Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje"

Transcript

1 Matematika 3 zbirka zadataka sa rešenjima i uputstvima za rešavanje <!-- Ispravke, sugestije, mišljenja i ostalo šaljite na --> Hijavata 1

2 Predgovor Pismeni ispit iz matematike 3 obuhvata 4 zadatka. Ova zbirka će biti odrađena tematski, za svaki tip zadatka ponaosob. Prvi zadatak Obične diferencijalne jednačine prvog reda: Jednačina sa razdvojenim promenljivim Homogene diferencijalne jednačine prvog reda Linearne diferencijalne jednačine prvog reda Bernulijeva jednačina prvog reda Jednačina sa totalnim diferencijalom (sa/bez integracionog faktora) Prvi zadatak je uvek jedna diferencijalna jednačina prvog reda. Najčešće dolaze Bernulijeva i Jednačina sa totalnim diferencijalom, mada nema pravila. Drugi zadatak Diferencijalne jednačine višeg reda: Diferencijalna jednačina oblika Diferencijalna jednačina oblika Homogene diferencijalne jednačine višeg reda Nehomogene diferencijalne jednačine višeg reda Sistemi običnih diferencijalnih jednačina prvog reda: Homogeni sistemi odj Nehomogeni sistemi odj Nelinearni sistemi odj Parcijalne diferencijalne jednačine Linearne parcijalne diferencijalne jednačine Kvazilinearne parcijalne diferencijalne jednačine 2

3 Treći zadatak Treći zadatak je nešto vezano za funkciju kompleksne promenljive. Dolaze ravnopravno dva tipa zadatka: Koši-Rimanovi uslovi Izračunavanje integrala funkcije kompleksne promenljive (Reziduum) Četvrti zadatak Četvrti zadatak je vezan za Laplasovu transformaciju Rešavanje diferencijalne jednačine višeg reda primenom Laplasove transformacije Rešavanje sistema diferencijalnih jednačina primenom Laplasove transformacije 3

4 Prvi zadatak Jednačina sa razdvojenim promenljivima Najjednostavniji tip diferencijalne jednačine. Treba imati na umu da važi Rešavanje jednačina: rešenje dobijamo iz: rešenje dobijamo iz: Dakle, razdvajamo x i y (i njihove diferencijale) na različite strane znaka jednakosti i nalazimo integrale. Pri rešavanju diferencijalnih jednačina, može se dogoditi da rešenje ima drugačiji oblik nego ono dato u ovoj zbirci. Zato pokušajte da transforma cijama, vaše rešenje svedete na ono dato u zbirci kako biste proverili da li ste tačno uradili zadatak. U slučaju da je opšte rešenje jednačine u zadacima gde se traži partikularno rešenje drugačijeg oblika od opšteg rešenja datog u zbirci, to znači da će najverovatnije i konstanta C biti drugačija nego ovde u zbirci, ali mora se dobiti isto opšte rešenje. 4

5 Postoje tri osnovna tipa zadataka: 1. Obična diferencijabilna jednačina sa razdvojenim promenljivima ( ili ) 2. ODJ sa razdvojenim promenljivima - partikularno rešenje 3. ODJ sa razdvojenim promenljivima - smena za svođenje na 1. tip zadatka Zadaci: Rešenje: Transformišemo konstantu na sledeći način: čime dobijamo novu konstantu 5

6 za uslov imamo: 6

7 vratimo u opšte rešenje: dakle, Partikularno rešenje je: Odrediti partikularno rešenje pri uslovu za uslov imamo: kad vratimo u opšte rešenje, dobijamo Partikularno rešenje: 7

8 kad vratimo u opšte rešenje, dobijamo Partikularno rešenje: (smena, ) 8

9 Zadaci za samostalan rad: Odredi opšte rešenje jednačine: 1. Odredi partikularno rešenje jednačine pri uslovu: 9

10 Jednačine koje slede svesti smenom na jednačninu sa razdvojenim promenljivim a zatim naći opšte rešenje 10

11 Homogena diferencijalna jednačina prvog reda Rešavanje jednačina: Polazna jednačina smena vratimo u polaznu jednačinu rešenje dobijamo iz integrala zatim vratimo smenu u rešenje Ova vrsta jednačine se svodi na jednačinu sa razdvojenim promenljivim. Vrlo često, diferencijalna jednačina se transformacijama izraza (deljenje sa x ili y) svodi na homogenu. 11

12 Zadaci za samostalan rad: 12

13 13

14 Linearna diferencijalna jednačina prvog reda Opšti oblik: Rešenje: Ova vrsta jednačine je lako prepoznatljiva. Rešava se primenom ove formule čije izvođenje nije potrebno znati za praktični deo ispita. Koraci: 14

15 Zadaci za samostalan rad: 15

16 Odrediti partikularno rešenje date linearne diferencijalne jednačine Odredi rešenje linearne jednačine po x 16

17 Bernulijeva diferencijalna jednačina Koraci: 17

18 Zadaci za samostalan rad: 18

19 19

20 Jednačine sa totalnim diferencijalom Algoritam rešavanja: Postupak rešavanja: 20

21 Ukoliko na ispitu dođe ovaj zadatak, obično napomenu da treba da se traži određeni faktor (po x ili y). Ako ne napomenu, svejedno je koji ćete, procenite sami koji je lakše izračunati. 21

22 22

23 Zadaci za samostalan rad: 23

24 Odredi integracioni faktor, i reši jednačinu: 24

25 Rešenja zadataka: jedan #6 i jedan tablični integral tri tablična integrala, C=1 dva #7 dva #1 jedan #1 i jedan #8 jedan tablični i jedan sličan #2 smena -y=t, pa #1 dva #1 jedan tablični i jedan #8, C=0 #6 i jedan tablični dva tablična izvlačenjem 1/3 ispred integrala, dobiju se dva #1 #1 i #8 tablični i #1 25

26 smena, integral #7 smena, integral slično kao #7 smena #7 smena, slično #7 tablični i #9 tablični i #10 tablični i #1 tablični i #1 dva tablična #11 i tablični dva tablična tablični i #1 tablični tablični i #12 #6 i tablični #13 i tablični #14 i tablični tablični i smena tablični integrali tablični integrali 26

27 tablični integrali tablični i #15 tablični i #16 tablični i #17 #1 i #18 sličan #8 i tablični #1 i tablični #1 i tablični sličan #5 i 2 tablična tablični i #19 sličan #5 i tablični tablični integrali 2 tablična i #15 tablični i #20 tablični i #21 #1 i tablični tablični i #22 tablični i #23 tablični i #23 tablični i #24 tablični i #25 svi tablični svi tablični tablični i #26 27

28 svi tablični tablični i #23 #1 i tablični #8 i tablični tablični tablični i #23 tablični i #23 tablični i sličan #26 #1 i #27 tablični i #28 tablični i #29 tablični tablični tablični tablični tablični tablični tablični tablični tablični tablični tablični i #29 #30 i tablični #31 i tablični 28

29 tablični tablični i sličan #27 tablični i sličan #27 tablični tablični tablični tablični i sličan #3 tablični tablični tablični tablični tablični i sličan #3 tablični tablični tablični, #32, i sličan #16, tablični tablični tablični tablični i #33 tablični tablični i sličan #8 29

30 tablični tablični tablični tablični tablični 30

31 Integrali potrebni za rešavanje zadataka iz zbirke: ) 31

32 32

33 33

34 34

35 35

36 36

37 37

38 38

39 39

40 40

41 Drugi zadatak Homogene diferencijalne jednačine višeg reda Rešavanje: Prvo pravimo karakterističnu jednačinu na sledeći način: Zamenom u polaznu jednačinu dobijamo karakterističnu jednačinu: Dobijemo sledeće slučajeve: Kvaka je u tome što dolaze jednačine drugog i trećeg (ređe četvrtog) reda, pa ovo nije toliko komplikovano kako izgleda na prvi pogled. Kroz primere će biti jasnije. 41

42 Zadaci za samostalan rad: 42

43 43

44 Nehomogene diferencijalne jednačine višeg reda Rešavanje: Rešenje je oblika Postoje dva načina pronalaženja partikularnog rešenja: metoda neodređenih koeficijenata i metoda varijacije konstanti. Metoda neodređenih koeficijenata 44

45 Pri tom, A i B su koeficijenti koje treba odrediti. Postupak: Metoda varijacije konstanti 45

46 Dakle, konstante variramo u funkcije. Nepoznate funkcije sistema: dobijamo iz 46

47 47

48 metoda varijacije konstanti 48

49 metoda varijacije konstanti 49

50 Zadaci za samostalan rad:

51 Resenja:

52

53

54 Jednačine kojima se može sniziti red Postoje dva tipa ovakvih jednačina: one koje ne sadrže y, i one koje ne sadrže x. Prvi tip Rešavanje: smena: gde je Rešavanjem homogene jednačine dobijamo: Parcijalnom integracijom dobijemo rešenje: Zadaci: 54

55 Rešenja Drugi tip Rešavanje: smena: gde je Rešavanjem jednačine dobijamo: 55

56 Integracijom dobijemo rešenje: Zadaci: Rešenja 56

57 Sistemi običnih diferencijalnih jednačina Homogeni sistemi Sistem je oblika (sistem 3. reda): gde su Rešavanje: Prvo se odrede sopstvene vrednosti matrice K: Dakle iz trećeg reda po. dobijamo tzv. karakterističnu jednačinu (jednačina ). Rešavanjem ove jednačine dobijemo sopstvene vrednosti Ostatak ćemo kroz zadatke, pošto je teško jasno objasniti. Ono što je bitno, da li je sopstvena vrednost jednostruka ili višestruka. Formiramo matricu: Zatim vršimo transformacije matrice. Transformacija II-3I znači da prvi red množimo sa 3, i zatim to oduzmemo od drugog reda. Itd. Transformacijama dobijamo matrice formulom (u slučaju jedinstvene sopstvene vrednosti). 57

58 Rešenje je oblika: gde je Odatle dobijemo: Sad se radi odvojeno za svaku vrednost: odavde (na osnovu II i III reda) sledi da je: iz prvog reda sledi: 58

59 Sada formiramo matricu : sada za uzimamo neku bilo koju vrednost različitu od nule. Nije bitno koju, jer će se, kako ćemo kasnije videti, pomnožiti sa konstantom, pa je svejedno. Uzećemo. iz drugog reda: fiksiraćemo jednu vrednost. Neka to bude Iz prvog reda: uzmemo da je 59

60 iz drugog reda: fiksiraćemo jednu vrednost. Neka to bude Iz prvog reda: U razvijenom obliku, rešenje je: 60

61 Ovde se vidi da nije bitno koje smo vrednosti birali. Da smo za birali imali bismo. U rešenju bi bilo što je isto što i. Ako uzmemo da je neka nova konstanta onda dobijemo što je i bilo prvobitno rešenje. Zato ako ne dobijete identično rešenje kao u ovoj zbirci, pogledajte da li vam je odnos vrednosti u matrici odgovarajući. U ovom primeru, to je 1:-3:-5. Rešenje: Odatle dobijemo: na osnovu II reda: iz prvog reda sledi: 61

62 iz drugog reda: Iz prvog reda: iz drugog reda: Iz prvog reda: 62

63 U razvijenom obliku, rešenje je: Rešenje: Odatle dobijemo: 63

64 na osnovu II reda: iz prvog reda sledi: Kada imamo dvostruka rešenja, radi se malo drugačije. Prvi deo, za (ne isti!) je sličan iz drugog reda: Iz prvog reda: sada ne biramo nikakvu vrednost za već ovo ostavljamo zasad ovako. 64

65 Matrica se određuje iz formule: iz drugog reda:. Ovde treba da fiksiramo jednu od vrednosti. Neka bude. Onda dobijemo: Iz prvog reda: Dakle sad imamo i. Cilj je bio pronaći (u kojoj se pojavljuje samo jedna promenljiva:. Onda, kada smo to uradili, pravili smo novu matricu u kojoj treba da se pojavljuje promenljiva iz i još jedna promenljiva vezana za matricu :. 65

66 Sledeći korak je određivanje i. Oni se određuju u dva koraka. U prvom koraku, jedna od vrednosti iz matrice se menja sa 0, a druga sa nekim realnim brojem. U drugom koraku je obrnuto. se računa po formuli: se računa po formuli: U razvijenom obliku, rešenje je: 66

67 Rešenje: Odatle dobijemo: na osnovu II reda: iz prvog reda sledi: 67

68 Kada imamo dvostruka rešenja, radi se malo drugačije. Prvi deo, za (ne isti!) je sličan iz prvog reda: Iz trećeg reda: Matrica : iz prvog reda:. Iz trećeg reda: 68

69 U razvijenom obliku, rešenje je: 69

70 Rešenje: Odatle dobijemo: na osnovu prvog reda: iz drugog reda sledi: U slučaju konjugovano komplekcnih brojeva, biramo jedan od njih. Recimo. 70

71 iz prvog reda: Iz trećeg reda: Na osnovu odredićemo i. Po definiciji (ili nekoj teoremi, ne znam baš sigurno) važi: 71

72 Iz ovoga sledi: Rešenje: 72

73 Odatle dobijemo: Ovo je sad specifično jer imamo trostruko rešenje. Rešavaćemo na drugačiji način, polazeći od rešenja. Zadatak je oblika: A rešenje je oblika (zbog višestrukog rešenja): Izvedimo sad :, za i=1,2,3 Sad to izjednačimo sa. Pri tom, ćemo zameniti rešenjem: Iz ovoga sledi: Imajte na umu da je jedinična matrica, da je matrica dimenzija 3x3 a da su: 73

74 Dobijamo 3 sistema:,, tj.,, Sistem rešavamo po. Odmah se vidi da je Kad to malo sredimo: odnosno 74

75 Za različite vrednosti parametara imamo: 1. za,, 2. za,, 3. za,, Rešenje: Odatle dobijemo: 75

76 na osnovu III reda: iz prvog reda sledi: U ovom slučaju, kad su sve vrste linearno zavisne radimo na sledeći način. Izrazimo tu jednu vrstu: sada imamo dva slučaja: 1.,. Odatle sledi 2.,. Odatle sledi 76

77 Zadaci za samostalan rad:

78 Rešenja:

79

80

81 Sistem je oblika (sistem 3. reda): Nehomogeni sistemi ili u razvijenom obliku: gde su a su funkcije. Postoje dve metode za rešavanje ovakvih sistema: metoda neodređenih koeficijenata i Lagranžova metoda varijacije konstanti. Metoda neodređenih koeficijenata: Ova metoda se može koristiti onda kada su svi elementi vektora funkcije oblika: Određujemo: 1. m - najveći stepen za P i Q u vektoru 2. k + višestrukost korena u karakterističnoj jednačini. Onda je rešenje oblika (polinomi koeficijentima): su stepena m+k, sa neodređenim 81

82 Zatim to vraćamo u polaznu jednačinu i dobijemo rešenje. Konačno rešenje je oblika Važi princip superpozicije: Rešenje: Prvo rešavamo odgovarajući homogeni sistem: Njegovo rešenje je: Sad tražimo. Pri rešavanju homogenog sitema dobili smo da su rešenja karakteristične jednačine, tj.. U ovom nehomogenom sistemu, imamo tri vektora funkcija: 1. Vektor funkcija oblika odavde je. To se poklapa sa rešenjem. To znači da je. Pošto su polinomi koji stoje uz u samom sistemu nultog stepena,. Zato će polinomi uz u rešenju biti prvog stepena ( ). 82

83 2. Vektor funkcija oblika odavde je. Pošto se ovo ne poklapa ni sa jednim rešenjem i polinomi uz u sistemu su nultog stepena, polinomi u rešenju uz će biti prvog stepena. 3. Vektor funkcija oblika odavde je. Pošto se ovo ne poklapa ni sa jednim rešenjem i polinomi uz u sistemu su nultog stepena, polinomi u rešenju uz će biti prvog stepena. Sve ovo ćemo spojiti (prema principu superpozicije) u: Sad vraćamo to u polazni sistem odredimo :. Za početak treba da Sad određujemo postupno. 83

84 Kad izjednačimo dobijemo tri sistema jednačina: 1) 2) p 3) 1) 2) 84

85 3) Rešenje: kad uvedemo smenu : Rešenje: Rešenje homogenog sistema: Rešenja karakteristične jednačine. U ovom nehomogenom sistemu, imamo dva vektora funkcija: 85

86 Prva vektor funkcija oblika odavde je. Nijedno od rešenja karakteristične jednačnine nije oblika pa je stepen polinoma u rešenju 0. Druga vektor funkcija oblika odavde je. Nijedno od rešenja karakteristične jednačnine nije oblika pa je stepen polinoma u rešenju 0. Sve ovo ćemo spojiti (prema principu superpozicije) u: Sad vraćamo to u polazni sistem odredimo :. Za početak treba da Sad određujemo postupno. Kad izjednačimo dobijemo dva sistema jednačina: 86

87 1) 2) 1) 2) Rešenje: Rešenje: Rešenja karakteristične jednačine, tj.. Sad vraćamo to u polazni sistem odredimo :. Za početak treba da Kad izjednačimo dobijemo dva sistema jednačina: 87

88 1) 2) Odatle dobijamo:. Konačno rešenje: Rešenje: Rešenja karakteristične jednačine, Sad vraćamo to u polazni sistem odredimo :. Za početak treba da Kad izjednačimo dobijemo sistem jednačina: Odatle dobijamo:. 88

89 Konačno rešenje: Rešenje: Rešenja karakteristične jednačine Sad vraćamo to u polazni sistem odredimo :. Za početak treba da Kad izjednačimo dobijemo sistem jednačina, čijim rešavanjem dobijamo:. Rešenje: 89

90 Metoda varijacije konstanti Homogeno rešenje (sistema drugog reda) je oblika: gde je a Konstante variramo u funkcije (umesto da je to konstanta, pretvaramo se da je to funkcija argumenta t) Izvode funkcija dobijamo iz Nakon toga, integraljenjem dobijamo funkcije. Njih uvrstimo u homogeno rešenje koje onda postaje konačno rešenje sistema. Rešenja: Rešenja karakteristične jednačine. Rešenje homogenog sistem je: 90

91 Određujemo : Odatle sledi: Konačno rešenje (menjamo konstante): 91

92 Nelinearni sistemi su oblika: Nelinearni sistemi Rešavaju se tako što se pronađu nezavisni prvi integrali. Ima ih uvek onoliko koliko je znakova jednakosti u sistemu, odnosno za jedan manje od broja 'izraza' koje povezuju ti znakovi jendakosti: Prvi integrali moraju biti međusobno nezavisni. Dobijamo ih nalaženjem integralnih kombinacija i polaznog sistema. Rešenja su definisana prvim integralima. Za određivanje prvih integrala ne postoji jedinstven 'recept'. Zato je potrebno provežbati zadatke, kako bi se stekao 'osećaj' za njihovo pronalaženje. Uslov za postojanje rešenja je: Za rešavanje, će biti potrebno poznavati osobine razmera i diferencijala. Osobine razmera: 92

93 Osobine diferencijala: Za rešavanje nelinearnih sistema, ne postoji uverzalan 'recept' kao što postoji kod linearnih (tu spadaju sistemi koje smo dosad radili). Potrebno je koristeći osobine proporcije i diferencijala doći do međusobno linearno nezavisnih prvih integrala. Postoje neki šabloni kako se dolazi do njih, a ta rutina se stiče vežbom. Rešenje: Dobijamo sistem: 93

94 Imaćemo dva prva integrala: koristeći osobinu proporcije dobijamo: Provera uslova: Prema uslovu iz zadatka, ovo je uvek različito od nule. Prema tome, rešenje je određeno prvim integralima: Rešenje: Imaćemo dva prva integrala: 1. Dakle, imamo: 94

95 2. koristeći osobinu proporcije dobijamo: Očigledno je da su ova dva rešenja linearno nezavisna, pa nema potrebe za proverom uslova. Rešenje sistema je, dakle, određeno prvim integralima: Rešenje: Imaćemo tri prva integrala: 1. koristeći osobinu proporcije dobijamo: Dakle, imamo: 95

96 2. koristeći osobinu proporcije dobijamo: 3. koristeći osobinu proporcije dobijamo: Dakle, imamo: Očigledno je da su ova tri rešenja linearno nezavisna, pa nema potrebe za proverom uslova. Rešenje sistema je, dakle, određeno prvim integralima: Rešenje: Svođenjem na diferencijale dobijamo: 96

97 Imaćemo dva prva integrala: 1. koristeći osobinu proporcije dobijamo: 2. koristeći osobinu proporcije dobijamo: Rešenje: Imaćemo dva prva integrala: Rešenje: Imaćemo dva prva integrala: 97

98 1. 2. Rešenje: Imaćemo dva prva integrala: Rešenje: Imaćemo tri prva integrala:

99 3. Rešenje: Imaćemo dva prva integrala: Rešenje: Imaćemo dva prva integrala:

100 Rešenje: Imaćemo dva prva integrala: Rešenje: Imaćemo dva prva integrala:

101 Rešenje: Imaćemo dva prva integrala: Rešenje: Imaćemo dva prva integrala:

102 Parcijalne diferencijalne jednačine Ove jednačine su oblika (linearne): kvazilinearne: Prilično lako se svode na nelinarne sisteme i tako se rešavaju. Svođenje je: Linearne: Kvazilinearne Rešenje: Rešavanjem ovog sistema dobije se prvi integral 102

103 Rešenje: Rešavanjem ovog sistema dobije se prvi integral Rešenje: Rešavanjem ovog sistema dobiju se prvi integrali pa je konačno rešenje oblika: Rešenje: Rešavanjem ovog sistema dobiju se prvi integrali 103

104 pa je konačno rešenje oblika (jer se funkcija integralu): pojavljuje samo u jednom Rešenje: Rešavanjem ovog sistema dobiju se prvi integrali pa je konačno rešenje oblika (pošto se funkcija pojavljuje u oba integrala): Rešenje: Rešavanjem ovog sistema dobiju se prvi integrali pa je konačno rešenje oblika (pošto se funkcija pojavljuje u oba integrala): 104

105 Rešenje: Rešavanjem ovog sistema dobiju se prvi integrali pa je konačno rešenje oblika (pošto se funkcija pojavljuje u jednom integralu): 105

106 Treci zadatak Funkcija kompleksne promenljive Funkcija kompleksne promenljive je oblika (algebarski oblik) Svaka funkcija se sastoji iz realnog i kompleksnog dela: Moduo kompleksnog broja - : Argument kompleksnog broja - : 106

107 Važi i: Ako su i kompleksni brojevi onda važi: Pri tom je i. Dakle, funkcija je višeznačna. Izvod funkcije kompleksne promenljive. Koši-Rimanovi uslovi. Funkcija je diferencijalna u ako postoji: Funkcija je regularna (analitička) u ako je diferencijabilna u svakoj tački neke okoline. Tačke u kojima funkcija nije analitička se nazivaju singularnim tačkama. Tačka je izolovani singularitet ako je analitička u svim tačkama neke okoline tačke osim u. Izolovani singularitet je pol funkcije ako je Ako je funkcija diferencijabilna u tački i tada postoje svi parcijalni izbodi funkcija Rimanovi uslovi: i važe Koši- Suprotno: ako su diferencijabilne u i važe Koši-Rimanovi uslovi u, tada je diferencijabilna u. 107

108 Ako vam ovaj zadatak zapadne, tekst se može razlikovati tu i tamo, ali je poenta ista: daju ili a vi preko K-R uslova treba da odredite ono drugo. Jedina težina u ovim zadacima mogu biti integrali. Hiperboličke funkcije Ovo je klasa funkcija koje ste dosad uspešno izbegavali, ali vreme je da ih naučite. Za ovaj tip zadataka, ali i za Laplasovu transformaciju (4. zadatak) potrebno je znati hiperbolički sinus i kosinus: hiperbolički sinus naziv hiperbolički kosinus definicija izvod integral ako je: Odrediti sve analitičke funkcije Rešenje: Prvo određujemo iz Koši-Rimanovih uslova sledi: Sada treba da dobijemo. To se najlakše radi rešavajući odgovarajuću jednačinu sa totalnim diferencijalom: 108

109 Dakle, ako je: Odrediti sve analitičke funkcije Rešenje: Sada treba da dobijemo. To se najlakše radi rešavajući odgovarajuću jednačinu sa totalnim diferencijalom: 109

110 Dakle, sve to vratimo u polaznu funkciju ako je: Odrediti sve analitičke funkcije Dakle 110

111 ako je: Odrediti sve analitičke funkcije Rešenje: Prvo određujemo iz Koši-Rimanovih uslova sledi: 111

112 ako je: Odrediti sve analitičke funkcije Koja je vrednost za? Rešenje: u pa imamo partikularno rešenje: Zadaci za samostalan rad: 112

113 Rešenja:

114 Integral funkcije kompleksne promenljive. Reziduum. Ovde bi trebalo preći sve vezano za integral kompleksne promenljie i Košijeve formule. Pošto zadaci iz toga ne dolaze na ispitu, ovde to nećemo pominjati, ali bi bilo zgodno da prođete to sa slajdova. Ono što dolazi na ispitu je računanje integrala preko reziduuma. - izolovani singularitet funkcije u tački, ograničen konturom C. Definicija: odavde sledi: u slučaju da imamo više singulariteta u oblasti ograničenoj konturom C: Pomoću Košijevih formula, mogu da se izračunaju reziduumi u singularitetima koji su polovi: 1. Ako je onda je pol 1. reda i važi: 2. Ako je 114

115 onda je pol 1. reda i važi: obratite pažnju da znači stepen izvoda. Tako, na primer, za (pol trećeg stepena), tražićemo izvod drugog reda. Neke granične vrednosti: Izračunati integral: Rešenje: Prvo ćemo nacrtati konturu C: Dakle, kontura je kružnica sa centrom u tački (0,0) i poluprečnikom Zatim tražimo polove. Polove nalazimo kad imenilac razlomka u integralu izjednačimo sa nulom: Polovi su i (jednostruki pol) 115

116 prvo proveravamo uslov (da li je ovo pol i otklonjiv prekid) Dakle, je pol drugog reda. Rešenje je zbir reziduuma prema formuli (obratite pažnju kako se menja znak u zavisnosti od toga kako obilazimo konturu: ). 116

117 Izračunati integral: Rešenje: Prvo ćemo nacrtati konturu C: Dakle, kontura je kružnica sa centrom u tački (1,1) i poluprečnikom Zatim tražimo polove. Polovi su (jednostruki pol), (jednostruki pol), (jednostruki pol), (jednostruki pol). Iz uslova (kontura C) vidimo da i ne pripadaju konturi, pa ih ne računamo. Ostaju dva pola: 117

118 Rešenje je zbir reziduuma prema formuli (obratite pažnju kako se menja znak u zavisnosti od toga kako obilazimo konturu: ). Izračunati integral: Rešenje: Prvo ćemo nacrtati konturu C: Dakle, kontura je kružnica sa centrom u tački (1,0) i poluprečnikom Zatim tražimo polove. Ovde izgleda kao da postoji jedan pol i da je trostruki. Međutim, nije tako (probajte da uradite, dobićete 0 za graničnu vrednost, a to ne može biti reziduum). Zato treba da razvijemo funkciju: Polovi su,. 118

119 Pošto je pol višestruki, prvo ispitujemo postojanje granične vrednosti (uslov postojanja reziduuma, stavka 2). Već smo videli ovaj pol nije trostruki. Probajmo za dvostruki. Dakle, pol je dvostruki. Jedina vrednost celobrojnog parametra k, za koju tačka z pripada konturi C je 1, pa imamo uvodimo smenu: 119

120 Izračunati integral:. Polovi su. Iz uslova (kontura C) vidimo da ne pripada konturi, pa ga ne računamo. Ostaju dva pola: Ovo je otklonjiv prekid, nema reziduuma. 120

121 Konačno rešenje je zbir reziduuma. Pošto imamo samo jedan: Izračunati integral: Rešenje: Prvo ćemo nacrtati konturu C: Dakle, kontura je kružnica sa centrom u tački (1,0) i poluprečnikom Zatim tražimo polove. 121

122 Polovi su,. Iz uslova (kontura C) vidimo da ne pripada konturi, pa ga ne računamo. Ostaju tri pola: Pol je dvostruki: 122

123 Konačno rešenje je zbir reziduuma: Izračunati integral: Polovi su,. Iz uslova (kontura C) vidimo da i ne pripadaju konturi, pa ga ne računamo. Ostaju dva pola: Pol je dvostruki: 123

124 Konačno: Izračunati integral: Polovi su, Pol je trostruki: 124

125 Konačno: Pošto nam nije data oblast D, definisana konturom C, razmatramo sledeće slučajeve:

126 Izračunati integral: Rešenje: Prvo ćemo nacrtati konturu C: Kad razvijemo ovo po definiciji dobijamo: odavde dobijamo: Sada tražimo vrednosti k (celobrojno) za koje će dobijena tačka oblasti ograničenoj konturom C. pripadati 126

127 nema smisla da ispitujemo za i dalje, jer sigurno neće biti u oblasti D. nema smisla da ispitujemo za i manje, jer sigurno neće biti u oblasti D. Polovi su,. 127

128 Konačno rešenje: Izračunati integral: Rešenje: 128

129 Kontura je krug poluprečnika 1, sa centrom u. Pol je. Pol je trostruki: Konačno: Izračunati integral: Rešenje: Konturu određuje kružnica poluprečnika 5, sa centrom u. Zatim tražimo polove. 129

130 nema potrebe da idemo dalje. Sad idemo u minus: Dakl Polovi su,, Konačno rešenje: 130

131 131

132 Četvrti zadatak Četvrti zadatak je vezan za Laplasovu transformaciju. Laplasova transformacija funkciji realne promenljive pridružuje funkciju kompleksne promenljive (tj. transformiše realnu funkciju u funkciju kompleksne promenljive, koja je algebarskog oblika). Koristi se za rešavanje diferencijalnih jednačina i sistema diferencijalnih jednačina. Logika je sledeća: 1. Imamo diferencijalnu jednačinu realnog argumenta 2. Transformišemo diferencijalnu jednačinu u algebarsku jednačinu kompleksnog argumenta 3. Rešimo algebarsku jednačinu 4. Vratimo rešenje jednačine inverznom Laplasovom transformacijom u realni domen. Osobine i tablice Laplasove transformacije su date u prilogu na kraju zbirke. A sada malo formalnijih stvari: Data je funkcija realne promenljive. Njoj se pridružuje funkcija kompleksne promenljive. Pravilo po kom se vrši ovo pridruživanje naziva se Laplasova transformacija i zapisuje se kao:. Formula po kojoj se pridruživanje vrši: Odskočna funkcija. Definiše se ovako: Laplasova slika je: 132

133 Nalaženje Laplasove transformacije Trebalo bi da prođete one primere na Šonetovim slajdovima a ovde ću dati nekoliko. Dakle koriste se osobine i tablica. Za ispit nisu potrebni neki složeni primeri. Inverzna Laplasova transformacija Inverznom Laplasovom transformacijom, vraćamo funkciju iz s domena u t domen. Postoje dva načina nalaženja inverzne Laplasove transformacije: Preko inverznih razlomaka i preko reziduuma. Zapis inverzne Laplasove transformacije: 1. Svođenje na inverzne razlomke: a) jednostruki pol b) višestruki pol c) konjugovano-kompleksni pol 133

134 2. Pomoću reziduuma 1) je pol I reda 2) je pol višeg (k-tog) reda Na kraju Osobina konvolucije: Ako je funkcija zadata kao proizvod dveju funkcija: Onda se inverzna osobina može odrediti preko osobine konvolucije (znak *). Pri tom su i : pošto je osobina konvolucije komutativna: 134

135 Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije: Rešenje: 1) Reziduum: Imamo dva pola, i. Oba su jednostruka: 2) Razlomci 135

136 Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije: Rešenje: Ovaj zadatak ćemo odraditi preko inverznih razlomaka. Vi probajte i preko reziduuma, dobićete isto. - Ovo je impulsna funkcija. Samo zapamtite da je Laplasova transformacija te funkcije 1, a inverzna L. transformacija od 1 je potrebno znati. Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije: Rešenje: Imamo dva pola, (jednostruki) i (dvostruki): 136

137 Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije: Rešenje: Čitamo iz tablice (stavka 5) Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije: Rešenje: Rastavimo na razlomke: 137

138 Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije. Ovaj zadatak je urađen na slajdovima sa vežbi netačno. Zato ćemo ga ovde uraditi na oba načina. Rešenje: Prvi način (reziduum) Imamo tri pola,,, (jednostruki): 138

139 Drugi način (razlomci) 139

140 Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije: Rešenje: Rastavimo na razlomke: 140

141 Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije: Rešenje: Rastavimo na razlomke: 141

142 Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije: Rešenje: Predstavimo ovu funkciju na sledeći način: Iz tablice osobina, koristimo osobinu odskočne funkcije: Sada treba naći inverznu Laplasovu transformaciju od. Odredi inverznu Laplasovu transformaciju funkcije: 142

143 Rešenje: Ovaj zadatak ćemo rešiti primenom osobine konvolucije. gde su Tražena funkcija je (osobina konvolucije): 143

144 Zadaci za samostalan rad (napominjem da ove zadatke nisam proverio ručno, tako da je moguća greška, samo sam ih prepisao (sa rešenjima) iz jedne zbirke). Potrebno je odrediti inverznu Laplasovu sliku za datu funkciju :

145 Rešenja:

146

147 Rešavanje diferencijalnih jednačina preko Laplasove transformacije Linearne (ne)homogene jednačine je moguće rešiti i preko Laplasove transformacije. Pri tom traži se partikularno rešenje pri zadatim uslovima. Neka je data jednačina: Tražimo funkciju takvu da je. Zatim inverznom Laplasovom transformacijom dobijamo traženu funkciju. Koristi se osobina izvoda Laplasove transformacije: Dakle, upotrebimo ovu osobinu za svako, dobijemo jednačinu iz koje izrazimo, zatim ga inverznom transformacijom prevedemo u traženu funkciju. Koristeći Laplasovu transformaciju, rešite jednačinu: pri uslovima: Rešenje: 147

148 Odatle: Koristeći Laplasovu transformaciju, naći opšte rešenje jednačine: Nalaženje opšteg rešenja je slično kao kod partikularnog. Samo, ovog puta ćemo pretpostaviti da je. Rešenje: Vratimo to u jednačinu: 148

149 Odatle: Neka su i. Koristeći Laplasovu transformaciju, naći opšte rešenje jednačine: Nalaženje opšteg rešenja je slično kao kod partikularnog. Samo, ovog puta ćemo pretpostaviti da je. Rešenje: 149

150 Vratimo to u jednačinu: Sada bi trebalo razložiti na izložioce. To se radi na sledeći način: Imamo funkciju. Koristimo Tejlorov razvoj: u tački (izjednačimo imenilac sa nulom). 150

151 Takođe, isti rezultat bi se dobio kada bismo uradili: Vratimo to: Inverznom Laplasovom transformacijom dobijamo: Koristeći Laplasovu transformaciju, naći opšte rešenje jednačine: pri uslovima Rešenje: Krećemo sa transformacijom: 151

152 Da bismo odredili preostalu Laplasovu transformaciju (integral) Koristimo osobinu 12. (konvolucija) iz tablice Laplasovih transformacija. Osobina glasi dakle Vratimo to u jednačinu: Odatle: 152

153 Koristeći Laplasovu transformaciju, naći opšte rešenje jednačine: Rešenje: Za početak treba da prevedemo u analitički oblik. To se radi preko hevisajdove (odskočne) funkcije. Prvo pogledamo koliko intervala imamo. U ovom slučaju su dva: U ovom slučaju funkcija je: U ovom slučaju funkcija je: Ukupno je: Sad se vraćamo na zadatak. Pretpostavimo da je : Vratimo to u jednačinu: 153

154 Odatle: Koristeći Laplasovu transformaciju, naći opšte rešenje jednačine: pri uslovima: Rešenje: Prevodimo u analitički oblik. U ovom slučaju funkcija je: U ovom slučaju funkcija je: Ukupno je: Sad se vraćamo na zadatak: 154

155 Vratimo to u jednačinu: Odatle: Zadaci za samostalan rad:

156 Rešenja:

157 Rešavanje sistema diferencijalnih jednačina preko Laplasove transformacije Sisteme nehomogenih diferencijalnih jednačina je moguće rešiti putem Laplasove transformacije. Ovog puta tražimo dve funkcije: i. Dobija se sistem dve jednačine sa dve nepoznate Rešavanjem ovog sistema dobijamo ove dve funkcije. Zatim inverznom Laplasovom transformacijom iz njih dobijamo tražene funkcije. Koristeći Laplasovu transformaciju, naći rešenje sistema: Rešenje: Sistem ćemo rešiti Kramerovom metodom. Sistem: Kramerova metoda za sistem sa dve jednačine sa dve nepoznate: Determinante: Rešenja: 157

158 Dakle, konačno rešenje je: 158

159 Zadaci za samostalan rad:

160 Rešenja:

161

162 JEDNAČINA SA RAZDVOJENIM PROMENLJIVIMA... 4 HOMOGENA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA PRVOG REDA...11 LINEARNA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA PRVOG REDA...14 BERNULIJEVA DIFERENCIJALNA JEDNAČINA...17 JEDNAČINE SA TOTALNIM DIFERENCIJALOM...20 REŠENJA ZADATAKA:...25 INTEGRALI POTREBNI ZA REŠAVANJE ZADATAKA IZ ZBIRKE:...31 HOMOGENE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE VIŠEG REDA...41 NEHOMOGENE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE VIŠEG REDA...44 Zadaci za samostalan rad: Resenja: JEDNAČINE KOJIMA SE MOŽE SNIZITI RED...54 Zadaci: Rešenja Zadaci: Rešenja HOMOGENI SISTEMI...57 Zadaci za samostalan rad: Rešenja: NEHOMOGENI SISTEMI...81 Metoda neodređenih koeficijenata: Metoda varijacije konstanti NELINEARNI SISTEMI...92 PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

163 FUNKCIJA KOMPLEKSNE PROMENLJIVE IZVOD FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE. KOŠI-RIMANOVI USLOVI Zadaci za samostalan rad: Rešenja: INTEGRAL FUNKCIJE KOMPLEKSNE PROMENLJIVE. REZIDUUM Nalaženje Laplasove transformacije Inverzna Laplasova transformacija Rešenja: REŠAVANJE DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA PREKO LAPLASOVE TRANSFORMACIJE Zadaci za samostalan rad: Rešenja: REŠAVANJE SISTEMA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA PREKO LAPLASOVE TRANSFORMACIJE Zadaci za samostalan rad: Rešenja:

164 ОСОБИНЕ ЛАПЛАСОВЕ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ ОРИГИНАЛ ( f (), t g() t ) СЛИКА ( F(), s G() s ) 1. α f() t ± β g() t α Fs ( ) ± βgs ( ) 2. f ( at ) 1 s F( ), a > 0 a a as 3. f ( t a) U( t a ) e F(), s a > 0 at 4. e f() t Fs ( a ) 5. tf() t F () s n 6. t f() t F s n n ( n) ( 1) ( ), 7. f () t t s F( z) dz 8. f () t sf() s f (0) 9. f ( n ) () t sfs s f f n n 1 ( ( ) n 1) (0)... (0) 10. t 0 f ( xdx ) F() s s 11. t t1 t n 1 dt dt... f ( t ) dt n n Fs (), n n s t 1 2 = f f () t f ( t x) f ( x) dx F1() s F2() s 12. ( ) 12. ( ) t > 0 f( t) = f( t + T) 1 st Fs () = () 1 st e ftdt e T 0

165 ОСНОВНЕ ЛАПЛАСОВЕ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ ОРИГИНАЛ СЛИКА n t 1 1, Re( s) > 0 s n!, Re( s n+ ) > 0, n s e 3. Ut ( a ), Re( s) > 0, a > 0 s 4. at e as 1, Re( s )> a s a a 5. sin at, Re( s ) > s + a s 6. cos at, Re( s ) > s + a n as n! 7. ( t a) U( t a) e + 1, Re( s ) > 0, a > n 0 s as b 8. si n bt ( a) Ut ( a) e, Re( s) > 0, a > s + b as s 9. co s bt ( a) Ut ( a) e, Re( s) > 0, a > s + b 10. at n e t n 1 n!, Re( s) > a, n ( s a) + at b 11. e sin bt, Re( s ) 2 2 ( s a) + b at s a 12. e cosbt, Re( s ) 2 2 ( s a) + b 2as 13. tsin at, Re( s) > ( s + a ) 14. t cos at 15. sin at t > a > a 2 2 s a, Re( s ) > ( s + a ) π s arctg, Re( s) > 0 2 a a 16. sh at, Re( s ) > a 2 2 s a s 17. ch at, Re( s ) > a 2 2 s a

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Neodred eni integrali

Neodred eni integrali Neodred eni integrali Definicija. Za funkciju F : I R, gde je I interval, kažemo da je primitivna funkcija funkcije f : I R ako je za svako I. F () f() Teorema 1. Ako je F : I R primitivna funkcija za

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006.

dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE JEDNAČINE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr Lidija Stefanović, mr Marjan Matejić, dr Slad ana Marinković DIFERENCIJALNE

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije

Glava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije Glava 1 Z transformacija 1.1 Pojam z transformacije U elektrotehnici se vrlo često susrećemo sa signalima koji su diskretnog tipa. To znači da je radimo sa signalima koji su zadati svoji vrednostima samo

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Eksponencijalna i logaritamska funkcija

Eksponencijalna i logaritamska funkcija 16 1. UVOD U ANALIZU Rešenje. Kako je ovo neprava funkcija, deljenjem nalazimo da je (11) f() = 1 + 5 6 + 1 3 5 + 6 = 1 + 5 6 + 1 ( )( 3). Prema postupku navedenom u teoremi 1.7, važi razlaganje odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković

MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković MATEMATIKA II VEŽBE Dr Boban Marinković 1 Neodredjeni integral dx = x + C, dx x = ln x + C, dx = arcsin x + C, 1 x 2 a x dx = ax ln a + C, cos x dx = sin x + C, dx x 2 a = 1 2 2a ln x a x + a + C, dx x2

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka zadataka iz Matematike I

Zbirka zadataka iz Matematike I UNIVERITET U NOVOM SADU TEHNOLOŠKI FAKULTET Tatjana Došenović Dušan Rakić Aleksandar Takači Mirjana Brdar birka zadataka iz Matematike I - za studente Tehnološkog fakulteta - Novi Sad, 008. UNIVERITET

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Karakteristične kontinualne funkcije Laplasova transformacija

Karakteristične kontinualne funkcije Laplasova transformacija Karakteristične kontinualne funkcije Laplasova transformacija Signali Fizikalne karakteristike signala ćemo opisati matematičkim modelima koji će s dovoljno tačnosti prikazati osnovna svojstva realnih

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

KONTURNA INTEGRACIJA

KONTURNA INTEGRACIJA KONTURNA INTEGRACIJA Materijal sa sedme radne Ljaškijade - jun 14. Studentska asocijacija Eneter emineter.wordpress.com Ovo je materijal za rešavanje pet tipova integrala koristeći teoreme kompleksne analize

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu P R I P R E M N I Z A D A C I za DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Š.G. 005 / 006. UPUTSTVO: 1. Za svaki od prva četiri zadatka

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0.

y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0. 73 7 Diferenciranje 7. Marginalna funkcija i izvod Ako su dve veličine, y i x, povezane linearnom funkcijom, y = f(x) = kx + n, onda se y menja ravnomerno u odnosu na x, tj. važi formula (43) y x = k =

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 64 Glava IV : DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA 4 Osnovni pojmovi Činjenica da se mnogi zakoni fizike i drugih nauka iskazuju uz pomoć diferencijalnih jednačina

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

PRIJEMNI ISPIT ZA MASTER STUDIJE NA DEPARTMANU ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU PMF UNS x 2 + y j. Pokazati da je krivolinijski integral

PRIJEMNI ISPIT ZA MASTER STUDIJE NA DEPARTMANU ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU PMF UNS x 2 + y j. Pokazati da je krivolinijski integral PRIJEMNI ISPIT ZA MASTER STUDIJE NA DEPARTMANU ZA MATEMATIKU I 7.10.2015. ODJ Neka je u C 2 ([α, β]), u(α) = u(β) = 1 2015 Pokazati da je u(t) 0 za sve t [α, β]. Lu = au + b(t)u + c(t)u rešenje jednačine

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive KOMPLEKSNA ANALIZA. Funkcije kompleksne promenljive Neka je R skup realnih brojeva, a C skup kompleksnih brojeva. Definicija. Ako je E R, preslikavanje f : E C se naziva kompleksna funkcija realne promenljive.

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2

ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2 Mr VENE T BOGOSLAVOV ZBIRKA REŠENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE 5 ispravljeno izdanje ZAVOD ZA UDŽBENIKE BEOGRAD Redaktor i recenzent DOBRILO TOŠIĆ Urednik MILOLJUB ALBIJANIĆ Odgovorni urednik MILORAD MARJANOVIĆ

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 3: Dinamički modeli sistema u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 3: Dinamički modeli sistema u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKO UPAVLJANJA POCESIMA Vežba br. : Dinamički modeli itema u MATLABu I Prenone funkcije Dinamički itemi e mogu prikazati u tri domena: vremenkom, Laplace-ovom i frekentnom. U vremenkom domenu

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna

Διαβάστε περισσότερα

1. Funkcije više promenljivih

1. Funkcije više promenljivih 1. Funkcije više promenljivih 1. Granične vrednosti funkcija više promenljivih Definicija 1. Funkcija f : D( R n R ima graničnu vrednost u tački (x 0 1, x 0 2,..., x 0 n D i jednaka je broju α R ako važi

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα