PracMaths. Trigonometrie is Maklik Graad 10 & 11. Seeliger ~ Mouton. Set by / Opgestel deur

Transcript

1

2 PracMaths Trigonometrie is Maklik Graad 0 & Set by / Ogestel deur Seeliger ~ Mouton Trigonometrie is Maklik Graad 0 & ~ PS JNM PULISHERS (Pty) Ltd 07 PO ox 955 WTERKLOOF 05 Tel: (0) Fax: (0) Fax: megarint@icon.co.za john@systemmaths.co.za OPYRIGHT RESERVED Unauthorised reroduction by hotocoying or any other method STRITLY PROHIITED. KOPIEREG VOOREHOU Ongemagtigde reroduksie deur fotokoiëring of enige ander metode STRENG VERODE.

3 Graad 0 en Trigonometrie Graad 0 en Trigonometrie fdeling Onderwer ladsy ladsy Vrae ntwoorde Graad 0 Trigonometriese verhoudings in n reghoekige driehoek erekeninge met gebruik van n sakrekenaar 5 Olossing van reghoekige driehoeke 9 D Die funksiewaardes van 0 o 5 o en 60 o E E Trigonometriese verhoudings in terme van die ko-ordinate van unte in die artesiese vlak 5 F Hoogtehoeke en dietehoeke 0 5 G/P G/P Grafieke gedefinieer deur y = a sin + q y = a cos + q en y = a tan + q 7 Graad H/ Funksiewaardes van 80 o and 60 o H/ Funksiewaardes van sesiale hoeke 6 H/ Funksiewaardes van 90 o en 90 o + 9 H/ Funksiewaardes van ( ) en ( + 60 o k) 5 I/ Trigonometriese identiteite 5 I/ erekings 57 I/ Trigonometriese vergelykings 58 I/ Trigonometriese vergelykings wat identiteite behels 59 J/ Olossing van reghoekige driehoeke 6 5 J/ Die sinus-reël 67 6 J/ Die oervlakte-reël 70 6 J/ Die kosinus-reël 7 7 J/5 Gemengde vrae 7 7 K/P & K/P Grafieke gedefinieer deur y = a sin k(x + ) 76 9 y = a cos k(x + ) en y = a tan k(x + ) L Gemengde vrae 8 Veels geluk jy is o ad na sukses in Wiskunde! Leerders sê Die boeke werk!!! Koiereg voorbehou

4 Trigonometrie is maklik Graad 0 Graad 0 Trigonometrie. Trigonometriese verhoudings in n reghoekige driehoek.. asiese agtergrond. a) Trigonometrie (vanaf Grieks trigonon n driehoek en metron n afmeting) is die tak van Wiskunde wat handel oor die verwantska tussen die sye en hoeke van n driehoek. b) Om hoeke met enkel letters te benoem gebruik ons: i) Hoofletters: ens. ii) Griekse letters: a (alha) β (beta) γ (gamma) θ (theta) ens. c) s hoofletters gebruik word om die hoekunt hoeke van n driehoek te benoem word die sye teenoor die hoeke met die ooreenkomstige klein letters benoem bv. b is teenoor ˆ. d) In die aangrensende reghoekige driehoek is: i) die sy teenoor ˆ c b die aanliggende sy van ˆ die skuinssy. a ii) die sy teenoor  die aanliggende sy van  c a die skuinssy. b. a) In elk van die driehoeke in die aangrensende figuur: en DE is die sy teenoor  en en E is die E ooreenstemmende skuinssye. Dus vir enige hoek  is die verhouding van die lengte van die sy teenoor  tot die lengte van die skuinssy n konstante. Hierdie konstante verhouding staan bekend as die sinus van  of sin. D b) In elk van die driehoeke is die verhouding van die lengte van die sy aanliggend tot  tot die lengte van die skuinssy n konstante. Hierdie konstante verhouding: in reghoekige driehoek en D in reghoekige ΔDE staan bekend as die kosinus van  of cos. E ED c) In reghoekige driehoeke en DE is die waarde van en n konstante bekend as D die tangens van  of tan Â. LW: Die trigonometriese verhoudings is onafhanklik van die lengtes van die sye van n reghoekige driehoek en is slegs afhanklik van die hoek se grootte. Vervolgens word trigonometriese verhoudings beskou as die funksies van hoeke. Graad 0 Trigonometrie is maklik

5 Trigonometrie is maklik Graad 0. estudeer: a) In Δ: b) In Δ: teenoorstaande sy lengte sin = = skuinssy lengte aangrensende sy lengte cos = = skuinssy lengte teenoorstaande sy lengte tan = = aangrensende sy lengte sin = cos = en tan =. Voltooi: D. i) sin E = ii) sin D = cos E = cos D = tan E = tan D = E F. P i) sin R = ii) sin P = cos R = cos P = tan R = tan P =. T R or i) sin = ii) sin = cos = cos = tan = tan =. D i) sin = ii) tan = sin = tan = cos = sin D = cos = sin D = Graad 0 Trigonometrie is maklik

6 Trigonometrie is maklik Graad 0.5 In Δ: sin = In ΔD: sin = D In Δ: sin = In ΔD: sin = In ΔD: cos = In ΔD: cos = In ΔD: tan = In Δ: tan = 5. Voltooi: G H D E F 5. In ΔDEH: 5. In ΔDFG: 5. In ΔHEF: 5. In ΔGHF: HE HE DE = = en = DH DE DH GF DF GF = = en = DG DG DF HE EF HE = = en = HF HF EF HF HF HG = = en = GF HG GF 6. estudeer: 6. is die resirook van t as = t of t =. 6. In die meegaande driehoek is: a c a b b c = sin = cos en = tan er definisie. b c a Die verhoudings b b en c staan onderskeidelik bekend as cosec sec en cot. a c a Graad 0 Trigonometrie is maklik

7 Trigonometrie is maklik Graad 0 7. Voltooi: bv. 7. sin = 5 beteken die resirook cosec = 5 7. sin = 7. cos = 7 beteken die resirook = beteken die resirook = 7. tan = 5 beteken die resirook = 7.5 cosec = 5 beteken die resirook = 7.6 sec = 7.7 cot = 7 beteken die resirook = beteken die resirook = 8. Skryf die waarde van die verhouding neer in terme van die sye van die gegewe driehoek: 8. cosec P sec P cot P 8. cosec R sec R cot R in driehoek (b). a) R b) T P P R P T R T 9. Skryf as funksiewaardes van die hoeke in die gegewe figuur: D bv. 9. D D D = cosec D of sec D ˆ in D D. Graad 0 Trigonometrie is maklik = = = = of of of of in in in in

8 Trigonometrie is maklik Graad eantwoord elk van die volgende vrae sonder die gebruik van n sakrekenaar. Laat die antwoorde in wortelvorm indien nodig. Voorbeeld: 0. eaal die waarde van: i) a ii) tan α iii) cosec α 5 a α i) a = 5 6 (Pyth) = 9 a = ii) tan α = iii) cosec α = 5 0. eaal die waarde van t sin θ en sec θ. t 5 θ 0. eaal die waarde van t cos en cot. 6 0 t erekeninge met gebruik van n sakrekenaar. estudeer:. Gebruik die sin cos tan sakrekenaarsleutels om die waarde korrek tot desimale lekke te beaal van: bv. i) sin 7 o ii) sin(6 o + o ) iii) sin 6 + sin o iv) sin 7 o v) sin o ntwoorde: i) sin 7 o = 096 : sin 7 ii) sin(6 o + o ) = sin 59 o = 086 : sin (6 + ) = iii) sin 6 + sin o = 095 : sin 6 + sin ) = iv) sin 7 o = 66 : sin 7 = v) sin o = (sin o ) = 08 : sin = x Graad 0 Trigonometrie is maklik

9 Trigonometrie is maklik Graad 0 6. Voltooi korrek tot desimale lekke. a) cos o = b) sin(0 o + 0 o ) = sin 50 o = sin 7 o = cos(6 o o ) = tan 6 o = tan(8 o + o ) = c) sin 70 o = d) sin 0 o + sin o cos 8 o = = sin 6 o = = tan( o + o ) = sin(0 o + o ) = o cos 6 = sin 6 o = tan o = cos8 o = = cos 80 o cos 0 o = = sin 6 o. cos o = cos(80 o 0 o ) = cos 5 o. tan 8 o = = = e) cos 58 o = f) tan 95 o = cos 7 o = tan 95 o = cos 7 o = tan 7 o + tan 5 o = cos 9 o + cos 6 o = tan(7 o + 5 o ) = cos(9 o + 6 o ) = tan 6 o = g) sin ( o + 8 o ) = cos (79 o o ) = tan ( o ) = cos 6 o + cos 6 o = Graad 0 Trigonometrie is maklik sin 96 o =. Sonder die gebruik van n sakrekenaar merk of elk van die volgende bewerings reg ( ) of verkeerd ( ) is. a) i) sin( o + 0 o ) = sin o + sin 0 o b) i) sin 60 = sin 60 ii) cos 76 o cos 0 o = cos(76 o 0 o ) ii) cos 6 o = (cos 6 o ) iii) tan o = tan o iii) tan(0 o + 0 o ) = tan 50 o iv) cos(80 o 0 o ) = cos 60 o iv) cosec 70 o = sin 70 o v) tan 5 o = tan 50 o v) sec 0 o = sin 0 o vi) cos 0 o = cos 0 o vi) cos 60 o = sec60 o o o

10 Trigonometrie is maklik Graad 0 7. ereken korrek tot desimale lekke. a) i) cos 5 o cos o o = b) i) sin 6 = ii) tan o + tan o o = ii) cos 69 = iii) o 6 o cos cos 6 = iii) 8 tan 80 o = iv) sin 60o = iv) sin 0 o = 5. Daar is nie cosec sec of cot sleutels o n sakrekenaar nie. Ons gebruik dus die feit dat cosec α = sin α sec α = en cot α = cos α tan α en die sleutel: x- om die resiroke se waardes te vind. bv. sin 6 o = beteken cosec 6 o = Sleutel volgorde : bv. sin 6 o = of sin 6 = ans - x = 6. eaal die waarde van elke trig. getal korrek tot desimale lekke. a) cosec 8 = b) sec 7 = c) cot 6 = cosec 6 = sec 68 = cot 78 = cosec 5 = sec 5 = cot 00 = 7. Gebruik die sakrekenaarsleutels sin cos tan om die grootte van a korrek tot desimale lek te bereken as die gegewe hoek n skerhoek is. bv. a) sin a = 0768 b) cos a = 0768 a = sin α = cos α = 50 α = 98 c) cos α = 056 d) sin α = 098 = = = = e) tan α = 6 f) tan α = 085 = = = = Graad 0 Trigonometrie is maklik

11 Trigonometrie is maklik Graad ereken die waarde van korrek tot desimale lek as 0 < < 90. bv. a) sec = 6 b) cosec ( + 0 ) = 6 cos = cosec ( + 0 ) = 07 = cos sin ( + 0 ) = = = sin x - = cos - ns = ( + 0 ) = of 6 = cos - ns = = 87 c) cosec = 55 d) sec = 55 e) cot = 55 sin = cos = tan = = = = = = = f) cosec ( 0 ) = 08 g) sec ( + 0 ) = 8 h) cot = Vraag: s cos α = 08 en 0 < α < 90 evalueer cos α korrek tot desimale lekke. ntwoord: cos α = 08 α = en α = cos α = 0 0. ereken elke finale antwoord korrek tot desimale lekke. a) s sin α 076 = 0 en 0 < α < 90 evalueer cos α. b) s tan α = 88 en 0 < α < 90 evalueer cos α. a) b) Graad 0 Trigonometrie is maklik

12 Trigonometrie is maklik Graad 0 9 c) ereken die waarde van tan a as cos α = 096 en 0 < α < 90. d) ereken die waarde van sin α as sin α = 6 en 0 < α < 90. c) d) o o e) s sec(α + 0 ) = 786 en 0 < α + 0 < 90 evalueer cosec (α 0 ). f) s cot α = 076 en 0 < α < 90 evalueer sec α. e) f) Olossing van reghoekige driehoeke.. n Driehoek het sye en hoeke. s die afmetings van van hierdie waarvan tenminste een van n sy bekend is is dit moontlik om die ander se afmetings te beaal. Hierdie roses om die onbekende dele se afmetings te vind staan bekend as die olossing van die driehoek.. ereken die waarde van korrek tot desimale lek. bv. a) b) = sin 8 = cosec of = sin o = 6 sin 8 = cosec of = sin o = 99 = 76 of = 76 Graad 0 Trigonometrie is maklik

13 Trigonometrie is maklik Graad 0 0 c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) eaal die grootte van β korrek tot desimale lek. bv. a) b) 59 6 β 9 β tan β = 9 sin β = 59 6 tan β = sin β = β = tan β = sin β = 05 β = 79 Graad 0 Trigonometrie is maklik

14 Trigonometrie is maklik Graad 0 c) d) e) β 8 β β 0 f) g) h) β β β Los Δ o. bv. a) In is ˆ = 90º a = en c = 5. ntwoord: i) tan = 5 = 0 6 Ĉ = 6º ii) Â = 90º 6º = 67º (som van e van = 80º) of tan = = Â = 67º 5 iii) b² = 5² + ² (Pyth) b² = 69 en b = 5 = sin 6º 5 = b sin 6º = b en = b o of 5 b sin 6 of b 5 = cosec 6 o b = 5 cosec 6 o = of b = cos 6º b = b = o cos 6 of b = sec 6 o b = sec 6 o = b 5 Graad 0 Trigonometrie is maklik

15 Trigonometrie is maklik Graad 0 b) c) D Die funksiewaardes van die sesiale hoeke 0 5 en 60.. estudeer elke diagram en beantwoord die vrae wat volg. a) b) 0 t α = a 60 s cos 60 = is: = (Pyth.) = = t = (Pyth.) t = Y c) O(0;0) is die middelunt van die sirkel met radius = eenheid. 0 X lê o die terminaalbeen van 0 en lê o die terminaalbeen van 90. Die koördinate van unt is ( : ) en koördinate van unt is ( ; ). Graad 0 Trigonometrie is maklik

16 Trigonometrie is maklik Graad 0. Die volgende diagramme illustreer wat ons in a b en c geleer het Y (0;) 0 X (;0) Voltooi: sin 5 = sin 60 = sin 0 = sin 0 = sin 90 = cosec 5 = cosec 60 = cosec 0 = cosec 0 = cosec 90 = cos 5 = cos 60 = cos 0 = cos 0 = cos 90 = sec 5 = sec 60 = sec 0 = sec 0 = sec 90 = tan 5 = tan 60 = tan 0 = tan 0 = tan 90 = cot 5 = cot 60 = cot 0 = cot 0 = cot 90 =. Teken die sesialehoek-diagramme en gebruik hulle om die gegewe berekeninge te doen. Onthou dat sin 60 = sin 60 en sin 60 = (sin60 ) Voorbeelde: a) i) sin 90 cos 0 = ()() = ii) sin 5 sin 0 = (sin 5 ) (sin 0 ) = ( ) ( ) = = b) tan 0. sin 0 = c) sin 90. cos 0 = d) tan 60. cosec 60 = e) sin 0. cos 60 = = = f) cot 5 + tan 60 = g) cosec 0 + sec 60 = = = h) cosec 90 + cot 0 = i) sin 0 + cos 60 = = = = = Graad 0 Trigonometrie is maklik

17 Trigonometrie is maklik Graad 0 j) cos 0 sin 0 = k) sec 0 tan 0 = = = = =. Evalueer sonder die gebruik van n sakrekenaar. a) cos 60 + cos 5 + tan 5 b) sin 90. cos 60 sin 0 cos 0 = ( ) + ( ) + ( ) = = = = = c) sin 5 cos 5 tan 5 d) (sin 0 sin 90 ) = = = = 5. eaal die waarde van β sonder die gebruik van n sakrekenaar as 0 β 90. Voorbeelde: a) sin β = b) sin β = sin β = β = 90 β = 0 β = 5 c) tan β = d) secβ = e) o tan( β + 0 ) = 0 f) o sin(β 0 ) = Graad 0 Trigonometrie is maklik

18 Gr 0& Trigonometry Gr 0& Trigonometrie NSWERS NTWOORDE Set by / Ogestel deur Seeliger~Mouton Tel (0) PS oyright Reserved Koiereg Voorbehou

19 Trigonometry is easy / Trigonometrie is maklik Grade/Graad 0 &.. i) ii). i) ii). i) ii). i) ii).5 sin = sin = cos = D tan = D nswers / ntwoorde Grade 0 / Graad 0 DF EF DF DE DE EF EF DF EF DE DE DF PT TR PT PR PR TR TR PT TR PR PR PT D D D D D D D D D D sin = D sin = D cos = D tan = D 5. sin D tan D cos D 5. sin D cos D tan D 5. sin F cos F tan F 5. sin G tan G cos G 7. cosec = 7. sec = 7 7. cot = sin = cos = 7.7 tan = 7 8. a) PR PR PT RT PT RT b) PR PR RT PT RT PT 9. cosec or/of sec in Δ 9. tan or/of cot in Δ 9. sec or/of cosec in Δ 9.5 cos D or/of sin D in ΔD 0. t = 5 + = 69 t = 69 = sin = 5 & sec = 0. t = 00 6 = 6 t = 8 cos = 8 = 0 5 cot = 8 = 6.. a) 09 b) c) 88 d) e) f) g) nswers / ntwoorde a) i) b) i) ii) ii) iii) iii) iv) iv) v) v) vi) vi).a) i) -09 b) i) 078 ii) 9 ii) 76 iii) 06 iii) 9 iv) 07 iv) 6.a) b) c) c) α = 75 d) α = 99 e) α = 556 f) α = 097 α = 0 8. c) sin = = 76 d) cos = = e) tan = = 6 f) sin( - 0 ) = = = 778 g) cos( + 0 ) = = 6907 = 59 h) tan = 7... = = 6

20 Trigonometry is easy / Trigonometrie is maklik Grade/Graad 0 & 0. a) sin α = 076 α = sin α = 8... cos α = 759 b) α = tan - 88 α = α = 0... cos α = 075 c) α = cos α = α = tan α = 06 d) sin α = 06 α = sin - 06 α = α = sin α = 087 e) cos(α + 0 ) = α + 0 = α = α 0 = 595 cosec(α 0 ) = 70 f) cot α = 058 tan α = 858 α = 679 α = 5 sec α = c) = cos 6 5 = 5 cos 6 = 0 d) = cosec 6 0 = 0 cosec 6 = 9 e) f) g) h) i) j) k) l) m) = tan = 68 tan 50 = 8 = cot 8 77 = 77 cot 0 = = sin 0 or/of cos 70 0 = 0 sin 0 = 68 = cosec 6 or/of sec 6 = cos 6 = 8 = cos 0 or/of sin 50 8 = 8 cos 0 = 6 = sec or/of cosec 77 = sec = = tan 6 6 = 6 tan 6 = = tan 8 8 = 8 tan 8 = = cot 57 or/of tan 8 = 8 cot 57 = 55 nswers / ntwoorde. c) tan β = 5 8 = 065 β = 0 d) tan β = 6 = 5 β = 5 e) cos β = 0 6 = 065 β = 5 f) cos β = 68 = 05 β = 578 g) sin β = 9 68 = 06 β = 5 h) sin β = 6 8 = 0768 β = 50. b) Â = = sin 8 6 = 6 sin 8 = 9 = cos 8 6 = 6 cos 8 = 07 c) tan = = 67 = 59 Â = 09 = cosec 59 or/of sec = 97 cosec 59 =

21 Trigonometry is easy / Trigonometrie is maklik Grade/Graad 0 & D.. a) α = 5 = & = b) = t = & t = c) ( ; 0) & (0 ; ). 0 und/ong 0 und/ong 0 und/ong und/ong 0. b) (0)(0) = 0 c) ()() = d). = e) ( )( ) = f) + = g) + = h) + = i) + = j) = k) =. a) ( ) + ( ) + () = + + = b) ()( ) ( )() = 0 c) ( )( )() = d) ( ) = ( ) = 5. a) tan β = β = 0o d) sec β = β = 60 o e) tan(β + 0 o ) = β + 0 o = 60 o β = 50 o f) sin(β 0 o ) = β 0 o = 60 o β = 90 o β = 5 o _ E/.. a) b) _. a) 5 5 sec α & cot α b) sin tan cos & 5 6. a) r = 5 x = 5 x = 7 x = b) r = 5 y = r = x = c) r = r = x = 5 y = 5 8. a) sec α = 5 i) x = ii) 5 b) cos β or sec β i) y = 5 ii) c) tan or of cot i) r = ii) nswers / ntwoorde 9. a) sin α = b) cot β = c) sin α = d) cos α = 0. a) sin α = b) cos α = c) tan α = α 5 α α r α (7;y) (x;) (;6). a) b) c) i) ( ) - ( 5 5 ) = = 7 5 ii) ( )( ) = iii) = iv). 5 = 5 _