4. EGZISTENCIJA RJEŠENJA SISTEM LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNAČINA (KRONECKER-CAPELLIEV STAV)
|
|
- Κωνσταντίνος Αθανασίου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 4. EGZISTENCIJA RJEŠENJA SISTEM LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNAČINA (KRONECKER-CAPELLIEV STAV) Koristeći stav o jedokosti raga matrice i broja liearo ezavisih vrsta (koloa) te matrice, dokazaćemo Kroecker-Capelliev stav (Kroecker, L., jemački matematičar (823-89); Capelli, A., talijaski matematičar (855-90) ). Tim stavom iskaza je potreba i dovolja uslov da sistem liearih jedačia: a x a x a x h, = a x a x a x h, = 2 () am x + am x + + amx = h 2 2 m bude saglasa. Stav 3. (i) Da bi sistem () bio saglasa, potrebo je i dovoljo da je rag(a p ) = rag(a). (*) (ii) Neka je rag(a p ) = rag(a) = r, tada sistem () ima: (a) beskoačo mogo rješeja za r <, (b) jedistveo rješeje za r =. Dokaz. (i) Sistem () možemo zapisati u ekvivaletom obliku: a a a h 2 a a a h = a a a h x x2 x. m m2 m m ( 2) Dakle, ako sistem () ima rješeje (x, x 2,..., x ), tada jedakost (2) zaći da je koloa slobodih člaova H lieara kombiacija koloa matrice sistema A. Prema tome, dodavajem koloe H broj liearo ezavisih koloa se e povečava, pa je rag(a p )=rag(a). Prema tome dokazali smo da je uslov (*) potreba. Dokažimo da je uslov (*) i dovolja, tj. da uslov rag(a p )=rag(a) = r implicira da je sistem () saglasa. U ovom slučaju posto/ji bar jeda mior reda r matrice A (, koji je i mior matrice A p ) koji je različit od ule, te je r bazisih vrste (koloe), koje obrazuju taj mior, liearo ezaviso, a m r preostalih ebazisih vrsta (koloa) su lieare kombiacije tih r bazisih vrsta (koloa). Prema tome, isto tako, r jedačia koje odgovaraju ebazisim vrstama su lieare kombiacija r jedačia koje odgovaraju bazisim vrstama, tj. jihova su posljedica, te se mogu odbaciti. Dakle, sistem se svodi a r jedačia koji je ekvivaleta sistemu (). Ne umajujući opčeitost, možemo pretpostaviti da su to prvih r jedačia (preumeracije, tj. zamjee rasporeda jedačia sistema () su elemetare trasformacije), tj. da su r bazisih koloa (epozatih) prvih r koloa (epozatih). Taj sistem, ekvivaleta sistemu (), možemo zapisati u obliku: a x a x a rxr h a,r xr a x, = + + a2x + a22x2 + + a2rxr = h2 a2,r+ xr+ a2x, ar x + ar x + + arrxr = hr ar,r+ xr+ arx, 2 2 gdje smo ebazise epozate (x r+, x r+2,..., x ) prebacili a desu strau jedakosti. (a) Za r < sistem (3) je kvadrati r x r, detrmiata tog sistema je, po pretpostavci, bazisi mior ( 3 )
2 matrice A, te je različita od ule. Dakle, sistem za r < ima beskoačo mogo rješeja, pošto, prema Kramerovom pravilu (za svaki izbor ebazisih promjeljivih (x r+, x r+2,..., x ) K -r ) ima (jedo) rješeje; (b) za = r, skup ebazisih promjeljivih je praza, te sistem (), tj. ekvivaleti sistem (3), ima jedistveo rješeje. Primjedba. Koristeći Kroecker-Capelliev stav u staju smo, e samo, da odgovorimo a pitaje egzistecije rješeja, već i da formulišemo algoritam za rješavaje sistem (), ukoliko je saglasa.. Izračua se rag(a) i rag(a p ), pa ako je rag(a)= rag(a p )= r, uoči se jeda bazisi mior matrice A. 2. Uzima se r jedačia čiji koeficijeti obrazuju bazisi mior, a ostale se odbacuju. U uočeim jedačiama se slobode epozate prebacuju a desu strau. 3. Prema Kramerovom pravilu ili Gausovoj metodi izražavaju se bazise epozate preko ebazisih (slobodih) epozatih. 4. Dajući slobodim epozatim određee (proizvolje) vrijedosti dobijamo određee vrijedosti za bazise epozate i tako se dobijaju poseba rešeja sistema. POSLJEDICE KRONECKER-CAPELLIEVA STAVA. Posljedica. Homogei (pravougaoi ili za m = kvadrati) sistem AX = O, gdje je A M m, ima i etrivijala rješeja X O, akko je rag (A) < (ili, za m =, deta = 0). Posebo iteresata posljedica Kroecker-Capellieva stava je stav o elimiati. Radi se o potrebom uslovu da sistem (), gdje je m = +, tj. sistem gdje je broj jedačia m za jeda veći od broja epozatih. U ovom slučaju je A M +,, te je proširea matrica sistema A p = (A H) kvadrata matrica reda +. Elimiatom pravougaoog sistema za koji je m = + azivamo deta p. Stav 4. (Stav o elimiati). Sistem (), u slučaju kad je m = +, ima rješeje samo ako je elimiata sistema deta p = 0. Dokaz. Rag matrice A ajviše je (< m). Pretpostavimo li da je u ovom slučaju sistem saglasa. Tada je rag(a p ) = rag(a), odakle slijedi deta p = 0, jer bi u suprotom bilo rag(a p ) = + > rag(a). Obruto e važi, tj. ako je elemiata sistema deta p = 0 sistem o kome je riječ e mora imati rješeje. Dakle, (kod sistema () za m = + ) uslov deta p = 0 (tj. elimiata sistema jedaka uli) je potreba, ali ije dovolja uslov, da bi sistem bio saglasa. Primjeri. ) Za sistem homogeih jedačia: x+ 7y+ 7z+ 3t = 0, 4y+ 0z+ t = 0, 3x+ y+ z+ 4t = 0, 2x+ 2y+ 4z+ 3t = 0, odrediti sva rješeja. Matrica sistema je A = Dakle, raga = 2, bazise epozate su x i y, dok su z i t slobode epozate. Početi sistem je ekvivaleta sa sistemom: x+ 7y+ 7z+ 3t = 0, 4y+ 0z+ t = 0. Prema tome rješeje sistema je ( z, t R) ( x,y,z,t) 5 5 = z t, z t, z, t ) Koristeći Kroecker-Capelliev stav ispitati egzisteciju rješeja, te riješiti sistem x+ 2y+ 3z+ 2s+ t = 3, 2y z s+ 5t = 0, x+ 2y z+ 6s+ 5t = 3, x+ 2y 5z+ 0s+ 9t = 3. Rješeje: (x, y, z, s, t) = (s+t, -3s+, s-2t+, s, t)
3 V LINEARNI OPERATORI Neka su X i Y prostori koačih dimezija i m respektivo. Pod pojmom operatora A:X Y podrazumijevamo preslikavaje koje svakom elemetu x X pridružuje eki elemet y Y. Čijeicu da je y slika elemeta x zapisujemo kao: y=a(x) ili y = Ax. Po dogovoru, svako preslikavaje A :X Y je jedozačo, a to zači da ( x l, x 2 X) A(x ) A (x 2 ) x x DEFINICIJA LINEARNOG OPERATORA Lieari operatori, ili lieara preslikavaja, (egl. liear operator, jem. Lieare Abbildug (lieare Operator), frac. applicatio lieaire, rus. lieijiji operator) su takva preslikavaja liearih prostora koja uvažavaju jihovu lieru strukturu. Zato izučavaje liearih operatora predstavlja ajvažiji dio lieare algebre. Defiicija. Neka su X i Y lieari prostori ad poljem K. Preslikavaje A : X Y aziva se lieari operator ako za jega vrijede uslovi ( x, x 2 X) A(x + x 2 ) = A(x ) + A(x 2 ), (aditivost) () ( x X) ( a R) A(ax) = aa(x). (homogeost) (2) Primjedbe. ) Uslovi () i (2) ekvivaleti su s uslovom ( x, x 2 X) ( a, a 2 R) A(a x + a 2 x 2 ) = a A(x ) + a 2 A(x 2 ), (liearost) (3) tj. operator je lieara akko je aditiva i homoge. Zaista, ako je A lieari operator, a osovu () i (2) imamo: A(a x + a 2 x 2 ) = () = A(a x ) + A(a 2 x 2 ) = (2) = a A(x ) + a 2 A(x 2 ); obrato: za a = a 2 = iz (3) dobijamo (); za a = a a 2 = 0 iz (3) dobijamo (2), pa je A lieari operator. 2) Ako je Y prostor skalara (ajčešće prostor realih (kompleksih) brojeva) oda se lieari operator zove lieari fukcioal ili lieara forma. 3) Specijalo, kada je Y X imamo preslikavaje (operator) koje elemetima iz X pridružuje elemete iz X. 4) Skup svih liearih operatora A :X Y ozačavaćemo sa L(X, Y). Primjer. Neka je X = K, Y = K m i A M m,(k). Svaka takva matrica defiiše eki lieari operator. Priroda veza između matrice i liearoga operatora defiiše se sa ( x X) A(x) := Ax ( Y), gdje je Ax proizvod matrica. Ovako defiisa operator zaista je lieara, zbog pozatih osobia možeja matrica. Primjedba. Zadavaje operatora pomoću eke matrice ajvažiji je primjer liearoga operatora. Dobar dio ovoga poglavlja biti će posveće proučavaju veze između matrice i liearog operatora. Pokazaćemo da vrijedi i obrata tvrdja: svakom liearom operatoru odgovara jeda matrica. Bilo bi etačo zaključiti da je pojam liearog operatora epotreba, pošto se o može potpuo opisati matricama. Međutim, situacija je ešto složeija.
4 Precizija, veza između operatora i matrice mogla bi se ovako opisati: ako su zadae baze vektorskih prostora X i Y, tada svakom operatoru A :X Y za taj par baza odgovara jeda matrica. Međutim, promijeom baze, istom operatoru odgovara eka druga matrica. Lieari operator zadaje se eoviso od baza prostora, ali tek izbor baza određuje koja mu matrica odgovara. Najiteresatija aaliza matričoga račua upravo se sastoji u tome da se daju odgovori a sljedeća dva pitaja: 0 kako odabrati bazu prostora pa da prikaz liearoga operatora bude po mogućosti što jedostavija matrica (što sličija dijagoaloj); 2 0 da li (i kada) dvije različite matrice A, B pripadaju istome liearom operatoru (u različitim bazama)? 5.. MATRICA LINEARNOG OPERATORA Opišimo obrutu vezu: kako lieari operator određuje matricu: Neka su X i Y lieari prostori tako da je dimx =, dimy = m. Neka je e = (e..., e ) baza u prostoru X, a f = (f,.,., f m ) baza u prostoru Y. Dati lieari operator A:X Y prevodi svaki vektore e j X u vektor A(e j ) Y ( j =,2,..., ), koji se može razložiti po bazi f Y. Dakle, vrijedi Ae a f a f am f m, = m Ae ( 2) = a2f + a22f2 + + am2f m, ( j =,) A( ej) = aijf i. 4 Ae = a f+ a f + + amf m. 2 2 Skalari a i j, koji su određei razlagajem (4), defiišu matricu A ef M m,(k): a a2 L a a2 a22 a 2 A ef : ( aij ) A L = = =. (5) m, M M M am am2 L am Defiicija 2. Matrica A ef data sa (5) zove se matrica operatora A:X Y u odosu a baze e i f (prostora X i Y, respektivo). Primjedbe: (a) Broj vrsta u matrici A operatora A je m = dimy, a broj koloa je = dimx, tj. format matrice A opratora A:X Y je (m,) = (dimy, dimx). (b) j-tu kolou matrice A čie kordiate vektora A(e j ) (j=,2,...,) u odosu a bazu f = (f,.,., f m ) Y. Pokazaćemo da vrijedi A(x) = Ax, za svaki vektor x X. Zaista, svaki vektor x X može se razložiti po bazi e = (e..., e ) X, tj. x X! x,,x K x= x e + + x e. (6) Isto tako, svaki vektor y Y može se razložiti po bazi f = (f,.,., f m ) Y, tj. m y Y! y,,y K y= y f + + y f. (7) m m m Oda, redom prema (6), (3), (4) i promjeom redosljeda sumiraja, vrijedi iz jedakosti
5 m m j j j j j ij i ij j i j= j= j= j= = = = = A x A x e x A e x a f a x f. Zbog jedistveosti razlagaja vektora po bazi, upoređujući (7) i (8), zaključujemo da je Iz (9), prema defiiciji možeja matrica, izlazi Dakle, dokazali smo slijedeći stav: i ij j j= (8) i =,m y = ax. () 9 y = Aef x. (0) Stav. Neka su: X i Y lieari prostori takvi da je dimx =, dimy = m; e = (e..., e ) je baza u X i f = (f,.,., f m ) je baza u Y. Svakom liearom operatoru A:X Y, za taj par baza, može se pridružiti samo jeda matrica A= A : = a, čije su koloe koordiate vektora A(e j ) u bazi f = (f,.,., f m ). ef ( ij) m, Vrijedi i obruto, svakoj matrici A A ef : ( aij) = = odgovara samo jeda operator koji djeluje iz prostora X dimezije u prostor Y dimezije m, tako da vrijedi ( x X) (! y Y) y = A(x) = Ax. () m, Primjedba. Relacija (), veza operatora i matrice, toliko je važa da smo zbog jedostavosti formule amjero bili edovoljo precizi. Pažljiviji čitalac će uočiti da u formuli () vektor x s lijeve i s dese strae ema isto začeje. S lijeve strae, o je elemet vektorskoga prostora X i jegov prikaz u bazi toga prostora ima oblik x= xe+ + xe. S dese strae, vektor x poistovjećujemo s vektorom-koloom x = [x,..., x ] T K, a zatim, ako možeja s matricom A, vektor Ax (koji pripada prostoru Y) treba shvatiti a ači: (Ax) f (Ax) m f m. Razmotrimo primjeu stava a primjerima koji kostruišu matricu operatora. Primjer 2. Idetiči (jediiči) operator E L(X,X), defiisa je formulom E(x) = x za svaki x X. Kako za svaki vektor baze vrijedi E(e j ) = e j, to ovom operatoru odgovara (u bilo kojoj bazi) jediiča matrica E, čiji je red = dimx. Primjer 3. Nula operator O: X Y, defiisa je formulom O(x) = 0, za svaki x X. Njemu odgovara ula matrica tipa (m,). d Primjer4. Odredimo matricu koja odgovara operatoru difereciraja D = : P P u prirodoj dt bazi ovog prostora (,t,t 2,...,t ), tj. i i = 0, e t = t. i Vrijedosti operatora a vektorima baze je: i =, D(e ) t i = it = ie t, tj. te je i i De t = 0, ( i, j,) dij ( Dej) (( j ) ej ) Dakle, matrica D u tom paru prirodih baza glasi 0 i, za j = i, 0, za j i. = = = = i i
6 D = Vježba. Neka je D operator iz prethodog primjera. Odgovaritti a slijedeća pitaja:. Izračuati kvadrat matrice tog operatora D Kojem operatoru odgovara ta matrica? Da li je D 2 d = B = : P 2 P, gdje je B operator drugog dt izvoda? 3. Za = 4, apiši matricu D i provjeri da je D 4 = Uvjeri se da je D = O. Prokometariši taj rezultat! Da li o ešto govori o -tim izvodima fukcija bazi: i i = 0, e t = t. i PRELAZAK S JEDNE BAZE NA DRUGU Neka su date dvije proizvolje baze: stara baza e = (e,..., e ) i ova baza f = (f,..., f ) vektorskog prostora X ad poljem K. Vetore ove baze f razložimo po vektorima stare baze e: f = p e + p e + + p e, = ( = ) j = ij i f p e p e p e, j, f p e. f = p e+ p2e2 + + pe. Isto tako vektore e j stare baze možemo razviti po vektorima ove baze, tj. e = q f + q f + + q f, = ( = ) j = ij i e q f q f q f, j, e q f. ( 2) e = q f + q f + + q f. 2 2 Primjedbe. ) Jedakostima (), (2) određee su matricama p p q q P =, Q =, p p q q gdje koloe matrice P (matrice Q) predstavljaju koordiate razlagaja vektora ove (stare) baze preko vektora stare (ove) baze. 2) Razlagaja () i (2) možemo pretstaviti simboličo pomoću možeja matrica f = ep, e = fq. (*) 3) Matricu P=(p ij ) m, azivamo matrica prelaska sa stare baze e a ovu bazu f, tj. matricu Q=(q ij ) m, azivamo matrica prelaska sa ove baze f a stare bazu e.
7 Veza između matrica P i Q iskazuje Stav 2. Matrice P i Q su uzajmo iverze. Dokaz. Na osovu () i (2) imamo ( ) Odakle, promjeom redosljeda sumiraja, izlazi j =, f = p e = p q f, j ij i ij ki k k= j =, f = q p f. ( 3 ) j ki ij k k= Kako su vektori f k lieaaro ezavisi, to iz (3), a prema defiicije možeja matrica, slijedi k,j =, Q P = q p =δ, ( 4 ) k..j ki ij kj ili tj. matrice Q i P su uzajamo iverze. QP = E, (5) Primjedbe. ) Na isti ači, kao što smo dokazali (5), možemo dokazati da je PQ = E. (6) (Za vježbu dokazati (6)). 2) Iz (5) izlazi da su obe matrice P i Q regulare. (Obrazložiti: zašto je to tako?). 3) Iz razmatraja koje smo proveli u poglavljima 2. i 3. proizlaze stavovi Stav A. Skup regularih kvadratih matrica je multiplikativa grupa. Stav B. U multiplikativoj grupi vrijedi: (i) lijevi iverzi elemet je ujedo i desi iverzi elemet i obrato; (ii) iverzi elemet je jedistve. Za vježbu dokazati stavove A i B. Stav 3. Neka su date: (i) koordiate reprezetacije tačke x liearog prostora X u odosu a baze e i f tog prostora x e = ( x,...,x ) T K i x f = ( x,...,x ) T K, respektivo; (ii) matrica prelaska P=(p ij ) m, sa stare baze e a ovu bazu f. Tada je veza između ovih i starih koordiata data matričom jedakošću x f = P - x e (**) Dokaz. U razlagaju vektora x po staroj i ovoj bazi x= xe+ + xe, = xf + + xf izrazimo e j koristeći jedakosti (2). Dobijemo
8 xf k k= xe j j= xj qf ij qx ij jf. i k= j= j= j= Odavde, zbog lieare ezavisosti vektora baze f, slijedi ( ) k kj j j= k =, x = q x što je, a osovu defiicije možeja vektora ekvivaleto sa x q q x = x f =Q xe. (7) x q q x Kako je, prema stavu 2, Q = P -, to iz (7) slijedi (**). Time je stav 3 dokaza. Primjedba. Ispišimo zajedo formule (*) i (**) f = ep i x e = Px f ; e = fq i x f =Qx e ; (PQ = E ili detp 0 ). gdje su:. e i f vrste koje odgovaraju starom i ovom bazisu, x e i x f koloe kordiata vektora x koje odgovaraju starom i ovom bazisu respektivo; 2. P i Q su uzajamo iverze matrice prelaska (PQ = E) (a) P sa starog e a ovi bazis f, tj. sa ovih x f a stare x e koordiate, (b) Q sa ovog f a stari bazis e, tj. sa starih x e a ove x f koordiate vektora x. Primjer. Neka su date baze: stara baza e = (e,e 2, e 3 ) i ova baza f = (f, f 2, f 3 ). Pri čemu je f = 2e + 3e + e, f = 3e + 4e + e, f = e + 2e + 2 e Odrediti matrice prelaska: P sa stare baze e a ovu bazu f i Q sa ove baze f a stare bazu e. Rješeje Očito je: P = 3 4 2,tj. Q= P = 4 3, ( detp = ). 2 Zapisati jedakosti prelaska sa ove a staru bazu ( e = f Q = f P - ). Vektor x = x e + x 2 e 2 + x 3 e 3 u odosu a bazu f, ima koordiate x f = Qx e = P - x e, tj. x x x = x + x x x = x x = x x + x x x 3 3 x = x x + x 2 3 Specijalo vektor e + e 2 + e 3 u odosu a bazu f ima koordiate: 2 3 x = 3, x = 2, x = PROMJENA MATRICA PRESLIKAVANJA PRI ZAMJENI BAZA Sada ćemo odrediti vezu između matrica liearog operatora i matrica prelaza sa baze a bazu. Promatraćemo: (a) Operator A L(X,Y) gdje je dimx=, dimy=m; (b) Stare baze: e = (e,..., e ) baza u prostoru X, a f = (f,.., f m ) baza u prostoru Y; (c) Nove baze: e = (e,..., e ) baza u prostoru X, a f = (f,.., f m) baza u prostoru Y. Kako smo u paragrafu 5.2. vidjeli, za dati par baza u X i Y operator A odgovara jeda matrica.
9 Neka za par starih baza e X i f Y operatoru A odgovara matrica A, a druga matrica A odgovara drugom ovom paru baza e X i f Y. Dakle, ako je y = A(x) i x= x e + + x e = x e + + x e y= y f + + ymfm= yf + + ymf m, oda su, a osovu stava, veza između koordiata vektora x X i y Y date jedakostima y x y= Ax, y =, x =, ( 8) y m x y x y = Ax, y =, x =. ( 9) y m x Matrice A i A su određee kao u paragrafu 5.2. Neka je P=(p ij ) matrica prelaza sa baze e a ovu bazu e u prostoru X, a R=(r ij ) mm matrica prelaza sa baze f a ovu bazu f u prostoru Y. Na osovu jedakosti (**) u stavu 3, vrijedi x = P x ( 0) y = R y. Koristeći (0) i (), iz (9) izlazi R y= A ( P x ), tj. y= R( A ( P x )), ili y= ( RAP ) x. ( 2 ) Poređejem jedakosti (8) i (2), za matrica pridružeih operatoru A, izlazi A= RA P. ( 3 ) Jedakost (3) daje vezu između avedeih matrica (koje odgovaraju istom operatoru) U specijalom slučaju kad je X = Y, oda je e = f, e = f, P = R, te jedakost (3) postaje A= PA P. ( 4 ) Time smo dokazali Stav 4. Neka je A matrica operatora A L(X,X) u bazi e = (e,..., e ) X, P matrica prelaza iz stare baze e u ovu bazu e = (e,..., e ). U ovoj bazi operatoru A odgovara matrica A = P AP. 5 Primjedbe. ) Jedakosti (4) i (5) su ekvivalete; u tim jedakostima sve matrice su kvadrate. 2) Matrice A i A, koje odgovaraju istom operatoru, imaju još eka zajedička svojstva. Zato je prirodo defiirati: 3) Za dvije matrice A, B M kažemo da su sliče, u ozaci A B, ako postoji regulara matrica P M takva da je B = P - A P. (6) 4) Sad je stav 4 moguće iskazati sa: operatoru A L(X,X) odgovaraju u razim bazama sliče matrice. 5) Relacija sličosti matrixa je relacija ekvivalecije u skupu matrica M. U klasi sličih matrica problem kostrukcije matrice određee strukture je daleko teži ego u klasi ekvivaletih matrica, gdje je to urađeo pomoću elemetarih trasformacija.
10 - 57-6) Od zajedičkih svojstava sličih matrica izdvojimo za sad samo ovu: sliče matrice imaju jedake determiate. Zaista, po Biet-Cauchyjevom stavu vrijedi det(b) = det(p - )det(a)det(p) = det(a) pošto je det(p - ) = l/det(p). Zato ima smisla defiisati determiatu operatora: det(a) = det(a) gdje je A matrica operatora A u bilo kojoj odabraoj bazi JEZGRA I SLIKA LINEARNOG OPERATORA Defiicija. U skupu L(X, Y) itera operacija sabiraja operatora i ekstera operacija možeja operatora skalarom (brojem) mogu se uvesti a sljedeći ači:. Suma A +B operatora A i B iz L(X, Y) je operator defiisa jedakošću (A + B)x = Ax + Bx, x X. 2. Proizvod aa skalara a i operatora A iz L (X, Y) je operator defiisa jedakošću (aa)(x) = a(a(x)), x X. 3. Nula operator O je operator za koji je O(x) = 0 v, za svako x X. 4. Za operator A L(X, Y) simetriča operator - A se zadaje pomoću jedakosti -A = (- )A. Nije se teško uvjeriti da vrijedi Stav. Skup L (X, Y) svih liearih operatora, koji elemetima x X pridružuju elemete y Y, sa defiisaim operacijama sabiraja i možeja skalarom, izabraim ula operatorom i simetričim operatorom obrazuje lieara prostor. Navodimo eka svojstva liearih operatora. Stav 2. Svaki lieara operator A L(X, Y) preslikava ula elemeat prostora X u ula elemeat prostora Y. Dokaz. Sa 0 x i 0 y ozačimo ula elemete prostora X i Y respektivo. Tada za A L(X, Y) imamo ( x X) (! y Y: A(x) = y) A(0 x ) = A(0 x)=0 A(x) = 0 y = 0 y. Stav 3. Ako su x,..., x liearo zavisi elemeti prostora X i ako je A L(X, Y), oda su jihove slike A(x ),..., A(x ) liearo zavisi elemeti prostora Y. Dokaz. Prema pretpostavci važi jedakost ax = 0 i i x pri čemu je bar jeda skalar a i 0. Slijedi aa(x) A ax = = A =, 0 0 i i i i y y a osovu čega se zaključuje da su A(x ),..., A(x ) liearo zavisi elemeti u Y. Neka je A L(X, Y). Skup svih elemeata A(x), (xex) ozačavamo sa A(X). Važi A (X) Y. Nije se teško uvjeriti da je A (X) podprostor prostora Y.
11 DEFINICIJA JEZGRE I SLIKA LINEARNOGA OPERATORA. Uz svaki lieari operator A pridružea su dva skupa. 0 Prvoga sačiajavaju svi oi vektori prostora X koji se preslikavaju u ula vektor prostora Y. Ozačavamo ga s Ker A i azivamo jezgra ili ulapotprostor operatora A. 2 0 Drugog čie svi vektori u Y koji su slika ekoga vektora iz X. Ozačavamo ga s ImA ili A(X) i azivamo slika operatora A. Dakle, vrijedi KerA :={x X A(x) = 0}, ImA := {y Y y = A(x) za eki x X}. Primjedba. Ker je skraćeica egleske riječi kerel (jezgra). Im dolazi od egleske riječi image (slika) Stav 4. Ker A i ImA vektorski su potprostori. Dokaz. Za jezgru slijedi ovako. Uzmimo x,y KerA. Tad je A(ax + by) = aa(x) + ba(y) = 0 jer su oba sabirka jedaka uli. Sličo vrijedi i za sliku. Defiicija raga i defekta operatora. 0 Pojam jezgre operatora veza je s problemom rješavaja homogeih liearih sistema. Zaista, ako je A matrica pridružea operatoru, tada je jedačia A(x) = 0 ekvivaleta s matričom jedačiom Ax = 0. Pokazali smo da je skup svih rješeja ove jedačie potprostor razapet s - r ebazisih vektora, pri čemu je dimezija prostora X (= broj epoztih u sistemu), a r je rag matrice A sistema. Taj potprostor jedak je jezgri operatora A. Ova dimezija jezgre operatora A zove se još defekt operatora. Dakle, rag operatora A L(X, Y) jeste dimezija prostora A(X) i ozačava se sa rag(a) Skup svih elemeata x X za koje je Ax= 0 je jeda podprostor prostora X, u šta se lako uvjeravamo. Gorju formulu o dimeziji prostora rješeja homogeoga sistema dodato objašjava sljedeći stav koji avodimo bez dokaza. Stav 5. Ako je dimezija prostora X, k dimezija jezgre a r dimezija slike operatora A : X Y, tad vrijedi r + k =, tj. rag(a) + dim(ker A) = dim X. Drugim riječima, zbir dimezija slike A(X) i jezgre kera jedak je dimeziji prostora X u kome operator dejstvuje. Primjedbe o obliku rješeja liearog sistema. ) Poovo ćemo opisati rješavaje liearoga sistema Ax = b. (8) Neka je A operator pridruže matrici A. Da bi jedačia (8) imala rješeje, potrebo je i dovoljo da vektor b leži u slici operatora A. Tada će postojati x X za koga je A(x) = b. Neka je x p partikularo rješeje jedačie (8) ili A(x p ) = b, te x h eki vektor u jezgri ili A(x h ) = 0. Tada je i x h + x p rješeje, jer je A(x h + x p ) = A(x h ) +A(x p ) = b. 2) Neka je e,...,e k baza jezgre KerA. Opšti oblik rješeja jedačie (8) ima oblik x = x p + a e a k e k
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα( i,j 1,n) = b ij = a ji,
- 34-0 Kvadrate matrice 0 Za kvadratu matricu A reda, tj za matrica A M uvodimo defiicije: Defiicija Ako za kvadratu matricu A važi A T =A, tada se A aziva simetriča matrica Defiicija 2 Ako za kvadratu
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραU okviru prvog dijela predavanja predviđeno je da studenti savladaju slijedeće programske sadržaje:
Predavaja iz predmeta Matematika za ekoomiste: I dio U okviru prvog dela predavaja predviđeo je da studeti savladaju sledeće programske sadržaje: Pojam matrice i operace s matricama Jediiča matrica raspoovaa
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραNizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom:
Nizovi Defiicija Niz je fukcija Ozake: (a ) ili a } a: R Zadatak Napišite prvih ekoliko člaova izova zadaih općim člaom: a = a = ( ) (c) a = Zadatak Odredite opće člaove izova: 3 5 7 9 ; 3 7 5 3 ; (c)
Διαβάστε περισσότερα2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja
Skupovi brojeva 17 Skupovi brojeva.1 Skup prirodih brojeva Skup N prirodih brojeva čie brojevi 1,,3,... Nad skupom prirodih brojeva defiisae su operacije sabiraja (+) i možeja ( ), čiji je rezultat takože
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješenja 1. kolokvija (16. studenog 2015.)
DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješeja 1. kolokvija (16. studeog 2015.) Zadatak 1 (20 bodova) Neka je fukcija d: R 2 R 2 R daa formulom { x 1 + y d(x, y) = 1, ako je x y, 0, ako je
Διαβάστε περισσότεραCentralni granični teorem i zakoni velikih brojeva
Poglavlje 8 Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 8.1 Cetrali graiči teorem Lema 8.1 Za 1/ x 1 vrijedi Dokaz: Stavimo log1 + x x x. fx := log1 + x x, x [ 1/, 1]. Očito f0 = 0. Nadalje, po teoremu
Διαβάστε περισσότεραNiz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza.
2. NIZOVI 1 / 78 Niz i podiz 2 / 78 Niz i podiz Defiicija Svaku fukciju a : N S zovemo iz u S. Za N pišemo a() = a i azivamo -tim člaom iza. Ozaka za iz je (a ) N ili (a ) ili samo (a ). Kodomea iza može
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραMETODA SEČICE I REGULA FALSI
METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραINŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d e s e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) G L A V A 5
INŽENJERSKA MATEMATIKA NOTA BENE Dobro zapamti. Imaj a umu. Ne zaboravi. P r e d a v a j a z a d e s e t u s e d m i c u a s t a v e (u akademskoj 9/. godii) G L A V A 5 DIFERENCIJALNI RAČUN REALNIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραDruštvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija
Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραx + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.
Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar 2014. 1. a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax +
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραIzrada Domaće zadaće 4
Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori. Vektorski prostor
Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu
Διαβάστε περισσότεραII. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραMatrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler
Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske funkcije
9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραI N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH Teorija graičih vrijedosti je od iteresa e samo u skupu R realih brojeva, već i u ekim drugim skupovima
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra i geometrija
Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, septembar 2012. Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 3 Sistemi linearnih jedna ina 3
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραSustav dvaju qubitova Teorem o nemogućnosti kloniranja. Spregnuta stanja. Kvantna računala (SI) 17. prosinca 2016.
17. prosinca 2016. Stanje qubita A prikazujemo vektorom φ A u Hilbertovom prostoru H A koristeći ortonormiranu bazu { 0 A, 1 A }. Stanje qubita B prikazujemo vektorom φ B u H B... Ako se qubitovi A i B
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραIntegral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.
Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007. Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X,
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότερα