ΕΒ ΟΜΗ ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α JBMO ( ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΚΑΤΩ ΤΩΝ 15,5 ΕΤΩΝ ) - ΣΜΥΡΝΗ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΒ ΟΜΗ ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α JBMO ( ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΚΑΤΩ ΤΩΝ 15,5 ΕΤΩΝ ) - ΣΜΥΡΝΗ"

Μακάριος Καζαντζής
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΕΟΜΗ ΛΚΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙ JBMO ( Ι ΜΘΗΤΕΣ ΚΤΩ ΤΩΝ 15,5 ΕΤΩΝ ) - ΣΜΥΡΝΗ Ιούνιος 003 Επιµέλεια: Ευθύβουλος Λιασίδης νδρέας Σαββίδης Να λυθούν όλα τα προβλήµατα Χρόνος: 4 ½ Ώρες Πρόβληµα 1. Ένας n θετικός ακέραιος. Ένας αριθµός έχει n ψηφία, από τα οποία είναι το 4 και ένας αριθµός έχει n καθένα από τα οποία είναι το 8. Να αποδείξετε ότι ο αριθµός είναι τέλειο τετράγωνο. Πρόβληµα. Υποθέτουµε ότι υπάρχουν n σηµεία ενός επιπέδου, ανά τρία µη συνευθειακά, µε την ακόλουθη ιδιότητα: αν τα ονοµάσουµε 1,,... n, µε οποιαδήποτε σειρά, η τεθλασµένη γραµµή 1... n δεν τέµνει τον εαυτό της. Να βρείτε τη µεγαλύτερη δυνατή τιµή πουν µπορεί να πάρει αριθµός n. Πρόβληµα 3. Έστω κ ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ABC. Θεωρούµε τα τόξα AB, BC, CA έτσι ώστε C AB, A BC και B CA. Έστω D, E και F τα µέσα των τόξων BC, CA και AB, αντίστοιχα. Έστω G και H τα σηµεία τοµής DE µε τις CB και CA, αντίστοιχα και I, J τα σηµεία τοµής της DF µε τις BC και BA αντίστοιχα. Συµβολίζουµε τα µέσα των GH και IJ µε Μ και Ν, αντίστοιχα. α) Να βρείτε τις γωνιές του τριγώνου DMN συναρτήσει των γωνιών του τριγώνου β) ν Ο είναι το κέντρο του περιγεγραµµένου κύκλου του τρίγωνου DMN και Ρ είναι το σηµείο τοµής των AD και EF να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ο, Ρ, Μ και Ν βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο. Πρόβληµα 4. ν οι x, y, z είναι πραγµατικοί µεγαλύτεροι του -1, να αποδείξετε ότι: 1+ χ 1+ ψ 1+ ω ψ + ω + ω+ χ + χ + ψ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Πρόβληµα 1. Οι αριθµοί και γράφονται ως εξής: n n 1 n = 4 ( ) = 4 Μαθηματικό ήμα

2 7 η ΛΚΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙ JBMO Ιούνιος 003 n n 1 n 10 1 = 8 ( ) = 8 Τότε η παράσταση ++4 γίνεται, = + + = n n n n 4 (10 1) (10 1) 4 ( ) 4 4 = + + = + = n n n n ( ) (10 ) (10 ) Πρόβληµα. Παρατηρούµε ότι οι συνθήκες του προβλήµατος ικανοποιούνται για 3 µη συνευθειακά σηµεία. ν στο επίπεδο των τριών σηµείων ορίσουµε και τέταρτο σηµείο θα έχουµε τις εξής περιπτώσεις: Ι) Τα τέσσερα σηµεία,,, είναι κορυφές κυρτού τετραπλεύρου. Τότε όµως οι διαγώνιες και θα τέµνονται, αυτό όµως αντίκειται στην υπόθεση. ΙΙ) Τα τέσσερα σηµεία,,, είναι κορυφές µη κυρτού τετραπλεύρου. Τότε µπορούµε να παρατηρήσουµε ότι οι συνθήκες του προβλήµατος ικανοποιούνται µε όποια σειρά και αν φέρουµε την τεθλασµένη γραµµή που συνδέει τα 4 σηµεία. α) β) γ) δ) 13 Κυπριακή Μαθηματικη Εταιρεία

3 7 η ΛΚΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙ JBMO Ιούνιος 003 ε) Στ) Είναι αρκετό τώρα να δείξουµε ότι αν έχουµε πέντε σηµεία στο ίδιο επίπεδο τότε τα τέσσερα θα είναι κορυφές κυρτού τετραπλεύρου οπότε σύµφωνα µε την παρατήρηση (Ι) δεν θα ικανοποιούνται οι συνθήκες του προβλήµατος. Στο εσωτερικό τριγώνου λαµβάνουµε σηµείο και φέρουµε τις ευθείες, και Ε 1 Ε Ε 7 Ε 6 Ε 1 Ε 11 Ε 8 Ε 10 Ε 9 Ε 3 Ε 5 Ε 4 Ένα πέµπτο σηµείο Ε µπορεί να ορισθεί σε µια από τις 1 περιοχές που έχει χωρισθεί το επίπεδο του τριγώνου. Τότε θα έχουµε τα ακόλουθα 1 κυρτά τετράπλεύρα Ε 1, Ε, Ε 3, Ε 4, Ε 5, Ε 6, Ε 7, Ε 8, Ε 9, Ε 10, Ε 11, Ε 1. Εποµένως το n δεν µπορεί να πάρει µεγαλύτερη τιµή από το 4. Πρόβληµα 3. Στη λύση ( D),( ˆ )... φανερώνει το µέτρο του τόξου ή της γωνίας. α) Έχουµε ( BD) = ( DC) = ( Aˆ), ( CE) = ( EA) = ( Bˆ ), ( AF) = ( FB) = ( Cˆ) ( ) 1 ( ˆ ˆ 1 ˆ EDF = B + C) = ˆ (180 ) = 90 ( ) ˆ Cˆ ( FED) = 90 ( ), ( DFE) = 90 Επίσης EHA = HDA + HAD. (εξωτερική γωνιά του τριγώνου ADH ) ( EHA) = ( AE + CD) = ( + ˆ ˆ ) = ( BD + CE) = ( CZE). Άρα το τρίγωνο CH Z είναι ισοσκελές. ( CH = CZ ) Μαθηματικό ήμα

4 7 η ΛΚΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙ JBMO Ιούνιος 003 E A P K F J H N M B I G C O K 1 D Εφ όσον CF διχοτόµος της γωνιάς C το µέσο M της HZ βρίσκεται πάνω στη CF. Είναι δε CM HZ. Άρα ( EMF ) = 90. Κατά τον ίδιο ακριβώς τρόπο θα Έχουµε 0 ( FNE ) = 90. Έτσι τα σηµεία EFNM,,, βρίσκονται πάνω σε κύκλο K, µε διάµετρο ˆ EF. Άρα 0 ( DNM ) = ( DEF ) = 90 ( ) και 0 Cˆ ( DMN) = ( DFE) = 90 ( ) (εξωτερικές γωνιές του εγγεγραµµένου EFNM ) β) Έχουµε AB EF = K και AC EF = L. Όπως προηγουµένως στο µέρος (α) θα έχουµε: 0 ( APK) = ( APL) = 90 και 0 A ˆ 0 A ( FPN) = 90 ( ), ( EPM ) = 90 ( ). Άλλα ˆ ( ) ( A AKP = ALP) = 90 ( ). Έτσι //ΡΜ και //ΡΝ άρα ( MPN ) = ( BAC ) = ( A ). Το τρίγωνο DMN είναι οξυγώνιο και έτσι το κέντρο Ο του περιγεγραµµένου περί αυτό κύκλου βρίσκεται στο εσωτερικό του. 0 ˆ 0 ( MDN) = 90 ( ) ( MON) = 180 ( Aˆ ) άρα ( MON ) + ( MPN ) = 180. Εποµένως το τετράπλευρο OMPN είναι εγγράψιµο σε κύκλο. Πρόβληµα 4. Έχουµε y x 1+ x ( y 1) 0 y y+ 1 0 y 1+ y+ z 1+ y 1+ z Κυπριακή Μαθηματικη Εταιρεία

5 7 η ΛΚΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙ JBMO Ιούνιος y 1+ y 1+ z 1+ z Άρα. 1+ z+ x 1+ z 1+ x+ y 1+ x 1+ x + 1+ y + Θέτουµε a = 1 + x, β = 1 + y, γ = 1+ z και η προς απόδειξη σχέση γίνεται: α β γ α β γ 1...(1) αβγ,, 0 β + γ + α γ β + α γ + γ α β β α > Θέτουµε = γ + β, = α + γ, = β + α Τότε α =, β =, γ = και η (1) γίνεται: ( + + ) 15,.. λλά,, > = 3,( Μ. Μ. ) ( + + ) = ( + + ) 15.. λλά,,, > = 3,( Μ. Μ. ) ( + + ) 3+ 1 = 15 Μαθηματικό ήμα

Σχετικά έγγραφα

Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ,,,,,,,

Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ,,,,,,, Τηλ 36653-367784 - Fa: 36405 Tel 36653-367784 - Fa: 36405 Νοεμβρίου 04 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 3 74 3 3 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: :8 9 9 37 4 Πρόβλημα Ένας έμπορος συλλεκτικών αντικειμένων αγόρασε δύο