NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 12

Transcript

1 NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD WISKUNDE V NOVEMBER 00 MEMORANDUM PUNTE: 0 Hierdie memorandum bestaan uit bladsye.

2 Wiskunde/V DBE/November 00 NOTA: As n kandidaat n vraag TWEE keer beantwoord, merk net die EERSTE poging. As n kandidaat n antwoord deurhaal en nie oordoen nie, merk die deurgehaalde antwoord. Konstante Akkuraatheid moet deurgaans in die memorandum toegepas word. VRAAG. Die Datastel K K K Min 9 Maks 9 K Boonste Kwartiel 7 K Onderste Kwartiel 8 (6 de getal is. 7 de getal is. Die getal in posisie 6, is + ( ), (Aanvaar K, ) K Mediaan Vyf getal opsomming is (9 ; 8 ; ; 7 ; 9) (9 ;, ; ; 7 ; 9) Klas A min & max boonste kwartiel onderste kwartiel mediaan () Penaliseer met as geen byskrifte of as getalle nie in stygende orde is nie Klas B blok spriet () As die kandidaat die antwoord van. en. kombineer deur die korrekte blok en spriet diagram te teken in. en die getalle op die diagram inskryf (d.i. ons merk vraag. en. gekombineer), maks / 6 punte vir vraag. en. As n kandidaat getalle in enige orde in. skryf en die blok en spriet diagram korrek teken, maar nie die getalle op die diagramaandui nie, maks / 6 punte vir vraag. en. As n kandidaat slegs die blok en spriet diagram teken in. en nie waardes daarop aandui nie of. beantwoord, maks / 6 punte As die kandidaat twee diagramme (een in antwoordboek en een op diagramblad), merk die een op die ANTWOORDBLAD.

3 Wiskunde/V DBE/November 00. Klas B Klas B het beter presteer omdat die helfte van die aantal leerders bokant 60% behaal het, terwyl die helfte van Klas A meer as % behaal het. Klas B het beter presteer omdat die helfte van die aantal leerders bokant 60% behaal het, terwyl die helfte van Klas A minder as % behaal het. Mediaan van Klas B > Mediaan van Klas A Klas B Klas B is meer skeefgetrek na links as Klas A. Klas A % van klas het 7% of meer behaal in Klas A terwyl % van die klas 70% of meer behaal het in Klas B. Hoogste Punt in Klas A > Hoogste Punt in Klas B. As kandidaat se antwoord: Kan nie bepaal watter klas beter presteer het nie, omdat nie genoeg informasie gegee is nie en nie presies weet waar die punte voorkom nie. maks / Klas B mediaan Klas B > Mediaan Klas A () Klas B Klas B meer skeefgetrek na links as A () Klas A hoogste A > hoogste B % van A bokant 7% en % van B bokant 70% () [9] As kandidaat slegs antwoord Klas A of Klas B sonder enige redes, 0 / marks

4 Wiskunde/V DBE/November 00 VRAAG. EKSAMENPUNTE (x) FREKWENSIE KUMULATIEWE FREKWENSIE 0 x < 0 0 x < x < x < x < x < x <00 00 eerste waardes laaste waardes (). vorm (punte Kumulatiewe frekwensiegrafiek van eksamenpunte moet nie met n reguitlyn verbind word nie, nie met n liniaal verbind word nie) Kumulatiewe Frekwensie Eksamenpunte ankerpunt (0 ; 0) gebruik die boonste limiet gebruik kumulatiewe frekwensie as of meer punte korrek afgesteek is () As leerders die middelpunt van die interval en die kumulatiewe frekwensie gebruik maks / punte vir vorm As kandidate die onderste limiet en die kumulatiewe frekwensie gebruik maks / punte learners Aanvaar enigeen van, of 6 antwoord ()

5 Wiskunde/V DBE/November 00 VRAAG + 8 6, 00 6, 6, antwoord () [8]. Mean , Penaliseer vir verkeerde afronding. Met behulp van n sakrekenaar: σ 7,7 Pen en papier metode: gemiddelde ( x ) 00, x x x ( x x) 7 6,67 77,889 0,67,88 0,67 7,8 9 8,67 9,68-6, 7, , 6, , 0,8 8 -,, ,67 8,08 9 8,67 68, , 66,08 8-6, 66,668 SOM 678,666 σ 678,6668 7,7 Geen penalisering vir afronding Aanvaar 7 antwoord () Slegs antwoord: Volpunte antwoord totaal substitusie antwoord (). 00,+(7,7) 7,70 liter Aanvaar enigiets insluitend en tussen 7 en 8 liter. As kandidaat se antwoord 00, (7,7) 6,96 liter Maks / punte metode antwoord () () [7]

6 Wiskunde/V 6 DBE/November 00 VRAAG. Fly High antwoord (). 0 0 berekening 7, lei na n getal 0 0, 0,96 naby 0 Ja. Ja. Die datapunte stel n reguitlyn paslyn voor met negatiewe gradient, met Fly-High n uitskieter. Ja. Swak negatiewe korrelasie. (r -0,80798) Ja, Best Air en Best Fly en Alpha het n hoë rekord vir betyds land en n lae rekord vir verlore bagasie. As een of meer voorbeelde gebruik word om die antwoord JA te regverdig, gee een punt. As die kandidaat aandui Best Air en/of Best Fly en/of Alpha het hoë rekord vir betyds arriveer en lae verlore bagasie, Maks / punte Ja negatiewe gradient Ja negatiewe korrelasie Ja rede () () () (). Alpha, 70% rekord vir betyds land en minste verlore bagasie Best Air, beste rekord vir betyds aankom (arriveer) Naam van maatskappy korrekte regverdiging () [6]

7 Wiskunde/V 7 DBE/November 00 VRAAG y A( ; 7) C( ; ) G(a ; b) D (x ; 0) β P M α O x.. m AD m AC 6 7 ( ) m AD B( ; 6) 7 As () kandidaat se antwoord 7 m 6 AD x slegs / punte substitusie van A en C in korrekte formule antwoord ()... m BC m AD CDˆ O 6 ( ) 0 tan CDˆ O 6,60... mbc tanα α,8 09 m BC ( 6) () 0 antwoord 6,7,80 () DĈB, , ,69 8, 8, antwoord ()

8 Wiskunde/V 8 DBE/November 00 tan CDO CDO 6,60... tan(80 α) 80 α 68, DĈB 80 (6, , ) 8,69 8, DCB α CDO mcb m tan DĈB + m. m + DĈB 8, AC BC AB CB ( )() 6 7 8, AĈB 9,76... CD CD AC + BC AB cos AĈB AC.BC ( )( 6) 0, DĈB 80 9, ,7 68, antwoord mcb m tan DĈB + mcb. m substitusie antwoord cos reël () CD CD () substitusie in cos reël antwoord ()

9 Wiskunde/V 9 DBE/November 00 D( ; 0) DC BC DB DC + BC DB cos DĈB DC.BC ( 80)( 6) 0, DĈB 8, Vergelyking AC: y x + D( ; 0) C( ; ) DC ( x x ) + ( y y ) C D C D ( + ) + ( 0) 80 Vergelyking BC: y x 7 7 ;0 P ( ) PC DP ( + 6 ( 7 7 ) + ) + ( 0) 0 In ΔDCP: DP DC + CP DC.CP.cos DĈP cos DĈP DĈP 8,6... DĈP 8, cos reël substitusie in cos reël antwoord cos reël substitusie in cos reël antwoord ()

10 Wiskunde/V 0 DBE/November 00. y 7 y x + x y + 0 ( x ) y y x + x y + 0 ( x + ) y x + c (7) () + c c y x + x y + 0 As kandidaat antwoord laat as 7 ( x ) y x + Maks / y or ( ) substitusie van y ( ; 7) in y m ( x ) x antwoord in enige vorm () substitusie van ( ; ) in y y m x ( ) x antwoord in enige vorm () substitusie van ( ; 7) in y mx + c antwoord in enige vorm (). D( ; 0) y 0 x + y x + x y + 0 ( ) + 6 M( x; y) ; M( x; y) ( ; ) substitusie van ( ; 0) in y y m x ( ) x antwoord in enige vorm substitusie antwoord () ()

11 Wiskunde/V DBE/November 00. m AM 7 ( ) ( ) y x + c ( ) + c c y x + G lies on the line b a + As die kandidaat nie aflei b a + vanuit y x+ : maks / punte gradient substitusie ( ; ) c afleiding () 7 b b + a a + (7 b)( a + ) ( b + )( a) 7a + 7 ab b b ab + a 8a b a b b a + Gebruik die punt ( ; ) b + 8 a + b + a + b + a + b a + Gebruik die punt ( ; 7) 7 b 8 a 7 b a 7 b 6 a b a + 7 b a b + a + gelykstel aan vereenvoudiging lei na a b () substitusie ( ; ) into gradient gradient gelykstel aan vereenvoudiging lei na b + a + () substitusie van ( ; 7) in gradient gradient equating vereenvoudiging lei na 7 b 6 a ()

12 Wiskunde/V DBE/November 00.6 GC GC ( a + ) ( a + ) a a a a 6a + 0 (a )( a ) 0 a b 0 b or 7 or b a 7 ( a + ) 7 + ( b ) + (a + ) of a b b 7 + b b + 0 (b 7)( b ) 7 + ( b ) 7 a ( b ) b + 0b + + b 7 68 b b + 89 b b + ( b ) b + 6 As n kandidaat a en b omruil: max / 6 marks afstand formule in terme van a en b substitusie van b a + standaardvorm faktore of korrekte substitusie in formule waardes van a waardes van b (6) a b afstandformule in terme van a en b substitusie van a b standaardvorm faktore of korrekte substitusie in formule waardes van b (6) [0]

13 Wiskunde/V DBE/November 00 VRAAG 6 L y M( ; ) N O P x Q 6. y x + m LP mln y x + c + c c 8 y x + 8 As kandidaat antwoord laat as y x + Maks / m LP m LN vergelyking () y ( x + ) y x + 8 Slegs antwoord: Volpunte m substitusie in y y m( x x ) antwoord () 6. x + 8 x + x 6 x y + 8 y L( ;) y + x...() y x 8...( y 0 y x L( ; ) Geen penalisering as antwoord in koordinaatvorm gelaat word nie x-waarde y-waarde () (vergelykings wat tot die waardes lei moet gebruik word)

14 Wiskunde/V DBE/November ( x + ) ( + ) r ( x + ) + ( y ) + ( ) + ( y ) r r Vergelyking kan gelaat word as: x + 8x + y 8y As kandidaat slegs die afstandformule gebruik om die radius te bepaal ( + ) + ( ) r r / punte ( x + ) + ( y ) r substitusie van ( ; ) r () 6. Laat N(x, y). Omdat M (-;) die middelpunt van LN is en L(-;) x y + ; x ; y y x + 8 ( x + ) ( x + ) x x x + 8x x + 8x + 0 ( x + )( x + ) 0 x + ( y 6) + ( x + 8 ) + 6x of x y y N( ; ) 0 + 8x Slegs antwoord: Volpunte M is die middelpunt van LN x y () ( x + ) + ( x + 8 ) 0 x + 8x + 0 both x and y () 6. m NQ m y x + c ( ) + c c y x NQ y ( x + ) y x Vergelyking van LP is x + y NQ LP vergelyking van NQ is x + y k vir sommige k R Maar N( ; ) is op NQ x + y + Note: Slegs antwoord: Volpunte gradient substitusie van ( ; ) in y mx + c c () gradient substitusie van ( ; ) in y y m( x x ) vergelyking () x + y k substitusie van ( ; ) vergelyking ()

15 Wiskunde/V DBE/November Laat nuwe radius van sirkel R wees en die middelpunt M /. M ( + 6 ; ) R ( ; ) R r r () 8 ( x ) + ( y ) ( ) of 8 M ( ; ) r vergelyking () Laat R nuwe radius van sirkel. Transformasie is ( x; y) ( x 6; y) R r ( x 6 + ) ( x ) + ( y ) + ( y ) 8 ( ) ( x ) ( y ) 8 of ( ) () [7]

16 Wiskunde/V 6 DBE/November 00 VRAAG 7 7. C / ( 6 ; ) y punte vir elke diagram van die transformasie (6) A / ( ; 0) B / (0 ; ) C( ; ) A( ; ) B( ; ) As die kandidaat slegs die korrekte driehoek teken sonder byskrifte, volpunte As die kandidaat punte korrek afsteek en nie die driehoek teken nie, maks / 6 punte In die sketse, as een van die drie hoekpunte verkeerd is, slegs / punte vir die verkeerde skets dan word KA toegepas. As die kandidaat die punte neerskryf en nie die punte afsteek nie en die driehoek teken, maks / 6 punte As die hoekpunte korrek is maar nie benoem is nie en die punte is verbind, maks / 6 punte As die hoekpunte korrek is maar nie benoem en nie verbind is nie maks / 6 punte As n kandidaat eers n verkeerde formule gebruik Maks punt vir die formule Maks punte vir die berekening van A /, B /, C / koordinate (KA) punt vir afsteek van hoekpunte punt vir voltooiing van driehoek en benoeming x As die kandidaat eers die algemene reel uitwerk (x ; y) (x 8; y ) A / ( ; 0) B / (0 ; ) C / ( 6 ; ) punt vir elke korrekte punt afgesteek en verbind (6)

17 Wiskunde/V 7 DBE/November ( x ; y) ( x ; y) ( x ; y) ( x ; y ) ( x ; y ) (x 8 ; y ) (x ; y) (x 8; y ) As die kandidaat antwoord (x ; y) (x ; y) (x ; y) (x ; y ) (x ; y) (x ; y) Slegs / punte As die kandidaat antwoord (x ; y) (x ; y) (x ; y) (x ; -y ) (x ; y) (x-8 ; -y-) / marks Slegs antwoord: Volpunte As die kandidaat se antwoord (x ; y) (x ; y ) Slegs / punte ( x ; y) ( x ; y) ( x ; y) ( x ; y ) ( x 8 ; y ) ()

18 Wiskunde/V 8 DBE/November 00 y 7. x - - A( ; ) - B( ; ) - C( ; ) Area Δ ABC area van reghoek som van driehoek areas Area ΔA / / / B C 0 eenhede () Area ΔA / / / B C eenhede ()() + ()().6. + ()() + ()() 0 () m AC en mab produk C ÂB 90 AB AC Area ΔABC is ( ) / / / Area Δ A B C is 0 vierkante eenhede AB en AC 0 () A / B / 0

19 Wiskunde/V 9 DBE/November 00 m / / and / / A C A B A / C / 0 / / / C Â B 90 0 A / B / 0 () A / C / 0 Area ΔA / B / C / is ( 0) 0 AB en AB AC BC 0 BC 0 hoogte 0 0 Area ΔABC.. 0 Area ΔA / B / C / 0 vierkante eenhede AB AC BC 0 BC 0 AC + AB BC C ÂB 90 Area ΔABC.( ) Area ΔA / B / C / 0 vierkante eenhede Area ΔABC.bc sin A ( )( ) sin 90 Area ΔA / B / C / 0 vierkante eenhede AC 0 AB en AC antwoord AB en AC antwoord () ()

20 Wiskunde/V 0 DBE/November 00 y x C( ; ) A( ; ) A / ( ; ) B( ; ) Reflekteer ΔABC om CB en kry die vierkant ABA // C met sy Area van vierkant ( )( ) Area ΔABC Area ΔA / B / C / 0 vierkante eenhede AB en AC refleksie om vierkant te kry antwoord () y A // ( ; 6) 6 C( 6 ; ) B(0 ; ) A( ; 0) - - x A / B / 0 en A / C / 0 refleksie om vierkant te kry 0 antwoord Reflekteer ΔA / B / C / om C / B / en kry vierkant A / B / A // C / met sy 0 Area van vierkant ( 0 )( 0) 0 Area ΔA / B / C / 0 0 vierkante eenhede () []

21 Wiskunde/V DBE/November 00 VRAAG 8 8. x / cos7 sin 7 cos(0 + ) sin(0 + ) cos0 cos sin 0 sin sin 0 cos cos0 sin.. x cosα y sinα of / x x cosα + y sinα of cos(7 ) sin(7 ).. cos( 7 ) + sin( 7 ) 6 ( ( + ) cos(0 + ) sin(0 + ) ). cos0 cos sin 0 sin sin 0 cos cos0 sin. As die kandidaat n sakrekenaar gebruik d.i. gee n desimale antwoord maks / 6 punte Verkeerde formule: maks / 6 punte substitusie in anti-kloksgewyse formule cos uitbreiding sin uitbreiding substitusie van spesiale hoeke vereenvoudigde antwoord van x substitusie in kloksgewyse formule cos uitbreiding sin uitbreiding substitusie van Spesiale hoeke vereenvoudigde antwoord van x (6) (6)

22 Wiskunde/V DBE/November 00 Bereken eers cos7 cos(0 + ) En cos0.cos sin 0.sin cos uitbreiding substitusie van spesiale hoeke in die eerste uitbreiding sin 7 sin(0 + ) sin0.cos + cos0.sin. + ( +. ) sin uitbreiding x / cos 7 sin ) 6 6 substitusie vereenvoudigde antwoord van x (6)

23 Wiskunde/V DBE/November / x x cos β y sin β cos β sin β () / y y cos β + xsin β + cos β + sin β (*) () + ()*: () ()*: ( + 0cos β + 0sin β ( ) ( + ) 0 0 cos β sin β β 60 β 60 substitusie in x / substitusie in y / vereenvoudiging gelyktydige oplossing of antwoord (6) cos β sin β () + cos β sin β () Vervang () in () + sin β sin β + 9 0sin β 0 0sin β sin β β 60 9sin β sin β 9 Slegs antwoord: maks / 6 marks vergelyking () vergelyking () gelyktydige oplossing vereenvoudiging sin β antwoord (6)

24 Wiskunde/V DBE/November 00 cos β sin β + en cos β + sin β Probeer β 60 cos β sin β + cos β + sin β + β 60 tanα α 8, + tanθ + θ 78, β 78, 8, 60 + ; β θ α ( ; ) β 60 substitusie vereenvoudiging substitusie vereenvoudiging tan α α 8, + (6) θ 78, vereenvoudiging 60

25 Wiskunde/V DBE/November 00 / x x cos β y sin β substitusie + cos β sin β cos β + cos β cos β + cos β + 9 cos β cos β + ( cos β sin β + cos β + cos β + sin β cos β + 9sin β cos β sin β 0 cos β ) cos β + 0sin β 0 ( sin β 6 sin β sin β sin β 6 sin β 6 sin β cos β ) cos β cos β β 60 cos β substitusie vereenvoudiging sin β cos β antwoord cos β (6) [] VRAAG 9 9. r α α r (Pyth) r α ( ; ) diagram waarde van r sin α Aanvaar : 0,6 antwoord ()

26 Wiskunde/V 6 DBE/November cos (90 α) cos (90 α) sin sin α (sin α + cos α) cos(90 α) sinα α cos α substitusie van 6 6 sin α 0,6 () 0,6 9. sin α sin cos sin α sin α.cosα α sin α α sin α sinα cosα + cos α (sinα cosα) antwoord () [8]

27 Wiskunde/V 7 DBE/November 00 VRAAG sin(90 + θ) + cos(80 + θ)sin( θ) sin80 tan cosθ + ( cosθ )( sinθ ) 0 + cosθ + cosθ.sinθ cosθ ( + sinθ ) sin Acos Acos A.sin Linkerkant sin Acos A( sin A) cos A.sin cos A sin sin( 0 ) [sin cos0 cos sin 0 ] RK cos θ cosθ sinθ 0 + antwoord sin Acos A sin () A cos A sin 0 of 60 substitusie 6 (6) For these values of x, cos x 0 sin x cos x cosx sin xcos x cos x cos x(cos x ) sin xcos x sin x cos x sin x cos x cos x cos x( sin cos x(( sin x) ) sin xcos x x) sin xcos x 0 cos x 0 cos x(sin sin x + sin x ) 0 x + sin x 0 (sin x + )(sin x ) 0 or sin x or x ± 90 cosx 0 sin x or or x 0 cosx 0 factors equations ± (8)

28 Wiskunde/V 8 DBE/November 00 sin Acos Acos A.sin sin Acos A Linkerkant sin Acos A( sin A) sin A cos A cos A.sin cos A sin sin sin(60 ) 0 [sin 60 cos cos60 sin ] RK substitusie 6 (6) sin Acos Acos A.sin Linkerkant sin Acos A( sin A) sin Acos A.sin sin Acos A sin sin( 0 ) [sin cos0 cos sin 0 ] RK 0. 6cos x cos x 6cos x cos x 6cos (cos x )(cos x + ) 0 cos x of geen oplossing x cos x 0 cos x of x 0 + k.60, k Z of x 0 + k.60, k Z standaardvorm faktore albei vergelykings 0 + k k. 60 k Z (6)

29 Wiskunde/V 9 DBE/November 00 Alternatiewe oplossing vir x k.60 ± 0 k Z cos x [7] As kandidaat ±k.60 gebruik, dan is k N 0

30 Wiskunde/V 0 DBE/November 00 VRAAG A P D Q. 0 cos 6,7 AC 0 AC cos 6,7 7, m 0 AC cos 6,7 AC 7,06 m AC 7,m C 6,7 M substitusie in verhouding AC onderwerp van die formule antwoord () substitusie in verhouding AC onderwerp van formule antwoord () 0 AC sin, sin 90 0sin 90 AC sin, AC 7, m substitusie in sin reë AC onderwerp van formule antwoord (). PC is given to be (6) m P C tan PÂC 7, θ,7 7, θ A tan PÂC 7, antwoord () As die kandidaat die onafgeronde antwoord vir AC neem, dan is die antwoord,7

31 Wiskunde/V DBE/November 00. CD 7, + 0 (7,)(0) cos, cos reël 687,8909 substitusie CD 8,8 m As die onafgeronde antwoord antwoord gebruik word, dan is () CD 8,8 m. Aanvaar hierdie antwoord. A 7,, 0 D C 6,7 0 M AM ACsin 6,7 AM CM tan 6,7 AM AC cos, 06, tan 6,7 7,.cos, 06,0 06,0 06,0 DM 06,0 0 66,0 CD CM + DM (0) +(66,0) 687,0 CD 8,8 meter AM ACsin 6,7 AM CM tan 6,7 AM AC cos, 06, tan 6,7 7,.cos, 06,0 06,0 06,0 DM 06,0 0 66,0 DC (0) + (66,0) (0)(66,0).cos ,0 CD 8,8 meter 0 + x + sin 6,7 7, x,0 CD CM + DM (0) +( +,0) 687,0 CD 8,8 meter AM 06,0 DM 66,0 Pythagoras antwoord AM 06,0 DM 66,0 cosreël antwoord [0] () ()

32 Wiskunde/V DBE/November 00 VRAAG. y g f g g x tan x: asimptote ( & ) x-afsnitte middel kurwe eind kurwes cos x: y-afsnit x-afsnitte (6) As die kandiddaat buite die interval teken, GEEN PENALISERING.. Vir hierdie waardes van x, cos x 0 sin sin x cos x cos x sin x cos x sin x sin x sin x of cosx 0 x + sin x 0 (sin x + )(sin x ) 0 of cosx 0 sin x of sin x of x ± 90 of x 0 cosx 0 sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0 faktore vergelykings ± (8) Copyright reserved

33 Wiskunde/V DBE/November 00 sin x cos x cos x sin x sin x cos x cos x cos x sin x cos x cos x(cos x sin x) 0 cos x cosx 0 of (- sin x) sin x 0 x x x cos x 0 sin cos x + sin x 0 of of (sin x + )(sin x ) 0 of 0 sin cosx 0 cosx 0 sin x of sin x of x ± 90 of x 0 sin cosx 0 0 faktore vergelykings ± (8) sin x cos x cos x cos x.cos x sin x cos x.cos x sin x.cos x 0 cos x(cos x sin x) 0 sin sin cos x sin x x sin x x + sin x 0 (sin x + )(sin x ) 0 of cosx 0 sin x of sin x of x ± 90 of x 0 cosx 0

34 Wiskunde/V DBE/November 00 sin x cos x cos x x x x cos.cos cos x.cos x sin x.cos x 0. 0 < x < 90 < x < cos x(cos x sin x) 0 cos x sin x cos x cos(90 x) x ± (90 x) + k.60 x 90 + k.60 x 0 + k.0 x 90 of sin x 90 + k.60 x 90 of of x 0 cosx 0 x 90 kritieke waardes notasie. Periode (60 ) 70 antwoord. x + 0 x + 70 ( x ) 90 x 0 90 en x 0 x 0 ( x ) 90 x 0 90 x 0 x 70 Slegs antwoord: Volpunte x 0 x 70 () () () [] TOTAAL : 0