REALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "REALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih"

Transcript

1 REALNA FUNKCIJA Fukciju f čiji je skup vrijedosti V podskup skupa R realih brojeva zovemo realom fukcijom. Ako je, pritom, oblast defiisaosti D eki podskup skupa R uređeih -torki realih brojeva, kažemo da je f reala fukcija od realih ezaviso-promjeljivih. Na primjer, f(x,y,z) = x + y - z, x,y,z R je reala fukcija od tri ezaviso-promjeljive x,y,z.

2 Neka je f reala fukcija jede ezaviso-promjeljive čiji je dome DR. Kako svakom uređeom paru realih brojeva odgovara jeda tačka Dekartove ravi, to svakom paru (x 0, f(x 0 )) odgovarajućih vrijedosti argumeta i fukcije f: DR odgovara jeda (jedia) tačka Dekartove ravi Oxy. Skup svih tačaka Dekartove ravi koje odgovaraju uređeim parovima (x, f(x)), xd zove se grafik fukcije f.

3 y (x 0, y 0 ) y 0 x 0 x

4 Nizovi Realu fukciju jede reale promjeljive čija je oblast defiisaosti skup prirodih brojeva zovemo izom. Nezavisu promjeljivu iza običo ozačavamo sa, a odgovarajuću vrijedost fukcije sa a() ili, češće, sa a. Vrijedost iza za dato zovemo i člaom iza. Za iz a kažemo da mootoo raste ako je a < a +1 za svako N. Ako je a a +1, " N, kažemo da iz a e opada. Aalogo se defiiše moootoo opadaje odoso erašćeje iza a. Za iz a kažemo da je ograiče ako postoji reala broj M > 0, takav da je a M, " N.

5 Primjeri izova a 1 Primjer 1. Niz mootoo opada jer je, " N. Ovaj iz je i ograiče jer je, " N a a + 1 Primjer. Niz 1 za 1,,... ima vrijedosti, 3,,, i, očigledo, ije mooto. Kako je , " N dati iz je ograiče. 4 5

6 ARITMETIČKI NIZ ARITMETIČKI NIZ ili ARITMETIČKA PROGRESIJA je iz od realih brojeva kod kojih je razlika svaka dva uzastopa člaa ovog koačog iza (proizvoljog i jemu prethodog) kostata. Neka je d kostata razlika odoso diferecija. Slijede relacije: a a1 + d Odoso a3 a + d a1 + d ai a1 + ( i 1) d, i 1,,,

7 ARITMETIČKI NIZ Primjejujući posledju relaciju imamo da je: a + a a + ( ) d Odoso a + a 1 a1 + d + a1 + ( ) d a1 + ( 1) d a + a a + a 1 1 Na isti ači se provjerava da važi: a + a a3 + a a4 + a 1 3

8 ARITMETIČKI NIZ Kako je za: To je i k 1,,..., i i + k 1 aik a1 + ( i k 1) d ai+ k a1 + ( i + k 1) d,,..., i, k N a + a a + ( i 1) d a + ( i 1) d a i k i+ k Odoso: a i a + a i k i+ k Proizvolji čla aritmetičkog iza je aritmetička sredia dva u odosu a jega simetriča člaa.

9 ARITMETIČKI NIZ Zbir prvih člaova aritmetičkog iza je: Kako je, takođe: a i a1 + a + + a i1 a i a + a + + a + a i1 1 1 Slijedi: ai ( a1 + a ) + ( a + a 1) + + ( a + a1) ( a1 + a ) i1 Odoso: ai a 1 + a ( ) i1

10 GEOMETRIJSKI NIZ GEOMETRIJSKI NIZ je iz realih brojeva takvih da je količik svaka dva uzastopa člaa (proizvoljog i jemu prethodog) kostata. a a a 3 1 a q a q a q a 1 q 1 1 a a a i i k i+ k proizvolji čla ai, i je, 3,..., 1 geometrijska sredia dva u odosu a jega simetriča člaa a i a1 i1 1 q a1 a1 1 q 1 q q q 1 Zbir prvih uzastopih člaova geometrijskog iza

11 GEOMETRIJSKI NIZ GEOMETRIJSKI NIZ je iz realih brojeva takvih da je količik svaka dva uzastopa člaa (proizvoljog i jemu prethodog) kostata. a a a 3 1 a q a q a q a 1 q 1 1 a a a i i k i+ k proizvolji čla ai, i je, 3,..., 1 geometrijska sredia dva u odosu a jega simetriča člaa a i a1 i1 1 q a1 a1 1 q 1 q q q 1 Zbir prvih uzastopih člaova geometrijskog iza

12 Kovergecija iza Za iz a kažemo da kovergira broju a ako za svako e > 0 postoji broj 0 N takav da a (ae, a+e), za svako > 0. Za iz a koji kovergira broju a kažemo, takođe, da ima graiču vrijedost ili graicu a i pišemo: a a, ili lim a a a čitamo a teži a, kad teži beskoačosti ili limes a, kad teži beskoačosti, jedak je a. Kako a (ae, a+e) a e < a < a + e a a < e, to kovergeciju iza a broju a možemo da defiišemo i a sledeći ači: Niz a kovergira broju a ako za svako e > 0 postoji 0 N takvo da je a a < e, " > 0

13 Za iz koji e kovergira ekom broju kažemo da divergira. Ako za proizvolji broj M > 0 postoji 0 N takvo da je a > M, " > 0, oda za iz a (koji je, očigledo, divergeta jer ije ograiče) kažemo, takođe, da kovergira plus beskoačosti i pišemo a +, ili lima + Za (divergeta) iz a kažemo da kovergira beskoačosti ili da je beskoačo veliki, ako za dato M > 0 postoji 0 N takvo da je a > M, " > 0. Simbolički: a, ili lima

14 OPERACIJE SA GRANIČNIM VRIJEDNOSTIMA NIZOVA Neka su a i b dva iza koji kovergiraju broju a odoso b. Tada je iz a + b, (a b, i za b 0 i a b 0, ) takođe kovergeta i jegova je b a graica a + b (ab, ). b

15 Dokaz (za zbir) Iz kovergecije izova a i b slijedi da postoje brojevi o ' i o " takvi da je a a e b b e "> o ' gdje je e proizvolja broj. Tada je e e a + b a + b a a + b b + e za svako veće od 0 ' i 0 ". Dakle, za poizvoljo dato e > 0 postoji broj 0 (a primjer, 0 max( 0 ', 0 ")) takvo da je a + b a + b e, " 0 " > o " što zači da iz a + b kovergira ka broju a + b

16 Primjer 1. Ako je a iz koji kovergira broju a i b c kostati iz, oda je lim a a limca limc lima ca Primjer. Izvlačejem čiioca iz brojioca i imeioca iza kovergeta iza 3 lim1 4 lim5 iz a postaje količik dva 3 1 a lim1 lim 4 lim 5 + lim lim lim

17 Neka tvrđeja Ako iz a ima graicu, oda je ta graica jedozača. Svaki kovergeti iz je ograiče. Svaki ograičei eopadajući ili erastući iz kovergira.

18 Ojlerov broj e,718 e lim m f ( m) lim m m m

19 REALNA FUNKCIJA JEDNE REALNE PROMJENLJIVE Dome je D=(a,b)R, tj f:(a, b)r osove elemetare fukcije Kostata fukcija y = a, a R, D = R

20 Lieara fukcija y = ax + b, a 0, D = R 0

21 Fukcija obrute proporcioalosti, y a x, D = R\{0} 1

22 Kvadrata fukcija y = ax, D = R

23 Kuba fukcija y = x 3, D = R 3

24 Ekspoecijala fukcija y = a x, a R + \{1}, D = R 0<a<1 a>1 4

25 Logaritamska fukcija y = log a x, a R + \{1}, D = R + 5

26 Trigoometrijske fukcije: y = six, D = R y = cosx, D = R 6

27 y = tgx, D = {xr x (k-1)p/, kz}. y = ctgx, D = {xr x kp, kz} 7

28 SLOŽENA FUNKCIJA Neka je D oblast defiisaosti i G skup vrijedosti fukcije g i, dalje, G - oblast defiisaosti i V skup vrijedosti fukcije h 8

29 Ako je x proizvolji elemet skupa D, oda jemu odgovara (tačo) jeda elemet g(x) skupa G, a ovome (tačo) jeda elemet h[g(x)] skupa V. Na taj ači svakom elemetu x D odgovara tačo jeda elemet h[g(x)] skupa V. Preslikavaje x h[g(x)] je, dakle, fukcija čiji je dome D i skup vrijedosti V. Tako određea fukcija, ozačimo je sa f, zove se kompozicija fukcija g i h, ozaka h o g, tj f(x) = (h o g)(x) = h[g(x)] Za fukciju f kažemo, takođe, da je složea fukcija argumeta x. 9

30 Primjeri PRIMJER 1. Ako je g(x) = x - 1 i h(x) = logx, oda je kompozicija fukcija g i h fukcija f(x) = (h o g)(x) = h[g(x)] = h(x - 1) = log(x - 1). PRIMJER. Fukcija f(x) = (x - 3) 4 je kompozicija fukcija g(x) = x - 3 i h(x) = x 4. 30

31 INVERZNA FUNKCIJA Pretpostavimo da je y f(x) fukcija defiisaa i mootoa a itervalu D (a,b) i da joj je skup vrijedosti iterval V(c,d) tj. x(a,b)f(x)(c,d) Tada, za svako y 0 (c,d), postoji jedo jedio x 0 (c,d) takvo da je y = f(x 0 ). Dakle, postoji fukcija x = g(y) čiji je dome (c,d), skup vrijedosti (a,b) i pri čemu je f[g(y)] = y. 31

32 Ako, sada, u fukciji g argumet ozačimo sa x, a zaviso promjeljivu sa y dobijamo fukciju y = g(x) za koju kažemo da je iverza fukciji y = f(x). Iverzu fukciju fukcije f ozačavamo sa f -1. Iz defiicije slijedi da, ako tačka M(x,y) pripada grafiku fukcije y = f(x), oda tačka M 1 (y,x) pripada grafiku joj iverze fukcije (ukoliko postoji). To zači da su grafici fukcije y = f(x) i joj iverze fukcije y = g(x) simetriči u odosu a pravu y = x. 3

33 Primjer 1. Fukcija y six je mootoa a itervalu i je skup vrijedosti je iterval [1,1], 11, pa postoji fukcija g:,, pri čemu svakom y[1,1] pridružuemo oo za koje je y = six. x,

34 GRANIČNA VRIJEDNOST FUNKCIJE Koristeći pojam graiče vrijedosti iza defiisaćemo graiču vrijedost fukcije y = f(x) u datoj tački. Neka je y = f(x) fukcija defiisaa u ekoj okolii tačke a sem, možda, u samoj tački a i x 1, x,..., x,... proizvolji iz koji kovergira tački a i za koji postoji iz odgovarajućih vrijedosti fukcije, tj. iz f(x 1 ), f(x ),..., f(x ),... Ako za svaki takav iz x odgovarajući iz vrijedosti fukcije kovergira istom broju A, kažemo da u tački x = a fukcija ima graiču vrijedost A, a pišemo: f( x) A ili xa lim f( x) A xa

35 Primjer 1. Uzmimo fukciju f(x) x i tačku a. Niz x + 1 kovergira i jegova graica je a. Niz odgovarajućih vrijedosti fukcije je , +,..., +, , 5 4 (ili x 4, ako x ) Ovaj iz kovergira i jegova graica je ,...,, lim + 1 Ako uzmemo proizvolji drugi iz x koji kovergira broju, oda odgovarajući iz vrijedosti fukcije f(x ) 4 kovergira broju A 4. Prema tome, lim x x 4

36 Pretpostavimo da fukcija y = f(x) ima sledeću osobiu: za proizvoljo ε > 0 postoji δ(ε) takvo da je f(x) - A < ε za svako x a za koje je x - a < δ. Dokazaćemo da, tada, u tački x = a fukcija ima graicu A, tj. da f(x ) A, za svaki iz x a. Zaista, iz kovergecije iza x i avedee (pretpostavljee) osobie fukcije f(x) slijedi da postoji broj 0 takav da je x - a < δ, > 0 No, tada je i f(x ) - A < ε, za > 0 što zači da iz f(x ) kovergira broju A, odoso da u tački x =a fukcija ima graicu A.

37 Dokazuje se i tvrđeje obruto prethodom: ako je y = f(x) fukcija koja u tački x = a ima graicu A oda za svako ε > 0 postoji δ > 0 takvo da je f(x) - A < ε, za svako x za koje je x - a < δ. Graiču vrijedost fukcije, zato možemo da defiišemo a sledeći ači: Broj A je grača vrijedost ili graica fukcije f(x) u tački x = a, ako za svako ε > 0 postoji δ > 0 takvo da je: f(x) - A < ε, za svako x a za koje je x - a < δ.

38 Primjer. Fukcija f(x) c (kostata) u svakoj tački x a ima graicu A c jer je za proizvoljo e > 0 f(x) A c c 0 < e za svako x iz (proizvolje) d-okolie tačke x a, pa je lim xa c Primjer 3. Fukcija f(x) x u svakoj tački x a ima graicu A a jer je za proizvoljo e > 0 f(x) A x a < e, "x: x a < d e. c

39 Pored graiče, defiišu se i lijeva i desa graiča vrijedost fukcije: Za broj A kažemo da je desa graiča vrijedost ili desa graica fukcije f(x) u tački x a ako za svaki iz x koji kovergira tački a i čiji su člaovi veći od a odgovarajući iz vrijedosti fukcije f(x) kovergira broju A. Aalogo se defiiše lijeva graiča vrijedost.za desu i lijevu graiču vrijedost koristimo ozake: lim f ( x) xa0 A 1 lim f ( x) x a+ 0 A

40 Primjer 5. Fukcija f( x) x x +,, x x 0 0 u tački x 0 ima desu graicu A 1 i lijevu graicu A 0

41 Ako je lim f( x) x A ili lim f( x) x+ A oda se prava y A zove horizotala asimptota grafika fukcije f(x).

42 Vertikala asimtota Ako je fukcija f(x) kad xa ili x a+0, ili x a-0, beskoačo velika veličia, oda se prava x = a zove vertikala asimptota grafika te fukcije. Iz defiicija graiče vrijedosti i vertikale asimptote slijedi da grafik fukcije može da ima vertikalu asimptotu x = a samo ako je tačka a kraj otvoreog itervala a kome je fukcija defiisaa. lim f( x) + lim f( x) xa xa Sličo za x a+0, ili x a-0 4

43 NEDOREĐENI IZRAZI Graiče vrijedosti izraza 1 ( x) ( x) 1 ( x) ( x) gdje su 1 (x) i (x) beskoačo male, a 1 (x) i (x) beskoačo velike veličie kad xa pripadaju klasi tzv. eodređeih izraza. Naime, ozačimo li, uslovo, sa 0 beskoačo malu, a sa beskoačo veliku pozitivu veličiu i sa 1 fukciju čija je graica 1, kad x a, oda se izrazi oblika 0 0,, 0,, 1, 0 zovu eodređei izrazi kad x a. 43

44 KOSA ASIMPTOTA Za pravu y = kx + kažemo da je kosa asimptota grafika fukcije y = f(x) ako je lim[f(x) - (kx + )] = 0, kad x+ ili x - Odavde f( x) k lim i lim f ( x) kx x x x 44

45 Teoreme T1. Ako su f(x) i g(x) fukcije koje u tački x a imaju graice A i B, oda i fukcije f(x) ± g(x), f(x)g(x) i (ako je u ekoj okolii tačke a g(x) 0 i B 0), f(x) g(x) imaju graiče vrijedosti u tački x a i te graiče. vrijedosti su, redom A ± B, A B, A B 45

46 T. Ako fukcije f(x) i g(x) u tački x = a imaju istu graicu A i ako je h(x) fukcija za koju u ekoj okolii tačke a važe ejedakosti f(x) h(x) g(x), oda i fukcija h(x) u tački x = a ima graicu A. 46

47 NEPREKIDNOST FUNKCIJE Za fukciju y f(x) kažemo da je eprekida u tački x x 0, ako u toj tački ima graiču vrijedost i ako je ta graiča vrijedost jedaka vrijedosti fukcije u tački x 0, tj. ako je lim f( x) f( x ) xx 0 Za tačku u kojoj fukcija ije eprekida, a u čijoj je ekoj okolii defiisaa, kažemo da je tačka prekida fukcije. 0

48 Primjeri Primjer 1. Fukcija f(x) x + 3 je eprekida u svakoj tački x 0 R jer je defiisaa u ekoj (čak svakoj) okolii te tačke i, pritom, lim x + 3 x + 3 f( x ) xx Primjer. Fukcija f( x) x, x + 1, x x u tački x ema graiču vrijedost (ima samo lijevu i desu), pa u toj tački, dakle, ije eprekida.

49 Ekoomske fukcije Osove ekoomske veličie (kategorije) Cijea Tražja Pouda Proizvodja Prihod Troškovi Dobit

50 Pretpostavka sa rastom cijee tražja opada; ajveću vrijedost, max, ima pri cijei p = 0, dok ajmaju vrijedost dostiže ili edostiže zaviso od toga da li je u pitaju luksuzi proizvod (cigareta, automobil) ili proizvod od vitalog začaja (hljeb, lijek)

51 Pouda sa cijeom raste. Proizvod se udi pri cijei pri kojoj se traži, pa su oblasti defiisaosti poude i tražje iste. Iz pretpostavke o eprekidosti fukcije tražje i poude ekog proizvoda i mootoosti tih fukcija slijedi da postoji eka vrijedost p 0 argumeta p za koju se te fukcije izjedačavaju. Tu vrijedost argumeta p zovemo ravotežom cijeom.

52 Troškovi T rastu sa proizvodjom. Pri proizvodji x = 0 troškovi takođe postoje (a primjer, zbog amortizacije) i te troškove zovemo fiksim (ozaka T f ) za razliku od varijabilih T v astalih zbog proizvodje. (Ukupi) troškovi su zbir fiksih i varijabilih troškova

53 Prosječi troškovi pri proizvodji x su troškovi po jediici proizvodje: T T x Prihod je jedak proizvodu cijee i tražje (proizvodje). Pretpostavljamo da, do određee cijee, prihod raste, a zatim opada. Pri cijei p = 0 i prihod je P = 0

54 Dobit D(x) pri proizvodji x je razlika odgovarajućih prihoda i troškova: D(x) = P(x) - T(x). D x Iterval proizvodje a kome je dobit pozitiva zove se iterval retabiliteta, a jegovi krajevi su doja i gorja graica retabiliteta.

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Niz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza.

Niz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza. 2. NIZOVI 1 / 78 Niz i podiz 2 / 78 Niz i podiz Defiicija Svaku fukciju a : N S zovemo iz u S. Za N pišemo a() = a i azivamo -tim člaom iza. Ozaka za iz je (a ) N ili (a ) ili samo (a ). Kodomea iza može

Διαβάστε περισσότερα

Definicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1,

Definicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1, Defiicija: Beskoači iz realih brojeva je fukcija a : N R i Umjesto zapisa a(), a(),,a(), može se koristiti zapis a, a,,a, Broj a zove se opći čla iza, a cijeli iz se kratko ozačuje (a ). Niz je : -rastući

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Glava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva

Glava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva Glava Nizovi i skupovi realih brojeva Cetralo mesto u matematičkoj aalizi pripada pojmu graiče vredosti, odoso limesa. Upozaćemo se sa defiicijom limesa iza i sa tehikama alažeja graičih vredosti. Razmatraćemo

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

INŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d e s e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) G L A V A 5

INŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d e s e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) G L A V A 5 INŽENJERSKA MATEMATIKA NOTA BENE Dobro zapamti. Imaj a umu. Ne zaboravi. P r e d a v a j a z a d e s e t u s e d m i c u a s t a v e (u akademskoj 9/. godii) G L A V A 5 DIFERENCIJALNI RAČUN REALNIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja Skupovi brojeva 17 Skupovi brojeva.1 Skup prirodih brojeva Skup N prirodih brojeva čie brojevi 1,,3,... Nad skupom prirodih brojeva defiisae su operacije sabiraja (+) i možeja ( ), čiji je rezultat takože

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Izrada Domaće zadaće 4

Izrada Domaće zadaće 4 Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007. Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007. Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije 9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

1 Neprekidne funkcije na kompaktima

1 Neprekidne funkcije na kompaktima Neprekide fukcije a kompaktima.. Teorem. Neka je K kompakta podskup metričkog prostora X, a f : X Y eprekido preslikavaje u metrički prostor Y. Tada je slika f(k) kompakta skup u Y..2. Zadatak. Neka su

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

INŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d v a n a e s t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini)

INŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d v a n a e s t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) INŽENJERSKA MATEMATIKA Tko je a poziciji vlasti o e treba praviti smisla. (Čarska poslovica.) P r e d a v a j a z a d v a a e s t u s e d m i c u a s t a v e (u akademskoj 009/00. godii) 5.9. Primjee diferecijalog

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH Teorija graičih vrijedosti je od iteresa e samo u skupu R realih brojeva, već i u ekim drugim skupovima

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Broj e. Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelena Tomanović December 14, 2006

Broj e. Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelena Tomanović December 14, 2006 Broj e Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelea Tomaović December 4, 2006 Uvod Broj e je jeda od ajzačajijih matematičkih kostati, pozata još i kao Ojlerov broj ili Nejpirova kostata Njegova vredost, zaokružea

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

12. PRIMJENE DERIVACIJA

12. PRIMJENE DERIVACIJA Geodetski akultet dr. s. J. Beba-Brkić Predavaja iz Matematike. PRIMJENE DERIVACIJA INTERVALI MONOTONOSTI Podsjetimo se što zači da je ukija mootoa a ekom itervalu I ( ab : Neka je : I R I ( ab R. Ako

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Rje²enje doma e zada e 2. Inºenjerska matematika 1

Rje²enje doma e zada e 2. Inºenjerska matematika 1 Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehi ki fakultet Rje²eje doma e zada e Iºejerska matematika Haru iljak Decembar 009. Zad. U sljede em izrazu izvr²ite sve aza ee operacije u skupu kompleksih brojeva: cis π

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 skripta za studente fizike

MATEMATIKA 1 skripta za studente fizike MATEMATIKA 1 skripta za studete fizike Nebojša Č. Dičić, Departma za Matematiku, Prirodo-matematički fakultet, Uiverzitet u Nišu, e-mail: dicic@hotmail.com Novembar 2013. ii Sadržaj 1 Uvodi pojmovi 1 1.1

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

nepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena.

nepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena. Testiraje parametarskih hipoteza Pretpostavka (hipoteza) o parametru raspodele se zove parametarska hipoteza. Postupak jeog potvrđivaja ili odbacivaja a osovu podataka iz uzorka je parametarski test. t

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA STATISTIKA

MATEMATIČKA STATISTIKA MATEMATIČKA STATISTIKA Bilješke s predavaja (prof. dr. sc. Miljeko Huzak akademske godie 04./05. Natipkao i uredio: Kristija Kilassa Kvaterik Ova skripta služi samo kao pomoć u praćeju predavaja iz istoimeog

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan

MJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan MJERA I INTEGRAL Bilješke s predavaja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godia 2010./2011. Natipkao i uredio: Iva Krija Zagreb, 23. 05. 2011. Sadržaj Sadržaj 1 UVOD 3 2 PRSTEN SKUPOVA 8 3 MJERE NA

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Verba volant, scripta manent. [Riječi odlijeću, pisano ostaje. Ono što se kaže lako je zaboraviti, ali ono što je napisano ne može se poreći.] ( Latinska izreka

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Dragan S. Djordjević Niš, 2009. 0 Sadržaj Predgovor 3 1 Metrički prostori 5 1.1 Primeri metričkih prostora................. 5 1.2 Konvergencija nizova i osobine

Διαβάστε περισσότερα

TEOREME O SREDNJOJ VRIJEDNOSTI

TEOREME O SREDNJOJ VRIJEDNOSTI TEOREME O SREDNJOJ VRIJEDNOSTI Rolova teorema: Ako je y f(x) fnkcija neprekidna na interval [a,b] i diferencijabilna na interval (a,b) i ako je f(a) f(b) 0, onda postoji bar jedna tačka c (a,b) takva da

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

U okviru prvog dijela predavanja predviđeno je da studenti savladaju slijedeće programske sadržaje:

U okviru prvog dijela predavanja predviđeno je da studenti savladaju slijedeće programske sadržaje: Predavaja iz predmeta Matematika za ekoomiste: I dio U okviru prvog dela predavaja predviđeo je da studeti savladaju sledeće programske sadržaje: Pojam matrice i operace s matricama Jediiča matrica raspoovaa

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

Procjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2.

Procjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2. 4 Procjea parametara Neka je X slučaja varijabla čiju distribuciju proučavamo. Defiicija: Slučaji uzorak duljie za X je iz od ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli X 1, X,..., X koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun funkcija više varijabli

Diferencijalni račun funkcija više varijabli Diferecijali raču fukcija više varijabli vježbe uredio Matija Bašić Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovo-matematički fakultet Matematički odsjek (skripta e može zamijeiti vježbe) Sadržaj 1 Struktura ormiraog

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Uvod. Aksiome polja realnih brojeva. Supremum skupa.

Uvod. Aksiome polja realnih brojeva. Supremum skupa. АНАЛИЗА I припрема испита Оно што следи представља белешке које сам правио непосредно пред полагање усменог дела испита (јул, 2002. године). Због тога нису потпуне, и може понешто бити нетачно, или пропуштено.

Διαβάστε περισσότερα