U okviru prvog dijela predavanja predviđeno je da studenti savladaju slijedeće programske sadržaje:
|
|
- Χριστός Γιάνναρης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Predavaja iz predmeta Matematika za ekoomiste: I dio U okviru prvog dela predavaja predviđeo je da studeti savladaju sledeće programske sadržaje: Pojam matrice i operace s matricama Jediiča matrica raspoovaa matrica Pojam determiate materice Nači izračuavaja determiate reda i 3 Osobie determiati 3 Pojam miora i kofaktora i ači jihovog izračuavaja Laplaceovo pravilo o razvoju determiate 4 Pojam iverze matrice i ači jeog izračuavaja Pre ego što počemo sa prvim delom predavaja iz Matematike za ekoomiste, u kome ćemo izložiti osove pojmove iz lieare algebre, reći ćemo ekoliko reči o primjei lieare algebre u ekoomi Pri izučavaju poašaja ekog ekoomskog modela u određeom vremeskom treutku posmatraju se varable koje am karakterišu model i uočava se jihova međuzavisost Na primjer, ukoliko posmatramo eki od modela acioalog dohotka, varable koje posmatramo mogu biti acioali dohodak, ivestice, vladia potrošja, potrošja, ukupi porezi, stopa poreza a dohodak i dr Na osovu empirskih proučavaja i ekoomskih pretpostavki modela veza između varabli iskazuje se jedačiama veze Za te jedačie veze možemo pretpostaviti da su lieare, jer se mogu određeim matematskim metodama (za date okvire vredosti varabli) liearizirati Na taj ači model je okarakterisa sistemom liearih jedadžbi Rješeje tog sistema liearih jedadžbi je tzv ekvilibrum ili ravoteži položaj modela O je predstavlje oim vredostima varabli u kojima model e teži ka promjei Odrediti ekvilibrium modela zači rešiti sistem liearih jedadžbi, a to se čii upravo metodama lieare algebre koje ćemo u daljem upozati Napomeimo da se lieara algebra koristi za ispitivaje tzv stacioarog poašaja ekoomskog modela, tj poašaja u fiksiraom treutku vremea, dok se za ispitivaje diamike modela (tj promjee modela u toku vremea) koristi diferecali i itegrali raču, o kome ćemo govoriti ešto kase I Pojam matrice i operace s matricama Jediiča matrica raspoovaa matrica Matricom formata smatrat ćemo shemu od m realih brojeva Ako je A matrica formata, tada jee elemete ozačavamo sa a, gdje am i ozačava redi broj vrste, a Na primjer, elemet a 35 se alazi u trećoj vrsti i petoj koloi matrice Matricu formata možemo zapisati i kao a a a a a a A am am a m Matricu formata mx (koja ima samo jedu kolou) zovemo vektor-koloom, a matricu formata x (koja ima samo jedu vrstu) zovemo vektor-vrstom j redi broj koloe matrice A, i pišemo A ( a )
2 0 Na primjer, matrica A 3 je vektor-koloa, jer je formata 4x 4 Matrica A ( 3 8) je vektor-vrsta, jer je formata 3x Skup svih matrica formata či elemeti su reali brojevi ozačavamo sa je ozaka za skup realih brojeva) I Sabiraje matrica i možeje matrica skalarom (pri čemu Dve osove operace s matricama su sabiraje matrica i možeje matrice skalarom (tj možeje matrice realim brojem) Matrice A i B možemo sabrati ako i samo ako su jedakih formata U tom slučaju matrice se sabiraju tako što se saberu oi elemeti matrica koji se alaze u istoj vrsti i istoj koloi o zapisujemo a ledeći ači: Ako je A ( a ) i B ( b ), tada je A+ B ( a ) + b 0 3 Primjer: Saberimo matrice A 3 i B 4 Imamo: A+ B 7 4 Aaolgo sabiraju, matrice jedakih formata oduzimamo tako što oduzmemo odgovarajuće elemete jede matrice od elemeata druge matrice Za matrice A i B iz prethodog primjera je ( ) A B Matrica se moži skalarom tako što se svaki elemet te matrice pomoži datim skalarom (odoso realim brojem) o zapisujemo a sledeći ači: Ako je data matrica A ( a ) i reala broj λ, tada je λa ( λa ) Za matrice A i B iz prethodog primjera je 3 0 A 4 6, dok je B Na kraju, izračuajmo matricu 3A B Kao prvo, pomožićemo matrice A i B skalarima, a zatim ćemo tako dobee matrice oduzeti Imamo: A B Sabiraje matrica (istog formata) i možeje matrica skalarom ima sledeće osobie Za ABC,, i λ, µ vredi: A + B B+ A (sabiraje matrica je komutativo)
3 A + ( B+ C) ( A+ B) + C (sabiraje matrica je asocativo) 3 Postoji matrica O (tzv ula-matrica, tj matrica či svi elemeti su jedaki ula) takva da za sve matrice A vredi A + O O+ A A Nula matrica zove se još i eutrali elemet u odosu a sabiraje matrica 4 Za svaku matricu A postoji joj suprota matrica A takva da je A + ( A) ( A) + A O λµ A λ µ A 5 ( ) ( ) 6 ( λ + µ ) A λ A+ µ A 7 λ ( A + B) λa+ λb Primjer (za samostala rad) Ako je A B I Možeje matrica 0 0 A 3 0 i 4 0 B 0, izračuati 3 sxp Za dve matrice A i B kažemo da su saglase ukoliko je s Dakle, matrice A i B su saglase ako i samo ako je broj vrsta matrice B jedak broju koloa matrice A xp Neka su sada A i A a i B ( bjk ) B dve saglase matrice, pri čemu je ( ) Proizvod matrica A i B je matrica C, formata mxp, takva da je ( ) vredi c xp ik abjk j C c ik i mxp Dakle, elemeat u i -toj vrsti i k -toj koloi matrice C AB dobemo tako što svaki od elemeata i -te vrste matrice A pomožimo s odgovarajućim elemetom k - te koloe matrice B i te proizvode saberemo Ilustrujmo ovu defiicu a sledećem primjeru: Primjer Nađimo proizvod matrica A 3 0 i B Pre svega, matrice A i B su saglase, jer je broj koloa matrice A jedak broju vrsta matrice B (jedak 4) Proizvod matrica A i B biće matrica formata 3x3 Nju dobamo a sledeći ači: AB ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 Iz ovog primjera također možemo zaključiti da možeje matrica e komutativa operaca Naime, iako su matrice A i B saglase, kao i matrice B i A, matrica C AB je formata 3x3, dok je matrica D BA formata 4x4 Matricu A iz prethodog primjera e moguće pomožiti samu sa sobom, tj izračuati proizvod A A Da bi eku matricu bilo moguće pomožiti samu sa sobom, potrebo je i dovoljo a oa bude kvadrata matrica, tj da ima jedak broj vrsta i koloa (dakle, mora biti m ) akve matrice je moguće i stepeovati prirodim brojem, a sledeći ači Za A po defiici stavljamo 0 m m A E i A A A, za svaki priroda broj m Ovdje smo sa E ozačili jediiču matricu reda (tj jediiču matricu formata ) Iako je ula-matrica bila matrica či svi elemeti su ule, jediiča matrica e matrica či svi elemeti su jediice Ime jediiča matrica potiče od toga što se možejem sa jediičom matricom (odgovarajućeg formata) e meja polaza matrica, kao što se i možejem broja sa jediicom taj broj e meja Jediiča matrica je matrica či elemeti a glavoj dagoali su jediice, a a svim ostalim mjestima su ule Drugim rečima, E ( e), pri čemu je e za i j, dok je e 0 za sve ostale i i j Na primjer, E 0, E i E Može se pokazati da, ukoliko je A, tada je A E E A A (ova osobia je aaloga osobii realih brojeva tj čijeici da je a a a, za sve reale brojeve a ) Možeje matrica, pored avedeih ima i sledeće osobie (ovdje su am A, B i C kvadrate matrice istog formata): A BC AB C (možeje matrica je asocativo, iako e komutativo) ( ) ( ) A ( B + C) AB + AC (možeje matrica je distributivo s leva prema sabiraju) 3 ( B + C) A BA+ CA (možeje matrica je distributivo s desa prema sabiraju) 4 A O O A O (sa O smo ozačili ula-matricu) Napomeimo a kraju da, zbog toga što možeje matrica e komutativo moramo posebo razmatrati možeje s leve i s dese strae i voditi o tome račua I3 raspoovaa matrica Neka je data matrica A ( a ) sa A ( aji ) xm raspoovaa matrica matrice A, u ozaci A se defiiše Dakle, matrica A se dobe kada u matrici A vrste i koloe zamee mjesta (tj prva vrsta postae prva koloa, druga vrsta postae druga koloa, itd) 0 0 Primjer Odredimo traspoovau matricu matrice A Kako je matrica A formata 3x4, to će traspoovaa matrica biti formata 4x3 Imamo
5 0 3 4 A 0 0 Očigledo je da je ( A ) A Operaca traspoovaja matrica ima i sledeće osobie: λ A + µ B λ A + µ B, gdje su A i B matrice istog formata, a λ i µ reali brojevi ( ) ( ) A B B A, gdje su A i B saglase matrice Ako je A A, za matricu A kažemo da je simetriča matrica Očigledo je da simetriča matrica mora biti kvadrata 0 Primjer Matrica A 3 je simetriča matrica 0 Ako je A A, za matricu kažemo da je kososimetriča Kososimetriča matrica mora biti kvadrata i imati ule a glavoj dagoali 0 Primjer Matrica A 0 je kososimetriča matrica Provjerite to za vježbu 0 I Pojam determiate materice Nači izračuavaja determiate reda i 3 Osobie determiati I Pojam determiate matrice U prethodom delu smo vidjeli da možeje kvadratih matrica ima osobie sliče osobiama možeja realih brojeva (osim komutativosti) Jeda od tih osobia jeste egzisteca jediiče matrice E sa osobiom da je A E E A A, za sve A Kako u skupu realih brojeva svaki reala broj a, a 0 ima svoj iverzi elemet a takav da vredi a a a a, postavlja se pitaje da li sliča osobia vredi za sve matrice A, A O Dakle, postavlja se pitaje za koje matrice A postoji matrica A takva da vredi A A A A E Odgovor a to pitaje će am dati determiata matrice Stroga defiica determiate matrice, baš kao i stroga defiica matrice je matematički dosta zahtjeva i mi je ovdje ećemo avoditi Smatrat ćemo da je determiata kvadrate matrice A reala broj pridruže toj matrici Ozačavat ćemo ga sa det A ili A Napomeimo da se determiata pridružuje isključivo kvadratoj matrici Ukoliko je matrica formata, za determiatu pridružeu toj matrici kažemo da je reda I Izračuavaje determiati reda i reda 3 Neka je a b A c d proizvolja matrica formata x Po defiici je
6 a b det A ac bd c d Dakle, determiata reda se izračuava tako što se od proizvoda elemeata a glavoj dagoali oduzme proizvod elemeata a sporedoj dagoali te determiate 3 Primjer Izračuajmo determiatu matrice A Imamo det A 3 34 ( ) a b c Neka je sada A a b c proizvolja matrica formata 3x3 Determiatu matrice A a3 b3 c 3 možemo izračuati a sledeći ači: Kao prvo, s dese strae determiate dopišemo prve dve koloe matrice A, a zatim možimo elemete a tri glave dagoale, saberemo ih i od jih oduzmemo zbir proizvoda elemeata sa sporede dagoale Imamo: a b c a b det A a b ca b ( ab c3+ bc a3+ ca b3) ( a3bc+ bc 3 a+ c3ab) a3 b3 c3 a3 b3 Postoje i drugi ačii izračuavaja determiati trećeg reda O jima možete pročitati u udžbeiku B Lučića, glava II, poglavlje 73 0 Primjer Izračuajmo determiatu matrice A 3 0 Imamo: 0 deta 3 3 ( 3 ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) I3 Osobie determiati U prethodom primjeru uočili smo da ukoliko u determiati postoji dosta ula, lakše je izračuati jihovu vredost Sada ćemo avesti eke osobie determiati, pomoću kojih ih je jedostave izračuavati Za svaku kvadratu matricu A je det A det A Ako su u matrici A elemeti jede vrste ili koloe jedaki ili proporcioali elemetima druge vrste ili koloe, determiata je jedaka uli 3 Determiata se moži (deli) brojem različitim od ule tako da se elemeti jede vrste ili koloe determiate pomože (podele) tim brojem 4 Ako dve vrste ili koloe determiate zamee mjesta, determiata meja predzak 5 Vredost determiate ostaje epromejea ukoliko sve elemete jede vrste ili koloe pomožimo ekim realim brojem i saberemo sa odgovarajućim elemetima eke druge vrste ili koloe 6 Za kvadrate matrice A i B istog formata je det ( A B) det A det B U sledećem primjeru pokazat ćemo kako se primejuju osobie determiati
7 Primjer Izračuati determiatu D Pri izračuavaju ove determiate koristićemo se osobiom 5 kako bismo u prvoj vrsti determiate dobili ule Kako bismo umjesto broja u prvoj vrsti i drugoj koloi dobili ulu, prvu kolou determiate pomožit ćemo sa (-) i dodati drugoj koloi matrice Aalogo, prvu kolou determiate pomožit ćemo sa (-3) i dodati trećoj koloi kako bismo u prvoj vrsti i trećoj koloi dobili broj 0, umjesto broja 3 Imamo: D Kako su elemeti druge koloe determiate D proporcioali elemetima treće koloe te determiate, to je, a osovu osobie vredost determiate D jedaka uli I3 Pojam miora i kofaktora i ači jihovog izračuavaja Laplaceovo pravilo o razvoju determiate I3 Mior i kofaktor Neka je data kvadrata matrica A ( a ) j i eka je a a a j a a a a j a : : : : D a i a i a a i determiata matrice A : : : : a a a a Uočimo elemeat a determiate D O se alazi u i -toj vrsti i j -toj koloi Kada iz determiate D izostavimo i -tu vrstu i j -tu kolou, ostali elemeti determiate D firmiraju ovu determiatu reda ( ) ako dobeu determiatu zovemo miorom ili subdetermiatom elemeta a i ozačavamo je sa M Determiata D ima tačo miora, jer svakom elemetu determiate odgovara po jeda mior Broj ( ) i + A j M zovemo kofaktorom ili algebarskim komplemetom elemeta a determiate D, odoso matrice A Primjer Odredimo miore M i M 3, te kofaktore A 3 i A determiate 0 D 3 0 Mior M jedak je determiati koju dobemo kada iz determiate D izbacimo drugu 0 vrstu i drugu kolou Dakle, M ( ) 0 0 0
8 Aalogo, mior M 3 jedak je determiati koju dobemo kada iz D izbacimo prvu vrstu i 3 treću kolou Dakle, M Po defiici kofaktora je A3 ( ) M3 ( ) ( )( 0) + 3 Aalogo je A ( ) ( 3 ) 5 0 Primjer Odredimo kofaktore A A 3 i A 4 matrice A Imamo: ( ) + A 0 0 ( ) ( ) 0 3 Za vježbu odredite ostala dva kofaktora (Rješeja se alaze u dodatim materalima) I3 Laplaceovo pravilo o razvoju determiate Do sada smo vidjeli kako izračuati determiatu drugog i trećeg reda Na žalost, e postoji tako jedostava ači za izračuavaje determiati četvrtog i višeg reda Za to će am poslužiti Laplaceovo pravilo o razvoju determiate koje će am govoriti o tome kako determiatu reda prikazati kao sumu determiati reda Na taj ači, a primjer možemo determiatu reda 4 prikazati kao sumu determiati reda 3 koje zamo izračuati Aalogo, determiatu reda 5 možemo prikazati kao sumu determiati reda 4, koje izražavamo kao sumu determiati reda 3, itd sada ćemo avesti Laplaceovo pravilo o razvoju determiate: eorema Determiata D reda jedaka je zbiru proizvoda elemeata ma koje vrste ili koloe i jima odgovarajućih kofaktora Drugim rečima, D a A a A i j Dakle, determiatu možemo razviti po proizvoljoj vrsti ili koloi Kako se kofaktori (tj determiate reda ) može s odgovarajućim elemetima, za razvoj determiate uzet ćemo ou vrstu ili kolou u kojoj ima ajviše ula Koriso je i poslužiti se osobiama determiati kako bismo dobili vrstu ili kolou sa "puo" ula Primjer Determiatu matrice A iz prethodog primjera ajjedostave je razviti po trećoj vrsti, drugoj ili četvrtoj koloi (jer u jima imamo po dve ule) Pokažimo kako se izračuava determiata razvojem po četvrtoj koloi 0 det A A4 + 0 A4 + 0 A34 + A ( ) ( ) ( ) ( 6) + ( 5) Pokažimo kako determiatu razviti po trećoj vrsti Imamo:
9 0 det A 3 A3 + 0 A3 + A A ( ) 0 + ( ) Za vježbu, izračuajte determiatu matrice A razvajući je po drugoj koloi (Rješeja su u dodatim materalima) I4 Pojam iverze matrice i ači jeog izračuavaja I4 Defiica iverze matrice Kao prvo, daćemo defiicu adjugovae matrice * Neka je data matrica A ( a ) Za matricu A ( A ) kažemo da je adjugovaa matrica matrice A Dakle, elemeti adjugovae matrice dobu se tako što za svaki od elemeata a matrice A ađemo jegov kofaktor A, te kofaktore složimo u matricu, a zatim tako dobeu matricu traspoujemo Izračuajte sami adjugovau matricu matrice A 0 3, a zatim ađite proizvod * A A (Rješeje je dato u dodatim Adjugovaa matrica ima sledeću veoma važu osobiu: * * A A A A det A E () Sada ćemo defiisati iverzu matricu matrice A Za matricu A kažemo da je ivertibila ili regulara matrica ukoliko postoji matrica A takva da vredi A A A A E () Matricu A za koju vredi relaca () zovemo iverzom matricom matrice A Očigledo je da postoji veza između relaca () i (), odoso između adjugovae matrice i iverze matrice matrice A * * Ukoliko je det A 0, tada je, a osovu relace () A A A A O (Ovdje am O ozačava ula-matricu), pa matrica A ema iverzu matricu (takva matrica zove se sigulara matrica) Ukoliko je det A 0, matrica je regulara, jer iz relace ( ), ako deljeja sa det A 0 (uslov da je determiata različita od 0 bio am je potreba kako bismo podelili sa brojem det A) dobamo A * * det A A det A A A E Dakle, ukoliko je det A 0, matrica je ivertibila i vredi * A A (3) det A
10 I4 Nači izračuavaja iverze matrice Relaca (3) ma govori o tome kako izračuati iverzu matricu date matrice (ukoliko oa postoji) Neka je data matrica A ( a ) Iverzu matricu matrice A određujemo a sledeći ači: Izračuamo determiatu det A matrice A Ukoliko je det A 0, matrica ema iverze, pa je e možemo i izračuati Ukoliko je det A 0, matrica ima iverzu, pa prelazimo a sledeći korak Odredimo kofaktore A svih elemeata a matrice A 3 Formiramo matricu kofaktora, pa je traspoujemo Na taj ači smo dobili matricu * A ( A ) * 4 Podelimo matricu A sa det A * Na taj ači smo dobili matricu A A det A Primjer Ispitajmo da li matrica A 9 0 ima iverzu matricu i ukoliko ima odredimo je Rae smo vidjeli da je D det A 0, pa data matrica ema iverzu 0 Primjer Ispitajmo da li matrica A 3 ima iverzu matricu i ukoliko ima 0 odredimo je Izračuajmo determiatu matrice Rae smo vidjeli da je det A 9 0, pa data matrica ima iverzu Sad prelazimo a sledeći korak, a to je izračavaje kofaktora svih elemeata matrice A Imamo: A ( ) ( 3 ) 5, A ( ) ( ) ( 0), A3 ( ) ( 4 0) 4, A 0 ( ) ( ) ( 0), A ( ) ( 0), A3 0 ( ) ( ) ( 0), A3 ( ) ( 0), A3 3 ( ) ( ) ( 0), 3+ 3 A33 ( ) ( 3( 4) ) Dobee kofaktore složit ćemo u sledeću matricu:, koju ćemo traspoovati * da bismo dobili A 7 4 7
11 5 5 5/9 /9 /9 Sada je A /9 /9 / /9 /9 7/9 Provjerimo, a kraju da li je aš rezultat tača Da bismo to uradili trebamo pomožiti matrice A i A i vidjeti da li je jihov proizvod matrica E 3 Imamo: A A E Dakle, matrica A je zaista iverza matrica matrice A Za samostala rad možete provjeriti da je A A E 3 I43 Osobie iverze matrice Na kraju, avešćemo tri osobie iverze matrice koje su am potrebe pri rješavaju matričih jedačia Ako je A ivertibila matrica, tada je i A također ivertibila i vredi ( A ) A Ako su A i B ivertibile matrice, tada je i A B također ivertibila matrica i vredi ( ) A B B A 3 Ako je A ivertibila matrica, tada je i A također ivertibila i vredi ( A ) ( A )
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραMETODA SEČICE I REGULA FALSI
METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja
Skupovi brojeva 17 Skupovi brojeva.1 Skup prirodih brojeva Skup N prirodih brojeva čie brojevi 1,,3,... Nad skupom prirodih brojeva defiisae su operacije sabiraja (+) i možeja ( ), čiji je rezultat takože
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. Inverzna matrica
Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši
Διαβάστε περισσότερα4. EGZISTENCIJA RJEŠENJA SISTEM LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNAČINA (KRONECKER-CAPELLIEV STAV)
4. EGZISTENCIJA RJEŠENJA SISTEM LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNAČINA (KRONECKER-CAPELLIEV STAV) - 48 - Koristeći stav o jedokosti raga matrice i broja liearo ezavisih vrsta (koloa) te matrice, dokazaćemo Kroecker-Capelliev
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραNiz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza.
2. NIZOVI 1 / 78 Niz i podiz 2 / 78 Niz i podiz Defiicija Svaku fukciju a : N S zovemo iz u S. Za N pišemo a() = a i azivamo -tim člaom iza. Ozaka za iz je (a ) N ili (a ) ili samo (a ). Kodomea iza može
Διαβάστε περισσότεραNizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom:
Nizovi Defiicija Niz je fukcija Ozake: (a ) ili a } a: R Zadatak Napišite prvih ekoliko člaova izova zadaih općim člaom: a = a = ( ) (c) a = Zadatak Odredite opće člaove izova: 3 5 7 9 ; 3 7 5 3 ; (c)
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότερα4 Matrice i determinante
4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα( i,j 1,n) = b ij = a ji,
- 34-0 Kvadrate matrice 0 Za kvadratu matricu A reda, tj za matrica A M uvodimo defiicije: Defiicija Ako za kvadratu matricu A važi A T =A, tada se A aziva simetriča matrica Defiicija 2 Ako za kvadratu
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραRAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA
RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραAritmetički i geometrijski niz
Zadac sa prethodh prjemh spta z matematke a Beogradskom uverztetu Artmetčk geometrjsk z. Artmetčk z. 00. FF Zbr prvh dvadeset člaova artmetčkog za čj je prv čla, a razlka A) 0 B) C) D) 880 E) 878. 000.
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješenja 1. kolokvija (16. studenog 2015.)
DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješeja 1. kolokvija (16. studeog 2015.) Zadatak 1 (20 bodova) Neka je fukcija d: R 2 R 2 R daa formulom { x 1 + y d(x, y) = 1, ako je x y, 0, ako je
Διαβάστε περισσότεραII. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραGeodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA
Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog
Διαβάστε περισσότερα( ) δ = δ ε ) tako da vrijedi ( ) Predavanja iz predmeta Matematika za ekonomiste: IV dio
Predavaja iz predmeta Matematika za ekoomiste: IV dio U okviru četvrtog dijela predavaja predviđeo je da studeti savladaju slijedeće programske sadržaje:. Graiča vrijedost fukcije.. Neprekidost fukcije.
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραREALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih
REALNA FUNKCIJA Fukciju f čiji je skup vrijedosti V podskup skupa R realih brojeva zovemo realom fukcijom. Ako je, pritom, oblast defiisaosti D eki podskup skupa R uređeih -torki realih brojeva, kažemo
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραVJEROVATNOĆA-POJAM. Definicija vjerovatnoće Σ = f x f. f f. f x f. f f ... = Σ = Σ. i...
VJEROVATNOĆA-OJAM Defiicija vjerovatoće f f f f f f f m X i i... ) + + + Σ p p p p f f f f f i i i i i i i ) )... ) )... + + + Σ + + Σ + Σ Σ Σ µ µ Aditivo i multiplikativo pravilo. Ako su E i E slučaji
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραIzrada Domaće zadaće 4
Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότερα1 FUNKCIJE. Pretpostavljamo poznavanje prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,... },
FUNKCIJE Pretpostavljamo pozavaje prirodih brojeva N = {,, 3,... }, cijelih brojeva Z = {...,,, 0,,,... }, racioalih brojeva Q = { m : m Z, N}. Nećemo defiirati reale brojeve R jer bi as to odvelo previše
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.
ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2
Διαβάστε περισσότεραDefinicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1,
Defiicija: Beskoači iz realih brojeva je fukcija a : N R i Umjesto zapisa a(), a(),,a(), može se koristiti zapis a, a,,a, Broj a zove se opći čla iza, a cijeli iz se kratko ozačuje (a ). Niz je : -rastući
Διαβάστε περισσότεραSistemi linearnih jednačina
Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραSkup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }
VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότερα