Proizvoljno opterećenje tijela može zahtijevati složenu analizu naprezanja i deformacija,

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Proizvoljno opterećenje tijela može zahtijevati složenu analizu naprezanja i deformacija,"

Transcript

1 1. Osnove čvrstoće 1.1. Pojam i vrste opterećenja Nauka o čvrstoći proučava utjecaj vanjskih sila i momenata na ponašanje čvrstih (realnih) tijela. Djelovanje vanjskih sila i momenata na tijelo naziva se opterećenje. Proizvoljno opterećenje tijela može zahtijevati složenu analizu naprezanja i deformacija, stoga se opterećenja svode na osnovna opterećenja, a tijelo koje se promatra je štap sa svojom uzdužnom osi koja je ujedno i njegova težišna os. Ovisno o tome kako opterećenje djeluje u odnosu na os štapa postoje ove osnovne vrste opterećenja: 1. osno ili aksijalno opterećenje: djeluje u osi štapa; Sl opterećenje na odrez ili smično: djeluje okomito na os štapa i želi ga prerezati; Sl

2 1. Osnove čvrstoće 3. opterećenje na savijanje ili fleksija: zakretanjem oko osi x nastaje savijanje štapa; 4. opterećenje na uvijanje ili torzija: zakretanjem oko uzdužne osi štapa u suprotnim smjerovima nastaje uvijanje (sukanje) štapa; 5. opterećenje na izvijanje: Sl Sl Sl pri sabijanju dugačkih štapova male površine presjeka u odnosu na njegovu dužinu nastaje izvijanje. Navedene vrste opterećenja mogu se pojaviti u trima oblicima: a) statičkom ili mirnom; b) dinamičkom jednosmjernom obliku ili pulsiranju; c) dinamičkom dvosmjernom obliku ili osciliranju. Statičko ili mirno opterećenje nastaje kada sile ili momenti tijekom vremena zadržavaju svoju veličinu pa je: F = konst. M = konst. U dijagramu: opterećenje (F, M) vrijeme ( t ) (sl. 1.6) predstavljeno je ravnom crtom. Sl Statičko ili mirno opterećenje 4

3 1.1. Pojam i vrste opterećenja Takvo opterećenje materijali najlakše podnose, pa ono može biti za 1/3 veće od dinamičkog jednosmjernog i 2/3 oddinamički dvosmjernog opterećenja. Primjer statičkog opterećenja su različiti prednaponi: kao opterećenje postolja stroja uslijed vlastite težine, opterećenje osovine prikolice zbog vlastite težine prikolice, sabijena opruga amortizera itd. Dinamičko jednosmjerno opterećenje ili pulsiranje tijekom vremena mijenja veličinu, a zadržava isti smjer: F =konst. M =konst. smjer + ili = konst. Iz dijagrama: opterećenje vrijeme vidi se da opterećenje koleba izmedu - minimalne i maksimalne vrijednosti, a smjer je ostao pozitivan (sl. 1.7). Sl Prikazano je dinamički jednosmjerno opterećenje: a) neprekidno, b) periodično. Pulsiranje materijali težepodnose, paonoiznosi 2/3 statičkogopterećenja. Primjer neprekidnog pulsiranja je opterećenje vratila stepenastog mjenjača koje rotira uvijek u jednom smjeru. Primjer periodičnog pulsiranja je uže ili lanac pri dizanju tereta u radnim ciklusima. Dinamičkodvosmjernoopterećenjeili osciliranje tijekom vremena mijenja veličinu i smjer: F =konst. M =konst. smjer + ili = konst. Promjena veličine i smjera opterećenja vidi se iz dijagrama na slici 1.8. Oscilatorno opterećenje je najnepovoljnije, jer najviše zamara materijal, pa on može podnijeti svega 1/ 3 veličine statičkog opterećenja. 5

4 1. Osnove čvrstoće Sl Dinamički dvosmjerno opterećenje To je tipično opterećenje lisnatih i zavojnih torzijskih opruga, vitalnih dijelova strojeva i uredaja - pri radu, dijelova motora s unutarnjim izgaranjem itd Pojam i vrste naprezanja Štap na slici 1.9 opterećen je vlačnim silama + F i F. Sl Štap opterećen aksijalnim vlačnim opterećenjem normalno naprezanje σ Uslijed opterećenja ± F štapa (sl. 1.9a)) javit će se unutar štapa unutarnja sila F n kao reakcija na vanjsko opterećenje. Unutarnja sila F n drži u statičkom smislu ravnotežu s vanjskom silom F (sl. 1.9b)) pa je: F = F n. 6

5 1.2. Pojam i vrste naprezanja Maksimalna veličina sile F n jednaka je veličini kohezijskih sila izmedu - atoma i molekula materijala štapa. U slučaju da vanjske sile nadvladaju unutarnje (koheziju), tj. kada je veličina F > F n, doći će do deformacije ili loma štapa na najslabijem mjestu poprečnog presjeka A. Smisao je čvrstoće da se uspostavi ravnoteža vanjskih i unutarnjih sila i da ne dode - do trajne deformacije (loma). Vanjske sile opterećuju štap, a unutarnje vrše naprezanje u materijalu štapa. Ako se zamisli da se unutarnja sila F n jednakomjerno rasporedila po površini poprečnog presjeka A, čija se veličina matematički može izraziti kvocijentom F n A, dobije se naprezanje štapa (sl. 1.9b)). Kod aksijalnog opterećenja naprezanje je okomito (normalno) na površinu presjeka A (sl. 1.9c)) i označava se grčkim slovom σ (sigma). Kako je veličina sila F n = F, stoga je konačan izraz aksijalnog ili normalnog naprezanja: σ = F A. Jedinica za naprezanje proizlazi iz jednadžbe naprezanja: σ = 1N 1mm 2 = 1 MPa (megapaskal) 1MPa= 10 6 Pa (paskal), 1Pa= 1 N m 2. Ukoliko vanjske sile djeluju okomito na os štapa i žele ga prerezati (sl. 1.10a)) javit će se unutarnja sila F n koja je paralelna s poprečnim presjekom A. Podjelom unutarnje sile s površinom poprečnog presjeka dobije se tangencijalno naprezanje štapa (sl. 1.10b)), koje se označava grčkim slovom τ (tau): τ = F n A = F /MPa/. A Tangencijalno naprezanje τ leži u ravnini poprečnog presjeka (sl. 1.10c)): 7

6 1. Osnove čvrstoće Sažetak Sl Štap opterećen smičnim opterećenjem tangencijalno naprezanje τ Vanjske sile i momenti vrše opterećenje štapa. Sile u štapu su unutarnje sile. Javljaju se kao reakcija na vanjske i predstavljaju kohezijsku silu materijala štapa. Unutarnje sile vrše naprezanje štapa. Naprezanje je kvocijent izme - du unutarnje sile i površine poprečnog presjeka. Kod normalnog naprezanja unutarnja je sila okomita na površinu poprečnog presjeka: σ = F / / N ili MPa F A. A mm2 Kod tangencijalnog naprezanja unutarnja sila je paralelna s površinom poprečnog presjeka: σ = F / / N ili MPa F A. A mm2 8

7 1.3. Pojam čvrstoće i deformacije U skladu s opterećenjem u štapu javit će se sljedeća vrsta naprezanja: 1. normalno ili aksijalno (vlačno i tlačno), 2. tangencijalno ili smično (odrez). Pri ostalim opterećenjima javljaju se kombinacije normalnog i tangencijalnog naprezanja pa treba rabiti terminologiju: naprezanje pri savijanju σ s ; naprezanje pri uvijanju σ u ; naprezanje pri izvijanju σ i Pojam čvrstoće i deformacije Štap početne duljine l 0 i poprečnog presjeka A 0 na gornjem kraju je učvršćen, a na donjem opterećen silom F (sl. 1.11a)) te se isteže. Vrijednost sile F tijekom vremena raste i mjeri se, tako da je u svakom trenutku vremena poznata veličina opterećenja štapa. Uslijed opterećenja štap će se u nekom vremenu t za vrijednost sile F t produljiti za odredenu - veličinu Δl,kojasetakoder - mjeri pa se točno zna njezina veličina za vrijednost sile (sl. 1.11b)). Produljenje štapa Δl /mm/ naziva se apsolutno produljenje. Opterećenje štapa i u skladu s njim produljenje, traje sve do njegovog loma. Opisani pokus može se prikazati dijagramom opterećenje F /N/ apsolutno produljenje Δl /mm/ (slika 1.12). U njemu su označene točke koje imaju sljedeće značenje: O početak opterećenja; T granica tečenja; M maksimalno opterećenje; L lom štapa. Sl Vlačno opterećenje štapa rastućom silom F u tijeku vremena t Sl Dijagram opterećenja F i apsolutnog produljenja Δl 9

8 1. Osnove čvrstoće Iz dijagrama F Δl vidi se da do točke T (granice tečenja) apsolutno produljenje raste puno sporije od opterećenja. Kada opterećenje dosegne vrijednost veću od unutarnjih kohezijskih sila u materijalu, dolazi do popuštanja pa će apsolutno produljenje od točke T do M rasti brže od porasta opterećenja. U točki M je opterećenje doseglo svoju najveću vrijednost F max, te nakon toga slijedi njegov pad do točke L kada će se štap i fizički razdvojiti (slomiti). Čvrstoća štapa odredena - je kvocijentom maksimalnog opterećenja i početne površine poprečnog presjeka štapa, a označava se velikim slovom R i indeksom m (R 1 m ) : R m = F / max N / A 0 mm 2. čvrstoća materijala = maksimalno opterećenje početna površina poprečnog presjeka Za primjenu materijala jako je važno znati njegovu čvrstoću na granici tečenja: R T = F / T N / A 0 mm 2, gdje je: / N / R T mm 2 čvrstoća na granici tečenja 2 ; F T / N/ opterećenje na granici tečenja; / mm 2 / početna površina poprečnog presjeka. A 0 Štap će u opisanom pokusu imati uzdužnu i poprečnu deformaciju. Uzdužna deformacija se očituje u njegovom produljenju početne dužine l 0 na neku konačnu l, za neku vrijednost Δl : Δl = l l 0 /mm/. U čvrstoći se uzdužna deformacija često izražava kao kvocijent apsolutnog produljenja i početne duljine, te naziva relativno produljenje: 1 ranija oznaka σ M 2 ranija oznaka σ R ε = Δl. l 0 10

9 1.3. Pojam čvrstoće i deformacije Relativno produljenje ε (epsilon) nema dimenzije, a može se izraziti postotkom: ε = Δl 100 %. l 0 Poprečna će se deformacija očitovati u smanjenju površine poprečnog presjeka. Početna površina A 0 će se smanjiti za vrijednost ΔA na konačnu površinu presjeka A : ΔA = A 0 A /mm 2 /. Vrijednost ΔA je apsolutno suženje poprečnog presjeka štapa. Konačno, površina presjeka A uzima se na mjestu prijeloma štapa. Poprečna deformacija može se izraziti kao relativna deformacija (relativno suženje ili kontrakcija): ε A = ΔA, A 0 ili u postotku: ε A = ΔA 100 %. A 0 Dužinske i poprečne deformacije mogu se javiti u elastičnom i plastičnom području dijagrama ispitivanja F Δl. Ta područja dijeli granica tečenja T, pa su sve deformacije od točke: O T elastične deformacije; T L plastične deformacije. Elastične i plastične deformacije prikazuje slika 1.13a) i b). Sl Elastična i plastična deformacija 11

10 1. Osnove čvrstoće Iz slika 1.13a) i b) slijedi: Kod elastične deformacije štap nakon rasterećenja poprima svoj prvobitan oblik i veličinu. Kod plastične deformacije štap nakon rasterećenja trajno mijenja oblik i veličinu. Elastični materijali će u dijagramu F Δl imati velik razmak izmedu - točaka O T (granice tečenja) i pogodni su za konstrukcije, npr., mostova, dizalica, brodova, naftnih i plinskih platformi, strojeva, prometala itd. Plastični materijali imaju kraći razmak od točke O do T, tj. granice tečenja, pa su pogodni za plastičnu obradu metala, kao kovanje, valjanje, duboko izvlačenje, vučenje i sl Dijagram: naprezanje relativno produljenje Pri ispitivanju čvrstoće R m materijala, svojstva materijala mogu se zorno vidjeti iz dijagrama: naprezanje relativno produljenje ( σ ε ) (sl. 1.14). Ispitivanje je standardizirano medunarodnim - ISO normama. Iz materijala čija se čvrstoća ispituje izradi se epruveta standardnog oblika i dimenzija i pričvrsti u kidalicu. Aktiviranjem kidalice počne ispitivanje 3. Kidalica ima uredaj - koji iscrta dijagram ispitivanja. Za mekani čelik dijagram ispitivanja σ ε ima oblik kao na slici O početak ispitivanja; P granica proporcionalnosti; E granica elastičnosti; T gornja granica tečenja ili čvrstoća na granici tečenja; T donja granica tečenja; M maksimalno naprezanje ili čvrstoća materijala; Sl Dijagram σ ε za mekani čelik L lomepruvete (štapa). 3 Način ispitivanja čvrstoće materijala obraduje - se u predmetu Tehnički materijali. 12

11 1.4. Dijagram naprezanje relativno produljenje Značenje karakterističnih točaka u dijagramu σ ε Točka Ponašanje materijala Oznaka graničnog naprezanja P= granica proporcionalnosti E= granica elastičnosti T = gornja granica tečenja M= čvrstoća materijala Do te točke naprezanje je proporcionalno deformaciji. Za koliku se vrijednost poveća sila u proporcionalnom odnosu, povećat će se i produljenje. Do te točke vrijedi Hookeov 4 zakon proporcionalnosti. Do ove točke materijal zadržava svoju elastičnost. Nakon rasterećenja poprimit će početnu duljinu l 0 i oblik. Prijede - li se točka E, materijal će vrlo brzo popustiti te će do donje granice tečenja T deformacija ε rastiikada naprezanje pada. Nakon rasterećenja materijal više neće imati početnu duljinu l 0, već će biti trajno produljen (deformiran). Prelaskom točke T dolazi do ojačavanja materijala te je za njegovo daljnje deformiranje potreban porast opterećenja. Ono raste do točke M, a zatim pada, jer je na mjestu budućeg presjeka površina A sve manja. Sl Usporedni dijagram σ ε za neke materijale sila na granici P σ P = početna površina presjeka σ E = σ0,01 5 = sila na granici E početna površina presjeka σ T = σ0,2 6 = sila na granici T početna površina presjeka ranija oznaka σ R maksimalna sila R m = početna površina presjeka ranija oznaka σ m Za svaki se materijal ispitivanjem može dobiti dijagram σ ε pa se njegovom usporedbom mogu odrediti svojstva i primjena. Na slici 1.15 prikazan je dijagram σ ε za materijale koji se najčešće koriste. O T elastične deformacije T L plastične deformacije 4 izg. Hukov 5 Granice elastičnosti je teško odrediti pa se uzima tehnička granica elastičnosti. Ona nastaje pri opterećenju u kojem nastaju trajne deformacije u vrijednosti 0,01 do 0, 05 % u odnosu na prvobitnu duljinu epruvete l 0, pa je naprezanje na granici elastičnosti označeno s σ 0,01. 6 Donja granica tečenja je odredena - naprezanjem pri kojemu nastaje trajno produljenje od 0, 2% prvobitne dužine štapa pa je oznaka naprezanja na granici tečenja σ 0,2. 13

12 1. Osnove čvrstoće Iz dijagrama se vidi da čelik visoke čvrstoće nije pogodan za plastičnu obradu, npr. valjanjem, jer je granica tečenja T vrlo visoko, a područje plastičnih deformacija kratko. No, zato on ima vrlo veliko područje elastičnih deformacija, pa je pogodan za primjenu u konstrukcijama. Meki bakarima granicutečenjat vrloniskoi velikopodručjeplastičnih deformacija pa je pogodan za plastičnu obradu, ali se ne smije primijeniti za konstrukcije, jer mu je čvrstoća mala Dopušteno naprezanje i koeficijent sigurnosti Svaki dio strojarske konstrukcije zadržava svoju funkciju ako je opterećen do granice elastičnosti. Prede - li se ta granica, strojni dio će se trajno deformirati ili će nastupiti njegov lom. Stoga je temelj za dimenzioniranje elemenata svake konstrukcije manje naprezanje od čvrstoće na granici tečenja R T ili čvrstoće materijala R m. Naprezanje koje je manje od čvrstoće R T i R m naziva se dopušteno naprezanje, ili to je ono naprezanje koje će u konstrukciji uzrokovati samo elastične deformacije, a nosi oznaku za naprezanje: navlak: σ vdop pri savijanju: σ sdop na tlak: σ tdop pri uvijanju: τ udop nasmik: τ odop pri izvijanju: σ idop. Dopušteno naprezanje za elastične materijale s σ dop = R T ; ν = 1, 2i2,1 izrazitom granicom tečenja: ν Dopušteno naprezanje za krte materijale: σ dop = R m ; ν = 2, 0i5,0 ν Dopušteno naprezanje je manje od čvrstoće R T ili R m za vrijednost koeficijenta sigurnosti ν (mi). Veći koeficijent sigurnosti treba odabrati kada su elementi visoko opterećeni i prijeti opasnost od loma te kada opterećenja ne mogu do kraja biti jasno definirana. Vrijednosti dopuštenih naprezanja za neke materijale navedena su u tablici na sljedećoj stranici. U tablici su rimskim brojevima označena opterećenja: I. statičko II. dinamičko jednosmjerno III. dinamičko dvosmjerno.

13 1.5. Dopušteno naprezanje i koeficijent sigurnosti Materijal čelik čelik Čvrstoća materijala σ vd R m / N/ mm 2 / Vlak /MPa/ čelični lijevano lijevana strojarska mjed lijev željezo bronca bronca valjana I II III Tlak I σ td /MPa/ II Specifičan I pritisak II p /MPa/ III Savijanje σ sd τ vd τ ud /MPa/ Smik /MPa/ Uvijanje /MPa/ I II ovisi o obliku III presjeka I II III I II ovisi o obliku III presjeka Tablica 1. Dopuštena naprezanja Iz tablice je vidljivo da lijevano željezo (sivi lijev) nema visoku čvrstoću na vlak, ali zato ima veliku tlačnu čvrstoću. Zbog toga su dopuštena tlačna naprezanja tri puta veća od vlačnih. Razlog tome je veliki sadržaj ugljika izlučen u obliku grafitnih listića ili zrnaca (sl. 1.16). Sl Grafitna zrnca SL daju krtost Iz tablice je tako - der vidljivo da za statičko opterećenje žilavih materijala (čelika) 15

14 1. Osnove čvrstoće vrijedi: σ vdop = σ tdop, a odnos dopuštenih naprezanja i čvrstoće je: / / N σ dop =(0, 4 0, 6)R m mm 2. Čvrstoće aksijalnih naprezanja R m i tangencijalnih naprezanja τ m stoje u medu- sobnom odnosu: - začelik: τ m = 0, 85R m zasl: τ m = 1, 1R m. Utjecaj utora i naglih promjena presjeka Na dovoljnoj udaljenosti od djelovanja koncentrirane sile F, naprezanje će se po čitavoj površini presjeka rasporediti jednoliko s prosječnom vrijednosti σ n kao na slici 1.17a). Sl Usporedba naprezanja 16

15 1.5. Dopušteno naprezanje i koeficijent sigurnosti Ako je štap izveden s utorom kao na slici 1.17b), tada raspored naprezanja na mjestu presjeka gdje je izveden utor neće biti ni približno jednolik, bez obzira na kojoj se udaljenosti od djelovanja koncentrirane sile utor nalazi. Iz dijagrama na slici 1.17b) se vidi da će se na dnu utora naprezanje višestruko povećati, a idući prema središnjoj osi presjeka ono će se parabolično smanjivati. To višestruko povećanje naprezanja na dnu utora naziva se koncentracija naprezanja, σ max. Tako velika naprezanja mogu prekoračiti dopuštena i dovesti do loma ili trajne deformacije strojnog dijela ili konstrukcije. Ispitivanja su pokazala da se koncentracija naprezanja na dnu utora smanjuje ako utor nema oštre bridove. Utor na slici 1.17c) je izveden s nekim radijusom r. Za isto opterećenje štapa koncentracija naprezanja σ max ovdje će se smanjiti. Isti efekt postiže se pri postupnom prijelazu s manjeg na veći promjer kod osovina, vratila i ostalih strojnih dijelova i kućišta. Iz slika 1.17a) i b) vidi se da se naprezanje na dnu utora povećalo i ono iznosi σ max = β k σ n σ dop, gdje je: β k konstruktivni faktor dobiven ispitivanjima, σ n naprezanje u dijelu štapa bez utora. Kod oštrih rubova konstruktivni faktor se kreće u granicama: β k = 6, 20 do 6, 5. Zamor materijala Dinamička opterećenja, a posebnodinamička dvosmjerna ili oscilatorna opterećenja imaju nepovoljan utjecaj na materijale. Takvo opterećenje dovodi do zamora materijala što rezultira lomom i kod naprezanja koja su bitno manja od njegove čvrstoće R m. Smanjenje čvrstoće materijala uslijed oscilatornog opterećenja nazivamo zamorom materijala. Sposobnost materijala da se opire lomu uslijed dinamičkih oscilatornih opterećenja zove se dinamička izdržljivost materijala. Ispitivanja su pokazala da pri oscilatornom opterećenju lom nastaje u 10 do 20 % slučajeva zbog preopterećenja, a većinom zbog pukotina koje nastaju zbog nehomogenosti strukture materijala. Te pukotine nazivamo pukotinama zamora. 17

16 1. Osnove čvrstoće Sl Izgled loma uslijed zamora materijala Sl Wöhlerov dijagram dinamičke izdržljivosti materijala Sl Smithov dijagram dinamičke čvrstoće materijala Slika 1.18 nam pokazuje karakteristični izgled loma uslijed zamora materijala. Dinamičku izdržljivost materijala ispitivao je inž. Wöhler (izg. Veler). On je ispitivanjem odredio granicu zamora materijala, što se vidi na dijagramu (sl. 1.18). Iz njega je vidljivo mjesto gdje krivulja prelazi u pravac. To je granica zamora. Ona je različita za različite materijale. Iza granice zamora nastupa dinamička izdržljivost te on više ne puca ni nakon višemilijunskih periodičnih opterećenja. Takoder - je vidljivo da je dinamička izdržljivost ordinata do ravnog dijela Wöhlerove krivulje, σ D. Na osnovu Wöhlerovih dijagrama konstruiraju se dijagrami dinamičkečvrstoće materijala koji su poznati pod nazivom Smithovi (izg. Smitovi) dijagrami, slika R m čvrstoća materijala σ 0,01 naprezanje na granici elastičnosti σ a amplitudno naprezanje σ sr srednje naprezanje Krivulja abc je gornja granica dinamičkog naprezanja, a donji dio krivulje c, d, e, f daje donju granicu dinamičkog naprezanja. Područje unutar krivulja abc i cdef predstavlja područje izbora opterećenja, koje kod materijala izloženog oscilatornom opterećenju neće dovesti do loma. 18

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

TEHNOLOGIJA MATERIJALA U RUDARSTVU

TEHNOLOGIJA MATERIJALA U RUDARSTVU V E Ž B E TEHNOLOGIJA MATERIJALA U RUDARSTVU Rade Tokalić Suzana Lutovac ISPITIVANJE METALA I LEGURA I ispitivanja sa razaranjem uzoraka II ispitivanja bez razaranja uzoraka III - ispitivanja strukture

Διαβάστε περισσότερα

LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM

LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM LOGO ISPITIVANJE MATERIJALA ZATEZANJEM Vrste opterećenja Ispitivanje zatezanjem Svojstva otpornosti materijala Zatezna čvrstoća Granica tečenja Granica proporcionalnosti Granica elastičnosti Modul

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJALI I MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA. Prof. dr. sc. Ivica Kladarić

MATERIJALI I MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA. Prof. dr. sc. Ivica Kladarić MATERIJALI I MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA Statički vlačni pokus Prof. dr. sc. Ivica Kladarić 1 UVOD Metalni materijali najviše se upotrebljavaju u tehničkoj praksi zbog povoljnih mehaničkih, tehnoloških,

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje

Poglavlje Poglavlje Ključni pojmovi kruta tijela čvrsta tijela deformacija nauka o čvrstoći Uvod Ciljevi u nauku o čvrstoći Upoznati povijesni razvoj nauke o čvrstoći Upoznati razliku između krutih i čvrstih tijela

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

SRĐAN PODRUG ELEMENTI STROJEVA

SRĐAN PODRUG ELEMENTI STROJEVA S V E U Č I L I Š T E U S P L I T U FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE U SPLITU SRĐAN PODRUG ELEMENTI STROJEVA Predavanja za stručni studij BRODOGRADNJE za šk. god. 2006/2007. Split, 2006.

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

TOLERANCIJE I DOSJEDI

TOLERANCIJE I DOSJEDI 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

σ = PMF OSNOVE STROJARSTVA -PODLOGE ZA PREDAVANJA

σ = PMF OSNOVE STROJARSTVA -PODLOGE ZA PREDAVANJA PMF OSNOVE STROJARSTVA -PODLOGE ZA PREDAVANJA OSNOVE NAUKE O ČVRSTOĆI Nauka o čvrstoći proučava ravnotežu između vanjskih i unutarnjih sila i deformacije čvrstih tijela uzrokovanih vanjskim silama. Na

Διαβάστε περισσότερα

NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA

NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA Zavareni spojevi - I. dio 1 ZAVARENI SPOJEVI Nerastavljivi spojevi Upotrebljavaju se prije svega za spajanje nosivih mehatroničkih dijelova i konstrukcija 2 ŠTO

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ )

Izravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ ) Posmična čvrstoća tla Posmična se čvrstoća se često prikazuje Mohr-Coulombovim kriterijem čvrstoće u - σ dijagramu c + σ n tanφ Kriterij čvrstoće C-kohezija φ -kut trenja c + σ n tan φ φ c σ n Posmična

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120 Srednja masinska skola OSOVE KOSTRUISAJA List1/8 355$&8158&1(',=$/,&(6$1$9-1,095(7(10 3ROD]QLSRGDFL maksimalno opterecenje Fa := 36000 visina dizanja h := 440 mm Rucna sila Fr := 350 1DYRMQRYUHWHQR optereceno

Διαβάστε περισσότερα

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA) ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujan 2017. Ivan Kovačević SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

PRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila)

PRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila) Predet: Mašinski eleenti Proračun vratila strana Dienzionisati vratilo elektrootora sledecih karakteristika: oinalna snaga P = 3kW roj obrtaja n = 400 in Shea opterecenja: Faktor neravnoernosti K =. F

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Zamor materijala Smitov dijagram. Prof.dr Darko Bajić Mašinski fakultet Podgorica

Zamor materijala Smitov dijagram. Prof.dr Darko Bajić Mašinski fakultet Podgorica Zamor materijala Smitov dijagram Prof.dr Darko Bajić fakultet Podgorica darko@ac.me Šta je predstavlja ZAMOR MATERIJALA? To je proces postepenog ili kontinualnog razaranja strukture materijala nekog elementa

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

VIJČANI SPOJ VIJCI HRN M.E2.257 PRIRUBNICA HRN M.E2.258 BRTVA

VIJČANI SPOJ VIJCI HRN M.E2.257 PRIRUBNICA HRN M.E2.258 BRTVA VIJČANI SPOJ PRIRUBNICA HRN M.E2.258 VIJCI HRN M.E2.257 BRTVA http://de.wikipedia.org http://de.wikipedia.org Prirubnički spoj cjevovoda na parnom stroju Prirubnički spoj cjevovoda http://de.wikipedia.org

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1

Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1 Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

NERASTAVLJIVE VEZE I SPOJEVI. Zakovični spojevi

NERASTAVLJIVE VEZE I SPOJEVI. Zakovični spojevi NERASTAVLJIVE VEZE I SPOJEVI Zakovični spojevi Zakovice s poluokruglom glavom - za čelične konstrukcije (HRN M.B3.0-984), (lijevi dio slike) - za kotlove pod tlakom (desni dio slike) Nazivni promjer (sirove)

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1

PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1 PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1 Napomene: Pitanja služe kao priprema za izradu testova iz Otpornosti Materijala I, koji se polažu parcijalno i integralno. Testovi su koncipirani kao

Διαβάστε περισσότερα

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,

Διαβάστε περισσότερα

( ) p a. poklopac. Rješenje:

( ) p a. poklopac. Rješenje: 5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p

Διαβάστε περισσότερα

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,

Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21, Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI SVOJSTV SUSTV Kod statički određenih nosača rješenja za reakcije i unutrašnje sile su jednoznačna. F C 1. F x =0 C 2. M =0 3. F y =0 Jednoznačno rješenje

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

ZAVRŠNI RAD Niko Bolanča

ZAVRŠNI RAD Niko Bolanča SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Niko Bolanča Zagreb, 2008 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVRŠNI RAD Određeivanje trajne čvrstoće materijala

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona.

Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona. Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona Prema osnovnoj formuli za dimenzionisanje maksimalni tangencijalni napon τ max koji se javlja u štapu mora biti manji

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICA 1: PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ZA DJELOVANJA Parcijalni koeficijenti sigurnosti γf Vrsta djelovanja Djelovanje Stalno Promjenjivo

Διαβάστε περισσότερα

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona * Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac

Διαβάστε περισσότερα

OSOVINE I VRATILA. Pomoćni nastavni materijali uz kolegij "Konstrukcijski elementi I" Ak. godina 2011./12.

OSOVINE I VRATILA. Pomoćni nastavni materijali uz kolegij Konstrukcijski elementi I Ak. godina 2011./12. OSOVINE I VRATILA Pomoćni nastavni materijali uz kolegij "Konstrukcijski elementi I" Ak. godina 2011./12. Nositelj kolegija: Prof. dr. sc. Božidar Križan - 1 - OSOVINE I VRATILA Funkcija, opterećenja,

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5?

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5? Zadata 00 (Jasna, osnovna šola) Kolia je težina tijela ase 400 g? Rješenje 00 Masa tijela izražava se u ilograia pa najprije orao 400 g pretvoriti u ilograe. Budući da g = 000 g, orao 400 g podijeliti

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

UVOD U TEORIJU ELASTIČNOSTI

UVOD U TEORIJU ELASTIČNOSTI 1. UVOD U TEORIJU EASTIČNOSTI 1 1.1 Uvod... 1-1 1.2 Naprezanje i deformacija. Modul elastičnosti... 1-2 Mikroskopski opis elastičnosti... 1-2 Elastičnost - makroskopski prikaz... 1-3 1.3 Istezanje - naprezanje

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

l r redukovana dužina (zavisno od dužine i načina vezivanja)

l r redukovana dužina (zavisno od dužine i načina vezivanja) Vežbe 6 IZVIJANJE 1 IZVIJANJE Izvijanje se javlja kod aksijalno napregnutih štapova na pritisak, kada imaju relativno veliku dužinu u odnosu na površinu poprečnog preseka. Zbog postojanja geometrijskih

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

Zavod za tehnologiju, Katedra za alatne strojeve: GLODANJE

Zavod za tehnologiju, Katedra za alatne strojeve: GLODANJE Glodanje je postupak obrade odvajanjem čestica (rezanjem) obradnih površina proizvoljnih oblika. Izvodi se na alatnim strojevima, glodalicama, pri čemu je glavno (rezno) gibanje kružno kontinuirano i pridruženo

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika 1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

OSOVINE I VRATILA. Pomoćni nastavni materijali uz kolegij "Konstrukcijski elementi I" Ak. godina 2010./11.

OSOVINE I VRATILA. Pomoćni nastavni materijali uz kolegij Konstrukcijski elementi I Ak. godina 2010./11. OSOVINE I VRATILA Pomoćni nastavni materijali uz kolegij "Konstrukcijski elementi I" Ak. godina 2010./11. Nositelji kolegija: Prof. dr. sc. Božidar Križan Prof. dr. sc. Saša Zelenika - 1 - OSOVINE I VRATILA

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα