ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΥΝΑΜΙΚΑ ΛΕΞΙΚΑ ΙΣΟΖΥΓΙΣΜΕΝΑ ΕΝ ΡΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΥΝΑΜΙΚΑ ΛΕΞΙΚΑ ΙΣΟΖΥΓΙΣΜΕΝΑ ΕΝ ΡΑ"

Transcript

1 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΥΝΑΜΙΚΑ ΛΕΞΙΚΑ ΙΣΟΖΥΓΙΣΜΕΝΑ ΕΝ ΡΑ

2 ενδρικές οµές για Υλοποίηση υναµικών Λεξικών υναµικά λεξικά λειτουργίες LookUp( ), Insert( ) και Delete( ) Αναζητούµε δένδρα για την αποτελεσµατική υλοποίηση δυναµικών λεξικών δηλ., να υποστηρίζουν τις λειτουργίες LookUp(), Insert() και Delete() σε χρόνο O(logn). Θα δούµε δένδρα AVL κοκκινό-µαυρα δένδρα 2-3 δένδρα, Β-δένδρα splay (αρθρωτά) δένδρα (επίσης, εξαρθρωµένα) Γενικά: δένδρα ισοζυγισµένα καθ ύψος δένδρα ισοζυγισµένα κατά βάρος δένδρα ελάττωσης εσωτερικού µονοπατιού 2

3 ένδρα AVL υαδικά δένδρα Για κάθε κόµβο (v: δείκτης στον κόµβο), ορίζουµε LeftHeight(v) = 0, αν v->left = NULL, LeftHeight(v) = 1 + Height(v->left), διαφορετικά. όπου Height(w) το ύψος του υποδένδρου µε ρίζα τον w. Το RightHeight(v) ορίζεται αντίστοιχα. Το ισοζύγιο (balance) κόµβου v είναι balance(v) = RightHeight(v) LeftHeight(v) Για το δένδρο Τ (µε δείκτη r στη ρίζα): LeftHeight(T) = LeftHeight(r) RightHeight(T) = RightHeight(r) 3

4 ένδρα AVL ένδρο AVL δυαδικό δένδρο αναζήτησης και κάθε κόµβος του έχει balance = 0, 1, ή +1. Τα δένδρα των περιπτώσεων (a), (b), (c) είναι δένδρα AVL, ενώ αυτά των περιπτώσεων (d), (e) δεν είναι. 4

5 Χαρακτηριστικά ένδρων AVL Κάθε δένδρο AVL είναι δυαδικό δένδρο αναζήτησης και έχει ύψος O(log n), όπου n το πλήθος κόµβων του δένδρου. Τι σηµαίνει αυτό για την πολυπλοκότητα της LookUp()? Ένας κόµβος µπορεί να προστεθεί σε ή να αφαιρεθεί από ένα δένδρο AVL χωρίς να καταστραφεί η AVL ιδιότητα (ιδιότητα ισοζυγισµού καθ ύψος) σε χρόνο O(log n). Αναπαράσταση Κάθε κόµβος είναι µια δοµή µε πεδία: key, data, left, right, balance Πόσο χώρο στη µνήµη χρειαζόµαστε για να αποθηκεύσουµε το balance? 5

6 Εισαγωγές κόµβων σε δένδρο AVL Πως µπορούµε να υλοποιήσουµε την Insert()?Που διαφέρει από την Insert() σε δυαδικό δένδρο αναζήτησης? Ακολουθώντας τη γνωστή µέθοδο εισαγωγής σε δένδρο δυαδικής αναζήτησης: βρες το µονοπάτι από τη ρίζα στο κατάλληλο φύλλο στο οποίο θα γίνει η εισαγωγή. Αποθήκευσε αυτό το µονοπάτι (ανεστραµµένο). Ακολούθησε αυτό το µονοπάτι από κάτω προς τα επάνω υπολογίζοντας το νέο balance των κόµβων του µονοπατιού αυτού. Αν το balance κάποιου κόµβου αλλάζει σε +2 ή σε 2, ακολούθησε διαδικασία τροποποίησης του δένδρου ώστε να επανέλθει σε ισχύ η AVL ιδιότητα: εκτέλεσε περιστροφές. 6

7 Εισαγωγές κόµβων σε δένδρο AVL Παράδειγµα Η απλή περίπτωση: (b) Εισαγωγή στο δένδρο AVL της περίπτωσης (a) (d) Εισαγωγή στο δένδρο AVL της περίπτωσης (c) 7

8 Εισαγωγές κόµβων σε δένδρο AVL Απλή Αριστερή Περιστροφή, RR (Single Left Rotation) Γιατί να µην ανταλλάξουµε το υποδένδρο Τ1 µε το υποδένδρο Τ3 για να επιλύσουµε το πρόβληµα? Ποια είναι η συµµετρική περίπτωση (Απλή εξιά Περιστροφή, LL)? Πολυπλοκότητα Χρόνου? 8

9 Εισαγωγές κόµβων σε δένδρο AVL Απλή εξιά Περιστροφή, LL (Single Right Rotation) Προσοχή: Τα L και R σχετίζονται µε το που βρίσκεται το υποδένδρο όπου έχει γίνει η εισαγωγή σε σχέση µε τον κόµβο όπου εµφανίζεται η έλλειψη ισορροπίας. Οι περιστροφές LL και RR γίνονται όταν παρουσιαστεί εξωτερική έλλειψη ισορροπίας. 9

10 Εισαγωγές κόµβων σε δένδρο AVL ιπλή περιστροφή RL (Double Rotation RL) RL = Right-Left Υπάρχει επίσης η συµµετρική ιπλή Περιστροφή LR (Left-Right). Οι διπλές περιστροφές (RL, LR) απαιτούνται για εσωτερική έλλειψη ισορροπίας. 10

11 Εισαγωγές κόµβων σε δένδρο AVL Παράδειγµα: ιαδοχικές εισαγωγές των κλειδιών 90, 71, 10, 4, 12, 5, 19, 52 και 56 σε αρχικά κενό δένδρο AVL. 11

12 Κρίσιµος Κόµβος (Critical Node) Κρίσιµος Κόµβος ο χαµηλότερος κόµβος µε balance +1 ή 1 στο µονοπάτι που θα ακολουθήσουµε από τη ρίζα για την εισαγωγή του νέου κόµβου Στο µονοπάτι αυτό: Κάθε κόµβος χαµηλότερα από τον κρίσιµο κόµβο είχε balance 0. Άρα, θα έχει balance +1 ή 1 µετά την εισαγωγή. Τι καθορίζει το αν κάποιος τέτοιος κόµβος θα έχει balance +1 ή 1? Ο κρίσιµος κόµβος µετά την εισαγωγή έχει balance ίσο µε 0 ή +2 ή 2. Γιατί? Πότε το balance γίνεται 0, πότε +2 και πότε 2? Το balance των κόµβων ψηλότερα από τον κρίσιµο κόµβο δεν αλλάζει γιατί το ύψος του κρίσιµου κόµβου είναι το ίδιο πριν και µετά την εισαγωγή (µε ή χωρις περιστροφή). Γιατί? Άρα, µόνον οι κόµβοι από τον κρίσιµο κόµβο και χαµηλότερα χρειάζεται να ελεγχθούν για αλλαγές στο balance τους. Σηµείωση: Ο κρίσιµος κόµβος είναι σηµαντικός για την αποτελεσµατική υλοποίηση της διαδικασίας εισαγωγής σε δένδρο AVL. 12

13 Κρίσιµος Κόµβος Εάν γίνει περιστροφή, αυτή σχετίζεται µε τον κρίσιµο κόµβο και µπορεί να είναι: µια απλή περιστροφή µεταξύ του κρίσιµου κόµβου και του κόµβου-παιδιού του στο µονοπάτι που ακολουθήθηκε για την εισαγωγή µια διπλή περιστροφή µεταξύ του κρίσιµου κόµβου, του κόµβου-παιδιού του και του κόµβουεγγονού του στο µονοπάτι για την εισαγωγή Σε τι µας βοηθάει η παρατήρηση αυτή? Καθώς ο αλγόριθµος κατεβαίνει προς το ζητούµενο φύλλο, αρκεί να θυµάται µόνο τον τελευταίο κρίσιµο κόµβο. Μετά την εισαγωγή, ξεκινώντας από τον κρίσιµο κόµβο ακολούθησε και πάλι το ίδιο µονοπάτι προς τον κόµβο που εισήχθη και διόρθωσε τα balances. Τέλος, αν χρειάζεται κάνε τις περιστροφές. Γιατί µπορούµε να βρούµε και πάλι αυτό το µονοπάτι? Πως διορθώνουµε τα balances? Ποια είναι η πολυπλοκότητα χρόνου της Insert()? 13

14 ιαγραφές κόµβων σε δένδρο AVL Αρχικά, εφαρµόζουµε τον αλγόριθµο διαγραφής σε δυαδικό δένδρο αναζήτησης: 1) διαγραφή του ίδιου του κόµβου v αν είναι φύλλο, 2) αντικατάστασή του από το παιδί του αν έχει µόνο ένα παιδί, 3) αντικατάστασή του από τον επόµενό του στην ενδοδιατεταγµένη διάταξη αν έχει 2 παιδιά. Κατόπιν, ελέγχουµε τις τιµές του balance: το balance του κόµβου-γονέα του κόµβου που διαγράφεται (διαγράφεται ο v ή ο επόµενος του v στην ενδο-διατεταγµένη διάσχιση) αλλάζει. (a) Αρχικό δένδρο, (b)-(e) διαγραφές Β,F,M,R 14

15 ιαγραφές κόµβων σε δένδρο AVL Αν το balance του κόµβου-γονέα w του κόµβου που διαγράφεται (του v ή του επόµενού του στην ενδοδιατεταγµένη διάσχιση) αλλάζει από 0 σε +1 ή σε 1, τότε ο αλγόριθµος τερµατίζει. από +1 ή 1 σε 0, το ύψος του w µειώνεται και άρα και το balance άλλων προγόνων του v ενδεχοµένως αλλάζει. από +1 ή 1 σε +2 ή 2, τότε γίνεται µία ή περισσότερες περιστροφές. Στη χειρότερη περίπτωση, µπορεί να χρειαστεί να γίνουν περιστροφές σε όλους τους κόµβους στο µονοπάτι από τον κόµβο w έως τη ρίζα. Το είδος των περιστροφών εξαρτάται από τις δύο πρώτες ακµές του µονοπατιού που καθορίζει το ύψος του εκάστοτε κόµβου µε balance +2 ή -2. Ποια είναι η πολυπλοκότητα χρόνου της υλοποίησης της Delete()? Ολόκληρο το µονοπάτι πρέπει να αποθηκευτεί και να ακολουθηθεί από τον κόµβο w προς τη ρίζα µέχρι να βρεθεί κάποιος κόµβος µε balance 0. Το balance του κόµβου αυτού γίνεται +1 ή 1, αλλά το ύψος του δεν αλλάζει, και από εκεί και µετά, το balance των κόµβων έως τη ρίζα δεν αλλάζει. 15

16 ιαγραφές κόµβων σε δένδρο AVL Αρχικό δένδρο 19 ιαγραφή του ιαγραφή του ιαγραφή του ιαγραφή του ιαγραφή του ιαγραφή του 5 52 ιαγραφή του

17 Παράδειγµα ιαγραφής που Οδηγεί σε Πολλαπλές Περιστροφές 17

18 Κοκκινόµαυρα ένδρα (Red-Black Trees) Κοκκινόµαυρο δένδρο δυαδικό δένδρο αναζήτησης κάθε κόµβος: κόκκινο χρώµα ή µαύρο χρώµα. Θα θεωρήσουµε τους δείκτες NULL ως δείκτες σε εξωτερικούς NIL κόµβους (φύλλα) του δυαδικού δένδρου και τους κανονικούς κόµβους που αποθηκεύουν κλειδιά ως εσωτερικούς κόµβους του δένδρου. (Αυτή η υπόθεση βοηθά στον περιορισµό των περιπτώσεων.) Ένα κοκκινόµαυρο δένδρο πληροί τις ακόλουθες ιδιότητες: Κάθε κόµβος έχει είτε κόκκινο είτε µαύρο χρώµα. Ο κόµβος-ρίζα και κάθε NIL κόµβος έχει µαύρο χρώµα. Κάθε απλή διαδροµή από έναν κόµβο σε έναν NIL κόµβο που είναι απόγονός του περιέχει το ίδιο πλήθος µαύρων κόµβων. Αν ένας κόµβος έχει κόκκινο χρώµα, τότε και τα δύο παιδιά του έχουν µαύρο χρώµα. 18

19 Παράδειγµα Κοκκινό-µαυρου ένδρου οµή πεδία key : η καταχωρηµένη τιµή color : το bit χρώµατος left, right : δείκτες στα παιδιά p : δείκτης στον κόµβο-γονέα 19

20 Μέγεθος Κοκκινό-µαυρων ένδρων Πρόταση: Ένα κοκκινόµαυρο δένδρο µε n εσωτερικούς κόµβους έχει ύψος 2 log(n+1). ιαίσθηση: Σε κάθε µονοπάτι από τη ρίζα σε φύλλο, τουλάχιστον οι µισοί κόµβοι έχουν µαύρο χρώµα. Γιατί; Απόδειξη µαύρο ύψος bh(v) κόµβου v: το πλήθος µαύρων κόµβων σε κάθε µονοπάτι από τον κόµβο v σε οποιοδήποτε φύλλο-απόγονο, χωρίς να συµπεριλάβουµε τον v. Με επαγωγή ως προς το ύψος κόµβου v, αποδεικνύουµε ότι το υπο-δένδρο µε ρίζα τον v περιέχει τουλάχιστον 2 bh(v) -1 εσωτερικούς κόµβους. Βάση επαγωγής: ο v έχει ύψος 0, τότε είναι φύλλο (NIL κόµβος) πλήθος εσωτερικών κόµβων στο υποδένδρο του v είναι 0. Επαγωγικό βήµα: οθέντος ενός κόµβου v, υποθέτουµε ότι ο ισχυρισµός ισχύει για τα παιδιά του v και τον αποδεικνύουµε για τον v. Έστω h το ύψος του δένδρου και r η ρίζα. Τότε bh(r) h/2. Άρα, n 2 h/2-1 h 2log(n+1). Πως υλοποιούµε τη LookUp()? Πολυπλοκότητα χρόνου? 20

21 Εισαγωγή σε Κοκκινό-µαυρο ένδρο Αλγόριθµος Εισαγωγή όπως σε δυαδικό δένδρο αναζήτησης. Ο νέος κόµβος που εισάγεται χρωµατίζεται µε κόκκινο χρώµα. Εξετάζουµε αν οι ιδιότητες χρωµατισµού εξακολουθούν να ισχύουν. Αν ναι τερµατίζουµε, διαφορετικά διορθώνουµε (στη 2 η περίπτωση: πατέρας έχει κόκκινο χρώµα, παππούς µαύρο). ιακρίνουµε περιπτώσεις. Για απλότητα, υποθέτουµε ότι ο πατέρας του x είναι αριστερό παιδί του πατέρα του (εργαζόµαστε συµµετρικά εάν είναι δεξί παιδί). Περίπτωση 1: Ο θείος (κόµβος-αδελφός του πατέρα) έχει κόκκινο χρώµα: αλλάζουµε το χρώµα του πατέρα και του θείου σε µαύρο και το χρώµα του παππού σε κόκκινο. Επαναλαµβάνουµε από τον κόµβο-παππού. 21

22 Εισαγωγή σε Κοκκινό-µαυρο ένδρο Αλγόριθµος (συνέχεια) Περίπτωση 2: Ο θείος έχει µαύρο χρώµα και ο x είναι δεξί παιδί του πατέρα του: ανάγουµε την περίπτωση αυτή στην περίπτωση 3 µε την εκτέλεση µιας αριστερής περιστροφής (x και πατέρας του). Περίπτωση 3: Ο θείος έχει µαύρο χρώµα και ο x είναι αριστερό παιδί του πατέρα του. Το χρώµα του πατέρα του x αλλάζει σε µαύρο και του παππού σε κόκκινο & εκτελείται µια δεξιά περιστροφή (x και παππούς του). Τερµατίζουµε. Σηµείωση: Εάν (λόγω συνεχούς εφαρµογής της περίπτωσης 1) φθάσουµε στη ρίζα, την χρωµατίζουµε µε µαύρο χρώµα και σταµατάµε. Ποια είναι η πολυπλοκότητα της RB-Insert()? 22

23 Εισαγωγή σε Κόκκινο-Μαύρο ένδρο: Παράδειγµα: Εισαγωγή του 4 23

24 ιαγραφή από Κοκκινό-µαυρο ένδρο Αρχικά, διαγραφή όπως σε δυαδικό δένδρο αναζήτησης. y: ο κόµβος που θα διαγραφεί από το δένδρο y έχει το πολύ ένα παιδί. Στη συνέχεια, ελέγχουµε εάν ισχύουν οι ιδιότητες χρωµατισµού, και εάν όχι, εκτελούµε κατάλληλες ενέργειες. 1. Ο y είναι κόκκινος ή είναι µαύρος µε κόκκινο παιδί: εν υπάρχει πρόβληµα. 2. Ο y είναι µαύρος µε µαύρο παιδί: Η διαγραφή του y δηµιουργεί (τουλάχιστον) ένα µονοπάτι από τη ρίζα µε µαύρο ύψος µικρότερο κατά ένα. Υποθέτουµε ότι η µονάδα µαύρου χρώµατος του y µεταφέρεται στο παιδί του, το οποίο τώρα γίνεται διπλά µαύρο (που είναι µη επιτρεπτό). Πρέπει να µεταφέρουµε την επιπλέον µονάδα µαύρου χρώµατος προς τα επάνω στο δένδρο µέχρι: να φθάσουµε στη ρίζα ή να βρούµε έναν κατάλληλο κόκκινο κόµβο τον οποίο χρωµατίζουµε µαύρο και τερµατίζουµε ή να εκτελέσουµε κατάλληλες περιστροφές και επαναχρωµατισµούς κάποιων κόµβων ώστε να λυθεί το πρόβληµα. 24

25 ιαγραφή από Κοκκινό-µαυρο ένδρο Θεωρούµε ότι το δένδρο υλοποιείται µε κόµβο φρουρό (όλοι οι null δείκτες δείχνουν στον κόµβο φρουρό). 25

26 ιαγραφή από Κοκκινό-µαυρο ένδρο x: το (διπλά µαύρο) παιδί του κόµβου που διαγράφηκε. Έστω w ο κόµβος-αδελφός & p ο πατέρας του x. (Ο w δεν µπορεί να είναι ο κόµβος φρουρός. Γιατί;) Έστω ότι ο x είναι αριστερό παιδί του p. (Η περίπτωση που ο x είναι δεξιό παιδί του p είναι συµµετρική.) 1. Ο w έχει κόκκινο χρώµα. Αναγόµαστε στην περίπτωση 2, αλλάζοντας το χρώµα του w σε µαύρο και του p σε κόκκινο & εκτελώντας µια αριστερή περιστροφή γύρω από τον πατέρα του x (περίπτωση (α) σχήµατος). 2. Ο w έχει µαύρο χρώµα. a. Και τα δύο παιδιά του w είναι µαύρα. Αλλάζουµε το χρώµα του w σε κόκκινο, του x σε µαύρο (από διπλά µαύρο) & µεταφέρουµε το µαύρο που αφαιρέσαµε από τους w, x στον p. Αν ο p είναι κόκκινος, γίνεται µαύρος και ο αλγόριθµος τερµατίζει. ιαφορετικά, ο p γίνεται διπλά µαύρος και η διαδικασία επαναλαµβάνεται µε x = p. b. Το w->left είναι κόκκινο και το w->right µαύρο. Αλλάζουµε το χρώµα του w σε κόκκινο και του w- >left σε µαύρο & εκτελούµε περιστροφή γύρω από τον w Μεταπίπτουµε στην περίπτωση 2c. c. Το w->right είναι κόκκινο. Αλλάζουµε το χρώµα του w->right σε µαύρο, του w σε ό,τι ήταν το χρώµα του p και του p σε µαύρο & εκτελούµε περιστροφή γύρω από τον p. Ο αλγόριθµος τερµατίζει. Εάν ο x φθάσει στη ρίζα του δένδρου, αγνοούµε την επιπλέον µονάδα µαύρου χρώµατος -- τερµατισµός 26

27 ιαγραφή από Κοκκινό-µαυρο ένδρο Σηµείωση: Στο σχήµα, όπου υπάρχει η επιγραφή x, υπάρχει µία επιπλέον µονάδα µαύρου χρώµατος. Πολυπλοκότητα χρόνου της RB-Delete(): Ο(log n) Πλήθος περιστροφών ανά διαγραφή: το πολύ 3 27

28 Αρθρωτά (Splay) ένδρα (Sleator & Tarjan, 1985) υαδικά δένδρα αναζήτησης (κάθε κόµβος έχει τα πεδία: key, data, left, right) ιαφορά από δυαδικά δένδρα αναζήτησης τρόπος εκτέλεσης LookUp( ), Insert( ) και Delete( ). Αν το δένδρο έχει n στοιχεία, δεν είναι εγγυηµένο ότι οι διαδικασίες αυτές εκτελούνται σε O(log n) χρόνο. Υπάρχει όµως η εξής εγγύηση: Κάθε ακολουθία από m αναζητήσεις, εισαγωγές, διαγραφές, ξεκινώντας από άδειο δένδρο, εκτελείται σε Ο(m logn) χρόνο. ηλαδή: To κόστος καθεµίας από αυτές τις λειτουργίες κατά µέσο όρο (amortized κόστος λειτουργίας) είναι O(logn). Αυτό δεν αποκλείει να: υπάρχει εκτέλεση κάποιας λειτουργίας (στην ακολουθία) µε κόστος πολύ υψηλό, π.χ., Ω(n), αλλά αυτό συµβαίνει αφού έχουν προηγηθεί πολλές λειτουργίες µε κόστος πολύ µικρό. 28

29 Αρθρωτά ένδρα Ιδέα (παρόµοια µε το (ευρετικό) Move-To-Front) Κάθε φορά που ένα κλειδί είναι το αποτέλεσµα µιας επιτυχηµένης αναζήτησης στο δένδρο, ο κόµβος του µετακινείται στη ρίζα. Κύρια Λειτουργία Splay(K,T), όπου K κλειδί, Τ δένδρο: τροποποιεί το Τ έτσι ώστε το προκύπτον δένδρο 1. είναι επίσης δυαδικό δένδρο αναζήτησης, και 2. έχει το κλειδί Κ στη ρίζα (το Κ υπάρχει στο δένδρο). Σηµείωση: Κάποιοι συγγραφείς ακολουθούν το εξής: αν το Κ δεν υπάρχει στο δένδρο, η ρίζα περιέχει το κλειδί που είναι ο προηγούµενος (ή ο επόµενος) του Κ στην ενδοδιατεταγµένη διάσχιση του Τ. Τα δένδρα των οποίων η διαχείριση βασίζεται στη λειτουργία Splay λέγονται αρθρωτά δένδρα. 29

30 Υλοποίηση Λειτουργιών Αρθρωτών ένδρων Αναζήτηση κλειδιού Κ αναζητούµε το Κ όπως στα δυαδικά δένδρα αναζήτησης, και εάν βρεθεί, εκτελούµε τη λειτουργία Splay(K,T) ώστε ο κόµβος που περιέχει το Κ να γίνει ρίζα του δένδρου. Εισαγωγή κόµβου <K,D> (κλειδί Κ, πληροφορία D) κάνουµε εισαγωγή των Κ και D όπως ακριβώς στα δυαδικά δένδρα αναζήτησης και κατόπιν εκτελούµε τη λειτουργία Splay(K,T) ώστε ο κόµβος που περιέχει τα Κ και D να γίνει ρίζα του δένδρου. ιαγραφή κόµβου <K,D> (κλειδί Κ, πληροφορία D) κάνουµε διαγραφή των Κ και D όπως ακριβώς στα δυαδικά δένδρα αναζήτησης και κατόπιν εκτελούµε τη λειτουργία Splay(P,T), όπου P ο κόµβος-πατέρας του κόµβου <K,D>, ώστε ο κόµβος αυτός να γίνει ρίζα του δένδρου. 30

31 Υλοποίηση της Λειτουργίας Splay(Κ,Τ) Πρώτα αναζητούµε το Κ µε το γνωστό τρόπο, και αποθηκεύουµε το µονοπάτι που ακολουθήσαµε σε στοίβα. Έστω P ο τελευταίος κόµβος σε αυτό το µονοπάτι. Αν το Κ υπάρχει στο δένδρο, θα βρίσκεται στον P. Μετά την Splay, ο P θα πρέπει να βρίσκεται στη ρίζα. ιακρίνουµε περιπτώσεις: 1. Ο P δεν έχει παππού (δηλαδή, το Parent(P) είναι η ρίζα). Εκτελούµε µια απλή περιστροφή. 31

32 Υλοποίηση της Λειτουργίας Splay(Κ,Τ) (συνέχ.) 2. Ο P και ο Parent(P) είναι και οι δύο είτε αριστερά παιδιά, είτε δεξιά παιδιά. Εκτελούµε δύο απλές περιστροφές προς την ίδια κατεύθυνση, την 1 η γύρω από τον παππού του P και την 2 η γύρω από τον πατέρα του P. Προσοχή: η περιστροφή γύρω από τον παππού του P εκτελείται πρώτη. 32

33 Υλοποίηση της Λειτουργίας Splay (συνέχεια) 3. Ένας από τους P, Parent(P) είναι αριστερό παιδί και ο άλλος δεξιό παιδί. Εκτελούµε δύο απλές περιστροφές αλλά σε αντίθετες κατευθύνσεις, την 1 η γύρω από τον πατέρα του P και την 2 η γύρω από τον παππού του P. Προσοχή: η περιστροφή γύρω από τον πατέρα του P εκτελείται πρώτη. 33

34 Παράδειγµα: Splay(D,T) 34

35 ένδρα Αναζήτησης Πολλαπλής ιακλάδωσης (ή πολύ-κατευθυνόµενα δένδρα αναζήτησης ή δένδρα αναζήτησης m-δρόµων) Γενίκευση των δυαδικών δένδρων αναζήτησης. Επινοήθηκε καθώς στον τοµέα των Βάσεων εδοµένων είναι επιθυµητά δένδρα αναζήτησης µικρού ύψους. Στα δένδρα αναζήτησης πολλαπλής διακλάδωσης, έχουµε κόµβους µε: d-1 διατεταγµένα κλειδιά k 1 k d-1 και d διατεταγµένα παιδιά (ρίζες υποδένδρων A 0,, A d-1 ), για τα οποία ισχύει ότι: (κλειδιά A 0 ) k 1 k i (κλειδιά A i ) k i +1, 1 i d-2 k d-1 (κλειδιά A d-1 ) Εάν ένα δένδρο είναι m-δρόµων, τότε οι κόµβοι έχουν το πολύ m-1 κλειδιά (π.χ., το σχήµα απεικονίζει ένα δένδρο 7-δρόµων). 35

36 Αναζήτηση Αναζήτηση του κλειδιού k τρέχων κόµβος = η ρίζα του δένδρου; Όσο ο δείκτης στον τρέχοντα κόµβο NULL Αναζητούµε το k στα κλειδιά του τρέχοντος κόµβου; Εάν βρεθεί εκεί, το k υπάρχει στο δένδρο αλλιώς εάν k < k 1 του τρέχοντος κόµβου τότε τρέχων κόµβος = ρίζα A 0 αλλιώς εάν k i < k < k i +1 τότε τρέχων κόµβος = ρίζα A i αλλιώς τρέχων κόµβος= ρίζα A d-1 Το k δεν υπάρχει στο δένδρο 36

37 (a,b)- ένδρα Ιδέα: Γιατί το δένδρο να µην είναι τέλεια ισοζυγισµένο? Μπορούµε να επιτύχουµε όλα τα φύλλα να έχουν το ίδιο βάθος για οποιοδήποτε πλήθος κόµβων. Ένα (a,b)-δένδρο είναι δένδρο αναζήτησης πολλαπλής διακλάδωσης και έχει: a 2 και συνήθως b 2 a η ρίζα έχει d-1 κλειδιά και d παιδιά, 2 d b οι υπόλοιποι εσωτερικοί κόµβοι έχουν t-1 κλειδιά και t παιδιά, a t b τα φύλλα έχουν t-1 κλειδιά, a t b. 37

38 Ειδικές Περιπτώσεις (a,b)- ένδρων Β-δέντρα (βαθµού m) (Bayer 72) = ( m/2, m)- ένδρα Κοκκινό-µαυρα ένδρα = (2,4)- ένδρα x = x x z = x z = u x z x u z 38

39 (a,b)- ένδρα Μεταξύ όλων των (a,b)-δένδρων ύψους h, ποιο είναι εκείνο µε τους λιγότερους κόµβους? Ποιο είναι το ύψος αυτού του δένδρου ως προς το πλήθος κόµβων? Μεταξύ όλων των (a,b)-δένδρων ύψους h, ποιο είναι εκείνο µε τους περισσότερους κόµβους? Ποιο είναι το ύψος αυτού του δένδρου ως προς το πλήθος κόµβων? Το ύψος ενός (a,b)-δένδρου µε n κόµβους είναι Θ(log n). Ποια είναι η πολυπλοκότητα χρόνου της διαδικασίας αναζήτησης σε ένα (α,β)-δένδρο µε n κόµβους? 39

40 (2,3)- ένδρα Τα (2,3)-δένδρα έχουν 2 τύπους κόµβων: 2-κόµβους (µε 1 κλειδί και 2 παιδιά) 3-κόµβους (µε 2 κλειδιά και 3 παιδιά) 3-κόµβος 2-κόµβος 40

41 Εισαγωγή σε (2,3)- ένδρο Αλγόριθµος 1. Εύρεση του φύλλου στο οποίο θα πρέπει να εισαχθεί το νέο κλειδί. 2. Αν υπάρχει χώρος στον κόµβο (2-κόµβος, έχει 1 κλειδί), το νέο κλειδί εισάγεται εκεί και σταµατάµε. 3. Αν δεν υπάρχει χώρος (3-κόµβος, έχει 2 κλειδιά), ιάσπαση: χωρίζουµε τον κόµβο σε δύο 2-κόµβους, έναν µε το πρώτο και έναν µε το τρίτο κλειδί, και εάν υπάρχει κόµβος-πατέρας, περνάµε το µεσαίο κλειδί στον κόµβο-πατέρα για να αποθηκευτεί εκεί και επαναλαµβάνουµε στον κόµβο-πατέρα. Εάν δεν υπάρχει κόµβος-πατέρας, τότε ο κόµβος που χωρίσαµε είναι η ρίζα, και το µεσαίο κλειδί µπαίνει σε έναν 2-κόµβο µόνο του και αποτελεί τη νέα ρίζα του (2,3)-δένδρου. Σηµειώνεται ότι η διαδικασία επαναλαµβάνεται µέχρι είτε να βρούµε χώρο για το κλειδί σε κάποιο κόµβο στο µονοπάτι προς τη ρίζα, είτε να φτάσουµε στη ρίζα και να τη χωρίσουµε, οπότε το ύψος του δένδρου αυξάνει. Πολυπλοκότητα χρόνου = O(log n) 41

42 Παράδειγµα Εισαγωγής σε (2,3)-δένδρο Εισαγωγή του κλειδιού Ο στο δένδρο. 42

43 ιαγραφή σε (2,3)-δένδρο Λόγω της διαγραφής, ενδέχεται κάποιοι κόµβοι να µένουν χωρίς καθόλου κλειδιά. Όταν αυτό συµβαίνει, αν ο κόµβος έχει κάποιον αδελφικό κόµβο µε δύο κλειδιά, µπορούµε να µεταφέρουµε ένα κλειδί από τον αδελφικό κόµβο για να επιλύσουµε το πρόβληµα. π.χ., διαγραφή του Ε M P P 43

44 ιαγραφή σε (2,3)-δένδρο Αλγόριθµος 1. Αν το προς διαγραφή κλειδί είναι σε κόµβο φύλλο, διάγραψέ το. Αν όχι, αντικατάστησε το κλειδί µε το επόµενό του στην ενδο-διατεταγµένη διάσχιση και διάγραψε το επόµενό του από την αρχική του θέση (σε κόµβο φύλλο). 2. Έστω Ν ο κόµβος από τον οποίο διαγράφεται το κλειδί. Αν ο Ν έχει ένα κλειδί µετά τη διαγραφή, ο αλγόριθµος τερµατίζει. ιαφορετικά, ο Ν δεν έχει κανένα κλειδί και έχει 1 ή κανένα παιδί: a. Αν ο Ν είναι η ρίζα, διάγραψέ τον. Αν ο Ν δεν έχει παιδί, το δένδρο γίνεται άδειο. ιαφορετικά, το παιδί του Ν γίνεται ρίζα. Τερµατίζουµε. (Τώρα, ο Ν έχει τουλάχιστον έναν αδελφικό κόµβο. Γιατί?) b. ανεισµός: Αν ο Ν έχει έναν αδελφικό 3-κόµβο Ν ακριβώς στα δεξιά του, έστω S το κλειδί του πατρικού κόµβου των Ν, Ν που χωρίζει τα δύο υποδένδρα. Μετακινούµε το S στο Ν, και το αντικαθιστούµε στον πατέρα του µε το µικρότερο κλειδί του Ν. Αν Ν και Ν είναι εσωτερικοί κόµβοι, αλλάζουµε το αριστερότερο παιδί του Ν σε δεξιό παιδί του Ν. Τα Ν, Ν έχουν από ένα κλειδί το καθένα, και ο αλγόριθµος τερµατίζει. Αν όχι, ελέγχουµε για 3-κόµβο ακριβώς στα αριστερά. c. (Αν όχι, ο Ν έχει έναν αδελφικό 2-κόµβο Ν ελέγχουµε πρώτα δεξιά και µετά αριστερά.) Συνένωση: Έστω P ο πατέρας των Ν, Ν και S το κλειδί που χωρίζει τους Ν, Ν στον P. Συνενώνουµε το S και το κλειδί του Ν σε έναν νέο 3- κόµβο,ο οποίος αντικαθιστά τα Ν,Ν. Θέτουµε Ν = P και επαναλαµβάνουµε το βήµα 2 για τον P. 44

45 Παράδειγµα ιαγραφής σε (2,3)-δένδρο 45

ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2

ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 2 ΕΝΟΤΗΤΑ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΛΕΞΙΚΩΝ ΜΕ ΙΣΟΖΥΓΙΣΜΕΝΑ ΕΝ ΡΑ ΗΥ24 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Ισοζυγισµένα ένδρα Χρονική Πολυπλοκότητα αναζήτησης σε δοµές που έχουν ήδη διδάχθει: Στατική Μη-Ταξινοµηµένη Λίστα -> Ο(n), όπου

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Δέντρα Αναζήτησης Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Το πρόβλημα Αναζήτηση Θέλουμε να διατηρήσουμε αντικείμενα με κλειδιά και να μπορούμε εκτός από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND)

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND) ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND) Ένωση Ξένων Συνόλων (Disjoint Sets with Union) S 1,, S k : ξένα υποσύνολα ενός συνόλου U δηλ., S i S j =, αν i j, και S 1 S k = U. Λειτουργίες που θέλουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14. οµές Ευρετηρίων για Αρχεία. ιαφάνεια 14-1

Κεφάλαιο 14. οµές Ευρετηρίων για Αρχεία. ιαφάνεια 14-1 ιαφάνεια 14-1 Κεφάλαιο 14 οµές Ευρετηρίων για Αρχεία Copyright 2007 Ramez Elmasri and Shamkant B. NavatheΕλληνικήΈκδοση, ιαβλος, Επιµέλεια Μ.Χατζόπουλος 1 Θα µιλήσουµε για Τύποι Ταξινοµηµένων Ευρετηρίων

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Αποδείξτε τη µεταβατική και τη συµµετρική ιδιότητα του Θ. Λύση Μεταβατική Ιδιότητα (ορισµός): Αν f(n) = Θ(g(n)) και g(n) = Θ(h(n)) τότε f(n)=θ(h(n)). Για

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικά Πολυεπίπεδα Ευρετήρια (Β-δένδρα) Μ.Χατζόπουλος 1

Δυναμικά Πολυεπίπεδα Ευρετήρια (Β-δένδρα) Μ.Χατζόπουλος 1 Δυναμικά Πολυεπίπεδα Ευρετήρια (Β-δένδρα) Μ.Χατζόπουλος 1 Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ.Χατζόπουλος 2 Δένδρο αναζήτησης είναι ένας ειδικός τύπος δένδρου που χρησιμοποιείται για να καθοδηγήσει την αναζήτηση μιας

Διαβάστε περισσότερα

Outlook Express-User Instructions.doc 1

Outlook Express-User Instructions.doc 1 Οδηγίες προς τους υπαλλήλους του ήµου Θεσσαλονίκης για την διαχείριση της ηλεκτρονικής τους αλληλογραφίας µε το Outlook Express (Ver 1.0 22-3-2011) (Για οποιοδήποτε πρόβληµα ή απορία επικοινωνήστε µε τον

Διαβάστε περισσότερα

Λεξικό, Union Find. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Λεξικό, Union Find. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Λεξικό, Union Find ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαχείριση ιαμερίσεων Συνόλου Στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

υαδικό έντρο Αναζήτησης (BSTree)

υαδικό έντρο Αναζήτησης (BSTree) Εργαστήριο 6 υαδικό έντρο Αναζήτησης (BSTree) Εισαγωγή Οι περισσότερες δοµές δεδοµένων, που εξετάσαµε µέχρι τώρα (λίστες, στοίβες, ουρές) ήταν γραµ- µικές (ή δοµές δεδοµένων µιας διάστασης). Στην παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Θεωρητική εισαγωγή

8.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 8 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΝΗΜΗΣ ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ Σκοπός: Η µελέτη της λειτουργίας των καταχωρητών. Θα υλοποιηθεί ένας απλός στατικός καταχωρητής 4-bit µε Flip-Flop τύπου D και θα µελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΒΑΣΕΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ Insert, Update, Delete, Ένωση πινάκων Γιώργος Μαρκοµανώλης Περιεχόµενα Group By... 1 Having...1 Οrder By... 2 Εντολή Insert...

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Οδοραµα mobile ΑΠΟΘΗΚΗ

Οδοραµα mobile ΑΠΟΘΗΚΗ Οδοραµα mobile ΑΠΟΘΗΚΗ Όπως βλέπετε, η αρχική οθόνη της εφαρµογής διαθέτει 9 κουµπιά τα οποία σας επιτρέπουν να πλοηγηθείτε σε αυτό. Αρχίζοντας από πάνω αριστερά βλέπετε τα εξής: 1. Τιµολόγηση: Προβολή

Διαβάστε περισσότερα

η σύνθεση ενός υπολογιστή

η σύνθεση ενός υπολογιστή ιδακτικό υλικό µαθητή η σύνθεση ενός υπολογιστή Αν παρατηρήσουµε έναν υπολογιστή βλέπουµε ότι αποτελείται από τα ακόλουθα µέρη: Οθόνη Μονάδα συστήµατος Ποντίκι Πληκτρολόγιο τη µονάδα συστήµατος, όπου βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου Εαρινό Εξάµηνο 2009 Κάτια Παπακωνσταντινοπούλου 1. Εστω A ένα µη κενό σύνολο. Να δείξετε ότι η αλγεβρική δοµή (P(A), ) είναι αβελιανή οµάδα. 2. Εστω ένα ξενοδοχείο

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 10 Γράφοι (ή Γραφήµατα)

Ενότητα 10 Γράφοι (ή Γραφήµατα) Ενότητα 10 Γράφοι (ή γραφήµατα) ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Γράφοι (ή Γραφήµατα) Ένας γράφος αποτελείται από ένα σύνολο από σηµεία (που λέγονται κόµβοι) και ένα σύνολο από γραµµές (που λέγονται ακµές)

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοημοσύνη 06 Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Εισαγωγικά (1/3) Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται από δύο διαφορετικά σύνολα τελεστών μετάβασης που εφαρμόζονται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

γράφοντας µε τον υπολογιστή

γράφοντας µε τον υπολογιστή Γνωριµία µε τους υπολογιστές γράφοντας µε τον υπολογιστή Από τις εργασίες που µπορούµε να κάνουµε µε τον υπολογιστή είναι να δηµιουργούµε έγγραφα τα οποία µπορεί να περιέχουν κείµενα και εικόνες. Για να

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΟΜΕΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ DVR 1093/16

ΣΥΝΤΟΜΕΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ DVR 1093/16 ΣΥΝΤΟΜΕΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ DVR 1093/16 Πλήκτρα Χειρισµού Συσκευής 1093/016 Θύρα USB για σύνδεση συσκευών αποθήκευσης ΜΟΝΟ. ΠΡΟΣΟΧΗ : Το ποντίκι συνδέεται στην θύρα USB στο πίσω µέρος της συσκευής Πλήκτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια

Κλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο Κλάσµατα Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια Όπως φαίνεται όµως ο Σάκης έφαγε 1 κοµµάτι από τα 8 Το κοµµάτι

Διαβάστε περισσότερα

παράθυρα ιδακτικό υλικό µαθητή Πλήκτρα για να το παράθυρο Λωρίδα τίτλου Πλαίσιο παραθύρου

παράθυρα ιδακτικό υλικό µαθητή Πλήκτρα για να το παράθυρο Λωρίδα τίτλου Πλαίσιο παραθύρου ιδακτικό υλικό µαθητή παράθυρα Κατά τη διάρκεια της µελέτης µας γράφουµε και διαβάζουµε, απλώνοντας πάνω στο γραφείο τετράδια και βιβλία. Ξεκινώντας ανοίγουµε αυτά που µας ενδιαφέρουν πρώτα και συνεχίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD Σε ορισµένες περιπτώσεις είναι ιδιαίτερα χρήσιµη η δηµιουργία ιστοσελίδων ενηµερωτικού περιεχοµένου οι οποίες στη συνέχεια µπορούν να δηµοσιευθούν σε κάποιο τόπο

Διαβάστε περισσότερα

Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25)

Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25) Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος των BellmanFord Ο αλγόριθµος του Dijkstra ΕΠΛ 232 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 61

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Εγκατάσταση. Εγκατάσταση του Wamp

Εγκατάσταση. Εγκατάσταση του Wamp Εγκατάσταση Εγκατάσταση του Wamp Η εγκατάσταση χωρίζεται σε δύο µέρη. Πρώτα θα εγκαταστήσουµε το Wamp, ώστε να µετατρέψουµε τον υπολογιστή µας σε Web Server και µετά θα εγκαταστήσουµε το Joomla. Η εγκατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ ΧΡΗΣΤΗ. Ηλεκτρονική Υποβολή Α.Π.Δ.

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ ΧΡΗΣΤΗ. Ηλεκτρονική Υποβολή Α.Π.Δ. ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ ΧΡΗΣΤΗ Ηλεκτρονική Υποβολή Α.Π.Δ. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) Είσοδος στην εφαρμογή 2) Δημιουργία Περιόδου Υποβολής 2.α) Ακύρωση Περιόδου Υποβολής 3) Μέθοδος Υποβολής: Συμπλήρωση Φόρμας 3.α) Συμπλήρωση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Οργάνωση εδομένων Κεφάλαιο 11ο ομές εδομένων

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Οργάνωση εδομένων Κεφάλαιο 11ο ομές εδομένων Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Οργάνωση εδομένων Κεφάλαιο 11ο ομές εδομένων 1 ομή εδομένων Μια δομή δεδομένων (data structure) χρησιμοποιεί μια συλλογή από σχετικές μεταξύ τους μεταβλητές, οι οποίες

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων (Data Structures)

Δομές Δεδομένων (Data Structures) Δομές Δεδομένων (Data Structures) Ανάλυση - Απόδοση Αλγορίθμων Έλεγχος Αλγορίθμων. Απόδοση Προγραμμάτων. Χωρική/Χρονική Πολυπλοκότητα. Ασυμπτωτικός Συμβολισμός. Παραδείγματα. Αλγόριθμοι: Βασικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Αποθήκευση σε ίσκους, Βασικές οµέςαρχείων, και Κατακερµατισµός. ιαφάνεια 13-1

Κεφάλαιο 13. Αποθήκευση σε ίσκους, Βασικές οµέςαρχείων, και Κατακερµατισµός. ιαφάνεια 13-1 ιαφάνεια 13-1 Κεφάλαιο 13 Αποθήκευση σε ίσκους, Βασικές οµέςαρχείων, και Κατακερµατισµός ίαβλος, Επιµ.Μ.Χατζόπουλος 1 Γιατί θα µιλήσουµε Μονάδες Αποθήκευσης ίσκων Αρχεία Εγγραφών Πράξεις σε αρχεία Αρχεία

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Προγραµµατιστική Εργασία 1 ο Μέρος

Προγραµµατιστική Εργασία 1 ο Μέρος Πανεπιστήµιο Κρήτης, Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών 4 Νοεµβρίου 2011 ΗΥ240: οµές εδοµένων Χειµερινό Εξάµηνο Ακαδηµαϊκό Έτος 2011-12 ιδάσκουσα: Παναγιώτα Φατούρου Προγραµµατιστική Εργασία 1 ο Μέρος Ηµεροµηνία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η.

Κεφάλαιο 3. Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Κεφάλαιο 3 Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης Οι αλγόριθµοι τυφλής αναζήτησης (blind

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-460 Συστήµατα ιαχείρισης Βάσεων εδοµένων ηµήτρης Πλεξουσάκης Βασίλης Χριστοφίδης

ΗΥ-460 Συστήµατα ιαχείρισης Βάσεων εδοµένων ηµήτρης Πλεξουσάκης Βασίλης Χριστοφίδης Πανεπιστήµιο Κρήτης Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-460 Συστήµατα ιαχείρισης Βάσεων εδοµένων ηµήτρης Πλεξουσάκης Βασίλης Χριστοφίδης Ονοµατεπώνυµο: Αριθµός Μητρώου: Επαναληπτική Εξέταση (3 ώρες) Ηµεροµηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÁÈÇÍÁ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÁÈÇÍÁ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α1. 1. Λάθος 2. Λάθος 3. Σωστό 4. Λάθος 5. Σωστό Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ (2ος Κύκλος) ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Ηµεροµηνία: Κυριακή 19 Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 18 Dijkstra s Shortest Path Algorithm 1 / 12 Ο αλγόριθμος εύρεσης της συντομότερης διαδρομής του Dijkstra

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #10: Αλγόριθμοι Διαίρει & Βασίλευε: Master Theorem, Αλγόριθμοι Ταξινόμησης, Πιθανοτικός

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Υπερπροσαρμογή (Overfitting) (1)

Υπερπροσαρμογή (Overfitting) (1) Αλγόριθμος C4.5 Αποφυγή υπερπροσαρμογής (overfitting) Reduced error pruning Rule post-pruning Χειρισμός χαρακτηριστικών συνεχών τιμών Επιλογή κατάλληλης μετρικής για την επιλογή των χαρακτηριστικών διάσπασης

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

4.2 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 1 4. 4.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόβληµα : Ονοµάζουµε την κατάσταση που δηµιουργείται όταν αντι- µετωπίζουµε εµπόδια και δυσκολίες στην προσπάθεια µας να φτάσουµε σε έναν συγκεκριµένο στόχο.. Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΧΡΗΣΗΣ "KOSTOLOGOS " Σταυριανίδης Κωνσταντίνος Μηχανικός Παραγωγής & ιοίκησης. Εισαγωγή

ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΧΡΗΣΗΣ KOSTOLOGOS  Σταυριανίδης Κωνσταντίνος Μηχανικός Παραγωγής & ιοίκησης. Εισαγωγή Εισαγωγή Η προσέγγιση του κοστολογικού προβλήµατος µίας µεταποιητικής επιχείρησης από το Λογισµικό «Κοστολόγος» στηρίζεται στην παρακάτω ανάλυση ΤΕΛΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΠΡΟΙΟΝΤΟΣ ΚΟΣΤΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΟΣΤΟΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

του και από αυτόν επιλέγουµε το φάκελο εµφανίζεται ένα παράθυρο παρόµοιο µε το ακόλουθο:

του και από αυτόν επιλέγουµε το φάκελο εµφανίζεται ένα παράθυρο παρόµοιο µε το ακόλουθο: διαχείριση αρχείων Οι περισσότερες εφαρµογές των Windows είναι προγραµµατισµένες, από τον κατασκευαστή τους, να προτείνουν ως περιοχή αποθήκευσης των εργασιών το φάκελο «Τα έγγραφά µου», που δηµιουργείται

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ Όταν στα µαθηµατικά λέµε ότι το τείνει στο και συµβολίζεται, εννοούµε ότι οι τιµές προσεγγίζουν την τιµή, είτε µε από τιµές µικρότερες του δηλ από αριστερά του, είτε από τιµές µεγαλύτερες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Στο σηµείωµα αυτό αρχικά εξηγείται η έννοια αλγόριθµος και παραθέτονται τα σπουδαιότερα κριτήρια που πρέπει να πληρεί κάθε αλγόριθµος. Στη συνέχεια, η σπουδαιότητα των αλγορίθµων συνδυάζεται

Διαβάστε περισσότερα

3. Σηµειώσεις Access. # Εισαγωγή ψηφίου ή κενού διαστήµατος. Επιτρέπονται τα ση-

3. Σηµειώσεις Access. # Εισαγωγή ψηφίου ή κενού διαστήµατος. Επιτρέπονται τα ση- Μάθηµα 3 Προχωρηµένες ιδιότητες πεδίων Μάσκες εισαγωγής Οι ιδιότητες Μορφή και Μάσκα εισαγωγής περιγράφονται µαζί γιατί έχουν κοινά χαρακτηριστικά που αφορούν την εµφάνιση. Με την ιδιότητα Μορφή καθορίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access

Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access Μάθηµα 1 Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access Τι είναι οι βάσεις δεδοµένων Μία βάση δεδοµένων (Β..) είναι µία οργανωµένη συλλογή πληροφοριών, οι οποίες είναι αποθηκευµένες σε κάποιο αποθηκευτικό

Διαβάστε περισσότερα

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ"

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ" ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Υπεύθυνος Καθηγητής Λυκοθανάσης Σπυρίδων Ακαδημαικό Έτος:

Διαβάστε περισσότερα

http://web.thessaloniki.gr/webmail

http://web.thessaloniki.gr/webmail Οδηγίες προς τους υπαλλήλους του ήµου Θεσσαλονίκης για την διαχείριση της ηλεκτρονικής τους αλληλογραφίας µε το Webmail (Ver 1.0 21-3-2011) (Για οποιοδήποτε πρόβληµα ή απορία επικοινωνήστε µε τον Τάσο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Με το σχεδιασµό επιφάνειας (Custom επιφάνεια) µπορούµε να σχεδιάσουµε επιφάνειες και αντικείµενα που δεν υπάρχουν στους καταλόγους του 1992. Τι µπορούµε να κάνουµε µε το σχεδιασµό

Διαβάστε περισσότερα

7ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ AAAABBBBAAAAABBBBBBCCCCCCCCCCCCCCBBABAAAABBBBBBCCCCD

7ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ AAAABBBBAAAAABBBBBBCCCCCCCCCCCCCCBBABAAAABBBBBBCCCCD ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2010 11 Ιστοσελίδα μαθήματος: http://eclass.teilam.gr/di288 1 Συμπίεση

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης

Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης Περιεχόμενο: Δομή υπολογιστή Συστήματα αρίθμησης ΟΜΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Ένας υπολογιστής αποτελείται από την Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας (ΚΜΕ), τη µνήµη, τις µονάδες εισόδου/εξόδου και το σύστηµα διασύνδεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

internet είναι το δίκτυο των υπολογιστών που είναι συνδεδεµένοι µεταξύ τους.

internet είναι το δίκτυο των υπολογιστών που είναι συνδεδεµένοι µεταξύ τους. Πριν ξεκινήσουµε την περιγραφή του προγράµµατος καλό θα ήταν να αναφερθούµε στον ορισµό κάποιων εννοιών για τις οποίες θα γίνεται λόγος στο κεφάλαιο αυτό. Πρώτα από όλα πρέπει να καταλάβουµε την διαφορά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. Structural Programming

ΑΣΚΗΣΗ 1. Structural Programming ΑΣΚΗΣΗ 1 Structural Programming Στην άσκηση αυτή θα υλοποιήσετε σε C ένα απλό πρόγραµµα Βάσης εδοµένων το οποίο θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί από την γραµµατεία ενός πανεπιστηµίου για την αποθήκευση και

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 1.3-1.4: Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό ( ιάλεξη 2) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Περιεχόµενα Εισαγωγικές Έννοιες - Ορισµοί Ο κύκλος ανάπτυξης προγράµµατος Παραδείγµατα Πότε χρησιµοποιούµε υπολογιστή?

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #2: Πολυωνυμικοί Αλγόριθμοι, Εισαγωγή στα Γραφήματα, Αναζήτηση κατά Βάθος, Τοπολογική Ταξινόμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Παρουσίαση: Τεύκρος Μιχαηλίδης ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ Επικοινωνία info@thalesandfriends.org Ιστοσελίδα www.thalesandfriends.org Το τρίγωνο του Sierpinski Α Β Γ ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ 2 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10β: Αλγόριθμοι Γραφημάτων-Γραφήματα- Αναπαράσταση Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

6. Σχηµατισµοί και όργανα γραµµής

6. Σχηµατισµοί και όργανα γραµµής 6. Σχηµατισµοί και όργανα γραµµής 6.1 Εισαγωγή Απαραίτητη προϋπόθεση για την οικονοµική εκµετάλλευση ενός σιδηροδροµικού δικτύου αποτελεί η δυνατότητα ένωσης, τοµής, διχασµού και σύνδεσης των γραµµών σε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/03/2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ Α Α1. Α2. 1. ΣΩΣΤΟ 1 στ 2. ΛΑΘΟΣ 2 δ 3. ΣΩΣΤΟ 3 ε 4. ΛΑΘΟΣ 4 β 5. ΣΩΣΤΟ 5 γ

ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/03/2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ Α Α1. Α2. 1. ΣΩΣΤΟ 1 στ 2. ΛΑΘΟΣ 2 δ 3. ΣΩΣΤΟ 3 ε 4. ΛΑΘΟΣ 4 β 5. ΣΩΣΤΟ 5 γ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΑΕΠΠ / ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05/03/2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Α2. 1. ΣΩΣΤΟ 1 στ 2. ΛΑΘΟΣ 2 δ 3. ΣΩΣΤΟ 3 ε 4. ΛΑΘΟΣ 4 β 5. ΣΩΣΤΟ 5 γ Α3. α. (σελ. 183-184) Στοίβα: ώθηση, απώθηση Ουρά:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 32 Φως: Ανάκλασηκαι ιάθλαση Γεωµετρική θεώρηση του Φωτός Ανάκλαση ηµιουργίαειδώλουαπόκάτοπτρα. είκτης ιάθλασης Νόµος του Snell Ορατό Φάσµα και ιασπορά Εσωτερική ανάκλαση Οπτικές ίνες ιάθλαση σε

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 07: Λίστες Ι Υλοποίηση & Εφαρμογές

Διάλεξη 07: Λίστες Ι Υλοποίηση & Εφαρμογές Διάλεξη 07: Λίστες Ι Υλοποίηση & Εφαρμογές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ευθύγραμμες Απλά Συνδεδεμένες Λίστες (εισαγωγή, εύρεση, διαγραφή) Ευθύγραμμες Διπλά Συνδεδεμένες Λίστες

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ

ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΡΙΘΜΟΙ και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΣ: Ντελή Χασάν Μουσταφά Μουτλού ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ιαχείριση Πληροφοριών στο ιαδίκτυο

ιαχείριση Πληροφοριών στο ιαδίκτυο ιαχείριση Πληροφοριών στο ιαδίκτυο Εργαστήριο (Φυλλάδιο 3) ΤΕΙ Καβάλας - Σχολή ιοίκησης & Οικονοµίας Τµήµα ιαχείρισης Πληροφοριών ιδάσκων: Μαρδύρης Βασίλειος, ιπλ. Ηλ. Μηχανικός & Μηχ. Υπολογιστών, MSc

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΛΗ 2: Ψηφιακά Συστήµατα Ακαδηµαϊκό Έτος 24 25 Ηµεροµηνία Εξέτασης 29.6.25 Χρόνος Εξέτασης

Διαβάστε περισσότερα