Gr 9 Wiskunde: Inhoudsarea 3 & 4 Meetkunde & Meting (2D)

Transcript

1 Gr 9 Wiskunde: Inhoudsarea 3 & 4 Meetkunde & Meting () VRE Meetkunde van Reguitlyne riehoeke: asiese feite Kongruente Δ e Gelykvormige Δ e Vierhoeke Meestal vorige N-eksameninhoud lle vrae is gegradeer om konsepontwikkeling te bevorder. SERKE! Veelhoeke Stelling van ythagoras Oppervlakte en Omtrek van vorms Saamgestel deur nne Eadie & Gretel Lampe IE NWOOR-REEKS tel: (0) faks: (0) faxto

2 Vrae: Meetkunde van Reguitlyne MEEKUNE VN REGUILYNE ( ntwoorde op bladsy ). ereken die grootte van die grootste hoek. x 6 oon al jou stappe x 9 x + 5 met redes. (4) 5. In die figuur is ˆ 3 = 35º en E F. epaal die grootte van ˆ en F. ˆ. ereken die groottes van die hoeke gemerk a tot d. Gee redes vir jou antwoorde.. Verwys na bladsy V3 vir details oor parallelle lyne & hoeke. a Voltooi die volgende: 3. Hoeke wat saam gelyk is aan 90º word hoeke genoem. () 3. Hoeke om 'n punt is saam gelyk aan () ˆ = ˆ F = ewering 3 E F Rede (3) b (3) 4. Voltooi elk van die volgende bewerings: 4. ˆ en ˆF is komplementêre hoeke as 6... () 58 c 4. ie som van die binnehoeke van 'n driehoek is gelyk aan. () 3 () 4.3 ie som van die buitehoeke van enige veelhoek is gelyk aan. () In die bostaande figuur is, ˆ = 65º en ˆ = 43º. ereken die grootte van Â, ˆ en ˆ..3 d 4.4 'n rapesium is 'n vierhoek met een paar sye. () ewering Rede 4.5 ie lengte van die hoeklyne van 'n reghoek S R (3) is () (4) Kopiereg ie ntwoord V

3 Vrae: Meetkunde van Reguitlyne 7. Verskaf redes vir elk van jou bewerings in die onderstaande vrae. 0. epaal, met redes, die grootte van hoeke a tot g (in daardie volgorde). MEEKUNE VN REGUILYNE In die figuur is RS, ˆ, ˆ en ˆ 3 is onderskeidelik gelyk aan x, 3x en 4x. ˆR = y en Ŝ = z. R y 3 z S b c. In die skets is 'n reguitlyn. epaal die waarde van x + y. a g 60 e d f 35 (7) elangrike Woordeskat 'n Skerphoek lê tussen 0º en 90º. 'n Stomphoek lê tussen 90º en 80º. 'n Inspringende hoek lê tussen 80º en 360º. 'n regte hoek = 90º 'n gestrekte hoek = 80º 'n omwenteling = 360º Wanneer die som van hoeke = 90º, dan sê ons die hoeke is komplementêr. Wanneer die som van hoeke = 80º, dan sê ons die hoeke is supplementêr. 7. ereken die waarde van x. (3) 7. ereken die waarde van y. (3) 7.3 ereken die waarde van z. (3) 8. ereken, met redes, die waarde van x. 3x 0 x + 30 (4) x + y x y. epaal, met redes, die waarde van x. 0 0 x (4) (4) Wanneer lyne mekaar sny, word 4 hoeke gevorm:, ˆ, ˆ 3, ˆ 4 ˆ angrensende hoeke het 'n gemene hoekpunt en 'n gemene been, bv. ˆ en, ˆ ˆ en 3, ˆ 3 ˆ en 4 ˆ of ˆ en 4. ˆ Regoorstaande hoeke lê oorkant mekaar, bv. ˆ en 3 ˆ of ˆ en 4. ˆ ie FEIE epaal, met redes, of RS. R U V S W (4) Wenk: rek 'n derde lyn, deur, parallel aan die gegewe parallelle lyne. Vir verdere oefening in hierdie onderwerp sien ie ntwoord-reeks Gr 9 Wiskunde in op bl..3 Wanneer lyne mekaar sny is: aangrensende hoeke supplementêr regoorstaande hoeke gelyk. Sien die einde van die vrae vir meer oor reguitlyne. V Kopiereg ie ntwoord

4 8. Vrae: riehoeke RIEHOEKE: SIESE FEIE ( ntwoorde op bladsy 3) Redes moet vir alle Meetkunde bewerings gegee word.. In die onderstaande figuur is ΔN 'n gelykbenige driehoek. ereken die grootte van ˆ en ˆ.. In die onderstaande figuur is S HN, EW ˆ = 70º; E = W en E ˆ = x. ereken die waarde van x. x 70 S N (4) 4. In ΔEF word F verleng na. ie grootte van Ê is...? E 3x 4x 5x F 40º 60º 40º 0º () [0] 5. In Δ is = en Ĉ = x. epaal die grootte van  in terme van x. (3) 7. Gebruik die onderstaande figuur en bereken die grootte van hoeke a, b en c (in hierdie volgorde). = = ; ˆ = 7º 8. epaal die waardes van x, a, b en c in die onderstaande figure. 8. c b 44 a 7 (6) H E W N (3) 6. x 06 ( ) 3. In ΔR hiernaas is M die middelpunt van R en MR = M. s ˆ = 5º, bereken M met redes: 3. ie grootte van ˆ R () 3. ie grootte van M ˆ () 50 0 In die bostaande figuur is ˆ = 50º en ie grootte van  is º 60º 0º 60º ˆ = 0º. 8 b c a 44 (6) Kopiereg ie ntwoord V3

5 Vrae: riehoeke 9. ereken die waardes van x en y as ˆ = x, ˆ = y, ˆ = 44º, ˆ = 75º en. RIEHOEKE: estudeer die volgende baie noukeurig x y E (3) Sye KLSSIFIKSIE VN RIEHOEKE... riehoeke word volgens hul sye of hul hoeke (of beide) geklassifiseer. gelykbenige Δ gelyksydige Δ ongelyksydige Δ INNEHOEKE EN UIEHOEKE... ˆ, ˆ en ˆ3 is binne- y 3 x hoeke van die driehoek ˆx is 'n buiteø ŷ is nie 'n buiteø nie 'n uitehoek word gevorm deur een sy van 'n driehoek en die verlengde van 'n ander sy. 0. E In die bostaande figuur is E, en ˆ = 30º. ˆ = 95º epaal die grootte van Ê en Â. (3) Vir verdere oefening in hierdie onderwerp sien ie ntwoord-reeks Gr 9 Wiskunde in op bl..4 3 sye gelyk sye gelyk geen sye gelyk Hoeke skerphoekige Δ reghoekige Δ stomphoekige Δ 3 skerphoeke regte hoek (90 ) stomphoek Sye en Hoeke Hierdie is 'n gelykbenige, reghoekige driehoek. Hierdie is 'n gelykbenige, skerphoekige driehoek. Hierdie is 'n ongelyksydige, stomphoekige driehoek. 4 SIESE FEIE FEI ie som van die binnehoeke van 'n driehoek = 80 FEI : ie buitehoek van 'n driehoek is gelyk 3 aan die som van die teenoorstaande binnehoeke. FEI 3 In 'n gelykbenige driehoek is die basishoeke gelyk. ie omgekeerde: s hoeke van 'n driehoek gelyk is, dan is die sye teenoor hulle gelyk. ˆ + ˆ + ˆ = 80 ˆ = ˆ + 3 ˆ s =, dan is ˆ = ˆ Omgekeerd: s ˆ = ˆ, dan is = FEI 4 ie hoeke van 'n gelyksydige driehoek is almal gelyk aan V4 Kopiereg ie ntwoord

6 Vrae: Kongruente riehoeke KONGRUENE Δ E ( ntwoorde op bladsy 4) 3. Waarom is Δ Δ? 6. In die figuur hieronder het ΔKN en ΔM 'n gemene hoekpunt,. is 'n punt op K en N is 'n punt op M. K = M en = N. Sien die notas oor Kongruensie en Gelykvormigheid op bl. 5 S, S, S S, ø, S 90º, Sk, S (RHS) ø, ø, S K. F R Watter driehoek is kongruent aan ΔR? ewering Rede E 4. In die onderstaande figuur is ˆ = ˆ = 90º en =. ewys dat Δ Δ. M N ewys met redes dat ΔKN ΔM. (4) 7. In Δ is en E punte op sodat = E en = E.. Noem die driehoek wat kongruent is aan Δ. () 5. In onderstaande figuur is = en =. R S V () 5. ewys dat Δ Δ. (4) 5. ewys dat hoek ˆ halveer. () E 7. Waarom is E =? () 7. Watter driehoek is kongruent aan ΔE? () Kopiereg ie ntwoord V5

7 Vrae: Kongruente riehoeke 8. In die gegewe figuur is en punte op 'n sirkel met middelpunt M. N is 'n punt op koord sodat MN. ewys dat N = N. ewering N M Rede 9. ewys dat Δ ΔEF. ewering Rede (5) 0. In die figuur hiernaas is = en = E 0. ewys dat Δ Δ. (4) 0. ewys dat ΔE ΔE. (4) 0.3 ewys dat E ˆ = E ˆ = 90º. (3) 9.3 Hoekom is ˆ ˆ = E? ewering Rede 0.4 Noem vervolgens die verwantskap tussen E en. () 9. E (8) ˆ = E ˆ 9.4 Gebruik jou antwoord in Vraag 9.3 om 'n verdere verwantskap tussen en E af te lei. LW: it is (reeds) gegee dat = E. (). In die figuur hieronder is S R. Watter EEN van die volgende bewerings is waar vir hierdie figuur? S F In die bostaande diagram is = F, = E en F = E. 9. ewys dat = EF. ewering Rede () ΔS Δ ΔS ΔR ΔS ΔSR R ewering Rede ΔS ΔR () () Vir verdere oefening in hierdie onderwerp sien ie ntwoord-reeks Gr 9 Wiskunde in op bl..8 V6 Kopiereg ie ntwoord

8 Vrae: Gelykvormige riehoeke GELYKVORMIGE Δ E ( ntwoorde op bladsy 6) Sien die notas oor Kongruensie en Gelykvormigheid op bl In ΔR en ΔSR in die figuur langsaan is S, 0 R = 0 cm, S = 3 cm en R SR = 6 cm ewys dat S ΔR ΔSR (4) 3. ereken die lengte van. (3) 5. In die figuur is E F ˆ = Ĉ, = 9 cm, E = 7 cm en E = cm.. Ondersoek ΔEF en ΔKLM. 4 cm x cm K 4. In ΔNML hieronder, is en punte op die sye MN en LN onderskeidelik sodat LM. MN = 6 cm, = 3 cm en LM = 8 cm. L M 5. ewys dat Δ ΔE. ewering Rede 7 cm cm E Voltooi die volgende berekeninge as ΔEF ΔKLM. E KL = EF LM = F (eweredige sye van gelykvormige Δ e ) cm = x F L 0 cm M 4. Voltooi die volgende (gee redes vir die bewerings): N 5. ereken die lengte van. ewering Rede (6) x = (3) ewys met redes dat ΔN ΔLMN. In ΔN en ΔLMN. ereken die lengte van as Δ ΔEF: E. ˆN. ˆ =. 3. ˆ =. (5) 5 cm 6 cm 0 cm 4 cm F (4) ΔN Δ... (4) 4. ereken vervolgens die lengte van N. (3) Vir verdere oefening in hierdie onderwerp sien ie ntwoord-reeks Gr 9 Wiskunde in op bl..8 Kopiereg ie ntwoord V7

9 Vrae: Vierhoeke VIERHOEKE ( ntwoorde op bladsy 7). is 'n parallelogram. ereken die grootte van ˆ. 3. In die onderstaande figuur is 'n vierkant en is 'n gelyksydige driehoek x 0 x + 50 (4) 3. Noem twee gelykbenige driehoeke. () 3. ereken die grootte van ˆ. (3) Kyk na parallelogram hierbo en voltooi dan die tabel. ewering In Δ en Δ Rede. In die onderstaande figuur is EFG 'n ruit en Ê = ereken die grootte van ˆ 4. () ˆ = Verwisselende ø'e en 56 E 4. RW is 'n vierkant. ΔR en ΔRS is gelyksydig. ereken x (RS) ˆ ˆ = Verwisselende ø'e en = Gemene sy G F x â Δ Δ ereken die grootte van:. EFG ˆ R â = en = Ooreenkomstige sye van kongruente Δ e. F ˆ S (4).3 Ĝ ewering Rede W (7) 6. 'n arallelogram waarvan ten minste een hoek gelyk is aan 90, staan bekend as 'n. ˆ EFG = (). F ˆ = ().3 Ĝ = () LW: estudeer baie noukeurig 'Vierhoeke' op bladsy V. vlieër. ruit. trapesium. reghoek. () V8 Kopiereg ie ntwoord

10 Vrae: Vierhoeke 7. 3 VEELHOEKE 9. Wat is die grootte van elke hoek in 'n reëlmatige pentagoon? 90 NOS 0 00 ie halveerlyne van ˆ en Ĉ van parallelogram sny by. unte, en lê nie in 'n reguitlyn nie. is 'n punt op sodat ˆ = 90º. 7. ewys dat ˆ = 90º. (5) 7. Watter driehoek is gelykvormig aan Δ? () 7.3 s = en = 4 cm, bereken die lengte van. (3) 08 () 0. Wat is die grootte van elke hoek van n reëlmatige heksagoon? () 8. In die gegewe vierhoek is E = E en E = E, vervolgens is: Vir verdere oefening in hierdie onderwerp sien ie ntwoord-reeks Gr 9 Wiskunde in op bl..6 E ΔE ΔE ΔE ΔE ΔE ΔE ΔE ΔE () Kopiereg ie ntwoord V9

11 SELLING VN YHGORS ( ntwoorde op bladsy 9). In Δ is.. epaal die lengte van as = 5 cm en = cm. (4) 8 cm. ereken x. (3). ereken y. (3) Gee redes. 3. ie oppervlakte van ΔUW = 30 cm en UW = cm. x 6 cm y 5 cm ereken: 3. U U cm W () 3. die omtrek van ΔUW (3) 4. 'n Leer staan teen 'n muur. s die leer m hoog teen die muur rus en die voet is 5 m van die muur af, bereken die lengte van die leer. (3) 7 cm cm 5. In reghoek is = 8 cm en hoeklyn = 0 cm. ereken die lengte van. cm 6 cm,8 cm 8 cm 0 cm 4 cm () 6. In Δ: = 9 cm, = cm en = 5 cm. oon aan dat ˆ = 90. Vir verdere oefening in hierdie onderwerp sien ie ntwoord-reeks Gr 9 Wiskunde in op bl..33 'n Reghoekige driehoek 'n Reghoekige driehoek het een hoek van 90º. Hier is ˆ = 90. ie sy teenoor die regte hoek (90 ) word die skuinssy genoem. Hier is die skuinssy. ie Stelling van ythagoras Hierdie stelling beweer dat: In 'n reghoekige driehoek... is die kwadraat van die skuinssy gelyk aan die som van die kwadrate van die ander twee sye. d.w.s. In Δ is ˆ = 90 us: = + ie omgekeerde van hierdie stelling beweer dat: s in enige Δ, = +, dan is ˆ = 90. V0 skuinssy Vrae: Stelling van ythagoras OMREK- & OERVLKEFORMULES riehoek hoogte basis Reghoek l: lengte b: breedte Vierkant s Sirkel l middelpunt hoogte radius (r) c basis b a b basis ie omtrek van hierdie driehoek = (a + b + c) eenhede. hoogte ie oppervlakte van 'n driehoek = basis hoogte ie omtrek van 'n reghoek = l + b + l + b = l + b = (l + b) ie oppervlakte van 'n reghoek = l % b = lb ie omtrek van 'n vierkant = 4 % s = 4s ie oppervlakte van 'n vierkant = s % s = s Sien die Vierhoeke op bladsy V vir die oppervlaktes van alle ander vierhoeke. omtrek middellyn ie omtrek van 'n sirkel = πd = π(r) = πr ie oppervlakte van 'n sirkel = πr Kopiereg ie ntwoord

12 Vrae: Meting: Kopiereg ie ntwoord MEING: ( ntwoorde op bladsy 0)., die middellyn van die gegewe sirkel, is cm. Gebruik π = 3,4 om die volgende vrae, korrek tot twee desimale plekke, te beantwoord.. ereken die oppervlakte van die sirkel. (4). ereken die omtrek van die halfsirkel. (3). s die lengte van die sy van 'n vierkant 0, cm is, is die oppervlakte = 0,4 cm 0,44 cm,44 cm 0,044 cm () 3. eter draf om 'n baan met die volgende afmetings: 00 m 60 m 3. Hoeveel keer moet eter om die baan draf om 'n minimum van 4 km te draf Gebruik π = 3,4. (4) 3. ereken die oppervlakte van die baan, korrek tot twee desimale plekke. (4) 4. In die onderstaande figuur is = 5 m, S = S = m en S ereken die lengte van S korrek tot desimale plekke. (3) 4. ereken die lengte van as = 3 %. () 4.3 Watter tipe vierhoek is? () 4.4 ereken die oppervlakte van die figuur korrek tot desimale plekke. () 5cm 5 m In parallelogram is = 5 cm, = cm, = 3 cm en. 5. ereken die lengte van. (3) 5. epaal die oppervlakte van die parallelogram. (3) 5.3 ereken m S m 5.3. die omtrek van trapesium. () 5.3. die oppervlakte van trapesium. (3) V cm 3 cm 6. ie lengte van 'n reghoek word verdubbel. Skryf die waarde van k neer, as die oppervlakte van die vergrote reghoek = k % die oppervlakte van die oorspronklike reghoek. () 7. ie omtrek van 'n sirkel is 5 cm. ereken die oppervlakte van die sirkel korrek tot desimale plekke. (4) 8. wee sirkels het dieselfde middelpunt. ie kleiner sirkel het 'n radius van 0 cm. ie groter sirkel het 'n radius van 30 cm. ereken: 8. die omtrek van die kleiner sirkel. () 8. ie oppervlakte van die geskakeerde gedeelte. (3) oon aan dat die oppervlakte van R die geskakeerde ring gelyk is aan π(r r ). () r 30 Vir verdere oefening in hierdie onderwerp sien ie ntwoord-reeks Gr 9 Wiskunde in op bl epaal die oppervlakte van die geskakeerde ring in terme van π as R = 4 cm en r = 8 cm. ()

13 VIERHOEKE Vierhoeke is regdeur tot Graad baie belangrik! ie pyltjies toon verskeie 'ROEES' vanaf 'enige' vierhoek tot by die vierkant, die 'ideale vierhoek'. 'n rapesium Roetes van definisies en eienskappe 'n Reghoek 'n arallelogram efinisie van 'n parallelogram efinisie van 'n reghoek 'n arallelogram met een regte hoek 'n Vierhoek met pare teenoorstaande sye parallel Eienskappe van 'n reghoek 'Enige' Vierhoek a f e Som van die ø e van enige vierhoek = 360 b c d efinisie van 'n trapesium 'n Vierhoek met paar teenoorstaande sye parallel Eienskappe van 'n trapesium ie Sye paar teenoorstaande sye parallel Eienskappe van 'n parallelogram ie Sye pare teenoorst. sye parallel pare teenoorst. sye gelyk ie Hoeke pare teenoorst. hoeke gelyk ie Hoeklyne... halveer mekaar ie Sye pare teenoorst. sye parallel pare teenoorst. sye gelyk ie Hoeke al 4 hoeke gelyk aan 90º ie Hoeklyne... halveer mekaar gelyk (die hoeklyne is ewe lank!) ie Vierkant efinisie van 'n vierkant 'n Reghoek met een paar aangrensende sye gelyk OF 'n Ruit met een hoek van 90º Eienskappe van 'n vierkant Let op hoe die eienskappe ophoop soos ons van links na regs beweeg. d.w.s. die eerste vierhoek het geen spesiale eienskappe nie en elke opeenvolgende vierhoek het al die voorafgaande eienskappe. 'n Vlieër efinisie van 'n vlieër 'n Vierhoek met pare aangrensende sye gelyk Eienskappe van 'n vlieër ie Sye pare aangrensende sye gelyk ie Hoeke die volgende paar hoeke sal gelyk wees as gevolg van gelykbenige driehoeke as gevolg van aanliggende sye wat gelyk is ie Hoeklyne... sny loodreg die LNG HOEKLYN halveer die kort hoeklyn en die teenoorst. hoeke 'n Ruit efinisie van 'n ruit 'n arallelogram met een paar aangrensende sye gelyk OF 'n Vlieër met pare teenoorst. sye parallel ie Sye al 4 sye gelyk Eienskappe van 'n ruit ie Hoeke paar teenoorst. hoeke gelyk ie Hoeklyne... sny loodreg halveer mekaar halveer teenoorst. hoeke 'n Vierkant bevat L die opgehoopte eienskappe van sye, hoeke en hoeklyne!!! V Kopiereg ie ntwoord VIERHOEKE

14 Meetkunde van Reguitlyne NOG MEEKUNE VN REGUILYNE elangrike Woordeskat Wanneer lyne deur 'n ander lyn ('n dwarslyn) gesny word, word twee families hoeke gevorm:, ˆ, ˆ 3, ˆ 4 ˆ en 5, ˆ 6, ˆ 7, ˆ 8 ˆ 'Verwisselende' hoeke is hoeke wat aan teenoorstaande kante van die dwarslyn lê. 4 Hierdie is pare 3 6 'verwisselende' binnehoeke. 5 Hulle is NIE noodwendig gelyk NIE Hierdie is binnehoeke. die dwarslyn Hierdie is buitehoeke Hierdie is pare 'verwisselende' buitehoeke. Hierdie pare hoeke is ooreenkomstig. 8 Word nie gewoonlik gebruik nie Elk van hierdie groepe is 'ko-' hoeke. d.w.s. hulle is aan dieselfde kant van die dwarslyn ie FEIE LW: Hulle is NIE noodwendig gelyk NIE Hierdie is pare ko-binnehoeke. Hulle is NIE noodwendig supplementêr NIE. Hierdie is pare ko-buitehoeke Word nie gewoonlik gebruik nie. s RLLELLE lyne deur 'n dwarslyn gesny word, is die ooreenkomstige hoeke gelyk, is die verwisselende (binne-) hoeke gelyk, en is die ko-binnehoeke supplementêr. & omgekeerd: s die ooreenkomstige hoeke gelyk is, of as die verwisselende (binne-) hoeke gelyk is, of as die ko-binnehoeke supplementêr is, dan is die lyne parallel. 4 3 Herken hierdie hoeke in onbekende situasies. Kopiereg ie ntwoord V3

15 Gr 9 Wiskunde: Inhoudsarea 3 & 4 Meetkunde & Meting () NWOORE Meetkunde van Reguitlyne riehoeke: asiese feite Kongruente Δ e Gelykvormige Δ e Vierhoeke Veelhoeke Stelling van ythagoras Oppervlakte en Omtrek van vorms Saamgestel deur nne Eadie & Gretel Lampe IE NWOOR-REEKS tel: (0) faks: (0) faxto

16 ntwoorde: Meetkunde van Reguitlyne MEEKUNE VN REGUILYNE. â = 43º... regoorstaande ø e ˆb = â... ooreenkomstige ø e ; = 43º. ĉ = 80º (º + 58º)... = 0º.3 R ˆ = º â ˆd = 80º º... = 68º. x 9º + x 6º + x + 5º = 360º verwisselende ø e ; SR â 3x = 360º â x = 0º â ie grootste hoek = x + 5 = komplementêre º 4. ˆ + ˆF = 90º 4. 80º º 4.4 parallelle 4.5 gelyk aangrensende ø e op 'n reguitlyn is saam 80º ko-binne ø e supplementêr; S R ø e om 'n punt is saam 360º 5. ˆ (= ˆ 3 ) = 35º... regoorstaande ø e F ˆ = ˆ... ooreenkomstige ø e ; E F = 35º 6. Â = ˆ... verwisselende ø e ; = 43º ˆ = ˆ... ooreenkomstige ø e ; = 65º ˆ = 80º ˆ... ø e op 'n reguitlyn = 5º estudeer deeglik: 'Meetkunde van Reguitlyne' (bladsy V) - woordeskat en feite - en 'Nog Meetkunde van Reguitlyne' (bladsy V3) - woordeskat en feite - E F 7. R 7. x + 3x + 4x = 80º... ø e op 'n reguitlyn â 9x = 80º â x = 0º 7. y (= ˆ ) = 3x... verwisselende ø e ; RS = 60º... x = 0º in Vraag z (= ˆ ) = x... ooreenkomstige ø e ; RS = 40º 8. (3x 0º) + (x + 30º) = 80º... â 4x + 0º = 80º rek 0º af: â 4x = 60º eel deur 4: â x = 40º 9. ˆ UV = 80º 76º... ø e op 'n reguitlyn = 04º â ˆ RVW = y ˆ UV x 3x 3 4x ko-binne ø e ; â RS... ooreenkomstige ø e gelyk z S Kopiereg ie ntwoord

17 ntwoorde: Meetkunde van Reguitlyne 0. â = 60º... regoorstaande hoeke ˆb = 35º... verwisselende ø e ; lyne NOS ĉ = 35º... basis ø e van gelykbenige Δ ˆd = 80º ( â + ĉ )... som van ø e in Δ = 80º (60º + 35º) = 85º ê = â 35º... = 5º ˆf = ( ˆb + ĉ ) = 70º of ˆf = ĉ + 35º... = 70º buite ø van 'n Δ = die som van die teenoorstaande binne ø e... ooreenkomstige ø e ; lyne buite ø van 'n Δ = die som van die teenoorstaande binne ø e ĝ = ê... verwisselende ø e ; lyne = 5º. x + (x + y) + y = 80º... â x + y = 80º ø e op 'n reguitlyn d.w.s. â (x + y) = 80º eel deur : â x + y = 90º. 0º + 0º + x = % 80º... pare ko-binne ø e ; parallelle lyne â 30º + x = 360º rek 30º af: â x = 30º 0 0 x Kopiereg ie ntwoord

18 ntwoorde: riehoeke RIEHOEKE: SIESE FEIE. ˆ = 60º... ø e van 'n gelyksydige Δ is almal = 60º â ˆ = 0º.... E ˆ + W ˆ = 80º 70º... som van ø e in Δ = 0º Maar E ˆ = W ˆ... â E ˆ (= W ˆ ) = 55º â x (= E ˆ ) = 55º... verwisselende ø e ; S HN 3. ˆ = 5º M ˆ = ˆ + ˆ... buite ø van ΔM = (5º) = 50º 4. 4x + 5x = 80º... ø e op 'n reguitlyn â 9x = 80º â x = 0º EF ˆ = Ê + ˆ OF: Ê = 5x 3x... â 5x = Ê + 3x = x â Ê = x = 40º â ntwoord: ø e op 'n reguitlyn is supplementêr E = W; ø e teenoor gelyke sye in 'n gelykbenige Δ ikwels, in meetkunde, is daar verskeie moontlike metodes. ø e tenoor gelyke sye M en M in 'n gelykbenige driehoek buite ø van Δ is gelyk aan die som van die teenoorstaande binne ø e 5. ˆ (= Ĉ ) = x... ø e teenoor gelyke sye in 'n gelykbenige Δ â Â = 80º x... som van ø e in Δ = 80º 6. Â = 0º 50º... = 60º â ntwoord: 7. In Δ: â = ˆ... die basisø e van 'n gelykbenige Δ is gelyk â â = (80º 7º)... som van ø e in Δ = (08º) = 54º ˆb = 7º + â... ĉ = = 6º ˆ... ĉ = (80º ˆb ) = (54º) = 7º buite ø van Δ = som van teenoorstaande binne ø e LW: 'n innehoek = die buiteø die ander binneø buite ø van Δ = die som van die teenoorstaande binne ø e die basisø e van 'n gelykbenige Δ is gelyk 8. x = 06º 44º... = 6º 8. â + 44º = 90º... som van ø e in Δ = 80º â â = 90º 44º = 46º ˆb + 8º = 44º... â ˆb = 44º 8º = 6º ĉ = ˆb + 90º... = 6º + 90º = 06º 9. ˆx = 75º 44º... = 3º ŷ = ˆx... verwisselende ø e ; = 3º 0. Ê = 95º 30º... = 65º Â = 80º Ê... = 5º buiteø van Δ = som van teenoorstaande binne ø e LW: Sien kommentaar in Vraag 6. ø e teenoor gelyke sye in 'n gelykbenige Δ buiteø van Δ = som van teenoorstaande binne ø e buiteø van Δ = som van teenoorstaande binne ø e buiteø van ΔE = som van teenoorstaande binne ø e ko-binne ø e is supplementêr want E Kopiereg ie ntwoord 3

19 ntwoorde: Kongruente riehoeke KONGRUENE RIEHOEKE (Simbool: ). ΔEF... SøS 6. In ΔKN en ΔM () N =... gegee () K = M... gegee (3) ˆ is gemeen â ΔKN ΔM... SøS LW: Gee altyd redes! K 8. Ons moet kongruente driehoeke bewys! In ΔMN en ΔMN () M = M... radiusse van die sirkel () MN is gemeen (3) N ˆ = N ˆ = 90º... gegee dat MN LW: ie letters moet in die korrekte volgorde wees sodat gelyke sye en hoeke ooreenstem.. ΔSV... SøS 3. SøS â ntwoord: 4. In Δ en Δ () ˆ = ˆ = 90º... gegee () =... gegee (3) is gemeen â Δ h Δ... 90º, Sk, S(RHS) Let Wel: Let noukeurig op die uitleg van 'n kongruensiebewys. 5. In Δ en Δ () =... gegee () =... gegee (3) is gemeen â Δ h Δ... SSS 5. â ˆ = ˆ... d.w.s. halveer ˆ *ooreenkomstige ø e van kongruente Δ e in Vraag 5. * Niks te doen met ooreenkomstige ø e op lyne nie 7. E = + E & = E + E Maar: = E... gegee â E = 7. In ΔE en Δ () E =... bewys in Vraag 7. () E ˆ = ˆ... ø e teenoor gelyke sye in gelykbenige ΔE (3) E =... gegee â ΔE h Δ... SøS â ntwoord: Δ Volgorde is belangrik by die uitleg van 'n kongruensiebewys: ie letters moet in albei driehoeke dieselfde volgorde hê wat met die gelyke sye en hoeke van die driehoeke ooreenstem; In die feite (), () en (3) moet die sye en hoeke van die eerste driehoek eerste genoem word. M 4 N LW: Gee altyd redes! estudeer die bewys noukeurig! â ΔMN ΔMN... RK â N = N = F + F & EF = E + F Maar: F = E... gegee â = EF 9. In Δ en ΔEF () = E... gegee () = F... gegee (3) = EF... bewys in Vraag 9. â Δ ΔEF... SSS 9.3 ˆ = Ê want hulle is ooreenkomstige hoeke van die kongruente driehoeke in Vraag ˆ en Ê is verwisselende hoeke & ˆ = Ê in Vraag 9.3 â E... omgekeerde feit ooreenkomstige sye van kongruente driehoeke Sien die notas oor Kongruensie en Gelykvormigheid op bl. 5 Kopiereg ie ntwoord

20 ntwoorde: Kongruente riehoeke 0. In Δ en Δ () =... gegee () =... gegee (3) is gemeen â Δ Δ... SSS 0. In ΔE en ΔE () =... gegee () ˆ = ˆ... (3) E is gemeen â ΔE ΔE... SøS ooreenkomstige ø e van 0.3 E ˆ = E ˆ... kongruente driehoeke in Vraag 0. Maar E ˆ + E ˆ = 80º... hoeke op 'n reguitlyn â E ˆ = E ˆ = 90º ooreenkomstige hoeke in kongruente driehoeke in Vraag 0. estudeer die (maklike) logika baie noukeurig! 0.4 E [d.w.s. E is loodreg op ] beteken 'is kongruent aan' (d.w.s. dieselfde VORM en GROOE ) terwyl: beteken 'is gelykvormig aan' (d.w.s. dieselfde VORM maar nie noodwendig dieselfde GROOE nie). ie skets met al die gelyke hoeke ingevul. (aar is geen gelyke sye nie) ntwoord: ewys : In ΔS en ΔR () ˆ = R ˆ... verwisselende ø e ; S æ R () S ˆ = ˆ... verwisselende ø e ; S æ R & (3) S ˆ = R ˆ... regoorstaande ø e â ΔS ΔR... øøø S R Kongruensie ( ) en Gelykvormigheid ( ) van driehoeke Kongruente riehoeke... het dieselfde vorm en grootte. l 3 hoeke en al 3 sye is gelyk. d.w.s. Δ ΔR beteken dat  = ˆ, ˆ = ˆ en Ĉ = ˆR en =, = R en = R Let op die volgorde van die letters wee driehoeke is kongruent as hulle die volgende het 3 sye dieselfde lengte... SSS sye & 'n ingeslote hoek gelyk... SøS 'n reghoek, skuinssy & 'n sy gelyk... RHS hoeke en 'n sy gelyk... øøs Gelykvormige riehoeke... het dieselfde vorm, maar nie noodwendig dieselfde grootte nie. l 3 hoeke is gelyk. d.w.s. Δ ΔR beteken dat  = ˆ, ˆ = ˆ en Ĉ = ˆR ie sye is nie noodwendig gelyk nie, maar is eweredig: = = R R Let op die volgorde van die letters R R Kopiereg ie ntwoord 5

21 GELYKVORMIGE Δ E (Simbool: ) Sien die notas oor Kongruensie en Gelykvormigheid op bl. 5. s ΔEF ΔKLM, d.w.s. ΔEF is gelykvormig aan ΔKLM, dan is E KL = EF LM = F... eweredige sye van KM gelykvormige driehoeke â 4 x = ( = ) =? 7 â x = 4 Let op die VOLGORE van die letters in gelykvormige Δ e : ΔEF ΔKLM ˆ = ˆK, Ê = ˆL en ˆF = ˆM en dit bepaal die eweredige sye. s Δ ΔEF, dan is = ( = ) E F 5 â = 6 0 EF Vermenigvuldig met 6: 5 6 â = 0 â = 9 cm... eweredige sye van gelykvormige driehoeke Kies die sye waarvan jy die lengtes het! 3. In ΔR en ΔSR () ˆ = Ŝ... verwisselende ø e ; S () ˆ = ˆ... verwisselende ø e ; S & (3) R ˆ = SR ˆ... regoorstaande ø e â ΔR ΔSR... øøø R R 3. â = ( = ) S SR 0 â = 3 6 R Vermenigvuldig met 3: â = â = 5 cm 4. In ΔN en ΔLMN... () ˆN is gemeen () ˆ = ˆM... ooreenkomstige ø e ; LM & (3) ˆ = ˆL... ooreenkomstige ø e ; LM â ΔN ΔLMN... øøø L eweredige sye van gelykvormige driehoeke Kies die sye waarvan die lengtes gegee word. 8 cm 3 cm 6 cm N M N N 4. â = ( = ) MN LM N 3 â = 6 8 ntwoorde: Gelykvormige riehoeke LN Vermenigvuldig met 6: â N = â N = 6 cm 5. In Δ en ΔE () Â is gemeen () ˆ = ˆ E... (3) 3 de L: ˆ = E ˆ... som van ø e in Δ â Δ ΔE... øøø 5. â = ( = ) E E 9 â = 7 Vermenigvuldig met : â = 9 7 â = 7 cm 3... eweredige sye van gelykvormige driehoeke Kies die sye waarvan die lengtes gegee word. 7 cm 9 cm E eweredige sye van gelykvormige driehoeke Kies die sye met bekende lengtes F cm 6 Kopiereg ie ntwoord

22 ntwoorde: Vierhoeke VIERHOEKE. (x + 50º) + (x 0º) = 80º... â 3x + 30º = 80º rek 30º af: â 3x = 50º eel deur 3: â x = 50º â Â = 50º + 50º = 00º â ˆ = 80º 00º... ko-binne ø e ; = 80º ko-binne ø e ; OF: Ĉ = (50º) 0º = 80º â ˆ = 80º... teenoorst. ø e van 'n m is gelyk 3. ˆ = 60º... ø van gelyksydige Δ â ˆ = 30º... ˆ = 90º in vierkant â ˆ + ˆ = 80º 30º... som van ø e in Δ = 50º Maar ˆ = ˆ... ø e teenoor gelyke sye in Δ â ˆ = 75º... helfte van 50º 3.3 Net so: ˆ3 = 75º en ˆ = 60º... ø van gelyksydige Δ â ˆ4 = 360º (75º + 60º + 75º)... som van ø e om 'n punt = 360º = 360º 0º = 50º ˆ R = ˆ RS = 60º... ø e van gelyksydige Δ e & ˆ R = 90º... ø van vierkant â RS ˆ som van ø e om = 360º (60º + 90º + 60º)... 'n punt = 360º = 50º R = R... sye van gelyksydige ΔR = R... sye van vierkant = RS... sye van gelyksydige ΔRS â x = RS ˆ... hoeke teenoor gelyke sye in ΔRS = (80º 50º) ø van gelykbenige Δ ;... som van ø e in Δ = 80º = (30º) = 5º. EFG ˆ = 80º 56º... ko-binne ø e ; E GF in ruit = 4º. F ˆ = (4º)... die hoeklyne van 'n ruit halveer die ø e van die ruit = º.3 Ĝ = 56º Δ en Δ teenoorstaande ø e van 'n ruit (of m ) is gelyk 4. OF: ˆ = 90º 75º... ˆ = 75º en = 5º & Net so: ˆ = 5º ˆ = 90º â ˆ4 = 80º (5º)... som van ø e in Δ = 80º 30º = 50º 5. In Δ en Δ: ˆ = ˆ... aangrensende ø e ; in parallelogram ˆ = ˆ... verwisselende ø e ; in parallelogram =... gemene sy â Δ Δ... øøs â =... & = ooreenkomstige sye van kongruente Δ e... =... sye van gelyksydige Δ =... sye van vierkant & Net so: = = W 60 x R S Let Wel: 6. reghoek eur kongruensie te gebruik, het ons nou net bewys dat albei pare teenoorstaande sye van 'n parallelogram gelyk is in lengte. s een hoek gelyk is aan 90º, dan, vanweë ko-binnehoeke en parallelle lyne, sal die ander ook gelyk aan 90º wees. us het ons 'slegs een hoek gelyk aan 90º nodig.' Kopiereg ie ntwoord 7

23 ntwoorde: Vierhoeke 7. Iets nuuts om te ervaar! ( ˆ + ˆ ) + ( ˆ + ˆ ) = 80º... ko-binne ø e ; in parallelogram Laat ˆ = ˆ = x en ˆ = ˆ = y gegee dat die hoeke halveer is 3 y y x x 'n aie nuttige tegniek in meetkunde! 8. ntwoord: ΔE ΔE In ΔE en ΔE: ) E = E... gegee ) E = E... gegee 3) ˆ E = ˆ E... regoorstaande ø e â ΔE ΔE.. SøS NOS â x + y = 80º d.w.s. (x + y) = 80º 9. a b c d eel deur : â x + y = 90º â In Δ: ˆ + ˆ = 90º â ˆ = 90º... som van ø e in Δ i h g e f 7. Δ ˆ = 80º 90º = 90º... hoeke op 'n reguitlyn In Δ en Δ: ) ˆ = ˆ (= y) ) ˆ = ˆ (= 90º) (a + i + h) + (b + g + f) + (c + d + e) = 3 % 80º = 540º 540 â Elke ø = = 08º 5 â ntwoord: 3) â ˆ = ˆ... 3 de ø van Δ â Δ Δ... øøø â = â = 4 = Vermenigvuldig met 4: â = % 4 = 8 cm... eweredige sye van gelykvormige driehoeke Kies die sye waarvan die lengtes gegee word. ie som van die ø e van die heksagoon = 4 % 80º = 70º 70 â Elke ø = = 0º 6 â ntwoord: 8 Kopiereg ie ntwoord

24 ntwoorde: Stelling van ythagoras SELLING VN YHGORS. = 3 cm... 5 : : 3 ythagoras 'trio' * 3. U = h b = oppervlakte van 'n Δ Vermenigvuldig met : U 6 OF:... = 30 â U % = 60 â 6 % U = 30 NOS OF: In Δ: = +... = 5 + = = 69 â = 3 cm Stell. van ythag.; ˆ = 90º eel deur : â U = 5 cm eel deur 6: â U = 5 cm 3. W = 3 cm... ythag 'trio' 5 : : 3 â ie omtrek van ΔUW = 5 cm + cm + 3 cm = 30 cm * Let Wel: y die toepassing van die Stelling van ythagoras is daar 'n paar baie bekende 'drietalle' wat nuttig is om te ken en gebruik eerder as lang berekeninge. bv = = 5 = = = 69 = = = 89 = 7 4. ie lengte van die leer = 3 m... OF: (lengte van die leer) = 5 +, ens. 5 m 5. ntwoord: 6 cm ythag 'trio': 5 : : 3 m us is: die RIELLE: 3 : 4 : 5 ; 5 : : 3 ; 8 : 5 : 7 en veelvoude, soos: 6 : 8 : 0. In Δ: x = 0 cm.... In Δ: = 5 cm... ythag 'trio': 8 : 5 : 7 â y = 5 cm 6 cm = 9 cm ythag 'trio': 3 : 4 : 5 = 6 : 8 : 0 OF:. x = 8 + 6, ens.... Stelling van ythag.. = 7 8, ens. 6. In Δ: = 8 cm... teenoorst. sye van reghoek â = 6 cm... ythag 'trio': 3 : 4 : 5 = 6 : 8 : 0 Hierdie som vereis die toepassing van die omgekeerde van die Stelling van ythagoras, d.w.s. Indien die kwadraat op een sy van 'n driehoek gelyk is aan die som van die kwadrate op die ander twee sye, is die hoek teenoor die eerste sy 'n regte hoek. = 5 = 5 & + = 9 + = = 5 â = + â ˆ = die omgekeerde van die Stelling van ythagoras Kopiereg ie ntwoord 9

25 MEING:. Radius, r = % middellyn = 6 cm â Oppervlakte = r = 3,4 % 6 = 3,04 cm. ie omtrek van die (volle) sirkel = r â ie 'omtrek' van die semi-sirkel = r = 3,4 % 6 = 8,84 cm â ie omtrek van die vorm = 8,84 cm + cm = 30,84 cm... middellyn, = cm. ie oppervlakte van 'n vierkant = s = (0,) = 0,044 cm â ntwoord: eskou noukeurig: (0,) = = = = 0, ie omtrek van die baan = % 00 m + % halfsirkels = 00 m + % 3,4 % 30 m... Omtrek van sirkel = r = 388,4 m â antal rondtes = m 388,4 m = 0,98... â rondtes... vir 'n minimum van 4 km! 3. ie oppervlakte van die baan = oppv. van reghoek + oppv. van halfsirkels = (00 % 60)m +.30 m... Oppv. van sirkel = r = m m l 8 87,43 m 4. In ΔS: S = 5... Stelling van ythagoras = 5 4 = â S = l 4,58 m 4. = 3 % = 3 % 4 m = m 4.3 'n Vlieër... pare aangrensende sye gelyk 4.4 Metode : Gebruik die formule ie oppervlakte = die produk van die hoeklyne = ( % ) = ( % 4) = 4 m Metode : Sonder die formule ie oppervlakte = Δ + Δ = % Δ... want die Δ e is kongruent = S. = m % m = 4 m 0 ntwoorde: Meting: 5. In Δ: = 4 cm... ythag 'trio': 3 : 4 : 5 OF: = 5 3 = 5 9 = 6 â = 4 cm... Stelling van ythagoras 5. ie oppervlakte van parallelogram = basis % hoogte = % = % 4 cm = cm % 4 cm = 48 cm 5 cm 5.3. = = 5 cm... teenoorstaande ø e van m = = cm 3 cm = 9 cm â ie omtrek van trapesium = = cm + 5 cm + 9 cm + 4 cm = 30 cm Sien hoe Δ skuif (soos aangedui): cm 3 cm arallelogram = reghoek S & Oppervlakte van reghoek S = lengte % breedte = cm % 4 cm = 48 cm Kopiereg ie ntwoord S

26 ntwoorde: Meting: 5.3. Metode : Gebruik die formule ie oppervlakte van trapesium = (som van die sye) % die afstand tussen hulle = ( + ) % = ( + 9) % 4 = 4 cm Metode : Sonder 'n formule ie oppervlakte van trapesium = Oppervlakte van Δ + Oppervlakte van Δ = (9 % 4) + ( % 4) * = *. (9 + ). 4, soos die formule hierbo! = 4 cm 7. ie omtrek van 'n sirkel, r = 5 cm 5 6 â r = = π π â ie oppervlakte van die sirkel = r = % 6 π 6 = % π 6 = π l 5,8 cm... korrek tot desimale plekke 8. ie omtrek van 'n sirkel = r â ie omtrek van die kleiner sirkel = % % 0 l 5,66 cm NOS cm 8. ie oppervlakte van die geskakeerde oppervlakte 4 cm = die oppervlakte van die volle sirkel die oppervlakte van die binneste sirkel = cm l 570,80 cm 6. Laat die oppervlakte van die oorspronklike reghoek = l % b s die lengte verdubbel, dan sal die oppervlakte van die vergrote reghoek = l % b = (lb) â k = l b 9. ie oppervlakte van die geskakeerde ring = die oppervlakte van die volle sirkel die oppervlakte van die binneste ring = R r = (R r ) 9. Oppervakte van die geskakeerde ring = (4 8 ) = 3 cm Let wel: Gee die antwoord 'in terme van ' Kopiereg ie ntwoord