PROJEKTOVANJE SEIZMIČKI OTPORNIH ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJA KROZ PRIMERE

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "PROJEKTOVANJE SEIZMIČKI OTPORNIH ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJA KROZ PRIMERE"

Ανατόλιος Αξιώτης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Vanja Alendar PROJEKTOVANJE SEIZMIČKI OTPORNIH ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJA KROZ PRIMERE Deo A - Osnovi teorije i uvod u propise Vežbe u okviru kursa Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija na IX semestru odseka za konstrukcije Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu Institut za materijale i konstrukcije Beograd, novembar 004.

2 PREDGOVOR drugom izdanju Pet godina je prošlo od objavljivanja prvog izdanja ovih skripti. Ako je i godinu dana trebalo za odmor od napora da se prvo izdanje pripremi, u naredne četri godine moglo je puno toga da se uradi, ali nije. A onda nam se pridružio naš mladi asistent Ivan Ignjatović, koji se ponudio da prekuca delove teksta pisane rukom. Takva se ponuda ne odbija, njemu ne. Kada je odlučeno da se nastavi sa radom, ispostavilo se da je kasno da se ceo tekst preradi kako bi valjalo, naravno. Nastava je u toku, pa je kao prvi - prolazni cilj usvojeno da se Deo B - Primeri prebaci u 'elektronsku formu', tako da ceo materijal studenti dobiju na CD-u. Ni to nije bio mali posao, trebalo je pripremiti dosta skica, ilustracija. Šta je novo? Prvi deo je nepromenjen. Osim što je prekucan, tekst drugoga dela - Primeri je i izmenjen, nadam se na bolje. Stare skice su prerađene, dodate su i nove, kao i fotografije koje ilustruju efekte dogođenih zemljotresa, ili rezultate eksperimentalnih ispitivanja na modelima. Uz fotografije na žalost nije naveden izvor, što je osnovni red. Izvinjavam se autorima, biće urađeno u sledećem izdanju. Deo teksta koji se odnosi na hale, a koji nije ni pripadao skriptama, potpuno je prerađen, dopunjen i uključen u tekst kao Primer 4. Kako se koristi tekst? Obim originalnog teksta bio je prilagođen raspoloživom vremenu od četrnaest nedelja nastave. U međuvremenu, izmenjen je program predmeta, pa se ravnopravno, po sedam nedelja, studentima izlažu problemi prethodnog naprezanja, odnosno zemljotresa. Takođe, deo problema koji je ranije izlagan na vežbama, sada je deo predavanja. Tekst skripti ipak nije skraćen, ali se može čitati na razne načine. Obavezni deo obuhvata: - Deo A - Osnovi teorije, kao dopunski tekst predavanjima, ali bez poglavlja 6 - Uvod u Evrokod 8; - Deo - B - Primeri proći ceo, ali bez poglavlja Pitanja i odgovori u Primerima -3, koja zahtevaju poznavanje koncepta propisa Evrokod 8. To je minimun, koji još uvek ima smisla. Time se narušava prvobitna koncepciju, ali je dovoljno, ako je jedini cilj da se savlada primena važećih domaćih propisa iz ove oblasti. Godišnji zadatak i pismeni ispit se ionako rade isključivo prema važećim domaćim propisima. Šta još pročitati, stvar je dogovora sa predmetnim nastavnikom. Toplo se preporučuje da se i ostali delovi pročitaju, bar kao priča. Koncept skripti je da se preko Evrokoda 8 objašnjava suština domaćih propisa i filozofija projektovanja. Na kraju, želim da se zahvalim asistentu Ivanu Ignjatoviću, koji me je doveo u situaciju da ne smem da ga izneverim. Ivane, da sredimo i prvi deo? Beograd, novembar 004. Vanja Alendar

3 PREDGOVOR prvom izdanju U podnaslovu teksta koji sledi, stoji da je u pitanju materijal za ve`be na IX-om, zavr{nom semestru studenata odseka za konstrukcije. Tako je i po~elo, iz èlje da studenti sa fakulteta ponesu vi{e "papira" i znanja nego {to se to moè zapisati kredom na tabli, u 4 nedelja da tekst mo`da bude interesantan i inènjerima u praksi, nadam se da je doprinela samo kvalitetu, ne i preteranom obimu. Pisanje i pravljenje mno{tva skica zapo~eo sam po~etkom septembra 999., nebi li se stiglo za po~etak nastave. Kasno, naravno. U tih mesec dana, pripremljen je ovaj prvi deo, nadam se da ima glavu i rep, a da nema grubih previda. Ovih sedamdesetak strana je program prve polovine kursa, sedam nedelja. Drugi deo, koji treba da sadrì probrane primere sa razradom pojedinih delova iznetih ovom prilikom, treba da bude gotov do po~etka drugih sedam nedelja nastave. Ako me ne{to spre~i u tome, ovaj prvi deo je u svakom slu~aju celina za sebe, i najva`niji. Tekst je koncizan i obiman u isto vreme. Izneti su i ilustrovani osnovni pojmovi, bez ~ijeg se razumevanja nebi trebalo upu{tati u odgovorno projektovanje seizmi~ki otpornih AB konstrukcija. Ako su neki pojmovi ve} usvojeni na drugim predmetima, ovde se ipak ponavljaju, jedino iz èlje da se na jednom mestu poveù u zaokruèn koncept. Pri skiciranju sinopsisa, po{ao sam od ~injenice da na{i vaè}i "seizmi~ki propisi" deluju vrlo jednostavno, "ni{ta lak{e nego uraditi projekat sloène konstrukcije uz pomo} nekog od softvera iz ove oblast". Me utim, propisi su pisani 98. godine, kada nije bilo ra~unara u praksi, a o aseizmi~kom projektovanju je bilo vrlo malo re~i u redovnoj nastavi. U me uvremenu su se nepovoljno preklopile tri stvari: formalno jednostavni propisi, nedovoljno obrazovanje inènjera u praksi i pojava atraktivnih softvera koji "sve re{avaju"- najgora mogu}a kombinacija. Otuda i koncept teksta, iz namere da se objasni su{tina, da se pojasne na{i propisi i da se da uvod u budu}e evropske propise, ~iji se prednacrt u me uvremenu pojavio. Od studenata se o~ekuje normalno predznanje, kao i priprema unapred. Na ~asovima }e se prvenstveno ukazati na bitne stvari sadràne u tekstu a dokle }e se sti}i, zavisi od inspiracije izlaga~a i zainteresovanosti studenata. Sve {to je potrebno sadràno je u tekstu, tabla }a sluìti samo za adhok diskusije, prema tome, studenti treba pred sobom da imaju tekst. Nakon nekih od poglavlja, studenti }e dobiti zadatke koje treba sami da urade. Zadaci se rade kod ku}e, predaju, prihvataju ili ne, ali su obja{njenja eventualnih zabluda kolektivna, jer su gre{ke obi~no sistematske. O~igledno je da u ovakvom sistemu nedostaje li~no upoznavanje, kontakt, rad sa svakim pojedina~no. Prednost je data konceptu "svi sve ~uju", kako obja{njenja tako i odgovore na pojedina~na javna pitanja. Koga materija bude posebno zainteresovala, vrata kabineta su mu otvorena, pa }emo to nadoknaditi, u kamernom okruènju. Dugujem zahvalnost svima kojima sam eventualno bio potreban ovih mesec dana, nadam se da nisu digli ruke od mene. Predmetnom nastavniku prof.m.a}i}u zahvaljujem na podr{ci pri pisanju teksta. Posebnu zahvalnost izraàvam Branku Milosavljevi}u koji je ~itavu stvar inicirao, podsticao da bi na kraju i pa`ljivo pro~itao tekst. Prihvatio sam sve njegove primedbe, posebno onu da mu se sve ovo dopada i da smatra da je u pitanju "jedna korisna i dobra knjiga". Ko se ne sloì, neka kaè, bi}e pomenut, u slede}em, "pravom" izdanju. Beograd, oktobar 999. Vanja Alendar

4 uz Deo A. REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA O ZEMLJOTRESIMA -. OPIS ZEMLJOTRESA -. ZAPISI UBRZANJA TLA U TOKU VREMENA - AKCELEROGRAMI -3. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU LINEARNO ELASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE -. REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA IZ DINAMIKE KONSTRUKCIJA -. SPEKTRI ODGOVORA ELASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU NELINEARNIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 3-3. TRADICIONALNA - SAVREMENA ZA[TITA KONSTRUKCIJA OD ZEMLJOTRESA 3-3. OSNOVI DINAMIKE ELASTO-PLASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE ODGOVOR NA ZEMLJOTRES ELASTO-PLASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE NELINEARNI SPEKTRI ODGOVORA EP SISTEMA KONCEPT NELINEARNOG PRORAÛNA SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE AKUMULACIJA O[TE]ENJA I EKVIVALENTNA DUKTILNOST POMERANJA KAKO REALIZOVATI ELASTO-PLASTIÂN SISTEM U ARMIRANOM BETONU 4-4. KRIVINA PRESEKA - POMERANJE KONSTRUKCIJE 4-4. NELINEARNI ODGOVOR AB KONSTRUKCIJA POÊTNA KRUTOST AB PRESEKA I KONSTRUKCIJA REALNO PONA[ANJE ARMIRANO BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRI CIKLI^NIM DEFORMACIJAMA MODELIRANJE AB KONSTRUKCIJA SISTEMI SA VI[E STEPENI SLOBODE 5-5. REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA IZ DINAMIKE KONSTRUKCIJA 5-5. UPRO[]ENA MODALNA SPEKTRALNA ANALIZA PLASTI^NI MEHANIZMI SISTEMA SA VI[E STEPENI SLOBODE OBEZBE\ENJE MEHANIZMA KONSTRUKCIJE - "PROGRAMIRANO PONA[ANJE" OCENA PONA[ANJA KONSTRUKCIJA NELINEARNOM STATI^KOM ANALIZOM OCENA PONA[ANJA KONSTRUKCIJA PRI "ZAMRZNUTIM POMERANJIMA" 5-8

5 6. KONCEPT SAVREMENIH PROPISA - UVOD U EVROKOD 8 (EC8) 6-6. OP[TI ALGORITAM PROPISA 6-6. ULAZNI SEIZMI^KI PODACI ELASTI^NI SPEKTAR UBRZANJA KLASE DUKTILNOSTI KONSTRUKCIJA DOZVOLJENA VREDNOST FAKTORA REDUKCIJE OPTERE]ENJA - FAKTORA PONA[ANJA PREMA EC PROJEKTNI (NELINEARNI) SPEKTAR UBRZANJA REGULARNOST KONSTRUKCIJE TORZIONA KRUTOST KONSTRUKCIJE KRUTOST TAVANICA U SVOJOJ RAVNI OSNOVNI NOSE]I SISTEM PRI ZEMLJOTRESU PRORAÛNSKA KRUTOST ELEMENATA PROSTORNO DEJSTVO ZEMLJOTRESA PRORAÛN UTICAJA USLED ZEMLJOTRESA EFEKTI DRUGOGA REDA PRERASPODELA UTICAJA KOEFICIJENTI SIGURNOSTI DIMENZIONISANJE, KONSTRUISANJE DETALJA I OBEZBE\ENJE ZAHTEVANE DUKTILNOSTI PROGRAMIRANO PONA[ANJE Faktor preoptere}enja Zidovi Grede Stubovi ^vorovi okvira Konstrukcijski sistem KONTROLA POMERANJA KONSTRUKCIJE KADA SE EFEKTI ZEMLJOTRESA MOGU ZANEMARITI? OKVIRNE KONSTRUKCIJE SA ISPUNOM MONTA@NE KONSTRUKCIJE FUNDIRANJE SEIZMI^KI PRORAÛN PREMA YU PROPISIMA 7-7. ULAZNI SEIZMI^KI PODACI 7-7. ELEMENTI PRORAÛNA SEIZMI^KIH UTICAJA PORE\ENJE EC8 I YU LITERATURA uz Deo A

. REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA O ZEMLJOTRESIMA UVOD U uvodnom delu izlo`eni su osnovni seizmolo{ki pojmovi : opis zemljotresa u prostoru, ja~ina zemljotresa u epicentru - magnutuda, povratni

U nastavku, defini- {u se merljive fizi~ke veli~ine koje su podloga za in`enjerski opis zemljotresa na nekoj lokaciji: ubrzanje, brzina i pomeranje tla, postupak registrovanja - akcelerogrami kao i

6 . REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA O ZEMLJOTRESIMA UVOD U uvodnom delu izloèni su osnovni seizmolo{ki pojmovi : opis zemljotresa u prostoru, ja~ina zemljotresa u epicentru - magnutuda, povratni period zemljotresa kao i opis efekata zemljotresa na objekte i okolinu na nekoj lokaciji - intenzitet. U nastavku, defini- {u se merljive fizi~ke veli~ine koje su podloga za inènjerski opis zemljotresa na nekoj lokaciji: ubrzanje, brzina i pomeranje tla, postupak registrovanja - akcelerogrami kao i njihove empirijske veze sa magnitudom i rastojanjem lokacije od epicentra. Na kraju, dat je primer efekata zemljotresa u Mionici 998. na lokaciji teritorije Beograda.. OPIS ZEMLJOTRESA Zemljotres predstavlja kretanje tla usled naglih tektonskih poreme}aja u delu zemljine kore - àri{tu (hipocentar), na dubini H - àri{na dubina, slila. Zemljotresi sa àri{nom dubinom H<70 km smatraju se plitkim zemljotresima. Oblast na vertikalnoj projekciji àri{ta na povr{inu zemlje naziva se epicentar. Rastojanje objekta od àri{ta odnosno epicentra naziva se àri{no - R odnosno epicentralno - R e rastojanje, slika.. Re - epicentralno rastojanje Lokalno tlo Likvefakcija Epicentar Klizi{te Osnovna stena R - àri{no rastojanje H - àri{na (hipocentar) Slika. Zemljotres - prostorni opis Seizmi~ki talasi izazivaju kretanje osnovne stene ispod objekta, propagiraju kroz lokalno tlo do temelja objekta i izazivaju kretanje temelja i objekta. Lokalna tla u kojima se pri zemljotresu mogu pojaviti likvefakcija ili klizi{te, nazivaju se dinami~ki nestabilnim tlom. Objekti fundirani u takvom tlu nisu predmet narednih razmatranja, pretpostavlja se da je objekat fundiran u stabilnom tlu, bez zna~ajnije interakcije konstrukcije i tla. Mera ja~ine zemljotresa naziva se magnituda zemljotresa - M. Prema Richteru //, veza oslobo ene energije E u àri{tu i magnitude M glasi log 0 E=4,8 +,5M (Joul-a) (.) Zemljotres magnitude M, 3 puta je "ja~i" od zemljotresa magnitude M-, 000 puta ja~i od zemljotresa magnitude M- itd. Za zemljotrese magnitude M<5 smatra se da prakti~no ne izazivaju {tete, dok sa porastom magnitude raste zahva}ena povr{ina kao i intenzitet (El Centro 940. M=6,6 ; Skoplje 963. M=6,0 ; Crna gora 979. M=7,0 ; -

7 Maljen-Mionica 998. M=5,6 ). Smatra se da je najve}a mogu}a magnituda M=9 (Lisabon 755. M=8,6 ). Prose~an vremenski interval T p (godina) izme u pojave dva zemljotresa iste ja~ine naziva se povratni period zemljotresa sa magnitudom M. Ja~i zemljotresi doga aju se re e, sa duìm povratnim periodom. Za zemljotres sa povratnim periodom od T p =50 godina o~ekuje se da se pojavi jedanput u 50 godina, dva puta u 00 godina itd. Recipro~na vrednost povratnog perioda, P=/Tp, predstavlja verovatno}u pojave zemljotresa odre ene ja~ine u jednoj - teku}oj godini. Ocena merodavnog zemljotresa za projektovanje konstrukcija vr{i se prema prihvatljivom riziku za odre eni objekat // : P=0,0 (T p =50 godina) - o{te}enja koja ne zahtevaju popravku, P=0,00 (T p =500 godina) - o{te}enja koja se mogu popraviti, tzv. projektni zemljotres, P=0,000 (T p =5000 godina) - nepopravljiva o{te}enja. Verovatno}a pojave zemljotresa sa povratnim periodom T p u vremenskom intervalu od T godina iznosi P t =-(-P) T. Verovatno}a pojave zemljotresa sa povratnim periodom T p =500 godina u narednih T=0 godina iznosi P 0 =-(-/500) 0 = 0,0 = /50. U periodu od T=T p godina, verovatno}a pojave zemljotresa sa povratnim periodom T p iznosi P Tp = 0,63 (P 50 =P 500 =P 5000 ). Mera efekata, posledica zemljotresa na objekte i okolinu naziva se intenzitet zemljotresa - I na odre enoj lokaciji. Gradacija posledica izraàva se skalama intenziteta, koje mogu da budu opisne (..."padaju dimnjaci, zvone crkvena zvona, otpada malter"...) ili kvantitativne (ubrzanje, brzina, pomeranje tla, ili kombinacija ovih veli~ina). Na osnovu opisnih skala procenjuje se o~ekivana ili dogo ena {teta, ali za analizu efekata zemljotresa na konstrukcije podatak da "zvone zvona" je neupotrebljiv. U Jugoslaviji se koristi MSK-64 skala, sa dvanaest stepeni intenziteta zemljotresa. Zemljotresi intenziteta do {est stepeni ne smatraju se {tetnim, dok na teritoriji Jugoslavije najve}i o~ekivani intenzitet zemljotresa sa povratnim periodom T p =500 godina iznosi devet stepeni. Mada izme u o~ekivane {tete i ubrzanja tla postoji slaba korelacija, ako ne postoje pouzdaniji podaci obi~no se za vezu intenziteta I i gornje granice najve}eg o~ekivanog ubrzanja tla a g pretpostavlja: intenzitet VII-og stepena: a g 0,0 g (zona niskog seizmi~kog intenziteta) intenzitet VIII-og stepena: a g 0,0 g intenzitet IX-og stepena: a g 0,40 g gde je g=9,8 m/s ubrzanje zemljine teè. Pove}anju intenziteta za jedan stepen odgovara dva puta ve}e ubrzanje tla. Prema Siko{eku //, za vezu magnitude M i intenziteta zemljotresa I u epicentru, za teritoriji Jugoslavije moè da se usvoji relacija I =,5M - 0,5 (.) Za odre enu lokaciju - teritoriju, ocena o~ekivanog intenziteta zemljotresa sa razli~itim povratnim periodima T p vr{i se na osnovu seizmi~ke rejonizacije - analize lokalnih geolo{kih uslova, kao i o~ekivanih magnituda, àri{nih dubina i epicentralnih rastojanja zemljotresa koji mogu da se pojave u potencijalnim àri{tima. Rejonizacija moè da bude prose~na - makro-rejonizacija (globalna podela teritorije Jugoslavije, prema kojoj se u Beogradu moè o~ekivati zemljotres intenziteta I=VIII sa povratnim periodom T p =500 godina), ili detaljna - mikro-rejonizacija. Podaci se sistematizuju u obliku seizmolo{kih karata, koje prikazuju intenzitet ili neki merljiv podatak, kao {to je ubrzanje tla. Za potrebe izgradnje stanice "Beograd - Centar" u Prokopu, nakon -

8 seizmi~ke mikrorejonizacije, za maksimalno o~ekivano ubrzanje tla pri zemljotresu sa povratnim periodom T p =500 godina usvojeno je a g =,8 m/s = 0,g, {to je znatno manje od navedene gornje granice ubrzanja tla za VIII-u seizmi~ku zonu od 0,0g.. ZAPISI UBRZANJA TLA U TOKU VREMENA - AKCELEROGRAMI Zemljotres izaziva prostorno kretanje temeljnog tla, koje se moè opisati sa tri translacije i tri rotacije tla - "{est stepeni slobode". U zoni epicentra jakih zemljotresa obi~no su izraène sve komponenete kretanja, dok se za ocenu odgovora konstrukcije udaljenijih objekata rotacije tla obi~no mogu zanemariti. Kako se pouzdanost konstrukcija ionako proverava za efekte gravitacionih optere}enja, to se naj~e{}e zanemaruju i vertikalna ubrzanja tla usled zemljotresa. Mada zemljotres u su{tini izaziva "prinudna pomeranja" konstrukcija, naj~e{}e se njegovi efekti opisuju preko ubrzanja mase konstrukcije, kao jo{ jedan slu~aj horizontalnog optere}enja, analogno dejstvu vetra. Podaci o o~ekivanim ubrzanjima tla zasnivaju se, izme u ostalog, i na zapisima Ubrzanje tla - a g (t) T g t D Vreme - t (s) max a g Slika. Karakteristike zapisa ubrzanja tla ubrzanja tla u toku trajanja zemljotresa - akcelerogramima, koji se registruju pomo}u ure aja akcelerografa. Za ocenu efekata zemljotresa na konstrukcije zna~ajni su podaci: maksimalno registrovano ubrzanje tla - max a g (na dalje - a g ), trajanje jakog dela zemljotresa - t D, predominantni period oscilovanja tla - T g, slika.. Na osnovu registrovanih ubrzanja, analiti~ki se mogu dobiti zapisi promene brzine tla - v g odnosno pomeranja tla - d g u toku vremena, slika.3b-c. Ra~unska apsolutna pomeranja tla su problemati~an podatak, jer se dobijaju nakon dvostruke integracije dijagrama ubrzanja tla, kome obi~no nedostaje po~etni deo, dok se akcelerograf automatski ne uklju~i. Zapisi ubrzanja obi~no se koriguju, pa kako postupci korekcije vremenom napreduju, menja se i ra~unsko pomeranje tla zemljotresa El Centro iz 940. godine. Prema Naumoskom //, maksimalno ubrzanje tla a g (cm/s ) zemljotresa magnitude M, na lokaciji sa àri{nim rastojanjem R - atenuacijska formula, moè da se oceni prema relaciji maksimalna o~ekivana brzina tla v g (cm/s) iznosi a g = 654e 0,54 M /(R+0),33 (.3) v g = 4,43e 0,94 M /(R+0),38 (.4) a maksimalno o~ekivano pomeranje tla d g (cm) moè da se oceni pomo}u relacije d g = 0,060e,0 M /(R+0),34 (.5) Prema Paulay //, veza maksimalnog ubrzanja tla a g (m/s ) i intenziteta zemljotresa I na jednoj lokaciji moè da se prikaè u obliku a g = 0 -,40 + 0,34 I odnosno (.6) I = (log 0 a g +,40)/0,34 (.7) -3

9 Ubrzanje (g) Brzina (mm/s) Pomeranje (mm) a. b. c. El Centro '40 a g =0,3g El Centro '40 v g =36mm/s El Centro '40 d g =4mm Vreme (s) Ubrzanje (g) Ubrzanje (g) Ubrzanje (g) d. e. f. Petrovac '79 a g =0,30g Vreme - (s) Ulcinj '79 a g =0,4g Beograd '98 a g =0,03g Slika.3 Zapisi zemljotresa: a)el Centro (zemljotres Imperial Walley, California, 940., komponenta EW, M=6,6), b-c) El Centro - brzina i pomeranje tla, d)petrovac (Crna Gora 979., komponenta EW, M=7,0), e)ulcinj (Crna Gora 979., komponenta EW, M=7,0), f)beograd (Mionica , komponenta EW, M=5,6, epicentralno rastojanje R e =74 km, dubina àri{ta H=6 km). Zapis "Beograd" registrovan je na sarmatskim kre~njacima ("lokalno tlo"), na stanici Ta{majdan Republi~kog seizmolo{kog zavoda u Beogradu. ag (g) M=8 M=7 M=6 70 km 0.5. M= M= M=6 0.4 a. 0. b km c. ag (g) Period Tg (s) R (km) Intenzitet - I R (km) Slika.4 (a) atenuacijska kriva prema (.3); (b) ubrzanje tla - intenzitet prema (.6); (c) predominantni period oscilovanja tla T g u zavisnosti od magnitude i àri{nog rastojanja // Prema Watabe-u //, trajanje jakog dela zemljotresa t D (s) moè da se proceni prema relaciji t D = 0 (M-,5)/ 3,3 (.8) -4

10 Prema Seed-u //, predominantni period sopstvenih oscilacija tla T g na nekoj lokaciji raste sa porastom magnitude M, ali i sa pove}anjem àri{nog rastojanja R, slika.4.c - "tlo filtrira" visoke frekvence sopstvenih oscilacija. Navedene empirijske relacije treba shvatiti kao kvalitativne, izme u ostaloga i zbog toga {to su preuzete od razli~itih autora, pa je mogu}a neusagla{enost veli~ina, intenziteta na primer. Primer.... Na osnovu ocenjene magnitude M=5,6 i dubine àri{ta H=6 km zemljotresa u Mionici 989. godine, analiti~ki odrediti parametre kretanja tla u epicentru i na lokaciji Beograd, R R e =74 km. Prema (.), intenzitet zemljotresa u epicentralnom podru~ju Mionice 998. godine iznosio je I =,5x5,6-0,5 = 7,9 {to se dobro slaè sa registrovanim o{te}enjima na terenu. Prema (.3), maksimalno prose~no ubrzanje tla u Beogradu iznosi a g = 654e 0,54x5,6 /(74+0),33 =3,9cm/s = 0,03g dok je na stanici Ta{majdan, na kre~njacima, registrovano ubrzanje od 0,03g, slika.3.f. Prema (.4), maksimalna brzina tla u Beogradu iznosi v g = 4,43e 0,94x5,6 /(74+0),38 =,6 cm/s dok se integracijom registrovanih ubrzanja dobija vrednost v g = 0,85 cm/s. Prema (.5), maksimalno pomeranje tla u Beogradu iznosi d g =0,060e,0x5,6 /(74+0),34 = 0, cm dok se integracijom registrovanih ubrzanja dobija vrednost d g = 0,07 cm. Prema (.7), ra~unski intenzitet zemljotresa u Beogradu iznosi I=(log 0 0,03x9,8 +,40)/0,34 = 5,6 dok se ocene kre}u u granicama I=5-5,5. Prema (.8), trajanje jakog dela zemljotresa iznosi t D = 0 (5,6-,5)/3,3 = 9, s {to se slaè sa merenjima. Prema slici.4c, predominantni period sopstvenih oscilacija tla je u granicama T g = 0,5-0,30 s, {to ukazuje da je ovaj zemljotres bio najopasniji za krute konstrukcijske sisteme, sa niskim periodom sopstvenih oscilacija. Ukupni utisak je da predloèni izrazi prihvatljivo opisuju merene i osmatrane veli~ine. I pored niskog intenziteta registrovanog u Beogradu, zemljotres sa epicentrom u Mionici izazvao je prili~no uznemirenje u Beogradu, pa i mala o{te}enja na pojedinim starijim objektima. Prema re~ima svedoka, na pojedinim lokacijama pojavila se i panika u visokim objektima. -5

11 Generalno, zemljotresi ~ija je duìna trajanja jakog dela t D <0 sekundi, kod kojih je predominantni period oscilacija tla T g < sekunde i kod kojih je odnos ubrzanja i brzine tla a g /v g >, spadaju u zemljotrese visoke frekvence, kratkog trajanja i niske energije. Takav je bio i mioni~ki zemljoters (a g / v g =0,03x98/0,85 = 6,5 /s > ). Prema vaè}oj rejonizaciji teritorije Jugoslavije, Beograd se nalazi u VIII-oj, a Mionica u IX-oj zoni seizmi~kog intenziteta, prema skali MSK-64. Utisak je pojedinih gra evinaca kao i seizmologa da su o~ekivani efekti zemljotresa na teritoriji Beograda precenjeni. Ako je àri{te u podru~ju Mionice, pri zemljotresu magnitude M=5,6, u Beogradu izazvalo ubrzanje od samo 0,0g na steni, postavlja se pitanje koje je to àri{te, i kolika je energija potrebna da se iniciraju ubrzanja od oko 0,g, sa povratnim periodom od T p =500 godina? Beograd je podru~je sa najve}om koncentracijom stanovni{tva i materijalnih dobara u Jugoslaviji, pa pri dono{enju budu}ih propisa i utvr ivanju karata ubrzanja tla treba izvr{iti ozbiljne analize. Izneta dilema ni u kom slu~aju nije prilog pau{alnim procenama tipa "ma kakav zemljotres!". [ta moè da se dogodi na teritoriji Beograda prvenstveno treba da procene seizmolozi. Za gra evince je to jedno od dejstava na konstrukcije, ma koliko iznosilo. I slab zemljotres moè da bude opasan za lo{a konstrukcijska re{enja. -6

12 . PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU LINEARNO ELASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE UVOD Poznavanje pona{anja konstrukcije, uz pretpostavku njenog elasti~nog odgovora na kretanje tla pri zemljotresu je osnovni podatak za ocenu efekata zemljotresa na konstrukcije. Realne konstrukcije naj~e{}e imaju vi{e stepeni slobode, ali je prvi ton oscilacija naj~e{}e dominantan, i predstavlja osnovu ve}ine propisa u ovoj oblasti. Nakon definisanja osnovnih pojmova iz dinamike konstrukcija, prikazan je odgovor dva elasti~na sistema sa jednim stepenom slobode, na dva karakteristi~na zapisa ubrzanja tla - akcelerograma. U nastavku, re{enje se generalizuje na ceo opseg sopstvenih perioda realnih gra evinskih konstrukcija, formulisanjem elasti~nih spektara ubrzanja i pomeranja.. REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA IZ DINAMIKE KONSTRUKCIJA Za opisivanje kretanja jedne mase konstrukcije u prostoru u op{tem slu~aju potrebno je {est komponenti pomeranja, tri translacije i tri rotacije mase. Zavisno od dispozicije konstrukcije, rasporeda masa kao i pravca dejstva dinami~ke pobude - kretanja tla, broj nezavisnih komponenti pomeranja koji je dovoljan da se opi{e kretanje se smanjuje, i naziva se broj stepeni slobode. U slu~aju dominantnog horizontalnog kretanja jedne mase u ravni, govori se o sistemu sa jednim stepenom slobode - nepoznatim horizontalnim pomeranjem mase d(t) u toku vremena, slika.. d αh d d d 3 F W W W W W W H k h M,Q N M,Q h α b d = + αη + d + d + d 3 Slika. Komponente pomeranja sistema sa jednim stepenom slobode Pri dejstvu spoljne stati~ke sile F, horizontalno pomeranje d mase u op{tem slu~aju posledica je vi{e komponenti pomeranja: pomeranja δ usled klizanja temelja, pomeranja αh usled rotacije temelja za ugao α, pomeranje d i d 3 usled deformacija savijanja i smicanja i pomeranja d usled aksijalnog optere}enja pojedinih delova konstrukcije, slika. d = + αh + d + d + d 3 = δf = F/k (.) Ukupno pomeranje δ usled jedini~ne sile F=, naziva se fleksibilnost konstrukcije ("matrica fleksibilnosti"), dok se inverzna vrednost k=/δ naziva krutost konstrukcije na pomeranje ("matrica krutosti"). U ve}ini slu~ajeva, fleksibilnost odnosno krutost konstruk- -

13 cije mogu dovoljno ta~no da se odrede samo iz deformacija savijanja, na osnovu krutosti EI preseka na savijanje. Pri kretanju tla sa zna~ajnijim ubrzanjem d" g (t), problem postaje dinami~ki, jer se u konstrukciji javljaju i inercijalne sile. Osnovne dinami~ke karakteristike sistema su period sopstvenih oscilacija sistema odnosno kru`na frekvenca sopstvenih oscilacija gde je m - masa sistema. T=π (m/k) = π (mδ) (.) ω = π/t = (k/m) (.3) M M M F I M P ef F F K C H k,c k,c W a. b. c. d. F C F K d" g d t = d g + d d Slika. Osnovni parametri dinami~kog modela Ukupno pomeranje d t mase u odnosu na po~etni poloàj u prostoru jednako je zbiru pomeranja d g konstrukcije kao krutog tela zajedno sa tlom, slika..b, i relativnog pomeranja d mase u odnosu na temelj, slika..c. Totalno, apsolutno ubrzanje mase u prostoru iznosi d t " = d" g + d". Odgovor konstrukcije na kretanje tla sa promenljivim ubrzanjem d" g (t) moè da se odredi na osnovu re{enja problema relativnog kretanja mase konstrukcije sa nepomerljivim temeljom, optere}ene efektivnom dinami~kom silom u centru mase P ef =-md" g slika..d. U svakom trenutku vremena t, rezultanta horizontalnog "spoljnog opetre}enja" - zbir efektivne P ef i inercijalne sile F I = md" usled relativnog ubrzanja, u ravnoteì je sa unutra{njim silama konstrukcije, otporu elasti~ne konstrukcije pomeranjima - F K =kd, i sili prigu{enja kretanja F C =cd', gde je c - viskozno prigu{enja a d' - relativna brzina kretanja, slika..d Podeljena sa masom m, jedna~ina (.5) glasi P ef - F I - F k - F c = 0 odnosno (.4) md" + cd' + kd = -md" g (.5) d" + ξωd' + ω d = -d" g (.6) gde je ξ=c/mω koeficijent prigu{enja, a A(t)=ω d "pseudo ubrzanje" mase. Za veli~ine koeficijenta prigu{enja ξ<0,0, pseudo ubrzanje, koje odre uje iznos naprezanja konstrukcije prakti~no je jednako totalnom ubrzanju, koje uti~e kako na ljude, tako i na opremu objekta, (d" g + d") ω d. -

14 U slu~aju kretanja tla, re{enje d(t) d(t) F K (t) F K (t)=kd(t) jedna~ine (.6) moè da se odredi u obliku Duhamel-ovog integrala, ili se primenjuju numeri~ke metode, kao {to je Njumarkova metoda sa konstantnim ubrzanjem /3/, /4/. Ulazni podatak je promena ubrzanja tla u toku vremena d" g (t), definisana zapisima a. b. ubrzanja tla - akcelerogramima, slika.3. êsto se umesto registrovanih vrednosti ubrzanja koriste skalirane vrednosti Slika.3 Interpretacija rezultata analize ubrzanja tla. Oblik zapisa se zadràva, ali se sve ordinate akcelerograma multiplikuju odnosom a g / maxd" g (t), tako da maksimalno ra~unsko ubrzanje tla bude jednako èljenoj vrednosti a g. Rezultati analize se tradicionalno prikazuju u obliku sile elasti~nog otpora konstrukcije F k (t)=ma(t)=mω d(t) - koncept"zemljotresa kao spoljnog optere}enja", slika.3.a. Danas je trend da se efekti zemljotresa interpretiraju kao "prinudno relativno pomeranje" konstrukcije, dok je sila F(t)=kd(t) u op{tem slu~aju funkcija krutosti k konstrukcije, slika.3.b. T=0,5s El Centro a g =0,g T=,5s Apsolutno pomeranje (mm) Relativno pomeranje (mm) ,7-60 a b. 0,58 T 0,5s Pomeranje tla Pomeranje konstr. Pseudo ubrzanje Ubrzanje tla d. e. Pomeranje tla Pomeranje konstr f. 66, T,5s Pseudo ubrzanje Ubrzanje tla Ubrzanje (g) c. Vreme t (sec) , Vreme t (sec) Slika.4 Odgovor elasti~ne konstrukcije na zapis El Centro -3

15 Primer... Njumarkovom metodom odrediti odgovor elasti~ne konstrukcije sa jednim stepenom slobode na uticaj zapisa El Centro prema slici.3.a, skaliranog na maksimalno ubrzanje tla a g =0,g. Analizirati dva slu~aja konstrukcija, sa periodom sopstvenih oscilacija T=0,5s odnosno T=,5s. Za vrednost koeficijenta prigu{enje usvojiti ξ=5%. Na slici.4 prikazani su rezultati analize sa korakom integracije od 0,0 sekunde: ukupna - apsolutna pomeranja tla odnosno mase konstrukcije (sl..4.a i d), relativna pomeranja mase u odnosu na temelj (sl..4.b i e) kao i vrednosti ubrzanja tla odnosno pseudo ubrzanja mase konstrukcije A(t)/g, (sl..4.c i f). Tlo sa sobom "nosi" konstrukciju, i nizom impulsa ubrzanja u toku vremena izaziva sopstvene oscilacije i relativna pomeranja mase. Nepravilan niz impulasa u oba slu~aja izaziva oscilacije konstrukcije sa periodama prakti~no jednakim sopstvenim periodima oscilovanja T=0,5 odnosno T=,5s. Konstrukcija sa ni`om periodom T=0,5s ima manja relativna pomeranja u odnosu na mek{u konstrukciju, {to je op{ti trend i za druge zapise, ali ne i pravilo. U oba slu~aja maksimalno ubrzanje tla je naravno 0,g, ali se kod kru}e konstrukcije, sa ni`om periodom ubrzanja mase dodatno uve}avaju, amplifikuju na iznos 0,58g, dok je u slu~aju "mek{e" konstrukcije pseudo ubrzanja od 0,g manje od ubrzanja tla. Vrednost faktora amplifikacije - odnos maksimalnog ubrzanja konstrukcije i tla iznosi β 0 = 0,58g/0,g =,9 (T=0,5s) odnosno β 0 = 0,g/0,g = 0,6 (T=,5s). Primer... Njumarkovom metodom odrediti odgovor elasti~ne konstrukcije sa jednim stepenom slobode za uticaj zapisa Petrovac prema slici.3.d, skaliranog na maksimalno ubrzanje tla a g =0,g. Analizirati dva slu~aja konstrukcija, sa periodom sopstvenih oscilacija T=0,5s odnosno T=,5s. Za vrednost koeficijenta prigu{enje usvojiti ξ=5%. T=0,5 s Petrovac a g =0,g T=,5 s Relativno pomeranje (mm) Ubrzanje (g) a. b. 60,5 0,97 Pseudo ubrzanje Ubrzanje tla c d. 30,3 0,054 Pseudo ubrzanje Ubrzanje tla Vreme t (sec) -.0 Vreme t (sec) Slika.5 Odgovor konstrukcije na zapis Petrovac -4

16 Na slici.5 prikazani su rezultati analize sa korakom integracije od 0,0 sekunde: relativna pomeranja mase u odnosu na temelj (sl..5.a i c) kao i vrednosti ubrzanja tla odnosno pseudo ubrzanja mase konstrukcije A(t)/g, (sl..5.b i d). U ovom slu~aju konstrukcija sa niòm periodom ima ve}a relativna pomeranja. Ubrzanja kru}e konstrukcije se amplifikuju 4,85 puta na iznos od ~ak 0,97g, dok u slu~aju mek{e konstrukcije, pseudo ubrzanje iznosi samo 0,054g. Dva navedena primera pokazuju da za odgovor konstrukcije nije bitan samo iznos maksimalnog ubrzanja tla nego i predominantni period oscilacija tla T g, slika.4.c kao i frekventne karakteristike zemljotresa - tok promene ubrzanja u vremenu. Sa druge strane, za isti zapis, odgovor konstrukcija sa razli~itim periodama sopstvenih oscilacija se razlikuje.. SPEKTRI ODGOVORA ELASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE KRETANJA Za isti zapis ubrzanja tla d" g (t), svi elasti~ni sistemi sa istim periodom T, odnosno kru`nom frekvencom sopstvenih oscilacija ω (m/k=const) i prigu{enjem ξ pona{aju se identi~no u toku trajanja zamljotresa, i dostiù iste ekstremne vrednosti relativnih pomeranja, relativnih brzina odnosno totalnih - pseudo ubrzanja. Ukoliko se ordinate ubrzanja tla pomnoè, normalizuju faktorom α, u istom odnosu promeni}e se i odgovoraju}e ekstremne vrednosti. Projektante u praksi obi~no interesuju upravo ove ekstremne vrednosti, jer defini{u maksimalno naprezanje i pomeranje konstrukcije, ali za o~ekivani zemljotres na datoj lokaciji, za koji se eventualno zna o~ekivano maksimalno ubrzanje tla a g, ali ne i tok, frekventne karakteristike zemljotresa. Zbog toga se za analizu naj~e{}e koriste zapisi dogo enih zemljotresa, ili se matemati~ki formiraju simulacije - sintetizovani zapisi ubrzanja tla, skalirani na o~ekivano maksimalno ubrzanje tla a g. Postupkom prikazanim u prethodnim primerima, efekti pojedinih zapisa Z ubrzanja tla na konstrukcije sa razli~itim priodama T i mogu da se sistematizuju u obliku spektra odgovora, koji prikazuju maksimalni odgovor konstrukcije - pomeranje, brzinu ili ubrzanje, ~iji je algoritam prikazan na slici.6. T n ξ=5% d(t) T T i D=max d(t) Pomeranje D Z Zj Z m D (T ) D n (T n ) D i (T i ) Period T Start Novi zapis ubrzanja tla - Z V=ωD A=ω D Slika.6 - Algoritam formiranja spektra odgovora Za izabrani zapis Z (El Centro na primer), numeri~kom integracijom sra~unava se odgovor konstrukcija sa razli~itim periodama T -T n. Za svaku od perioda T i, registruje se -5

17 maksimalno sra~unato pomeranje sistema D=maxd(t), na osnovu ~ega se formira dijagram, spektar pomeranja D(T) za zapis Z. Umesto sra~unatih maksimalnih relativnih brzina i totalnih ubrzanja, obi~no se koriste pseudo vrednosti brzina - V=ωD odnosno pseudo ubrzanja A=ω D, za koja je re~eno da su prakti~no jednaka totalnim ubrzanjima mase. Postupak se ponavlja sa novim zapisima ubrzanja tla (Petrovac na primer), ~ime se dobija familija spektra odgovora, koji se obi~no normalizuju ili na ubrzanje zemljine teè g, ili na maksimalno o~ekivano ubrzanje tla a g. Primer.3... Za zapise ubrzanja tla El Centro, Petrovac, Ulcinj i Beograd, formirati elasti~ne spektre pseudo ubrzanja i relativnih pomeranja u intervalu perioda T=0,0-3,0s, prigu{enje ξ=5%. Na slici.7 prikazani su rezultati prora~una, normalizovani na maksimalno ubrzanje tla a g. Na dijagramima su ozna~ene i prethodno dobijene vrednosti iz primera. i.. Op{ti trend je da sa produènjem perioda oscilacija konstrukcije opada vrednost maksimalnih ubrzanja ali i raste vrednost maksimalnih pomeranja konstrukcije. Zapisi Petrovac i Ulcinj registrovani su istovremeno, pri istom zemljotresu, ali na razli~itim lokacijama. Razlike spektara odgovora ukazuju na zna~aj lokalnih efekata tla, koji mogu znatno da izmene frekventni sastav oscilacija tla koje poti~u iz istog izvora - àri{ta zemljotresa. 5 Beograd 4, Ulcinj 4 Petrovac 0.5 0,4 A (ag ) = A/a g 3,87,97 Ulcinj,8 D( a g ) = D/a g (s) ,03 0,08 0,0 El Centro El Centro 0,59 Beograd 0,7 Petrovac Period (s) ,034Petrovac 0,05 Beograd Period (s) Slika.7 Spektar odgovora: a) pseudo ubrzanja i b) relativnog pomeranja elasti~nog sistema Primer.4... Za elasti~nu konstrukciju sa periodom oscilovanja T=,5s, odrediti maksimalno relativno pomeranje i ubrzanje za efekte zemljotresa "tipa" El Centro sa maksimalnim ubrzanjem tla a g = 0,g. Prema slici.7.b, maksimalno pomeranje iznosi D = a g D(a g ) = 0,g x 0,034 = 0,x980x0,034 = 66,7 mm. Prema slici.7.a, maksimalno ubrzanje iznosi A = a g A(a g ) = 0,g x 0,59 = 0,8g (=ω D /g = (π /,5) x66,7/980) -6

18 Za sistem sa masom m, maksimalna vrednost reakcije konstrukcije - ra~unskog seizmi~kog optere}enja F iznosi F = ma = 0,8mg Transverzalna sila i moment uklje{tenja konzole visine H iznose Q=F odnosno M=FH. Primer.5... Za konzolu visine H=6,67m, sa te`inom konstrukcije na vrhu W=300 kn, odrediti potreban moment inercije I stuba punog kvadratnog popre~nog preseka, tako da pri zemljotresu El Centro, sa maksimalnim ubrzanjem tla od a g =0,g pomeranje vrha konzole D bude jednako % od visine konzole H. Moduo elasti~nosti beton E=50 GPa. Masa konstrukcije iznosi m = W/g=300/9,8 = 30,58 kns /m Dozvoljeno pomeranje vrha konstrukcije iznosi maxd=%h = 0,0 x 6,670 m = 0,0667 m odnosno maxd/a g = 0,0667/0,x9,8 = 0,034 s Prema slici.7.b, za zapis El Centro i vrednost D(a g )= 0,034 s, sledi da konstrukcija treba da ima period oscilovanja od T=,5s. Kako je T=π (mδ), to pomeranje vrha konzole usled stati~kog dejstva jedini~ne sile δ=h 3 /3EI treba da iznosi δ = (T/π) /m = (,5/π) /30,58 =, m pa je poti = H 3 /3Eδ = 6,67 3 /3 x,5 0 7 x, =, 0-3 m 4. Potrebna dimenzija b stuba kvadratnog popre~nog preseka iznosi b=( x poti) /4 = ( x, 0-3 ) /4 = 0,40 m. -7

19 3. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU NELINEARNIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE UVOD Nivo optere}enja elasti~ne konstrukcije usled zemljotresa moè, u slu~aju izuzetno zna~ajnih objekta da se usvoji kao projektno optere}enje konstrukcije pri zemljotresu, ili da se kontrolisano smanji. Klasi~ni koncept smanjenja nivoa optere}enja zasniva se na dopu{tanju nelinearnog odgovora konstrukcije, uz pojavu kontrolisanih o{te}enja konstrukcije. Nakon obja{njenja osnovnih pojmova dinamike elasto-plasti~nih sistema, ilustruje se postupak formiranja nelinearnog spektra ubrzanja, uspostavljanjem veze raspoloìve duktilnosti pomeranja konstrukcije i dozvoljenog nivoa redukcije seizmi~kog optere}enja. Polaze}i od nelinearnog spektra ubrzanja, izloèn je op{ti algoritam projektovanja seizmi~ki otpornih konstrukcija, koji je osnova svih propisa. Na kraju, osim jednostavnog kriterijuma iscrpljenja konstrukcije dostizanjem kapaciteta deformacija pri monotonom stati~kom optere}enju, formulisan je i kombinovani kriterijum, kao podloga za definisanje ekvivalentne duktilnosti pomeranja, ~ime se obuhvata i cikli~na istorija deformacija konstrukcije pri zemljotresu. 3. TRADICIONALNA - SAVREMENA ZA[TITA KONSTRUKCIJA OD ZEMLJOTRESA Nivo seizmi~kog optere}enja pri elasti~nom odgovoru konstrukcija obi~no je izuzetno visok, i te{ko ga je konstrukcijskim merama prihvatiti. Pri tome, ve} je uvo enje viskoznog prigu{enja od ξ = 5% zna~ajno, ali ne i dovoljno ublaìlo efekte zemljotresa, slika 3. - pseudo ubrzanje konstrukcije normalizovano na ubrzanje zemljine teè. Ubrzanje (g) Prigu{enje 0% Prigu{enje 5% Prigu{enje 0% Vreme (s) Slika 3. Efekat viskoznog prigu{enja, T=0,5s Slika 3. "Stabilan sistem" pri kretanju Problem ima i svoju ekonomsku stranu, kao i uvek - uloìti sredstva pri gra enju za ne{to {to se mo`da ne}e ni desiti, ili prihvatiti rizik o{te}enja i eventualnih popravki? Pri razmi{ljanju kako da se konstrukcija racionalno adaptira zemljotresu, da se za{titi od preoptere}enja usled prinudnih pomeranja izazvanih pomeranjem tla koje ne moèmo da spre~imo, treba imati u vidu da su pri dinami~kim pojavama mogu}i i konstrukcijski sistemi - privremeni mehanizmi koji su "stabilni" dok traje kretanje, slika 3.. Kod realnih konstrukcija, potrebno je ipak obezbediti stabilnost sistema pre i nakon prestanka kretanja, kao i ograni~iti mogu}u trajnu deformaciju sistema. Tradicionalni koncept smanjenja efekata zemljotresa zasniva se na umanjenju seizmi~kog optere}enja putem adaptacije krutosti osnovne nose}e konstrukcije pomeranjima 3-

20 usled zemljotresa, slika 3.3, {to podrazumeva pojavu odre enog nivoa o{te}enja konstrukcije - neelasti~an tj. nelinearan odgovor konstrukcije. Usvojeni iznos prigu{enja od 5% tako e podrazumeva pojavu nagla{enijih prslina. Paradoks? Manja sila - ve}a o{te}enja W W W W F e W F < F e!? Elasti~an odgovor konstrukcije Neelasti~an odgovor konstrukcije a. b. O{te}enja a. b. c. Slika 3.3 Tradicionalni koncept gra enja i za{tite od zemljotresa Slika 3.4 Savremeni koncepti gra enja i za{tite od zemljotresa Deluje kao paradoks da konstrukcija sa manjim optere}enjem F<F e ima ve}a o{te}enja, slika 3.3.b, ali redosled je obrnut, optere}enje je niè jer je upravo pojavom o{te}enja snièna krutost konstrukcije, tipi~no za uticaje prinudnih pomeranja. Ako se ne moè spre~iti pomeranje tla, konstrukcijski je mogu}e u horizontalnoj ravni prese}i, izolovati temelj konstrukcije od kretanja tla, konceptualni primer savremene za{tite konstrukcija - ku}a "na to~kovima" na slici 3.4.a. Ovaj koncept je efikasan u slu~aju krutih konstrukcija, produàva se period oscilovanja i smanjuje se efektivna sila P ef. Ono {to je bitno, treba ublaìti pobu ivanje kretanja mase usled propagiranja oscilacija kroz konstrukciju. Ako je glavna masa konstrukcije visoko, stubovi mogu da se za{tite postavljanjem dinami~ke izolacije ispod mase, primer konstrukcija krovova velikih raspona na neoprenskim leì{tima na vrhu stubova, konceptualno re{enje prema slici 3.4.c. U oba navedena slu~aja, relativna pomeranja mase konstrukcije u odnosu na podlogu - smicanje leì{ta ~esto je merodavan kriterijum za realizaciju za{tite. Za{tita konstrukcija moè da se ostvari i intervencijama koje modifikuju prigu{enje kretanja. Efekti prigu{enja mogu da se poja~aju dodavanjem posebnih "dampera" - prigu{iva~a, slika 3.4.b, sistem pogodan u slu~aju fleksibilnih konstrukcija. Tradicionalni na~in gra enja i za{tite jo{ uvek preovla uje, i u propisima pa i u praksi, tako da se naredne analize odnose na ovaj koncept. Ako pri prinudnim pomeranjima treba ograni~iti nivo naprezanja nelinearnim odgovorom konstrukcije, tada je elastoplasti~an model odgovora konstrukcije svakako najjednostavniji. 3. OSNOVI DINAMIKE ELASTO-PLASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Na slici 3.5 ilustrovan je sistem sa jednom masom m za koji se pretpostavlja da je konstrukcijskim merama obezbe ena elasto-plasti~na veza sile F i pomeranja d vrha konstrukcije. Pri prinudnom pomeranju vrha d m, reakcija elasti~nog sistema sa kruto{}u k iznosila bi F e = kd m, ta~ka I na slici 3.5.b. Pri pomeranju d m, akumulirana potencijalna energija jednaka je zbiru povr{ina E e + E e + E h, slika 3.5.b. Ukoliko se sistem oslobodi oslonca, nastupi}e oscilacije du` prave I-II, sa periodom oscilovanja T=π (m/k), uz stalnu izmenu 3-

21 kineti~ke i potencijalne energije. Ukoliko nema prigu{enja, F I amplitude oscilacija jednake su M F E EP e po~etnom pomeranju d m - elasti~an sistem "se se}a" stanja iz k E e 6 F y 3 d p koga je izveden i reaguje -d m E h d d "koleri~no". d y d p d m m 5 Pretpostavimo da je elasti~ni nivo optere}enja F e kon- -F k (ξ=0) y 4 E e k -F strukcijski neprihvatljiv, i da a. II e b. `elimo da ga smanjimo na iznos F y = F e /R, gde je R usvo- Slika 3.5 Dinamika elasto-plasti~nog - EP sistema jena vrednost faktora redukcije elasti~nog optere}enja. Pri prinudnom pomeranju d m, elasto-plasti~an sistem (EP - sistem) sa istom inicijalnom kruto{}u k "sti}i }e" u ta~ku 3 na slici 3.5.b. Akumulirana potencijalna energija EP sistema jednaka je povr{ini E e, jer je znatan deo unete energije E h nepovratno izgubljen proizvo enjem trajne deformacije d p. Osloba anjem od oslonca, EP sistem }e da osciluje u "pomerenom polo`aju", sa smanjenim ubrzanjem i amplitudom, po pravoj 3-4 odnosno izme u ta~aka M-EP na slici 3.5.a. Kako su masa i inicijalna krutost isti, to je i period oscilovanja EP sistema jednak periodu oscilovanja elasti~ne konstrukcije. Zavisno od nosivosti F y odnosno stepena redukcije optere}enja R, EP sistem akumulira manje potencijalne energije - delimi~no "zaboravlja odakle je krenuo", adaptira se trajnim deformacijama, reaguje relativno "flegmati~no". Pomeranje (mm) F/(mag) a. b. 0,g 0,s Vreme (s) F y =maxf e /R R=,0 R=,5 R=5,0 R=0 R=,0 R=,5 R=5,0 R= Slika 3.6 Odgovor EP sistema na impuls ubrzanja tla Ukoliko je u pitanju monotoni stati- ~ki opit cikli~nih deformacija, pri "rastere}enju", pomeranju iz ta~ke 3 u suprotnom smeru, odgovor EP sistema opisan je "putem" itd. Primer 3... Za sistem sa jednom masom i periodom oscilovanja T=0,5s, odrediti odgovor sistema na impuls ubrzanja tla koji linearno raste od a g (t=0)=0 do a g (t=0,s)=0,g, slika 3.6.a. Za vrednosti faktore redukcije usvojiti R= (elasti~an sistem),,5, 5 i 0, a za prigu{enje ξ = 0. Za re{enje nelinearnog dinami~kog problema upotrebljen je program DIANA - TNO Delft /5/. Zadatak je re{en primenom Njumarkove metode integracije i modifikovane Njutn-Rapsonove iterativne procedure /3/,/4/. Na slici 3.6.a prikazana su relativna pomeranja, a na slici 3.6.b optere}enje odgovaraju}e konstrukcije, normalizovano na proizvod mase i maksimalnog ubrzanja tla - pseudo ubrzanje konstrukcije. Kao {to je i nagove{teno, nakon prestanka kretanja 3-3

22 tla (t=0,s), EP sistemi osciluju u pomerenom - deformisanom polo`aju, sa smanjenim ubrzanjem odnosno optere}enjem sistema, limitiranim usvojenom nosivo{}u sistema F y. 3.3 ODGOVOR NA ZEMLJOTRES ELASTO-PLASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Pretpostavimo da je poznat odgovor elasti~ne konstrukcije sa kruto{}u k na dati zapis ubrzanja tla, maksimalno seizmi~ko optere}enje F e i relativno pomeranje d e, slika 3.7. Potrebno je odrediti tok i maksimalnu vrednost pomeranja d m EP sistema sa istom inicijalnom kruto{}u k, ali sa redukovanom nosivo{}u F y =F e F e F y = F e /R R F d y k EP µ d E d e I 3 d m =µ d d y 4 Lom Slika 3.7 Osnovni parametri EP modela d u d /R i odgovaraju}im pomeranjem d y na granici dostizanja nosivosti tj. granici elasti~nosti. Odnos µ d = d m /d y naziva se potrebna duktilnost pomeranja sistema. Da bi se obezbedila stabilnost konstrukcije, kapacitet pomeranja konstrukcije d u treba da je ve}i od o~ekivanog maksimalnog pomeranja d m pri zemljotresu. Cilj nelinearnih dinami~kih analiza naj~e{- }e je utvr ivanje potrebne duktilnosti pomeranja pri usvojenoj redukciji nosivosti sistema. Jedna~ine kretanja (.6) i dalje va`e na po~etnom delu -, dok na delu -3 glasi md" + cd' + F y = -md" g (3.) a na delu 3-4, slika 3.5.b md" + cd' + k(d-d p )= -md" g (3.) Primer 3. Za zapise El Centro, Petrovac i Ulcinj, analizirati odgovor elasto - plasti~nih sistema sa periodom oscilovanja T=0,5,,5 i 3,0 sekunde, za vrednosti faktora redukcije R=,5, 5 i 0. Za sva tri zapisa, za maksimalno ubrzanje tla usvojiti a g =0,g. U prvom koraku odre eno je maksimalno optere}enje elasti~nog sistema F e, i potom su formirani elasto-plasti~ni sistemi sa redukovanom nosivo{}u u odnosu na zahtevanu nosivost elasti~nog sistema F e. U Tabeli dat je prikaz rezultata analiza za sve zapise i periode oscilovanja, dok je na slici 3.8 prikazan vremenski odgovor konstrukcije sa periodom T=0,5 sekundi usled zemljotresa El Centro. Kriva R= predstavlja odgovor elasti~ne konstrukcije, koji je prethodno prikazan i na slici.4. Tabela Period T R A/a g D/a g µ d DM A/a g D/a g µ d DM A/a g D/a g µ d DM El Centro Petrovac Ulcinj

23 a. El Centro a g =0,g T=0,5s Pomeranje (mm) R= R=,5 R=5 R= ,6 33, 7,7 Trajna deformacija 3 b. El Centro a g =0,g T=0,5s Sila/ma g ,87/,5,87 c. El Centro a g =0,g T=0,5s Duktilnost pomeranja µ d ,76 R=, ,89 R= ,3 R=0 Slika 3.8 Odgovor EP sistema na zemljotres El Centro Relativna pomeranja EP sistema u granicama su pomeranja koja dosti`e elasti~an sistem (35,6mm), pri ~emu je najmanje pomeranje sistema sa faktorom redukcije R=,5 (5,0mm = 70% pomeranja elasti~nog sistema), slika 3.8.a. Kao {to je i zadato, maksimalno optere}enje EP sistema ne prelazi propisanu nosivost u odnosu na elasti~an sistem, slika 3.8.b, normalizovano na ma g. Deljenjem pomeranja d(t) u nekom trenutku vremena sa odgovoraju}om vredno{}u pomeranja na granici elasti~nosti d y za svaki od EP modela, dobija se tok promene faktora duktilnosti pomeranja µ d (t), slika 3.8.c. Karakteristi~no je da maksimalna potrebna duktilnost pomeranja EP sistema raste sa veli~inom faktora redukcije elasti~nog optere}enja R. Smanjenje nosivosti "pla}a se" pove}anim zahtevima za obezbe enje post-elasti~nih deformacija konstrukcije. Zahtevane vrednosti potrebne duktilnosti pomeranja µ d relativno su bliske usvojenim vrenostima faktora redukcije optere}enja R, razlike su do 30%. U Tabeli, prikazane su maksimalne vrednosti odgovora konstrukcija, maksimalno pseudo ubrzanje A/a g i pomeranje D/a g normalizovani na maksimalno ubrzanje tla 3-5

24 a g = 0,g. Pored maksimalne potrebne duktilnosti pomeranja µ d, prikazane su i vrednosti indeksa o{te}enja DM konstrukcije, koji }e biti komentarisan kasnije, u poglavlju 3.6. Na slici 3.9.a prikazana je zavisnost pseudo ubrzanja A(a g ) konstrukcije u funkciji perioda oscilovanja i faktora redukcije R za zapis El Centro. Kroz sra~unate vrednosti za tri perioda oscilovanja provu~ena je regresiona kriva. Maksimalno ubrzanje pa i optere}enje konstrukcije opadaju sa porastom faktora redukcije R kao i sa porastom perioda T a. b R=,50 R=5,00 R=0,0 A (ag).0 R=,00 R=,50 R=5,00.5 R=0, Period (s) d Period (s) Slika 3.9 Zapis El Centro: a) pseudo ubrzanje, b) potrebna duktilnost pomeranja Na slici 3.9.b prikazana je zavisnost potrebne duktilnosti pomeranja µ d u funkciji faktora redukcije R i perioda oscilovanja T za zapis El Centro. U podru~ju perioda duìh od t=0,5 sekundi, trend je da potrebna duktilnost ne zavisi od perioda oscilovanja, kao i da vrednost potrebne duktilnosti pomeranja teì usvojenoj vrednosti faktora redukcije R. Izneta zapaànja vaè i za zapis Petrovac, Tabela, dok odgovor konstrukcije sa periodom T=0,5s na zapis Ulcinj pokazuje potpuno odstupanje. 3.4 NELINEARNI SPEKTRI ODGOVORA EP SISTEMA U praksi je obi~no poznata obezbe ena vrednost faktora duktilnosti pomeranja µ d, a traì se dozvoljena vrednost faktora redukcije optere}enja R, inverzan problem. Analogno prethodnoj analizi, ali uz malo vi{e truda, mogu da se formiraju inverzne krive R(µ d,t), crtkaste linije na slici 3.0.a. Sistematskom parametarskom analizom razli~itih EP sistema podvrgnutih razli~itim zapisima ubrzanja tla, mogu}e je ustanoviti pogodne aproksimacije ove zavisnosti, od kojih je jedna, mo`da i najpoznatija prikazana na slici 3.0.a, puna linija, za vrednosti faktora duktilnosti pomeranja konstrukcije µ d =,5, 5 i 0. U podru~ju izrazito kratkih perioda oscilovanja, ispod vrednosti T, vrednost faktora redukcije iznosi R=, za sve obezbe ene duktilnosti pomeranja. To je tzv. oblast "jednakih ubrzanja konstrukcije i tla ", karakteristi~na za izrazito krute konstrukcije koje se moraju projektovati na prakti~no elasti~an odgovor konstrukcije. 3-6

25 0 9 µ d =0 3 8 R a. T T µ d =5 µ d =,5 a. 0 3 Period (s) A (a g ) µ d =,0 µ d =,5 µ d =5,0 µ d =0 b Period (s) Slika 3.0 a) Zavisnost faktora redukcije R od obezbe ene duktilnosti pomeranja; b) nelinearni spektar pseudo ubrzanja konstrukcije U podru~ju kra}ih i srednjih perioda T=T -T, dozvoljena vrednost faktora redukcije R moè da se aproksimira izrazom R=(µ d -) / (3.3) U podru~ju duìh perioda, T>T, za vrednost faktora redukcije moè da se usvoji da je jednaka vrednosti obezbe enog faktora duktilnosti pomeranja F e F y = F e /R F e F y = F e /R d y d y d=d e =µ d d y Slika 3. Interpretacija faktora redukcije R deformacija". d e R=µ d d=µ d d y a. b. d R=(µ d -) / d (3.4) R = µ d Ukoliko se vrednosti elasti~nog spektra ubrzanja (R=) podele odgovaraju}im vrednostima faktora redukcije R(µ d,t), dobija se nelinearni spektar pseudo ubrzanja konstrukcije, primer za zapis El Centro na slici 3.0.b. Na slici 3. prikazana je uobi~ajena interpretacija navedenih veza. Iz sli~nosti trouglova dijagrama F-d, moè da se zaklju~i da identitet R=µ d ustvari zna~i da je pomeranje EP sistema jednako pomeranju elasti~nog sistema sa istom po~etnom kruto{}u, fundamentalni zaklju~ak na kome }e se zasnivati propisi, slika 3..a. Prema slici 3..b, relacija R=(µ d -) / moè da se interpretira kao uslov jednakih povr{ina ispod dijagrama F-d elasti~nog i EP sistema, otuda i naziv "uslov jednakih energija 3.5 KONCEPT NELINEARNOG PRORAÛNA SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Na osnovu rezultata dosada{njih analiza, moè da se uspostavi koncept prora~una odgovora konstrukcija na dejstva zemljotresa, koji se zasniva na poznatim nelinearnim spektrima odgovora konstrukcija na dejstva zemljotresa, prema algoritmu na slici

26 Sa poznatim podacima o geometriji, materijalu, optere}enju konstrukcije kao i maksimalnom o~ekivanom ubrzanju tla a g, projektant moè da sra~una period oscilovanja T. Na osnovu tipa konstrukcijskog sistema, nivoa aksijalnog optere}enja i predvi enih detalja armiranja, usvaja se obezbe ena duktilnost pomeranja µ d, recimo µ d =5. Na osnovu sra~unatog perioda i duktilnosti, sa referentnog nelinearnog spektra ubrzanja o~itava se vrednost ubrzanja konstrukcije A(a g ), pa je projektno optere}enje jednako proizvodu mase, ubrzanja tla i normalizovanog ubrzanja, F d =(F y )=ma g A. 3 W m=w/g µd=,0 H b,d,mb k T =π(m/k) / Procena µ d (= 5,0) A (a g ) µd=,5 µd=5,0 µ d =0 Konstruis. detalja Obezbe enje µ d a g W F d T Period (s) Dimenzionisanje preseka Kontrola pomeranja M,Q,N,d Stati~ki prora~un Projektno seizmi~ko optere}enje F d = (F y ) = m a g A Slika 3. Koncept prora~una konstrukcija na bazi nelinearnog spektra ubrzanja konstrukcije Sa projektnim optere}enjem vr{i se "stati~ki prora~un", odre uju se naprezanja delova konstrukcije, dimenzioni{u preseci i proverava stvarno pomeranje konstrukcije pri zemljotresu, polaze}i od pomeranja na granici elasti~nosti. Kona~no, vr{i se konstruisanje detalja tako da se obezbedi pretpostavljena vrednost duktilnosti pomeranja konstrukcije. U prethodnom poglavlju, nelinearni spektar ubrzanja konstrukcije konstruisan je razmatraju}i elasto-plasti~ni model odgovora konstrukcije. Izloèni algoritam se principijelno ne menja i ako se odgovor konstrukcije modelira na neki drugi na~in, koji bolje opisuje realni odgovor konstrukcija od armiranog betona, na primer. Osnov koncepta je da, za poznatu duktilnost pomeranja konkretne konstrukcije, nosivost nelinearnog sistema moè da se redukuje u odnosu na maksimalni odgovor elasti~nog sistema. 3.6 AKUMULACIJA O[TE]ENJA I EKVIVALENTNA DUKTILNOST POMERANJA Rezultat dosada{njih razmatranja je da je definisan odgovor elasti~ne, kao i elastoplasti~ne konstrukcije na zemljotres - pomeranje d m odnosno potrebna duktilnost pomeranja µ d, definisana kao odnos maksimalnog pomeranja d m nelinearnog sistema pri zemljo- 3-8

27 tresu i pomeranja d y pri dostizanju nosivosti nelinearnog sistema. Me utim, koliki treba da bude kapacitet pomeranja konstrukcije d u pri monotonom stati~kom optere}enju, da bi nivo o{te}enja konstrukcije nakon zemljotresa bio u prihvatljivim, èljenim granicama? - nije definisan kriterijum prihvatljivog odgovora nelinearne konstrukcije pri zemljotresu. Kao najjednostavniji kriterijum moè da se usvoji odnos maksimalnog pomeranja d m pri zemljotresu i obezbe enog kapaciteta pomeranja d u konstrukcije pri monotonom stati~kom prinudnom pomeranju, slika 3.3. Tada indeks o{te}enja konstrukcije DM iznosi DM=d m /d u = µ d /µ u < (3.5) gde je µ u =d u /d y duktilnost pomeranja pri dostizanju loma, iscrpljenja nosivosti konstrukcije. Ako je pri zemljotresu indeks o{te}enja dostigao vrednost DM=, konstrukcija je dovedena u stanje kolapsa. Projektant moè da uti~e na nivo za{tite konstrukcije od o{te}enja izborom odgovaraju}e ve}e vrednosti d u. Kriterijum (3.5) prihvatljiv je u slu~aju odgovora konstrukcija sa jednim izraènim pomeranjem preko granice elasti~nosti d y, i sa zanemarljivom akumulacijom o{te}enja zbog ve}eg broja ciklusa post-elasti~nih deformacija. Me utim, u situacijama kada konstrukcija trpi ve}i broj zna~ajnijih ciklusa postelasti~nih deformacija, akumulacija o{te}enja u toku duèg trajanja jakog dela zemljotresa moè da "iscrpi" konstrukciju. U takvim slu~ajevima, kao mera o{te}enja konstrukcije ~esto se usvaja kombinovana vrednost indeksa o{te}enja u obliku F e F E h k Monotoni opit DM d m Eh = +β Σ (3.6) d Fd gde je ΣΕ h integral potro{ene energije - F 3 y "Lom" histerezisne krive EP sistema, slika 3.3, ~ija vrednost raste sa duìnom trajanja zemljotresa odno- -d u 6 d d y d m d e d u 5 -F y 4 sno sa brojem ciklusa, F y je nosivost sistema, dok je prvi ~lan d m /d u ve} definisan izrazom (3.5.). Slika 3.3 Indeks o{te}enja DM Vrednost faktora β utvr uje se eksperimentalno, a za kvalitativnu analizu odgovora AB konstrukcija moè da se usvoji β=0,5 /6/. Kao i ranije, vrednost DM= defini{e potpuno iscrpljenje nosivosti konstrukcije. Primer 3... Na slici 3.4 prikazan je tok promene vrednosti indeksa o{te}enja DM u toku u y u 3 T=,5;R=0 DM T=0,5;R=0 T=,5;R=5 DM T=,5;R=0 T=,5;R=5 0 T=3,0;R=,5 T=0,5;R=,5 T=3,0;R=5 a. b Vreme (s) Vreme (s) Slika 3.4 Zapis El Centro, indeks o{te}enja DM: a) d u = d e ; b) d u > d e 3-9

28 trajanja zemljotresa El Centro sa maksimalnim ubrzanjem tla a g =0,g. Dijagram 3.4.a dobijen je uz pretpostavku da je kapacitet pomeranja d u pri monotonom optere}enju upravo jednak maksimalnom ostvarenom pomeranju d e odgovaraju}e elasti~ne konstrukcije, d u = d e. U tom slu~aju je µ u =R, slika 3.7. Po~etna vrednost indeksa, DM(t=0), pretstavlja ustvari izraz (3.5), da bi potom vrednost indeksa DM rasla u toku trajanja zemljotresa. Predvi eni kapacitet pomeranja je nedovoljan (DM>), po pravilu u slu~ajevima ve}ih stepena redukcije optere}enja R, kada je zna~ajan udeo akumilacije o{te}enja, drugi ~lan izraza 3.6, slika 3.3. Za dati zapis zemljotresa, kapacitet deformacija konstrukcije d u u ovom slu~aju treba korigovati. Na slici 3.4.b prikazana je promena indeksa DM za korigovanu konstrukciju, kod koje je za kapacitet pomeranja d u pri monotonom optere}enju usvojeno: d u =,5d e u slu~aju R=,5, d u =,8d e u slu~aju R=5 i d u =,4d e u slu~aju R=0. Kao {to se vidi, vrednosti indeksa DM prakti~no su svedene u granice DM=, osim za slu~aj konstrukcije sa periodom T=,5 za koju je vrednost faktora redukcije optere}enja R=0 u ovom slu~aju prevelika. T=,5;R=0 T=,5;R=,5 T=,5;R=5 T=3,0;R=0 T=0,5;R=0 T=,5;R=,5 DM DM a. b Vreme (s) Vreme (s) Slika 3.5 Zapis Petrovac, indeks o{te}enja DM: a) d u = d e ; b) d u > d e DM T=0,5;R=0 T=0,5;R=5,0 T=0,5;R=, Vreme (s) DM T=0,5;R=0 T=0,5;R=5,0 T=0,5;R=,5 a. b Vreme (s) Slika 3.6 Zapis Ulcinj, indeks o{te}enja DM: a) d u = d e ; b) d u > d e Tok akumulacije o{te}enja u toku trajanja zemljotresa Petrovac i Ulcinj prikazan je na slikama 3.5 odnosno 3.6. Za konstrukciju sa periodom T=0,5 sekundi "lociranu" u Ulcinju "nema spasa", ako bi se stvarno pona{ala prema primenjenim modelima. 3-0

29 Rezultati izvr{enih analiza ukazuju da je u znatnom broju slu~ajeva potrebno obezbediti ne{to ve}i potreban kapacitet duktilnosti pomeranja µ u pri monotonom optere}enju od zahtevane duktilnosti pomeranja µ d pri zemljotresu - tzv. ekvivalentnu duktilnost, na~elno Potreban kapacitet dukt. µ u DM= α=0,0 µ u =µ d α= Zahtevana duktilnost µ d Slika 3.7 Potreban kapacitet duktilnosti pomeranja µ d( + αµ d) µ u = DM (3.7) gde se za vrednost faktora α moè kvalitativno usvojiti a=0,0. Za vrednost DM=,0, relacija 3.7 prikazana je na slici 3.7, za dve vrednosti parametra α. êmu vrednost DM u izrazu 3.7? Kvalitativno, smatra se da su u slu~aju kada je DM<0,5, o{te}enja konstrukcije posle zemljotresa popravljiva, da sa porastom vrednosti DM nivo o{te}enja raste, da bi pri vrednosti DM= nastupio kolaps konstrukcije /7/. Projektant na~elno moè da bira nivo o{te}enja konstrukcije, pri ~emu se kriterijum o{te}enja moè formulisati i po drugim veli~inama: obrtanju preseka, relativnom spratnom pomeranju, rotacijama preseka, izduènju armature, {irini prslina itd. Koncept je ilustrovan na primeru kriti~nog preseka, ali se moè generalizovati na element konstrukcije, sprat i konstrukciju u celini. Razvoj propisa kre}e se u pravcu formulisanja koncepta projektovanja na bazi kontrole nekog od bitnih parametara koji opisuju pona{anje i o{te}enje objekata - "performance based design". 3-

30 4. KAKO REALIZOVATI ELASTO-PLASTI^AN SISTEM U ARMIRANOM BETONU UVOD U prethodnim razmatranjima analiziran je odgovor konstrukcije sa elastoplasti~nom vezom sile i pomeranja vrha. U ovom poglavlju, analiza silazi na nivo popre~nog preseka i razmatraju se zahtevi koji se postavljaju u pogledu potrebnih krivina preseka odnosno veza napon - dilatacija na nivou materijala. U nastavku, razmatra se kapacitet nelinearnih deformacija uobi~ajenih betonskih preseka i konstrukcija, kao i konstrukcijske mere za pove}anje kapaciteta - utezanje betonskih preseka uzengijama. Na kraju je dat prikaz jednog ispitivanja kao i savremenih postupaka modeliranja AB konstrukcija. 4. KRIVINA PRESEKA - POMERANJE KONSTRUKCIJE Ako su rezultati prethodnih analiza zadovoljavaju}i, postavlja se pitanje kako realizovati EP model pomeranje-sila u realnim konstrukcijama sa jednim stepenom slobode, konzola na slici 4..a. Da bi se postigla elasto-plasti~na veza sila-pomeranje F-d, neophodan uslov je da je bar na delu visine konstrukcije mogu}e realizovati elasto-plasti~nu vezu moment-krivina preseka M-κ, slika 4..b. dy d m =µ d d y F E EP R M e a. M y =M e /R b. µ k κ m =µ κ κ y W E EP Krivina κ e κ y µ d Pomeranje H p H Potrebna dukt.krivine - µk µ d =0 µ d =5,0 µ d =,5 c Du`ina plast. zgloba - H p/h Slika 4. Obezbe enje elasto-plasti~ne veze sila-pomeranje Primer 4... Odgovor elasti~ne konstrukcije na dejstvo sile F u vrhu konzole je moment M e =FH u uklje{tenju, pomeranje vrha d m i krivina preseka u uklje{tenju κ e slika 4..a-b. Za zahtevanu vrednost duktilnosti pomeranja µ d i uz pretpostavku da je faktor redukcije optere}enja R=µ d, potrebno je konstruisati konstrukciju za koju }e moment u uklje{tenju imati vrednost M y =M e /R. Krutost konstrukcije na pomeranje odrediti prema krutosti preseka na savijanje EI. Sa poznatom vredno{}u momenta u uklje{tenju - nosivosti preseka M y =M e /R odre ena je i krivina na granici elasti~nosti κ y =M y /EI, slika 4..b. Prema Morovoj analogiji, pomeranje d y vrha konzole na granici elasti~nosti iznosi d H H κ yh y = 05, κ y = 3 3 (4.) 4-

31 Ostatak pomeranja vrha do zahtevanog iznosa d m realizova}e se konstruisanjem plasti~nog zgloba u oblasti uklje{tenja. Sve elasto-plasti~ne deformacije konstrukcije bi}e koncentrisane na duìni plasti~nog zgloba H p, sa nepoznatom maksimalnom vredno{}u krivine preseka κ m = µ k κ y, slika 4..b. Za ostali deo konstrukcije pretpostavlja se da ostaje u oblasti elasti~nog odgovora materijala. Za duìnu H p plasti~nog zgloba okvirno moè da se usvoji polovina dimenzije d preseka elementa u ravni savijanja. Pomeranje δ vrha konzole usled pove}anih krivina preseka preko granice elasti~nosti na duìni plasti~nog zgloba H p iznosi p δ = ( κm κ y) Hp( H H ) = κ y( µ k ) Hp( H 05,) H p (4.) Da bi se obezbedilo zahtevano pomeranje vrha konzole d m, treba da je zadovoljen uslov δ = d m - d y = d y (µ d -) (4.3) Uvr{}enjem (4.) i (4.) u (4.3) dobija se veza potrebne duktilnosti krivine µ k na duìni plasti~nog zgloba H p i zahtevane duktilnosti pomeranja vrha konzole µ d κ m µ d µ k = = + κ H y p H p 3 ( 05, ) H H (4.4) Na slici 4..c prikazana je zavisnost potrebne duktilnosti krivine µ k u funkciji duìne plasti~nog zgloba H p i zahtevane duktilnosti pomeranja µ d. Veza vaì za bilo koji materijal, ~elik, beton, druga je stvar da li se potrebne duktilnosti krivina mogu, i pod kojim uslovima realizovati. Pri zahtevanoj duktilnosti pomeranja µ d = 5 i duìni plasti~nog zgloba H p /H = 0,0, potrebna duktilnost krivine iznosi µ k =5, {to uop{te nije malo, u slu~aju AB konstrukcija. Primer 4... Na slici 4. prikazan je okvir sa beskona~no krutom riglom - "smi~u}i okvir". Pri pomeranju vrha od d m, na slici 4..b prikazana je raspodela krivina, koja se moè interpretirati kao dve ekvivalentne konzole visine H. U ovom slu~aju, relacija (4.4) glasi d m Ekvivalentna konzola d m / d m / κ m 05, µ d µ k = = + κ H y p H p 3 ( 05, ) H H H H κ y κm a. b. Slika 4. EP smi~u}i okvir H p (4.5) Pri zahtevanoj duktilnosti pomeranja µ d =5, i duìni plasti~nog zgloba H p /H = 0,0, potrebna duktilnost krivine iznosi µ k =3,8 {to je u slu~aju AB konstrukcija lako ostvarljivo. Da bi se ostvarila potrebna duktilnost pomeranja konstrukcije, i konstrukcijski sistem igra zna~ajnu ulogu. 4-

32 4. NELINEARNI ODGOVOR AB KONSTRUKCIJA U armirano betonskim konstrukcijama, krivina preseka κ posti`e se dilatacijama skra}enja usled pritiska u betonu - ε c i izdu`enja ~elika ε s, slika 4.3.a κ = (ε c + ε s )/h (4.5) Da bi se u zoni plasti~nog zgloba uop{te realizovale nelinearne deformacije betona i armature, armatura mora da bude pouzdano usidrena u temelj, uz efikasno fundiranje koje }e da obezbedi da se pomeranje vrha konzole realizuje krivinama preseka, a ne rotacijom ili "skakutanjem" temelja. d F 300 φ a. b. 50 n=0,50 µ= % 40 H ε s κ h ε c H p Moment (knm) n=0,80 κ u /κ y =4-5 κ y n=0,0 κ u n=0,0 b=40 κ u n=0 max ε s = % max ε s = 4% Detalj Pouzdano sidrenje armature i fundiranje! Krivina (/m) Moment (knm) µ=4% µ=% n=0,0 max ε s = 4% µ=% Moment (knm) c. d MB50 MB30 N=656 kn µ=% max ε s =4% n=n u /bdβ b µ m MB30 MB50 MB Krivina (/m) Krivina (/m) Slika 4.3 Nelinearni odgovor AB stuba Primer Pri dimenzionisanju nosivosti preseka za uticaje uobi~ajenih optere}enja, dilatacije su propisima ograni~ene na ε c <0,0035 u betonu odnosno ε s < 0,00 u ~eliku, ~ime je ograni~ena i maksimalna vrednost krivine preseka za uobi~ajene slu~ajeva optere}enja. Me utim, ni taj iznos krivine preseka ~esto nije mogu}e dosti}i, jer iznos aksijalnog optere}enja preseka bitno uti~e na sposobnost post-elasti~nih deformacija preseka, primer stuba kvadratnog popre~nog preseka, MB30, slika 4.3.b. 4-3

33 Za kvadratni presek stuba prikazani su dijagrami M-n-κ (n=n/b β Β ) sa dilatacijama ~elika ograni~enim na 0,00 odnosno 0,040, "mimo propisa". Sa porastom aksijalnog optere}enja, opada grani~na vrednost krivine preseka pri lomu. Dopu{tanje ve}ih dilatacija ~elika pove}ava grani~nu vrednost krivine preseka, ali samo pri niìm nivoima aksijalnog optere}enja, u slu~ajevima "loma po armaturi". Duktilnost krivine pri ~istom savijanju iznosi 4-5 (ε s < 0,00) odnosno 8-0 (ε s < 0,040), {to ne obe}ava, slika 4..c. Poku{aj da se pri nivou aksijalnog optere}enja n = 0,0 duktilnost krivine preseka pove}a pove}anjem procenta armiranja µ, slika 4.3.c ili marke betona, slika 4.3.d ne}e dati zadovoljavaju}e rezultate. Postavlja se pitanje moè li se onda uop{te ne{to posti}i u armiranom betonu, mogu li se u slu~aju zemljotresa obezbediti pove}ane dilatacije armature i betona, makar i uz smanjenu nosivost preseka? Na slici 4.4 uobi~ajeni "radni dijagrami" betona i ~elika prikazani su linijom, dok linije prikazuju "poèljne" dijagrame, odgovor materijala u slu~aju zemljotresa. Na dijagramu σ ε ~elika, linija 3 je u slu~aju zemljotresa nepoèljna, ~elik treba da poseduje osobinu oja~anja - linija, kako bi se obezbedila ve}a duìna plasti~nog zgloba, postepenim propagiranjem dilatacija te~enja armature du` elementa. σ σ β b f t f y "Lom" 3 "Lom" β bu "Lom" 0, 0,35,5? "Lom" a. b. ε (%),0 6,0? ε (%) "g+p" "g+p" Zemljotres Zemljotres Slika 4.4 Radni dijagrami a) betona i b) ~elika Napon (MPa) fc'=60 fc'=50 fc'=40 fc'=30 0 0, Dilatacija Dilatacija (%) Na slici 4.5 prikazani su rezultati jednoaksijalnih opita betona i ~elika. Dok se u slu~aju rebrastih ~elika mogu dopustiti pove}ane dilatacije ~ak i do 0%, slika 4.5.b, dotle su dilatacije pritiska betonskih cilindara sa ~vrsto}om f c ' u granicama definisanim propisma. Napon (MPa) fc'=0 a. b. Slika 4.5 Rezultati jednoaksijalnih opita: a) betona i b) ~elika /8/ 4-4

34 Pove}anje duktilnosti krivine dopu{tanjem pove}anih dilatacija ~elika nije dovoljno, potrebno je da se nekako pove}a i kapacitet deformacija betona. Opiti na slici 4.5.a su naravno izvedeni na nearmiranim betonskim prizmama. Na rezultatima ovih opita jednoaksijalne ~vrsto}e zasnivaju se uobi~ajeni algoritmi prora~una preseka na savijanje sa normalnom silom, u kom slu~aju se jednoaksijalno stanje napona prostire na delu ukupne povr{ine popre~nog preseka. U realnim konstrukcijama, "jednoaksijalna ~vrsto}a preseka elementa" je ve}a, jer se bo~nom {irenju betona pri pove}anim dilatacijama pritiska, sa pojavom podu`nih prslina u pravcu optere}enja suprotstavljaju uzengije preseka - preseci su "popre~no utegnuti", slika 4.6.b-c. Napon (MPa) Bo~nom {irenju betona opire se ustvari "omota~" od podu`ne armature i uzengija. Efikasnost utezanja zavisi od koli~ine i podu`nog razmaka uzengija, granice razvla~enja ~elika ali i od razmaka podu`nih {ipki koje su "bo~no pridràne - poduprte" uzengijama, slika 4.6.c. Ovaj omota~ defini{e utegnuto jezgro preseka dimenzija b 0 prema slici 4.6.b. Primer Za opisivanje efekata utezanja betona na pove}anje jednoaksijalne nosivosti i deformabilnosti postoje razli~iti predlozi, Moment (knm) , ,004 B Dilatacija B 3 Utegnuto jezgro preseka - jezgro (B3) - za{titni sloj (B) 39.7 B a b 0 =34 F= f u σ v b. 34 Slika 4.6 Utezanje AB preseka uzengijama Utegnut ceo presek - (B3) Krivina (/m) Neutegnut presek - (B) Slika 4.7 Efekat utezanja betona 3 c. B 3 B d. l w jedan od njih ilustrovan je na slici 4.6.a //. Kriva B predstavlja paraboli~nu aproksimaciju rezultata opita sa slike 4.5.a za fc'=5 MPa, a linija B se odnosi na isti beton, ali utegnut uzengijama Rφ0/0 prema slici 4.6.b. Pove}anje nosivosti je zna~ajno, i {to je va`nije, kapacitet dilatacija - deformabilnosti je pove}an. Za dalje ra~unske analize, pretpostavljen je ne{to niì efekat utezanja - beton B 3, sa pove}anom ~vrsto}om od fc'=35 MPa koja se dostiè pri dilataciji betona od 0,004, slika 4.6.a. Na slici 4.7 prikazani su rezultati prora~una moment - krivina preseka prema b w B 3 B B -B 3? 4-5

35 slici 4.6.b, za iznos normalne sile od N=0,f c 'b =0,x,5x40 =800kN. Kriva predstavlja odgovor neutegnutog preseka, model betona B sa slike 4.6.a. Linija predstavlja odgovor preseka uz pretpostavku da je ceo popre~ni presek utegnut, model betona B 3. Pri pove}anim dilatacijama pritiska nastupa odvajanje, "oljuskavanje" za{titnog sloja preseka, i svo enje nosivog preseka na presek utegnutog jezgra. Linija 3 prikazuje odgovor preseka kod koga je za jezgro usvojen model utegnutog betona B 3, a za za{titni sloj model neutegnutog betona B, slika 4.6.b. U oba slu~aja, utezanje preseka znatno pove}ava grani~ne dilatacije pri dostizanju loma preseka, samim tim i maksimalne krivine odnosno kapacitet deformacija. Isti princip vaì za bilo koju pritisnutu zonu sloènih preseka, kao {to je zid T - preseka na slici 4.6.d, kod koga je potrebno pove}ati duktilnost krivine preseka utezanjem {rafiranih "skrivenih stubova". U zoni spoja rebra i flan{e zida uvek se postavljaju uzengije, ali eventualno ra~unski potrebno utezanje nije uvek potrebno. Svi prora~uni moment - krivina ura eni su programom RESPONSE, koji se na disketi distribuira uz ud`benik /9/. 4.3 POÊTNA KRUTOST AB PRESEKA I KONSTRUKCIJA Pri dosada{njim analizama teorijskih elasto-plasti~nih modela odgovora konstrukcija na dejstvo zemljotresa, formiranju nelinearnih spektara odgovora na primer, pretpostavljeno je da je inicijalna, po~etna krutost k elasti~ne i EP konstrukcije identi~na. Postavlja se pitanje kako odrediti prora~unsku krutost preseka i konstrukcije sa kojom se potom formira dinami~ki model konstrukcije? Primer Na slici 4.8.a prikazan je popre~ni presek sloènog AB zida. Uz pretpostavku da je centri~ni napon pritiska usled gravitacionog optere}enja σ 0 =,5 MPa (N 0 =A c σ 0 = 580 kn, Ac - povr{ina bruto preseka betona), i da je zid armiran minimalnom koli~inom armatute prema YU seizmi~kim propisima /0/, izvr{iti analizu prora~unskih krutosti preseka konstrukcije. Ako se za Moment Krivina 0 a. MB30 E c =50GPa Detalj b. 0,03 Moment (knm) My=8000 knm EI 0 =5,5EI ef 0,75M y = 6000 knm EI ef =6000/0,0005 =, 0 7 knm 0, Krivina (/m) F Slika 4.8 Sloèni zid, prora~unska krutost preseka krutost preseka na savijanje EI usvoji krutost EI 0 bruto I- preseka sloènog zida prema slici 4.8.a, veza moment - krivina prikazana je linijom na slici 4.8.c. Veza moment-krivina odre ena modeliranjem armiranog preseka prema postupku iz prethodnog primera, prikazana je na slici 4.8.b, pri ~emu je modelirano i oja~anje ~elika. Maksimalna krivina preseka zida iznosi skoro 3%. Detalj dijagrama, do vrednosti krivina od 0,% prikazan je na slici 4.8.c. Elasto-plasti~na aproksimacija dijagrama moment-krivina prikazana je linijom na slici 4.8.c, koja prolazi kroz karakteristi~nu ta~ku ra~unskog dijagrama za koju se naj~e{}e usvaja nivo od 75% momenta nosivosti M y =8000 knm. Sa c. 4-6

36 odgovaraju}om krivinom od 0,0005 /m, efektivna krutost preseka iznosi EI eff =, 0 7 knm, {to je 5,5 puta manje od krutosti EI 0 bruto I - preseka zida. Primer U praksi ~est slu~aj usvajanja karakteristika samo rebra za prora~un krutosti preseka sloènih zidova, zasniva se upravo na ~injenici da }e nakon dostizanja ~vrsto}e betona na zatezanje, beton zategnute flan{e i dela rebra zida biti isklju~en iz nosivosti i krutosti preseka, osim armature u ovom zonama. Me utim, onda bi trebalo biti dosledan, pa i za krutost jednostavnog zida koji nema flan{e tako e usvojiti prora~unsku vrednost efektivne krutosti EI ef, manju od krutosti bruto preseka EI 0, {to u praksi naj~e{}e nije slu~aj. Moment (knm) M y =400 knm EI 0 =4,EI ef EI ef =800/0,00065 =,8 0 6 knm 0,75M y = 800kNm 0, Krivina (/m) Slika 4.9 Krutost pravougaonog preseka zida sloènih sistema, poglavlje REALNO PONA[ANJE ARMIRANO BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRI CIKLI^NIM DEFORMACIJAMA Na slici 4.9 prikazani su dijagrami moment-krivina pravougaonog zida, rebra zida na slici 4.8.a, sa istim normalnim naponom od gravitacionog optere}enja i istim minimalnim procentom armiranja. Efektivna krutost preseka iznosi EI ef =,8 0 6 knm, linija, {to je ~ak 4, puta manje od krutosti bruto pravougaonog preseka EI 0, linija na slici 4.9. Usvajanje sniène krutosti zida I - preseka i pune krutosti zida pravougaonog preseka za posledicu ima poreme}aj relativnih krutosti elemenata konstrukcije, {to ima uticaja na prora~unske uticaje Elasto-plasti~ni model jeste jednostavan za obja{njenje problema, dovoljno ta~no opisuje pona{anje betonskih preseka pri monotonim optere}enjima u istom smeru, ukoliko je lom po ~eliku, koji i daje karakter krive. Me utim, pri cikli~nim deformacijama usled zemljotresa, fenomeni su sloèniji i modeliraju se drugim, sloènijim vezama moment - krivina ili sila - pomeranje. Zbog poznatog Bau{ingerovog efekta, ni sam ~elik ne pokazuje idealan elastoplasti~an odgovor na cikli~ne deformacije, dolazi do zaobljenja σ krive odgovora, sa povr{inom histerezisne krive manjom od 6 elasto-plasti~nog odgovora, slika 4.0. Pri formulisanju racionalnih modela pona{anja AB 5 konstrukcija pri zemljotresu, nezamenljivu ulogu imaju 7 ε laboratorijski eksperimenti kao i osmatranja pona{anja realnih konstrukcija pri zemljotresu. Kao primer, na slici 4. prikazana 3 je dispozicija opita na modelima AB trospratnih zidova izvedenih na ETH - Cirih /8/. 4 Slika 4.0 Cikli~ne deformacije ~elika 4-7

37 "Mase" 3x0 kn "N-sila" Kablovi "AB zid" R=:3 Slika 4. Dispozicija opita /8/ Vibraciona platforma Aktuator Model zida trospratne zgrade u razmeri :3, sa tri mase od po 0 kn, testiran je zadavanjem ubrzanja vibracionoj platformi pomo}u prese - aktuatora, prema sintetizovanom akcelerogramu. Efekat gravitacionog optere}enja simuliran je vertikalnim prethodnim naprezanjem. Na slici 4. prikazani su rezultati opita cikli~nog monotonog optere}enja dva zida, razli~ito armirana. Zid na slici 4..b pokazuje dobar - poèljan odgovor za AB konstrukcije. Elasto- plasti~ni dijagram monotonog opita je anvelopa cikli~nih deformacija, ali histerezis znatno odstupa od elasto-plasti~nog modela (EP), suèn je i pokazuje tendenciju pada krutosti u toku ciklusa. Povr{ina histerezisa je manja nego u slu~aju teorijskog elasto-plasti~nog modela, samim tim i koli~ina potro{ene energije. Sila aktuatora (kn) Monotoni opit Pad krutosti Pad nosivosti Moment u uklje{tenju (knm) Horizontalno pomeranje vrha (mm) a. Horizontalno pomeranje vrha (mm) b. Slika 4. Histerezisne krive /8/ Zid na slici 4..a pokazuje nepoèljnu, ali sasvim mogu}u situaciju u praksi. Osim pada krutosti preseka, prisutan je i pad nosivosti sa pove}anjem broja ciklusa, i definitivni lom pri relativno malom broju ciklusa. Sila aktuatora (kn) Monotoni opit Beton EP Moment u uklje{tenju (knm) 6 d y 5 7 k r F y 4 F y k 0 9 Slika 4.3 Model F-d sa uticajem akumulacije o{te}enja na krutost 8 3 d y k n 0 d 4.5 MODELIRANJE AB KONSTRUKCIJA Sve do pojave rezultata opita na modelu realne AB konstrukcije iz prethodnog poglavlja, teorija zasnovana na elastoplasti~nom modelu odgovora konstrukcije je "lepo napredovala". Budu}i da se konstrukcije od betona stvarno izvode, i to uglavnom prema Propisima, zna~i da re{enje ipak postoji. Pre napu{tanja razmatranja efekata zemljotresa na primeru najjednostavnije konstrukcije, konzole sa jednom masom, potrebno je bar nagovestiti kako }e to "beton" 4-8

38 sa slike 4..b da se uklopi u op{ti algoritam iz poglavlja 3.5. Ako elasto-plasti~ni model F(sila, moment)- d(pomeranje, krivina preseka) ne opisuje korektno odgovor realnih AB konstrukcija, onda treba "smeniti" model. Na slici 4.3 kvalitativno je prikazan ra~unski model odgovora kakvi se danas koriste u nelinearnoj analizi AB konstrukcija izloènih dejstvu zemljotresa. Inicijalna krutost k 0 kao i nosivost F y (pri ~emu plato ne mora da bude horizontalan) odre eni monotonim opitom formiraju kostur krive. Zavisno od trenutnog iznosa deformacije d, ali i od istorije deformacija, krutost sistema se menja u toku cikli~nih deformacija pri zemljotresu. Pravila po kojima se odre uju krutosti k n, k r itd. pojedinih grana, histerezisna pravila, utvr uju se usagla{avanjem sa eksperimentalno utvr enim rezultatima, prema slici 4. na primer. Osim {to je formulacija matemati~ki komplikovanija, princip analize je isti kao i u slu~aju EP modela. Ako su u konstrukciji definisane zone plasti~nih zglobova, odgovor tih Konzola k k k 3 h Slika 4.4 Vi{eslojni model nelinearnih opruga F 7x3000=000 R Strana Strana W/ W/ a.) +Pomeranje Neelasti~no Elasti~no zona moè da se opi{e prethodnim modelom, dok se za ostale delove konstrukcije moè usvojiti da se pona{aju elasti~no - koncept "koncentrisanog nelinearnog odgovora" u ~vorovima {tapova modela konstrukcije. Danas je popularan koncept "makroskopskog modeliranja", gde se deo zida visine h, na primer, modelira vi{eslojnim sistemom nelinearnih opruga, od kojih svaka, k -k n moè da ima svoje histerezisno pravilo, tako da ukupni efekat bude usagla{en sa rezultatima eksperimenata, slika f ctm =.9 F F f (MPa) f c =30 R R Za razliku od prethodnih, "makroskopskih modela", koji su trenutno jedino racionalno re{enje za modeliranje f cm =38 konstrukcija objekata u celini, metod kona~nih elemenata se uglavnom koristi za nelinearnu seizmi~ku analizu C30/37 delova ili detalja AB konstrucija - "mikroskopsko modeliranje". ε (0/00). 3 4 c.) Na slici 4.5 prikazan je model sedmospratnog armiranobetonskog sloènog 3000 zida, kod koga su prva dva sprata, beton i sva armatura Strana modelirani nelinearno, a za ostatak konstrukcije je usvojen idealno elasti~an model //. Ukupna masa konstrukcije koncentrisana je u visini petoga sprata, nivou "rezultante" seizmi~kog optere}e- Strana b.) nja. Napon u betonu usled E cm =3935 e=00 4x00=800 Slika 4.5 "Mikroskopsko modeliranje": a) model zida, b)presek i raspored armature, c) jednoaksijalni model betona 3x00=

39 50 0 d (mm) q d = q d = BAB Numeri~ka gre{ka a.) ZID Z3- DIANA BAB87 Sila (kn) Pomeranje (mm) Slika 4.6 Odgovor sila-pomeranje pri monotonom cikli~nom opitu a.) d=-75.3 F= ZID Z3- El Centro-0,4g Sila (kn) Pomeranje (mm) Slika 4.7 Odgovor sila-pomeranje pri zapisu El Centro du`ine 8 sekundi gravitacionog opetere}enja u ovom slu~aju iznosi,0mpa, dok ujedna~eni procenat armiranja vertikalnom armaturom iznosi,%. Nelinearna stati~ka i dinami~ka analiza ura ene su programom DIANA-TNO /5/. Pomeranjem oslonca u nivou masa, prema shemi ciklusa na slici 4.6, prvo je definisan stati~ki odgovor konstrukcije, sila-pomeranje u nivou masa, pri monotonom cikli~nom optere}enju, slika 4.6. Prora~un je zavr{en pri maksimalnom pomeranju od 50mm i duktilnosti pomeranja q d =4,, znatno iznad prognoziranog pomeranja od 50mm, prema elasto-plasti~nom modelu prethodno analiziranom, slika 4.8. Pre dinami~ke analize utvr en je period oscilovanja sistema sa jednom masom. Sa bruto kruto{}u celog I-preseka zida, period iznosi T=0,6s, dok se sa efektivnom kruto{}u period produ`ava na T=,s. Seizmi~ka analiza ura ena je za sekvencu od prvih osam sekundi zapisa El Centro, normalizovanom na maksimalno ubrzanje tla a g =0,40g. U slu~aju ZID Z3- El Centro-0,4g DIANA Elasti~no T=0,6s Elasto-plasti~no Vreme (s) Pomeranje (mm) Slika 4.8 Pomeranje u toku zemljotresa elasti~ne konstrukcije, u toku ove karakteristi~ne sekvence trajanja pojavljuju se ekstremi svih veli~ina - pomeranja i ubrzanja. Odgovor sistema prikazan je na slici 4.7, dok je tok pomeranja za tri razli~ita koncepta modeliranja prikazan na slici 4.8. Na kraju ovog informativnog pregleda, poenta: eksperimenti, osmatranje objekata posle zemljotresa, sofisticirani ra~unski modeli uz silan trud entuzijasta, treba projektantima u praksi da defini{u vezu dozvoljenog faktora redukcije optere}enja i obezbe ene duktilnosti pomeranja - nelinearni spektar ubrzanja za AB konstrukcije prema "jednostavnom" algoritmu na slici

40 5. SISTEMI SA VI[E STEPENI SLOBODE UVOD Sva dosada{nja razmatranja odnosila su se na sistem sa jednim stepenom slobode. Sistemi sa vi{e masa - stepeni slobode su naravno naj~e{}i u praksi. Elasti~ni odgovor ovakvih sistema obi~no se analizira primenom multi-modalne analize, koja se zasniva na principu superpozicije uticaja. Me utim, u nelinearnim problemima princip superpozicije ne vaì. U narednom poglavlju, prethodno razvijena re{enja za sistem sa jednim stepenom slobode se generalizuju i na sloènije sisteme, pod odre enim uslovima. U nastavku, analiziraju se elasto-plasti~ni modeli sloènih konstrukcija - plasti~ni mehanizmi, kao i koncept obezbe enja pouzdanog mehanizma pri zemljotresu - koncept programiranog pona{anja. Informativno, prikazani su i koncepti pojednostavljenih metoda nelinearne stati~ke analize. 5. REKAPITULACIJA OSNOVNIH POJMOVA IZ DINAMIKE KONSTRUKCIJA U realnim konstrukcijama mase su raspodeljene u prostoru, formalno se moè govoriti o beskona~nom broju stepeni slobode. Nakon {to je realna masa konstrukcije koncentrisana u ~vorovima, dvoeta`ni okvir u ravni na slici 5..a predstavlja model sa stepeni slobode. Ako se elimini{u nebitni stepeni slobode - vertikalne oscilacije masa kao i njihova rotacija, dobija se sistem sa ~etri stepena slobode - horizontalne translacije, slika 5..b. m d k m d n= n=4 n= k a. b. c. d. a g Slika 5. Redukcija broja stepeni slobode Ukoliko su grede okvira i tavanica kruti u svojoj ravni, tada su pomeranja masa iste etaè jednaka, pa se broj stepeni slobode svodi na dva nezavisna spratna pomeranja, slika R A' A d XM CM' CM d YM Slika 5. Pomeranja krute tavanice φ Μ 5..c-d. Broj stepeni slobode jednak je broju etaà konstrukcije. U slu~aju prostornih konstrukcija zgrada, ukoliko su tavanice dovoljno krute u svojoj ravni, pomeranja svih elemenata vezanih sa tavanicom mogu da se izraze preko tri komponenete pomeranja, dve translacije i rotacija neke karakteristi~ne ta~ke u ravni tavanice, obi~no centra mase CM, slika 5.. Ukoliko objekat ima n - etaà, i ukoliko se masa objekta koncentri{e samo u nivou tavanica, ukupan broj stepeni slobode prostorne konstrukcije iznosi samo N=3n. 5-

41 Da broj stepeni slobode moè da zavisi i od pravca dejstva pobu iva~a, ilustrovano je na slici 5.3. Ukoliko ubrzanje tla deluje u ravni simetrije, kretanje sistema moè da se opi{e jednim pomeranjem d x, slika 5.3.a. Ukoliko je smer pobude u pravcu y - ose sistema, za opisivanje kretanja potrebna su dve veli~ine, translacija d y i rotacija mase φ. U op{tem slu~aju, slika 5.3.c, za opisivanje kretanja jedne mase potrebne su tri komponenete pomeranja - stepena slobode. n = (d x ) y n = (d y, φ) y n = 3 (d x,d y,φ) y m d x x m d y φ x m d y φ x d x a. b. c. a g a g a g Slika 5.3 Uticaj pravca pobude na broj stepeni slobode Elasti~ni sistemi sa vi{e stepeni slobode u praksi se naj~e{}e re{avaju primenom multi-modalne analize, sa uzimanjem u obzir uticaja vi{e relevantnih tonova oscilacija. Ukupni rezultati dobijaju se kombinovanjem rezultata uticaja pojedinih tonova, primenom SRSS metode ("kvadratni koren sume kvadrata") na primer. 5. UPRO[]ENA MODALNA SPEKTRALNA ANALIZA U slu~aju konstrukcija ~ija je dispozicija regularna kako u osnovi tako i po visini, ve}ina propisa pojednostavljuje problem dozvoljavanjem primene upro{}ene modalne analize. Osnovna pretpostvaka je da ukupna masa sistema osciluje samo u prvom, osnovnom tonu, ~iji period i oblik oscilovanja dovoljno ta~no opisuju kretanje sistema, slika 5.4.a. d 3 W F d ekv F b µ d =,0 d H H = H W F a. H ekv W=W +W b. A (a g ) µ d =,5 µ d =5,0 µ d =0 c. a g a g T Period (s) Slika 5.4 Upro{}ena modalna analiza Realni sistem sa vi{e masa, teìna spratova W i koji osciluje u prvom tonu, slika 5.4.a, moè da se zameni ekvivalentnim sistemom sa jednim stepenom slobode, ~ija je masa m jednaka ukupnoj masi realnog sistema, i koji ima isti period oscilovanja T, slika 5.4.b. 5-

42 Kako su periodi i masa jednaki, oba sistema imaju jednako prora~unsko pseudo ubrzanje A(a g ). Ukupna seizmi~ka sila F b tako e je identi~na F b = m a g A(a g ) = W a g A / g (5.) Ubrzanja A i pojedinih masa realnog sistema se razlikuju, najve}a pseudo ubrzanja ima masa na vrhu, sa najve}im pomeranjem d A i = ω d i (5.) Da bi pri istoj krutosti EI na savijanje, a sa masom jednakom ukupnoj masi objekta m, ekvivalentni sistem imao isti period oscilovanja T, visina H ekv ekvivalentnog sistema mora da je manja od ukupne visine realne konstrukcije H, i okvirno se kre}e u granicama H ekv 0,7H. Zbog toga pomeranje d ekv ekvivalentnog sistema nije jednako pomeranju vrha realne konstrukcije, koje je pribli`no 50% ve}e. O ovome treba voditi ra~una kod upotrebe spektra pomeranja, slika.7.b. Period oscilovanja u prvom tonu moè da se pribli`no odredi preko pojednostavljene Rejlijeve relacije /3/ T = (d W ) (5.3) gde je d W pomeranje, u metrima, vrha konstrukcije usled optere}enja horizontalnim silama jednakim teìnama spratova W i, slika 5.5.a-b. d W d d W 5 W 5 F F W W W 4 W 4 d d W W 3 3 F W W W W W a. b. z c. Fb=ΣFi F b =ΣF i F W Slika 5.5 Period oscilovanja i raspodela seizmi~kog optere}enja z z n = H d. Raspodela ukupne seizmi~ke sile F b po pojedinim masama - etaàma moè da se izvr{i prema pomeranjima d i pojedinih spratova, slika 5.5.c. F F Wd i i i = b Wd j j j (5.4) Me utim, u fazi prora~una seizmi~kog optere}enja, pomeranja spratova jo{ uvek nisu odre ena. Dovoljno je ta~no ako se usvoji oblik pomeranja koji fizi~ki ima smisla - korektni konturni uslovi, ili poznati dijagram pomeranja od nekog drugog optere}enja, recimo od teìna spratova prema slici 5.5.b. Imaju}i u vidu ukupnu ta~nost postupka, dozvoljava se i pretpostavka da se pomeranja menjaju linearno sa visinom, slika 5.5.d, u kom slu~aju sile spratova iznose F F Wz i i i = b Wz j j j (5.5) 5-3

43 gde su z vertikalne koordinate spratova u odnosu na uklje{tenje modela. Primer 5... Sra~unati period oscilovanja konstrukcije sa dva AB zida, slika 5.6.a. Teìne svih etaà su jednake W=394 kn. Debljina zidova b W =5cm. Moduo elasti~nosti E b =3 0 7 knm. W 5 m 5 W 5 d W W 4 Kruta tavanica m 4 W 4 W 3 W W Z Z H=5h = 5x3,5=7,5m m 3 m m E(I +I ) W 3 W W q i =W i /h i 3,0 4,5 a. b. c. d. Slika 5.6 Odre ivanje perioda a) dispozicija, b) dinami~ki model c) fiktivno optere}enje d) prora~unski model I =0,5x3 3 /=0,3375 m 4 I =0,5 x4,5 3 / =,39 m 4 ΣI=I +I = 0,3375 +,39 =,476 m 4 W j =W=394 kn q = W / h = 394/3,5 =, kn/m d W = qh 4 /8EΣI =,x7,5 4 /8 x3x0 7 x,476 = 0,96 m T= 0,96 =,08 s Primer 5... Uz pretpostavku da je ukupno sezimi~ko optere}enje 5% teìne objekta iz prethodnog primera, odrediti raspodelu ukupnog optere}enje po visini: prema pomeranjima usled teìna spratova i prema linearnoj raspodeli. Nivo - j z ξ = -z/h W j d j W j d j F j V j M j m kn m knm kn kn knm Σ= Tabela Nivo Ukupna sila (kn) Nivo Ukupni moment (knm) a. 3.5 b Slika 5.7 a) Raspodela sila i b) dijagrami momenata savijanja 5-4

44 Rezultati prora~una raspodele optere}enja prema pomeranjima prikazani su u Tabeli 5. i na slici 5.7, linija. Pomeranja konzole usled podeljenog optere}enja q iznosi d(ξ)=d W /3(3-4ξ+4ξ 4 ) gde je d W pomeranje vrha iz Primera 5.. Nivo - j z W j W j z j F j V j M j m kn knm kn kn knm Σ= Tabela 5. Rezultati prora~una raspodele optere}enja prema linearnoj aproksimaciji prikazani su u Tabeli 5. i na slici 5.7, linija. Raspodela ukupnog seizmi~kog optere}enja na pojedine zidove prema krutostima na pomeranje u ovom slu~aju moè da se izvr{i proporcionalno krutosti EI preseka zidova na savijanje. 5.3 PLASTI^NI MEHANIZMI SISTEMA SA VI[E STEPENI SLOBODE Pri razmatranjima sistema sa jednim stepenom slobode usvojeno je da se sva nelinearna deformacija sistema - rotacije usled momenata savijanja odvijaju u oblasti uklje{tenja konzole, u plasti~nom zglobu konstrukcije, slika 5.8.a. d m d m d m d m F b F b F b F b θ θ θ H W θ a. b. c. d. Slika 5.8 Plasti~ni mehanizmi konstrukcija Da bi se ograni~ilo ukupno seizmi~ko optere}enje F b sloènijih konstrukcija, neophodno je da se formira elasto-plasti~ni mehanizam konstrukcije. Kod sistema zidova koji deluju kao konzole, mehanizam se formira u nivou uklje{tenja svih zidova - konzola, slika 5.8.a. Kod sistema okvira, poèljno je da se plasti~ni zglobovi formiraji na krajevima greda i u uklje{tenju stubova, slika 5.8.b. Kod sistema povezanih zidova, sa pre~kama - veznim gredama, osim u uklje{tenju samih zidova, plasti~ni zglobovi treba da se otvore i u veznim gredama, slika 5.8.c. Zavisno od proporcija veznih greda i nivoa optere}enja transverzalnim silama, mogu}e je formiranje 5-5

45 ili zglobova na oba kraja vezne grede, ili formiranje transverzalnog plasti~nog zgloba prema slici 5.8.c. Navedeni primeri su idealni slu~ajevi, kod kojih pomeranja konstrukcije nakon stvaranja mehanizma rastu proporcionalno visini. Ugao rotacije mehanizma definisan je odnosom maksimalnog pomeranja pri zemljotresu i visine objekta, θ = d m / Η. Kod konstrukcija sa "mekim" ili fleksibilnim prizemljem, slika 5.8.d iznos prinudnog pomeranja d m pri zemljotresu ostvaruje se dominantno deformacijama prizemlja. U ovom slu~aju, rotacija mehanizma θ je znatno ve}a, pa su i deformacije krajeva stubova, zahtevi za duktilno{}u znatno pove}ani. Konstrukcija je osetljiva i na efekte drugoga reda, pa se kod ovih sistema ne dozvoljava zna~ajnija redukcija seizmi~kog optere}enja, ili se pak zabranjuju propisima. 5.4 OBEZBE\ENJE MEHANIZMA KONSTRUKCIJE - "PROGRAMIRANO PONA[ANJE" Koncept sniàvanja seizmi~kog optere}enja formiranjem plasti~nog mehanizma limitirane nosivosti podrazumeva da je projektant prethodno odabrao mesta formiranja plasti~nih zglobova. U konstrukciji koja se "sastoji" od oblasti plasti~nih zglobova i oblasti "elasti~nog pona{anja", plasti~ni zglobovi su "osigura~i" konstrukcije od preoptere}enja elasti~nih zona, "najslabiji" delovi konstrukcije, ali sa kontrolisanim pona{anjem, projektovani na èljeni nivo momenata savijanja. Osim obezbe enja zahtevane duktilnosti plasti~nih zglobova, pouzdan mehanizam podrazumeva i slede}e: - da se plasti~ni zglobovi formiraju u èljenim presecima, a ne nekim drugim, nekontrolisano, i - da ostali, na zglobove priklju~eni delovi konstrukcije, od kojih se o~ekuje da se pona{aju elasti~no, mogu da izdrè najve}e uticaje koji se mogu javiti u plasti~nim zglobovima pri pomeranjima usled zemljotresa. "Ne znaju}i za namere projektanta", prinudna pomeranja konstrukcije i rotacije preseka usled zemljotresa vrlo verovatno }e u plasti~nim zglobovima izazvati momente jednake kapacitetu nosivosti preseka na savijanje, a oni mogu zna~ajno da se razlikuje od prora~unskih momenata nosivosti. Da bi se priklju~eni delovi konstrukcije pona{ali elasti~no, o~igledno da moraju biti dimenzionisani na realni kapacitet nosivosti plasti~nih zglobova pri datim pomeranjima. Pri tome, potrebno je obezbediti da se plasti~ni mehanizam formira upravo rotacijama zglobova, a ne nekim drugim, nepoèljnim formama mehanizma, kao {to je gubitak stabilnosti u ~eli~nim konstrukcijama, ili krti lomovi usled transverzalnih sila u AB konstrukcijama. Obezbe enje ostatka konstrukcije od preoptere}enja usled pobu ivanja realne nosivosti plasti~nih zglobova naziva se konceptom programiranog pona{anja (izvorno - capacity design). Na projektantu je da obezbedi hijerarhiju nosivosti konstrukcije, da "kaè konstrukciji kako }e da se pona{a pri zemljotresu". Primer Za prora~unsko seizmi~ko optere}enje konzolnog zida na slici 5.9.a usvojena je ukupna seizmi~ka sila F b (=F e /R). Presek u uklje{tenju - plasti~ni zglob dimenzionisan je na moment savijanaja M=F b H F i transverzalnu sili Q=F b. Na koje uticaje treba dimenzionisati konstrukciju, ako je realno izvedena nosivost plasti~nog zgloba na savijanje M u =αm? Odgovor elasti~ne konstrukcije prikazan je linijom, a o~ekivani, prora~unski odgovor konstrukcije sila-pomeranje prikazan je linijom na slici 5.9.b. 5-6

46 d m Uz pretpostavku da je stvarno d y pomeranje pri zemljotresu jednako F ra~unskom pomeranju d m elasti~ne F b F e konstrukcije, u plasti~nom zglobu }e se indukovati moment savijanja M u =αm>m, zavisno od realne kolie W ~ine ugra ene armature i njenih karakteristika, Q u slu~aju AB konstrukcija M F cd 3 na primer. 4 W U tom slu~aju promeni}e se i F b ukupno seizmi~ko optere}enja, F cd =M u Q t /H F = αm/h F. Realan odgovor konstrukcije prikazan je linijom 3 na slici M t a d 5.9.b. d y d a. b. ycd Za pona{anje objekta u celini, d m realno ve}a nosivost plasti~nog zgloba Slika 5.9 Koncept programiranog pona{anja ~ak je i povoljna, jer }e nelinearne deformacije nastupiti kasnije, pri pomeranju d ycd, o{te}enja }e biti manja. Me utim, oblast plasti~nog zgloba treba obezbediti na realnu transverzalnu silu Q=F cd, a vi{i deo konstrukcije i na realni moment αm. Pri zemljotresu, od temelja se o~ekuje da se pona{aju elasti~no, ako nije druga~ije pretpostavljeno u analizi. Pri realnim uticajima u plasti~nom zglobu, potrebno je i temelj i {ipove na slici 5.9 sra~unati na uticaje Q t =F cd i M t =αm. U AB konstrukcijama, pri zemljotresu vi{ak armature ne mora da bude na strani sigurnosti, jer je optere}enje tipa "prinudne deformacije"! Ukolika su pomeranja konstrukcije zna~ajna, ukupno seizmi~ko optere}enje moè da opadne, jer se deo kapaciteta nosivosti plasti~nog zgloba angaùje na uravnoteènju momenata usled gravitacionog optere}enja - efekti drugoga reda, F b =(M u - We W )/H W, linija 4 na slici 5.9. H F H p 5.5 OCENA PONA[ANJA KONSTRUKCIJA NELINEARNOM STATI^KOM ANALIZOM Osim za istraìvanja, ponekada je i u praksi potrebno odrediti nosivost konstrukcije na horizontalna optere}enja, tok i kapacitet deformacija konstrukcije koja je prethodno dimenzionisana, i ~iji su detalji poznati, slika 5.0. f d 6 5 F F "g+p/" M - u F y k k s 4 M + u θ 8 4 0,75M y 3 θ c. "Lom" a. b. 7 8 µ d d u d y d m d d p Slika 5.0 "Pushover" analiza 5-7

47 Sa poznatim detaljima armature, moè da se odredi kapacitet nosivosti plasti~nih zglobova, ~ija je dispozicija prethodno usvojena - pretpostavljena, slika 5.0.b. Ako nije unapred jasno koji mehanizam ima najniù nosivost, potrebno je ispititati sve potencijalno opasne mehanizme, jer su velike {anse da zemljotres aktivira upravo najslabiji. Uz pretpostavku da seizmi~ko optere}enje F ima u svim fazama isti oblik raspodele po visini, {to nije ta~no, konstrukcija se "horizontalno gura" postepeno pove}avaju}i nivo ukupnog optere}enja F - tzv. "pushover analiza". Kada u nekom od preseka prognoziranih plasti~nih zglobova vrednost momenta savijanja dostigne kapacitet nosivosti, kruta veza elemenata zamenjuje se umetanjem "plasti~nog zgloba" sa parom momenata savijanja na priklju~enim elementima. U toku analize prati se razvoj formiranja mehanizma, redosled otvaranja zglobova, oznake -8 na slici 5.0.b. Za definisanje po~etne krutosti k usvaja se trenutak otvaranja prvog plasti~nog zgloba, ta~ka na slici 5.0.c, ili karakteristi~na ta~ka pri 75% nosivosti konstrukcije. Sa porastom optere}enja, konstrukcija se "para", do formiranja kompletnog mehanizma pri pomeranju d p i optere}enju, kapacitetu nosivosti F y, slika 5.0.c. Najranije otvoreni plasti~ni zglobovi ima}e i najve}e post-elasti~ne deformacije, pa i najve}e zahteve za obezbe enjem potrebne duktilnosti, tako da se na nivou konstrukcije u celini moè govoriti o "prose~noj potrebnoj duktilnosti" µ d. Nosivost mehanizma F y i vrednost o~ekivanog pomeranja d m pri zemljotresu defini{u efektivnu sekantnu krutost k s, na kojoj se zasnivaju moderni koncepti prora~una pomeranja nelinearne konstrukcije na zamenjuju}em modelu. Nakon formiranja plasti~nog mehanizma, rad spoljnog optere}enja F na dodatnim pomeranjima usled rotacije θ jednak je radu momenata nosivosti plasti~nih zglobova M u na rotacijama krajeva greda θ. 5-8

48 6. KONCEPT SAVREMENIH PROPISA - UVOD U EVROKOD 8 (EC8) UVOD Prethodna razmatranja se u ovom poglavlju sistematizuju u formi savremenih propisa, za ~iji je "uzorak" usvojen predlog budu}ih evropskih propisa Evrokod 8 /3/. 6. OP[TI ALGORITAM PROPISA Na osnovu prethodnih op{tih razmatranja treba oformiti korektan, ali i dovoljno jednostavan koncept i detalje propisa za primenu u svakodnevnoj praksi. Ulazni seizmi~ki podaci - zna~aj objekta - γ I - ubrzanje na steni - a g - lokalno tlo - S Elasti~ni spektar Op{ti deo, zajedni~ki za sve materijale i sisteme Konstrukcijski sistem, primenjeni materijali - duktilnost pomeranja - faktor redukcije opt. q=r Specifi~no za beton, ~elik i konstr. sisteme (zid, okvir.) a g, S q Nelinearni spektar Projektno optere}enje Fb Analiza - upro{}ena modalna - multimodalna Koncept programiranog pona{anja Sile u presecima Pomeranja Deformacije γ I Dimenzionisanje i detalji plasti~nih zglobova Kontrola pomeranja, funkcionalnost Nosivost T p = 475 godina Funkcionalnost, o{te}enja T p < 475 godina Slika 6. Algoritam projektovanja seizmi~ki otpornih konstrukcija 6-

49 Uva`avaju}i ~injenicu da je zemljotres samo jedno od dejstava na konstrukciju, a da sva ostala (stalno, korisno,...) in`enjeri u praksi modeliraju kao spoljno optere}enje konstrukcije, ve}ina propisa, pa i EC8 efekte zemljotresa na konstrukcije interpretira kao jo{ jedan slu~aj spoljnog optere}enja, slika.3.a. U tom slu~aju, iznos projektnog optere}enja, uz uslov da je obezbe en duktilan nelinearan odgovor konstrukcije generalno se odre uje prema op{tem algoritmu prikazanom na slici 3.. Imaju}i u vidu specifi~nosti konstrukcija u pogledu primenjenih materijala, tehnologija gra enja i konstrukcijskih re{enja objekata - dispozicija, op{ti algoritam se naravno modifikuje. Usvajaju}i dodatno i koncept programiranog pona{anja kao meru obezbe enja pouzdanosti plasti~nog mehanizma konstrukcije u celini, algoritam prema EC8 prikazan je na slici ULAZNI SEIZMI^KI PODACI Prema EC8, nacionalna teritorija se deli na "seizmi~ka podru~ja", zavisno od "lokalnog hazarda". Za povratni period referentnog zemljotresa usvaja se T p =475 godina. Kao referentni podatak za opisivanje efekata zemljotresa usvaja se maksimalno ubrzanje tla a g na nivou osnovne stene, slika.. Za primenu u praksi, seizmi~ke karte intenziteta treba zameniti kartama ubrzanja osnovne stene. Oblasti sa ubrzanjima a g >0,0g smatraju se oblastima visoke seizmi~nosti. U oblastima sa ubrzanjima a g <0,04g nije potrebna posebna analiza za uticaje zemljotresa. Klasifikacija lokalnog tla, vr{i se prema brzini prostiranja smi~u}ih talasa kroz tlo. Za razli~ite klase tla defini{e se multiplikator S ubrzanja a g osnovne stene: Klasa A stena brzina talasa V s >800 m/s S =,0 Klasa B zbijene naslage brzina talasa V s >00 m/s S =,0 Klasa C rastresite naslage brzina talasa V s <00 m/s S = 0,9 6.3 ELASTI^NI SPEKTAR UBRZANJA Efekti dejstva zemljotresa na elasti~an sistem sa jednim stepenom slobode i periodom oscilovanja T opisuju se elasti~nim spektrima ubrzanja, sa prigu{enjem od 5%. S e (T) = a g S A(a g ) (6.) Funkcija A(a g ) za kategoriju tla B prikazana je crtkastom linijom na slici 6.. Kriva dobro opisuje efekte zemljotresa El Centro, ali ne i na{e lokalne zemljotrese, o ~emu eventualno treba voditi ra~una pri dono{enju budu}ih nacionalnih propisa. Elasti~ni spektri ubrzanja definisani su relacijama (6.-5), gde je β 0 faktor amplifikacije ubrzanja konstrukcije, T B, T C i T D karakteristi~ne periode, S parametar lokalnog tla, a µ korekcioni faktor za slu~aj prigu{enja razli~itih od 5% (za ξ=5%, µ=,0 ). U tabeli 6. prikazane su vrednosti parametara zavisno od kategorije lokalnog tla. 0 T T B T Se( T) = as g + ( ηβ 0 ) TB (6.) T B T T C S ( T)= asηβ 0 (6.3) e TC k T C T T D Se( T) = as g ηβ 0 ( ) T TC k TD k T D T Se( T) = as g ηβ 0 ( ) ( ) T T g D (6.4) (6.5) 6-

50 5 4 Beograd Petrovac EC8 - q=,0 EC8-S d (C) Kat. tla Tabela 6. S β 0 k k T B T C T D A,0,5,0,0 0,0 0,40 3,0 B,0,5,0,0 0,5 0,60 3,0 C 0,9,5,0,0 0,0 0,80 3,0 A (a g ) 3 El Centro Ulcinj EC8-S d (B) EC8-S d (A) EC8-S e (B),5a g A (a g ) a g Kategorija tla B Prigu{enje 5% Period (s) Slika 6. Elasti~an spektar ubrzanja T B =0,5 T C =0,60 T D =3,00 T(s) Slika 6.3 Parametri spektra Za kategoriju tla B, na slici 6.3 ilustrovane su karakteristi~ne vrednosti elasti~nog spektra ubrzanja, pri ~emu je A(a g ) = S e (T)/a g S. Za krute konstrukcije, sa niskim periodama sopstvenih oscilacija, ubrzanje konstrukcije je prakti~no jednako ubrzanju tla a g. U oblasti srednjih perioda T<T C, ubrzanja konstrukcije su,5 puta ve}a od ubrzanja tla. 6.4 KLASE DUKTILNOSTI KONSTRUKCIJA Elasti~ni odgovor konstrukcije je teorijska gornja granica optere}enja konstrukcijskog sistema. Me utim, svaka armiranobetonska konstrukcija poseduje izvestan kapacitet nelinearnih deformacija, kako zbog pojave prslina, tako i zbog ~injenice da dimenzionisanje preseka sa dilatacijama ~elika od 0,00 ili vi{e, obezbe uje izvestan minimalni kapacitet nelineranih deformacija - najniù realnu duktilnost konstrukcije. Pri redukciji elasti~nog odgovora do nivoa prihvatljivog, projektnog optere}enja tako e postoji granica. Niè sile podrazumevaju ve}i udeo nelinearnih deformacija koje konstrukcija treba da izdrì bez zna~ajnijeg pada nosivosti. Pored toga, rano otvaranje plasti~nih zglobova, pri malim horizontalnim silama, sniàva op{tu stabilnost konstrukcije za dejstva gravitacionih optere}enja i vetra. Zbog toga se, za razli~ite vrste konstrukcijskih sistema ograni~ava najnià vrednost projektnog optere}enja, odnosno najvi{a prihvatljiva duktilnost konstrukcije. Nezavisno od vrste konstrukcijskog sistema, EC8 nudi izbor izme u tri nivoa projektnog optere}enja, nazvana klasom duktilnosti: klasa visoke duktilnosti sa oznakom DCH (najniì iznos projektnog optere}enja), klasa srednje duktilnosti - DCM i klasa niske duktilnosti - DCL (najvi{i iznos projektnog optere}enja). Za svaku od klasa duktilnosti, definisani su i odgovaraju}i uslovi za konstruisanje detalja koji treba da obezbede zahtevano pona{anje konstrukcije. Projektanti se u praksi sve ~e{}e susre}u sa sloènim arhitektonskim zahtevima, koji za posledicu imaju nejasna konstrukcijska re{enja sa stanovi{ta pona{anja u uslovima zemljotresa, koja se ne uklapaju u "idealne konstrukcijske sisteme" na koje se eksplicitno odnose stavovi EC8. Ovakvi sistemi se ~esto nazivaju sistemima ograni~ene duktilnosti, za koje se dokaz sigurnosti vr{i sa pove}anim seizmi~kim uticajima. 6-3

51 6.5 DOZVOLJENA VREDNOST FAKTORA REDUKCIJE OPTERE]ENJA - FAKTORA PONA[ANJA PREMA EC8 înjenicu da raspoloìva duktilnost pomeranja realnih konstrukcija zavisi od raspoloìve duktilnosti krivina preseka elemenata kao i konstrukcijskog sistema, EC8 uvaàva definisanjem promenljive vrednosti faktora redukcije optere}enja R, koji se u EC8 naziva faktor pona{anja q : gde su q 0 k D k R k W q=q 0 k D k R k W (,5 q q 0 ) (6.6) osnovna vrednost faktora pona{anja, zavisna od vrste konstrukcijskog sistema, definisana u Tabeli 6.; faktor koji uzima u obzir usvojenu klasu duktilnosti, jednak: =,00/0,75/0,50 za klase duktilnosti DCH/DCM/DCL, respektivno; faktor koji uzima u obzir pravilnost konstrukcije po visini, jednak:,00/0,80 za regularne odnosno neregularne konstrukcije, respektivno; faktor koji uzima u obzir "preovla uju}u vrstu loma konstrukcijskih sistema sa zidovima", zavisno od toga da li su zidovi vitki ili kratki. Za okvirne sisteme je k W =, dok za sisteme zidova i dvojne sisteme zidova, njegova vrednost zavisi od preovla uju}ih proporcija zidova, i manja je od,0 kada je odnos visine prema {irini zida manji od 3. Tabela 6.: Osnovne vrednosti faktora pona{anja q 0 VRSTA KONSTRUKCIJSKOG SISTEMA q 0 Okvirni sistem 5,0 sa dominantnim okvirima 5,0 sa dominantnim zidovima, 5,0 Dvojni sistem sa povezanim zidovima sa dominantnim zidovima, 4,5 sa nepovezanim zidovima Sistem zidova sa povezanim zidovima 5,0 sa nepovezanim zidovima 4,0 Sistem sa jezgrom 3,5 Sistem obrnutog klatna,0 Minimalna vrednost faktora pona{anja ograni~ena je na,5, iz ~ega treba zaklju~iti da "bilo kakva " armiranobetonska konstrukcija, dimenzionisana prema grani~nim stanjima nosivosti, poseduje minimalnu duktilnost, tako da nivo optere}enja moè da se obori na /,5 (67%) punog elasti~nog optere}enja. To {to je za dve konstrukcije usvojena ista klasa duktilnosti, ne mora da zna~i da }e i nivo optere}enja biti isti, slika 6.4. Vodotoranj, tzv. sistem obrnutog klatna visoke duktilnosti projektuje se na,5 puta ve}e seizmi~ko F e F d F e F (DCL) d maxf b =F e /,5 DCM maxf b =F e /,5 F b DCL DCM DCH minf b =F e /5 Okvir q 0 =5,0 F b =S d W d F b DCH minf b =F e / F b =S d W "Obrnuto klatno" q 0 =,0 a. b. d d y d m d y d m Slika 6.4 Klase duktilnosti: konstrukcijski sistem - projektno optere}enja 6-4

52 optere}enje od okvira tako e visoke duktilnosti. Izborom klase duktilnosti i vrednosti faktora pona{anja, projektant uti~e na nivo projektnog optere}enja usled zemljotresa, pri kome }e da nastupi formiranje plasti~nog mehanizma konstrukcije. Niè projektno optere}enje podrazumeva potrebnu ve}u NOSIVOST OPTIMALAN BALANS DUKTILNOST duktilnost, ve}i iznos nelinearnih deformacija i stroìje uslove za konstruisanje detalja. Prema tome, na projektantu je da izabere optimalno re{enje, balansiraju}i izme u nosivosti i duktilnosti. 6.6 PROJEKTNI (NELINEARNI) SPEKTAR UBRZANJA Prema EC8, za usvojenu klasu duktilnosti, vrednost faktora pona{anja q je konstantna vrednost. Uticaj perioda oscilovanja, videti sliku 3.0.a, EC8 aproksimira razli~itim definisanjem projektnog spektra u podru~ju kra}ih odnosno duìh perioda oscilovanja. A (a g ) q=,00 - Elastic q=,50 - DCL q=3,75 - DCM q=5,00 - DCH Period (s) Sa druge strane, nepouzdanost upro{}ene modalne analize u podru~ju duìh perioda, gde su uticaji vi{ih tonova obi~no zna~ajniji, EC8 popravlja korekcijom eksponenata k i k funkcije elasti~nog spektra (6.4-5). Ordinate projektnog spektra S d (q,t) za vrednost faktora pona{anja q=,0 ("korigovani elasti~ni odgovor konstrukcije") prikazane su na slici 6. za sve tri kategorije tla. Ordinate tako koncipiranog projektnog spektra definisane su izrazima (6.7-0). Da bi se ukupna seizmi~ka sila F b izrazila kao proizvod Slika 6.5 Projektni spektar ubrzanja F b =S d W ( W - ukupna teìna konstrukcije), umesto ubrzanja osnovne stene a g pojavljuje se odnos α = a g /g : T β 0 0 T < TB Sd( T) = α S + ( ) TB q (6.7) T T < T S ( T) = α Sβ 0 / q ( = S ( T)/ gq) (6.8) B C d e TC kd TC T TD Sd( T) = α S β 0 ( ) 00, α (6.9) q T TC kd TD kd TD T Sd( T) = α S β 0 ( ) ( ) 00, α (6.0) q T T gde je k d = /3 a k d =5/3. Za kategoriju tla B, na slici 6.5 prikazan je nelinearni, projektni spektar ubrzanja za razli~ite vrednosti faktora pona{anja q. D 6-5

53 6.7 REGULARNOST KONSTRUKCIJE Za pouzdano pona{anje konstrukcije pri zemljotresu, jedna od najefikasnijih mera je obezbe enje regularnosti konstrukcije, kako u osnovi tako i po visini, slika 6.6. Konstrukcije H M koje su stabilne za Lift uticaje gravitacionih Pasarela optere}enja, mogu u b w toku zemljotresa da postanu nestabilne i CM da doìve kolaps, F bx F bx slika 6.6.a. Radijalno a. b. raspore eni zidovi F e CK c. M Q Q +Q l w M Q z e H M = F bx e/z M /l w d. e. Slika 6.6 Regularnost konstrukcije 3 konstrukcije hotela mogu da prime horizontalne uticaje prakti~no samo u svojoj ravni. Rezultanta sila zidova prolazi kroz centar krutosti - CK, na ekscentricitetu e u odnosu na centar mase - CM. Konstrukcija je uslovno stabilna samo u slu~aju horizontalnih uticaja u upravnom pravcu, kada rezultanta seizmi~kih sila koje deluju u centru mase prolazi kroz centar krutosti. Pri dejstvu zemljotresa u popre~nom pravcu, stvara se neuravnoteèni moment torzije u osnovi F bx e koji moè lako dovesti do kolapsa. Dodavanje vertikalnog liftovskog {ahta, povezanog pasarelom sa tavanicom objekta, formalno re{ava problem torzije, jer se moment torzije osnove moè prihvatiti spregom sila H M =F bx e/z, slika 6.6.b. Betonska konstrukcija liftovskog jezgra verovatno da moè da prihvati predvi ena optere}enja, ali problem fundiranja je u ovakvim slu~ajevima ponekada te{ko re{iv. Naime, zna~ajne horizontalne sile prenete su na element ~ije je gravitaciono optere}enje nesrazmerno, pa je te{ko spre~iti preturanje konstrukcije, bez povezivanja sa temeljima susednih elemenata koji imaju zna~ajniju normalnu sili. Na slici 6.6.c prikazan je primer konstrukcije tako e hotela, sa dva AB zida oslonjena na re{etkasti okvir. Za uticaje gravitacionih optere}enja konstrukcija je stabilna, moè da bude stabilna i u slu~aju zemljotresa, samo je nejasno koji nivo optere}enja usvojiti, kolika je vrednost faktora pona{anja, i kako izgleda plasti~ni mehanizam odnosno raspored plasti~nih zglobova? U "uklje{tenju" {estoeta`nih nose}ih zidova elasti~no "fundiranih" na okviru, sigurno ne mogu da se realizuju plasti~ni zglobovi. Tehni~ki je izvodljivo, ali ipak treba izbegavati komplikovane "migracije" horizontalni sila naglom promenom konstrukcijskog sistema u jednoj etaì, slika 6.6.d. Prenos seizmi~kog optere}enja bo~nih zidova mora u nivou najniè tavanice da se reorganizuje, da se momenti do temelja sprovedu spregom sila stubova, {to moè da ugrozi stubove, a da se transverzalne sile preko tavanice prevedu na srednji zid. 6-6

54 Kona~no, "sitni detalji" mogu da izmene pretpostavljeno pona{anje konstrukcije. Konstrukcija okvira na slici 6.6.e. moè pri zemljotresu da se blokira prisustvom stepenica, detalj. Naknadno umetanje pregradnih zidova u ravni okvira moè da izazove skra}enje visine stuba i lom transverzalnim silama, detalj. Ako je povr{ina ispune zna~ajna a ispuna intimno spojena sa okvirom, detalj 3, velika je verovatno}a da }e se umesto sistema sa dve mase, konstrukcija pona{ati kao sistem sa fleksibilnim prizemljem, i da }e se sva deformacija obaviti u okviru prizemlja, {to je vrlo neprijatno i nepoèljno, prema EC8 prakti~no zabranjeno. 6.8 TORZIONA KRUTOST KONSTRUKCIJE Pri razmatranju stabilnosti konstrukcija usled samo gravitacionih optere}nja, obi~no se ne proverava torziona krutost i stabilnost objekta u celini, otpornost na uvrtanje oko vertikalne ose usled gravitacionih optere}nja. Pri zemljotresu, torzione oscilacije, deformacije i naprezanja postaju zna~ajni, pri ~emu torziona krutost objekta uti~e ~ak i na dozvoljenu maksimalnu vrednost redukcije optere}enja, faktora pona{anja q. Na slici 6.7.a prikazana je osnova poslovnog objekta, sa ~etri AB k xo k x k x zida, bez izraènih okvira. Torziona krutost konstrukcije najve}a je ako su zidovi na fasadi, a=l/, k x k x b=b/. Ako su zidovi a a k xo koncentrisani ka centru osnove i konstrukcija prelazi u "sistem sa jezgrom", L L a. b. tada bi ve}e dopu{tene Slika 6.7 Torziona krutost nelinearne deformacije zidova uz rotacije tavanice mogle u ravni fasade da izazovu neprijatne posledice, prevelika ukupna pomeranja. U konkretnom slu~aju, kada je a=l/4 (b=b/4), torziona krutost objekta prema EC8 postaje niska, i sistem treba tretirati kao sistem sa jezgrom, sa sniènom osnovnom vredno{}u faktora pona{anja q 0 = 3,5. U ovakvim situacijama, potrebno je konstruisati okvire po obimu objekta, ~est koncept konstrukcije u slu~aju visokih objekata, slika 6.7.b. Za prizemlje konstrukcije na slici 6.6.d tako e se moè re}i da je torziona krutost problemati~na. k y k y b b 6.9 KRUTOST TAVANICA U SVOJOJ RAVNI B k yo k y Da bi vertikalni nose}i elementi mogli da prihvate inercijalne sile masa tavanica, moraju pre svega da budu pouzdano povezani sa tavanicama. Sa druge strane, da bi se obezbedila prora~unska pretpostavka da tavanice diktiraju pomeranja priklju~enih vertikalnih elemenata, moraju konstrukcije tavanica u svojoj ravni da budu dovoljno krute, slika 6.8.a. U suprotnom, moè do}i ~ak i do nezavisnog oscilovanja pojedinih vertikalnih elemenata sa pripadaju}im masama tavanica, pa i do kolapsa sistema, ukoliko su dva dela konstrukcije pojedina~no torziono nestabilni, delovi A i B na slici 6.8.b. k y k yo B 6-7

55 a. b. CK B CM CM A CK B CK A CK A A B CK A A CM B B A B A B Slika 6.8 Krutost tavanica 6.0 OSNOVNI NOSE]I SISTEM PRI ZEMLJOTRESU Ako je dispozicija konstrukcije usvojena, potrebno je odlu~iti koji od raspolo`ivih konstrukcjskih elemenata treba uklju~iti u prora~unski model za prijem horizontalnih optere}enja. Na~elno, treba uklju~iti sve elemente ~ije prisustvo zna~ajnije uti~e na dinami~ko pona{anje konstrukcije, na period oscilovanja i iznos optere}enja i pomeranja. Na slici 6.9 prikazana je osnova objekta koji sadr`i okvire i dva zida u x - pravcu, za koju je usvojeno da se projektuje kao konstrukcija klase visoke duktilnosti - DCH. Zbog potpune simetrije, centar masa CM i krutosti CK se poklapaju, slika 6.9.a. Okvir Y DCH Y Y B Okvir L Zid CM=CK F X x (q=4,0) X e x a. b. c. F y (q=5,0) e y X Slika 6.9 Osnovni nose}i sistem Za kontrolu objekta za uticaje zemljotresa u x - pravcu, obi~no se za osnovni nose}i sistem usvajaju samo zidovi, slika 6.9.b. Za uticaj zemljotresa u y - pravcu nema dileme, tri okvira su nose}i sistem. Objekat u celini svrstan je u klasu visoke duktilnosti, ali vrednost faktora pona{anja pa ni projektnog optere}enja nije ista za oba pravca, jer se razlikuje konstrukcjski sistem. Za nepovezane zidove je q 0 =4,0, a za okvire je q 0 =5,0. Prikazana dispozija name}e jo{ jedno pitanje. Formalno, zbog poklapanja centra masa i krutosti, pri horizontalnim uticajima nema torzionih naprezanja. Me utim, bilo zbog razli~itih kvaliteta materijala (razli~ito E b ), bilo zbog razli~itog stanja prslina (razli~ita krutost), bilo zbog odstupanja rasporeda optere}enja od pretpostavljenog, torzioni efekti uvek postoje, i treba ih uzeti bar u minimalnom iznosu - tzv. slu~ajni ekscentricitet. Za ilustraciju, red veli~ine koji se ~esto primenjuje je iznos od 5% odgovaraju}e dimenzije objekta, e x = 0,05B, odnosno e y =0,05L prema slici 6.9. b-c. Izbor zidova za osnovni sistem u x - pravcu ne zna~i da se okviri u tom slu~aju mogu u potpunosti zaboraviti - zanemariti. Okviri moraju da prate deformacije osnovnog sistema - zidova, sa nepoznatim ra~unskim uticajima jer nisu uklju~eni u prora~un. Prema nekim propisima, okvire ipak treba prora~unati na deo ukupne sile, recimo 5% od F x. Prema 6-8

56 EC8, okviri u ovom slu~aju pripadaju konstrukciji klase visoke duktilnosti, pa detalje armature svakako treba prilagoditi visokim zahtevima za tu klasu. Na slici 6.0. ilustrovan je odgovor dvojnog sistema konstrukcije, okvira i zida pri zemljotresu. Odgovor samostalnog zida na uticaj sile F prikazan je linijom Z, odgovor samo okvira linijom O a odgovor kompletnog sistema okvira i zida linijom Z+O, slika 6.0.b. (O pona{anju dvojnih sistema, videti /5/, /6/). Ako se za osnovni nose}i sistem usvoji samo zid, ~est slu~aj u praksi, prora~unski mehanizam konstrukcije se formira pri optere}enju F d i pomeranju d yz, linija na slici 6.0.b. Budu}i da se i okvir pomera, odgovor realne konstrukcije pribli`no je prikazan linijom (period, ukupno optere}enje i pomeranje d m ne}e biti ba{ isti). Ukoliko pri pomeranjima d yo i okviri pre u u mehanizam, ostvaren je potpuni mehanizam konstrukcije. Prema tome, izostavljanje okvira iz osnovnog sistema ne osloba a projektanta obaveze da oceni i obezbedi pouzdano pona{anje okvira. U ovakvim slu~ajevima, naprezanje okvira moè da se proceni naknadno, zadavanjem modelu okvira sra~unatog iznosa i oblika pomeranja osnovnog sistema, prema poglavlju PRORAÛNSKA KRUTOST ELEMENATA Tendencija propisa je da se seizmi~ka pouzdanost konstrukcije osigurava prvenstveno dobrim detaljima i konceptom konstrukcije, a manje sloènim numeri~kim modelima i numeri~kim analizama. Me utim, i jednostavni numeri~ki algoritmi zahtevaju pa`ljiv izbor ulaznih parametara, od kojih je krutost elemenata jedan od najva`nijih, jer direktno uti~e na veli~inu perioda oscilovanja, vrednost ukupnog optere}enja, relativnu raspodelu optere}enja izme u vertikalnih elemenata kao i iznos ukupnih i relativnih pomeranja F e F F d 7x3000=000 F Okvir d yz d m Zid nego i tavanica, slika 6.. O Z+O Z d yo Slika 6.0 Dvojni sistem W/ W/ +d Slika 6. Model zida 3 d d F a. b. Prema EC8, krutosti elemenata mogu da se usvoje na osnovu bruto dimenzija elemenata bez uticaja prslina i armature, "osim kada su pomeranja merodavna"? Pri tome, nema uputstva kako odrediti krutosti u tom slu~aju, prakti~no u svim slu~ajevima. Kao {to je zbrka u propisima, tako je i u praksi. U praksi se prora~unske krutosti greda obi~no usvajaju na osnovu dimenzija rebra, sa zanemarenjem efekta T-preseka zbog prisustva plo~e tavanice. Analogno vaì za stubove. U slu~aju zidova, naj~e{}e se prora~unski moment inercije i samostalnih i sloènih zidova sa flan{ama odre uje samo na osnovu bruto dimenzija pravougaonog preseka rebra zida. Koliko je to opravdano, vide}e se. Stvar se u me uvremenu dodatno zakomplikovala pojavom komercijalnih softvera za prostornu analizu konstrukcija na bazi kona~nih elemenata, gde projektant ima suène mogu}nosti intervencije jer program automatski obuhvata uticaj ne samo flan{i sloènih zidova, 6-9

57 Primer 6... Za presek sloènog zida iz primera 4.5, izvr{iti analizu posledica razli~itih prora~unskih krutosti preseka konstrukcije konzole na odgovor konstrukcije pri seizmi~kim optere}enjima. Masa sistema odre ena je tako da, sa kruto{}u EI 0 bruto preseka sloènog zida, period oscilovanja iznosi T =0,6s A (a g ) 0 T =0,6 EC8 - Kat.tla B q=,0 T =,4 a Period - T (s) F e =.6F e F e Ako se za krutost preseka na savijanje EI usvoji krutost EI 0 bruto I - preseka sloènog zida, elasti~ni odgovor konstrukcije, za vrednost faktora pona{anja q=,0 i tlo klase B prema EC8, prikazan je linijama na slici 6.. Prakti~no isti rezultat dobi}e se i F 3 e modeliranjem konstrukcije kona~nim elementima, slika 6., postupak koji u principu daje najkru}e prora~unske modele o ~emu treba voditi ra~una. Sa 5,5 puta manjom prora~unskom Slika 6. Sloèni zid, analiza efekata prora~unskih krutosti kruto{}u EI ef odre enom na osnovu elasto-plasti~ne aproksimacije, period oscilovanja iznosi T =,4s (T /T = (EI /EI )), a odgovor konstrukcije prikazan je linijama na slici 6.. Ukupno optere- }enje je,6 puta manje (F /F =(T /T ) /3 ), ali je i pomeranje 3, puta ve}e (d /d =F xei /F x EI ) nego u slu~aju modeliranja krutosti na osnovu bruto preseka zida. Ve}i nivo optere}enja zahteva vi{e armature, ako moè da se smesti, plasti~ni mehanizam }e kasnije da se formira i o{te}enja }e verovatno biti manja. Me utim, na osnovu prora~unskog pomeranja d e ne moè da se zaklju~i da li su pomeranja u redu, jer je prora~unska krutost nerealno visoka. Sra~unate vrednosti bi trebalo korigovati, pri ~emu navedena relacija d /d =F xei /F x EI mo`da moè da se usvoji kao gornja granica faktora korekcije ra~unskih pomeranja. Krutost preseka sra~unata samo sa dimenzijama rebra 0/300cm u ovom slu~aju prakti~no se poklapa sa ra~unskom efektivnom kruto{}u, ali ne treba zaboraviti da ona zavisi od nivoa normalne sile kao i koli~ine i rasporeda armature. Oba parametra su u navedenom primeru na donjoj granici uobi~ajenih vrednosti. Usvajanje u praksi samo karakteristika rebra za prora~un krutosti preseka sloènih preseka zidova zasniva se upravo na ~injenici da }e nakon dostizanja ~vrsto}e betona na zatezanje, beton zategnute flan{e i dela rebra zida biti isklju~en iz nosivosti i krutosti preseka, osim armature u ovom zonama. Me utim, onda bi trebalo biti dosledan, pa i za krutost jednostavnog zida pravougaonog preseka, koji nema flan{e, tako e usvojiti efektivnu krutost preseka, {to u praksi naj~e{}e nije slu~aj. Usvajanje sniène krutosti zida I-preseka zida, i pune krutosti zida pravougaonog preseka, za posledicu ima poreme}aj relativnih krutosti i promenu centra krutosti konstrukcije {to dovodi do nerealnih torzionih momenata i preraspodele seizmi~kog optere}enja po pojedinim zidovoma. k =5.5k d e k b. d e d e =3.d e 6-0

58 6. PROSTORNO DEJSTVO ZEMLJOTRESA Kretanje konstrukcije pri zemljotresu je prostorno, primer zapisa Petrovac na slici 6.3.a gde su zajedno prikazani uticaji obe istovremeno registrovane komponenete ubrzanja tla na relativno kretanje mase. Spektar ubrzanja prikazuju maksimalni odgovor sistema u ravni, pri o~ekivanom ubrzanju tla y a. d my b. y c. d my EW NS X-zemljotres 0,30d my d mx x Y-zemljotres 0,30d mx d mx x Slika 6.3 Prostorno dejstvo zemljotresa Kako se maksimalna ubrzanja tla ne mogu istovremeno javiti u dva ortogonalna pravca, to se prostorno dejstvo zemljotresa prema EC8 moè pribli`no uzeti u obzir kombinacijom maksimalnog dejstva u jednom pravcu, sa 30% istovremenog dejstva u upravnom pravcu, slike 6.3.b-c, gde je prikazano prora~unsko pomeranje konstrukcije u osnovi. Za obe istovremene komponente vaì isti projektni spektar ubrzanja. Ako su pomeranja elasti~nog i nelinearnog sistema pribli`no jednaka, pri vrednosti faktora pona{anja q=4-5 konstrukcija }e pre}i u plasti~ni mehanizam i pri 30% maksimalnog pomeranja d mx ili d my. Posledice iznetog zahteva su koso savijanje stubova, pri verovatnom istovremenom dostizanju kapaciteta nosivosti plasti~nih zglobova greda priklju~enih na stub iz dva pravca. Primer 6... Na slici 6.4 prikazana je osnova prizemnog objekta sa tri nose}a zida. Pri dejstvu zemljotresa u X - pravcu, ukupna sila deli se na dva zida Z, slika 6.4.a. Pri dejstvu zemljotresa u Y - pravcu, usled nepoklapanja centra masa CM i centra krutosti CK, javlja se i moment torzije u osnovi, koji moè da bude prihva}en samo spregom sila zidova Z, slika 6.4.b, tako da je u sva tri zida sila jednaka F by. U na{oj praksi i propisima, objekat treba proveriti ili za jedan, ili za drugi slu~aj dejstva zemljotresa. Prema EC8, ova dva slu~aja se kombinuju, tako da zidove treba Z F bx / Z F by F by Z F bx L/4 L/4 Z CM CK F bx / Z L L/4 L/4 F by CM Z CK Z L max F bx / + 0,3F by 0,3F bx / + F by Z Z F by L/ F by L/ L/ L/ a. b. Slika 6.4 Koncept odre ivanja prora~unskih uticaja zidova c. 6-

59 dimenzionisati prema optere}nju prikazanom na slici 6.4.c. Primer na slici 6.4 ukazuje na jo{ jedno pitanje, a to je koji je ugao dejstva zemljotresa φ merodavan. Obi~no se dejstvo zemljotresa ispituje u pravcima glavnih osa konstrukcije objekta. U principu, svaki pojedina~ni element konstrukcije Z treba Y pouzdano da izdrì bilo koji pravac ortogonalnog Z para istovremenih seizmi~kih dejstava. Naj~e{}e su φ X objekti konstruisani u ortogonalnom sistemu, kao i svi primeri do sada. Ako nije o~igledno, onda treba ortogonalni par vektora dejstva postaviti u vi{e Slika 6.5 Dejstvo pod uglom poloàja, slika ,30F µ 6.3 PRORAÛN UTICAJA USLED ZEMLJOTRESA F ξ Za regularne i umereno vitke konstrukcije (T <s prema EC8), analiza se naj~e{}e vr{i upro{}enom modalnom spektralnom analizom, na bazi samo osnovnog tona oscilovanja. Uticaji vi{ih tonova oscilovanja obi~no se uvode korekcijom spektralnih krivih u podru~ju duìh perioda, kao i korekcijom sra~unatih dijagrama momenata i transverzalnih sila zidova uvo enjem prora~unskih anvelopa. Savremeni propisi vi{e pa`nje poklanjaju dobroj dispoziji, konstruisanju i obradi detalja, uz primenu koncepta programiranog pona{anja. Stav je da konstrukciju treba dobro pripremiti za o~ekivana pomeranja, koja je ionako te{ko ta~no predvideti, pogotovo kada se dogodi zemljotres "mimo propisa", koji se ne uklapa u propisane spektralne krive, primer zapisa Ulcinj. U sportskom àrgonu, zglobove konstrukcije treba dobro bandaìrati. 6.4 EFEKTI DRUGOGA REDA U praksi se efekti drugoga reda naj~e{}e ne analizraju, niti komentari{u, izme u ostalog i zbog toga {to nije postojao jednostavan postupak njihove kontrole. Ovi efekti mogu biti posebno zna~ajni kod konstrukcija sa fleksibilnim prizemljem ili spratom, slika 6.6. Prema EC8, efekte drugoga reda ne treba uzeti u obzir ako je za sve spratove zadovoljen uslov h d r P tot V tot Slika 6.6 Uticaji drugoga reda θ = P tot d r /V to t h 0,0 (6.) gde je V tot rezultuju}a seizmi~ka sila u nivou posmatranog sprata, P tot suma gravitacionog optere}enja u nivou sprata, h spratna visina a d r stvarno relativno pomeranje - smicanje sprata. Ukoliko uslov (6.) nije zadovoljen, uticaji drugoga reda obuhvataju se jednostavnim uve}anjem sra~unatog horizontalnog optere}enja F b. Prema (6.), ako je seizmi~ko optere}enje 5% gravitacionog, V tot /P tot = 0,05, efekti drugoga reda su zanemarljivi ukoliko je relativna rotacija sprata d r /h 0,0x0,05 = 0,005. Pri visini sprata od h=3000mm, spratno pomeranje treba da je manje od d r 5 mm. 6-

60 6.5 PRERASPODELA UTICAJA Na slici 6.7 prikazana su dva zida, u op{tem slu~aju razli~ite krutosti na savijanje EI i normalnih sila N usled gravitacionoh optere}enja. d m d m Pri jednakim pomeranjima d m, svaki od zidova prihvata svoj deo a. b. seizmi~kog optere}enja ~ija je rezultanta F F F +, slika 6.7.a, na visini H F od temelja. F + M Na slici 6.7.b prikazani su momenti EI savijanja zidova, proizvod sile i kraka EI F R H F F R H F sila. Za primer, pretpostavlja se da je N N M moment inercije zidova isti, ali da zid ima znatno ve}e gravitaciono F H F F H F optere}enje N >N. U tom slu~aju, F + H F horizontalno optere}enje zidova je Slika 6.7 Preraspodela optere}enja jednako, F =F, pa su i momenti jednaki. Zbog manje normalne sile, zid zahteva}e vi{e armature, a i temelji }e biti nepovoljnije optere}eni. To zna~i i da }e zid imati izraènije prsline, pa realna krutost dva zida istih nominalnih dimenzija ne}e biti ista. Savremeni propisi dozvoljavaju da se u ovakvim slu~ajevima umanji optere}enje kriti~nog zida, ali da se razlika momenata M, a to zna~i i deo horizontalnih sila prebaci na zid, tako da ostane sa~uvana rezultanta F + kao i "moment preturanja" F + H F. Zavisno od klase duktilnosti, vrednost momenta preraspodele M se ograni~ava na 0-30%. H F 6.6 KOEFICIJENTI SIGURNOSTI Prema jugoslovenskim propisima, koeficijent sigurnosti za sva optere}enja u kombinaciji u slu~aju zemljotresa iznosi γ =,3. Na prvi pogled, budu}i da se multiplikuju optere}enja, reklo bi se da se zahteva sigurnost od pojave plasti~nih zglobova. Savremeni propisi znatno jasnije defini{u problem. EC8 na primer, razlikuje koeficijente sigurnosti za materijal γ M od koeficijenata sigurnosti γ F za optere}enja. Ordinate radnog dijagrama f ck f cd = f ck /γ c a. f yk f yd = f yk /γ s b. σ σ 3 E s =00 kn/mm,0 0, 0,35 ε(%) ε (%) Slika 6.8 Modeli betona i ~elika betona, definisanog ~vrsto}om cilindra f ck, tako e parabola i prava, dele se koeficijentom sigurnosti za beton γ c =,50, linija na slici 6.8.a. U slu~aju ~elika, EC8 tako e ograni~ava dilatacije na % ako se modelira i oja~anje ~elika, linija na slici 6.8.b. Ukoliko se koristi bilinearni model sa horizontalnom granom, dilatacije ~elika nisu ograni~ene, linija. U svakom slu~aju, ordinate napona se dele sa koeficijentom sigurnosti za ~elik γ s =,5, linija 3 na slici 6.8.b. Prema EC8, koeficijent sigurnosti za sva optere}enja u slu~aju zemljotresa jednak je γ F =, jer mi upravo èlimo da se pri tom optere}enju formira mehanizam, ne {titimo se od njegove pojave. Uticaji usled dejstva zemljotresa ustvari se mnoè sa koeficijentom zna~aja objekta γ i, ali tu je u pitanju korekcija povratnog perioda zemljotresa za va`nije 6-3

61 objekate, da sa istom pouzdano{}u izdrè zemljotres sa povratnim periodom T p > 475 godina. 6.7 DIMENZIONISANJE, KONSTRUISANJE DETALJA I OBEZBE\ENJE ZAHTEVANE DUKTILNOSTI Da bi se obezbedila zahtevana duktilnost pomeranja konstrukcije i opravdao ~itav algoritam, potrebno je da se na nivou preseka elemenata obezbedi odgovaraju}a duktilnost krivine. Zavisno od klase duktilnosti, EC8 postavlja odre ene zahteve u vezi armiranja preseka, minimalnih i maksimalnih dozvoljenih procenata armiranja, utezanja preseka uzengijama, nastavljanja armature itd. b 0 Za svaku od klasa duktilnosti, za stubove je definisana zahtevana minimalna vrednost tzv. konvencionalnog f u /s faktora duktilnosti krivine - CCDF. Umesto dokaza CCDF, EC8 dozvoljava da se zahtevani CCDF smatra zadovoljenim ako je obezbe ena vrednost mehani~kog a. b. zapreminskog procenta armiranja - utezanja uzengijama l w /0 b w V = V f ω wd h yd 0 f cd (6.) gde je V h zapremina sloja uzengija na ramaku s, a d. V 0 zapremina utegnutog jezgra betona visine s. Prema slici 6.9.b, zapremina uzengija iznosi V h =8f u b 0, a 0,5l zapremina utegnutog jezgra V 0 = sb w 0. Presek stuba i kraja zida na slici 6.9.a,c je prema Slika 6.9 Utezanje preseka EC8 prakti~no neutegnut, neduktilan, jer su uzengije usidrene u za{titnom sloju betona koji ima tendenciju otpadanja, pa }e se uzengije "razmotati", kao i zbog toga {to su samo ~etri ugaone podu`ne {ipke armature bo~no pridràne uzengijama, usidrene u jezgro preseka betona. Isti principi vaè i za pritisnute krajeve zidova, koji se tretiraju kao skriveni stubovi aksijalno optere}en tzv. efektivnom normalnom silom. b w 6.8 PROGRAMIRANO PONA[ANJE c Faktor preoptere}enja Napon (MPa) Oblast plasti~nih zglobova dimenzioni{e se na prora~unsku vrednost momenata savijanja M Sd dobijenu analizom. Me utim, 46/400=,5 55/400=,8 548/400=, Dilatacija (0/00) 6.0 Opit kidanja RA400/500 realan moment nosivosti M Rd koji se moè javiti pri pomeranjima usled zemljotresa, odre uje se na osnovu stvarno ugra ene i angaòvane armature preseka, kao i uz pretpostavku da su stvarne karakteristike ~elika ve}e od nominalnih, uz eventualno zalaènje dilatacija ~elika u zonu oja~anja. Ve}a nosivost ~elika obuhvata se faktorom preoptere}enja γ Rd ~ija vrednost se kre}e u granicama,5-,5. Sa vredno{}u momenta 6-4

62 preoptere}enja M Rd treba sra~unati uticaje u priklju~enim elementima na plasti~ni zglob. Na slici 6.0 prikazani su rezultati opita kidanja rebraste armature RA400/500 izvr{eni u IMK - GF-a, linija, kao i nominalni radni dijagram rebraste armature, linija. Nazna~eni odnos stvarnih i nominalnih karakteristika potvr uje predloène iznose faktora preoptere}enja γ Rd Zidovi U slu~aju zidova, stav o obezbe enju "elasti~nog dela zida" na uticaje jednake kapacitetu nosivosti na savijanje plasti~nog zgloba, uz preoptere}enje ~elika i efekte vi{ih 7 6 tonova dovodi do dramati~nih posledica, slika 6.. Ra~unske transverzalne sile zida 5 3 ε = 4,0 4 V'sd, linija na ε = 3,0 3 DCH slici 6..b, treba multiplikovati faktorom uve}anja ε, DCM ε =,3 DCL ~ime se dobija prora~unska vrednost T=0,6s a. b V' Sd Period (s) V Sd =εv' Sd transvrezalnih sila Vsd, linija, na Slika 6. Faktor uve}anja transverzalnih sila zida osnovu koje se formira prora~unska anvelopa, linija 3. Vrednost faktora uve}anja ε definisana je izrazom Faktor uve}anja ε γ Rd MRd Se( TC) ε = q ( ) +,( q q M S ( T ) ) 0 (6.3) Sd Na slici 6..a prikazane su vrednosti faktora uve}anja ε za tri klase duktilnosti. Za periode oscilovanja konstrukcija sa zidovima duè od,6 sekundi, sra~unate transverzalne sile treba znatno uve}ati, prakti~no vratiti na nivo elasti~nog odgovora konstrukcije Grede Tlo klase B M Rd /M Sd = DCH q=4 γ Rd =,5 DCM q=3 γ Rd =,5 H/3 H/3 Za prelazak konstrukcije u plasti~ni mehanizam, potrebno je da se u svakom M Bg V Bg rasponu greda okvira pojave dva plasti~na zgloba. Ako su uticaji 3 usled zemljotresa veliki u V Ag A sd odnosu na uticaje usled gravitacionih optere}enja, M Ad najve}i ukupni momenti javi}e a. c. "Kosa armatura" A se na krajevima greda, i prema sg M Ag b. d. njima se odre uje potrebna gornja A sg i donja A sd armatura plasti~nih zglobova greda, slika V Ad M Bd 3 V Bd 6..a-b. U op{tem slu~aju, jedan od maksimuma momenata Slika 6. Programirano pona{anje greda: ) "g+p/", ) savijanja moè da se javi i polju "g+p/" + zemljotres, 3) prora~unski dijagram grede, pa se poloàj plasti~nih transverzalnih sila V e >0,5V Sd 6-5

63 zglobova projektuje pa`ljivim konstruisanjem anvelope nosivosti podu`ne armature. U slu~aju konstrukcija visoke zahtevane duktilnosti, osiguranje greda od krtog loma "smicanjem" vr{i se prema najve}im mogu}im vrednostima transverzalnih sila greda koje uop{te mogu da se pojave pri pomeranjima usled zemljotresa - dostizanju kapaciteta nosivosti na savijanje plasti~nih zglobova, sa realno ugra enom armaturom, uklju~uju}i i deo armature iz plo~e (T - presek) i uz preoptere}enje ~elika, linija 3 na slici 6..c-d. Ukoliko pri zemljotresu mogu da se pojave velike transverzalne sile promenljivog znaka, osiguranje oblasti plasti~nog zgloba od proloma vertikalnim klizanjem preseka po ukr{tenim prslinama zahteva}e postavljanje ukr{tene kose armature Stubovi Poèljno je da u plasti~nom mehanizmu konstrukcije stubovi "participiraju" samo jednim plasti~nim zglobom, u uklje{tenju stuba. Usled gravitacionog optere}enja, unutra{nji stubovi okvira obi~no imaju zanemarljive momente savijanja, slika 6.3.a - "~ekaju zemljotres". Pri pomeranjima d m usled zemljotresa i dostizanju kapaciteta nosivosti plasti~nih zglobova priklju~enih greda u ~voru okvira, M A i M g na slici 6.3.b, ukupna nosivost gornjeg i donjeg preseka stuba stuba treba da je ve}a od rezultuju}eg momenta greda M g M s = M sg + M sd > φ M g (6.4.) gde je φ dodatni faktor korekcije. Vrednost "ulaznog momenta" M g je poznata jer je limitirana fizi~kim parametrima, ali raspodela ovog momenta na gornji, M sg i donji, M sd presek stuba u slu~aju zemljotresa prili~no je neizvesna. Naime, raspodela ulaznog momenta bitno zavisi i od oblika deformacija stuba, relativnih pomeranja dva kraja stuba, "g+p/" "g+p/" d m M sg M sd M sg M sd M S M S a. M B b. c. zbog ~ega treba nekako proceniti uticaje vi{ih tonova - formi oscilacija. Razli~iti propisi sadrè razli~ita re{enja, pitanje merodavnih uticaja za dimenzionisanje stubova je stalno otvoreno. Iako se u stubovima konceptualno ne predvi a pojava plasti~nih zglobova, prora~unske transverzalne sile stuba odre uju se analogno slu~aju greda visoke duktilnosti, iz kapaciteta nosivosti na savijanje krajeva stuba. O~igledna je èlja da se krti lom "smicanjem" bilo kog elementa konstrukcije spre~i, pri bilo kojem iznosu i obliku pomeranja konstrukcije pri zemljotresu ^vorovi okvira M g M A M g Slika 6.3 Programirano pona{anje stubova d m Tradicionalno, "dimenzionisanjem" je obuhva}en prora~un greda i stubova, dok se ~vorovi potom konstrui{u. Iskustva dogo enih zemljotresa pokazuju da kolaps konstrukcije moè da nastupi i zbog otkazivanja nosivosti oblasti betona na ukr{tanju stuba i grede - ~vorova okvira. Konceptualno, oblast ~vora treba razmatrati kao deo stuba, slika 6.4. M g 6-6

64 Pomeranja usled zemljotresa izazivaju momente suprotnog znaka na krajevima priklju~enih greda. Horizontalna armatura greda je sa jedne strane stuba 4 "vu~ena", a sa druge strane "gurana" kroz ~vor, tako da moè da nastupi lom usled proklizavanja armature D 4 grede kroz ~vor, detalja na slici 6.4. Obezbe enje od proklizavanja svodi se na ograni~enje maksimalnog pre~nika armature grede u zavisnosti od {irine grede. 3 Problem je nagla{eniji kod krajnjih stubova, sa D gredom samo sa jedne strane stuba. Ako je proklizavanje spre~eno, tada je obezbe eno formiranje mehanizma re{etke sila kojim se trajektorije pritisaka skre}u kroz ~vor, sa jedne na drugu stranu grede odnosno stuba, sile D i na slici 6.4. Ukoliko je pritisak u rezultuju}em dijagonalnom Slika 6.4 ^vor okvira pravcu prevelik, moè da nastupi, izme u ostalog, lom betona bo~nim cepanjem i otvaranjem prslina, detalj na slici 6.4. Uzengije - 3 i podu`na armatura stuba - 4 treba da dopune mehanizam prenosa sila kroz ~vor, tako da ~vor postaje "nova pozicija stait~kog prora~una". D 3 D Konstrukcijski sistem Razmatran na nivou elemenata konstrukcije, koncept programiranog pona{anja deluje vrlo jednostavno, "inènjerski". U praksi se stvari naravno komplikuju. Na slici 6.5 prikazan je ~est slu~aj okvira ve}ih raspona, sa velikim uticajima gravitacionog optere}enja, kod koga ra~unski momenti usled zemljotresa ne uspevaju da "obrnu" znak momenta savijanja M BC iznad srednjeg stuba. Osim {to u polju BC nedostaje jedan A B C M BC Slika 6.5 Gde je drugi plasti~ni zglob? plasti~ni zglob do stvaranja potpunog mehanizma, postavlja se pitanje na koje uticaje treba dimenzionisati stub, da li je u pitanju "raspad" koncepta programiranog pona{anja? Jedno od re{enja je da se ipak dozvoli pojava plasti~nih zglobova i u stubovima, ali samo unutra{njim, stub B na slici 6.5. Krajnji stubovi A i C "{tite konstrukciju" od pojave fleksibilnog sprata. Generalno, ono {to treba apsolutno spre~iti kod okvirnih konstrukcija je istovremena pojava plasti~nih zglobova na oba kraja svih stubova sprata. Ukupan rezultat restriktivnih uslova za obezbe enje èljenog plasti~nog mehanizma i duktilnosti mogu da budu poraàvaju}i za konkurentnost i atraktivnost primene betona u oblastima povi{enog seizmi~kog rizika. Dana{nje tehnologije materijala i gra enja omogu}avaju izvo enje stubova malih dimenzija preseka uz veliku aksijalnu nosivost, na primer. Me utim, zahtevi za obezbe enje pouzdanog pona{anja AB konstrukcije pri zemljotresu ~esto ne dozvoljavaju iskori{}enje mogu}nosti materijala. Rezultat je pove}ana masa i cena konstrukcije kao i "unesre}eni arhitekta", koji je o~ekivao "pau~inastu" konstrukciju. Sve to, da bi na kraju, posle zemljotresa jo{ imali i o{te}enja, jer sve vreme razmatramo klasi~an, pasivan koncept za{tite od zemljotresa. 6-7

65 Osim samo nagove{tenog savremenog koncepta za{tite od zemljotresa, poglavlje 3., uvek ima mesta i "kompromisnim" re{enjima, slika 6.6, na primer. Konstrukcija tavanice je tanka prethodno napregnuta plo~a Slika 6.6 Savremeni koncept AB konstrukcije-studija direktno oslonjena na stubove. Stubovi su zglobno vezani na oba kraja - "pendel stubovi", izvedeni od betona povi{enih ~vrsto}a (MB00 na primer) ili spregnuti, eventualno izvedeni monta`no. Horizontalnu stabilnost obezbe uje AB zid, prema konceptu "ako problem ne moè da se re{i na zadovoljavaju}i na~in, mo`da moè da se elimini{e". Konstrukcija ima jednostavnu oplatu, korisna visina spratova je velika, lako se vode instalacije ispod tavanice, tavanice i stubovi su konstruisani sa maksimalnim iskori{}enjem mogu}nosti betona, izbegnuto je neprijatno pogor{anje uslova proboja tavanice pri pomeranjima objekta usled zemljotresa, zidovi {tite konstrukciju od velikih pomeranja i pojave fleksibilnog sprata, a i sama konstrukcija zidova bi se mogla "doterati", bitno je da se ne vidi "{ta je unutra". 6.9 KONTROLA POMERANJA KONSTRUKCIJE Sa usvojenim ra~unskim seizmi~kim optere}enjem F b, za povratni period zemljotresa od T p =475 godina, vr{i se analiza naprezanja i deformacija linearno elasti~nog modela konstrukcije sa kruto{}u k - "stati~ki prora~un". [to se ti~e pomeranja, rezultat prora~una je pomeranje d y na granici elasti~nosti odnosno formiranja plasti~nog mehanizma. U praksi se ~esto previ a da "realno" pomeranje elasti~ne konstrukcije iznosi d e a nelinearne, realne konstrukcije d m, slika 6.7. Prema EC8, realno pomeranje pri projektnom zemljotresu moè da se usvoji u iznosu d m = q d y (6.5) Kako je F b / F e q, sledi da su pomeranja pri linearnom i nelinearnom odgovoru konstrukcije jednaka, d m = d e - tzv. "koncept jednakih pomeranja". Ako je to tako, prora~un konstrukcije za nivo optere}enja F e elasti~nog odgovora konstrukcije, q =,0, kao rezultat daje "ta~na pomeranja pri zemljotresu", ali i prevelike, neredukovane sile u presecima. Ovaj stav pruà razli~ite korisne mogu}nosti primene u praksi. F e F y =F b =S d W F d y d e d m d Slika 6.7 "Jednaka pomeranja" k Sra~unato maksimalno pomeranje d m koje moè da se dogodi jedanput u 475 godina merodavno je za odre ivanje {irine dilatacije izme u objekata, da bi se izbeglo sudaranje konstrukcija, slika 6.8. Ako se to ne moè izbe}i, bar treba izbe}i da tavanica jednoga objekta udari i prelomi stubove drugog objekta. Samu veli~inu pomeranja sa povratnim periodom od 475 godina EC8 na primer direktno ne ograni~ava, naprezanja sa efektima drugoga reda su limitiraju}i faktor. 6-8

66 A d m d dm α Slika 6.8 Sudar konstrukcija Do ovoga trenutka pa`nja je bila usmerena na pitanja obezbe enja nosivosti konstrukcije. Projektante, a jo{ vi{e investitore interesuje i kako }e konstrukcija da se pona{a pri "obi~nom" zemljotresu, koji moè da se pojavi svakih 50 godina na primer, -3 puta u toku eksploatacije objekta. Ako }e tom prilikom sva stakla, pregradni zidovi i skupocena oprema da budu upropa{}eni, sve to mo`da bez o{te}enja nose}e konstrukcije ~ija je cena ina~e reda veli~ine 5% ukupne cene objekta, onda je koncept nepotpun. Da bi se obim o{te}enja objekta pri zemljotresu sa ve}om verovatno}om pojave sveo u prihvatljive granice, EC8 ograni~ava relativna spratna pomeranja usled zemljotresa sa povratnim periodom od T p =475 godina na d r,i / ν 0,004 h i (krute pregrade) (6.6) d r,i / ν 0,006 h i (fleksibilne pregrade) (6.7) gde je d r,i relativno pomeranje - smicanje sprata i, h i visina sprata i, a ν faktor koji ra~unska pomeranja usled projektnog zemljotresa prevodi na slu~aj zemljotresa sa kra}im povratnim periodom T p. Za obi~ne zgrade, vrednost faktora iznosi ν =. Pomeranje jednako polovini ra~unskog pomeranja pri zemljotresu sa povratnim periodom od T p =475 godina izazva}e zemljotres sa povratnim periodom od pribli`no T p =50 godina, sa duplo manjim ubrzanjem tla, slika 6.9.c. I u tom slu~aju konstrukcija moè da za e u nelinearnu oblast, ali sa manjim o{te}enjima, slika 6.9.c. Odnos d r / h pribli`no je jednak uglu nagiba sprata α. Ako se realni oblik deformacija aproksimira parabolom, kriti~an nivo je prizemlje i donje etaè u slu~aju d r F h α F e (T p =475) k α F e (T p =50) F b (T p =475) c. h d r a. b. T p =50 T p =475 d d y d m /ν d m Slika 6.9 Koncept dozvoljenih pomeranja okvirnih konstrukcija, odnosno najvi{i delovi u slu~aju konstrukcija zidova. Treba uo~iti da navedeni kriterijumi prakti~no defini{u minimalnu potrebnu krutost konstrukcije objekta, o ~emu treba voditi ra~una ve} kod usvajanja dispozicija konstrukcija. 6-9

67 6.0 KADA SE EFEKTI ZEMLJOTRESA MOGU ZANEMARITI? Uobi~ajeno je u praksi da se merodavno optere}enje ocenjuje pore enjem vrednosti sila u presecima - prema kriterijumu nosivosti. Najve}i "konkurent" zemljotresu je vetar, pa se postavlja pitanje u kom slu~aju zemljotres "nije merodavan". Ako su za odre ivanje dimenzija preseka ili koli~ine armature merodavni grani~ni uticaji usled vetra γ v F v >γ e F b, tada je vetar merodavan za definisanje nosivosti konstrukcije. F b, F v d v d m F e γ v F v γ e F b F b F v Pri realnom optere}enju vetrom F v, pomeranje }e iznositi d v, konstrukcija se na vetru pona{a "elasti~no", slika 6.30.b. Pri projektnom zemljotresu (T p =475 godina), konstrukcija teì pomeranju d m, pa }e se plasti~ni mehanizam formirati pri ra~unskoj nosivosti odre enoj prema uticajima vetra. Prema tome, izvestan nivo duktilnosti pomeranja mora da se obezbedi, a treba proveriti i relativna spratna pomeranja prema (6.6-7). Slika 6.30 Vetar - zemljotres Zemljotres definitivno nije merodavan jedino ako je optere}enje vetrom ve}e i od nivoa elasti~nog odgovora konstrukcije na zemljotres, F v > F e. Osim uticaja vetra, i druga optere}enja mogu da izazovu pomeranje i savijanje stubova - gravitaciona optere}enja, temperatura, skupljanje betona, potisci tla itd. êst slu~aj u praksi je da pri dimenzionisanju preseka kombinacija sa uklju~enim zemljotresom "nije merodavna", ili da je potreban minimalni procenat armiranja. U takvim situacijama razmi{ljanje o zemljotresu kao prinudnom pomeranju, pribli`no jednakom pomeranju elasti~ne konstrukcije je za preporuku. Ono {to }e pri zemljotresu da se dogodi to su pomeranja, naprezanja moè ali i ne mora da bude. 6. OKVIRNE KONSTRUKCIJE SA ISPUNOM Na slici 6.6 ilustrovani su problemi koji mogu da nastanu usled prisustva pregradnih zidova. Nije tema ovoga kursa, ali se iz metodolo{kih razloga skre}e pa`nja da savremeni propisi obi~no sadrè dodatne odredbe za ovakve slu~ajeve, pa i EC8. 6. MONTA@NE KONSTRUKCIJE U praksi je uobi~ajeno da se prakti~no ne pravi razlika izme u livenih i monta`nih AB konstrukcija. Sve do sada izloèno odnosi se na livene armiranobetonske konstrukcije, kod kojih postoji kontinuitet armature i betona. Nije redak slu~aj da projekat konstrukcije, predvi en za izvo enje u livenom betonu, izvo a~ preradi na delimi~nu ili ~ak potpunu montaù. To jeste mogu}e, ali onda treba pogledati i dodatne delove propisa koji se odnose na specifi~ne probleme monta`nih konstrukcija i veze elemenata. Ova pitanja tako e nisu predmet ovoga kursa. 6.3 FUNDIRANJE F a. b. Vetar d v 4 3 k 5 Zemljotres d y d m d Fundiranje je geomehani~ki ali i konstrukcijski problem. Problemi pona{anja tla pri zemljotresu obi~no pripadaju posebnoj oblasti pa i propisima. [to se ti~e konstrukcija zgrada, pretpostavka prethodnih izlaganja je da su naprezanja tla u granicama elasti~nosti, 6-0

68 bez trajnih deformacija ili nestabilnosti tla, niti izra`enijih neravnomernih sleganja delova konstrukcije pri zemljotresu. [to se ti~e konstrukcije temelja, ona treba da obezbedi pretpostavljeni odgovor kosntrukcije na zemljotres, pri ~emu se nelinearni odgovor konstrukcije mo`e delom realizovati i u okviru temeljne konstrukcije. Me utim, ni to nije predmet ovoga kursa. 6-

69 7. SEIZMI^KI PRORAÛN PREMA YU PROPISIMA (YU8) UVOD U prvom delu ovoga poglavlja dat je rezime jugoslovenskih propisa (na dalje YU8) u ovoj oblasti /0/, sa tuma~enjem nekih stavova koji su se pokazali nejasni u praksi. U drugom delu, data je delimi~na uporedna analiza jugoslovenskih propisa i EC8, sa prvenstvenim ciljem da se stavovima jugoslovenskih propisa da savremeno obja{njenje i tuma~enje, koje ina~e nedostaje propisima. 7. ULAZNI SEIZMI^KI PODACI Teritorija Jugoslavije podeljena je na seizmi~ka podru~ja, sa kartama o~ekivanog intenziteta zemljotresa sa povratnim periodima T p = godina. Za zna~ajnije objekte, zahteva se sprovo enje seizmi~ke mikrorejonizacije. Prema lokalnim uslovima, tla su svrstana u tri kategorije tla: I ( A - EC8), II ( B - EC8), III ( C - EC8). 7. ELEMENTI PRORAÛNA SEIZMI^KIH UTICAJA Upro{}ena modalna spektralna analiza prema EC8 ovde se naziva metoda ekvivalentnog stati~kog optere}enja. Za sloènije objekte, zahteva se metoda linearne i nelinearne dinami~ke analize. Na{i propisi ne spominju multimodalnu analizu, koja se danas ~esto primenjuje u praksi, nakon pojave komercijalnih softvera iz ove oblasti. Ukupna seizmi~ka sila S, defini{e se kao S = k G (7.) gde je G ukupna teìna objekta iznad gornjeg ruba uklje{tenja (temelj ili gornja ivica krutih podrumskih konstrukcija), a k - ukupni seizmi~ki koeficijent k = k 0 k s k d k p 0,0 (7.) Prema zna~aju, objekti se dele u kategorije : van kategorije (elektrane...), I kategorija (ve}i skupovi ljudi..., koeficijent kategorije objekta k o =,5 ) i II kategorija (stambene zgrade..., koeficijent kategorije objekta k o =,0 ). Za objekte II-ge kategorije za projektovanje je merodavan intenzitet zemljotresa sa povratnim periodom T p =500 godina (EC8 - T p =475 godina). Koeficijent seizmi~kog intenziteta k s vezan je za o~ekivani intenzitet zemljotresa u datom seizmi~kom podru~ju Stepen MSK-64 k s a g /g VII 0,05 0,0 VIII 0,050 0,0 (7.3) IX 0,00 0,40 Vrednosti a g / g u (7.3) predstavljaju gornju granicu maksimalnih o~ekivanih ubrzanja tla, ako ne postoje podaci seizmi~ke mikrorejonizacije, pa se veza koeficijenta sezimi~kog intenziteta i maksimalnog o~ekivanog ubrzanja tla moè izraziti kao k s = 0,5 a g / g (7.4) Za stanicu "Beograd Centar" u Prokopu, na osnovu seizmi~ke mikrorejonizacije utvr eno je o~ekivano ubrzanja tla od a g =8 cm/s sa povratnim periodom T p =500 7-

70 godina, pa je k s = 0,5x8/98 = 0,03, ~emu pribli`no odgovara VII zona seizmi~kog intenziteta. Koeficijent dinami~nosti k d zavisi od kategorije tla i perioda oscilovanja osnovnog tona T Kategorija tla k d I 0,33 k d = 0,5/T,0 II 0,47 k d = 0,7/T,0 (7.4) III 0,60 k d =0,9/T,0 Na slici 7. prikazane su vrednosti koeficijenata dinami~nosti, sa preklopljenim odgovaraju}im krivama spektra ubrzanja prema EC8, normalizovanim na maksimalnu vrednost,0. Koef.dinami~nosti - Kd Period (s) Koeficijent duktiliteta i prigu{enja k p se za sve "savremene armiranobetonske konstrukcije" usvaja da je jednak k p =,0. Za konstrukcije od "armiranih zidova" - k p =,30. Za vitke konstrukcije, sa periodom T> sekunde, k p =,6. Za konstrukcije sa "fleksibilnim prizemljem odnosno naglom promenom krutosti", k p =,0. Naziv koeficijent duktiliteta nije ba{ najbolji, i brojno nema veze sa vrednostima duktilnosti pomeranja iz prethodnih izlaganja. O~igledno da je ekvivalent faktoru pona{anja q prema EC8 ugra en u formulu (7.), a da se "faktorom duktiliteta" samo koriguje osnovna vrednost. Zbog nepotpunosti odredbe, u praksi se prakti~no svaka AB konstrukcija smatra "savremenom", i usvaja najnià vrednost k p. Prakti~no, ve}ina AB konstrukcija se projektuje na isti nivo seizmi~kog optere}enja, {to je neopravdano. Nije redak slu~aj da se u praksi za armiranobetonske zidove usvoji k p =,3, {to je nesporazum. "Armirani zidovi" su zidovi od opeke, oja~ani armaturom. Jedan od razloga pove}anja seizmi~kog optere}enja za konstrukcije sa periodama duìm od dve sekunde je obuhvatanje efekata vi{ih tonova oscilacija, analogno korekciji spektralnih krivih prema EC8. Procena da li konstrukcija teì "fleksibilnom spratu" ili poseduje "naglu promenu krutosti" ostavljena je projektantima. EC8 prakti~no zabranjuje fleksibilna prizemlja ili H i S G n G i 0.60 Kategorija tla III Kategorija tla II Kategorija tla I Slika 7. Koeficijent dinami~nosti S i 0,5S H i S G n G i S i S n 0,85S a. b. Slika 7. Raspodela sile spratove. Raspodela ukupne seizmi~ke sile prema (7. ) vr{i se linearno kao u EC8 za objekte do pet spratova, dok se za vi{e objekte 85% ukupne sile raspodeljuje linearno, a ostatak od 5% se postavlja na vrh objekta, da bi se obuhvatili i efekti vi{ih tonova, slika 7.. Prema YU8, uticaji zemljotresa se ra~unaju bez kombinovanja istovremenih uticaja iz dva pravca. Koeficijent sigurnosti za sva optere}enja koja ulaze u seizmi~ku kombinaciju optere}enja je jedinstven i iznosi γ =,3, bez obzira na iznos dilatacija armature. Ukoliko 7-

71 stalno optere}enje deluje povoljno, treba proveriti i kombinaciju sa sniènom vredno{}u koeficijenta sigurnosti za stalno optere}enje γ =,0. Nije redak slu~aj u praksi da se seizmi~ka dejstva tretiraju kao "ostala optere}enja" prema BAB-u /6/, {to je naravno pogre{no. Seizmi~ka kombinacija optere}enja obuhvata dejstvo stalnog, 50% korisnog i optere}enje snegom, bez vetra. Propisi ne ukazuju da li se dejstva "ostalih optere}enja" prema BAB-u /6/- temperatura, skupljanje betona, sleganje oslonaca itd. kombinuju sa dejstvom zemljotresa. U praksi se obi~no ne kombinuju, ali ima argumenata i za i protiv, pri ~emu treba razlikovati problem kapaciteta nosivosti preseka od potrebnog kapaciteta pomeranja, neoprenskih leì{ta mostova, na primer. Ovde su izloèni samo podaci potrebni za naredne analize. Ostali detalji prora~una i konstruisanja bi}e prikazani uz primere, u Delu B. 7.3 PORE\ENJE EC8 I YU8 Primer 7... Za lokaciju jednog objekta u Beogradu, nestandardnog okvirnog sistema, seizmi~kom mikrorejonizacijom utvr ena je vrednost maksimalnog o~ekivanog ubrzanja temeljnog tla, a g = 8 cm/sec (% ubrzanja zemljine teè - g) za povratni period zemljotresa od 500 godina. Objekat je druge kategorije kao i tlo. Sra~unati vrednost ukupnog seizmi~kog optere}enja prema YU8 i EC8 ako je period oscilovanja konstrukcije u prvom tonu T=0,4 sekunde. YU8 S=kG=k o k s k d k p G 0,0G k o =,0 (druga kategorija objekta) k s =0,5a g / g=0,5 x 8/98 = 0,03 k d =0,7/T=0,7/0,4=,75> usvojeno k d =,0, II-ga kategorija tla k p =,0 ("savremena armiranobetonska konstrukcija") k=,0x0,03x,0x,0=0,03 S=0,03G >0,0G EC8 Kategorija tla B T=0,4s < Tc = 0,6 s. F b = S d W = αsβ 0 W/q 0,αW α = a g /g = 8/98 = 0, S =,0 (kategorija tla B) β 0 =,5 (faktor amplifikacije ubrzanja tla) S d = 0,x,0x,5/q = 0,30/q Okvirni sistem q=q 0 k D k R k W q 0 = 5,0 k R = k W =,0 q = 5 k D a) Klasa visoke duktilnosti - DCH k D =,0 q=5,0 x,0 = 5,0 S d = 0,3/5,0 = 0,06 > 0,α = 0, x 0, = 0,04 F b = 0,06W ( = x YU8) b) Klasa niske duktilnosti - DCL k D = 0,5 q=5,0 x 0,5 =,5 S d = 0,3/,5 = 0, F b = 0,W ( = 4 xyu8) 7-3

72 Na slici 7.3 ilustrovan je nivo ukupnih seizmi~kih sila, prema EC8 i YU8, sa oznakama prema YU8. Pretpostavljeno je da je elasti~ni odgovor konstrukije identi~an prema oba propisa. S e S d y S DCL DCM DCH YU8 potµ d d m Slika 7.3 Optere}enje prema EC8 i YU8 d S d Uop{tenije, na slici 7.4 prikazane su vrednosti ukupnog seizmi~kog koeficijenta prema oba propisa //. Bez obzira na konceptualne, kao i razlike u detaljima, nivo ukupnog projektnog seizmi~kog optere}enja prema EC8 i YU8 je uporedljiva veli~ina.usvojene su slede}e vrednosti parametara prema EC8 (YU8): kategorija zna~aja III (kategorija objekta II); kategorija tla B (II); a g /g=0,0 (K s =0,05). Vrednost "koeficijenta prigu{enja" prema YU8 iznosi K p =,0 (T s), odnosno K p =,6 (T >s). Propis YU8 ne defini{e eksplicitno vrednost "faktora pona{anja" q, a nivo projektnog optere}enja prakti~no je jedinstvena vrednost za sve "savremene armiranobetonske konstrukcije". 0.6 F b / W q=,00-"elastic" q=,50-dcl q=3,75-dcm q=5,00-dch q=? YU-8 Fb/W - Odnos EC8/YU q=,00-"elastic" q=,50-dcl q=3,75-dcm q=5,00-dch Period (s) a Period (s) Slika 7.4 a) Ukupni seizmi~ki koeficijent, b) odnos EC8/YU8 Zavisno od usvojene klase duktilnosti, projektno seizmi~ko optere}enje prema EC8 je dva (visoka duktilnost - DCH, q=5,0 ) do ~etiri puta (niska duktilnost - DCL, q=,5 ) ve}e nego prema YU8, osim u podru~ju duìh perioda, u kojem pove}ana vrednost "koeficijenta prigu{enja" prema YU8, umanjuje razlike. Uz pretpostavku da je prema oba propisa odgovor elasti~ne konstrukcije identi~an (q=,0 prema EC8), "ekvivalentna vrednost faktora pona{anja" ugra ena u YU8 propise isnosi oko q Yu8 =0, "crtkasta" kriva na slici 7.4.b. Niì nivo projektnog optere}enja prema YU8 svakako da podrazumeva obezbe enje visoke duktilnosti konstrukcije, vi{e nego prema EC8. U slu~aju konstrukcija koje realno mogu da razviju visoku duktilnost (q=5-0 ), duplo niè projektno optere}enje prema YU8 ne mora unapred da bude razlog za zabrinutost. Posledice su ne{to ve}i iznos post-elasti~nih deformacija, samim tim i o{te}enja u zoni "plasti~nih zglobova". Prema YU8, u pitanju je koncept "nièg standarda" obezbe enja konstrukcija od o{te}enja pri zemljotresu, sa manjim inicijalnim ulaganjima pri gra enju, primeren ekonomskoj snazi b. 7-4

73 dru{tva. Me utim, niì nivo projektnog optere}enja prema YU8 u odnosu na EC8 trebalo bi da bude propra}en i stroìjim konstrukcijskim zahtevima za obezbe enje zahtevane duktilnosti {to, po svemu sude}i nije slu~aj. Osim nekoliko zahteva u vezi detalja armiranja, kao i izgleda dobro ocenjenog ograni~enja nivoa normalne sile u stubovima, σ 0 /β B 0,35, na{i propisi daju na~elne stavove u vezi obezbe enja duktilnog pona{anja konstrukcije, tako da je, strogo uzev, samo vrlo obrazovan specijalista razumeo su{tinu propisa, i imao {ansu da konstrui{e korektan objekat. Problem je i to {to, prema YU8, ista vrednost faktora pona{anja, kao i isti konstrukcijski zahtevi za obezbe enje duktilnosti vaè za prakti~no sve konstrukcijske sisteme zgrada, kao i sve nivoe aksijalnog naprezanja, - za "sve savremene armiranobetonske konstrukcije". Deluje zbunjuju}e, i izaziva sumnju da YU8 propis nije "izbalansiran" u svim svojim delovima, to {to je nivo optere}enja koji YU8 zahteva za "konstrukcije sa fleksibilnim prizemljem ili spratom" (K p =,0 ), pribli`no jednak iznosu projektnog optere}enja za konstrukcije visoke duktilnosti prema EC8. Pri tome treba imati u vidu da ovakve "konstrukcijske sisteme" EC8 prakti~no zabranjuje. Najvi{i nivo projektnog optere}enja prema YU8 zahtevan za "neregularne konstrukcije", jednak je najnièm nivou projektnog optere}enja prema EC8, dozvoljenom za "savr{ene", regularne konstrukcije. Primer 7... Uporediti kriterijume dozvoljenih pomeranja konstrukcija prema EC8 i YU8 Prema YU8, ra~unsko pomeranje δ vrha zgrade pri projektnom zemljotresu, sa povratnim periodom od 500 godina treba da je jednako ili manje od H/600, slika 7.5 //. Uz pretpostavku paraboli~nog oblika deformacije, dozvoljeno pomeranje vrha zgrade od H/600 defini{e maksimalni spratni nagib od tgβ=/300, slika 7.5. Ako vrednost faktora pona{anja prema YU8 iznosi oko q=0, tada je realno pomeranje vrha zgrade deset puta ve}e, tgβ = /30. S δ α a. δ δ < Η/600 Slika Koncept dozvoljenih pomeranja prema H S α b. Pri pribli`no dva puta manjem ubrzanju i pomeranju, usled zemljotresa sa povratnim periodom od 50 godina, nagib iznosi pribli`no tgβ=/60, {to je oko - 3 puta vi{e od nagiba dozvoljenog prema EC8, tgβ=0,004-0,006. Manji iznos dozvoljenih pomeranja prema EC8 svakako da zna~i i manja o{te}enja fasada i pregradnih zidova. Me utim, ako se ima u vidu da iznos pomeranja pri zemljotresu dominantno zavisi od inicijalne krutosti "elasti~ne konstrukcije", to posledice ovakvog zahteva mogu biti dramati~ne - minimalna dozvoljena krutost konstrukcija prema EC8 YU8. je pribli`no dva puta ve}a nego prema YU8. Za razliku od EC8, YU8 ne ukazuje eksplicitno kolika su "realna" pomeranja konstrukcija pri zemljotresu, pa nisu retki slu~ajevi da se ra~unska pomeranja d e na granici elasti~nosti smatraju i realnim pomeranjima. Verovatno da u jugoslovenskoj praksi ima propusta pri proceni realnih pomeranja, pri odre ivanju potrebnih visina neoprenskih leì{ta, na primer. 7-5

74 LITERATURA uz Deo A // D.Ani~i}, P.Fajfar, B.Petrovi}, A.Szavits-Nossan, M.Tomaèvi~, Zemljotresno inènjerstvo - visokogradnja, Gra evinska knjiga, Beograd, 990. // T. Paulay, M.J.N. Priestley, Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Buildings, John Wiley & Sons, New York, 99. /3/ B.]ori}, S.Rankovi}, R.Salati}, Dinamika konstrukcija, Univerzitet u Beogradu, 998. /4/ A.K.Chopra, Dynamics of Structures - Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prentice Hall International, New Jersey, 995. /5/ Diana Finite Element Analysis, User's Manual, Release 7, TNO, Delft, 998. /6/ P.Fajfar, T.Vidic, M.Fischinger, On Energy Demand and Supply in SDOF Systems, Nonlinear Seismic Analysis and Design of Reinforced Concrete Buildings, P.Fajfar, H.Krawinkler editors, Workshop, Bled, Slovenia 99., Elsevier Applied Science, London 99. /7/ E.Cosenza, G.Manfredi, A Seismic Design Method Including Damage Effects, th European Conference on Earthquake Engineering, Balkema, Rotterdam, 998. /8/ H.Bachman, A.Dazio, P.Lestuzzi, Developments in the Seismic Design of Buildings with RC Structural Walls, th European Conference on Earthquake Engineering, Balkema, Rotterdam, 998. /9/ M.P.Collins, D.Michell, Prestressed Concrete Structures, Prentice Hall, New Jersey, 99. /0/ Pravilnik o tehni~kim normativima za izgradnju objekata visokogradnje u seizmi~kim podru~jima, Slu`beni list SFRJ, Beograd, 98, sa naknadnim dopunama // N.Stojanovi}, V.Alendar, M.A}i}, Seizmi~ki odgovor AB zidova sloènog preseka, Me unarodni simpozijum povodom 30 godina Banjalu~kog zemljotresa, Banja Luka, Republika Srpska, 6-7. oktobar 999. g // V.Alendar, M.A}i}, "EC8 zemljotres" potresa Jugoslaviju, ~asopis Izgradnja, Beograd, oktobar 999., u {tampi. /3/ Evrokod 8, Projektovanje seizmi~ki otpornih konstrukcija, Deo - do -3, R.Foli} editor, Gra evinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 997. /4/ M.A}i}, M.Uli}evi}, S.Jankovi}, Projektovanje seizmi~ki otpornih zgrada od armiranog betona, Gra evinski kalendar 998. /5/ M.A}i}, M.Uli}evi}, Projektovanje seizmi~ki otpornih zgrada od armiranog betona - II deo, Gra evinski kalendar 999. /6/ Pravilnik o tehni~kim normativima za beton i armirani beton, Slu`beni list br /, Beograd,

75 Vanja Alendar PROJEKTOVANJE SEIZMIČKI OTPORNIH ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJA KROZ PRIMERE Deo B - Primeri sa komentarima Vežbe u okviru kursa Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija na IX semestru odseka za konstrukcije školske 004/005 godine Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu Institut za materijale i konstrukcije Beograd, novembar 004.

76 PRIMER Simetrična okvirna konstrukcija temelja teške opreme sastoji se od armiranobetonske platforme - roštilja greda, zglobno oslonjene na četri ugaona konzolna stuba. Za uticaje gravitacionih opterećenja, stubovi su centrično opterećeni relativno značajnim normalnim silama. Rezultat formalnog proračuna prema YU8 propisima, za objekat u zoni niskog seizmičkog intenziteta je da računska armatura stuba nije potrebna, pa je usvojen minimalni procenat armiranja. U nastavku primera, u delu "Pitanja i odgovori" analizira se šta se može realno očekivati pri dejstvu zemljotresa. Primer je tako koncipiran da ukaže na važnu činjenicu da nivo seizmičkog opterećenja nije determinisana veličina, analogna uticajima vetra na primer, već da zavisi od odgovora konstrukcije na pomeranja tla. U okviru ovoga primera prikazan je i koncept obezbeđenja potrebne duktilnosti stubova prema EC8, utezanjem jezgra stuba uzengijama. Pored toga, ilustrovan je i pojam efekata drugoga reda, kao i postupak realizacije koncepta programiranog ponašanja prema EC8. U okviru primera samo se ukazuje na dodatne zahteve koje YU8 ne sadrži, a deo su regularne procedure prema EC8: pitanje torzionih efekata kod nominalno simetričnih konstrukcija, kao i pitanje kombinovanja istovremenih dejstava zemljotresa iz dva upravna pravca. Kako u ovom, tako i u ostalim primerima, nije prikazana numerička analiza ovih efekata prema EC8, jer je složena a nije bitna za razumevanje osnovnih pojmova u vezi odgovora armiranobetonskih konstrukcija na dejstvo zemljotresa. -

77 PRIMER Dimenzionisati stubove POS S okvirne konstrukcije platforme - temelja fiksirane opreme. Proračun i konstruisanje detalja izvršiti preme domaćim pravilnicima // i //. S 0,40 S 0,40 A 0,40 CM, CK L=5,0 0,40 d=,50 d p =0,5 Oprema H=,5 0,40 5,0 5,0 5,0 0,40 Oprema 5,0 S S Presek A-A 5,0 5,0 5,0 B=5,0 Osnova Podaci: Ukupna težina opreme P= 600kN Objekat II kategorije Tlo II kategorije Područje VII stepena intenziteta zemljotresa Uticaje vetra zanemariti (zatvoren objekat). KONCEPT KONSTRUKCIJE I ANALIZE Uz pretpostavku simetričnog rasporeda opreme u osnovi, geometrijske karakteristike konstrukcije kao i raspored masa su dvoosno simetrični u osnovi. Zbog poklapanja centra masa CM i centra krutosti CK, torzioni efekti u osnovi pri zemljotresu se zanemaruju //. Uz pretpostavku zglobne veze platforme i stuba, horizontalnu stabilnost konstrukcije obezbeđuju četri konzolna stuba, krutošću na savijanje. Konstrukcija je regularna u pogledu rasporeda konstrukcijskih nosećih elemenata ( rasporeda krutosti ) kao i masa u osnovi i po visini. Prema Pravilniku YU8 //, analiza uticaja zemljotresa može da se izvrši metodom δ N s Z o Z k Z m B CM o CM CM k Slika. - Dispozicija konstrukcije (u metrima) S e m 'Plastični zglob' N s H p H Slika. - Dinamički model konstrukcije CM 0, Z 0 - centar mase opreme CM k, Z k - centar mase konstrukcije CM, Z m - centar ukupne mase objekta δ m S ekvivalentnog statičkog opterećenja, pretpostavljajući da zemljotres deluje u pravcu jedne, ili druge glavne ose konstrukcije objekta. Nivo naprezanja konstrukcije pri zemljotresu kontrolisan je nosivošću 'plastičnog zgloba' visine H p, slika.. Pomeranje δ mase određeno je deformacijom savijanja stuba visine H, dok se platforma i oprema translatorno pomeraju za isti iznos, slika.. Uz pretpostavku da su AB platforma i -

78 oprema jedinstveno kruto telo, horizontalna inercijalna sila S koja deluje u centru CM ukupne mase m, izaziva promenu aksijalnog opterećenja stuba, N S =±Se m /B, koja se u ovom slučaju zanemaruje. Dinamički model je konzola sa ukupnom masom m u vrhu stubova, slika... ANALIZA OPTEREĆENJA I MASA Sopstvena težina konstrukcije (zanemareni stubovi): Ploča (d p = 5cm) 0,5 5,40 5 = 48,3 kn Grede (b/d= 40/50cm) 8 0,40(,50-0,5)5 5 = 500,0 kn odbijena ploča G= 98,3 kn Oprema P= 600,0 kn Komentar: S obzirom da je oprema fiksirana, usvaja se da je u slučaju zemljotresa na konstrukciji prisutno ukupno korisno opterećenje P. Ukupna težina: W=G+P= 98,3+600,0=458,3 kn Ukupna masa konstrukcije i opreme: m= W/g= 458,3/9,8= 467, kns /m Aksijalno opterećenje stubova Stalno opterećenje: N g = G/4= 98,3/4 = 745,6 kn Korisno opterećenje: N p = P/4=600,0/4 = 400,0 kn Totalno opterećenje: N w = W/4= 458,3/4 = 45,6 kn.3 KONTROLA STUBOVA ZA UTICAJE GRAVITACIONIH OPTEREĆENJA Usvojeno: b/d= 40/40, MB 30 (β B = 0,5 MPa) Vitkost stuba: λ= l k /i min =,5 /0,40= 39 0,064.4 DEJSTVO ZEMLJOTRESA C 0,349 0,454 Dijagram. - Dijagram interakcije simetrično armiranog pravougaonog preseka, a/d=0,, σ v =400MPa B 0, Kontrola uslova duktilnosti u oblasti plastičnog zgloba A Uticaji drugog reda sa efektima početne imperfekcije i tečenja betona stuba u ovom slučaju se mogu zanemariti. Granični uticaji u preseku stuba: N u =,9N g +,N p =,9 745,6+, 400,0 = 56,6 kn M u 0 n= N u /(bdβ B )= 56,6/(40 40,05)=0,688 m= 0 Dijagram interakcije br.5 /3/, tačka A na Dijagramu., μ=0. Odgovara minimalni procenat armiranja μ 0,6%(usvojeno), odnosno 4RØ9 (F a =,3 cm, μ= 0,7%> 0,6%). Prema članu 6 Pravilnika //, zbog obezbeđenja zahtevane duktilnosti u oblasti plastičnog zgloba, ograničava se iznos aksijalnog naprezanja stubova: σ 0 /β B 0,35 gde je σ 0 = N/F; β B = 0,7 β k (.) N N w =45,6 kn - normalna sila usled gravitacionog opterećenja F= b d= 40 40=600 cm - površina preseka betona β k =30 MPa - čvrstoća betona ~ MB σ 0 =45,6/600=0,7 kn/cm -3

79 σ 0 /β B = 0,7/(0,7 3,0)= 0,34< 0,35 - Uslov je zadovoljen.4. Računsko seizmičko opterećenje konstrukcije - S Da bi se ograničio iznos nelinearnih, post-elastičnih deformacija konstrukcije pri zemljotresu, potrebna nosivost sistema na horizontalne uticaje prema članu // treba da je najmanje jednaka ukupnoj horizontalnoj seizmičkoj sili S : S= KW (.) gde je: W= 458,3 kn - ukupna težina objekta K= k 0 k s k p k d - ukupni seizmički koeficijent k 0 =,0 - koeficijent kategorije objekta (II kategorija) k s = 0,05 - koeficijent seizmičkog intenziteta (VII zona) k p =,0 - koeficijent duktiliteta (savremena AB konstrukcija) k d = 0,7/T - koeficijent dinamičnosti (II kategorija tla) P=,0 δ EI m H Slika.3 - Određivanje perioda oscilovanja Period oscilovanja T, slika.3: T= π mδ (.3) m= 467, kns /m (ukupna masa) δ= H 3 /(3EI) (.4) pomeranje mase usled jedinične horizontalne sile P= MB30 E= 3,5 0 7 kn/m Četri stuba: b/d= 40/40 I= 4 0,40 4 /= 8, m 4 EI= 3, , =, knm H=,5 m δ=,5 3 /(3, )=,4 0-5 m T= π 467,,4 0 5 = 0,5 s (<,0 s član 7) Koeficijent dinamičnosti K d = 0,7/0,5>,0 usvojeno K d =,0 Ukupni seizmički koeficijent K: K=,0 0,05,0,0= 0,05> mink=0,0 (član 3) Ukupna projektna seizmička sila S: S= 0,05 458,3= 4,6 kn.4.3 Kontrola pomeranja konstrukcije pri zemljotresu Računsko pomeranje pri zemljotresu iznosi: d= Sδ = 4,6,4 0-5 =,6 0-3 m< H/600=,5/600= 3, m Komentar: S obzirom da konstrukcija nema pregradnih zidova i fasada koje bi se mogle oštetiti pri zemljotresu, navedeni dokaz je u ovom slučaju verovatno formalan (član 6). Voditi računa da su sračunata 'pomeranja' samo uporedna veličina, i ne pretstavljaju realna pomeranja pri zemljotresu, koja su znatno veća. Otuda i znaci navoda..4.4 Dimenzionisanje preseka stuba Presek stuba b/d= 40/40; MB30; RA400/500 Komentar: glatka armatura GA danas se uglavnom koristi za uzengije Aksijalno opterećenje: N= N w = 45,6 kn Moment savijanja u uklještenju jednog stuba usled zemljotresa: M s = SH/4= 4,6,5/4= 64,5 knm -4

80 Granični uticaji (član 5, γ=,30) Kombinacija, N w deluje 'nepovoljno' N u =,3N w =,3 45,6= 489,3 knm M u =,3M s =,3 64,5= 83,8 knm n= N u / bdβ B =489,3/40,05= 0,454 m= M u /bd β B =83,8 0 /40 3,05= 0,064 Tačka B na Dijagramu. Kombinacija, N w deluje 'povoljno' N u =,0N w =,0 45,6= 45,63 knm M u =,3M s = 83,8 knm n= 45,6/40,05= 0,349 m= 0,064 Tačka C na Dijagramu. Potreban mehanički procenat armiranja iznosi μ=0! Usvojeno: 4RØ9 (μ= 0,7%).4.5 Kontrola uticaja transverzalnih sila Transverzalna sila jednog stuba Q s = S/4=4,6/4 =8,6 kn Granična vrednost transverzalne sile (γ=,3) Q u = γq s =,3 8,6= 37, kn Najveća dozvoljena vrednost transverzalne sile prema BAB-u, član 9 //, ograničena je dozvoljenom vrednošću nominalnog napona smicanja τ n preseka, koji treba da je manji od vrednosti 5τ r. MB30 τ r =, MPa (BAB, član 89 //) τ n = Q u /(bz)= 37,/(40 3,0)= 0,03 kn/cm = 0,3 MPa< 5τ r =5,5 MPa Komentar: Ograničenjem napona smicanja u stvari se ograničava maksimalna dozvoljena veličina transverzalne sile, kako bi se sprečio lom pritisnute dijagonale modela rešetke. U slučaju stubova, normalna sila pritiska stuba u ovom slučaju deluje nepovoljno, što algoritam BAB-a ne uvažava. Proračunske uzengije stuba Četiri, do sada poznata razloga zbog čega su uzengije stubova korisne, su: -osiguranje od loma usled transverzalnih sila; -utezanje preseka betona i povećenje duktilnosti; - podupiranje vertikalne armature i sprečavanje njenog izvijanja; - poprečno armiranje nastavaka vertikalne armature. Tri poslednja efekta su sadržana u BAB-u //, odnosno Yu8 // u vidu pravila za armiranje (maksimalni razmak, odnosno minimalni dozvoljeni prečnik uzengija), dok je prvi razlog nejasno naveden u članu 63 Yu8 //: ako se analiza sistema konstrukcije vrši dinamičkim postupkom, granična poprečna sila u plastičnim zglobovima pokriva se isključivo poprečnom armaturom. Komentar: Član 63 odnosi se na okvirne konstrukcije i naveden je nakon dva člana koji se odnose na stubove. Zanemarenje nosivosti betona bez obzira na veličinu nominalnog napona smicanja τ n (videti BAB, slučaj τ r <τ n < 3τ r...) tipično je za osiguranje oblasti plastičnih zglobova greda visoke duktilnosti (što je implicitno ugrađeno u Yu8). U ovom primeru, zahtev stava 63 usvojen je za oblast plastičnog zgloba-uklještenja stuba, iako nije primenjen dinamički postupak analize. Dužina H p plastičnog zgloba je reda veličine H p 0,5d, dok se posebni zahtevi za armiranje u stvari odnose na nešto širu kritičnu oblast dužine h cr, sl..4. Prema Yu8, h cr =,0 m, član 6. -5

M u N u Q u ~z mf u σ v mf u σ v s mf u σ v 45

81 M u N u Q u ~z mf u σ v mf u σ v s mf u σ v 45 H p h cr a=4,5 Z a D b z h=35,5 d=40,0 Slika.4 - Osiguranje od loma transverzalnim silama Slika.4.a - Ilustracija loma stuba usled zemljotresa Uz pretpostavku pojave kose prsline pod uglom θ= 45, potrebna proračunska horizontalna armatura iznosi, slika.4: ΣX= 0 (mf u σ v )z/s= Q u (.5) gde su: 4Rφ9,5 3x7,5=97,5 7x5=05 0 URφ8/7,5 URφ8/5 Slika.6 - Armatura stuba 5 z 0,9h= 0,9 35,5= 3,0 cm - krak unutrašnjih sila m= - sečnost uzengija f u = 0,5 cm -površina preseka uzengije (RØ8) σ v = 400 MPa Q u = 37, kn -6 -granica razvlačenja čelika (RA) -granična vrednost transverzalne sile Maksimalni razmak uzengija RØ8 (m=): s zmf u σ v /Q u = 3,0 0,5 40,0/37,= 34,4 cm Prema članu 6, maksimalni razmak uzengija iznosi 5 cm, dok se u blizini čvorova, na dužini,0 m, razmak dvostruko smanjuje. Usvojeno: URØ8/5 (7,5) Uzengije su preklopljene po kraćoj strani preseka-član 6 Yu8 //. Videti i komentar 6.7-deo A. a 0 =,5 4Rφ URφ8 Slika.5 - Armatura stuba - presek Komentar: Prema članu 65 Yu8, armatura se nastavlja van područja plastičnih zglobova, videti i član 9 BAB-a! S obzirom na malu visinu stuba, podužna armatura se

82 može izvesti bez nastavljanja, POS na slici.6. Nastavljanje armature van plastičnih zglobova, praktično na polovini visine stuba je komplikovano za izvođenje, konačno, osim na vezi sa temeljom, plastični zglobovi u stubovima se izbegavaju (teorija). U praksi se ovaj zahtev često ignoriše, ili se 50% armature nastavlja u jednom presku. EC8 podržava ovakva rešenja, ali zahteva odgovarajuće poprečno armiranje uzengijama u zoni nastavka vertikalne armature..5 PITANJA I ODGOVORI.5. Zbog velike normalne sile i malog momenta usled seizmičkog opterećenja, nije potrebna proračunska armatura, poglavlje.4.4. Šta bi se desilo da je usvojen nearmiran stub, i šta će da se dogodi sa ovako armiranom konstrukcijom pri zemljotresu? Ukratko, nearmirana konstrukcija će možda da se sruši, dok će realno seizmičko opterećenje armirane konstrukcije biti veće od propisima zahtevanog, izraz (.) na str. -4. Seizmičko opterećenje nije determinisana veličina, ono zavisi od odgovora konstrukcije na pomeranja tla. Kako bi na zemljotres odgovorila nearmirana konstrukcija koja ima dovoljnu nosivost da prinudna pomeranja usled zemljotresa izdrži u granicama elastičnog ponašanja materijala? Prema EC8 /4/, uslovima ovoga zadatka odgovara tlo kategorije B (S=,0), objekat III kategorije (faktor značaja γ I =,0), dok za maksimalno ubrzanje tla u zoni VII stepena intenziteta od a g = 0,0g, vrednost odnosa α iznosi α =a g /g= 0,0. S e (T) αsβ 0 Prigušenje 5% Tlo kategorije B αs T=0,5 T b =0,5 T c =0,60 Slika.7 - Elastični spektar (videti i sl.6., deo A) T (s) Za sračunatu vrednost perioda oscilovanja T= 0,5s, ordinata elastičnog spektra ubrzanja iznosi, slika.7: S e (T)= αsβ 0 = 0,0,0,5 =0,5 a seizmičko opterećenje pri elastičnom odgovoru konstrukcije iznosi: F e =S e W=0,5 458,3=45,5 kn = 0 S(Yu8)!, (poglavlje.4.) Realno maksimalno pomeranje elastične konstrukcije iznosi: d e =F e δ =45,5,4 0-5 = 0,06 m gde je δ pomeranje usled jedinične sile, poglavlje.4.. Transverzalna sila i momenat savijanja jednog stuba iznose: Q se = F e /4= 45,5/4= 86,4 kn M se = Q se H= 86,4,5= 644,3 knm Pri normalnoj sili u preseku N w =45,6 kn (poglavlje.), ekscentricitet iznosi e= M se /N w = 644,3/45,6= 0,56 m > d/= 0,40/= 0,0m (sila je van preseka) Nearmirani stub bi se srušio, ili bi se, nakon iscrpljenja nosivosti betona na zatezanje i faktičkog loma preseka, oformio krti mehanizam zasnovan na trenju. Prema tome, stub mora da bude armiran, jer je to preduslov formiranja duktilnog mehanizma. Šta će se stvarno dogoditi pri zemljotresu? Ako se usvoji koncept jednakih pomeranja (strana 6-8, deo A), onda konstrukcija treba da izdrži sračunato pomeranje d e = 6 mm. Na slici.8 prikazan je dijagram moment-krivina preseka prema slici.5 (4RØ9, μ=0,7 %, N u =45,6 kn, max ε a = 30 ). Moment nosivosti preseka iznosi M u = 7, knm. Seizmičko opterećenje konstrukcije, pri istovremenom dostizanju kapaciteta nosivosti plastičnih zglobova četri stuba iznosi: -7

83 F CD = 4M u /H= 4 7,/,5= 386,5 kn (= 0,084W=3,37S, poglavlje.4.) Odgovarajuća transverzalna sila jednog stuba iznosi Q u = 386,5/4= 96,6 kn što je još uvek manje od nosivosti uzengija URØ8/7,5 Q m =zmf u σ v /s= 3,0 0,5 40/7,5= 36,5 kn M(kNm) M u =7, 45,5 F(kN) 75%M u =63 386,5 3 κ(/m) 4,5 YU8 d(mm) κ y ~0,0090 κ u =0,008,6 6,0 Slika.8 - Moment-krivina preseka Slika.9 - Odgovor konstrukcije, sila-pomeranje Računski odgovor konstrukcije, prema propisima, prikazan je linijom, odgovor elastične konstrukcije linijom, a realni odgovor linijom 3 na slici.9. Tok krivina preseka κ κ u κ y d m H p ~0,0m H=,5m Slika.0 - Deformacija konstrukcije F Može li konstrukcija da izdrži pomeranje d e = 6mm, ako su dilatacije betona odnosno čelika ograničene na ε b =3,5 odnosno ε a =30 (usvojeno, jer se u slučaju zemljotresa dozvoljavaju povećane dilatacije čelika)? Prema slici.8, maksimalna krivina preseka iznosi κ u = 0,008 /m, a krivina na granici elastičnosti (uz bilinearnu aproksimaciju) κ y = 0,009 /m. Sa dužinom plastičnog zgloba H p 0,5d=0,5 0,40=0, m, slika.0, pomeranje vrha pri dostizanju kapaciteta deformacija iznosi d m = (0,5 κ y H) H/3+H p (κ u - κ y ) (H-0,5H p )= (0,5 0,009,5),5/3+ 0,0(0,008-0,009)(,5-0,5 0,0) =0,0076+0,0048=0,0 m= mm< d e = 6mm Kapacitet deformacija je nedovoljan. Treba povećati ili nosivost (κ y ) ili duktilnost krivine (κ u /κ y ) - na projektantu je da utvrdi optimalni balans nosivosti i duktilnosti..5. Ako je, uz minimalni procenat armiranje, nosivost konsturkcije veća od propisima zahtevane (FCD>S), može li se izbeći utezanje preseka i obezbediti elastični odgovor minimalno armirane konstrukcije pri zemljotresu? Prema EC8, minimalna vrednost realno obezbeđenog faktora ponašanja iznosi min q=,5, odnosno, nivo seizmičkog opterećenja nema potrebe usvajati većim od maxf d max S d W= S e W/ mn q= S e W/,5= 0,67S e W U konkretnom slučaju F d =0,67 0,5 458,3= 767,5 kn Normalna sila i momenat jednog stuba tada iznose: -8

84 N w = 45,6 kn M s = 767,5,5/4= 43,7 kn Sa vrednostima koeficijenata sigurnosti γ=,0 za normalnu silu, i γ=,3 za moment savijanja, potrebna ukupna armatura preseka 40/40 cm, armiranog ravnomerno po obimu iznosi pot F a = 00 cm, μ= 6,5%. Prema BAB- u, član 89, maksimalni dozvoljeni procenat armiranja je 6%, dok savremeni seizmički propisi procenat armature pritisnutih elemenata ograničavaju na oko 4,0%. Prema tome, potrebna nosivost za elastični odgovor konstrukcije ne može da se obezbedi sa usvojenom armaturom, pa ni sa eventualno maksimalno dozvoljenom armaturom u preseku..5.3 Pa dobro, jesu li uzengije URØ8/7,5 prema slici.5 dovoljne da obezbede potrebno utezanje preseka i povećenje kapaciteta deformacija? Na ovo pitanje Yu8 ne daje odgovor, pa da vidimo šta kaže EC8, na primer /4/. Rešetka vertikalne armature i uzengija sprečava jezgro betona da ne iscuri, ali samo u čvorovima u kojima rezultanta zatezanja uzengija podupire vertikalnu armaturu - gura je prema jezgru. Između čvorova se formira svod. Na slici., takvih čvorova ima n=8. Ako bi presek imao samo uzengiju POS, tada je n=4, manja je globalna efikasnost utezanja uzengijama - α. Za nešrafiranu, neutegnutu masu betona pretpostavlja se da može da otpadne nakon par ciklusa visokih dilatacija betona, slika..b. a 0 n=8 b i b 0 b c d 0 d c a. b. Slika. - Mehanizam utezanja betona Ako stub treba da zadovolji traženu vrednost konvencionalnog faktora duktilnosti krivine-ccdf, potrebno je da su istovremeno obezbeđeni sledeći uslovi: αω wd k 0 μ /r ν d ε sy,d (0,35A C /A O +0,5)-0ε cu (.6a) ω wd ω wd,min (.6b) gde je: V f h yd ω wd = V0 fcd - mehanički zapreminski koeficijent armiranja uzengijama V h - zapremina sloja uzengija na razmaku s V 0 - zapremina utegnutog jezgra betona visine s f yd = f yk /γ s - projektna granica tečenja čelika (videti 6.6- deo A) f cd = f ck /γ c - projektna čvrstoća betona (videti 6.6- deo A) ω wd,min -minimalna dozvoljena vrednost ω wd (= 0,3/0,09/0,05 za DCH/M/L) -9

85 ν d = N sd /(A C f cd ) - normalizovana proračunska aksijalna sila (ν d 0,55/0,65/0,75 za DCH/M/L) μ /r - zahtevana vrednost CCDF = 3/9/5 za stubove DCH/M/L = q za 'samostalne zidove' (q - faktor ponašanja) = 0,8q za 'spojene zidove' ε sy,d - proračunska vrednost dilatacije zatezanja čelika na granici tečenja (za RA 400/500, ε sy,d 0,0/γ s ; γ s =,5) A C = b c d c - ukupna površina preseka betona A O = b 0 d 0 - površina preseka utegnutog jezgra ε cu = 0, nominalna granična dilatacija betona k 0 - koeficijent (= 55/60/65 za DCH/M/L) α=α n α s - 'globalna efikasnost utezanja uzengijama' Za pravougaoni presek, vrednost parametara α iznosi α n = b i /6Ao b i s α s = (-s/b 0 ) i - rastojanje uzastopnih pridržanih podužnih šipki armature, slika..a - razmak uzengija Konačno, primer. b 0 = d 0 = 40-(,5+0,8/)= 34, cm urφ8/7,5 b i = 40-(,5+0,8+,9/)= 3,4 cm MB30 prema BAB-u približno odgovara a 0 =,5 4,3 4Rφ9 b i =3,4 d 0 =34, d c =40 4,3 C5/30 po EC. /5/ Domaći propisi podrazumevaju konstrukciju visoke duktilnosti (videti 7.3-deo A). Odgovara klasa visoke duktilnosti-dch prema EC8. DCH ω wd,min = 0,3 Obezbeđeno ω wd : f yd= f yk /γ s = 400/,5= 34,8 MPa f cd = f ck /γ c = 5/,50= 6,67 MPa V h = 4 34, 0,5= 68,4 cm 3 (RØ8, f u = 0,5 cm ) V 0 = 34, 7,5= 877,3 cm 3 Slika. - Varijanta utezanja uzengijama 68,4 34,8 ω wd = 877,36,67 = 0,6> ω wd,min= 0,3 Obezbeđeno ω wd veće je od minimalnog, izraz.6.b, ali, da li je dovoljno, izraz.6.a? A C = 40 = 600 cm A 0 = 34, = 69,64 cm 4 3,4 α n = = 0, ,64 7,5 α s = ( ) = 0,793 34, α= 0,438 0,793= 0,347 N sd = 45,5 kn (γ=,0) b 0 =34, b c =40-0

86 .5.4 Domaći pravilnik Yu8 // podrazumeva da je konstrukcijskim detaljima obezbeđena visoka duktilnost konstrukcije (DCH prema EC8). U konkretnom primeru, rezultat je stub prevelike nosivosti (malo proračunsko seizmičko opterećenje), ali i sa visokim zahtevima za obezbe- ν d = 45,5/(600,67)= 0,43 < 0,55 (DCH) (Zadovoljeno) DCH k 0 = 55; μ /r = 3 ε sy,d = 0,00/,5= 0,007 (.6.a) 0,347 ω wd ,43 0,007(0,35 600/69,6+0,5)-0 0,0035 0,94 ω wd 0,94/0,347= 0,847> 0,6! (Nedovoljno utezanje!) Jedna uzengija nije dovoljna. Da bi se povećao broj uzengija, treba promeniti koncept armiranja podužnom armaturom, slika.3, F a =,3 cm, μ= 0,77% - 8RØ4 8 5,7 α n = = 0, ,64 urφ/7,5 α s = 0,793 (s=7,5) α= 0,79 0,793= 0,570 8Rφ4 ω wd 0,94/0,57= 0,56> 0,6 Ovo počinje da nervira, može li se povećati prečnik uzengija, na istom razmaku s= 7,5 cm? f (4 34, 4 4,0) 347,8 ω wd = u + = 4,55 f u /s s 34, 6,67 d 0 =34, 4,55f u /s 0,56 odnosno, f u /s> 0,4 d c =40 za s= 7,5 cm pot f u = 0,4 7,5= 0,93 cm Slika.3 - Varijanta utezanja uzengijama odgovara: URØ/7,5 Najveći prečnik uzengije ne bi trebalo usvajati veći od Ø, bar ne kod standardnih preseka elemenata konstrukcija zgrada. Da bi se smanjio prečnik, treba povećati broj uzengija, ali i podužnih šipki, slika.4! Rφ F a = 3,56 cm, μ= 0,847%, RØ (Ø je minimalni dozvoljeni prečnik podužne armature stubova) 0,47 α n = = 0, ,64 α s = 0,793 (s=7,5) b i =3,4/3=0,47 α= 0,83 0,793= 0,644 d c =40 ω wd 0,94/0,644= 0,456> 0,6 b i =34,/=5,7 b i ~4 b 0 =34, b c =40 b c =40 Slika.4 - Varijanta utezanja uzengijama f (8 34, 4 0,47) 347,8 ω wd u + = 5,67f u /s> 0,456 s 34, 6,67 f u /s 0,08 za s= 7,5 f u 0,60 cm (> 0,5 cm ; RØ8) Ima mišljenja da su zahtevi EC8 prestrogi (?), pa se konačno usvaja: 3URØ8/7,5 (do daljeg). Prema EC8, visina h cr kritične oblasti stuba iznosi H cr = max{,5d c ; l cl /5; 600 mm} = max{,5 40; 5/5; 60 }= 60 cm gde je l cl - čista visina stuba, između greda/temelja. -

87 đenje pretpostavljene duktilnosti (visoki nivo aksijalnog opterećenja). Da li koncept EC8 možda dozvoljava povoljnija rešenja detalja armature? Za razliku od Yu8, EC8 projektantu nudi tri nivoa projektnog seizmičkog opterećenja, za tri nivoa obezbeđene duktilnosti konstrukcije- DCH/M/L. Viša klasa duktilnosti dozvoljava niži nivo seizmičkog opterećenja, ali su zahtevi za konstruisanje detalja armature strožiji. U konkretnom primeru, nivo proračunskog opterećenja je nizak, pa je armatura usvojena na osnovu kriterijuma minimalnog procenta armiranja- nosivost preseka stuba i konstrukcije je znatno veća od zahtevane, videti i sl..9. Veća nosivost podrazumeva i nižu potrebnu duktilnost, efekat je isti kao da je konstrukcija svesno dimenzionisana za viši nivo opterećenja, odnosno da je usvojena niža klasa duktilnosti. Ako je tako, onda se mogu ublažiti i problemi sa obezbeđenjem zahtevane duktilnosti utezanjem preseka. Možda se nosivost i duktilnost mogu pametnije izbalansirati? Prema EC8, proračunsko seizmičko opterećenje F d (analogno S prema Yu8), za konstrukcije sa periodom oscilovanja T B < T= 0,5 s< T C iznosi, slika.7 F d = F e /q= αsβ 0 W/q (.7) gde je q - faktor ponašanja, čija vrednost zavisi od obezbeđene duktilnosti konstrukcije q= q 0 k D k R k W (videti 6.5- deo A) Za okvirne konstrukcije q 0 = 5,0 ( osnovna vrednost ), dok je u konkretnom slučaju k R =,0 i k w =,0 (videti 6.5-deo A) a.) Varijanta DCH- klasa visoke duktilnosti k D =,0 q= 5,0,0= 5,0 (α= 0,0; s=,0; β 0 =,5) F d = 0,,0,5 458,3/5,0= 0,05 458,3= 9, kn (= S Yu 8 ) Uticaji u jednom stubu N W = 45,6 kn Q s = 9,/4= 57,3 kn M s = 57,3,5= 8,8 knm Na osnovu uticaja prema EC8, za dimenzionisanje je usvojen, jednostavnosti radi, BAB- koncept (nije bitno za razumevanje osnovne teme - uticaji zemljotresa). N u =,0 45,6= 45,6 kn (N w - deluje povoljno ) M u =,3 8,8= 67,4 knm n= 45,6/40,05= 0,349 m= 67,4 0 /40 3,05= 0,7 B tačka A, Dijagram. A pot μ=0,05 0,7 0,7 0,349 Dijagram. - Dijagram interakcije simetrično armiranog pravougaonog preseka, a/d=0,, σ v =400MPa potμ= µ f B / σ v = 0,05 0,5/400= 0,007= 0,7% Prema EC8, minimalni procenat armiranja stubova konstrukcija u seizmičkim područjima je min μ=,0%. Odgovara: 8RØ6 (F a = 6,08 cm, μ %) b.) Varijanta DCM- klasa srednje duktilnosti k D = 0,75 q= 5,0 0,75= 3,75 F d = 0,,0,5 458,3/3,75= 0, ,3= 307,0kN (=,67 S Yu 8 ) -

88 Uticaji u jednom stubu N W = 45,6 kn Q s = 307,0/4= 76, kn M s = 76,7,5= 7,7 knm M u =,3 7,7= 4,5 knm n= 0,349 m= 4,5 0 /40 3,05= 0,7 tačka B, dijagram. pot μ=0,95 pot μ= µ f B / σ v = 0,95 0,5/400= 0,0= % Odgovara: 8RØ6 (F a = 6,08 cm, μ %) c.) Varijanta DCL- klasa niske duktilnosti k D = 0,5 q= 5,0 0,5=,5 F d =0,,0,5 458,3/,5= 0, 458,3= 458,kN (= 4 S Yu 8 ) Uticaji u jednom stubu N W = 45,6 kn Q s = 458,/4= 4,6 kn M s = 4,6,5= 57,7 knm M u =,3 57,7= 335, knm A n= 0,349 m= 335, 0 /40 3,05= 0,55 tačka A, dijagram.3. 0,55 0,349 Dijagram.3 - Dijagram interakcije simetrično armiranog pravougaonog preseka, a/d=0,, σ v =400MPa pot μ=0,5 pot μ= µ f B / σ v = 0,5 0,5/400= 0,06=,6 % Odgovara: RØ (F a = 45,6 cm, μ,85%) Obezbeđenje zahtevane duktilnosti preseka- parametarska analiza Postupkom prikazanim u delu.5.3, sračunata je i na slici.5 prikazana zavisnost potrebnog mehaničkog procenta utezanja uzengijama ω wd u zavisnosti od nivoa normalizovane aksijalne sile ν d = N sd /(A C f cd ) kao i klase duktilnosti konstrukcije, za tri sheme armiranja preseka. Zapreminski procenat armiranja - ω wd ,847 0,56 0,456 DCH DCM DCL 0, Normalizovana sila - ν d Slika.5 - Potrebno ω wd za presek 40/40; C5/30; S ,3 0,090,05 0,55 0,65 0,

89 urφ0/9 d bl 8Rφ6 d c =40 Slika.6 - Shema armiranja - DCM potrebna vrednost ω wd ω wd = 4,55f u /s pot ω wd = 0,37 za URØ (f u =,3 cm ) s,7 cm za URØ0 (f u = 0,79 cm ) s 8,9 cm Usvojeno: URØ0/9 b c =40 Za definitivno rešenje detalja armature stuba usvaja se shema armiranja na slici.5, kao i nivo seizmičkog opterećenja srednje klase duktilnosti- DCM, slika.6. Za ν d =45,6/600,67= 0,43 pot ω wd =0,37 Prema EC8, maksimalni razmak uzengija u kritičnoj oblasti stuba klase DCM iznosi s= min{b 0 /3; 50 mm; 7d bl } = min{400/3; 50; 7 6}= mm dok je dužina kritične oblasti l cr = max{,5d c ; l cl /6; 450 mm} = max{,5 400; 50/6; 450 }= 600 mm Za shemu armiranja prema sl..6 već je sračunata.5.5 Pa zar konstrukcija iz ovog primera nije upravo primer 'fleksibilnog sprata' ili 'mekog prizemlja', što EC8 'praktično zabranjuje', videti 5.3- deo A? Pa jeste, ali u ovom slučaju i nema drugog rešenja da se smanji nivo seizmičkog opterećenja, osim putem formiranja upravo mehanizma fleksibilnog sprata! Fleksibilni sprat δ(t) G G Fleksibilni sprat Fleksibilni sprat Fleksibilni sprat Fleksibilni sprat Fleksibilni sprat a. b. c. A. B. Slika.7 - Plastični mehanizmi sa zglobovima na oba kraja svih stubova jednog sprata. Prema EC8, prva tri slučaja su dozvoljena, ali ne i slučajevi A i B S obzirom da su u pitanju ciklična pomeranja a ne uticaj determinisane statičke sile u jednom smeru, mehanizam smicanja sprata je dozvoljen, ali treba proveriti efekte drugog reda! (videti 6.4- deo A). Za slučaj konstrukcije klase duktilnosti DCM prema EC8, prethodni primer: P δ tot P tot = W= 458,3 kn V tot = Fd= 307,0 kn V tot δ= d e = 6 mm H= 50 mm gde je δ realno spratno pomeranje (videti i 6.9- deo A) H Slika.8 - Efekti II reda prema EC8-4

90 ((6.)- deo A) θ= P tot δ/( V tot H)= 458,3 6/(307,0 50)= 0,> 0,0 Prema EC8, kada je vrednost koeficijenta osetljivosti sprata na relativno pomeranje - θ veća od 0,0, potrebno je u proračun uvesti i efekte drugog reda, uvećanjem proračunskog opterećenja F d * > F d F d * = F d /(-θ) (0,< θ 0,) (.8) maxθ= 0,3 F d * = F d /(-0,)=,F d =, 307,0=345,0 kn Ceo postupak dimenzionisanja konstrukcije trebalo bi ponoviti sa uvećanim seizmičkim opterećenjem, prema tome ovaj kriterijum treba proveriti na samom početku proračuna. Slika.9-Velika oštećenja konstrukcije usled efekta fleksibilnog prizemlja (Japan 995) Slika.0-Kolaps konstrukcije usled efekta fleksibilnog prizemlja (Turska 999) Slika.-Kolaps četvrtog sprata usled efekta fleksibilnog sprata (Japan 995) Na slikama.9-. prikazani su primeri efekata zemljotresa na konstrukcije sa fleksibilnim prizemljem/spratom. Fleksibilno prizemlje je slučaj konstrukcija koje u prizemlju imaju samo stubove, dok je gornji deo konstrukcije krući, zbog prisustva zidova. Ovakva rešenja tipična su za objekte sa višestrukom namenom - prizemlja su otvorena zbog obezbeđenja poslovnog prostora ili garaža, dok su gornji delovi stambeni, sa mnoštvom zidova. Ovakvi slučajevi se mogu realizovati, ali uz pažljiviju analizu, koja prevazilazi uputstva data u standardnim propisima. U suprotnom, mogu da nastanu velika oštećenja prizemlja, zbog 'klizanja' gornjeg dela objekta po prizemlju kao 'velikom kliznom ležištu', slika.9. Nije redak slučaj da pri povećanim deformacijama-smicanjima prizemlja, dođe do iscrpljenja nosivosti stubova na gravitaciona opterećenje, i da gornji deo objekta zdrobi prizemlje, slika.0. Ovaj katastrofalni efekat može da se javi i na višim spratovima, usled značajno manje krutosti nekog sprata u odnosu na susedne spratove-efekat 'fleksibilnog sprata'. Na slici. prikazan je slučaj potpunog kolapsa jedne etaže, zdrobljene težinom gornjeg dela objekta. -5

91 .5.6 A šta je sa konceptom programiranog ponašanja prema EC8? M Bu Q Cd A B N u Q Cd M Au l Cl Slika. - Računska transverzalna sila stuba Ovaj koncept (videti 5.4- deo A) u konkretnom primeru nije ni primenjen, jer pravilnik Yu8 // to ne zahteva. U konkretnom slučaju, koncept programiranog ponašanja prema EC8 obuhvata sledeće (samo za klase duktilnosi konstrukcija DCM i DCH!): a) definisanje plastičnog mehanizma konstrukcije i položaja plastičnih zglobova; Ovaj zahtev je implicitno ispunjen, jer u ovom slučaju i nije bilo dileme, plastični zglobovi su u uklještenju stubova; b) dimenzionisanje nosivosti plastičnih zglobova na proračunski momente savijanja dobijene na osnovu seizmičkog opterećenja definisanog propisima; Pa to smo i uradili, presek u uklještenju je dimenzionisan na savijanje prema seizmičkom opterećenju, čiji je intenzitet određen prema pravilniku Yu8. c) usvajanje detalja armature plastičnih zglobova, broja i rasporeda šipki podužne armature stuba, uz obezbeđenje potrebne duktilnosti utezanjem uzengijama; I to je urađeno, pri čemu je u nekim varijantama usvojena armatura veća od računski potrebne, videti primer na sl..9. d) proračun realnih momenata savijanja plastičnih zglobova pri pomeranjima usled zemljotresa-proračun kapaciteta nosivosti plastičnih zglobova na savijanje na osnovu stvarno angažovane armature preseka; Tako nešto je i urađeno, ali kasnije, u delu.5. i drugim povodom. Tom prilikom konstatovano je sledeće: Proračunsko ukupno seizmičko opterećenje prema Yu8 iznosi S= 4,6 kn, a proračunski moment savijanja odnosno transverzalna sila jednog stuba iznose M s = 64,5 knm odnosno Q s = 8,6 kn; Moment nosivosti preseka b/d= 40/40 (MB 30), armiranog sa 4RØ9 (μ= 0,7%, σ v = 400 MPa) pri aksijalnoj sili pritiska od N u = N w = 45,6 kn iznosi M u = 7, knm> γm s =,3 64,5= 83,8 knm, slika.8. e) proračun realnih transverzalnih sila stubova koje će se indukovati pri dostizanju kapaciteta nosivosti na savijanje plastičnih zglobova. To nije urađeno. Ukupno indukovano seizmičko opterećenje pri pomeranjima usled zemljotresa iznosi F CD = 386,5 kn, a transverzalna sila jednog stuba Q u = 96,6 kn (deo.5.). Prema EC8, vrednost transverzalne sile stuba, stačunatu uz pretpostavku dostizanja kapaciteta nosivosti plastičnih zglobova na oba kraja stuba, treba pomnožiti faktorom γ Rd (=,35 za DCH odnosno =,0 za DCM) koji može da se shvati kao dodatni faktor sigurnosti od loma preseka stuba. Proračunska vrednost transverzalne sile stuba iznosi (slika.) Q CD = γ Rd (M BU +M AU )/l CL (.9) gde su M BU i M AU momenti nosivosti krajeva stuba. U konkretnom slučaju, uz pretpostavku klase visoke duktilnosti, korigovana proračunska transverzalna sila stuba iznosi Q CD = γ Rd Q u =,35 96,6= 30,4 kn. Sa ovom vrednošću transverzalne sile treba proveriti nosivost preseka stuba. f) sve elemente konstrukcije, priključene na plastične zglobove, treba dimenzionisati na uticaje koje se u konstrukciji javljaju pri dostizanju kapaciteta nosivosti na savijanje plastičnih zglobova. -6

92 U konkretnom slučaju, temelj konstrukcije treba dimenzionisati na moment nosivosti plastičnog zgloba M u = 7,7 knm i odgovarajuću transverzalnu silu Q u = 96,6 kn, slika.3. Treba uočiti bitnu razliku u odnosu na veličinu uticaja na koje bi se temelj dimenzionisao prema konceptu Yu8. Prema Yu8, moment u uklještenju stuba iznosi M s = 64,5 knm, a transverzalna sila Q s = 8,6 kn, što su 3,37 puta manji uticaji, za stub prema slici.6. δ=6mm N W =45,6 kn H Q u =96,6 kn M u =7, knm Q t M t Slika.3 - Računski uticaji na temelj Slika.4 - Preturanje objekta usled popuštanja temelja Na slici.4 prikazan je slučaj preturanja objekta zbog popuštanja temelja. Ovakav slučaj može da se pojavi kada je nosivost konstrukcije veća od nosivosti temelja, pa nema uslova da se 'plastični zglobovi' pojave u konstrukciji, već se oni sele u temelje kao najslabiju kariku. Do preturanja dolazi ili zbog velikih deformacija tla, ili usled sloma tla ili usled izvlačenja zategnutih šipova koji ne mogu da prihvate indukovana aksijalna opterećenja..5.7 Ima li još nešto što nedostaje Yu8 u odnosu na EC8, u konkretnom slučaju? Ima. Prema EC8, i u ovom slučaju bi morao da se uzme u obzir uticaj slučajnih torzionih efekata, jer nema idealno simetričnih konstrukcija. Rezultat bi bio za približno 30% veći momenti savijanja stubova. I to nije sve! Trebalo bi u obzir uzeti i istovremeno dejstvo zemljotresa u dva ortogonalna pravca, što za posledicu ima koso savijanje stubova (videti 6.- deo A). Oba zahteva nisu bitna za razumevanje odgovora betonskih konstrukcija na zemljotres, pa se neće ovom prilikom ni izlagati. -7

93 PRIMER Da bi se ilustrovali problemi i postupak analize složenijih okvirnih konstrukcija prema YU8, izabran je primer simetrične sedmoetažne okvirne konstrukcije, sa nejednakim rasponima greda. U uvodnom delu izloženi su osnovni pojmovi u vezi računskog modeliranja ove složene prostorne konstrukcije. Rezultat kvalitativne analize očekivanog ponašanja konstrukcijskog sistema pri dejstvu zemljotresa je da se problem može pojednostaviti, i svesti na razmatranje i proračun samo jednog od okvira sa pripadajućim delom ukupnog opterećenja objekta. U okviru primera prikazana je kompletna statička analiza jednog okvira prema YU8, koja se ne može izvesti bez primene računara, pa se od studenata i ne očekuje da mogu da reše i ovakve primere na ispitu. Nakon određivanja veličine uticaja u presecima, dimenzionisanje granične nosivosti preseka greda i stubova se prema YU8 vrši kao za bilo koje drugo opterećenje, vodeći računa samo o specifičnim konstrukcijskim zahtevima u vezi armiranja. U nastavku primera, u delu "Pitanja i odgovori", ilustrovan je koncept dozvoljenih pomeranja kao i proračuna efekata drugog reda prema EC8. Svakako najznačajniji deo za razumevanje ponašanja armiranobetonskih konstrukcija pri zemljotresu obuhvaćen je analizama i komentarima koji se odnose na obezbeđenje formiranja željenog plastičnog mehanizma konstrukcije, kao i obezbeđenje programiranog ponašanja konstrukcije prema EC8. Obim analiza prilagođen je nivou ovoga kursa, i treba samo da ilustruje suštinu kao i da ukaže na razlike koncepta YU8 i EC8: da problem aseizmičkog projektovanja nije uobičajeno određivanje granične nosivosti preseka, već da projektant treba da ima jasan koncept, kao i da obezbedi uslove za formiranje plastičnog mehanizma konstrukcije u celini, sposobne da pouzdano izdrži predviđena pomeranja pri dejstvu zemljotresa. Analizirani primer je karakterističan po tome što računski efekti zemljotresa nisu dovoljno izraženi u odnosu na uticaje gravitacionih opterećenja, pa relativno jednostavni koncept obezbeđenja plastičnog mehanizma konstrukcije u ovakvim slučajevima i nije tako jednostavno realizovati. -

94 PRIMER Za AB konstrukciju poslovnog objekta uraditi odgovarajuće analize i dimenzionisati jednu karakterističnu gredu i stub. Y 6 30/60 +9,60 VII /50 30/60 30/60 30/50 30/50 Pos /60 40/40 30/ /50 5x4,0=0,0 m 30/60 X A B C D 8,0 4,0 8,0 Osnova 0,0 m 40 0, A 8,0 B 4,0 C 8,0 D 0,0 m VI V IV III II I 7x,80=9,6 m Presek Slika. - Dispozicija konstrukcije Gabarit objekta u osnovi je 0 0 m. Objekat ima sedam etaža spratne visine h=,80 m. Svi stubovi su konstantnog kvadratnog preseka 40/40. Dimenzije greda u podužnom, X- pravcu su 30/60, a u poprečnom, Y- pravcu 30/50. Debljina ploče d p = 5 cm. Objekat se nalazi u IX zoni seizmičkog intenziteta. U odnosu na zemljotres, dejstvo vetra je zanemarljivo. Konstrukcija je plitko fundirana, tlo III kategorije. Za težinu pregradnih zidova, podova i instalacija usvojiti,50 kn/m, korisno opterećenje,0 kn/m, a težina staklene fasade je,0 kn/m fasade. Za ukupnu težinu krovne ploče usvojiti težinu tipske tavanice. Sve proračune i konstruisanja uraditi prema domaćim pravilnicima // i //. 'Plastični zglobovi' Slika. - 'Idealan' plastični mehanizam konstrukcije. KONCEPT KONSTRUKCIJE I ANALIZE Konstrukcija objekta je okvirna ( ramovska ) u oba ortogonalna glavna pravca. Konstrukcija je simetrična, tako da se centar krutosti nalazi u težištu osnove, i ne menja se po visini. Za poslovne objekte kancelarijskog tipa (p=,0 kn/m ) analiza se obično vrši za slučaj korisnog opterećenja prisutnog na celoj osnovi sprata. Uz pretpostavku da je i dodatno stalno opterećenje (pregradni zidovi...) takođe uniformno po osnovi, tada se centar masa svih spratova nalazi u težištu osnove, i poklapa se sa centrom krutosti. Prema Yu8 //, efekti torzije u osnovi se mogu zanemariti. -

95 Konstrukcija je regularna u osnovi i po visini, pa analiza dejstva zemljotresa može da se izvrši metodom ekvivalentnog statičkog opterećenja. Za dejstvo zemljotresa se pretpostavlja da deluje ili u pravcu podužne, X- ose, ili u pravcu poprečne, Y- ose. Za konstrukcije tavanica se pretpostavlja da su dovoljno krute u svojoj ravni, tako da se za dinamički model konstrukcije može usvojiti konzola sa sedam masa koncentrisanih u nivou tavanica. Zanemarujući vertikalna pomeranja i rotacije masa, dinamički model ima sedam stepeni slobode- horizontalnih pomeranja spratova. Konstrukcijskim merama poželjno je obezbediti da se pri dejstvu zemljotresa plastični mehanizam konstrukcije oformi pojavom plastičnih zglobova samo u gredama i uklještenju stubova, slika.. U svakom slučaju, pojava fleksibilnog sprata nije dozvoljena.. PRORAČUNSKI MODEL KONSTRUKCIJE Prostornu AB konstrukciju formiraju ploče, grede, stubovi i temelji. Proračunski model konstrukcije zavisi od geometrijskih karakteristika konstrukcije (dispozicije i krutosti elemenata konstrukcije), karaktera i rasporeda opterećenja kao i od cilja analize. Za složene konstrukcije često se formiraju dva nezavisna proračunska modela: G,P V,S G,P a. b. d. G,P Slika.3 - Proračunski modeli: a) kompletan trodimenzionalan model konstrukcije, metoda konačnih elemenata (program TOWER- Radimpex Beograd /6/.); b) podkonstrukcija okvira u osi 4 za analizu uticaja gravitacionih i seizmičkih dejstava; c) spratni model sa modeliranjem i krutosti stubova;d.) lokalni model - za proračun grede okvira; c. - komletniji i tačniji statički model, za analizu uticaja gravitacionih opterećenja, uticaja vetra... - pojednostavljeni dinamički model, za proračun seizmičkog opterećenja, čiji se efekti potom analiziraju na tačnijem statičkom modelu, uz kombinovanje sa uticajima usled drugih opterećenja. Kao jednostavni, a za proračune uticaja zemljotresa dovoljno tačni dinamički modeli najčešće se koriste tzv. kvazi-trodimenzionalni modeli. U konkretnom slučaju okvirne konstrukcije, prostorna krutost i stabilnost na horizonstalna dejstva obezbeđena je sa 6 okvira (u osama -6) u podužnom, X- pravcu, i 4 okvira (u osama A-C) u poprečnom, Y- pravcu. Ako se pretpostavi da svaki okvir prima horizontalne uticaje samo u svojoj ravni ( dvodimenzionalna konstrukcija), kvazitrodimenzionalan model konstrukcije sastoji se od ravanskih okvira složenih u osnovi i povezanih u nivou svakog sprata krutom tavanicom, slika.4. Ako se pri analizi horizontalnih dejstava mogu zanemariti efekti torzije u osnovi (kao u ovom primeru), model se može još pojednostaviti, slika.5. U ovom primeru biće prikazana samo analiza dejstva zemljotresa u podužnom, X- pravcu, slika.5.a. S obzirom da svi podužni okviri (R-R6, slika.5.a.) zbog efekta krute tavanice imaju ista horizontalna pomeranja u nivou jedne tavanice, model sa slike.5.a. može da se interpretira kao povezani niz okvira u ravni, slika.6. Pri istim pomeranjima δ, nivo seizmičkog opterećenja S i okvira i, proporcionalan je krutosti na pomeranje k i okvira i. -3

96 Ram A Y Ram B Ram 6 Ram 5 Ram 4 Ram 3 Ram Ram Ram C Kruta tavanica M A B C D S Ram D X Osnova a. A B C D b. X - Okviri (ramovi) Ram-Ram6 c. Y - Okviri (ramovi) RamA-RamD Slika.4 - Kvazi-trodimenzionalni dinamički model konstrukcije Y Y 6 Ram 6 δ y Ram 5 Ram 4 Kruta tavanica X-zemljotres Ram 3 δ x Ram A Ram B Y-zemljotres Ram C Kruta tavanica Ram D Ram Ram X X a. A B C D b. Slika.5 - Proračunski modeli simetrične konstrukcije sa zanemarljivim efektima torzije (centar mase i centar krutosti se poklapaju). Dejstvo zemljotresa izaziva samo pomeranje u jednom pravcu- translaciju δ x, odnosno δ y S Kruti štapovi-efekat krute tavanice δ VII S S S3 S4 S5 S6 δ IV Ram Ram Ram3 Ram4 Ram5 Ram6 Slika.6 - Niz okvira u ravni za analizu uticaja zemljotresa u X-pravcu -4

97 U konkretnom primeru, krutost unutrašnjih okvira R-R5 principijelno se razlikuje od krutosti fasadnih okvira R i R6: zbog različite krutosti greda (nije ista aktivna širina ploče Г i T - preseka), kao i realne krutosti stubova (presek jeste isti 40/40, ali aksijalno opterećenje i količina armature nisu isti). Principijelno, proračunska krutost greda i stubova za analizu dejstava gravitacionih opterećenja odnosno zemljotresa se razlikuje. Pri zemljotresu se dopuštaju veće rotacije, krivine i prsline preseka, pa je i krutost elemenata niža. U ovom primeru, za krutost svih greda usvojena je krutost samo pravougaonog rebra 30/60, dok je za krutost svih stubova usvojena krutost bruto betonskog preseka 40/40. Pri modeliranju krutosti elemenata, treba imati u vidu dva sledeća efekta: - veća krutost za posledicu ima viši nivo seizmičkog opterećenja (ali dimenzije preseka i količina armature mogu da pređu prihvatljivu meru), i niža računska pomeranja pri zemljotresu. Nerealno usvojena visoka proračunska krutost može za posledicu da ima zabludu o zadovoljenju kriterijuma dozvoljenih pomeranja, i nedozvoljena oštećenja pregradnih zidova i fasada pri zemljotresu; - nerealno procenjen odnos krutosti pojedinih elemenata i delova konstrukcije, za posledicu ima nerealnu preraspodelu računskih uticaja, a kod prostornih modela i nerealne torzione efekte, jer se menja položaj centra krutosti. S obzirom da je isvojeno da svi okviri imaju istu krutost, za definitivni dinamički model konstrukcije može da se usvoji jedan okvir ( u osi 4, na primer) sa pripadajućom masom u iznosu od /6 ukupne mase objekta. Na istom modelu izvršiće se i analiza gravitacionih uticaja..3. ANALIZA GRAVITACIONIH OPTEREĆENJA Stalno opterećenje tavanice Sopstvena težina ploče (d p = 5cm) 0,5 5 = 3,75 kn/m Dodatno stalno opt. (pregrade, podovi...) =,5 kn/m g= 6,5 kn/m Korisno opterećenje tavanice p=,50 kn/m Opterećenje tipske grede okvira R4 u X-pravcu određeno je prema pripadajućim površinama, slika.7.a-osnova, i slika.7.b-presek. Pripadajuće površine F = 0,5(8,0+4.85)=,85 m F = 0,5 4,0,0= 4,0 m F 3 = 0,5 4,0,5=,3 m (=,0 / tg60 0 ) Raspon A-B (C-D) - stalno sa ploče 6,5 F /8,0= 6,5,85/8,0= 0, kn/m Sopstvena težina grede 0,30 0,60 5 = 4,5 kn/m g = 4,6 kn/m - korisno sa ploče,0 F /8,0=,0,85/8,0= p = 6,4 kn/m -5

98 ,5 F 3 F 3 Y F 60 0 F 45 F 0 F F F 4,85,0 F F F F,0 A B C D 8,0 4,0 8,0 0,0 m Raspon B-C - stalno sa ploče 6,5 F /4,0= 6,5 4,0/4,0 =,5 kn/m - sopstvena težina grede = 4,5 kn/m g = 7,0 kn/m - korisno sa ploče,0 F /4,0=,0 4,0/4,0 p = 4,0 kn/m Koncentrisane reakcije greda okvira iz poprečnog, Y- pravca: Osa A - stalno sa ploče 6,5 F 3 = 6,5,30=4,4 kn - sopstvena težina grede iz Y- pravca 0,30 0,50 5 4,0 = 5,0 kn - težina stuba 0,40,8 5,0 =, kn - pripadajuća težina fasade,0 4,0,8 =, kn G A = 5,8 kn (= G D ) - korisno sa ploče,0 F 3 =,0,30 P A = 4,6 kn (= P D ) Osa B - stalno sa ploče 6,5 F =6,5 4,0=50,0 kn - sopstvena težina grede iz Y- pravca + stub = 6, kn G A = 76, kn (= G C ) - korisno sa ploče,0 F =,0 4,0 P B = 6,0 kn (= P C ) Ukupna težina tipskog sprata Ploča 0, = 500 kn Grede u X- pravcu 6 0,30(0,60-0,5)5 0 = 405 kn Grede u Y- pravcu 4 0,30(0,50-0,5)5 0 = 0 kn Dodatno stalno (zidovi, podovi..),5 0 0 = 000 kn Težina stubova 6 4 0,4 5,8 = 68,8 kn Fasada 4 0,8,0 = 4 kn G= 3607,8 kn prosečno g = 3607,8/(0 0)= 9,0 kn/m,0,0 5x4,0=0,0 m (G,P) A g,p (G,P) B g (G,P) C (G,P) D,p g,p 0,00 A 8,0 B 4,0 C 8,0 D 0,0 m Slika.7 - Analiza opterećenja tipske grede u osi 4 II I a. Presek b. X -6

99 Korisno,0 0 0 P= 800 kn Za analizu dejstva zemljotresa usvojeno G+P/= 3607,8+800/= 4007,8 kn/spratu Ukupna težina objekta za analizu dejstva zemljotresa W ,8= 8055 kn.4. ANALIZA SEIZMIČKOG OPTEREĆENJA (okvir R4) Pripadajuća težina jednog okvira W i = (G+P/)/6= 4007,8/6= 668,0 kn/spratu Proračun osnovnog perioda oscilovanja okvira R4 T dw d w - pomeranje vrha [m] usled gravitacionih opterećenja usmerenih u horizontalnom W i =668 kn pravcu (videti 5.- deo A) m i a. A B m i C D b. Usvojeno MB 40; E b = 3,4 0 7 kn/m Proračun pomeranja d w vrha konstrukcije izvršen je programom SAN /7/ d w = 0,75 m T 0,75 =,05 s Ukupno seizmičko opterećenje okvira R4 : S= K W W= 7 W i = 7 668,0= 4676 kn - ukupna težina (sedam spratova) K= k 0 k s k p k d - ukupni seizmički koeficijent k 0 =,0 - koeficijent kategorije objekta (II kategorija) k s = 0,0 - koeficijent seizmičkog intenziteta (IX zona) k p =,0 - koeficijen duktiliteta (savremena AB konstrukcija) k d = 0.9/T - koeficijent dinamičnosti (III kategorija tla) W i d W Z i k d = 0,9/,05= 0,86<,0 K=,0 0,0,0 0,86= 0,086 (> min K= 0,0) S= 0, = 40, kn S obzirom da objekat ima više od pet etaža, prema Yu8 // 85% ukupnog opterećenja S raspoređuje se po tavanicama prema relaciji Wi Zi Si = S (videti 5.- deo A) 7 W Z j= d W j 7x,8=9,6 m Slika.8 - Proračun osnovnog perioda oscilovanja T j dok se 5% S postavlja na nivo poslednje tavanice. 0,85S= 0,85 40,= 34,7 kn 0,5S= 0,5 40,= 60,4 kn Proračun opterećenja dat je u Tabeli., dok je raspodela seizmičkog opterećenja po visini objekta prikazana na slici.9. -7

100 85,4 60,4 73, 6,0 48,8 36,6 4,4, m i Z i 7x,8=9,6 m b. A B C D Slika.9 - Raspodela ukupnog seizmičkog opterećenja Tabela. Nivo Z i W i W i Z i m kn knm W j Z j = Wi Zi 0,85S W Z 537. (Σ=34.6 kn) j j.5 STATIČKI PRORAČUN OKVIRA R4 Statički proračun za uticaje gravitacionih opterećenja (prema shemi na slici.7), odnosno uticaja zemljotresa (prema shemi na slici.9) urađena je programom SAN /7/. Na slikama.0-. prikazani su karakteristični rezultati statičkog proračuna. Normalne sile stubova su ukupne sile, obuhvataju uticaje gravitacionog opterećenja iz oba pravca, videti sliku.7. a. M-stalno (g) d. M-korisno (p) b. N-stalno (g) e. N-korisno (p) Slika.0 - Uticaji usled gravitacionih opterećenja -8

101 b. N-stalno (g) e. N-korisno (p) c. Q-stalno (g) f. Q-korisno (p) Slika.0 nastavak - Uticaji usled gravitacionih opterećenja a. M-seizmika x (S x ) b. N-seizmika x (S x ) c. Q-seizmika x (S x ) Slika. - Uticaji usled zemljotresa d. d x -seizmika x (S x ) -9

102 g+p g+p/ +S x a. b. -S x g+p/ Slika. - Momenti savijanja usled kombinacije dejstava: a.) stalno x,6 + korisno x,8 b.) stalno x,3 + / korisno x,3 + seizmika x,3 c.) stalno x,3 + / korisno x,3 - seizmika x,3 c..6. KONTROLA 'POMERANJA' PRI ZEMLJOTRESU Konstrukcija objekta mora da poseduje dovoljnu krutost kako bi se ograničila pomeranja pri zemljotresu. Prema Yu8, pomeranje vrha konstrukcije usled projektnog opterećenja S treba da je manje od H/600 (H-visina objekta), videti 7.3- deo A i sliku 7.5. Prema sl...d, pomeranje vrha konstrukcije iznosi δ= (d x )= 3,3 mm < H/600= 960/600= 3,7 mm (zadovoljeno).7 KONTROLA AKSIJALNOG OPTEREĆENJA STUBOVA Prema članu 6 pravilnika Yu8 //, zbog obezbeđenja zahtevane duktilnosti preseka, ograničava se iznos aksijalnog naprezanja stubova usled gravitacionog opterećenja σ 0 /β B 0,35 gde je σ 0 = N/F; β B = 0,7 β k Prema sl..0.b: max N g = 464 kn (stub u osi B, prizemlje) Prema sl..0.e: max N p = 347 kn (stub u osi B, prizemlje) N= N g + N p = =8 kn MB 40 β B = 0,70 40= 8 MPa σ 0 =8/40 =,3 kn/cm =,3 MPa σ 0 /β B =,3/8= 0,40> 0,35 U svim ostalim presecima ovaj kriterijum je zadovoljen. Problem nedovoljne duktilnosti centralnih stubova u prizemlju može da se reši ili povećanjem marke betona ( MB45 odgovara), ili, što je bolje, povećanjem preseka stuba (odgovara b/d= 45/45, σ 0 /β B = 0,3< 0,35) Za prizemlje u osama B,C usvojeno: b/d= 45/45 MB40-0

103 .8 DIMENZIONISANJE GREDE OKVIRA NA SAVIJANJE Za ilustraciju je izabrana greda druge tavanice, na nivou z= 5,6m. Dijagrami uticaja usled kombinacija dejstava prikazani su na slikama.3 i.4. g+p a. Prema Yu8, preseci grede se dimenzionišu uobičajenim postupcima, za merodavnu kombinaciju opterećenja. S obzirom da je lom preseka greda obično sa dilatacijama čelika veg+p/ +S x b. -S x g+p/ c. Anvelopa momenata M u A B C D d. Slika.3 - Okvir R4 u osi 4, greda druge tavanice na koti +5,60, momenti usled kombinacija dejstava: a.) Stalno x,6 + korisno x,8 b.) Stalno x,3 + ½ korisno x,3 + zemljotres x,3 c.) Stalno x,3 + ½ korisno x,3 - zemljotres x,3 d.) Anvelopa graničnih momenata savijanja za kombinacije a-b-c. -

104 ćim od 3, kao i da su obično normalne sile greda male, anvelopa momenata savijanja za nepovoljan uticaj stalnog opterćenja (γ g =,6; γ p =,8), odnosno alternativnog dejstva zemljotresa (γ=,3 za sva opterećenja) je indikator potreba za podužnom armaturom (ili linija zatežućih sila ) g+p a. g+p/ +S x b. -S x g+p/ c. Anvelopa transverzalnih sila Q u A B C D d. Slika.4 - Okvir R4 u osi 4, greda druge tavanice na koti +5,60,transverzalne sile usled kombinacija dejstava: a.) Stalno x,6 + korisno x,8 b.) Stalno x,3 + ½ korisno x,3 + zemljotres x,3 c.) Stalno x,3 + ½ korisno x,3 - zemljotres x,3 d.) Anvelopa graničnih transverzalnih sila za kombinacije a-b-c. Na slici.5 prikazan je dijagram potrebne podužne armature grede, određen modulom za automatsko dimenzionisanje programa SAN /7/, prema Yu8 i BAB- u. Osim kratke donje -

105 zone u rasponu A-B, merodavni su uticaji kombinacije opterećenja sa zemljotresom (crtkaste linije) Rφ9 (,64 cm ;,6 %) +5,60 8Rφ9 (,64 cm ;,6 %) Armatura Fa (cm ) Komb: b,c Komb: a Komb: b,c Komb: a A B C D 4Rφ9 (0,63 %) g+p/+s x g+p Komb: b,c Komb: a Komb: b,c 4Rφ9 (0,63 %) Rφ9 (0,3 %) L (m) -5 A 4Rφ9 (,3 cm ; 0,63 %; 50% F a nad osloncima) Slika.5 - Anvelopa računski potrebne, i usvojene podužne armature preseka grede na koti +5,60 okvira R4 u osi 4 (b/d = 30/60) Usvojena armatura (debela puna linija) 8RØ9 nad osloncima-stubovima u osama A i B, odnosno 4RØ9 (RØ9) u polju formalno zadovoljava zahteve Yu8 i BAB-a: - minimalni procenat armiranja greda je 0,%; - za maksimalni procenat armiranja usvojeno je,6% (BAB i Yu8 ne definišu ovu vrednost); - pritisnuta armatura u zoni oslonca grede mora biti najmanje jednaka 50% zategnute armature u istom preseku(μ 0,5μ), radi obezbeđenja zahtevane duktilnosti preseka greda u zoni potencijalnih plastičnih zglobova - uz stubove. Usvojena armatura grede prema sl..5 određena je uobičajenim postupkom - na osnovu obezbeđenja nosivosti preseka za proračunske kombinacije opterećenja i naprezanja. Anvelopa potrebne armature može da se pokrije na različite načine ali, da li pri tome treba voditi računa i o obezbeđenju uslova za formiranje optimalnih plastičnih zglobova odnosno plastičnog mehanizma konstrukcije? Treba, naravno, ali koncept i zahtevi pravilnika Yu8 // su nepotpuni, tako da se u praksi o tome jednostavno uglavnom ne razmišlja. Načelni zahtevi članova Yu8, da se plastični zglobovi moraju projektovati (znači svesno predvideti) na krajevima greda u praksi se ne proveravaju. Iako deluje korektno, ni koncept armiranja grede na sl..5 (donja armatura) nije usaglašen sa navedenim načelnim stavovima..9 OSIGURANJE GREDE OD TRANSVERZALNIH SILA Na sl..4 prikazana je anvelopa graničnih vrednosti transverzalnih sila grede. B -3

106 maxq u = 04,6 kn - oslonac u osama B,C b/d= 30/60; a 4,5 cm h 60-4,5= 55,5 cm MB 40; τ r =,3 MPa τ n =Q u /(bz)= 04,6/(30 0,9 55,5)= 0,37kN/cm =,37 MPa τ r =,3 MPa Usvaja se minimalni procenat armiranja uzengijama. Prema BAB-u, član 94, minimalni procenat armiranja uzengijama iznosi mfu min µ u = 00 0,% bs Za dvosečne uzengije (m=) RØ8 (f u = 0,5 cm ), na razmaku s =5 cm μ u = 0,5 00/(30 5)= 0,%> 0,% Detalj 'Uzengija preklopljena po kraćoj strani' 40 urφ8/5 urφ8/0 6x0=60,5 urφ8/0,5 8x0=80 urφ8/5 60 0, x8,0 =,60 0, x4,0 = 0,80 8,0 4,0 B Slika.6 - Shema armiranja grede uzengijama Komentar: Uobičajeno je u praksi da se osiguranje od transverzalnih sila i u slučaju kada je zemljotres merodavna kombinacija opterećenja vrši u svemu prema BAB-u. To znači da se u slučajevima kada je τ r <τ n <3τ r deo sile smicanja poverava betonu, a deo armaturi. Prema članu 60 Yu8, maksimalni razmak uzengija greda iznosi max s = 0 cm, dok se u zoni oslonaca, na dužini 0,l razmak dvostruko smanjuje. Na slici.6 prikazano je rešenje armiranja uzengijama koje zadovoljava sve navedene zahteve. Na dužini 0,l uzengije su preklopljene po kraćoj strani preseka, prema članu 60 Yu8, mada je pitanje da li je to neophodno, s obzirom da se uzengije sidre u zoni ploče, pa je mala verovatnoća da se mogu 'otvoriti', kao u slučaju stubova. Kako protumačiti član 63 Yu8: Ako su u pitanju objekti visokogradnje kod kojih se analiza sistema konstrukcije vrši dinamičkim postupkom, granična poprečna sila u plastičnim zglobovima pokriva se isključivo poprečnom armaturom (zanemaruje se udeo nosivosti betona i u oblasti τ r <τ n <3τ r )? U ovom primeru nije izvršena analiza dinamičkim postupkom (šta god da je to), pa deluje kao da je ovaj zahtev formalno zadovoljen. Ali otkuda ideja da se zanemari nosivost betona, jer zemljotres izaziva šta izaziva, bez obzira na vrstu računske analize? Danas preovladava stav, da u slučaju konstrukcija visoke zahtevane duktilnosti (DCH-M prema EC8), nosivost botona u prijemu transverzalnih sila treba zanemariti u kritičnim -4

107 oblastima greda. Nivo seizmičkog opterećenja prema Yu8 podrazumeva visoku ostvarenu duktilnost, tako da bi bilo bolje kompletnu transverzalnu silu poveriti armaturi: mf u σ v z/s Q u Usvojena armatura URØ8/0 na dužini 0,l u konkretnom slučaju skoro da zadovoljava i ovaj uslov, slučajno 0,5 40 0,9 55,5/0=99,8 kn Q u =04,6 kn (3% razlika).0 DIMENZIONISANJE STUBA NA SAVIJANJE Dimenzionisanje preseka stubova okvira vrši se u svemu prema BAB-u, videti i Primer. Za ilustraciju primene dijagrama interakcije /3/ i programa tipa Microsoft-Excel, izabran je donji presek stuba druge etaže u osi B. Vrednosti uticaja M,N u tabeli očitane su sa dijagrama, sl..0 i sl... Za shemu armiranja preseka stuba usvojen je presek ravnomerno armiran po obimu, zbog mogućeg dejstva zemljotresa iz oba ortogonalna pravca. Za dimenzionisanje preseka stuba usvojeno je 8 kombinacija uticaja, uzimajući u obzir povoljno/nepovoljno dejstvo stalnog opterećenja. Često je jednostavnije (pogotovu u slučajevima kosog savijanja) da se, zbog velikog broja kombinacija uticaja, primena dijagrama interakcija automatizuje. Stub S4B Širina preseka b(cm)= 40 f B (MPa) = 5.5 Visina preseka d(cm)= 40 σ 0 (MPa) = 400 Slučaj Osnovno opt. M N knm kn g Stalno 4 54 p Povremeno 97 ZX Zemljotres u X-pravcu Kombinacija n m,6g +,8p (,9g +,p) ,0g +,8p (,g +,p) ,3g+,3p/+,3ZX ,3g+,3p/-,3ZX ,0g+,3p/+,3ZX ,0g+,3p/-,3ZX Dijagram interakcije - pravo savijanje (Broj 39 /3/ ) n m (µ=0,0) n m (µ=0,30) Slika.7 - Formular za dimenzionisanje preseka stuba programom tipa Excel -5

108 m=mu/bd fb n=n u /bdf B Slika.7 nastavak - Formular za dimenzionisanje preseka stuba programom tipa Excel Odgovarajući dijagram interakcije, u ovom slučaju broj 39 /3/ aproksimira se sa par tačaka, slika.7, za par procenata armiranja ( µ = 0, i 0,3, sl..7). Proračun kombinacija, za data tri slučaja osnovnih opterećenja, kao i ucrtavanje odgovarajućih vrednosti (n,m) prepušta se programu Excel. Prema sl..7, kritična je kombinacija 7- Rφ9 Rφ9 povoljno dejstvo stalnog opterećenja pri zemljotresu u desnu stranu, +X. Potreban mehanički procenat armiranja ocenjen je u iznosu µ = 0,6 pot μ= µ β B /σ v = 8Rφ6 0,6 5,5/400=,66% (MB 40) urφ8/5(7,5) b/d= 40/40 pot F a =, /00= 6,5 cm Rφ9 Rφ9 Usvojeno: 4RØ9+8RØ6 stvf a = 7,4 cm, slika.8. Imajući u vidu iskustva sa utezanjem preseka 40 u Primeru, slika.4, kao i visok nivo aksijalnog opterećenja na ovoj etaži, pretpostavljene Slika.8 - Usvojena armatura stuba su uzengije 3URØ8/5(7,5). DIMENZIONISANJE STUBOVA NA TRANSVERZALNE SILE 40 Merodavna je transverzalna sila u kombinaciji sa zemljotresom Slika.0 i. Q u =,3Q g +,3Q p +,3Q s =,3 8+,3 7/+,3 30= 4,5 kn b/d= 40/40 a= 4,5 cm h=40-4,5= 35,5 cm τ n = Q u /(0,9bz)= 4,5/(0,9 35,5 40)= 0,7 kn/cm =,7 MPa > τ r =,3 MPa < 3τ r = 3,9 MPa -6

109 U stubovima viših etaža ne predviđa se pojava plastičnih zglobova. U ovom slučaju ima smisla da se deo granične transverzalne sile poveri betonu, u svemu prema BAB- u, za slučaj τ r < τ n <3τ r. U konkretnom slučaju, nosivost pretpostavljenih uzengija 3URØ8/7,5 iznosi mf u σ v z/s =4 0, ,9 35,5/7,5=340,8 kn > Q u =4 kn Nosivost uzengija je veća od granične transverzalne sile, i bez sadejstva betona, ali treba imati u vidu da je količina uzengija kod stubova prvenstveno posledica zahteva za utezanjem preseka betona.. SHEMA ARMIRANJA Prema članu 6 Yu8, progušćene uzengije stubova (s= 7,5 cm) postavljaju se na dužini od,0 m od čvora, u ovom slučaju praktično celom visinom. Prema članu 64 Yu8, uzengije stuba produžavaju se kroz čvorove, slika.9. +8,40 l s Nastavak 50% arm.stuba Rφ9 4Rφ9 +5,60 3 4Rφ9 0 B urφ8/7,5 Nastavak 50% arm.stuba A 4 Rφ Rφ9 60 urφ8/0 urφ8/5 urφ8/ urφ8/5 urφ8/0 5 Rφ9 Nastavak armature Rφ urφ8/0 Detalj 8Rφ6 40 urφ8/7, Presek A Rφ9 40 Presek B Rφ9 Slika.9 - Shema armiranja grede i stuba -7

ILUSTRACIJE PONAŠANJA RAMOVSKIH KONSTRUKCIJA PRI ZEMLJOTRESU Slika.

- Kolaps montažne ramovske konstrukcije (Spitak-Jermenija 988.) Slika.

110 ILUSTRACIJE PONAŠANJA RAMOVSKIH KONSTRUKCIJA PRI ZEMLJOTRESU Slika.0 - Velika oštećenja ramovske konstrukcije (Turska 999.) Slika. - Kolaps montažne ramovske konstrukcije (Spitak-Jermenija 988.) Slika. - Velika oštećenja-lom ramovske konstrukcije (Turska 999.) Slika.3 - Praktično neoštećena ramovska konstrukcija u izgradnji (Turska 999.) -8

111 A V.Alendar-Projektovanje seizmički otpornih AB konstrukcija kroz primere Slika.5 - Otvaranje uzengija neusidrenih u masu jezgra stuba (kuke pod 90 0 ) B Slika.4 - Lom čvorova i greda ramovske konstrukcije (Tajvan 999.).3 PITANJA I ODGOVORI.3. Da li pomeranja konstrukcije zadovoljavaju kriterijume EC8? Uz pretpostavku da su pregradni zidovi fleksibilno vezani za glavnu noseću konstrukciju, pomeranja prema EC8 treba da zadovolje uslov (videti deo A) Pregradni zidovi A B C D d max =3 d 3 =6 d =0 a d r (mm) b. h 3 Slika.6 - Pomeranja (mm) usled proračunskog opterećenja zemljotresom: a.) apsolutna; b.) relativna spratna, praćena deformacijama i oštećenjima pregradnih zidova d r,i /ν 0,006h i (.) na svim spratovima konstrukcije. Na slici.6 a-b prikazana su pomeranja usled proračunskog opterećenja S, prema propisima (videti sl deo A)- pomeranja d y na granici formiranja plastičnog mehanizma konstrukcije. Uz pretpostavku da su realna pomeranja pri zemljotresu jednaka pomeranjima elastične konstrukcije, tada su stvarna pomeranja približno jednaka (videti deo A) d m = qd y gde je q - faktor ponašanja (redukcije opterećenja). Ako je (videti deo A) -9

112 vrednost faktora ponašanja konstrukcije projektovane prema Yu8 čak q Yu8 0,0, realna pomeranja pri projektnom zemljotresu su 0 puta veća od proračunskih na slici.6. Kolika je ekvivalentna vrednost faktora ponašanja konstrukcija izgrađenih prema Yu8 propisima, stvar je ipak detaljnije analize. Maksimalno realno spratno pomeranje d r,i pri projektnom zemljotresu tada iznosi maxd r,i = d r,3 = q Yu 8 (d 3 -d )= 0(6-0)= 60 mm Pri češćem zemljotresu, sa kraćim povratnim periodom (T P 50 godina), i približno duplo manjim ubrzanjem tla u odnosu na projektni zemljotres (T P 475 godina), pomeranja su približno duplo manja- ν. maxd r,i (T P =50)= max d r,i (T P =475)/ν = 60/= 30 mm. Za visinu sprata h i =,8 m= 800 mm, EC8 uslov (.) nije zadovoljen, jer je d r,i /ν= 30 mm> 0,006 h i = 0, = 6,8 mm, pomeranja su približno dva puta veća od dozvoljenih, odnosno krutost konstrukcije je nedovoljna. Potrebno je ukrutiti konstrukciju, dodavanjem zidova ili povećanjem dimenzija stubova i greda. Usvojena dispozicija zadovoljila bi u oblasi VIII stepena intenziteta, sa duplo manjim ubrzanjem tla u odnosu na IX zonu..3. Ako su nosivost i duktilnost konstrukcije u redu, i ako se investitor složi sa većim oštećenjima usled povećanih pomeranja, da li prema EC8 treba proračunom obuhvatiti i efekte drugog reda? V tot = P tot V tot A B C D h Slika.7 - Efekti II reda na nivou druge etaže d r Prema EC8, vrednost koeficijenta osetljivosti sprata na relativna pomeranja θ iznosi θ= P tot d r /(V tot h) (.) Realno spratno pomeranje druge etaže, pri projektnom zemljotresu (T P = 475 godina) iznosi: d r = 60 mm h= 800 mm. Ukupno gravitaciono opterećenje u nivou razmatranog sprata iznosi (videti.4): P tot = 6W i = 6 668,0 = 4008 kn Ukupna seizmička smičuća sila za posmatranu tavanicu (videti sliku.9) 7 S i = 4,4+36,6+48,8+6,0+73,+85,4+60,4= 389,8 kn θ= /(389,8 800)= 0, > 0,0 0,30 (apsolutni dozvoljeni maksimun) Prema EC8, efekti drugog reda moraju da se uzmu u obzir, jer je θ>0,. Ukoliko je θ<0,, dozvoljava se približna ocena ovih efekata (videti.5.5). Ako je pak 0,<θ<0,3, valjda treba primeniti tačnije postupke, eto problema. -0

113 .3.3 U komentaru uz shemu armiranja na slici.9 stoji da 'usvojeni koncept armiranja nije usaglašen sa stavovima u vezi formiranja plastičnih zglobova greda'. S obzirom da EC8 insistira na konceptu programiranog ponašanja, da li su data i uputstva u vezi načina- koncepta armiranja greda kako bi se obezbedio kontrolisani položaj plastičnih zglobova greda? Takvih uputstava nema, od projektanta se očekuje da razume problem i da ga rešava od slučaja do slučaja. Koncept je u principu jednostavan, ali se u praksi stvari naravno komplikuju: a) poželjan plastični mehanizam konstrukcije, sl.. treba da ima plastične zglobove na oba kraja greda, i u uklještenju stubova; b) pri porastu momenata savijanja greda usled pomeranja pri zemljotresu, plastični zglob je presek u kome se najpre dostiže moment nosivosti preseka, koji zavisi od količine armature u preseku; c) grede treba tako armirati da se plastični zglobovi jave u željenim presecimakontrolisano. Izloženi principi lepo funkcionišu u slučajevima kada su uticaji zemljotresa dominantni, naglašeni. Da se stvari u praksi komplikuju, ilustrovano je na sl..8, primer grede iz ovog zadatka (ponovljeni dijagram momenata sa slike.3). Kraća greda u polju B-C je primer idealnog slučaja, ekstremi momenata se javljaju uz stubove, pa su to preseci u kojima je lako projektovati plastične zglobove. g+p/ +S x 4 6 θ AB 3 5 a. g+p/ -S x Slika.8 - Problem obezbeđenja položaja plastičnih zglobova greda;- - preseci sa ekstremnim momentima kao potencijalni plastični zglobovi - kako armirati? Duži rasponi, polja A-B odnosno C-D su problem, jer maksimum pozitivnih momenata (zatežu donju stranu) nije uz stub, već je pomeren u polje grede. Vodeći računa o potrebama preseka za armaturom, kao i o uslovu μ >0,5μ, teško da se zglob može naterati uz stub. Potrebna je mala ekvilibristika u vođenju i ukidanju donje armature grede, da bi se zglob isprojektovao ne preterano daleko od stuba, što bi bilo loše rešenje! Toliko, samo za ilustraciju koncepta i problema pratećih. -

114 .3.4 Osim definisanja i obezbeđenja položaja plastičnih zglobova, da li koncept programiranog ponašanja podrazumeva još nešto u vezi greda okvira? U slučaju greda konstrukcija visoke duktilnosti, (DCH), konstruisanje armature obuhvata tri nivoa: a) dimenzionisanje potrebne armature prethodno lociranih plastičnih zglobova, prema proračunskim momentima dobijenim analizom; b) usvajanje podužne armature oblasti plastičnih zglobova - kritičnih oblasti prema EC8; c) osiguranje od krtog loma (transverzalne sile) ostatka grede za situaciju dostizanja realnog kapaciteta nosivosti plastičnih zglobova pri pomeranjima usled zemljotresa (videti i deoa). V B g=7,0 kn/m p/=,0kn/m V C Detalj M ub =40 knm B Zemljotres l=4,0m M uc =470 knm C a. B 8Rφ9 4Rφ9 B C g,p l=4,0m 8Rφ9 4Rφ9 C a. Plastični zglob b. V B M ub =470Nm B g=7,0 kn/m p/=,0kn/m Zemljotres l=4,0m C V C M uc =40 knm b. +M u ~7,5 ~4,0 8Rφ9 Armatura ploče? MB40 RA400/500 4Rφ , 6,9 V (kn) 6,9 8, c. 30 c. Slika.9 - Presek i armatura grede u polju B-C Slika.30 - Opterećenje grede B-C pri zemljotresu Primer kraće grede u polju B-C. Shema usvojene armature (videti sliku.9) grede data je na sl..9. Zanemarujući normalne sile grede, momenti nosivosti preseka grede u zoni plastičnih zglobova iznose: -

115 M - u= -470 knm (zategnuta gornja armatura) M + u= 40 knm (zategnuta donja armatura) Pri pomeranjima i rotacijama preseka u toku zemljotresa, za očekivati je da se na krajevima greda pojave momenti jednaki realnoj nosivosti preseka plastičnih zglobova - moguća stanja opterećenja grede B-C prikazana su na sl..9. a-b. U slučaju a) transverzalne sile- reakcije grede iznose V B =,3 (7+,0) 4/-(470+40)/4,0= = 49,4-77,5= -8, kn> 80 kn (sl..4) V C = 49,4+77,5= 6,9 kn> 79 kn (sl..4) U slučaju b) transverzalne sile iznose V B = 6,9 kn V C = -8, kn Transverzalne sile koje se mogu javiti pri dostizanju kapaciteta nosivosti plastičnih zglobova sa stvarno ugrađenom armaturom znatno su veće od proračunskih vrednosti, slika.4. Međutim, ni to nije sve. Prema slici 6.0- deo A, stvarna granica razvlačenja ugrađene armature može da bude veća od propisane nominalne (σ v = 400 MPa u ovom primeru), a pri većim pomeranjima i dilatacijama zategnute armature, čelik može da zađe u oblast ojačanja, slika 4.4 i 4.5- deo A. Zbog toga EC8 zahteva da se sračunati momenti nosivosti pomnože faktorom preopterećenja γ Rd =,5 (DCH samo!). Maksimalne-računske vrednosti transvezalnih sila koje se mogu pojaviti tada iznose V B = 49,4-,5 77,5= -7,5 kn V C = 49,4+,5 77,5= 7,3 kn E da je to sve! Ako treba proceniti vrednost maksimalnih momenata koji se mogu javiti na krajevima grede, tada i deo armature ploče može da bude deo aktivnog preseka na savijanje, slika.9.c! Usvojene uzengije URØ8/0 prema sl..9 ne mogu da prenesu transverzalnu silu od 7,3 kn! Zaključak, preseci prearmirani na savijanje mogu da ugroze nosivost grede na trasverzalne sile- višak armature ne mora da bude na strani sigurnosti pri zemljotresu! Detalj Ciklično savijanje Vertikalna 'zbirna' prslina B l=4,0 m C B l=4,0 m a. b. C Slika.3 - Osiguranje od loma transverzalnim silama: a.) uobičajeno; b.) neuobičajeno Kada pri zemljotresu transverzalna sila značajnije menja znak u preseku, kose X-prsline mogu da se sliju u jednu vertikalnu, koja prolazi između uzengija, sl..3.b. Tada jedino pomaže kosa ukrštena armatura, u kombinaciji sa uzengijama. Krti lom je neprijatelj broj! -3

116 .3.5 Prema momentima savijanja pri seizmičkom opterećenju definisanom propisima dimenzionisana je nosivost plastičnih zglobova greda. Na osnovu momenata nosivosti plastičnih zglobova izvršeno je potom osiguranje greda od krtog loma transverzalnim silama. Šta koncept programiranog ponašanja zahteva od stubova? Nivo seizmičkog opterećenja S može da se shvati kao mera pomeranja pri kojem će konstrukcija iz stanja mirovanja (d= 0) preći u plastični mehanizam (d=d y, slika.3.b) popuštanjem greda na krajevima. Nakon toga, konstrukcija se pomera bez prirasta opterećenja, do maksimalnog iznosa d d m, slika.3.b. d m S S e d y S K 0 K y A S 3 B d U stanju plastičnog mehanizma konstrukcije prema sl..3, naprezanje stubova zavisi od poznatih momenata nosivosti plastičnih zglobova greda, poznatog maksimalnog pomeranja konstrukcije kao i od oblika deformacija stuba - promene pomeranja po visini, na šta znatan d y d m a. b. Slika.3 - Karakteristična stanja pomeranja konstrukcije: K 0 -nominalna-početna krutost konstrukcije; K y -sekantna krutost; - elastični odgovor konstr.; - aproksimacija nelinearnog odgovora konstr.; 3-realno-postepeno otvaranj e plastičnih zglobova i pad krutosti Ns=83 kn αx87 8Rφ9 Detalj B C a. γ Rd M glu =γ Rd x470 γ Rd M gdu =γ Rd x B b. αx3 40 B c. 4Rφ9 'Plastični zglob' Slika.33 - Programirano ponašanje stuba: b.) računski momenti za merodavnu komb. broj 7; c.) proračunski momenti pri dostizanju kapaciteta nosivosti plast. zglobov a greda -4

117 uricaj mogu da imaju viši tonovi oscilacija kod vitkih konstrukcija. EC8 ovaj problem rešava naizgled logično i jednostavno, sl..33. Za primer je izabran stub u osi B, dimenzionisan u delu.0. Momenti savijanja za slučaj merodavne kombinacije broj 7 (,0g+,3p/+,3z x ) dati su na slici.33.b. Za usvojenu armaturu 8RØ9 odnosno 4RØ9, nosivost plastičnih zglobova grede je sračunata u delu.3.4, M glu = 470 knm odnosno M gdu = 7 knm, slika.33.c. Prema EC8, korigovani uslov ravnoteže momenata u čvoru glasi ΣM S * = γ Rd ΣM gu ( q ΣM S ) (.3) Suma korigovanih računskih momenata gornjeg i donjeg preseka stuba u čvoru (ΣM S * ) treba da je najmanje jednaka sumi momenata nosivosti plastičnih zglobova greda (ΣM gu ), uvećanoj faktorom preopterećenja - γ Rd (=,35/, za DCH/DCM). Korigovana vrednost ne treba da bude veća od računske vrednosti dobijene analizom prema propisima (ΣM S ) pomnožene faktorom ponašanja- q (što je praktično elastičan odgovor konstrukcije). Za konkretan primer čvora u osi B: ΣM gu = M gdu + M glu = 7+470= 74 knm ΣM S * = γ Rd ΣM gu =,35 74= 000,4 knm. Kako ovaj ulazni moment greda raspodeliti na donji i gornji presek stuba u čvoru? Prema EC8 prosto, srazmerno već sračunatim vrednostima (ΣM S ) za opterećenje prema propisima, slika.33.b: α(σm S )= γ Rd ΣM gu U konkretnom slučaju, slika.33.b ΣM S = 3+87= 570 knm α= γ Rd ΣM gu / ΣM S = 000,4/570=,76 Prema slici.33.c, gornji presek stuba treba dimenzionisati na moment M u = αm Su =,76 87= 505, knm, a donji presek na moment M u =,76 3= 39 knm! Usvojena armatura gornjeg preseka prema sl..8 je nedovoljna da stub prihvati moment M u = 505, knm, videti deo.0 i dijagram interakcije sl..7. Stub u osi B dimenzionisan je za bezdimenzionalne vrednosti uticaja n= 0,90 i m= 0,76, sl..7. Pri istoj normalnoj sili i korigovanom momentu savijanja, m * = αm=,76 0,76= 0,309 potrebna vrednost m * je van opsega dijagrama.7, ali je možete pronaći na dijagramu.3, Primer. Potrebna armatura iznosi: n= 0,90, m * = 0,309 µ 0,7 potμ= 0,7 5,5/400= 0,045= 4,5% < max μ= 6% Yu8 > maxμ= 4% EC8 Koncept deluje prosto, ali je možda i najslabiji deo EC8. Polemike su u toku, ovoliko samo za ilustraciju logike koncepta programiranog ponašanja. Analogno obezbeđenju greda visoke duktilnosti (DCH) od transverzalnih sila, videti.3.4, isti postupak treba ponoviti i kod stubova! Iako se pojava plastičnih zglobova na krajevima stubova (osim na vezi sa temeljom) konceptualno ne dozvoljava, EC8 zahteva da se stub proveri na transverzalne sile pri dostizanju kapaciteta krajeva stuba na savijanje! Ima tu raznih problema, očigledno. Nakon što su grede i stubovi konstruisani, vreme je da se provere i čvorovi, veza greda i stuba, da nebi nastupio lom čvora - videti slike. i.4. I tu je konačno kraj, projekat jedne grede i stuba je gotov. -5

118 .3.6 Sve smo pobrkali! Može li mali rezime koncepta Yu8 i EC8, kada su u pitanju okvirne konstrukcije visoke duktilnosti? Osim razlike u nivou projektnog seizmičkog opteterećenja (što nije toliko bitno), značajnija je razlika u konceptu obezbeđenja pouzdanog ponašanja konstrukcije pri zemljotresu, kao i u zahtevima za konstruisanje detalja. Dodajmo tome i različita dopuštena pomeranja pri zemljotresu, od čega zavisi minimalna dozvoljena krutost konstrukcije, o čemu bi trebalo voditi računa već pri usvajanju dispozicije objekta. Ulazni podaci Seizmičko opterećenje YU8 'Statički proračun' EC8 Dimenzionisanje svih preseka svih elemenata prema računskim uticajima Kraj YU8 proračuna Dimenzionisanje plastičnih zglobova greda prema računskim momentima Korekcija proračunskih momenata savijanja stubova Kapacitet nosivosti realnih plastičnih zglobova Dimenzionisanje preseka stubova Korekcija proračunskih transverzalnih sila greda Kapacitet nosivosti na savijanje krajeva stubova Dimenzionisanje greda prema verovatnim transverzalnim silama Korekcija proračunskih transverzalnih sila stubova Dimenzionisanje stubova prema verovatnim transverzalnim silama Kraj EC8 proračuna Slika.34 - Koncept Yu8 i EC8 obezbeđenja pouzdanog ponašanja konstrukcija pri zemljotresu -6

119 Prema Yu8, svi preseci elemenata se dimenzionišu za seizmičku kombinaciju opterećenja, kao da je u pitanju bilo koje drugo opterećenje. Algoritam ne obezbeđuje kontrolu lokacije plastičnih zglobova, mogu da se jave bilo gde. Pri dostizanju kapaciteta nosivosti plastičnih zglobova, van kontrole je eventualno preopterećenje priključenih elemenata. Prema EC8, uticaji usled seizmičke kombinacije opterećenja definišu potrebnu nosivost plastičnih zglobova na savijanje. Nakon usvajanja armature plastičnih zglobova, svi ostali elementi se dimenzionišu prema kapacitetu nosivosti plastičnih zglobova-obezbeđuje se hijerarhija nosivosti elemenata konstrukcije. Za razliku od Yu8, algoritam EC8 je teško automatizovati primenom računara, što nije mali nedostatak. -7

120 PRIMER 3 Konstrukciji iz prethodnog primera dodata su po četri armiranobetonska zida u oba ortogonalna pravca - formirana je mešovita konstrukcija okvira i zidova. U uvodnom delu izložen je koncept analize ovakvih konstrukcijskih sistema, i obrazloženo usvajanje samo zidova za osnovni noseći sistem. Svođenjem proračunskog modela samo na konzolne zidove, problem se pojednostavljuje u meri da ga i studenti mogu rešiti na ispitu, bez primene računara. S obzirom na nesimetričan raspored zidova u osnovi, efekti torzije su analizirani prema YU8. Studentima verovatno poznata metodologija približne analize torzionih efekata na bazi pojma centra krutosti (centra rotacije) ovde je ponovljena, da bi se povezala sa specifičnim zahtevima YU8. U delu "Pitanja i odgovori", ilustrovani su samo dva zahteva EC8 u vezi obezbeđenja pouzdanog ponašanja zida pri zemljotresu: obezbeđenje potrebne duktilnosti pritisnutih krajeva zida, kao i određivanje proračunskih transverzalnih sila zida prema konceptu programiranog ponašanja. Ova dva zahteva su prilično iznenađenje za našu praksu. Analize pokazuju da približno određivanje potrebne armature zida uobičajeno u praksi može da ima neugodne posledice, kako zbog smeštaja potrebne računske armatura, tako i zbog nepotrebne prevelike nosivosti zida na savijanje. Na kraju, dat je komentar i kvalitativna analiza posledica izbora samo zidova za osnovni noseći sistem, uz zanemarenje krutosti okvira. Kvalitativno je analiziran odgovor realne konstrukcije na dejstvo zemljotresa. I ovaj primer pokazuje da je dimenzionisanje nosivosti konstrukcije na dejstvo seizmičkog opterećenja prema propisima praktično samo procena nivoa pomeranja konstrukcije pri kojem se želi stvaranje plastičnog mehanizma konstrukcije, a ne klasično obezbeđenje nosivosti - osiguranje od loma preseka. Procena iznosa očekivanih pomeranja kao i efektivne krutosti elemenata konstrukcije pri tim pomeranjima su najvažniji koraci u analizi. 3-

121 PRIMER 3 Svi podaci su kao u Primeru, osim što su konstrukcijskom sistemu dodata po četri armiranobetonska zida u X odnosno Y- pravcu. Presek zidova je pravougaoni, 0/430, konstantan po visini. Dimenzionisati zid Z prema domaćim propisima Yu 8//,BAB// /50 ZA ZA Y 30/60 30/60 30/ /60 Z3 30/ Z6 Z5 30/50 30/50 Pos00 30/50 30 ZD ZD 40/40 30/60 Z A B C D 8,0 4,0 8,0 0,0 m 0 5x4,0=0,0 m 0 X Osnova +9, ZA 0, Z3 A 8,0 B 4,0 C 8,0 D 0,0 m ZD VII VI V IV III II I 7x,80=9,6 m Presek Slika 3. - Dispozicija konstrukcije Komentar: Dispozicija konstrukcije jeste moguća, ali nisu svi detalji idealni. To se pre svega odnosi na usvojeni oblik zidova. Zbog oslanjanja i ukrštanja greda tavanica, obično se na krajevima zidova formiraju ojačanja u vidu stubova. Prikazano rešenje usvojeno je, za početak, iz metodoloških razloga. 3. KONCEPT KONSTRUKCIJE I ANALIZE Prema klasifikaciji Yu8 //, deo XII, konstrukcija je mešovita - okvirna konstrukcija u kombinaciji sa armirano-betonskim (dijafragmama) ili jezgrima. Prema članu 77, distribucija seizmičkih proračunskih sila vrši se prema deformacionim karakteristikama svakog elemenata osnovnog sistema konstrukcije. Pored toga, okviri se moraju proračunati na za najmanju vrednost od 5% ukupne poprečne seizmičke sile u osnovi. Gravitaciona opterećenja prihvataju zidovi i stubovi. Pri horizontalnim pomeranjima, stabilnost konstrukcije obezbeđuju okviri i zidovi, opterećeni srazmerno svojoj krutosti na horizontalna pomeranja. +9,60 +9,60 l w U osnovni sistem za prijem horizontalnih X i X i uticaja treba uključiti sve elemente konstrukcije koji značajnije doprinose krutosti na pomeranje. Osim površine zidova u osnovi, krutost zidova na savijanje 0,00 0,00 bitno zavisi i od visine objekta-od vitkosti zidova H/l w. Zbog različitog A B C D a. A B C D b. karaktera deformacija okvira i konzolnog zida, u nižim delovima zid Slika 3. - Usaglašavanje deformacija okvira i zida 'pridrža- H 3-

122 va' okvir silama X i, dok u višim delovima okvir 'pridržava' zid, slika 3.. U ovakvim slučajevima, zanemarenje krutosti okvira često može da proizvede pogrešne zaključke o ponašanju zida. U konkretnom primeru, odnos visine H i dužine l w zida je H/l w = 9,6/4,3=4,5(>, uslov Yu8, član 68). S obzirom na broj zidova u osnovi, kao i na proporcije zida koji je pre zdepast nego vitak, procenjeno je da je u krutosti na horizontalna pomeranja dominantan uticaj zidova, koji su usvojeni za osnovni sistem za prijem horizontalnih uticaja. Za orijentaciju, zidovi vitkosti manje od 9-0 (poželjno 6-7) poseduju značajnu krutost za prijem horizontalnih uticaja. Naravno, važan je i broj takvih zidova u osnovi, u X odnosno Y-pravcu. U podužnom, X-pravcu, konstrukcija je nesimetrična, pa je za uticaj zemljotresa u ovom pravcu potrebno uzeti u obzir i uticaje e S x CK CM δ S x CK M t =S x e CM ϕ ϕe Slika Pomeranje tavanice usled translacije i rotacije oko centra krutosti - CK torzije u osnovi, slika 3.3. Zemljotres u X- pravcu izaziva translaciju δ i rotaciju φ tačaka tavanice oko centra krutosti CK, pomeranje tavanice opisano je sa dva stepena slobode. Prema članu 34 Yu8, efekti torzije ne moraju se sračunavati eksplicitno. Dozvoljava se analiza samo efekata translacije δ, kao da je konstrukcija simetrična, uz naknadnu približnu procenu efekata torzije. Proračunski model konstrukcije u oba glavna pravca X odnosno Y je konzola sa sedam masa, kao u Primeru. S obzirom da osnovni sistem čine konzolni zidovi, plastični mehanizam osnovne konstrukcije formira se pojavom plastičnih zglobova u uklještenju zidova, slika 3.4.a. Okviri u svakom slučaju treba da budu konstruisani tako da mogu da prate pomeranja konstrukcije, čiji iznos δ m i oblik dominantno zavisi od krutosti zidova, videti i 6.0-deo A. Uslovi za konstruisanje okvira mogu da se ublaže, jer zidovi sprečavaju pojavu fleksibilnog sprata. Ako je krutost zidova dovoljna, okviri se mogu izvesti i sa montažnim stubovima, sa zglobnim vezama greda-stub, videti deo A. Kapacitet krivljenja preseka zida κ u treba da je veći od maksimalnih očekivanih krivina κ m pri zemljotresu. Da bi zid bio pouzdan, potrebno je sprečiti rani-krti lom zida, tačka B na slici 3.4.c. U nelinearnim analizama, obično se područje plastičnog zgloba modelira koncentrisanom nelinearnom oprugom, sa odgovarajućom nelinearnom vezom moment(m)-rotacija(θ p ), slika 3.4.d. +9,60 δ m δ m M(kNm) M y A B C S S B D κ(/m) H Tok krivina preseka κ H κ y κ m κ u δ c. H p 0,00 H p θ p A B C Oblast D 'plastičnog zgloba' a. κ u κ m κ y b. M(θ p ) d. Slika Plastični mehanizam osnovnog sistema konstrukcije 3-3

123 3. PRORAČUNSKI MODEL KONSTRUKCIJE Gravitaciona opterećenja sa tavanica prihvataju okviri ali i zidovi. Za detalje analize gravitacionih opterećenja, videti. u Primeru. Za prijem horizontalnih uticaja, proračunski model obuhvata samo elemente osnovnog sistema, ukupno osam konzolnih zidova, sl ZA ZA Y l w =430 b=0 Z6 Z5 Z3 0/430 Z A B C D 8,0 4,0 8,0 0,0 m Pos00 ZD ZD Slika Osnovni sistem konstrukcije 5x4,0=0,0 m Osnova Dimenzije preseka svih zidova su iste, b/l w = 0/430 cm. To ne znači i da je krutost preseka na savijanje ista, ona u principu zavisi od količine armature i nivoa aksijalnog opterećenja zida, videti 4.3 i 6.-deo A. Fasadni zidovi na slici 3.5 imaju približno duplo manju normalnu silu od unutrašnjih zidova, Z3 i Z5. U našoj praksi se o ovim finesama retko vodi računa, pa se i ovde usvaja da je krutost svih zidova ista, određena na osnovu karakteristika bruto betonskog prekeka zida b/l w, zanemarujući efekte prslina. (Videti komentar uz.). Za dinamički model za analizu uticaja zemljotresa u X ili Y pravcu usvaja se konzola sa zbirnom krutošću svih zidova koji se suprotstavljaju pomeranju usled zemljotresa. Zanemarujući krutost preseka zida upravno na osu zida (l w /b 3 /<<bl w 3 /), za pravougaone zidove se obično usvaja pretpostavka da opterećenja prihvataju samo u svojoj ravni, slika 3.6. Krutost na horizontalna pomeranja zavisi od karakteristika preseka pojedinih elemenata, ali i od konfiguracije prostornog sistema elemenata. U slučaju sistema konzolnih zidova istih visina, odnos krutosti na pomeranje zavisi od momenata inercije preseka zidova, koji se u daljim analizama pojavljuju kao karakterističan parametar krutosti na pomeranje. S obzirom da se prema Yu8 nivo seizmičkog opterećenja S može približno odrediti samo na osnovu krutosti na translaciju, to je S x = S y (ista je krutost zidova u oba pravca, slika 3.6.a odnosno 3.6.b). Momente torzije M t = S x e, usled opterećenja S x koje deluje u centru mase-cm na ekscentricitetu e u odnosu na centar krutosti CK, prihvataju svi elementi osnovnog sistema koji doprinose torzionoj krutosti konstrukcije u osnovi. Torzija objekta u osnovi prihvata se savijanjem zidova u svojoj ravni, slika 3.6.c. X Y Y R 6 Z6 Y Z6 ZA ZA R A R A S y δ y CK CM ZD ZD R D R D X a. S x δ x R 5 R 3 R Z5 CK CM Z3 Z e X b. ZA ZA Z5 CK CM Z3 ϕ Z ZD ZD M t =S x e c. X Slika Proračunski modeli konstrukcije: a.) za uticaj zemljotresa u Y-pravcu; b.) za uticaj pomeranja-translacije usled zemljotresa u X-pravcu; c.) za uticaj rotacije φ od momenta torzije M t usled zemljotresa u X-pravcu 3-4

124 3.3 ANALIZA GRAVITACIONIH OPTEREĆENJA Usvojeno kao u Primeru, deo -3. U pojedinim rasponima, u ovom slučaju oslonac ploče je zid, umesto grede kao u Primeru. 3.4 ANALIZA SEIZMIČKOG OPTEREĆENJA Zbog iste krutosti osnovnog sistema na translaciju u X odnosno Y-pravcu, osnovni period oscilovanja T i proračunsko seizmičko opterećenje su isti za oba pravca dejstva zemljotresa. Dalje analize se odnose na slučaj uticaja zemljotresa u podužnom, X-pravcu, sa efektima torzije. Težina jednog sprata W i = G i +P/= 4007,8 kn/spratu (videti str. -7) Ukupna težina objekta W ,8= 8055 kn (Korektnije je obračunati i težinu AB zidova!) Kruti štapoviefekat krute tavanice d W d W W 7 W 7 Z Z3 Z5 Z6 W 6 W 5 W 4 W 3 W W W 6 W 5 W 4 W 3 W W h i =,80 I 7x,80=9,60 m w=w i /h i I H=9,60 m Moment inercije =I =I 3 =I 5 =I 6 a. b. c. d. Slika Proračun perioda oscilovanja: a.) osnovni sistem, zidovi aksijalno povezani krutim tavanicama; b.) dinamički model; c.) model za proračun perioda prema uprošćenoj modalnoj analizi, videti 5.-deo A; d.) uprošćenje modela sa slike 3.7.c. Proračun perioda oscilovanja T u prvom-osnovnom tonu Krutost zidova na savijanje b/l w = 0/430 cm I = I 3 = I 5 = I 6 = I= 0,0 4,3 3 /0 =,35 m 4 Zbirna krutost osnovnog sistema MB30 E= kn/m I = ΣI= 4,35= 5,3 m 4 EI = ,3=, m Podeljeno horizontalno opterećenje usled težina spratova W i, slika 3.7.c-d W i = 4007,8 kn= const. h i =,8 m= const. w = W i /h i = 4007,8/,8= 43,4 kn/m T = d w Izraz (5.3)- deo A, gde je d w pomeranje vrha u metrima usled težina W i, slika 3.7.c. d w = w H 4 /(8E I )= 43,4 9,6 4 /(8, )= 0,66 m T = 0,66 = 0,8 s Komentar: Period oscilovanja okvirne konstrukcije iznosio je T =,05 s, strana.7. Da je za efektivnu krutost zidova usvojena redukovana, manja vrednost zbog efekata prslina, razlika perioda bila bi još manja. Približno, krutost četri zida ekvivalentna je krutosti šest okvira (u ovom slučaju!). 3-5

125 Proračun ukupne seizmičke sile S S= KW K= k 0 k s k p k d (Za objašnjenje koeficijenata,videti i stranu.7) k 0 =,0 k s = 0,0 k p =,0 k d = 0.9/T = 0,9/0,8>,0 k d =,0 K=,0 0,0,0,0= 0, (>0,0) W= 8055 kn (str. 3-5) S x = 0, 8055= 805,5 kn S obzirom da objekat ima više od pet etaža, prema Yu8 85% ukupnog opterećenja S raspodeljuje se po tavanicama prema relaciji Wi Zi S i = S (videti 5.- deo A) 7 W Z j= j j dok se 5% sile S postavlja na nivo poslednje tavanice. Sile deluju u centru mase odgovarajuće tavanice. 0,85S= 0,85 805,5= 384,6 kn 0,5S= 0,5 805,5= 40,8 kn 596, 5,0 45,8 340,6 55,5 70,3 85, 40,8 Z Z3 Z5 Z6 Moment =I =I inercije 3 =I 5 =I 6 Slika Raspored računskog seizmičkog opterećenja Proračun seizmičkog opterećenja i njegova raspodela po visini konstrukcije prikazani su u Tabeli 3. i na slici STATIČKI PRORAČUN 3.5. Uticaj gravitacionih opterećenja z 7x,80=9,60 Tabela 3. Nivo Z i W i W i Z i Wi Zi 0,85S W Z m kn knm W j Z j 34 (Σ=384.6 kn) Reakcije tavanice, slika 3.9.a približno su jednake opterećenju sračunatom u Primeru Stalno opterećenje Reakcija grede A-B (C-D) (g = 4,6 kn/m ) (5 4,6 8,0)/8 =46,0 kn Reakcija u polju B-C (g = 7,0 kn/m ) 7,0 4,0 = 68,0 kn Sopstvena težina zida po spratu b/l w = 0/430 h=,8 m (0, 4,30,8)5 = 60, kn Reakcija grede iz upravnog pravca U osama B,C (G= 76, kn) 76, = 5,4 kn Prirast normalne sile po spratu N g = 56,6 kn = j j 3-6

126 Korisno opterećenje (p = 6,4 kn/m ) (5 6,4 8,0)/8 = 64,0 kn (p = 4,0 kn/m ) 4,0 4,0 = 6,0 kn (p= 6 kn/m ) 6,0 = 3,0 kn Prirast normalne sile po spratu N p =,0 kn +9,60 56,6,0 g,p g,p g,p 56,6,0 N g N p 0,00 R=5/8ql 3686, kn 784,0 kn A 8,0 B 4,0 C 8,0 D a. b. c. Dijagrami normalnih sila zida Z3 dati su na slici 3.9. Za fasadni zid Z u osi, usvajaju se vrednosti u iznosu od 50% opterećenja zida Z Uticaji usled zemljotresa u X- pravcu Slika Gravitaciono opterećenje zida Z3 Seizmičko opterećenje S j tavanice j deluje u centru mase CM tavanice j, slika 3.0.a. Y Tavanica 'j' Y y CM S j CM y CK S j M tj =S j e CK CM e X X x CM a. x CK b. Slika Seizmičko opterećenje u nivou tavanice 'j' : a.) inercijalna sila S j u centru mase CM; b.) inercijalna sila S j redukovana na centar krutosti - CK 3-7

127 Za određivanje opterećenja zida usled seizmičkog opterećenja S j tavanice j, korisno je da se opterećenje S j redukuje na silu S j i moment torzije M tj = S j e, koji deluju u centru krutosti CK, slika 3.0.b. Y R 6 =K x6 δ Y y CK R 5 =K x5 δ δ R 3 =K x3 δ R =K x δ Z6 Z5 CK Z3 Z R X R A =K ya δ R A =K ya δ ZA ZA R K y ~0 CK δ ZD ZD R D =K yd δ R D =K yd δ X a. x CK b. Slika 3. - Odredjivanje centra krutosti CK: a.) pri translaciji tavanice u X-pravcu, položaj rezultante R reakcija svih zidova definiše koordinatu y CK centra krutosti - CK; b.) pri translaciji tavanice u Y-pravcu, položaj rezultante R reakcija svih zidova definiše koordinatu x CK centra krutosti - CK Određivanje koordinata centra krutosti CK a) Stanje translacije tavanice u X- pravcu za iznos δ (sl. 3..a) Reakcija zida i R δ i = δk xi (3.) gde je K xi krutost zida i na pomeranje u X- pravcu Rezultanta reakcija zidova R δ =Σ R δ i =δσk xi (3.) Položaj rezultante ΣM 0 = 0 (oko koordinatnog početka) R δ y CK = Σ R δ i y i (3.3) gde je y i koordinata y zida i (3.) (3.) (3.3) y CK = K y / K i xi i xi i Ako u centru krutosti deluje sila S x u pravcu X- ose, pomeranje tavanice δ i opterećenje S i zida i iznose: (3.) δ= S x /ΣK xi (3.4) (3.) (3.4) S i =S x K xi / ΣK xi (3.5) odnosno, seizmičko opterećenje tavanice se raspodeljuje na pojedine zidove proporcionalno krutosti zida na pomeranje. b) Stanje translacije tavanice u Y- pravcu za iznos δ (sl. 3..b) Analogno prethodnom izvođenju x CK = ΣK yi x i /ΣK yi (3.6) gde je K yi krutost zida i na pomeranje u Y- pravcu. Analogno (3.5), S i = S y K yi / ΣK yi (3.7) c) Stanje rotacije tavanice oko centra krutosti zaugao φ (sl. 3..c) Pomeranje zida i δ i φ = φr i (voditi računa o definiciji i znaku r i ) (3.8) 3-8

128 gde je r i normalno rastojanje ravni zida od centra krutosti - krak zida. Reakcija zida i R φ i = δ φ i K i (3.9) Y (3.8) (3.9) R φ i = φk i r i (3.0) gde je K i krutost zida i Rezultujući moment torzije oko CK M ϕ t M t = ΣR φ i r i = φσk i r i (3.) CK Ako u centru krutosti deluje poznati moment torzije M t, obrtanje tavanice φ i ϕ opterećenje zida i iznose: (3.) φ= M t / ΣK i r i (3.) (3.) (3.0) S φ i = M t K i r i / ΣK i r i (3.3) R ϕ A =K ya ϕr A ZA R ϕ 6 =K x6 ϕr 6 Z6 CK r 6 r A r D Z r R ϕ =K x ϕr Slika 3. nastavak - c.) pri rotaciji tavanice oko centra krutosti CK za ugao ϕ, rezultanta reakcija svih zidova je samo moment torzije M ϕ t (zbog preglednosti, nisu prikazani izrazi za sile svih zidova) ZD R ϕ D =K yd ϕr D c. X Ukoliko se dimenzije zidova ne menjaju po visini, i ukoliko su zidovi dovoljno vitki tako da preovladavaju deformacije savijanja, tada se u prethodnim izrazima umesto krutosti K i može uvesti moment inercije I i preseka zida i. K i I (3.4) Što važi za tavanicu j, važi i za ostale. Izrazi (3.5), (3.7) i (3.3) za prerespodelu uticaja usvajaju se za svaku od tavanica- nivoa konstrukcije, ukupno m, slika 3.. S U odnosu na osu koja spaja centre krutosti, m CK-osa na sl. 3., na svakom nivou j deluje M tm seizmička sila sprata S j i moment torzije sprata M tj = S ϕ S j e. im S δ im Opterećenje zida i na nivou j usled translacije S δ ij i rotacije S φ ij može da se odredi na prikazani način. Uočiti da se torzija konstrukcije prihvata savijanjem zidova. Sa poznatim dijagramom optere- CK S j M ćenja zida S ij = S δ ij + S φ ij, mogu da se odrede transverzalne sile Q ij i momenti savijanja M ij zida 'i' na tj CM S ϕ spratu 'j' usled zemljotresa, kao za konzolni stub - ij S δ ij rezultanta uticaja svih tavanica iznad posmatranog nivoa- preseka zida. Zid 'i' 'CK-osa' Racionalnije je i preglednije da se prvo odrede globalni uticaji konstrukcije u celini, prema sračunatoj raspodeli ukupnog seizmičkog opterećenja po S M z t visini objekta, slika 3.8. Tavanica-nivo 'j' i S ϕ ij S δ ij y x Slika 3. - Seizmičko opterećenje zida 'i' - Transverzalna sila zida i u nivou sprata j Q ij = m m Sik = k= j+ k=+ j m (S ik φ + S ik δ )= = (S k I i / Ii +S k ei i r i / Ir i i ) k=+ j i i 3-9

129 =( I i / Ii +e I i r i / Ir i i ) S k i i m k=+ j odnosno Q ij = α i Q 0j (3.5) gde je: a i = I i / Ii +e I i r i / Ir i i ); Q 0j = S k - Moment savijanja zida i u nivou sprata j M ij = m m Sik (z k -z j )= k= j+ k=+ j i i m k=+ j (S φ ik + S δ ik ) (z k -z j )= α i S k (z k -z j ) k=+ j m odnosno: M ij = α i M 0j, gde je M 0j = S k (z k -z j ) (3.6) k=+ j m S 7 m=7 Q 07 =S 7 Q 0j M 0j Q ij M ij S J j Q 0j j M 0j j Q ij =α i Q 0j j M ij =α i M 0j j S S h=,80 S j z j H z Q 0 a. Q 0 Prema Yu8, član 34, momente torzije M t = S e sračunate iz čisto statičkih razmatranja treba uvećati faktorom K T =,50, zbog spregnutosti bočnih i torzionih vibracija sistema sa dva stepena slobode (ili tri) po spratu. To znači da treba korigovati i izraz (3.3) za S φ i, odnosno koeficijent participacije α i zida i : α i = I i / Ii +K T e I i r i / Ir i i (3.7) i b. Slika Odredjivanje uticaja u zidu 'i' : a.) seizmičko opterećenje objekta - prema slici 3.7.a; b.) ukupna transverzalna sila sprata Q 0j ; c.) ukupni moment savijanja - 'preturanja' M 0j u nivou sprata 'j' ; d.) transverzalna sila zida u nivou sprata 'j' - Q ij = α i Q 0j ; e.) moment savijanja zida 'i' u nivou sprata 'j' M ij = α i M 0j, gde je α i - 'koeficijent participacije' zida 'i' u ukupnoj nosivosti Nastavak primera, konačno. - Centar krutosti Moment inercije svih zidova je isti, I i =,35 m 4 (str. 3-5) x CK = ΣK yi x i /ΣK yi = (I A 0,0+ I A 0,0+ I D 0,0+ I D 0,0)/( I A + I A + I D + I D )= = 40 I/4 I= 0,0 m y CK = ΣK xi y i /ΣK xi = (I 0,0+ I 3 8,0+ I 5 6,0+ I 6 0,0)/( I + I 3 + I 5 + I 6 )= = 44 I/4 I=,0 m - Centar mase (uz pretpostavku jednako raspodeljene mase u osnovi) x CM = 0,0 m y CM = 0,0 m - Ekcentricitet centra mase u odnosu na centar krutosti e= x CK - x CM =,0-0,0=,0 m M 0 i c. d. e. 3-0

130 - Globalni uticaji konstrukcije u celini Za raspodelu seizmičkog opterećenja prema sl. 3.8, dijagram ukupne transverzalne sile Q 0j i momenata savijanja-preturanja objekta M 0j dati su na sl Uticaji u zidu Z r = y CK -y =,0-0,0=,0 m (voditi računa o definiciji i znaku r) I / Ii =I /( I + I 3 + I 5 + I 6 )= I/4 I= 0,5 (samo zidovi sa krutošću u X- pravcu) i I r / Ir i i = I r /( I r + I 3 r 3 + I 5 r 5 + I 6 r 6 + I A r A + I A r A + I D r D + I D r D ) i = I,0/(I(,0 +3,0 +5,0 +9,0 +0,0 +0,0 +0,0 0,0 ) =,0 I/636 I= 0,073 /m α = I / Ii + K T e I r / Ir i i = 0,5+,5,0 0,073= 0,759 Q 0j (kn) 549,9 70, 805,4 i 953,8 94,4 07,0 58,0 i Dijagrami uticaja Q j = α Q 0j odnosno M j = α M 0j dobijaju se množenjem odgovarajućih vrednosti sa slike 3.4 faktorom α. - Uticaji u zidu Z3 r 3 = y CK -y 3 =,0-8,0= 3,0 m I 3 / Ii =I/4 I= 0,5 i I 3 r 3 / Ir i i = 3,0 I/636 I= 0,00477 i α 3 = 0,5+,5,0 0,00477= 0,57 - Uticaji u zidu Z6 r 6 = y CK -y 6 =,0-0,0= -9,0 m I 6 / Ii =I/4 I= 0,5 i I 6 r 6 / Ir i i = -9,0 I/636 I= -0,045 α 6 = 0,5-,5,0 0,045= 0,87 Voditi računa gde torzija povećava, a gde smanjuje uticaje u zidovima! - Uticaji u zidu Z D r D = x CK -x D = 0,0-0,0= -0,0 m K xd /ΣK xi = 0 Usled zemljotresa u X- pravcu, ovaj zid ima uticaje samo usled torzije! K xd r D / ΣK i r i = I D r D / Ir i i = -0,0 I/636 I= -0,057 i α D = -0,057 K T e= -0,057,50,0= -0, Uticaji usled zemljotresa u Y- pravcu Sve isto kao za X- pravac, jedino nema torzionih uticaja jer je konstrukcija simetrična, e=0. Četri zida u Y-pravcu primaju po 5% opterećenja, α i = 0, KONTROLA 'POMERANJA' KONSTRUKCIJE a. M 0j (knm) Slika Ukupna transverzalna sila i moment savijanja-preturanja spratova konstrukcije u celini b. Yu8 nije eksplicitan u slučaju dispozicija sa torzionim deformacijama, da li treba proveriti translaciju centra mase ( težište objekta ), ili je u pitanju pomeranje kritičnog zida, kod koga translacija+rotacija daju najveća pomeranja - zid Z u ovom slučaju. S obzirom da je u pitanju kriterijum oštećenja pregrada i fasada, za kontrolu se usvajaju pomeranja zida Z. i 3-

131 Pomeranje vrha zida može da se odredi na osnovu njegovog pripadajućeg opterećenjadijagrama momenata savajanja M j = α M 0j. Dovoljno je tačno (na ispitu, u fazi idejnog projekta) ako se pomeranja odrede na osnovu ukupnog seizmičkog opterećenja zida (= transverzalnoj sili u uklještenju), i to 85% raspodeljeno linearno promenljivo, a 5% postavljeno u vrhu zida, sl α = 0,759 δ maxq 0j = 805,4 kn (slika 3.4) = δ + δ q * S = α max Q 0j 5%S i = 0, ,4= 774,0 kn S i 0,85S = 0,85 774,0= 658,0 kn 85%S i 0,5S = 0,5 774,0= 6,0 Kn Z 0,5q * i Z i Z i H= 658,0 q * = 658,0/(0,5 9,6)= 67, kn/m EI EI (sl. 3.5.b) i i EI i MB 30 EI = 3 0 7,35= a. b. c. 3, knm H Slika Odredjivanje 'pomeranja' vrha zida δ = q * H 4 /0EI = 67, 9,6 4 /(0 3, )= 0,03 m δ = 0,5S i H 3 /3EI = 6,0 9,6 3 /(3 3, )= 0,007 m δ= δ + δ = 0,03+0,007= 0,030 m < H/600= 9,6/600= 0,033 m Pomeranja su kao u slučaju okvira, Primer. 3.7 KONTROLA DUKTILNOSTI ZIDA Z Prema Yu8, član 73, iznos aksijalnog naprezanja zida usled gracitacionog opterećenja je ograničen: σ 0 /β B 0,0 gde je σ 0 = N/F β B = 0,7 β K zid Z3, slika 3.9 N= N g +0,5N p = 3686,+0,5 784,0= 4078 kn zid Z N 0,5 4078= 039 kn MB 30 β B = 0,7 30= MPa b/l w = 0/430 F= 0 430= 8600 cm σ 0 = N/F= 039/8600= 0,4 kn/cm =,4 MPa σ 0 /β B =,4/= 0,< 0,0 Uočiti da je u slučaju zida Z3 ovaj uslov prekoračen, treba podebljati zid u donjim etažama, ili povećati marku betona. 3.8 DIMENZIONISANJE ZIDA Z NA SAVIJANJE Maksimalni uticaji u uklještenju zida Stalno opterećenje M g 0 N g 0,5 3686,= 843, kn (sl. 3.9.b) Korisno opterećenje M g 0 N p 0,5 784,0= 39,0 kn (sl. 3.9.c) Zemljotres Merodavan je slučaj zemljotresa u X- pravcu, sa efektima torzije N s 0 M s α M 0j = 0, = 486 knm (slika 3.4) Zbog promenljivog znaka momenata savijanja zida pri zemljotresu, zidovi se armiraju simetrečno. 3-

132 µ=0,5% min minµ=0,5% µ=0,5% min l w /0 l w /0 F a 0 40 l w a a Z a Z a0 l w F a0 N u M u D a0 F a Da b b a. b. z~0,8l w D b c. Slika Koncept armiranja zida ~9 cm 8Rφ5 l w /0~ Rφ Slika Armiranje kraja zida a. b. F a0 F a0 Prema Yu8, član70, minimalni procenat armiranja ivičnom armaturom (F a na sl. 3.6.b) iznosi: μ = F a 00/bl w 0,5% (3.8) S obzirom na izduženi presek, zid se armira i srednjom armaturom (F a0 na sl.3.6.b), čiji minimalni procenat iznosi takođe µ 0 = F a0 00/bl w 0,5% (3.9) Ukupni minimalni procenat prema tome iznosi 0,45 %, s tim da se ivična armatura (po 0,5 %) raspoređuje na krajevima zida, na dužini 0,0l w, slika 3.6.a. Korektan algoritam za dimenzionisanje preseka zida treba da obuhvati sve unutrašnje sile preseka, sl. 3.6.c. (videti programirano ponašanje-deo A): za usvojenu srednju armaturu zida (F a0 ), treba odrediti potrebnu ivičnu armaturu simetrično armiranog zida (F a ). U praksi, pogotovu u fazi idejnih rešenja (i na ispitu!), obično se potrebna armatura proračunava kao za jednostruko armirani presek, pa se usvaja jednaka na oba kraja zida (pretpostavka- lom po čeliku ). Granični uticaji- seizmička kombinacija: N= N g +0,5N p = 843,+0,5 39,0= 039, kn Moment oko zategnute armature M au = γ M M s +γ N N(l w /-a ) (pretpostavka ε b < 3,5 ) Za određivanje nosivosti preseka potrebne zategnute armature, pretpostavlja se povoljno dejstvo gravitacionih opterećenja γ M =,3 γ N =,0 M au =, ,0 039,(4,3/- 0,43/))=8877kNm 0,0l w / RA 400/500; σ v = 400 MPa l w = 4,3 m z 0,8l w = 0,8 4,30= 3,44 m potf a M au / σ v z-γ N N/ σ v = /(40,0 344)-,0 039,/40,0= 86, cm 3-3

133 Za prečnik vertikalne armature, kod zidova se obično usvaja Ø v (/8 /0)b = (/8 /0)00 Ø5 Ø0 Usvojeno: 8RØ5 ( stv F a = 88, cm ; μ = 88,/0 430=,03%) Na slici 3.7.a prikazan je detalj (pre)armiranja kraja zida, prema Yu8 pravilniku. Bolje rešenje je da se na krajevima zida formira stub, kako zbog smeštaja i utezanja armature uzengijama, tako i zbog oslanjanja greda (u ovom slučaju), slika 3.7.b.Yu8 ni u jednom stavu ne definiše utezanje krajeva zida, čak ni kao pojam! Lokalni procenat armiranja ivičnog stuba µ= 88, 00/40 = 5,5<6% (Yu 8) 3.9 ZID Z- OSIGURANJE OD LOMA TRANSVERZALNIM SILAMA Maksimalni uticaji u uklještenju zida Q = α Q 0j = 0, ,4= 774,0 kn Prema BAB-u, ograničena je veličina maksimalnog nominalnog napona smicanja τ m τ m = γ Q /bz 5 τ r MB 30 τ r =, MPa τ m =,3 774,0/(0 334)= 0,5 kn/cm =,5 MPa<5 τ r Prema Yu8, član 7, 'računska sizmička poprečna sila zida isključivo se pokriva horizontalnom armaturom, sa minimalnim procentom armiranja μ= 0,0% površine vertikalnog preseka zida!' Ako je ( model rešetke ) nagib pritisnute F dijagonale θ= 45 0 (ugao prsline ~45 0 av ), ukupna horizontalna armatura F ah koja 'premošćuje' Tavanica prslinu visine h z iznosi, slika 3.8: ΣX= 0 F ah σ v = γq= Q u ili, na metar dužni visine zida Q u N f ah = F ah /z Q u /0,8l w σ v (cm /cm) (3.0) u f ah =,3 774,0/(40 344)= 0,073 (cm /cm) F ah mf u σ v μ= f ah /b= 0,073/0= 0,36%> min μ= 0,% mf usvojeno: ± RØ0/0 u σ v RØ0 f u = 0,59 cm mfu σv θ e= 0 cm (razmak) stvμ= f u /be= 0,79/(0 0) = 0,395%> pot μ= 0,36% D Vertikalna armatura F a0 srednjeg delarebra zida (F av na sl. 3.8) obično se usvaja z l w Z jednaka horizontalnoj usvojeno: ± RØ0/0 ~z s Slika Obezbedjenje od loma 'rebra' zida 3.0 KONSTRUISANJE ARMATURE ZIDA Z Prema Yu8, član74: srednja armatura (rebra) nastavlja se na preklop, a na krajevima (ivična armatura) zavarivanjem, ili se armatura vodi kroz dva sprata, čime se 50% nastavlja preklapanjem na svakom spratu. Plan armature zida prikazan je na slici

134 +8,40 a a Rφ5 3 9Rφ5 3 9Rφ5 9Rφ l l s s a a 9Rφ5 9Rφ5 l s 9Rφ5 9Rφ5 l s +5,60 +,80 h cr ~,80 M* γm 5 urφ8/0(0) 7 urφ8/0(0) 6 urφ8/0(0) d urφ8/ urφ8/ urφ8/0 0, urφ8/ urφ8/ ±Rφ0/0 ±Rφ0/ a. Detalj A b. 9Rφ5 9Rφ5 40 Detalj A c. Slika Shema armiranja zida Z 3-5

135 Za ivičnu armaturu zida, u okviru stubova, usvojen je koncept vodjenja armature kroz dva sprata, tako da se u jednom nivou nastavlja 50% armature. Srednja armatura zida može da se vodi od sprata do sprata. Izvodjačima najviše odgovara da se za svu vertikalnu armaturu iz temelja ispuste samo ankeri, što treba izbegavati, osim ako se ne obezbedi 'fino' armiranje nastavka 00% ivične armature (recimo prema Evrokodu ), ili zavarivanje. Na višim spratovima može da se proredi ivična armatura zida, dozvoljeno je 'pokrivanje' dijagrama momenata savijanja zida prema modifikovanoj liniji zatežućih sila na slici 3.9.d. (videti BAB). 3. UTICAJ VETRA NA KONSTRUKCIJU Iako je glavna tema ovoga primera analiza uticaja zemljotresa, u okviru izrade godišnjeg rada, a i na pismenom delu ispita potrebno je uraditi i analizu uticaja usled dejstva vetra na objekat, i noseće elemente konstrukcije dimenzionisati prema 'merodavnim uticajima'. Zadaci se rade na nivou 'idejnog rešenja', pa se u ovom poglavlju data kratka uputstva za ocenu uticaja usled dejstva vetra. Postupak potiče iz ranijih propisa, i nije saglasan sa važećim propisima za opterećenje vetrom, ali ga verovatno i danas stariji inženjeri primenjuju u fazi idejnih rešenja, jer je jednostavan a i poznato je da uobičajene betonske konstrukcije nisu preterano osetljive na dejstva vetra. Zavisno od očekivanih maksimalnih dejstava vetra, teritorija zemlje podeljena je na 'zone' sa definisanim nominalnim pritiskom vetra - 'osnovnim dejstvom vetra - w 0 (kn/m )'. Za betonske konstrukcije na području Beograda, nekada se usvajalo w 0 = 0,75 kn/m, na primer. Y Y -0,4w 0 +0,8w V Xi L/ L/ CK Pos00 e Vx -0,4w 0 L=5x4,0=0,0 m CK B/ B/ Pos00 L=5x4,0=0,0 m A B C D B=0,0 m X Osnova a. V Yi A B C D +0,8w 0 B=0,0 m X Osnova b. Slika Dejstvo vetra na objekat izraženo kao 'pritisak', odnosno 'sisanje' u X, odnosno Y - pravcu. Za uobičajene četvorougaone oblike osnova objekata, efekat vetra se na fasadi direktno izloženoj vetru manifestuje kao pritiskujuće dejstvo u iznosu +0,8w 0, a na naspramnoj strani kao istovremeno 'sišuće' dejstvo vetra u iznosu -0,4w 0, slika 3.0. Maksimalno dejstvo vetra usvaja se da deluje ili u pravcu X (slika 3.0.a), ili u pravcu Y (slika 3.0.b), ali ne i istovremeno iz oba pravca. Vetar duva na fasadu koja svoje reakcije prenosi na tavanice, tako da se u nivou tavanice 'i' javlja rezultujuća 'spratna sila' vetra V i = (0,8w 0 + 0,4w 0 )lh i, gde je l - širina fasade upravno na pravac dejstva vetra (l=l za pravac X, slika 3.0.a, odnosno l=b za pravac Y, slika 3.0.b), a h i - spratna visina. 3-6

136 +9,60 VII VI Y Z6 +0,8w 0 0,00 V Xi V IV III II I -0,4w 0 7x,80=9,6 m ZA ZA V Xi Z5 CK Z3 ϕ ZD ZD M t =V Xi e Vx A B C D 0,0 m Presek Z X Slika 3. - Približno dejstvo vetra po visini nižih objekata Slika 3. - Torzija objekta u osnovi usled dejstva vetra Intenzitet vetra se menja po visini objekta, ali se za uobičajene visine objekata u fazi idejnih rešenja može usvojiti da je konstantan po visini, slika 3.. Ukoliko pravac spratne rezultante vetra V ne prolazi kroz centar krutosti sprata CK, kao i slučaju dejstva zemljotresa nastupiće uvrtanje konstrukcije usled dejstva torzionih momenata M t, slika 3.0.a i slika 3.. Poreklo sila je različito, i različito se odredjuju, ali se njihov 'statički efekat' na konstrukciju računa na identičan način, već prikazan u delu o dejstvu zemljotresa, izraz 3.7. S obzirom da se pri dejstvu vetra na uobičajene objekte ne očekuju izraženiji dinamički efekti, to se pri analizi dejstva vetra za vrednost koeficijenta K T u izrazu 3.7 usvaja K T =,0, odnosno α i = I i / Ii +e I i r i / Ir i i. +0,8w 0 Y L/ L/ Z V Xi Z4 CM Z3 CK B=6 x 6,00=36,00 m Z i -0,4w 0 L=6 x 6,00=36,00 m Slika Slučaj kada spratne rezultante usled vetra odnosno zemljotresa ne deluju u istim napadnim ta čkama X i U slučaju prikazanom na slici 3.0, ekscentricitet spratnih rezultanti usled vetra odnosno zemljotresa je identičan, jer rezultanta vetra deluje kroz centar mase tavanice CM. To ne mora uvek da je slučaj, slika 3.3 na primer. Oblik osnove i raspored nosećih zidova Z-Z4 u osnovi je takav da rezultanta vetra prolazi kroz centar krutosti CK, tako da nema dopunskih torzionih dejstava usled vetra. Za razliku od spratne sile vetra koja je rezultanta pritisaka na fasadu, spratna sila usled zemljotresa je inercijalna, i njena rezultanta deluje u centru mase CM, čiji položaj zavisi od oblika osnove i rasporeda masa. U slučaju prikazanom na slici 3.3, dejstvo zemljotresa izaziva i torzione efekte, za razliku od dejstva vetra, slika 3.4.a. U slučaju prikazanom na slici 3.4.b, oba dejstva izazivaju torzione efekte, ali sa različitim ekscentricitetom u odnosu na centar krutosti CK. 3-7

137 Y Y Y Z L/ L/ V X Z4 S X Z3 CM CK e Sx Z X L L/ L/ V X Z Z4 CM S X CK Z Z3 e Sx e Vx L L X B a. B b. Slika Rezultujuće spratne sile usled vetra - V, odnosno zemljotresa - S U slučaju nepravilnih osnova zgrada, efekti vetra mogu da budu složeni, posebno kada su u pitanju lokalna dejstva na pojedine elemente ili zone objekta. Za ocenu globalnog ponašanja konstrukcije i utvrdjivanje potrebne nosivosti glavnih nosećih elemenata - zidova u ovom slučaju, dovoljno je tačno da se na nivou idejnog rešenja efekat vetra razmatra kao dejstvo na 'projekciju fasade', uz zanemarenje lokalnih nepravilnosti osnove, slika ,4w 0 +0,8w 0 L/ L/ Z Z3 V Xi Z CK Z3 Z Vazdušni prostor Z -0,4w 0 L Z Z3 V Yi Z3 B/ B/ CK Vazdušni prostor Z Z Z L B a. b. +0,8w 0 B Slika Ocena dejstva vetra za kontrolu nosivosti objekata sa nepravilnim osnovama 3. SLUČAJEVI SLOŽENIH OBLIKA NOSEĆIH AB ZIDOVA Sva dosadašnja razmatranja odnosila su se na osnovni oblik 'pravougaonog preseka' zida, sa eventualnim ojačanjima-'stubovima' na krajevima, u kom slučaju može da se govori o I- preseku nosećeg zida. Pored toga, položaj zidova u osnovi u svim primerima je takav da se pravac pružanja svih zidova poklapa sa pravcima 'glavnih osa inercije' konstrukcije - na ortogonalnoj osnovi usvojen je i ortogonalni pravac pružanja zidova, u X i Y-pravcu. U praksi, zidovi se pojavljuju sa različitim oblicima preseka kao i položajima u konstrukciji, slika

138 Kvadratni oblik osnove objekta sugeriše da se dejstva zemljotresa analiziraju u Y ortogonalnom X-Y sistemu, kao i u svim prethodnim primerima. Kosi položaj jednog zida - Z na primer, sa rotiranim Z4 sopstvenim osama inercije u odnosu na X-Y Z sistem dovoljan je da i 'glavne ose inercije' konstrukcije u celini ne budu paralelne X-Y osama, pa bi u principu trebalo analizirati dejstva zemljotresa u pravcima glavnih osa inercije konstrukcije. Na projektantu je da odluči o računskom pravcu delovanja Z Z3 horizontalnih dejstava. U okviru ovoga kursa, ovakvi se slučajevi ne razmatraju, pa se i ne pojavljuju u godišnjim zadacima, X odnosno pismenom delu ispita. To važi i za 6x5,00=30,00 m sve ostale primere oblika zidova na slici 3.6. Tretman složenog T-preseka zida Z Slika Različiti oblici preseka i položaja zidova na slici 3.6 u praksi zavisi od primenjene metode analize. Ako se radi 'peške', kao u prethodnom primeru, tada 'rebro'- duži deo zida (sa eventualnim efektom sadejstvujuće širine flanše na krutost u X-pravcu) može da se razmatra kao 'zid u X-pravcu', a da se flanša zida razmatra kao poseban zid u Y-pravcu, svako sa svojim položajem u odnosu na X-Y ose. Isto važi i za odredjene vrste softvera za analizu uticaja zemljotresa, kao što je 'TABS', na primer. Ako se koriste softveri na bazi metode konačnih elemenata, stvari mogu značajno da odstupe od očiglednosti pa i od pretpostavki propisa. Slično slučaju zida Z, L-presek zida Z3 se u praksi često razmatra kao slučaj dva posebna zida u X odnosno Y-pravcu, bar pri proračunu uticaja. Problem može da nastane pri dimenzionisanju, jer je u pitanju ipak jedinstven presek. Pravilnije je vektorski sabrati uticaje dobijene u pojedinim 'krilima' L-preseka, i potom dimenzionisati jedinstveni presek, nego svaki deo zida dimenzionisati sa svojim računskim uticajima. U slučaju sandučastih preseka zidova tipičnih za liftovska jezgra, zid Z4 na slici 3.6 na primer, u praksi se koriste različiti modeli, što zavisi od primenjene metode analize, ali i od vitkosti jezgra - odnosa visine jezgra prema najvećoj dimenziji preseka u osnovi. Što je vitkost veća, ponašanje jezgra sandučastog preseka sve se više približava ponašanju stuba sandučastog preseka. U tom slučaju, sandučasti presek jezgra može da se modelira sa dva odvojena konzolna elementa u X odnosno Y-pravcu, sa odgovarajućom krutošću za svaki pravac. Sa dobijenim uticajima, vitko jezgro se dimenzioniše kao stub sandučastog preseka. U slučaju niskih - 'zdepastih' jezgara, obično se za krutost jezgra u X odnosno Y-pravcu usvajaju samo zidovi koji se pružaju u razmatranom pravcu, sa ili bez efekta flanši zbog prisustva zidova u ortogonalnom prvacu. Ako se koriste softveri na bazi konačnih elemenata, treba pažljivo interpretirati rezultate imajući u vidu pretpostavke u vezi ponašanja betonskih elemenata u slučaju zemljotresa. Ponovimo, slučajevi sa slike 3.6 nisu predmet ovoga kursa. 6x5,00=30,00 m 3-9

139 3.3 PITANJA I ODGOVORI 3.3. Osim ograničenja aksijalnog naprezanja (σ0< 0,βB), Yu8 ne postavlja druge zahteve za obezbeđenje duktilnosti zidova. Šta zahteva EC8, na primer? Da bi se ostvarila potrebna krivina preseka zida, potrebno je povećati kapacitet dilatacija pritisnutih krajeva zida. Kraj zida na dužini l c = 0,5l w, EC8 tretitra kao skriveni stub, opterećen centrično efektivnom normalnom silom eff N u. Za ovaj stub važe ista pra- 'Skriveni stub' e vila i postupci za obezbeđenje potrebne duktilnosti kao i za normalne stubove, slika 3.7- videti i Primer. eff N Sd N Sd Prema EC8: effn sd = 0,5(N sd /+M sd /z) (3.) Bezdimenzionalna efektivna normalna sila effν d = eff N sd /A c f cd l (videti.6, str. -9) c l c a. A c = bl c = 0,5 bl l w w Za konstrukciju određene klase duktilnosti (DCH u ovom slučaju, prema Slika 'Skriveni stub' na krajevima zida Yu8), ograničava se eff ν d i zahteva se odgovarajuće utezanje uzengijama preseka skrivenog stuba. Ilustracija na primeru zida Z N sd = γn= 039, kn (γ=,0, prema EC8) b max e/l w ,0 ν d =N sd /b w l c Kriterijum eff ν d <0,55 Kriterijum µ =4% 0,0 Slika Ograničenje veličine momenata savijanja zida M sd = γm s = 486 knm (γ=,0, prema EC8) z l w -l c = l w -0,5 l w = 0,85 l w = 0,85 4,3= 3,65 m effn sd = 0,5(039,/+486/3,65)= 083 kn C 5/30 f cd = f ck /γ c = 5/,5=6,67 MPa (videti Primer ) A c = bl c = 0,5bl w = 0, = 90 cm effν d = eff N sd /A c f cd = 083/(90,667)= 0,97> max ν d = 0,55 (DCH) Pritisak na kraju zida je prevelik i ne može da se realizuje potrebna duktilnost zida! U ovom slučaju je moment savijanja zida prevelik. U našoj praksi, veličina momenta savijanja koji zid može da prenese limitirana je ili nosivošću zida, ili uslovima smeštaja zategnute armature. Prema EC8, uslov obezbeđenja duktilnosti pritisnutog kraja zida postaje merodavan!, slika 3.8. Za dati nivo aksijalnog opterećenja ukupnog preseka zida ν d, EC8 praktično ograničava maksimalni dozvoljeni ekscentricitet e= M sd / N sd izražen na slici 3.8 u odnosu na dužinu zida e/l w. Prema EC8, (ako se ne varamo), procenat armiranja u bilo kom delu zida ne sme da bude veći od 4 % (kao za stubove). U tom slučaju, i lokalni procenat armiranja skrivenog stuba kraja zida treba da je manji od 4 %. μ * = F a /bl c 4 % 3-0

140 U ovom primeru, F a = 88, cm (sl. 3.7.a) μ * = 88,/(0, )= 6,8%> 4 % Da li proširenje kraja zida i formiranje stuba reševa problem prema EC8? b/d= 40/40 eff ν d 083/(40,667)= 0,78> 0,55 b/d= 50/50 eff ν d 083/(50,667)= 0,50< 0,55 Ok. Proračun uzengija za utezanje betona u svemu kao u Primeru, sa normalnom silom effn sd, i sa μ /r = q = 4 = 6 ( samostalni zid ) 3.3. Realni kapacitet nosivosti na savijanje preseka zida Z u uklještenju verovatno da je veći od računski potrebnog, Ms= 486 knm: zbog zanemarenja nosivosti srednje armature F a0 (usvojeno ± RØ0/0), zbog zanemarenja efekta pritisnute armature a možda i zbog konzervativne procene kraka unutrašnjih sila z= 0,8lw. Kako se to odražava na programirano ponašanje zida i konstrukcije u celini (videti 6.8- deo A)? Dijagram moment-krivina za usvojenu armatru preseka zida Z i normalnu silu N= 039 kn dat je na slici ,6 M (knm) Početak tečenja armature 5743 M (knm) Početak tečenja armature 8Rφ5 N=039 kn ±Rφ0/0 8Rφ5 0 Rφ5 N=039 kn ±Rφ0/0 0 Rφ5 Pojava prslina 430 Pojava prslina κ (/m) 440 κ (/m) 0, ,00734 Slika Računski dijagram moment-krivina zida bez, i sa ojačanjima na krajevima pri ' monotonom opitu' - savijanju u jednom pravcu Realni kapacitet na savijanje iznosi, slika 3.9.a M u = 933,6 knm (>,3 M s =,3 486= 493 knm) Presek je nepotrebno prearmiran. Tačniji proračun pokazuje da potrebna armatura iznosi RØ5 (μ * = 4,5 %) M u = 4980 knm,3 M s U slučaju preseka zida Z sa ojačanjem na krajevima stubovima, nosivost preseka armiranog sa RØ5 na krajevima je, slika 3.9.b, iznosi M u = 5743,7 knm (veći krak sila), ali je i maksimalna krivina preseka maxκ= 0,00734 znatno veća nego u slučaju pravougaonog preseka sa istom armaturom, slika 3.9.b. Već kada je reč o teorijskoj vezi moment-krivina preseka zida, izgled fragmenata zidova nakon statičkog ispitivanja savijanjem u jednom pravcu prikazan je na slici Zidovi su dostigli maksimalnu nosivost na savijanje i nastupilo je razvlačenje zategnute armature, uz pojavu prslina pa i pukotina, uz naglašen uticaj transverzalnih sila. 3-

Slika 3.30 - Slika prslina pri savijanju u jednom pravcu - 'motoni opit' Slučaj na slici 3.

deformacijom konstrukcije praktično u jednom smeru, nalik monotonom statičkom opitu.

značajnih alternativnih deformacija, uz veliki broj ciklusa sa malim amplitudama pomeranja. a. b. Slika 3.

pomeranje vrha' stuba nakon opita cikličnih deformacija prikazani su na slici 3.3.a. Karakteristične su ukrštene X-prsline, uz tendenciju njihovog spajanja u veće prsline-pukotine, slika 3.

'histerezisni dijagram', karakteristična je pojava razmicanja pozitivne i negativne grane - pojava tzv. 'uštinuća' dijagrama.

141 Slika Slika prslina pri savijanju u jednom pravcu - 'motoni opit' Slučaj na slici 3.30 nije tipičan za efekte uobičajenih zemljotresa, mada je moguć, u slučaju zemljotresa sa jednim izraženim impulsom i deformacijom konstrukcije praktično u jednom smeru, nalik monotonom statičkom opitu. Mere koje zahtevaju propisi obično podrazumevaju da će zid u toku zemljotresa morati pouzdano da izdrži 5-6 ciklusa značajnih alternativnih deformacija, uz veliki broj ciklusa sa malim amplitudama pomeranja. a. b. Slika Slika prslina u uklještenu zida nakon cikličnog opita i histerezisni dijagram Slika prslina i veza 'sila u vrhu - pomeranje vrha' stuba nakon opita cikličnih deformacija prikazani su na slici 3.3.a. Karakteristične su ukrštene X-prsline, uz tendenciju njihovog spajanja u veće prsline-pukotine, slika 3.3.a. Za dijagram sila-pomeranje, tzv. 'histerezisni dijagram', karakteristična je pojava razmicanja pozitivne i negativne grane - pojava tzv. 'uštinuća' dijagrama. Nakon dostizanja maksimalne amplitude pomeranja u jednom smeru i otvaranja pratećih prslina, pri povratku u suprotnom smeru zid ima tendenciju da 'prokliza' preko ukrštenih prslina koje se još nisu zatvorile, i formirale 'pritisnutu' zonu betona. Ova 3-

pojava je izraženija kod 'zdepastih' zidova, kod kojih dominantna deformacija usled smicanja zida. a. b. c. d. e. Slika 3.

3.e. Pri malim amplitudama cikličnih deformacija zid se ponaša 'elastično', slika 3.3.c. Sa porastom amplituda deformacija, nastaje degradacija betona u zoni uklještenja praćena klizanjem zida, slika 3.

Presek u uklještenju zida Z dimenzionisan je na računske uticaje Q s = 774 knm (=S) M s = Sz= 486 knm. Pri realnoj nosivosti na savijanje M u = 93

a) i istom kraku z rezultante, pri pomeranjima usled zemljotresa, rezultanta S seizmičkog opterećenja će da bude veća, proporcionalno nosivosti na savijanje plastičnog zgloba.

142 pojava je izraženija kod 'zdepastih' zidova, kod kojih dominantna deformacija usled smicanja zida. a. b. c. d. e. Slika Ciklični opit AB zida Drugi primer opita zida pri cikličnim deformacijama prikazan je na slici 3.3. Naglašena je pojava spajanja ukrštenih prslina, slika 3.3.b, praćena 'uštinućem' histerezisne krive silarotacija, slika 3.3.e. Pri malim amplitudama cikličnih deformacija zid se ponaša 'elastično', slika 3.3.c. Sa porastom amplituda deformacija, nastaje degradacija betona u zoni uklještenja praćena klizanjem zida, slika 3.3.e. Prema konceptu programiranog ponašanja, proračunske transverzalne sile zida treba korigovati, uskladiti sa realnom nosivošću na savijanje, slika 6.- deo A. Presek u uklještenju zida Z dimenzionisan je na računske uticaje Q s = 774 knm (=S) M s = Sz= 486 knm. Pri realnoj nosivosti na savijanje M u = 933,6 knm (sl. 3.9.a) i istom kraku z rezultante, pri pomeranjima usled zemljotresa, rezultanta S seizmičkog opterećenja će da bude veća, proporcionalno nosivosti na savijanje plastičnog zgloba. Zbog efekata viših tonova oscilacija, raspodela seizmičkog opterećenja odstupa od računski pretpostavljene (trougaone) raspodele, tako da rezultanta S * može da ima manji krak z * u odnosu na uklještenje, slika Maksimalna transverzalna sila iznosi Q * = M u /z * što sve zajedno EC8 obuhvata faktorom uvećanja transverzalnih sila - ε. 3-3

143 S z * z S * H Oblast plastičnog zgloba H Oblast plastičnog zgloba M u Q max εq max Slika Računsko i 'proračunsko' opterećenje zida Slika Računski i korigovani dijagram transverzalnih sila zida ε= q Q * = εq γ Rd M u Se( Tc) + 0, q M S ( T) s e <q q= 4,0 - faktor ponašanja za zidove bez otvora γ Rd =,5 - faktor preopterećenja M u /M s = 933,6/49=,9- odnos realne i potrebne nosivosti na savijanje plastičnog zgloba T C = 0,8 s - karakteristična perioda spektra ubrzanja za pretpostavljeno tlo kategorije C, sl deo A. T = 0,8 s - računski period S e (T C )/ S e (T ) -odnos ordinata elastičnog spektra ubrzanja, izraz 6.3-A deo A.,5 ε= 4,0,9 0,,0 + 4,0 =,05< q= 4,0 Zid Z trebalo bi proveriti za uticaj maksimalne transverzalne sile Q * =,05 774= 586,7 kn (dva puta veća transv.sila od računske sile S!) Faktor uvećanja ε ne treba usvajati veći od vrednosti faktora ponašanja q, jer vrednost transverzalne sile q Q pretstavlja približno elastičan odgovor konstrukcije. Proračunska anvelopa transverzalnih sila koriguje se prema slici 3.4. Za ilustraciju, značajna oštećenja zida u zoni uklještenja - 'plastičnog zgloba' pri zemljotresu u Kobe-u (Japan) 995. godine prikazana su na slici Prekomerna oštećenja zidova pri zemljotresu u Turskoj prikazana su na slici Uočiti širinu prslina-pukotina, i čoveka koji provlači šaku kroz raspukli zid! Ovo svakako nije primer dobrog ponašanja AB Slika Oštećenja zida nakon zemljotresa 3-4

144 zida pri zemljotresu. I pored svega, zid je zadržao dovoljnu nosivost za gravitaciona opterećenja, tako da nije nastupio potpuni kolaps konstrukcije. Slika Prekomerna oštećenja zidova pri zemljotresu u Turskoj A šta je sa zahtevom Yu8 da okvire treba dimenzionisati na 5 % računskog seizmičkog opterećenja? a. Zid Z b. Slika Osnovni sistem konstrukcije: a.) samo zidovi; b.) zidovi+okviri (Program Tower - Radimpex, Beograd) U praksi, na projektantu je da proceni da li će za osnovni sistem za prijem horizontalnih uticaja da usvoji samo zidove, ili zidove i deo (ili sve) okvire, slika Ukoliko se usvoje samo zidovi, tada se u praksi po pravilu ignoriše izneti zahtev, jer je komplikovan za primenu. Okviri su obično isprepletani sa zidovima, grede se oslanjaju i na zidove itd. Ako se proceni da krutost okvira značajnije utiče na seizmički odgovor konstrukcije, tada je jednostavnije, i korektnije, u osnovni sistem na samom početku uključiti i okvire, slika 3.37.b, videti i 6.0- deo A. Ukoliko se, kao u ovom primeru, za osnovni sistem izaberu samo zidovi, tada projektant gubi informacije o uticajima zemljotresa na stubove i grede. Ovi elementi se dimenzionišu prema uticajima gravitacionih opterećenja. S obzirom da okviri moraju da prate pomeranja konstrukcije, čiji je računski iznos definisan krutošću osnovnog sistema- zidova, to detalji greda i stubova moraju da budu konstruisani sa potrebnim kapacitetom deformacija, iako je nosivost okvira određena samo na osnovu uticaja gravitacionih opterećenja. Zato EC8 zahteva da grede i stubovi koji pripadaju konstrukciji određene klase duktilnosti treba da poseduju zahtevanu duktilnost- kapacitet post- elastičnih deformacija. Kao ilustracija posledica izbora različitih osnovnih sistema za prijem uticaja zemljotresa, izvršena je analiza različitih modela, slika Proračun je izvršen metodom konačnih elemenata- program TOWER, Radimpex, Beograd. Analizirana su tri modela osnovnog sistema konstrukcije, sva tri opterećena računskim seizmičkim opterećenjem prema slici 3.8. Za debljinu tavanice usvojeno je d * = 5 cm, da bi se smanjila krutost na savijanje, koja nije obuhvaćena ručnim analizama. Nekakva tavanica je u ovom modelu ipak neophodna, kako bi se sačuvala krutost tavanice u svojoj ravni. 3-5

145 M~80 knm M~50 knm a. b. Q=33 kn M=5803 knm Slika Model zid+okviri: a.) momenti u osi ; b.) momenti u osi 4 A) Osnovni sistem- samo zidovi, slika 3.37.a Pomeranje vrha zida Z iznosi δ= 37,7 mm, što se slaže sa rezultatima približne analize, δ= 33,0 mm, str. 3.. Isto važi i za iznos M,Q, zida Z. B) Osnovni sistem- zidovi pravougaonog preseka 0/430+svi okviri, slika 3.37.b. Pomeranje vrha zida Z iznosi δ= 6,6 mm, a dijagrami uticaja prikazani su na slici Pomeranje vrha i uticaji u uklještenju zida Z, za isto spoljno opterećenje, su približno dva puta manji. Krutost okvira očigledno nije zanemarljiva. Za razliku od okvirne konstrukcije iz Primera, momenti savijanja greda okvira u osi 4 veći su u višim delovima konstrukcije, slike 3.38.a i 3.38.b. U sistemu sa zidovima, momenti greda na koti +5,60 približno su tri puta manji, zbog različitog iznosa i oblika deformacija konstrukcija. C) Osnovni sistem- zidovi sa stubovima na krajevima + svi okviri Pomeranje vrha zida Z iznosi δ= 0,3 mm Sve do sada izneto ostavlja utisak proizvoljnosti, kao da ne postoji jasan koncept projektovanja konstrukcija za uticaje zemljotresa? Elastični odgovor konstrukcije koja bi stvarno imala samo zidove (Z), odnosto realne konstrukcije sa zidovima i okvirima (Z+O) prikazan je na slici 3.39.c. S obzirom da je u oba slučaja period T praktično u granicama T T C ukupno seizmičko opterećenje S e elastičnog sistema je praktično isto, sl b. Kako je realan sistem (Z+O) približno duplo krući, pomeranja δ Z+O su približno duplo manja od pomeranja δ Z konstrukcije samo sa zidovima. Zidovi su dimenzionisani tako da pređu u plastični mehanizam pri pomeranju vrha zida Z od δ 37,7 mm, i ukupnom seizmičkom opterećenju S= 805,5 kn, linija na slici 3.39.c. Pri kom će pomeranju δ y *, i ukupnom opterećenju S y * realna konstrukcija zidova i okvira (Z+O) preći u mehanizam, zavisi od nosivosti potencijalnih plastičnih zglobova okvira, linija na sl c. U svakom slučaju, može se očekivati da realna pomeranja δ Z+O pri zemljotresu budu manja, pa samim tim i zahtevi za potrebnom duktilnošću zidova. Usvojena računska nosivost zidova praktično predstavlja željeni nivo opterećenja (i pomeranja) pri kome će početi formiranje mehanizma, dok bi se potpun mehanizam ukupne konstrukcije 3-6

146 ostvario pri daljem prirastu pomeranja, kada i svi okviri pređu u plastični mehanizam. Do toga uopšte i ne mora da dođe. +9,60 δ S S (kn) S e 0,00 A B C D S e (T) a. S * y Z+O Z O αβ 0 W Z+O αw Z b. S= 805,5 c. T =0,8 T (s) δ * y δ (mm) T B =0,5 T C =0,80 6,6 37,7 δ Z+O δ Z Slika Odgovor konstrukcije na zemljotres: a.) ukupno seizmičko opterećenje S i pomeranje vrha δ; b.) elastična spektralna kriva prema EC8; c.) ukupno opterećenje-pomeranje vrha zida Z-samo zidovi; O-samo okviri; Z+O-zidovi i okviri U ovom slučaju, bilo bi racionalno uključiti i okvire u osnovni sistem, kako zbog potrebne armature, tako i zbog realnije ocene pomeranja. 3-7

147 PRIMER 4 U prethodnom izdanju ovaj primer nije bio uključen u sadržaj, papiri pisani rukom deljeni su studentima na času. Naime, industrijske hale trebalo je da su obrađene na prethodnom kursu betona, da su studentima poznati svi pojmovi, tako da se u okviru ovoga kursa samo preciziraju neki pojmovi u vezi zemljotresa. Na žalost, te godine je zbog bombardovanja nastava bila prekinuta, tako da su studenti ostali uskraćeni za osnovne pojmove u vezi hala. U takvoj situaciji, studentima je pripremljeno desetak strana osnovnih pojmova o halama, sa uputstvima za izradu zadatka na ispitu. Pripremajući kompletno 'elektronsko izdanje' skripti, prva ideja je bila da se i jedna hala uradi kao kompletan brojni primer. Međutim, u želji da se studentima pruži što više raznovrsnih informacija, zadržan je originalni koncept, pa su različiti problemi i primeri hala izloženi kroz 'priču'. Primer započinje postavkom jednog jednostavnog ispitnog zadatka, ali se potom priča odvija svojim tokom. Iako nemaju brojni primer, studenti imaju sve potrebne informacije potrebne za razumevanje materije i uspešnu izradu godišnjeg zadatka kao i polaganje pismenog dela ispita, to potvrđuje i iskustvo iz proteklih pet godina. Naravno da je prvobitni tekst ovom prilikom proširen, a delom i izmenjen. Konstrukcije hala su detaljnije objašnjene, neki pojmovi su preciznije formulisani, i dosledno je krutost stubova i okvira opisana krutošću na pomeranje, umesto sa krutošću preseka na savijanje EI, na šta se problem svodi u posebnim slučajevima. Detalji i pravila armiranja ovom prilikom nisu posebno prikazani, studenti se upućuju na Primere i gde mogu da nađu odgovarajuća uputstva i primere armiranja stubova i greda. 4-

148 PRIMER 4 Za AB okvirnu konstrukciju industrijske hale potrebno je uraditi idejno rešenje konstrukcije objekta, prema sledećim podacima: - čista visina hale, od poda do donje ivice konstrukcije krova - H 0 =,0 m; - da bi se omogućilo naknadno produžavanje hale, kalkani su nezavisne čelične konstrukcije postavljene uz krajnje poprečne okvire, u vrhu bočno pridržane AB konstrukcijom krova; - u ravni podužnih okvira, hala je zatvorena horizontalnim fasadnim panelima koji se kače za stubove Kalkan Podužni okvir Poprečni okviri Kalkan POS (krov) S (stub) POS (glavni nosač) B=5,0 m L=7λ=7x5,0=35,0 m Slika 4. - Dispozicija hale - osnova Za proračun usvojiti sledeće podatke: - težina izolacije krova q i =,50 kn/m - težina fasadnih panela q f =,0 kn/m - sneg s=,00 kn/m - vetar, osnovno dejstvo w 0 = 0,70 kn/m - zemljotres: VIII zona tlo I kategorije Plitko fundiranje: dopušteni napon σ 0 = 0,3 MPa za osnovna opterećenja odnosno, σ z = 0,4 MPa u slučaju zemljotresa..- Usvojiti rešenje konstrukcije i skicirati dispoziciju sa pretpostavljenim dimenzijama elemenata..- Izvršiti potrebne proračune i dimenzionisati stub POS S. 3.- Odrediti potrebne dimenzije temelja stuba POS S. 4.- Skicirati plan armature stuba POS S. 4. KONCEPT KONSTRUKCIJE I ANALIZE Idejnim rešenjem treba definisati dispoziciju konstrukcije objekta: konstrukcijski materijal (u ovom slučaju beton); prostorni koncept konstrukcije koji treba da obezbedi pouzdan i jasan prijem vertikalnih i horizontalnih opterećenja-prostornu stabilnost; veze pojedinih elemenata kao i način građenja (montaža, izrada livenjem na licu mesta), iz čega proističe statički sistem elemenata, kao i konstrukcije u celini. U zadatku je definisan položaj stubova, njihov osovinski razmak u poprečnom (B) i podužnom pravcu (λ), kao i čista visina unutar hale - rastojanje od poda do najniže donje kote 4-

149 konstrukcije - H 0, slika 4.. Korisnik objekta ili projektant tehnologije hale propisuje potrebne gabarite, B 0 H 0 ili B H 0. Od svih mogućih konstrukcijsih rešenja, na ispitu se treba odlučiti za ono koje je korektno, i koje se može rešiti u datom vremenu. U konkretnom slučaju, kao globalni concept konstrukcije usvojen je sistem horizontalne konstrukcije krova (krov može da ima nagib gornje konture zbog odvodnjavanja, pri čemu se nagib usvaja prema karakteristikama odvodnjavanja izabranog krovnog pokrivača) oslonjene na vertikalne stubove - za prenos vertikalnih opterećenja, kao i grupe poprečnih i podužnih okvira - za prijem horizontalnih opterećenja, slike 4. i 4..b. d s KP B B 0 d H p 0 d k ds d s d f POS FG POS S d p H 0 H 0 POS B ~KP-dp a. b. H=H 0 +d p + H Konstrukcija krova i poprečnih okvira Slika 4. - Gabarit hale (a), i poprečni okvir hale (b) Poželjno je da je konstrukcija krova kruta u svojoj ravni, da bi se uticaji vetra i zemljotresa raspodelili na sve stubove, kao i da bi se izbeglo 'gužvanje' konstrukcije krova u svojoj ravni i lom oslonačkih veza elemenata, slika 4.3.a. U ovom primeru, kao i kursu u celini, podrazumeva se da je na odgovarajući način obezbeđena krutost konstrukcije krova u svojoj ravni. U obzir dolaze sva poznata rešenja - montažna, livena na licu mesta ili mešovita. Da bi se obezbedila krutost krova, rešenja sa rožnjačama obično zahtevaju postavljanje spregova u ravni krova (zavisi od krovnog pokrivača), slika 4.3.b. δ B B L a. L b. Slika Fleksibilan (a), i ukrućen krov u svojoj ravni (b) 4-3

150 POS d d POS a POS a POS a POS POS d POS d POS d POS IG POS FG POS IG POS FG POS IG POS FG POS IG POS FG d s POS S H 0 d s POS S H 0 d s POS S H 0 d s POS S H 0 d p a. b. c. d. d p d p d p Slika Varijante glavnih nosača POS - 'rigli' poprečnog ovira: a.) monolitna konstrukcija ploče sa gredama; b.) rešetka, rožnjače i krovni pokrivač;c.) prethodno napregnuti nosač, rožnjače i krovni pokrivač; d.) dvopojasni nosač, rožnjače i krovni pokrivač Pri izboru konstrukcije krova i poprečnog okvira, na ispitu je najracionalnije pretpostaviti da je glavni nosač krova POS greda - 'rigla' zglobno vezana sa stubovima, slika 4.4. Poprečni okvir formiraju dva konzolna stuba i glavni nosač POS. Poprečni okviri u praksi mogu da budu i ramovske konstrukcije, sa krutim vezama stubova i greda, ali ovi sistemi zahtevaju više vremena za analizu, i zbog toga se ne preporučuju za usvajanje na ispitu. U ravni upravnoj na poprečni okvir, vrhovi stubova obično se povezani fasadnom gredom - POS FG na slici 4.4. Da bi se zatvorila hala, obezbedila bočna stabilnost glavnih nosača POS i oformio oluk za odvodnjavanje, u ovom primeru postavljena je i ivična greda - POS IG na slici 4.4, koja je deo konstrukcije krova, i nije vezana za stubove hale. U idejnom rešenju na ispitu je dovoljno da se usvoji konstrukcijsko rešenje i računom odredi potrebna visina rožnjače ili debljina ploče (d na sl. 4.4.a), odnosno visina glavnog nosača d i dimenzije gornjeg i donjeg pojasa, u slučaju rešetkastih nosača. Proračun u preseku maxm je dovoljan. Cilj analiza je procena dimenzija nosača, kako bi se definisala njihova težina potrebna za analizu uticaja zemljotresa. Rešenjem konstrukcije krova definisano je gravitaciono opterećenje stubova, kao i glavni deo mase konstrukcije. Pored toga, utvrđena je i visina stubova - H, odnosno statičke dimenzije poprečnog okvira B H na slici 4..b, koji prihvataju sva horizontalna opterećenja koja deluju u ravni poprečnih okvira. 4.. Podužni okviri Horizontalna dejstva upravna na poprečne okvire prihvataju se konstrukcijom podužnih okvira, slika 4. i 4.5. U praksi, podužni okviri koji su ujedno i fasada - 'fasadni podužni okviri' mogu da se izvedu na različite načine, slika 4.5.a. Stubovi poprečnih okvira ujedno su i stubovi podužnih okvira. Da bi se problem pojednostavio, u ovom kursu se pretpostavlja da su stubovi podužnih okvira povezani gredama samo u vrhu - POS FG na slici 4.4 i 4.4, a da je zatvaranje fasada izvršeno montažnim 'fasadnim panelima' postavljenim horizontalno, slika 4.5.b, ili vertikalno, slika 4.5.c. Ukoliko se paneli postavljaju horizontalno, bočnim vezivanjem za stubove, tada se sopstvena težina panela g p (kn/m ) prenosi kontinualno na stubove, slika 4.5.b. Linijsko opterećenje stuba po visini od težine panela iznosi g 0 = g p λ. Ukoliko 4-4

151 se paneli postavljaju vertikalno, u jednom komadu, tada se težina panela prenosi na temeljnu gredu POS TG, slika 4.5.c G,P POS FG POS FG V,S g 0 g p g p POS TG g 0 λ λ λ λ λ λ a. b. c. λ λ λ Slika Elementi konstrukcije podužnih okvira Iako se paneli obično postavljaju ispred stubova, kao na slici 4.5.b, na ispitu se može pretpostaviti da su paneli centrisani u osama stubova - ne unose momente u stubove. Moguća su rešenja i sa oslanjanjem horizontalnih panela na temeljnu gredu - paneli leže jedan na V,S b s G,P λ λ POS FG λ V,S b s G,P a. λ λ λ b. drugom i bočno su pridržani stubovima da se spreči preturanje. Proizvođač panela definiše potrebne veze, koje projektant konstrukcije treba da obezbedi i statički interpretira. Statički sistem podužnih okvira definisan je usvojenim vezama stubova i temelja, odnosno stubova i fasadnih greda. Pretpostavlja se da su paneli fleksibilno vezani za konstrukciju i da ne u ukrućuju podužne okvire. U ovome primeru i kursu usvojeno je da su stubovi kruto vezani - uklješteni u temelje. Ukoliko je veza fasadnih greda i stubova zglobna (slučaj montažnih fasadnih greda, slika 4.6), statički sistem podužnog okvira je niz konzolnih stubova u vrhu aksijalno povezanih gredama koje obezbeđuju jednaka pomeranja δ vrhova svih stubova, slika 4.6.b. Dužina izvijanja stubova u ravni podužnog okvira iznosi H. Ukoliko je veza fasadnih greda i stubova kruta, slika 4.7, statički sistem podužnog okvira je pomerljiv ramovski sistem. U slučaju da je krutost fasadne grede znatno veća od krutosti stubova (krutost je funkcija momenta inercije preseka ali i raspona elementa), tada su vrhovi stubova praktično uklješteni u 'beskonačno krutu' pomerljivu fasadnu gredu, slika 4.7.b. Dužina izvijanja stubova u ravni podužnog okvira isnosi H. Dva navedena primera su ekstremi, zgodni za analizu u idejnim rešenjima i na ispitu. U raealnosti, moguća su sva rešenja između ova dva - sa 'fleksibilnim vezama'. δ H Slika Podužni okvir sa montažnim fasadnim gredama u vrhu V,S b s G,P λ λ POS FG d g λ V,S G,P H i a. λ λ λ b. Slika Podužni okvir sa monolitnim krutim fasadnim gredama u vrhu b s δ 4-5

152 4..3 Kalkani Kalkanima se obično nazivaju konstrukcije koje zatvaraju čela hale. Izbor materijala i konstrukcije kalkana zavisi i od uslova eksploatacije objekta. Ako se hala gradi u svom definitivnom obimu, tada se kalkani obično formiraju kao složene ramovske konstrukcije sa međustubovima i završnom fasadnom riglom, koja zamenjuje glavni poprečni nosač POS. 4 Izolacija Krovni pokrivač Rožnjače Kalkan 6 3 Temelj kalkana 5 λ λ λ l a. b. l l Slika Konstrukcija demontažnog, privremenog kalkana: - kalkan; - bočna veza kalkana i krova; 3 - glavni nosač poprečnog okvira; 4 - krovni pokrivač sa rožnjačama; 5 - stub; 6 - fasadna greda Ukoliko se predviđa naknadno produženje hale, obično se hala završava uobičajenim poprečnim okvirom, koji treba jednoga dana da primi dodatak opterećenja usled produžavanja konstrukcije. U tom slučaju kalkani se izvode kao privremene, demontažne konstrukcije, i mogu da se postave ispred završnog poprečnog okvira, slika 4.8. Konstrukcija kalkana sama nosi svoju težini, oslonjena na nezavisne temelje kalkana, slika 4.8.a. Da bi se sprečilo preturanje, konstrukcija kalkana se u vrhu bočno vezuje za krutu konstrukciju krova hale, detalj na slici 4.8.a, pri čemu se obično formira vertikalna dilatacija, da bi se sprečilo naslanjanje konstrukcije krova na kalkana pri dejstvu snega, na primer. Ako se kalkan bočno oslanja na nedovoljno krutu konstrukciju krova, tada treba postaviti spreg u prvom polju hale, ili obezbediti poseban spreg kalkanskoj konstrukciji oslonjen bočno na podužne okvire, itd. U stvarnosti, konstrukcije kalkana se posebno analiziraju, od slučaja do slučaja. Kruta konstrukcija kalkana u svojoj ravni može da proizvede efekat zida - 'šajbne' na krajevima hale, sa tendencijom da sva horizontalna opterećenja u pravcu poprečnog okvira gravitiraju ka kalkanima kao najkrućim elementima u tom pravcu. Jednostavnosti radi, u ovom primeru (preporuka i za ispit) usvojeno je da je konstrukcija kalkana nezavisna - 'samostojeća', i da ne utiče na ponašanje glavne konstrukcije hale pri gravitacionim i horizontalnim opterećenjima. Uloga kalkana je samo da prihvati dejstvo vetra i da ga prenese na glavnu konstrukciju hale Procena dimenzija stubova bs /ds Na dimenzije preseka stubova utiču: normalna sila od gravitacionih opterećenja (poznata, prethodno određena); vitkost stuba (poznata je dužina izvijanja l 0 = H u ravni poprečnog okvira, tj. l 0 = H, odnosno l 0 = H u ravni podužnih okvira, slika 4.6 odnosno 4.7); momenti savijanja usled dejstva vetra (poznati, jer zavise od gabarita objekta), ili momenti savijanja usled dejstva zemljotresa (nepoznati, jer zavise od krutosti stubova čije dimenzije za sada ne 4-6

153 znamo). Pored toga, ne zna se unapred da li je za određivanje dimenzija stubova merodavan slučaj opterećenja usled vetra ili zemljotresa. U principu problem se rešava u iteracijama. Iako je dozvoljena vitkost stubova λ 5, na ispitu se dozvoljava, i preporučuje, da se pretpostave dimenzije preseka stuba tako da vitkost iznosi λ 75, da bi mogli da se primene jednostavni dokazi efekata drugoga reda - metoda dopunske ekscentričnosti prema BAB-u. Da bi stub poznate dužine izvijanja l 0 imao traženu vitkost λ, potrebna dimenzija stuba b u ravni izvijanja iznosi b=l 0 /λ. Na žalost, te dimenzije ne moraju da budu dovoljne i za obezbeđenje nosivosti pri vetru odnosno zemljotresu, ali su obično dobra pretpostavka za polaz. Voditi računa da se efekti drugoga reda proveravaju samo za dejstva gravitacionih opterećenja i vetra, ali ne i u slučaju zemljotresa. Ovi efekti postoje i pri pomeranjima usled zemljotresa, ali algoritam propisa Yu8 ne daje potrebna rešenja za određivanje pomeranja i efekata drugoga reda u slučaju zemljotresa. Budući da po Yu8 stubovi moraju da zadovolje uslov duktilnosti P/(0,7β k F) 0,35 F min = b s d s P/(0,7β k 0,35) gde je: P - aksijalna sila usled gravitacionog opterećenja pri zemljotresu; β k - marka betona, to su i minimalne dimenzije preseka stuba limitirane, i treba ih unapred proveriti, pre prelaska na analizu uticaja vetra i zemljotresa. Ako se usvoji da su stubovi konzolni i u ravni podužnog okvira, slika 4.6, tada bi praktično ista vitkost sugerisala izbor kvadratnog preseka stuba, pa bi pri istim krutostima stubova seizmičko opterećenje u oba pravca bilo isto. To se obično ne radi, jer se u ravni podužnih okvira stubovi uvek mogu ukrutiti fasadnom gredom, a i uticaji vetra su izraženiji u poprečnom pravcu, jer je veća izložena površina. Prema tome, pravougaoni presek je bolje rešenje, u kom slučaju se, na ispitu, preporučuje dispozicija podužnog okvira prema sl. 4.7, sa krutom fasadnom riglom POS FG. Lako se rešava, i koliko-toliko simulira povećanu krutost podužnih okvira. Uslov vitkosti λ 75 primenjen na obe ravni izvijanja u tom slučaju daje d s = b s. 4. PRORAČUN UTICAJA USLED ZEMLJOTRESA S obzirom da su krutost konstrukcije i raspored masa dvoosno simetrični u osnovi, centar mase CK i centar krutosti CK se poklapaju - prema Yu8 nema torzionih uticaja usled dejstva zemljotresa, slika 4.9. Y S x CM CK B B POS FG POS H/ m y S y A X Fasadni paneli d s POS S k y H L Slika Poklapanje centra mase CM i centra krutosti CK u slučaju simetrične konstrukcije hale A Slika Računska masa m y konstrukcije i dinamički model u ravni poprečnog okvira B a. b. U opštem slučaju, pomeranja bilo koje tačke krute konstrukcije krova u svojoj ravni mogu da se opišu sa tri parametra, dve translacije i rotacija - sistem ima tri stepena slobode 4-7

154 kretanja. S obzirom da nema efekata rotacije, uticaji zemljotresa mogu da se analiziraju kao dva vremenski nezavisna slučaja: translacija u podužnom X-pravcu, odnosno translacija u poprečnom Y-pravcu. Za određivanje pomeranja i naprezanja stubova u slučaju zemljotresa u poprečnom Y-pravcu, približan dinamički model je konzola sa ukupnom masom m y koncentrisanom u vrhu konstrukcije, sa ukupnom, zbirnom krutošću na pomeranje k y u Y-pravcu, slika 4.0. Svaka 'čestica' mase osciluje pri zemljotresu, pa tako i masa fasadnih panela osciluje zajedno sa kontinualnom masom stubova. Za ocenu pomeranja i naprezanja stubova, dovoljno je tačno da se masa fasada i stubova sa gornje polovine visine objekta H/ pripiše dominantnoj masi krova na visini H, slika 4.0. m x ~H/ b s k x ~H λ 8 a. b. Slika 4. - Računska masa m x konstrukcije i dinamički model u ravni podužnog okvira Analogno, za određivanje pomeranja i naprezanja stubova u slučaju zemljotresa u podužnom X-pravcu, približan dinamički model je konzola sa ukupnom masom m x koncentrisanom u vrhu konstrukcije, sa ukupnom, zbirnom krutošću na pomeranje k x u X-pravcu, slika 4.. Krutost sistema u X/Y pravcu obično nije ista kx ky, pa će se i ukupno seizmičko opterećenje u ova dva pravca razlikovati. Za oba događaja masa je ista, m x =m y =m, ali se relativnim pomeranjima ukupne mase pri zemljotresu u poprečnom Y-pravcu suprotstavlja n= 8 poprečnih okvira, a pri zemljotresu u podužnom X-pravcu pomeranjima se suprotstavljaju n= podužna okvira u osama A i B. Odgovarajući period oscilovanja može da se sračuna preko poznatih izraza: T = π m k ; T = π mδ ; T d gde su: m-masa; k-krutost na pomeranje; δ-pomeranje usled jedinične sile ('fleksibilnost konstrukcije'); d-pomeranje (u metrima) usled težine g m usmerene horizontalno. Poslednja dva izraza su opštija i pogodnija za proračun. Uočiti da treći izraz u slučaju konzolne konstrukcije daje: T = d = gde je g= 9,8 m/s 4.. Poprečni, Sy - zemljotres: QH 3 mgh EI = EI g = 3,3 π = g H m 3 EI 3 π Ukupno seizmičko opterećenje S y u Y- pravcu iznosi S y = = k 0 k s k p k d Q gde su: Q ukupna računska težina (=m g) k 0 =,0 koeficijent kategorije objekta, objekat II kategorije k p =,0 T <,0 s (koeficijent duktilnosti, član 7 Yu8) =,6 T,0 s mδ 4-8

155 k s = 0,05 k d = 0,5/T,00 0,33 koeficijent seuzmičnosti, VII zona Napomena: Ukoliko je zadatkom zadato ubrzanje tla a g na osnovnoj steni sa povratnim periodom 500 godina, tada je: k s ~ 0,5a g /g koeficijent dinamičnosti, tlo I kategorije Y b s δ y B P= δ m y = m d s CM CK m B H k y S y A X L a. b. Slika 4. - Proračun efekata zemljotresa u poprečnom Y-pravcu Od parametara koji definišu ukupno seizmičko opterećenje S y, svi su jedonoznačno definisani propisima za date uslove zadatka, osim vrednosti koeficijenta dinamičnosti k d, koji je funkcija nepoznate vrednosti perioda oscilovanja u prvom tonu T. Vrednost perioda oscilovanja T može da se odredi na osnovu poznate ukupne mase m y =m i ukupne, zbirne krutosti k y konstrukcije na pomeranje u Y-pravcu. S obzirom da su svi stubovi (ukupno n=6 stubova) istog, konzolnog sistema, to je pomeranje bilo kog stuba i, sa momentom inercije preseka I i =b s d 3 s / i visine H i, usled delovanja jedinične sile u vrhu P=, jednako δ i = H 3 i /3EI i Prethodni izraz definiše 'matricu fleksibilnosti', dok je krutost konzolnog stuba i na pomeranje jednaka 3 k iy = / δ i = 3EI i / H i Krutost ukupne konstrukcije na pomeranje jednaka je sumi krutosti svih pojedinačnih stubova k y = 6 i= pa je period oscilovanja u prvom tonu T = π k iy m k y, gde je m ukupna masa. U opštem slučaju, pomeranje δ vrha konstrukcije konzolnih stubova sa ukupnom krutošću k y usled dejstva jedinične sile P= u vrhu iznosi δ = / ky = = 6 6 3EI k H iy i 3 i 4-9

156 U konkretnom slučaju, svi stubovi su istih visina H, i istih momenata inercije preseka I, pa je odnosno, T = π mδ,gde je m ukupna masa. Sa sračunatom vrednošću perioda oscilovanja T određuje se vrednost koeficijenta dinamičnosti k d, odnosno vrednost ukupnog seizmičkog opterećenja S y. Generalno, pri istim pomeranjima δ y vrhova stubova, raspodela poznate horizontalne sile S y na pojedine stubove vrši se srazmerno njihovim krutostima na pomeranje k iy. Svaki stub i prima deo sile S iy S iy = S y k iy / k y U slučaju stubova istog sistema-konzola, istih visina i istih poprečnih preseka, odnos krutosti na pomeranje se svodi na odnos momenata inercije poprečnih preseka, pa je S iy = S y I i / 6 i= U konkretnom slučaju, S iy = S y /6, ukupna sila se ravnomerno deli na ukupno 6 stubova. Prema Pravilniku Yu8, potrebno je proveriti i 'pomeranja' vrha konstrukcije pri zemljotresu, usled dejstva računske sile S y : δ y = S y δ=s y H 3 /(3EI Ii ) H/600? Potrebno je da su računska pomeranja vrha manja od H/600. Ukoliko je δ y >H/600, na ispitu ne treba korigovati proračun povećanjem krutosti elemenata, dovoljno je to konstatovati. U slučaju industrijskih hala, obično se dozvoljavaju veća pomeranja, zavisno od opreme i konstrukcije fasada. 4.. Podužni, Sx - zemljotres: 3 H δ = / ky = = = 6 6 3EI 6 3EI k H iy Ako je krutost fasadnih panela i njihovih veza sa stubovima zanemarljiva, pomeranjima u X-pravcu opire se opet svih 6 stubova, ali organizivanih u dva podužna okvira, slika 4.3. Masa sistema je ista kao za Y-pravac, ali krutost sistema nije ista: razlikuje se moment inercije preseka stuba oko druge ose, i razlikuju se konturni uslovi krajeva stuba - usvojeno je da su vrhovi stubova kruto vezani za 'beskonačno krutu' fasadnu gredu. Zbog različite krutosti, razlikovaće se i računsko seizmičko opterećenje S x u X-pravcu. I i 6 i= i 3 i Y b s B S x / m/ δ x d s CM CK δ x S x m A B X I s I s I s3 I s8 λ b s H L a. b. Slika Proračun efekata zemljotresa u podužnom X-pravcu 4-0

157 S obzirom da su svi stubovi (ukupno n=6 stubova) istog sistema (pomerljiva, obostrano uklještena greda), to je pomeranje bilo kog stuba i, sa momentom inercije preseka I i =d s b 3 s / i visine H i, usled delovanja jedinične sile u vrhu P=, jednako δ i = H 3 i /EI i Prethodni izraz definiše 'matricu fleksibilnosti', dok je krutost stuba i na pomeranje jednaka 3 k ix = / δ i = EI i / H i Obostrano uklješten stub je četri puta krući od konzolnog stuba. Krutost ukupne konstrukcije na pomeranje jednaka je sumi krutosti svih pojedinačnih stubova k x = 6 i= pa je period oscilovanja u prvom tonu T = π k ix m, gde je m ukupna masa. k U opštem slučaju, pomeranje δ vrha konstrukcije obostrano uklještenih stubova sa ukupnom krutošću k usled dejstva jedinične sile P= u vrhu iznosi δ = / kx = = 6 6 EI k H U konkretnom slučaju, svi stubovi su istih visina H, i istih momenata inercije preseka I, pa je ix odnosno, T = π mδ, gde je m ukupna masa. Sa poznatom vrednošću perioda oscilovanja T, potrebno je odrediti odgovarajuću vrednost koeficijenta dinamičnosti k d, i računskog seizmičkog opterećenja S x za X-pravac dejstva zemljotresa. Pri istim pomeranjima δ x vrhova stubova, raspodela poznate horizontalne sile S x na pojedine stubove vrši se srazmerno njihovim krutostima na pomeranje k ix. Svaki stub i prima deo sile S ix S ix = S x k ix / k x U slučaju stubova istih konturnih uslova, istih visina i istih poprečnih preseka, odnos krutosti na pomeranje se svodi na odnos momenata inercije poprečnih preseka, pa je S ix = S x I i / 6 x ix i= U konkretnom slučaju, S ix = S x /6, ukupna sila se ravnomerno deli na ukupno 6 stubova. Prema Pravilniku Yu8, potrebno je proveriti i 'pomeranja' vrha konstrukcije pri zemljotresu, usled dejstva računske sile S x : δ x = S x δ=s x H 3 /(EI Ii ) H/600? U prethodnoj analizi, krutost sistema određena je kao za Y-pravac, na bazi pojedinačnih krutosti stubova. Ako se konstrukcija posmatra kao dva podužna okvira istih krutosti, tada svakom podužnom okviru pripada pola mase m/, odnosno polovina ukupne seizmičke sile - S x /. Period oscilovanja jednog podužnog okvira iznosi T = π mxδ (isti je i za drugi okvir, naravno), gde je m x = m/ (m= Q/g- ukupna masa objekta). Na osnovu prethodno prikazanih I i 6 i= i 3 i i 3 i 3 H δ = / kx = = = 6 6 EI 6 EI k H 4-

158 H S i δ M=S i H / opštijih izraza, pomeranje jednog okvira koga čini osam identičnih stubova usled jedinične sile u vrhu iznosi gde je δ= H 3 /(E Ii ) 8 i= 8 Ii =8I s, u ovom slučaju. i= Usled sile S i na jednom stubu, uticaji u stubu prikazani su na slici 4.4. U principu, u stubovima podužnog okvira pojavljuju se i aksijalne sile usled zemljotresa, koje su u srednjem delu podužnok okvira u ovom primeru zanemarene. 4.3 PRORAČUN UTICAJA VETRA M=S i H / Slika Statika podužnog okvira Q=S i Kao i u Primeru 3, deo 3., u ovom kursu se za potrebe izrade idejnog rešenja konstrukcije hale koriste jednostavni stavovi starih propisa za vetar. Opterećenje vetrom definisano je tzv. 'osnovnim dejstvom - w 0 ', slika 4.5, koje je definisano za teritoriju države, slično seizmičkoj rejonizaciji. U zadatku je data vrednost osnovnog dejstva vetra - w 0 = 0,7 kn/m. Pritisak w 0 Sisanje w + = 0,8w 0 Objekat-podužni presek w - = 0,4w 0 H w + = 0,8w 0 w - = 0,4w 0 B L a. L b. Slika Dejstvo vetra na objekat, prema starim propisima Pritisak na direktno izloženu površinu iznosi w + = 0,8w 0 = 0,8 0,7= 0,56 kn/m Podpritisak, ili sišuće dejstvo na naspramnu površinu iznosi, slika 4.5. w - = 0,4w 0 = 0,4 0,7= 0,8 kn/m POS FG POS αw 0 λ 0,8w 0 λ POS FG POS S 0,4w 0 λ H S B λ λ λ 4 a. b. Slika Dejstvo vetra na horizontalne fasadne panele podu žnog okvira 4-

159 Osim intenziteta vetra, opterećenje elemenata konstrukcije zavisi i od načina prenosa sila vetra sa fasade na konstrukciju. U slučaju horizontalnih fasadnih panela podužnog okvira, sile vetra se sa panela prenose direktno na stubove, kao podeljeno opterećenje po visini stuba, slika 4.6. POS FG αw 0 Η/ POS 0,8w 0 λη/ POS FG 0,4w 0 λη/ H S POS S H POS TG αw 0 Η/ λ λ λ a. B 0,8w 0 λη/ Slika Dejstvo vetra na vertikalne fasadne panele podužnog okvira 0,4w 0 λη/ b. 0,8w 0 R w + λ λ Slika Dejstvo vetra na kalkan U slučaju vertikalnih fasadnih panela podužnog okvira, stubovi nisu direktno izloženi vetru, čije se reakcije prenose delom u ravan krova, a delom u nivo temelja, slika 4.7. Svaki poprečni okvir prihvata deo vetra iz ravni krova na dužini λ, slika 4.7.b. U ovome primeru usvojeno je da je konstrukcija kalkana takva da se dejstvo vetra na konstrukciju hale prenosi kao i u slučaju vertikalnih panela, delom na temelje kalkana a delom u ravan krova, slika 4.8 i 4.9. Konstrukcija kalkana opterećenje vetra predaje krutoj krovnoj ravni na rasponu B, da bi se potom sile vetra iz ravni krova unele u podužne okvire, i preko njih u temelje. Isti mehanizam prenosa važi kako za pritiskujuće dejstvo vetra, tako i za 'sišuće' Uticaji vetara u podužnom, X- pravcu S obzirom na simetriju, po pola reakcije vetra sa kalkana prihata svaki od podužnih okvira A odnosno B, slika 4.9. Y Okvir B P w / B P w / R + w Okvir A P w / L R w - a. X A B I s I s I s3 I s8 λ b s H b. Slika Dejstvo vetra u podužnom X-pravcu 4-3

160 Uz pretpostavku da su stubovi kalkana uklješteni u svoje temelje, i zglobno oslonjeni na krov, reakcije kalkana u ravni krova iznose: R w + 3w + H/8= 3 0,8w 0 H/8 (= 0,30w 0 H kn/m ) R w - 3w - H/8 = 3 0,4w 0 H/8 (= 0,5w 0 H kn/m ) Rezultanta vetra na ceo krov iznosi P w = (R w + + R w - )B= (3/8)(0,8+0,4)w 0 HB (kn) Uticaji u stubovima određuju se kao i u slučaju zemljotresa (P w S x ), razmatrajući konstrukciju sastavljenu od 6 pojedinačnih stubova, ili kao slučaj dva podužna okvira. U odnosu na zemljotres, razlika je samo u poreklu opterećenja, na dalje se statički proračun zasniva na istim principima Uticaji vetra u poprečnom, Y- pravcu Za analizu je jednostavniji slučaj zatvaranja fasade vertikalnim panelima, prema slici 4.7. U ovome primeru usvojeno je da opterećenje usled vetra horizontalni paneli prenose na glavne stubove poprečnih okvira, sa pripadajuće širine λ q w ± = w ± λ, prema slici 4.6. Y 0,4w 0 0,8w L Slika Dejstvo vetra u poprečnom Y-pravcu B Uticaji u stubovima od vetra u poprečnom pravcu, slika 4.0, posledica su dva stanja: direktnog dejstva vetra na stub sa pripadajuće širine λ, slika 4..b, i uticaja usled pomeranja vrhova stubova zbog pomeranja krova kao krute ploče, slika 4..c. U terminima 'metode deformacija', direktni uticaji vetra na stub dobijaju se analizom 'nepomerljivog sistema', kome je privremeno dodat horizontalni oslonac u ravni krova, slika 4..b. U ovom koraku treba odrediti momente i transverzalne sile stuba-grede uklještene u temelj, i zglobno oslonjene o ravan nepomerljivog krova. Moment u uklještenju stuba u osi A, izloženog pritiskujućem dejstvu vetra iznosi M sw =(0,8w 0 λ)h /8 slika 4..a, dok je reakcija stuba u ravni krova R w = 3(0,8w 0 λ)h/8 B A X EF R w P w =ΣR w 0,8w 0 ΣI Α ΣI Β = B H 0,4w 0 0,8w 0 λ 0,4w 0 λ + ΣI Α ΣI Β A B a. A B b. c. Slika 4. - Određivanje uticaja od vetra u stubovima poprečnog okvira: a.)dispozicija; b.) lokalno dejstvo vetra na jedan okvir; c.) sumarno dejstvo vetra u ravni krova na konstrukciju u celini A B 4-4

161 Momenti, odnosno reakcije naspramnog stuba u osi B, usled 'sišućeg' dejstva vetra iznose 50% uticaja u osi A. Ukupna reakcija oba stuba jednog poprečnog okvira u ravni nepomerljivog krova iznosi R w = 3(0,8+ 0,4)w 0 λh/8. Da je konstrukcija krova stvarno nepomerljiva, horizontalno pridržana krutim kalkanima, na primer, to bi bili i jedini efekti vetra na stubove poprečnog okvira. Pošto nagomilanu ukupnu reakciju ΣR w svih poprečnih okvira u ravni krova nema ko da prihvati, krov će da se pomeri za iznos 'deformacijski nepoznate veličine-horizontalnog pomeranja δ ', i da se oslobodi neuravnotežene reakcije ΣR w. w I s + H wi I s M sw M sw Slika 4. - Komponenete savijanja stuba direktno izloženog vetru Do istog rezultata se dolazi ako se zamisli da oslonac u ravni krova stvarno postoji, ali je privremen. Kada se taj oslonac ukloni, akumulirana ukupna reakcija P w = ΣR w mora da se preraspodeli na sve stubove poprečnih okvira, slika 4..c. Zadatak se rešava kao i u slučaju preraspodele seizmičkog opterećenja - srazmerno krutostima stubova, deo 4... Na jedan stub deluje dodatna sila vetra usled pomeranja H wi = P w k iy / k y U slučaju stubova istog sistema-konzola, istih visina i istih poprečnih preseka, odnos krutosti na pomeranje se svodi na odnos momenata inercije poprečnih preseka, pa je H wi = P w I i / Moment savijanja u uklještenju stuba u osi A iznosi M sw =H wi H, slika 4..b. Ukupni uticaji u stubu direktno izloženom vetru dobijaju se superpozicijom lokalnog dejstva vetra direktno na stub, i uticaja usled pomeranja krova, M sw =M sw +M sw. Izloženi algoritam je samo predlog kako da se problem reši 'peške'. Problem je jasan, sva poznata i priznata rešenja dolaze u obzir. 6 i= I i = P 4.4 MERODAVNA KOMBINACIJA OPTEREĆENJA-DIMENZIONISANJE STUBA Za tipičan stub S treba nacrtati dijagrame M,N,Q usled stalnog opterećenja, snega, zemljotresa i vetra, za oba pravca dejstva. S obzirom da su dejstva vetra i zemljotresa alternativna, stubovi se armiraju simetrično. Usvojena armatura treba da je dovoljna da stub sa zahtevanim koeficijentom sigurnosti pouzdano izdrži sva moguća stanja opterećenja koja se mogu pojaviti u fazi građenja i eksploataciji. U slučaju stubova hala, obično nije moguće samo na osnovu veličine uticaja usled vetra odnosno zemljotresa zaključiti koja je kombinacija opterećenja merodavna za proračun potrebne armature: nisu isti koeficijenti sigurnosti, a za uticaje usled vetra u analizu treba uvesti i efekte drugoga reda. Najjednostavnije je da se potrebna armatura sračuna posebno za oba slučaja opterećenja, za oba pravca dejstva opterećenja, i da se usvoji veća od sračunatih. Na ispitu je dovoljno da se proračun izvrši samo u preseku u uklještenju stuba. Ukoliko se ispostavi da su pretpostavljene dimenzije stuba nedovoljne za smeštaj armature uz poštovanje maksimalnih dozvoljenih procenata armiranja, u principu bi trebalo promeniti dimenzije preseka i ponoviti proračun, jer je promenjena krutost sistema i nivo seizmičkog opterećenja, a i vitkost stuba se menja, pa i time i uticaji drugoga reda u kombinaciji sa vetrom. S obzirom da se radi o 'idejnom rešenje', na ispitu se dozvoljava da se usvoje koriguju dimenzije preseka, bez ponavljanja statičkih proračuna. Komentar: Merodavna kombinacija uticaja definiše kapacitet nisivosti preseka u uklještenju. Za razumevanje ponašanja konstrukcija, treba imati u vidu razliku u filozofiji dimenzionisanja potrebne nosivosti preseka u slučaju dejstva vetra odnosno zemljotresa. w /6 4-5

162 S e H δ H S e H δ H H w H δ H,8H w H w,3s d S d δ maxw δ maxs δ,3s d S d,8h w H w δ maxw U slučaju dejstva vetra, iznos opterećenja je determinisana veličina, koja ne zavisi od ponašanja konstrukcije, bar u slučaju uobičajenih objekata (kod vitkih konstrukcija to nije baš tako). U eksploataciji se očekuje da se pri dejstvu vetra konstrukcija ponaša elastično, bez oštećenja, sa maksimalnim pomeranjem δ maxw pri opterećenju H w, slika 4.3.a. Potrebna nosivost elemenata i preseka konstrukcije određuje se tako da kapacitet nosivosti bude bude veći od uticaja očekivanih u eksploataciji,,8h w na primer. Od konstrukcije se uopšte ne očekuje da u eksploataciji dostigne kapacitet nosivosti, pa obično nije ni bitno da li do loma preseka dolazi iscrpljenjem nosivosti armature ili betona - da li je lom preseka duktilan ili krt. Za razliku od vetra, opterećenje konstrukcije usled zemljotresa bitno zavisi od odgovora konstrukcije pri pomeranjima. Ukoliko bi se konstrukcija pri zemljotresa ponašala elastično, bez oštećenja, maksimalno pomeranje bi bilo reda veličine δ maxs pri opterećenju S e, slika 4.3.a. Obično su to znatna opterećenja, pa se uobičajeni objekti projektuju tako da kapacitet nosivosti pri zemljotresu bude niži od elastičnog odgovora, S d < S e, slika 4.3.a-b. Pri dostizanju kapaciteta nosivosti, konstrukcija prelazi u plastični mehanizam otvaranjem potrebnog broja plastičnih zglobova. Zbog različitih nepouzdanosti analize, nosivost se određuje uvođenjem koeficijenata sigurnosti,,3h w prema Yu8, na primer. Prema konceptu jednakih pomeranja, videti 3.4-deo A, maksimalna očekivana pomeranja pri zemljotresu δ maxs su istog reda veličine, bez obzira da li se konstrukcija ponaša elastično ili nelinearno, linija na slikama 4.3.a-b. Usvajanjem nižeg kapaciteta nosivosti S d, u konstrukciju je ugrađen 'osigurač' koji treba da je zaštiti od preopterećenja, ali je neophodno obezbediti i potreban kapacitet post-elastičnih deformacija - duktilnost, tako da konstrukcija izdrži očekivana pomeranja δ maxs bez ugrožavanja sigurnosti ljudi ili opreme. Prema tome, u slučaju vetra konstrukcija se obezbeđuje da se ne dostigne kapacitet nosivosti preseka, dok se u slučaju zemljotresa upravo očekuje da konstrucija dostigne kapacitet nosivosti i pređe u plastični mehanizam. U slučaju kada je opeterećenje vetrom merodavno za određivanje kapaciteta nosivosti,,8h w >,3S d, rezultat može da bude da će pri zemljotresu konstrukcija preći u plastični mehanizam, ali pri kapacitetu nosivosti određenom na bazi uticaja vetra, linija na slici.3.a. U ovom slučaju zemljotres nije merodavan za određivanje kapaciteta nosivosti, ali je potrebno da se detalji konstrukcije ipak obrade tako da se obezbedi izvestan kapacitet post-elastičnih deformacija. U slučaju kada je projektno opterećenje usled zemlotresa merodavno za određivanje kapaciteta nosivosti, stvar je jasna, slika 4.3.b. Zemljotres definitivno nije merodavan ni za određivanje nosivosti, niti za obezbeđenje kapaciteta post-elastičnih deformacija (duktilnosti) u slučaju kada je nivo elastičnog odgovora konstrukcije pri zemljotresu niži od opterećenja vetrom, S e < H w, slika 4.3.c, što je čest slučaj kod visokih i vitkih konstrukcija. δ maxs δ S e δ maxs δ maxw a. b. c. Slika Merodavna opterećenja: a.) vetar merodavan za nosivost; b.) zemljotres merodavan za nosivost; c.) zemljotres zanemarljiv δ 4-6

163 4.5 RAZLIČITI SLUČAJEVI KONSTRUKCIJA HALA 4.5. Jednobrodna hala sa AB zidovima za ukrućenje u podužnim okvirima Kalkan Podužni okvir S d Z Z (zid) POS (krov) Z (zid) dz POS (glavni nosač) L=7λ=7x5,0=35,0 m Poprečni okviri Slika Dispozicija-osnova hale Kalkan Često se u ravni podužnih okvira postavljaju spregovi za ukrućenje i prijem horizontalnih dejstava usled vetra, zemljotresa, sila kočenja krana itd. Kada su u pitanju armiranobetonske konstrukcije, moguće je napraviti i rešetkasti spreg, kao u čeličnim konstrukcijama, ali je jednostavnije u nekom polju podužnog okvira postaviti konzolni AB zid, zid Z na slikama Stubovi hale se obično zadržavaju, zbog oslanjanja glavnih krovnih nosača POS, kao i potrebne krutosti poprečnih okvira u Y-pravcu. Ivični stubovi i zid debljine d z izvode se monolitno, tako da u ravni podužnog okvira AB zid Z radi kao simetrični I-presek. B=5,0 m R R R R H m x Z b s ~H k Z H λ λ 8 l Ζ a. b. Slika Podužni okvir i dinamički model Što se tiče analize uticaja vetra i zemljotresa u poprečnom Y-pravcu, sve je isto kao u prethodnom primeru, krutost hale obezbeđuje 6 konzolnih stubova, dok se krutost na savijanje rebra zida Z debljine d z oko slabije ose zanemaruje, kao da ga nema. U ravni podužnih okvira, prisustvo zida-sprega bitno menja ponašanje i naprezanja stubova. Konzolni AB zid dužine l z i visine H obično je znatno krući na pomeranja od zbirne krutosti stubova, tako da se može usvojiti da sva horizontalna opterećenja u ravni podužnog okvira prihvata konzolni AB zid Z. Krutost 'beskonačno krute' grede u vrhu je dovoljna da vitak stub bude praktično uklješten u vrhu, ali ne i zid Z koji se deformiše praktično kao konzola. Dinamički model je konzola sa jednom masom, sa krutošću na pomeranje k z jednakoj krutosti samo konyolnog zida, slika 4.5.b. Za potrebe proračuna perioda oscilovanja, za računski presek mogu da se usvoje karakteristike I-preseka, a isto tako i karakteristike pravougaonog preseka d z / l z gde je 'visina' preseka preseka l z =λ+b s. Zbog pojave prslina pri zemljotresu, efektivna krutost preseka pada, pa je aproksimacija samo pravougaonim delom preseka uobičajena u praksi. Prema tome, analiza efekata vetra i 4-7

164 zemljotresa u ravni podužnih okvira vrši se uz zanemarenje prisustva ostalih stubova u toj ravni. Pri određivanju aksijalnog opterećenja zida Z, voditi računa da na jedan zid padaju dve reakcije R glavnih nosača POS, slika 4.5.a. U ravni podužnih okvira, ostali stubovi prihvataju samo uticaje gravitacionih opterećenja. Stubovi su preko fasadnih greda vezani za vrh krutog zida, pa se može smatrati da su vrhovi stubova za uticaje gravitacionih opterećenja praktično nepomerljivi u ravni podužnog okvira. Vitkost stuba u ravni podužnih okvira zavisi i od ostvarene veze stuba i fasadne grede u vrhu, slika 4.5. Ako je veza zglobna, dužina izvijanja može da se usvoji u iznosu 0,7H, a ako su stubovi u vrhu uklješteni u fasadnu gredu 'beskonačne krutosti', dužina izvijanja teorijski F ax / ±M x Y X F ax / ±M x d d F ax / b 4 λ V,S F ax / b 5 a. (F ax /) ±Rφ0/0 (F ax /) ±Rφ0/0 0 d d V,S (F ax /) b F ay - dodatna armatura λ ±M y F ay b (F ax /) b. Slika Supepozicija potrebne armature za savijanje u dve ravni iznosi 0,5H, ali se preporučuje da se usvoji 0,7H, slika 4.5. S obzirom da računski vetar ili zemljotres prema našim pravilnicima ne deluju istovremeno iz dva upravna pravca, ista armatura zida Z prihvata uticaje iz dva pravca. Usled dejstva vetra ili zemljotresa u ravni poprečnog okvira, u Y-pravcu, potrebna armatura F ax ivičnih stubova zida usvaja se i raspoređuje simetrično u okviru preseka stubova, slika 4.6.a. Za uticaje vetra i zemljotresa u ravni podužnih okvira, u X-pravcu, usvojena armatura F ax je deo armature flanši I-preseka, i potrebno je samo sračunati dodatnu armaturu F ay, tako da ukupna armatura flanši F ax + F ay bude jednaka sračunatoj za obezbeđenje nosivosti I- preseka, slika 4.6.b. Rebro zida debljine d z i dužine l z treba proveriti na dejstvo transverzalnih sila i armirati prema pravilima za armiranje AB zidova, Primer

165 4.5. Dvobrodna hala sa stubovima Dispozicija konstrukcije dvobrodne hale prikazana je na slikama 4.7 i 4.8. Podužni okvir C C Kalkan S (stub) S (stub) Podužni okvir B POS (glavni nosač) Kalkan B=5,0 m B POS (krov) Podužni okvir A S (stub) b,5d L=7λ=7x5,0=35,0 m POS (glavni nosač) b 3 8 d A B=5,0 m A POS S POS POS FG POS SG POS FG Fasadni Fasadni paneli paneli d,5d d B POS S B POS B POS S C Slika Dispozicija dvobrodne hale, osnova Slika Dispozicija dvobrodne hale, presek Za konstrukciju glavnih nosača POS usvojene su dve montažne proste grede, mada su moguća rešenja i sa kontinualnim nosačem preko dva polja raspona B. Kao i u slučaju jednobrodne hale, stabilnost na horizontalne uticaje u poprečnom Y-pravcu obezbeđuje osam poprečnih okvira sa ukupno 3 8=4 stuba. U ovom primeru, dimenzije fasadnih stubova POS S u osama A i C iznose b/d, dok su za središnji red stubova POS S u osi B usvojene veće dimenzije b/,5d, zbog većih aksijalnih opterećenja središnjih stubova, na primer. U ravni podužnih okvira postavljene su fasadne grede POS FG, odnosno središnje grede POS SG, koje, zajedno sa stubovima formiraju podužne okvire. δ P= EF δ m EF δ δ P= m I sa I sb I sc d,5d d H k y H A B B B C a. b. Slika Dinamički model u ravni poprečnog okvira Kao i u slučaju jednobrodne hale, deo 4.., vrednost perioda oscilovanja T u poprečnom pravcu može da se odredi na osnovu poznate ukupne mase m y =m i ukupne, zbirne krutosti k y konstrukcije na pomeranje u Y-pravcu. S obzirom da su svi stubovi (ukupno n=4 stuba) 4-9

166 istog, konzolnog sistema, to je pomeranje bilo kog stuba i, sa momentom inercije preseka I i =b s d 3 s / i visine H i, usled delovanja jedinične sile u vrhu P=, jednako δ i = H 3 i /3EI i Prethodni izraz definiše 'matricu fleksibilnosti', dok je krutost konzolnog stuba i na pomeranje jednaka 3 k iy = / δ i = 3EI i / H i Krutost ukupne konstrukcije na pomeranje jednaka je sumi krutosti svih pojedinačnih stubova k y = 4 i= k iy pa je period oscilovanja u prvom tonu T = π m k, gde je m ukupna masa. U opštem slučaju, pomeranje δ vrha konstrukcije konzolnih stubova sa ukupnom krutošću k y usled dejstva jedinične sile P= u vrhu iznosi δ = / ky = = 4 4 3EI k H odnosno, T = π mδ,gde je m ukupna masa. Sa sračunatom vrednošću perioda oscilovanja T određuje se vrednost koeficijenta dinamičnosti k d, odnosno vrednost ukupnog seizmičkog opterećenja S y. Pri istim pomeranjima δ y vrhova stubova, raspodela poznate horizontalne sile S y na pojedine stubove vrši se srazmerno njihovim krutostima na pomeranje k iy. Svaki stub i prima deo sile S iy S iy = S y k iy / k y U slučaju stubova istog sistema-konzola, istih visina i istih poprečnih preseka, odnos krutosti na pomeranje se svodi na odnos momenata inercije poprečnih preseka, pa je S iy = S y I i / iy 4 i= Krući središnji stubovi u osi B prihvatiće i veći deo horizontalnih opterećenja. Prema Pravilniku Yu8, potrebno je proveriti i 'pomeranja' vrha konstrukcije pri zemljotresu, usled dejstva računske sile S y : δ y = S y δ H/600? Potrebno je da su računska pomeranja vrha manja od H/600. Ukoliko je δ y >H/600, na ispitu ne treba korigovati proračun povećanjem krutosti elemenata, dovoljno je to konstatovati. U slučaju industrijskih hala, obično se dozvoljavaju veća pomeranja, zavisno od opreme i konstrukcije fasada. I i i 3 i R w P w =R w 0,8w 0 λ d EF EF,5d d 0,4w 0 λ H + EF EF ΣI Α ΣI Β ΣI C d,5d d H A B B B C a. A B B B C b. Slika Proračun uticaja vetra u ravni poprečnih okvira 4-0

167 U odnosu na slučaj jednobrodne hale, proračun uticaja vetra u ravni poprečnih okvira je principijelno isti, slika Razlika je samo u tome što u krutost sistema treba uključiti i središnje stubove u osi B, koji nisu izloženi direktnim uticajima vetra. R w P w =R w 0,8w 0 λ 0,4w 0 λ H + H M Aw M Cw M Aw M Bw M Cw A B C a. A B B B B B Slika Komponente uticaja vetra na stubove poprečnog okvira C b. Fasadni stubovi u osama A i C primaju direktne uticaje vetra, slika 4.3.a, dok svi stubovi, pa i središnji stubovi u osi B primaju deo uticaja vetra usled pomeranja konstrukcije krova pri vetru, slika 4.3.b. Što se tiče analize uticaja vetra i Y zemljotresa u podužnom X-pravcu, postupak je isti kao i za jednobrodnu kon- C strukciju hale, deo 4.., samo što u analizu treba uključiti još jedan podužni okvir, središnji okvir u osi B, slika 4.3. Zbog potpune simetrije, centar mase i CM centar krutosti se poklapaju u oba S x CK pravca, tako da prema Yu8 ne treba B analizirati efekte rotacije odnosno torzije hale u osnovi. m δ x Na ispitu je najjednostavnije pretpostaviti da su sva tri podužna okvira konstruisana na isti način, sa krutim X vezama stubova POS S i središnjih A greda POS SG, na primer, slika 4.33a-c. 3 8 U tom slučaju konturni uslovi krajeva L=7λ=7x5,0=35,0 m svih stubova su isti, pa je i definicija krutosti na pomeranje k ix pojedinačnih Slika Analiza uticaja u podužnom X-pravcu stubova i ista 3 k ix = / δ i = EI i / H i Ukupna krutost na pomeranje nekog podužnog okvira jednaka je sumi krutosti svih pojedinačnih stubova koji pripadaju razmatranom okviru k Ax = k Bx = k Cx = 8 i= 8 i= 8 i= B=5,0 m B=5,0 m k k k iax ibx icx 4-

168 gde je k Ax, k Bx, k Cx - zbirna krutost okvira u osama A, B i C, a k iax, k ibx, k icx - krutost pojedinačnih stubova u osam A, B i C. Ukupna krutost sva tri okvira u podužnom X-pravcu jednaka je zbiru krutosti pojedinih okvira k x = k Ax + k Bx + k Cx odnosno, jednaka je zbirnoj krutosti svih pojedinačnih stubova 4 4 EIi k x = kix = 3 H i= i S C δ x S C δ x b s I sc H b s I sc H λ S B δ x c. λ S B δ x c. λ S A b s I sb δ x H b. λ S A b s I sb δ x H b. b s I sa b s I sa H H λ a. λ a. Slika Različita rešenja podužnih okvira: a., a - okviri u osi A; b, b - okviri u osi B, c, c - okviri u osi C U slučaju da su fasadni stubovi u osama A i C uklješteni u fasadne grede, a da su središnji stubovi POS S u osi B zglobno vezani za montažne središnje grede POS SG, krutost fasadnih i središnjih stubova se razlikuje, o čemu treba voditi računa, slika 4.33.a-c. Zbirna krutost svih podužnih okvira tada iznosi EIi 3EIi k x = kix = i= Hi Hi gde se prva suma odnosi na 6 fasadnih, obostrano uklještenih stubova, dok se druga suma odnosi na 8 središnjih stubova, zglobno vezanih u vrhu. Problem određivanja efekata drugoga reda pri dejstvu vetra je u ovom slučaju malo složeniji nego u primeru jednobrodne hale. U slučaju jednobrodne hale, svi su stubovi imali isti presek i iste konturne uslove u vrhu. U tom slučaju dovoljno je tačno pretpostaviti da se svaki pojedinačni stub 'izvija' sa svojom aksijalnom silom, pa se analiza vrši za razmatrani izolovani stub. Ako se krutost pojedinih stubova razlikuje, kao u ovom slučaju dvobrodne hale, i/ili konturni uslovi krajeva svih stubova nisu isti, kao na slici 4.33.a-c, za ocenu efekata drugoga reda pri dejstvu vetra korektnije je primeniti stavove BAB-a u vezi 'prosečne vitkosti stubova istog sprata pomerljivog okvira', knjiga, strana 0 //. Za prosečnu 'vitkost sprata', u ovom slučaju prizemne hale može da se usvoji vrednost λ = δ A / H i s gde su: λ i - prosečna vitkost stubova hale, jednaka za sve stubove; δ - pomeranje krova u razmatranom pravcu usled dejstva jedinične sile H= koja deluje u ravni krova, sračunato za 4-

169 vrednost modula elastičnosti betona E b = ; A s - ukupna površina svih stubova hale, ukupno 4 stuba u ovom primeru; H - visina stubova, jednaka za sve stubove. Pomeranje δ usled jedinične sile, ali za punu vrednost modula elastičnosti betona sračunato je ranije, pa je δ = / k ( E = ) = = = E δ 3I y b 4 4 b i kiy( Eb = ) 3 Hi Stubovi manje krutosti podložniji su 'izvijanju', pa ih krući stubovi donekle pridržavaju, što sve otežava ocenu vitkosti pojedinačnog izolovanog stuba, što se prevazilazi primenom prosečne vitosti svih stubova. Na ispitu se, kao približno rešenje prihvata da se analizira pojedinačni stub sa svojim aksijalnim opterećenjem i imperfekcijom, ali se više ceni i nagrađuje primena postupka prosečne vitkosti sprata, koja je predmet ranijih kurseva betonskih konstrukcija. 4-3

170 4.5.3 Dvobrodna hala sa AB zidovima za ukrućenje u fasadnim podužnim okvirima Kalkan Podužni okvir C Podužni okvir B POS (krov) Z (zid) Podužni okvir A Z (zid) S S S L=7λ=7x5,0=35,0 m POS POS b 3 8 b,5d d C Kalkan Ovaj slučaj trebalo bi da je jasan na osnovu svega do sada iznetog. Podsetimo, osnovna pretpostavka analize je da je konstrukcija krova kruta u svojoj ravni, pa se raspodela horitontalnih opterećenja vrši srazmerno krutostima pojedinih elemenata-stubova. Kao i ranije, može da se pretpostavi da sve uticaje u podužnom X-pravcu primaju samo dva AB zida POS Z, dok uticaje u poprečnom Y-pravcu primaju ukupno 4 stuba, slika Komentar: Krutost zida znatno je veća od krutosti jednoga stuba, ali sa povećanjem broja stubova njihova ukupna krutost uopšte ne mora da bude zanemarljiva, niti mala u odnosu na zidove. Za vežbu, proveriti ovaj primer. U ovom primeru (preporuka i za ispit), za osnovni noseći sistem u podužnom X-pravcu usvojeni su samo zidovi Z, i dimenzionisani kao da će sami morati da prime sva opterećenja. Zbog prisustva znatnog broja stubova, realna nosivost i krutost konstrukcije su veći, videti i analizu u Primeru 3, deo B A B=5,0 m B=5,0 m Slika Dispozicija dvobrodne hale sa zidovima za ukrućenje 4-4

171 4.5.4 Nesimetrična dvobrodna hala sa zidovima u fasadnim podužnim okvirima U slučaju nesimetričnih konstrukcija Y hala u osnovi, po pravilu se ne poklapaju centar masa i centar krutosti, pa je potrebno C na neki način uvesti u analizu i rotaciju Z (zid) Kalkan odnosno torziju hale u osnovi, primer na S slici Ukoliko bi hala imala samo stubove, bez dodatnih vertikalnih spregova- S AB zidova Z, tada bi stubovi prihvatali B Kalkan sve uticaje, usled translacije kao i usled rotacije krova, što za posledicu ima koso savijanje stubova. Rešenje je moguće, ali ne i na ispitu, mada se uz pomoć dijagrama interakcije /3/ i dimenzionisanje na koso Z (zid) S savijanje može savladati. X A Zadržavajući pretpostavku da u slučaju 3 L=7λ=7x5,0=35,0 m 8 zajedničkog pomeranja krutih AB zidova i stubova praktično sve uticaje prihvataju kruti zidovi kao osnovni sistem, problem se Slika Dispozicija nesimetrične hale u osnovi može pojednostaviti, i uraditi na ispitu, slika 4.35 i Centar krutosti CK određuje se na osnovu krutosti dva zida u podužnom X-pravcu, i krutosti dvadeset stubova u poprečnom Y-pravcu. Pri dejstvu zemljotresa u podužnom X-pravcu, redukcijom inercijalne sile sa centra masa CM na centar krutosti CK, kao rezultujuće dejstvo dobija se seizmička sila S x i moment torzije M x =S x e x, gde je e x ekscentricitet u X-pravcu centra mase u odnosu na centar krutosti, slika 4.36.a. Uz pretpostavku da se sila S x raspodeljuje samo na dva zida Z u osama A i C, uticaji u zidovima usled translacije krova iznose S x /. Moment torzije u osnovi mogu da prime i okviri, kao niz spregova sila naspramnih okvira, ali je u ovom primeru dosledno usvojeno da Kalkan POS POS B=5,0 m B=5,0 m Y R Cx =S x /-M x /B Y R Cy =M y /B Z (zid) C Z (zid) C CK B M y =S y e y B S x M x =S x e x B CK B CM e y e x B CM S y e y e x B Z (zid) 3 R Ax =S x /+M x /B 8 L=7λ=7x5,0=35,0 m X Z (zid) X A A 3 R Ay =M y /B 8 a. b. L=7λ=7x5,0=35,0 m Slika Koncept prijema uticaja zemljotresa u podužnom X, i poprečnom Y-pravcu 4-5

172 moment torzije M x primaju samo zidovi Z kao najkrući elementi. U tom slučaju, opterećenje zidova usled torzije iznosi M x /B. Ukupni uticaji u zidovima su zbir uticaja translacije i torzije, slika 4.36.a. Pri dejstvu zemljotresa u poprečnom Y-pravcu, može da se usvoji da komponentu translacije S y prihvata stub kao da je hala simetrična, a da moment torzije M y =S y e y opet prihvataju zidovi Z, slika 4.36.b. Analogno se rešava i problem prijema vetra, samo što rezultanta vetra ne prolazi kroz centar mase, pa su i odgovarajući ekscentriciteti rezultante vetra u krovu u odnosu na centar krutosti različiti. 4-6

173 4.5.5 Opšti slučaj jednog nepravilnog okvira U opštem slučaju, stubovi okvira mogu da imaju različite poprečne preseke odnosno momente inercije, različite visine kao i različite konturne uslove na krajevima-na vezama sa temeljima odnosno fasadnim gredama, slika G,P G,P δ V,S Zglob V,S I I I 3 I 4 I 5 I 6 H I I I 3 I 4 I 5 I 6 H H H H H Zglob a b. Slika Dispozicija jednog nepravilnog okvira Mada je to već prikazano kroz prethodne primere, ovde se daje pregled-rezime postupka analize okvira na dejstva horizontalnih sila usled vetra (V) odnosno zemljotresa (S). Pretpostavlja se da je gornja fasadna greda 'beskonačne krutosti' na savijanje. Krutost pojedinih stubova na pomeranje prema slici 4.37.b iznosi: k EI EI 3EI EI = k 3 = k 3 3 = k 3 4 = k 3 5 = k 3 6 = 3 H H H H H H 3EI 3EI Za visinu stubova -4 usvojeno je rastojanje do težišne linije fasadne grede, a za stubove 5-6 je usvojena realna visina stuba do zgloba u vrhu. Sasvim je prihvatljivo da se za sve stubove usvoji rastojanje do težišne linije fasadne grede. Ukupna krutost okvira k na pomeranje jednaka je sumi parcijalnih krutosti pojedinih stubova k= 6 i= k i Sa poznatom krutošću i masom, moguće je odrediti period oscilovanja, vrednost koeficijenta dinamičnosti k d kao i seizmičkog opterećenja S. Pri jednakim pomeranjima vrhova stubova za iznos δ, raspodela poznate sile vetra V odnosno zemljotresa S po pojedinim stubovima vrši se srazmerno krutostima na pomeranje S i = S k i /k Za proračun efekata drugoga reda pri dejstvu vetra više ne pomaže ni postupak 'prosečne vitkosti stubova istoga sprata', razlikuju se visine kao i konturni uslovi stubova. Problem se može rešiti primenom 'približnog P- postupka' za analizu pomerljivih okvira, videti BAB, knjiga, strana 43 //. 4-7

174 4.5.6 Okviri kao osnovni elementi konstrukcije U slučaju nepravilnih osnova, često je preglednije i jasnije da se kao osnovni element konstrukcije hale usvoji kompletan okvir stubova i greda u istoj ravni. Takav koncept koriste i tradicionalni softveri kao što je 'TABS', na primer. Konfiguracija stubova jednog Y okvira može da bude proizvoljna, kao k C na slici Jedini uslov je da su C vrhovi stubova vezani za krutu konstrukciju krova na istoj koti - da krov leži u jednoj horitontalnoj ravni. Za svaki od okvira -8, A-C prema slici 4.38, na prethodno prikazani k B način može da se odredi krutost okvira B 'i' na pomeranje k i (kn/m) u njegovoj ravni. Sa poznatim pojedinačnim krutostima, okviri mogu da se izbace i da se zamene sa po jednom elastičnom oprugom u k A ravni krova, čija je krutost jednaka X krutosti okvira k i, slika 4.8. Za A položaj opruge bitno je da se nalazi u ravni odgovarajućeg okvira, u bilo L=7λ=7x5,0=35,0 m Slika Koncentrisane opruge kao zamena za okvire kojoj tački na datom pravcu. Prema slici 4.38, ukupna krutost opruga u X- pravcu iznosi k x =k A +k B +k C dok je ukupna krutost opruga u Y- pravcu k y =k +k +k 3 +k 4 +k 5 +k 6 +k 7 +k 8 Položaj centra krutosti definisan je uobičajenim izrazima kyixi kyixi xck = = k k k k k 5 k 6 k 8 y CK B=5,0 m B=5,0 m yi k y = = k xi i xi i Sa poznatim pojedinačnim krutostima opruga, kao i ukupnim krutostima u X/Y pravcu, dalja analiza je u svemu analogna analizi prikazanoj u Primeru 3, kao da je svaka od opruga prizemni AB zid odgovarajuće krutosti. Rezultat analize je naprezanje pojedinih opruga - okvira. Raspodela naprezanja okvira na pojedine stubove okvira vrši se na već prikazani način, prema krutostima pojedinih stubova. xi y k y k x 4-8

5 Ilustracije ponašanja okvira pri zemljotresu Primer oštećenja jedne montažne hale u izgradnji prikazan je na slici 4.39.

175 5 Ilustracije ponašanja okvira pri zemljotresu Primer oštećenja jedne montažne hale u izgradnji prikazan je na slici Uočljivo je krivljenje stubova, razvoj oštećenja - plastičnih zglobova u dnu stubova, kao i oštećenja veza stubova i rigli-nosača krova. Slika Oštećenja hale u izgradnji (Turska 999.) Slika Oštećenje veze stuba i grede Za montažne konstrukcije hala tipično je oštećenje veze stubova i glavnih krovnih nosača, slika 4.40, često i veza rožnjača i glavnih krovnih nosača. U ekstremnom slučaju može da dođe do kidanja veza i pada horizontalnih elemenata konstrukcije, slika 4.4. Slika Pad horizontalnih konstrukcija zbog kidanja veza sa okvirima (SAD 994.) 4-9

Δείτε περισσότερα

Σχετικά έγγραφα

2. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU LINEARNO ELASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE

2. PONA[ANJE PRI ZEMLJOTRESU LINEARNO ELASTI^NIH SISTEMA SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE 2. PONA[ANJE PRI ZELJOTRESU LINEARNO ELASTI^NIH SISTEA SA JEDNI STEPENO SLOBODE UVOD Poznavanje pona{anja konstrukcije, uz pretpostavku njenog elasti~nog odgovora na kretanje tla pri zemljotresu je osnovni

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

4. KAKO REALIZOVATI ELASTO-PLASTI^AN SISTEM U ARMIRANOM BETONU

4. KAKO REALIZOVATI ELASTO-PLASTI^AN SISTEM U ARMIRANOM BETONU UVOD U prethodnim razmatranjima analiziran je odgovor konstrukcije sa elastoplasti~nom vezom sile i pomeranja vrha. U ovom poglavlju, analiza

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenǉivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenǉivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenǉiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Modul za konstrukcije PROJEKTOVANJE I GRAĐENJE BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 NOVI NASTAVNI PLAN

GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU pismeni ispit Modul za konstrukcije 16.06.009. NOVI NASTAVNI PLAN p 1 8 /m p 1 8 /m 1-1 POS 3 POS S1 40/d? POS 1 d p 16 cm 0/60 d? p 8 /m POS 5 POS d p 16 cm 0/60 3.0 m

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Mašinsko učenje. Regresija.

Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Osnove projektovanja seizmič ki otpornih zgrada (II deo)

Projektovanje i građ enje betonskih konstrukcija 2 Slajdovi uz predavanja Osnove projektovanja seizmič ki otpornih zgrada (II deo) 1 Elasto-plastič no ponašanje 2 Dinamika elasto-plastič nog sistema Elastič

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

PROJEKTOVANJEI GRA ENJEBETONSKIH KONSTRUKCIJA

GRA EVINSKI FAKULTET UBEOGRADU PROJEKTOVANJEI GRA ENJEBETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 12.06.2013. p=10 kn/m 2 p=8kn/m 2 p=10 kn/m 2 25 W=±60 kn 16 POS 1 80 60 25 25 POS 1 60 POS 3 60 POS 4 POS 2 POS 3 POS 4 POS

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

Matematika 1 Funkcĳe radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicĳa 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcĳa

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Poglavǉe 7. Blok dijagrami diskretnih sistema

Poglavǉe 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavǉe 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Prosti cevovodi

MEHANIKA FLUIDA. Prosti cevovodi MEHANIKA FLUIDA Prosti ceooi zaatak Naći brzin oe kroz naglaak izlaznog prečnika =5 mm, postaljenog na kraj gmenog crea prečnika D=0 mm i žine L=5 m na čijem je prenjem el građen entil koeficijenta otpora

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

PRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila)

PRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila) Predet: Mašinski eleenti Proračun vratila strana Dienzionisati vratilo elektrootora sledecih karakteristika: oinalna snaga P = 3kW roj obrtaja n = 400 in Shea opterecenja: Faktor neravnoernosti K =. F

Διαβάστε περισσότερα

To make this website work, we log user data and share it with processors. To use this website, you must agree to our Privacy Policy, including cookie policy.