UPRAVLJANJE KVALITETOM TAGUCHI METODA
|
|
- Δαίδαλος Αρβανίτης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 UPRAVLJANJE KVALITETOM Tema: TAGUCHI METODA I SIX SIGMA TAGUCHI METODA Područje primjene Taguči metoda se koristi pri projektovanju proizvoda, procesa rada, poboljšanju kvaliteta i smanjenju troškova. To je integralni model koji se bazira na sužavanju parametara svojstava i karakteristika kvaliteta oko nominalne vrijednosti. Opis metode Taguči metoda je nova metodologija optimizacije inžinjerskog dizajna koja poboljšava kvalitet postojećih proizvoda i procesa i simultano smanjuje njihovu cijenu. Tvorac ove metode je Dr Genichi Taguchi. Za svoj doprinos u oblasti kvaliteta bio je odlikovan brojnim priznanjima kako u Japanu tako i širom svijeta. Njegova metoda inžinjeringa kvaliteta direktno je uticala na brzi rast konkurentnosti japanske industrije 70-tih i 80-tih godina prošlog vijeka. Taguči metoda se zasniva na funkciji gubitka (Taguchi funkcija) koja predstavlja odstupanje funkcionalne karakteristike proizvoda ili procesa od projektovane - nominalne vrijednosti. Predstavlja jedan od primjenjenih modela projektovanja za kvalitet na bazi eksperimenata. Svaki eksperiment razvija jedan nominalan proces ili proizvod koji ima željenu funkcionalnost izraženu kroz svojstva i karakteristike kvaliteta koje zahtjevaju kupci. Polazeći od ovih nominalnh procesa žele se optimizirati procesi ili proizvodi mijenjajući kontrolne parametre kojima se raspolaže, tako da su rezultati pouzdani i ponovljivi (tj. da pokazuju manja odstupanja). Parametar kvaliteta predstavlja mjerljivo svojstvo ili karakteristiku proizvoda i usluge, definisanu tehničkom dokumentacijom, odnosno specifikacijom. Postupak realizacije metode sastoji se od utvrđivanja parametara kvaliteta proizvoda prije izrade prototipa na osnovu posebnih principa, zatim sužavanja područja njihovog rasipanja oko ciljane vrijednosti (u cilju smanjenja vjerovatnoće poremećaja u proizvodnji i eksploataciji). Smanjenjem varijacije svojstava i karakteristika kvaliteta proizvoda ili procesa postiže se poboljšanje tehnologije procesa, povećanje kvaliteta i smanjenje troškova. Nasuprot klasičnom shvatanju da je proizvod kvalitetan ukoliko se mjera njegove posmatrane karakteristike kvaliteta nalazi unutar specifikacijskih granica, Taguči smatra da je najbolji kvalitet postignut ukoliko ta mjera ima najpovoljniju vrijednost (nominalna mjera), što je prikazano na sledećoj slici. Svako odstupanje od te vrijednosti predstavlja određeni gubitak, odnosno dodatne troškove za organizaciju.
2 Osnovu Taguči metode predstavlja funkcija gubitka (Quality Loss Function) koja: predstavlja gubitak usljed odstupanja funkcionalne karakteristike proizvoda ili procesa od projektovane (nominalne, ciljne) vrijednosti, povezuje gubitke sa funkcionalnim karakteristikama proizvoda, predstavlja kvadratnu formu i može se razviti u Taylor-ov red 1 oko tačke nominalne vrijednosti (m) L L( m) 1! L( m)! ( y) L( m y m) L( m) *( y m) * ( y m)... k( y m gubici mogu biti direktni (troškovi proizvodnje, troškovi servisa, troškovi vezani za preventivu i obuku radne snage, troškovi kontrole proizvoda i proizvodnog procesa, itd...) ili indirektni (gubitak tržišta, ulaganja za dostizanja konkurentske pozicije, itd...). Sve ove komponente su uključene u koeficijent funkcije koji se u Taguči funkciji označava sa k. Zavisno od specifikacije karakteristike proizvoda postoje tri karakteristična oblika Taguči funkcije koji su predstavljeni na sledećim slikama. ) 1 U matematici, Taylorov red predstavlja prikazivanje funkcije kao beskonačnog reda članova izračunatih iz vrijednosti derivacija funkcije u jednoj tački. Taylorov red je dobio naziv u čast engleskog matematičara Brooka Taylora. Faktorijel broja n je matematička funkcija kojom se izračunava proizvod prirodnih brojeva od 1 do nekog određenog prirodnog broja n. Faktorijel se označava sa znakom n! Na primjer:!=1*=, 3!=1**3=6...
3 L(x) Ovaj oblik funkcije odnosi se na slučaj kada su za parametar date i donja (DGT) i gornja (GGT) granica tolerancije, kao i nominalna mjera parametara (m). Tada se funkcija gubitka definiše u obliku: L( x) k *( x m) Ukupan gubitak posmatran na uzorku veličine n dat je izrazom: n L k ( xi m) i 1 pri čemu je: L(x) - funkcija gubitka k - koeficijent funkcije gubitka koji zavisi od troškova prouzrokovanih lošim kvalitetom x - posmatrani parametar m - nominalna vrijednost uzorka n - veličina uzorka Ovaj oblik funkcije odražva princip nominalno je najbolje, odnosno za nominalnu vrijednost parametra (x=m) gubitak je najmanji. U ovom slučaju posmatrani parametar može biti, na primjer, dimenzija proizvoda. Iz kvadratne funkcije gubitka možemo zaključiti da se ukupni gubitak povećava parabolično kako se odstupanje od ciljne vrijednosti povećava. Ovo nam pokazuje da pravljenje proizvoda unutar određenih granica ne mora značiti da je proizvod dobrog kvaliteta. Drugi oblik funkcije je prikazan na sledećoj slici:
4 L(x) Ovaj oblik funkcije se odnosi na slučaj kada je za parameter zadata donja granica tolerancije (DGT). Tada se funkcija gubitka definiše u obliku: 1 L( x) k * x Ukupan gubitak posmatran za uzorak veličine n računa se po formuli: n 1 L k i 1xi Ovaj oblik funkcije izražava princip veliko je najbolje odnosno za maksimalnu vrijednost parametra x, gubitak je najmanji. U ovom slučaju posmatrani parametar može biti na primjer: snaga, otpornost materijala, životni vijek proizvoda... Treći oblik funkcije je prikazan na slici ispod: Ovaj oblik funkcije se odnosi na slučaj kada je za parameter data gornja granica tolerancije (GGT). Tada se funkcija gubitka definiše u obliku:
5 L( x) k * x Ukupan gubitak posmatran na uzroku veličine n definiše se u obliku: n L k xi i 1 Ovaj oblik funkcije izražava princip malo je najbolje odnosno za minimalnu vrijednost parametra x, gubitak je najmanji. U ovom slučaju posmatrani parametar može biti habanje alata, broj oštećenja, nečistoće u materijalu... Tagučijev koncept se zasniva na tvrdnji da svako odstupanje od nominalne (ciljne) vrijednosti stvara gubitak. U skladu sa tim možemo reći da cijela filozofija predstavlja, u stvari operacionalizaciju postupaka za postizanje veće sposobnosti procesa, odnosno obezbjeđivanje da svojstva i karakteristike proizvoda i usluga konvergiraju nominalnoj vrijednosti čime se umjereno sužavaju područja rasipanja, te smanjuju troškovi proizvodnje, eksploatacije i servisiranja, umjesto kontrole proizvoda i odvajanja dobrih od loših proizvoda. Nedostatak Tagučijeve funkcije je njena neograničenost. Za određene vrijednosti paramtera x gubitak je beskonačan što je neprihvatljivo. Zbog toga, kao kritika na Tagučijevu kvadratnu funkciju gubitka nastala je inverzna normalna funkcija gubitka (Inverted Normal Loss Function - INLF). Za razliku od Tagučijeve funkcije, INLF je ograničena i omogućava prihvatljivije procjene gubitka vezanog za odstupanja od postavljenog cilja procesa. SIX SIGMA (šest sigma) Iako se šest sigma mnogima može učiniti kao veoma komplikovan proces ili kao još jedan novi trend, radi se u stvari o jednostavnom i veoma uspješnom, rezultatski orijentisanom i strukturnom načinu rada sa jasnom raspodjelom odgovornosti i ciljem postizanja značajnih rezultata. Sve veća konkurencija ne ostavlja prostor za greške. Preduzeće mora da obezbijedi sadisfakciju svojih potrošača i da stalno traga za novim načinima ispunjenja pa čak i prevazilaženja njihovih očekivanja. Upravo je cilj koncepta šest sigma prilagođavanje cijele firme zahtjevima kupaca, tržišta i tehnologije kako bi od toga imali korist radnici, kupci, akcionari i ostale zainteresovane strane. Šest sigma je istovremeno i poslovna strategija ali i metoda za unapređenje kvaliteta. Primjena ovog koncepta počela je u kompaniji Motorola krajem 80-tih godina prošlog vijeka. Motorola se u tom periodu susrela sa problemima kao što su jaka konkurencija na tržištu, nedovoljan kvalitet proizvoda i visoki troškovi. Odgovor na svoje probleme pronašli su u konceptu šest sigma. S obzirom da su za ovaj koncept karakteristična brojna mjerenja i upotreba statističkih pokazatelja on je ispočetka najširu upotrebu pronašao u proizvodnim djelatnostima, međutim zbog svoje velike efikasnosti šest sigma Postoji podatak da je u prvih deset godina primjene koncepta Six Sigma Motorola uštedila više od 15 milijardi dolara (Brue, G.: Six Sigma for Managers, McGraw Hill, 00, p.3)
6 se ubrzo proširila i na uslužni sektor. General Electric, Jonhson&Johnson, American Express, IBM, Volvo, Kodac, samo su neke od brojnih kompanija širom svijeta koje u svom poslovanju primjenjuju koncept šest sigma. Šest sigma koncept se može posmatrati kao metrika, metodologija i sistem za upravljanje kvalitetom. Metrika Osnovna namjena šest sigma modela u okviru metrike je mjerenje varijabilnosti poslovnih procesa. Odnosno, šest sigma služi za mjerenje nivoa kvaliteta jer može poslužiti kao standard koji odražava nivo kontrole nad bilo kojim procesom. Sigma skala omogućava upoređivanje različitih poslovnih procesa u smislu određivanja sposobnosti procesa da ostane u granicama kvaliteta zadanim za taj proces. Inače, šest sigma se služi sa brojem neispravnosti/grešaka na milion pojava kao pokazateljem nivoa kvaliteta. Metodologija Pod šest sigma metodologijom podrazumjeva se upotreba DMIAC (definisanje, mjerenje, analiza, poboljšanje i kontrola) ili DMADV (definisanje, mjerenje, analiza, dizajniranje, verifikacija) metodologije kojom se prije svega pokušavaju pronaći i ukloniti uzroci varijacija u procesima, ali i razviti alternative koje će dovesti do smanjenja varijacija. Sistem za upravljanje kvalitetom Na najvišem nivou šest sigma se može posmatrati kao sistem za upravljanje kvalitetom koji je usmjeren ka postizanju kontinuiranog unapređenja i usmjeravanje menadžmenta i organizacije na sledeća područja: razumjevanje i upravljanje zahtjevima kupaca, usmjeravanje ključnih procesa prema ispunjenju utvrđenih zahtjeva, korištenje rigorozne analize podataka za razumjevanje i minimiziranje varijacija u ključnim procesima, sprovođenje brzih i konstantnih unapređenja u poslovnim procesima. Šest sigma kao sistem za upravljanje kvalitetom obuhvata i metriku i metodologiju, a ono što je najviše doprinjelo uspjehu ovog koncepta jeste činjenica da su prvi put u okviru ovog modela pokazatelji vezani za kvalitet mogli biti brojčano izraženi. Prije pojave šest sigma kvalitet se uglavnom samo procjenjivao, dok je zahvaljujući ovom konceptu omogućeno i njegovo mjerenje. Šta je sigma i zašto 6? Sigma je oznaka za standardnu devijaciju, odnosno pozitivni korijen iz varijanse određenog procesa. Standardnom devijacijom mjeri se prosječno odstupanje od srednje vrijednosti, najčešće aritmetičke sredine. Standardna devijacija je uz aritmetičku sredinu osnovni pokazatelj funkcionisanja nekog procesa. Uz pomoć aritmetičke sredine posmatramo centriranost određenog procesa, dok nam standardna devijacija ukazuje na njegovo rasipanje. U statističkom smislu 6σ predstavlja 3,4 defekta na milion proizvoda, mogućnosti ili operacija (DPMO - defects per milion opportunities) ili 99,99966% korektnih proizvoda
7 (bez defekta) odnosno ispravnih operacija (bez grešaka) uz dozvoljeno odstupanje srednje vrijednosti od 1.5σ usljed prirodne nestabilnosti procesa. U slučaju kada nije dopušteno nikakvo odstupanje srednje vrijednosti govorimo o statističkom idealu koji je u praksi gotovo nemoguće ostvariti. Ispitivanjem je ustanovljeno da se u praksi svaki proces vremenom pomjera. Tako, na primjer, u proizvodnji je pomjeranje procesa uzrokovano habanjem i istrošenošću djelova mašina, promjenama parametara okoline i slično. Takođe, vanjski faktori kao što su temperatura, vlažnost vazduha, dužina radnog vremena i slično, utiču na stanje izvršioca prilikom obavljanja posla. Zbog navedenih faktora javlja se nestabilnost procesa, a iz iskustva je ustanovljeno da se proces tokom vremena može pomjeriti za 1.5σ od srednje vrijednosti. To je u stvari, pomjeranje centra rasipanja. U slučaju da nema odstupanja od srednje vrijednosti nivo 6σ bi predstavljao 0.00 defekata na milion mogućnosti, odnosno vjerovatnoća uspjeha bi bila 99, %. Vrijednosti vjerovatnoća uspješnosti i broja defekata na milion mogućnosti za nivoe od 1σ do 6σ, za stabilne i procese sa pomakom od 1.5σ dati su u sledećoj tabeli. Sigma Pomak od 0σ Pomak od 1.5σ Vjerovatnoća Broj Vjerovatnoća Broj nivo uspješnosti defekata uspješnosti defekata 1σ 68,6% ,3% σ 95,46% ,167% σ 99,73% ,3197% σ 99,9937% 63 99,379% σ 99,999943% 0,57 99,9767% 33 6σ 99, % 0,00 99,99966% 3,4 Za većinu proizvoda, usluga ili procesa nivo od 3-4σ je sasvim zadovoljavajući. Međutim, za neke procese taj sigma nivo nije zadovoljavajući, na primjer broj avionskih nesreća.
8 Projektno procesni pristup koncepta šest sigma Jedno od najvažnijih obilježja koncepta šest sigma jeste orijentacija na projekte koji će dovesti i proizvode/usluge i procese na željeni sigma nivo. To se postiže osposobljavanjem dovoljnog broja zaposlenih za pronalaženje, odabir i sprovođenje dobrih projekata. Izbor dobrih projekata za poboljšanje kvaliteta jedan je od ključnih faktora uspjeha. Prilikom odabira projekta moraju se uzeti u obzir sledeći faktori: uticaj projekta na organizaciju u cjelini, vjerovatnoća uspjeha projekta, uticaj projekta na zaposlene, srodnost projekta sa poslovnom strategijom preduzeća, finansijski rezultat. Važan kriterij u izboru projekta za poboljšanje kvaliteta je da problem koji se rješava bude mjerljiv. Ponekad se dešava da je problem mjerljiv, ali do tada ga niko nije mjerio i ne postoje statistički podaci te je zbog toga nemoguće procijeniti potencijalni uticaj novog projekta. Ako se i pored toga projektni tim odluči za dati projekat onda članovi tima moraju definisati parametre koji će se mjeriti i početi sakupljati podatke u početnoj fazi projekta. Šest sigma metodologija Prilikom sprovođenja izabranog šest sigma projekta primjenjuje se jedna od dvije osnovne metodologije DMAIC ili DMADV. 3 Razlika između ove dvije metodologije ogleda se u tome da li se radi o poboljšanju postojećeg procesa ili razvoju novog procesa. Metodologija DMAVD se koristi kada je potrebno razviti novi proces, kreirati novi proizvod ili stvoriti novu uslugu. Takođe, ona je primjenu našla i kada je potrebno izvršiti potpuno rekonstrukturianje organizacije ili nekog njenog procesa. U nastavku slijedi detaljnije objašnjenje DMAIC metodologije koja se koristi za poboljšanje postojećih procesa. DMAIC metodologija se sprovodi u pet koraka, odnosno pet faza: definisanje, mjerenje, analiziranje, poboljšanje i kontrolisanje. Navedeni faze u ovoj metodologiji su u stvari koraci ka rješavanju određenog problema. Ovakav fazni pristup podrazumjeva najprije da se problemi definišu, da se kvantifikuju njihove granice (veličina), potom da se informacije o mjerenju sistematizuju u cilju razjašnjavanja problema. Zatim slijedi razvijanje analitičkih sredstava (alata) za prodiranje u dubinu problema i identifikaciju njihovih uzroka, dolaženje do rešenja problema kojim će se uticati na ključne faktore (uzroke), te na kraju primjena rješenja koja postaju predmet stalne kontrole radi sprečavanja ponavljanja starih problema (grešaka). Definisanje (Define) problema je cilj prve faze. U ovoj fazi izrađujemo dokument u kome se navode osnovni parametri koji su važni za sam projekat. Ti parametri su: obim projekta, područje koje on obuhvata, ko su krajnji korisnici projekta, ko su članovi projektnog tima, rokovi do kojih pojedine faze moraju biti gotove i slično. Ovo je faza u kojoj je veoma bitno poznavanje i upotreba pravih alata i metoda za upravljanje kvalitetom. Ukoliko postoje resursi potrebni za sprovođenje projekta, potrebno ih je odrediti. Potrebno je intervjuisati korisnike projekta kako bi se saznalo šta je osnovni 3 DMIAC (definisanje, mjerenje, analiza, poboljšanje i kontrola) DMADV (definisanje, mjerenje, analiza, dizajniranje, verifikacija)
9 problem i koja su očekivanja korisnika. Takođe, proces (predmet poboljšanja) se raščlanjuje i određuju se inputi i outputi procesa. Neki od alata koji se koriste u ovoj fazi su brainstorming, dijagram afiniteta, Ishikawa dijagram, gantogram, dijagram toka, itd. Mjerenje (Measure) rezultata procesa predstavlja vremenski najdužu fazu jer se u njoj prikupljaju svi relevantni podaci o procesu koje je moguće brojčano iskazati. Cilj je utvđivanje uzročne veze između rezultata procesa i dodatne vrijednosti za kupca. Najprije se prema ključnim faktorima procesa identifikuju i definišu mjerila rezultata, odnosno kvaliteta. Za svako mjerilo se definiše ciljna (standardna) vrijednost. To omogućava i određivanje odstupanja od tog standarda. Nakon što se identifikuju odstupanja potrebno je kvantifikovati i moguće uštede tj. redukcije troškova ukoliko se smanje ili potpuno eliminišu odstupanja. U ovoj fazi pored brojnih statističkih metoda koje se koriste kako bi se na osnovu prikupljenih podataka iskazala 6σ vrijednost, koriste se još i Pareto analiza (služi za određivanje najvažnijih varijabli procesa, tj. onih varijabli koje imaju najveći uticaj na posmatrani proces), histogrami, kontrolne karte, itd. Analiza (Analyze) je treći korak u primjeni šest sigma metodologije. Analizom procesa nastoje se utvrditi korijenski uzroci slabih rezultata procesa, odnosno prethodno definisanih odstupanja. Dakle, u ovoj fazi analiziramo podatke koje smo prikupili u fazi mjerenja, identifikujemo uzročnike neželjenih odstupanja, sužavamo izbor uzročnika i projekat usmjeravamo prema glavnom uzroku odstupanja. U ovoj fazi primjenjujemo statističku aparaturu za testiranje određenih pretpostavki o uzročnicima odstupanja od željenih vrijednosti rezultata procesa, zatim Ishikawa dijagram, stratifikaciju podataka, matrični dijagram, FMEA analizu, itd. Poboljšanje (Improve) procesa se vrši kroz eliminaciju uzroka problema. Do rješenja problema se dolazi na osnovu spoznaja i analiza iz prethodnh faza. U ovoj fazi treba potvrditi ključne varijable i kvantifikovati efekte (uticaje) tih varijabli na ishod (rezultat) tj. kvalitet rezultata procesa. Testiranje rješenja se može vršiti i kroz pilot rješenja ili simuliranja sistema nakon implementacije rješenja do koga se došlo. Alati koje se najčešće koriste u ovoj fazi su programirane karte za proces odlučivanja, stablo dijagram, Tagučijeva metoda, itd. Kontrolisanje (Control) je posljednja faza u ovoj metodologiji koja ima za cilj kontrolu poboljšanja procesa kako bi se provjerilo da li se ostvaruju zacrtani ciljevi. Faza kontrole je u stvari faza zaključivanja projekta. U njoj se kontroliše implementacija rješenja, nadgleda proces i njegovo funkcionisanje nakon uvođenja rješenja. Od posebne važnosti je osvrt na reagovanje procesa i učesnika u procesu nakon uvođenja rješenja i spremnost na eventualne korekcije. U ovoj fazi od alata se najviše koriste kontrolne karte. Neki od ključnih faktora uspjeha u primjeni šest sigma projekata su: uključivanje i privrženost rukovodstva preduzeća, organizaciona infrastruktura, obuka, veza šest sigma projekta sa poslovnom strategijom preduzeća, kupcima, isporučiocima i zaposlenim, razumjevanje alata i tehnika za primjenu šest sigma.
10 Materijal za vježbe pripremljen prema: Todorović, Z.: Upravljanje kvalitetom, Ekonomski fakultet, Banja Luka, 009. godine Klarić, S., Pobrić, S.: Upravljanje kvalitetom alati i metode poboljšanja, Mašinski fakultet, Mostar, 009. godine Lazibat, T., Baković, T.: Šest sigma sustav za upravljanje kvalitetom, Poslovna izvrsnost, Vol.1, No.1, Zagreb, 007. godine, str Krstić, B., Vukadinović, D.: Metodologija šest sigma u funkciji povećanja efektivnosti i efikasnosti poslovnih procesa preduzeća, Ekonomske teme, Vol.17, No.1-, Niš, 004. godine, str Turčinović, Ž.: Da li je šest sigma potrebna vašoj organizaciji?, Kvalitet, Vol.18, br.3-4, Beograd, 008. godine
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραTROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju
TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju Sadržaj predavnaja: Trošak kapitala I. Trošak duga II.
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je
Διαβάστε περισσότεραSistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραIzbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραMašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραSTATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA
Fakultet za menadžment u turizmu i ugotiteljtvu, Opatija Sveučilišni preddiplomki tudij Polovna ekonomija u turizmu i ugotiteljtvu Noitelj kolegija: Prof. dr. c. Suzana Marković Aitentica: Jelena Komšić
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότεραUvod u neparametarske testove
Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότερα3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραGLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.
GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότερα3. OSNOVNI POKAZATELJI TLA
MEHANIKA TLA: Onovni paraetri tla 4. OSNONI POKAZATELJI TLA Tlo e atoji od tri faze: od čvrtih zrna, vode i vazduha i njihovo relativno učešće e opiuje odgovarajući pokazateljia.. Specifična težina (G)
Διαβάστε περισσότεραII. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmi zadaci za kontrolni
Algoritmi zadaci za kontrolni 1. Nacrtati algoritam za sabiranje ulaznih brojeva a i b Strana 1 . Nacrtati algoritam za izračunavanje sledeće funkcije: x y x 1 1 x x ako ako je : je : x x 1 x x 1 Strana
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότερα