Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi"

Transcript

1 Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III

2 Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Table of Contents 1 Produsul scalar: denitie, proprietati 2 Schimbari de repere ortonormate in plan 3 Aplicatii Oana Constantinescu Lectia III

3 Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Denitia produsului scalar Denition Fie vectorii liberi nenuli u, v V. Produsul scalar al celor doi vectori se noteaza cu < u, v > (sau (u, v), u v) si se deneste prin < u, v >= u v cos α, unde α este masura unghiului celor doi vectori, α [0, π]. Daca unul dintre vectori este 0, produsul lor scalar este prin denitie 0. Observatie: numele acestui produs de vectori vine din faptul ca rezultatul este un scalar real. Oana Constantinescu Lectia III

4 Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Denitia produsului scalar Denition Fie vectorii liberi nenuli u, v V. Produsul scalar al celor doi vectori se noteaza cu < u, v > (sau (u, v), u v) si se deneste prin < u, v >= u v cos α, unde α este masura unghiului celor doi vectori, α [0, π]. Daca unul dintre vectori este 0, produsul lor scalar este prin denitie 0. Observatie: numele acestui produs de vectori vine din faptul ca rezultatul este un scalar real. Oana Constantinescu Lectia III

5 Denitia produsului scalar Observatie: unghiul dintre cei doi vectori este unghiul dintre directiile lor, si nu depinde de punctul in care se aplica vectorii.

6 Interpretare geometrica O interpretare geometrica importanta a produsului scalar este data de proiectia ortogonala a unui vector pe o directie data. Fie d o dreapta cu directia data de u si v = AB. Fie A si B intersectiile dintre dreapta d si planele prin A, respectiv B, perpendiculare pe d.

7 Interpretare geometrica O interpretare geometrica importanta a produsului scalar este data de proiectia ortogonala a unui vector pe o directie data. Fie d o dreapta cu directia data de u si v = AB. Fie A si B intersectiile dintre dreapta d si planele prin A, respectiv B, perpendiculare pe d.

8 Proiectia ortogonala Vectorul A B = w se numeste proiectia ortogonala a lui v pe d si se noteaza cu pr d v sau pr u v.

9 Proiectia ortogonala Observatie: in cazul geometriei plane, cele doua plane ortogonale pe d sunt inlocuite de drepte ortogonale pe d, prin A, respectiv B. Marimea algebrica a vectorului pr u v se noteaza cu mpr u v si se numeste masura proiectiei. Mai exact, daca u 0 este versorul lui u, adica u 0 = u u, atunci pr u v = λu, λ R. Notam λ = mpr u v. Se observa usor pe gura anterioara ca mpr u v = v cos α, unde α [0, π] este masura unghiului dintre v si u.

10 Proiectia ortogonala Observatie: in cazul geometriei plane, cele doua plane ortogonale pe d sunt inlocuite de drepte ortogonale pe d, prin A, respectiv B. Marimea algebrica a vectorului pr u v se noteaza cu mpr u v si se numeste masura proiectiei. Mai exact, daca u 0 este versorul lui u, adica u 0 = u u, atunci pr u v = λu, λ R. Notam λ = mpr u v. Se observa usor pe gura anterioara ca mpr u v = v cos α, unde α [0, π] este masura unghiului dintre v si u.

11 Proiectia ortogonala Observatie: in cazul geometriei plane, cele doua plane ortogonale pe d sunt inlocuite de drepte ortogonale pe d, prin A, respectiv B. Marimea algebrica a vectorului pr u v se noteaza cu mpr u v si se numeste masura proiectiei. Mai exact, daca u 0 este versorul lui u, adica u 0 = u u, atunci pr u v = λu, λ R. Notam λ = mpr u v. Se observa usor pe gura anterioara ca mpr u v = v cos α, unde α [0, π] este masura unghiului dintre v si u.

12 Proiectia ortogonala Urmarind gura deduceti ca pr u (v + v ) = pr u v + pr u v, mpr u (v + v ) = mpr u v + mpr u v. Interpretarea geometrica a produsului scalar este < u, v >= u mpr u v = v mpr v u.

13 Proprietatile produsului scalar Theorem Produsul scalar a doi vectori liberi are urmatoarele proprietati: a) < u, v >=< v, u > (simetria); b) < u, v + w >=< u, v > + < u, w >(aditivitatea); c) < λu, v >= λ < u, v >(omogenitatea); d) < u, u > 0, < u, u >= 0 u = 0 (pozitiva denire); e) < u, v >= 0 u v, u, v V si λ R. Deci produsul scalar este o aplicatie <, >: V V R biliniara, simetrica, avand forma patratica asociata pozitiv denita. Observatie: doi vectori sunt perpendiculari daca au directiile perpendiculare.

14 Baze ortonormate Daca {O; i, j, k} este un reper ortonormat, si vectorii u, v au urmatoarele coordonate: u = x 1 i + x 2 j + x 3 k, v = y 1 i + y 2 j + y 3 k, atunci produsul lor scalar se calculeaza astfel: < u, v >= x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. Denition Norma vectorului liber u este u = < u, u >. Observatie: se verica imediat ca u = u, u V.

15 Baze ortonormate Daca {O; i, j, k} este un reper ortonormat, si vectorii u, v au urmatoarele coordonate: u = x 1 i + x 2 j + x 3 k, v = y 1 i + y 2 j + y 3 k, atunci produsul lor scalar se calculeaza astfel: < u, v >= x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. Denition Norma vectorului liber u este u = < u, u >. Observatie: se verica imediat ca u = u, u V.

16 Baze ortonormate Daca {O; i, j, k} este un reper ortonormat, si vectorii u, v au urmatoarele coordonate: u = x 1 i + x 2 j + x 3 k, v = y 1 i + y 2 j + y 3 k, atunci produsul lor scalar se calculeaza astfel: < u, v >= x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. Denition Norma vectorului liber u este u = < u, u >. Observatie: se verica imediat ca u = u, u V.

17 Baze ortonormate Daca u = x 1 i + x 2 j + x 3 k, atunci norma sa se calculeaza prin u = (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2, iar unghiul dintre vectorii liberi u = x 1 i + x 2 j + x 3 k si v = y 1 i + y 2 j + y 3 k prin cos α = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 (y 1 ) 2 + (y 2 ) 2 + (y 3 ) 2.

18 Proprietatile normei Theorem Norma unui vector liber este o aplicatie : V [0, ), cu proprietatile: 1) v = 0 v = 0; 2) λv = λ v, v V, λ R; 3) < u, v > u v, u, v V. Egalitatea are loc daca si numai daca vectorii sunt coliniari (inegalitatea lui Cauchy); 4) u + v u + v, u, v V. Egalitatea are loc daca si numai daca vectorii sunt coliniari si de acelasi sens (inegalitatea triunghiulara).

19 Cosinusi directori Theorem Fie {i, j, k} o baza ortonormata in V si u un vector liber unitar: u = 1. Daca v face unghiurile α, β, γ respectiv cu vectorii i, j, k, atunci u = (cos α)i + (cos β)j + (cos γ)k. Denition Numerele reale cos α, cos β, cos γ se numesc cosinii directori ai directiei vectorului u si satisfac relatia:. cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

20 Cosinusi directori Theorem Fie {i, j, k} o baza ortonormata in V si u un vector liber unitar: u = 1. Daca v face unghiurile α, β, γ respectiv cu vectorii i, j, k, atunci u = (cos α)i + (cos β)j + (cos γ)k. Denition Numerele reale cos α, cos β, cos γ se numesc cosinii directori ai directiei vectorului u si satisfac relatia:. cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

21 Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Schimbari de repere ortonormate in plan Sa presupunem ca R = {O; i, j} si R = {O ; u, v} sunt doua repere ortonormate intr-un plan π. Deci {i, j} si {u, v} sunt doua baze ortonormate in π. Presupunem ca unghiul dintre i si u este α. Oana Constantinescu Lectia III

22 Schimbari de repere ortonormate in plan Atunci u = (cos α)i + (sin α)j, v = (sin α)i + (cos α)j, sau v = (sin α)i (cos α)j, iar formula corespunzatoare a transformarii de coordonate este: sau x = x cos α + y sin α + a, (1) y = x sin α + y cos α + b, x = x cos α + y sin α + a, (2) y = x sin α y cos α + b, unde am notat cu (x, y) coordonatele in raport cu R, (x, y ) coordonatele in raport cu R si am presupus ca O are in raport cu R coordonatele (a, b).

23 Schimbari de repere ortonormate in plan Atunci u = (cos α)i + (sin α)j, v = (sin α)i + (cos α)j, sau v = (sin α)i (cos α)j, iar formula corespunzatoare a transformarii de coordonate este: sau x = x cos α + y sin α + a, (1) y = x sin α + y cos α + b, x = x cos α + y sin α + a, (2) y = x sin α y cos α + b, unde am notat cu (x, y) coordonatele in raport cu R, (x, y ) coordonatele in raport cu R si am presupus ca O are in raport cu R coordonatele (a, b).

24 Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Orientarea planului Pentru a decide care din ecuatiile (1), (2) este cea corecta, trebuie sa stim cum sunt orientate bazele celor doua repere. In plan, pentru determinarea sensului unui unghi, suntem obisnuiti sa folosim sensul acelor ceasornicului si cel trigonometric (invers acelor de ceas), care sunt, prin conventie, sensul negativ, respectiv cel pozitiv. Existenta unghiurilor pozitive si negative determina orientabilitatea planului, iar alegerea numelor de pozitiv si negativ este numita orientare. Oana Constantinescu Lectia III

25 Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Orientarea planului Pentru a decide care din ecuatiile (1), (2) este cea corecta, trebuie sa stim cum sunt orientate bazele celor doua repere. In plan, pentru determinarea sensului unui unghi, suntem obisnuiti sa folosim sensul acelor ceasornicului si cel trigonometric (invers acelor de ceas), care sunt, prin conventie, sensul negativ, respectiv cel pozitiv. Existenta unghiurilor pozitive si negative determina orientabilitatea planului, iar alegerea numelor de pozitiv si negativ este numita orientare. Oana Constantinescu Lectia III

26 Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Orientarea planului Pentru a decide care din ecuatiile (1), (2) este cea corecta, trebuie sa stim cum sunt orientate bazele celor doua repere. In plan, pentru determinarea sensului unui unghi, suntem obisnuiti sa folosim sensul acelor ceasornicului si cel trigonometric (invers acelor de ceas), care sunt, prin conventie, sensul negativ, respectiv cel pozitiv. Existenta unghiurilor pozitive si negative determina orientabilitatea planului, iar alegerea numelor de pozitiv si negativ este numita orientare. Oana Constantinescu Lectia III

27 Orientarea planului Prin denitie, doua baze ale unui plan vectorial sunt la fel orientate daca determinantul matricii de trecere de la o baza la alta este strict pozitiv, si opus orientate daca determinantul anterior este strict negativ. Doua repere sunt la fel orientate daca bazele lor sunt la fel orientate. Relatia la fel orientate este o relatie de echivalenta pe multimea bazelor spatiului liniar al vectorilor liberi, si aceasta multime se imparte in doua clase de echivalenta, disjuncte, astfel incat doua baze din aceeasi clasa sunt la fel orientate, iar doua baze din clase distincte sunt opus orientate.

28 Orientarea planului Prin denitie, doua baze ale unui plan vectorial sunt la fel orientate daca determinantul matricii de trecere de la o baza la alta este strict pozitiv, si opus orientate daca determinantul anterior este strict negativ. Doua repere sunt la fel orientate daca bazele lor sunt la fel orientate. Relatia la fel orientate este o relatie de echivalenta pe multimea bazelor spatiului liniar al vectorilor liberi, si aceasta multime se imparte in doua clase de echivalenta, disjuncte, astfel incat doua baze din aceeasi clasa sunt la fel orientate, iar doua baze din clase distincte sunt opus orientate.

29 Orientarea planului Impartirea in cele doua clase se face astfel: se xeaza o baza ortonormata oarecare (i, j) si e o alta baza ortonormata (i, j ). Se roteste i cu un anumit unghi α [0, π] pana cand acesta ajunge peste i. Daca rotatia pozitioneaza si vectorul j peste j, atunci asezam baza (i, j ) in clasa nr. 1. Daca nu, o punem in clasa nr. 2. A alege una dintre aceste clase drept clasa bazelor orientate pozitiv inseamna a orienta spatiul liniar V. Deci se obtine formula (1) pentru repere la fel orientate si formula (2) pentru repere opus orientate.

30 Orientarea planului Impartirea in cele doua clase se face astfel: se xeaza o baza ortonormata oarecare (i, j) si e o alta baza ortonormata (i, j ). Se roteste i cu un anumit unghi α [0, π] pana cand acesta ajunge peste i. Daca rotatia pozitioneaza si vectorul j peste j, atunci asezam baza (i, j ) in clasa nr. 1. Daca nu, o punem in clasa nr. 2. A alege una dintre aceste clase drept clasa bazelor orientate pozitiv inseamna a orienta spatiul liniar V. Deci se obtine formula (1) pentru repere la fel orientate si formula (2) pentru repere opus orientate.

31 Orientarea planului Impartirea in cele doua clase se face astfel: se xeaza o baza ortonormata oarecare (i, j) si e o alta baza ortonormata (i, j ). Se roteste i cu un anumit unghi α [0, π] pana cand acesta ajunge peste i. Daca rotatia pozitioneaza si vectorul j peste j, atunci asezam baza (i, j ) in clasa nr. 1. Daca nu, o punem in clasa nr. 2. A alege una dintre aceste clase drept clasa bazelor orientate pozitiv inseamna a orienta spatiul liniar V. Deci se obtine formula (1) pentru repere la fel orientate si formula (2) pentru repere opus orientate.

32 Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Aplicatii Example Formulati si demonstrati teorema cosinusului intr-un triunghi oarecare, apoi aplicati-o pentru a obtine teorema medianei. Amintim ca, daca notam cu a, b, c lungimile laturilor triunghiului ABC, opuse varfurilor A, B, respectiv C, atunci teorema cosinusului arma: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos Â. Indicatii: a 2 = BC 2 = BA + AC 2 = BA 2 + AC 2 +2 < BA, AC >= b 2 + c 2 2 < AB, AC >= b 2 + c 2 2bc cos Â. Oana Constantinescu Lectia III

33 Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Aplicatii Example Formulati si demonstrati teorema cosinusului intr-un triunghi oarecare, apoi aplicati-o pentru a obtine teorema medianei. Amintim ca, daca notam cu a, b, c lungimile laturilor triunghiului ABC, opuse varfurilor A, B, respectiv C, atunci teorema cosinusului arma: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos Â. Indicatii: a 2 = BC 2 = BA + AC 2 = BA 2 + AC 2 +2 < BA, AC >= b 2 + c 2 2 < AB, AC >= b 2 + c 2 2bc cos Â. Oana Constantinescu Lectia III

34 Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Aplicatii Example Formulati si demonstrati teorema cosinusului intr-un triunghi oarecare, apoi aplicati-o pentru a obtine teorema medianei. Amintim ca, daca notam cu a, b, c lungimile laturilor triunghiului ABC, opuse varfurilor A, B, respectiv C, atunci teorema cosinusului arma: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos Â. Indicatii: a 2 = BC 2 = BA + AC 2 = BA 2 + AC 2 +2 < BA, AC >= b 2 + c 2 2 < AB, AC >= b 2 + c 2 2bc cos Â. Oana Constantinescu Lectia III

35 Aplicatii Notam cu D mijlocul laturii (BC) si cu m a lungimea medianei (AD). Atunci m 2 = ( 1 AB + AC ) 2 4m 2 = AB 2 + AC 2 a 2 a + 2 < AB, AC >. Folosind denitia produsului< AB, AC > in care se inlocuieste cos  din teorema cosinusului, se obtine 4m 2 a = 2(b 2 + c 2 ) a 2.

36 Aplicatii Example Fie B = (ī, j, k) o baza ortonormata in V. a) Sa se determine α R astfel incat vectorii ā = αī 3 j + 2 k si b = ī + 2 j α k sa e perpendiculari. b) Sa se determine unghiul dintre vectorii ā = 2ī 4 j + 4 k si b = 3ī + 2 j + 6 k. c) Sa se determine vectorul ū cu proprietatile unde ū ā, ū b, ū = 14, ( ū, j) > π 2, ā = 3ī + 2 j + 2 k, b = 18ī 22 j 5 k.

37 Aplicatii Indicatii: a) α = 6; b) cos( ā, b) = 5 ; c) Presupunem ca 21 ū = xī + y j + z k si se determina x, y, z din conditiile 3x + 2y + 2z = 0, 18x 22y 5z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 196, y < 0.

38 Aplicatii Example In raport cu reperul ortonormat pozitiv {O; i, j}, punctul A are coordonatele (1, 1). Cu ce unghi trebuie rotite axele de coordonate astfel incat A sa apartina abscisei noului reper {O; i, j }? Indicatii: presupunem ca noul reper este tot pozitiv. Fie α unghiul dintre i si i. Formula schimbarii de repere: { x y = (cos α)x + (sin α)y, = (sin α)x + (cos α)y. Punand conditiile y = 0, x = y = 1, se obtine sin α = cos α, deci α = π. Noile coordonate ale lui A vor (2, 0). 4

39 Aplicatii Example In raport cu reperul ortonormat pozitiv {O; i, j}, punctul A are coordonatele (1, 1). Cu ce unghi trebuie rotite axele de coordonate astfel incat A sa apartina abscisei noului reper {O; i, j }? Indicatii: presupunem ca noul reper este tot pozitiv. Fie α unghiul dintre i si i. Formula schimbarii de repere: { x y = (cos α)x + (sin α)y, = (sin α)x + (cos α)y. Punand conditiile y = 0, x = y = 1, se obtine sin α = cos α, deci α = π. Noile coordonate ale lui A vor (2, 0). 4

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII Tema lucrării: 1) Determinarea puterii rotatorii specifice a zahărului 2) Determinarea concentraţiei unei soluţii de zahăr 3) Determinarea dispersiei

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016 APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități

Διαβάστε περισσότερα

prof. Busuioc Gianina Elena

prof. Busuioc Gianina Elena Şcoala Gimnazială Nr. 6 Vaslui prof. Busuioc Gianina Elena 1 La realizarea acestui proiect au colaborat elevii: Baciu Dragoş, Barbu Călina, Burdujanu Robert, Cobzaru Albert, Epure Mălina, Fuşneică Angel,

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 61 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum cu

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

2 Variabile aleatoare

2 Variabile aleatoare Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3 Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a VII-a Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VII-a» Attempt 1 1 Pentru a deplasa uniform pe orizontala un corp de masa m = 18 kg se actioneaza asupra lui

Διαβάστε περισσότερα

11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03A DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea

Διαβάστε περισσότερα

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Notaţii si noţiuni preliminare Variabila aleatoare: X,Y,U,V,etc., descrisă de funcţie de repartiţie. Variabila aleatoare este asaociată unei populaţii statistice;

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ Σύμφωνα με τη Γραμματική της Ρουμανικής Γλώσσας, τα αριθμητικά διακρίνονται σε: 1. Απόλυτα αριθμητικά α. Απλά: unu, doi, trei... (ένα, δύο, τρία) κ.λπ. β. Σύνθετα: doisprezece, treizeci...

Διαβάστε περισσότερα

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile

Διαβάστε περισσότερα

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare..

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare.. I. Modelarea funcţionării diodei semiconductoare prin modele liniare pe porţiuni În modelul liniar al diodei semiconductoare, se ţine cont de comportamentul acesteia atât în regiunea de conducţie inversă,

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU Cuprins CAPITOLUL 4 AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU...38 4. Introducere...38 4.2 Modelul la foarte joasă frecvenţă al amplficatorului operaţional...38 4.3 Amplificatorul neinversor.

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL CU CIRCUIT ACORDAT DERIVATIE

AMPLIFICATORUL CU CIRCUIT ACORDAT DERIVATIE AMPLIFICATORL C CIRCIT ACORDAT DERIVATIE 4 M IN OT OT Analizor spectru IN Fiura 6 (). Comutatorul K este pe poziţia de R mare. Comutatorul K scurtcircuitează rezistenţa R a. Cunoscând valoarea L a bobinei

Διαβάστε περισσότερα

Exercitii : Lecţia 1,2,3

Exercitii : Lecţia 1,2,3 Exercitii : Lecţia 1,2,3 1.Notarea câmpurilor Tabla de şah are 64 de pătrăţele numite câmpuri. Fiecare câmp poate fi identificat de coloana şi linia pe care se află, orice câmp se află la intersecţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή - Διεύθυνση Andreea Popescu Str. Reşiţa, nr. 4, bloc M6, sc. A, ap. 12. Turnu Măgurele Jud. Teleorman 06102. România. Ελληνική γραφή διεύθυνσης: Όνομα Παραλήπτη Όνομα και νούμερο οδού Ταχυδρομικός κώδικας,

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE ELECTRICITATE

PROBLEME DE ELECTRICITATE PROBLEME DE ELECTRICITATE 1. Două becuri B 1 şi B 2 au fost construite pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 100 V, iar un al treilea bec B 3 pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 200 V. Puterile

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar aracteristici statice Determinarea unor parametri de interes A.Scopul lucrării - Determinarea experimentală a plajei mărimilor eletrice de la terminale în care T real

Διαβάστε περισσότερα

Electronică Analogică. Redresoare -2-

Electronică Analogică. Redresoare -2- Electronică Analogică Redresoare -2- 1.2.4. Redresor monoalternanţă comandat. În loc de diodă, se foloseşte un tiristor sau un triac pentru a conduce, tirisorul are nevoie de tensiune anodică pozitivă

Διαβάστε περισσότερα

Tema I FORMAREA IMAGINII

Tema I FORMAREA IMAGINII Tema I FORMAREA IMAGINII Nevoia de imagini a omului modern creste de la zi la zi. In general, functiile imaginilor sunt urmatoarele : - functia documentara - prezinta concret, imaginea unor termeni si

Διαβάστε περισσότερα

Studiul unui variator static de tensiune alternativa echipat cu un triac, care este, comandat cu un circuit integrat PA 436

Studiul unui variator static de tensiune alternativa echipat cu un triac, care este, comandat cu un circuit integrat PA 436 Laborator: Electronică Industrială Lucrarea nr:... Studiul unui variator static de tensiune alternativa echipat cu un triac, care este, comandat cu un circuit integrat PA 4. Funcţionarea variatorului de

Διαβάστε περισσότερα

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP)

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP) Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =

Διαβάστε περισσότερα

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element.

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element. 1.Multimi Definitie Multimea este o colectie de obiecte/simboluri. Fiecare obiect dintr-o multime este un element al multimii si este scris/specificat o singura data. Mutimile se noteaza, de obicei cu

Διαβάστε περισσότερα

OSCILOSCOPUL ANALOGIC

OSCILOSCOPUL ANALOGIC OSCILOSCOPUL ANALOGIC 1. Scopul aplicaţiei Se urmăreşte studierea osciloscopului analogic HM303-6 al firmei germane HAMEG. Lucrarea prezintă principiul de funcţionare al osciloscopului la nivel de schemă

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache 2 * Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã Emil Budescu BIOMECANICA GENERALã IASI 03 C U P R I N S pag. I. Introducere în biomecanica 3. Obiectul de studiu 3. Terminologie 7 3. Aspecte de baza ale biomecanicii 4. Aspecte de baza ale anatomiei si

Διαβάστε περισσότερα

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.

Διαβάστε περισσότερα

Maşina sincronă. Probleme

Maşina sincronă. Probleme Probleme de generator sincron 1) Un generator sincron trifazat pentru alimentare de rezervă, antrenat de un motor diesel, are p = 3 perechi de poli, tensiunea nominală (de linie) U n = 380V, puterea nominala

Διαβάστε περισσότερα

PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium

PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium PVC &aluminium D oor Panels + accessories 1 index panels dimensions accessories page page page page 4-11 12-46 48-50 51 2 Η εταιρία Dorland με έδρα τη Ρουμανία, από το 2002 ειδικεύεται στην έρευνα - εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme Capitolul Diode semiconductoare 3. În fig. 3 este preentat un filtru utiliat după un redresor bialternanţă. La bornele condensatorului

Διαβάστε περισσότερα

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2 TABILIZATOAE DE TENINE ELECTONICĂ Lucrarea nr. 5 TABILIZATOAE DE TENINE 1. copurile lucrării: - studiul dependenţei dintre tensiunea stabilizată şi cea de intrare sau curentul de sarcină pentru stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII CAPITOLL 4 AMPLIFICATOAE DE MĂSAE. APLICAŢII 4.. Noţiuni fundamentale n amplificator este privit ca un cuadripol. Dacă mărimea de ieşire este de A ori mărimea de intrare, unde A este o constantă numită

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC - Note de curs şi aplicaţii practice -

DESEN TEHNIC - Note de curs şi aplicaţii practice - UNIVERSITATEA din BACĂU FACULTATEA DE INGINERIE FLORIN MACARIE IONEL OLARU DESEN TEHNIC - Note de curs şi aplicaţii practice - EDITURA ALMA MATER BACĂU 2007 1 Cuprins Capitolul 1. Norme generale de desen

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs DESEN TEHNIC Suport electronic de curs 2011 CUPRINS 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE. STANDARDE GENERALE UTILIZATE ÎN DESENUL TEHNIC 1.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1.1.Scopul, obiectul şi importanţa desenului tehnic

Διαβάστε περισσότερα

1. Elemente de bază ale conducţiei termice

1. Elemente de bază ale conducţiei termice 1. 1.1 Ecuaţiile diferenţiale ale conducţiei termice Calculul proceselor de schimb de căldură necesită cunoaşterea distribuţiei temperaturii în spaţiu şi timp. Distribuţia temperaturii se obţine prin rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE 4 POLAZAA ANZSOALO POLA ircuitul de polarizare are rolul de a poziţiona într-un punct de pe caracteristica statică, numit Punct Static de uncţionare (PS) ezultă că circuitul de polarizare trebuie să asigure

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu 1. Ce se întămplă cu numărul de electroni transportaţi pe secundă prin secţiunea unui conductor de cupru, legat la o sursă cu rezistenta internă neglijabilă dacă: a. dublăm tensiunea la capetele lui? b.

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ CUPRINS PARTEA I - NOTIUNI GENERALE DE DESEN TEHNIC CAPITOLUL 1 INFORMAŢII TRANSMISE PRIN INTERMEDIUL DESENULUI TEHNIC CAPITOLUL 2 REPREZENTAREA PIESELOR ÎN PROIECŢIE

Διαβάστε περισσότερα

MĂRIMI ELECTRICE Voltul (V)

MĂRIMI ELECTRICE Voltul (V) SINTEZE DE BACALAUREAT ELECTRICITATE www.manualdefizica.ro NR. DENUMIREA MĂRIMII FIZICE UNITATEA DE MĂSURĂ 1. Lungimea (l) metrul (m). Masa (m) kilogramul (kg) ELECTRICITATEA. MĂRIMI ȘI UNITĂȚI DE MĂSURĂ

Διαβάστε περισσότερα

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg CURSUL AL IV-LEA 1 Reprezentarea grafică a datelor statistice - Consideraţii generale Sunt două metode de bază în statistică: numerică şi grafică. Folosind metoda numerică putem calcula statistici ca media

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE Cuprins CAPITOLL 8 STABILIZATOARE DE TENSINE REALIZATE C CIRCITE INTEGRATE ANALOGICE...220 8.1 Introducere...220 8.2 Stabilizatoare de tensiune realizate cu amplificatoare operaţionale...221 8.3 Stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOEHICULELOR CU ROŢI 5.1 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOEHICULELOR ŞI CONDIŢIA DE ÎNAINTARE A ACESTORA Se consideră cazul general al unui autovehicul care

Διαβάστε περισσότερα

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC Lucrarea nr. 3 STDIL SI VERIFICAREA NI MLTIMETR NMERIC I. INTRODCERE Aparatele de măsurare de tip multimetru permit măsurarea mărimilor electrice cele mai uzuale: tensiune, curent, rezistenţă. Primele

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ÑÏÕÌÁÍÉÁ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ Εισαγωγή Η Δημοκρατία της Ρουμανίας έχει έκταση 238.000 χλμ² και πληθυσμό ο οποίος ξεπερνά τα 21 εκατομμύρια κατοίκους. Το επίσημο νόμισμά της

Διαβάστε περισσότερα

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4.1 Metoda Drumului Critic (C.P.M. Critical Path Metod) 4.1.1 Consideraţii generale Metodele şi tehnicile utilizate

Διαβάστε περισσότερα

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2.1. Consideraţii generale Utilizarea automobilului constă în transportul pe drumuri al pasagerilor, încărcăturilor sau al utilajului special montat pe

Διαβάστε περισσότερα

Mecanica. Unde acustice. Seminar

Mecanica. Unde acustice. Seminar Mecanica. Unde acustice Seminar Notiuni de mecanica Domenii ale mecanicii Cinematica Studiul miscarii fara a lua in consideratie cauzele ei Corpul considerat un punct material (dimensiuni neglijabile comparativ

Διαβάστε περισσότερα

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive 1. Scopul lucrării: Iniţierea studenţilor cu proiectarea asistată de calculator (CAD) a unei scheme electrice în vederea simulării funcţionării acesteia;

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1 Introducere în MATLAB

Laborator 1 Introducere în MATLAB MATLAB este unul dintre cele mai răspândite programe, în special în teoria reglării automate, pentru calculul ştiinţific şi numeric. Pe lângă calculul efectiv, MATLAB oferă şi posibilităţi de reprezentare

Διαβάστε περισσότερα

INTRODUCTION TO PROFESSIONAL WHEEL ALIGNMENT FASEP SRL ITALY

INTRODUCTION TO PROFESSIONAL WHEEL ALIGNMENT FASEP SRL ITALY Titlul original: INTRODUCTION TO PROFESSIONAL WHEEL ALIGNMENT FASEP SRL ITALY Traducerea si adaptarea : Claudiu COLIBABA Toate drepturile pentru materialele publicate in aceasta lucrare apartin F.A.S.E.P

Διαβάστε περισσότερα

. TEMPOIZATOUL LM.. GENEALITĂŢI ircuitul de temporizare LM este un circuit integrat utilizat în foarte multe aplicaţii. În fig... sunt prezentate schema internă şi capsulele integratului LM. ()V+ LM Masă

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

Termostat pentru acvarii

Termostat pentru acvarii Termostat pentru acvarii Pentru pastrarea in interiorul acvariilor a unei temperaturi de +26±1 C se poate realiza o schema electronica simpla, sigura in functionare si in acelasi timp ieftina. Alimentata

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea 5. Sursa de tensiune continuă cu diode

Lucrarea 5. Sursa de tensiune continuă cu diode Cuprins I. Noţiuni teoretice: sursa de tensiune continuă, redresoare de tensiune, stabilizatoare de tensiune II. Modul de lucru: Realizarea practică a unui redresor de tensiune monoalternanţă. Realizarea

Διαβάστε περισσότερα

CONCEPTE FUNDAMENTALE UTILE ÎN EXERCITAREA PROFESIEI DE INGINER. SUPORT TEORETIC PENTRU SUSŢINEREA EXAMENULUI DE LICENŢĂ SECŢIA TCM

CONCEPTE FUNDAMENTALE UTILE ÎN EXERCITAREA PROFESIEI DE INGINER. SUPORT TEORETIC PENTRU SUSŢINEREA EXAMENULUI DE LICENŢĂ SECŢIA TCM CONCEPTE FUNDAMENTALE UTILE ÎN EXERCITAREA PROFESIEI DE INGINER. SUPORT TEORETIC PENTRU SUSŢINEREA EXAMENULUI DE LICENŢĂ SECŢIA TCM 1 CUPRINS 1. Desen tehnic......3. Mecanică...0 3. Rezistenţa Materialelor...3

Διαβάστε περισσότερα

User s Manual Air Purifier with Ionizer. Εγχειρίδιο Χρήστη Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Υ Σ Κ Ε Υ Ε Σ. Ιονιστής/Καθαριστής αέρα SPRING

User s Manual Air Purifier with Ionizer. Εγχειρίδιο Χρήστη Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Υ Σ Κ Ε Υ Ε Σ. Ιονιστής/Καθαριστής αέρα SPRING Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Υ Σ Κ Ε Υ Ε Σ SPRING User s Manual Air Purifier with Ionizer Εγχειρίδιο Χρήστη Ιονιστής/Καθαριστής αέρα Σας ευχαριστούµε για την επιλογή ηλεκτρικών συσκευών INVENTOR. Για την σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1.

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1. Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a X-a 1 of 2 4/14/2008 12:27 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1 1 Un termometru cu lichid este gradat intr-o scara de temperatura liniara,

Διαβάστε περισσότερα

P = {(Uadc / sqr(2)) * Rap]^2}/50 [W]

P = {(Uadc / sqr(2)) * Rap]^2}/50 [W] Aceasta versiune de SWR metru este una de sine-statatoare si este destinata celor care doresc sa-si construiasca un aparat separat de masurare a SWR-ului si a puterii de radiofrecventa. Acest model de

Διαβάστε περισσότερα

10. PROTECTIA INSTALATIILOR ELECTRICE IMPOTRIVA SUPRATENSIUNIILOR ATMOSFERICE

10. PROTECTIA INSTALATIILOR ELECTRICE IMPOTRIVA SUPRATENSIUNIILOR ATMOSFERICE 10. PROTECTIA INSTALATIILOR ELECTRICE IMPOTRIVA SUPRATENSIUNIILOR ATMOSFERICE 10.1 Protecţia liniilor electrice aeriene împotriva supratensiunilor de trăsnet 10.1.1. Prevederi generale privind protecţia

Διαβάστε περισσότερα

4.2. CONEXIUNILE TRANZISTORULUI BIPOLAR CONEXIUNEA EMITOR COMUN CONEXIUNEA BAZĂ COMUNĂ CONEXIUNEA COLECTOR COMUN

4.2. CONEXIUNILE TRANZISTORULUI BIPOLAR CONEXIUNEA EMITOR COMUN CONEXIUNEA BAZĂ COMUNĂ CONEXIUNEA COLECTOR COMUN 4. TRANZISTORUL BIPOLAR 4.1. GENERALITĂŢI PRIVIND TRANZISTORUL BIPOLAR STRUCTURA ŞI SIMBOLUL TRANZISTORULUI BIPOLAR ÎNCAPSULAREA ŞI IDENTIFICAREA TERMINALELOR FAMILII UZUALE DE TRANZISTOARE BIPOLARE FUNCŢIONAREA

Διαβάστε περισσότερα

Senzori de temperatură de imersie

Senzori de temperatură de imersie 1 781 1781P01 Symaro Senzori de temperatură de imersie QAE21... Senzori pasivi pentru determinarea temperaturii apei în conducte sau vase. Utilizare Senzorii de temperatură de imersie QAE21 sunt destinaţi

Διαβάστε περισσότερα

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare -

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare - GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE - exemplu de proiectare - Presupunem ca se doreste obtinerea unui oscilator cu urmatoarele date de proiectare: Frecventa de oscilatie reglabila in intervalul 2 5

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN Montajul Experimental În laborator este realizat un amplificator cu tranzistor bipolar în conexiune cu emitorul comun (E.C.) cu o singură

Διαβάστε περισσότερα

Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi

Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi An universitar 2013-2014 Lector dr. Adriana Urdă Cursul 1. Formarea legăturilor chimice. Hibridizare. Polaritatea legăturilor covalente. Obiectivele

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE TERMODINAMICA SI FIZICA STATISTICA

UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE TERMODINAMICA SI FIZICA STATISTICA UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE TERMODINAMICA SI FIZICA STATISTICA BN 9 TERMISTORUL 2005 TERMISTORUL. Scopul lucrării a. Verificarea legii dependenţei rezistenţei

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΩΠΑΪΚΑ ΣΥΜΒΟΥΛΙΑ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ (EΣE) ΚΑΙ Η ΝΕΑ ΟΔΗΓΙΑ 2009/38

ΕΥΡΩΠΑΪΚΑ ΣΥΜΒΟΥΛΙΑ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ (EΣE) ΚΑΙ Η ΝΕΑ ΟΔΗΓΙΑ 2009/38 ΕΥΡΩΠΑΪΚΑ ΣΥΜΒΟΥΛΙΑ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ (EΣE) ΚΑΙ Η ΝΕΑ ΟΔΗΓΙΑ 2009/38 Παναγιώτης Κατσαμπάνης Επιστημονικός συνεργάτης της ΟΒΕΣ Ημερίδα στη Σιναϊα στις 1 EUROPEAN RELATIONS MODELS ΜΟΝΤΕΛΛΑ ΕΥΡΩΠΑΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

STUDIUL COMPARATIV AL CURBELOR DE TITRARE A UNOR ACIZI

STUDIUL COMPARATIV AL CURBELOR DE TITRARE A UNOR ACIZI REACŢIA CHIMICĂ STUDIUL COMPARATIV AL CURBELOR DE TITRARE A UNOR ACIZI Reacţia de titrare a unui acid tare respectiv a unui acid slab (notat în general HA) cu o bază tare se reprezintă prin echilibrul:

Διαβάστε περισσότερα

ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI

ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI Marius Coman mariuscoman13@gmail.com 1 Copyright 2013 de Marius Coman Education Publishing 1313 Chesapeake Avenue Columbus, Ohio 43212 USA Tel. (614)

Διαβάστε περισσότερα

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii.

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii. FitVisible Aceasta este versiunea electronică a cărţii Metode Numerice publicată de Editura Tehnică. Cartea a fost culeasă folosind sistemul L A TEX a lui Leslie Lamport, o extindere a programului TEX

Διαβάστε περισσότερα

MIJLOACE ŞI METODE DE AMELIORARE A FACTORULUI DE PUTERE

MIJLOACE ŞI METODE DE AMELIORARE A FACTORULUI DE PUTERE Aplicaţia MIJLOACE ŞI METODE DE AMELIORARE A FACTORULUI DE UTERE. Generalităţi Echipamentele electrice sunt proiectate la o anumită putere aparentă S ce este proporţională cu produsul valorilor eficace

Διαβάστε περισσότερα

Supapa de siguranta cu ventil plat si actionare directa cu arc

Supapa de siguranta cu ventil plat si actionare directa cu arc Producator: BIANCHI F.LLI srl - Italia Supapa de siguranta cu ventil plat si actionare directa cu arc Model : Articol 447 / B de la ½ la 2 Cod Romstal: 40180447, 40184471, 40184472, 40184473, 40184474,

Διαβάστε περισσότερα