρκετά μικρή ώστε να μην επηρεάζει την κίνηση των μαζών m 1,m 2,m 3

19 1.2. Το περιορισμένο πρόβλημα των 4 σωμάτων 9 Σχήμα 1.3: Περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων - Σύστημα Ηλιος - Δίας - Αστεροειδείς παρά μόνο να δέχεται την βαρυτική επίδραση αυτών. Σε αυτή την περίπτωση το κέντρο μάζας του συστήματος είναι αυτό των m 1,m 2 και m 3. Το πρόβλημα που περιγράφηκε ονομάζεται περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων. Αυτό είναι ένα δυναμικό σύστημα τριών βαθμών ελευθερίας και οι λύσεις του καθορίζουν την κίνηση και την τροχιά κάθε αμελητέας μάζας σώματος που εισέρχεται στο βαρυτικό πεδίο των πρωτευόντων σωμάτων. Αν υποθέσουμε ότι όλη η κίνηση λαμβάνει χώρα σε ένα μονο επίπεδο, αυτό της κίνησης των τριών κύριων σωμάτων m 1,m 2 και m 3 σε αδρανειακό σύστημα έχουμε το επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα και τα τρία σώματα θεωρείται πως έχουν σφαιρική κατανομή μάζας ώστε να συμπεριφέρονται στην Νευτώνεια επίδραση ως υλικά σημεία. Αν υποθέσουμε επιπλέον και ότι τα τρία πρωτεύοντα σώματα κινούνται γύρω από το κοινό τους κέντρο μάζας και διαγράφουν κυκλικές τροχιές, τότε έχουμε το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων. Στο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων με την τριγωνική (Lagrangian) κατανομή έχουν ασχοληθεί, ανάμεσα σε άλλους οι ([15, Moulton F. R., 1900]),([24, Simo C., 1978]), ([1, Alvarez-Ramirez and Vidal, 2009], ([27, Ceccaroni, M., Biggs, J, 2010], ([33, Baltagiannis, A.N., Papadakis, K.E., 2011a],([34, Baltagiannis, A.N., Papadakis, K.E., 2011b] και ([36, Baltagiannis, A.N., Papadakis, K.E., 2013].

20 10 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων 1.3 Ολοκληρώματα κίνησης Στην παρούσα διατριβή χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις που εκφράζουν τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, καθώς και τις εξισώσεις που προκύπτουν από την ολοκλήρωση τους, για να περιγράψουμε την περίπτωση της κίνησης ενός υλικού σημείου. Η γενική διανυσματική συνάρτηση σε καρτεσιανό τρισορθωγώνιο σύστημα είναι : ή αντίστοιχα : m r = F (1.1) mẍ = F x mÿ = F y (1.2) m z = F z οι οποίες ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες : r(t 0 ) = r 0 και ṙ(t 0 ) = ṙ 0 που είναι η αρχική θέση και η αρχική ταχύτητα του σημείου αντίστοιχα. Το πεδίο των δυνάμεων είναι μη συντηρητικό και έχουμε : F = F (r, ṙ, t) ή F x = F x (x, y, z, ẋ, ẏ, ż, t) F y = F y (x, y, z, ẋ, ẏ, ż, t) (1.3) F z = F z (x, y, z, ẋ, ẏ, ż, t) Οι συνιστώσες του διανύσματος θέσης δίνονται από την λύση των εξισώσεων (1.3). Μια γενική παραδοχή στην περίπτωση των φυσικών προβλημάτων είναι πως η λύση r(t) της (1.1) υπάρχει και είναι μοναδική και αναλυτική στην περιοχή που μεταβάλεται το t. Η λύση αυτή τότε μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Taylor ως προς την αρχή t = t 0 : ή r = r 0 + r 0 (t t 0 ) r 0(t t 0 ) x = x 0 + ẋ 0 (t t 0 ) + 1 2ẍ0(t t 0 )

21 1.3. Ολοκληρώματα κίνησης 11 y = y 0 + ẏ 0 (t t 0 ) + 1 2ÿ0(t t 0 ) (1.4) z = z 0 + ż 0 (t t 0 ) z 0(t t 0 ) Μια συνάρτηση της οποίας κάθε τυχαία λύση r(t) για κάθε t έχει μια συγκεκριμένη τιμή, ονομάζεται ολοκλήρωμα της κίνησης : C(r, ṙ, t) = C (1.5) Αυτό σημαίνει ότι διατηρείται σταθερή η τιμή της r(t) κατά το μήκος της τροχιάς. Πρώτο ολοκλήρωμα ονομάζουμε ένα ολοκλήρωμα κίνησης το οποίο περιέχει παραγώγους των μεταβλητών, τάξεως μικρότερης κατά μιας από την τάξη των διαφορικών εξισώσεων. Η ύπαρξη ολοκληρώματων κίνησης ελαττώνει το πλήθος των ανεξάρτητων μεταβλητών, ενώ επίσης χρησιμοποιείται και για τον έλεγχο των αριθμητικών ολοκληρώσεων στην περίπτωση που δεν είναι εφικτή η εύρεση αναλυτικών λύσεων. Στα συντηρητικά συστήματα που μελετάμε ένα πρώτο ολοκλήρωμα είναι αυτό της μηχανικής ενέργειας. Συγκεκριμένα για το περιορισμένο προβλημα των τεσσάρων σωμάτων, οι εξισώσεις κίνησης της τέταρτης αμελητέας μάζας στο αδιάστατο ορθογώνιο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων γράφονται ως εξής ([15, Moulton F. R., 1900]) : ẍ 2ẏ = Ω x = x ÿ 2ẋ = Ω y = y z = Ω z = 3 i=1 3 i=1 3 i=1 m i (x x i ) r 3 i m i (y y i ) r 3 i m i (z z i ) r 3 i (1.6) όπου οι τελείες συμβολίζουν παράγωγο ως προς τον χρόνο, ενώ το δυναμικό Ω εκφράζεται ως : Ω = 1 2 (x2 + y 2 ) + m 1 + m 2 + m 3 (1.7) r 1 r 2 r 3 Επίσης για τις ακτίνες ισχύει : r 2 i = (x x i ) 2 + (y y i ) 2 + (z z i ) 2, i = 1, 2, 3. (1.8) Οι αρχικές εξισώσεις καθώς και μελέτη για τις λύσεις έχει γίνει από τον ([15, Moulton F. R., 1900]. Στην παρούσα μελέτη μας θα θεωρήσουμε το επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα, άρα στις παραπάνω εξισώσεις θα έχουμε : z i =ż= z=0.

22 12 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων 1.4 Το ολοκλήρωμα Jacobi στο κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα Η διατήρηση της ενέργειας και της στροφορμής δύναται να συνδυαστεί σε ορισμένα δυναμικά συστήματα ώστε να λάβουμε ένα ολοκλήρωμα το οποίο συνδέει το τετράγωνο της ταχύτητας με την δυναμική συνάρτηση, όπως απέδειξε ο Jacobi. Το ολοκλήρωμα της ενέργειας για το πρόβλημα μας δίνεται από την εξίσωση : όπου C είναι η σταθερά του Jacobi. ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 = 2Ω C (1.9) 1.5 Περιοχές κίνησης - Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας Το ολοκλήρωμα τύπου Jacobi είναι ένα από τα βασικά ολοκληρώματα κίνησης, τα οποία ανήκουν στην κατηγορία προβλημάτων που χαρακτηρίζονται ως αυτόνομα. Αυτό σημαίνει ότι είναι μια συνάρτηση η οποία διατηρεί σταθερή την τιμή της σε όλη την διάρκεια της κίνησης και χρησιμοποιείται τόσο για τον καθορισμό των περιοχών λύσεων του προβλήματος όσο και για τον έλεγχο της ακρίβειας των αριθμητικών υπολογισμών. Ως καμπύλες μηδενικής ταχύτητας στα προβλήματα δύο βαθμών ελευθερίας, ορίζονται οι καμπύλες οι οποίες χωρίζουν το επίπεδο της κίνησης σε επιτρεπτές και μη επιτρεπτές περιοχές. Αυτές οι καμπύλες προκύπτουν από το ολοκλήρωμα τύπου Jacobi : T = U(x, y) C (1.10) όπου T η κινητική ενέργεια. Για τις οριακές καμπύλες που μελετάμε στην συνέχεια της διατριβής, έχουμε T = 0, οπότε U(x, y) = C (1.11) όπου C η σταθερά του Jacobi. Σε ένα σύστημα αξόνων x, y, C η εξίσωση (1.11) παριστάνει μια επιφάνεια και η τομή αυτής με το επίπεδο C μας δίνει την ισοσταθμική καμπύλη στο επίπεδο (x, y) για μια δεδομένη τιμή C. Αντίστοιχα ορίζονται οι επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας για συστήματα με τρείς βαθμούς ελευθερίας. Οι πιο σημαντικές ιδιότητες των καμπύλων μηδενικής ταχύτητας είναι πως πρόκειται για ισοενεργειακές καμπύλες, ενώ οι δύο

23 1.6. Θέσεις ισορροπίας και ευστάθεια τους 13 κλάδοι μιας καμπύλης τέμνονται μόνο για τιμές του C υπολογισμένες στα σημεία ισορροπίας. Αν δεν υπάρχει καθόλου καμπύλη μηδενικής ταχύτητας για κάποια δεδομένη τιμή της σταθεράς του Jacobi τότε το σώμα έχει την δυνατότητα να κινηθεί σε οποιαδήποτε περιοχή, ενώ αν μια καμπύλη είναι κλειστή με θετική κινητική ενέργεια στο εσωτερικό της T > 0 τότε η κίνηση είναι περατωμένη και η καμπύλη μικραίνει μέχρι να εκφυλιστεί σε ένα σημείο ισορροπίας. 1.6 Θέσεις ισορροπίας και ευστάθεια τους Θέση ισορροπίας ονομάζεται κάθε θέση στην οποία όταν τοποθετήσω το σώμα στην θέση αυτή, έχει ταχύτητα και επιτάχυνση μηδέν. Άρα οι πρώτες και δεύτερες παράγωγοι των συναρτήσεων που χαρακτηρίζουν την κίνηση του είναι ίσες με το μηδέν. Για να βρούμε τις συντεταγμένες των θέσεων ισορροπίας ψάχνουμε τις λύσεις του συστήματος, που περιγράφει την κατάσταση του δυναμικού μας συστήματος. Θέτοντας στις εξισώσεις κινήσεως τις συνθήκες ισορροπίας (ẋ = ẏ = ẍ = ÿ = 0) καταλήγουμε στο παρακάτω σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους : F (x, y) = 0, G(x, y) = 0 (1.12) και από αυτές βρίσκουμε τις ζητούμενες λύσεις. Η κίνηση δηλαδή πραγματοποιείται στο x y επίπεδο. Για την επίλυση τέτοιων συστημάτων καταφεύγουμε σε αριθμητικές μεθόδους. Μια από τις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες σε αυτή τη διατριβή είναι η Newton-Raphson, λόγω της απλότητας και της ακρίβειας της καθώς και της μεγάλης ταχύτητας σύγκλισης. Οι συντεταγμένες των θέσεων ισορροπίας υπολογίζονται από τις λύσεις του συστήματος (1.12), όμως το σύστημα αυτό λόγω της πολυπλοκότητας του, δεν είναι δυνατόν να επιλυθεί παρά μόνο με αριθμητικές μεθόδους. Στην αριθμητική μέθοδο Newton-Raphson θεωρούμε μια προσεγγιστική λύση (x 0, y 0 ) του παραπάνω συστήματος (1.12). Αυτές οι προσεγγιστικές τιμές, μπορούν να βρεθούν από τα διαγράμματα των καμπυλών μηδενικής ταχύτητας. Επειτα αναλύουμε τις εξισώσεις του συστήματος (1.12) σε σειρές Taylor αλλά κρατάμε μόνο τους γραμμικούς όρους: F (x, y) = F (x 0, y 0 ) + (x x 0 ) ϑf (x 0, y 0 ) ϑx G(x, y) = G(x 0, y 0 ) + (x x 0 ) ϑg(x 0, y 0 ) ϑx + (y y 0 ) ϑf (x 0, y 0 ) ϑy + (y y 0 ) ϑg(x 0, y 0 ) ϑy (1.13)

24 14 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων Οι παραπάνω σχέσεις λόγω των (1.12) μετασχηματίζονται ως εξής : ϑf (x 0, y 0 ) ϑx ϑg(x 0, y 0 ) ϑx x + ϑf (x 0, y 0 ) ϑy x + ϑg(x 0, y 0 ) ϑy y = F (x 0, y 0 ) + ϑf (x 0, y 0 ) ϑx y = G(x 0, y 0 ) + ϑg(x 0, y 0 ) ϑx και η λύση αυτού του συστήματος των δύο εξισώσεων είναι : x 0 + ϑf (x 0, y 0 ) y 0 ϑy x 0 + ϑg(x (1.14) 0, y 0 ) y 0 ϑy όπου : x = x 0 F (x 0, y 0 )G y (x 0, y 0 ) G(x 0, y 0 )F y (x 0, y 0 ) J y = y 0 + F (x 0, y 0 )G x (x 0, y 0 ) + G(x 0, y 0 )F x (x 0, y 0 ) J J = ϑg(x 0, y 0 ) ϑf (x 0, y 0 ) ϑy ϑx ϑg(x 0, y 0 ) ϑf (x 0, y 0 ) ϑx ϑy (1.15) 0 (1.16) και F x, F y, G x, G y οι μερικές παράγωγοι. Η παραπάνω διαδικασία συνεχίζεται επαναληπτικά, ώστε να ικανοποιούνται οι (1.12) και για την n οστή προσέγγιση της λύσης έχουμε : x n = x n 1 F (x 0, y 0 )G y (x 0, y 0 ) G(x 0, y 0 )F y (x 0, y 0 ) J y n = y n 1 + F (x 0, y 0 )G x (x 0, y 0 ) G(x 0, y 0 )F x (x 0, y 0 ) J (1.17) Στις παραπάνω εξισώσεις (1.17), η σύγκλιση είναι τετραγωνική και ως κριτήρια σύγκλισης έχουμε τις : x n x n 1 ɛ και y n y n 1 ɛ, όπου ɛ μια πολύ μικρή ποσότητα που ορίζει την ακρίβεια της προσέγγισης. Ευστάθεια θεωρούμε την ικανότητα ενός υλικού σημείου ή συστήματος να διατηρεί σχεδόν απαραμόρφωτες τις ιδιότητες και τις χαρακτηριστικές του τιμές, σε μια χρονική στιγμή, ανεξάρτητα από τις εξωτερικές επιδράσεις ή αλλαγές των παραμέτρων που καθορίζουν την συγκεκριμένη του κατάσταση. Θεωρώντας γραμμικό διαφορικό σύστημα με δύο διαφορικές και δύο μεταβλητές θα έχουμε : dx dt = ax + by, dy dt = cx + dy (1.18) Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι : λ 2 (a + d)λ + (ad bc) = 0 ή λ 2 pλ + q = 0 όπου : p = a + d, q = ad bc και η διακρίνουσα = p 2 4q

25 1.7. Τροχιές - Εξισώσεις πρώτης μεταβολής 15 Από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης μπορούμε να εξάγουμε πολλά συμπεράσματα για τα σημεία ισορροπίας και την ευστάθεια τους. Ετσι έχουμε τις εξής τέσσερις περιπτώσεις : Οι ρίζες λ 1 και λ 2 είναι πραγματικές, άνισες και έχουν το ίδιο πρόσημο,δηλαδή > 0 και q > 0. Σε αυτή την περίπτωση το σημείο ισορροπίας είναι κόμβος και αν οι δύο ρίζες είναι αρνητικές τότε ο κόμβος χαρακτηρίζεται ως ασυμπτωτικά ασταθής, ενώ αν οι δύο ρίζες είναι θετικές ο κόμβος χαρακτηρίζεται ως ασταθής. Οι ρίζες λ 1 και λ 2 είναι πραγματικές, άνισες και έχουν διαφορετικό πρόσημο, δηλαδή > 0 και q < 0. Σε αυτή την περίπτωση το σημείο ισορροπίας είναι σαγματικό σημείο και η ισορροπία του χαρακτηρίζεται ως ασταθής. Οι ρίζες λ 1 και λ 2 είναι καθαρά φανταστικές, δηλαδή p = 0 και q > 0. Σε αυτή την περίπτωση το σημείο ισορροπίας είναι κέντρο και η ισορροπία του χαρακτηρίζεται ως ευσταθής. Οι ρίζες λ 1 και λ 2 είναι συζυγείς μιγαδικές, δηλαδή λ 1,2 = a ± bi και < 0. Σε αυτή την περίπτωση το σημείο ισορροπίας είναι σπείρα και αν η ποσότητα a είναι αρνητική τότε η σπείρα είναι ασυμπτωτικά ευσταθής, ενώ αν η ποσότητα a είναι θετική η σπείρα είναι ασταθής. Γενικά η ευστάθεια ενός δυναμικού συστήματος μελετάται με τη βοήθεια των γραμμικοποιημένων εξισώσεων κίνησης. Αυτές ισχύουν μόνο στην περιοχή των λύσεων, δηλαδή των θέσεων ισορροπίας. Συμπερασματικά μπορούμε να αναφέρουμε πως αν έστω και μια από τις χαρακτηριστικές ρίζες έχει πραγματικό μέρος θετικό, το γραμμικοποιημένο σύστημα χαρακτηρίζεται ως ασταθές, ενώ αν όλες οι χαρακτηριστικές ρίζες έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη, το γραμμικοποιημένο σύστημα χαρακτηρίζεται ως ασυμπτωτικά ευσταθές. Οριακά ευσταθές είναι το γραμμικοποιημένο σύστημα μας μόνο όταν έστω και μια από τις χαρακτηριστικές ρίζες έχει μηδενικό πραγματικό μέρος και όλες οι υπόλοιπες έχουν αρνητικά πραγματικά μέλη. 1.7 Τροχιές - Εξισώσεις πρώτης μεταβολής Σε αυτόνομα δυναμικά συστήματα δύο βαθμών ελευθερίας η κίνηση περιγράφεται από τις εξισώσεις: ẍ 1 = f(x 1, x 2, ẋ 1, ẋ 2 ) ẍ 2 = g(x 1, x 2, ẋ 1, ẋ 2 ) (1.19) Οι εξισώσεις που δίνουν την λύση του συστήματος, αν x 10, x 20, ẋ 10, ẋ 20 είναι οι αρχικές συνθήκες όταν t = 0, θα είναι: x 1 = x 1 (x 10, x 20, ẋ 10, ẋ 20, t) x 2 = x 1 (x 10, x 20, ẋ 10, ẋ 20, t) (1.20)

26 16 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων Αν θεωρήσουμε x 3 = ẋ 1 και x 4 = ẋ 2 έχουμε την δυνατότητα να γράψουμε το σύστημα μας των δύο εξισώσεων με τις δεύτερης τάξεως διαφορικές εξισώσεις, ως ένα σύστημα με τέσσερις διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως : ẋ 1 = F 1 = x 3 ẋ 2 = F 2 = x 4 ẋ 3 = F 3 = f(x 1, x 2, ẋ 1, ẋ 2 ) ẋ 4 = F 4 = g(x 1, x 2, ẋ 1, ẋ 2 ) (1.21) Εστω x i (t) μια λύση του συστήματος η οποία αντιστοιχεί στις παραπάνω αρχικές μας συνθήκες και x i(t) μια άλλη που αντιστοιχεί σε γειτονικές αρχικές συνθήκες, που απέχουν ελάχιστα +h i0, μπορούμε να γράψουμε την λύση μας ως εξής : x i(t) = x i (t) + h i (t), i = 1, 2, 3, 4 (1.22) Επειδή ακριβώς υποθέσαμε γειτονικές αρχικές συνθήκες που απέχουν ελάχιστα (h i0 ), μπορούμε να πούμε πως τα h i στην ουσία αποτελούν μικρές διαταραχές της αρχικής μας λύσης και μπορούμε να έχουμε ένα σύστημα από το οποίο υπολογίζονται οι συναρτήσεις αυτές (h i (t)) ως γραμμική προσέγγιση ως προς τις αρχικές συνθήκες x i0. Φυσικά για να ισχύει αυτό θα πρέπει οι εξισώσεις (1.22) να ικανοποιούν τις εξισώσεις κίνησης (1.21) και έτσι με αντικατάσταση αυτών στις εξισώσεις κίνησης και κρατώντας μόνο τους όρους πρώτης τάξεως ως προς h i από τα αναπτύγματα των σειρών Taylor των F i που προέκυψαν θα έχουμε: ή ẋ i + ḣi = F i (x 1, x 2, x 3, x 4 ) + ϑf i ϑx j h j (1.23) ḣ i = 4 j=1 ϑf i ϑx j h j (1.24) Ολες οι μερικές παράγωγοι στην παραπάνω εξίσωση έχουν υπολογισθεί ως προς την αρχική λύση. Οι εξισώσεις μεταβολών λοιπόν που αντιστοιχούν στην λύση x i (t) δίνονται από το σύστημα (1.24). 1.8 Εξισώσεις μεταβολών στο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Κατά την κίνηση ενός σώματος με αμελητέα μάζα, οι συντεταγμένες των θέσεων και των ταχυτήτων εξαρτώνται μόνο από τις αρχικές συνθήκες και τον χρόνο. Οι εξισώσεις κίνησης του περιορισμένου προβλήματος των τεσσάρων σωμάτων στο αδιάστατο

27 1.8. Εξισώσεις μεταβολών στο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων 17 ορθογώνιο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων,([15, Moulton F. R., 1900]), είναι οι εξης: ẍ 2ẏ = Ω x = x ÿ 2ẋ = Ω y = y z = Ω z = 3 i=1 3 i=1 3 i=1 m i (x x i ) r 3 i m i (y y i ) r 3 i m i (z z i ) r 3 i (1.25) όπου οι τελείες συμβολίζουν παράγωγο ως προς τον χρόνο, ενώ το δυναμικό Ω εκφράζεται ως : Ω = 1 2 (x2 + y 2 ) + m 1 r 1 + m 2 r 2 + m 3 r 3 (1.26) και για τις αποστάσεις ισχύει : r 2 i = (x x i ) 2 + (y y i ) 2 + (z z i ) 2, i = 1, 2, 3. (1.27) Με τον μετασχηματισμό (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x, y, ẋ, ẏ) και εφόσον μελετάμε το επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα (z = ż = 0) οι σχέσεις (1.25) γίνονται ισοδύναμα: ẋ 1 = x 3 ẋ 2 = x 4 ẋ 3 = f(x 1, x 2, ẋ 1, ẋ 2 ) = 2x 4 + ϑω ϑx 1 ẋ 4 = g(x 1, x 2, ẋ 1, ẋ 2 ) = 2x 3 + ϑω ϑx 2 (1.28) Αυτές οι εξισώσεις (1.28) μπορούν συνοπτικά να δοθούν από την εξίσωση : dx i dt = f i(x 1, x 2, x 3, x 4 ) (1.29) όπου f i ορίζονται τα δεύτερα μέλη των εξισώσεων (1.28). Μετά την παραγώγισή τους ως προς τις αρχικές συνθήκες x 0j με j = 1, 2, 3, 4, προκύπτουν οι εξισώσεις : d dt U ij = 4 k=1 ϑf i ϑx k U kj, (1.30)

28 18 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων με i, j = 1, 2, 3, 4 Εξισώσεις μεταβολών πρώτης τάξης ονομάζονται οι εξισώσεις (1.30) που αφορούν τις παραγώγους : U ij = ϑx i ϑx 0j (1.31) Σε μορφή πινάκων μπορούμε να γράψουμε τις παραπάνω σχέσεις ως εξής : όπου : με i, j = 1, 2, 3, 4. dv dt Για το πρόβλημα που μελετάμε, θέτοντας ϑf i = f ij και ϑx j V είναι οι : f 11 f 12 f 13 f 14 P = f 21 f 22 f 23 f 24 f 31 f 32 f 33 f 34 f 41 f 42 f 43 f 44 V = = PV (1.32) P = P(x) = ϑf i ϑx j V = V(x 0, t) = ϑx (1.33) i ϑx 0j V 11 V 12 V 13 V 14 V 21 V 22 V 23 V 24 V 31 V 32 V 33 V 34 V 41 V 42 V 43 V 44 ϑx i ϑx 0j = V ij οι πίνακες P και (1.34) (1.35) με τα στοιχεία του πίνακα (1.35) να είναι στην ουσία οι μερικές παράγωγοι της λύσης x. Ο πίνακας V δίνει πληροφορίες που έχουν σχέση με το διανυσματικό πεδίο της λύσης και ονομάζεται Ιακωβιανός πίνακας. Άρα εξισώσεις μεταβολής πρώτης τάξης ονομάζονται οι εξισώσεις (1.30) και ο πίνακας V = V(x 0, t) είναι ο ιακωβιανός πίνακας της λύσης που αντιστοιχεί στο διάνυσμα αρχικών συνθηκών x 0 και έχει μοναδιαία ορίζουσα για κάθε τιμή του χρόνου t. Η ιδιότητα αυτή χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της ολοκλήρωσης των εξισώσεων μεταβολών. Οι εξισώσεις μεταβολών ολοκληρώνονται αριθμητικά ταυτόχρονα με τις εξισώσεις της κίνησης και ως αρχικές συνθήκες παίρνουμε V 0 = V(x 0, 0) = I 4x4 Τα στοιχεία του πίνακα (1.34) υπολογίζονται ως εξής : ϑf 1 ϑx 1 = ϑx 3 ϑx 1 = 0, ϑf 1 ϑx 2 = ϑx 3 ϑx 2 = 0

29 1.8. Εξισώσεις μεταβολών στο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων 19 ϑf 1 ϑx 3 = ϑx 3 ϑx 3 = 1, ϑf 2 ϑx 1 = ϑx 4 ϑx 1 = 0, ϑf 2 ϑx 3 = ϑx 4 ϑx 3 = 0, ϑf 1 ϑx 4 = ϑx 3 ϑx 4 = 0 ϑf 2 ϑx 2 = ϑx 4 ϑx 2 = 0 ϑf 2 ϑx 4 = ϑx 4 ϑx 4 = 1 ϑf 3 = ϑ(2x 4 + ϑω = 1 m 1 ϑx 1 ϑx 1 (r 1 ) +3m 1(x x 1 ) 2 m 2 3 (r 1 ) 5 (r 2 ) +3m 2(x x 2 ) 2 m 3 3 (r 2 ) 5 (r 3 ) +3m 3(x x 3 ) 2 3 (r 3 ) 5 ϑx 1 ) ϑf 3 = ϑ(2x 4 + ϑω = 3x 2 ( m 1(x x 1 ) 2 + m 2(x x 2 ) 2 + m 3(x x 3 ) 2 ) ϑx 2 ϑx 2 (r 1 ) 5 (r 2 ) 5 (r 3 ) 5 ϑx 1 ) ϑf 3 = ϑ(2x 4 + ϑω = 0 ϑx 3 ϑx 3 ϑx 1 ) ϑf 3 = ϑ(2x 4 + ϑω = 2 ϑx 4 ϑx 4 ϑf 4 = ϑ( 2x 3 + ϑω = 3x 2 ( m 1(x x 1 ) 2 + m 2(x x 2 ) 2 + m 3(x x 3 ) 2 ) = ϑf 3 ϑx 1 ϑx 1 (r 1 ) 5 (r 2 ) 5 (r 3 ) 5 ϑx 2 ϑx 2 ) ϑx 1 ) ϑf 4 = ϑ( 2x 3 + ϑω = 1 m 1 ϑx 2 ϑx 2 (r 1 ) + 3m 1(x 2 ) 2 m 2 3 (r 1 ) 5 (r 2 ) + 3m 2(x 2 ) 2 m 3 3 (r 2 ) 5 (r 3 ) + 3m 3(x 2 ) 2 3 (r 3 ) 5 ϑx 2 ) ϑf 4 = ϑ( 2x 3 + ϑω ϑx 3 ϑx 3 ϑx 2 ) = 2 Άρα ο πίνακας (1.34) γράφεται : ϑf 4 = ϑ( 2x 3 + ϑω = 0 ϑx 4 ϑx 4 ϑx 2 ) ϑf 3 ϑf P = ϑx 1 ϑx 2 ϑf 4 ϑf ϑx 1 ϑx 2 (1.36)

30 20 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων Η παραπάνω ανάλυση αφορά την περίπτωση της επίπεδης κίνησης, αφού μετά τις αρχικές μας γενικές εξισώσεις 1.25 υποθέσαμε ότι : (z = ż = 0) (1.28). Αν θέλουμε να επεκτείνουμε την παραπάνω μελέτη μας και στο τριδιάστατο πρόβλημα, με τον μετασχηματισμό (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ) = (x, y, z, ẋ, ẏ, ż) θα έχουμε αντίστοιχα το ισοδύναμο σύστημα: f 1 = ẋ 1 = x 4 f 2 = ẋ 2 = x 5 f 3 = ẋ 3 = x 6 f 4 = ẋ 4 = 2x 5 + ϑω ϑx 1 f 5 = ẋ 5 = 2x 4 + ϑω ϑx 2 f 6 = ẋ 6 = ϑω ϑx 3 Αυτές οι εξισώσεις (1.37) μπορούν συνοπτικά να δοθούν από την εξίσωση : (1.37) dx i dt = f i(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ) (1.38) όπου f i ορίζονται τα δεύτερα μέλη των εξισώσεων (1.37). Μετά την παραγώγισή τους ως προς τις αρχικές συνθήκες x 0j με j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, προκύπτουν οι εξισώσεις : d dt U ij = 6 k=1 ϑf i ϑx k U kj, (1.39) με i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Εξισώσεις μεταβολών πρώτης τάξης ονομάζονται οι εξισώσεις (1.39) που αφορούν τις παραγώγους : U ij = ϑx i ϑx 0j (1.40) Σε μορφή πινάκων μπορούμε να γράψουμε τις παραπάνω σχέσεις ως εξής : όπου : dv dt = PV (1.41) P = P(x) = ϑf i ϑx j V = V(x 0, t) = ϑx (1.42) i ϑx 0j

31 1.8. Εξισώσεις μεταβολών στο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων 21 με i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Για το τριδιάστατο πρόβλημα, θέτοντας ϑf i = f ij και ϑx j V είναι οι : P = V = ϑx i ϑx 0j f 11 f 12 f 13 f 14 f 15 f 16 f 21 f 22 f 23 f 24 f 25 f 26 f 31 f 32 f 33 f 34 f 35 f 36 f 41 f 42 f 43 f 44 f 45 f 46 f 51 f 52 f 53 f 54 f 55 f 56 f 61 f 62 f 63 f 64 f 65 f 66 V 11 V 12 V 13 V 14 V 15 V 16 V 21 V 22 V 23 V 24 V 25 V 26 V 31 V 32 V 33 V 34 V 35 V 36 V 41 V 42 V 43 V 44 V 45 V 46 V 51 V 52 V 53 V 54 V 55 V 56 V 61 V 62 V 63 V 64 V 65 V 66 = V ij οι πίνακες P και (1.43) (1.44) Ο πίνακας V είναι τώρα ο Ιακωβιανός πίνακας για τις τρείς διαστάσεις. Οι εξισώσεις μεταβολών που δίνουν τα U 33, U 36, U 66 είναι : U 3j = U 6j, U 6j = ϑf 6 ϑx 3 U 3j (1.45) για j = 3, 6 ενώ τα υπόλοιπα στοιχεία του πίνακα δίνονται από τη σχέση : d dt U ij = 6 k=1 ϑf i ϑx k ϑx k ϑx 0j (1.46) για j = 1, 2, 4, 5 Εξισώσεις μεταβολής πρώτης τάξης, στις τρείς διαστάσεις, ονομάζονται οι εξισώσεις (1.39) και ο πίνακας V = V(x 0, t) είναι ο ιακωβιανός πίνακας της λύσης που αντιστοιχεί στο διάνυσμα αρχικών συνθηκών x 0 και έχει μοναδιαία ορίζουσα για κάθε τιμή του χρόνου t. Η ιδιότητα αυτή χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της ολοκλήρωσης των εξισώσεων μεταβολών. Οι εξισώσεις μεταβολών ολοκληρώνονται αριθμητικά ταυτόχρονα με τις εξισώσεις της κίνησης και ως αρχικές συνθήκες παίρνουμε V 0 = V(x 0, 0) = I 6x6. Οι εξισώσεις πρώτης μεταβολής αποτελούνται από δύο υποσυστήματα, ένα 4x4 που αφορά την επίπεδη κίνηση(μεταβλητές x 1, x 2, x 4, x 5 ) και ένα 2x2 που αφορά την τριδιάστατη μη επίπεδη κίνηση (μεταβλητές x 3, x 6 ).

32 22 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων Επίσης μια πολύ σημαντική ιδιότητα του πίνακα πρώτης μεταβολής, την οποία εκμεταλευόμαστε στην μελέτη μας, είναι πως μπορούμε τόσο στην επίπεδη όσο και στην τριδιάστατη κίνηση να τον υπολογίσουμε το τέλος της περιόδου T όταν είναι γνωστός στην ημιπερίοδο T/2. Για την επίπεδη κίνηση του κυρίως μελετάμε στην παρούσα διατριβή, ο τύπος που μας δίνει τον πίνακα είναι, ([60, Zagouras C., Markellos V.V, 1977]) : V(T ) = MV 1 MV T = LV 1 LV T T 2 2 T 2 2 (1.47) όπου T είναι η περίοδος και M, L οι πίνακες : M = diag(1, 1, 1, 1, 1, 1) και L = diag(1, 1, 1, 1, 1, 1). Για την περίπτωση της τριδιάστατης κίνησης, χρησιμοποιούμε τον πίνακα M όταν έχουμε αξονική συμμετρία και τον πίνακα L όταν έχουμε συμμετρία επιπέδου. Στην επίπεδη κίνηση, αυτές οι δύο συμμετρίες συμπίπτουν, οπότε χρησιμοποιούμε είτε τον M είτε τον L για να βρούμε τον πίνακα των εξισώσεων των μεταβολών από την μισή περίοδο T/2, (1.47). Τέλος, μια ακόμη σημαντική ιδιότητα του πίνακα πρώτης μεταβολής για περιοδικές λύσεις απλής επίπεδης συμμετρίας είναι η συμπλεκτική, που μας δίνει τις παρακάτω γραμμικές σχέσεις μεταξύ των στοιχείων : U 13 = U 64, U 23 = U 65 2U 13 + U 53 = U 62, 2U 23 U 43 = U 61 U 16 = U 34, U 26 = U 35 (1.48) 2U 16 + U 56 = U 32, 2U 26 U 46 = U 31 U 15 = U 24, 2U 14 + U 54 = U 12 2U 25 U 45 = U 21, 2U 15 + U 55 = U 22 (1.49) 2U 24 U 44 = U 11, 2U 11 + U 51 = 2U 22 U 42 και για τις δύο περιπτώσεις συμμετρίας,για επίπεδες τροχίες, οι σχέσεις (1.48) ικανοποιούνται κατά τετριμμένο τρόπο, ενώ ισχύουν και οι μη τετριμμένες σχέσεις (1.49), καθώς και οι : U 33 = U 66 U 33 U 66 U 36 U 63 = 1 (1.50)

33 1.8. Εξισώσεις μεταβολών στο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων 23 Για την τριδιάστατη περίπτωση, τα στοιχεία του πίνακα (1.43) υπολογίζονται αντίστοιχα όπως τα στοιχεία του πίνακα (1.34) για την επίπεδη κίνηση. Ετσι έχουμε: ϑf 1 ϑx 1 = ϑx 4 ϑx 1 = 0, ϑf 1 ϑx 3 = ϑx 4 ϑx 3 = 0, ϑf 1 ϑx 5 = ϑx 4 ϑx 5 = 0, ϑf 2 ϑx 1 = ϑx 5 ϑx 1 = 0, ϑf 2 ϑx 3 = ϑx 5 ϑx 3 = 0, ϑf 2 ϑx 5 = ϑx 5 ϑx 5 = 1, ϑf 3 ϑx 1 = ϑx 6 ϑx 1 = 0, ϑf 3 ϑx 3 = ϑx 6 ϑx 3 = 0, ϑf 3 ϑx 5 = ϑx 6 ϑx 5 = 0, ϑf 1 ϑx 2 = ϑx 4 ϑx 2 = 0 ϑf 1 ϑx 4 = ϑx 4 ϑx 4 = 1 ϑf 1 ϑx 6 = ϑx 4 ϑx 6 = 0 ϑf 2 ϑx 2 = ϑx 5 ϑx 2 = 0 ϑf 2 ϑx 4 = ϑx 5 ϑx 4 = 0 ϑf 2 ϑx 6 = ϑx 5 ϑx 6 = 0 ϑf 3 ϑx 2 = ϑx 6 ϑx 2 = 0 ϑf 3 ϑx 4 = ϑx 6 ϑx 4 = 0 (1.51) ϑf 3 ϑx 6 = ϑx 6 ϑx 6 = 1 ϑf 4 = ϑ(2x 5 + ϑω = 1 m 1 ϑx 1 ϑx 1 (r 1 ) +3m 1(x x 1 ) 2 m 2 3 (r 1 ) 5 (r 2 ) +3m 2(x x 2 ) 2 m 3 3 (r 2 ) 5 (r 3 ) +3m 3(x x 3 ) 2 3 (r 3 ) 5 ϑx 1 ) ϑf 4 = ϑ(2x 5 + ϑω = 3x 2 ( m 1(x x 1 ) 2 + m 2(x x 2 ) 2 + m 3(x x 3 ) 2 ) ϑx 2 ϑx 2 (r 1 ) 5 (r 2 ) 5 (r 3 ) 5 ϑx 1 ) ϑf 4 = ϑ(2x 5 + ϑω = 3x 3 ( m 1(x x 1 ) 2 + m 2(x x 2 ) 2 + m 3(x x 3 ) 2 ) = ϑf 4 ϑx 3 ϑx 3 (r 1 ) 5 (r 2 ) 5 (r 3 ) 5 ϑx 2 ϑx 1 ) ϑf 4 = ϑ(2x 5 + ϑω = 0 ϑx 4 ϑx 4 ϑx 1 )

34 24 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων ϑf 4 = ϑ(2x 5 + ϑω = 2 ϑx 5 ϑx 5 ϑx 1 ) ϑf 4 = ϑ(2x 5 + ϑω = 0 ϑx 6 ϑx 6 ϑx 1 ) ϑf 5 = ϑ( 2x 4 + ϑω = 1 3x 1 ( m 1(x x 1 ) 2 + m 2(x x 2 ) 2 + m 3(x x 3 ) 2 ) ϑx 1 ϑx 1 (r 1 ) 5 (r 2 ) 5 (r 3 ) 5 ϑx 2 ) ϑf 5 = ϑ( 2x 4 + ϑω = 1 m 1 ϑx 2 ϑx 2 (r 1 ) + m 1(x 2 ) 2 m 2 3 (r 1 ) 5 (r 2 ) + 3m 2(x 2 ) 2 3m 3 3 (r 2 ) 5 (r 3 ) + 3m 3(x 2 ) 2 3 (r 3 ) 5 ϑx 2 ) ϑf 5 = ϑ( 2x 4 + ϑω = 3x 3 (z z i )( m 1(y y 1 ) 2 + m 2(y y 2 ) 2 + m 3(y y 3 ) 2 ) ϑx 3 ϑx 3 (r 1 ) 5 (r 2 ) 5 (r 3 ) 5 ϑx 2 ) ϑf 5 = ϑ( 2x 4 + ϑω ϑx 4 ϑx 4 ϑx 2 ) = 2 ϑf 5 = ϑ( 2x 4 + ϑω = 0 ϑx 5 ϑx 5 ϑx 2 ) ϑf 5 = ϑ( 2x 4 + ϑω = 0 ϑx 6 ϑx 6 ϑx 2 ) ϑf 6 ϑx 1 = 3x 3 ( m 1(x x 1 ) 2 (r 1 ) 5 + m 2(x x 2 ) 2 (r 2 ) 5 + m 3(x x 3 ) 2 (r 3 ) 5 ) = ϑf 4 ϑx 3 ϑf 6 ϑx 2 = 3x 3 (z z i )( m 1(y y 1 ) 2 (r 1 ) 5 + m 2(y y 2 ) 2 (r 2 ) 5 + m 3(y y 3 ) 2 (r 3 ) 5 ) = ϑf 5 ϑx 3 ϑf 6 = 1 + m 1 ϑx 3 (r 1 ) 3m 1(z z 1 ) 2 + m 2 3 (r 1 ) 5 (r 2 ) 3m 2(z z 2 ) 2 + m 3 3 (r 2 ) 5 (r 3 ) 3m 3(z z 3 ) 2 3 (r 3 ) 5 ϑf 6 ϑx 4 = 0, ϑf 6 ϑx 5 = 0, ϑf 6 ϑx 6 = 0

35 1.9. Ευστάθεια περιοδικών λύσεων 25 Άρα ο πίνακας (1.43) γράφεται : ϑf 4 ϑf 4 ϑf 4 P = ϑx 1 ϑx 2 ϑx 3 ϑf 5 ϑf 5 ϑf ϑx 1 ϑx 2 ϑx 3 ϑf 6 ϑf 6 ϑf ϑx 1 ϑx 2 ϑx 3 (1.52) 1.9 Ευστάθεια περιοδικών λύσεων Η ευστάθεια και η αστάθεια μιας λύσης προκαλούν τελείως διαφορετική κίνηση γύρω από την περιοχή της περιοδικής τροχιάς και γι αυτό είναι τόσο σημαντικές. Σε ένα δυναμικό σύστημα η ευστάθεια μιας λύσης, με την εξέλιξη του χρόνου, εκφράζει την συμπεριφορά των λύσεων, οι οποίες προκύπτουν από μικρές διαταραχές των αρχικών συνθηκών σε σχέση με την λύση αυτή. Ο ([31, Henon. M, 1973] ανέπτυξε μια μέθοδο ελέγχου της ευστάθειας, για την περίπτωση περιοδικών λύσεων στο Oxy επίπεδο. Κατά τη μέθοδο αυτή ερευνούμε τις τομές της τροχιάς με το επίπεδο x ẋ κατά τη θετική ροή, ẏ > 0, για δεδομένη σταθερή τιμή της σταθεράς του Jacobi, δηλαδή αναφερόμαστε σε ισοενεργειακή ευστάθεια. Επίσης, χρησιμοποιώντας την μέθοδο αυτή μπορούμε να εξάγουμε συμπεράσματα για τις διακλαδώσεις των οικογενειών από άλλες οικογένειες περιοδικών τροχιών. Για να είναι μια τροχιά ευσταθής χρειάζεται η ταυτόχρονη οριζόντια και κατακόρυφη ευστάθεια της. Εφόσον υπάρξει μια διαταραχή των αρχικών συνθηκών και οι διαταραγμένες συνθήκες ορίζουν επίπεδη τροχιά, λέμε ότι υπάρχει οριζόντια ευστάθεια, ενώ ύπαρξη κατακόρυφης ευστάθειας έχουμε όταν μετά από διαταραχή των αρχικών συνθηκών οι διαταραγμένες συνθήκες διαφέρουν ως προς τις αρχικές μόνο στην θέση και την ταχύτητα ως προς τον Oz άξονα. Στον χώρο των φάσεων η ταχύτητα και η θέση ορίζονται από το διάνυσμα x = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ) όπου (x 4 = ẋ 1, x 5 = ẋ 2, x 6 = ẋ 3 ) και για την επίπεδη κίνηση έχουμε την τιμή του ολοκληρώματος : F (x 01, x 02, x 04, x 05 ) = C (1.53) Θεωρούμε τις τομές γειτονικών λύσεων που έχουν αρχικές συνθήκες :

36 26 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων x 0 = (x 01, x 02, x 04, x 05) και ικανοποιούν την σχέση F (x 0) = C με το επίπεδο που ορίζεται αν θέσουμε x 2 = 0 και έχοντας ως αρχική συνθήκη x 02 = 0, οπότε και x 02 = 0 τότε για την n οστή τομή με το επίπεδο θα έχουμε : x 1 = f(x 01, x 04, C) x 4 = g(x 01, x 04, C) Από τον ([30, Henon. M, 1965] έχουμε : [ ] [ ] x1 ah b = h x 4 c h d h [ x01 x 04 ] (1.54) (1.55) όπου οι συντελεστές a h, b h, c h, d h είναι οι συντελεστές οριζόντιας ευστάθειας και ορίζονται ως εξής : a h = ϑf, b h = ϑf, ϑx 01 ϑx 04 c h = ϑg ϑx 01, d h = και x i = x i x 0i, x oi = x 0i x 0i, με i = 1, 4. ϑg (1.56) ϑx 04 Η ιδιότητα της διατήρησης των εμβαδών εκφράζεται από την εξίσωση : a h d h b h c h = 1 (1.57) και οι συνιστώσες του ιδιοδιανύσματος του γραμμικού μετασχηματισμού 1.55 είναι : x 1 = 1 x 2 = λ a h b h = c h λ d h (1.58) Οι ιδιοτιμές λ είναι οι ρίζες της : a h λ c h b h d h λ = 0 (1.59) και λόγω της ιδιότητας (1.57) μετασχηματίζεται στην σχέση : λ 2 (a h + d h )λ + 1 = 0 (1.60) Οπως απέδειξε ο ([30, Henon M., 1965]) μια περιοδική τροχία θεωρείται οριζόντια ευσταθής αν ισχύει s h < 1, όπου : s h = a h + d h 2 (1.61)

37 1.9. Ευστάθεια περιοδικών λύσεων 27 Αυτό συμπεραίνεται εύκολα, αφού σε αυτή την περίπτωση η εξίσωση (1.60) έχει δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες μέτρου ένα. Αν ισχύει s h > 1 αντιθέτως, η εξίσωση (1.60) έχει δύο πραγματικές ρίζες με την μια από αυτές να είναι κατ απόλυτη τιμή μεγαλύτερη της μονάδος, άρα η περιοδική τροχιά είναι ασταθής. Αν αναφερόμαστε σε συμμετρικές περιοδικές τροχιές, ισχύει a h = d h και η σχέση (1.61) μετασχηματίζεται στην: s h = a h = d h (1.62) Μια περιοδική τροχιά χαρακτηρίζεται οριζόντια κρίσιμη αν ισχύει : s h = 1 (1.63) Οι συντελεστές ευστάθειας αναφέρονται σε μια πλήρη τροχιά, όμως είναι εφικτό να υπολογιστούν και στο μισό της τροχιάς, εκμεταλλευόμενοι την συμμετρία του προβλήματος. Αυτό γίνεται όπως απέδειξε ο ([25, Szebehely V., 1967]), κάνοντας τους υπολογισμούς στο ήμισυ της τροχιάς και αλλάζοντας μόνο τα πρόσημα των y, t. Ο ([31, Henon M., 1973]) απέδειξε με την εργασία του πως οι συντελεστές κατακόρυφης ευστάθειας, που συμβολίζονται ως : a v, b v, c v, d v ορίζονται από τις εξισώσεις: a v = ϑx 3 ϑx 03 = U 33 b v = ϑx 3 ϑx 06 = U 36 c v = ϑx 6 ϑx 03 = U 63 d v = ϑx 6 ϑx 06 = U 66 (1.64) Αντίστοιχα με τον ορισμό για την οριζόντια ευστάθεια, τώρα μια περιοδική τροχιά θεωρείται κατακόρυφα ευσταθής αν ισχύει s v < 1, όπου: s v = a v + d v 2 (1.65) Αν αναφερόμαστε σε συμμετρικές περιοδικές τροχιές, ισχύει a v = d v και η σχέση (1.65) μετασχηματίζεται στην: s v = a v = d v (1.66)

38 28 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων Οπως αναφέραμε και προηγουμένως για την οριζόντια ευστάθεια, έτσι και στην προκειμένη περίπτωση οι συντελεστές κατακόρυφης ευστάθειας αναφέρονται σε μια πλήρη τροχιά, όμως είναι εφικτό να υπολογιστούν και στο μισό της τροχιάς t = T 2, εκμεταλλευόμενοι την συμμετρία του προβλήματος. Μια περιοδική τροχιά είναι κατακόρυφα κρίσιμη αν ισχύει : a v = 1 (1.67) Ενας διαφορετικός τρόπος υπολογισμού της ευστάθειας των περιοδικών λύσεων του προβλήματος μας είναι να ακολουθήσουμε την διαδικασία του ([61, Markellos V.V, 1976]), όπου μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις μεταβολών : ( ) d x = dt x 0j 6 k=1 f x k x k x 0j, j = 1,..., 6 (1.68) η αριθμητική ολοκλήρωση των οποίων ταυτόχρονα με την ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης προσδιορίζουν τις μεταβολές:, k, j = 1,..., 6 και από αυτές υπολο- x k x 0j γίζουμε την ευστάθεια των περιοδικών λύσεων με τις αντίστοιχες αρχικές συνθήκες. Με τον τρόπο αυτό υπολογίζουμε τους συντελεστές ευστάθειας με την ακρίβεια της ολοκλήρωσης. Σε αυτή την περίπτωση οι συντελεστές οριζόντιας ευστάθειας δίνονται από τις σχέσεις : a h = ϑx 1 ϑx 10 + ϑx 1 ϑx 50 D D 5 4( ϑx 2 ϑx 10 + ϑx 2 ϑx 50 D 5 1) b h = ϑx 1 ϑx 40 + ϑx 1 ϑx 50 D D 5 4( ϑx 2 ϑx 40 + ϑx 2 ϑx 50 D 5 4) c h = ϑx 4 ϑx 10 + ϑx 4 ϑx 50 D 5 1 f 4(x 0 ) x 50 ( ϑx 2 ϑx 10 + ϑx 2 ϑx 50 D 5 1) d h = ϑx 4 ϑx 40 + ϑx 4 ϑx 50 D 5 4 f 4(x 0 ) x 50 ( ϑx 2 ϑx 40 + ϑx 2 ϑx 50 D 5 4) όπου : D1 5 = 1 ϑc 0, D4 5 = x 0, k σταθερό (k = 1 ή 1). 2kx 50 ϑx 10 x 50 Θα πρέπει όμως το k να ικανοποιεί τις εξής σχέσεις: ϑc 0 ϑx 40 = 2kx 40 ϑc 0 ϑx 50 = 2kx 50 (1.69) (1.70) ϑ 2 C 0 ϑx 2 40 = ϑ2 C 0 ϑx 2 50 = 2k

39 1.9. Ευστάθεια περιοδικών λύσεων 29 Οι συντελεστές αντίστοιχα της κατακόρυφης ευστάθειας θα δίνονται από τις σχέσεις: a v = ϑx 3, b v = ϑx 3 ϑx 30 ϑx 60 c v = ϑx 6, d v = ϑx (1.71) 6 ϑx 30 ϑx 60 Στο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων όμως, όπως αναφέραμε προηγουμένως στην ενότητα 1.4 (1.9), έχουμε: οπότε : C = x x ( m 1 r 1 + m 2 r 2 + m 3 r 3 ) (x x x 2 6), r 2 i = (x 1 x i ) 2 + (x 2 y i ) 2 + x 2 3, i = 1, 2, 3. ( ϑc = 2 x 1 m 1(x x 1 ) + m 2(x x 2 ) ϑx 1 r1 3 r2 3 ϑc = 2x 4, ϑx 4 συνεπώς το k πρέπει να έχει την τιμή k = 1. Η τέταρτη εξίσωση της κίνησης για t = 0 είναι: ϑ 2 C ϑx m ) 3(x x 3 ) r 3 3 ϑc ϑx 5 = 2x 5 = ϑ2 C ϑx 2 5 = 2 (1.72) (1.73) f 4 (x 0 ) = 2x 5 + x 1 m 1 r 3 1 (x 1 x 1 ) m 2 r 3 2 (x 1 x 2 ) m 3 (x r3 3 1 x 3 ) (1.74) Άρα όλες οι ποσότητες πλέον είναι γνωστές οπότε από τις σχέσεις (1.69 ) και (1.71) βρίσκουμε τους συντελεστές οριζόντιας και κατακόρυφης αντίστοιχα ευστάθειας. Τέλος στην περίπτωση που έχουμε συμμετρικές ως προς τον x άξονα περιοδικές λύσεις οι συντελεστές της οριζόντιας ευστάθειας παίρνουν την μορφή: a h = ϑx 1 ϑx 10 + ϑx 1 ϑx 50 D 5 1 b h = ϑx 1 ϑx 40 c h = ϑx 4 + ϑx 4 D1 5 f ( 4(x 0 ) ϑx2 + ϑx ) 2 D1 5 ϑx 10 ϑx 50 x 50 ϑx 10 ϑx 50 d h = ϑx 4 f 4(x 0 ) ϑx 2 ϑx 40 x 50 ϑx 40 (1.75)

40 30 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων 1.10 Διακλαδώσεις περιοδικών λύσεων στο ε- πίπεδο και τον χώρο Οι συντελεστές ευστάθειας του ([31, Henon M., 1973]) μας δείχνουν εάν μια οικογένεια θα διακλαδωθεί και το είδος της διακλάδωσης. Συγκεκριμένα για τις διακλαδώσεις στο επίπεδο εάν υπάρχει μια τροχιά, σε κάποια οικογένεια περιοδικών λύσεων πολλαπλότητας n, με συντελεστή οριζόντιας ευστάθειας: a h = cos(2π k 1 k 2 ) (1.76) όπου k 1 < k 2 είναι ακέραιοι αριθμοί και πρώτοι μεταξύ τους, τότε μπορεί να διακλαδίζεται οικογένεια περιοδικών τροχιών πολλάπλότητας k 2 n, ([32, Markellos, 1974]). Για k 1 = 0 ή k 1 = 1, k 2 = 2, δηλαδή αν a h = ±1 σύμφωνα με τον ([30, Henon M., 1965]) παρουσιάζονται οι παρακάτω 4 περιπτώσεις στις οποίες είναι δυνατή η εξαγωγή συμπερασμάτων αναφορικά στην ύπαρξη και το είδος της διακλαδιζόμενης οικογένειας από τις τιμές των συντελεστών ευστάθειας : I) Αν a h = 1, b h 0, c h = 0 συμβαίνει ένα από τα εξής : Δεν έχουμε διακλάδωση αλλά η χαρακτηριστική καμπύλη (x 01, C) για τα μέλη της οικογένειας παρουσιάζει ακρότατο. Εχουμε διακλάδωση οικογένειας επίπεδων συμμετρικών περιοδικών λύσεων της ίδιας πολλαπλότητας. Εχουμε διακλάδωση οικογένειας επίπεδων συμμετρικών περιοδικών λύσεων της ίδιας πολλαπλότητας και ταυτόχρονα η χαρακτηριστική καμπύλη (x 01, C) για τα μέλη της οικογένειας παρουσιάζει ακρότατο. II) Αν a h = 1, b h = 0, c h 0 τότε : Εχουμε διακλάδωση οικογένειας επίπεδων μη συμμετρικών περιοδικών λύσεων της ίδιας πολλαπλότητας. III) Αν a h = 1, b h 0, c h = 0 τότε : Εχουμε διακλάδωση οικογένειας επίπεδων διπλών συμμετρικών περιοδικών λύσεων διπλάσιας πολλαπλότητας και στην αναπαράσταση της οικογένειας στο επίπεδο (x 01, C) οι κρίσιμες τροχιές βρίσκονται στις κάθετες τομές της καμπύλης με τον άξονα O x1. IV) Αν a h = 1, b h = 0, c h 0 τότε : Εχουμε διακλάδωση οικογένειας επίπεδων συμμετρικών περιοδικών λύσεων διπλάσιας πολλαπλότητας και στην αναπαράσταση της οικογένειας στο επίπεδο (x 01, C) οι κρίσιμες τροχιές βρίσκονται στις μη κάθετες τομές της καμπύλης με τον άξονα O x1. Μελετώντας στην συνέχεια τις διακλαδώσεις στο επίπεδο, μπορούμε να πούμε πως εάν υπάρχει μια τροχιά σε κάποια οικογένεια περιοδικών λύσεων πολλαπλότητας n,

41 1.11. Η τεχνική Grid 31 με συντελεστή κατακόρυφης ευστάθειας : a v = cos(2π k 1 k 2 ) (1.77) όπου k 1 < k 2 είναι ακέραιοι αριθμοί και πρώτοι μεταξύ τους, τότε μπορεί να διακλαδίζεται οικογένεια τριδιάστατων περιοδικών τροχιών πολλάπλότητας k 2 n. Μελέτη πάνω στο θέμα των διακλαδώσεων από το επίπεδο με βάση την σχέση έκαναν οι ([65, Robin, Markellos, 1982]). Για k 1 = 0 ή k 1 = 1, k 2 = 2, δηλαδή αν a v = ±1 σύμφωνα με τον ([31, Henon M., 1973]) παρουσιάζονται οι παρακάτω 4 περιπτώσεις στις οποίες είναι δυνατή η εξαγωγή συμπερασμάτων αναφορικά στην ύπαρξη και το είδος της διακλαδιζόμενης οικογένειας από τις τιμές των συντελεστών ευστάθειας : I) Αν a v = 1, b v 0, c v = 0 τότε : Υπάρχει διακλάδωση οικογένειας απλών τριδιάστατων περιοδικών λύσεων οι ο- ποίες είναι συμμετρικές ως προς το επίπεδο Ox 1 x 3. II) Αν a v = 1, b v = 0, c v 0 τότε : Υπάρχει διακλάδωση οικογένειας απλών τριδιάστατων περιοδικών λύσεων οι ο- ποίες είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα Ox 1. III) Αν a v = 1, b v 0, c v = 0 τότε : Υπάρχει διακλάδωση οικογένειας διπλών τριδιάστατων περιοδικών λύσεων οι ο- ποίες είναι συμμετρικές ως προς το επίπεδο Ox 1 x 3 και τον άξονα Ox 1, ενώ στο σημείο τομής τους με το επίπεδο Ox 1 x 3 ισχύει : x 2 = x 3 = x 4 = 0 IV) Αν a v = 1, b v = 0, c v 0 τότε : Υπάρχει διακλάδωση οικογένειας διπλών τριδιάστατων περιοδικών λύσεων οι ο- ποίες είναι συμμετρικές ως προς το επίπεδο Ox 1 x 3 και τον άξονα Ox 1, ενώ στο σημείο τομής τους με τον άξονα Ox 1 ισχύει : x 2 = x 3 = x 4 = Η τεχνική Grid Για τον υπολογισμό κατά προσέγγιση των χαρακτηριστικών καμπυλών επίπεδων συμμετρικών τροχιών, η μέθοδος που χρησιμοποιήσαμε ονομάζεται τεχνική Grid και α- ναπτύχθηκε από τον ([32, Markellos, 1974]). Βελτίωση της τεχνικής αυτής έγινε από τους ([81, Tsirogiannis G.A., Perdios E.A., Markellos V.V, 2009]) και ([79, Kalantonis.V.S., Διδακτορική διατριβή, 2004]) για διπλό grid, ενώ χρησιμοποιήθηκε επίσης από τους ([80, Goudas C.L.,Papadakis.K.E, 2006]) και ([78, Kanavos. S.S., Διδακτορική διατριβή, 2000]). Ο εντοπισμός των επίπεδων συμμετρικών τροχιών πολλαπλότητας n προϋποθέτει αρχικά την αριθμητική ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης με αρχικές συνθήκες: (x 0, ẏ 0 ).

42 32 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων Αν έχουμε μια δεδομένη τιμή της σταθεράς του Jacobi C μπορούμε να υπολογίζουμε από την εξίσωση του ολοκληρώματος, την συνιστώσα ẏ 0, οπότε έχουμε : ẏ 0 = ±(2Ω(x 0 ) C) 1 2 (1.78) με Ω να είναι η συνάρτηση του δυναμικού του προβλήματος μας, όπως είχαμε αναφέρει και προηγούμενα στην ενότητα ( 1.3). Αν στη συνέχεια επιλέξουμε μια από τις δύο τιμές της συνιστώσας ẏ 0, όπως π.χ. την θετική, οι αρχικές συνθήκες θα είναι πλέον οι εξης : (x 0, ẏ 0 (x 0 ; C)) (1.79) Ξεκινάμε την ολοκλήρωση της τροχιάς, με αυτές τις αρχικές συνθήκες (1.79) και μέχρι την n οστή τομή με τον άξονα Ox κρατώντας τα πρόσημα της μεταβλητής ẋ 0 σε κάθε τομή. Στην συνέχεια επαναλαμβάνουμε την ολοκλήρωση μέχρι την n οστή τομή, αλλάζοντας την τιμή x 0 κατά ɛ 1 για την ίδια τιμή της σταθεράς C και κρατώντας πάντα τα πρόσημα της μεταβλητής ẋ 0 (x 0 + ɛ 1 ; C) σε κάθε τομή με τον άξονα Ox. Εάν σε κάποιο διάστημα (x 0, x 0 + ɛ 1 ) για κάποια τομή n 0 n, αλλάζει το πρόσημο της μεταβλητής ẋ 0 τότε μέσα σε αυτό το διάστημα υπάρχει συμμετρική περιοδική τροχιά, πολλαπλότητας n 0 για κάποιο x 0. Επιλέγουμε ως αρχικές συνθήκες τις τιμές (x 0, C), οι οποίες αποτελούν αρχικές τιμές που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για τον ακριβή προσδιορισμό μιας περιοδικής τροχιάς πολλαπλότητας n 0. Αυτή η μέθοδος εφαρμόζεται και επαναλαμβάνεται για ίσα διαστήματα στον Ox άξονα, με το ίδιο πάντα C, μέχρι να λάβουμε όλες τις τιμές του x που αναζητούμε. Στην συνέχεια αλλάζουμε την τιμή του C κατά ɛ 2 και για τα ίδια διαστήματα στον Ox άξονα επαναλαμβάνουμε ακριβώς τα προηγούμενα βήματα. Ακολούθως επαναλαμβάνουμε ξανά από την αρχή τα βήματα, έχοντας πάρει νέα τιμή του C που απέχει τώρα κατά 2ɛ 2 από την αρχική τιμή. Επαναλαμβάνοντας αυτή τη διαδικασία συνεχώς, δημιουργούμε τελικά ένα πλέγμα στο επίπεδο (x, C), διαστάσεων k 1 xk 2, πάνω στο οποίο απεικονίζουμε τις λύσεις που βρίσκουμε. Αυτό το πλέγμα προσδιορίζει πλήρως τον αρχικό χώρο των φάσεων του προβλήματος μας, αφού x 02 = x 03 = x 04 = x 06 = 0 και η τιμή του x 05 υπολογίζεται από τη σταθερά του ολοκληρώματος του Jacobi. Επαναλαμβάνουμε πάλι την ολοκλήρωση μέχρι την n οστή τομή, αλλάζοντας την αρχική τιμή του C κατά ɛ 2,για την ίδια τιμή του x, κρατώντας πάντα τα πρόσημα της συνάρτησης ẋ 0 (x 0 ; C + ɛ 2 ) σε κάθε τομή με τον άξονα Ox. Εαν σε κάποιο διάστημα (C, C +ɛ 2 ) για κάποια τομή n 0 n, αλλάζει το πρόσημο της μεταβλητής ẋ τότε μέσα σε αυτό το διάστημα υπάρχει συμμετρική περιοδική τροχιά, πολλαπλότητας n 0, για κάποιο C. Επιλέγουμε ως αρχικές συνθήκες (x 0, C ), οι οποίες αποτελούν αρχικές τιμές που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για τον ακριβή προσδιορισμό μιας περιοδικής τροχιάς πολλαπλότητας n 0. Αυτή η μέθοδος εφαρμόζεται και επαναλαμβάνεται για ίσα διαστήματα στον OC άξονα, με το ίδιο πάντα x, μέχρι να λάβουμε όλες τις τιμές του C που αναζητούμε. Στην συνέχεια αλλάζουμε την τιμή του x κατά ɛ 1 και για τα ίδια

43 1.12. Αριθμητικός υπολογισμός οικογενειών περιοδικών λύσεων 33 διαστήματα στον OC άξονα επαναλαμβάνουμε ακριβώς τα προηγούμενα βήματα για τον εντοπισμό περιοδικών λύσεων. Ακολούθως επαναλαμβάνουμε ξανά από την αρχή τα βήματα, έχοντας πάρει νέα τιμή του x που απέχει τώρα κατά 2ɛ 1 από την αρχική τιμή. Επαναλαμβάνοντας αυτή τη διαδικασία συνεχώς, δημιουργούμε τελικά ένα πλέγμα στο επίπεδο (x, C), διαστάσεων k 1 xk 2, πάνω στο οποίο απεικονίζουμε τις λύσεις που βρίσκουμε. Αυτό το πλέγμα συμπληρώνει τις λύσεις του προηγούμενου πλέγματος και θα έχουμε μια πυκνότερη απεικόνιση στο επίπεδο,([79, Kalantonis.V.S., Διδακτορική διατριβή, 2004]). Εχοντας πλέον εντοπίσει σε ένα διάστημα μια περιοδική τροχιά με τη μέθοδο grid, μπορούμε πλέον να υπολογίσουμε με άλλη αριθμητική διαδικασία την τροχιά, με μεγάλη ακρίβεια Αριθμητικός υπολογισμός οικογενειών περιοδικών λύσεων Για επίπεδες συμμετρικές περιοδικές λύσεις Ο υπολογισμός μιας οικογένειας περιοδικών τροχιών γίνεται αν υπολογίσουμε ένα από τα μέλη της οικογένειας. Για να είναι μια λύση περιοδική πρέπει να ικανοποιούνται οι παρακάτω συνθήκες περιοδικότητας : x(x 0, y 0, ẋ 0, ẏ 0, m 2, m 3, t) = x 0 y(x 0, y 0, ẋ 0, ẏ 0, m 2, m 3, t) = y 0 ẋ(x 0, y 0, ẋ 0, ẏ 0, m 2, m 3, t) = ẋ 0 (1.80) ẏ(x 0, y 0, ẋ 0, ẏ 0, m 2, m 3, t) = ẏ 0 όπου t = T, με Τ την περίοδο της τροχιάς, (x 0, y 0, ẋ 0, ẏ 0 ) οι αρχικές συνθήκες για t = 0 και m 2, m 3 οι μάζες των πρωτευόντων σωμάτων, με m 1 = 1 m 2 m 3. Λόγω του ότι ξεκινάμε την ολοκλήρωση, t = 0, από τον άξονα x x θα έχουμε y 0 = 0, επειδή ψάχνουμε για συμμετρικές περιοδικές λύσεις έχουμε ẋ 0 = 0, οπότε θα έχουμε τον μετασχηματισμό των παραπάνω εξισώσεων (1.80) στις εξής: x(x 0, ẋ 0, ẏ 0, m 2, m 3, t) = x 0 y(x 0, ẋ 0, ẏ 0, m 2, m 3, t) = 0 ẋ(x 0, ẋ 0, ẏ 0, m 2, m 3, t) = 0 (1.81) ẏ(x 0, ẋ 0, ẏ 0, m 2, m 3, t) = ẏ 0

44 34 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων Επίσης λόγω του ολοκληρώματος, αν θεωρήσουμε συγκεκριμένες τιμές των πρωτευόντων μαζών και επειδή ξεκινάμε την ολοκλήρωση κάθετα προς τον οριζόντιο άξονα οι συνθήκες περιοδικότητας που χρειάζεται να ικανοποιούνται είναι : y(x 0, ẏ 0, t) = 0 ẋ(x 0, ẏ 0, t) = 0 (1.82) όπου t = T/2 με Τ την περίοδο της τροχιάς και (x 0, ẏ 0 ) οι αρχικές συνθήκες για t = 0. Αναζητούμε διορθώσεις δx 0, δẏ 0, δt των (x 0, ẏ 0, t), διότι οι συνθήκες περιοδικότητας δεν ικανοποιούνται με επιθυμητή ακρίβεια. Για μικρές διορθώσεις δx 0, δẏ 0, δt οι συνθήκες περιοδικότητας (1.82) γίνονται: y(x 0 + δx 0, ẏ 0 + δẏ 0, t + δt) = 0 ẋ(x 0 + δx 0, ẏ 0 + δẏ 0, t + δt) = 0 (1.83) Αναπτύσσοντας σε σειρά T aylor μέχρι όρους πρώτης τάξης ως προς τις διορθώσεις δx 0, δẏ 0, δt, έχουμε τα εξής: y(x 0, ẏ 0, t) + ϑy δx 0 + ϑy δẏ 0 + ϑy δt +... = 0 ϑx 0 ϑẏ 0 ϑt ẋ(x 0, ẏ 0, t) + ϑẋ δx 0 + ϑẋ δẏ 0 + ϑẋ (1.84) ϑx 0 ϑẏ 0 ϑt δt +... = 0 με όλες τις μερικές παραγώγους να είναι υπολογισμένες στην ημιπερίοδο της αρχικής λύσης και αν παραλείψουμε τους όρους ανώτερης τάξεως θα έχουμε: ϑy δx 0 + ϑy δẏ 0 + ϑy ϑx 0 ϑẏ 0 ϑt δt = 0 ϑẋ δx 0 + ϑẋ δẏ 0 + ϑẋ (1.85) ϑx 0 ϑẏ 0 ϑt δt = ẋ Αυτό το σύστημα είναι ένα σύστημα δύο εξισώσεων με τρείς αγνώστους. Για την επίλυση του, κρατάμε μια άγνωστη ποσότητα ως σταθερή και υπολογίζουμε τις άλλες δύο ως προς αυτή. Λύνοντας την πρώτη από τις εξισώσεις (1.85) ως προς δt έχουμε: ϑy ϑx δt = 0 δx ϑy 0 ϑt ϑy ϑẏ 0 δẏ ϑy 0 (1.86) ϑt

45 1.12. Αριθμητικός υπολογισμός οικογενειών περιοδικών λύσεων 35 Άρα με βάση την (1.86) η δεύτερη από τις εξισώσεις (1.85) γίνεται: ή ϑy ϑẋ δx 0 + ϑẋ δẏ 0 + ϑẋ ϑx 0 ϑẏ 0 ϑt ( ϑx 0 δx ϑy 0 ϑt ( ϑẋ ϑx 0 ϑy ϑx 0 ϑẋ ϑt )δx ϑy 0 + ( ϑẋ ϑy ϑẏ 0 ϑẏ 0 ϑt ϑy ϑẏ 0 δẏ ϑy 0 ) = ẋ (1.87) ϑt ϑẋ ϑt )δẏ ϑy 0 = ẋ (1.88) ϑt Λόγω της θεωρίας που αναπτύξαμε προηγουμένως στην ενότητα (1.8) και των σχέσεων (1.28) : (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x, y, ẋ, ẏ) και (1.31) : U ij = ϑx i ϑx 0j η σχέση (1.88) μπορεί να γραφεί ως : Ακόμη έχουμε : (U 31 U 21 ϑẋ ϑt ϑy ϑt ϑẋ )δx 01 + (U 34 U ϑt 24 )δx ϑy 04 = x 3 (1.89) ϑt ϑy ϑt = ẏ = ẋ 2 = x 4 = f 2 (t) ϑẋ ϑt = ẍ = ẋ 3 = f 3 (t) (1.90) και τώρα πλέον η σχέση (1.89) μπορεί να γραφεί ως: αν καλέσουμε: (U 31 U 21 f 3 (t) f 2 (t) )δx 01 + (U 34 U 24 f 3 (t) f 2 (t) )δx 04 = x 3 (1.91) u 31 = U 31 U 21 f 3 (t) f 2 (t) u 34 = U 34 U 24 f 3 (t) f 2 (t) (1.92) και με βάση αυτές τις σχέσεις, η εξίσωση για τις διορθώσεις δx 01, δx 04 είναι: u 31 δx 01 + u 34 δx 04 = x 3 (1.93)

46 36 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων Εχουμε τις εξης επιλογές στο βήμα διόρθωσης (Correctorstep) Για x 01 γνωστό (σταθερό), θα έχουμε δx 01 = 0 και η εξίσωση (1.93) γίνεται: άρα τελικά: u 34 δx 04 = x 3 (1.94) δx 04 = x 3 u 34 (1.95) Για x 04 γνωστό (σταθερό), θα έχουμε δx 04 = 0 και η εξίσωση (1.93) γίνεται: άρα τελικά : u 31 δx 01 = x 3 (1.96) δx 01 = x 3 u 31 (1.97) Αν κρατήσουμε το t ως σταθερή ποσότητα, θα έχουμε δt=0 και το σύστημα των εξισώσεων (1.85) γίνεται: Άρα οι διορθώσεις θα είναι: U 21 δx 01 + U 24 δx 04 = x 2 U 31 δx 01 + U 34 δx 04 = x 3 (1.98) δx 01 = x 2U 34 + x 3 U 24 U 21 U 34 U 24 U 31 δx 04 = x (1.99) 3U 21 + x 2 U 31 U 21 U 34 U 24 U 31 Εχουμε τις εξης επιλογές στο βήμα πρόβλεψης (P redictorstep) Εχοντας πλέον υπολογίσει τις διορθώσεις μας, έχουμε ένα νέο διάνυσμα αρχικών συνθηκών x 0 + δx 0 = x 01 + δx 01, ẏ 0 + δẏ 0 = x 04 + δx 04 και με βάση αυτές τις νέες αρχικές συνθήκες ολοκληρώνουμε τις εξισώσεις κίνησης, επαναλαμβάνοντας αυτή την διαδικασία μέχρι να ικανοποιούνται με την απαραίτητη ακρίβεια οι συνθήκες περιοδικότητας. Οταν έχουμε βρεί την συμμετρική περιοδική τροχιά το σύστημα των διορθώσεων (1.85) γίνεται : ϑy δx 01 + ϑy δx 04 + ϑy ϑx 0 ϑẏ 0 ϑt δt = 0 ϑẋ δx 01 + ϑẋ δx 04 + ϑẋ (1.100) ϑx 0 ϑẏ 0 ϑt δt = 0

47 1.12. Αριθμητικός υπολογισμός οικογενειών περιοδικών λύσεων 37 Αν αντικαταστήσουμε το δt από την πρώτη εξίσωση στην δεύτερη, προκύπτει από το σύστημα των εξισώσεων (1.100) η σχέση : u 31 δx 01 + u 34 δx 04 = 0 (1.101) Για x 01 γνωστό (σταθερό), θα έχουμε δx 01 να μεταβάλλεται κατά μια πολύ μικρή ποσότητα ɛ και τότε η εξίσωση (1.101) θα δώσει : δx 04 = u 31 u 34 ɛ (1.102) και τελικά η προβλεπόμενη τροχιά θα έχει αρχικές συνθήκες : x 01 = x 01 + ɛ x 04 = x 04 + δx 04 (1.103) Για x 04 γνωστό (σταθερό), θα έχουμε δx 04 να μεταβάλλεται κατά μια πολύ μικρή ποσότητα ɛ και τότε η εξίσωση (1.101) θα δώσει : δx 01 = u 34 u 31 ɛ (1.104) και τελικά η προβλεπόμενη τροχιά θα έχει αρχικές συνθήκες : x 01 = x 01 + δx 01 x 04 = x 04 + ɛ (1.105) Αν κρατήσουμε το t ως σταθερή ποσότητα, θα έχουμε δt να μεταβάλλεται κατά μια πολύ μικρή ποσότητα ɛ και τότε η εξίσωση (1.101) θα δώσει το σύστημα των διορθώσεων : u 21 δx 01 + u 24 δx 04 + f 2 ɛ = 0 u 31 δx 01 + u 34 δx 04 + f 3 ɛ = 0 (1.106) και τελικά η προβλεπόμενη τροχιά θα έχει αρχικές συνθήκες : όπου : x 01 = x 01 + δx 01 x 04 = x 04 + δx 04 t = t + ɛ (1.107) δx 01 = f 2ɛu 34 + f 3 ɛu 24 u 21 u 34 u 31 u 24 δx 04 = f (1.108) 3ɛu 21 + f 2 ɛu 31 u 21 u 34 u 31 u 24

48 38 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων Για επίπεδες ασύμμετρες περιοδικές λύσεις Η εύρεση μιας οικογένειας περιοδικών τροχιών είναι δυνατή αν γνωρίζουμε ένα α- πό τα μέλη της οικογένειας. Για να είναι μια ασύμμετρη λύση περιοδική πρέπει να ικανοποιούνται οι παρακάτω συνθήκες περιοδικότητας : x(x 0, y 0, ẋ 0, ẏ 0, m 2, m 3, T ) = x 0 y(x 0, y 0, ẋ 0, ẏ 0, m 2, m 3, T ) = y 0 ẋ(x 0, y 0, ẋ 0, ẏ 0, m 2, m 3, T ) = ẋ 0 (1.109) ẏ(x 0, y 0, ẋ 0, ẏ 0, m 2, m 3, T ) = ẏ 0 όπου T η περίοδος της τροχιάς, (x 0, y 0, ẋ 0, ẏ 0 ) οι αρχικές συνθήκες για t = 0 και m 2, m 3 οι μάζες των πρωτευόντων σωμάτων, με m 1 = 1 m 2 m 3. Λόγω του ότι ξεκινάμε την ολοκλήρωση από τον άξονα x x, θα έχουμε y 0 = 0, λόγω του ολοκληρώματος διώχνουμε την μια εξίσωση και αν θεωρήσουμε συγκεκριμένες τιμές των πρωτευόντων μαζών θα έχουμε τον μετασχηματισμό των παραπάνω εξισώσεων (1.109) στις εξής: y(x 0, ẋ 0, ẏ 0, T ) = 0 ẋ(x 0, ẋ 0, ẏ 0, T ) = ẋ 0 ẏ(x 0, ẋ 0, ẏ 0, T ) = ẏ 0 (1.110) Αν θέσουμε (x x 1, y x 2, ẋ x 3, ẏ x 4 ) και αναπτύξουμε σε T aylor μέχρι και όρους πρώτης τάξης έχουμε: ϑx 2 δx 01 + ϑx 2 δx 03 + ϑx 2 δx 04 + ϑx 2 ϑx 01 ϑx 03 ϑx 04 ϑt δt = 0 ϑx 3 δx 01 + ϑx 3 δx 03 + ϑx 3 δx 04 + ϑx 3 ϑx 01 ϑx 03 ϑx 04 ϑt δt = x 03 + δx 03 x 3 ϑx 4 δx 01 + ϑx 4 δx 03 + ϑx 4 δx 04 + ϑx 4 ϑx 01 ϑx 03 ϑx 04 ϑt δt = x 04 + δx 04 x 4 (1.111) I) Λύνοντας την πρώτη από τις εξισώσεις (1.111) ως προς δt έχουμε: ϑx 2 ϑx δt = 01 δx ϑx 01 2 ϑt ϑx 2 ϑx 03 δx ϑx 03 2 ϑt ϑx 2 ϑx 04 δx ϑx 04 (1.112) 2 ϑt

49 1.12. Αριθμητικός υπολογισμός οικογενειών περιοδικών λύσεων 39 Άρα : δt = U 21 f 2 (T ) δx 01 U 23 f 2 (T ) δx 03 U 24 f 2 (T ) δx 04 (1.113) με U ij = ϑx i ϑx 0j από τη σχέση (1.31) και f 2 (T ) = ϑx 2 ϑt = ẋ 2 = ẏ = x 4. Αντικαθιστώντας στις δύο πρώτες σχέσεις του συστήματος (1.111) την εξίσωση (1.113) έχουμε : όπου : u 31 δx 01 + (u 33 1)δx 03 + u 34 δx 04 = x 03 x 3 u 41 δx 01 + u 43 δx 03 + (u 44 1)δx 04 = x 04 x 4 (1.114) u 3i = V 3i f 3 f 2 V 2i u 4i = V 4i f 4 f 2 V 2i, i = 1, 3, 4 (1.115) Εχουμε τις εξής επιλογές στο βήμα διόρθωσης (Correctorstep) Για x 1 γνωστό (σταθερό), θα έχουμε δx 01 =0 και το σύστημα των διορθώσεων γίνεται : άρα τελικά αν καλέσουμε : οι διορθώσεις θα είναι : (u 33 1)δx 03 + u 34 δx 04 = x 03 x 3 u 43 δx 03 + (u 44 1)δx 04 = x 04 x 4 (1.116) par = (u 33 1)(u 44 1) u 34 u 43 ar1 = (x 03 x 3 )(u 44 1) (x 04 x 4 )u 34 ar2 = (x 04 x 4 )(u 33 1) (x 03 x 3 )u 43 (1.117) δx 03 = ar1 par δx 04 = ar2 par (1.118) Για x 4 γνωστό (σταθερό), θα έχουμε δx 04 =0 και το σύστημα των διορθώσεων γίνεται : u 31 δx 01 + (u 33 1)δx 03 = x 03 x 3 u 41 δx 01 + u 43 δx 03 = x 04 x 4 (1.119)

50 40 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων και αν : τότε οι διορθώσεις θα είναι : par = u 31 u 43 (u 33 1)u 41 ar1 = (x 03 x 3 )u 43 (x 04 x 4 )(u 33 1) ar2 = (x 04 x 4 )u 31 (x 03 x 3 )u 41 (1.120) δx 01 = ar1 par δx 03 = ar2 par (1.121) Για x 3 γνωστό (σταθερό), θα έχουμε δx 03 =0 και το σύστημα των διορθώσεων γίνεται : οπότε αν : τότε οι διορθώσεις θα είναι : u 31 δx 01 + u 34 δx 04 = x 03 x 3 u 41 δx 01 + (u 44 1)δx 04 = x 04 x 4 (1.122) par = u 31 (u 44 1) u 34 u 41 ar1 = (x 03 x 3 )u 34 (x 04 x 4 )(u 44 1) ar2 = (x 04 x 4 )u 31 (x 03 x 3 )u 41 (1.123) δx 01 = ar1 par δx 04 = ar2 par (1.124) II) Για T σταθερό, θα έχουμε δt =0 και το σύστημα των διορθώσεων γίνεται : U 21 δx 01 + U 23 δx 03 + U 24 δx 04 = x 02 x 2 U 31 δx 01 + (U 33 1)δx 03 + U 34 δx 04 = x 03 x 3 U 41 δx 01 + U 43 δx 03 + (U 44 1)δx 04 = x 04 x 4 (1.125) Εχουμε τις εξής σχέσεις για το βήμα πρόβλεψης (P redictorstep) u 31 δx 01 + (u 33 1)δx 03 + u 34 δx 04 = x 03 x 3 u 41 δx 01 + u 43 δx 03 + (u 44 1)δx 04 = x 04 x 4 (1.126)

51 1.12. Αριθμητικός υπολογισμός οικογενειών περιοδικών λύσεων 41 και εφόσον η τροχιά είναι περιοδική οι σχέσεις γίνονται : u 31 δx 01 + (u 33 1)δx 03 + u 34 δx 04 = 0 u 41 δx 01 + u 43 δx 03 + (u 44 1)δx 04 = 0 (1.127) Για x 01 = x 0 γνωστό (σταθερό), θα έχουμε δx 01 να μεταβάλλεται κατά μια πολύ μικρή ποσότητα ɛ και τότε το σύστημα (1.127) γίνεται : (u 33 1)δx 03 + u 34 δx 04 = u 31 ɛ u 43 δx 03 + (u 44 1)δx 04 = u 41 ɛ (1.128) η λύση του οποίου θα μας δώσει τις προβλέψεις δx 03 και δx 04. Για x 04 =ẏ 0 γνωστό (σταθερό), θα έχουμε δx 04 να μεταβάλλεται κατά μια πολύ μικρή ποσότητα ɛ και τότε το σύστημα (1.127) γίνεται : u 31 δx 01 + (u 33 1)δx 03 = u 34 ɛ u 41 δx 01 + u 43 δx 03 = (u 44 1)ɛ (1.129) η λύση του οποίου θα μας δώσει τις προβλέψεις δx 01 και δx 03. Για x 03 =ẋ 0 γνωστό (σταθερό), θα έχουμε δx 03 να μεταβάλλεται κατά μια πολύ μικρή ποσότητα ɛ και τότε το σύστημα (1.127) γίνεται : u 31 δx 01 + u 34 δx 04 = (u 33 1)ɛ u 41 δx 01 + (u 44 1)δx 04 = u 43 ɛ (1.130) η λύση του οποίου θα μας δώσει τις προβλέψεις δx 01 και δx 04. III) Για T γνωστό (σταθερό), θα έχουμε δt να μεταβάλλεται κατά μια πολύ μικρή ποσότητα ɛ και τότε το σύστημα των διορθώσεων γίνεται : U 21 δx 01 + U 23 δx 03 + U 24 δx 04 = f 2 (T )ɛ U 31 δx 01 + (U 33 1)δx 03 + U 34 δx 04 = f 3 (T )ɛ U 41 δx 01 + U 43 δx 03 + (U 44 1)δx 04 = f 4 (T )ɛ (1.131)

52 42 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων 1.13 Αριθμητικός υπολογισμός σειρών ασύμμετρων οριζόντια κρίσιμων περιοδικών λύσεων Εστω μια ασύμμετρη επίπεδη περιοδική τροχιά του προβλήματος μας κοντά σε μια οριζόντια κρίσιμη λύση της οικογένειας, που ανήκει η τροχιά. Σε αυτή την ενότητα θα παραθέσουμε την διαδικασία που χρειάζεται για να υπολογίσουμε αριθμητικά την οριζόντια κρίσιμη ασύμμετρη περιοδική τροχιά της οικογένειας. Οι συνθήκες περιοδικότητας και κρισιμότητας για δεδομένο m 2, με m 1 = 1 m 2 m 3 και m 3 παράμετρο, ξεκινώντας από τις αρχικές εξισώσεις κίνησης όπως τις περιγράψαμε στην ενότητα 1.3 (σχέσεις 1.6, 1.7) είναι για το επίπεδο πρόβλημα : x(x 0, y 0, ẋ 0, ẏ 0, m 3, t) = x 0 y(x 0, y 0, ẋ 0, ẏ 0 m 3, t) = y 0 ẋ(x 0, y 0, ẋ 0, ẏ 0, m 3, t) = ẋ 0 (1.132) ẏ(x 0, y 0, ẋ 0, ẏ 0, m 3, t) = ẏ 0 s h (x 0, y 0, ẋ 0, ẏ 0, m 3, t) = ±1 όπου t = T η περίοδος της τροχιάς, (x 0, y 0, ẋ 0, ẏ 0 ) οι αρχικές συνθήκες για t = 0. Θέτοντας τις νέες μεταβλητές (1.37), που είχαμε παρουσιάσει στην ενότητα (1.5) οι εξισώσεις (1.132) γίνονται: x 1 (x 10, x 20, x 40, x 50, m 3, t) = x 10 x 2 (x 10, x 20, x 40, x 50, m 3, t) = x 20 x 3 (x 10, x 20, x 40, x 50, m 3, t) = x 40 (1.133) x 4 (x 10, x 20, x 40, x 50, m 3, t) = x 50 s h (x 10, x 20, x 40, x 50, m 3, t) = ±1 όπου : s h = a h + d h 2 (1.134) Υποθέτουμε ότι έχουμε μια απλή περιοδική ασύμμετρη λύση, ολοκληρώνουμε με αρχή του χρόνου όταν το σώμα βρίσκεται στον οριζόντιο άξονα και σταματάμε την ολοκλήρωση όταν για δεύτερη φορά τμήσουμε τον οριζόντιο άξονα, τότε έχουμε x 20 = 0 και λόγω του ολοκληρώματος μπορούμε να αγνοήσουμε μια από τις εξισώσεις (1.133).

53 1.13. Αριθμητικός υπολογισμός σειρών ασύμμετρων οριζόντια κρίσιμων περιοδικών λύσεων 43 Άρα: x 2 (x 10, x 40, x 50, m 3, t) = 0 x 3 (x 10, x 40, x 50, m 3, t) = x 40 x 4 (x 10, x 40, x 50, m 3, t) = x 50 s h (x 10, x 40, x 50, m 3, t) = ±1 (1.135) Επειδή το σύστημα αυτό δεν ικανοποιείται, θεωρούμε μικρές μεταβολές των αρχικών συνθηκών : x 2 (x 10 + δx 10, x 40 + δx 40, x 50 + δx 50, m 3 + δm 3, t + δt) = 0 x 3 (x 10 + δx 10, x 40 + δx 40, x 50 + δx 50, m 3 + δm 3, t + δt) = x 40 x 4 (x 10 + δx 10, x 40 + δx 40, x 50 + δx 50, m 3 + δm 3, t + δt) = x 50 s h (x 10 + δx 10, x 40 + δx 40, x 50 + δx 50, m 3 + δm 3, t + δt) = ±1 (1.136) και αναπτύσσοντας σε σειρά T aylor γύρω από τη θέση (x 10, x 40, x 50, t) μέχρι όρους πρώτης τάξης για μικρές μεταβολές δx έχουμε τα εξής : ϑx 2 δx 10 + ϑx 2 δx 40 + ϑx 2 δx 50 + ϑx 2 δm 3 + ϑx 2 ϑx 10 ϑx 40 ϑx 50 ϑm 3 ϑt δt = 0 ϑx 4 δx 10 + ϑx 4 δx 40 + ϑx 4 δx 50 + ϑx 4 δm 3 + ϑx 4 ϑx 10 ϑx 40 ϑx 50 ϑm 3 ϑt δt = x 40 + δx 40 x 4 ϑx 5 δx 10 + ϑx 5 δx 40 + ϑx 5 δx 50 + ϑx 5 δm 3 + ϑx 5 ϑx 10 ϑx 40 ϑx 50 ϑm 3 ϑt δt = x 50 + δx 50 x 5 ϑs h δx 10 + ϑs h δx 40 + ϑs h δx 50 + ϑs h δm 3 + ϑs h ϑx 10 ϑx 40 ϑx 50 ϑm 3 ϑt δt = ±1 s h ή συμβολικά, έχουμε αντίστοιχα : (1.137) U 21 δx 10 + U 24 δx 40 + U 25 δx 50 + U x2,m 3 δm 3 + ẋ 2 δt = 0 U 41 δx 10 + U 44 δx 40 + U 45 δx 50 + U x4,m 3 δm 3 + ẋ 4 δt = x 40 + δx 40 x 4 U 51 δx 10 + U 54 δx 40 + U 55 δx 50 + U x5,m 3 δm 3 + ẋ 5 δt = x 50 + δx 50 x 5 (1.138) U sh,x 10 δx 10 + U sh,x 40 δx 40 + U sh,x 50 δx 50 + U sh,m 3 δm 3 + U sh,tδt = ±1 s h Για την επίλυση του συστήματος (1.138), κρατάμε την τιμή της μάζας m 3 ως σταθερή ποσότητα, άρα έχουμε δm 3 =0 και λύνουμε την πρώτη από τις εξισώσεις (1.138) ως προς δt : δt = U 21 ẋ 2 δx 10 U 24 ẋ 2 δx 40 U 25 ẋ 2 δx 50 (1.139)

54 44 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων οπότε οι υπόλοιπες εξισώσεις (1.138) γίνονται με βάση την (1.139): (U 41 ẋ4 ẋ 2 U 21 )δx 10 + (U 44 ẋ4 ẋ 2 U 24 1)δx 40 + (U 45 ẋ4 ẋ 2 U 25 )δx 50 = x 40 x 4 (U 51 ẋ5 ẋ 2 U 21 )δx 10 + (U 54 ẋ5 ẋ 2 U 24 )δx 40 + (U 55 ẋ5 ẋ 2 U 25 1)δx 50 = x 50 x 5 U sh,x 10 δx 10 + U sh,x 40 δx 40 + U sh,x 50 δx 50 = ±1 s h (1.140) Για την λύση του συστήματος αυτού αν καλέσουμε : U 41 U 44 1 U 45 par = U 51 U 54 U 55 1 U sh,x 10 U sh,x 40 U sh,x 50, ar1 = x 4 U 44 1 U 45 x 5 U 54 U 55 1 ±s h U sh,x 40 U sh,x 50 U 41 x 4 U 45 ar2 = U 51 x 5 U 55 1 U sh,x 10 ±1 s h U sh,x 50, ar3 = U 41 U 44 1 x 4 U 51 U 54 x 5 U sh,x 10 U sh,x 40 ±1 s h (1.141) τότε : δx 10 = ar1 par, δx 40 = ar2 par, δx 50 = ar3 par (1.142) Αν αλλάξουμε την μάζα m 3 κατά λίγο μπορούμε να βρούμε σειρά από κρίσιμες περιοδικές λύσεις με παράμετρο την μάζα. Αυτή την τεχνική χρησιμοποιούμε στο κεφάλαιο (4), προκειμένου να υπολογίσουμε κρίσιμες περιοδικές λύσεις και στην συνέχεια έ- χοντας αυτές ως βάση να βρούμε τις ασύμμετρες απλές περιοδικές τροχιές στην περίπτωση των τριών άνισων πρωτευόντων μαζών. Αντίστοιχα αν η αριθμητική ολοκλήρωση των διαφορικών εξισώσεων γίνεται με τον χρόνο, κρατώντας πάλι τη μάζα m 3 σταθερή, άρα δm 3 = 0 το σύστημα των εξισώσεων (1.138) γίνεται : U 21 δx 10 + U 24 δx 40 + U 25 δx 50 + ẋ 2 δt = x 2 U 41 δx 10 + (U 44 1)δx 40 + U 45 δx 50 + ẋ 4 δt = x 40 + δx 40 x 4 U 51 δx 10 + U 54 δx 40 + (U 55 1)δx 50 + ẋ 5 δt = x 50 + δx 50 x 5 (1.143) U sh,x 10 δx 10 + U sh,x 40 δx 40 + U sh,x 50 δx 50 + U sh,tδt = ±1 s h Η επίλυση του συστήματος (1.143) δίνει τις διορθώσεις δx 10, δx 40, δx 50, δt, με τις ποσότητες U sh,x 10, U sh,x 40, U sh,x 50, U sh,t να τις υπολογίζουμε με επιπλέον ολοκληρώσεις, αλλάζοντας κάθε φορά ελάχιστα τα x 10, x 40, x 50, t.

55 1.13. Αριθμητικός υπολογισμός σειρών ασύμμετρων οριζόντια κρίσιμων περιοδικών λύσεων 45 Τέλος, αν κρατάμε σταθερό το χρονο, άρα δt = 0 το σύστημα των εξισώσεων (1.138) γίνεται : U 21 δx 10 + U 24 δx 40 + U 25 δx 50 + U x2,m 3 δm 3 = x 2 U 41 δx 10 + U 44 δx 40 + U 45 δx 50 + U x4,m 3 δm 3 = x 40 + δx 40 x 4 U 51 δx 10 + U 54 δx 40 + U 55 δx 50 + U x5,m 3 δm 3 = x 50 + δx 50 x 5 (1.144) U sh,x 10 δx 10 + U sh,x 40 δx 40 + U sh,x 50 δx 50 + U sh,m 3 δm 3 = ±1 s h Η επίλυση του συστήματος (1.143) δίνει τις διορθώσεις δx 10, δx 40, δx 50, δm 3, με τις ποσότητες U x2,m 3, U x4,m 3, U x5,m 3, U sh,m 3 να τις υπολογίζουμε με επιπλέον ολοκληρώσεις, αλλάζοντας κάθε φορά ελάχιστα το m 3. Αντίστοιχα τις ποσότητες U sh,x 10, U sh,x 40, U sh,x 50 τις υπολογίζουμε με επιπλέον ολοκληρώσεις αλλάζοντας κάθε φορά ελάχιστα τα x 10, x 40, x 50. Την ίδια διαδικασία ακολουθούμε όταν θελήσουμε να βρούμε κατακόρυφα κρίσιμες ασύμμετρες περιοδικές τροχιές ή σειρές κατακόρυφα κρίσιμων περιοδικών λύσεων.

56 46 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή στην δυναμική των Ν-σωμάτων

57 Κεφαλαιο 2 Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων 2.1 Οι εξισώσεις της κίνησης Στο παρόν κεφάλαιο ξεκινάει η μελέτη του κυκλικού επίπεδου περιορισμένου προβλήματος των τεσσάρων σωμάτων. Η προηγούμενη μελέτη από σημαντικούς επιστήμονες του πλανητικού προβλήματος τριών σωμάτων τα οποία αλληλεπιδρούν με Νευτώνιες δυνάμεις έχει δώσει δύο τελικές μόνιμες κεντρικές διαμορφώσεις, την συγγραμμική (Eulerian) και την τριγωνική (Lagrangian ή Triangular), όπως αναφέραμε και στο εισαγωγικό κεφάλαιο στην ενότητα (1.2). Ως μονάδα μήκους για κανονικοποίηση στην τριγωνική σταθερη διαμόρφωση, θεωρούμε το κάθε πρωτεύον σώμα να απέχει από το άλλο 1 μονάδα. Επίσης θεωρούμε ως μονάδα βάρους m 1 + m 2 + m 3 = 1 και άρα όλες οι τιμές των μαζών των πρωτευόντων σωμάτων είναι κλάσματα της μονάδας. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας υποθέτουμε ότι το σώμα μάζας m 1 κινείται στον θετικό ημιάξονα x. Η κίνηση του συστήματος των τριών σωμάτων γίνεται ως προς άξονες που περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα και οι εξισώσεις κίνησης της τέταρτης αμελητέας μάζας στο αδιάστατο ορθογώνιο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων γράφονται ως εξής: ẍ 2ẏ = Ω x = x 3 i=1 m i (x x i ) r 3 i ÿ 2ẋ = Ω y = y 3 i=1 m i (y y i ) r 3 i (2.1) z = Ω z = 3 i=1 47 m i (z z i ) r 3 i

58 48Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων όπου οι τελείες συμβολίζουν παράγωγο ως προς τον χρόνο, ενώ το δυναμικό Ω εκφράζεται ως : Ω = 1 2 (x2 + y 2 ) + m 1 r 1 + m 2 r 2 + m 3 r 3 (2.2) Επίσης για τις ακτίνες ισχύει : r 2 i = (x x i ) 2 + (y y i ) 2 + (z z i ) 2, i = 1, 2, 3. (2.3) Οι αρχικές εξισώσεις καθώς και μελέτη για τις συγκεκριμένες λύσεις έχει γίνει από τον ([15, Moulton F. R., 1900]. Στην παρούσα μελέτη μας θα θεωρήσουμε το επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα, άρα στις παραπάνω εξισώσεις θα έχουμε : z i =ż=0 2.2 Το ολοκλήρωμα Jacobi στο κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα Η διατήρηση της ενέργειας και της στροφορμής δύναται να συνδυαστεί σε ορισμένα δυναμικά συστήματα ώστε να λάβουμε ένα ολοκληρώμα το οποίο συνδέει το τετράγωνο της ταχύτητας με την δυναμική συνάρτηση, όπως απέδειξε ο Jacobi. Το ολοκλήρωμα της ενέργειας για το πρόβλημα μας δίνεται από την εξίσωση : όπου C είναι η σταθερά του Jacobi. ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 = 2Ω C (2.4) 2.3 Εξισώσεις θέσεων των πρωτευόντων σωμάτων Αν υποθέσουμε ότι τα τρία πρωτεύοντα σώματα κινούνται πάντα πάνω στο ίδιο επίπεδο και οι άξονες είναι ορισμένοι έτσι ώστε καθ όλη την εξέλιξη το σώμα m 1 να παραμένει στον θετικό ημιάξονα του x, οι θέσεις των σωμάτων m 1, m 2, m 3 δίνονται από τις εξισώσεις : x 1 = K m m 2 m 3 + m 2 3 K y 1 = 0 x 2 = K [(m 2 m 3 )m 3 + m 1 (2m 2 + m 3 )] 2K m m 2 m 3 + m 2 3

59 2.4. Ευστάθεια του συστήματος των τριών πρωτευόντων σωμάτων 49 όπου y 2 = 3 2 m 3 m 3/2 2 m 3 2 m m 2 m 3 + m 2 3 K x 3 = 2 m m 2 m 3 + m m 3 2 y 3 = 2 m m 2 m 3 + m 2 3 m 1/2 2 (2.5) K = m 2 (m 3 m 2 ) + m 1 (m 2 + 2m 3 ) (2.6) Σχήμα 2.1: Τρία πρωτεύοντα σώματα σε τριγωνική (Lagrangian) διαμόρφωση 2.4 Ευστάθεια του συστήματος των τριών πρωτευόντων σωμάτων Η μελέτη της ευστάθειας του συστήματος των τριών πρωτευόντων σωμάτων είναι πολύ σημαντική. Σε όλες τις περίπτωσεις που μελετάμε στις επόμενες ενότητες, η εξίσωση που περιγράφει την συνθήκη ευστάθειας του συστήματος μας για m 1 m 2 m 3 είναι η εξής : m 1 m 2 + m 2 m 3 + m 3 m 1 (m 1 + m 2 + m 3 ) 2 < 1 27 (2.7)

60 50Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Η συνθήκη αυτή για την ευστάθεια του συστήματος στην Langrange κεντρική διαμόρφωση έχει μελετηθεί από τον ([6, Gascheau, M., 1843]) στην διατριβή του, ενώ αργότερα ο ([20, Routh E. J., 1875]) μελέτησε την γραμμική ευστάθεια των ίδιων λύσεων για την περίπτωση ομογενών δυναμικών. Στο σχήμα (2.2) που ακολουθεί φαίνονται καθαρά οι περιοχές ευσταθούς και ασταθούς διαμόρφωσης στο επίπεδο (m 2, m 3 ). Τα αποτελέσματα αυτά προέκυψαν από την συνθήκη (2.7) έχοντας λάβει υπ όψην τις ανισότητες : m 2 + m 3 < 1 και m 1 m 2 + m 2 m 3 + m 3 m 1 < 1 (προκύπτει 27 από την (2.7) αφού m 1 = 1 m 2 m 3 ). Η δεύτερη ανισότητα m 1 m 2 + m 2 m 3 + m 3 m 1 < 1 φαίνεται ως ισότητα με κόκκινο 27 χρώμα στο σχήμα ( 2.2) και τέμνει τον οριζόντιο m 2 -άξονα στο σημείο (0, m R ). Η τιμή της κρίσιμης μάζας m R προκύπτει αν αντικαταστήσουμε m 1 = 1 m 2 m 3 και λύσουμε την εξίσωση (2.7) ως προς m 2. Τότε έχουμε την m 2 = 1 18 (9 9m m3 81m 32 ). Για m 3 0 αυτή η σχέση μας δίνει το σημείο στον οριζόντιο άξονα του παρακάτω σχήματος ( 2.2), οπότε m 2 m3 0 = 1 18 (9 69). Ετσι χρησιμοποιώντας τον ίδιο τρόπο υπολογισμού όπως έγινε και για το περιορισμένο πρόβλημα των τριών σωμάτων από τον Routh ([20, Routh E. J., 1875]) έχουμε m R = 1 18 (9 69). Σχήμα 2.2: Περιοχές των μαζών m 2 και m 3 για ευσταθή (γραμμοσκιασμένες) και ασταθή διαμόρφωση του συστήματος των πρωτευόντων σωμάτων Επίσης η ίδια κόκκινη καμπύλη τέμνει τον κατακόρυφο m 3 - άξονα στο σημείο (0, 1 m R ). Οι δύο παραπάνω ανισότητες, οι οποίες ως ισότητες φαίνονται με κόκκινη και διακεκομένη γραμμή αντίστοιχα στο σχήμα μας, τέμνονται μεταξύ τους στα σημεία (m R, 1 m R ) και (1 m R, m R ), όπου m R είναι η κρίσιμη μάζα του Routh. Ετσι πλέον οι τρείς μικρές περιοχές τριγωνικής ευστάθειας που φαινονται με γκρί στο σχήμα μας είναι πλήρως καθορισμένες.

61 2.5. Ολα τα πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα 51 Τελικά μπορούμε να συμπεράνουμε μετά από την παραπάνω μελέτη, ότι για να είναι σε ευσταθή κατάσταση η διαμόρφωση με τα τρία πρωτεύοντα σώματα πρέπει το ένα από αυτά να είναι αρκετά μεγάλο(κυρίαρχο σώμα - Ηλιος) και τα άλλα δύο μικρά. Η τιμή των μαζών των πρωτευόντων σωμάτων, ώστε η κατανομή τους να είναι ευσταθής, προφανώς εξαρτάται από την ανισότητα (2.7). Βρήκαμε ότι για ευσταθή κατανομή πρέπει το m 2 να είναι μεγαλύτερο από την τιμή 1 m R = 1 (9 + 69) = , 18 το m 3 πρέπει να είναι μικρότερο από την τιμή m R = 1 (9 + 69) = και το 18 τρίτο σώμα m 1 = 1 m 2 m 3 θα είναι κι αυτό μικρότερο από την τιμή m R. Η μελέτη μας στο παρόν περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων έχει γίνει θεωρητικά σε όλες τις δυνατές περιπτώσεις και συνδυασμούς μαζών για να είναι πλήρης, έχοντας δοθεί όπως είναι φυσικό ιδιαίτερη έμφαση στις περιπτώσεις που το σύστημα των τριών πρωτευόντων μαζών είναι ευσταθές δυναμικά. 2.5 Ολα τα πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα Οπως είναι γνωστό στο κλασικό περιορισμένο πρόβλημα των τριων σωμάτων υπάρχουν πέντε σημεία ισορροπίας L 1,2,3,4,5 πάνω στο επίπεδο, ([25, Szebehely V.,Theory of Orbits, 1967]). Τα τρία από αυτά είναι πάνω στον x - άξονα και καλούνται συγγραμμικά, ενώ τα δύο από αυτά είναι εκτός του x - άξονα αλλά πάνω στο επίπεδο και καλούνται τριγωνικά σημεία ισορροπίας και σχηματίζουν μαζί με τα m 1,m 2 ισόπλευρο τρίγωνο Λύσεις ισορροπίας Στο επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων με τριγωνική - Lagrangian - διαμόρφωση των πρωτευόντων σωμάτων ο αριθμός τόσο των συγγραμμικών όσο και των μη συγγραμμικών σημείων ισορροπίας είναι αντικείμενο έρευνας και θα αποδείξουμε ότι εξαρτάται από την αναλογία των μαζών m 1,m 2,m 3 των τριών πρωτευόντων σωμάτων. Ξεκινάμε την μελέτη μας υποθέτωντας αρχικά ότι όλα τα πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα m 1 =m 2 =m 3. Οι θέσεις των πρωτευόντων σωμάτων, σύμφωνα με τις γενικές εξισώσεις (2.5) και αν αντικαταστήσουμε m 1 =m 2 =m 3 =1/3 είναι : (x 1, y 1 ) = ( 1, 0), (x 2, y 2 ) = ( , 1 2 ), (x 3, y 3 ) = ( 1 2 3, 1 2 ) Στην περίπτωση που και τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα βρήκαμε ότι το πρόβλημα μας έχει τέσσερα συγγραμμικά σημεία ισορροπίας, πάνω στον άξονα x και έξι μη συγγραμμικά που βρίσκονται στο επίπεδο x - y. Λόγω της ισότητας των μαζών το πρόβλημα μας παρουσιάζει συμμετρία και τα δέκα σημεία ισορροπίας

62 52Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Σχήμα 2.3: Θέσεις σωμάτων m 1 =m 2 =m 3 =1/3 κοίτωνται στο επίπεδο x - y συμμετρικά ως προς τους άξονες συμμετρίας y=0, y= 3 και y= 3, όπως αυτοί φαίνονται στο σχήμα (2.3). Αν στις αρχικές μας εξισώσεις της κίνησης για τις τρείς διαστάσεις (2.1) αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες των πρωτευόντων σωμάτων που υπολογίσαμε προηγουμένως για m 1 =m 2 =m 3 =1/3 (2.5.1) για το επίπεδο : (x 1, y 1 ) = ( 1, 0), (x 2, y 2 ) = ( , 1 2 ), (x 3, y 3 ) = ( 1 2 3, 1 2 ) τότε οι μερικές παράγωγοί του Ω στο επίπεδο θα είναι : 1 Ω x = x 2 + x 3 3(( x)2 + ( y)2 ) x 1 3/2 3(( 1 + x) 2 + y2 ) 2 + x 3 3/2 3(( x)2 + ( y)2 ) 3/2 (2.8) Ω y = y 1 + y 2 3(( x)2 + ( y)2 ) y 1 3/2 3(( 1 + x) 2 + y2 ) + y 2 3/2 3(( x)2 + ( y)2 ) 3/2 (2.9) Η λύση του συστήματος Ω Ω = 0, = 0 θα μας δώσει τις θέσεις των σημείων x y ισορροπίας του συστήματος. Παρατηρούμε ότι για y = 0 η δεύτερη εξίσωση Ω = 0 ικανοποιείται οπότε η λύση y του συστήματος (2.8) περιορίζεται μόνο στην λύση της εξίσωσης Ω = 0 που δίνει x

63 2.5. Ολα τα πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα 53 σημεία (x 0, 0), δηλαδή σημεία ισορροπίας που βρίσκονται πάνω στον x άξονα. Αυτά λέγονται συγγραμμικά σημεία ισορροπίας. Ετσι η πρώτη εξίσωση Ω = 0 για y = 0 γίνεται : x Ω x y >0 = x x x 1 2(x 1 3 [3(x )2 + 1 (2.10) 4 ]3/2 2 3 ) Άρα οι συντεταγμένες (x 0, 0) των συγγραμμικών σημείων ισορροπίας δίνονται σε αυτή την περιπτωση από την λύση της εξίσωσης : x 0 x x 0 1 2(x [(x ) 2 3 ) ]3/2 = 0 (2.11) Η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης (2.11) είναι που παρουσιάζεται στα σχήματα ( 2.4) αριστερά και δεξιά σε μεγέθυνση και από την τομή της με τον οριζόντιο άξονα υπολογίζουμε αριθμητικά τα συγγραμμικά σημεία ισορροπίας. Τώρα για y 0 το σύστημα Ω x = 0, Ω = 0 δίνει τα μη συγγραμμικά σημεία y ισορροπίας. Σχήμα 2.4: Αριστερά : Γραφική παράσταση της καμπύλης Ω για y = 0. Δεξιά: x Μεγέθυνση της καμπύλης και εύρεση των συγγραμμικών σημείων ισορροπίας ως τομές της με τον οριζόντιο άξονα

64 54Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Η ευρεση των συντεταγμένων (x 0, y 0 ) των μη συγγραμμικών σημείων ισορροπίας γίνεται υπολογίζοντας αριθμητικά τις τιμές των σημείων τομής των συναρτήσεων ϑω ϑω = 0 (πράσινο χρώμα) και = 0 (μπλέ χρώμα) στην παρακάτω γραφική (σχήμα ϑx ϑy 2.5) όπου Ω το δυναμικό του συστήματος (1.9). Στις παρακάτω εικόνες (σχήματα 2.6) δίνουμε συγκεντρωτικά τα 10 σημεία ισορροπίας, με τις ακριβείς θέσεις των πρωτευόντων σωμάτων καθώς και οι άξονες συμμετρίας του επίπεδου περιορισμένου προβλήματος των τεσσάρων σωμάτων, για την περίπτωση των ίσων πρωτευόντων μαζών. Σχήμα 2.5: Εύρεση μη συγγραμμικών σημείων ισορροπίας ως τομές των εξισώσεων Ω Ω = 0 (πράσινο χρώμα) και = 0 (μπλέ χρώμα) για m x y 1=m 2 =m 3 =1/3 Οι ακριβείς συντεταγμένες των σημείων ισορροπίας, που υπολογίσαμε σύμφωνα με την παραπάνω μεθοδολογία για m 1 =m 2 =m 3 =1/3 είναι για τα συγγραμμικά : (x L1, y L1 )=(0., 0.), (x L2, y L2 )=(1.18, 0.) (x L3, y L3 )=( , 0.), (x L4, y L4 )=( , 0.) ενώ οι συντεταγμένες των μη συγγραμμικών σημείων ισορροπίας είναι : (x L5, y L5 )=( , ), (x L6, y L6 )=( , ) (x L7, y L7 )=( , ), (x L8, y L8 )=( , ) (x L9, y L9 )=( , ), (x L10, y L10 )=( , )

65 2.5. Ολα τα πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα 55 Σχήμα 2.6: Πάνω αριστερά : Συγγραμμικά σημεία ισορροπίας, Πάνω δεξιά : Μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας για m 1 =m 2 =m 3. Κάτω αριστερά : Θέσεις σωμάτων και σημεία ισορροπίας, Κάτω δεξιά : Σημεία ισορροπίας και οι άξονες συμμετρίας του προβλήματος.

66 56Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Καμπύλες και επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας για την περίπτωση m 1 =m 2 =m 3 Χρησιμοποιώντας την επιφάνεια C = 2Ω (σχέση 2.4) μπορούμε να βρούμε τις περιοχές στο χώρο όπου το τέταρτο σώμα δύναται να επιτρέπεται να κινηθεί για δεδομένη τιμή της σταθεράς C του Jacobi. Η προβολή της επιφάνειας C = 2Ω στο επίπεδο x y, για ταχύτητα ίση με το μηδέν μας δίνει επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας του περιορισμένου προβλήματος των τεσσάρων σωμάτων που μελετούμε. Στις γραφικές παραστάσεις που ακολουθούν (σχήματα 2.7 αριστερά και δεξιά) φαίνονται οι καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για την περίπτωση όπου m 1 =m 2 =m 3 =1/3 και για τιμές της σταθεράς C του Jacobi ίση με τις τιμές C Li των αντίστοιχων σημείων ισορροπίας. Με μπλέ κουκίδες φαίνονται τα τρία πρωτεύοντα σώματα στις θέσεις x - y, ενώ με πράσινες κουκίδες ξεχωρίζουν τα σημεία ισορροπίας του προβλήματος. Το αμελητέας μάζας τέταρτο σώμα δύναται να κινηθεί μόνο στις λευκές περιοχές που απεικονίζονται στα σχήματα μας, ενώ οι κόκκινες περιοχές αντιστοιχούν σε συντεταγμένες που δεν είναι επιτρεπτή η κίνηση του. Μελέτη για τις καμπύλες μηδενικής ταχύτητας αλλά μόνο για συγκεκριμένες τιμές μαζών, έχει γίνει και από τους ([24, Simo, 1978] και [1, Alvarez-Ramirez and Vidal, 2009]). Επίσης οι τιμές των ενεργειών των σημείων ισορροπίας που υπολογίσαμε είναι : C L1 =3.4641, C L2 =C L7 =C L8 = , C L3 = C L5 =C L6 = , C L4 =C L9 =C L10 = Παρατηρώντας τις τιμές των ενεργειών των σημείων ισορροπίας καθώς και τις αντίστοιχες καμπύλες και επιφάνειες μηδενικής τους ταχύτητας, που παραθέσαμε για όλα τα σημεία ισορροπίας ξεχωριστά παραπάνω οφείλουμε να επισημάνουμε σε αυτό το σημείο πως οι τιμές C L2, C L7, C L8 ταυτίζονται μεταξύ τους όπως επίσης και οι καμπύλες μηδενικής ταχύτητας που αντιστοιχούν στις παραπάνω τιμές της σταθεράς του Jacobi. Το ίδιο ακριβώς συμβαίνει για C L3, C L5, C L6 καθώς και για C L4, C L9, C L10. Αυτό είναι αποτέλεσμα της συμμετρίας που εμφανίζει το περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων, για m 1 =m 2 =m 3, με τους τρείς άξονες συμμετρίας y=0, y= 3 και y= 3 όπως παρουσιάζονται στο σχήμα (2.3).

67 2.5. Ολα τα πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα 57 Σχήμα 2.7: Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας και αντίστοιχες περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος για C L1 (Αριστερά) και C L2, C L7 και C L8 (Δεξιά) όταν m 1 =m 2 =m 3 Σχήμα 2.8: Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας και αντίστοιχες περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος για C L3,C L5 και C L6 (Αριστερά με τιμή της ενέργειας λίγο μεγαλύτερη ώστε να φαίνεται πριν η καμπύλη μηδενικής ταχύτητας εκφυλιστεί πάνω στα σημεία L 3,L 5 και L 6 ) και C L4,C L9 και C L10 (Δεξιά) όταν m 1 =m 2 =m 3

68 58Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Σχήμα 2.9: Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας και αντίστοιχες περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος για τιμές ενέργειας από C = 3.6 έως 1.8

69 2.5. Ολα τα πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα 59 Στις επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας που παρουσιάζονται στα σχήματα (2.10 έως 2.12) φαίνονται και οι προβολές τους στο επίπεδο, που είναι οι αντίστοιχες καμπύλες μηδενικής ταχύτητας που υπολογίσαμε και παρουσιάσαμε στην αρχή της ενότητας. Οι οριακές τιμές των ενεργειών C για τις οποίες ανοίγουν οι περιοχές (κόκκινο και λευκό χρώμα) και δίνεται η δυνατότητα στο τέταρτο σώμα να κινηθεί γύρω από τα σώματα και σε περιοχές που πριν δεν μπορούσε, είναι αυτές που παραθέσαμε στην παραγράφο (2.5.2). Οι οριακές αυτές τιμές των ενεργειών, για τις οποίες ανοίγουν διάδρομοι και μπορεί το τέταρτο σώμα να ταξιδέψει προς περιοχές που πριν ήταν απαγορευμένες φαίνονται ακόμα καλύτερα στις τρισδιάστατες απεικόνισεις στα σχήματα (2.10) και (2.11), ενώ στο συγκεντρωτικό σχήμα (2.12) παρουσιάζεται η εξέλιξη όσο μειώνεται η ενέργεια και αποκαλύπτονται σταδιακά αυτοί οι διάδρομοι, από τους οποίους περνάει σε επιτρεπτές περιοχές το τέταρτο σώμα. Πιο συγκεκριμένα, υπολογίσαμε πως το τέταρτο σώμα για C > C L4, όπου C L4 = C L9 = C L10, μπορεί να κινηθεί μόνο κοντά στο κάθε σώμα ή πολύ μακριά τους, χωρίς να είναι δυνατή η μετακίνηση από το ένα πρωτεύον σώμα στο άλλο. Για C L2 < C < C L4, όπου C L2 = C L7 = C L8, ανοίγουν διάδρομοι και σπάει η απομόνωση, οπότε το τέταρτο σώμα έχει την δυνατότητα να πάει από το ένα πρωτεύον σώμα στο άλλο, αλλά δεν μπορεί ακόμα να βγεί στην εξωτερική περιοχή και να απομακρυνθεί από την περιοχή κοντά στα τρία πρωτεύοντα σώματα. Χαμηλώνοντας και άλλο η ενέργεια και για C L3 < C < C L2, όπου C L3 = C L6 = C L5, το τέταρτο σώμα αποκτά την δυνατότητα να κινηθεί και προς τον εξωτερικό χώρο, οπότε κινείται ελεύθερα πάντου και δεν υπάρχουν απαγορευμένες - απομονωμένες περιοχές στο επίπεδο.

70 60Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Σχήμα 2.10: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας για C L1 (Αριστερά) και C L2, C L7 και C L8 (Δεξιά) καθώς και οι προβολές τους στο επίπεδο x y όταν m 1 =m 2 =m 3 Σχήμα 2.11: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας για C L3,C L5 και C L6 (Αριστερά) και C L4,C L9 και C L10 (Δεξιά) καθώς και οι προβολές τους στο επίπεδο x y όταν m 1 =m 2 =m 3

71 2.5. Ολα τα πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα 61 Σχήμα 2.12: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας καθώς και οι προβολές τους στο επίπεδο x y για διακυμάνσεις την τιμής της ενέργειας από C = 3.6 έως 1.8, όταν m 1 =m 2 =m 3

72 62Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων 2.6 Δύο από τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα Στην συνέχεια μελετάμε το περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων για την περίπτωση όπου m 2 =m 3 ενώ η m 1 έχει πάντα διαφορετική τιμή από τις άλλες δύο. Από τις αρχικές μας υποθέσεις έχουμε ότι m 1 +m 2 +m 3 = 1 άρα έχουμε: m 1 =1 2m 3 και m 2 = m 3 < 1 2. Κάνοντας αυτές τις αντικαταστάσεις στις αρχικές γενικές εξισώσεις (2.5), οι θέσεις των πρωτευόντων σωμάτων ως προς τις συντεταγμένες x - y είναι : (x 1, y 1 ) = (m 3 3, 0) (x 2, y 2 ) = ( (x 3, y 3 ) = ( 3 2 (2m 3 1), 1 2 ) 3 2 (2m 3 1), 1 2 ) Εχουμε επιλέξει από τις αρχικές μας υποθέσεις, το πρωτεύον σώμα μάζας m 1 να βρίσκεται πάντα πάνω στον θετικό x άξονα και από την περαιτέρω μελέτη για την περίπτωση των δύο ίσων πρωτευόντων μαζών, προέκυψε ότι κινείται πάντα πάνω στον άξονα x στο διάστημα (0, 3 ), όταν m 2 2,3 (0, 1/2). Επίσης από τους υπολογισμούς μας για τις θέσεις των σωμάτων και τις εξισώσεις τους παραπάνω αποδυκνύεται πως τα πρωτεύοντα σώματα με μάζες m 2 και m 3 κινούνται πάντα πάνω στις παράλληλες γραμμές y = 1 και y = 1 αντίστοιχα και στο διάστημα x ( 3, 0), όταν m ,3 (0, 1/2). Το πρόβλημα μας για την περίπτωση των δύο ίσων πρωτευόντων μαζών παρουσιάζει συμμετρία μόνο ως προς τον οριζόντιο άξονα y=0, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.2, έχει δηλαδή πλέον σπάσει η τριπλή συμμετρία που είχαμε προηγουμένως για τρία ίσα πρωτευοντα σώματα με άξονες συμμετρίας y=0, y= 3 και y= Λύσεις ισορροπίας Στην περίπτωση αυτή, όπου m 2 = m 3 < 1 2 και m 1=1 2m 3 οι συντεταγμένες των σημείων ισορροπίας δίνονται από τις εξισώσεις : x 0 (1 2m 3)(x 0 x 1 ) [(x 0 x 1 ) 2 + y 2 0] 3/2 m 3 (x 0 x 2 ) [(x 0 x 2 ) 2 + (y 0 y 2 ) 2 ] 3/2 m 3 (x 0 x 3 ) [(x 0 x 3 ) 2 + (y 0 y 3 ) 2 ] 3/2 = 0 (2.12)

73 2.6. Δύο από τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα 63 (1 2m 3 )y 0 y 0 [(x 0 x 1 ) 2 + y0] m 3 (y 0 y 2 ) 2 3/2 [(x 0 x 2 ) 2 + (y 0 y 2 ) 2 ] m 3 (y 0 y 3 ) 3/2 [(x 0 x 3 ) 2 + (y 0 y 3 ) 2 ] = 0 3/2 (2.13) Σχήμα 2.13: Θέσεις σωμάτων. Παράδειγμα για m 2 =m 3 =0.2 Σε αυτό το σημείο πρέπει να σημειώσουμε ότι για την τιμή y 0 = 0 η δεύτερη εξίσωση (2.13) ικανοποιείται πλήρως, αφού για y 0 = 0 από την εξίσωση μένουν μόνοι οι όροι x 2, y 2, x 3, y 3 οι οποίοι αφαιρούνται και δίνουν αποτέλεσμα μηδέν, αφού είναι αντίθετοι λόγω συμμετρίας του προβλήματος, όπως φαίνεται εξάλλου και από τα αποτελέσματα για τις συντεταγμένες των θέσεων των πρωτευόντων σωμάτων που παρουσιάσαμε προηγουμένως. Οπότε στο περιορισμένο επίπεδο πρόβλημα των τεσσέρων σωμάτων με δύο ίσες μάζες έχουμε συγγραμμικά σημεία ισορροπίας για κάθε πιθανή τιμή των μαζών. Οι συντεταγμένες (x 0, 0) των συγγραμμικών σημείων ισορροπίας δίνονται από την παραπάνω εξίσωση (2.12), για y 0 = 0. Από τη μελέτη για τη λύση της εξίσωσης βρίσκουμε ότι δεν έχουμε σταθερό πλήθος συγγραμμικών σημείων ισορροπίας αλλά αυτό εξαρτάται από τις τιμές των μαζών. Στην γραφική παράσταση (σχήμα 2.14 αριστερά) παρουσιάζονται οι ακριβείς θέσεις των συγγραμμικών σημείων ισορροπίας L 1, L 2, L 3 και L 4 για κάθε πιθανή τιμή των μαζών m 2,3 (0, 1/2). Επίσης η ε- ξάρτηση του πλήθους των συγγραμμικών σημείων ισορροπίας (δύο ή τέσσερα) από τις τιμές των μαζών φαίνεται σχηματικά από την μορφή της γραφικής (2.14 αριστερά). Υπολογίσαμε αριθμητικά με ακρίβεια 8 σημαντικών ψηφίων πως για m 2 =m 3 (0, ] το πρόβλημα μας έχει δύο συγγραμμικά σημεία ισορροπίας, ενώ για m 2,3 [ , 1/2) έχει τέσσερα συγγραμμικά, καθώς εμφανίζονται ακόμα δύο

74 64Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων τα L 1 και L 4. Αξίζει να παρατηρηθεί πως στο σημείο Ν της γραφικής το σημείο ισορροπίας L 1 συμπίπτει με το L 4, ενώ όσο η τιμή των μαζών m 2,3 αυξάνεται και τείνει προς το 1/2 το σημείο ισορροπίας L 1 τείνει προς το L 2. Σχήμα 2.14: Αριστερά : Θέσεις των δύο ή τεσσάρων συγγραμμικών σημείων ισορροπίας για m 2 =m 3. Δεξιά : Η εξέλιξη όλων των σημείων ισορροπίας για την περίπτωση των δύο ίσων μαζών Για την περίπτωση y 0, οι συντεταγμένες των σημείων ισορροπίας υπολογίζονται επιλύοντας τις εξισώσεις (2.12) και (2.13). Ετσι λύσαμε αριθμητικά το σύστημα των εξισώσεων και υπολογίσαμε τα μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας (παραθέτουμε τόσο τις γενικές σχέσεις των συντεταγμένων τους, όσο και τις συγκεκριμένες τιμές για τους συνδυασμούς των μαζών που επιλέξαμε να μελετήσουμε στη συνέχεια). Στο σχήμα (2.14 δεξιά) φαίνεται η εξέλιξη και των δέκα σημείων ισορροπίας του προβληματός μας, συγγραμμικών και μη, για όλο το πεδίο των τιμών των m 2,3 (0, 1/2). Αρχικά ξεκινώντας από τιμές m 2,3 0, σημείο Α στο σχήμα (2.14 αριστερά), το πρόβλημα μας έχει δύο συγγραμμικά σημεία ισορροπίας και έξι μη συγγραμμικά, καθώς όπως ήδη αναφέραμε για m 2 =m 3 (0, ] τα L 1 και L 4 δεν υπάρχουν. Στην συνέχεια και όσο οι τιμές των μαζών αυξάνονται, τα σημεία L 1 και L 4 εμφανίζονται και έχουμε δέκα συνολικά σημεία ισορροπίας. Οσο οι τιμές των μαζών m 2,3 συνεχίζουν να αυξάνονται δύο μη συγγραμμικά σημεία εξαφανίζονται και το σύνολο των σημείων ισορροπίας γίνεται από δέκα και πάλι οχτώ (σημείο Κ του σχήματος 2.14 δεξιά). Αυτό το σημείο αντιστοιχεί σε m 2,3 = , ενώ για ακόμα μεγαλύτερες τιμές των μαζών m 2,3 τα σημεία ισορροπίας παραμένουν οχτώ. Αρα για m 2,3 [ , ] το πρόβλημα μας έχει τέσσερα συγγραμμικά σημεία ισορροπίας και έξι μη συγγραμμικά, ενώ για το διάστημα (0.4402, 0.5) έχει τέσσερα συγγραμμικά και τέσσερα μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας. Στο σχήμα

75 2.6. Δύο από τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα 65 (2.14 δεξιά) παρουσιάζονται και τόξα καμπυλών που είναι ευσταθή τα σημεία και θα αναφερθούμε στην ευστάθεια τους στην συνέχεια της μελέτης μας. Επίσης τα σημεία Α και Β της εικόνας (2.14 δεξιά) αντιστοιχούν στις οριακές τιμές των μαζών m 2,3 0 και m 2,3 1/2 αντίστοιχα. Στον πίνακα που ακολουθεί (2.1) φαίνονται συγκεντρωτικά όλα τα αποτελέσματα της παραπάνω μελέτης. Πίνακας 2.1: Πλήθος συγγραμμικών και μη συγγραμμικών σημείων ισορροπίας, για όλες τις πιθανές αναλογίες μαζών στην περίπτωση m 2 = m 3 Σημεία ισορροπίας Συγγραμικά Μη συγγραμμικά m 2 = m 3 ɛ(0, ] m 2 = m 3 ɛ(0.2882, ] m 2 = m 3 ɛ[0.4403, 0.5) Στην συνέχεια θα εξετάσουμε τις καμπύλες μηδενικής ταχύτητας καθώς και τις αντίστοιχες επιφάνειες ώστε να βρούμε τις περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος στην περίπτωση των δύο ίσων πρωτευόντων σωμάτων. Για τις ανάγκες της μελέτης μας επιλέγουμε κάποιες ενδεικτικές τιμές για τις μάζες. Θέλοντας να παρουσιάσουμε όλες τις περιπτώσεις του παραπάνω πίνακα (2.1) για όλο το πλήθος πιθανών σημείων ισορροπίας, επιλέχθηκαν δύο περιπτώσεις με αρχικές μάζες m 2 = m 3 = 0.01, που ικανοποιεί την συνθήκη (2.7) άρα είναι ευσταθής διαμόρφωση του συστήματος των τριών μαζών και στην συνέχεια για m 2 = m 3 = 0.4, που δεν ικανοποιεί την συνθήκη ευστάθειας αλλά τα σημεία ισορροπίας σε αυτή την περίπτωση καθώς και οι καμπύλες μηδενικής ταχύτητας παρουσιάζουν ενδιαφέρον σε σχέση με την προηγούμενη περιπτώση. Σε όλες τις καμπύλες μηδενικής ταχύτητας m 2 = m 3 και ανεξάρτητα από τις τιμές των μαζών και των σημείων ισορροπίας, όπως αναφέραμε ήδη προηγουμένως, έχουμε ένα άξονα συμμετρίας τον οριζόντιο άξονα y = 0, ενώ στην περίπτωση των τριών ίσων πρωτευόντων μαζών είχαμε τρείς άξονες συμμετρίας y = 0, y = ± Καμπύλες και επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας για m 2 =m 3 =0.01 Για m 2 =m 3 =0.01, έχουμε m 1 =1 2m 3 =0.98 και το πρόβλημα μας έχει δύο συγγραμμικά σημεία ισορροπίας και εξι μη συγγραμμικά καθώς όπως δείξαμε προηγουμένως, τα L 1 και L 4 δεν υπάρχουν. Αυτό το παράδειγμα, αντιστοιχεί σε ευσταθή διαμόρφωση του συστήματος των τριών πρωτευόντων σωμάτων καθώς ισχύει η ανισότητα

76 66Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων ( 2.7 ). Συγκεντρωτικά όλα τα σημεία ισορροπίας και οι θέσεις των μαζών φαίνονται στις εικόνες που ακολουθούν. Σχήμα 2.15: Θέσεις σωμάτων για m 2 =m 3 =0.01 Σχήμα 2.16: Καμπύλη της εξίσωσης (2.12) για την εύρεση των συγγραμμικών σημείων ισορροπίας για m 2 =m 3 =0.01 Στην περίπτωση αυτή οι συντεταγμένες των πρωτευόντων σωμάτων είναι: (x m1, y m1 )=( , 0.) (x m2, y m2 )=( , 1 2 ) (x m3, y m3 )=( , 1 2 )

77 2.6. Δύο από τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα 67 Η γραφική παράσταση της εξίσωσης (2.12) για m 2 = m 3 =0.01 και m 1 =1 2m 3 =0.98 είναι που παρουσιάζεται στο σχήμα (2.16). Από την τομή της με τον οριζόντιο άξονα υπολογίζουμε αριθμητικά τις συντεταγμένες των συγγραμμικών σημείων ισορροπίας. Αντίστοιχα η ευρεση των συντεταγμένων (x 0, y 0 ) των μη συγγραμμικών σημείων ι- σορροπίας γίνεται υπολογίζοντας αριθμητικά τις τιμές των σημείων τομής των συναρτήσεων ϑω ϑω (πράσινο χρώμα) και (μπλέ χρώμα) στην παρακάτω γραφική (σχήμα ϑx ϑy 2.17) όπου Ω η σταθερα του Jacobi (1.9). Οι καμπύλες ϑω ϑω και δίνονται από τις ϑx ϑy σχέσεις (2.12) και (2.13), για τιμές μαζών m 2 = m 3 =0.01, m 1 =1 2m 3 =0.98. Σχήμα 2.17: Εύρεση μη συγγραμμικών σημείων ισορροπίας ως τομές των εξισώσεων Ω Ω = 0 (πράσινο χρώμα) και = 0 (μπλέ χρώμα) για m x y 2=m 3 =0.01 Βρήκαμε πως το πρόβλημα μας για αύτη την περίπτωση έχει δύο συγγραμμικά και έξι μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας. Οι ακριβείς συντεταγμένες των σημείων ισορροπίας, που υπολογίσαμε σύμφωνα με την μεθοδολογία της προηγούμενης παραγράφου για m 2 =m 3 =0.01 είναι για τα συγγραμμικά : (x L2, y L2 )=(1.0066, 0.), (x L3, y L3 )=( , 0.) ενώ οι συντεταγμένες των μη συγγραμμικών σημείων ισορροπίας είναι : (x L5, y L5 )=( , ), (x L6, y L6 )=( , ) (x L7, y L7 )=( , ), (x L8, y L8 )=( , ) (x L9, y L9 )=( , ), (x L10, y L10 )=( , ) Επιπλέον δίνουμε τις τιμές των ενεργειών των σημείων ισορροπίας που υπολογίσαμε : C L2 =3.0153, C L3 = ,C L5 =C L6 = C L7 =C L8 = , C L9 =C L10 =

78 68Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Στις παρακάτω εικόνες (σχήμα 2.18 αριστερά - δεξιά) δίνουμε συγκεντρωτικά τα 8 σημεία ισορροπίας συγγραμμικά και μη αντίστοιχα, ενώ στο σχήμα 2.19 παρουσιάζουμε το σύνολο των σημείων ισορροπίας μαζί με τις ακριβείς θέσεις των πρωτευόντων σωμάτων με μόνο άξονα συμμετρίας του επίπεδου περιορισμένου προβλήματος των τεσσάρων σωμάτων τον y = 0, για την περίπτωση των ίσων πρωτευόντων μαζών. Σχήμα 2.18: Αριστερά : Συγγραμμικά σημεία ισορροπίας για m 2 =m 3 =0.01. Δεξιά : Μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας για m 2 =m 3 =0.01 Σχήμα 2.19: Θέσεις σωμάτων και σημεία ισορροπίας για m 2 =m 3 =0.01 Επίσης στις γραφικές παραστάσεις που ακολουθούν (σχήματα 2.20 έως 2.23) φαίνονται οι καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για την περίπτωση όπου m 1 =m 2 =0.01 και

79 2.6. Δύο από τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα 69 για τιμές της σταθεράς C του Jacobi ίση με τις τιμές C Li των αντίστοιχων σημείων ισορροπίας. Με μπλέ κουκίδες απεικονίζονται τα τρία πρωτεύοντα σώματα στις θέσεις x - y, ενώ με πράσινες κουκίδες ξεχωρίζουν τα σημεία ισορροπίας του προβλήματος. Το αμελητέας μάζας τέταρτο σώμα δύναται να κινηθεί μόνο στις λευκές περιοχές που απεικονίζονται στα σχήματα μας, ενώ οι κόκκινες περιοχές αντιστοιχούν σε συντεταγμένες που δεν είναι επιτρεπτή η κίνηση του. Παρατηρώντας τις τιμές των ενεργειών των σημείων ισορροπίας καθώς και τις αντίστοιχες καμπύλες και επιφάνειες μηδενικής τους ταχύτητας παρατηρήσαμε πως οι τιμές C L7, C L8 ταυτίζονται μεταξύ τους και συνεπώς και οι καμπύλες μηδενικής ταχύτητας που αντιστοιχούν στις παραπάνω τιμές της σταθεράς του Jacobi. Το ίδιο ακριβώς συμβαίνει για C L5, C L6 καθώς και για C L9, C L10. Οι ενέργειες C L2 και C L3 έχουν τιμές που δεν συμπίπτουν με καμία από τις παραπάνω των άλλων σημείων ισορροπίας. Αυτό είναι αποτέλεσμα της συμμετρίας που εμφανίζει το περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων για m 2 =m 3 καθώς πλέον εμφανίζει μόνο έναν άξονα συμμετρίας τον y=0. Τέλος στις επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας που παρουσιάζονται στα σχήματα ( 2.24 έως 2.27) φαίνονται και οι προβολές τους στο επίπεδο, που είναι οι αντίστοιχες καμπύλες μηδενικής ταχύτητας. Οι οριακές τιμές των ενεργειών C για τις οποίες ανοίγουν οι περιοχές (κόκκινο και λευκό χρώμα) και δίνεται η δυνατότητα στο τέταρτο σώμα να κινηθεί σε περιοχές που πριν δεν μπορούσε, είναι αυτές που παραθέσαμε στην παραγράφο (2.6.2). Οι διάδρομοι που ανοίγουν και μπορεί το τέταρτο σώμα να κινηθεί προς περιοχές που πριν ήταν απαγορευμένες, ανάλογα με τις οριακές τιμές των ενεργειών, φαίνονται πιο καθαρά στο συγκεντρωτικό σχήμα (2.26). Σχήμα 2.20: Αριστερά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L2 όταν m 2 =m 3 =0.01. Δεξιά : Καμπύλη μηδενικής ταχύτητας για C L3,με ενέργεια ελάχιστα μεγαλύτερη από την τιμή C L3 ώστε να φαίνεται πριν εκφυλιστεί στο σημείο L 3, όταν m 2 =m 3 =0.01

80 70Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Σχήμα 2.21: Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L5 και C L6 για ενέργεια ελάχιστα μεγαλύτερη από την τιμή C L5 = C L6 ώστε να φαίνονται οι καμπύλες πριν εκφυλιστούν στα σημεία L 5 και L 6 αντίστοιχα Σχήμα 2.22: Αριστερά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L7 =C L8 όταν m 2 =m 3 =0.01. Δεξιά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L9 =C L10 αντίστοιχα όταν m 2 =m 3 =0.01

81 2.6. Δύο από τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα 71 Σχήμα 2.23: Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας και αντίστοιχες περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος για τιμές ενέργειας από C = 3.6 έως C L3 όταν m 2 =m 3 =0.01

82 72Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Σχήμα 2.24: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας, προβολές τους στο επίπεδο x y και αντίστοιχες περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος για C L2 (Αριστερά) και C L3 (Δεξιά) όταν m 2 =m 3 =0.01 Σχήμα 2.25: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας, προβολές τους στο επίπεδο x y και αντίστοιχες περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος για C L5 =C L6 (Αριστερά) και C L7 =C L8 (Δεξιά) όταν m 2 =m 3 =0.01

83 2.6. Δύο από τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα 73 Σχήμα 2.26: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας καθώς και οι προβολές τους στο ε- πίπεδο x y για διακυμάνσεις την τιμής της ενέργειας από C = 3.6 έως 1.8, όταν m 2 =m 3 =0.01

84 74Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Σχήμα 2.27: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας, προβολές τους στο επίπεδο x y και αντίστοιχες περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος για C L9 = C L10, όταν m 2 =m 3 =0.01 Συμπερασματικά, παρατηρώντας τις παραπάνω καμπύλες και επιφάνειες, μπορούμε να αναφέρουμε πως το τέταρτο σώμα για για C > C L9, όπου C L9 = C L10, έχει την δυνατότητα να κινηθεί μόνο πολύ κοντά στο κάθε σώμα, χωρίς να μπορεί να μεταβεί από το ένα πρωτεύον στο άλλο. Για C L8 < C < C L9, όπου C L7 = C L8, ανοίγουν διάδρομοι και το τέταρτο σώμα μπορεί να μεταβεί από το ένα πρωτεύον σώμα στο άλλο, αλλά δεν μπορεί να περάσει στον χώρο πολύ μακριά από τα τρία σώματα, καθώς οι καμπύλες και οι επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας ορίζουν μια κλειστή περιοχή γύρω και από τα τρία σώματα. Μόνο όταν C L5 < C < C L2 σπάει και αυτή η απομόνωση και το τέταρτο σώμα μπορεί να κινηθεί προς και από τα σώματα στον εξωτερικό χώρο με μόνες απαγορευμένες περιοχές μικρά τόξα γύρω από τα σημεία ισορροπίας L 5, L 6, ενώ για C < C L5 δεν υπάρχει καμία απαγορευμένη περιοχή και μπορεί να κινηθεί ελέυθερα σε όλο το επίπεδο.

85 2.6. Δύο από τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα Καμπύλες και επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας για m 2 =m 3 =0.4 Αντίστοιχα με την προηγούμενη ενότητα, εξετάζουμε και την περίπτωση για m 2 =m 3 =0.4 καθώς για τον συνδυασμό αυτό των μαζών έχουμε μη ευσταθές σύστημα των τριών πρωτευόντων σωμάτων, ενώ εμφανίζονται τέσσερα συγγραμμικά σημεία ισορροπίας και έξι μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας. Ετσι σε αυτή την περίπτωση έχουμε τις θέσεις πρωτευόντων σωμάτων και τα σημεία ισορροπίας που φαίνονται στα σχήματα (2.28) και (2.31) αντίστοιχα. Οι συντεταγμένες των πρωτευόντων σωμάτων γι αυτές τις τιμές μαζών, όπως φαίνοναι στο σχήμα (2.28) είναι: (x m1, y m1 )= , 0.) (x m2, y m2 )=( , 1 2 ) (x m3, y m3 )=( , 1 2 ) Σχήμα 2.28: Θέσεις σωμάτων για m 2 =m 3 =0.4 Η γραφική παράσταση της εξίσωσης (2.12) για m 2 = m 3 =0.4 και m 1 =1 2m 3 =0.2 είναι που παρουσιάζεται στα σχήματα (2.29) αριστερά και δεξιά σε μεγέθυνση. Με την ίδια μέθοδο που ακολουθήσαμε και στις προηγούμενες υποενότητες, υπολογίζουμε αριθμητικά τις συντεταγμένες των συγγραμμικών σημείων ισορροπίας και των συντεταγμένων (x 0, y 0 ) των μη συγγραμμικών σημείων ισορροπίας από τις τομές δηλαδή των συναρτήσεων ϑω ϑx και ϑω ϑy.

86 76Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Οι εξισώσεις ϑω ϑω = 0 (πράσινο χρώμα) και = 0 (μπλέ χρώμα) που φαίνονται στην ϑx ϑy παρακάτω γραφική (σχήμα 2.30), όπου Ω η σταθερα του Jacobi (1.9), δίνονται από τις σχέσεις (2.12) και (2.13) με τιμές μαζών m 2 = m 3 =0.4 και m 1 =1 2m 3 =0.2. Σχήμα 2.29: Καμπύλη της εξίσωσης (2.12) για την εύρεση των συγγραμμικών σημείων ισορροπίας για m 2 =m 3 =0.4 Οι ακριβείς συντεταγμένες των σημείων ισορροπίας, που υπολογίσαμε σύμφωνα με την μεθοδολογία της προηγούμενης παραγράφου για m 2 =m 3 =0.4 είναι για τα συγγραμμικά: (x L1, y L1 )=( , 0.), (x L2, y L2 )=(1.1848, 0.) (x L3, y L3 )=( , 0.), (x L4, y L4 )=( , 0.) ενώ οι συντεταγμένες των μη συγγραμμικών σημείων ισορροπίας είναι: (x L5, y L5 )=( , ), (x L6, y L6 )=( , ) (x L7, y L7 )=( , ), (x L8, y L8 )=( , ) (x L9, y L9 )=( , ), (x L10, y L10 )=( , ) Επιπλέον δίνουμε τις τιμές των ενεργειών των σημείων ισορροπίας που υπολογίσαμε : C L1 = C L2 = C L3 = C L4 = C L5 =C L6 = C L7 =C L8 = C L9 =C L10 =

87 2.6. Δύο από τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα 77 Σχήμα 2.30: Αριστερά : Εύρεση μη συγγραμμικών σημείων ισορροπίας ως τομές των εξισώσεων Ω = 0 (πράσινο χρώμα) και Ω = 0 (μπλέ χρώμα) για m x y 2=m 3 =0.4. Δεξιά : Θέσεις σωμάτων, συγγραμμικά και μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας Στις παρακάτω γραφικές παραστάσεις (σχήματα 2.31 έως 2.35) φαίνονται οι καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για την περίπτωση όπου m 1 =m 2 =0.4 και για τιμές της σταθεράς C του Jacobi ίση με τις τιμές C Li των αντίστοιχων σημείων ισορροπίας. Με μπλέ κουκίδες απεικονίζονται τα τρία πρωτεύοντα σώματα στις θέσεις x - y, ενώ με πράσινες κουκίδες ξεχωρίζουν τα σημεία ισορροπίας του προβλήματος. Το αμελητέας μάζας τέταρτο σώμα δύναται να κινηθεί μόνο στις λευκές περιοχές που απεικονίζονται στα σχήματα μας, ενώ οι κόκκινες περιοχές αντιστοιχούν σε συντεταγμένες που δεν είναι επιτρεπτή η κίνηση του. Οι παρατηρήσεις μας για τις τιμές των ενεργειών των σημείων ισορροπίας καθώς και τις αντίστοιχες καμπύλες και επιφάνειες μηδενικής τους ταχύτητας είναι ίδιες με την προηγούμενη υποενότητα, όπου m 1 =m 2 =0.01. Οι τιμές και οι καμπύλες μηδενικής ταχύτητας C L7, C L8 ταυτίζονται μεταξύ τους, όπως και οι C L5, C L6 καθώς και οι C L9, C L10. Σε αυτή την περίπτωση όμως έχουμε την εμφάνιση και των συγγραμμικών σημείων ισορροπίας C L1 και C L4 που στην προηγούμενη περίπτωση δεν υπήρχαν και δίνουν μια διαφορετική εικόνα του επιπέδου και της εξέλιξης τόσο των καμπυλών μηδενικής ταχύτητας, όσο και των επιφανειών μηδενικής ταχύτητας που παρουσιάζουμε παραπάτω (σχήματα 2.36 έως 2.40). Οι οριακές τιμές των ενεργειών C για τις οποίες ανοίγουν οι περιοχές (κόκκινο και λευκό χρώμα) είναι αυτές που παραθέσαμε παραπάνω στην παραγράφο (2.6.3).

88 78Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Σχήμα 2.31: Αριστερά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L1 όταν m 2 =m 3 =0.4. Δεξιά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L2 αντίστοιχα Σχήμα 2.32: Αριστερά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για τιμή λίγο μεγαλύτερη από C L3 όταν m 2 =m 3 =0.4. Δεξιά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L4 αντίστοιχα

89 2.6. Δύο από τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα 79 Σχήμα 2.33: Αριστερά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για ενέργεια ελάχιστα μεγαλύτερη από την τιμή C L5 = C L6 ώστε να φαίνονται οι καμπύλες πριν εκφυλιστούν στα σημεία L 5 και L 6 όταν m 2 =m 3 =0.4. Δεξιά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L7 = C L8 αντίστοιχα Σχήμα 2.34: Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L9 =C L10 όταν m 2 =m 3 =0.4.

90 80Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Σχήμα 2.35: Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας και αντίστοιχες περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος για τιμές ενέργειας από C = 3.6 έως 2.8,όταν m 2 =m 3 =0.4

91 2.6. Δύο από τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα 81 Σχήμα 2.36: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας, προβολές τους στο επίπεδο x y και αντίστοιχες περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος για C L1 (Αριστερά) και C L2 (Δεξιά) όταν m 2 =m 3 =0.4 Σχήμα 2.37: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας, προβολές τους στο επίπεδο x y και αντίστοιχες περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος για C L3 (Αριστερά) και C L4 (Δεξιά) όταν m 2 =m 3 =0.4

92 82Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Σχήμα 2.38: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας, προβολές τους στο επίπεδο x y και αντίστοιχες περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος για C L5 =C L6 (Αριστερά) και για C L7 =C L8 (Δεξιά) όταν m 2 =m 3 =0.4 Σχήμα 2.39: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας, προβολές τους στο επίπεδο x y και αντίστοιχες περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος για C L9 = C L10 όταν m 2 =m 3 =0.4

93 2.6. Δύο από τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα 83 Σχήμα 2.40: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας καθώς και οι προβολές τους στο ε- πίπεδο x y για διακυμάνσεις την τιμής της ενέργειας από C = 2.8 έως 3.6, όταν m 2 =m 3 =0.4

94 84Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων 2.7 Τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν διαφορετικές μάζες Στην συνέχεια μελετάμε το περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων για την περίπτωση όπου m 1 m 2 m 3. Από τις αρχικές μας υποθέσεις για την κανονικοποίηση έχουμε ότι m 1 + m 2 + m 3 = 1 ή m 1 =1 m 2 m 3 και m 2 m 3 < 1 2. Οι θέσεις των πρωτευόντων σωμάτων ως προς τις συντεταγμένες x - y δίνονται από τις αρχικές γενικές εξισώσεις (2.5) που υπολογίσαμε και παρουσιάσαμε στο παρόν κεφάλαιο στην ενότητα (2.3). Από την μελέτη μας και όπως έχουμε ήδη αναφέρει στην αρχή αυτού του κεφαλαίου, στην ενότητα (2.4), η ευστάθεια του συστήματος των τριών πρωτευόντων σωμάτων είναι πολύ σημαντική. Στην περίπτωση που μελετάμε σε αυτή την ενότητα οι μάζες ειναι άνισες και η συνθήκη για την ευστάθεια του συστήματος αυτού δίνεται από την εξίσωση (2.7). m 1 m 2 + m 2 m 3 + m 3 m 1 (m 1 + m 2 + m 3 ) 2 < 1 27 (2.14) ικανοποιείται για τους συνδυασμούς μαζών που παρουσιάζουμε στην πρώτη περίπτωση, δηλαδή για αρχικές μάζα m 2 =0.97, m 2 =0.01 και m 3 =0.02. Στην συνέχεια παρουσιάζουμε και μια διαμόρφωση για ασταθή σύστημα των τριών πρωτευόντων μαζών με m 1 =0.2, m 2 =0.42 και m 3 =0.38 για να φανεί η ιδιαιτερότητα των δέκα σημείων ισορροπίας και πως αυτά εμφανίζονται και εξαφανίζονται στο επίπεδο ανάλογα με την τιμή του ολοκληρώματος Jacobi Λύσεις ισορροπίας για m 1 m 2 m 3 Στην περίπτωση που τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν άνισες μάζες βρήκαμε ότι επιλύοντας τις εξισώσεις Ω Ω = 0 και = 0, δεν υπάρχουν καθόλου συγγραμμικά x y σημεία ισορροπίας για κανέναν πιθανό συνδυασμό μαζών. Λόγω της σπουδαιότητας της περίπτωσης που έχουμε τρείς άνισες μάζες, αφού αποτελεί την πιο γενική περίπτωση του προβλήματος μας, προχωρήσαμε σε λεπτομερή μελέτη. Βρήκαμε πως το πλήθος των μη συγγραμμικών σημείων ισορροπίας εξαρτάται από τις τιμές των m 1 m 2 m 3. Στον πίνακα (2.2) που ακολουθεί παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των υπολογισμών για αύξουσες τιμές της μάζας m 1 σε συνδυασμό με τις κρίσιμες τιμές της μάζας m 2 και τα διαστήματα τιμών τους για τις οποίες το πρόβλημα μας παρουσιάζει διακυμάνσεις στο πλήθος των σημείων ισορροπίας.

95 2.7. Τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν διαφορετικές μάζες 85 Πίνακας 2.2: Πλήθος συγγραμμικών και μη συγγραμμικών σημείων ισορροπίας, για μεγάλο αριθμό συνδυασμών μαζών για την περίπτωση των τριών άνισων μαζών, m 1 m 2 m 3 (με m 3 =1 m 1 m 2 ) m 1 8 Σημεία ισορροπίας 10 Σημεία ισορροπίας 0.01 m 2 ɛ(0.510, 0) 0.1 m 2 ɛ(0.560, 0) 0.11 m 2 ɛ(0.563, 0) 0.12 m 2 ɛ(0.566, 0) 0.13 m 2 ɛ(0.568, 0.436) (0.434, 0) m 2 ɛ[0.436, 0.434] 0.14 m 2 ɛ(0.571, 0.433) (0.427, 0) m 2 ɛ[0.433, 0.427] 0.15 m 2 ɛ(0.573, 0.431) (0.419, 0) m 2 ɛ[0.431, 0.419] 0.16 m 2 ɛ(0.574, 0.430) (0.410, 0) m 2 ɛ[0.430, 0.410] 0.17 m 2 ɛ(0.575, 0.428) (0.402, 0) m 2 ɛ[0.428, 0.402] 0.18 m 2 ɛ(0.576, 0.427) (0.393, 0) m 2 ɛ[0.427, 0.393] 0.19 m 2 ɛ(0.577, 0.427) (0.384, 0) m 2 ɛ[0.427, 0.384] 0.2 m 2 ɛ(0.577, 0.426) (0.374, 0) m 2 ɛ[0.426, 0.374] 0.25 m 2 ɛ(0.575, 0.423) (0.327, 0) m 2 ɛ[0.423, 0.327] 0.3 m 2 ɛ(0.570, 0.423) (0.277, 0) m 2 ɛ[0.423, 0.277] 0.35 m 2 ɛ(0.556, 0.424) (0.226, 0) m 2 ɛ[0.424, 0.226] 0.4 m 2 ɛ(0.545, 0.428) (0.172, 0) m 2 ɛ[0.428, 0.172] 0.41 m 2 ɛ(0.539, 0.430) (0.16, 0) m 2 ɛ[0.430, 0.140] 0.42 m 2 ɛ(0.535, 0.432) (0.148, 0) m 2 ɛ[0.432, 0.148] 0.43 m 2 ɛ(0.531, 0.435) (0.135, 0) m 2 ɛ[0.435, 0.135] 0.44 m 2 ɛ(0.528, 0) 0.45 m 2 ɛ(0.524, 0) 0.5 m 2 ɛ(0.5, 0) 0.6 m 2 ɛ(0.4, 0) 0.7 m 2 ɛ(0.3, 0) 0.8 m 2 ɛ(0.2, 0) 0.9 m 2 ɛ(0.1, 0) 0.99 m 2 ɛ(0.01, 0)

96 86Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Το πρόβλημα μας για την περίπτωση των τριών άνισων πρωτευόντων μαζών δεν παρουσιάζει καμία συμμετρία προς κανέναν άξονα, καθώς δεν υπάρχει τόσο η απλή συμμετρία ως προς τον οριζόντιο άξονα y=0, που ίσχυε για τα δύο ίσα σώματα, όσο και η αρχική τριπλή συμμετρία που είχαμε για τρία ίσα πρωτευοντα σώματα με άξονες συμμετρίας y=0, y= 3 και y= 3. Από τα παραπάνω αριθμητικά αποτελέσματα όπου παραθέτουμε μεγάλο πλήθος συνδυασμών μαζών, βρήκαμε ότι στην περίπτωση m 1 m 2 m 3 το πρόβλημα έχει 8 ή 10 σημεία ισορροπίας. Πιο συγκεκριμένα για m 1 ɛ(0, 0.12] [0.44, 1) το περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων έχει πάντα 8 σημεία ισορροπίας για κάθε τιμή της μάζας m 2 ενώ όταν m 1 ɛ[0.13, 0.43] το πρόβλημα παρουσιάζει είτε 8 είτε 10 σημεία ισορροπίας ανάλογα με τις τιμές και των μαζών m 2 και m 3. Στην περίπτωση του ευσταθούς δυναμικού συστήματος των τριών πρωτευόντων σωμάτων (σχέση 2.7) το πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων εμφανίζει πάντα 8 σημεία ισορροπίας. Ενα σημαντικό βήμα που πρέπει να κάνουμε σε αυτό το σημείο της μελέτης μας και πριν προχωρήσουμε στα αποτελεσμάτα για συγκεκριμένες τιμές μαζών και την παρουσίαση των καμπυλών μηδενικής ταχύτητας, είναι να διερευνήσουμε την εξέλιξη των θέσεων των σημείων ισορροπίας του προβλήματος μας για διάφορες τιμές των μαζών. Στο σχήμα (2.41) που ακολουθεί απεικονίζουμε στο επίπεδο x y την εξέλιξη των σημείων ισορροπίας για m 1 =0.4, m 3 =1 m 1 m 2 και για κάθε τιμή της μάζας του σώματος m 2. Σε αυτή την περίπτωση το περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων παρουσιάζει 8 σημεία ισορροπίας, εκτός από m 2 ɛ[0.428, 0.172] όπου παρουσιάζει 10 σημεία ισορροπίας. Θεωρούμε πάντα ότι το κυρίαρχο σώμα m 1 βρίσκεται στον θετικό οριζόντιο x ημιάξονα. Τα βέλη στο σχήμα (2.41) μας δείχνουν την εξέλιξη της κίνησης των αντίστοιχων σημείων ισορροπίας όταν η τιμή της m 2 μειώνεται. Από την εξέλιξη των σημείων ισορροπίας στο σχήμα παρατηρούμε πως τα L 2, L 5 και L 6 διαγράφουν πολύ μικρές διαδρομές πάνω στο x y επίπεδο, σε σχέση με την εξέλιξη των άλλων σημείων ισορροπίας. Η εξάρτηση της θέσης τους δηλαδή από την μεταβολή των τιμών των μαζών δεν είναι τόσο ισχυρή όσο των άλλων σημείων. Επίσης τα L 3, L 4 και L 7 όσο η μάζα m 2 αυξάνεται και τείνει προς τη μέγιστη τιμή της (m 2 0 στην περίπτωση μας) συγκλίνουν όλα προς ένα σημείο του επιπέδου x y. Τέλος υπάρχουν δύο γραμμές εξέλιξης σημείων ισορροπίας οι οποίες δεν είναι συνεχείς, όπως όλες οι άλλες. Για τα σημεία ισορροπίας L 1 και L 10 έχουμε από δύο μικρές περιοχές εξέλιξης για το καθένα (μαύρο και σιέλ χρώμα αντίστοιχα). Αυτό οφείλεται στις τιμές των μαζών που λάβαμε, αφού για m 1 = 0.4 σταθερό, μεταβάλουμε το m 2 από Για τιμές του m 2 από το m 2 είναι το δεύτερο μεγαλύτερο από τα πρωτεύοντα σώματα και έλκει περισσοτερο προς την μερία του επιπέδου που βρίσκεται τα σημεία ισορροπίας, ενώ όταν τιμές του m 2 μεταβάλλονται από το m 2 γίνεται το μικρότερο από τα τρία πρωτεύοντα σώματα και τα σημεία L 1 και L 10

97 2.7. Τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν διαφορετικές μάζες 87 Σχήμα 2.41: Εξέλιξη των σημείων ισορροπίας για m 1 =0.4, m 3 =1 m 1 m 2 και για κάθε m 2 ɛ(0, 1 2 ) στην περίπτωση m 1 m 2 m 3 εξελίσσονται στο θετικό ημιεπίπεδο. Στην συνέχεια παρουσιάζονται οι καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για την περίπτωση που ο συνδυασμός των μαζών ικανοποιεί την συνθήκη ( 2.7 ) άρα το σύστημα μας είναι ευσταθές, με τιμές m 1 =0.97, m 2 =0.01 και m 3 =0.02, ενώ στην επόμενη ενότητα θα δούμε και μια περίπτωση που δεν είναι σε ευστάθεια το σύστημα αλλά φαίνονται πιο καθαρά κάποια χαρακτηριστικά του, όπως η εμφάνιση 10 σημείων ισορροπίας,με τιμές μαζών m 1 =0.2, m 2 =0.42 και m 3 = Καμπύλες και επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας για m 2 =0.01 και m 3 =0.02 Στην συνέχεια παρουσιάζουμε τις καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για την περίπτωση των άνισων μαζών, m 1 =0.97, m 2 =0.01 και m 3 =0.02. Παρατηρούμε ότι οι διαμορφώσεις των επιτρεπτών - ή αντιθέτως των απαγορευμένων - περιοχών διαφέρουν αρκετά σε σχέση με τις αντίστοιχες περιοχές στην περίπτωση των τριών ίσων ή δύο ίσων πρωτευόντων σωμάτων, που παρουσιάστηκαν νωρίτερα στο παρόν κεφάλαιο. Τα σημεία ισορροπίας, οι καμπύλες μηδενικής ταχύτητας και οι επιφάνειες δεν είναι συμμετρικά πλέον ως προς κανέναν άξονα, ενώ όπως έχουμε αναφέρει στην περίπτωση των τριών ίσων σωμάτων στο επίπεδο x - y υπήρχαν οι άξονες συμμετρίας y=0, y= 3 και y= 3, ενώ αντίστοιχα στην περίπτωση των δύο ίσων πρωτευόντων μαζών είχαμε μόνο έναν άξονα συμμετρίας τον οριζόντιο, y=0. Για m 2 =0.01 και m 3 =0.02 το πρόβλημα μας έχει οκτώ μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας.

98 88Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Σχήμα 2.42: Θέσεις σωμάτων όταν m 1 m 2 m 3, για τιμές m 1 =0.97, m 2 =0.01 και m 3 =0.02 Σχήμα 2.43: Αριστερά : Εύρεση μη συγγραμμικών σημείων ισορροπίας ως τομές των εξισώσεων Ω Ω = 0 (πράσινο χρώμα) και = 0 (μπλέ χρώμα) για m x y 1 =0.97, m 2 =0.01, m 3 =0.02. Δεξιά: Συντεταγμένες σημείων ισορροπίας στο επίπεδο x y

99 2.7. Τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν διαφορετικές μάζες 89 Η ευρεση των συντεταγμένων (x 0, y 0 ) των μη συγγραμμικών σημείων ισορροπίας έγινε με την μεθοδολογία που έχουμε αναφέρει στις προηγούμενες ενότητες, για τρία ίσα σώματα καθώς και για δύο ίσα σώματα, μόνο που στην προκειμένη περίπτωση για τρία άνισα πρωτεύοντα σώματα δεν έχουμε συγγραμμικά σημεία ισορροπίας αλλά μόνο μη συγγραμμικά. Ετσι υπολογίζουμε αριθμητικά τις τιμές των σημείων τομής των συναρτήσεων ϑω ϑx ϑω (πράσινο χρώμα) και ϑy δυναμικό του συστήματος (1.9). Οι εξισώσεις ϑω (μπλέ χρώμα) στην γραφική (σχήμα 2.43) όπου Ω το ϑω = 0 και = 0 δίνονται από τις ϑx ϑy σχέσεις (2.12) και (2.13), για τιμές μαζών m 2 =0.01, m 3 =0.02, m 1 =1 2m 3 =0.97. Στην περίπτωση αυτή οι συντεταγμένες των πρωτευόντων σωμάτων είναι: (x m1, y m1 )=( , 0.) (x m2, y m2 )=( , ) (x m3, y m3 )=( , ) Σχήμα 2.44: Θέσεις σωμάτων και σημεία ισορροπίας για m 2 =0.01 και m 3 =0.02 Οι ακριβείς συντεταγμένες των σημείων ισορροπίας, που υπολογίσαμε σύμφωνα με την μεθοδολογία της προηγούμενης παραγράφου για m 2 =0.01 και m 3 =0.02 είναι για τα μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας : (x L2, y L2 )=( , ), (x L3, y L3 )=( , ) (x L5, y L5 )=( , ), (x L6, y L6 )=( , ) (x L7, y L7 )=( , ), (x L8, y L8 )=( , ) (x L9, y L9 )=( , ), (x L10, y L10 )=( , )

100 90Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Επιπλέον δίνουμε τις τιμές των ενεργειών των σημείων ισορροπίας που υπολογίσαμε : C L2 = , C L3 = C L5 = , C L6 = C L7 = , C L8 = C L9 = , C L10 = Σχήμα 2.45: Αριστερά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L2 όταν m 2 =0.01 και m 3 =0.02. Δεξιά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L3 αντίστοιχα όταν m 2 =0.01 και m 3 =0.02 Παρατηρώντας τις τιμές των ενεργειών των σημείων ισορροπίας καθώς και τις αντίστοιχες καμπύλες και επιφάνειες μηδενικής τους ταχύτητας παρατηρήσαμε πως οι τιμές της σταθεράς του Jacobi C δεν ταυτίζονται μεταξύ τους όπως επίσης και οι καμπύλες μηδενικής ταχύτητας που αντιστοιχούν στις παραπάνω τιμές για κανένα σημείο ισορροπίας. Αυτό είναι αποτέλεσμα της ασυμμετρίας του περιορισμένου προβλήματος των τεσσάρων σωμάτων για m 1 m 2 m 3 καθώς πλέον και σε αντιθέση με τις περιπτώσεις των τριών ή δύο ίσων μαζών δεν υπάρχει κανένας άξονα συμμετρίας. Από την μορφή των καμπυλών και των επιφανειών που υπολογίσαμε και παρουσιάζουμε στην συνέχεια, βλέπουμε ότι το κυρίαρχο μεγάλο σώμα m 1 δημιουργεί γύρω του μια μεγάλη περιοχή στην οποία παγιδεύει οποιοδήποτε μικρότερο σώμα, στην περίπτωση μας το τέταρτο αμελλητέας μάζας. Πιο καθαρά αυτή η περιοχή φαίνεται στα σχήματα (2.45 έως 2.48) για C Li και στο συγκεντρωτικό σχήμα (2.49) για διάφορα C. Για τιμές C > C L10 το τέταρτο σώμα δεν μπορεί να διαφύγει και να κινηθεί από την περιοχή του ενός πρωτεύοντος σώματος στην διπλανή περιοχή του άλλου πρωτεύοντος.

101 2.7. Τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν διαφορετικές μάζες 91 Οσο η τιμή C μειώνεται και για C L8 < C < C L10 το τέταρτο σώμα αποκτά την δυναμική να κινηθεί από την παγιδευμένη περιοχή γύρω από το σώμα m 1 προς την περιοχή γύρω από το σώμα m 3, ενώ ακόμα δεν μπορει να κινηθεί από αυτές τις δύο περιοχές προς την περιοχή γύρω από το σώμα m 2. Οσο η ενέργεια μειώνεται περαιτέρω ανοίγει ένα κανάλι μεταξύ της εσωτεριής α- παγορευμένης περιοχής γύρω από το m 1 και της εξωτερικής περιοχής. Για τιμές C L9 < C < C L8 το τέταρτο σώμα δύναται να κινηθεί κοντά στις περιοχές των m 1 και m 3 καθώς και στην περιοχή μακρία - έξω- από τα τρία σώματα, αλλά ακόμη δεν μπορεί να πάει στην παγιδευμένη περιοχή γύρω από το σώμα μάζας m 2. Μόνο όταν C < C L9 οι απαγορευμένες περιοχές γύρω από τα τρία πρωτεύοντα σώματα ανοίγουν και ενώνονται πλήρως, οπότε και το τέταρτο σώμα αποκτά πλήρη ελευθερία κίνησης προς όλα τα σώματα και την εξωτερική περιοχή. Οσο το C μειώνεται κι άλλο παρατηρούμε ότι η τελευταία απαγορευμένη περιοχή που απομένει, μέχρι να εξαφανιστει κι αυτή, είναι γύρω από το σημείο ισορροπίας L 6. Σχήμα 2.46: Αριστερά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για ενέργεια ελάχιστα μεγαλύτερη από την τιμή C L5 όταν m 2 =0.01 και m 3 =0.02. Δεξιά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για ενέργεια ελάχιστα μεγαλύτερη από την τιμή C L6 αντίστοιχα όταν m 2 =0.01 και m 3 =0.02

102 92Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Σχήμα 2.47: Αριστερά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L7 όταν m 2 =0.01 και m 3 =0.02. Δεξιά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L8 αντίστοιχα όταν m 2 =0.01 και m 3 =0.02 Σχήμα 2.48: Αριστερά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L9 όταν m 2 =0.01 και m 3 =0.02. Δεξιά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L10 αντίστοιχα όταν m 2 =0.01 και m 3 =0.02

103 2.7. Τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν διαφορετικές μάζες 93 Σχήμα 2.49: Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας και αντίστοιχες περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος για τιμές ενέργειας από C = 3.6 έως 2, όταν m 2 =0.01 και m 3 =0.02

104 94Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Σχήμα 2.50: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας, προβολές τους στο επίπεδο x y και αντίστοιχες περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος για C L2 (Αριστερά) και C L3 (Δεξιά) όταν όταν m 2 =0.01 και m 3 =0.02 Σχήμα 2.51: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας, προβολές τους στο επίπεδο x y και αντίστοιχες περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος για C L5 (Αριστερά) και C L6 (Δεξιά) όταν όταν m 2 =0.01 και m 3 =0.02

105 2.7. Τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν διαφορετικές μάζες 95 Σχήμα 2.52: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας, προβολές τους στο επίπεδο x yκαι αντίστοιχες περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος για C L7 (Αριστερά) και C L8 (Δεξιά) ότανόταν m 2 =0.01 και m 3 =0.02 Σχήμα 2.53: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας, προβολές τους στο επίπεδο x y και αντίστοιχες περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος για C L9 (Αριστερά) και C L10 (Δεξιά) όταν m 2 =0.01 και m 3 =0.02

106 96Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Σχήμα 2.54: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας καθώς και οι προβολές τους στο ε- πίπεδο x y για διακυμάνσεις την τιμής της ενέργειας από C = 3.6 έως 1.8, όταν m 2 =0.01 και m 3 =0.02

107 2.7. Τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν διαφορετικές μάζες 97 Τέλος στις επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας που παρουσιάζονται στα σχήματα (2.50 έως 2.54) φαίνονται και οι προβολές τους στο επίπεδο, που είναι οι αντίστοιχες καμπύλες μηδενικής ταχύτητας. Οι οριακές τιμές των ενεργειών C για τις οποίες ανοίγουν οι περιοχές (κόκκινο και λευκό χρώμα) και δίνεται η δυνατότητα στο τέταρτο σώμα να κινηθεί σε περιοχές που πριν δεν μπορούσε, είναι αυτές που παραθέσαμε στην παραγράφο (2.7.2) παραπάνω. Οι διάδρομοι που ανοίγουν και μπορεί το τέταρτο σώμα να κινηθεί προς περιοχές που πριν ήταν απαγορευμένες, ανάλογα με τις οριακές τιμές των ενεργειών φαίνονται πιο καθαρά στο συγκεντρωτικό σχήμα (2.54) Καμπύλες και επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας για m 2 =0.42 και m 3 =0.38 Για m 2 =0.42 και m 3 =0.38 το πρόβλημα μας έχει δέκα μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας. Σχήμα 2.55: Θέσεις σωμάτων για m 2 =0.42 και m 3 =0.38 Στην περίπτωση αυτή οι συντεταγμένες των πρωτευόντων σωμάτων είναι: (x m1, y m1 )=( , 0.) (x m2, y m2 )=( , ) (x m3, y m3 )=( , )

108 98Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Σχήμα 2.56: Αριστερά : Εύρεση μη συγγραμμικών σημείων ισορροπίας ως τομές των εξισώσεων Ω = 0 (πράσινο χρώμα) και Ω = 0 (μπλέ χρώμα) για m x y 2 =0.42 και m 3 =0.38. Δεξιά : Συντεταγμένες σημείων ισορροπίας στο επίπεδο x y Οι ακριβείς συντεταγμένες των σημείων ισορροπίας, που υπολογίσαμε για m 2 =0.42 και m 3 =0.38 των μη συγγραμμικών σημείων ισορροπίας είναι: (x L1, y L1 )=( , ), (x L2, y L2 )=( , ) (x L3, y L3 )=( , ), (x L4, y L4 )=( , ) (x L5, y L5 )=( , ), (x L6, y L6 )=( , ) (x L7, y L7 )=( , ), (x L8, y L8 )=( , ) (x L9, y L9 )=( , ), (x L10, y L10 )=( , ) Επιπλέον δίνουμε τις τιμές των ενεργειών των σημείων ισορροπίας που υπολογίσαμε: C L1 = , C L2 = C L3 = , C L4 = C L5 = , C L6 = C L7 = , C L8 = C L9 = , C L10 =3.4066

109 2.7. Τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν διαφορετικές μάζες 99 Σχήμα 2.57: Θέσεις σωμάτων και σημεία ισορροπίας για m 2 =0.42 και m 3 =0.38 Σχήμα 2.58: Αριστερά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L1 όταν m 2 =0.42 και m 3 =0.38. Δεξιά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L2 αντίστοιχα όταν m 2 =0.42 και m 3 =0.38

110 100 Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Σχήμα 2.59: Αριστερά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L3 όταν m 2 =0.42 και m 3 =0.38. Δεξιά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L4 αντίστοιχα όταν m 2 =0.42 και m 3 =0.38 Σχήμα 2.60: Αριστερά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για ενέργειες ελάχιστα μεγαλύτερες από τις τιμές C L5 και C L6 αντίστοιχα, ώστε να φαίνονται οι καμπύλες πριν εκφυλιστούν στα σημεία L 5 και L 6

111 2.7. Τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν διαφορετικές μάζες 101 Σχήμα 2.61: Αριστερά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L7 όταν m 2 =0.42 και m 3 =0.38. Δεξιά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L8 αντίστοιχα όταν m 2 =0.42 και m 3 =0.38 Σχήμα 2.62: Αριστερά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L9 όταν m 2 =0.42 και m 3 =0.38. Δεξιά : Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για C L10 αντίστοιχα όταν m 2 =0.42 και m 3 =0.38

112 102 Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Σχήμα 2.63: Καμπύλες μηδενικής ταχύτητας από C = 3.6 έως 1.8, όταν m 2 =0.42 και m 3 =0.38

113 2.7. Τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν διαφορετικές μάζες 103 Σχήμα 2.64: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας, προβολές τους στο επίπεδο x y και αντίστοιχες περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος για C L1 (Αριστερά) και C L2 (Δεξιά) όταν m 2 =0.42 και m 3 =0.38 Σχήμα 2.65: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας, προβολές τους στο επίπεδο x y και αντίστοιχες περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος για C L3 (Αριστερά) και C L4 (Δεξιά) όταν m 2 =0.42 και m 3 =0.38

114 104 Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Σχήμα 2.66: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας, προβολές τους στο επίπεδο x y και αντίστοιχες περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος για C L5 (Αριστερά) και C L6 (Δεξιά) όταν m 2 =0.42 και m 3 =0.38 Σχήμα 2.67: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας, προβολές τους στο επίπεδο x y και αντίστοιχες περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος για C L7 (Αριστερά) και C L8 (Δεξιά) όταν m 2 =0.42 και m 3 =0.38

115 2.7. Τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν διαφορετικές μάζες 105 Στην περίπτωση των τριών άνισων μαζών, παρατηρώντας τις παραπάνω καμπύλες και επιφάνειες, μπορούμε να συμπεράνουμε πως το τέταρτο σώμα για C > C L10 έχει την δυνατότητα να κινηθεί μόνο κοντά στο κάθε σώμα ξεχωριστά ή πολύ μακριά τους, χωρίς να είναι δυνατή η μετακίνηση από το ένα πρωτεύον σώμα στο άλλο. Για C L8 < C < C L10 ανοίγει ένας μικρός διάδρομος και το τέταρτο σώμα μπορεί να κινηθεί από το πρωτεύον σώμα μάζας m 1 προς το m 3 και ανάποδα, αλλά όχι προς το m 2 καθώς αυτό παραμένει απομονωμένο. Για C L9 < C < C L8 ανοίγει διάδρομος κοντά στην περιοχή του m 3 και πλέον το τέταρτο σώμα μπορεί να διαφύγει στην έξω περιοχή, πολύ μακριά από τον χώρο των τριών σωμάτων, αν και ακόμα το m 2 παραμένει απομονωμένο. Μόνο για C L7 < C < C L9 ανοίγει και ο διάδρομος προς το m 2 και έτσι πλέον το τέταρτο σώμα μπορεί να κινηθεί από και προς κάθε πρωτεύον σώμα και φυσικά να διαφύγει στην έξω περιοχή μέσω του προηγούμενου διαδρόμου της περιοχής του m 3. Για ακόμα χαμηλότερες ενέργειες C L7 < C < C L9 το τέταρτο σώμα αποκτά την δυνατότητα να κινηθεί προς κάθε σώμα και προς τον έξω χώρο ελεύθερα, καθώς ανοίγει διάδρομος προς την έξω περιοχή τόσο γύρω από το m 2 όσο και γύρω από το m 3 με μόνες απαγορευμένες περιοχές μικρά τόξα γύρω από τα σημεία ισορροπίας L 2, L 3, L 5, L 6, ενώ όσο μικραίνει κι άλλο η ενέργεια C επιτρέπεται σταδιακά και η κίνηση κοντά στα σημεία L 2, L 3, L 6, L 5 με αυτή τη σειρά. Τέλος,για C < C L5 δεν υπάρχει καμία απαγορευμένη περιοχή και μπορεί να κινηθεί ελεύθερα σε όλο το επίπεδο. Σχήμα 2.68: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας, προβολές τους στο επίπεδο x y και αντίστοιχες περιοχές επιτρεπτής κίνησης του τέταρτου σώματος για C L9 (Αριστερά) και C L10 (Δεξιά) όταν m 2 =0.42 και m 3 =0.38

116 106 Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων Σχήμα 2.69: Επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας καθώς και οι προβολές τους στο επίπεδο x y για διακυμάνσεις την τιμής της ενέργειας από C = 3.6 έως 1.8, όταν m 2 =0.42 και m 3 =0.38

117 2.8. Συμπεράσματα Συμπεράσματα Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάσαμε την μελέτη τόσο για την ύπαρξη όσο και για τις θέσεις των σημείων ισορροπίας στο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων, όταν τα τρία πρωτεύονται σώματα βρίσκονται πάντα στις κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου - τριγωνική (Lagrangian) διαμόρφωση. Η πρωτόπυτη εργασία μας έγκειται στην μελέτη για την περίπτωση που τα τρία πρωτεύοντα σώματα είναι άνισα μεταξύ τους (m 1 m 2 m 3 ), ενώ επεκτείναμε τα αποτελέσματα και τους υπολογισμούς για την περίπτωση των τριών ίσων και δύο εκ των τριών ίσων πρωτευόντων μαζών, που είχαν παρουσιαστεί λιγότερο λεπτομερώς σε προηγούμενες εργασίες από τους ([24, Simo, 1978] και [1, Alvarez-Ramirez and Vidal, 2009]). Χωρίσαμε την έρευνα και την παρουσίαση σε τρείς μεγάλες ενότητες ανάλογα με τις τιμές των μαζών των πρωτευόντων σωμάτων. Αρχικά υπολογίστηκαν οι συνδυασμοί των μαζών που δίνουν ευσταθή διαμόρφωση για το σύστημα των τρίων πρωτεύοντων σωμάτων, σύμφωνα με την ανισότητα (2.7) και την μελέτη που αναπτύξαμε στην ενότητα (2.4) του κεφαλαίου. Οι περιοχές αυτές της ευστάθειας καθορίστηκαν πλήρως και διακρίνονται πάνω στο γράφημα με άξονες (m 2 m 3 ), χρησιμοποιώντας την τιμή της κρίσιμης μάζας m R = 1 (9 69), την οποία υπολογίσαμε αναλυτικά 18 στην ενότητα (2.4). Στη συνέχεια της μελέτης μας για m 1 = m 2 = m 3 έχουμε παρουσιάσει τα σημεία ισορροπίας και τις καμπύλες μηδενικής ταχύτητας για διάφορες τιμές του ολοκληρώματος Jacobi. Το περιορισμένο επίπεδο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων για m 1 = m 2 = m 3 = 1/3 εμφανίζει 4 συγγραμμικά και 6 μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας. Στην δεύτερη ενότητα παρουσιάσαμε τα αποτελέσματα μας για την περίπτωση όπου τα δύο πρωτεύοντα σώματα έχουν ίσες μάζες, m 2 = m 3 και για διάφορους συνδυασμούς μαζών μεταξύ αυτών και του m 1. Σε αυτή την περίπτωση το πρωτεύον σώμα m 1 κινείται πάντα πάνω στον άξονα x στο διάστημα (0, 3 ), όταν m 2 2,3 (0, 1/2). Επίσης τα πρωτεύοντα σώματα με μάζες m 2 και m 3 κινούνται πάντα πάνω στις παράλληλες γραμμές y = 1 και y = 1 αντίστοιχα και στο διάστημα x ( 3, 0), όταν m ,3 (0, 1/2). Το πρόβλημα μας εμφανίζει 2 ή 4 συγγραμμικά σημεία ισορροπίας και 4 ή 6 μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας, ο αριθμός των οποίων εξαρτάται από τις τιμές των μαζών των πρωτευόντων σωμάτων. Οι υπολογισμοί και όλες οι πιθανές περιπτώσεις και συνδυασμοί μαζών παρουσιάζονται αναλυτικά στην αντίστοιχη ενότητα του κεφαλαίου και συγκεντρωτικά στον πίνακα (2.1). Στην τρίτη ενότητα παρουσιάσαμε τα αποτελέσματα μας για την περίπτωση όπου τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν άνισες μάζες m 1 m 2 m 3 και για διάφορους συνδυασμούς μαζών. Συγγραμικά σημεία ισορροπίας δεν υπάρχουν για κανέναν συνδυασμό μαζών. Το περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων για άνισες μάζες

118 108 Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων παρουσιάζει 8 ή 10 μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας το πλήθος των οποίων ε- ξαρτάται από τις τιμές των τριών μαζών. Λόγω της σπουδαιότητας της περίπτωσης που έχουμε τρείς άνισες μάζες, αφού αποτελεί την πιο γενική περίπτωση του περιορισμένου προβλήματος των τεσσάρων σωμάτων, προχωρήσαμε σε λεπτομερή μελέτη για όλες τις τιμές και τα αριθμητικά αποτελέσματα που προέκυψαν φαίνονται στον πίνακα (2.2). Επίσης στην ίδια ενότητα παρουσιάζεται γραφικά η εξέλιξη των σημείων ισορροπίας καθώς οι τιμές των πρωτευόντων μαζών αλλάζουν. Η μελέτη μας γύρω από το σύστημα των τεσσάρων σωμάτων, την ευσταθή του διαμόρφωση, τα σημεία ισορροπίας καθώς και τις καμπύλες μηδενικής ταχύτητας που παρουσιάστηκαν στο παρόν κεφάλαιο, δημοσιεύτηκε στην εργασία ([33, Baltagiannis A.N. Papadakis K.E., 2011a]). Συγκεντρωτικά για τις περιπτώσεις, τρείς ίσες μάζες - δύο ίσες μάζες - τρεις άνισες μάζες και συγκρίνοντας τα αποτελέσματα μεταξύ τους οδηγηθήκαμε στα εξής συμπεράσματα: Για τρείς ίσες μάζες m 1 =m 2 =m 3 =1/3 το περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων έχει 4 συγγραμμικά και 6 μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας. Για δύο ίσες μάζες m 2 =m 3 το περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων έχει 2 ή 4 συγγραμμικά και 4 ή 6 μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας. Οι τιμές των μαζών για όλες τις περιπτώσεις δίνονται στον πίνακα (2.1). Για τρείς άνισες μάζες m 1 m 2 m 3 το περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων δεν έχει συγγραμμικά σημεία ισορροπίας για κανέναν συνδυασμό των μαζών και ο αριθμός των μη συγγραμμικών σημείων ισορροπίας είναι 8 ή 10. Καθώς είναι η πιο γενική περίπτωση του προβλήματος μας, αναλυτικά όλες τιμές των μαζών με μεγάλη ακρίβεια δίνονται στον πίνακα (2.2). Τέλος συμπερασματικά για τις επιτρεπτές κινήσεις του τέταρτου σώματος στις περιοχές του επιπέδου ανάλογα με την ενέργεια C, μπορούμε για τις περιπτώσεις τρείς ίσες μάζες - δύο ίσες μάζες - τρεις άνισες μάζες να αναφέρουμε τα εξής : Στην περίπτωση των τριών ίσων μαζών και έχοντας ως παράδειγμα τις καμπύλες και τις επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας που παρουσιάσαμε στην ενότητα (2.5.5) για συγκεκριμένες τιμές πρωτευόντων μαζών(m 1 =m 2 =m 3 =1/3), το τέταρτο σώμα για C > C L4 = , όπου C L4 = C L9 = C L10 = (σχέσεις 2.5.2), μπορεί να κινηθεί μόνο κοντά στο κάθε σώμα ή πολύ μακριά τους, χωρίς να είναι δυνατή η μετακίνηση από το ένα πρωτεύον σώμα στο άλλο. Για C L2 < C < C L4, όπου C L2 = C L7 = C L8 = , ανοίγουν διάδρομοι οπότε το τέταρτο σώμα έχει την δυνατότητα να πάει από το ένα πρωτεύον σώμα στο άλλο, αλλά δεν μπορεί ακόμα να βγεί στην εξωτερική περιοχή και να απομακρυνθεί από την περιοχή κοντά στα τρία πρωτεύοντα σώματα. Χαμηλώνοντας και άλλο η ενέργεια και για C L3 < C < C L2, όπου C L3 = C L6 = C L5 = , το τέταρτο σώμα αποκτά την δυνατότητα να κινηθεί και προς τον εξωτερικό χώρο, οπότε κινείται ελεύθερα πάντου και δεν υπάρχουν απαγορευμένες περιοχές στο

119 2.8. Συμπεράσματα 109 επίπεδο. Στην περίπτωση των δύο ίσων μαζών και έχοντας ως παράδειγμα τις καμπύλες και τις επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας που παρουσιάσαμε στην ενότητα (2.6.2) για συγκεκριμένες τιμές πρωτευόντων μαζών(m 2 = m 3 = 0.01, m 1 = 1 2m 3 =0.98), το τέταρτο σώμα για C > C L9, όπου C L9 = C L10 = , (σχέσεις 2.6.2), έχει την δυνατότητα να κινηθεί μόνο πολύ κοντά στο κάθε σώμα, χωρίς να μπορεί να μεταβεί από το ένα πρωτεύον στο άλλο. Για C L8 < C < C L9, όπου C L7 = C L8 = το τέταρτο σώμα μπορεί να μεταβεί από το ένα πρωτεύον σώμα στο άλλο, αλλά δεν μπορεί να περάσει στην περιοχή πολύ μακρία από τα τρία σώματα, καθώς οι καμπύλες και οι επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας ορίζουν μια κλειστή περιοχή γύρω και από τα τρία σώματα. Μόνο όταν C L5 < C < C L2, όπου C L2 = και C L5 =C L6 = το τέταρτο σώμα μπορεί να κινηθεί προς και από τα σώματα στον εξωτερικό χώρο με μόνες απαγορευμένες περιοχές μικρά τόξα γύρω από τα σημεία ισορροπίας L 5, L 6, ενώ για C < C L5 δεν υπάρχει καμία απαγορευμένη περιοχή και μπορεί να κινηθεί ελεύθερα σε όλο το επίπεδο. Στην περίπτωση των τριών άνισων μαζών και έχοντας ως παράδειγμα τις καμπύλες και τις επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας που παρουσιάσαμε στην ενότητα (2.7.2) για συγκεκριμένες τιμές πρωτευόντων μαζών(m 1 = 0.97, m 2 = 0.01, m 3 = 0.02), το τέταρτο σώμα για C > C L10 = , (σχέσεις 2.7.2), μπορεί να κινηθεί μόνο κοντά στο κάθε σώμα ή πολύ μακριά τους, χωρίς να είναι δυνατή η μετακίνηση από το ένα πρωτεύον σώμα στο άλλο. Για C L8 < C < C L10, όπου C L8 = , ανοίγει ένας μικρός διάδρομος και το τέταρτο σώμα μπορεί να κινηθεί από το πρωτεύον σώμα μάζας m 1 προς το m 3 και ανάποδα, αλλά όχι προς το m 2 καθώς αυτό παραμένει απομονωμένο. Για C L9 < C < C L8, όπου C L9 = , ανοίγει και γίνεται επιτρεπτή η περιοχή κοντα στο m 3 και πλέον το τέταρτο σώμα μπορεί να διαφύγει στην έξω περιοχή, πολύ μακριά από τον χώρο των τριών σωμάτων, αν και ακόμα το m 2 παραμένει απομονωμένο. Μόνο για C L7 < C < C L9, όπου C L7 = ,γίνεται επιτρεπτή και η περιοχή κοντα στο m 2 και έτσι πλέον το τέταρτο σώμα μπορεί να κινηθεί από και προς κάθε πρωτεύον σώμα και φυσικά να διαφύγει στην έξω περιοχή μέσω του προηγούμενου διαδρόμου της περιοχής του m 3. Για ακόμα χαμηλότερες ενέργειες C L2 < C < C L7, όπου C L2 = , το τέταρτο σώμα αποκτά την δυνατότητα να κινηθεί προς κάθε σώμα και προς τον έξω χώρο ελεύθερα, καθώς ανοίγει διάδρομος προς την έξω περιοχή τόσο γύρω από το m 2 όσο και γύρω από το m 3 με μόνες απαγορευμένες περιοχές μικρά τόξα γύρω από τα σημεία ισορροπίας L 2, L 3, L 5, L 6, ενώ όσο μικραίνει κι άλλο η ενέργεια C επιτρέπεται σταδιακά και η κίνηση κοντά στα σημεία L 2, L 3, L 5, L 6 με αυτή τη σειρά, καθώς έχουν αντίστοιχα ενέργειες C L2 = , C L3 = , C L5 = ,C L6 = Τέλος,για C < C L6 δεν υπάρχει καμία απαγορευμένη περιοχή και μπορεί να κινηθεί ελεύθερα σε όλο το επίπεδο.

120 110 Κεφάλαιο 2. Το κυκλικό επίπεδο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων

121 Κεφαλαιο 3 Γραμμικοποίηση γύρω από τα σημεία ισορροπίας - Ευστάθεια 3.1 Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο μελετάμε την ευστάθεια των σημείων ισορροπίας του περιορισμένου προβλήματος των τεσσάρων σωμάτων, όταν τα τρία πρωτεύονται σώματα βρίσκονται πάντα στις κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου - τριγωνική (Lagrangian) διαμόρφωση. Η δομή του κεφαλαίου ακολουθεί την αντίστοιχη του προηγουμένου, δηλαδή πρώτα ξεκινάμε την μελέτη μας για την ευστάθεια υποθέτωντας ότι όλα τα πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα, στην συνέχεια για δύο ίσες εκ των τριών πρωτευόντων μαζών και τέλος για τρία άνισα πρωτεύοντα σώματα. Λόγω της σπουδαιότητας της ευστάθειας την μελετάμε λεπτομερώς για όλα τα σημεία ισορροπίας και σε όλες τις περιπτώσεις μαζών. Στο προηγούμενο κεφάλαιο (2) αποδείξαμε την ύπαρξη σημείων ισορροπίας και υπολογίσαμε στις συντεταγμένες τόσο των συγγραμμικών όσο και των μη συγγραμμικών για τρία ίσα σώματα, για δύο ίσα και για τρία άνισα πρωτεύοντα σώματα. Σε κάθε σημείο ισορροπίας αν τοποθετήσουμε ένα σώμα, όπως το τέταρτο σώμα αμελητέας μάζας του προβλήματος μας, αυτό θα ισορροπήσει καθώς ẋ = ẏ = ẍ = ÿ = 0. Ο χαρακτηρισμός ενός σημείου ισορροπίας ως ευσταθές ή ασταθές είναι καθοριστικός για την συμπεριφορά του τέταρτου σώματος αφού τοποθετηθεί στις συντεταγμένες του σημείου ισορροπίας ή κοντά σε αυτές. Αν το σημείο είναι ευσταθές το τέταρτο σώμα, τοποθετούμενο στην περιοχή του με μηδενική ή πολύ μικρή ταχύτητα, έχει την τάση να επιστρέφει πάντα στις συντεταγμένες του σημείου ισορροπίας και παραμένοντας σε κάθε περίπτωση γύρω από αυτό. Στην αντίθετη περίπτωση της αστάθειας του σημείου ισορροπίας, το τέταρτο σώμα με την πάροδο του χρόνου θα απομακρύνεται και δεν θα επιστρέφει ποτέ ξανά στην περιοχή ασταθούς ισορροπίας. Χαρακτηριστικό παράδειγμα της μεγάλης πρακτικής σημασίας τους, είναι τα ευσταθή σημεία ισορροπίας L 4 και L 5 του περιορισμένου προβλήματος των τριών σωμάτων, τα οποία στο ηλιακό μας σύστημα με πρωτεύοντα σώματα τον Ηλιο και τον Δία, 111

122 112 Κεφάλαιο 3. Γραμμικοποίηση γύρω από τα σημεία ισορροπίας - Ευστάθεια εγκλωβίζουν για πάντα όποιο ουράνιο σώμα βρεθεί με μηδενική ή απειροελάχιστη ταχύτητα στην περιοχή ενός από αυτά. Ετσι έχουν σχηματιστεί στο ηλιακό μας σύστημα οι ζώνες των Τρωικών (Trojans) και Ελλήνων (Greeks) αστεροειδών γύρω από τα ευσταθή σημεία ισορροπίας L 4 και L 5 του συστήματος Ηλιος - Δίας. Αυτή την διαμόρφωση και ευστάθεια εκμεταλλευόμαστε για το σύστημα Ηλιος - Δίας - Αστεροειδής - Διαστημόπλοιο, το οποίο μελετάμε στο κεφάλαιο 5 της παρούσας διατριβής. Τέλος στο σύστημα Ηλιος - Γη τα ευσταθή σημεία ισορροπίας παίζουν σπουδαίο ρόλο αφού στις συντεταγμένες τους αν τοποθετήσουμε ένα δορυφόρο που περιστρέφεται η συνολική δύναμη που δέχεται από το σύστημα είναι ίση με την κεντρομόλο δύναμη. 3.2 Ολα τα πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα Στο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων με τριγωνική - Lagrangian - διαμόρφωση και για την περίπτωση που και τα τρία πρωτεύοντα σώματα m 1,m 2,m 3 έχουν την ίδια μάζα, είχαμε υπολογίσει στο προηγούμενο κεφάλαιο ότι το πρόβλημα μας έχει τέσσερα συγγραμμικά σημεία ισορροπίας, πάνω στο άξονα x και έξι μη συγγραμμικά που βρίσκονται στο επίπεδο x - y αλλά εκτός του άξονα x. Λόγω της ισότητας των μαζών το πρόβλημα μας παρουσιάζει συμμετρία και τα δέκα σημεία ι- σορροπίας κοίτωνται στο επίπεδο x - y συμμετρικά ως προς τους άξονες συμμετρίας y=0, y= 3 και y= 3 (σχήμα 2.6 του προηγούμενου κεφαλαίου). Στην συνέχεια γραμμικοποιούμε το σύστημα που δίνει τα σημεία ισορροπίας, συγγραμμικά και μη συγγραμμικά, που αναφέρονται αναλυτικά στο προηγούμενο κεφάλαιο για να μελετήσουμε την ευστάθεια των λύσεων ισορροπίας Γραμμικοποίηση γύρω από τα συγγραμμικά σημεία ισορροπίας Στη μέθοδο της γραμμικοποίησης μη γραμμικών συστημάτων, το πρώτο βήμα είναι να βρούμε τα σημεία ισορροπίας και στη συνέχεια να επιλέξουμε το σύστημα συντεταγμένων με αρχή ένα σημείο ισορροπίας (x 0, y 0 ). Επιλέγοντας δηλαδή ένα από τα σημεία ισορροπίας που υπολογίσαμε, κάνουμε μεταφορά αξόνων και αναπτύσσουμε τις εξισώσεις μας σε σειρά Taylor, απαλείφοντας στη συνέχεια τους όρους μεγαλύτερης τάξης. Η ανάπτυξη σε σειρά Taylor του δεξιού μέλους των εξισώσεων μας, γίνεται αφού θεωρήσαμε ότι υπάρχει λύση x(t) που είναι αρκετά μικρή και παριστάνει την μετατόπιση από το σημείο ισορροπίας. Η λύση του γραμμικοποιημένου συστήματος θα μας δώσει τα χαρακτηριστικά του μη γραμμικού συστήματος κοντά στο σημείο (x 0, y 0 ). Μπορούμε να εξάγουμε ποιοτικά συμπεράσματα για την συμπεριφορά των

123 3.2. Ολα τα πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα 113 λύσεων του γραμμικοποιημένου συστήματος, έχοντας υπολογίσει τις ιδιοτιμές του πίνακα Α από τις οποίες εξαρτάται και η ευστάθεια του συστήματος. Οι γραμμικοποιημένες εξισώσεις για πολύ μικρές κινήσεις γύρω από τα συγγραμμικά σημεία ισορροπίας δίνονται από την εξίσωση : ẋ = A x, (3.1) x = (x, y, ẋ, ẏ) T όπου x είναι το διάνυσμα του τέταρτου σώματος αμελητέας μάζας. Ο πίνακας Α, ο οποίος είναι ανεξάρτητος του χρόνου, ορίζεται ως : όπου : A = A 11 = A A i=1 m i [2(x 0 x i ) 2 y 2 i ] [(x 0 x i ) 2 + y 2 i ]5/2 (3.2) A 22 = 1 3 i=1 m i [(x 0 x i ) 2 2y 2 i ] [(x 0 x i ) 2 + y 2 i ]5/2 Στις παραπάνω εξισώσεις έχουμε m i = m 1 = m 2 = m 3 = 1 3 ενω (x i, y i ) είναι οι συντεταγμένες των πρωτευόντων σωμάτων σύμφωνα με τις εξισώσεις του προηγούμενου κεφαλαίου (2.5). Ετσι για την παρούσα περίπτωση που έχουμε τρείς ίσες μάζες οι θέσεις των σωμάτων ειναι (x 1, y 1 ) = ( 1, 0), (x 2, y 2 ) = ( , 1 2 ), (x 3, y 3 ) = ( 1 2 3, 1 2 ). Επίσης οι συντεταγμένες (x 0, 0) των συγγραμμικών σημείων ισορροπίας δίνονται σε αυτή την περιπτωση από την λύση της εξίσωσης : x 0 x x 0 1 2(x [(x ) 2 3 ) ]3/2 = 0 (3.3) Η χαρακτηριστική εξίσωση του γραμμικοποιημένου συστήματος (3.1) είναι : λ 4 + (4 A 11 A 22 )λ 2 + A 11 A 22 = 0 (3.4)

124 114 Κεφάλαιο 3. Γραμμικοποίηση γύρω από τα σημεία ισορροπίας - Ευστάθεια και κριτήριο για την ευστάθεια των λύσεων ισορροπίας, για κάθε σημείο ισορροπίας ξεχωριστά, είναι όλες οι ρίζες της παραπάνω χαρακτηριστικής εξίσωσης να έχουν μόνο φανταστικό μέρος. Στην περίπτωση των τριών ίσων πρωτευόντων μαζών όλα τα συγγραμμικά σημεία ισορροπίας είναι ασταθή, αφού για L 1 και L 3 η παραπάνω χαρακτηριστική εξίσωση εμφανίζει 4 ρίζες της μορφής λ 1,2,3,4 = ±a±ib, ενώ για για L 2 και L 4 η χαρακτηριστική εξίσωση εμφανίζει 2 πραγματικές ρίζες της μορφής λ 1,2 = ±a και 2 φανταστικές λ 3,4 = ±ib Γραμμικοποίηση γύρω από τα μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας Για αυτή την περίπτωση ο πίνακας Α, ο οποίος είναι ανεξάρτητος του χρόνου, ορίζεται ως : A = A 11 A (3.5) A 12 A όπου : A 11 = 1 + A 12 = 3 A 22 = 1 3 i=1 3 i=1 3 i=1 m i [2(x 0 x i ) 2 (y 0 y i ) 2 ] [(x 0 x i ) 2 + (y 0 y i ) 2 ] 5/2 m i (x 0 x i )(y 0 y i ) [(x 0 x i ) 2 + (y 0 y i ) 2 ] 5/2 m i [(x 0 x i ) 2 2(y 0 y i ) 2 ] [(x 0 x i ) 2 + (y 0 y i ) 2 ] 5/2 Στις παραπάνω εξισώσεις m i είναι οι μάζες των πρωτευόντων σωμάτων και (x i, y i ) είναι οι συντεταγμένες τους. Οι συντεταγμένες (x 0, y 0 ) των μη συγγραμμικών σημείων ισορροπίας δίνονται σε αυτή την περιπτωση από την επίλυση του συστήματων των εξίσωσεων : x 0 1 x 0 3 3[(x 0 1 ) 2 + y0] x /2 [(x )2 + (y )2 ] 3/2 x [(x )2 + (y )2 ] 3/2 = 0 y 0 y 0 3[(x ) 2 + y0] y /2 [(x )2 + (y )2 ] y 0 2 3/2 [(x )2 + (y )2 ] = 0 3/2 (3.6)

125 3.3. Δυο από τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα 115 Η χαρακτηριστική εξίσωση του γραμμικοποιημένου συστήματος (3.1) τώρα είναι : λ 4 + (4 A 11 A 22 )λ 2 + A 11 A 22 A 2 12 = 0 (3.7) και κριτήριο για την ευστάθεια των λύσεων ισορροπίας, για κάθε σημείο ισορροπίας ξεχωριστά, είναι όλες οι ρίζες της παραπάνω χαρακτηριστικής εξίσωσης να έχουν μόνο φανταστικό μέρος. Οπως και στην προηγούμενη περίπτωση έτσι και εδώ όλα τα μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας, όταν έχουμε τρία ίσα πρωτευόντα σώματα, είναι ασταθή αφού για τα L 5 και L 6 η παραπάνω χαρακτηριστική εξίσωση εμφανίζει 4 ρίζες της μορφής λ 1,2,3,4 = ±a ± ib, ενώ για τα L 7, L 8, L 9 και L 10 η χαρακτηριστική εξίσωση εμφανίζει 2 πραγματικές ρίζες της μορφής λ 1,2 = ±a και 2 φανταστικές λ 3,4 = ±ib Ευστάθεια των λύσεων ισορροπίας Συμπερασματικά, στην περίπτωση των τριών ίσων πρωτευόντων μαζών το περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων βρήκαμε ότι όλα του τα σημεία ισορροπίας είναι ασταθή. 3.3 Δυο από τα τρία πρωτεύοντα σώματα έ- χουν την ίδια μάζα Συνεχίζουμε την μελέτη μας για την ευστάθεια των λύσεων ισορροπίας στο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων για την περίπτωση όπου m 2 =m 3 ενώ η m 1 έχει πάντα διαφορετική τιμή από τις άλλες δύο. Από τις αρχικές μας υποθέσεις για την κανονικοποίηση (ενότητα 2.3) : m 1 + m 2 + m 3 = 1 για την περίπτωση των δύο ίσων σωμάτων έχουμε : m 1 =1 2m 3 και m 2 = m 3 < 1. Στο προηγούμενο 2 κεφάλαιο και συγκεντρωτικά στον πίνακα (2.1) δίνουμε όλες τις περιπτώσεις ύπαρξης και πλήθους των σημείων ισορροπίας για m 2 =m 3. Στις επόμενες ενότητες θα αναπτύξουμε την γραμμικοποίηση γύρω από αυτά τα συγγραμμικά και μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας καθώς και την ευστάθεια αυτών των λύσεων Γραμμικοποίηση γύρω από τα συγγραμμικά σημεία ισορροπίας Οι γραμμικοποιημένες εξισώσεις για πολύ μικρές κινήσεις γύρω από τα συγγραμμικά σημεία ισορροπίας δίνονται όπως και στην προηγούμενη περίπτωση των τριών ίσων σωμάτων από την εξίσωση : ẋ = A x, (3.8)

126 116 Κεφάλαιο 3. Γραμμικοποίηση γύρω από τα σημεία ισορροπίας - Ευστάθεια x = (x, y, ẋ, ẏ) T όπου x είναι το διάνυσμα του τέταρτου σώματος αμελητέας μάζας. Τώρα όμως ο πίνακας Α, ο οποίος είναι ανεξάρτητος του χρόνου, ορίζεται ως : A = A (3.9) 0 A όπου : A 11 = 1 + A 22 = 1 3 i=1 3 i=1 m i [2(x 0 x i ) 2 y 2 i ] [(x 0 x i ) 2 + y 2 i ]5/2 m i [(x 0 x i ) 2 2y 2 i ] [(x 0 x i ) 2 + y 2 i ]5/2 Για την περίπτωση όπου m 2 =m 3 ενώ η m 1 έχει πάντα διαφορετική τιμή από τις άλλες δύο και κάνοντας τις αντικαταστάσεις : m 1 =1 2m 3 και m 2 = m 3 < 1 στις αρχικές 2 γενικές εξισώσεις (2.5), οι θέσεις των πρωτευόντων σωμάτων είναι : (x 1, y 1 ) = (m 3 3, 0) ( ) 3 (x 2, y 2 ) = 2 (2m 3 1), 1 2 ( ) 3 (x 3, y 3 ) = 2 (2m 3 1), 1 2 Επίσης οι συντεταγμένες (x 0, 0) των συγγραμμικών σημείων ισορροπίας δίνονται σε αυτή την περιπτωση από την λύση της εξίσωσης (2.12): x 0 (1 2m 3)(x 0 x 1 ) [(x 0 x 1 ) 2 + y0] m 3 (x 0 x 2 ) 2 3/2 [(x 0 x 2 ) 2 + (y 0 y 2 ) 2 ] m 3 (x 0 x 3 ) 3/2 [(x 0 x 3 ) 2 + (y 0 y 3 ) 2 ] = 0 3/2 (3.10) Η χαρακτηριστική εξίσωση του γραμμικοποιημένου συστήματος (3.8) για δύο ίσες μάζες είναι : λ 4 + (4 A 11 A 22 )λ 2 + A 11 A 22 = 0 (3.11) Οπως αναφέραμε και στην προηγούμενη ενότητα κριτήριο για την ευστάθεια των λύσεων ισορροπίας, για κάθε σημείο ισορροπίας ξεχωριστά, είναι όλες οι ρίζες της

127 3.3. Δυο από τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα 117 παραπάνω χαρακτηριστικής εξίσωσης να έχουν μόνο φανταστικό μέρος, πρέπει δηλαδή να ικανοποιούνται ταυτόχρονα και οι τρείς παρακάτω συνθήκες : (4 A 11 A 22 ) 2 4A 11 A 22 > 0 (3.12) 4 A 11 A 22 > 0 (3.13) A 11 A 22 > 0 (3.14) Πράγματι αν έχουμε λ 2 = ω, η χαρακτηριστική εξίσωση του γραμμικοποιημένου συστήματος (3.8) γίνεται : ω 2 + (4 A 11 A 22 )ω + A 11 A 22 = 0 (3.15) η οποία θα εμφανίζει δύο πραγματικές αρνητικές λύσεις ω 1 και ω 2 και επομένως και η εξίσωση (3.11) θα έχει τέσσερις καθαρά φανταστικές ρίζες, αν οι τρείς παραπάνω συνθήκες (εξισώσεις 3.12, 3.13,3.14 ) ικανοποιούνται ταυτόχρονα. Για να μελετήσουμε πλήρως την ευστάθεια των σημείων ισορροπίας για κάθε τιμή της κοινής μάζας m = m 2 = m 3 σχεδιάσαμε στο επίπεδο (x 0, m 3 ) τις καμπύλες των τριών εξισώσεων που προκύπτουν ως ισότητες από τις σχέσεις (3.12), (3.13), (3.14). Στα παραπάνω διαγράμματα φαίνονται γραμμοσκιασμένες οι περιοχές στις οποίες ικανοποιούνται αυτές οι τρεις ανισότητες (3.12), (3.13), (3.14) ταυτόχρονα. Μόνο στο διάγραμμα (3.1) δεξιά εμφανίζεται μια περιοχή για την οποία ικανοποιείται ταυτόχρονα και η εξίσωση (3.10) και στο σημείο τομής ορίζεται η θέση του συγγραμμικού σημείου ισορροπίας L 3, όπως επίσης φαίνεται και στο σχήμα (2.2) του προηγούμενου κεφαλαίου. Το γραμμοσκιασμένο χωρίο στο επίπεδο m 3 x ορίζουν οι γραμμές που αντιστοιχούν με μαύρο χρώμα στην ανισότητα (3.12) και με μπλέ χρώμα στην (3.14). Το σημείο S(x 0, m 3 ) ( , ) είναι η τομή της μαύρης γραμμής που αντιστοιχεί στην εξίσωση (3.12) με την γραμμή με κόκκινο που αντιστοιχεί στην εξίσωση (3.10), που δίνει την τετμημένη του σημείου ισορροπίας. Βρήκαμε ότι το σημείο L 3 είναι ευσταθές για m 3 (0, ), σε αντίθεση με το κλασικό περιορισμένο πρόβλημα των τριών σωμάτων όπου όλα τα συγγραμμικά σημεία ισορροπίας είναι ασταθή, για κάθε τιμή των μαζών m i. Αυτό έχει ιδιαίτερη σημασία, καθώς στο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων που μελετάμε σε αυτή την περίπτωση προκύπτουν οικογένειες περιοδικών τροχιών γύρω από αυτά τα σημεία ισορροπίας με μικρή (short) και μεγάλη (long) περίοδο. Λεπτομέρειες για τέτοιου είδους οικογένειες μπορεί ο αναγνώστης να βρεί στο κεφάλαιο (5.4.1) του έργου του ([25, Szebehely V.,Theory of Orbits, 1967]). Αναλυτικά η ευστάθεια όλων των συγγραμμικών σημείων ισορροπίας φαίνεται στον συγκεντρωτικό πίνακα (3.1) της μεθεπόμενης ενότητας.

128 118 Κεφάλαιο 3. Γραμμικοποίηση γύρω από τα σημεία ισορροπίας - Ευστάθεια Σχήμα 3.1: Αριστερά : Καμπύλες των ανισοτήτων (3.12), (3.13), (3.14) στο επίπεδο (m 3, x) όταν m 3 = m 2 και m 1 = 1 2m 3. Δεξιά : Μεγέθυνση της αριστερά γραφικής για την περιοχή ευστάθειας όπου ικανοποιούνται ταυτόχρονα οι ανισότητες. Με κόκκινο η γραμμή που αντιστοιχεί στην εξίσωση (3.10), με πράσινο χρώμα στην (3.13), με μπλέ χρώμα στην (3.14), και με μαύρο η γραμμή που αντιστοιχεί στην εξίσωση (3.12) Γραμμικοποίηση γύρω από τα μη-συγγραμμικά σημεία ισορροπίας Οι γραμμικοποιημένες εξισώσεις για πολύ μικρές κινήσεις γύρω από τα μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας δίνονται όπως και στην προηγούμενη περίπτωση των τριών ίσων σωμάτων από την εξίσωση (3.1). Οπως είναι φυσικό και γι αυτή την περίπτωση, όπως και για τα μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας για τρείς ίσες μάζες, ο πίνακας Α, ο οποίος είναι ανεξάρτητος του χρόνου, ορίζεται ως : όπου : A = A 11 = 1 + A 12 = 3 3 i=1 3 i= A 11 A A 12 A m i [2(x 0 x i ) 2 (y 0 y i ) 2 ] [(x 0 x i ) 2 + (y 0 y i ) 2 ] 5/2 m i (x 0 x i )(y 0 y i ) [(x 0 x i ) 2 + (y 0 y i ) 2 ] 5/2 (3.16)

129 3.3. Δυο από τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν την ίδια μάζα 119 A 22 = 1 3 i=1 m i [(x 0 x i ) 2 2(y 0 y i ) 2 ] [(x 0 x i ) 2 + (y 0 y i ) 2 ] 5/2 Στις παραπάνω εξισώσεις m i είναι οι μάζες των πρωτευόντων σωμάτων,όπου μπορούμε να αντικαταστήσουμε m 2 =m 3, ενώ (x i, y i ) είναι οι συντεταγμένες τους. Η χαρακτηριστική εξίσωση του γραμμικοποιημένου συστήματος όπως και στην προηγούμενη περίπτωση είναι : λ 4 + (4 A 11 A 22 )λ 2 + A 11 A 22 A 2 12 = 0 (3.17) όμως οι συντελεστές A ij εξαρτώνται όχι μόνο από τα x 0 και y 0 αλλά και από τη μάζα m 3 αφού m 2 =m 3 και m 1 = 1 2m 3. Κριτήριο για την ευστάθεια των λύσεων ισορροπίας, για κάθε σημείο ισορροπίας ξεχωριστά, είναι όλες οι ρίζες της παραπάνω χαρακτηριστικής εξίσωσης να έχουν μόνο φανταστικό μέρος και λόγω της εξάρτησης των συντελεστών A ij και από την τιμή της μάζας m 3 η ταυτόχρονη ικανοποίηση των ανισοτήτων (3.12), (3.13), (3.14) οδηγεί σε περιοχές λύσεων. Υπολογίσαμε αριθμητικά για κάθε περίπτωση την ευστάθεια και βρήκαμε ότι όλα τα μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας είναι ασταθή, εκτός από τα L 5 και L 6 τα οποία είναι ευσταθή για m 2,3 ɛ(0, ]. Αναλυτικά οι τιμές των μαζών των πρωτευόντων σωμάτων καθώς και οι περιπτώσεις για το πλήθος των σημείων ισορροπίας, συγγραμμικών και μη, φαίνονται στον πίνακα της επόμενης ενότητας ενώ στο αντίστοιχο σχήμα (3.2) που ακολουθεί παρουσιάζουμε τις θέσεις όλων των σημείων ισορροπίας του προβλήματος. Με έντονο κόκκινο χρώμα δίνουμε τα τόξα των καμπυλών που αντιστοιχούν στα ευσταθή σημεία ισορροπίας L 3, L 5 και L 6. Οι κρίσιμες τιμές των μαζών m 2,3 = και m 2,3 = έχουν παρουσιαστεί από την εργασία ([12, [Majorana A.,On a four-body problem, 1981]) όμως το συμπέρασμα στην σελίδα 269 της εργασίας που δηλώνει ότι therefore, in the plane x y, there are eight stationary points είναι λάθος Ευστάθεια των λύσεων ισορροπίας Συγκεντρωτικά όλα τα αποτελέσματα που αναλύσαμε στις προηγούμενες ενότητες για την περίπτωση των δύο ίσων μαζών παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα (3.1). Συγκεκριμένα, φαίνεται τόσο η ευστάθεια των σημείων ισορροπίας, συγγραμμικών και μη, όσο και οι τιμές των μαζών για τις περιπτώσεις που έχουμε διαφορετικό πλήθος σημείων ισορροπίας.

130 120 Κεφάλαιο 3. Γραμμικοποίηση γύρω από τα σημεία ισορροπίας - Ευστάθεια Πίνακας 3.1: Πλήθος συγγραμμικών και μη συγγραμμικών σημείων ισορροπίας, για όλες τις πιθανές αναλογίες μαζών για την περίπτωση των δύο ίσων μαζών, m 2 = m 3 Σημεία Συγγραμικά Μη Ευστάθεια ισορροπίας συγγραμμικά Σημείων Ισορροπίας m 2 = m L 3 για m 3 ɛ(0, ) ɛ(0, ] L 5,6 για m 3 ɛ(0, ) m 2 = m ɛ(0.2882, ] m 2 = m ɛ[0.4403, 0.5) Σχήμα 3.2: Εξέλιξη σημείων ισορροπίας όταν η τιμή της μάζας m 2 = m 3 ɛ(0, 0.5) αυξάνεται. Η ευστάθεια τους σημειώνεται με έντονο κόκκινο χρώμα.

131 3.4. Τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν διαφορετικές μάζες 121 Στο σχήμα (3.2) φαίνονται τα σημεία ισορροπίας όταν m 2 =m 3, η εξέλιξη τους ανάλογα με τις διακυμάνσεις των τιμών των μαζών των πρωτευόντων σωμάτων καθώς και τα διαστήματα ευστάθειας τους - με κόκκινο χρώμα. Τα σημεία Α αντιστοιχούν στις συντεταγμένες των σημείων ισορροπίας L 2,3,5,6,7,8,9,10 όταν η τιμή της μάζας m 2,3 0, ενώ τα σημεία Β στις συντεταγμένες των σημείων ισορροπίας όταν m 2, Επίσης το σημείο Κ αντιστοιχεί στις συντεταγμένες των σημείων ισορροπίας L 1,4 όταν η τιμή της μάζας m 2, , ενώ το Ν στις συντετεγμένες του σημείου ισορροπίας L 4 όταν m 2, Τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν διαφορετικές μάζες Σε αυτό το κεφάλαιο επεκτείνουμε τη μελέτη μας για την ευστάθεια των λύσεων ισορροπίας στο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων και για την περίπτωση όπου τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν άνισες μάζες. Στο αντίστοιχο μέρος του προηγούμενου κεφαλαίου είχαμε υπολογίσει για m 1 m 2 m 3 όλες τις πιθανές περιπτώσεις και συνδυασμούς στις τιμές των μαζών και παρουσιάσει συγκεντρωτικά τα αποτελέσματα των λύσεων ισορροπίας στον πίνακα (2.2). Στην επόμενη ενότητα θα αναπτύξουμε την γραμμικοποίηση γύρω από αυτά τα μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας,αφού στην περίπτωση των τριών άνισων μαζών δεν έχουμε συγγραμμικά σημεία, καθώς και την ευστάθεια αυτών των λύσεων Γραμμικοποίηση γύρω από τα σημεία ισορροπίας Οι γραμμικοποιημένες εξισώσεις για πολύ μικρές κινήσεις γύρω από τα μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας δίνονται όπως και στην προηγούμενες περίπτωσεις των τριών ίσων σωμάτων και των δύο ίσων σωμάτων από την εξίσωση : ẋ = A x, (3.18) x = (x, y, ẋ, ẏ) T όπου x είναι το διάνυσμα του τέταρτου σώματος αμελητέας μάζας. Ο πίνακας Α, ο οποίος είναι ανεξάρτητος του χρόνου, ορίζεται ως : A = A 11 A (3.19) A 12 A

132 122 Κεφάλαιο 3. Γραμμικοποίηση γύρω από τα σημεία ισορροπίας - Ευστάθεια όπου : A 11 = i=1 m i [2(x 0 x i ) 2 (y 0 y i ) 2 ] [(x 0 x i ) 2 + (y 0 y i ) 2 ] 5/2 A 12 = 3 A 22 = 1 3 i=1 3 i=1 m i (x 0 x i )(y 0 y i ) [(x 0 x i ) 2 + (y 0 y i ) 2 ] 5/2 (3.20) m i [(x 0 x i ) 2 2(y 0 y i ) 2 ] [(x 0 x i ) 2 + (y 0 y i ) 2 ] 5/2 Στις παραπάνω εξισώσεις m i είναι οι μάζες των πρωτευόντων σωμάτων, ενώ (x i, y i ) είναι οι συντεταγμένες τους. Η χαρακτηριστική εξίσωση του γραμμικοποιημένου συστήματος είναι : λ 4 + (4 A 11 A 22 )λ 2 + A 11 A 22 A 2 12 = 0 (3.21) όμως οι συντελεστές A ij δίνονται από τις παραπάνω εξισώσεις (3.20) και εξαρτώνται όχι μόνο από τα x 0 και y 0 αλλά και από τις μάζες m 2, m 3 αφού m 1 m 2 m 3 και m 1 = 1 m 2 m 3. Για την περίπτωση όπου m 1 m 2 m 3 και εφόσον έχουμε ορίσει από τις αρχικές μας υποθέσεις ότι m 1 + m 2 + m 3 = 1 έχουμε: m 1 =1 m 2 m 3 και m 2 m 3 < 1 2 οι θέσεις των πρωτευόντων σωμάτων ως προς τις συντεταγμένες x - y δίνονται από τις αρχικές γενικές εξισώσεις (2.5) x 1 = K m m 2 m 3 + m 2 3 K y 1 = 0 x 2 = K [(m 2 m 3 )m 3 + m 1 (2m 2 + m 3 )] 2K m m 2 m 3 + m m 3 m 3 2 y 2 = 2 m 3/2 m m 2 m 3 + m 2 3 K x 3 = 2 m m 2 m 3 + m m 3 2 y 3 = 2 m m 2 m 3 + m 2 3 m 1/2 2

133 3.4. Τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν διαφορετικές μάζες 123 όπου K = m 2 (m 3 m 2 ) + m 1 (m 2 + 2m 3 ) Επίσης οι συντεταγμένες (x 0, y 0 ) των σημείων ισορροπίας δίνονται σε αυτή την περιπτωση από την λύση του συστήματος ϑω ϑω =0 και ϑx ϑy =0. Κριτήριο για την ευστάθεια των λύσεων ισορροπίας, για κάθε σημείο ισορροπίας ξεχωριστά, είναι όλες οι ρίζες της παραπάνω χαρακτηριστικής εξίσωσης να έχουν μόνο φανταστικό μέρος και λόγω της εξάρτησης των συντελεστών A ij και από την τιμή των μάζων m 2 και m 3 η ταυτόχρονη ικανοποίηση των ανισοτήτων (3.12), (3.13), (3.14) οδηγεί σε διαστήματα λύσεων. Υπολογίσαμε αριθμητικά για κάθε περίπτωση την ευστάθεια και βρήκαμε ότι όλα τα μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας είναι ασταθή, εκτός από τα L 3, L 5 και L 6 τα οποία είναι ευσταθή για συγκεκριμένες τιμές των μαζών m 2,3. Αναλυτικά οι τιμές των μαζών των πρωτευόντων σωμάτων καθώς και οι περιπτώσεις για το πλήθος των σημείων ισορροπίας, συγγραμμικών και μη, φαίνονται στους πίνακες (3.2) και (;;) της επόμενης ενότητας ενώ στα σχήματα (3.3 αριστερά), (3.3 δεξιά), (3.4) που ακολουθούν παρουσιάζουμε τα διαστήματα των σημείων ισορροπίας του προβλήματος και με έντονο κόκκινο χρώμα δίνουμε τα τόξα των καμπυλών που αντιστοιχούν στα ευσταθή σημεία ισορροπίας L 3, L 5 και L Ευστάθεια των λύσεων ισορροπίας Κριτήριο για την ευστάθεια των λύσεων ισορροπίας, για κάθε σημείο ισορροπίας ξεχωριστά, είναι όλες οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης (3.21 ) να έχουν μόνο φανταστικό μέρος. Για να συμβαίνει αυτό, δηλαδή για να είναι και οι τέσσερις ρίζες φανταστικές πρέπει να ικανοποιούνται ταυτόχρονα και οι τρείς συνθήκες (3.12), (3.13), (3.14) όπως και στις προηγούμενες ενότητες. (4 A 11 A 22 ) 2 4A 11 A 22 > 0 4 A 11 A 22 > 0 A 11 A 22 > 0 Στην παρούσα περίπτωση, σε αντίθεση με τις προηγούμενες, λόγω του μεγάλου πλήθους των παραμέτρων των μαζών δεν μπορούμε να εκφράσουμε τις θέσεις των σημείων ισορροπίας με συνεχή τροπο ως προς m 1 π.χ. και έτσι εξετάσαμε την ευστάθεια για αρκετές τιμές του m 1 και για κάθε τιμή των m 2 και m 3, για να καλύψουμε όσο το δυνατόν πληρέστερα την μελέτη μας.

134 124 Κεφάλαιο 3. Γραμμικοποίηση γύρω από τα σημεία ισορροπίας - Ευστάθεια Πράγματι στην περίπτωση των τριών άνισων μαζών και για m 1 =0.01, 0.1, 0.2,...0.9, 0.99 βρήκαμε ότι όλα τα σημεία ισορροπίας είναι ασταθή εκτός από τα L 3 και L 6 που εμφανίζουν ευστάθεια, το L 3 για m 1 =0.01 και m 2 ɛ[0.029, 0) και το L 6 για m 1 =0.01 και m 2 ɛ[0.022, 0). Στην πρώτη εικόνα (σχήμα 3.3 αριστερά) δίνουμε για m 1 =0.01 τις θέσεις όλων των σημείων ισορροπίας καθώς αλλάζουν τα m 2 και m 3. Με κόκκινο χρώμα σημειώνουμε τα διαστήματα ευστάθειας των μόνων ευσταθών σημείων ισορροπίας, δηλαδή των L 3 και L 6 ενώ με μπλέ γραμμές φαίνεται η εξέλιξη τους ανάλογα τις τιμές των μαζών. Σχήμα 3.3: Αριστερά : Θέσεις των σημείων ισορροπίας και διαστήματα ευστάθειας των σημείων ισορροπίας για m 1 =0.01 στο επίπεδο (x, y) καθώς αλλάζουν τα m 2 και m 3. Δεξιά : Αντίστοιχα, διαστήματα ευστάθειας των σημείων ισορροπίας για m 1 =0.99 Η αλλαγή της εικόνας των θέσεων των σημείων ισορροπίας είναι σημαντική καθώς αλλάζει το m 1 και αυτό φαίνεται από το σχήμα (3.3 δεξιά), όπου δίνουμε για m 1 =0.99 την σχετική αποτύπωση των σημείων ισορροπίας. Ετσι για m 1 =0.99 έχουμε με πράσινες γραμμές στην εικόνα (3.3 δεξιά) τα σημεία ισορροπίας και με κόκκινο όπως και πριν, παρουσιάζουμε τα L 5 και L 6 που γι αυτή την τιμή της μάζας m 1 εμφανίζουν ευστάθεια για οποιαδήποτε τιμή των μαζών m 2 και m 3. Συγκρινοντας τις εικόνες ( 3.3 αριστερά) και (3.3 δεξιά), για τιμές m 1 =0.01 και m 1 =0.99 αντίστοιχα, παρατηρούμε πως για αλλαγή της μάζας του πρωτεύοντος m 1 από μικρές τιμές προς μεγάλες , οι καμπύλες των θέσεων των σημείων ισορροπίας «μαζεύονται» προς τα αριστερά του επιπέδου (x, y). Τέλος στην τρίτη - μεγάλη εικόνα (3.4) δίνουμε συγκεντρωτικά όλες τις καμπύλες που αντιπροσωπεύουν τις θέσεις των σημείων ισορροπίας για όλα τα m 1 που εξετάσαμε

135 3.4. Τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν διαφορετικές μάζες 125 Σχήμα 3.4: Διαστήματα ευστάθειας των σημείων ισορροπίας για όλα τα m 1 εξετάσαμε καθώς αλλάζουν τα m 2 και m 3, στο επίπεδο (x, y) που και για κάθε τιμή των m 2 και m 3. Ταυτόχρονα δίνουμε τα ευσταθή διαστήματα των σημείων ισορροπίας με κόκκινο χρώμα για m 1 m 2 m 3. Παρατηρούμε επίσης από το ίδιο σχήμα ότι έχουμε δύο κόκκινα διαστήματα ευστάθειας για το σημείο ισορροπίας L 6 και ο λόγος είναι ότι αυτό το σημείο σύμφωνα με τους υπολογισμούς μας παρουσιάζει ευστάθεια σε δύο ξεχωριστές ακραίες περιοχές τιμών του πρωτεύοντος σώματος μάζας m 1, δηλαδή τόσο για m 1 =0.01 όσο και για m 1 =0.99, όπως άλλωστε φαίνεται και στις αριθμητικές τιμές του πίνακα (3.3). Στο επόμενο πίνακα (3.2) παρουσιάζονται αναλυτικά τα διαστήματα τιμών της μάζας m 1 για τα οποία έχουμε ευστάθεια στα σημεία ισορροπίας L 3, L 5 και L 6, όποια τιμή κι αν λαμβάνουν οι άλλες δύο πρωτεύουσες μάζες m 2 και m 3. Πίνακας 3.2: Διαστήματα τιμών της μάζας m 1 για τις οποίες εμφανίζεται ευστάθεια στα σημεία ισορροπίας L 3, L 5 και L 6 για οποιαδήποτε τιμή των μαζών m 2 και m 3 Πρωτεύον σώμα m 1 ɛ(0, ] (0.9921, 1] m 1 ɛ(0, ] (0.9603, 1] m 1 ɛ(0, ] (0.9603, 1] Ευσταθή σημεία L 3 ευσταθές L 5 ευσταθές L 6 ευσταθές

136 126 Κεφάλαιο 3. Γραμμικοποίηση γύρω από τα σημεία ισορροπίας - Ευστάθεια Αντίστοιχα στον μεγάλο συγκεντρωτικό πίνακα,ο οποίος αποτελεί επέκταση του αντίστοιχου (2.2) του προηγούμενου κεφαλαίου, παρουσιάζεται όλη η μελέτη μας για τα διαστήματα και τις τιμές των πρωτευόντων μαζών οι οποίες δίνουν ευσταθή σημεία ισορροπίας. Από τα αριθμητικά αποτελέσματα για όλους τους πιθανούς συνδυασμούς μαζών, παρατηρούμε ότι στην περίπτωση m 1 m 2 m 3 το πρόβλημα παρουσιάζει 8 ή 10 σημεία ισορροπίας. Πιο συγκεκριμένα για m 1 ɛ(0, 0.12] [0.44, 1) το περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων έχει πάντα 8 σημεία ισορροπίας για κάθε τιμή της μάζας m 2 και σε αυτή την περιοχή τιμών του m 1 και μόνο για τιμή μάζας 0.01 παρουσιάζουν ευστάθεια τα σημείο L 3 και L 6. Οταν m 1 ɛ[0.13, 0.43] το πρόβλημα παρουσιάζει είτε 8 είτε 10 σημεία ισορροπίας ανάλογα με τις τιμές και των μαζών m 2 και m 3 και είναι ιδιαίτερα σημαντικό πως αυτή η περιοχή τιμών της μάζας m 1 δεν εμφανίζει κανένα ευσταθές σημείο ισορροπίας, ενώ έχει μεγάλη πολυπλοκότητα και διακυμάνσεις στα διαστήματα τιμών των μαζών για τα οποία εμφανίζονται η εξαφανίζονται σημεία ισορροπίας. Τέλος όσο η μάζα m 1 αυξάνει, παρατηρούμε ότι για m 1 ɛ[0.44, 1) το περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων έχει πάντα 8 σημεία ισορροπίας για κάθε τιμή της μάζας m 2 και σε αυτή την περιοχή τιμών του m 1 και μόνο για τιμή μάζας 0.99 παρουσιάζουν ευστάθεια τα σημεία L 5 και L 6. Σημαντικό είναι το συμπέρασμα από την ερευνά μας πως στην περίπτωση του ευσταθούς δυναμικού συστήματος των τριών πρωτευόντων σωμάτων (δηλαδή ικανοποίηση της σχέσης 2.7) το πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων εμφανίζει πάντα 8 σημεία ι- σορροπίας και ανάμεσα σε αυτά υπάρχουν σημεία ισορροπίας, τα L 3, L 5 και L 6 που εμφανίζουν ευστάθεια για κάποιο συγκεκριμένο διάστημα τιμών των μαζών (πίνακας 3.3).

137 3.4. Τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν διαφορετικές μάζες 127 Πίνακας 3.3: Πλήθος και ευστάθεια σημείων ισορροπίας όταν τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν διαφορετικές μάζες, m 1 m 2 m 3. Για την μάζα m 3 ισχύει: m 3 = 1 m 1 m 2 m 1 8 Σημεία 10 Σημεία Ευστάθεια ισορροπίας ισορροπίας Σημείων Ισορροπίας 0.01 m 2 ɛ(0.510, 0) L 3 για m 2 ɛ[0.029, 0) L 6 για m 2 ɛ[0.022, 0) 0.1 m 2 ɛ(0.560, 0) 0.11 m 2 ɛ(0.563, 0) 0.12 m 2 ɛ(0.566, 0) 0.13 m 2 ɛ(0.568, 0.436) (0.434, 0) m 2 ɛ[0.436, 0.434] 0.14 m 2 ɛ(0.571, 0.433) (0.427, 0) m 2 ɛ[0.433, 0.427] 0.15 m 2 ɛ(0.573, 0.431) (0.419, 0) m 2 ɛ[0.431, 0.419] 0.16 m 2 ɛ(0.574, 0.430) (0.410, 0) m 2 ɛ[0.430, 0.410] 0.17 m 2 ɛ(0.575, 0.428) (0.402, 0) m 2 ɛ[0.428, 0.402] 0.18 m 2 ɛ(0.576, 0.427) (0.393, 0) m 2 ɛ[0.427, 0.393] 0.19 m 2 ɛ(0.577, 0.427) (0.384, 0) m 2 ɛ[0.427, 0.384] 0.2 m 2 ɛ(0.577, 0.426) (0.374, 0) m 2 ɛ[0.426, 0.374] 0.25 m 2 ɛ(0.575, 0.423) (0.327, 0) m 2 ɛ[0.423, 0.327] 0.3 m 2 ɛ(0.570, 0.423) (0.277, 0) m 2 ɛ[0.423, 0.277] 0.35 m 2 ɛ(0.556, 0.424) (0.226, 0) m 2 ɛ[0.424, 0.226] 0.4 m 2 ɛ(0.545, 0.428) (0.172, 0) m 2 ɛ[0.428, 0.172] 0.41 m 2 ɛ(0.539, 0.430) (0.16, 0) m 2 ɛ[0.430, 0.140] 0.42 m 2 ɛ(0.535, 0.432) (0.148, 0) m 2 ɛ[0.432, 0.148] 0.43 m 2 ɛ(0.531, 0.435) (0.135, 0) m 2 ɛ[0.435, 0.135] 0.44 m 2 ɛ(0.528, 0) 0.45 m 2 ɛ(0.524, 0) 0.5 m 2 ɛ(0.5, 0) 0.6 m 2 ɛ(0.4, 0) 0.7 m 2 ɛ(0.3, 0) 0.8 m 2 ɛ(0.2, 0) 0.9 m 2 ɛ(0.1, 0) 0.99 m 2 ɛ(0.01, 0) L 5 για m 2 ɛ(0.01, 0) L 6 για m 2 ɛ(0.01, 0)

138 128 Κεφάλαιο 3. Γραμμικοποίηση γύρω από τα σημεία ισορροπίας - Ευστάθεια 3.5 Περιοχές σύγκλισης Μελετήσαμε τις περιοχές σύγκλισης (Basins of Attraction) της μεθόδου Newton- Raphson για τον υπολογισμό στο επίπεδο των σημείων ισορροπίας του περιορισμένου προβλήματος των τεσσάρων σωμάτων και πριν προχωρήσουμε στην παρουσίαση των αποτελεσμάτων, θα ήταν ορθό να γίνει μια εισαγωγή στις έννοιες των ελκυστών αλλά και του χάους. Οταν εμφανίζεται μη γραμμικότητα στα δυναμικά συστήματα, παρουσιάζονται δύο κύρια προβλήματα. Το ένα είναι η πολυπλοκότητα της συμπεριφοράς του συστήματος, αφού για μικρές μεταβολές προκύπτουν μεγάλες αποκλίσεις στη συμπεριφορά του σε μεγάλο χρονικό ορίζοντα. Το δεύτερο πρόβλημα είναι ότι παύει να ισχύει η αρχή της επαλληλίας, άρα πλέον δεν μπορούν να εφαρμοστούν οι κλασικές τεχνικές μελέτης γραμμικών συστημάτων, όπως π.χ. ο μετασχηματισμός F ourier. Στα μη ολοκληρώσιμα δυναμικά συστήματα συχνά εμφανίζεται χαοτική συμπεριφορά, ιδιαίτερα σε αυτά που παρουσιάζουν μεγάλη ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Χάος ονομάζεται η μη προβλέψιμη χρονική εξέλιξη των δυναμικών συστημάτων. Ομως η αταξία που χαρακτηρίζει το χάος διέπεται από νόμους που οδηγούν στον σχηματισμό μιας πολύπλοκης δομής, επαναλαμβανόμενης, υπό κλίμακα, αυτο-ομοιότητας, δηλαδή ίδιες δομές μέσα σε προηγούμενες μεγαλύτερες δομές συνεχώς, όπως φαίνεται σε κάποιες περιοχές στα σχήματα (3.5 αριστερά - δεξιά) και (3.6 αριστερά - δεξιά). Σε αυτά τα σχήματα, για το πρόβλημα που μελετάμε, φαίνονται επίσης οι εκλυστές ως μαύρες κουκίδες. Στην περίπτωση που μελετάμε και στα σχήματα που παρουσιάζουμε, έχουμε μόνο σημειακούς εκλυστές και είναι τα σημεία ισορροπίας του προβλήματος μας. Στα ίδια σχήματα (3.5) και (3.6) φαίνονται οι περιοχές σύγκλισης, με διαφορετικό χρώμα η κάθε μια. Δεξαμενές ή περιοχές σύγκλισης ονομάζονται τα σύνολα όλων των αρχικών συνθηκών στο χώρο των φάσεων, για τις οποίες οι τροχιές τους προσεγγίζουν συγκεκριμένο ελκυστή. Στα σύνορα μεταξύ των περιοχών σύγκλισης παρατηρούμε σε όλες τις περιπτώσεις του προβλήματος μας χαοτική συμπεριφορά. Στην συνέχεια παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της μελέτης μας για τις περιοχές σύγκλισης της μεθόδου Newton-Raphson οι οποίες καθορίζονται μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας εύρεσης των σημείων ισορροπίας που εφαρμόζεται για διάφορες τιμές των μαζών των πρωτευόντων σωμάτων.

139 3.5. Περιοχές σύγκλισης 129 Οι εξισώσεις που δίνουν τα σημεία ισορροπίας στο επίπεδο είναι οι (2.1) : ẍ 2ẏ = Ω x = x ÿ 2ẋ = Ω y = y 3 i=1 3 i=1 m i (x x i ) r 3 i m i (y y i ) r 3 i = 0 = 0 (3.22) και οι θέσεις των πρωτευόντων σωμάτων ως προς τις συντεταγμένες x - y δίνονται από τις αρχικές γενικές εξισώσεις (2.5) δηλαδή : x 1 = K m m 2 m 3 + m 2 3 K y 1 = 0 όπου x 2 = K [(m 2 m 3 )m 3 + m 1 (2m 2 + m 3 )] 2K m m 2 m 3 + m m 3 m 3 2 y 2 = 2 m 3/2 m m 2 m 3 + m 2 3 K x 3 = 2 m m 2 m 3 + m m 3 2 y 3 = 2 m m 2 m 3 + m 2 3 m 1/2 2 K = m 2 (m 3 m 2 ) + m 1 (m 2 + 2m 3 ) Για να εξηγήσουμε την μέθοδο που χρησιμοποιήσαμε ως παράδειγμα μπορούμε να πάρουμε την περίπτωση των τριών ίσων μαζών και να μελετήσουμε τα συγγραμμικά σημεία ισορροπίας, που είναι η πιο απλή περίπτωση, ξεκινώντας από την εξίσωση (2.11) στην οποία καταλήξαμε ότι δίνει τις συντεταγμένες (x 0, 0) των συγγραμμικών σημείων ισορροπίας: f(x 0 ) = x 0 x x (x [(x = 0 (3.23) 2 3 ) ]3/2 2 3 )

140 130 Κεφάλαιο 3. Γραμμικοποίηση γύρω από τα σημεία ισορροπίας - Ευστάθεια Αν x 0 μια αρχική τιμή, χρησιμοποιούμε την μέθοδο Newton-Raphson για να βρούμε κάνοντας σάρωση (grid) σε ένα διάστημα τιμών και ανάλογα σε ποιά από τις τέσσερις ρίζες της (3.23) (συγγραμμικά σημεία ισορροπίας), συγκλίνει η μέθοδος κρατάμε την αρχική τιμή x 0 σε ένα ξεχωριστό αρχείο. Ορίζουμε ως περιοχή σύγκλισης της μεθόδου την περιοχή του επιπέδου για την ο- ποία όλα τα σημεία αν τα δώσουμε ως αρχικές συνθήκες (x 0, 0) θα μας οδηγήσουν με σύγκλιση της μεθόδου Newton-Raphson στο συγκεκριμένο συγγραμμικό σημείο ισορροπίας, το οποίο ονομάζουμε ελκυστή. Στο πρόβλημα μας, εργαστηκαμε με αυτή τη μέθοδο αλλά και για τα μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας, δηλαδη για όλα τα σημεία ισορροπίας στο επίπεδο x y. Επίσης επεκτείναμε την μελέτη μας και στις περιπτώσεις των δύο ίσων μαζών και των τριών άνισων μαζών. Ετσι για όλα τα σημεία ισορροπίας του επιπέδου, συγγραμμικά και μη συγγραμμικά, έχουμε δύο εξισώσεις με δύο αγνώστους, x, y : f 1 (x, y) = ϑ ϑx Ω(x, y; m 1, m 2, m 3 ) = 0 f 2 (x, y) = ϑ ϑy Ω(x, y; m 1, m 2, m 3 ) = 0 (3.24) Από τις λύσεις του οποίου λαμβάνουμε τα σημεία ισορροπίας του προβλήματος μας χρησιμοποιώντας την αριθμητική μέθοδο Newton-Raphson με αρχικές συνθήκες τις τιμές ενός σημείου του επιπέδου (x, y) και τις παραμέτρους των μαζών m i, i = 1, 2, 3. Το δυναμικό Ω ορίζεται από την εξίσωση (2.2) που παρουσιάσαμε στην αρχή του προηγούμενου κεφαλαίου μαζί με τις αρχικές εξισώσεις του περιορισμένου προβλήματος των τεσσάρων σωμάτων. Ο αλγόριθμος μας για την μέθοδο που ακολουθούμε προκύπτει από το παραπάνω σύστημα (3.24), υπολογίζοντας αρχικά τον ιακωβιανό του πίνακα: J = ϑf 1 ϑx ϑf 2 ϑx ϑf 1 ϑy ϑf 2 ϑy (3.25) και βρίσκοντας στην συνέχεια την ορίζουσα του : D = ϑf 1 ϑx ϑf 2 ϑx ϑf 1 ϑy ϑf 2 ϑy

141 3.5. Περιοχές σύγκλισης 131 Άρα ο αντίστροφος πίνακας του θα είναι : ϑf 2 J 1 f = 1 ϑf 1 ϑy ϑy D ϑf 2 ϑf 1 ϑx ϑx Και η μέθοδος Newton-Raphson για το σύστημα είναι εν γένει : x n+1 = x n J f 1 f n (3.26) άρα : x n+1 = x n 1 D ( ϑf 2 ϑy n f 1 (x n, y n ) ϑf 1 ϑy n f 2 (x n, y n )) (3.27) y n+1 = y n 1 D ( ϑf 2 ϑx n f 1 (x n, y n ) ϑf 1 ϑx n f 2 (x n, y n )) Και επειδή f 1 (x, y) = ϑω ϑx, f 2(x, y) = ϑω ϑy τελικά το σύστημα μας μπορεί να γραφεί : x n+1 = x n f x n f x n (3.28) ή y n+1 = y n + f y n f y n x n+1 = x n y n+1 = y n + Ω y ny n Ω xn Ω xny n Ω yn Ω xnx n Ω yny n Ω xny n Ω ynx n (3.29) Ω y nx n Ω xn Ω xnx n Ω yn Ω xnx n Ω yny n Ω xny n Ω ynx n όπου x n, y n είναι οι τιμές των συντεταγμένων (x, y) στο n οστό βήμα της μεθόδου Newton-Raphson που εφαρμόζουμε. Εφόσον το αρχικό μας σημείο (x, y) οδηγήσει την επαναληπτική διαδικασία σε σύγκλιση προς μια συγκεκριμένη λύση του αλγεβρικού συστήματος (3.24), τότε θεωρούμε αυτό το αρχικό σημείο (x, y) ως μέλος της λεκάνης ελκυστών της συγκεκριμένης ρίζας (equilibrium point-attractor). Η μέθοδος Newton-Raphson σταματάει όταν επιτευχθεί ακρίβεια δέκα δεκαδικών ψηφίων για τα αποτελέσματα, εκτός εαν αποκλίνει η μέθοδος οπότε και η επανάληψη γίνεται για 40 φορές και μετά τερματίζεται. Οι περιοχές των ελκυστών δημιουργούνται πάνω στο επίπεδο (x, y) όπως παρουσιάζονται στην συνέχεια στα σχήματα (3.5 αριστερά) και (3.5 δεξιά) σε μεγέθυνση για την περίπτωση των τριών ίσων πρωτευόντων μαζών, στο σχήμα (3.6 αριστερά) για

142 132 Κεφάλαιο 3. Γραμμικοποίηση γύρω από τα σημεία ισορροπίας - Ευστάθεια Σχήμα 3.5: Αριστερά : Περιοχές σύγκλισης για τα σημεία ισορροπίας για την περίπτωση των τριών ίσων πρωτευόντων μαζών m 1 =m 2 =m 3. Δεξιά : Μεγέθυνση της προηγούμενης εικόνας στην περιοχή της αρχής των αξόνων. Τα διαφορετικά χρώματα, συμπεριλαμβανομένου και του λευκού, ορίζουν τις διαφορετικές περιοχές σύγκλισης την περίπτωση των δύο ίσων πρωτευόντων μαζών, με μεγέθυνση για να φαίνονται οι εκλυστές και στο σχήμα (3.6 δεξιά) για την περίπτωση των τριών άνισων μαζών. Για την πρώτη και την τρίτη περίπτωση, δηλαδή για m 1 =m 2 =m 3 και m 1 m 2 m 3 και για τις συγκεκριμένες τιμές των μαζών έχουμε δέκα σημεία ισορροπίας, ενώ στην δεύτερη περίπτωση για τις δύο ίσες μάζες το πρόβλημα βρήκαμε ότι έχει οχτώ σημεία. Σε όλες τις περιπτώσεις, για κάθε περιοχή σύγκλισης, χρησιμοποιούμε διαφορετικό χρώμα συμπεριλαμβανομένου και του λευκού, και οι ατράκτορες, που είναι τελικά τα σημεία ισορροπίας σε κάθε περίπτωση φαίνονται (σχήματα 3.5 και 3.6) με μαύρες κουκίδες. Στην περίπτωση που τα τρία πρωτεύονται σώματα έχουν ίσες μάζες (σχήματα 3.5 αριστερά και δεξιά), παρατηρούμε από τα σχήματα με τους ατράκτορες την συμμετρία τους ως προς τους άξονες συμμετρίας y=0, y= 3x και y= 3x στο επίπεδο x - y, ενώ και τα δέκα σημεία ισορροπίας είναι ασταθή. Στην περίπτωση των άνισων πρωτευόντων μαζών,m 1 m 2 m 3, η τριπλή προηγούμενη συμμετρία δεν υπάρχει πλέον και παρατηρούμε από το τελευταίο σχήμα (3.6 δεξιά) ότι δεν υπάρχει συμμετρία καθόλου, παρότι οι περιοχές μοιάζουν με τις προηγούμενες περιπτώσεις. Η συγκεκριμένη απεικόνιση έγινε για τιμές μαζών m 1 =0.43, m 2 =0.15 και m 3 =0.42 για να έχουμε δέκα σημεία ισορροπίας και σε αυτή την περί-

143 3.5. Περιοχές σύγκλισης 133 Σχήμα 3.6: Αριστερά : Περιοχές σύγκλισης για τα σημεία ισορροπίας όταν έχουμε δύο ίσες πρωτεύοντες μάζες m 2 =m 3. Δεξιά : Περιοχές σύγκλισης για τα σημεία ισορροπίας όταν οι τρείς πρωτεύοντες μάζες είναι άνισες μεταξύ τους m 1 m 2 m 3 πτωση και τα δέκα είναι ασταθή. Στην περίπτωση των δύο ίσων πρωτευόντων μαζών η απεικόνιση αλλάζει αρκετά σε σχέση με τις περιπτώσεις για m 1 =m 2 =m 3 και m 1 m 2 m 3 και γι αυτό την παρουσιάζουμε τελευταία. Για τιμές μαζών m 2 =m 3 =0.002 και m 1 =1-m 2 -m 3 =0.996 ικανοποιείται η συνθήκη (2.7) για την ευστάθεια του συστήματος των τρίων πρωτευόντων μαζών και η ύπαρξη ενός πολύ μεγάλου - κυρίαρχου σώματος, m 1, επηρεάζει δραματικά την εικόνα για τους ατράκτορες. Στο σχήμα μας (3.6 αριστερά) βλέπουμε γι αυτή την περίπτωση μια μεγέθυνση καθώς θέλουμε να δείξουμε τις λεπτομέρειες, για να διακρίνονται τα οκτώ σημεία ισορροπίας που υπάρχουν σε αυτη την περίπτωση αλλά και γιατί οι περιοχές σύγκλισης είναι περιορισμένες σε έκταση κυρίως γύρω από τα σημεία ισορροπίας. Παρατηρούμε στο επίπεδο x - y και κυρίως στα δεξιά του κατακόρυφου άξονα y = 0 περιοχές στις οποίες δεν υπάρχει καθαρή οργάνωση και τάξη όπως στις προηγούμενες περιπτώσεις και οι περιοχές δεν μπορούν να καθοριστούν με σαφήνεια. Η εικόνα μοιάζει με μια χαοτική θάλασσα. Ως εκ τουτου η επιλογή ενός σημείου (x,y) από αυτή την περιοχή ως σημείο αρχικών συνθηκών για την μέθοδο Newton-Raphson είναι πολύ ευαίσθητη σε απειροελάχιστες μεταβολές των τιμών και η πρόβλεψη από την μέθοδο για τον τελικό προορισμό και τον καθορισμό του ατράκτορα γίνεται σε πολλές περιοχές εξαιρετικά δύσκολη υπόθεση. Η σύγκλιση της επαναληπτικής μεθόδου για αρχικές τιμές από αυτές τις χαοτικές περιοχές είναι πολύ αργή και γι αυτό

144 134 Κεφάλαιο 3. Γραμμικοποίηση γύρω από τα σημεία ισορροπίας - Ευστάθεια αυξήσαμε τον μέγιστο αριθμό επαναλήψεων στην μέθοδο μας από 40 σε 80 έτσι ώστε να κρατήσουμε την ακρίβεια των αποτελεσμάτων μέσα στις αρχικές απαιτήσεις μας για δέκα δεκαδικά ψηφία. Από το σχήμα (3.6 αριστερά) παρατηρούμε επίσης ότι επτά από τους ελκυστές μας υπάρχουν μόνο στο αριστερό ημιεπίπεδο που ορίζεται στο επίπεδο x - y από τον κατακόρυφο άξονα x = 0 και μόνο ένας ελκυστής υπάρχει στο αντίστοιχο ημιεπίπεδο δεξιά του. Η θέση του μεγάλου πρωτευόντος σώματος m 1 είναι πάνω στον θετικό x - ημιάξονα και έχει συντεταγμένες ( , 0), δηλαδή πολύ κοντά στην αρχή των συντεταγμένων του συστήματος των τριών μαζών. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα για m 2 =m 3 =0.002 και m 1 = τρία από τα οχτώ σημεία ισορροπίας είναι και ευσταθή, συγκεκριμένα τα L 3, L 5 και L 6. Μια παρόμοια μελέτη γύρω από τους ατράκτορες των σημείων ισορροπίας, έχει γίνει για το ring problem των n + 1 σωμάτων και το πρόβλημα Hill με πλάτυνση και ακτινοβολία από τους [4, Croustalloudi, M. and Kalvouridis, 2007]) και [5, Douskos, C., 2010]). 3.6 Συμπεράσματα Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάσαμε τα αποτελέσματα της μελέτης μας για την ευστάθεια των σημείων ισορροπίας του περιορισμένου προβλήματος των τεσσάρων σωμάτων, όταν τα τρία πρωτεύονται σώματα βρίσκονται πάντα στις κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου - τριγωνική (Lagrangian) διαμόρφωση. Οπως και στο προηγούμενο κεφάλαιο, έτσι και στο παρόν, χωρίσαμε την έρευνα και την παρουσίαση σε τρείς ενότητες, αντίστοιχα με τις τιμές των μαζών των πρωτευόντων σωμάτων. Η μελέτη μας για την ευστάθεια των σημείων ισορροπίας και τις περιοχές σύγκλισης, δημοσιεύτηκε στην εργασία ([33, Baltagiannis A.N. Papadakis K.E., 2011a]). Αρχικά για m 1 = m 2 = m 3 =1/3 δώσαμε την γραμμικοποιημένη μορφή των εξισώσεων της κίνησης στα σημεία ισορροπίας και μελετήσαμε μέσω αυτής την ευστάθεια. Βρήκαμε ότι το περιορισμένο επίπεδο πρόβλημα των τεσσέρων σωμάτων για m 1 = m 2 = m 3 εμφανίζει όλα τα σημεία ισορροπίας του ασταθή. Στην επόμενη ενότητα παρουσιάσαμε τα αποτελέσματα μας για την περίπτωση όπου τα δύο πρωτεύοντα σώματα έχουν ίσες μάζες, m 2 = m 3 και για διάφορους συνδυασμούς μαζών μεταξύ αυτών και του m 1. Το πρόβλημα μας και σε αυτή την περίπτωση έχει όλα τα σημεία ισορροπίας ασταθή, εκτός από το συγγραμμικό L 3 και τα μη συγγραμμικά L 5, L 6 που εμφανίζονται ευσταθή για ένα πολύ περιορισμένο πεδίο τιμών των μαζών, όπως αυτό φαινεται αναλυτικά στον πίνακα (3.1). Στην τρίτη ενότητα παραθέτουμε τα αποτελέσματα μας για την πιο γενική περίπτωση, δηλαδή όταν τα τρία πρωτεύοντα σώματα έχουν άνισες μάζες, m 1 m 2 m 3. Το πρόβλημα μας σε αυτή την περίπτωση έχει μόνο μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας

145 3.6. Συμπεράσματα 135 και παρουσιάζει ευσταθή σημεία ισορροπίας μόνο τα L 3, L 5, L 6 ενώ όλα τα άλλα ειναι ασταθή. Τα L 3, L 5 και L 6 εμφανίζονται ευσταθή για ένα περιορισμένο πεδίο τιμών συνδυασμού των μαζών, όπως αυτό φαινεται στους πίνακες (3.2) και (3.3). Για την πρακτικού ενδιαφέροντος περίπτωση του ευσταθούς δυναμικού συστήματος των τριών πρωτευόντων σωμάτων, δηλαδή ικανοποίηση της σχέσης (2.7) το πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων εμφανίζει πάντα 8 σημεία ισορροπίας και τα τρία από αυτά (L 3, L 5, L 6 ) εμφανίζουν ευστάθεια σε κάποια συγκεκριμένα διαστήματα τιμών των μαζών. Στην τελευταία ενότητα του κεφαλαίου κάναμε μια μελέτη για τους ατράκτορες και τα σημεία ισορροπίας του προβλήματος μας. Υπολογίσαμε και παρουσιάζουμε με γραφικά τις περιοχές σύγκλισης της μεθόδου Newton-Raphson στο περιορισμένο προβλήμα των τεσσάρων σωμάτων και με διαφορετικό χρώμα σε κάθε περίπτωση σημειώσαμε τις διαφορετικές περιοχές των ελκυστών που δημιουργούνται πάνω στο επίπεδο (x, y). Από τα σχήματα αυτά διακρίνεται η εμφάνιση περιοχών που δεν έλκονται καθαρά από ένα μόνο σημείο ισορροπίας και στα όρια τους έχουμε μικρές αλλά διακριτές χαοτικές περιοχές στο επίπεδο x y.

146 136 Κεφάλαιο 3. Γραμμικοποίηση γύρω από τα σημεία ισορροπίας - Ευστάθεια

147 Κεφαλαιο 4 Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών 4.1 Εξισώσεις κίνησης Στο παρόν κεφάλαιο μελετάμε τις οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών στο κυκλικό επίπεδο περιορισμένου πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων. Οπως αναλύσαμε και στο κεφάλαιο 2, στο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων που μελετάμε, τα τρία από τα τέσσερα σώματα εκτελούν κυκλική κίνηση γύρω από το κέντρο μάζας τους σύμφωνα με την λύση του Lagrange και βρίσκονται πάντα στις τρεις κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου και καλούνται πρωτεύοντα. Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τα αριθμητικά αποτελέσματα μας για τον προσδιορισμό και την εξέλιξη των οικογενειών των απλών συμμετρικών και ασύμμετρων περιοδικών τροχιών στο πρόβλημα μας, καθώς και την γραμμική ευστάθεια τους για τις περιπτώσεις των τριών ίσων πρωτευόντων σωμάτων, των δύο εκ των τριών ίσων πρωτευόντων και των τριών άνισων πρωτευόντων σωμάτων. Τέλος υπολογίσαμε και παρουσιάζουμε κρίσιμες, ο- ριζόντια και κατακόρυφα, περιοδικές τροχιές για όλες τις οικογένειες και όλες τις περιπτώσεις των μαζών m 1, m 2 και m 3. Θεωρώντας το τέταρτο σώμα ως αμελητέας μάζας ώστε αυτό να μην επηρεάζει την κίνηση των μαζών m 1, m 2, m 3 παρά μόνο να δέχεται την βαρυτική επίδραση αυτών, το κέντρο μάζας του συστήματος είναι αυτό των m 1, m 2 και m 3. Επίσης υποθέτουμε ότι όλη η κίνηση λαμβάνει χώρα σε ένα μόνο επίπεδο, αυτό της κίνησης των τριών κύριων σωμάτων m 1, m 2 και m 3, άρα έχουμε το επίπεδο περιορισμένο κυκλικό πρόβλημα. Οι αποστάσεις μεταξύ των τριών πρωτευόντων σωμάτων που κινούνται πάνω στο επίπεδο παραμένουν σταθερές ως προς τον χρόνο, ενώ διαγράφουν κυκλικές τροχιές γύρω από το κέντρο μάζας τους. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας υποθέτουμε ότι το σώμα μάζας m 1 ευρίσκεται στον θετικό ημιάξονα x. Η κίνηση του συστήματος των τριών σωμάτων γίνεται ως προς άξονες που περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα και οι εξισώσεις κίνησης της τέταρτης αμελητέας μάζας στο αδιάστατο ορθογώνιο περιστρεφόμενο σύστημα 137

148 138 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών συντεταγμένων στις τρεις διαστάσεις γράφονται όπως και στο κεφάλαιο 2 (σχέσεις 2.1)ως εξής: ẍ 2ẏ = Ω x = x 3 i=1 m i (x x i ) r 3 i ÿ 2ẋ = Ω y = y 3 i=1 m i (y y i ) r 3 i (4.1) z = Ω z = 3 i=1 m i (z z i ) r 3 i όπου οι τελείες συμβολίζουν παράγωγο ως προς τον χρόνο, ενώ το δυναμικό Ω εκφράζεται όπως και στο κεφάλαιο 2 (σχέση 2.2) ως : Επίσης για τις αποστάσεις ισχύει : Ω = 1 2 (x2 + y 2 ) + m 1 r 1 + m 2 r 2 + m 3 r 3 r 2 i = (x x i ) 2 + (y y i ) 2 + (z z i ) 2, i = 1, 2, 3. Η διατήρηση της ενέργειας και της στροφορμής δύναται να συνδυαστεί σε ορισμένα δυναμικά συστήματα ώστε να λάβουμε ένα ολοκληρώμα το οποίο συνδέει το τετράγωνο της ταχύτητας με την δυναμική συνάρτηση, όπως απέδειξε ο Jacobi. Το ολοκλήρωμα της ενέργειας για το πρόβλημα μας δίνεται από τη σχέση (2.2) του κεφαλαίου 2 : ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 = 2Ω C όπου C είναι η σταθερά του Jacobi. Αν υποθέσουμε ότι τα τρία πρωτεύοντα σώματα κινούνται πάντα πάνω στο ίδιο επίπεδο και οι άξονες είναι ορισμένοι έτσι ώστε καθ όλη την εξέλιξη το σώμα m 1 να παραμένει στον θετικό ημιάξονα του x, οι θέσεις των σωμάτων m 1, m 2, m 3 δίνονται από τις

149 4.1. Εξισώσεις κίνησης 139 εξισώσεις (2.5) που αναπτύξαμε στο κεφάλαιο 2 : όπου x 1 = K m m 2 m 3 + m 2 3 K y 1 = 0 x 2 = K [(m 2 m 3 )m 3 + m 1 (2m 2 + m 3 )] 2K m m 2 m 3 + m m 3 m 3 2 y 2 = 2 m 3/2 m m 2 m 3 + m 2 3 K x 3 = 2 m m 2 m 3 + m m 3 2 y 3 = 2 m m 2 m 3 + m 2 3 m 1/2 2 K = m 2 (m 3 m 2 ) + m 1 (m 2 + 2m 3 ) (4.2) Σε αυτό το σημείο και πριν προχωρήσουμε στην μελέτη των οικογενειών περιοδικών τροχιών, αξίζει να θυμίσουμε πόσο σημαντική είναι η ευστάθεια του συστήματος των τριών πρωτευόντων σωμάτων, όπως είχαμε αναλύσει και στο κεφάλαιο 2. Σε όλες τις περίπτωσεις που μελετάμε στις επόμενες ενότητες, η ανισότητα που περιγράφει την συνθήκη ευστάθειας του συστήματος μας για m 1 m 2 m 3 δίνεται από την σχέση (2.7) ([6, Gascheau, M., 1843]) : m 1 m 2 + m 2 m 3 + m 3 m 1 (m 1 + m 2 + m 3 ) 2 < 1 27 (4.3) Στην μελέτη που κάναμε και παρουσιάζεται στην συνέχεια του κεφαλαίου φροντίσαμε ώστε η σχέση αυτή της ευστάθειας του συστήματος να ικανοποιείται για τις τιμές των μαζών που επιλέξαμε στις περιπτώσεις των δύο ίσων εκ των τριών πρωτευόντων μαζών ( m 1 = 0.97, m 2 = 0.015, m 3 = ) και των τριών άνισων πρωτευόντων μαζών ( m 1 = 0.97, m 2 = 0.02, m 3 = 0.01 ).

150 140 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών 4.2 Περίπτωση τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών Ενώ στο κλασικό περιορισμένο πρόβλημα των τριών σωμάτων υπάρχουν πέντε σημεία ισορροπίας, στο περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων που μελετάμε, με Lagrangian τριγωνική ισόπλευρη διαμόρφωση, η ύπαρξη όπως και ο αριθμός των συγγραμικών και μη συγγραμικών σημείων ισορροπίας, εξαρτάται από τις τιμές των μαζών m 1,m 2,m 3 των πρωτευόντων σωμάτων, όπως προέκυψε και από την μελέτη που κάναμε και παρουσιάζουμε στο κεφάλαιο 2. Για την περίπτωση των τριών ίσων πρωτευόντων μαζών, δηλαδή για m 1 =m 2 =m 3 = 1, έχουμε βρεί πως το πρόβλημα μας 3 έχει 4 συγγραμμικά (πάνω στον x άξονα) σημεία ισορροπίας και 6 μη συγγραμμικά, ενώ όλα αυτά τα σημεία ισορροπίας είναι ασταθή. Σε αυτό σημείο θα παρουσιάσουμε τα αποτελέσματα της μελέτης μας για 10 επίπεδες συμμετρικές (ως προς τον x άξονα) απλές περιοδικές τροχιές του προβλήματος μας, όταν όλες οι πρωτεύοντες μάζες είναι ίσες. Η επιλογή των δέκα οικογενειών που υπολογίσαμε και μελετάμε έγινε ώστε να αντιστοιχούν ποιοτικά με τις πιο χαρακτηριστικές από τις βασικές οικογένειες του κλασικού προβλήματος των τριών σωμάτων της Κοπεγχάγης (classical Copenhagen three-body problem)(λεπτομέρειες των οικογενειών στο βιβλίο του [25, Szebehely V., 1967] ή στην εργασία [75, Papadakis.K.E,1996]). Με τον όρο συμμετρικές απλές περιοδικές τροχιές εννοούμε τις πιο απλές λύσεις του προβλήματος οι οποίες έχουν μόνο δύο κάθετες τομές με τον οριζόντιο x άξονα. Ολοι οι υπολογισμοί μας σε αυτο το κεφάλαιο έγιναν χρησιμοποιώντας την πολυβηματική μέθοδο αριθμητικής ολοκλήρωσης Adams (πακέτο Orbits), απαιτώντας να ικανοποιούνται οι συνθήκες της ενέργειας C = C start C end < και των θέσεων x 0 x T < 10 8, με τις x 0 και x T να είναι οι αρχικές και οι τελικές συνθήκες για t = 0 και t = T αντίστοιχα. Στο πρώτο στάδιο εύρεσης των συμμετρικών περιοδικών τροχιών βρήκαμε με την μέθοδο σάρωσης ([32, Markellos, 1974]), όπως είχαμε αναλύσει τον τρόπο λειτουργίας της μεθόδου στην ενότητα (1.11), τις προσεγγιστικές χαρακτηριστικές καμπύλες των οικογενειών. Σε δεύτερο στάδιο, με τη μέθοδο διόρθωσης και πρόβλεψης (ενότητα 1.12) υπολογίσαμε αριθμητικά ακριβώς τις οικογένειες των συμμετρικών περιοδικών λύσεων του προβλήματος. Στο σχήμα (4.1) παρουσιάζουμε το χάρτη των χαρακτηριστικών καμπύλων των δέκα οικογενειών, απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών για ίσες μάζες των πρωτευόντων σωμάτων. Το διάγραμμα έγινε στο x C επίπεδο, ενώ έχουμε θεωρήσει τις συμμετρικές περιοδικές τροχιές να δίνονται από τις αρχικές τους συνθήκες x 0, y 0 =0, x 0 =0 και y 0 > 0, δηλαδή θετικές κάθετες τομές με τον x άξονα. Η θέση του μεγάλου πρωτεύοντος σώματος μάζας m 1 φαίνεται στο σχήμα (4.1) με μια κάθετη διακεκομένη γραμμή, ενώ με μικρούς κόκκινους κύκλους διακρί-

151 4.2. Περίπτωση τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών 141 νονται τα συγγραμμικά σημεία ισορροπίας L 1,2,3,4. Η γραμμοσκιασμένη περιοχή είναι περιοχή μη επιτρεπτής κίνησης, λόγω της τιμής της σταθεράς του Jacobi. Σχήμα 4.1: Δέκα βασικές οικογένειες απλών συμμετρικών επίπεδων περιοδικών τροχιών για m 1 =m 2 =m 3 = 1, Με κόκκινο χρώμα σημειώνουμε τα ευσταθή τμήματα των 3 χαρακτηριστικών καμπυλών των οικογενειών ενώ με κύκλο και τρίγωνο τις οριζόντιες και κατακόρυφες αντίστοιχα κρίσιμες περιοδικές λύσεις των οικογενειών. Με γκρί γραμμοσκίαση διακρίνονται οι περιοχές μη επιτρεπτής κίνησης Στη συνέχεια μελετήσαμε την γραμμική ευστάθεια των περιοδικών λύσεων του προβλήματος μας. Η οριζόντια και κατακόρυφη ισοενεργειακή ευστάθεια της κάθε περιοδικής τροχιάς των δέκα οικογενειών υπολογίστηκε χρησιμοποιώντας τις παραμέτρους ευστάθειας a h και a v, όπως αυτές ορίστηκαν στην εργασία του ([30, Henon, M., 1965]). Συμφωνα με τον Henon η συνθήκη για να είναι μια συμμετρική περιοδική τροχιά οριζόντια ή/και κατακόρυφα ευσταθής είναι a h < 1 ή/και a v < 1 αντίστοιχα. Οι αριθμητικοί υπολογισμοί για τον προσδιορισμό των συντελεστών ευστάθειας έχουν γίνει με ακρίβεια 12 σημαντικών ψηφίων, όπως και όλοι οι υπολογισμοί στην εργασία μας σε αυτό αλλά και τα προηγούμενα κεφάλαια, καθώς έχουμε φροντίσει

152 142 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών να ολοκληρώσουμε ταυτόχρονα τις εξισώσεις της κίνησης του προβλήματος και τις εξισώσεις πρώτης μεταβολής. Τέλος υπολογίζουμε τις κρίσιμες επίπεδες περιοδικές τροχιές των οικογενειών αφού αυτές παίζουν έναν ιδιαίτερα σημαντικό ρόλο στο σύνολο των περιοδικών λύσεων. Α- πό αυτές τις κρίσιμες τροχιές έχουμε συνήθως την δυνατότητα να υπολογίζουμε νέες οικογένειες επίπεδων ή τρισδιάστατων περιοδικών τροχιών. Στις σχηματικές αναπαραστάσεις μας, που παρουσιάζονται σε αυτό το κεφάλαιο οι μικροί μαύροι κύκλοι και τα τρίγωνα απεικονίζουν οριζόντιες και κατακόρυφες αντίστοιχα περιοδικές τροχιές των οικογενειών στις οποίες ανήκουν. Επίσης με κόκκινο χρώμα παρουσιάζονται τα τμήματα ευστάθειας πάνω στις χαρακτηριστικές καμπύλες των οικογενειών. Στο σχήμα (4.2) παρουσιάζουμε την χαρακτηριστική καμπύλη της οικογένειας f 1. Αυτή η οικογένεια αποτελείται από συμμετρικές απλές περιοδικές τροχιές που εξελίσσονται γύρω από τα τρία πρωτεύοντα σώματα. Αυτές είναι ανάδρομες τροχιές, όπως η αντίστοιχη οικογένεια m του κλασικού προβλήματος των τριών σωμάτων. Η οικογένεια f 1 από το ένα άκρο της χαρακτηριστικής της καμπύλης έχει τροχιές που τείνουν σε σύγκρουση με τα πρωτεύοντα σώματα, ενώ στο άλλο άκρο της οι τροχιές της μεγαλώνουν σε μέγεθος και απομακρύνονται από τα τρία πρωτεύοντα σώματα όσο η τιμή της σταθεράς Jacobi μειώνεται. Σχήμα 4.2: Η οικογένεια f 1 για m 1 =m 2 =m 3 = 1 3 ευσταθές τμήμα της οικογένειας Με κόκκινο χρώμα σημειώνεται το Ενα μεγάλο τμήμα της οικογένειας είναι ευσταθές, κόκκινο χρώμα στο σχήμα (4.2), ενώ στο τμήμα της οικογένειας που υπολογίσαμε βρήκαμε μια οριζόντια κρίσιμη περιοδική τροχιά και πέντε κατακόρυφα κρίσιμες περιοδικές τροχιές. Η f 1 εκτείνεται και πέρα από την τιμή C < 3 η οποία είναι εκτός του διαστήματος 3 C 5 στο οποίο κάνουμε την μελέτη μας.

153 4.2. Περίπτωση τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών 143 Σχήμα 4.3: Αριστερά : Τρείς απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 1, Δεξιά : Διάγραμμα οριζόντιας (συνεχής γραμμή) και κατακόρυφης (διακεκομμένη) ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 1. Στην μικρή εικόνα παρουσιάζεται μεγέθυνση μέρους του διαγράμματος Σχήμα 4.4: Αριστερά : Ημιπερίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 1, Δεξιά : Κατακόρυφη ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 1

154 144 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Οι περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 2 (σχήμα 4.6 αριστερά) είναι ανάδρομες και εκτείνονται γύρω από το πρωτεύων σώμα μάζας m 1, σε αντιστοιχία με την οικογένεια h του κλασικού προβλήματος των τριών σωμάτων. Η χαρακτηριστική καμπύλη της οικογένειας (σχήμα 4.5), από το ένα άκρο της ξεκινάει από την κορυφή του κωνικού σχήματος, το οποίο σχηματίζουνε οι απαγορευμένες περιοχές (γκρί γραμμοσκιασμένες) που ορίζονται από τα όρια των καμπυλών μηδενικής ταχύτητας και η χαρακτηριστική καμπύλη αυτή επεκτείνεται προς τα πάνω όσο αυξάνεται η τιμή της σταθεράς του Jacobi C. Στο άλλο άκρο της η χαρακτηριστική καμπύλη της οικογένειας (σχήμα 4.5 δεξιά) τελειώνει με σπειροειδή κίνηση γύρω από το σημείο του επιπέδου (x, C) με τεταγμένη που ορίζεται από την ενέργεια C = C L3,5,6 = , όπως φαίνεται με την οριζόντια διακεκομένη γραμμή στο σχήμα (4.1). Βρήκαμε ότι τα μέλη της οικογένειας στο τελείωμα της είναι ασυμπτωτικές τροχιές οι οποίες τέμνουν τον x άξονα κάθετα και τείνουν ασυμπτωτικά προς το σημείο ισορροπίας L 5 για t + και στο σημείο ισορροπίας L 6 για t, σχηματίζοντας σπείρες στα σημεία αυτά. Σχήμα 4.5: Αριστερά : Η οικογένεια f 2 για m 1 =m 2 =m 3 = 1. Με κόκκινο χρώμα 3 σημειώνεται το ευσταθές τμήμα της οικογένειας, Δεξιά : Μεγέθυνση της οικογένειας f 2 καθώς στο τελείωμα της παρουσιάζει σπειροειδή μορφή Η οικογένεια f 2 έχει μια χαρακτηριστική συμπεριφορά στο τελείωμα της, καθώς όσο η περίοδος της τείνει προς το άπειρο, η ενέργεια των τροχιών ταλαντεύεται μεταξύ μικρών τιμών γύρω από τις τιμές της ενέργειας της ασυμπτωτικής τροχιάς, που είναι η ενέργεια των σημείων ισορροπίας L 5,6. Η σταθερότητα της τροχιάς μεταβάλλεται ακόμα και για ελάχιστες αλλαγές των αρχικών συνθηκών, όπως της θέσης ή της ενέργειας. Αυτή η μορφή κατάληξης της τροχιάς ονομάζεται blue sky catastrophe

155 4.2. Περίπτωση τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών 145 και ονομάστηκε έτσι από τον ([29, Devaney R.,Blue sky catastrophes in reversible and Hamiltonian systems, 1977]). Στο σχήμα (4.6 δεξιά) παρουσιάζουμε τα διάγραμματα της οριζόντιας (συνεχόμενη γραμμή) και κατακόρυφης (διακεκομένη γραμμή) ευστάθειας της οικογένειας f 2, συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi. Στην ένθετη εικόνα, φαίνεται σε μεγέθυνση το διάγραμμα στην περιοχή του φαινομένου blue sky catastrophe. Οι οριζόντια και κατακόρυφα κρίσιμες περιοδικές τροχιές της οικογένειας διακρίνονται με μικρούς κύκλους και τρίγωνα αντίστοιχα, με την ευστάθεια της οικογένειας αυτής να αλλάζει πολύ γρήγορα καθώς η περίοδος της τείνει προς το άπειρο και η χαρακτηριστική καμπύλη της οικογένειας τελειώνει σχηματίζοντας σπείρες γύρω από το σημείο με τεταγμένη που ορίζεται από την ενέργεια C = C L3,5,6 στο (x, C) επίπεδο. Σχήμα 4.6: Αριστερά : Τρείς απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 2, Δεξιά : Διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 2. Στην μικρη εικόνα παρουσιάζεται μεγέθυνση του διαγράμματος Η εξέλιξη της ημιπεριόδου της οικογένειας f 2 συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi, παρουσιάζεται στο σχήμα (4.7) αριστερά. Επίσης στο σχήμα 4.7 δεξιά παρουσιάζουμε το διάγραμμα της κατακόρυφης ταχύτητας συναρτήσει του x. Η οικογένεια f 3 έχει ως μέλη της ορθές απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές γύρω από το μεγάλο πρωτεύον σώμα μάζας m 1, όπως η αντίστοιχη οικογένεια g του κλασικού προβλήματος των τριών σωμάτων. Οσο η τιμή της σταθεράς του Jacobi C μειώνεται οι τροχιές της οικογένειας αυξάνονται σε μέγεθος και έπειτα αλλάζουν πολλαπλότητα. Τα τμήματα της οικογένειας που αντιστοιχούν σε μεγαλύτερης πολλαπλότητας τροχιές, δεν τα μελετάμε στο παρόν κεφάλαιο και δεν συμπεριλαμβάνονται

156 146 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Σχήμα 4.7: Αριστερά : Ημιπερίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 2, Δεξιά : Κατακόρυφη ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 2. Στην μικρή εικόνα παρουσιάζεται μεγέθυνση του διαγράμματος της κατακόρυφης ταχύτητας καθώς στο τελείωμα του παρουσιάζει σπειροειδή μορφή στα σχήματα μας. Η πλειοψηφία των τροχιών της οικογένειας f 3 είναι ευσταθείς και φαίνονται στο σχημα 4.8 με κόκκινο χρώμα. Επίσης βρήκαμε πως η f 3 έχει μια οριζόντια και τέσσερις κατακόρυφα κρίσιμες περιοδικές τροχιές. Οι περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 4 είναι ανάδρομες και εκτείνονται γύρω από τα πρωτεύοντα σώματα μάζας m 1, m 2, m 3. Επίσης οι τροχιές ως προς το ακίνητο σύστημα αναφοράς είναι ορθές, όπως η αντίστοιχη οικογένεια l του κλασικού προβλήματος των τριών σωμάτων. Οσο η τιμή της σταθεράς του Jacobi C αυξάνεται οι τροχιές της οικογένειας που αντιστοιχούν στο ένα άκρο της αυξάνονται σε μέγεθος απομακρυνόμενες από τα τρία πρωτεύοντα σώματα, ενώ στο άλλο άκρο της χαρακτηριστικής καμπύλης της οικογένειας οι τροχιές της τερματίζουν πάνω στην καμπύλη μηδενικής ταχύτητας (σχήμα 4.11). Οι περισσότερες τροχιές της οικογένειας f 4 είναι ευσταθείς και φαίνονται στο σχήμα (4.11) με κόκκινο χρώμα. Υπολογίσαμε επίσης πως η f 4 έχει τρείς οριζόντιες και πέντε κατακόρυφα κρίσιμες περιοδικές τροχιές.

157 4.2. Περίπτωση τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών 147 Σχήμα 4.8: Η οικογένεια f 3 για m 1 =m 2 =m 3 = 1 3 ευσταθές τμήμα της οικογένειας Με κόκκινο χρώμα σημειώνεται το Σχήμα 4.9: Αριστερά : Τρείς απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 3, Δεξιά : Διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 3. Στην μικρη εικόνα παρουσιάζεται μεγέθυνση του διαγράμματος

158 148 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Σχήμα 4.10: Αριστερά : Ημιπερίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 3, Δεξιά : Κατακόρυφη ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 3 Σχήμα 4.11: Η οικογένεια f 4 για m 1 =m 2 =m 3 = 1 3. Με κόκκινο χρώμα σημειώνεται το ευσταθές τμήμα της οικογένειας

159 4.2. Περίπτωση τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών 149 Σχήμα 4.12: Αριστερά : Τρείς απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 4, Δεξιά : Διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 4. Στην μικρη εικόνα παρουσιάζεται μεγέθυνση του διαγράμματος Σχήμα 4.13: Αριστερά : Ημιπερίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 4, Δεξιά : Κατακόρυφη ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 4

160 150 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Η χαρακτηριστική καμπύλη της οικογένειας f 5 (σχήμα 4.14 αριστερά και σε μεγέθυνση δεξιά) από το ένα άκρο της ξεκινάει από την γραμμοσκιασμένη περιοχή που ορίζεται από τα όρια των καμπυλών μηδενικής ταχύτητας και πιο συγκεκριμένα από το σημείο ισορροπίας L 2. Στο άλλο άκρο της η χαρακτηριστικής καμπύλη της οικογένειας τελειώνει με σπειροειδή κίνηση γύρω από το σημείο του επιπέδου (x, C) με τεταγμένη που ορίζεται από την ενέργεια C = C L3,5,6, όπως φαίνεται με την οριζόντια διακεκομένη γραμμή στα σχήματα (4.14) και (4.1). Οι περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 5 (σχήμα 4.15 αριστερά) είναι ανάδρομες απλές συμμετρικές και εκτείνονται από το σημείο ισορροπίας L 2, σε αντιστοιχία με την οικογένεια a του κλασικού προβλήματος των τριών σωμάτων. Οι πολύ μικρές περιοδικές τροχιές γύρω από το L 2 αυξάνονται σε μέγεθος όσο μειώνεται η τιμή της σταθεράς του Jacobi, μέχρι να φτάσουν στις ετεροκλινικά ασυμπτωτικές τροχιές γύρω από τα σημεία ισορροπίας L 5 και L 6 (σχήμα 4.15 αριστερά). Στο σχήμα (4.15) δεξιά παρουσιάζουμε τα διαγράμματα της οριζόντιας (συνεχόμενη γραμμή) και κατακόρυφης (διακεκομένη γραμμή) ευστάθειας της οικογένειας f 5, συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi. Στην ένθετη εικόνα, φαίνεται σε μεγέθυνση το διάγραμμα στην περιοχή του φαινομένου blue sky catastrophe. Η πλειοψηφία των περιοδικών τροχιών αυτής της οικογένειας είναι ασταθείς αλλά παρουσιάζονται αρκετές οριζόντια και κατακόρυφα κρίσιμες περιοδικές τροχιές αφού η οικογένεια αυτή παρουσιάζει το φαινόμενο blue sky catastrophe απότε έχουμε συνεχείς εναλλαγές της ευστάθειάς της. Στην χαρακτηριστική καμπύλη της οικογένειας (σχήμα 4.14 αριστερά και σε μεγέθυνση δεξιά) παρουσιάζονται δύο μικρά τμήματα από ευσταθείς περιοδικές τροχιές καθώς η σταθερά του Jacobi τείνει προς την χαμηλότερη τιμή της. Ανάδρομες περιοδικές τροχιές γύρω από το πρωτεύων σώμα μάζας m 1 είναι τα μέλη της οικογένειας f 6. Η χαρακτηριστική καμπύλη της οικογένειας τελειώνει με σπειροειδή κίνηση γύρω από το σημείο του επιπέδου (x, C) με τεταγμένη που ορίζεται από την ενέργεια C = C L3, όπως φαίνεται με την οριζόντια διακεκομένη γραμμή στα σχήματα (4.17) και (4.1). Επίσης παρατηρώντας τη χαρακτηριστική καμπύλη αλλά και τις τροχιές της οικογένειας (σχήμα 4.18) παρατηρούμε πως στο ένα άκρο της η οικογένεια τείνει σε σύγκρουση με τα πρωτεύοντα σώματα μάζας m 2 και m 3, ενώ στο άλλο άκρο της η οικογένεια τερματίζεται με ετεροκλινικές τροχιές γύρω από τα σημεία ισορροπίας L 5 και L 6. Οι περιοδικές λύσεις της οικογένειας είναι ασταθείς, αλλά υπάρχουν δύο μικρά τμήματα ευστάθειας, όπως φαίνεται και με κόκκινο χρώμα πάνω στην χαρακτηριστική καμπύλη του σχήματος (4.17). Τέλος όσο η περίοδος της οικογένειας f 6 τείνει προς το άπειρο η χαρακτηριστική καμπύλη της σχηματίζει σπείρα γύρω από το σημείο του επιπέδου (x, C) με τεταγμένη που ορίζεται από την ε- νέργεια C = C L3, δημιουργούνται νέες οριζόντια και κατακόρυφα κρίσιμες περιοδικές τροχιές.

161 4.2. Περίπτωση τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών 151 Σχήμα 4.14: Αριστερά : Η οικογένεια f 5 για m 1 =m 2 =m 3 = 1. Με κόκκινο χρώμα 3 σημειώνεται το μικρό ευσταθές τμήμα της οικογένειας. Δεξιά : Μεγέθυνση της οικογένειας f 5 καθώς στο τελείωμα της παρουσιάζει σπειροειδή μορφή Σχήμα 4.15: Αριστερά : Τρείς απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 5, Δεξιά : Διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 5. Στην μικρη εικόνα παρουσιάζεται μεγέθυνση μέρους του διαγράμματος

162 152 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Σχήμα 4.16: Αριστερά : Ημιπερίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 5, Δεξιά : Κατακόρυφη ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 5 Σχήμα 4.17: Η οικογένεια f 6 για m 1 =m 2 =m 3 = 1 3. Με κόκκινο χρώμα σημειώνονται τα μικρά ευσταθή τμήματα της οικογένειας

163 4.2. Περίπτωση τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών 153 Σχήμα 4.18: Αριστερά : Τρείς απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 6, Δεξιά : Διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 6. Στην μικρή εικόνα παρουσιάζεται μεγέθυνση μέρους του διαγράμματος Σχήμα 4.19: Αριστερά : Ημιπερίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 6, Δεξιά : Κατακόρυφη ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 6

164 154 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Οι περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 7 (σχήμα 4.21 αριστερά) είναι ανάδρομες απλές συμμετρικές γύρω από τα πρωτεύοντα σώματα με μάζες m 2 και m 3. Η οικογένεια ξεκινάει με πολύ μικρές περιοδικές τροχιές κοντά στα δύο σώματα m 2, m 3 και τερματίζεται με μια τροχιά που οδηγεί σε σύγκρουση με το πρωτεύων σώμα μεγάλης μάζας m 1. Η πλειοψηφία των περιοδικών λύσεων της οικογένειας είναι ασταθείς, αλλά υπάρχουν μικρά τμήματα ευστάθειας, όπως φαίνεται και με κόκκινο χρώμα στο μέσο και προς το τελείωμα της χαρακτηριστικής καμπύλης της οικογένειας στα σχήματα (4.20) και (4.1). Σχήμα 4.20: Η οικογένεια f 7 για m 1 =m 2 =m 3 = 1 3. Με κόκκινο χρώμα σημειώνεται το ευσταθές τμήμα της οικογένειας

165 4.2. Περίπτωση τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών 155 Σχήμα 4.21: Αριστερά : Τρείς απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 7. Στην μικρή εικόνα παρουσιάζεται μεγέθυνση της τροχιάς που περνάει κοντά α- πό το σώμα μάζας m 1, Δεξιά : Διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 7. Στην μικρή εικόνα παρουσιάζεται μεγέθυνση του διαγράμματος Σχήμα 4.22: Αριστερά : Ημιπερίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 7, Δεξιά : Κατακόρυφη ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 7

166 156 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Η χαρακτηριστική καμπύλη της οικογένειας f 8 (σχήμα 4.23) από το ένα άκρο της ξεκινάει από την γραμμοσκιασμένη περιοχή που ορίζεται από τα όρια των καμπυλών μηδενικής ταχύτητας, ενώ στο άλλο άκρο της η χαρακτηριστική καμπύλη τελειώνει με σπειροειδή κίνηση γύρω από το σημείο του επιπέδου (x, C) με τεταγμένη που ορίζεται από την ενέργεια C = C L3, όπως φαίνεται με την οριζόντια διακεκομένη γραμμή στα σχήματα (4.23) και (4.1). Οι περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 8 (σχήμα 4.24 αριστερά) είναι ανάδρομες απλές συμμετρικές γύρω από τα τρία πρωτεύοντα σώματα και όσο η χαρακτηριστική καμπύλη τείνει σε σπειροειδή μορφή τόσο οι τροχιές μειώνονται σε μέγεθος μέχρι να φτάσουν σε ετεροκλινικά ασυμπτωτικές τροχιές στα σημεία ισορροπίας L 5 και L 6. Στο σχήμα (4.24 δεξιά) παρουσιάζουμε τα διάγραμματα της οριζόντιας (συνεχόμενη γραμμή) και κατακόρυφης (διακεκομένη γραμμή) ευστάθειας της οικογένειας f 8, συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi. Στην ένθετη εικόνα, φαίνεται σε μεγέθυνση το διάγραμμα στην περιοχή του φαινομένου blue sky catastrophe. Η πλειοψηφία των περιοδικών τροχιών αυτής της οικογένειας είναι ασταθείς και έχουμε οριζόντια και κατακόρυφα κρίσιμες περιοδικές τροχιές μόνο στην περιοχή του φαινομένου blue sky catastrophe. Σχήμα 4.23: Η οικογένεια f 8 για m 1 =m 2 =m 3 = 1 3.Με κόκκινο χρώμα σημειώνεται το μικρό ευσταθές τμήμα της οικογένειας

167 4.2. Περίπτωση τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών 157 Σχήμα 4.24: Αριστερά : Τρείς απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 8, Δεξιά : Διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 8. Στην μικρή εικόνα παρουσιάζεται μεγέθυνση μέρους του διαγράμματος Σχήμα 4.25: Αριστερά : Ημιπερίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 8, Δεξιά : Κατακόρυφη ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 8

168 158 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Η οικογένεια f 9 μοιάζει με την αντίστοιχη οικογένεια x του κλασικού προβλήματος των τριών σωμάτων και έχει ως μέλη της ανάδρομες απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές γύρω από τα πρωτεύοντα σώματα m 2 και m 3. Και στα δύο άκρα της χαρακτηριστικής της καμπύλης η οικογένεια τερματίζεται με ετεροκλινικές τροχιές γύρω από τα σημεία ισορροπίας L 5 και L 6. Η πλειοψηφία των περιοδικών λύσεων της οικογένειας είναι ασταθείς, αλλά υπάρχουν μικρά τμήματα ευστάθειας, όπως φαίνεται και με κόκκινο χρώμα στο μέσο και προς το τελείωμα της χαρακτηριστικής καμπύλης της οικογένειας στα σχήματα (4.26) και (4.1). Σχήμα 4.26: Πάνω : Η οικογένεια f 9 για m 1 =m 2 =m 3 = 1 3. Με κόκκινο χρώμα σημειώνεται το ευσταθές τμήμα της οικογένειας, Κάτω αριστερά και δεξιά : Δυο μεγέθυνσεις της οικογένειας f 9 στα άκρα της χαρακτηριστικής της καμπύλης καθώς εκεί παρουσιάζει σπειροειδή μορφή

169 4.2. Περίπτωση τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών 159 Σχήμα 4.27: Αριστερά : Τρείς απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 9, Δεξιά : Διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 9 Σχήμα 4.28: Αριστερά : Ημιπερίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 9, Δεξιά : Κατακόρυφη ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 9

170 160 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Οι απλές περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 10 είναι ορθές και εκτείνονται γύρω από τα πρωτεύοντα σώματα μάζας m 1,m 2,m 3, όπως η αντίστοιχη οικογένεια k του κλασικού προβλήματος των τριών σωμάτων. Και στα δύο άκρα της χαρακτηριστικής της καμπύλης οι τροχιές της οικογένειας f 10 τείνουν να αλλάζουν πολλαπλότητα. Συνεχίσαμε την μελέτη μας και υπολογίσαμε τα τμήματα της οικογένειας με μεγαλύτερη πολλαπλότητα για να βρούμε τις τροχιές με τις οποίες τερματίζεται η οικογένεια μας. Ετσι η οικογένεια f 10 από τη μια μεριά τερματίζεται με τροχιές που οδηγούν σε σύγκρουση πάνω στα τρία πρωτεύοντα σώματα (σχήμα 4.30) ενώ από την άλλη μεριά της τερματίζει σε ασυπτωτικές τροχιές στα τρία σημεία ισορροπίας, το συγγραμμικό L 3 και τα μη συγγραμμικά L 5 και L 6. Μερικές από τις τροχιές της οικογένειας αυτής είναι ευσταθείς και στο σχημα (4.29) φαίνονται με κόκκινο χρώμα πάνω στην χαρακτηριστική καμπύλη. Σχήμα 4.29: Η οικογένεια f 10 για m 1 =m 2 =m 3 = 1. Με κόκκινο χρώμα σημειώνεται 3 το ευσταθές τμήμα της οικογένειας Στον πίνακα (4.1), της επόμενης σελίδας, δίνονται οι αρχικές συνθήκες από κάποιες από τις απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές των οικογένειων που μελετήθηκαν και παρουσιάστηκαν προηγουμένως. Για κάθε τροχιά του πίνακα αυτού, με x 0 συμβολίζουμε την αρχική θέση του σώματος στον x άξονα, με ẏ 0 την κατακόρυφη αρχική ταχύτητα (ẋ 0 = 0), με ẏ T/2 την κατακόρυφη ταχύτητα στα μισά της περιόδου, με T/2 την ημίπεριοδο της τροχιάς και με C τη σταθερά του Jacobi. Στην τελευταία στήλη συμβολίζεται η οριζόντια ευστάθεια της περιοδικής τροχιάς.

171 4.2. Περίπτωση τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών 161 Σχήμα 4.30: Αριστερά : Τρείς απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 10. Στην μικρή εικόνα παρουσιάζεται μεγέθυνση της τροχιάς που περνάει κοντά από το σημείο ισορροπίας L 5, Δεξιά : Διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 7. Στις μικρές εικόνες παρουσιάζεται μεγέθυνση μέρους του διαγράμματος Σχήμα 4.31: Αριστερά : Ημιπερίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 10, Δεξιά : Κατακόρυφη ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 10

172 162 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Πίνακας 4.1: Αρχικές συνθήκες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών για m1=m2=m3= 1 3 Οικ. x0 ẏ0 x T/2 ẏ T/2 T/2 C Ευστάθεια f Ευστάθη Ευστάθη Ασταθή f Ασταθή Ασταθή Ασταθή f Ασταθή Ασταθή

173 4.3. Περίπτωση δύο εκ των τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών Περίπτωση δύο εκ των τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών Στην συνέχεια, σε αυτό το τμήμα του κεφαλαίου, θα παρουσιάσουμε τα αριθμητικά αποτελέσματα της μελέτης μας για το δίκτυο 10 επίπεδων συμμετρικών (ως προς τον x άξονα) απλών περιοδικών τροχιών του προβλήματος μας, όταν δύο εκ των τριών πρωτευόντων μαζών είναι ίσες, m 2 = m 3. Η συμμετρία (ως προς τον οριζόντιο x άξονα) αυτού του είδους απλών περιοδικών τροχιών είναι εύκολο να αποδειχτεί, αν θέσουμε στις εξισώσεις τις κίνησης (4.1) τον μετασχηματισμό (x, y, ẋ, ẏ, t) (x, y, ẋ, ẏ, t) και επιβεβαιώνοντας πως αυτές οι εξισώσεις παραμένουν αμετάβλητες από αυτόν τον μετασχηματισμό. Για την συνέχεια της μελέτης μας στην περίπτωση των δύο ίσων πρωτευόντων μαζών, επιλέξαμε τιμές μαζών m 1, m 2 και m 3, τέτοιες ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη ευστάθειας του συστήματος μας, εξίσωση (4.3). Ετσι έχουμε : m 1 = 0.97, m 2 = 0.015, m 3 = Στο σχήμα (4.32) παρουσιάζουμε το δίκτυο των χαρακτηριστικών καμπύλων των δέκα οικογενειών, απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών για δύο εκ των τριών ίσων πρωτευόντων μαζών. Το διάγραμμα έγινε στο x C επίπεδο, ενώ έχουμε θεωρήσει τις συμμετρικές περιοδικές τροχιές να δίνονται από τις αρχικές τους συνθήκες x 0, y 0 =0, ẋ 0 =0 και ẏ 0 > 0, θετικές κάθετες τομές με τον x άξονα. Η θέση του μεγάλου πρωτεύοντος σώματος μάζας m 1 φαίνεται στο σχήμα (4.32) με μια κάθετη διακεκομένη γραμμή, ενώ με μικρούς κόκκινους κύκλους διακρίνονται τα σημεία ισορροπίας L 2,3. Η γραμμοσκιασμένη περιοχή είναι περιοχή μη επιτρεπτής κίνησης, λόγω της τιμής της σταθεράς του Jacobi. Κάποιες από τις δέκα αυτές οικογένειες (f 1,2,3,4,5,7 ) προέρχονται από την εξέλιξη των παλιότερων αντίστοιχων οικογενειών που παρουσιάσαμε στην προηγούμενη ενότητα για m 1 = m 2 = m 3, ενώ οι υπόλοιπες (f 6,8,9,10 ) είναι νέες καθώς οι παλιές αντίστοιχες δεν υπάρχουν πλέον.

174 164 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Σχήμα 4.32: Δέκα βασικές οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών για m 2 =m 3 ( m 1 = 0.97, m 2 = 0.015, m 3 = ) Με κόκκινο χρώμα σημειώνουμε τα ευσταθή τμήματα των χαρακτηριστικών καμπυλών των οικογενειών ενώ με κύκλο και τρίγωνο τις οριζόντιες και κατακόρυφες αντίστοιχα κρίσιμες περιοδικές λύσεις. Με γκρί γραμμοσκίαση διακρίνονται οι περιοχές μη επιτρεπτής κίνησης

175 4.3. Περίπτωση δύο εκ των τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών 165 Συγκρίνοντας το δίκτυο των χαρακτηριστικών καμπυλών των δέκα οικογενειών μας για την περίπτωση m 2 =m 3, σχήμα (4.32), με τις αντίστοιχες της περίπτωσης m 1 =m 2 =m 3, σχήμα (4.1), παρατηρούμε διαφορές στις απαγορευμένες περιοχές κίνησης (γκρί γραμμοσκιασμένη περιοχή), στον αριθμό των σημείων ισορροπίας καθώς τώρα έχουμε την ύπαρξη στα συγγραμμικά μόνο των L 2,L 3 καθώς και διαφορές φυσικά στην μορφή των χαρακτηριστικών καμπυλών των οικογενειών. Η ύπαρξη όπως και ο αριθμός των συγγραμικών και μη συγγραμικών σημείων ισορροπίας, εξαρτάται από τις τιμές των μαζών m 2 =m 3 και m 1 των πρωτευόντων σωμάτων, όπως προέκυψε και από την μελέτη που κάναμε και παρουσιάζουμε στο κεφάλαιο 2. Για την περίπτωση των δύο ίσων πρωτευόντων μαζών το πλήθος τόσο των συγγραμμικών (2 ή 4)όσο και των μη συγγραμμικών (6 ή 8)σημείων ισορροπίας, όπως είχαμε παρουσιάσει στην μελέτη μας στο κεφάλαιο 2 εξαρτάται από τις τιμές των μαζών. Για m 2 =m 3 =0.015 άρα m 1 =0.97 το πρόβλημα μας έχει 2 συγγραμμικά (πάνω στον x άξονα) σημεία ισορροπίας και 6 μη συγγραμμικά, ενώ όλα αυτά τα σημεία ισορροπίας είναι ασταθή εκτός από τα L 5 και L 6. Στο σχήμα (4.33) παρουσιάζουμε την χαρακτηριστική καμπύλη της οικογένειας f 1, για m 2 =m 3 =0.015 και m 1 =0.97. Αυτή η οικογένεια αποτελείται από συμμετρικές απλές περιοδικές τροχιές που εξελίσσονται γύρω από τα τρία πρωτεύοντα σώματα. Η οικογένεια f 1 παρουσιάζει ποιοτικά ακριβώς την ίδια συμπεριφορά με την αντίστοιχη οικογένεια f 1 για την περίπτωση των τριών ίσων μαζών που παρουσιάσαμε στο σχήμα (4.2). Σχήμα 4.33: Η οικογένεια f 1 για m 2 =m 3 =0.015, m 1 =0.97. σημειώνεται το ευσταθές τμήμα της οικογένειας Με κόκκινο χρώμα

176 166 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Σχήμα 4.34: Αριστερά : Τρείς απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 1 για m 2 =m 3 =0.015, m 1 =0.97. Δεξιά : Διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 1. Στην μικρή εικόνα παρουσιάζεται μεγέθυνση μέρους του διαγράμματος Σχήμα 4.35: Αριστερά : Ημιπερίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 1, Δεξιά : Κατακόρυφη ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 1

177 4.3. Περίπτωση δύο εκ των τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών 167 Στο σχήμα (4.36) παρουσιάζουμε την χαρακτηριστική καμπύλη της οικογένειας f 2, η οποία τείνει σε σύγκρουση με τα πρωτεύοντα σώματα μάζας m 1 και m 2. Σχήμα 4.36: Η οικογένεια f 2 για m 2 =m 3 =0.015, m 1 =0.97.Με κόκκινο χρώμα σημειώνεται το ευσταθές τμήμα της οικογένειας. Με γκρί γραμμοσκίαση διακρίνεται η περιοχή μη επιτρεπτής κίνησης Στο σχήμα (4.39) παρουσιάζουμε την χαρακτηριστική καμπύλη της οικογένειας f 3, για m 2 =m 3 =0.015 και m 1 =0.97, ενώ στα σχήματα (4.42) και (4.45) τις χαρακτηριστικές καμπύλες των οικογένειων f 4 και f 5. Η εξέλιξη των οικογενειών f 3, f 4 και f 5 ποικίλει, καθώς όσο η τιμή C της σταθεράς του Jacobi μειώνεται οι f 3 και f 5 τείνουν σε σύγκρουση με το σώμα μάζας m 1, ενώ η f 4 αλλάζει πολλαπλότητα. Στα σχήματα (4.40 αριστερά), (4.43 αριστερά) και (4.46 αριστερά) παρουσιάζουμε απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές των οικογενειών, ενώ στα σχήματα (4.40 δεξιά), (4.43 δεξιά) και (4.46 δεξιά) φαίνονται τα διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi για τις τρείς αυτές οικογένειες. Οι οριζόντιες και οι κατακόρυφα κρίσιμες περιοδικές τροχιές των οικογένειων αυτών διακρίνονται με μικρούς κύκλους και τρίγωνα αντίστοιχα.

178 168 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Σχήμα 4.37: Αριστερά : Τρείς απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 2 για m 2 =m 3 =0.015, m 1 =0.97, Δεξιά : Διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 2 Σχήμα 4.38: Αριστερά : Ημιπερίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 2, Δεξιά : Κατακόρυφη ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 2

179 4.3. Περίπτωση δύο εκ των τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών 169 Σχήμα 4.39: Η οικογένεια f 3 για m 2 =m 3 =0.015, m 1 =0.97. Με κόκκινο χρώμα σημειώνεται το ευσταθές τμήμα της οικογένειας. Με γκρί γραμμοσκίαση διακρίνεται η περιοχή μη επιτρεπτής κίνησης Σχήμα 4.40: Αριστερά : Τρείς απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 3 για m 2 =m 3 =0.015, m 1 =0.97, Δεξιά : Διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 3

180 170 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Σχήμα 4.41: Αριστερά : Ημιπερίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 3, Δεξιά : Κατακόρυφη ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 3 Σχήμα 4.42: Η οικογένεια f 4 για m 2 =m 3 =0.015, m 1 =0.97. Με κόκκινο χρώμα σημειώνεται το ευσταθές τμήμα της οικογένειας. Με γκρί γραμμοσκίαση διακρίνεται η περιοχή μη επιτρεπτής κίνησης

181 4.3. Περίπτωση δύο εκ των τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών 171 Σχήμα 4.43: Αριστερά : Τρείς απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 4 για m 2 =m 3 =0.015, m 1 =0.97, Δεξιά : Διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 4 Η οικογένεια f 6 αποτελείται από ανάδρομες απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές (σχήμα 4.49 αριστερά) γύρω από τα τρία σώματα μάζας m 1, m 2, m 3 και η χαρακτηριστική της καμπύλη (σχήμα 4.48) και από τις δύο πλευρές της τερματίζεται πάνω στις καμπύλες μηδενικής ταχύτητας. Στην χαρακτηριστική της καμπύλη (x, C) διακρίνουμε δύο μικρά τμήματα με ευσταθείς περιοδικές τροχιές (κόκκινο χρώμα). Σε αυτή την οικογένεια βρήκαμε τέσσερις οριζόντιες και πέντε κατακόρυφες κρίσιμες περιοδικές τροχιές. Στο σχήμα (4.51) παρουσιάζουμε την χαρακτηριστική καμπύλη της οικογένειας f 7, για m 2 =m 3 =0.015 και m 1 =0.97. Η οικογένεια ξεκινάει με πολύ μικρές περιοδικές τροχιές κοντά στα δύο σώματα m 2, m 3 και τερματίζεται με μια τροχιά που οδηγεί σε σύγκρουση με το πρωτεύων σώμα μεγάλης μάζας m 1. Η πλειοψηφία των περιοδικών λύσεων της οικογένειας είναι ασταθείς, αλλά υπάρχουν μικρά τμήματα ευστάθειας, όπως φαίνεται και με κόκκινο χρώμα στο μέσο και προς το τελείωμα της χαρακτηριστικής καμπύλης της οικογένειας. Η οικογένεια αυτή παρουσιάζει ποιοτικά ακριβώς την ίδια συμπεριφορά με την αντίστοιχη οικογένεια f 7 για την περίπτωση των τριών ίσων μαζών που παρουσιάσαμε στο σχήμα (4.20).

182 172 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Σχήμα 4.44: Αριστερά : Ημιπερίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 4, Δεξιά : Κατακόρυφη ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 4 Σχήμα 4.45: Η οικογένεια f 5 για m 2 =m 3 =0.015, m 1 =0.97. Με κόκκινο χρώμα σημειώνεται το ευσταθές τμήμα της οικογένειας. Με γκρί γραμμοσκίαση διακρίνεται η περιοχή μη επιτρεπτής κίνησης

183 4.3. Περίπτωση δύο εκ των τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών 173 Σχήμα 4.46: Αριστερά : Τρείς απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 5 για m 2 =m 3 =0.015, m 1 =0.97, Δεξιά : Διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 5 Σχήμα 4.47: Αριστερά : Ημιπερίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 5, Δεξιά : Κατακόρυφη ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 5

184 174 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Σχήμα 4.48: Η οικογένεια f 6 για m 2 =m 3 =0.015, m 1 =0.97. Με κόκκινο χρώμα σημειώνεται το ευσταθές τμήμα της οικογένειας. Με γκρί γραμμοσκίαση διακρίνεται η περιοχή μη επιτρεπτής κίνησης Σχήμα 4.49: Αριστερά : Τρείς απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 6 για m 2 =m 3 =0.015, m 1 =0.97, Δεξιά : Διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 6

185 4.3. Περίπτωση δύο εκ των τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών 175 Σχήμα 4.50: Αριστερά : Ημιπερίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 6, Δεξιά : Κατακόρυφη ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 6 Σχήμα 4.51: Η οικογένεια f 7 για m 2 =m 3 =0.015, m 1 =0.97. Με κόκκινο χρώμα σημειώνεται το ευσταθές τμήμα της οικογένειας. Με γκρί γραμμοσκίαση διακρίνεται η περιοχή μη επιτρεπτής κίνησης

186 176 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Σχήμα 4.52: Αριστερά : Τρείς απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 7 για m 2 =m 3 =0.015, m 1 =0.97, Δεξιά : Διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 7 Σχήμα 4.53: Αριστερά : Ημιπερίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 7, Δεξιά : Κατακόρυφη ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 7

187 4.3. Περίπτωση δύο εκ των τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών 177 Η οικογένεια f 8 αποτελείται από ανάδρομες απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές (σχήμα 4.55 αριστερά) γύρω από τα τρία σώματα μάζας m 1,2,3 και η χαρακτηριστική της καμπύλη (σχήμα 4.43) έχει κλειστή μορφη. Τμήμα της χαρακτηριστικής της καμπύλης (x, C) αποτελείται από ευσταθείς περιοδικές τροχιές (κόκκινο χρώμα). Σε αυτή την οικογένεια βρήκαμε έξι οριζόντιες και τέσσερις κατακόρυφες κρίσιμες περιοδικές τροχιές. Σχήμα 4.54: Η οικογένεια f 8 για m 2 =m 3 =0.015, m 1 =0.97. Παρατηρούμε πως η οικογένεια αυτή έχει κλειστή χαρακτηριστική καμπύλη. Με κόκκινο χρώμα σημειώνεται το ευσταθές τμήμα της οικογένειας. Με γκρί γραμμοσκίαση διακρίνεται η περιοχή μη επιτρεπτής κίνησης

188 178 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Σχήμα 4.55: Αριστερά : Τρείς απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 8 για m 2 =m 3 =0.015, m 1 =0.97, Δεξιά : Διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 8 Σχήμα 4.56: Αριστερά : Ημιπερίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 8, Δεξιά : Κατακόρυφη ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 8

189 4.3. Περίπτωση δύο εκ των τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών 179 Η οικογένεια f 9 είναι η μόνη οικογένεια όπου όλες της οι περιοδικές τροχιές είναι ασταθείς. Αποτελείται από ανάδρομες απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές (σχήμα 4.58 αριστερά) γύρω από τα τρία σώματα μάζας m 1,2,3. Από τη μια της πλευρά η χαρακτηριστική της καμπύλη (σχήμα 4.57) τερματίζεται σε σύγκρουση με τις μάζες m 2,3, ενώ στο άλλο της άκρο της αλλάζει πολλαπλότητα. Σε αυτή την οικογένεια βρήκαμε έξι οριζόντιες και τέσσερις κατακόρυφες κρίσιμες περιοδικές τροχιές. Σχήμα 4.57: Η οικογένεια f 9 για m 2 =m 3 =0.015, m 1 =0.97. Με γκρί γραμμοσκίαση διακρίνεται η περιοχή μη επιτρεπτής κίνησης

190 180 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Σχήμα 4.58: Αριστερά : Τρείς απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 9 για m 2 =m 3 =0.015, m 1 =0.97, Δεξιά : Διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 9. Στην μικρή εικόνα παρουσιάζεται μεγέθυνση του διαγράμματος στην περιοχή που δείχνει το βέλος Σχήμα 4.59: Αριστερά : Ημιπερίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 9, Δεξιά : Κατακόρυφη ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 9

191 4.3. Περίπτωση δύο εκ των τριών ίσων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών 181 Η οικογένεια f 10 αποτελείται από ορθές απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές (σχήμα 4.61 αριστερά) γύρω από το πρωτεύον σώμα μάζας m 1. Σε αυτή την οικογένεια βρήκαμε ευσταθείς περιοδικές τροχιές (σχήμα 4.60 με κόκκινο χρώμα), καθώς επίσης και τέσσερις οριζόντιες και δύο κατακόρυφες κρίσιμες περιοδικές τροχιές. Από τη μια της πλευρά η χαρακτηριστική της καμπύλη (σχήμα 4.60 αριστερά και 4.60 δεξιά σε μεγέθυνση) τερματίζεται πάνω στην καμπύλη μηδενικής ταχύτητας, ενώ στο άλλο της άκρο της αλλάζει πολλαπλότητα. Από τη μελέτη μας και τα διαγράμματα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi των οικογενειών f 10 (σχήμα 4.61 δεξιά), αλλά και f 5, f 6 (σχήματα 4.46 δεξιά και 4.49 δεξιά αντίστοιχα) συμπεραίνουμε πως αυτές οι οικογένειες αποτελούνται κυρίως από τροχιές που είναι κατακόρυφα ευσταθείς, αλλά παρουσιάζουν αστάθεια οριζοντίως. Σχήμα 4.60: Αριστερά : Η οικογένεια f 10 για m 2 =m 3 =0.015, m 1 =0.97. Παρατηρούμε πως η οικογένεια αυτή έχει κλειστή χαρακτηριστική καμπύλη. Με κόκκινο χρώμα σημειώνεται το ευσταθές τμήμα της οικογένειας. Με γκρί γραμμοσκίαση διακρίνεται η περιοχή μη επιτρεπτής κίνησης, Δεξιά : Μεγέθυνση της οικογένειας f 10 καθώς στο τελείωμα της παρουσιάζει σπειροειδή μορφή

192 182 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Σχήμα 4.61: Αριστερά : Τρείς απλές συμμετρικές περιοδικές τροχιές της οικογένειας f 10 για m 2 =m 3 =0.015, m 1 =0.97, Δεξιά : Διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 10. Στην μικρή εικόνα παρουσιάζεται μεγέθυνση μέρους του διαγράμματος Σχήμα 4.62: Αριστερά : Ημιπερίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 10, Δεξιά : Κατακόρυφη ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 10

193 4.4. Περίπτωση τριών άνισων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών ασύμμετρων περιοδικών τροχιών Περίπτωση τριών άνισων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών ασύμμετρων περιοδικών τροχιών Σε αυτό το τμήμα του κεφαλαίου παρουσιάζουμε τα αριθμητικά αποτελέσματα της μελέτης μας για το δίκτυο 10 επίπεδων ασύμμετρων απλών περιοδικών τροχιών του προβλήματος μας, όταν τα τρία πρωτευόντα σώματα έχουν άνισες μάζες m 1 m 2 m 3. Για την συνέχεια της μελέτης μας σε αυτή την περίπτωση, επιλέξαμε τιμές μαζών m 1, m 2 και m 3 τέτοιες ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη ευστάθειας του συστήματος μας (εξίσωση 4.3). Ετσι έχουμε : m 1 = 0.97, m 2 = 0.02, m 3 = Στην περίπτωση των τριών άνισων μαζών, δεν υπάρχουν συγγραμμικά σημεία ισορροπίας. Το περιορισμένο πρόβλημα των τεσσάρων σωμάτων, σε Lagrangian διαμόρφωση και για m 1 m 2 m 3 βρήκαμε ότι έχει 8 ή 10 σημεία ισορροπίας, το πλήθος των οποίων εξαρτάται από τις τιμές των μαζών των πρωτευόντων σωμάτων. Στην ευσταθή διαμόρφωση που παρουσιάζουμε παρακάτω, με τιμές μαζών (m 1 = 0.97, m 2 = 0.02, m 3 = 0.01), το πρόβλημά μας έχει 8 μη συγγραμμικά σημεία ισορροπίας και παρουσιάζουν αστάθεια, εκτός από τα L 5,6. Επίσης πλέον δεν υφίσταται η συμμετρία των περιοδικών τροχιών που υπήρχε στις προηγούμενες περιπτώσεις, ούτε ως προς του τρείς άξονες για την περίπτωση των τριών ίσων μαζών, ούτε ως προς τον οριζόντιο x άξονα για τις δύο ίσες μάζες. Πλέον αν θέσουμε στις εξισώσεις τις κίνησης (4.1) τον μετασχηματισμό (x, y, ẋ, ẏ, t) (x, y, ẋ, ẏ, t) οι εξισώσεις δεν παραμένουν αμετάβλητες από αυτόν τον μετασχηματισμό. Οπότε στην παρούσα ενότητα θα μελετήσουμε τις οικογένειες απλών μη συμμετρικών περιοδικών τροχιών για συγκεκριμένες τιμές των πρωτευόντων μαζών, που ικανοποιούν την συνθήκη ευστάθειας (εξίσωση 4.3). Με τη μέθοδο διόρθωσης και πρόβλεψης (ενότητα 1.12) υπολογίσαμε αριθμητικά α- κριβώς τις οικογένειες των ασύμμετρων πλέον περιοδικών λύσεων του προβλήματος. Στο σχήμα (4.63) παρουσιάζουμε το δίκτυο των χαρακτηριστικών καμπύλων των δέκα οικογενειών, απλών ασύμμετρων περιοδικών τροχιών για άνισες μάζες. Στις δύο προηγούμενες περιπτώσεις των τριών ή δύο ίσων μαζών παρουσιάσαμε τις αντίστοιχες χαρακτηριστικές καμπύλες στο x C επίπεδο, ενώ είχαμε θεωρήσει τις συμμετρικές τους περιοδικές τροχιές να δίνονται από τις αρχικές τους συνθήκες x 0, y 0 =0, ẋ 0 = 0 και ẏ 0 > 0, θετικές κάθετες τομές με τον x άξονα. Τώρα που μελετάμε ασύμμετρες περιοδικές τροχιές, οι παραπάνω αρχικές τιμές x 0 = (x 0, y 0 = 0, ẋ 0, ẏ 0 (C)) δεν καθορίζουνε τις αρχικές συνθήκες πλέον καθώς ẋ 0 0 οπότε δεν μας δίνουν πληροφορίες για τις τιμές τόσο τις οριζόντιας όσο και της κάθετης συνιστώσας της ταχύτητας του τέταρτου αμελητέας μάζας σώματος. Ομως, για λόγους σύγκρισης με τις προηγούμενες περιπτώσεις, διατηρούμε την ίδια μορφή παρουσίασης για τις οικογένειες

194 184 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών και στην παρούσα περίπτωση των τριών άνισων σωμάτων, στο x 0 C επίπεδο και θα δώσουμε σε σχετικούς πίνακες τις απαραίτητες αριθμητικές τιμές αρχικών συνθηκών και για την αρχική ταχύτητα του τέταρτου σώματος. Ενώ ο καθορισμός των αρχικών συνθηκών μιας τροχιάς κοντά σε μια συμμετρική περιοδική τροχιά είναι δυνατός χρησιμοποιώντας την μέθοδο σάρωσης grid method (βλέπε [32, Markellos V.l et al., 1974]), αυτό δεν είναι δυνατό για ασύμμετρες περιοδικές τροχιές, επειδή η ταχύτητα του τέταρτου σώματος πλέον δεν είναι κάθετη στον οριζόντιο x άξονα για T =0 και έτσι ẋ 0 0, δηλαδή έχουμε μια επιπλέον παράμετρο στις αρχικές συνθήκες του προβλήματος. Θα πρέπει λοιπόν να βρούμε από τις γνωστές συμμετρικές περιοδικές τροχιές, που είναι κοντά στις μάζες των πρωτευόντων που έχουμε στην παρούσα μελέτη μας, πως αυτές μεταβάλλονται εάν τώρα σαν παράμετρος είναι η μάζα ενός από τα πρωτεύοντα σώματα. Αρα να πάρουμε μια συμμετρική περιοδική τροχιά και αλλάζοντας κατά λίγο, μόνο την τιμή π.χ. του m 3 χρειάζεται να βρούμε σαν ασύμμετρη την νέα περιοδική τροχιά που θα έχει τώρα τρείς άνισες μάζες. Από την προηγούμενη περίπτωση, για δύο ίσες μάζες, είχαμε υπολογίσει δέκα οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών για μάζες m 1 = 0.97, m 2 = m 3 = Μπορούμε να υπολογίσουμε, μεταβάλλοντας πολύ λίγο την τιμή της μάζας m 3 τις συμμετρικές κρίσιμες περιοδικές τροχιές αυτών των οικογενειών σε νέες οριζόντιες ή κατακόρυφες ασύμμετρες κρίσιμες περιοδικές τροχιές με άνισες μάζες. Στην παρούσα περίπτωση κρατήσαμε σταθερή την μάζα του μεγάλου κυρίαρχου σώματος m 1 = 0.97 και υπολογίσαμε οριζόντια ή κάθετα κρίσιμες ασύμμετρες περιοδικές τροχιές για τιμές της μάζας του τρίτου πρωτεύοντος σώματος m 3 να κυμαίνονται στο εύρος (0.015, 0.01). Η μάζα του δεύτερου πρωτεύοντος σώματος m 2 καθορίζεται από την εξίσωση m 2 = 1 m 1 m 3. Ετσι βρήκαμε κρίσιμες ασύμμετρες περιοδικές τροχιές για m 1 = 0.97, m 3 = 0.01, m 2 = Ονομάζουμε διακλαδιζόμενες σειρές ή σειρές κρίσιμων τροχιών το σύνολο των περιοδικών τροχιών όπου σαν παράμετρος της οικογένειας των λύσεων αυτών είναι η μάζα που αλλάζουμε. Μόλις βρεθεί μια μη συμμετρική τροχιά μπορούμε να επεκτείνουμε την έρευνα μας σε όλη την μονοπαραμετρική οικογένεια στην οποία ανήκει αυτή η τροχιά. Ολες οι οικογένειες των συμμετρικών περιοδικών τροχιών f i, i = 1,..., 10 της προηγούμενης περίπτωσης, για δύο ίσες μάζες, έχουνε τουλάχιστον μια οριζόντια κρίσιμη περιοδική τροχιά με εξαίρεση την οικογένεια f 9, οπότε σε αυτή την περίπτωση υπολογίσαμε την σειρά μιας κάθετης κρίσιμης περιοδικής τροχιάς (έχει τέσσερις κάθετα κρίσιμες). Στον πίνακα (4.2) δίνονται τα αποτελέσματα από τους υπολογισμούς μας για τις ο- ριζόντιες κρίσιμες περιοδικές τροχιές με συντελεστή οριζόντιας ευστάθειας ίσο με τη μονάδα, για τις οικογένειες f i, i = 1,...8, 10 και κάθετα κρίσιμες με συντελεστή κατακόρυφης ευστάθειας ίσο με τη μονάδα για την οικογένεια f 9. Για κάθε οικογένεια όπως φαινεται στον πίνακα, η πρώτη κρίσιμη περιοδική τροχιά είναι η συμμετρική κρίσιμη λύση για μάζες m 1 = 0.97, m 2 = m 3 = 0.015, ενώ η δεύτερη είναι η μη

195 4.4. Περίπτωση τριών άνισων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών ασύμμετρων περιοδικών τροχιών 185 συμμετρική κρίσιμη λύση για μάζες m 1 = 0.97, m 3 = 0.01, m 2 = 0.02 αντίστοιχα. Στην τελευταία στήλη του πίνακα (4.2) παρουσιάζουμε τους συντελεστές οριζόντιας ευστάθειας S h = (a h + d h ) και κατακόρυφης ευστάθειας S v = (a v + d v ), όπου 2 2 a h, d h, a v, d v είναι οι ισοενεργειακές οριζόντιες και κατακόρυφες αντίστοιχα παράμετροι, κάθε περιοδικής τροχιάς. Υπολογίσαμε λαμβάνοντας ως αρχικές συνθήκες τις τιμές από τον πίνακα (4.2) για μάζες m 1 = 0.97, m 3 = 0.01, m 2 = 0.02, τις δέκα οικογένειες απλών ασύμμετρων περιοδικών τροχιών και στην εικόνα (σχήμα 4.63) παρουσιάζουμε αυτές τις οικογένειες. Επισημαίνουμε ξανά πως αυτές οι χαρακτηριστικές καμπύλες, γι αυτή την περίπτωση δεν δίνουν πληροφορίες για τις τιμές των αρχικών ταχυτήτων των μη συμμετρικών περιοδικών τροχιών των οικογενειών f i, i = 1, Με κόκκινο χρώμα διακρίνονται τα τμήματα των οικογενειών που αντιστοιχούν σε ευσταθείς τροχιές. Η θέση του μεγάλου πρωτεύοντος σώματος μάζας m 1 φαίνεται στο σχήμα με μια κάθετη διακεκομένη γραμμή, ενώ με μικρούς κόκκινους κύκλους διακρίνονται τα σημεία ισορροπίας L 2,3. Τέλος η γραμμοσκιασμένη περιοχή είναι περιοχή μη επιτρεπτής κίνησης, λόγω της τιμής της σταθεράς του Jacobi. Το δίκτυο των δέκα οικογενειών που υπολογίσαμε και παρουσιάζουμε στο παραπάνω σχήμα ( 4.63) είναι πολύ κοντά στη εικόνα που είχαμε για το αντίστοιχο δίκτυο δέκα οικογενειών που είχαμε βρεί στην προηγούμενη ενότητα (σχήμα 4.32) για m 1 = 0.97, m 2 = m 3 = 0.015, αλλά με μια σημαντική διαφορά καθώς τώρα για τρία άνισα πρωτεύοντα σώματα όλες μας οι περιοδικές λύσεις είναι μη συμμετρικές. Πιο συγκεκριμένα οι οικογένειες f 1,2,3,4,7,8,9 που υπολογίσαμε σε αυτή την ενότητα για άνισες μάζες έχουν παρόμοια χαρακτηριστική καμπύλη και συμπεριφορά με τις αντίστοιχες της προηγούμενης ενότητας για δύο ίσες μάζες, ενώ οι f 5,6,10 παρουσιάζουν διαφορετική εξέλιξη. Για το λόγο αυτο στις επόμενες σελίδες παρουσιάζουμε τις χαρακτηριστικές καμπύλες καθώς και ασύμμετρες περιοδικές τροχιές των οικογενειών f 1,2,3,4,7,8,9 χωρίς σχόλια, ενώ αναφερόμαστε λεπτομερώς για τις οικογένειες f 5, f 6 και f 10.

196 186 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Πίνακας 4.2: Σειρές περιοδικών λύσεων ως προς m 3. Αρχικές συνθήκες για συμμετρικές και ασύμμετρες περιοδικές τροχιές, για δύο τιμές της μάζας m 3 (m 1 = 0.97 και m 2 = 1 m 1 m 3 ) Οικ. m 3 x 0 ẋ 0 ẏ 0 C T Ευστάθεια f S h = S h f S h S h f S h S h f S h S h f S h S h f S h S h f S h S h f S h S h f S v = S v f S h S h

197 4.4. Περίπτωση τριών άνισων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών ασύμμετρων περιοδικών τροχιών 187 Σχήμα 4.63: Δέκα βασικές οικογένειες απλών ασύμμετρων περιοδικών τροχιών για m 1 m 2 m 3 (m 1 = 0.97, m 2 = 0.02, m 3 = 0.01). Με κόκκινο χρώμα σημειώνουμε τα ευσταθή τμήματα των χαρακτηριστικών καμπυλών των οικογενειών ενώ με κύκλο και τρίγωνο τις οριζόντιες και κατακόρυφες αντίστοιχα κρίσιμες περιοδικές λύσεις. Με γκρί γραμμοσκίαση διακρίνονται οι περιοχές μη επιτρεπτής κίνησης

198 188 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Σχήμα 4.64: Αριστερά : Η οικογένεια f 1 για m 1 m 2 m 3, (m 1 = 0.97, m 2 = 0.02, m 3 = 0.01) Με κόκκινο χρώμα σημειώνεται το ευσταθές τμήμα της οικογένειας, Δεξιά : Τρείς ασύμμετρες περιοδικές τροχιές της f 1 Σχήμα 4.65: Αριστερά : Διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 1 (για m 1 = 0.97, m 2 = 0.02, m 3 = 0.01). Στην μικρή εικόνα παρουσιάζεται μεγέθυνση μέρους του διαγράμματος, Δεξιά: Περίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 1

199 4.4. Περίπτωση τριών άνισων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών ασύμμετρων περιοδικών τροχιών 189 Σχήμα 4.66: Αριστερά : Κατακόρυφη ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 1 (για m 1 = 0.97, m 2 = 0.02, m 3 = 0.01), Δεξιά: Οριζόντια ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 1 Σχήμα 4.67: Αριστερά : Η οικογένεια f 2 για m 1 m 2 m 3 ( m 1 = 0.97, m 2 = 0.02, m 3 = 0.01 ). Με κόκκινο χρώμα σημειώνεται το ευσταθές τμήμα της οικογένειας. Με γκρί γραμμοσκίαση διακρίνεται η περιοχή μη επιτρεπτής κίνησης, Δεξιά: Τρείς ασύμμετρες περιοδικές τροχιές της f 2

200 190 Κεφάλαιο 4. Οικογένειες απλών περιοδικών τροχιών Σχήμα 4.68: Αριστερά : Διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 2 (για m 1 = 0.97, m 2 = 0.02, m 3 = 0.01). Στην μικρή εικόνα παρουσιάζεται μεγέθυνση μέρους του διαγράμματος, Δεξιά: Περίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 2 Σχήμα 4.69: Αριστερά : Κατακόρυφη ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 2 (για m 1 = 0.97, m 2 = 0.02, m 3 = 0.01 ), Δεξιά: Οριζόντια ταχύτητα συναρτήσει του x της οικογένειας f 2

201 4.4. Περίπτωση τριών άνισων πρωτευόντων μαζών - Οικογένειες απλών ασύμμετρων περιοδικών τροχιών 191 Σχήμα 4.70: Αριστερά : Η οικογένεια f 3 για m 1 m 2 m 3 (m 1 = 0.97, m 2 = 0.02, m 3 = 0.01). Με κόκκινο χρώμα σημειώνεται το ευσταθές τμήμα της οικογένειας. Με γκρί γραμμοσκίασηδιακρίνεται η περιοχή μη επιτρεπτής κίνησης, Δεξιά: Τρείς ασύμμετρες περιοδικές τροχιές της f 3 Σχήμα 4.71: Αριστερά : Διάγραμμα οριζόντιας και κατακόρυφης ευστάθειας συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 3 (για m 1 = 0.97, m 2 = 0.02, m 3 = 0.01), Δεξιά: Περίοδος συναρτήσει της σταθεράς του Jacobi της οικογένειας f 3

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μία ειδική κατηγορία διδιάστατων δυναμικών συστημάτων είναι τα λεγόμενα συντηρητικά συστήματα. Ο όρος προέρχεται από την μηχανική, όπου για υλικό σημείο που δέχεται δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3)

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3) ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ 3): Κινήσεις αστέρων σε αστρικά συστήματα Βασικές έννοιες Θεωρούμε αστρικό σύστημα π.χ. γαλαξία ή αστρικό σμήνος) αποτελούμενο από μεγάλο αριθμό αστέρων της τάξης των 10 8 10

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι Ιανουαρίου, 9 Καλή σας επιτυχία. Πρόβλημα Α Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται υπό την επίδραση του πεδίου δύο σημειακών ελκτικών κέντρων, το ένα εκ των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 31 Μαρτίου 2019 1 Δυνάμεις μάζας και επαφής Δυνάμεις μάζας ή δυνάμεις όγκου ονομάζονται οι δυνάμεις που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 3 Μαρτίου 2019 1 Τανυστής Παραμόρφωσης Συνοδεύον σύστημα ονομάζεται το σύστημα συντεταγμένων ξ i το οποίο μεταβάλλεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

dx cos x = ln 1 + sin x 1 sin x.

dx cos x = ln 1 + sin x 1 sin x. Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 17-18 Ν. Βλαχάκης 1. Εστω πεδίο δύναμης F = g () cos y ˆ + λ g() sin y ŷ, όπου λ = σταθερά και g() = 1 e π/ B C (σε κατάλληλες μονάδες). (α) Υπολογίστε πόση ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ)

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ) ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ) 1. (α) Περιγράψτε συνοπτικά το πείραμα των Michelson και Morley (όχι απόδειξη σχέσεων). Ποιό ήταν το βασικό αποτέλεσμα του πειράματος; (β)

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α, Μαθηματική Μοντελοποίηση Ι 1. Φυλλάδιο ασκήσεων Ι - Λύσεις ορισμένων ασκήσεων 1.1. Άσκηση. Ενα σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε παραβολικό δυναμικό V (x) = 1/2x 2. Γράψτε την θέση του σαν συνάρτηση του χρόνου,

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Λαμβάνοντας επιπλέον και την βαρύτητα, η επιτάχυνση του σώματος έχει συνιστώσες

Λαμβάνοντας επιπλέον και την βαρύτητα, η επιτάχυνση του σώματος έχει συνιστώσες Μικρό σώμα μάζας m κινείται μέσα σε βαρυτικό πεδίο με σταθερά g και επιπλέον κάτω από την επίδραση μιας δύναμης με συνιστώσες F x = 2κm και F y = 12λmt 2 όπου κ και λ είναι θετικές σταθερές σε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

= x. = x1. math60.nb

= x. = x1. math60.nb MH ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Χώρος Φάσεων : Επίπεδο (, Φασικές Τροχιές : Επίπεδες µονοπαραµετρικές καµπύλες (t (t χωρίς εγκάρσιες τοµές. Οι φασικές τροχιές µπορούν να υπολογιστούν από

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Χειµερινό Εξάµηνο 2016-2017 Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου εύτερη Εργασία 1. Βρείτε δύο διαφορετικά παραδείγµατα συστηµάτων στο

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI 11 Ιουνίου 2012

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI 11 Ιουνίου 2012 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI Ιουνίου 202 Απαντήστε και στα 4 Θέματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις στα ερωτήματα εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους τους άξονες και.

Διαβάστε περισσότερα

,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους:

,..., xn) Οι συναρτήσεις που ορίζουν αυτό το σύστημα υποτίθενται παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους: ΜΑΘΗΜΑ 6 ο : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LYAPUNOV) O Aleksadr Lyapuv (857-98) έθεσε τις βάσεις της μαθηματικής θεωρίας της ευστάθειας που φέρει το όνομά του εμπνευσμένος από μια απλή

Διαβάστε περισσότερα

Υποστηρικτικό υλικό για την εργασία «Πειραματική διάταξη για τη μελέτη της ροής ρευστού σε σωλήνα» του Σπύρου Χόρτη.

Υποστηρικτικό υλικό για την εργασία «Πειραματική διάταξη για τη μελέτη της ροής ρευστού σε σωλήνα» του Σπύρου Χόρτη. Υποστηρικτικό υλικό για την εργασία «Πειραματική διάταξη για τη μελέτη της ροής ρευστού σε σωλήνα» του Σπύρου Χόρτη. Η εργασία δημοσιεύτηκε στο 9ο τεύχος του περιοδικού Φυσικές Επιστήμες στην Εκπαίδευση,

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγική Ανάλυση και Γραμμικοποίηση. Μη-Γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγική Ανάλυση και Γραμμικοποίηση. Μη-Γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων Δυναμική Μηχανών I Εισαγωγική Ανάλυση και Γραμμικοποίηση 4 5 Μη-Γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων 25 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Φεβρουάριος Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία. Καλή σας επιτυχία.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Φεβρουάριος Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία. Καλή σας επιτυχία. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Φεβρουάριος 2003 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία. Καλή σας επιτυχία. Θέμα 1 (25 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Χειµερινό Εξάµηνο 2018-2019 Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου εύτερη Εργασία, 2018-2019 1. ώστε δύο διαφορετικά παραδείγµατα συστηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική Κατηγορίες f.p. σε γραμμικά διαφορικά συστήματα 1 ης τάξης Έστω το γενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος ΘΕΜΑ α) Υλικό σημείο μάζας κινείται στον άξονα Ο υπό την επίδραση του δυναμικού V=V() Αν για t=t βρίσκεται στη θέση = με ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνησή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται 6-04-011 1. Όχημα μάζας m ξεκινά από την αρχή του άξονα x χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται στον άξονα x υπό την επίδραση της δυνάμεως t F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται επίσης αντίσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Όταν ένα σώμα ισορροπεί τότε: i. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του

Διαβάστε περισσότερα

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ. 6.1 Το Θεώρημα Hartman-Grobman

Κεφάλαιο 6 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ. 6.1 Το Θεώρημα Hartman-Grobman Κεφάλαιο 6 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι η συμπεριφορά των λύσεων ενός δυναμικού συστήματος ẋ = f (x) κοντά σε ένα σημείο ισορροπίας x 0, καθορίζεται από το γραμμικό τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

1. Κίνηση Υλικού Σημείου

1. Κίνηση Υλικού Σημείου 1. Κίνηση Υλικού Σημείου Εισαγωγή στην Φυσική της Γ λυκείου Τροχιά: Ονομάζεται η γραμμή που συνδέει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι κινήσεις ανάλογα με το είδος της τροχιάς διακρίνονται σε: 1. Ευθύγραμμες

Διαβάστε περισσότερα

Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί

Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 3 ο : Αντίστροφος μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 4 ο : Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων Παράρτημα 5 ο : Τυποποιημένα σήματα

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 2/2000 Μηχανική ΙI Λογισµός των µεταβολών Προκειµένου να αντιµετωπίσουµε προβλήµατα µεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) όπως τα παραπάνω, όπου η ποσότητα που θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( r) V r. ( ) + l 2. Τι είδαμε: m!! r = l 2. 2mr 2. 2mr 2 + V r. q Ξεκινήσαμε την συζήτηση για το θέμα κεντρικής δύναμης

( ) ( r) V r. ( ) + l 2. Τι είδαμε: m!! r = l 2. 2mr 2. 2mr 2 + V r. q Ξεκινήσαμε την συζήτηση για το θέμα κεντρικής δύναμης ΦΥΣ 2 - Διαλ.4 Τι είδαμε: q Ξεκινήσαμε την συζήτηση για το θέμα κεντρικής δύναμης ü Ανάγαμε το πρόβλημα 2 σωμάτων σε πρόβλημα κεντρικής δύναμης ü διατήρηση ορμής CM μετατρέπει το πρόβλημα από 6 DoF σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μεταπτυχιακό Μάθημα: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Καθηγητές: Α Μπούντης - Σ Πνευματικός Ακαδημαϊκό έτος 11-1 ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΩΝ LOKA-VOLERRA

Διαβάστε περισσότερα

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 4.1 Η ροή μιας διαφορικής εξίσωσης. Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών. x (0) = x 0, (4.1.

Κεφάλαιο 4 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 4.1 Η ροή μιας διαφορικής εξίσωσης. Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών. x (0) = x 0, (4.1. Κεφάλαιο 4 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4.1 Η ροή μιας διαφορικής εξίσωσης Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ = f (x), x (0) = x 0, (4.1.1) όπου το διανυσματικό πεδίο f είναι κλάσεως C 1 σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ.Γραφήματα-Επιφάνειες.Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο 3.Ισοσταθμικές 4.Κλίση ισοσταθμικών 5.Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος 6.Ιδιότητες των ισοσταθμικών 7.κυρτότητα των ισοσταθμικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Κεφάλαιο 6β Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Ροπή Ροπή ( ) είναι η τάση που έχει μια δύναμη να περιστρέψει ένα σώμα γύρω από κάποιον άξονα. d είναι η κάθετη απόσταση του άξονα περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

dv 2 dx v2 m z Β Ο Γ

dv 2 dx v2 m z Β Ο Γ Μηχανική Ι Εργασία #2 Χειμερινό εξάμηνο 218-219 Ν Βλαχάκης 1 Στην άσκηση 4 της εργασίας #1 αρχικά για t = είναι φ = και η ταχύτητα του σώματος είναι v με φορά κάθετη στο νήμα ώστε αυτό να τυλίγεται στον

Διαβάστε περισσότερα

4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα, γνωστά και ως συστήματα διαφορικών εξισώσεων, περιγράφουν φαινόμενα που μεταβάλλονται συνεχώς στο χρόνο.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Με διάγραμμα :

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Με διάγραμμα : Νόμος Νόμοι Πρότυπο ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Πρότυπο ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης (Ε.Ο.Μ.Κ) Όταν η επιτάχυνση ενός

Διαβάστε περισσότερα

1. Δυναμική Ενέργεια και Διατηρητικές Δυνάμεις

1. Δυναμική Ενέργεια και Διατηρητικές Δυνάμεις . Δυναμική Ενέργεια και Διατηρητικές Δυνάμεις Εξετάζοντας την αιώρα παρατηρούμε ότι στα ανώτατα σημεία η ενέργεια μοιάζει να έχει αποθηκευτεί υπό κάποια άλλη μορφή, που συνδέεται με το ύψος της πάνω από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση Ένα σώμα εκτελεί απλή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι 26 Ιανουαρίου 2016

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι 26 Ιανουαρίου 2016 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι 26 Ιανουαρίου 2016 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Στις παρενθέσεις δίνονται τα μόρια του κάθε ερωτήματος. Σε ένα σωματίδιο που κινείται στον

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 5 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 6 Ιανουαρίου, Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα - ( μονάδες) Ένα όχημα, μαζί με ένα κανόνι που είναι ακλόνητο πάνω σε αυτό,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 2 Σεπτεμβρίου 2010

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 2 Σεπτεμβρίου 2010 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I Σεπτεμβρίου 00 Απαντήστε και στα 0 ερωτήματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.. Ένας

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική Ι 20 Οκτωβρίου 2011

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική Ι 20 Οκτωβρίου 2011 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική Ι 20 Οκτωβρίου 20 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέμα Α: (α) Να υπολογίσετε το βαρυτικό δυναμικό σε απόσταση r από το κέντρο ευθύγραμμης ράβδου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) 2ο set - μέρος Α - Απαντήσεις ΘΕΜΑ Β

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) 2ο set - μέρος Α - Απαντήσεις ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) ο set - μέρος Α - Απαντήσεις ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Ένα σώμα εκτελεί

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κεφ. 2, Δυναμική υλικού σημείου Κλασική Μηχανική, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 29 Μαΐου 2012 1. Στο υλικό σημείο A ασκούνται οι δυνάμεις F 1 και F2 των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Συντηρητικες Δυναμεις {Ανεξαρτησία του Εργου από τη Διαδρομή, Εννοια του Δυναμικού, Δυναμικό και Πεδίο Συντηρητικών Δυνάμεων}

Κεφάλαιο 6. Συντηρητικες Δυναμεις {Ανεξαρτησία του Εργου από τη Διαδρομή, Εννοια του Δυναμικού, Δυναμικό και Πεδίο Συντηρητικών Δυνάμεων} Κεφάλαιο 6 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Εννοια του Εργου { Εργο και Κινητική Ενέργεια, Εργο Μεταβλητής Δύναμης, Ισχύς} Συντηρητικες Δυναμεις {Ανεξαρτησία του Εργου από τη Διαδρομή, Εννοια του Δυναμικού, Δυναμικό

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Εισαγωγικές Ένvοιες ΙI Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

) z ) r 3. sin cos θ,

) z ) r 3. sin cos θ, Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 4-5 Ν. Βλαχάκης. Σώμα μάζας m κινείται στο πεδίο δύναμης της πρώτης άσκησης της τέταρτης εργασίας με λ, αλλά επιπλέον είναι υποχρεωμένο να κινείται μόνο στην ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 19//013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 υ (m/s) Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 10//10/01 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας 1 Kg βρίσκεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης 45º. Μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 11 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Γραμμικοποίηση Ευστάθεια Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. που περιγράφονται από ΣΔΕ 1 ης τάξης 2 Πρόβλημα/Ερώτημα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 06 Διατήρηση της ενέργειας

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 06 Διατήρηση της ενέργειας Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 06 Διατήρηση της ενέργειας ΦΥΣ102 1 Δυναμική Ενέργεια και διατηρητικές δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέματα και Λύσεις. Ox υπό την επίδραση του δυναμικού. x 01

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέματα και Λύσεις. Ox υπό την επίδραση του δυναμικού. x 01 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ 1 Θέματα και Λύσεις ΘΕΜΑ 1 Υλικό σημείο κινείται στον άξονα x' Ox υπό την επίδραση του δυναμικού 3 ax x V ( x) a x, a 3 α) Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και την ευστάθειά τους

Διαβάστε περισσότερα

Η επιτάχυνση και ο ρόλος της.

Η επιτάχυνση και ο ρόλος της. Η επιτάχυνση και ο ρόλος της. Το μέγεθος «επιτάχυνση» το συναντήσαμε κατά τη διδασκαλία στην Α Λυκείου, όπου και ορίσθηκε με βάση την εξίσωση: t Όπου η παραπάνω μαθηματική εξίσωση μας λέει ότι η επιτάχυνση:

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής.

Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 55 Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. Η δισδιάστατη γραμμική δυναμική ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από ένα σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΕΛΞΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΕΛΞΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΠΑΚΟΣΜΙΑ ΕΛΞΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poias.weebly.co ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου Ερώτηµα 2

Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου Ερώτηµα 2 Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου 2000 Ερώτηµα 1 Βα), και, Οι εξισώσεις κίνησης είναι, Έχουµε δύο ασύζευκτους αρµονικούς ταλαντωτές συχνότητας Η Χαµιλτονιανή αυτή θα µπορούσε να περιγράφει µικρές

Διαβάστε περισσότερα