Hoofstuk 15 Ossillasies

Transcript

1 Hoofstuk 15 Ossillasies Na voltooiing van die hoofstuk, moet die student die vlg kan doen: (i) Eenvoudige harmoniese beweging (EHB) kan beskryf en formules kan aflei en toepas om die verplasing, snelheid en versnelling in EHB te beskryf; (ii) Skryf neer die verband tussen hoekfrekwensie, frekwensie en periode; (iii) Lei die kragwet vir EHB af; (iv) Bereken die energie in EHB; (v) Skryf neer die relevante bewegings en bereken die hoekversnelling en periode vir n pendulum.

2 Een belangrike eienskap van ossillerende beweging is sy frekwensie f, of aantal ossillasies voltooi in elke sekonde. SI eenheid: hertz (Hz), 1 hertz = 1 Hz 1ossillasies per sek = 1 s -1. Eenvoudige Harmoniese Beweging (EHB) In die fig. wys ons foto s van n eenvoudige ossillerende sisteem. Verwant aan die frekwensie is die periode T vir die beweging, wat die tyd vir een volledige ossillasie (of siklus) in sekondes (s) is: T = 1/f, (15-2)

3 Vir sulke beweging kan die verplasing x van die ossilerende deeltjie vanaf die oorsprong gegee word as n funksie van tyd deur: x(t) = x m cos(ωt+ φ) (verplasing)(15-3) waar x m, ω, en φ konstantes is. Enige beweging wat homself herhaal in gereelde intervalle word periodiese beweging of harmoniese beweging genoem. Hierdie beweging word genoem eenvoudige harmoniese beweging (EHB), n begrip wat beteken dat die periodiese beweging n sinusoidale funksie van tyd is.

4 x m = amplitude v d beweging = (+) konstante. Die onderskrif m staan vir maksimum want die amplitude is die grootte van die maksimum verplasing van die deeltjie in enige rigting. Die cosinus funksie variëer tussen die limiete ±1, so verplasing x(t) variëer tussen die limiete ± x m. (ωt + φ) = die fase v d beweging, en die konstante φ genoem die fase konstante (of

5 fasehoek). Die waarde van φ hang af van die verplasing en snelheid v d deeltjie by tyd t = 0. Die konstante ω = die hoekfrekwensie v d beweging. Die verplasing x(t) moet terugkeer na sy aanvanklike waarde na een periode T v d beweging; dis, x(t) = x(t + T) vir alle t. Om te vereenvoudig, laat φ = 0. Uit die vergelyking volg dan: x m cos ωt = x m cosω(t +T) (15-4) Die cosinus funksie herhaal die eerste keer as die argument (die fase) met 2π rad vermeerder het, so ω(t +T) = ωt + 2π Dan ωt + ωt = ωt + 2π Dus ωt = 2π En ω = 2π/T = 2πf SI eenheid v ω: rad/s. Dan moet φ in radiale wees.

6 Dus, die hoekfrekwensie is: (15-5) Deur differensiering v x(t) = xm cos(ωt+φ) kan n uitdrukking vir die snelheid van n deeltjie wat eenvoudige harmoniese beweging uitvoer verkry word; v(t) = δx(t)/δt = δ[xm cos(ωt+φ)]/δt = -ωx m sin(ωt + φ) (snelheid) (15-6) v m = ωx m = snelheidamplitude. Die snelheid v d ossillerende deeltjies variëer tussen die limiete ±v m =±ωx m.

7 Letop: die kurwe van v(t) skuif (na links) t.o.v. die kurwe van x(t) met n kwart periode; as x(t)= x m, dan v(t) = 0. As x(t)= 0 dan is v m = ωx m. Deur differensiering v d velocity v(t) vir EHB, kan ons n uitdrukking vir die versnelling van die ossillerende deeltjie kry: a(t) = δv(t)/δt = δ[-ωx m sin(ωt + φ)]/δt = -ω 2 x m cos(ωt + φ) (versnelling)(15-7)

8 Substitueer x(t) = x m cos(ωt + φ) in vgl15-7: a(t) = -ω 2 x(t) (15-8) wat die eienskap van eenvoudige harmoniese beweging is. * In EHB, is die versnelling eweredig aan die verplasing maar teenoorgestelde teken, en die twee hoeveelhede is verwant deur die kwadraat van die hoekfrekwensie. Die positiewe hoeveelheid ω 2 x m is die versnellingamplitude a m ; die versnelling van die deeltjie variëer tussen die limiete ±a. ±a m =±ω 2 x m

9 Letop: Die versnellingskurwe a(t) skuif (na links) met ¼T relatief tot die snelheidskurwe v(t).

10 Die Kragwet vir Eenvoudig Harmoniese Beweging Gebruik Newton se Tweede Wet om vas te stel watter krag inwerk op deeltjie om dit hierdie versnelling te gee. Vir EHB: F = ma = -(mω 2 )x (15-9) Hierdie resultaat n herstelkrag wat eweredig is aan die verplasing maar teenoorgestelde teken is bekend. Dit is Hooke se Wet: F = -kx, (15-10) vir n veer, die veerkonstante is hier k = mω 2 (15-11)

11 Die blok veersisteem vorm n liniêre eenvoudige harmoniese ossillator, waar liniêr aandui dat F eweredig is aan x. Die oppervlak is wrywingloos. Die blok voer eenvoudige harmoniese beweging uit wanneer dit na een kant getrek en dan los gelaat word. Die hoekfrekwensie ω vir die eenvoudige harmoniese beweging van die blok is verwant aan die veerkonstante k en die massa m van die blok.

12 Uit k = mω 2 : maar ω = 2πf = 2π/T Die periode vir die liniêre ossillator kan geskryf word as: T = 2π/ω en Hierdie Vergelykings wys dat n groot hoekfrekwensie (en dus n klein periode) beteken n stywe veer (groot k) en n ligte blok (klein m). (15-12) (15-13) Elke ossillerende sisteem, van n duikplank tot n vioolsnaar, het n element van veeragtigheid en n element van traagheid of massa, en dus stem dit ooreen met n liniêre ossillator. Die veeragtigheid is geheel en al vanaf die veer, wat ons aanvaar massaloos is, en die traagheid is geheel en al vanaf die blok, wat ons aanvaar n rigiede liggaam is.

13 Sample Problem 15-1 op p391 n Blok met massa m = 680 g, is vasgemaak aan n veer met n veerkonstante k = 65 N/m. Die blok word n afstand x = 11 cm vanaf sy ewewigsposisie x = 0, kant toe getrek op n wrywinglose oppervlak en dan losgelaat uit rus by t = 0. (a) Wat is die hoekfrekwensie, die frekwensie en periode van die resulterende beweging? ω = (k/m) ½ = (65/0.680) ½ = 9.78 rad/s f = ω/2π = 9.78/2π = 1.56 Hz T = 1/f = (1.56) -1 = 0.64 s (b) Wat is die amplitude van die ossillasie? x m = 11 cm (c) Wat is die maksimum spoed v m van die ossillerende blok en waar is die blok wanneer dit hierdie spoed het? v m = ωx m = 9.78 rad/s 0.11m = 1.1m/s v m is always at the value x = 0.

14 (d) Wat is die grootte van die maksimum versnelling a m? a m =ωx m = (9.78 rad / s) (0.11 m) = 11 m/s 2 (e) Wat is die fasekonstante φ vir hierdie beweging? By t = 0, is gegee dat x = x m Dus cos φ = 1 Dus φ = 0 = 0 rad. (f) Wat is die verplasingsfunksie x(t) vir die veerblok sisteem? x(t) = x m cos(ωt +φ) = (0.11m)cos[(9.78 rad / s)t + 0] x(t) = 0.11cos(9.78)t met x in meters en t in sekondes. Doen ook Sample Problem 15-2, p392.

15 Energie in Eenvoudige Harmoniese Beweging Die energie van n liniêre ossillator verander heen en weer tussen kinetiese energie, K, en potensiële energie, U, terwyl die som van die twee die meganiese energie E van die ossillator konstant bly. (Geen wrywing) U word geheel en al geassosieer met die veer. Sy waarde hang af van hoeveel die veer saamgepers of uitgerek is dus van x(t). Uit Vgl s & 15-3 volg: U(t) = ½kx 2 = ½kx m 2 cos 2 (ωt + φ) (15-18) K word geheel en al geassosieer met die blok. Sy waarde hang af van hoe vinnig die blok beweeg dus van v(t). Dus K(t) = ½mv 2 = ½ mω x m sin (ωt + φ) (15-19) met k/m = ω 2 volg dit dat k = mω 2 : K(t) = ½mv = ½kx m sin (ωt + φ) (15-20)

16 Die Meganiese Energie, E: E = U + K = ½kx m 2 cos 2 (ωt + φ) + ½kxm 2 sin 2 (ωt + φ) = ½kx m 2 [cos 2 (ωt + φ) + sin 2 (ωt + φ)] Vir enige hoek α, cos 2 α + sin 2 α = 1, en die hoeveelheid in die blokhakies hierbo is dus 1. 2 Dus E = U + K = ½kx m (15-21) Dus bevat n ossillerende sisteem normaalweg n element van veeragtigheid en n element van traagheid: Die eerste stoor sy potensiële energie en die laaste stoor sy kinetiese energie. Doen Sample Problem 15-3, p393

17 Die Eenvoudige Pendulum Beskou n eenvoudige pendulum, wat bestaan uit n deeltjie met massa m (genoem die bob van die pendulum) wat hang aan die een end van n onrekbare, massalose tou met lengte L wat aan die ander kant was is, soos in Fig. a. Die kragte wat inwerk op die massatuk, bob : T van die tou en die gravitasiekrag F g, en die tou maak n hoek θ met die vertikaal. Ontbind vir F g in n radiale komponent F g cos θ en n tangeniale komponent, F g sinθ Die tangeniale komponent F g sinθ, veroorsaak n hersteldraaimoment om die pendulum se draaipunt, om sodoende die bob weer terug te vat na sy sentrale posisie, genoem die ewewigsposisie (θ = 0).

18 Van τ =r F, kan ons die hersteldraaimoment skryf as τ = -L(F g sin θ) (15-24) waar die minusteken aandui dat die draaimoment prober om θ te verklein, en L is die moment arm van die kragkomponent F g sin θ om die draaipunt. Maar τ =Iα en F g = mg, dus -L(mg sinθ)= Iα (15-25) waar I die pendulum se rotasietraagheid om die draaipunt is en α is die hoekversnelling om daardie punt. In die klein hoek - benadering aanvaar ons dat θ<<1 en dus dat sinθ θ. Dus redelik akkuraat vir θ < 10.

19 -L(mg sinθ)= Iα As ons aanvaar die hoek θ is klein, kan ons benaderd sê sinθ = θ (uitgedruk in radiale). -Lmgθ = Iα (15-26) Die hoekversnelling α van die pendulum is eweredig aan die hoekverplasing θ, maar teenoorgesteld in teken. Die beweging van n eenvoudige pendulum wat swaai deur slegs klein hoeke is benaderd EHB. Die hoekamplitude θ m vir die beweging (die maksimum hoek van swaai) moet klein wees.

20 Vergelyk met vgl.15-8: a(t) = -ω 2 x(t) Dan ω 2 = mgl/i Dan is die hoekfrekwensie vir die pendulum: Substitueer in ω = 2π/T, dan kry ons die period van die pendulum as T = 2π/ω (15-27) n Eenvoudige Pendulum se massa is gekonsentreerd in die massa v d bob, met radius L vanaf die draaipunt. Dus I= mr 2 = ml 2 = rotasietraagheid van die pendulum.

21 Deur substitusie en vereenvoudiging kry ons (15-28) n uitdrukking vir die periode van n eenvoudige pendulum wat slegs deur klein hoeke swaai. Die Fisiese Pendulum n Regte pendulum, genome n fisiese pendulum, kan n gekompliseerde massaverspreiding hê, baie verskillend van die eenvoudige pendulum. Die gravitasiekrag F g werk in by die massamiddelpunt C, op n afstand h vanaf die draaipunt O. Die hersteldraaimoment is hf g sin θ. As θ = 0, dan hang die massamiddelpunt C regonder draaipunt O.

22 Een belangrike verskil tussen n fisiese pendulum en n eenvoudige pendulum: Vir n fisiese pendulum het die herstellende komponent F g sin θ van die gravitasiekrag n momentarm met afstand h vanaf die draaipunt, eerder as die toulengte L vir die eenvoudige pendulum. As ons L vervang met h kan ons die periode van n fisiese pendulum skryf as Doen Sample Problem 15-5, p397. (15-29)