אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135) באוניברסיטה העברית,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135) באוניברסיטה העברית,"

Transcript

1 אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135 באוניברסיטה העברית,

2 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר באמצעות L A TEX 2ε ב- 18 בנובמבר 2007 עדכונים ותיקונים יופיעו ב-/ לתגובות, לתיקונים ובכל עניין אחר, אנא כתבו ל- סיכומים נוספים בסדרה: אלגברה לינארית 1 חשבון אינפיניטסימלי אלגברה לינארית 2 חשבון אינפיניטסימלי 2 תורת הקבוצות תורת ההסתברות 1 מבנים אלגבריים

3 תוכן עניינים 5 דטרמיננטות 1 5 מטריצות הפיכות 11 6 הדטרמיננטה חישוב דטרמיננטות חוק קרמר המטריצה המצורפת לכסון מטריצות 2 14 מוטיבציה ערכים עצמיים וווקטורים עצמיים הפולינום האופייני והפולינום המינימלי תנאים ללכסינות מרחבי מכפלה פנימית 3 24 מכפלה סקאלארית מכפלה הרמיטית מכפלה פנימית מערכות אורתונורמליות אי שוויון בסל אורתוגונליזציית גראם שמידט שוויון פרסבל תת מרחב ניצב טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית פונקציונלים לינאריים 4 41 המרחב הדואלי מאפסים 42 3

4

5 1 דטרמיננטות 1 דטרמיננטות 11 מטריצות הפיכות יהי V מרחב וקטורי מעל שדה T : V V F, טרנספורמציה לינארית T היא הפיכה אם קיימת טרנספורמציה לינארית S : V V כך ש- I I T S = ST = היא טרנספורמציית הזהות הטרנספורמציה S, שנקראת הטרנספורמציה ההופכית ל- T, היא יחידה מסמנים 1 T S = T מימין ל- הופכית אומרים ש- S T; S = כך ש- I S נקראת הפיכה מימין אם קיימת T באופן דומה, T נקראת הפיכה משמאל אם קיימת S כך ש- I,ST = ואז S הופכית משמאל ל- T יחידות המטריצות ההופכיות מימין ומשמאל לא מתחייבת כמובן, T הפיכה אם ורק אם היא הפיכה גם מימין וגם משמאל אם V מרחב בעל מימד סופי n ו- T : V V טרנספורמציה לינארית, אז א T הפיכה אם ורק אם הדרגה של T היא n; ב T הפיכה מימין אם ורק אם היא הפיכה משמאל אם ורק אם היא הפיכה; ג T חח"ע אם ורק אם T על נראה שאם הט"ל T : V V הפיכה מימין אז היא גם הפיכה משמאל (ולכן הפיכה, ולהיפך נניח ש- T הפיכה מימין; אז יש S כך ש- I T S = נבחר בסיס n (v 1,, v אז T Sv i = v i מטריצה רגולרית Sv 1,, Sv n בת"ל 1 לכן Sv 1,, Sv n בסיס ל- V קיבלנו ש- T מעבירה בסיס מסויים לבסיס; לכן T חח"ע ועל, ולכן הפיכה לכן היא בפרט הפיכה משמאל בנוסף, ההופכי מימין שווה להופכי משמאל: נניח S T = I,T S = I נקבל = S (S T S (T S = S = S ומאסוציאטיביות,IS = S נניח ש- V מרחב n -מימדי, ויהי n B = (v 1,, v בסיס נתאים לכל ט"ל T : V V את המטריצה המייצגת אותה לפי הבסיס B התאמה זו היא איזומורפיזם ממרחב הט"ל על מרחב המטריצות, השומר גם על הכפל לכן T הפיכה אם ורק אם המטריצה A המתאימה לה הפיכה בגלל האיזומורפיזם השומר על הכפל, כל מטריצה F A M n n הפיכה מימין אם"ם היא הפיכה משמאל אם"ם היא הפיכה, ואז יש לה מטריצה הופכית יחידה 1 A, שהיא גם המטריצה ההופכית היחידה מימין ומשמאל למדנו ש- A הפיכה אם"ם דרגתה היא n; אז A נקראת מטריצה רגולרית 2 אם נתונה מטריצה רגולרית A, איך נמצא את 1 A? בעזרת פעולות אלמנטריות על שורות A, אפשר להגיע מ- A ל- I נמיר את הפעולות האלמנטריות בכפל במטריצות אלמנטריות לכן קיימת סדרת מטריצות אלמנטריות E 1,, E k כך ש- I,E k E 1 A = ואז 1 A E k E 1 = כלומר, אם על-ידי פעולות אלמנטריות על A מקבלים את I, על-ידי אותן פעולות אלמנטריות על I באותו סדר מקבלים את 1 A 1 אילו היו תלויים, גם T Sv 1,, T Sv n היו תלויים כל ט"ל מעבירה ת"ל לת"ל אבל אלה,v 1,, v n שאינם תלויים 2 מטריצה שאינה רגולרית נקראת סינגולרית 5

6 1 דטרמיננטות 12 הדטרמיננטה 12 הדטרמיננטה 121 מוטיבציה: המקרה 2 2 נתחיל במערכת של שתי משוואות לינאריות בשני נעלמים: cx + dy = f,ax + by = e אם ( a b, היא רגולרית, אז יש פתרון אחד ויחיד אחרת, יש c d המטריצה (המצומצמת של המערכת, יותר מפתרון אחד לא בהכרח אינסוף: מעל שדה סופי, כמו שדה השאריות, יהיה מספר סופי של פתרונות או אין פתרון y = ed bf af ec ad bc,x = ad bc נחפש את הפתרון, במקרה הרגולרי נקבל מכיוון שיש פתרון יחיד, 0 bc :ad אחרת, המטריצה לא תהיה רגולרית נניח = 0 bc ;ad אם = 0,a אז = 0,bc ולכן = 0 b או = 0 :c קיבלנו שורת או עמודת אפסים באופן דומה, אם אחד מ- d,b,c הוא 0, מקבלים שורת או עמודת אפסים, ולכן המטריצה אינה, a d = b d ואז רגולרית אם 0 d,a, b, c, מכך ש- 0 = bc ad נובע ש- bc,ad = ולכן 0 s = b; = sd a, = sc כלומר, השורה הראשונה היא כפולה של השנייה, ושוב המטריצה אינה רגולרית כך: 2 נגדיר את הדטרמיננטה של מטריצה 2 a b det A = A = = ad bc c קל לראות (וראינו כיוון אחד ש- A רגולרית אם ורק אם 0 A d det טענה 1: א אם ב- A שתי שורות שוות, = 0 A det ב אם כופלים שורה בסקאלאר, הדטרמיננטה נכפלת באותו סקאלאר (הומוגניות det ( ( v u 1+u 2 = det v ( u 1 +det v ( u 2,det וכן v1+v 2 ( u = det v1 ( u +det v2 u ג מתקיים (מולטי-לינאריות ד = 1 I det (נורמליות טענה 2: מהתכונות א וג נובע שאם מחליפים שורות, סימן הדטרמיננטה מתהפך הוכחה נניח שהשורות הן,u, v ונניח ש- Δ היא פונקציה המקיימת את התכונות א וג אז ( ( ( ( ( ( ( u + v u v u u v v 0 = Δ = Δ + Δ = Δ + Δ + Δ + Δ u + v u + v u + v u v u v Δ ( u v = Δ ( v u Δ; כלומר, ( u v + Δ ( v u לכן = 0 מסקנה 3: אם בדטרמיננטה מחליפים שורות, הסימן מתהפך טענה 4: יש רק פונקציה אחת המקיימת את א, ב, ג וד, והיא הדטרמיננטה Δ ( a b c d הוכחה תהי Δ פונקציה כזו, ונראה שהיא הדטרמיננטה: = Δ ( a(1,0+b(0,1 c(1,0+d(0,1 = Δ ( ( a(1,0 c(1,0+d(0,1 + Δ b(0,1 c(1,0+d(0,1 = Δ ( ( a(1,0 c(1,0 + Δ a(1,0 ( d(0,1 + Δ b(0,1 ( c(1,0 + Δ b(0,1 d(0,1 = acδ ( adδ ( bcδ ( bdδ ( = ad bc 6

7 12 הדטרמיננטה 1 דטרמיננטות 122 הדרטמיננטה של מטריצה n n נחפש פונקציה המקיימת את התכונות א, ב, ג, ד כקודם: א אם ב- A שתי שורות שוות, אז = 0 Δ(A ב אם B מתקבלת מ- A על-ידי כפל שורה בסקאלאר s, אז sδ(a Δ(B = (הומוגניות ג אם A 1, A 2, A מטריצות בעלות אותן שורות פרט לשורה ה- i, כך שהשורה ה- i ב- A שווה לסכום השורות ה- i של A 1 ושל,A 2 אז 2 Δ(A = Δ(A 1 + Δ(A (מולטי-לינאריות ד = 1 Δ(I נראה שיש פונקציה יחידה כזו, ונגדיר אותה במפורש נעיקר שאם Δ פונקציה המקיימת את תכונות א וג ו- B מתקבלת מ- A על-ידי החלפת שתי שורות, אז Δ(A :Δ(B = בה"כ, נניח 0 = Δ ( v1 v 1 v n A = + Δ ( v1 v 2 v n ( v1 v 2 v n, B = + Δ ( v2 v 1 v n ( v2 v 1 v n שהחלפנו את השורה הראשונה בשנייה; אם, C = + Δ ( v1+v 2 v 2+v 1 v n ( v2 v 2 v n ברור ש- 0 =,Δ(C ואז = Δ(A + Δ(B ו-( Δ(A,Δ(B = כנדרש a11 a12 : a 21 a 22 בעצם, במחובר נשים לב שבמקרה 2,2 הדטרמיננטה היא = a 11 a 22 a 12 a 21 ( באופן, ובשני את התמורה (האי-זוגית הראשון מפעילים את התמורה (הזוגית 2 1 אנלוגי, נגדיר, כאשר S n הוא אוסף התמורות על n},,{1, det A = σ S n sgn(σa 1σ(1 a nσ(n ונראה ש- det היא היחידה המקיימת את ארבע התכונות ראשית, אם מחליפים שתי שורות ב- A, הדטרמיננטה מחליפה סימן: נסתכל במטריצה A ונחליף בה שתי שורות; אז בדטרמיננטה נקבל אותם מחוברים אך בסדר שונה, בלי להתייחס לסימן אך על-ידי החלפת השורות, ביצענו חילוף בכל אחת מהתמורות, לכן כל תמורה זוגית הפכה לאי-זוגית ולהיפך כלומר, סימן כל תמורה הפך מ-+ ל- ולהיפך לכן כל מחובר נכפל ב- 1, ולכן הכל נכפל ב- 1 תכונה א אם יש שתי שורות שוות, כל מחובר מופיע פעמיים: פעם בסימן + ופעם בסימן אם מציין השדה הוא,2 נקבל 0 nσ(n 2a 1σ(1 a אחרת, נניח שהשורה ה- i שווה לשורה ה- j,,i < j ותהי σ תמורה נסתכל במחובר nσ(n :a 1σ(1 a iσ(i a jσ(j a הוא שווה למחובר (n,a 1σ (1 a iσ (i a jσ (j a nσ כאשר σ מתקבלת מ- σ על-ידי כפל מימין בחילוף בין i ל- j קיבלנו שני מחוברים ששווים בערכם המוחלט σ התקבלה מ- σ על-ידי 7

8 1 דטרמיננטות 12 הדטרמיננטה כפל בחילוף, לכן זוגיות σ מנוגדת לזו של σ, ולכן sgn σ = sgn σ קיבלנו שכל המחוברים מתבטלים, לכן = 0 A det ותכונה א מתקיימת 3 תכונה ב נניח ש- B מתקבלת מ- A על-ידי כפל השורה ה- i ב- c על-פי ההגדרה, נקבל שמתקיים det B = σ S n sgn σa 1σ(1 ca iσ(i a nσ(n = c det A תכונה ג במונחי תכונה ג, det A = σ S n sgn σa 1σ(1 (a iσ(i + a iσ(i a nσ(n = σ S n sgn σ[(a 1σ(1 a iσ(i a nσ(n + (a 1σ(1 a iσ(i a nσ(n] = det A 1 + det A 2 תכונה ד תמורת הזהות (תמורת היחידה היא זוגית, לכן מחובר המתאים לה הוא = שאר המחוברים שייכים לתמורות אחרות, אך לכל תמורה אחרת יש i כך ש- i,σ(i ואז = 0 iσ(i a, כי אינו על האלכסון לכן המחובר כולו 0 תהי Δ פונקציה המקיימת את א, ב, ג וד טענה 5: אם A מטריצה ו- B מתקבלת ממנה 1 על-ידי כפל שורה בסקאלאר c: אז ΔB = cδa (זוהי תכונה ב 2 על-ידי החלפת שורות: אז ΔB = ΔA (הוכחנו כבר 3 על-ידי הוספת c פעמים השורה ה- i לשורה ה- j ΔA = ΔB :(i j A = ( α1 α n, C = α 1 cα i α n, B = α 1 α i α j+cα i α n הוכחה נסמן ΔB = ΔA + ΔC = ΔA + cδ α 1 α i α i α n ואז מתקיים = ΔA + c 0 = ΔA טענה 6: אם ב- A יש שורת אפסים, אז = 0 ΔA 3 הוכחה אחרת: נניח שב- A השורות v j v, i שוות נחליף אותן ביניהן ונקבל שוב את A: אז det A = det A 0 = A det A = 0 2 det (הוכחה זו טובה פרט למקרה שמציין השדה הוא (2 8

9 12 הדטרמיננטה 1 דטרמיננטות הוכחה נניח שהשורה ה- i היא שורת אפסים אז אם נכפול את השורה ה- i ב- 0, המטריצה לא תשתנה לכן = 0 ΔA ΔA = 0 טענה 7: אם A אינה רגולרית, אז = 0 ΔA הוכחה נניח שהשורה ה- i היא צירוף לינארי של שאר השורות אם כל מקדמי הצירוף הם 0, אז i שורת אפסים, ולפי הטענה הקודמת, = 0 ΔA בשאר המקרים, על-ידי שורת פעולות של הוספת כפולות של שורות אחרות לשורה ה- i, נקבל מטריצה עם שורת אפסים, ומבן שעבורה = 0 Δ אך בכל פעולה כזו ערך Δ אינו משתנה, ולכן = 0 ΔA טענה 8: יש פונקציה אחת ויחידה המקיימת את א, ב, ג וד הוכחה אחת כבר יש לנו, והיא det נוכיח שיש רק אחת תהיינה Δ 2,Δ 1 שתי פונקציות כאלה, ונראה :Δ 1 Δ 2 כלומר, לכל מטריצה,A Δ 1 A = Δ 2 A אם A אינה רגולרית, = 0 A ;Δ 1 A = Δ 2 אחרת, A מתקבלת מ- I על-ידי סדרת פעולות אלמנטריות על השורות לכל פעולה אלמנטרית, ה- Δ נכפל בסקאלאר שונה מ- 0, התלוי רק באותה פעולה אלמנטרית אז Δ 1 A = c 1 c 2 c k Δ 1 I וגם Δ 2 A = c 1 c 2 c k Δ 2 I אך Δ 1 A = Δ 2 A ולכן,Δ 1 I = Δ 2 I = הגדרה אם ij,a = (a המטריצה המשוחלפת היא ji A t = (a מטריצה משוחלפת משפט :9 A det A t = det det A t = ad ו- cb,a t = ( a c d b ;det A = ad bc אז A = ( a b c d דוגמה הוכחה אם B = (b ij = (a ji,a = (a ij,a t = B אז det B = σ S n sgn σb 1σ(1 b nσ(n = σ S n sgn σa σ(11 a σ(nn = σ S n sgn σa 1σ 1 (1 a nσ 1 (n = σ S n sgn σ 1 a 1σ 1 (1 a nσ 1 (n כך עברנו על כל התמורות שב- S, n ורשמנו את המחוברים המתאימים, אולי בסדר שונה; לכן קיבלנו את det A מסקנה 10: כל מה שאמרנו על דטרמיננטות בקשר לשורות נכון גם בקשר לעמודות הוכחה (א אם ב- A יש שתי עמודות שוות, אז ב- A t יש שתי שורות שוות לכן, בגלל א, det A לכן = 0 det A = det A t אבל = 0 det A t = 0 באותו אופן מוכיחים את ב וג ראינו מה עושות פעולות אלמנטריות על שורות לדטרמיננטה; אותו דבר עושות הפעולות האלמנטריות על עמודות בין השאר, מקבלים שעמודות המטריצה תלויות אם"ם הדטרמיננטה שלה שווה ל- 0 משפט :11 B det AB = det A det 9

10 1 דטרמיננטות 13 חישוב דטרמיננטות הוכחה ראשית, נוכיח שתי טענות-עזר: למה :111 אם A מטריצה כלשהי ו- E מטריצה אלמנטרית, אז det EA = det E det A הוכחה E התקבלה מ- I על-ידי פעולה אלמנטרית חילוףך שורות, כפל שורה בסקאלאר 0 c, או תוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת במקרה הראשון, 1 = E ;det במקרה השני, ;det E = c במקרה השלישי, = 1 E det מהי?det EA במקרה הראשון, ; det A במקרה השני, ;c det A במקרה השלישי, det A לכן, בכל המקרים det EA = det E det A det(e 1 E k = det E 1 det E k מטריצות אלמנטריות, אז E 1,, E k det(e 1 E k = det E 1 det(e 2 E k = = det E 1 det E k למה 211: הוכחה נניח ש- A ו- B רגולריות אז כל אחת משתיהן היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות: B = E 1 E l,a = E 1 E k אז,AB = E 1 E k E 1 E l ולפי טענת-העזר השנייה, det A = det E 1 det E k אבל גם det AB = det E 1 det E k det E 1 det E l ו-,det B = det E 1 det E l לכן det AB = det A det B אם A או B סינגולרית, AB סינגולרית (כי דרגת מכפלת מטריצות קטנה מ- או שווה לדרגת כל אחת מהן לכן = 0 AB,det ולפחות אחת מבין det B,det A היא 0 לכן det A det B = 0 = det AB 13 חישוב דטרמיננטות מינור הגדרה נסתכל במטריצה A = (a ij n n (נניח ש- 1 > (n המינור של האיבר,a ij שיסומן A, ij זו הדטרמיננטה של המטריצה מסדר (1 n n (1 המתקבלת על-ידי מחיקת השורה ה- i והעמודה ה- j ( a11 a a11 a12 12 a 13 A 23 = a 31 a 32 דוגמה אם,A = a 21 a 22 a 23 אז a 31 a 32 a 33 4 A = n משפט 12 (לפלס: j=1 ( 1i+j a ij A ij = לפי השורה הראשונה: = 4 דוגמה נחשב את ( 1 = 2 3 = 1 det A = det ( a22 a 2n a n2 a nn הוכחה ראשית, נוכיח את המשפט עבור השורה הראשונה: ( a 21 a 22 a 2n = A אז למה 112: אם a n1 a n2 a nn הוכחה בחישוב det A לפי ההגדרה, באות לידי ביטוי רק התמורות המעבירות את 1 ל- 1 אחרת, המחובר המתאים יהיה 0 (הכופל הראשון שלו הוא 0 על כל תמורה כזו אפשר להסתכל כעל תמורה של {n,,2}, בעלת אותה זוגיות (כי כל החילופים בה הם מ- 2 עד n קיבלנו nσ(n,det A = 1 σ sgn σa 2σ(2 a כנדרש 4 משפט זה בעצם מאפשר לפתח דטרמיננטה לפי השורה ה- i 10

11 14 חוק קרמר 1 דטרמיננטות det A = ( 1 1+j A 1j אז A = ( a 21 a 2n a n1 a nn למה 212: אם הוכחה נחליף את העמודה ה- j בעמודה שלפניה שוב ושוב עד שעמודה זו תהיה ראשונה 5 ביצענו 1 j חילופים, והתקבלה מטריצה A שעונה על דרישות הלמה הראשונה; מצד אחד,,det A = A 1j ומצד שני, det A = ( 1 j 1 det A = ( 1 j+1 det A מכאן מתקבל הדרוש כעת, את השורה הראשונה נוכל להציג כ-( ( n1 a 11 ( a נקבל ( 1 0 ( 0 1 det A = a 11 det + + a n1 det = n j=1 ( 11+j a 1j A 1j עבור השורה ה- i, נחליף את השורה ה- i עם זו שלפניה, ואז את השורה ה- 1 i עם זו שלפניה,det A = ( 1 i 1 det ואם כעת נפתח לפי ( ai1 a in a 11 a 1n a n1 a nn det A = ( 1 i 1 n j=1 ( 1j+1 a ij A ij = n וכו ; כעבור 1 i החלפות, נקבל השורה הראשונה נקבל j=1 ( 1i+j a ij A ij הוכחנו ש- A,det A t = det לכן נקבל שניתן לפתח באופן זהה גם לפי עמודות טענה 13: הדטרמיננטה של מטריצה משולשית היא מכפלת איברי האלכסון הראשי הוכחה באינדוקציה על n אם = 1 n, ברור נניח נכונות ל- 1 n ונוכיח נכונות ל- n נתונה מטריצה n n משולשית A נפתח לפי העמודה הראשונה (אם המטריצה משולשית עליונה או לפי השורה הראשונה (אם המטריצה משולשית תחתונה, ונקבל det A = a 11 A 11 המטריצה המינורית ל- a 11 אף-היא משולשית, ואלכסונה הראשי הוא ;a 22,, a nn לפי הנחת האינדוקציה, A 11 = a 22 a nn לכן det A = a 11 a 22 a nn מכפלת איברי האלכסון הראשי 14 חוק קרמר נניח שיש מערכת,cx + dy = f,ax + by = e כאשר המטריצה המצומצמת רגולרית אז יש e f x = a c פתרון יחיד, והוא, כפי שכבר חישבנו קודם, b a b d c d, y = e a b f c d באופן כללי יותר: משפט 14 (חוק קרמר: תהי A מטריצה רגולרית n, n ויהי b וקטור עמודה (מעל שדה F אז למערכת A x = b יש פתרון יחיד לכל k, תהי A k המטריצה המתקבלת מ- A על-ידי החלפת X 1 = A1 A,, X n = An A העמודה ה- k בווקטור b ; אז הפתרון היחיד של המערכת הוא 5 נשים לב שזה שונה מהחלפה בבת-אחת (כלומר, החלפת העמודה ה- j עם העמודה ה- 1 : החלפה בבת-אחת לא שומרת על סדר העמודות 11

12 1 דטרמיננטות 15 המטריצה המצורפת k c k = A מכיוון שזהו פתרון, A c 1 הוכחה יהי n (c 1,, c הפתרון היחיד; עלינו להוכיח שלכל,k a c n a 1n = b 1 a n1 a nn b n det A 1 = det = det נחשב את :det A 1 ( b1 a 12 a 1n ( bp n a n2 a nn n i=1 cia1i a12 a1n P n i=1 ciani an2 ann ( a1i a 12 a 1n a ni a n2 a nn = n i=1 c i det לכל > 1 i, יש במטריצה המתאימה שתי עמודות שוות, לכן המחובר המתאים הוא 0 נותר c 1 = det A1 det A רק המחובר המתאים ל- 1 =,i והוא c 1 det A אז,det A 1 = c 1 det A לכן נקבל ביטויים דומים עבור c 3 c, 2 וכו n טענה :15 עבור j=1 ( 1i+j a kj A ij = 0,k i הוכחה תהי B המטריצה המתקבלת מ- A על-ידי רישום השורה ה- k במקום ה- i,det B = 0 det B = n כי יש שתי שורות שוות מצד שני, נפתח לפי השורה ה- i : 1=j ( 1i+j a kj B ij n המינורים של השורה ה- i ב- B הם כמו ב- A, לכן = 0 ij 1=j a kja 15 המטריצה המצורפת מטריצה מצורפת הגדרה תהי A מטריצה n n מעל שדה F המטריצה המצורפת matrix (adjoint היא המטריצה המוגדרת על-ידי ij adj A = (b כאשר (A = (a ij b ij = ( 1 i+j A ji adj A = ( = ;A אז ( דוגמה תהי מהו?A adj A c ij = n אם k=1 a ikb kj = n אם נסמן ij,a adj A = (c נקבל k=1 ( 1k+j a ik A jk i, לכל אז הפיתוח לפי השורה ה- i (נוסחת A = n k=1 ( 1k+i a ik A ik מקבלים,i = j,c ij = δ ij A שהוכחנו לעיל אז נוכל לכתוב (כפי c ij נקבל = 0,i j אבל אם c ii = A ו- A I A adj A = 1 A נוכל להסיק שלכל נובע שאם A סינגולרית, = 0 A A adj אחרת, A adj A = I A 1 = 1 A מטריצה רגולרית adj A,A ( = A, A = 4 6 = 2,adj ומכאן נקבל 4 2 ( = ;A אז דוגמה תהי 4 3 ( A 1 = ( =

13 2 לכסון מטריצות = Ax אך אילו A היתה ( ( ax x = ( 1 2 3,A = 2 לכסון מטריצות ממש תענוג ( a b c ( x y = z by cz 21 מוטיבציה ( נסתכל במטריצה אלכסונית, פעול כפל כזו היתה הרבה יותר פשוטה: והואיל ומתמטיקאים הם רודפי-תענוגות, הם מעדיפים שמטריצות תהיינה אלכסוניות למעשה, במקרה הכללי, מחפשים בסיס שלפיו המטריצה היא אלכסונית: יהי V מרחב n -מימדי מעל,F ותהי T : V V ט"ל יהי n B 1 = (v 1,, v בסיס של ונניח ש- B,V בסיס של B 2 = (u 1,, u n לפי בסיס זה יהי T של המטריצה נניח ש- A V היא המטריצה של T לפי בסיס זה אם P היא מטריצת המעבר מהבסיס B 1 לבסיס B, 2 אז 6 B = P 1 AP מטריצות דומות הגדרה אומרים שהמטריצה B דומה למטריצה A אם יש P רגולרית כך ש- B = P 1 AP 22 ערכים עצמיים וווקטורים עצמיים 221 הגדרה ויהי n (v 1,, v בסיס של V לפי המטריצה של T אלכסונית: כלומר, מהצורה ( תהי T ט"ל a1 0 0 אז T v i = a i v i באופן כללי: a n וקטור עצמי הגדרה אם T ט"ל ו- 0 v וקטור, v נקרא וקטור עצמי (eigenvector של T אם קיים סקאלאר T v = כך ש- λv λ אם n v 1,, v הוא בסיס שלפיו המטריצה אלכסונית, כל וקטור בבסיס הוא וקטור עצמי של T מצד שני, אם n v 1,, v בסיס של וקטורים עצמיים, המטריצה אלכסונית לפי בסיס זה הוכחה נניח ש-( (v 1,, v n בסיס שאיבריו וקטורים עצמיים; אז,T v i = a i v i והמטריצה היא T v 1 = a 1 v 1 + 0v v n,, T v n = 0v v n 1 + a n v n ערך עצמי לא לכל טרנספורמציה לינארית יש בסיס של וקטורים עצמיים: למשל, נסתכל בט"ל T : R 2 R 2 שהיא סיבוב ב- 90 סביב הראשית, במגמה החיובית לטרנספורמציה זו לא קיימים וקטורים עצמיים הגדרה תהי A מטריצה n n מעל F סקאלאר a F ייקרא ערך עצמי (eigenvalue של A אם קיים וקטור v F n 0 (וקטור עמודה כך ש- av Av = אומרים ש- v הוא וקטור עצמי השייך לערך העצמי a P 6 הפיכה, כי היא מעבירה בסיס לבסיס 13

14 22 ערכים עצמיים וווקטורים עצמיים 2 לכסון מטריצות יחס הדימיון רפלקסיבי A,A כי ;A = I 1 AI הוא גם סימטרי B = A,A = P BP 1 = B = P 1 AP כלומר 1 BP ;A = (P 1 1 בנוסף, הוא טרנזיטיבי אם B דומה ל- A ו- C דומה ל- B, קיימות מטריצות רגולריות P ו- Q כך ש- B, = P 1 AP ;C = Q 1 BQ לכן C = Q 1 P 1 AP Q = (P Q 1 AP Q לכן זהו יחס שקילות 222 מציאת ערכים עצמיים נניח ש- a ערך עצמי של A אז קיים וקטור עמודה v כך ש- aiv ;Av = av = כלומר, = 0 aiv Av aiv = (A קיבלנו ש- a הוא ע"ע של A אם"ם למערכת המשוואות = 0 aiv A יש פתרון לא-טריוויאלי זה נכון אם"ם המטריצה A ai סינגולרית, וזה נכון אם"ם = 0 A A ai = ai ( 0 1 = A (מטריצת הסיבוב ב- (90 מעל 1 0 דוגמה מהם הערכים העצמיים של המטריצה xi A = 0 ( x 0 x 0 ( = 0 x 1 1 x = 0 x 2 +1 = 0 אין פתרונות מעל R, לכן אין ע"ע מעל R :R מעל A = ( דוגמה 1 xi A = 0 ( x 0 x 0 ( = 0 x x 1 = 0 כלומר, = 0 2 x(x (x = 0 x 2 2x = יש שני ע"ע: 0 ו- 2 ( כלומר, = 0 y x + y = 0 x + נבחר, למשל, 1 ( ( x y = 0 0 נחפש ו"ע השייכים ל- 0 : ( כלומר, x + y = 2x x + y = 2y למשל, 1 ( ( x y = 2x 2y 1 (1, עבור הע"ע :2 נבחר 1 (1, ( שני וקטורים אלה מהווים בסיס; לפיו, המטריצה היא טענה 16: v הוא ו"ע של T אם"ם הישר span{v} מועתק על-ידי T לתוך עצמו; ואם הע"ע?R המתאים שונה מ- 0, ישר זה מועתק על עצמו הוכחה תרגיל משפט 17: אם T ט"ל ו- A המטריצה שלה לפי בסיס מסויים, ל- T ול- A יש אותם ע"ע הוכחה נניח ש- λ ע"ע של T תהי A המטריצה של T לפי הבסיס B יהי V ו"ע של T השייך ל- λ, ונסמן [v] B וקטור הקואורדינטות של v לפי הבסיס,v 0 B לכן 0 B ;T v = λv [v] כאשר נעבור למטריצות, נקבל ש- A[v] B = λ[v] B לכן λ ע"ע של A כל הטיעונים תקפים גם בכיוון ההפוך; לכן מקבלים שאם λ ע"ע של A אז הוא ע"ע של T משפט 18: לשתי מטריצות דומות יש אותם ע"ע הוכחה נניח ש- A B אז B = P 1 AP יהי λ ע"ע של A, ויהי 0 v ו"ע השייך לו אז B(P 1 v = P 1 AP P 1 v = P 1 Av = P 1 λv = λp 1 v Av = λv לכן λ ע"ע של B, ו- v P 1 ו"ע השייך לו (v P, 1 כי 1 P רגולרית הכיוון ההפוך נובע מסימטרייה 14

15 2 לכסון מטריצות 22 ערכים עצמיים וווקטורים עצמיים A ראינו שע"ע של B = ( ( = ;A היא דומה למטריצה דוגמה נסתכל במטריצה 1 1 ( 1 ; אבל זה 1 הם 2 ו- 0, ולכן גם הע"ע של B הם 2 ו- 0 ו"ע של A השייך לע"ע 2 הוא, למשל, ( ( ( 1 1 = 0 2 אינו ו"ע של B: טענה 19: המטריצה A סינגולרית אם"ם 0 הוא ע"ע שלה הוכחה נניח ש- A סינגולרית אז למערכת המשוואות = 0 Ax יש פתרון לא-טריוויאלי יהי v פתרון כזה; אז 0,v אבל,Av = 0 = 0v ולכן 0 ע"ע של A אם A אינה סינגולרית, היא רגולרית, ולמערכת = 0 Ax הפתרון היחיד הוא 0; לכן לא קיים A ולכן 0 אינו ע"ע של,Av = כך ש- 0v v כלומר, אין 0 Av = כך ש- 0 v 0 טענה :20 תהי T ט"ל A מטריצה, ויהיו λ 1,, λ k ע"ע שונים של T (של (A עם ו"ע,v 1,, v k בהתאמה אז v 1,, v k בת"ל הוכחה באינדוקציה על k אם = 1 k, יש לנו המערכת 1 v, 1 0 v לכן מערכת זו בלתי-תלויה נניח ל- k ונוכיח ל- 1 + k יש לנו ע"ע שונים k+1 λ 1,, λ k, λ ווו"ע k+1 v 1,, v k, v השייכים a 1 v a k v k + a k+1 v k+1 = 0 להם, בהתאמה נוכיח שהם בת"ל: נניח ש- λ k+1 a 1 v λ k+1 a k v k + λ k+1 a k+1 v k+1 = 0 נכפול ב- 1+k λ: ובנוסף, נפעיל את T על (נכפול משמאל ב- A את שני אגפי השוויון הראשון: a 1 λ 1 v a k λ k v k + a k+1 λ k+1 v k+1 = 0 נפחית את השוויון האחרון מהקודם לו, ונקבל a 1 (λ 1 λ k+1 v a k (λ k λ k+1 v k = 0 מהנחת האינדוקציה, = 0 k+1 a 1 (λ 1 λ k+1 = = a k (λ k λ לכל i k,1 0 k+1,λ i λ כי אלו ע"ע שונים; לכן = 0 k a 1 = = a נציב בשוויון הראשון, ונקבל = 0 k+1 a k+1 v אבל 0 k+1,v לכן = 0 k+1 a קיבלנו שבכל צירוף לינארי מתאפס של k+1 v 1,, v כל המקדמים מתאפסים, לכן וקטורים אלה בת"ל מסקנה 21: אם n -מימדי V ו- T, : V V אז ל- T יש לכל היותר n ע"ע שונים הוכחה אם ניקח k ע"ע שונים ונבחר לכל אחד ו"ע, נקבל k וקטורים בת"ל מכאן, k n מסקנה 22: למטריצה n n יש לכל היותר n ע"ע שונים 15

16 23 הפולינום האופייני והפולינום המינימלי 2 לכסון מטריצות תהי T ט"ל, ויהי λ ע"ע שלה נסתכל בקבוצת הווקטורים λv} V λ = {v V : T v = V λ מכילה את כל הוו"ע השייכים ל- λ ואת 0, ואלה כל איבריה; ברור ש- V λ תת-מרחב של :V לא ריק, כי V λ ;0 אם v 1, v 2 V λ אז T v 1 = λv 1 ו- T v 2 = λv 2 נחשב ונקבל 2 T (v 1 + v 2 = T v 1 + T v 2 = λv 1 + λv 2 = λ(v 1 + v באופן דומה, לגבי כפל בסקאלאר הגדרה V λ נקרא המרחב העצמי של λ מרחב עצמי 23 הפולינום האופייני והפולינום המינימלי 231 הפולינום האופייני הראינו ש- λ הוא ע"ע של A (מטריצה (n n אם"ם = 0 A λi נסתכל בביטוי A : xi x a 11 a 12 a 1n a 21 an 1n a n1 a nn 1 x a nn זהו פולינום ממעלה n: n = (x a 11 (x a nn + n sgn σ a iσ(i id σ S n i=1 פולינום אופייני הגדרה הפולינום A p(x = xi נקרא הפולינום האופייני של A אם p(x הוא הפולינום האופייני של A, אז λ ע"ע אם"ם הוא שורש של :p(x כלומר, אם"ם p(λ = טענה 23: אם A ו- B מטריצות דומות, יש להן אותו פולינום אופייני הוכחה B = P 1 AP הפולינום האופייני של A הוא A ; xi של :B xi B = xi P 1 AP = xp 1 IP P 1 AP = P 1 xip P 1 AP = P 1 (xi AP = P 1 xi A P = xi A P 1 P = xi A P 1 P = xi A I = xi A לכן ל- A ול- B יש אותו פולינום אופייני A B אך, xi A = xi B = נקבל x 2 :B = ( ,A = ( 0 0 דוגמה 0 0 יהי V מרחב n -מימדי מעל השדה T : V V F, ט"ל מהמשפט הקודם, נוכל להגדיר את הפולינום האופייני של T כפולינום האופייני של אחת מהמטריצות המייצגות את T יש הרבה כאלה, אך כולן דומות לכן לכולן אותו פולינום אופייני, ושורשיו הם הע"ע של T 16

17 2 לכסון מטריצות 23 הפולינום האופייני והפולינום המינימלי טענה 24: יהי p(x פולינום מעל F הסקאלאר a הוא שורש של p(x אם"ם x a מחלק את הפולינום; כלומר, אם קיים פולינום q(x כך ש-( aq(x p(x = x הוכחה אם x a מחלק את,p(x,p(x = (x aq(x ואם נציב x = a נקבל 0 בכיוון השני, נניח ש- 0 = p(a p(a = a a n a n,p(x = a a n x n n p(x = p(x p(a = a 1 (x a + + a n (x n a כל-אחד מהמחוברים הנ"ל מתחלק ב- a,x לכן p(x מתחלק ב- a x 7 ריבוי אלגברי הגדרה הריבוי האלגברי של השורש a של פולינום הוא ה- k המקסימלי כך ש- x (a k מחלק את הפולינום (נסמן: (a m A הגדרה T ט"ל, a ע"ע; הריבוי האלגברי של a כע"ע של T הוא ריבויו האלגברי כשורש של הפולינום האופייני ריבוי גיאומטרי הגדרה T ט"ל, a ע"ע; הריבוי הגיאומטרי של a כע"ע של T הוא המימד של המרחב העצמי V a (נסמן: (a (m G משפט :25 (a m G (a m A הוכחה נניח m G (a = k נסתכל במרחב העצמי ;V a מימדו k נבחר בסיס ל- (v 1,, v k,v a כל איברי הבסיס הם ו"ע של T השייכים ל- a נשלים בסיס זה לבסיס של (v 1,, v k,, v n :V נסתכל במטריצה של T לפי הבסיס הזה: זוהי מטריצה מהצורה a 0 0? 0? 0? 0 0 a? 0?? 0 0 0? עבורה הפולינום האופייני הוא, אם נפתח לפי העמודה הראשונה, q(x (x a k קיבלנו שהפולינום V λ1,, V λk המרחבים האופייני מתחלק ב- (x a k לכן (a m A (a k = m G משפט :26 תהי T ט"ל, ויהיו λ 1,, λ k ע"ע שונים של T יהיו העצמיים שלהם אז לכל V; λ1 V λ2 = {0} k, 1 k 2 יתר על כן, החיתוך של כל מרחב עצמי עם סכום המרחבים העצמיים האחרים מכיל רק את 0 הוכחה נוכיח, בה"כ, שהחיתוך של V λk עם הסכום של השאר מכיל רק את 0 יהי v וקטור בחיתוך אז v = v 1 + +v k 1 V λk ל- v i V λi לכל 1 k i 1 אז = 0 v v 1 + +v k 1 נראה ש- k 1 v 1, v 2,, v שווים כולם ל- 0, ומכאן נקבל = 0 :v אילו אחדים מהם היו שונים מ- 0, הם היו ו"ע השייכים לע"ע שונים; אבל למדנו שו"ע השייכים לע"ע שונים הם בת"ל, ולכן הסכום לא יכול להיות 0 בסתירה x k a k = (x a(x k 1 + x k 2 a + + a k

18 23 הפולינום האופייני והפולינום המינימלי 2 לכסון מטריצות הגדרה סכום ישר של תתי-מרחבים W,U הוא } W,U + W = {u + w : u U, w אם סכום ישר כל וקטור בו ניתן להצגה יחידה כ- w u + עבור w W,u U מסמנים U W תנאי הכרחי ומספיק לכך ש- U + W יהיה סכום ישר הוא ש-{ 0 } = W U באופן טבעי, ניתן להרחיב הגדרה זו לסכום סופי: הסכום U U k נקרא סכום ישר אם כל וקטור בו ניתן להצגה יחידה כ-,u u k כך שלכל i מתקיים u i U i תנאי הכרחי ומספיק לכך הוא שהחיתוך של כל תת-מרחב עם סכום האחרים מכיל רק את האפס מסמנים U 1 U k = k i=1 U i על-פי המשפט, נקבל שסכום מרחבים עצמיים שונים הוא סכום ישר dim k i=1 = k מסקנה,dim(U 1 U 2 = dim U 1 + dim U 2 :27 ובאופן כללי i=1 dim U i הוכחה (ב באינדוקציה: = k+1 dim(u 1 U k+1 = dim(u 1 U k + dim U dim U dim U k משפט קיילי המילטון ( = A הפולינום האופייני הוא 5x 2 xi A = x 2 נציב בפולינום זה נסתכל במטריצה 4 ( ( ( = ( את :A נקבל A2 5A 2I למה זה שווה? נחשב ונציב: משפט 28 (קיילי-המילטון: אם T : V V ט"ל V מרחב n -מימדי מעל (F ו-( p(x הפולינום האופייני של,T אז = 0 f(t 98 הוכחה נוכיח למקרה של מטריצה,p(x = xi M = a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 + x n ולכל מטריצה P adj P = P I,P בפרט, (xi M adj(xi M = xi M I = p(xi = a 0 I + a 1 xi + + x n I איברי המטריצה A adj(xi הם מינורים, כלומר דטרמיננטות מסדר 1 (n (n 1 לכן הם פולינומים ממעלה 1 n לכל היותר כל מטריצה שאיבריה פולינומים אפשר לכתוב בצורה,B 0 + B 1 x + + B k x k כאשר B 1,, B k הן מטריצות של איברי k n 1,F קיבלנו n 1,adj(xI M = B 0 + B 1 x + + B n 1 x לכן (xi M(B 0 + B 1 x + + B n 1 x n 1 = a 0 I + a 1 Ix + + Ix n נפתח סוגריים ונקבל MB 0 +(B 0 MB 1 x+ +(B n 2 MB n 1 x n 1 +B n 1 x n = a 0 I + +Ix n נעשה השוואת מקדמים: 8 זוהי טרנספורמציית האפס, לא סקאלאר האפס 9 לגבי מטריצות: אם M מטריצה n n מעל F ו- p הוא הפולינום האופייני שלה, אז = 0 p(m 18

19 2 לכסון מטריצות 23 הפולינום האופייני והפולינום המינימלי MB 0 = a 0 I B 0 MB 1 = a 1 I B n 2 MB n 1 = a n 1 I B n 1 = I נכפול את השוויון ה- i -י משמאל ב- 1 i M: MB 0 = a 0 I MB 0 M 2 B 1 = a 1 M M n 1 B n 2 M n B n 1 = a n 1 M n 1 M n B n 1 = M n נחבר את השוויונים: = a 0 I + a 1 M + + a n 1 M n 1 + M n 0 כלומר, = 0,p(M כנדרש 233 הפולינום המינימלי פולינום מינימלי הגדרה אם T ט"ל (M מטריצה, n -מימדי, V הפולינום המינימלי של (M, T שיסומן (x µ T (M T הוא הפולינום המתוקן 10 בעל המעלה החיובית הקטנה ביותר המאפס את µ, M ((x טענה 29: א יש פולינום יחיד בעל תכונה זו ב כל פולינום שמאפס את T מתחלק ב- µ T ג שורשי הפולינום המינימלי הם בדיוק הערכים העצמיים הוכחה א מדוע יש פולינום ממעלה חיובית קטנה ביותר המאפס את T? בכל קבוצה לא-ריקה של מספרים טבעיים יש איבר ראשון נסתכל בקבוצת המספרים n N כך שיש פולינום מתוקן ממעלה n המאפס את T זוהי קבוצה לא-ריקה, כי היא מכילה את מימד המרחב יהי n 0 המספר הקטן ביותר בקבוצה זו, ויהי µ(x פולינום ממעלה n 0 המאפס את T פולינום זה מקיים את הדרישה מפולינום מינימלי נוכיח יחידות: נניח ש- µ 1 ו- µ 2 שני פולינומים מתוקנים ממעלה חיובית מינימלית המאפסים את T נחלק את µ 2 ב- µ 1 עם שארית, ונקבל,µ 2 = q µ 1 + r כאשר r(x הוא פולינום האפס: נציב את :T נקבל r(t,µ 2 (T = q(t µ 1 (T + כלומר r(t + 0 = 0 אז לא ייתכן ש- r פולינום ממעלה 0 השונה מ- 0, כי אז נקבל 0 k r(t = בנוסף, לא ייתכן ש- r ממעלה חיובית, כי אז 1 < deg(r < deg(µ 0 ונקבל סתירה למינימליות µ 1 (כי µ 2 = q אינו מתוקן, קל לתקן אותו אז קיבלנו µ 1 r כזכור, ואם,r(T = 0 נראה ש- 1 = q,deg(µ 2 = deg(µ 1 אבל גם 1 ;deg(µ 2 = deg(q + deg(µ לכן = 0,deg(q ולכן q קבוע + k µ 1 (x = x ו- + k µ 2 (x = x (כי אלה פולינומים 10 פולינום מתוקן ממעלה n הוא פולינום מהצורה p(x = x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 19

20 24 תנאים ללכסינות 2 לכסון מטריצות מתוקנים, אז q(x x k = x k ולכן = 1 q קיבלנו µ 1 = µ 2 ב יהי p(x פולינום המאפס את T ויהי µ הפולינום המינימלי; נראה ש-( µ(x מחלק את p(x נחלק עם שארית: r(x p(x = q(x µ(x + אם נראה ש- 0 =,r(x נסיים אחרת, r קבוע השונה מ- 0 או פולינום ממעלה חיובית אבל בהוכחת סעיף א ראינו שאף אחת מאפשרויות אלה לא תיתכן, ולכן = 0 r אז µ(x,p(x = q(x כנדרש ג נראה שכל ע"ע הוא שורש של µ(x למה 129: אם T ט"ל ו- M מייצגת אותה בבסיס מסויים, µ T = µ M 11 הוכחה מספיק להראות שאם M מייצגת את T בבסיס מסויים ו- f פולינום כלשהו, אז f(m מייצגת את f(t לפי אותו בסיס אולם זה נובע מהאיזומורפיזם בין חוג הטרנספורמציות לחוג המטריצות לכן = 0 f(m f(t = 0 מכאן, הפולינום המינימלי של שתיהן הוא אותו פולינום יהי c ע"ע של M (נוכיח למטריצה, ומהלמה הטענה תנבע עבור העתקה לכן = 0 M ci נחלק את µ(x ב-( c (x עם שארית: r(x,µ(x = q(x (x c + כאשר r קבוע (כי = 1 c deg r < deg(x (0 נראה ש- 0 = r נציב את M ונקבל = µ(m = (M ci q(m + ri 0 אז q(m ri = (ci M ניקח דטרמיננטה ונקבל q(m r n = ci M det אבל = 0 M, ci ולכן נקבל = 0 r אז µ(x מתחלק ב-( c x, ולכן c שורש של µ(x 24 תנאים ללכסינות משפט 30: העתקה לינארית T ניתנת ללכסון אם"ם סכום הריבויים הגיאומטריים של הערכים העצמיים שלה הוא n, מימד המרחב הוכחה נניח שסכום הריבויים הגיאומטריים הוא n יהיו λ 1,, λ k הע"ע השונים נסתכל (d i את מימדו (נסמן V λi בסיס של (v1, i, vd i i במ"ע V λ1,, V λk לכל i k,1 יהי כל שניים מהבסיסים האלה זרים, משום שהחיתוכים מכילים רק את 0 ובבסיס אין וקטור ה- 0 נסתכל באיחוד הבסיסים הללו מספר הווקטורים הוא סכום הריבויים הגיאומטריים, והוא n נוכיח שהאיחוד הוא בסיס של V הואיל ויש n וקטורים, די להוכיח אי-תלות (או, במידה שווה, פרישה נניח ש- a 1 1v a 1 d 1 vd a k 1v1 k + + a k d k vd k k = 0 נעביר אגפים: a 1 1v a 1 d 1 vd 1 1 = (a 2 1v a 2 d 2 vd a k 1v1 k + + a k d k vd k k 11 כמסקנה, למטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני 20

21 2 לכסון מטריצות 24 תנאים ללכסינות אגף שמאל שייך ל- V, λ1 כי הוא בסיס של V; λ1 אגף ימין שייך לסכום המרחבים העצמיים האחרים אם כן, קיבלנו שוויון בין האגפים, אך החיתוך של V λ1 עם סכום האחרים מכיל רק את,a 1 1v a 1 d 1 אך מכיוון שזה צירוף לינארי vd 1 1 האפס, ולכן שני האגפים הם אפס לכן = 0 a 1 1 = = a 1 d 1 מתאפס של איברי בסיס, = 0 באותו אופן, נשאיר את המחוברים השייכים ל- V λ2 באגף שמאל ונעביר את השאר ימינה;,a 2 1 = = a 2 d 2 וכן הלאה כך נקבל שכל המקדמים שווים ל- 0, ולכן קיבלנו בסיס נקבל ש- 0 = של V כל איברי הבסיס הם וקטורים עצמיים, לכן T לכסינה בכיוון השני: ראשית, נעיר שסכום הריבויים הגיאומטריים תמיד קטן מ- או שווה ל- n מדוע? סכום הריבויים האלגבריים קטן מ- או שווה ל- n, וכל ריבוי גיאומטרי קטן מ- או שווה לריבוי האלגברי המתאים לכן אם סכום הריבוים הגיאומטרי איננו n, הוא קטן מ- n נסתכל בסכום הישר של כל המרחבים העצמיים זה תת-מרחב של V, ומימדו קטן מ- n לסכום-ישר זה יש בסיס עם פחות מ- n איברים, וכל איברי הבסיס הם ו"ע כל הו"ע נמצאים בסכום הישר הזה, והם פורשים אותו; לכן המספר המקסימלי של ו"ע בת"ל הוא מימד הסכום הישר, שקטן מ- n לכן אין n ו"ע בת"ל, ולכן אין בסיס שכולו ו"ע ל- V, ו- T איננה לכסינה משפט 31: T לכסינה אם"ם מתקיימים שני התנאים א הפולינום האופייני מתפרק לגמרי לגורמים לינאריים; ב לכל ע"ע m A (λ = m G (λ,λ הוכחה נניח שהתנאים מתקיימים אז סכום הריבויים האלגבריים הוא n, כי הפולינום האופייני מתפרק לגמרי בגלל תנאי ב, סכום הריבויים הגיאומטריים שווה לסכום הריבויים האלגבריים, וזה n; לכן, לפי המשפט הקודם, T לכסינה בכיוון השני: אם א אינו מתקיים, סכום הריבויים האלגבריים קטן מ- n ; מכיוון שכל ריבוי גיאומטרי קטן מ- או שווה לריבוי האלגברי, בוודאי סכום הריבויים האלגבריים קטן מ- n, ומהמשפט הקודם, T אינה לכסינה אם ב אינו מתקיים, קיים ע"ע λ כך ש-( λ m G (λ < m A לכן m G < m A n, ושוב קיבלנו שסכום הריבויים הגיאומטריים קטן מ- n, ו- T אינה לכסינה משפט 32: T לכסינה אם"ם שני התנאים א הפולינום האופייני מתפרק לגמרי לגורמים לינאריים; ב הפולינום המינימלי מתפרק לגמרי לגורמים לינאריים שונים הוכחה נניח ש- T לכסינה אז יש בסיס B שלפיו המטריצה A של T אלכסונית µ A = µ T באלסכון של A מופיעים בדיוק כל הערכים העצמיים של A ומחוץ לאלכסון מופיעים אפסים, לכן הפולינום האופייני של A הוא n λ i (x λ 1 (x λ ע"ע, ולכן מתפרק לגמרי יהיו λ 1,, λ k כל הע"ע השונים של A נסתכל בפולינום k g(x = (x λ 1 (x λ נציב בו את A ונקבל I g(a = (A λ 1 I (A λ k בכל מקום באלכסון, לפחות באחד 21

22 24 תנאים ללכסינות 2 לכסון מטריצות הכופלים יש 0 לכן = 0 g(a קיבלנו פולינום מתוקן המאפס את A, לכן g(x µ(x כלומר, המעלה של µ(x היא לכל היותר k אבל λ 1,, λ k שורשים של,µ(x לכן deg(µ(x k קיבלנו,deg(m(x = k ו-( g(x µ(x = (הוכחת הכיוון השני לא נלמדה 22

23 3 מרחבי מכפלה פנימית 3 מרחבי מכפלה פנימית 31 מכפלה סקאלארית מכפלה סקאלארית הגדרה יהי V מ"ו מעל R מכפלה סקאלארית היא פונקציה מ- V V ל- R, שתסומן α β או β,α, המקיימת את התכונות א α β = β α (סימטריות ב (α + α β = α β + α β (לינאריות במשתנה הראשון ג β (aα β = a(α (הומוגניות במשתנה הראשון ד 0 α α α > 0 = (חיוביות דוגמה נסתכל ב- R 2 או ב- R 3 כמרחבים מעל R מגדירים פעולה על R, 3 R 2 שנקראת מכפלה סקאלארית, שתוצאתה מספר ממשי, על-ידי,α β = α, β = α β cos θ כאשר α ו- β וקטורים ו- θ היא הזווית ביניהם ב-,R 2 אם 1,β = (a 2, b 2,α = (a 1, b אז,β = (b 1,, b n,α = (a 1,, a n,r n מתקיימות התכונות ב- α β = a 1 a 2 + b 1 b 2 α β = a 1 b a n b n מקיימת את התכונות, ולכן היא מכפלה סקאלארית דוגמה יהי V מרחב הפונקציות הממשיות הרציפות בקטע [1,0] עם הפעולות הרגילות של 1 = g f צריך לבדוק ברצינות רק את תכונה חיבור וכפל בסקאלאר, ונגדיר f(xg(xdx 0 1? אנו מסתמכים על משפט: אם 0 f אבל 0 f ד : מדוע אם 0 f אז > 0 dx 0 f(x2 1 ו- f רציפה, > 0 f(xdx 0 תכונות: 1 במקום התכונות ב וג, אפשר לכתוב β (aα + a α β = a(α β + a (α α (β + β = (β + β α = β α + β α = α β + α β α α α = 0,α אם"ם = 0 α (אם 0,α לפי ד > 0 α ;α אחרת, לפי ג, (α α = 0α α = 0(α α = 0 מרחב אוקלידי V עם המכפלה הסקאלארית נקרא מרחב אוקלידי 32 מכפלה הרמיטית מכפלה הרמיטית הגדרה יהי V מ"ו מעל C מכפלה הרמיטית היא פונקציה מ- V V ל- C, שתסומן α β או β,α, המקיימת את התכונות א α β = β α (הרמיטיות ב (α + α β = α β + α β (לינאריות במשתנה הראשון ג β (aα β = a(α (הומוגניות במשתנה הראשון 23

24 33 מכפלה פנימית 3 מרחבי מכפלה פנימית ד 0 α α α > 0 = (חיוביות דוגמה נסתכל ב- C n ונגדיר (a 1,, a n (b 1,, b n = a 1 b a n b n זה מקיים את ארבע התכונות הנדרשות תכונות: 1 מא נובע ש- α α ממשי, כי α α = α α α (β + β = α β + α β 2 (α (β + β = (β + β α = β α + β α = β α + β α = α β + α β (α bβ = bβ α = bα β α bβ = bα β 3 V עם המכפלה ההרמיטית נקרא מרחב אוניטרי מרחב אוניטרי 33 מכפלה פנימית 331 הגדרה מכפלה סקאלארית ומכפלה הרמיטית נקראות, באופן כללי, מכפלה פנימית נשים לב שמעל R, α: β = α β לכן המכפלה הסקאלארית היא מקרה פרטי של מכפלה הרמיטית, ונוכל להגדיר מכפלה פנימית כך: מכפלה פנימית מרחב מכפלה פנימית הגדרה יהי V מרחב מעל {C F,R} מכפלה פנימית מעל V היא פונקציה מ- V V ל- F המקיימת א α β = β α ב (α + α β = α β + α β ג β (aα β = a(α ד 0 α α α > 0 = V עם נקרא מרחב מכפלה פנימית 332 אורך וקטור הגדרה במרחב מכפלה פנימית, האורך של וקטור α מוגדר כ- α α = α אורך וקטור טענה :33 א 0, α ויש שוויון אם"ם = 0 α ב a α a α = ג β 2 α ± β 2 = α 2 ± 2 Re(α β + הוכחה א נובע בקלות מהתכונות ב α aα 2 = (aα (aα = aa(α α = a 2 נוציא שורש ונקבל a α aα = 24

25 3 מרחבי מכפלה פנימית 33 מכפלה פנימית ג נוכיח עם +: α + β 2 = (α + β (α + β = α α + α β + β α + β β = α α + α β + α β + β β = α Re(α β + β מרחק בין וקטורים המרחק בין α ל- β הוא β ; α מסמנים β d(α, כמובן, α d(α, 0 = תכונות: α = β ויש שוויון אם"ם,d(α, β 0 1 d(α, β = d(β, α 2 3 γ d(α, γ d(α, β + d(β, (אי-שוויון המשולש 334 ניצבות וקטורים ניצבות הגדרה נאמר ש- α ניצב ל- β (α β אם = 0 β α ברור ש- β α אם"ם β; α כמו-כן, 0 ניצב לכל וקטור (זהו הווקטור היחיד שניצב לכל וקטור, מהחיוביות: אם α ניצב לכל וקטור, בפרט ;α α לכן = 0 α,α ולכן = 0 (α 335 אי שוויון קושי שוורץ משפט 34 (אי-שוויון קושי-שוורץ: α β, α β ושוויון מתקיים אם"ם α ו- β תלויים 12 γ = β α 0,α 0 = α β α הוכחה נניח 0 α נגדיר וקטורים α ( 2 γ α 0 = γ β α לכן מספיק להראות α α = β α 2 α (γ α :(γ α 2 0 = 0 (כלומר, γ α 0 ש- 0 = α γ ואכן, γ α = (β β α α 2 α α = β α β α α 2 α α = β α β α α 2 α 2 = β α β α = 0 γ 2 = γ γ = γ (β α 0 = γ β γ α 0 = γ β = (β α 0 β = β β α 0 β = β 2 β α α 2 α β 0 β 2 β α α 2 α β 0 כלומר, 0 γ 2 = β 2 β α כלומר, קיבלנו α 2 α β α β α β = α β 2 α 2 β 2 α 2 β 2 α β כלומר, אם"ם אחד מהם הוא כפולה של חברו במספר מרוכב, אם F, = C או ממשי, אם F = R 25

26 34 מערכות אורתונורמליות 3 מרחבי מכפלה פנימית אם α ו- β תלויים, או = 0 α וברור שיש שוויון, או z (C β = zα באגף שמאל, α zα = z α 2 באגף ימין, α β = α zα = zα α = z α α = z α 2 לכן יש שוויון מצד שני, נניח שיש שוויון; אם = 0 α, ברור שיש תלות אחרת, = 0 γ (כי = 0 2 γ ; β = α 0 = β α לכן β כפולה של,α ואכן יש תלות כלומר, = 0 0,β α ו- α α אי שוויון המשולש משפט 35 (אי-שוויון המשולש: β, α + β α + ושוויון מתקיים אם"ם אחד מ- α, β הוא כפולה של האחר בסקאלאר ממשי אי-שלילי הוכחה β 2 α + β 2 = α Re(α β + β 2 α α β + <,0 מכיוון ש- z ;Re(z מאי-שוויון קושי-שוורץ, נקבל β 2 ; α + β 2 α α β + כלומר, β 2 α + β 2 ( α + לכן β α + β α + אם,α = 0 = 0β שני האגפים הם, β ולכן שווים אחרת, אם 0,α אז β = aα כאשר 0,a ואז = a α α + β = α + aα = (1 + aα = 1 + a α = (1 + α + a α = α + a α = α + β מצד שני, אם קיים שוויון, β 2 α Re(α β + β 2 = α α β + לכן β Re(α β = α כלומר, α β מספר ממשי אי-שלילי, ומכאן גם β α מספר ממשי λ = β α אז β = λα (הוכחה α 2 אי-שלילי; אם = 0,α אז α = 0β וסיימנו אחרת, נסמן 0 הכתרגיל מסקנה :36 β α + β α הוכחה נסתכל בשני הווקטורים α + β ו- β מכיוון ש-( β α, = α + β + נקבל מאי-שוויון המשולש β α α + β + β = α + β + כלומר, β α β α + באותו אופן, α α + β = β + α β 34 מערכות אורתונורמליות הגדרה במרחב מכפלה פנימית V, קבוצת וקטורים A תיקרא אורתונורמלית אם לכל β α, שונים קבוצה אורתונורמלית ב- A, α α = 1,α β = 0 דוגמה R n או C n עם המכפלה הרגילה: 1, 0, (0, = n ε 1 = (1, 0,, 0,, ε טענה 37: יהי V מרחב מכפלה פנימית n -מימדי מעל F אז כל מערכת אורתונורמלית ב- V היא בלתי-תלויה הוכחה תהי A מערכת אורתונורמלית, ויהיו α 1,, α k וקטורים שונים ב- A נראה שהם בלתי-תלויים: נניח ש- 0 = k,a 1 α a k α ונראה ש- 0 = k a 1 = = a את שני אגפי 26

27 3 מרחבי מכפלה פנימית 35 אי שוויון בסל השוויון נכפול מימין ב- :α 1 נקבל = 0 1 (a 1 α a k α k α 1 = a 1 = 0 α 13 לכל i k,1 נכפול את שני האגפים מימין ב-,α i ונקבל = 0 i a לכן הם בלתי-תלויים בסיס אורתונורמלי מסקנה 38: במרחב מכפלה פנימית n -מימדי, בקבוצה אורתונורמלית יש n וקטורים לכל היותר אם יש n וקטורים, קבוצה זו היא בסיס, שנקרא בסיס אורתונורמלי דוגמה 5 ( 4 5, 3, 5 ( 3 5, 4 בסיס אורתונורמלי של,R 2 עם המכפלה הסקאלארית הרגילה טענה :39 יהי n B = (ε 1,, ε בסיס אורתונורמלי של,V ויהי וקטור α V אז מתקיים a i = α ε i,1 i n כך שלכל α = a 1 ε a n ε n הוכחה נכפול את שני האגפים מימין ב- :ε i נקבל α ε i = a 1 ε 1 ε i + + a n ε n ε i = a i טענה :40 אם ε 1,, ε k מערכת אורתונורמלית ו-,α = a 1 ε a k ε k אז מתקיים α 2 = a a k 2 = α ε α ε k 2 הוכחה 2 k α 2 = α α = (a 1 ε 1 + +a k ε k (a 1 ε 1 + +a k ε k = a a אי שוויון בסל k משפט 41 (אי-שוויון בסל: א אם ε 1,, ε k מע א"נ, α וקטור, α 2 i=1 α ε i 2 ב אם ε 1,, ε k בסיס, יש שוויון הוכחה ראשית, אם מערכת זו היא בסיס, α הוא צירוף לינארי שלהם, והשוויון (סעיף ב נובע מהטענה הקודמת γ = α k אז (א γ ניצב לכל ;ε i (ב γ ניצב לכל וקטור שנפרש למה :141 i i=1 (α ε iε γ 2 = α 2 k על-ידי ;ε 1,, ε k (ג i 2 i=1 α ε γ ε 1 = α ε 1 k באופן דומה הוכחה (א = 0 1 i=1 (α ε iε i ε 1 = α ε 1 α ε מוכיחים עבור ε 2,, ε k (ב יהי δ וקטור הנפרש על-ידי ε 1,, ε k אז δ = a 1 ε a k ε k לפי חלק א, נקבל = 0 k γ δ = a 1 γ ε a k γ ε γ = α β אז ;β = k (ג יהי i=1 (α ε iε i γ 2 = γ γ = γ (α β = γ α γ β אבל מחלק ב,,γ β ולכן β α = וכן,α α = נקבל α 2 γ 2 = γ α = (α β α = α α β α k i=1 (α ε iε i α = k i=1 (α ε i(ε i α = k i=1 (α ε i(α ε i = k i=1 α ε i 2 γ 2 = α α β α = α 2 k לכן, כנדרש, i 2 i=1 α ε k i=1 α ε i 2 לכן α 2,0 γ 2 = α 2 k i=1 α ε i 2 (a 1 α a k α k α 1 = a 1 α 1 α a k α k α 1 = a a a k 0 = a 1 13 a 1 ε 1 a 1 ε 1 = a 1 a 1 ε 1 ε 1 = a

28 36 אורתוגונליזציית גראם שמידט 3 מרחבי מכפלה פנימית הגדרה תהי ε 1,, ε k מערכת אורתונורמלית, ויהי α V ההטלה של α על תת-המרחב הטלה k הנפרש על-ידי ε 1,, ε k הוא הווקטור i=1 (α ε iε i γ = α k אם α בתת-המרחב הנפרש, אז בטענת העזר, דיברנו על הווקטור i=1 (α ε iε i = 0 γ; בכל מקרה, γ הוא הווקטור הקצר ביותר מבין הווקטורים המחברים את α עם וקטורים ב-{ span{ε 1,, ε k k הוא i=1 (α ε iε i פירושו של דבר ש- k האורך של γ הוא המרחק מ- α אל i=1 (α ε iε i הווקטור הקרוב ביותר ל- α ב-{ span{ε 1,, ε k (ההוכחה כתרגיל 36 אורתוגונליזציית גראם שמידט משפט 42: יהיו α 1,, α k וקטורים בת"ל במרחב מכפלה פנימית קיימת מערכת אורתונורמלית span{ε 1,, ε l } = span{α 1,, α l } מתקיים 1 l k כך שלכל ε 1,, ε k הוכחה באינדוקציה על k: (ε 1 ו-(,span ε 1 = span α 1 כמובן, ε 1 = α1 אם = 1,k יש לנו רק 0 1 ;α נבחר 1 α סדרה אורתונורמלית נניח נכונות ל- k 1 ונוכיח ל- k נסתכל ב-( α 1,, α k לפי הנחת האינדוקציה, יש סדרה א"נ span{ε 1,, ε l } = span{α 1,, α l } מתקיים 1 l k כך שלכל 1 (ε 1,, ε k 1 1 i k לכל 1 ε k ε i לפי טענת-עזר קודמת, ε k = α k l נסמן i=1 (α k ε i ε i k 1,α k = ולכן כלומר, = 0 i ε k ε אך 0 k,ε כי אילו = 0 k,ε היינו מקבלים i=1 (α k ε i ε i ε k = ε k תלוי לינארית ב- k 1,α 1,, α בסתירה נוכל להגדיר k ε הסדרה k (ε 1,, ε היא סדרה כדרוש: ראשית, לכל ; ε i = 1,1 i k שנית, קל לראות שלכל ε i ε j = 0 i j בנוסף, מהנחת האינדוקציה, לכל l < k 1 מתקיים } l span{ε 1,, ε l } = span{α 1,, α צריך כעת להוכיח עבור :l = k נשים לב שמתקיים } k ε k span{ε 1,, ε k 1, α k } = span{α 1,, α אז מתקיימת ההכלה (של פרישת קבוצות בת"ל } k span{ε 1,, ε k } span{α 1,, α שתי הפרישות בעלות מימד,k לכן שוות משפט :43 אם n (α 1,, α בסיס של,V ניתן לבנות ממנו בסיס א"נ n (ε 1,, ε כך שלכל span{ε 1,, ε l } = span{α 1,, α l } מתקיים 1 l k מסקנה 44: אם V מרחב מ"פ בעל מימד סופי, כל סדרה א"נ ניתנת להשלמה לבסיס א"נ הוכחה נניח ש- ε 1,, ε k היא סדרה אורתונורמלית אם k, = n סיימנו, כי זה כבר בסיס א"נ אחרת, ;k < n נשלים את הסדרה לבסיס n (ε 1,, ε k, α k+1,, α על סדרה זו נפעיל את תהליך גראם-שמידט ב- k המקומות הראשונים, לא ישתנו הווקטורים (ההוכחה כתרגיל למשל, ε 2 = ε 2 (ε 2 ε 1 ε 1 = ε

29 3 מרחבי מכפלה פנימית 37 שוויון פרסבל נקבל סדרה אורתונורמלית n,(ε 1,, ε k, ε k+1,, ε וזה בסיס ש- k הווקטורים הראשונים בו הם איברי הסדרה המקורית, לפי סדרם k משפט (אי-שוויון בסל אם k (ε 1,, ε סדרה א"נ, לכל i=1 α ε i 2 α 2 α הוכחה נשלים את k (ε 1,, ε לבסיס א"נ n (ε 1,, ε k, ε k+1,, ε למדנו שבמקרה זה ; α 2 = n מכאן נובעת הטענה i=1 α ε i 2 37 שוויון פרסבל טענה :45 יהי k (ε 1,, ε בסיס א"נ של,V ויהיו α, β V כך ש-,α = a 1 ε a n ε n α β = n i=1 a ib i אז β = b 1 ε b n ε n α β = (a 1 ε a n ε n (b 1 ε b n ε n הוכחה נחשב: = a 1 b 1 ε 1 ε 1 + a 1 b 2 ε 1 ε a n b n ε n ε n = a 1 b a n b n (מכיוון ש- ij (ε i ε j = δ משפט 46 (שוויון פרסבל: יהי n (ε 1,, ε בסיס א"נ של,V ויהיו α, β V אז = β α n i=1 (α ε i(ε i β הוכחה אם,β = b 1 ε b n ε n,α = a 1 ε a n ε n מטענה קודמת,a i = α ε i α β = n a i b i = i=1 n (α ε i (β ε i = i=1 ;b i = β ε i לפי הטענה הקודמת, n (α ε i (ε i β i=1 כנדרש 38 תת מרחב ניצב כרגיל, V מרחב מכפלה פנימית מעל F תהי A V קבוצת וקטורים הניצב של A הוא A = {α V : β A α β} דוגמה אם = A או {0} =,A אז A = V אם,A = V אז {0} = A טענה 47: לכל A A, הוא תת-מרחב של V הוכחה ראשית, A,0 לכן A איננו ריק; נבדוק סגירות אם A,β A,α 1, α 2 אז = 0 β (α 1 + α 2 β = α 1 β + α 2 הוכחת הסגירות לכפל בסקאלאר דומה על-פי הטענה, נוכל להגדיר כך 29

30 39 טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית 3 מרחבי מכפלה פנימית הגדרה עבור,A V תת-המרחב הניצב של A הוא β} A = {α V : β A α תת-מרחב ניצב דוגמה נסתכל במטריצה M מעל R תהי A קבוצת השורות של המטריצה A הוא מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות = 0 Mx בדרך-כלל נדבר על תת-מרחבים U ועל תת-המרחב הניצב להם, U טענה :48 א (U U ב {0} = U U הוכחה א יהי α U,β U לכן = 0 α,β ולכן = 0 0 = β ;α זה נכון לכל β U לכן,α U ב נניח ש- U α U אז = 0 α,α לכן = 0 α (יש לשים לב שטענה זו אינה דורשת ש- U תת-מרחב משפט :49 נניח ש- V בעל מימד סופי אם U תת-מרחב של,V אז U V = U + 16,β = r ויהי הוכחה יהי r (ε 1,, ε בסיס א"נ של U יהי נתון α V נסמן i=1 (α ε iε i γ β ובפרט,γ U לכן U לכן הוא ניצב לכל איבר של,ε i לכל ניצב למדנו ש- γ γ = α β קיבלנו ש- γ α = β + כלומר, כל וקטור ב- V שווה לווקטור ב- U ועוד וקטור ב- U; לכן U V = U + אבל {0} = U,U לכן הסכום הוא סכום ישר משפט 50: אם V בעל מימד סופי ו- U תת-מרחב של V, אז U = U הוכחה כידוע, U U U תת-מרחב, לכן U ;V = U מכיוון שגם U תת-מרחב, U V = U קיבלנו U,dim V = dim U + dim U = dim U + dim לכן U = U לכן,U ויש לו אותו מימד כמו ל- U תת-מרחב של U dim U = dim U 39 טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית 391 תבניות בילינאריות הגדרה יהי V מרחב מכפלה פנימיתמעל F, ותהי T : V V טרנספורמציה לינארית לכל,α β V נסתכל בסקאלאר β T,α לפונקציה זו נקרא התבנית הבילינארית המוגדרת על-ידי תבנית בילינארית T טענה :51 נניח שלכל α, β V מתקיים = 0 β T α, אזי = 0 T הוכחה יהי α וקטור ב- V לכל β V מתקיים = 0 β T α, כלומר, T α ניצב לכל וקטור ב-,V ולכן = 0 α T זה נכון לכל,α ולכן = 0 T דוגמה נניח שלכל α מתקיים = 0 α T α, לא נובע, במצב זה, = 0 :T למשל, V = R 2 עם המכפלה הסקאלארית הרגילה, T סיבוב ב- 90 T ט"ל והיא אינה טרנספורמציית האפס, אבל לכל T α, α = 0 α V 16 למעשה, U V = U 30

31 3 מרחבי מכפלה פנימית 39 טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית טענה :52 לכל,α, α, β, β V,a, b F מתקיים א β T (α + α, β = T α, β + T α, ב β T α, β + β = T α, β + T α, ג β T aα, β = a T α, ד β T α, bβ = b T α, טענה :53 אם V T, S hom(v, ולכל, T α, β = Sα, β α, β V אז T = S הוכחה לכל,α, β V T α, β = Sα, β T α Sα, β = (T Sα, β = 0 לכן, לפי טענה קודמת, = 0 S,T ולכן T = S פונקציונל לינארי מטענה 52 נובע שבהינתן β, ההעתקה β α T,α היא העתקה לינארית מ- V ל- F; העתקה כזו נקראת בשם פונקציונל לינארי טענה 54: יהי V בעל מימד סופי, ויהי ϕ פונקציונל לינארי על V אז קיים וקטור יחיד β V שמקיים שלכל α ב- ϕ(α = α, β V יתר על כן, לכל β ההעתקה β α,α היא פונקציונל לינארי (חלק זה נובע מיידית מתכונות המכפלה הפנימית הוכחה לכל,β V נסתכל בפונקציונל הלינארי ϕ β המוגדר ע"י β ϕ β (α = α, קל לראות ש- ϕ bβ = bϕ β,ϕ β+β = ϕ β + ϕ β הפונקציונלים מהצורה ϕ β הם תת-מרחב של מרחב הפונקציונלים F V; = hom(v, מימדו הוא כמימד dim V = dim hom(v, F = dim V dim F = dim V 1 = dim V :V מימד מרחב הפונקציונלים מהצורה ϕ β הוא כמימד,V מכיוון ש-,β = a 1 β a n β n (β 1,, β n ϕ β = a 1 ϕ β1 + + a n ϕ βn בסיס של,V אז הם בלתי-תלויים, ו- β, ϕ תלויים בהם; לכן ϕ β1,, ϕ βn בת"ל, וכל ϕ β תלוי בהם לכן זה בסיס קיבלנו תת-מרחב שמימדו כמימד המרחב בו הוא מוכל, לכן הם מתלכדים; כלומר, כל פונקציונל לינארי הוא מהצורה ϕ β 17 איך יודעים ש- β יחיד? אם β 1 ו- β 2 נותנים אותו פונקציונל לינארי, לכל α מתקיים β 1 = β 2 ו- β 1 β 2 ולכן = 0, α, β 1 β 2 = 0,α לכן לכל α, β 1 = α, β 2 משפט 55: נניח ש- V מרחב מכפלה פנימית ממימד סופי אז לכל ט"ל T : V V קיימת ט"ל יחידה T כך שלכל α, β V מתקיים β T α, β = α, T הוכחה היחידות קלה: אם T, T שתיהן מקיימות את האמור לעיל, אז לכל α ו- β מתקיים β α, T β = T α, β = α, T לכן = 0 β α, (T T אם נקבע את,β נקבל שלכל 17 נשים לב שהסתמכנו כאן על סופיות המימד 31

32 39 טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית 3 מרחבי מכפלה פנימית α מתקיים = 0 β α, (T T לכן = 0 β (T T מכיוון שזה נכון לכל,β נקבל T = T כלומר, T T = 0 נותר להראות קיום נגדיר את T β לכל β בהינתן β, V נסתכל בפונקציונל הלינארי ψ β המוגדר על-ידי β ψ β (α = T α, מהטענה הקודמת, קיים וקטור יחיד β כך שלכל ψ β (α = α α, T β = T α, β ואז,T β = β אז נגדיר α, β = T α, β נקבל,ψ מהגדרת α, β נותר להוכיח כי T לינארית כלומר, צריך להוכיח שמתקיים,T (β 1 + β 2 = T β 1 + T β 2 T (bβ 1 = bt β 1 למה :155 T T = הוכחה β T α, β = α, T β = T β, α = β, T α = T α, לכל α, β V α, T (β 1 + β 2 = T α, β 1 + β 2 = T α, β 1 + T α, β 2 = α, T β 1 + α, T β 2 = α, T β 1 + T β 2 מאחר שזה נכון לכל,α נקבל T (β 1 + β 2 = T β 1 + T β 2 באופן דומה מוכיחים עבור כפל בסקאלאר בעקבות המשפט, נוכל להגדיר הגדרה לכל טרנספורמציה לינארית T, הטרנספורמציה T תיקרא הטרנספורמציה הצמודה הטרנספורמציה הצמודה ל- T משפט 56: יהי V מ"ו נוצר-סופית מעל F, ותהי T : V V ט"ל תהי T הט"ל הצמודה ל- T יהי n (ε 1,, ε בסיס א"נ של,V ותהיינה ij A = (a ij,a = (a המטריצות של T ו- T לפי בסיס זה, בהתאמה אז a ij = a ji הוכחה a ij היא הקואורדינטה ה- i בפיתוח של הווקטור T ε j כצירוף לינארי של n (ε 1,, ε לכן i a ij = T ε j, ε באותו אופן, i a ij = T ε j, ε אבל a ij = T ε j, ε i = ε j, T ε i = T ε i, ε j = a ji כנדרש נשים לב שאם ;A = A t,f = R אם A = A t,f = C טענה :57 אם V ממ"פ מעל C ולכל α V מתקיים = 0 α, T α, אז = 0 T הוכחה נניח שלכל, T α, α = 0 α ונוכיח שלכל T α, β = 0 α, β T מכאן ינבע ש- 0 = T 0 = T (α + β, α + β = T α + T β, α + β = T α, α + T α, β + T β, α + T β, β = T α, β + T β, α = 0 32

33 3 מרחבי מכפלה פנימית 39 טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית במקביל: 0 = T (α + iβ, α + iβ = T α + it β, α + iβ = T α, α + T α, iβ + it β, α + it β, iβ = T α, iβ + it β, α = 0 = T α, β T β, α = 0 נחבר את המשוואות ונקבל = 0 β T α, משפט :58 אם V,a F,T, S hom(v, S (T + S = T + א at (at = ב T (T S = S ג ד (T = T T T העתקה חח"ע מ-( hom(v, V על V hom(v, ה א לכל (T + Sα, β = α, (T + S β,α, β V במקביל, הוכחה T α + Sα, β = T α, β + Sα, β = α, T β + α, S β = α, T β + S β כלומר, לכל, α, (T + S β = α, T β + S β α ולכן לכל β מתקיים, כנדרש, (T + S β = (T + S β ב יהיו α, β V אז β at α, β = α, (at מצד שני, = β at α, β = a T α, (at = at לכן,α, β V זה נכון לכל a α, T β = α, at β ג יהיו α, β V אז β T Sα, β = α, (T S במקביל, = β T Sα, β = T (Sα, α, (T S β = α, S T β לכן בסך-הכל Sα, T β = α, S (T β ד הוכח כבר ה חח"ע אם S T = אז (S,(T = ולפי ד, ;T = S לכן זו העתקה חח"ע בנוסף, זוהי העתקה על: תהי V T hom(v, אז (T T = כלומר, לכל T יש מקור 392 טרנספורמציות צמודות לעצמן טרנספורמציה צמודה לעצמה הגדרה T תיקרא צמודה לעצמה אם T T = (לכל ( T α, β = α, T β α, β V טרנספורמציה סימטרית טרנספורמציה הרמיטית ט"ל צמודה לעצמה מעל R נקראת טרנספורמציה סימטרית ט"ל צמודה לעצמה מעל C נקראת טרנספורמציה הרמיטית דוגמה הט"ל הצמודה ל- 0 היא 0; הט"ל הצמודה ל- I היא I לכן אלה ט"ל צמודות לעצמן 33

34 39 טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית 3 מרחבי מכפלה פנימית אם נעבור למטריצות ונניח שהבסיס הנבחר הוא אורתונורמלי, אם T צמודה לעצמה והמטריצה שלה לפי בסיס זה היא,A אז A A = כלומר, אם ij,a = (a אז לכל a ji = a ij i, j אם,F = R המטריצה סימטרית ij (a ji = a כלומר, T סימטרית אם"ם A סימטרית אם T,F = C הרמיטית אם"ם לכל,a ij = a ji i, j ומטריצה כזו תכונה מטריצה הרמיטית נשים T T i לב שבמטריצה הרמיטית כל איברי האלכסון חייבים להיות ממשיים טענה :59 כל ט"ל T היא מהצורה T 1 + it 2 כאשר T 1 ו- T 2 הרמיטיות C (F = הוכחה T T + היא הרמיטית: T (T + T = T + T = T + T T אינה בהכרח הרמיטית: T (T T = T T = (T אבל ( T T = T T הרמיטית: ;T 2 = T T 2i i i i 2 = T +T = T T i,t 1 = T +T 2 T = T +T +i( T T נסמן 2 + i T T 2i כעת: שתיהן הרמיטיות, ו- T = T 1 + it 2 טענה :60 אם T צמודה לעצמה ולכל α מתקיים = 0 α, T α, אז = 0 T הוכחה ב- C, זה נכון תמיד; נוכיח לגבי R נראה שלכל T α, β = 0 α, β V לכל T (α + β, α + β = 0 = T α, β + T β, α = 0,α, β לכן + β T α, = 0 α β, T α = T α, β + β, T המכפלה הסקאלארית סימטרית מעל,R ולכן נקבל = 0 β T α, β + T α, מכאן, = 0 β, T α, כנדרש משפט :61 יהי V מרחב אוניטרי 18 ו- T ט"ל T הרמיטית אם"ם לכל T α, α R α V הוכחה אם T צמודה לעצמה,,α V נקבל α T α, α = α, T α = α, T α = T α, המספר שווה לצמוד לו, לכן הוא ממשי כעת נניח שלכל T α, α α V ממשי מכיוון שכך, = 0 α ; T α, α T α, נקבל (T T α, α = T α, α T α, α = T α, α α, T α = T α, α T α, α = 0 לכן לכל, (T T α, α = 0 α ומטענה קודמת = 0 T T כלומר, T T = 393 טרנספורמציות אנטי סימטריות ואנטי הרמיטיות הגדרה T נקראת אנטי-סימטרית (מעל R או אנטי-הרמיטית (מעל C אם T = T טרנספורמציה אנטי-סימטרית/הרמ המטריצה של טרנספורמציה אנטי-סימטרית או אנטי-הרמיטית היא אנטי-סימטרית או אנטי-הרמיטית, בהתאמה ( ( היא מטריצה אנטי-הרמיטית 0 3+4i 0 1 היא מטריצה אנטי-סימטרית; 4i 3 0 דוגמה כזכור, הכוונה לממ"פ מעל C 34

35 3 מרחבי מכפלה פנימית 39 טרנספורמציות לינאריות במרחבי מכפלה פנימית טענה 62: במטריצה אנטי-סימטרית יש באלכסון רק אפסים 394 טרנספורמציות אורתוגונליות ואוניטריות רנספורמציה אוניטרית/אורתוגונלית הגדרה T נקראת אוניטרית אם היא שומרת על המכפלה הפנימית ( β T,α T β =,α טרנספורמציה אוניטרית מעל R נקראת אורתוגונלית T אוניטרית אם"ם היא שומרת על הנורמה (אורך של וקטורים משפט 63: התנאים הבאים שקולים: א T אוניטרית; ב T T = T T = I (כלומר, T ;(T 1 = ג T מעבירה כל בסיס א"נ לבסיס א"נ; ד T מעבירה בסיס א"נ כלשהו לבסיס א"נ הוכחה נניח ש- T אוניטרית אז לכל T α, T α = α, α α לכן = α T α, T α = α, T T α α, מכאן, = 0 α, α, T T α α, לכן = 0 Iα α, (T T זה נכון לכל α מכיוון ש- I T T צמודה לעצמה, לפי טענה קודמת = 0 I,T T ולכן T T T = I ט"ל ממרחב סוף-מימדי לעצמו, לכן נובע ש- T הפיכה ו- 1 T T = לכן גם,T T = I נניח שב נכון אז T T = T T = I יהי n (ε 1,, ε בסיס א"נ, ונוכיח ש-( (T ε 1,, T ε n גם הוא בסיס א"נ T ε i, T ε j = ε i, T T ε j = ε i, Iε j = ε i, ε j = δ ij לכן התמונה היא בסיס א"נ באופן טריוויאלי, ג גורר את ד נראה שד גורר את א וסיימנו יהי n ε 1,, ε בסיס א"נ אשר T מעבירה לבסיס א"נ נראה שלכל T α, T β = α, β α, β,β = b 1 ε b n ε n T α = a 1 T ε a n T ε n אז,α = a 1 ε a n ε n אז T β = b 1 T ε b n T ε n על-פי טענה קודמת, α, β = a 1 b a n b n מכיוון שגם n (T ε 1,, T ε בסיס א"נ, גם T α, T β = a 1 b a n b n לכן מתקיים השוויון מטריצה אוניטרית/אורתוגונלית הגדרה מטריצה ריבועית מעל C (מעל R נקראת אוניטרית (אורתוגונלית אם A A = I תנאי זה שקול לכך ש- I,AA = לכן מקבלים שכל מטריצה אוניטרית (אורתוגונלית היא הפיכה מסקנה 64: אם A מייצגת את T ביחס לבסיס א"נ מסויים, אז T אוניטרית (אורתוגונלית אם"ם A אוניטרית (אורתוגונלית מסקנה 65: A מטריצה אוניטרית (אורתוגונלית אם"ם קיים ממ"פ V מעל F כך ש- A מטריצת המעבר בין בסיסים א"נ מסקנה 66: A אוניטרית אם"ם שורותיה הן בסיס א"נ של F n עם המ"פ הסטנדרטית וכן אם"ם עמודותיה בסיס א"נ ל- F n 35

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( ) 9. חשבון אינטגרלי. עד כה עסקנו בבעיות של מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה. נשאלת השאלה בהינתן נגזרת האם נוכל למצוא את הפונקציה המקורית (הפונקציה שנגזרתה נתונה)? זוהי שאלה קשה יותר, חשבון אינטגרלי דן בבעיה

Διαβάστε περισσότερα

מושגים: קשיר. o בעל 1 קשתות בדיוק.

מושגים: קשיר. o בעל 1 קשתות בדיוק. 1 גרפים / חזרה כללית: סיכומים למבחן בקורס אלגוריתמים סמסטר א' 2008-9 (פרופ' מיכה שריר) מושגים: גרף: גרף,, V קבוצת קודקודים, קבוצת קשתות. מכוון: הקשתות הן זוגות סדורים, לא מכוון: הקשתות הן קבוצה בת שני

Διαβάστε περισσότερα

מבוא ונוסחאות עיקריות לתרגיל כיתה מספר 5. בתרגול מספר 4 הוסבר שכאשר גוף נמצא בתוך מערכת המאיצה בתאוצה, a r system החוק F מייצג כוחות אמיתיים בלבד).

מבוא ונוסחאות עיקריות לתרגיל כיתה מספר 5. בתרגול מספר 4 הוסבר שכאשר גוף נמצא בתוך מערכת המאיצה בתאוצה, a r system החוק F מייצג כוחות אמיתיים בלבד). כח דלמבר במערכת מסתובבת : מבוא ונוסחאות עיקריות לתרגיל כיתה מספר 5 בתרגול מספר 4 הוסבר שכאשר גוף נמצא בתוך מערכת המאיצה בתאוצה, a system החוק F F מייצג כוחות אמיתיים בלבד). השני של ניוטון = ma body לא

Διαβάστε περισσότερα

מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת. Query Optimization ארכיטקטורה של אופטימייזר (המשך) סיבוכיות נתו נים Data Complexity

מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת. Query Optimization ארכיטקטורה של אופטימייזר (המשך) סיבוכיות נתו נים Data Complexity אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת Query Optimization מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? נתונה שאילתה בגודל m, מהו גודל התוצאה? לדוגמה: יחס n R(A) ומסד נ ת ונים בגודל עם 2 שורות, שבא חת מהן יש את הע רך 0 ובשניה יש א ת

Διαβάστε περισσότερα

Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers".

Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers. Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers". The purpose of the course "Statistics for Managers" is to get familiar with the basic concepts required for statistical reasoning: Types of Analyses,

Διαβάστε περισσότερα

יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם

יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם בס"ד יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם עבודת מסכמת זו הוגשה כחלק מהדרישות לקבלת תואר "מוסמך למדעים" M.Sc. במדעי המחשב באוניברסיטה הפתוחה החטיבה למדעי המחשב

Διαβάστε περισσότερα

HLM H L M טבלת עומסים לעוגן בודד (בטון ב- 30 )

HLM H L M טבלת עומסים לעוגן בודד (בטון ב- 30 ) HM HM מאפיינים טכנולוגיה: עוגן נקבה סוג פלדה העוגן נקבה: Cold Formed steel D62 סוג פלדה הבורג :. Steel f uk = 0 N/mm 2 ; f yk = 6 N/mm 2 גלוון: 5µ Zn HM Bolt HM Eye European Approval ETA01/00 ETAG001 option

Διαβάστε περισσότερα

אך ורק בהתפשטות חכמת הקבלה ברוב עם נזכה ל אולה השלמה Â È ÌÏÂÒ ÏÚ Ï

אך ורק בהתפשטות חכמת הקבלה ברוב עם נזכה ל אולה השלמה Â È ÌÏÂÒ ÏÚ Ï אך ורק בהתפשטות חכמת הקבלה ברוב עם נזכה ל אולה השלמה Â È ÌÏÂÒ ÏÚ Ï Ò כולנו יחד - מתחברים לטוב יליון מסß אר ון קבלה לעם תשרי תשע א ספטמבר ± מחג לחג: יומן מסע פנימי חינוך עמß עמß µ מהי קבלה? עמß עמß הנה

Διαβάστε περισσότερα

ריבוי אלחוטית בהעדר קו ראייה, הקדמה:? היתרון של ריבוי וגיוון ערוצים מה משוואת תקשורת בלי קו ראייה פיתוח. וגיוון ערוצים Diversity and Selective MIMO

ריבוי אלחוטית בהעדר קו ראייה, הקדמה:? היתרון של ריבוי וגיוון ערוצים מה משוואת תקשורת בלי קו ראייה פיתוח. וגיוון ערוצים Diversity and Selective MIMO אנטנות בתקשורת אלחוטית וגיוון ריבוי עניינים תוכן אלחוטית בהעדר קו ראייה, תקשורת הקדמה:? היתרון של ריבוי וגיוון ערוצים מה (LOS) (NLOS) משוואת תקשורת עם קו ראייה פיתוח משוואת תקשורת בלי קו ראייה פיתוח של

Διαβάστε περισσότερα

1. התכונות המכניות של הבטון והפלדה*

1. התכונות המכניות של הבטון והפלדה* 1. התכונות המכניות של הבטון והפלדה* מבוא 1.1 התכונות המכניות של החומרים המרכיבים את הבטון המזוין, ובעיקר הבטון על כל מרכיביו, הינם נושא רחב ומורכב ומהווה התמחות בפני עצמה. ספרות רחבה ביותר קיימת על הנושא

Διαβάστε περισσότερα

 ËÈÒ ÈappleÂ Ï È ËÓÂÎÈÒÙ ÒÈappleÎ appleèá Î ÂÁ ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá

 ËÈÒ ÈappleÂ Ï È ËÓÂÎÈÒÙ ÒÈappleÎ appleèá Î ÂÁ ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá 77 ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá Æ ÈÂÙˆ appleèá ÌÎÈÚÂˆÈ Ó ÂÓ Ï ÌÎÏ Ù Ó ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá ÌÎÈappleÙÏ ÆÔÓÊ ÂÏ Ó ÏÚ Â Ó ÆÌ ÂappleÁ È ÌÈ apple Ï Ù ÏÎÎ ÌÈÓ ÌÈ apple appleèá ÂÏ Â ÙÏ ÂÏ Æ ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לאקונומטריקה ב' החוג לכלכלה [1]

מבוא לאקונומטריקה ב' החוג לכלכלה [1] מבוא לאקונומטריקה ב' החוג לכלכלה [] תוכן עניינים מבחני ספציפיקציה- מבחן LM (כופלי לגרנג')... 4 טעויות ספציפיקציה... ) הוספת משתנה לא רלוונטי.... ) השמטת משתנה רלוונטי... מולטיקוליניאריות... 4 ) מולטיקוליניאריות

Διαβάστε περισσότερα

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית דצמבר 0 ת וכן עניינים מועד דצמבר 0 חשיבה מילולית מטלת כתיבה... חשיבה מילולית פרק ראשון... חשיבה מילולית פרק שני... חשיבה כמותית פרק ראשון... 0 חשיבה כמותית פרק שני... אנגלית

Διαβάστε περισσότερα

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית פברואר 00 כל הזכויות שמורות למרכז ארצי לבחינות ולהערכה )ע"ר( אין להעתיק או להפיץ בחינה זו או קטעים ממנה בכל צורה ובכל אמצעי, או ללמדה - כולה או חלקים ממנה - בלא אישור בכתב

Διαβάστε περισσότερα

Coaching for psychomotor Empowerment Coach ME

Coaching for psychomotor Empowerment Coach ME ד"ר אורלי יזדי-עוגב המרכז לקידום השליטה המוטורית ותפקודי למידה ; 050-5382160050-6930972 נייד : 04 -רח' הדקל 10 חדרה 38220 טלפקס: 6344476 ; אתר: ; yazdi@macam.98.ac.il ; y_orly@netvision.net.il אלקטרוני:דואר

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Nasal Septal Perforation Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use

Blom-Singer Nasal Septal Perforation Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use Blom-Singer Nasal Septal Perforation Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use R5 37805-05B נכנס לתוקף במרץ 37805-05B Effective March 2015 / Σε ισχύ από το Μάρτιο 2015 / 2015 Blom-Singer is

Διαβάστε περισσότερα

ISRAEL AMATEUR RADIO CLUB MAGAZINE תחרות WFF שידורים דיגיטאליים ועוד, ועוד... גיליון 392 פברואר 2010

ISRAEL AMATEUR RADIO CLUB MAGAZINE תחרות WFF שידורים דיגיטאליים ועוד, ועוד... גיליון 392 פברואר 2010 ביטאון אגודת חובבי הרדיו בישראל ISRAEL AMATEUR RADIO CLUB MAGAZINE גיליון 392 פברואר 2010 בגיליון: תורן השידור בברלין תחרות WFF לוויינים שידורים דיגיטאליים ועוד, ועוד... הכל על הכל - מידעון לחובבי הרדיו

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

K K 1 2 1 K M N M(2 N 1) K K K K K f f(x 1, x 2,..., x K ) = K f xk (x k ), x 1, x 2,..., x K K K K f Yk (y k x 1, x 2,..., x k ) k=1 M i, i = 1, 2 Xi n n Yi n Xn 1 Xn 2 ˆM i P (n) e = {( ˆM 1, ˆM2 )

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ

Διαβάστε περισσότερα

תוכן העניינים. The Talmudic discussion on building a porter's lodge and a door for the courtyard

תוכן העניינים. The Talmudic discussion on building a porter's lodge and a door for the courtyard אוקימתא מחקרים בספרות התלמודית והרבנית שנה א (תשע"ג) תוכן העניינים 1 25 71 93 105 133 195 243 293 319 369 421 שלמה גליקסברג מוטי ארד גלעד ששון אפרים בצלאל הלבני מנחם בן שלום שמא יהודה פרידמן רבין שושטרי

Διαβάστε περισσότερα

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ תירבע English Ελληνικά www.parrot.biz www.parrot.biz English Ελληνικά עברית 5 15 34 Warning : The manufacturer Parrot S.A. and it s affiliates should not be held

Διαβάστε περισσότερα

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1] 1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter

Διαβάστε περισσότερα

ילדים חיסונים חדשים לנגיף הרוטה שיטות האבחון החדשות לצליאק דלקות האוזן התיכונה הורמון גדילה: האם לטפל בילדים ללא חוסר בהורמון

ילדים חיסונים חדשים לנגיף הרוטה שיטות האבחון החדשות לצליאק דלקות האוזן התיכונה הורמון גדילה: האם לטפל בילדים ללא חוסר בהורמון ילדים רבעון בנושא רפואת ילדים מרץ - מאי 2007 גיליון מס' 2 חיסונים חדשים לנגיף הרוטה שיטות האבחון החדשות לצליאק דלקות האוזן התיכונה הורמון גדילה: האם לטפל בילדים ללא חוסר בהורמון מו"ל: שלמה בואנו עורכת:

Διαβάστε περισσότερα

אסתמה, אלרגיה ומחלות דרכי הנשימה Group

אסתמה, אלרגיה ומחלות דרכי הנשימה Group A Publication of The אסתמה, אלרגיה ומחלות דרכי הנשימה Group רבעון בנושא אלרגיה, אסתמה ומחלות דרכי הנשימה גיליון מס' 2 תזונת תינוקות-המלצות > דרכי הטיפול באמפיזמה תורשתית > COPD ואסתמה - המשיק והשונה >

Διαβάστε περισσότερα

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ תירבע English Ελληνικά www.parrot.biz www.parrot.biz English Ελληνικά עברית 5 17 38 Warning : The manufacturer Parrot S.A. and its affiliates should not be held

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Early Rabbinic Midrash Between Philo and Qumran. Texts

Early Rabbinic Midrash Between Philo and Qumran. Texts Early Rabbinic Midrash Between Philo and Qumran Texts 1. Ben Sira 51:23 (MS B): Turn aside to me, you untutored, and lodge in my house of study. 2. 1QS (Community Rule) 8.12-15: פנו אלי סכלים ולינו בבית

Διαβάστε περισσότερα

"רבי, מה אני לחיי העולם הבא"? מתוך דרשותיו של הרב אמנון יצחק שליט"א

רבי, מה אני לחיי העולם הבא? מתוך דרשותיו של הרב אמנון יצחק שליטא בס"ד 152 קובץ שבועי בעניני יהדות מהוצאת להזמנת עלונים ולפרסום טל: 03-6762226 מופץ בכל הארץ ב- 90,000 עותקים "ו לא ת ח לּ לוּ א ת שׁ ם ק דשׁ י ו נ קדּ שׁ תּ י בּ תוֹ ך בּ נ י י שׂ רא ל א נ י ה' מ קדּ שׁ כ ם" "רבי, מה

Διαβάστε περισσότερα

LXX w/ Logos Morphology

LXX w/ Logos Morphology א דנ י י הו ה א ת ה ה ח ל ות ל ה רא ות Deut 3:24 א ת ע ב ד א ת ג דל ו א ת י ד ה ח ז ק ה א ש ר מ י א ל ב ש מ י ם וב א רץ א ש ר י ע ש ה כ מ ע ש י ו כ ג ב ו רת Deut 9:26 ו א ת פ ל ל א ל י הו ה ו א מ ר א דנ

Διαβάστε περισσότερα

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Showerguard

Blom-Singer Showerguard Blom-Singer Showerguard USER Instructions For Use R5 37728-05C 37728-05C Effective March 2014 Blom-Singer is a registered trademark in the United States of Hansa Medical Products. / InHealth Technologies

Διαβάστε περισσότερα

CD/MP3 Hands-free Receiver

CD/MP3 Hands-free Receiver CD/MP3 Hands-free Receiver RHYTHM N BLUE User manual For Bluetooth Mobile Phone ENG GRE P.3 P.15 HEB P.38 Warning The manufacturer Parrot S.A. and its affiliates should not be held liable towards end users

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

המרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון

המרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון פרופ' המרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון הפקולטה למדעי הטבע, המחלקה לכימיה ביולוגית חיים כהן,, טל. 03-9066623, פקס. 08-9200749, email:hcohen@ariel.ac.il דו"ח מסכם בדיקת היתכנות - קיבוע פסולות רדיואקטיביות

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

נוסחאות ונתונים בפיזיקה

נוסחאות ונתונים בפיזיקה מדינת ישראל משרד החינוך נוסחאות ונתונים בפיזיקה נספח לבחינות הבגרות ברמה של 5 יח"ל לשאלונים מס' 654,653,65,97553,97554,97555,98,3654,975,9753 )החל בקיץ תשס"ז( תוכן העניינים נוסחאות עמוד מכניקה אלקטרומגנטיות

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

Ἀβαδδών א ב ד ון Rev 9:11 ἀββα א ב א Mk 14:36 Rom 8:15 Gal 4:6. Ἅβελ ה ב ל Matt 23:35 Lk 11:51 Heb 11:4 Heb 12:24. Ἀβιὰ א ב י ה Matt 1:7 Lk 1:5

Ἀβαδδών א ב ד ון Rev 9:11 ἀββα א ב א Mk 14:36 Rom 8:15 Gal 4:6. Ἅβελ ה ב ל Matt 23:35 Lk 11:51 Heb 11:4 Heb 12:24. Ἀβιὰ א ב י ה Matt 1:7 Lk 1:5 Tabelle der lexikalischen Semitismen Einträge in [ ] bedeuten: semitische Verwendung des Wortes nur in aufgelisteten Stellen Table of Lexical Semitisms Entries in [ ] mean: Semitic usage of word only in

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ %"&'$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-

!#$ %&'$!&!(!)%*+, -$!!.!$(-#$&%- !"#$ %"&$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-.#/."0, .1%"("/+.!2$"/ 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 4.)!$"!$-(#&!- 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Διαβάστε περισσότερα

l 0 l 2 l 1 l 1 l 1 l 2 l 2 l 1 l p λ λ µ R N l 2 R N l 2 2 = N x i l p p R N l p N p = ( x i p ) 1 p i=1 l 2 l p p = 2 l p l 1 R N l 1 i=1 x 2 i 1 = N x i i=1 l p p p R N l 0 0 = {i x i 0} R

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

שיווק מכונות בע"מ מכשיר סימון נייד. מכשירים מבוקרי מומנט לסגירת ברגים עיתון לענף המתכת

שיווק מכונות בעמ מכשיר סימון נייד.  מכשירים מבוקרי מומנט לסגירת ברגים עיתון לענף המתכת גיליון מס 184 פברואר מרץ 25 2014, ש ח כולל מע מ עיתון לענף המתכת בהוצאת מירב-דסקלו הפקות בע מ עיבוד שבבי l עיבוד פח l יציקות תבניות l ריתוך l ציפוי וגימור מתכות וחומרים l תיב מ www.benygrinding.co.il 36

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim

Διαβάστε περισσότερα

החינוך וסביבו שנתון המכללה ל"ז

החינוך וסביבו שנתון המכללה לז החינוך וסביבו שנתון המכללה ל"ז תשע"ה 2015 1 החינוך וסביבו כרך ל ז, תשע ה - 2015 עורכת: ד ר אסתי אדיבי-שושן מערכת: פרופ נמרוד אלוני פרופ ליאורה גביעון ד ר חיים חיון ד ר מעין מזור פרופ דן סואן פרופ אלי צור

Διαβάστε περισσότερα

ÌÈÁÏÂ ÊÂÁ ÂÓÈ Â ÌÈÎÙ ÏÂÙÈËÏ Î ÚÓ È Ú È ÙÎ Ê Ó ÈÓÂ Ó Â Ï Á

ÌÈÁÏÂ ÊÂÁ ÂÓÈ Â ÌÈÎÙ ÏÂÙÈËÏ Î ÚÓ È Ú È ÙÎ Ê Ó ÈÓÂ Ó Â Ï Á Ï È ÁÏ ÌÈÏ Â È ÔÂÎÓ המרכז למדיניות סביבתית מייסודה של קרן צ'רלס ה' רבסון ÌÈÁÏÂ ÊÂÁ ÂÓÈ Â ÌÈÎÙ ÏÂÙÈËÏ Î ÚÓ È Ú È ÙÎ Ê Ó ÈÓÂ Ó Â Ï Á ÏÂÚÙ Â ÏÂ Èapple Ï ÂÓ Ô È ÏÏ Ú Á Ò Ì ÒÈÚ תשס"ז 2007 פרסומי המרכז למדיניות

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Adjustable Bi Flanged Fistula Prosthesis

Blom-Singer Adjustable Bi Flanged Fistula Prosthesis Blom-Singer Adjustable Bi Flanged Fistula Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use R5 37742-05B / 2016 ראונימ ףקותב / 2016 37742-05B Effective January Με ισχύ από τον Ιανουάριο του 2016 Blom-Singer

Διαβάστε περισσότερα

Ó³ Ÿ , º 7(156).. 62Ä69. Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ. .. ŠÊ²Ö μ 1,. ƒ. ²ÓÖ μ 2. μ ± Ê É É Ê Ò μ μ, Œμ ±

Ó³ Ÿ , º 7(156).. 62Ä69. Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ. .. ŠÊ²Ö μ 1,. ƒ. ²ÓÖ μ 2. μ ± Ê É É Ê Ò μ μ, Œμ ± Ó³ Ÿ. 009.. 6, º 7(156.. 6Ä69 Š Œ œ ƒˆˆ ˆ ˆŠ ˆŒ ˆ - ˆ ƒ ˆ ˆ ˆŸ Š -Œ ˆ Šˆ ˆ.. ŠÊ²Ö μ 1,. ƒ. ²ÓÖ μ μ ± Ê É É Ê Ò μ μ, Œμ ± É ÉÓ μ Ò ÕÉ Ö ²μ Í Ò - μ Ò ² É Ö ³ ÖÉÓ Ì ÒÎ ² ÖÌ, μ²ó ÊÕÐ Ì ±μ ± 4- μ Ò. This paper

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Showerguard

Blom-Singer Showerguard Blom-Singer Showerguard USER Instructions For Use R5 37728-05D / 2016 ראונימ ףקותב / 2016 37728-05D Effective January Με ισχύ από τον Ιανουάριο του 2016 Blom-Singer and InHealth Technologies are registered

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

wayücaw et- ášer `al-bêtô lë mör mallë et- amtühöt hä ánäšîm öºkel Ka ášer yûklûn Sü ët wüsîm Ke sep- îš Büpî amtahtô

wayücaw et- ášer `al-bêtô lë mör mallë et- amtühöt hä ánäšîm öºkel Ka ášer yûklûn Sü ët wüsîm Ke sep- îš Büpî amtahtô GENESIS 44 1 And he commanded the steward of his house, saying: 'Fill the men's sacks with food, as much as they can carry, and put every man's money in his sack's mouth. 1 ויצו את אשר על ביתו לאמר מלא

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία

Διαβάστε περισσότερα

"מנהיגות פדגוגית בישראל" הערכה וניבוי של הישגי תלמידים דו"ח מסכם עבור מכון "אבני ראשה"

מנהיגות פדגוגית בישראל הערכה וניבוי של הישגי תלמידים דוח מסכם עבור מכון אבני ראשה מטרות המחקר מטרת המחקר "מנהיגות פדגוגית בישראל" הערכה וניבוי של הישגי תלמידים דו"ח מסכם עבור מכון "אבני ראשה" פרופ' שאול אורג וד"ר יאיר ברזון הייתה לבדוק את הקשר בין מנהיגות מדד של "מנהיגות פדגוגית בישראל"

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Exodus 20:1-4, 7-9, (rcl Year a, Proper 22) LXX Vulgate MT. καὶ ο«σα ε ν τοι^ς υ«δασιν υ ποκα' τω τη^ς γη^ς.

Exodus 20:1-4, 7-9, (rcl Year a, Proper 22) LXX Vulgate MT. καὶ ο«σα ε ν τοι^ς υ«δασιν υ ποκα' τω τη^ς γη^ς. Exodus 20:1-4, 7-9, 12-20 (rcl Year a, Proper 22) 20:1 Καὶ ε λα' λησεν κυ' ριος πα' ντας τοὺς λο' γους του' τους λε'γων 20:2 Εγω' ει μι κυ' ριος ο θεο' ς σου, ο«στις ε ξη' γαγο' ν σε ε κ γη^ς Αι γυ' πτου

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 22 Φεβρουαρίου 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1)

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1) α.. Άξονας Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i 1). Ο i I Οι ημιευθείες Ο και O λέγονται αντίστοιχα θετικός ημιάξονας και αρνητικός

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα Σκοποί ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Βιοπληροφορική. Ενότητα 10: Κατασκευή φυλογενετικών δέντρων

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Βιοπληροφορική. Ενότητα 10: Κατασκευή φυλογενετικών δέντρων Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Βιοπληροφορική Ενότητα 10: Κατασκευή φυλογενετικών δέντρων Αν. καθηγητής Αγγελίδης Παντελής e-mail: paggelidis@uowm.gr ΕΕΔΙΠ Μπέλλου Σοφία e-mail: sbellou@uowm.gr

Διαβάστε περισσότερα

טונוס : Modified Ashworth Scale. Associated Reaction Rating Scale תחושה: Fugl -Meyer Assessment of the Upper extremity

טונוס : Modified Ashworth Scale. Associated Reaction Rating Scale תחושה: Fugl -Meyer Assessment of the Upper extremity כלי ערכת מדידה בטיפול באדם פגיעה עם נוירולוגית פברואר תוכן עניינים 8 7 8 6 7 8 9 6 מבוא לשימוש בכלי מדידה ליקויים פיזיקליים - Functions Body Structures and תנועות אקטיביות: טופס הערכת תנועות אקטיביות טונוס

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος X X X ), όπου X ~ N (,) και όλα τα X μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε ( ) (,, ) (, )

Διαβάστε περισσότερα

wayühî ahárê haddübärîm hä ëºllè wayyöº mer lüyôsëp hinnë äbîºkä Hölè wayyiqqah et-šünê bänäyw `immô et-münaššè wü et- epräºyim

wayühî ahárê haddübärîm hä ëºllè wayyöº mer lüyôsëp hinnë äbîºkä Hölè wayyiqqah et-šünê bänäyw `immô et-münaššè wü et- epräºyim GENESIS 48 1 And it came to pass after these things, that one said to Joseph: 'Behold, thy father is sick.' And he took with him his two sons, Manasseh and Ephraim. 1 ויהי אחרי הדברים האלה ויאמר ליוסף

Διαβάστε περισσότερα

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )

,, #,#, %&'(($#(#)&*& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) !! "#$%&'%( (%)###**#+!"#$ ',##-.#,,, #,#, /01('/01/'#!2#! %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) 6###+! 4! 4! 4,*!47! 4! (! 8!9%,,#!41! 4! (! 4!5),!(8! 4! (! :!;!(7! (! 4! 4!!8! (! 8! 4!!8(!44!

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

Hands-free Car Kit. Parrot 3200 LS-COLOR PLUS User manual. For Bluetooth Mobile Phone P.3 ENG HEB

Hands-free Car Kit. Parrot 3200 LS-COLOR PLUS User manual. For Bluetooth Mobile Phone P.3 ENG HEB Hands-free Car Kit Parrot 3200 LS-COLOR PLUS User manual For Bluetooth Mobile Phone ENG HEB P.3 Parrot 3200 LS-COLOR PLUS English עברית Ελληνικά......... 07-20 34-21 35-48 www.parrot.com GENERAL INFORMATION

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 )

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 ) Εστω X : Ω R d τυχαίο διάνυσμα με ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ X Εχουμε δει ότι η γνώση της κατανομής καθεμιάς από τις X, X,, X d δεν αρκεί για να προσδιορίσουμε την κατανομή του X, αφού δεν περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

BDC = α AM BD AMD. . BAM = 90 α M C

BDC = α AM BD AMD. . BAM = 90 α M C דוגמאותלשאלותבגאומטרייה כוללהצעותשונותלדרכיפתרון שאלות 1,2,3 מתאימיםלשלישהראשוןשלכיתהח', יתר השאלותמתאימות לשלישהשלישישלכיתהח' E במשולש. נקודהעלהצלע במשולש, נקודהעלהצלע E נמקומדועמשולש דומהלמשולשE E 1

Διαβάστε περισσότερα

&,'-- #-" > #'$,"/'3&)##3!0'0#!0#/# 0'0';&'"$8 ''#"&$'!&0-##-""#;-# B

&,'-- #- > #'$,/'3&)##3!0'0#!0#/# 0'0';&'$8 ''#&$'!&0-##-#;-# B !"#"# $%"&$' ('#')#''$# * +,-""&$'.-,-"#!&"!##/'#')#''$# ** '$#/0'!0#'&!0"#"/#0"## * 1--'/''00#&'232232223#24 *5 ##-'"-&1-$6'#76#!$#0"$8&9-1$" * '$#&$'!&&1:"-#;6"/'-#

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81

MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 We know that KA = A If A is n th Order 3AB =3 3 A. B = 27 1 3 = 81 3 2. If A= 2 1 0 0 2 1 then

Διαβάστε περισσότερα

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

a και ( ) a11 a12 με απλή εφαρμογή του ορισμού του αντίστροφου πίνακα [Κεφάλαιο 2] διαπιστώνουμε

a και ( ) a11 a12 με απλή εφαρμογή του ορισμού του αντίστροφου πίνακα [Κεφάλαιο 2] διαπιστώνουμε ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 3 Εισαγωγή Θεωρούμε δύο μη μηδενικά διανύσματα = ( α α) b = β β του επιπέδου Γνωρίζουμε ότι αν τα διανύσματα και b είναι μη συγγραμμικά τότε αληθεύει η συνεπαγωγή λ+ μb = 0 λ μ λ =

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες.

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. 1 Πίνακες Ορίζουσες Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. Παράδειγμα (χορήγηση Βαλασικλοβιρης (αντιυπερτασικό) σε νήπια) Ηλικία (μήνες) Μέσο Cmax (μg/ml) Μέσο βάρος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

Medi power (Overseas) Public Co. Limited

Medi power (Overseas) Public Co. Limited Medi power (Overseas) Public Co. Limited לכבוד הבורסה לניירות ערך רח' אחד העם 54 תל-אביב 65202 לכבוד רשות ניירות ערך רח' כנפי נשרים 22 ירושלים 95464 ניקוסיה, 24 יולי, 2011 ג.א.נ., הנדון: מדיפאואר (אוברסיז)

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός 1/8 Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.05: Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Sur les articles de Henri Poincaré SUR LA DYNAMIQUE. Le texte fondateur de la Relativité en langage scientiþque moderne. par Anatoly A.

Sur les articles de Henri Poincaré SUR LA DYNAMIQUE. Le texte fondateur de la Relativité en langage scientiþque moderne. par Anatoly A. Sur les articles de Henri Poincaré SUR LA DYNAMIQUE DE L ÉLECTRON Le texte fondateur de la Relativité en langage scientiþque moderne par Anatoly A. LOGUNOV Directeur de l'institut de Physique des Hautes

Διαβάστε περισσότερα