ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ T. Σελλής ΑΝΟΙΞΗ 2003 ΑΣΚΗΣΗ #3 Ηµερ. Παράδοσης: 09/05/03 Ερώτηµα 1Α LL RR 115 +, RL

2 RL 115

3 +, RR RL

4 (Στην τελευταία εισαγωγή φαίνονται αναλυτικά και οι δύο φάσεις της διπλής περιστροφής RL) Ερώτηµα 1Β

5 RR

6 - - RL

7 Ερώτηµα

8

9

10

11

12 Ερώτηµα 3 Ο µικρότερος αριθµός κλειδιών που πρέπει να εισάγουµε σ ένα Β-δένδρο βαθµού 4, ώστε να µεγαλώσει σε 3 επίπεδα είναι κλειδιά σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά (π.χ. τα : 1,2,3,4, ). Η λογική είναι η σειρά των αριθµών να είναι τέτοια ώστε να µην ίσο-κατανέµονται τα νέο εισαγόµενα κλειδιά στα φύλλα. Αντιθέτως θα πρέπει όσο το συντοµότερο δυνατό να γεµίζουµε κάποιο φύλλο, ώστε να το αναγκάζουµε να σπάει, οπότε να ανεβαίνει ένα κλειδί προς τα επάνω. Για παράδειγµα η σειρά 1,2, προσπαθεί συνεχώς να σπάσει το πιο δεξί φύλλο. Αν αφήσουµε όλους τους κόµβους µισογεµάτους (4 κλειδιά και η ρίζα 1), τότε τα κλειδιά στα 3 επίπεδα του δένδρου θα είναι ως εξής: 1 + 2*4 + 2*5*4 = 49 κλειδιά συνολικά στο δένδρο. Αναλυτικά στο πρώτο επίπεδο υπάρχει µόνο η ρίζα µε ένα κλειδί και δύο κόµβους παιδιά στο δεύτερο επίπεδο. Στο δεύτερο επίπεδο κάθε κόµβος θα έχει 4 κλειδιά δηλαδή θα υπάρχουν 8 κλειδιά στο δεύτερο

13 επίπεδο. Κάθε κόµβος θα έχει επιπλέον 5 (βαθµός δέντρου +1) παιδιά στο τρίτο επίπεδο. Εποµένως στο τρίτο επίπεδο θα έχουµε 10 κόµβους µε τέσσερα κλειδιά ο καθένας, δηλαδή 40 κλειδιά. Παράρτηµα ιαγραφή σε Β- έντρο ιαγραφή σε φύλλο Υποθέτουµε ότι έχουµε το δέντρο που προκύπτει από το ερώτηµα Και επιπλέον έστω ότι διαγράφουµε το κλειδί 117, οπότε και προκύπτει το δέντρο Ο κόµβος µε το κλειδί έχει λιγότερα κλειδιά από το βαθµό του δέντρου (2). Για να επαναφέρουµε το δέντρο στη σωστή δοµή του ελέγχουµε τους γειτονικούς κόµβους. Προσοχή µόνο τα siblings δηλαδή τους γειτονικούς κόµβους που έχουν κοινό πατέρα µε τον κόµβο που µελετάµε. Στην περίπτωση αυτή έχουµε δύο επιλογές.

14 1 η Περίπτωση - αριστερός κόµβος Επειδή ο κόµβος αυτός έχει περισσότερα από D (βαθµός δέντρου) κλειδιά, µοιράζουµε τα κλειδιά των δυο κόµβων, µισά δεξιά και µισά αριστερά. Οπότε προκύπτει το δέντρο του παρακάτω σχήµατος Μοιράζοντας όµως τα κλειδιά αλλάζουµε τη λεξικογραφική σειρά των κόµβων όπως φαίνεται από τη διακεκοµµένη γραµµή (101 < 105 < 115 < 110 < 113 < < ). Συνεπώς τα κλειδιά 110 και 115 πρέπει να ανταλλάξουν θέσεις όπως φαίνεται στο επόµενο σχήµα Στο νέο σχήµα η λεξικογραφική σειρά είναι αύξουσα < 101 < 105 < 110 < 113 < 115 < < < 127 < 2 η Περίπτωση δεξιός κόµβος Στην περίπτωση που επιλέξουµε τον δεξιό κόµβο, επειδή αυτός έχει ακριβώς D (βαθµός δέντρου) κλειδιά, συγχωνεύουµε τους δύο κόµβους σε ένα, οπότε προκύπτει το παρακάτω δέντρο.

15 Στο παραπάνω δέντρο ο κόµβος (115,) έχει µόνο δύο παιδιά ενώ θα έπρεπε να έχει τρία. Συνεπώς πρέπει να κατεβάσουµε το κλειδί ένα επίπεδο πιο κάτω (το 115 δε µπορεί να κατέβει γιατί τότε θα είχαµε κόµβο µε 5 κλειδιά (101,105,110,113,115)). Οπότε προκύπτει το δέντρο Ακολουθώντας τη διαδικασία που εφαρµόσαµε προηγουµένως συνεχίζουµε στο επόµενο επίπεδο. Ελέγχοντας τα siblings του κόµβου (115) έχουµε µόνο µία επιλογή. Να συγχωνεύσουµε τους κόµβους (,) και (115), οπότε έχουµε Όπως και πριν ο κόµβος () έχει µόνο ένα παιδί αντί για δύο. Για το λόγο αυτό συγχωνεύεται µε τον κόµβο (,,115) και έχουµε

16 Στην περίπτωση αυτή φαίνεται πως µία συγχώνευση κόµβων σε ένα επίπεδο µπορεί να οδηγήσει σε συγχωνεύσεις σε υψηλότερα επίπεδα φτάνοντας µέχρι και τη ρίζα (οπότε και µειώνεται το ύψος του δέντρου). ιαγραφή σε εσωτερικό κόµβο Ας υποθέσουµε ότι έχουµε το αρχικό δέντρο και θέλουµε να διαγράψουµε ένα κλειδί σε εσωτερικό κόµβο, έστω το Στην περίπτωση αυτή αντικαθιστούµε το κλειδί αυτό µε το αµέσως επόµενο λεξικογραφικά κλειδί που βρίσκεται ΣΕ ΦΥΛΛΟ. Το ζητούµενο κλειδί είναι το 127 (βλέπε το παρακάτω σχήµα). Αν διαγράφαµε το, το κλειδί που θα επιλέγαµε θα ήταν το 101, δηλαδή το αµέσως µεγαλύτερο κλειδί που βρίσκεται σε φύλλο. Οπότε η διαγραφή σε εσωτερικό κόµβο µετατρέπεται σε διαγραφή σε φύλλο

17 Ανακεφαλαιώνοντας έχουµε τα εξής 1) Αν η διαγραφή είναι σε φύλλο ακολουθούµε το βήµα 2, διαφορετικά o Αντικαθιστούµε το διαγραφέν κλειδί µε το αµέσως επόµενο λεξικογραφικά κλειδί που βρίσκεται σε φύλλο, οπότε και ανάγουµε τη διαγραφή σε διαγραφή σε φύλλο 2) Αν το φύλλο που περιείχε το κλειδί που διαγράφηκε έχει D ή περισσότερα κλειδιά η διαδικασία της διαγραφής ολοκληρώνεται αν όχι συνεχίζουµε στο βήµα 3 3) Ελέγχουµε τους αριστερά και δεξιά γειτονικούς κόµβους εφόσον υπάρχουν (γειτονικοί κόµβοι θεωρούνται οι κόµβοι που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και έχουν κοινό γονέα µε τον κόµβο στον οποίο έγινε η διαγραφή) o Αν ο κόµβος που επιλέγουµε έχει D ακριβώς κλειδιά γίνεται συγχώνευση των κόµβων Ελέγχουµε αν ο γονέας έχει το απαιτούµενο αριθµό παιδιών, οπότε και µεταφέρουµε ένα κλειδί του γονέα στο επόµενο επίπεδο o ιαφορετικά µοιράζουµε τα κλειδιά µεταξύ των δύο κόµβων Ελέγχουµε αν η λεξικογραφική σειρά διατηρείται συµπεριλαµβανοµένου του γονέα. Αν όχι ανταλλάσσουµε κλειδιά µεταξύ παιδιών και γονέα, προκειµένου να επαναφέρουµε την αύξουσα λεξικογραφική σειρά 4) Ελέγχουµε αν ο γονέας έχει λιγότερα από D κλειδιά. Εάν ναι συνεχίζουµε από το βήµα 3 αλλά τώρα για τον κόµβο του γονέα. 5) Τέλος