Sistemi linearnih jednačina

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Sistemi linearnih jednačina"

Transcript

1 Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n.. (0.1) Ako je b 1 = b 2 = = b n = 0, za sistem jednačina (0.1) se kaže da je homogen. Ured ena n-torka brojeva (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) je rešenje sistema jednačina (0.1) ako se svaka jednačina ovog sistema za x k = ξ k (k = 1, 2,..., n) svodi na identitet, tj. svaka jednačina je zadovoljena. Za sistem tada kažemo da je saglasan ili rešiv. Kramerove formule Koordinate vektora rešenja sistema jednačina (0.1) odred ene su formulama gde je i x k = D k D (k = 1, 2,..., n), a 11 a a 1n a 21 a a 2n D = a n1 a n2... a nn 1

2 2 a a 1,k 1 b 1 a 1,k+1... a 1n a a 2,k 1 b 2 a 2,k+1... a 2n D k = a n1... a n,k 1 b n a n,k+1... a nn Gausov metod Kod Gausovog metoda eliminacije polazni sistem se svodi na ekvivalentan sistem (sistem koji ima ista rešenja kao i polazni) a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x a (1) 1n x n = b (1) 1, a (2) 22 x a (2) 2n x n = b (2) 2, a (n) nn x n = b (n) n, gde se do rešenja dolazi sukcesivno, polazeći od poslednje jednačine. x n = b(n) n a (n) nn, x i = 1 a (i) ii ( b (i) i n k=i+1 ) a (i) ik x k (i = n 1,..., 1). Gausov metod se može primeniti i na sistem koji ima različit broj jednačina u odnosu na broj nepoznatih. Na primer, ako je broj jednačina m veći od broja nepoznatih n dobija se ekvivalentan sistem a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x a (1) 1n x n = b (1) 1, a (2) 22 x a (2) 2n x n = b (2) 2, a (n) nn x n = b (n) n, a (n) mnx n = b (n) m. Ovaj sistem ima rešenje ako se iz poslednjih m n+1 jednačina dobija ista vrednost za x n, tj. ako je x n = b(n) n a (n) nn = = b(n) m a (n). mn..

3 3 Kroneker-Kapelijeva teorema Za sistem od m linearnih jednačina sa n promenljivih a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m definišemo matricu sistema a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn i proširenu matricu sistema a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b 2 B = a m1 a m2... a mn b m Teorema 1. (Kroneker-Kapelijeva) Sistem jednačina je saglasan ako i samo ako je rang A = rang B. Teorema 2. Da bi saglasan sistem linearnih jednačina imao jedinstveno rešenje potrebno je i dovoljno da rang matrice sistema bude jednak broju nepoznatih. Teorema 3. Da bi homogen sistem linearnih jednačina imao netrivijalno rešenje potrebno je i dovoljno da rang matrice sistema bude manji od broja nepoznatih.. Zadaci 1. U zavisnosti od realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina x + ay + z = 1, x + y + az = 1, x + a 2 y + z = a.

4 4 Rešenje: I način. Dati sistem linearnih jednačina je kvadratni, pa za diskusiju i rešavanje može da se primeni Kramerov metod. Determinanta sistema je 1 a 1 D = 1 1 a 1 a 2 1 = 1 a a a 1 0 a 2 a 0 = 1 a a 1 a(a 1) 0 = a(a 1)2. Determinante dobijene zamenom odgovarajućih kolona determinante sistema kolonom sastavljenom od slobodnih članova jednačina su: 1 a 1 D x = 1 1 a a a 2 1 = 1 a a a a = (a 1)2, D y = 1 1 a 1 a 1 = a 1 0 a 1 0 = 0 a 1 a 1 0 = (a 1)2, 1 a 1 D z = a 2 a = 1 a a 0 0 a 2 a a 1 = 1 a 0 a(a 1) a 1 = (a 1)2. Kako je D = 0 za a = 0 ili a = 1, razlikujemo tri slučaja u zavisnosti od parametra a. 1 Ako je a 0 i a 1, tada je D 0, pa sistem ima jedinstveno rešenje odred eno sa x = D x D = (a 1)2 a(a 1) 2 = 1 a, y = D y D = (a 1)2 a(a 1) 2 = 1 a, z = D z (a 1)2 = D a(a 1) 2 = 1 a. ( Dakle, rešenje je (x, y, z) = 1 a, 1 a, 1 ). a 2 Ako je a = 0, tada je D = 0, D x 0, D y 0, D z 0, pa sistem nema rešenje. 3 Ako je a = 1, tada je D = D x = D y = D z = 0, pa Kramerov metod ne daje odgovor da li rešenje sistema postoji. Zamenom vrednosti parametra a = 1, sistem dobija oblik x + y + z = 1, x + y + z = 1, x + y + z = 1,

5 tj. svodi se na jednu jednačinu koja je zadovoljena ako je x = 1 y z, za proizvoljno y, z R. Zato sistem ima beskonačno mnogo rešenja (x, y, z) = (1 y z, y, z), y, z R. II način. Za diskusiju sistema koristićemo Kroneker Kapelijevu teoremu. Matrica sistema i proširena matrica sistema su 1 a 1 1 a 1 1 A = 1 1 a, B = 1 1 a 1. 1 a a 2 1 a Primenom elementarnih transformacija na vrste matrice B, i to: - oduzimanje prve vrste od druge i treće vrste redom, - množenje druge vrste sa a i dodavanje trećoj vrsti, dobijamo njoj ekvivalentnu matricu čiji su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki 0: 1 a a 1 1 B = 1 1 a 1 = 0 1 a a a 2 1 a 0 a 2 a 0 a 1 1 a 1 1 = 0 1 a a a(a 1) 0 a 1 1 a 1 1 = 0 1 a a a(a 1) a 1 Prve tri kolone dobijene matrice čine trougaonu matricu ekvivalentnu matrici A. Njena determinanta jednaka je proizvodu elemenata na glavnoj dijagonali, što znači da je različita od 0 ako je a 0 i a 1. Zato razlikujemo tri slučaja za vrednosti parametra a. 1 Za a 0 i a 1 važi rang A = rang B = 3, što znači da sistem ima jedinstveno rešenje. Umesto polaznog, rešavamo njemu ekvivalentan trougaoni sistem koji odgovara transformisanim matricama: x + ay + z = 1, (1 a)y + (a 1)z = 0, a(a 1)z = a 1. Rešavanjem redom treće, druge i prve jednačine dobijamo pa je rešenje sistema (x, y, z) = 2 Ako je a = 0, važi z = 1 a, y = z = 1 a, x = 1 ay z = 1 a, ( 1 a, 1 a, 1 ). a. 5

6 B = i rang B = 3. Prve tri kolone čine matricu ekvivalentnu matrici A, pa je rang A = 2. Prema Kroneker Kapelijevoj teoremi, sistem nema rešenje. 3 Ako je a = 1, važi B = Sada je rang A = rang B = 1, što znači da sistem ima beskonačno mnogo rešenja, pri čemu se jedna nepoznata izražava kao linearna kombinacija preostale dve. Zaista, sistem se svodi na jednu jednačinu x + y + z = 1, koja je zadovoljena za x = 1 y z, y, z R. Prema tome, rešenja sistema su (x, y, z) = (1 y z, y, z), y, z R. 2. U zavisnosti od realnog parametra k diskutovati i rešiti sistem jednačina x + y 3z = 1, 2x + y + z = 2, x + 2y + kz = 3, x + 4y + 4kz = 1 2k. Rešenje: Dati sistem linearnih jednačina nije kvadratni, pa ne mogu da se primene Kramerove formule. Zato sistem diskutujemo primenom Kroneker Kapelijeve teoreme. Elementarnim transformacijama nad vrstama proširene matrice sistema dobijamo sledeći niz ekvivalentnih matrica: B = k k 1 2k = = k (k + 2) 2(k + 2) k k + 3 2k = k (k + 2).

7 7 Prve tri kolone čine matricu ekvivalentnu matrici A. 1 Za k 2 važi rang A = 3, rang B = 4, što znači da sistem nema rešenja. 2 Ako je k = 2 imamo B = , pa je rang A = rang B = 2, tj. sistem ima beskonačno mnogo rešenja kod kojih su dve koordinate izražene preko treće. Ekvivalentni sistem koji se rešava je x + y 3z = 1, 3y 5z = 4. Iz druge jednačine je y = (4 + 5z)/3, a zamenom u prvoj jednačini dobija se x = ( 1 + 4z)/3. Dakle, rešenja su ( 1 + 4z 4 + 5z ) (x, y, z) =,, z, z R U zavisnosti od realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina 2x y + 28t = 3, x + z + 16t = 1, 5x 3y + z + a 2 t = a. Rešenje: Primenom elementarnih transformacija nad vrstama, matricu sistema i proširenu matricu sistema dovodimo na gornje trougaoni oblik, pogodan za odred ivanje rangova tih matrica B = = a 2 a a 2 a = = a a a a 10 (0.2) I korak: Zamenimo mesta prvoj i drugoj vrsti. II korak: Prvu vrstu pomnoženu sa 2 i 5 dodamo redom drugoj i trećoj vrsti. III korak: Drugu vrstu pomnoženu sa 3 oduzmemo od treće.

8 8 Vrednosti dijagonalnih elemenata (na glavnoj dijagonali i dijagonali paralelnoj njoj, s obzirom da sistem nije kvadratan) odred uju rang posmatranih matrica sistema. 1 a ±10 : rang A = rang B = 3 < 4 = broj nepoznatih. Sistem ima beskonačno mnogo rešenja koja parametarski zavise od jedne od nepoznatih. Iz proširene matrice sistema (0.2) čitamo preured ene jednačine x + z + 16t = 1, y + 2z + 60t = 5, (a 2 100)t = a 10. Eliminacijom nepoznatih dobijamo x + z = 1 16 a+10, y + 2z = 5 60 a+10, t = 1 a+10, x = z + 6 a a+10, y = 2z a a+10, t = 1 a+10, z R, pa su rešenja sistema za vrednosti realnog parametra a ±10 oblika ( (x, y, z, t) = z + 6 a 10 5a, 2z + a + 10 a + 10, z, 1 ), z R. a a = 10 : Zamenom vrednosti parametra a = 10 u (0.2) matrice sistema postaju Sada je rang A = rang B = 2 < 4 = broj nepoznatih, te na osnovu Kroneker- Kapelijevog stava, br.nepoznatih-rang A = 2 nepoznate biramo za slobodne promenljive, i preostale rang A = 2 nepoznate rešavamo u funkciji od slobodnih parametara. Tako, rešenja preured enog sistema, ekvivalentnog polaznom, { x + z + 16t = 1, mogu biti opisana sledećim jednakostima tj. glase y + 2z + 60t = 5, x = z + 16t 1, y = 2z + 60t 5, z, t R,

9 9 (x, y, z, t) = (z + 16t 1, 2z + 60t 5, z, t), z, t R. 3 a = 10 : Iz (0.2), zamenom a = 10, sledi , tj. rang A = 2 rang B = 3. Na osnovu Kroneker-Kapelijeve teoreme, za ovu vrednost parametra rešenje sistema ne postoji. 4. U zavisnosti od realnog parametra a diskutovati sistem linearnih jednačina (a 1)x + y + (1 a)z = 0, x + y + z = 1, (1 + a)x + y + (a + 1)z = 2. Rešenje: Proširena matrica sistema je a a 0 B = , 1 + a 1 a a prve tri kolone čine matricu sistema A. Za odred ivanje njihovog ranga najpre med usobno zamenimo mesta prvoj i drugoj koloni, a zatim nastavimo sa elementarnim transformacijama nad vrstama: 1 a 1 1 a 0 1 a 1 1 a 0 B = = 0 a a a a a 2 1 a 1 1 a 0 1 a 1 1 a 0 = 0 2 2a 2 = 0 1 a 1. 0 a a a(a + 1) a + 1 U zavisnosti od vrednosti parametra a razlikujemo tri slučaja. 1 Za a 0 i a 1 je rang A = rang B = 3, pa sistem ima jedinstveno rešenje. Kako su pri transformaciji matrica zamenjena mesta prvoj i drugoj koloni, tj. kolonama koje su sastavljene od koeficijenata uz x i y redom, rešavamo sistem y + (a 1)x + (1 a)z = 0, x + az = 1, a(a + 1)z = a + 1,

10 10 i dobijamo z = 1 a, x = 1 a 1 a = 0, y = (1 a)1 a = a 1. Dakle, rešenje je a ( a 1 (x, y, z) = 0, a, 1 ). a 2 Za a = 1 imamo B = , odakle je rang A = rang B = 2, pa sistem ima beskonačno mnogo rešenja. Umesto polaznog, rešavamo sistem y 2x + 2z = 0, x z = 1 i dobijamo x = z + 1, y = 2(z + 1) 2z = 2. Dakle, rešenja su (x, y, z) = (z + 1, 2, z), z R. 3 Ako je je a = 0, važi B = Sada je rang A = 2 i rang B = 3, što znači da sistem nema rešenja. 5. U zavisnosti od realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina x + y + z = 6, ax + 4y + z = 5, 6x + (a + 2)y + 2z = 13. Rešenje: Elementarnim transformacijama nad vrstama matrica sistema i pro širena matrica sistema istovremeno dobijaju gornje trougaoni oblik. Iz ovog oblika se jednostavno uočavaju rangovi matrica kao i njihova zavisnost od vrednosti realnog parametra a B = a = 0 4 a 1 a 5 6a 6 a a = 0 a (0.3) a 18 6a

11 11 I korak: prva vrsta matrice pomnožena sa a je dodata drugoj vrsti, a pomnožena sa -6 dodata trećoj vrsti. II korak: treća vrsta dodata drugoj, a zatim su tim dvema vrstama zamenjena mesta. Na osnovu dijagonalnih elemenata matrice sistema, zaključujemo da su za njen rang kritične vrednosti parametra a, 3 i 4. 1 a 3, 4 : Tada je rang A = rang B = 3 = broj nepoznatih. Na osnovu Kroneker-Kapelijeovog stava, sistem ima jedinstveno rešenje za ovakav izbor vrednosti parametra a. Iz (0.3), polazni sistem je ekvivalentan jednačinama x + y + z = 6, (a 4)y 4z = 23, (a + 3)z = 6(a + 3). Odatle, eliminacijom nepoznatih dolazimo do rešenja: z = 6(a + 3) a + 3 = 6, y = a x = 6 y z = y = 1 4 a, = 1 a 4, ( 1 tj. (x, y, z) = 4 a, 1 ) a 4, 6. 2 a = 4 : Zamenom ove vrednosti parametra a u (0.3), matrice sistema postaju B = = /4 = / /4 I korak: drugu i treću vrstu podelimo redom sa 4 i 7. II korak: drugu vrstu oduzmemo od treće. rang A = 2 rang B = 3, pa sistem nema rešenja u ovom slučaju. 3 a = 3 : Na osnovu (0.3), matrice sistema za a = 3 glase B = , Polazni sistem je ekvivalentan jednačinama rang A = rang B = 2 < 3 = broj nepoznatih. x + y + z = 6, 7y + 4z = 23.

12 12 Sistem ima beskonačno mnogo rešenja, pri čemu je jedna od nepoznatih slobodan parametar, npr. x = 1 7 (19 3z), y = 1 (23 4z), z R. 7 ( 19 3z 23 4z ) Rešenja su (x, y, z) =,, z, z R U zavisnosti od parametara a, b R diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina x + y + z = 0, x + ay + a 2 z = 1, ax + y + a 2 z = b. Rešenje: Posmatra se istovremeno rang matrice i rang proširene matrice sistema jednačina, i njihova zavisnost od mogućih vrednosti realnih parametara a i b. Elementarnim transformacijama nad vrstama, pomenute matrice dobijaju gornje trougaoni oblik, iz koga se lako čitaju rangovi matrica B = 1 a a 2 1 = 0 a 1 a a 1 a 2 b 0 1 a a 2 a b = 0 a 1 a (0.4) 0 0 2a 2 a 1 b + 1 I korak: prvu vrstu matrice oduzmemo od druge, a pomnoženu sa a oduzmemo od treće vrste. II korak: drugu vrstu dodamo trećoj. Na osnovu dijagonalnih elemenata matrice sistema a 1 i 2a 2 a 1 = 2(a 1)(a + 1/2), sledi da su za rang kritične vrednosti parametra a = 1 i a = 1/2. 1 a 1, 1/2 : Tada je rang A = rang B) = 3 = broj nepoznatih. Na osnovu Kroneker-Kapelijevog stava, sistem ima jedinstveno rešenje za ovakav izbor vrednosti parametra a, bez obzira na vrednosti parametra b. Čitajući (0.4), polazni sistem je ekvivalentan sistemu x + y + z = 0, (a 1)y + ( a 2 1 ) z = 1, ( 2a 2 a 1 ) z = b + 1.

13 13 Odatle, eliminacijom nepoznatih dolazimo do rešenja b + 1 z = 2a 2 a 1, y = 1 ( a 2 1 ) z = ab + b a a 1 2a 2 a 1, x = y z = ab a 1 2a 2 a 1. 2 a = 1 : Zamenom ove vrednosti parametra a u (0.4), matrice sistema postaju = b Tada je rang A = 1 rang B = 2, pa sistem nema rešenja u ovom slučaju, nezavisno od vrednosti parametra b. 3 a = 1/2 : Na osnovu (0.4), matrice sistema za a = 1/2 glase /2 3/ b + 1 Za b = 1, rang A = rang B = 2 < 3 = broj nepoznatih, za b 1, rang A = 2 rang B = 3. Zaključujemo da za vrednost parametra a = 1/2, polazni sistem ima rešenja akko je b = 1, i tada je ekvivalentan jednačinama { x + y + z = 0, 3/2y 3/4z = 1. Sistem ima beskonačno mnogo rešenja, pri čemu je jedna od nepoznatih slobodan parametar, npr. x = 1 6 (4 3z), y = 1 (4 + 3z), z R U zavisnosti od realnih parametara a i b diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina ax + 4y + z = 0, 2y 3z = 1, 2x bz = 2.

14 14 Rešenje: Matrica sistema i proširena matrica sistema glase a b 2 Elementarnim transformacijama nad vrstama dovodimo ove matrice na gornje trougaoni oblik, zbog jednostavnijeg čitanja rangova tih matrica. a b b = = b 2 a ab 2 a 2 I korak: Drugu vrstu pomnoženu sa 2 oduzmemo od prve vrste. Zamenimo mesta prvoj i trećoj vrsti. II korak: Prvu vrstu pomnoženu sa a/2 oduzmemo od treće vrste. Diskusija rešenja sistema odvija se oko vrednosti 7 + ab 2 = 14+ab 2, poslednjeg elementa glavne dijagonale matrice sistema A. 1 ab 14 : rang A = rang B = 3 = broj nepoznatih. Sistem ima jedinstveno rešenje koje dobijamo eliminacijom nepoznatih iz jednačina 2x bz = 2, x = bz 2 2, x = 2 b+7 14+ab, 2y 3z = 1, y = 1+3z 2, y = ab+6a+2 2(14+ab), 14+ab 2 z = a 2, z = 2(a 2) 14+ab, z = 2(a 2) 14+ab. 2 ab = 14 : Za ovakvu kombinaciju vrednosti parametara a i b transformisane matrice sistema glase 2 0 b , a 2 te je rang A = 2. Rang proširene matrice B zavisi od vrednosti a 2, elementa u trećoj vrsti. U slučaju a 2, rang B = 3 rang A, pa sistem nema rešenja. Za vrednost parametra a = 2, s obzirom na pretpostavku ab = 14, važi b = 7. Matrice sistema tada glase , pa je rang B = 2 = rang A < 3 = broj nepoznatih, i sistem ima beskonačno mnogo rešenja:

15 15 x = 2 + 7z 2, y = 1 + 3z, z R U zavisnosti od realnog parametra λ diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina x y λz = 1, (λ + 1)y + (λ 1)z = 0, (λ + 1)x (λ + 1)z = 1. Rešenje: Od koeficijenata uz nepoznate sistema formiramo matricu sistema A. Dodavanjem kolone slobodnih članova dobijamo proširenu matricu sistema Ã. 1 1 λ 1 0 λ + 1 λ 1 0. λ (λ + 1) 1 Zbog lakšeg odred ivanja i pored enja rangova ovih matrica, elementarnim transformacijama nad vrstama, dovodimo matrice na gornje trougaoni oblik. 1 1 λ λ 1 0 λ + 1 λ 1 0 = 0 λ + 1 λ 1 0 λ (λ + 1) 1 0 λ + 1 (λ 1)(λ + 1) λ 1 1 λ 1 = 0 λ + 1 λ 1 0. (0.5) 0 0 λ(λ 1) λ I korak: Prvu vrstu pomnoženu sa λ + 1 oduzmemo od treće vrste. II korak: Oduzmemo drugu vrstu od treće. Rangovi matrica sistema zavise od vrednosti dijagonalnih elemenata. 1 λ 0, ±1 : rang A = rang B = 3 = broj nepoznatih. Sistem ima jedinstveno rešenje. Eliminacijom nepoznatih iz jednačina koje čitamo iz (0.5) dobijamo x = 1 + y + λz, x y λz = 1, x = 2 (λ 1)z λ 2 1, (λ + 1)y + (λ 1)z = 0, y = λ + 1, y = 1 λ(λ 1)z = λ, z = 1 λ + 1, λ 1, z = 1 λ 1. 2 λ = 0 : Zamenom ove vrednosti parametra λ u (0.5) dobijamo

16 , pa je rang A = rang B = 2 < 3 = broj nepoznatih. Sistem ima beskonačno mnogo rešenja, opisanih sa x = y + 1, z = y, y R. 3 λ = ±1 : Zamenom ovih vrednosti parametra λ u (0.5) dobijamo sledeće matrice λ = 1 : 0 λ = , λ λ = 1 : U oba slučaja je rang A = 2 rang B = 3, i sistem nema rešenja za ovakav izbor vrednosti parametra λ. 9. Ispitati za koje vrednosti parametra a R homogeni sistem ima i netrivijalna rešenja i odrediti ih. x + y + 3z + at = 0, x + 2y + 4z + 2t = 0, x + 3y + 3z + 2t = 0, 2x + 2y + 3z + 4t = 0 Rešenje: Kako je a a a A = = a a = a a a a a a = a a 2 = a a (4 2a) (a 2)

17 Za a 2 je rang A = 4, pa sistem ima samo trivijalno rešenje (x, y, z, t) = (0, 0, 0, 0). Za a = 2 je A = i rang A = 3. Zato homogeni sistem ima i netrivijalna rešenja, koja se nalaze rešavanjem ekvivalentnog sistema x + y + 3z + 2t = 0, y + z = 0, 2z = 0. Iz treće i druge jednačine redom sledi z = 0, y = 0, a zamenom u prvoj jednačini dobija se x = 2t. Prema tome, rešenja sistema su (x, y, z, t) = ( 2t, 0, 0, t), t R. 10. U zavisnosti od parametra a R diskutovati i rešiti homogeni sistem linearnih jednačina x + y z = 0, ax + 4y + z = 0, 5x + (a + 1)y 4z = 0. Rešenje: Odred ujemo najpre rang matrice sistema: A = a 4 1 = 0 4 a 1 + a = 0 4 a 1 + a. 5 a a a + 2 Razlikujemo tri slučaja. 1 Za a 4 i a 2 važi rang A = 3, pa u tom slučaju sistem ima samo trivijalno rešenje (x, y, z) = (0, 0, 0). 2 Za a = 2 je A = 0 6 1, pa je rang A = 2, što znači da homogeni sistem ima i netrivijalna rešenja. Ona se odred uju rešavanjem ekvivalentnog sistema 17

18 18 x + y z = 0, 6y z = 0 i glase (x, y, z) = (5y, 6y, y), y R. 3 U slučaju a = 4 dobijamo A = = 0 0 1, odakle je rang A = 2, pa sistem ima i netrivijalna rešenja: x + y z = 0, z = 0, x = y, z = 0, (x, y, z) = ( y, y, 0). 11. Odrediti vrednost realnog parametra k tako da vektori a = (1, 2, k, 1), b = (0, 3, 2, 1), c = (2, 3, 2k, 3), d = (3, 1, 0, k 2) budu linearno zavisni, a zatim predstaviti vektor d kao linearnu kombinaciju vektora a, b i c. Rešenje: Formirajmo linearnu kombinaciju datih vektora α 1 a + α 2 b + α 3 c + α 4 d = α 1 (1, 2, k, 1) + α 2 (0, 3, 2, 1) + α 3 (2, 3, 2k, 3) + α 4 (3, 1, 0, k 2) = (α 1, 2α 1, kα 1, α 1 ) + (0, 3α 2, 2α 2, α 2 ) + (2α 3, 3α 3, 2kα 3, 3α 3 ) + (3α 4, α 4, 0, (k 2)α 4 ) i izjednačimo je sa nula vektorom. Tada koeficijenti α 1, α 2, α 3 i α 4 zadovoljavaju homogeni sistem linearnih jednačina Odred ujemo rang matrice sistema: α 1 + 2α 3 + 3α 3 = 0, 2α 1 + 3α 2 + 3α 3 α 4 = 0, kα 1 2α 2 + 2kα 3 = 0, α 1 + α 2 3α 3 + (k 2)α 4 = 0.

19 A = k 2 2k k = k k k 10 = = k = k k k (k + 2) k k U zavisnosti od parametra k razlikujemo dva slučaja. 1 Za k 2 je rang A = 4, pa homogeni sistem ima samo trivijalno rešenje (α 1, α 2, α 3, α 4 ) = (0, 0, 0, 0). To znači da su vektori a, b, c, d linearno nezavisni. 2 Kada je k = 2, onda je A = Kako je rang A = 3, sistem ima i netrivijalna rešenja, koja odred ujemo iz α 1 + 2α 3 + 3α 4 = 0, α 2 α 3 α 4 = 0, 2α 3 + 4α 4 = 0. Rešavanjem poslednjeg sistema dobijamo redom α 3 = 2α 4, α 2 = 3α 4 i α 1 = 7α 4, pa je (α 1, α 2, α 3, α 4 ) = ( 7α 4, 3α 4, 2α 4, α 4 ),, α 4 R.. Na primer, za α 4 = 1 imamo: α 1 = 7, α 2 = 3, α 3 = 2, pa važi 7a + 3b + 2c + d = θ, što znači da su dati vektori linearno zavisni. Pri tome je d = 7a 3b 2c U zavisnosti od realnog parametra a diskutovati i rešiti sistem linearnih jednačina x + 2y az = 2, x + 7y 4z = a + 2, 2x + (4 5a)y az = 5.

20 20 Rešenje: Matrice sistema, elementarnim transformacijama nad vrstama, preuredimo u slične gornje trougaone matrice. 1 2 a a a + 2 = 0 5 a 4 a 2 4 5a a 5 0 5a a a 2 = 0 5 a 4 a 0 0 a 2 3a a a 2 = 0 5 a 4 a (0.6) 0 0 a(a 3) (a 3)(a + 3) I korak: Prvu vrstu oduzmemo od druge, a pomnoženu sa 2 oduzmemo od treće vrste. II korak: Drugu vrstu pomnoženu sa a dodamo trećoj. Dijagonalni elementi transformisane matrice odred uju kritične vrednosti parametra za diskusiju rešenja. 1 a 0, 3 : rang A = rang B = 3 = broj nepoznatih. Iz (0.6) čitamo ekvivalentan trougaoni sistem x = 2 2y + az, x + 2y az = 2, a (a 4)z 5y + (a 4)z = a, y =, 5 a(a 3)z = (a 3)(a + 3), z = a + 3 a. Jedinstveno rešenje sistema glasi x = 5a2 + 23a 24, 5a y = a a, z = a + 3 a. 2 a = 0 : Zamenom ove vrednosti parametra u (0.6) dobijamo , rang A = 2 < rang B = Sistem u ovom slučaju nema rešenja.

21 21 3 a = 3 : Zamenom ove vrednosti parametra u (0.6) dobijamo , Sistem ima beskonačno mnogo rešenja opisanih sa rang A = rang B = 2 < 3 = broj nepoznatih. x = z, y = z , z R.

22

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Gausov algoritam i teorema Kroneker-Kapeli

Gausov algoritam i teorema Kroneker-Kapeli Gausov algoritam i teorema Kroneker-Kapeli Sistem Rexee sistema linearnih jednaqina a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +... + a 2n x n = b 2 a 31 x 1 +

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t) Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 23. Reč autora Ovo je verzija teksta koji je pod naslovom Linearna algebra prvobitno bio pripremljen za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru (0.01) Simetrije Neka je A = [a ij ] kvadratna matrica (matrica oblika n n). a) Za A kažemo da je simetrična matrica kadgod je A = A, tj. kadgod

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Linearni operatori. Stepenovanje matrica

Linearni operatori. Stepenovanje matrica Linearni operatori Stepenovanje matrica Nea su X i Y vetorsi prostori nad istim poljem salara K Presliavanje A : X Y zovemo operator Za operator A ažemo da je linearan ao je istovremeno 1 aditivan: A(u

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra i geometrija

Linearna algebra i geometrija Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, oktobar 2017 Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 3 Sistemi linearnih jedna ina 3 31

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I

Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA Predrag Tanović February 11, 211 {WARNING: Sadržaj ovog materijala NI U KOM SLUČAJU NE MOŽE ZAMENITI UDŽBENIK: radi se o prepravljanim slajdovima predavanja. Reference

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka zadataka iz Matematike I

Zbirka zadataka iz Matematike I UNIVERITET U NOVOM SADU TEHNOLOŠKI FAKULTET Tatjana Došenović Dušan Rakić Aleksandar Takači Mirjana Brdar birka zadataka iz Matematike I - za studente Tehnološkog fakulteta - Novi Sad, 008. UNIVERITET

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Elementarna matematika - predavanja -

Elementarna matematika - predavanja - Elementarna matematika - predavanja - February 11, 2013 2 Sadržaj I Zasnivanje brojeva 5 I.1 Peanove aksiome............................. 5 I.2 Celi brojevi................................ 13 I.3 Racionalni

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije

Glava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije Glava 1 Z transformacija 1.1 Pojam z transformacije U elektrotehnici se vrlo često susrećemo sa signalima koji su diskretnog tipa. To znači da je radimo sa signalima koji su zadati svoji vrednostima samo

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Neodred eni integrali

Neodred eni integrali Neodred eni integrali Definicija. Za funkciju F : I R, gde je I interval, kažemo da je primitivna funkcija funkcije f : I R ako je za svako I. F () f() Teorema 1. Ako je F : I R primitivna funkcija za

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006.

dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE JEDNAČINE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr Lidija Stefanović, mr Marjan Matejić, dr Slad ana Marinković DIFERENCIJALNE

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

6 Neodreženi integrali. F (x) = f(x). Primer 38 Funkcija F (x) = sin x je primitivna funkcija funkcije f(x) = cos x na (, + ), jer je

6 Neodreženi integrali. F (x) = f(x). Primer 38 Funkcija F (x) = sin x je primitivna funkcija funkcije f(x) = cos x na (, + ), jer je 6 Neodreženi integrali 39 6 Neodreženi integrali Funkcija F (x) na intervalu (a, b) R je primitivna ili prvobitna funkcija funkcije f(x), ako je x (a, b) F (x) = f(x). Primer 38 Funkcija F (x) = sin x

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu,

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

DIFERENCIJALNE JEDNAČINE I G L A V A DIFERENCIJALNE JEDNAČINE Pri razmatranju i rešavanju raznih problema iz mehanike, fizike, hemije, geometrije i drugih naučnih disciplina i njihovih primena, nailazi se na jednačine u kojima

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

1. Funkcije više promenljivih

1. Funkcije više promenljivih 1. Funkcije više promenljivih 1. Granične vrednosti funkcija više promenljivih Definicija 1. Funkcija f : D( R n R ima graničnu vrednost u tački (x 0 1, x 0 2,..., x 0 n D i jednaka je broju α R ako važi

Διαβάστε περισσότερα

DELJIVOST CELIH BROJEVA

DELJIVOST CELIH BROJEVA DELJIVOST CELIH BROJEVA 1 Osnovne osobine Definicija 1.1 Nea su a 0 i b celi brojevi. Ao postoji ceo broj m taav da je b = ma, onda ažemo da je a delitelj ili fator broja b, b je sadržalac, višeratni ili

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Linearna algebra

Riješeni zadaci: Linearna algebra Riješeni zadaci: Linearna algebra Matrice Definicija Familiju A od m n realnih (kompleksnih) brojeva a ij, i 1,, m, j 1,, n zapisanih u obliku pravokutne tablice a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1 a

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

1. Skicirati sledeće površi i ispitati njihovu regularnost:

1. Skicirati sledeće površi i ispitati njihovu regularnost: Geometrija 3, drgi kolokvijm Prezime i ime, broj indeksa, grpa Skicirati sledeće površi i ispitati njihov reglarnost: a f, v sh cos v, sh sin v,,, v [ π, π]; b g, v, 3, v,, v R a b Rešenje a Iz oblika

Διαβάστε περισσότερα

Neparametarski testovi za dva nezavisna uzorka. Boris Glišić 208/2010 Bojana Ružičić 21/2010

Neparametarski testovi za dva nezavisna uzorka. Boris Glišić 208/2010 Bojana Ružičić 21/2010 Neparametarski testovi za dva nezavisna uzorka Boris Glišić 208/2010 Bojana Ružičić 21/2010 Neparametarski testovi Hipoteze o raspodeli obeležja se nazivaju neparametarske hipoteze, a odgovarajući testovi

Διαβάστε περισσότερα