ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΥΝΑΜΙΚΑ ΛΕΞΙΚΑ ΙΣΟΖΥΓΙΣΜΕΝΑ ΕΝ ΡΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΥΝΑΜΙΚΑ ΛΕΞΙΚΑ ΙΣΟΖΥΓΙΣΜΕΝΑ ΕΝ ΡΑ"

Transcript

1 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΥΝΑΜΙΚΑ ΛΕΞΙΚΑ ΙΣΟΖΥΓΙΣΜΕΝΑ ΕΝ ΡΑ

2 ενδρικές οµές για Υλοποίηση υναµικών Λεξικών υναµικά λεξικά λειτουργίες LookUp( ), Insert( ) και Delete( ) Αναζητούµε δένδρα για την αποτελεσµατική υλοποίηση δυναµικών λεξικών δηλ., να υποστηρίζουν τις λειτουργίες LookUp(), Insert() και Delete() σε χρόνο O(logn). Θα δούµε δένδρα AVL κοκκινό-µαυρα δένδρα 2-3 δένδρα, Β-δένδρα splay (αρθρωτά) δένδρα (επίσης, εξαρθρωµένα) Γενικά: δένδρα ισοζυγισµένα καθ ύψος δένδρα ισοζυγισµένα κατά βάρος δένδρα ελάττωσης εσωτερικού µονοπατιού 2

3 ένδρα AVL υαδικά δένδρα Για κάθε κόµβο (v: δείκτης στον κόµβο), ορίζουµε LeftHeight(v) = 0, αν v->left = NULL, LeftHeight(v) = 1 + Height(v->left), διαφορετικά. όπου Height(w) το ύψος του υποδένδρου µε ρίζα τον w. Το RightHeight(v) ορίζεται αντίστοιχα. Το ισοζύγιο (balance) κόµβου v είναι balance(v) = RightHeight(v) LeftHeight(v) Για το δένδρο Τ (µε δείκτη r στη ρίζα): LeftHeight(T) = LeftHeight(r) RightHeight(T) = RightHeight(r) 3

4 ένδρα AVL ένδρο AVL δυαδικό δένδρο αναζήτησης και κάθε κόµβος του έχει balance = 0, 1, ή +1. Τα δένδρα των περιπτώσεων (a), (b), (c) είναι δένδρα AVL, ενώ αυτά των περιπτώσεων (d), (e) δεν είναι. 4

5 Χαρακτηριστικά ένδρων AVL Κάθε δένδρο AVL είναι δυαδικό δένδρο αναζήτησης και έχει ύψος O(log n), όπου n το πλήθος κόµβων του δένδρου. Τι σηµαίνει αυτό για την πολυπλοκότητα της LookUp()? Ένας κόµβος µπορεί να προστεθεί σε ή να αφαιρεθεί από ένα δένδρο AVL χωρίς να καταστραφεί η AVL ιδιότητα (ιδιότητα ισοζυγισµού καθ ύψος) σε χρόνο O(log n). Αναπαράσταση Κάθε κόµβος είναι µια δοµή µε πεδία: key, data, left, right, balance Πόσο χώρο στη µνήµη χρειαζόµαστε για να αποθηκεύσουµε το balance? 5

6 Εισαγωγές κόµβων σε δένδρο AVL Πως µπορούµε να υλοποιήσουµε την Insert()?Που διαφέρει από την Insert() σε δυαδικό δένδρο αναζήτησης? Ακολουθώντας τη γνωστή µέθοδο εισαγωγής σε δένδρο δυαδικής αναζήτησης: βρες το µονοπάτι από τη ρίζα στο κατάλληλο φύλλο στο οποίο θα γίνει η εισαγωγή. Αποθήκευσε αυτό το µονοπάτι (ανεστραµµένο). Ακολούθησε αυτό το µονοπάτι από κάτω προς τα επάνω υπολογίζοντας το νέο balance των κόµβων του µονοπατιού αυτού. Αν το balance κάποιου κόµβου αλλάζει σε +2 ή σε 2, ακολούθησε διαδικασία τροποποίησης του δένδρου ώστε να επανέλθει σε ισχύ η AVL ιδιότητα: εκτέλεσε περιστροφές. 6

7 Εισαγωγές κόµβων σε δένδρο AVL Παράδειγµα Η απλή περίπτωση: (b) Εισαγωγή στο δένδρο AVL της περίπτωσης (a) (d) Εισαγωγή στο δένδρο AVL της περίπτωσης (c) 7

8 Εισαγωγές κόµβων σε δένδρο AVL Απλή Αριστερή Περιστροφή, RR (Single Left Rotation) Γιατί να µην ανταλλάξουµε το υποδένδρο Τ1 µε το υποδένδρο Τ3 για να επιλύσουµε το πρόβληµα? Ποια είναι η συµµετρική περίπτωση (Απλή εξιά Περιστροφή, LL)? Πολυπλοκότητα Χρόνου? 8

9 Εισαγωγές κόµβων σε δένδρο AVL Απλή εξιά Περιστροφή, LL (Single Right Rotation) Προσοχή: Τα L και R σχετίζονται µε το που βρίσκεται το υποδένδρο όπου έχει γίνει η εισαγωγή σε σχέση µε τον κόµβο όπου εµφανίζεται η έλλειψη ισορροπίας. Οι περιστροφές LL και RR γίνονται όταν παρουσιαστεί εξωτερική έλλειψη ισορροπίας. 9

10 Εισαγωγές κόµβων σε δένδρο AVL ιπλή περιστροφή RL (Double Rotation RL) RL = Right-Left Υπάρχει επίσης η συµµετρική ιπλή Περιστροφή LR (Left-Right). Οι διπλές περιστροφές (RL, LR) απαιτούνται για εσωτερική έλλειψη ισορροπίας. 10

11 Εισαγωγές κόµβων σε δένδρο AVL Παράδειγµα: ιαδοχικές εισαγωγές των κλειδιών 90, 71, 10, 4, 12, 5, 19, 52 και 56 σε αρχικά κενό δένδρο AVL. 11

12 Κρίσιµος Κόµβος (Critical Node) Κρίσιµος Κόµβος ο χαµηλότερος κόµβος µε balance +1 ή 1 στο µονοπάτι που θα ακολουθήσουµε από τη ρίζα για την εισαγωγή του νέου κόµβου Στο µονοπάτι αυτό: Κάθε κόµβος χαµηλότερα από τον κρίσιµο κόµβο είχε balance 0. Άρα, θα έχει balance +1 ή 1 µετά την εισαγωγή. Τι καθορίζει το αν κάποιος τέτοιος κόµβος θα έχει balance +1 ή 1? Ο κρίσιµος κόµβος µετά την εισαγωγή έχει balance ίσο µε 0 ή +2 ή 2. Γιατί? Πότε το balance γίνεται 0, πότε +2 και πότε 2? Το balance των κόµβων ψηλότερα από τον κρίσιµο κόµβο δεν αλλάζει γιατί το ύψος του κρίσιµου κόµβου είναι το ίδιο πριν και µετά την εισαγωγή (µε ή χωρις περιστροφή). Γιατί? Άρα, µόνον οι κόµβοι από τον κρίσιµο κόµβο και χαµηλότερα χρειάζεται να ελεγχθούν για αλλαγές στο balance τους. Σηµείωση: Ο κρίσιµος κόµβος είναι σηµαντικός για την αποτελεσµατική υλοποίηση της διαδικασίας εισαγωγής σε δένδρο AVL. 12

13 Κρίσιµος Κόµβος Εάν γίνει περιστροφή, αυτή σχετίζεται µε τον κρίσιµο κόµβο και µπορεί να είναι: µια απλή περιστροφή µεταξύ του κρίσιµου κόµβου και του κόµβου-παιδιού του στο µονοπάτι που ακολουθήθηκε για την εισαγωγή µια διπλή περιστροφή µεταξύ του κρίσιµου κόµβου, του κόµβου-παιδιού του και του κόµβουεγγονού του στο µονοπάτι για την εισαγωγή Σε τι µας βοηθάει η παρατήρηση αυτή? Καθώς ο αλγόριθµος κατεβαίνει προς το ζητούµενο φύλλο, αρκεί να θυµάται µόνο τον τελευταίο κρίσιµο κόµβο. Μετά την εισαγωγή, ξεκινώντας από τον κρίσιµο κόµβο ακολούθησε και πάλι το ίδιο µονοπάτι προς τον κόµβο που εισήχθη και διόρθωσε τα balances. Τέλος, αν χρειάζεται κάνε τις περιστροφές. Γιατί µπορούµε να βρούµε και πάλι αυτό το µονοπάτι? Πως διορθώνουµε τα balances? Ποια είναι η πολυπλοκότητα χρόνου της Insert()? 13

14 ιαγραφές κόµβων σε δένδρο AVL Αρχικά, εφαρµόζουµε τον αλγόριθµο διαγραφής σε δυαδικό δένδρο αναζήτησης: 1) διαγραφή του ίδιου του κόµβου v αν είναι φύλλο, 2) αντικατάστασή του από το παιδί του αν έχει µόνο ένα παιδί, 3) αντικατάστασή του από τον επόµενό του στην ενδοδιατεταγµένη διάταξη αν έχει 2 παιδιά. Κατόπιν, ελέγχουµε τις τιµές του balance: το balance του κόµβου-γονέα του κόµβου που διαγράφεται (διαγράφεται ο v ή ο επόµενος του v στην ενδο-διατεταγµένη διάσχιση) αλλάζει. (a) Αρχικό δένδρο, (b)-(e) διαγραφές Β,F,M,R 14

15 ιαγραφές κόµβων σε δένδρο AVL Αν το balance του κόµβου-γονέα w του κόµβου που διαγράφεται (του v ή του επόµενού του στην ενδοδιατεταγµένη διάσχιση) αλλάζει από 0 σε +1 ή σε 1, τότε ο αλγόριθµος τερµατίζει. από +1 ή 1 σε 0, το ύψος του w µειώνεται και άρα και το balance άλλων προγόνων του v ενδεχοµένως αλλάζει. από +1 ή 1 σε +2 ή 2, τότε γίνεται µία ή περισσότερες περιστροφές. Στη χειρότερη περίπτωση, µπορεί να χρειαστεί να γίνουν περιστροφές σε όλους τους κόµβους στο µονοπάτι από τον κόµβο w έως τη ρίζα. Το είδος των περιστροφών εξαρτάται από τις δύο πρώτες ακµές του µονοπατιού που καθορίζει το ύψος του εκάστοτε κόµβου µε balance +2 ή -2. Ποια είναι η πολυπλοκότητα χρόνου της υλοποίησης της Delete()? Ολόκληρο το µονοπάτι πρέπει να αποθηκευτεί και να ακολουθηθεί από τον κόµβο w προς τη ρίζα µέχρι να βρεθεί κάποιος κόµβος µε balance 0. Το balance του κόµβου αυτού γίνεται +1 ή 1, αλλά το ύψος του δεν αλλάζει, και από εκεί και µετά, το balance των κόµβων έως τη ρίζα δεν αλλάζει. 15

16 ιαγραφές κόµβων σε δένδρο AVL Αρχικό δένδρο 19 ιαγραφή του ιαγραφή του ιαγραφή του ιαγραφή του ιαγραφή του ιαγραφή του 5 52 ιαγραφή του

17 Παράδειγµα ιαγραφής που Οδηγεί σε Πολλαπλές Περιστροφές 17

18 Κοκκινόµαυρα ένδρα (Red-Black Trees) Κοκκινόµαυρο δένδρο δυαδικό δένδρο αναζήτησης κάθε κόµβος: κόκκινο χρώµα ή µαύρο χρώµα. Θα θεωρήσουµε τους δείκτες NULL ως δείκτες σε εξωτερικούς NIL κόµβους (φύλλα) του δυαδικού δένδρου και τους κανονικούς κόµβους που αποθηκεύουν κλειδιά ως εσωτερικούς κόµβους του δένδρου. (Αυτή η υπόθεση βοηθά στον περιορισµό των περιπτώσεων.) Ένα κοκκινόµαυρο δένδρο πληροί τις ακόλουθες ιδιότητες: Κάθε κόµβος έχει είτε κόκκινο είτε µαύρο χρώµα. Ο κόµβος-ρίζα και κάθε NIL κόµβος έχει µαύρο χρώµα. Κάθε απλή διαδροµή από έναν κόµβο σε έναν NIL κόµβο που είναι απόγονός του περιέχει το ίδιο πλήθος µαύρων κόµβων. Αν ένας κόµβος έχει κόκκινο χρώµα, τότε και τα δύο παιδιά του έχουν µαύρο χρώµα. 18

19 Παράδειγµα Κοκκινό-µαυρου ένδρου οµή πεδία key : η καταχωρηµένη τιµή color : το bit χρώµατος left, right : δείκτες στα παιδιά p : δείκτης στον κόµβο-γονέα 19

20 Μέγεθος Κοκκινό-µαυρων ένδρων Πρόταση: Ένα κοκκινόµαυρο δένδρο µε n εσωτερικούς κόµβους έχει ύψος 2 log(n+1). ιαίσθηση: Σε κάθε µονοπάτι από τη ρίζα σε φύλλο, τουλάχιστον οι µισοί κόµβοι έχουν µαύρο χρώµα. Γιατί; Απόδειξη µαύρο ύψος bh(v) κόµβου v: το πλήθος µαύρων κόµβων σε κάθε µονοπάτι από τον κόµβο v σε οποιοδήποτε φύλλο-απόγονο, χωρίς να συµπεριλάβουµε τον v. Με επαγωγή ως προς το ύψος κόµβου v, αποδεικνύουµε ότι το υπο-δένδρο µε ρίζα τον v περιέχει τουλάχιστον 2 bh(v) -1 εσωτερικούς κόµβους. Βάση επαγωγής: ο v έχει ύψος 0, τότε είναι φύλλο (NIL κόµβος) πλήθος εσωτερικών κόµβων στο υποδένδρο του v είναι 0. Επαγωγικό βήµα: οθέντος ενός κόµβου v, υποθέτουµε ότι ο ισχυρισµός ισχύει για τα παιδιά του v και τον αποδεικνύουµε για τον v. Έστω h το ύψος του δένδρου και r η ρίζα. Τότε bh(r) h/2. Άρα, n 2 h/2-1 h 2log(n+1). Πως υλοποιούµε τη LookUp()? Πολυπλοκότητα χρόνου? 20

21 Εισαγωγή σε Κοκκινό-µαυρο ένδρο Αλγόριθµος Εισαγωγή όπως σε δυαδικό δένδρο αναζήτησης. Ο νέος κόµβος που εισάγεται χρωµατίζεται µε κόκκινο χρώµα. Εξετάζουµε αν οι ιδιότητες χρωµατισµού εξακολουθούν να ισχύουν. Αν ναι τερµατίζουµε, διαφορετικά διορθώνουµε (στη 2 η περίπτωση: πατέρας έχει κόκκινο χρώµα, παππούς µαύρο). ιακρίνουµε περιπτώσεις. Για απλότητα, υποθέτουµε ότι ο πατέρας του x είναι αριστερό παιδί του πατέρα του (εργαζόµαστε συµµετρικά εάν είναι δεξί παιδί). Περίπτωση 1: Ο θείος (κόµβος-αδελφός του πατέρα) έχει κόκκινο χρώµα: αλλάζουµε το χρώµα του πατέρα και του θείου σε µαύρο και το χρώµα του παππού σε κόκκινο. Επαναλαµβάνουµε από τον κόµβο-παππού. 21

22 Εισαγωγή σε Κοκκινό-µαυρο ένδρο Αλγόριθµος (συνέχεια) Περίπτωση 2: Ο θείος έχει µαύρο χρώµα και ο x είναι δεξί παιδί του πατέρα του: ανάγουµε την περίπτωση αυτή στην περίπτωση 3 µε την εκτέλεση µιας αριστερής περιστροφής (x και πατέρας του). Περίπτωση 3: Ο θείος έχει µαύρο χρώµα και ο x είναι αριστερό παιδί του πατέρα του. Το χρώµα του πατέρα του x αλλάζει σε µαύρο και του παππού σε κόκκινο & εκτελείται µια δεξιά περιστροφή (x και παππούς του). Τερµατίζουµε. Σηµείωση: Εάν (λόγω συνεχούς εφαρµογής της περίπτωσης 1) φθάσουµε στη ρίζα, την χρωµατίζουµε µε µαύρο χρώµα και σταµατάµε. Ποια είναι η πολυπλοκότητα της RB-Insert()? 22

23 Εισαγωγή σε Κόκκινο-Μαύρο ένδρο: Παράδειγµα: Εισαγωγή του 4 23

24 ιαγραφή από Κοκκινό-µαυρο ένδρο Αρχικά, διαγραφή όπως σε δυαδικό δένδρο αναζήτησης. y: ο κόµβος που θα διαγραφεί από το δένδρο y έχει το πολύ ένα παιδί. Στη συνέχεια, ελέγχουµε εάν ισχύουν οι ιδιότητες χρωµατισµού, και εάν όχι, εκτελούµε κατάλληλες ενέργειες. 1. Ο y είναι κόκκινος ή είναι µαύρος µε κόκκινο παιδί: εν υπάρχει πρόβληµα. 2. Ο y είναι µαύρος µε µαύρο παιδί: Η διαγραφή του y δηµιουργεί (τουλάχιστον) ένα µονοπάτι από τη ρίζα µε µαύρο ύψος µικρότερο κατά ένα. Υποθέτουµε ότι η µονάδα µαύρου χρώµατος του y µεταφέρεται στο παιδί του, το οποίο τώρα γίνεται διπλά µαύρο (που είναι µη επιτρεπτό). Πρέπει να µεταφέρουµε την επιπλέον µονάδα µαύρου χρώµατος προς τα επάνω στο δένδρο µέχρι: να φθάσουµε στη ρίζα ή να βρούµε έναν κατάλληλο κόκκινο κόµβο τον οποίο χρωµατίζουµε µαύρο και τερµατίζουµε ή να εκτελέσουµε κατάλληλες περιστροφές και επαναχρωµατισµούς κάποιων κόµβων ώστε να λυθεί το πρόβληµα. 24

25 ιαγραφή από Κοκκινό-µαυρο ένδρο Θεωρούµε ότι το δένδρο υλοποιείται µε κόµβο φρουρό (όλοι οι null δείκτες δείχνουν στον κόµβο φρουρό). 25

26 ιαγραφή από Κοκκινό-µαυρο ένδρο x: το (διπλά µαύρο) παιδί του κόµβου που διαγράφηκε. Έστω w ο κόµβος-αδελφός & p ο πατέρας του x. (Ο w δεν µπορεί να είναι ο κόµβος φρουρός. Γιατί;) Έστω ότι ο x είναι αριστερό παιδί του p. (Η περίπτωση που ο x είναι δεξιό παιδί του p είναι συµµετρική.) 1. Ο w έχει κόκκινο χρώµα. Αναγόµαστε στην περίπτωση 2, αλλάζοντας το χρώµα του w σε µαύρο και του p σε κόκκινο & εκτελώντας µια αριστερή περιστροφή γύρω από τον πατέρα του x (περίπτωση (α) σχήµατος). 2. Ο w έχει µαύρο χρώµα. a. Και τα δύο παιδιά του w είναι µαύρα. Αλλάζουµε το χρώµα του w σε κόκκινο, του x σε µαύρο (από διπλά µαύρο) & µεταφέρουµε το µαύρο που αφαιρέσαµε από τους w, x στον p. Αν ο p είναι κόκκινος, γίνεται µαύρος και ο αλγόριθµος τερµατίζει. ιαφορετικά, ο p γίνεται διπλά µαύρος και η διαδικασία επαναλαµβάνεται µε x = p. b. Το w->left είναι κόκκινο και το w->right µαύρο. Αλλάζουµε το χρώµα του w σε κόκκινο και του w- >left σε µαύρο & εκτελούµε περιστροφή γύρω από τον w Μεταπίπτουµε στην περίπτωση 2c. c. Το w->right είναι κόκκινο. Αλλάζουµε το χρώµα του w->right σε µαύρο, του w σε ό,τι ήταν το χρώµα του p και του p σε µαύρο & εκτελούµε περιστροφή γύρω από τον p. Ο αλγόριθµος τερµατίζει. Εάν ο x φθάσει στη ρίζα του δένδρου, αγνοούµε την επιπλέον µονάδα µαύρου χρώµατος -- τερµατισµός 26

27 ιαγραφή από Κοκκινό-µαυρο ένδρο Σηµείωση: Στο σχήµα, όπου υπάρχει η επιγραφή x, υπάρχει µία επιπλέον µονάδα µαύρου χρώµατος. Πολυπλοκότητα χρόνου της RB-Delete(): Ο(log n) Πλήθος περιστροφών ανά διαγραφή: το πολύ 3 27

28 Αρθρωτά (Splay) ένδρα (Sleator & Tarjan, 1985) υαδικά δένδρα αναζήτησης (κάθε κόµβος έχει τα πεδία: key, data, left, right) ιαφορά από δυαδικά δένδρα αναζήτησης τρόπος εκτέλεσης LookUp( ), Insert( ) και Delete( ). Αν το δένδρο έχει n στοιχεία, δεν είναι εγγυηµένο ότι οι διαδικασίες αυτές εκτελούνται σε O(log n) χρόνο. Υπάρχει όµως η εξής εγγύηση: Κάθε ακολουθία από m αναζητήσεις, εισαγωγές, διαγραφές, ξεκινώντας από άδειο δένδρο, εκτελείται σε Ο(m logn) χρόνο. ηλαδή: To κόστος καθεµίας από αυτές τις λειτουργίες κατά µέσο όρο (amortized κόστος λειτουργίας) είναι O(logn). Αυτό δεν αποκλείει να: υπάρχει εκτέλεση κάποιας λειτουργίας (στην ακολουθία) µε κόστος πολύ υψηλό, π.χ., Ω(n), αλλά αυτό συµβαίνει αφού έχουν προηγηθεί πολλές λειτουργίες µε κόστος πολύ µικρό. 28

29 Αρθρωτά ένδρα Ιδέα (παρόµοια µε το (ευρετικό) Move-To-Front) Κάθε φορά που ένα κλειδί είναι το αποτέλεσµα µιας επιτυχηµένης αναζήτησης στο δένδρο, ο κόµβος του µετακινείται στη ρίζα. Κύρια Λειτουργία Splay(K,T), όπου K κλειδί, Τ δένδρο: τροποποιεί το Τ έτσι ώστε το προκύπτον δένδρο 1. είναι επίσης δυαδικό δένδρο αναζήτησης, και 2. έχει το κλειδί Κ στη ρίζα (το Κ υπάρχει στο δένδρο). Σηµείωση: Κάποιοι συγγραφείς ακολουθούν το εξής: αν το Κ δεν υπάρχει στο δένδρο, η ρίζα περιέχει το κλειδί που είναι ο προηγούµενος (ή ο επόµενος) του Κ στην ενδοδιατεταγµένη διάσχιση του Τ. Τα δένδρα των οποίων η διαχείριση βασίζεται στη λειτουργία Splay λέγονται αρθρωτά δένδρα. 29

30 Υλοποίηση Λειτουργιών Αρθρωτών ένδρων Αναζήτηση κλειδιού Κ αναζητούµε το Κ όπως στα δυαδικά δένδρα αναζήτησης, και εάν βρεθεί, εκτελούµε τη λειτουργία Splay(K,T) ώστε ο κόµβος που περιέχει το Κ να γίνει ρίζα του δένδρου. Εισαγωγή κόµβου <K,D> (κλειδί Κ, πληροφορία D) κάνουµε εισαγωγή των Κ και D όπως ακριβώς στα δυαδικά δένδρα αναζήτησης και κατόπιν εκτελούµε τη λειτουργία Splay(K,T) ώστε ο κόµβος που περιέχει τα Κ και D να γίνει ρίζα του δένδρου. ιαγραφή κόµβου <K,D> (κλειδί Κ, πληροφορία D) κάνουµε διαγραφή των Κ και D όπως ακριβώς στα δυαδικά δένδρα αναζήτησης και κατόπιν εκτελούµε τη λειτουργία Splay(P,T), όπου P ο κόµβος-πατέρας του κόµβου <K,D>, ώστε ο κόµβος αυτός να γίνει ρίζα του δένδρου. 30

31 Υλοποίηση της Λειτουργίας Splay(Κ,Τ) Πρώτα αναζητούµε το Κ µε το γνωστό τρόπο, και αποθηκεύουµε το µονοπάτι που ακολουθήσαµε σε στοίβα. Έστω P ο τελευταίος κόµβος σε αυτό το µονοπάτι. Αν το Κ υπάρχει στο δένδρο, θα βρίσκεται στον P. Μετά την Splay, ο P θα πρέπει να βρίσκεται στη ρίζα. ιακρίνουµε περιπτώσεις: 1. Ο P δεν έχει παππού (δηλαδή, το Parent(P) είναι η ρίζα). Εκτελούµε µια απλή περιστροφή. 31

32 Υλοποίηση της Λειτουργίας Splay(Κ,Τ) (συνέχ.) 2. Ο P και ο Parent(P) είναι και οι δύο είτε αριστερά παιδιά, είτε δεξιά παιδιά. Εκτελούµε δύο απλές περιστροφές προς την ίδια κατεύθυνση, την 1 η γύρω από τον παππού του P και την 2 η γύρω από τον πατέρα του P. Προσοχή: η περιστροφή γύρω από τον παππού του P εκτελείται πρώτη. 32

33 Υλοποίηση της Λειτουργίας Splay (συνέχεια) 3. Ένας από τους P, Parent(P) είναι αριστερό παιδί και ο άλλος δεξιό παιδί. Εκτελούµε δύο απλές περιστροφές αλλά σε αντίθετες κατευθύνσεις, την 1 η γύρω από τον πατέρα του P και την 2 η γύρω από τον παππού του P. Προσοχή: η περιστροφή γύρω από τον πατέρα του P εκτελείται πρώτη. 33

34 Παράδειγµα: Splay(D,T) 34

35 ένδρα Αναζήτησης Πολλαπλής ιακλάδωσης (ή πολύ-κατευθυνόµενα δένδρα αναζήτησης ή δένδρα αναζήτησης m-δρόµων) Γενίκευση των δυαδικών δένδρων αναζήτησης. Επινοήθηκε καθώς στον τοµέα των Βάσεων εδοµένων είναι επιθυµητά δένδρα αναζήτησης µικρού ύψους. Στα δένδρα αναζήτησης πολλαπλής διακλάδωσης, έχουµε κόµβους µε: d-1 διατεταγµένα κλειδιά k 1 k d-1 και d διατεταγµένα παιδιά (ρίζες υποδένδρων A 0,, A d-1 ), για τα οποία ισχύει ότι: (κλειδιά A 0 ) k 1 k i (κλειδιά A i ) k i +1, 1 i d-2 k d-1 (κλειδιά A d-1 ) Εάν ένα δένδρο είναι m-δρόµων, τότε οι κόµβοι έχουν το πολύ m-1 κλειδιά (π.χ., το σχήµα απεικονίζει ένα δένδρο 7-δρόµων). 35

36 Αναζήτηση Αναζήτηση του κλειδιού k τρέχων κόµβος = η ρίζα του δένδρου; Όσο ο δείκτης στον τρέχοντα κόµβο NULL Αναζητούµε το k στα κλειδιά του τρέχοντος κόµβου; Εάν βρεθεί εκεί, το k υπάρχει στο δένδρο αλλιώς εάν k < k 1 του τρέχοντος κόµβου τότε τρέχων κόµβος = ρίζα A 0 αλλιώς εάν k i < k < k i +1 τότε τρέχων κόµβος = ρίζα A i αλλιώς τρέχων κόµβος= ρίζα A d-1 Το k δεν υπάρχει στο δένδρο 36

37 (a,b)- ένδρα Ιδέα: Γιατί το δένδρο να µην είναι τέλεια ισοζυγισµένο? Μπορούµε να επιτύχουµε όλα τα φύλλα να έχουν το ίδιο βάθος για οποιοδήποτε πλήθος κόµβων. Ένα (a,b)-δένδρο είναι δένδρο αναζήτησης πολλαπλής διακλάδωσης και έχει: a 2 και συνήθως b 2 a η ρίζα έχει d-1 κλειδιά και d παιδιά, 2 d b οι υπόλοιποι εσωτερικοί κόµβοι έχουν t-1 κλειδιά και t παιδιά, a t b τα φύλλα έχουν t-1 κλειδιά, a t b. 37

38 Ειδικές Περιπτώσεις (a,b)- ένδρων Β-δέντρα (βαθµού m) (Bayer 72) = ( m/2, m)- ένδρα Κοκκινό-µαυρα ένδρα = (2,4)- ένδρα x = x x z = x z = u x z x u z 38

39 (a,b)- ένδρα Μεταξύ όλων των (a,b)-δένδρων ύψους h, ποιο είναι εκείνο µε τους λιγότερους κόµβους? Ποιο είναι το ύψος αυτού του δένδρου ως προς το πλήθος κόµβων? Μεταξύ όλων των (a,b)-δένδρων ύψους h, ποιο είναι εκείνο µε τους περισσότερους κόµβους? Ποιο είναι το ύψος αυτού του δένδρου ως προς το πλήθος κόµβων? Το ύψος ενός (a,b)-δένδρου µε n κόµβους είναι Θ(log n). Ποια είναι η πολυπλοκότητα χρόνου της διαδικασίας αναζήτησης σε ένα (α,β)-δένδρο µε n κόµβους? 39

40 (2,3)- ένδρα Τα (2,3)-δένδρα έχουν 2 τύπους κόµβων: 2-κόµβους (µε 1 κλειδί και 2 παιδιά) 3-κόµβους (µε 2 κλειδιά και 3 παιδιά) 3-κόµβος 2-κόµβος 40

41 Εισαγωγή σε (2,3)- ένδρο Αλγόριθµος 1. Εύρεση του φύλλου στο οποίο θα πρέπει να εισαχθεί το νέο κλειδί. 2. Αν υπάρχει χώρος στον κόµβο (2-κόµβος, έχει 1 κλειδί), το νέο κλειδί εισάγεται εκεί και σταµατάµε. 3. Αν δεν υπάρχει χώρος (3-κόµβος, έχει 2 κλειδιά), ιάσπαση: χωρίζουµε τον κόµβο σε δύο 2-κόµβους, έναν µε το πρώτο και έναν µε το τρίτο κλειδί, και εάν υπάρχει κόµβος-πατέρας, περνάµε το µεσαίο κλειδί στον κόµβο-πατέρα για να αποθηκευτεί εκεί και επαναλαµβάνουµε στον κόµβο-πατέρα. Εάν δεν υπάρχει κόµβος-πατέρας, τότε ο κόµβος που χωρίσαµε είναι η ρίζα, και το µεσαίο κλειδί µπαίνει σε έναν 2-κόµβο µόνο του και αποτελεί τη νέα ρίζα του (2,3)-δένδρου. Σηµειώνεται ότι η διαδικασία επαναλαµβάνεται µέχρι είτε να βρούµε χώρο για το κλειδί σε κάποιο κόµβο στο µονοπάτι προς τη ρίζα, είτε να φτάσουµε στη ρίζα και να τη χωρίσουµε, οπότε το ύψος του δένδρου αυξάνει. Πολυπλοκότητα χρόνου = O(log n) 41

42 Παράδειγµα Εισαγωγής σε (2,3)-δένδρο Εισαγωγή του κλειδιού Ο στο δένδρο. 42

43 ιαγραφή σε (2,3)-δένδρο Λόγω της διαγραφής, ενδέχεται κάποιοι κόµβοι να µένουν χωρίς καθόλου κλειδιά. Όταν αυτό συµβαίνει, αν ο κόµβος έχει κάποιον αδελφικό κόµβο µε δύο κλειδιά, µπορούµε να µεταφέρουµε ένα κλειδί από τον αδελφικό κόµβο για να επιλύσουµε το πρόβληµα. π.χ., διαγραφή του Ε M P P 43

44 ιαγραφή σε (2,3)-δένδρο Αλγόριθµος 1. Αν το προς διαγραφή κλειδί είναι σε κόµβο φύλλο, διάγραψέ το. Αν όχι, αντικατάστησε το κλειδί µε το επόµενό του στην ενδο-διατεταγµένη διάσχιση και διάγραψε το επόµενό του από την αρχική του θέση (σε κόµβο φύλλο). 2. Έστω Ν ο κόµβος από τον οποίο διαγράφεται το κλειδί. Αν ο Ν έχει ένα κλειδί µετά τη διαγραφή, ο αλγόριθµος τερµατίζει. ιαφορετικά, ο Ν δεν έχει κανένα κλειδί και έχει 1 ή κανένα παιδί: a. Αν ο Ν είναι η ρίζα, διάγραψέ τον. Αν ο Ν δεν έχει παιδί, το δένδρο γίνεται άδειο. ιαφορετικά, το παιδί του Ν γίνεται ρίζα. Τερµατίζουµε. (Τώρα, ο Ν έχει τουλάχιστον έναν αδελφικό κόµβο. Γιατί?) b. ανεισµός: Αν ο Ν έχει έναν αδελφικό 3-κόµβο Ν ακριβώς στα δεξιά του, έστω S το κλειδί του πατρικού κόµβου των Ν, Ν που χωρίζει τα δύο υποδένδρα. Μετακινούµε το S στο Ν, και το αντικαθιστούµε στον πατέρα του µε το µικρότερο κλειδί του Ν. Αν Ν και Ν είναι εσωτερικοί κόµβοι, αλλάζουµε το αριστερότερο παιδί του Ν σε δεξιό παιδί του Ν. Τα Ν, Ν έχουν από ένα κλειδί το καθένα, και ο αλγόριθµος τερµατίζει. Αν όχι, ελέγχουµε για 3-κόµβο ακριβώς στα αριστερά. c. (Αν όχι, ο Ν έχει έναν αδελφικό 2-κόµβο Ν ελέγχουµε πρώτα δεξιά και µετά αριστερά.) Συνένωση: Έστω P ο πατέρας των Ν, Ν και S το κλειδί που χωρίζει τους Ν, Ν στον P. Συνενώνουµε το S και το κλειδί του Ν σε έναν νέο 3- κόµβο,ο οποίος αντικαθιστά τα Ν,Ν. Θέτουµε Ν = P και επαναλαµβάνουµε το βήµα 2 για τον P. 44

45 Παράδειγµα ιαγραφής σε (2,3)-δένδρο 45

h/2. Άρα, n 2 h/2-1 h 2log(n+1). Πως υλοποιούµε τη LookUp()? Πολυπλοκότητα?

h/2. Άρα, n 2 h/2-1 h 2log(n+1). Πως υλοποιούµε τη LookUp()? Πολυπλοκότητα? Κόκκινα-Μαύρα ένδρα (Red-Black Trees) Ένα κόκκινο-µαύρο δένδρο είναι ένα δυαδικό δένδρο αναζήτησης στο οποίο οι κόµβοι µπορούν να χαρακτηρίζονται από ένα εκ των δύο χρωµάτων: µαύρο-κόκκινο. Το χρώµα της

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2

ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2 ΕΝΟΤΗΤΑ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΛΕΞΙΚΩΝ ΜΕ ΙΣΟΖΥΓΙΣΜΕΝΑ ΕΝ ΡΑ ΗΥ24 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Ισοζυγισµένα ένδρα Χρονική Πολυπλοκότητα αναζήτησης σε δοµές που έχουν ήδη διδάχθει: Στατική Μη-Ταξινοµηµένη Λίστα -> Ο(n), όπου

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 7 Ουρές Προτεραιότητας

Ενότητα 7 Ουρές Προτεραιότητας Ενότητα Ουρές Προτεραιότητας ΗΥ4 - Παναγιώτα Φατούρου Ουρές Προτεραιότητας Θεωρούµε ένα χώρο κλειδιών U και έστω ότι µε κάθε κλειδί Κ (τύπου Key) έχει συσχετισθεί κάποια πληροφορία Ι (τύπου Type). Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 231 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Άννα Φιλίππου, 2006 9-1

ΕΠΛ 231 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Άννα Φιλίππου, 2006 9-1 Σωροί Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ουρές Προτεραιότητας Σωροί υλοποίηση και πράξεις Ο αλγόριθµος ταξινόµησης HeapSort Παραλλαγές Σωρών ΕΠΛ 231 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Δέντρα Αναζήτησης Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Το πρόβλημα Αναζήτηση Θέλουμε να διατηρήσουμε αντικείμενα με κλειδιά και να μπορούμε εκτός από

Διαβάστε περισσότερα

Ισοζυγισµένο έντρο (AVL Tree)

Ισοζυγισµένο έντρο (AVL Tree) Εργαστήριο 7 Ισοζυγισµένο έντρο (AVL Tree) Εισαγωγή Εκτός από τα δυαδικά δέντρα αναζήτησης (inry serh trees) που εξετάσαµε σε προηγούµενο εργαστήριο, υπάρχουν αρκετά είδη δέντρων αναζήτησης µε ξεχωριστό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΥΝΟΛΑ - ΛΕΞΙΚΑ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΥΝΟΛΑ - ΛΕΞΙΚΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΥΝΟΛΑ - ΛΕΞΙΚΑ ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου Σύνολα (Sets) Τα µέλη ενός συνόλου προέρχονται από κάποιο χώρο U αντικειµένων/στοιχείων (π.χ., σύνολα αριθµών, λέξεων, ζευγών αποτελούµενων από έναν

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 12: Δέντρα ΙΙ -Δυαδικά Δέντρα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Δυαδικά Δένδρα - Δυαδικά Δένδρα Αναζήτησης(ΔΔΑ) - Εύρεση Τυχαίου, Μέγιστου, Μικρότερου στοιχείου - Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

οµές εδοµένων 3 ο Εξάµηνο ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΝ ΡΑ

οµές εδοµένων 3 ο Εξάµηνο ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΝ ΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΝ ΡΑ 1 ένδρα εσωτερικός κόµβος u το δένδρο έχει ύψος 4 u έχει ύψος 3 w έχει βάθος 2 κόµβος ένδρο: γράφηµα χωρίς κύκλους o Ρίζα (root) o Κόµβος (node) o Ακµή (edge) o Γονέας (parent) Παιδί (child)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 7 ο. έντρο. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης

ΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 7 ο. έντρο. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης ΠΛΗ111 οµηµένος Προγραµµατισµός Ανοιξη 2005 Μάθηµα 7 ο έντρο Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης έντρο Ορισµός Υλοποίηση µε Πίνακα Υλοποίηση µε είκτες υαδικό έντρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND)

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND) ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND) Ένωση Ξένων Συνόλων (Disjoint Sets with Union) S 1,, S k : ξένα υποσύνολα ενός συνόλου U δηλ., S i S j =, αν i j, και S 1 S k = U. Λειτουργίες που θέλουµε

Διαβάστε περισσότερα

AVL-trees C++ implementation

AVL-trees C++ implementation Τ Μ Η Μ Α Μ Η Χ Α Ν Ι Κ Ω Ν Η / Υ Κ Α Ι Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ AVL-trees C++ implementation Δομές Δεδομένων Μάριος Κενδέα 31 Μαρτίου 2015 kendea@ceid.upatras.gr Εισαγωγή (1/3) Δυαδικά Δένδρα Αναζήτησης:

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 14: Δέντρα IV B Δένδρα. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διάλεξη 14: Δέντρα IV B Δένδρα. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 14: Δέντρα IV B Δένδρα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: 2 3 Δένδρα, Εισαγωγή και άλλες πράξεις Άλλα Δέντρα: Β δένδρα, Β+ δέντρα, R δέντρα Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου ΕΠΛ231

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής. Δομές Δεδομένων. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

Δομές Δεδομένων. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής. Δομές Δεδομένων. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 8: Γραμμική Αναζήτηση και Δυαδική Αναζήτηση-Εισαγωγή στα Δέντρα και Δυαδικά Δέντρα-Δυαδικά Δέντρα Αναζήτησης & Υλοποίηση ΔΔΑ με δείκτες Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Red- black δέντρα Εκτενείς Δομές Δεδομένων (Κεφ. 5)

Red- black δέντρα Εκτενείς Δομές Δεδομένων (Κεφ. 5) ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Red- black δέντρα Εκτενείς Δομές Δεδομένων (Κεφ. ) Δομές Δεδομένων Μπαλτάς Αλέξανδρος 4 Μαρτίου 0 ampaltas@ceid.upatras.gr Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Ορισμός red- black

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. ίνεται το γνωστό πρόβληµα των δύο δοχείων: «Υπάρχουν δύο δοχεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14. οµές Ευρετηρίων για Αρχεία. ιαφάνεια 14-1

Κεφάλαιο 14. οµές Ευρετηρίων για Αρχεία. ιαφάνεια 14-1 ιαφάνεια 14-1 Κεφάλαιο 14 οµές Ευρετηρίων για Αρχεία Copyright 2007 Ramez Elmasri and Shamkant B. NavatheΕλληνικήΈκδοση, ιαβλος, Επιµέλεια Μ.Χατζόπουλος 1 Θα µιλήσουµε για Τύποι Ταξινοµηµένων Ευρετηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Ουρά Προτεραιότητας (priority queue)

Ουρά Προτεραιότητας (priority queue) Ουρά Προτεραιότητας (priority queue) Δομή δεδομένων που υποστηρίζει δύο βασικές λειτουργίες : Εισαγωγή στοιχείου με δεδομένο κλειδί. Επιστροφή ενός στοιχείου με μέγιστο (ή ελάχιστο) κλειδί και διαγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων (Data Structures)

Δομές Δεδομένων (Data Structures) Δομές Δεδομένων (Data Structures) Δένδρα (Trees) Βασικές Έννοιες. Δυαδικά Δένδρα. Δυαδικά Δένδρα Αναζήτησης. AVL Δένδρα. Δένδρα: Βασικές Έννοιες Ορισμοί Λειτουργίες Υλοποιήσεις ΑΤΔ Δένδρο: μοντέλο ιεραρχικής

Διαβάστε περισσότερα

Πελάτες φθάνουν στο ταμείο μιας τράπεζας Eνα μόνο ταμείο είναι ανοικτό Κάθε πελάτης παρουσιάζεται με ένα νούμερο - αριθμός προτεραιότητας Όσο ο

Πελάτες φθάνουν στο ταμείο μιας τράπεζας Eνα μόνο ταμείο είναι ανοικτό Κάθε πελάτης παρουσιάζεται με ένα νούμερο - αριθμός προτεραιότητας Όσο ο Ουρές προτεραιότητας Πελάτες φθάνουν στο ταμείο μιας τράπεζας Eνα μόνο ταμείο είναι ανοικτό Κάθε πελάτης παρουσιάζεται με ένα νούμερο - αριθμός προτεραιότητας Όσο ο αριθμός είναι μεγάλος, τόσο οι πελάτες

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικά Πολυεπίπεδα Ευρετήρια (Β-δένδρα) Μ.Χατζόπουλος 1

Δυναμικά Πολυεπίπεδα Ευρετήρια (Β-δένδρα) Μ.Χατζόπουλος 1 Δυναμικά Πολυεπίπεδα Ευρετήρια (Β-δένδρα) Μ.Χατζόπουλος 1 Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ.Χατζόπουλος 2 Δένδρο αναζήτησης είναι ένας ειδικός τύπος δένδρου που χρησιμοποιείται για να καθοδηγήσει την αναζήτηση μιας

Διαβάστε περισσότερα

Η Περιοχή Εργασίας του Flash

Η Περιοχή Εργασίας του Flash Η Περιοχή Εργασίας του Flash Η Λωρίδα Χρόνου και τα Επίπεδα Το Flash είναι εφαρμογή με την οποία φτιάχνουμε ταινίες όπως διαφημιστικά banners και διαδραστικές εφαρμογές οι οποίες περιέχουν κίνηση. Για

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Αποδείξτε τη µεταβατική και τη συµµετρική ιδιότητα του Θ. Λύση Μεταβατική Ιδιότητα (ορισµός): Αν f(n) = Θ(g(n)) και g(n) = Θ(h(n)) τότε f(n)=θ(h(n)). Για

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Η δοµή δεδοµένων Σωρός και η Ταξινόµηση Σωρού (The Heap data structure and Heapsort) Έκδοση 1.1, 12/05/2010

Κεφάλαιο 2. Η δοµή δεδοµένων Σωρός και η Ταξινόµηση Σωρού (The Heap data structure and Heapsort) Έκδοση 1.1, 12/05/2010 Κεφάλαιο 2 Η δοµή δεδοµένων Σωρός και η Ταξινόµηση Σωρού (The Heap data structure and Heapsort) Έκδοση., 2/05/200 Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Σωρός και Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή Μια από τις εργασίες που µπορούµε να κάνουµε µε τον υπολογιστή είναι και η ζωγραφική. Για να γίνει όµως αυτό πρέπει ο υπολογιστής να είναι εφοδιασµένος µε το κατάλληλο πρόγραµµα.

Διαβάστε περισσότερα

Λεξικό, Union Find. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Λεξικό, Union Find. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Λεξικό, Union Find ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαχείριση ιαμερίσεων Συνόλου Στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Outlook Express-User Instructions.doc 1

Outlook Express-User Instructions.doc 1 Οδηγίες προς τους υπαλλήλους του ήµου Θεσσαλονίκης για την διαχείριση της ηλεκτρονικής τους αλληλογραφίας µε το Outlook Express (Ver 1.0 22-3-2011) (Για οποιοδήποτε πρόβληµα ή απορία επικοινωνήστε µε τον

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

13/5/2015 ΟΥΡΕΣ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ. Δομές Δεδομένων. Ουρές Προτεραιότητας

13/5/2015 ΟΥΡΕΣ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ. Δομές Δεδομένων. Ουρές Προτεραιότητας ΟΥΡΕΣ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ Δομές Δεδομένων Τι θα δούμε Ουρές προτεραιότητας Πράξεις Διωνυμικές Ουρές Διωνυμικά Δέντρα Διωνυμικοί Σωροί Ουρές Fibonacci Αναπαράσταση Πράξεις Ανάλυση Συγκρίσεις Ουρές προτεραιότητας

Διαβάστε περισσότερα

Insert (P) : Προσθέτει ένα νέο πρότυπο P στο λεξικό D. Delete (P) : Διαγράφει το πρότυπο P από το λεξικό D

Insert (P) : Προσθέτει ένα νέο πρότυπο P στο λεξικό D. Delete (P) : Διαγράφει το πρότυπο P από το λεξικό D Dynamic dictionary matching problem Έχουμε ένα σύνολο πρότυπων D = { P1, P2,..., Pk } oπου D το λεξικό και ένα αυθαίρετο κειμενο T [1,n] To σύνολο των πρότυπων αλλάζει με το χρόνο (ρεαλιστική συνθήκη).

Διαβάστε περισσότερα

Ουρά Προτεραιότητας: Heap

Ουρά Προτεραιότητας: Heap Ουρά Προτεραιότητας: Heap ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ομές εδομένων (Αναπαράσταση,) οργάνωση και διαχείριση συνόλων αντικειμένων για

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση Διμελής Σχέση Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατεταγμένο ζεύγος (α, β): Δύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

Δημιουργία Δυαδικών Δέντρων Αναζήτησης

Δημιουργία Δυαδικών Δέντρων Αναζήτησης Δημιουργία Δυαδικών Δέντρων Αναζήτησης Τα Δυαδικά δέντρα αναζήτησης είναι διατεταγμένα δυαδικά δέντρα όπου έχει σημασία η διάταξη των παιδιών κάθε κόμβου. Συγκεκριμένα για τα Δυαδικά δέντρα αναζήτησης,

Διαβάστε περισσότερα

Copyright 2007 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley, ΕλληνικήΈκδοση, ίαυλος

Copyright 2007 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley, ΕλληνικήΈκδοση, ίαυλος ιαφάνεια 10-1 Κεφάλαιο 10 Συναρτησιακές Εξαρτήσεις και Κανονικοποίηση για Σχεσιακές Βάσεις εδοµένων Copyright 2007 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley, ΕλληνικήΈκδοση ίαυλος ΠεριεχόµεναΚεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγόριθµοι Τι είναι αλγόριθµος; Τι µπορεί να υπολογίσει ένας αλγόριθµος; Πως αξιολογείται ένας αλγόριθµος; Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Αλγόριθµοι Εισαγωγικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Περιεχόμενα

Περιεχόμενα. Περιεχόμενα Περιεχόμενα xv Περιεχόμενα 1 Αρχές της Java... 1 1.1 Προκαταρκτικά: Κλάσεις, Τύποι και Αντικείμενα... 2 1.1.1 Βασικοί Τύποι... 5 1.1.2 Αντικείμενα... 7 1.1.3 Τύποι Enum... 14 1.2 Μέθοδοι... 15 1.3 Εκφράσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

Λογικός Σχεδιασμός Σχεσιακών Σχημάτων: Αποσύνθεση

Λογικός Σχεδιασμός Σχεσιακών Σχημάτων: Αποσύνθεση Λογικός Σχεδιασμός Σχεσιακών Σχημάτων: Αποσύνθεση Βάσεις Δεδομένων 2010-2011 Ευαγγελία Πιτουρά 1 Εισαγωγή Θα εξετάσουμε πότε ένα σχεσιακό σχήμα για μια βάση δεδομένων είναι «καλό» Γενικές Οδηγίες Η Μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008 Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 5//008 Πρόβληµα ο Στα παρακάτω ερωτήµατα επισηµαίνουµε ότι perceptron είναι ένας νευρώνας και υποθέτουµε, όπου χρειάζεται, τη χρήση δικτύων

Διαβάστε περισσότερα

υαδικό έντρο Αναζήτησης (BSTree)

υαδικό έντρο Αναζήτησης (BSTree) Εργαστήριο 6 υαδικό έντρο Αναζήτησης (BSTree) Εισαγωγή Οι περισσότερες δοµές δεδοµένων, που εξετάσαµε µέχρι τώρα (λίστες, στοίβες, ουρές) ήταν γραµ- µικές (ή δοµές δεδοµένων µιας διάστασης). Στην παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων Εργαστηριακή Άσκηση 2012-2013. Γκόγκος Νίκος Α.Μ.: 4973 Έτος: 3 ο Email: gkogkos@ceid.upatras.gr. Εισαγωγικά:

Δομές Δεδομένων Εργαστηριακή Άσκηση 2012-2013. Γκόγκος Νίκος Α.Μ.: 4973 Έτος: 3 ο Email: gkogkos@ceid.upatras.gr. Εισαγωγικά: Δομές Δεδομένων Εργαστηριακή Άσκηση 2012-2013 Γκόγκος Νίκος Α.Μ.: 4973 Έτος: 3 ο Email: gkogkos@ceid.upatras.gr Εισαγωγικά: Η υλοποίηση του project έχει γίνει σε python [2.7]. Τα python modules είναι αυτόνομα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ ΧΡΗΣΤΗ. Ηλεκτρονική Υποβολή Α.Π.Δ.

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ ΧΡΗΣΤΗ. Ηλεκτρονική Υποβολή Α.Π.Δ. ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ ΧΡΗΣΤΗ Ηλεκτρονική Υποβολή Α.Π.Δ. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) Είσοδος στην εφαρμογή 2) Δημιουργία Περιόδου Υποβολής 2.α) Ακύρωση Περιόδου Υποβολής 3) Μέθοδος Υποβολής: Συμπλήρωση Φόρμας 3.α) Συμπλήρωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΒΑΣΕΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ Insert, Update, Delete, Ένωση πινάκων Γιώργος Μαρκοµανώλης Περιεχόµενα Group By... 1 Having...1 Οrder By... 2 Εντολή Insert...

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΗ ΤΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ... 3 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 ΕΡΕΥΝΕΣ... 8

ΟΜΗ ΤΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ... 3 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 ΕΡΕΥΝΕΣ... 8 Εγχειρίδιο Χρήσης Συστήµατος Έρευνες Στατιστικών Στοιχείων ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΟΜΗ ΤΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ... 3 Λογική Ανάλυση Χρήσης Εφαρµογής... 3 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 ΠΡΟΣΘΗΚΗ ΕΡΩΤΗΣΗΣ... 6 Επεξεργασία Ερώτησης... 7 ιαγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Οδοραµα mobile ΑΠΟΘΗΚΗ

Οδοραµα mobile ΑΠΟΘΗΚΗ Οδοραµα mobile ΑΠΟΘΗΚΗ Όπως βλέπετε, η αρχική οθόνη της εφαρµογής διαθέτει 9 κουµπιά τα οποία σας επιτρέπουν να πλοηγηθείτε σε αυτό. Αρχίζοντας από πάνω αριστερά βλέπετε τα εξής: 1. Τιµολόγηση: Προβολή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Κατακερματισμός. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Κατακερματισμός. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Κατακερματισμός Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Λεξικό Dictionary Ένα λεξικό (dictionary) είναι ένας αφηρημένος τύπος δεδομένων (ΑΤΔ) που διατηρεί

Διαβάστε περισσότερα

Δηµοσθένης Σταµάτης Τµήµα Πληροφορικής ΑΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΕΝΤΡΑ (TREES) B C D E F G H I J K L M

Δηµοσθένης Σταµάτης Τµήµα Πληροφορικής ΑΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΕΝΤΡΑ (TREES) B C D E F G H I J K L M Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο Δέντρα Δυαδικά Δέντρα Δυαδικά Δέντρα Αναζήτησης (inary Search Trees) http://aetos.it.teithe.gr/~demos/teaching_r.html Δηµοσθένης Σταµάτης Τµήµα Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD Σε ορισµένες περιπτώσεις είναι ιδιαίτερα χρήσιµη η δηµιουργία ιστοσελίδων ενηµερωτικού περιεχοµένου οι οποίες στη συνέχεια µπορούν να δηµοσιευθούν σε κάποιο τόπο

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

Στην συνέχεια και στο επόµενο παράθυρο η εφαρµογή µας ζητάει να εισάγουµε το Username και το Password το οποίο σας έχει δοθεί από τον ΕΛΚΕ.

Στην συνέχεια και στο επόµενο παράθυρο η εφαρµογή µας ζητάει να εισάγουµε το Username και το Password το οποίο σας έχει δοθεί από τον ΕΛΚΕ. 1. Πρόσβαση Οδηγίες προγράµµατος διαχείρισης ανάλυσης χρόνου εργασίας (Time Sheet) Για να ξεκινήσετε την εφαρµογή, από την κεντρική σελίδα του ΕΛΚΕ (www.elke.aua.gr) και το µενού «ιαχείριση», Time Sheet

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΟΙΚΕΙΩΣΗ ΜΕ ΤΟΝ ΤΟΡΝΟ C.N.C. OKUMA

ΕΞΟΙΚΕΙΩΣΗ ΜΕ ΤΟΝ ΤΟΡΝΟ C.N.C. OKUMA ΕΞΟΙΚΕΙΩΣΗ ΜΕ ΤΟΝ ΤΟΡΝΟ C.N.C. OKUMA 1. ΕΚΚΙΝΗΣΗ ιακόπτης ισχύος ΟΝ (βρίσκεται στην αριστερή πλευρά του τόρνου) ιακόπτης control ON (βρίσκεται επάνω στο control του τόρνου) Μετά το πάτηµα αυτού του διακόπτη,

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Θεωρητική εισαγωγή

8.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 8 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΝΗΜΗΣ ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ Σκοπός: Η µελέτη της λειτουργίας των καταχωρητών. Θα υλοποιηθεί ένας απλός στατικός καταχωρητής 4-bit µε Flip-Flop τύπου D και θα µελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Συμβολοσειρές. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Συμβολοσειρές. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Συμβολοσειρές Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Συμβολοσειρές Συμβολοσειρές και προβλήματα που αφορούν συμβολοσειρές εμφανίζονται τόσο συχνά που

Διαβάστε περισσότερα

Οι βασικές λειτουργίες (ή πράξεις) που γίνονται σε μια δομή δεδομένων είναι:

Οι βασικές λειτουργίες (ή πράξεις) που γίνονται σε μια δομή δεδομένων είναι: ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Μια δομή δεδομένων στην πληροφορική, συχνά αναπαριστά οντότητες του φυσικού κόσμου στον υπολογιστή. Για την αναπαράσταση αυτή, δημιουργούμε πρώτα ένα αφηρημένο μοντέλο στο οποίο προσδιορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες (2.3) Λήμμα Άντλησης για Ασυμφραστικές Γλώσσες Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΛΕΙΣΙΜΟ ΧΡΗΣΗΣ ΣΤΟ DYNAMICS NAV INNOVERA ERP

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΛΕΙΣΙΜΟ ΧΡΗΣΗΣ ΣΤΟ DYNAMICS NAV INNOVERA ERP Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΛΕΙΣΙΜΟ ΧΡΗΣΗΣ ΣΤΟ DYNAMICS NAV INNOVERA ERP Για να κλείσουµε µία χρήση στο InnovEra ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα: Από το κεντρικό µενού επιλέγουµε διαδοχικά «Οικονοµική ιαχείριση», «Γενική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ Ένταξη των Τ.Π.Ε. στην διδασκαλία και τη µάθηση I) ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Παύλος Γ. Σπυράκης (google: Paul Spirakis) Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι 1 Έννοια Ανεπίσημα, ένας αλγόριθμος είναι μια βήμα προς βήμα μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος ή την διεκπεραίωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 3 ο. Συνδεδεµένες Λίστες. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης

ΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 3 ο. Συνδεδεµένες Λίστες. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης ΠΛΗ111 οµηµένος Προγραµµατισµός Ανοιξη 2005 Μάθηµα 3 ο Συνδεδεµένες Λίστες Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ανασκόπηση ΟΑΤ λίστα Ακολουθιακή λίστα Συνδεδεµένη λίστα

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 20 Huffman codes 1 / 12 Κωδικοποίηση σταθερού μήκους Αν χρησιμοποιηθεί κωδικοποίηση σταθερού μήκους δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα ιοικητικής Επιστήµης & Τεχνολογίας ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κεφάλαιο 2 Αριθµητικά Συστήµατα και Αριθµητική Υπολογιστών Γιώργος Γιαγλής Περίληψη Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Ευρετήρια. Ευρετήρια. Βάσεις Δεδομένων 2009-2010: Ευρετήρια 1

Ευρετήρια. Ευρετήρια. Βάσεις Δεδομένων 2009-2010: Ευρετήρια 1 Ευρετήρια 1 Ευρετήρια Ένα ευρετήριο (index) είναι μια βοηθητική δομή αρχείου που κάνει πιο αποδοτική την αναζήτηση μιας εγγραφής σε ένα αρχείο Το ευρετήριο καθορίζεται (συνήθως) σε ένα γνώρισμα του αρχείου

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστα Γεννητορικά ένδρα

Ελάχιστα Γεννητορικά ένδρα λάχιστα Γεννητορικά ένδρα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος του Prim και ο αλγόριθµος του Kruskal για εύρεση λάχιστων Γεννητορικών ένδρων ΠΛ 23 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ240: Δομές Δεδομένων Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδημαϊκό Έτος 2009-10 Παναγιώτα Φατούρου. Προγραμματιστική Εργασία 2 ο και 3 ο Μέρος

ΗΥ240: Δομές Δεδομένων Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδημαϊκό Έτος 2009-10 Παναγιώτα Φατούρου. Προγραμματιστική Εργασία 2 ο και 3 ο Μέρος ΗΥ240: Δομές Δεδομένων Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδημαϊκό Έτος 09- Παναγιώτα Φατούρου Προγραμματιστική Εργασία 2 ο και ο Μέρος Ημερομηνία Παράδοσης: Παρασκευή, 18 Δεκεμβρίου 09, ώρα 08:00 (το πρωί) Τρόπος Παράδοσης:

Διαβάστε περισσότερα

Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25)

Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25) Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος των BellmanFord Ο αλγόριθµος του Dijkstra ΕΠΛ 232 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 61

Διαβάστε περισσότερα

η σύνθεση ενός υπολογιστή

η σύνθεση ενός υπολογιστή ιδακτικό υλικό µαθητή η σύνθεση ενός υπολογιστή Αν παρατηρήσουµε έναν υπολογιστή βλέπουµε ότι αποτελείται από τα ακόλουθα µέρη: Οθόνη Μονάδα συστήµατος Ποντίκι Πληκτρολόγιο τη µονάδα συστήµατος, όπου βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

Τα µπιτ και η σηµασία τους. Σχήµα bit. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) 1.7 Αποθήκευση κλασµάτων 1.8 Συµπίεση δεδοµένων 1.9 Σφάλµατα επικοινωνίας

Τα µπιτ και η σηµασία τους. Σχήµα bit. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) 1.7 Αποθήκευση κλασµάτων 1.8 Συµπίεση δεδοµένων 1.9 Σφάλµατα επικοινωνίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (1/2) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Αποθήκευση εδοµένων (2/2) 1.1 Τα bits και ο τρόπος που αποθηκεύονται 1.2 Κύρια µνήµη 1.3 Αποθηκευτικά µέσα 1.4 Αναπαράσταση πληροφοριών ως σχηµάτων bits

Διαβάστε περισσότερα

MEGASOFT ΤΜΗΜΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ. Οδηγός Ρυθµίσεων Συγχρονισµού PrismaWin Pos Sync

MEGASOFT ΤΜΗΜΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ. Οδηγός Ρυθµίσεων Συγχρονισµού PrismaWin Pos Sync MEGASOFT ΤΜΗΜΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ Οδηγός Ρυθµίσεων Συγχρονισµού PrismaWin Pos Sync Ρυθµίσεις Συγχρονισµού Pos Sync Η διαδικασία του συγχρονισµού γίνεται από τον Η/Υ που έχει το BackOffice. Βασική προϋπόθεση για

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Ενότητα 7: Άλλες παραλλαγές Συνδεδεμένων Λιστών-Παράσταση Αραιού Πολυωνύμου με Συνδεδεμένη Λίστα. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη

Δομές Δεδομένων. Ενότητα 7: Άλλες παραλλαγές Συνδεδεμένων Λιστών-Παράσταση Αραιού Πολυωνύμου με Συνδεδεμένη Λίστα. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη Ενότητα 7: Άλλες παραλλαγές Συνδεδεμένων Λιστών-Παράσταση Αραιού Πολυωνύμου με Συνδεδεμένη Λίστα Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Γραφήματα Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Γραφήματα Κατευθυνόμενο Γράφημα Ένα κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζευγάρι (V, E) όπου V είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Οργάνωση εδομένων Κεφάλαιο 11ο ομές εδομένων

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Οργάνωση εδομένων Κεφάλαιο 11ο ομές εδομένων Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Οργάνωση εδομένων Κεφάλαιο 11ο ομές εδομένων 1 ομή εδομένων Μια δομή δεδομένων (data structure) χρησιμοποιεί μια συλλογή από σχετικές μεταξύ τους μεταβλητές, οι οποίες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και επεξεργασία δεδοµένων

Εισαγωγή και επεξεργασία δεδοµένων Μάθηµα 4 Εισαγωγή και επεξεργασία δεδοµένων Εισαγωγή δεδοµένων σε πίνακα 1. Ανοίγουµε το παράθυρο του πίνακα Υπάλληλοι σε προβολή φύλλου δεδοµένων. 2. Η κενή γραµµή, η οποία υπάρχει πάντα στον πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης

Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Η οπισθοδρόµηση στο σχεδιασµό αλγορίθµων Το πρόβληµα των σταθερών γάµων και ο αλγόριθµος των Gale-Shapley Το πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 10 Γράφοι (ή Γραφήµατα)

Ενότητα 10 Γράφοι (ή Γραφήµατα) Ενότητα 10 Γράφοι (ή γραφήµατα) ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Γράφοι (ή Γραφήµατα) Ένας γράφος αποτελείται από ένα σύνολο από σηµεία (που λέγονται κόµβοι) και ένα σύνολο από γραµµές (που λέγονται ακµές)

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ.

Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ. Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα Δρ. Γκόγκος Χρήστος Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Ελληνικό - Ρωμαϊκό Σύστημα αρίθμησης

Διαβάστε περισσότερα

Συνεργείο Αυτοκινήτων

Συνεργείο Αυτοκινήτων Συνεργείο Αυτοκινήτων v2.102, Οκτώβριος 2015 Σύντοµες οδηγίες χρήσης Εισαγωγή Το πρόγραµµα Συνεργείο Αυτοκινήτων έχει σκοπό τη διαχείριση και παρακολούθηση του πελατολογίου, των αυτοκινήτων και των εργασιών

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. ΗΜΥ 210: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 2005. υαδική Αφαίρεση. υαδική Αφαίρεση (συν.) Ακόµη ένα παράδειγµα Αφαίρεσης.

Περίληψη. ΗΜΥ 210: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 2005. υαδική Αφαίρεση. υαδική Αφαίρεση (συν.) Ακόµη ένα παράδειγµα Αφαίρεσης. ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005 Κεφάλαιο 5 -ii: Αριθµητικές Συναρτήσεις και Κυκλώµατα Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αφαίρεση δυαδικών Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση προβληµάτων. Αλγόριθµοι Αναζήτησης

Επίλυση προβληµάτων. Αλγόριθµοι Αναζήτησης Επίλυση προβληµάτων! Περιγραφή προβληµάτων Αλγόριθµοι αναζήτησης Αλγόριθµοι τυφλής αναζήτησης Αλγόριθµοι ευρετικής αναζήτησης Παιχνίδια δύο αντιπάλων Προβλήµατα ικανοποίησης περιορισµών Γενικά " Τεχνητή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Αποθήκευση σε ίσκους, Βασικές οµέςαρχείων, και Κατακερµατισµός. ιαφάνεια 13-1

Κεφάλαιο 13. Αποθήκευση σε ίσκους, Βασικές οµέςαρχείων, και Κατακερµατισµός. ιαφάνεια 13-1 ιαφάνεια 13-1 Κεφάλαιο 13 Αποθήκευση σε ίσκους, Βασικές οµέςαρχείων, και Κατακερµατισµός ίαβλος, Επιµ.Μ.Χατζόπουλος 1 Γιατί θα µιλήσουµε Μονάδες Αποθήκευσης ίσκων Αρχεία Εγγραφών Πράξεις σε αρχεία Αρχεία

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Copyright 2007 Ramez Elmasri and Shamkant B. Navathe, Ελληνική Έκδοση, Δίαβλος, Επιμέλεια Μ.Χατζόπουλος Διαφάνεια 14-1

Copyright 2007 Ramez Elmasri and Shamkant B. Navathe, Ελληνική Έκδοση, Δίαβλος, Επιμέλεια Μ.Χατζόπουλος Διαφάνεια 14-1 Δίαβλος, Επιμέλεια Μ.Χατζόπουλος Διαφάνεια 14-1 Κεφάλαιο 14 Δομές Ευρετηρίων για Αρχεία Copyright 2007 Ramez Elmasri and Shamkant B. Navathe Ελληνική Έκδοση, Διαβλος, Επιμέλεια Μ.Χατζόπουλος Θα μιλήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2: Η κρυφή µνήµη και η λειτουργία της

Ενότητα 2: Η κρυφή µνήµη και η λειτουργία της Ενότητα 2: Η κρυφή µνήµη και η λειτουργία της Στην ενότητα αυτή θα αναφερθούµε εκτενέστερα στη λειτουργία και την οργάνωση της κρυφής µνήµης. Θα προσδιορίσουµε τις βασικές λειτουργίες που σχετίζονται µε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασιακός Προγραμματισμός

Διαδικασιακός Προγραμματισμός Τμήμα ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Διαδικασιακός Προγραμματισμός Διάλεξη 12 η Αναζήτηση/Ταξινόμηση Πίνακα Οι διαλέξεις βασίζονται στο βιβλίο των Τσελίκη και Τσελίκα C: Από τη Θεωρία στην

Διαβάστε περισσότερα