Proizvoljno opterećenje tijela može zahtijevati složenu analizu naprezanja i deformacija,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Proizvoljno opterećenje tijela može zahtijevati složenu analizu naprezanja i deformacija,"

Transcript

1 1. Osnove čvrstoće 1.1. Pojam i vrste opterećenja Nauka o čvrstoći proučava utjecaj vanjskih sila i momenata na ponašanje čvrstih (realnih) tijela. Djelovanje vanjskih sila i momenata na tijelo naziva se opterećenje. Proizvoljno opterećenje tijela može zahtijevati složenu analizu naprezanja i deformacija, stoga se opterećenja svode na osnovna opterećenja, a tijelo koje se promatra je štap sa svojom uzdužnom osi koja je ujedno i njegova težišna os. Ovisno o tome kako opterećenje djeluje u odnosu na os štapa postoje ove osnovne vrste opterećenja: 1. osno ili aksijalno opterećenje: djeluje u osi štapa; Sl opterećenje na odrez ili smično: djeluje okomito na os štapa i želi ga prerezati; Sl

2 1. Osnove čvrstoće 3. opterećenje na savijanje ili fleksija: zakretanjem oko osi x nastaje savijanje štapa; 4. opterećenje na uvijanje ili torzija: zakretanjem oko uzdužne osi štapa u suprotnim smjerovima nastaje uvijanje (sukanje) štapa; 5. opterećenje na izvijanje: Sl Sl Sl pri sabijanju dugačkih štapova male površine presjeka u odnosu na njegovu dužinu nastaje izvijanje. Navedene vrste opterećenja mogu se pojaviti u trima oblicima: a) statičkom ili mirnom; b) dinamičkom jednosmjernom obliku ili pulsiranju; c) dinamičkom dvosmjernom obliku ili osciliranju. Statičko ili mirno opterećenje nastaje kada sile ili momenti tijekom vremena zadržavaju svoju veličinu pa je: F = konst. M = konst. U dijagramu: opterećenje (F, M) vrijeme ( t ) (sl. 1.6) predstavljeno je ravnom crtom. Sl Statičko ili mirno opterećenje 4

3 1.1. Pojam i vrste opterećenja Takvo opterećenje materijali najlakše podnose, pa ono može biti za 1/3 veće od dinamičkog jednosmjernog i 2/3 oddinamički dvosmjernog opterećenja. Primjer statičkog opterećenja su različiti prednaponi: kao opterećenje postolja stroja uslijed vlastite težine, opterećenje osovine prikolice zbog vlastite težine prikolice, sabijena opruga amortizera itd. Dinamičko jednosmjerno opterećenje ili pulsiranje tijekom vremena mijenja veličinu, a zadržava isti smjer: F =konst. M =konst. smjer + ili = konst. Iz dijagrama: opterećenje vrijeme vidi se da opterećenje koleba izmedu - minimalne i maksimalne vrijednosti, a smjer je ostao pozitivan (sl. 1.7). Sl Prikazano je dinamički jednosmjerno opterećenje: a) neprekidno, b) periodično. Pulsiranje materijali težepodnose, paonoiznosi 2/3 statičkogopterećenja. Primjer neprekidnog pulsiranja je opterećenje vratila stepenastog mjenjača koje rotira uvijek u jednom smjeru. Primjer periodičnog pulsiranja je uže ili lanac pri dizanju tereta u radnim ciklusima. Dinamičkodvosmjernoopterećenjeili osciliranje tijekom vremena mijenja veličinu i smjer: F =konst. M =konst. smjer + ili = konst. Promjena veličine i smjera opterećenja vidi se iz dijagrama na slici 1.8. Oscilatorno opterećenje je najnepovoljnije, jer najviše zamara materijal, pa on može podnijeti svega 1/ 3 veličine statičkog opterećenja. 5

4 1. Osnove čvrstoće Sl Dinamički dvosmjerno opterećenje To je tipično opterećenje lisnatih i zavojnih torzijskih opruga, vitalnih dijelova strojeva i uredaja - pri radu, dijelova motora s unutarnjim izgaranjem itd Pojam i vrste naprezanja Štap na slici 1.9 opterećen je vlačnim silama + F i F. Sl Štap opterećen aksijalnim vlačnim opterećenjem normalno naprezanje σ Uslijed opterećenja ± F štapa (sl. 1.9a)) javit će se unutar štapa unutarnja sila F n kao reakcija na vanjsko opterećenje. Unutarnja sila F n drži u statičkom smislu ravnotežu s vanjskom silom F (sl. 1.9b)) pa je: F = F n. 6

5 1.2. Pojam i vrste naprezanja Maksimalna veličina sile F n jednaka je veličini kohezijskih sila izmedu - atoma i molekula materijala štapa. U slučaju da vanjske sile nadvladaju unutarnje (koheziju), tj. kada je veličina F > F n, doći će do deformacije ili loma štapa na najslabijem mjestu poprečnog presjeka A. Smisao je čvrstoće da se uspostavi ravnoteža vanjskih i unutarnjih sila i da ne dode - do trajne deformacije (loma). Vanjske sile opterećuju štap, a unutarnje vrše naprezanje u materijalu štapa. Ako se zamisli da se unutarnja sila F n jednakomjerno rasporedila po površini poprečnog presjeka A, čija se veličina matematički može izraziti kvocijentom F n A, dobije se naprezanje štapa (sl. 1.9b)). Kod aksijalnog opterećenja naprezanje je okomito (normalno) na površinu presjeka A (sl. 1.9c)) i označava se grčkim slovom σ (sigma). Kako je veličina sila F n = F, stoga je konačan izraz aksijalnog ili normalnog naprezanja: σ = F A. Jedinica za naprezanje proizlazi iz jednadžbe naprezanja: σ = 1N 1mm 2 = 1 MPa (megapaskal) 1MPa= 10 6 Pa (paskal), 1Pa= 1 N m 2. Ukoliko vanjske sile djeluju okomito na os štapa i žele ga prerezati (sl. 1.10a)) javit će se unutarnja sila F n koja je paralelna s poprečnim presjekom A. Podjelom unutarnje sile s površinom poprečnog presjeka dobije se tangencijalno naprezanje štapa (sl. 1.10b)), koje se označava grčkim slovom τ (tau): τ = F n A = F /MPa/. A Tangencijalno naprezanje τ leži u ravnini poprečnog presjeka (sl. 1.10c)): 7

6 1. Osnove čvrstoće Sažetak Sl Štap opterećen smičnim opterećenjem tangencijalno naprezanje τ Vanjske sile i momenti vrše opterećenje štapa. Sile u štapu su unutarnje sile. Javljaju se kao reakcija na vanjske i predstavljaju kohezijsku silu materijala štapa. Unutarnje sile vrše naprezanje štapa. Naprezanje je kvocijent izme - du unutarnje sile i površine poprečnog presjeka. Kod normalnog naprezanja unutarnja je sila okomita na površinu poprečnog presjeka: σ = F / / N ili MPa F A. A mm2 Kod tangencijalnog naprezanja unutarnja sila je paralelna s površinom poprečnog presjeka: σ = F / / N ili MPa F A. A mm2 8

7 1.3. Pojam čvrstoće i deformacije U skladu s opterećenjem u štapu javit će se sljedeća vrsta naprezanja: 1. normalno ili aksijalno (vlačno i tlačno), 2. tangencijalno ili smično (odrez). Pri ostalim opterećenjima javljaju se kombinacije normalnog i tangencijalnog naprezanja pa treba rabiti terminologiju: naprezanje pri savijanju σ s ; naprezanje pri uvijanju σ u ; naprezanje pri izvijanju σ i Pojam čvrstoće i deformacije Štap početne duljine l 0 i poprečnog presjeka A 0 na gornjem kraju je učvršćen, a na donjem opterećen silom F (sl. 1.11a)) te se isteže. Vrijednost sile F tijekom vremena raste i mjeri se, tako da je u svakom trenutku vremena poznata veličina opterećenja štapa. Uslijed opterećenja štap će se u nekom vremenu t za vrijednost sile F t produljiti za odredenu - veličinu Δl,kojasetakoder - mjeri pa se točno zna njezina veličina za vrijednost sile (sl. 1.11b)). Produljenje štapa Δl /mm/ naziva se apsolutno produljenje. Opterećenje štapa i u skladu s njim produljenje, traje sve do njegovog loma. Opisani pokus može se prikazati dijagramom opterećenje F /N/ apsolutno produljenje Δl /mm/ (slika 1.12). U njemu su označene točke koje imaju sljedeće značenje: O početak opterećenja; T granica tečenja; M maksimalno opterećenje; L lom štapa. Sl Vlačno opterećenje štapa rastućom silom F u tijeku vremena t Sl Dijagram opterećenja F i apsolutnog produljenja Δl 9

8 1. Osnove čvrstoće Iz dijagrama F Δl vidi se da do točke T (granice tečenja) apsolutno produljenje raste puno sporije od opterećenja. Kada opterećenje dosegne vrijednost veću od unutarnjih kohezijskih sila u materijalu, dolazi do popuštanja pa će apsolutno produljenje od točke T do M rasti brže od porasta opterećenja. U točki M je opterećenje doseglo svoju najveću vrijednost F max, te nakon toga slijedi njegov pad do točke L kada će se štap i fizički razdvojiti (slomiti). Čvrstoća štapa odredena - je kvocijentom maksimalnog opterećenja i početne površine poprečnog presjeka štapa, a označava se velikim slovom R i indeksom m (R 1 m ) : R m = F / max N / A 0 mm 2. čvrstoća materijala = maksimalno opterećenje početna površina poprečnog presjeka Za primjenu materijala jako je važno znati njegovu čvrstoću na granici tečenja: R T = F / T N / A 0 mm 2, gdje je: / N / R T mm 2 čvrstoća na granici tečenja 2 ; F T / N/ opterećenje na granici tečenja; / mm 2 / početna površina poprečnog presjeka. A 0 Štap će u opisanom pokusu imati uzdužnu i poprečnu deformaciju. Uzdužna deformacija se očituje u njegovom produljenju početne dužine l 0 na neku konačnu l, za neku vrijednost Δl : Δl = l l 0 /mm/. U čvrstoći se uzdužna deformacija često izražava kao kvocijent apsolutnog produljenja i početne duljine, te naziva relativno produljenje: 1 ranija oznaka σ M 2 ranija oznaka σ R ε = Δl. l 0 10

9 1.3. Pojam čvrstoće i deformacije Relativno produljenje ε (epsilon) nema dimenzije, a može se izraziti postotkom: ε = Δl 100 %. l 0 Poprečna će se deformacija očitovati u smanjenju površine poprečnog presjeka. Početna površina A 0 će se smanjiti za vrijednost ΔA na konačnu površinu presjeka A : ΔA = A 0 A /mm 2 /. Vrijednost ΔA je apsolutno suženje poprečnog presjeka štapa. Konačno, površina presjeka A uzima se na mjestu prijeloma štapa. Poprečna deformacija može se izraziti kao relativna deformacija (relativno suženje ili kontrakcija): ε A = ΔA, A 0 ili u postotku: ε A = ΔA 100 %. A 0 Dužinske i poprečne deformacije mogu se javiti u elastičnom i plastičnom području dijagrama ispitivanja F Δl. Ta područja dijeli granica tečenja T, pa su sve deformacije od točke: O T elastične deformacije; T L plastične deformacije. Elastične i plastične deformacije prikazuje slika 1.13a) i b). Sl Elastična i plastična deformacija 11

10 1. Osnove čvrstoće Iz slika 1.13a) i b) slijedi: Kod elastične deformacije štap nakon rasterećenja poprima svoj prvobitan oblik i veličinu. Kod plastične deformacije štap nakon rasterećenja trajno mijenja oblik i veličinu. Elastični materijali će u dijagramu F Δl imati velik razmak izmedu - točaka O T (granice tečenja) i pogodni su za konstrukcije, npr., mostova, dizalica, brodova, naftnih i plinskih platformi, strojeva, prometala itd. Plastični materijali imaju kraći razmak od točke O do T, tj. granice tečenja, pa su pogodni za plastičnu obradu metala, kao kovanje, valjanje, duboko izvlačenje, vučenje i sl Dijagram: naprezanje relativno produljenje Pri ispitivanju čvrstoće R m materijala, svojstva materijala mogu se zorno vidjeti iz dijagrama: naprezanje relativno produljenje ( σ ε ) (sl. 1.14). Ispitivanje je standardizirano medunarodnim - ISO normama. Iz materijala čija se čvrstoća ispituje izradi se epruveta standardnog oblika i dimenzija i pričvrsti u kidalicu. Aktiviranjem kidalice počne ispitivanje 3. Kidalica ima uredaj - koji iscrta dijagram ispitivanja. Za mekani čelik dijagram ispitivanja σ ε ima oblik kao na slici O početak ispitivanja; P granica proporcionalnosti; E granica elastičnosti; T gornja granica tečenja ili čvrstoća na granici tečenja; T donja granica tečenja; M maksimalno naprezanje ili čvrstoća materijala; Sl Dijagram σ ε za mekani čelik L lomepruvete (štapa). 3 Način ispitivanja čvrstoće materijala obraduje - se u predmetu Tehnički materijali. 12

11 1.4. Dijagram naprezanje relativno produljenje Značenje karakterističnih točaka u dijagramu σ ε Točka Ponašanje materijala Oznaka graničnog naprezanja P= granica proporcionalnosti E= granica elastičnosti T = gornja granica tečenja M= čvrstoća materijala Do te točke naprezanje je proporcionalno deformaciji. Za koliku se vrijednost poveća sila u proporcionalnom odnosu, povećat će se i produljenje. Do te točke vrijedi Hookeov 4 zakon proporcionalnosti. Do ove točke materijal zadržava svoju elastičnost. Nakon rasterećenja poprimit će početnu duljinu l 0 i oblik. Prijede - li se točka E, materijal će vrlo brzo popustiti te će do donje granice tečenja T deformacija ε rastiikada naprezanje pada. Nakon rasterećenja materijal više neće imati početnu duljinu l 0, već će biti trajno produljen (deformiran). Prelaskom točke T dolazi do ojačavanja materijala te je za njegovo daljnje deformiranje potreban porast opterećenja. Ono raste do točke M, a zatim pada, jer je na mjestu budućeg presjeka površina A sve manja. Sl Usporedni dijagram σ ε za neke materijale sila na granici P σ P = početna površina presjeka σ E = σ0,01 5 = sila na granici E početna površina presjeka σ T = σ0,2 6 = sila na granici T početna površina presjeka ranija oznaka σ R maksimalna sila R m = početna površina presjeka ranija oznaka σ m Za svaki se materijal ispitivanjem može dobiti dijagram σ ε pa se njegovom usporedbom mogu odrediti svojstva i primjena. Na slici 1.15 prikazan je dijagram σ ε za materijale koji se najčešće koriste. O T elastične deformacije T L plastične deformacije 4 izg. Hukov 5 Granice elastičnosti je teško odrediti pa se uzima tehnička granica elastičnosti. Ona nastaje pri opterećenju u kojem nastaju trajne deformacije u vrijednosti 0,01 do 0, 05 % u odnosu na prvobitnu duljinu epruvete l 0, pa je naprezanje na granici elastičnosti označeno s σ 0,01. 6 Donja granica tečenja je odredena - naprezanjem pri kojemu nastaje trajno produljenje od 0, 2% prvobitne dužine štapa pa je oznaka naprezanja na granici tečenja σ 0,2. 13

12 1. Osnove čvrstoće Iz dijagrama se vidi da čelik visoke čvrstoće nije pogodan za plastičnu obradu, npr. valjanjem, jer je granica tečenja T vrlo visoko, a područje plastičnih deformacija kratko. No, zato on ima vrlo veliko područje elastičnih deformacija, pa je pogodan za primjenu u konstrukcijama. Meki bakarima granicutečenjat vrloniskoi velikopodručjeplastičnih deformacija pa je pogodan za plastičnu obradu, ali se ne smije primijeniti za konstrukcije, jer mu je čvrstoća mala Dopušteno naprezanje i koeficijent sigurnosti Svaki dio strojarske konstrukcije zadržava svoju funkciju ako je opterećen do granice elastičnosti. Prede - li se ta granica, strojni dio će se trajno deformirati ili će nastupiti njegov lom. Stoga je temelj za dimenzioniranje elemenata svake konstrukcije manje naprezanje od čvrstoće na granici tečenja R T ili čvrstoće materijala R m. Naprezanje koje je manje od čvrstoće R T i R m naziva se dopušteno naprezanje, ili to je ono naprezanje koje će u konstrukciji uzrokovati samo elastične deformacije, a nosi oznaku za naprezanje: navlak: σ vdop pri savijanju: σ sdop na tlak: σ tdop pri uvijanju: τ udop nasmik: τ odop pri izvijanju: σ idop. Dopušteno naprezanje za elastične materijale s σ dop = R T ; ν = 1, 2i2,1 izrazitom granicom tečenja: ν Dopušteno naprezanje za krte materijale: σ dop = R m ; ν = 2, 0i5,0 ν Dopušteno naprezanje je manje od čvrstoće R T ili R m za vrijednost koeficijenta sigurnosti ν (mi). Veći koeficijent sigurnosti treba odabrati kada su elementi visoko opterećeni i prijeti opasnost od loma te kada opterećenja ne mogu do kraja biti jasno definirana. Vrijednosti dopuštenih naprezanja za neke materijale navedena su u tablici na sljedećoj stranici. U tablici su rimskim brojevima označena opterećenja: I. statičko II. dinamičko jednosmjerno III. dinamičko dvosmjerno.

13 1.5. Dopušteno naprezanje i koeficijent sigurnosti Materijal čelik čelik Čvrstoća materijala σ vd R m / N/ mm 2 / Vlak /MPa/ čelični lijevano lijevana strojarska mjed lijev željezo bronca bronca valjana I II III Tlak I σ td /MPa/ II Specifičan I pritisak II p /MPa/ III Savijanje σ sd τ vd τ ud /MPa/ Smik /MPa/ Uvijanje /MPa/ I II ovisi o obliku III presjeka I II III I II ovisi o obliku III presjeka Tablica 1. Dopuštena naprezanja Iz tablice je vidljivo da lijevano željezo (sivi lijev) nema visoku čvrstoću na vlak, ali zato ima veliku tlačnu čvrstoću. Zbog toga su dopuštena tlačna naprezanja tri puta veća od vlačnih. Razlog tome je veliki sadržaj ugljika izlučen u obliku grafitnih listića ili zrnaca (sl. 1.16). Sl Grafitna zrnca SL daju krtost Iz tablice je tako - der vidljivo da za statičko opterećenje žilavih materijala (čelika) 15

14 1. Osnove čvrstoće vrijedi: σ vdop = σ tdop, a odnos dopuštenih naprezanja i čvrstoće je: / / N σ dop =(0, 4 0, 6)R m mm 2. Čvrstoće aksijalnih naprezanja R m i tangencijalnih naprezanja τ m stoje u medu- sobnom odnosu: - začelik: τ m = 0, 85R m zasl: τ m = 1, 1R m. Utjecaj utora i naglih promjena presjeka Na dovoljnoj udaljenosti od djelovanja koncentrirane sile F, naprezanje će se po čitavoj površini presjeka rasporediti jednoliko s prosječnom vrijednosti σ n kao na slici 1.17a). Sl Usporedba naprezanja 16

15 1.5. Dopušteno naprezanje i koeficijent sigurnosti Ako je štap izveden s utorom kao na slici 1.17b), tada raspored naprezanja na mjestu presjeka gdje je izveden utor neće biti ni približno jednolik, bez obzira na kojoj se udaljenosti od djelovanja koncentrirane sile utor nalazi. Iz dijagrama na slici 1.17b) se vidi da će se na dnu utora naprezanje višestruko povećati, a idući prema središnjoj osi presjeka ono će se parabolično smanjivati. To višestruko povećanje naprezanja na dnu utora naziva se koncentracija naprezanja, σ max. Tako velika naprezanja mogu prekoračiti dopuštena i dovesti do loma ili trajne deformacije strojnog dijela ili konstrukcije. Ispitivanja su pokazala da se koncentracija naprezanja na dnu utora smanjuje ako utor nema oštre bridove. Utor na slici 1.17c) je izveden s nekim radijusom r. Za isto opterećenje štapa koncentracija naprezanja σ max ovdje će se smanjiti. Isti efekt postiže se pri postupnom prijelazu s manjeg na veći promjer kod osovina, vratila i ostalih strojnih dijelova i kućišta. Iz slika 1.17a) i b) vidi se da se naprezanje na dnu utora povećalo i ono iznosi σ max = β k σ n σ dop, gdje je: β k konstruktivni faktor dobiven ispitivanjima, σ n naprezanje u dijelu štapa bez utora. Kod oštrih rubova konstruktivni faktor se kreće u granicama: β k = 6, 20 do 6, 5. Zamor materijala Dinamička opterećenja, a posebnodinamička dvosmjerna ili oscilatorna opterećenja imaju nepovoljan utjecaj na materijale. Takvo opterećenje dovodi do zamora materijala što rezultira lomom i kod naprezanja koja su bitno manja od njegove čvrstoće R m. Smanjenje čvrstoće materijala uslijed oscilatornog opterećenja nazivamo zamorom materijala. Sposobnost materijala da se opire lomu uslijed dinamičkih oscilatornih opterećenja zove se dinamička izdržljivost materijala. Ispitivanja su pokazala da pri oscilatornom opterećenju lom nastaje u 10 do 20 % slučajeva zbog preopterećenja, a većinom zbog pukotina koje nastaju zbog nehomogenosti strukture materijala. Te pukotine nazivamo pukotinama zamora. 17

16 1. Osnove čvrstoće Sl Izgled loma uslijed zamora materijala Sl Wöhlerov dijagram dinamičke izdržljivosti materijala Sl Smithov dijagram dinamičke čvrstoće materijala Slika 1.18 nam pokazuje karakteristični izgled loma uslijed zamora materijala. Dinamičku izdržljivost materijala ispitivao je inž. Wöhler (izg. Veler). On je ispitivanjem odredio granicu zamora materijala, što se vidi na dijagramu (sl. 1.18). Iz njega je vidljivo mjesto gdje krivulja prelazi u pravac. To je granica zamora. Ona je različita za različite materijale. Iza granice zamora nastupa dinamička izdržljivost te on više ne puca ni nakon višemilijunskih periodičnih opterećenja. Takoder - je vidljivo da je dinamička izdržljivost ordinata do ravnog dijela Wöhlerove krivulje, σ D. Na osnovu Wöhlerovih dijagrama konstruiraju se dijagrami dinamičkečvrstoće materijala koji su poznati pod nazivom Smithovi (izg. Smitovi) dijagrami, slika R m čvrstoća materijala σ 0,01 naprezanje na granici elastičnosti σ a amplitudno naprezanje σ sr srednje naprezanje Krivulja abc je gornja granica dinamičkog naprezanja, a donji dio krivulje c, d, e, f daje donju granicu dinamičkog naprezanja. Područje unutar krivulja abc i cdef predstavlja područje izbora opterećenja, koje kod materijala izloženog oscilatornom opterećenju neće dovesti do loma. 18

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

unutrašnja opterećenja

unutrašnja opterećenja * Ravnoteža u deformabilnom tijelu Koncentrisana sila (idealizacija) Površinska sila Spoljašnja opterećenja: površinske i zapreminske sile Reakcije oslonaca Jednačine ravnoteže Linearna raspodjela opterećenja

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ Mašinski elementi 1/ Predavanje 3. Slika1.1 Primeri nepokretne i obrtne osovine

Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ Mašinski elementi 1/ Predavanje 3. Slika1.1 Primeri nepokretne i obrtne osovine ašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ ašinski elementi 1/ Predavanje.1 OSOVINE I VRATILA.1.1. Uvod Vratila i osovine, kao osnovni elementi obrtnog kretanja, moraju uvek biti preko kliznih i kotrljajnih

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

6. Plan armature prednapetog nosača

6. Plan armature prednapetog nosača 6. Plan armature prednapetog nosača 6.1. Rekapitulacija odabrane armature Prednapeta armatura odabrano:3 natege 6812 Uzdužna nenapeta armatura. u polju donji rub nosača (mjerodavna je provjera nosivosti

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Školska godina 2006/2007 Fizika 1 Auditorne vježbe 5 Dinamika: Newtonovi zakoni 12. prosinca 2008. Dunja Polić (dunja.polic@fesb.hr)

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON 2 MATERIJALI, SUSTAVI I TEHNOLOGIJA PREDNAPINJANJA TE PODRUČJE PRIMJENE. Zahtjevi na beton u prednapetim konstrukcijama:

PREDNAPETI BETON 2 MATERIJALI, SUSTAVI I TEHNOLOGIJA PREDNAPINJANJA TE PODRUČJE PRIMJENE. Zahtjevi na beton u prednapetim konstrukcijama: PREDNAPETI BETON 2 MATERIJALI, SUSTAVI I TEHNOLOGIJA PREDNAPINJANJA TE PODRUČJE PRIMJENE BETON Zahtjevi na beton u prednapetim konstrukcijama: Visoka tlačna čvrstoća (s niskim v/c odnosom) Mali iznos skupljanja

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Konopi. ARTIKl BOJA PlAVO/ŽUTA. ARTIKl BOJA CRVENO/PlAVA. PREKIDNA ČVRSTOĆA (dan) DUŽINA (m) Φ (mm) ARTIKl BOJA PlAVA. ARTIKl BOJA CRVENA

Konopi. ARTIKl BOJA PlAVO/ŽUTA. ARTIKl BOJA CRVENO/PlAVA. PREKIDNA ČVRSTOĆA (dan) DUŽINA (m) Φ (mm) ARTIKl BOJA PlAVA. ARTIKl BOJA CRVENA KONOP ZA ŠKOTE RACE - materijal jezgra dyneema na 16 struka, izvana poliester na 32 struka - za dizanje i spuštanje jedara, otporan na habanje, mala rastezljivost CRVENO/ PlAVO/ TF30 05000 TF33 05000 5

Διαβάστε περισσότερα

='5$9.2 STRUJNI IZVOR

='5$9.2 STRUJNI IZVOR . STJN KGOV MŽ.. Strujni krug... zvori Skup elektrotehničkih elemenata koji su preko električnih vodiča međusobno spojeni naziva se električna mreža ili elektrotehnički sklop. električnoj mreži, kada su

Διαβάστε περισσότερα

ZAVARENI SPOJEVI (elementi za spajanje nerastavljivi spojevi)

ZAVARENI SPOJEVI (elementi za spajanje nerastavljivi spojevi) ZAVARENI SPOJEVI (elementi za spajanje nerastavljivi spojevi) Zavarivanje = spajanje dijelova koji su na mjestu spoja dovođenjem topline omekšani ili rastopljeni, uz dodavanje dodatnog materijala ili bez

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE I. Predavanja

BETONSKE KONSTRUKCIJE I. Predavanja BETONSKE KONSTRUKCIJE I Predavanja Zagreb, 010. Igor Gukov SADRŽAJ 1. UVOD...3. FIZIKALNO-MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA...6.1. Beton...7.1.1 Računska čvrstoća betona...11.1. Višeosno stanje naprezanja...11.1.3

Διαβάστε περισσότερα

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje:

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje: 8. VJEŽBA - RIJEŠENI ZADACI IZ MEANIKE FLUIDA. Oreite minimalni protok Q u nestlačiom strujanju fluia ko koje će ejektor početi usisaati flui kroz ertikalnu cječicu. Zaano je A = cm, A =,5 cm, h=,9 m.

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

ZAKONI OČUVANJA U IZOLIRANOM SUSTAVU

ZAKONI OČUVANJA U IZOLIRANOM SUSTAVU Poglavlje 6 ZAKONI OČUVANJA U IZOLIRANOM SUSTAVU U praksi se često dogada da nekoliko tijela uzajamno djeluju jedno na drugo mnogo snažnije nego što na njih djeluju druga okolna tijela. Teorijsko razmatranje

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

Predavanje br 3 TRANSPORT I LOGISTIKA 2006/2007 OSNOVE ZA DIMENZIONISANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA

Predavanje br 3 TRANSPORT I LOGISTIKA 2006/2007 OSNOVE ZA DIMENZIONISANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA ANALIZA NOSEĆIH STRUKTURA 11 Predavanje br TRANSPORT I LOGISTIKA 006/007 OSNOVE ZA DIMENZIONISANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA Dimenzionisanje čeličnih konstrukcija se izvodi na bazi poznavanja rasporeda spoljašnjih

Διαβάστε περισσότερα

MOSTOVI SA KOSIM ZATEGAMA

MOSTOVI SA KOSIM ZATEGAMA MOSTOVI SA KOSIM ZATEGAMA U toku posljednjih tridesetak godina mostovi sa kosim zategama doživljavaju spektakularan razvoj u cijelom svijetu. Ekonomičnost ovih mostova ne leži samo u odličnom iskorištenju

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA

STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA STVAAJE VEZE C-C PM]U GAAA 2 6 rojne i raznovrsne reakcije * idroborovanje alkena i reakcije alkil-borana 3, Et 2 (ili TF ili diglim) Ar δ δ 2 2 3 * cis-adicija "suprotno" Markovnikov-ljevom pravilu *

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2)

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2) 1 RАVNSKE REŠETKE Rešetkasti nosači predstavljaju sistem sačinjen od lakih krutih štapova međusobno zglobno vezanih svojim krajevima. Zglobne veze krajeva štapova se nazivaju čvorovi. Rešetke su opterećene

Διαβάστε περισσότερα

Metode prognoziranja na vremenskim nizovima

Metode prognoziranja na vremenskim nizovima Metode prognoziranja na vremenskim nizovima Pomoću ovih metoda buduće vrijednosti prognoziraju se na temelju povijesnih podataka. Pravila po kojima se ponašaju podaci iz prošlosti primjenjuje se na buduće

Διαβάστε περισσότερα

VIJČANI SPOJEVI. Pomoćni nastavni materijali uz kolegij "Konstrukcijski elementi I" Ak. godina 2006./07.

VIJČANI SPOJEVI. Pomoćni nastavni materijali uz kolegij Konstrukcijski elementi I Ak. godina 2006./07. VIJČANI SPOJEVI Pomoćni nastavni materijali uz kolegij "Konstrukcijski elementi I" Ak. godina 2006./07. Nositelji kolegija: Prof. dr. sc. Božidar Križan Doc. dr. sc. Saša Zelenika - 1 - VIJČANI SPOJEVI

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11.

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11. OSNOVE EEKTOTEHNKE Vježba... Za redno rezonantno kolo, prikazano na slici. je poznato E V, =Ω, =Ω, =Ω kao i rezonantna učestanost f =5kHz. zračunati: a) kompleksnu struju u kolu kao i kompleksne napone

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

RADIJALNI KLIZNI LEŽAJ

RADIJALNI KLIZNI LEŽAJ FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ZAVOD ZA STROJARSTVO I BRODOGRADNJU KATEDRA ZA ELEMENTE STROJEVA Damir Jelaska RADIJALNI KLIZNI LEŽAJ (Proračun) Split, srpanj, 2003. O Z N A K E A H

Διαβάστε περισσότερα

stolica yachtsman Od polietilena bijele boje otpornog na udarce. Tapecirana. Stolice i stolovi A B C D E F G Visina (inch) Dubina (inch) Širina (inch)

stolica yachtsman Od polietilena bijele boje otpornog na udarce. Tapecirana. Stolice i stolovi A B C D E F G Visina (inch) Dubina (inch) Širina (inch) A B C D E F G STOLICE Naziv Visina (inch) Širina (inch) Dubina (inch) AQ1000002 SKIPPER SKLOPIVA STOLICA BIJELA SA BIJELIM JASTUKOM 18 20 17 A AQ1000025 SKIPPER SKLOPIVA STOLICA,BIJELA SA BIJELO PLAVIM

Διαβάστε περισσότερα

9. Loksodroma i ortodroma

9. Loksodroma i ortodroma Loksodroma 9. Loksodroma i ortodroma Loksodroma 1 je krivulje na površini Zemlje koja sve meridijane sijece pod istim kutom. Osim u posebnim slucajevima ima oblik spirale cije ishodište i završnica teže

Διαβάστε περισσότερα

Uležišteni ventili (PN 6) VL 2 prolazni ventil, prirubnica VL 3 troputni ventil, prirubnica

Uležišteni ventili (PN 6) VL 2 prolazni ventil, prirubnica VL 3 troputni ventil, prirubnica Tehnički podaci Uležišteni ventili (PN 6) VL 2 prolazni ventil, prirubnica VL 3 troputni ventil, prirubnica Opis VL 2 VL 3 Ventili VL 2 i VL 3 pružaju kvalitetno, isplativo rješenje za većinu primjena

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

PRIVREDNO DRUŠTVO ZA PROIZVODNJU I POSTAVLJA NJE C EVI, PROFILA I OSTALIH PROIZVODA OD PLASTIČ N IH M ASA

PRIVREDNO DRUŠTVO ZA PROIZVODNJU I POSTAVLJA NJE C EVI, PROFILA I OSTALIH PROIZVODA OD PLASTIČ N IH M ASA PRIVREDNO DRUŠTVO ZA PROIZVODNJU I POSTAVLJA NJE C EVI, PROFILA I OSTALIH PROIZVODA OD PLASTIČ N IH M ASA d.o.o Radnicka bb 32240 LU ČANI SRBIJA TR: 205-68352-90; MB: 17533606; PIB: 103195754; E-mail:

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci (teorija i objašnjenja):

Zadaci (teorija i objašnjenja): KOLOKVIJ K, 1-4 F1_I semestar; 9.01.08. (analiza zadataka i rješenja) Napomena: razmatrani su svi zadaci iz četiri grupe, K, 1-4 na način da su obrađeni oni s istim temama; posebno je obraćena pažnja onim

Διαβάστε περισσότερα

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI.

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI. 1 O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI Ljubiša Nešić, Odsek za fiziku, PMF, Niš http://www.pmf.ni.ac.yu/people/nesiclj/ Uvod Kao što je poznato, fizičke veličine mogu da imaju dimenzije ili pak da budu bezdimenzionalne.

Διαβάστε περισσότερα

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA Izmeriti neku veličinu u fizici znači naći brojni odnos merene fizičke veličine prema vrednosti iste fizičke veličine, koja je dogovorno izabrana za jedinicu.

Διαβάστε περισσότερα

8. ALATI ZA PREOBLIKOVANJE

8. ALATI ZA PREOBLIKOVANJE 8. ALATI ZA PREOBLIKOVANJE 8.1 Osnove preoblikovanja Preoblikovanje je promjena oblika čvrstog tijela postupcima trajne ili plastične deformacije bez odvajanja i promjene mase materijala (DIN 8850, 2.grupa).

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja Glava 2 Kinematika Gde god da pogledamo oko nas, možemo da uočimo tela u kretanju (u fizici je uobičajeno a se kaže u stanju kretanja ). Čak i kada smo u stanju mirovanja, naše srce kuca i na taj način

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Ventili sa dosjedom (PN 16) VF 2 prolazni ventil, prirubnica VF 3 troputni ventil, prirubnica

Ventili sa dosjedom (PN 16) VF 2 prolazni ventil, prirubnica VF 3 troputni ventil, prirubnica Tehnički podaci Ventili sa dosjedom (PN 16) VF 2 prolazni ventil, prirubnica VF 3 troputni ventil, prirubnica Opis VF 2 VF 3 Ventili VF 2 i VF 3 pružaju kvalitetno, isplativo rješenje za većinu primjena

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Matrična analiza linijskih

Διαβάστε περισσότερα

SENZORI I MJERNI PRETVARAČI

SENZORI I MJERNI PRETVARAČI SENZORI I MJERNI PRETVARAČI Što je automatika danas? Automatsko upravljanje + (Procesno) računarstvo + Komunikacione tehnologije Sinergija automatike (Control), računarstva (Computing) I komunikacija (Communication):

Διαβάστε περισσότερα

PREDMECI ZA TVORBU DECIMALNIH JEDINICA

PREDMECI ZA TVORBU DECIMALNIH JEDINICA OSNOVNE S. I. JEDINICE Naziv jedinice Znak jedinice Fizikalna veličina i znak metar m duljina s, d, l kilogram kg masa m sekunda s vrijeme t amper A jakost električne struje I, i kelvin K termodinamička

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

Proračun toplotne zaštite

Proračun toplotne zaštite Proračun toplotne zaštite za objekat Stambeni objekat urađen prema JUS U.J5.600 iz 1998 i JUS U.J5.510 iz 1987 godine. Sadržaj - analiza konstrukcija - analiza linijskih gubitaka - proračun toplotnih transmisionih

Διαβάστε περισσότερα

A. STATIČKI PRORAČUN POLUMONTAŽNE STROPNE KONSTRUKCIJE "YTONG STROP" strana

A. STATIČKI PRORAČUN POLUMONTAŽNE STROPNE KONSTRUKCIJE YTONG STROP strana S A D R Ž A J OPĆI DIO: Izvadak iz sudskog registra o registraciji Rješenje o upisu u imenik ovlaštenih inženjera građevinarstva Izvješće o kontroli Tipskog projekta glede mehaničke otpornosti i stabilnosti

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

( pol funkcije), horizontalna ili kosa.

( pol funkcije), horizontalna ili kosa. 4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE KONSTRUIRANJA (2+1)

OSNOVE KONSTRUIRANJA (2+1) TEHNIČKI FAKULTET Sveučilišni preddiplomski studij elektrotehnike OSNOVE KONSTRUIRANJA (2+1) Akademska godina 2009./10. Slikovni materijal uz predavanja NAPREZANJA U KONSTRUKCIJSKIM ELEMENTIMA AKSIJALNO

Διαβάστε περισσότερα

Oznaka CE aktivna pasivna konstrukcijska

Oznaka CE aktivna pasivna konstrukcijska 5.7 Sigurnosno staklo RX SAFE 5.7 Posljedica suvremenih tehnologija velika su poboljšanja karakteristika stakla u smislu zaštite od topline, sunca i zvuka. Građevinski elementi od stakla daju poseban pečat

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG 1 PRAVILNIK BAB 87

PRILOG 1 PRAVILNIK BAB 87 PRILOG 1 PRAVILNIK BAB 87 PRILOG 1.1 PRAVILNIK O TEHNIČKIM NORMATIVIMA ZA BETON I ARMIRANI BETON I OPŠTE ODREDBE 1 Ovim pravilnikom propisuju se uslovi i zahtevi koji moraju biti ispunjeni pri projektovanju,

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Ružica Korać GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Maja Starčević Zagreb, rujan 2015. Svaki dan je

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

Rizik i nesigurnost I. Rizik i njegovo mjerenje; sklonost ka riziku

Rizik i nesigurnost I. Rizik i njegovo mjerenje; sklonost ka riziku Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Inženjerska ekonomika (41251) Zagreb, 11. svibnja 2013. Rizik i nesigurnost I. Rizik i njegovo mjerenje; sklonost ka riziku Bilješke s predavanja

Διαβάστε περισσότερα

Predavanja iz mehanike u okviru predmeta Fizika 1 i 2

Predavanja iz mehanike u okviru predmeta Fizika 1 i 2 Predavanja iz mehanike u okviru predmeta Fizika 1 i 2 Saša Ilijić (UniZG/FER) 27. lipnja 2016. Sadržaj 1 Materija, prostor, vrijeme i fizikalne veličine 1 1.1 Tijela, čestice i gustoća mase.............................

Διαβάστε περισσότερα

AKTIVNI I REAKTIVNI OTPORI U KOLU NAIZMJENIČNE STRUJE

AKTIVNI I REAKTIVNI OTPORI U KOLU NAIZMJENIČNE STRUJE MJEŠOVITA SREDNJA TEHNIČKA ŠKOLA TRAVNIK AKTIVNI I REAKTIVNI OTPORI U KOLU NAIZMJENIČNE STRUJE Električna kola Profesor: mr. Selmir Gajip, dipl. ing. el. Travnik, februar 2014. Osnovni pojmovi- naizmjenična

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o kutevima Poznate su slijedece vrste kuteva: siljasti kut α < 90 pravi kut α = 90 tupi kut 90 < α < 180 ravni kut α = 180 izboceni kut 180 < α < 360 puni kut α = 360 Komplementi

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE PRORAČUNA I DJELOVANJA NA KONSTRUKCIJE SADRŽAJ

OSNOVE PRORAČUNA I DJELOVANJA NA KONSTRUKCIJE SADRŽAJ OSNOVE PRORAČUNA I DJELOVANJA NA KONSTRUKCIJE SADRŽAJ 1 OSNOVE PRORAČUNA KONSTRUKCIJA... 2 2 DJELOVANJA NA KONSTRUKCIJE... 6 2.1 Klasifikacija djelovanja... 7 2.2 Vlastita težina... 8 2.3 Uporabna opterećenja

Διαβάστε περισσότερα

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja FIZIKA. Ispitna knjižica 1 FIZ IK-1 D-S001

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja FIZIKA. Ispitna knjižica 1 FIZ IK-1 D-S001 Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja FIZIKA Ispitna knjižica 1 12 Prazna stranica 99 UPUTE Pozorno slijedite sve upute. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte test dok to ne odobri dežurni

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON. Predavanja. Zagreb, 2007.

PREDNAPETI BETON. Predavanja. Zagreb, 2007. PREDNAPETI BETON Predavanja Zagreb, 2007. SADRŽAJ 1. UVOD...3 2. SVOJSTVA MATERIJALA...7 2.1. Čelik za prednapinjanje...7 2.2. Beton...9 2.3. Mort za injektiranje...10 3. SUSTAVI ZA PREDNAPINJANJE...13

Διαβάστε περισσότερα

WELTPLAST d.o.o. Rastovača bb POSUŠJE Bosna i Hercegovina tel: fax:

WELTPLAST d.o.o. Rastovača bb POSUŠJE Bosna i Hercegovina tel: fax: 2 Weltplast d.o.o. WELTPLAST d.o.o. Rastovača bb 88240 POSUŠJE Bosna i Hercegovina tel: ++ 387 39 683 045 fax: ++ 387 39 681 204 weltplast@weltplast.com WELTPLAST SPLIT Weltplast d.o.o. Velebitska 51,

Διαβάστε περισσότερα

KORISNIČKE UPUTE. Midea klima uređaji. (uz daljinski upravljač R51)

KORISNIČKE UPUTE. Midea klima uređaji. (uz daljinski upravljač R51) KORISNIČKE UPUTE Midea klima uređaji (uz daljinski upravljač R51) www.frigo-kor.hr SPECIFIKACIJA DALJINSKOG UPRAVLJAČA Model R51D/E,R51D/CE,R51/E,R51/ BGE, 51/CBGE Nominalni napon 3.0V (Alkalne suhe baterije

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Prijanjanje i klizanje

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Prijanjanje i klizanje PRIJANJANJE I KLIZANJE Uslov kotrljanja točka TRENJE PRIJANJANJE IZMEĐU TOČKA I PODLOGE Kulonovo trenje uprošćen matematički model, važi za kruta tela tj. nedeformabilne materijale Ne važi za gumu Guma

Διαβάστε περισσότερα

VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel. Zdenko Novak 1. UVOD

VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel. Zdenko Novak 1. UVOD 10.2012-13. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel Zdenko Novak TEHNIČKA SREDSTVA U CESTOVNOM PROMETU 1. UVOD 1 Literatura: [1] Novak, Z.: Predavanja Tehnička sredstva u cestovnom prometu, Web stranice Veleučilišta

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto?

Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Matematika 1 za kemičare Kako prevoditi s jezika kemije na jezik matematike i obrnuto? Franka Miriam Brückler Igor Pažanin Zagreb, 2012. Sadržaj 1 Uvod 7 1.1 Varijable i konstante............................

Διαβάστε περισσότερα

P O M O Ć N I Č K I B R A V A R

P O M O Ć N I Č K I B R A V A R P O M O Ć N I Č K I I S P I T B R A V A R Ime i prezime: Datum polaganja: Datum rođenja: Potpis: Ispitna pravila: - dozvoljeno pisati crnom ili plavom kemijskom olovkom, flomasterom ili nalivperom (osim

Διαβάστε περισσότερα

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ FIZIKE Srednje škole 1. skupina

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ FIZIKE Srednje škole 1. skupina ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ FIZIKE 6..9. Srednje škole. skupina. zadatak ( bodova) Tramvaj vozi između dvije stanice udaljene 6 m tako da polazi sa prve stanice iz mirovanja i ubrzava ubrzanjem m/s dok ne

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTROTEHNIKE I ELEKTRIČNIH MAŠINA

OSNOVI ELEKTROTEHNIKE I ELEKTRIČNIH MAŠINA Tihomir Latinović Miroslav Prša Tihomir Latinović, Miroslav Prša OSNOVI ELEKTROTEHNIKE I ELEKTRIČNIH MAŠINA Banja Luka, 2013. 1 Osnovi elektrotehnike i električnih mašina Biblioteka: INFORMACIONE TEHNOLOGIJE

Διαβάστε περισσότερα