ISBN

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ISBN 978-960-456-235-0"

Transcript

1

2 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN Copyright, 2010, Eκδόσεις ZHTH, Τρύφων Ι. Δάρας, Παναγιώτης Θ. Σύψας Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του ελληνικού νόμου (N.2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Βιβλιοδεσία Π. ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας T.Θ Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: Fax: BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ.: , Fax: BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) AΘHNA Tηλ.-Fax: AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Aσκληπιού 60 - Eξάρχεια , Aθήνα Tηλ.-Fax: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

3 Στην Ελενίτσα Χαμόγελο μιάς στιγμής, πολύτιμη παρακαταθήκη μιάς ζωής.

4 Πρόλογος - Ιστορική Ανασκόπηση Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εκτεταμένη εισαγωγή στην Θεωρία Πιθανοτήτων, περιέχει και ένα κεφάλαιο Περιγραφικής Στατιστικής, για να μπορέσει να γίνει αντιληπτή, μια αρχική σχέση μεταξύ των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Η Θεωρία των Πιθανοτήτων, αν και αναπτύχθηκε από την ανάγκη αντιμετώπισης καθημερινών προβλημάτων (ικανότητα «διαχείρισης του κινδύνου»), έχει τις ρίζες της στα τυχερά παιχνίδια (ζάρια, χαρτιά κ.α.). Είναι δύσκολο να πει κανείς πόσο παλιά είναι η συνήθεια να παίζει κάποιος τυχερά παιχνίδια. Επιτραπέζια παιχνίδια τα οποία «περιείχαν» το στοιχείο της τύχης φαίνεται (σε ανασκαφές που έγιναν στις πυραμίδες) να είχαν κατασκευαστεί, στην αρχαία Αίγυπτο από το 3000 π.χ. Το τυχαίο στοιχείο σε αυτά προερχόταν από το ρίξιμο κυρίως των αστραγάλων των προβάτων (κότσια), οι τέσσερες πλευρές των οποίων (στις οποίες μπορούσαν να στηριχθούν) παρίσταναν τους αριθμούς 4, 3, 1 και 6. Τα γνωστά μας ζάρια προήλθαν από αυτά, με λείανση των καμπύλων επιφανειών τους, και κατασκευάστηκαν μάλλον για πρώτη φορά από τους Έλληνες οι οποίοι τα αποκαλούσαν «τέσσερα». Αγγεία που βρέθηκαν, στην Ελλάδα, απεικονίζουν νέους να ρίχνουν οστά μέσα σε μια κυκλική περιοχή. Ακόμα, στην αρχαία Ελληνική μυθολογία αναφέρεται ότι θεοί του Ολύμπου αποφάσιζαν για το ριζικό των ανθρώπων ρίχνοντας ζάρια, όπως επίσης ο Δίας, ο Ποσειδώνας και ο Άδης έγιναν «κυβερνήτες» του ουρανού, της θάλασσας και του κάτω κόσμου αντίστοιχα παίζοντας το σύμπαν σε ένα παιχνίδι με ζάρια. Κυβικά ζάρια φτιαγμένα από κοκάλα ή πηλό βρέθηκαν σε αρχαίους Αιγυπτιακούς και Ελληνικούς τάφους, όπως επίσης στο Ιράκ και την Ινδία. Παιχνίδια με ζάρια ήταν αρκετά δημοφιλή και στην αρχαία Ρώμη. Αναφέρεται ακόμα ότι, ο Πόντιος Πιλάτος έβαλε σε κλήρο τον χιτώνα του Χριστού κατά την διάρκεια της σταύρωσής του. Ο Αριστοτέλης είναι από τους πρώτους που καταπιάστηκαν με θέματα Πιθανοτήτων, θεωρούσε όμως «τυχαίο» κάθε τι το οποίο έχουμε αδυναμία (λόγω έλλειψης γνώσης) να το ερμηνεύσουμε. Ένα πράγμα που φαίνεται παράξενο είναι ότι, αν και οι αρχαίοι Έλληνες είχαν αναπτύξει τα μαθηματικά και τις φυσικές

5 viii Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές επιστήμες σε εξαιρετικό για την εποχή τους βαθμό, εν τούτοις δεν είχαν παρατηρήσει ότι, τα αποτελέσματα ενός παιχνιδιού που επαναλαμβάνεται παρουσιάζουν κάποιες αριθμητικές «κανονικότητες» (σχετικές συχνότητες). Η εξήγηση σε αυτό είναι ότι, τα οστά (ζάρια) που χρησιμοποιούσαν δεν είχαν ακριβώς ομοιόμορφες έδρες ώστε να εμφανίζονται, κατά την ρίψη τους, οι κανονικότητες που αναφέραμε. Λόγω λοιπόν αυτής της αδυναμίας παρατήρησης κανονικοτήτων ή με άλλα λόγια επειδή δεν είχε γίνει αντιληπτό ότι είναι δυνατόν να ποσοτικοποιηθεί η δυνατότητα (πιθανότητα) πραγματοποίησης μελλοντικών γεγονότων, τίποτε σημαντικό δεν έγινε στην Θεωρία των Πιθανοτήτων μέχρι την εποχή του Μεσαίωνα. Γεγονότα που δεν ήταν καθορισμένα, βρίσκονταν πέρα από κάθε ανάλυση και καθορίζονταν από ένα «υπέρτατο ον» (Θεός). Οι πρώτες «δειλές» προσπάθειες ανάπτυξης των πιθανοτήτων φαίνεται να ξεκινούν στα τέλη του 15 ου αιώνα. Το 1494 ο Luca Pacioli, στο βιβλίο του Summa de arithmetica, geometrica proportioi et proportioalita (Τα πάντα για την αριθμητική, την γεωμετρία και τις αναλογίες) δημοσίευσε το πρόβλημα των πόντων, όπως ονομάζεται, και το οποίο αργότερα ήταν μια από τις αρχικές αιτίες ανάπτυξης των Πιθανοτήτων. Το πρόβλημα αναφέρεται στο πως πρέπει να κατανεμηθεί το ποσό ενός στοιχήματος, όταν ένα παιχνίδι πολλών γύρων διακόπτεται χωρία να έχει ολοκληρωθεί. Ο Giralomo Gardaο ( ), αστρολόγος φιλόσοφος φυσικός μαθηματικός και τζογαδόρος είναι αυτός που έγραψε, γύρω στα 1564 αν και το βιβλίο δημοσιεύτηκε εκατό χρόνια αργότερα στα 1663, το πρώτο βιβλίο στις πιθανότητες με τίτλο Liber De Ludo Aleae (Βιβλίο για παιχνίδια με ζάρια). Στο βιβλίο αυτό ανέφερε τεχνικές στο πως να κλέβει κάποιος σε τυχερά παιχνίδια ή πως να καταλάβει ότι άλλοι κλέβουν. Επίσης, σωστά, απαρίθμησε τα αποτελέσματα της ρίψης δύο ζαριών, είναι δε ο πρώτος (μαζί με τον G. Galilaio) που διατύπωσε το ισοπίθανο των εδρών ενός αμερόληπτου ζαριού και επίσης ο πρώτος που εισήγαγε την πιθανότητα με την μορφή κλάσματος, δηλαδή το λόγο του πλήθους των ευνοϊκών περιπτώσεων προς το συνολικό πλήθος των ισοπίθανων περιπτώσεων. Ακόμα διατύπωσε τον προσθετικό νόμο των πιθανοτήτων (ξένα γεγονότα) και τον πολλαπλασιαστικό νόμο των πιθανοτήτων (ανεξάρτητα γεγονότα). Με το πρόβλημα των πόντων καταπιάστηκαν, χωρίς να έχουν ουσιαστική συμβολή στην λύση του και άλλοι μετέπειτα Ιταλοί μαθηματικοί όπως ο Nicolo Tartaglia και ο Lorezo Forestai. Ακόμα, ο Galilei Galilaio στο άρθρο του Sopra le scoperte dei dadi (Περί μιας ανακάλυψης αναφορικά με τα ζάρια) ανέφερε, σωστά όλους τους τρόπους με τους οποίους το άθροισμα τριών ζαριών μπορεί να πάρει την τιμή 9 ή 10. Η συνεισφορά αυτή είναι σημαντική λόγω του ότι, προ-

6 Πρόλογος - Ιστορική Ανασκόπηση ix σέγγισε το για πρώτη φορά πρόβλημα επιστημονικά ξεκινώντας από μια εμπειρική παρατήρηση και αναζήτησε μια μαθηματική εξήγηση γι αυτό. Έθεσε έτσι τα θεμέλια για ότι θα ακολουθούσε στις Πιθανότητες. Στα μέσα του 17 ου αιώνα, ένας επαγγελματίας παίχτης ο Chevalier de Mere απέκτησε αρκετά χρήματα ποντάροντας σε τυχερά παιχνίδια. Στοιχημάτιζε ότι σε 4 ρίψεις ενός ζαριού θα μπορούσε να φέρει τουλάχιστον ένα 6. Σύντομα η φήμη του διαδόθηκε με αποτέλεσμα άλλοι παίκτες να αρνούνται να παίξουν μαζί του το παιχνίδι αυτό. Αποφάσισε λοιπόν ότι χρειαζόταν κάποιο άλλο παιχνίδι για να συνεχίσει να κερδίζει. Σκεφτόμενος «λογικά», θεώρησε ότι θα μπορούσε να φέρει δύο τουλάχιστον 6 σε 24 ρίψεις δύο ζαριών, αλλά η λογική του ήταν λάθος με αποτέλεσμα να χάνει συστηματικά. Ανίκανος να διαπιστώσει τι ήταν λάθος, απευθύνθηκε στον διάσημο μαθηματικό της εποχής του, τον Blaise Pascal ( ). O Pascal ενδιαφέρθηκε και άρχισε να μελετά τις Πιθανότητες. Αλληλογραφούσε με τον Pierre de Fermat, έναν κυβερνητικό υπάλληλο, ο οποίος ασχολιόταν με τα Μαθηματικά από hobby. Στις μεταξύ τους επιστολές ασχολήθηκαν με την ερώτηση του de Mere όπως επίσης και με το πρόβλημα των πόντων. Μαζί διατύπωσαν τις πρώτες βασικές αρχές τις Θεωρίας Πιθανοτήτων. Στα τέλη του 17 ου αιώνα ο Ελβετός Jacob Beroulli ( ) ήταν ο πρώτος που προσπάθησε να μετασχηματίσει, όλα όσα ήταν γνωστά μέχρι τότε για τα τυχερά παιχνίδια, σε μία τυπική μαθηματική θεωρία. Στο βιβλίο του Ars Cojectadi (Η Τέχνη του εικάζειν) διατύπωσε τον κλασσικό ορισμό της πιθανότητας ενός γεγονότος. Ο ορισμός, όπως επίσης και μεγάλο μέρος της ανάπτυξης της Θεωρίας των Πιθανοτήτων βασισμένη στο κλασσικό αυτό ορισμό, πήρε την οριστική του μορφή από τον Pierre de Laplace (Theorie Aalytique des Probabilites). Σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων έπαιξαν επίσης ο Ολλανδός Christia Huyges (De Ratiociiis i Aleae Ludo), ο Gauss και ο de Motmort. Ακόμα, σημαντική είναι η προσφορά, τον 19 ο αιώνα, των Ρώσων Μαθηματικών P.L. Chebyshev, A.A. Markov, A.M. Lyapuov. Στις αρχές του 20 ου αιώνα, η εκτεταμένη χρήση πιθανοθεωρητικών μεθόδων στην Φυσική και την τεχνολογία έκανε επιτακτική την ανάγκη ενός πιο «εκλεπτυσμένου» ορισμού της Πιθανότητας, γεγονός που τονίστηκε και από τον D. Hilbert στον κατάλογο των άλυτων προβλημάτων που παρουσίασε το Μία αποτυχημένη προσπάθεια να δοθεί ένας τέτοιος γενικός ορισμός της πιθανότητας ενός γεγονότος, με την βοήθεια της σχετικής συχνότητας εμφάνισής του, έγινε από τον Γερμανό Richard vo Mises. Η αυστηρά μαθηματική θεμελίωση της θεωρίας των Πιθανοτήτων (μετροθεωρητική προσέγγιση) οφείλεται στον

7 x Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές Ρώσο μαθηματικό A.N. Kolmogorov (The basic otios of the Probability Theory, το 1936 στα Ρώσικα). Η αρχή της Περιγραφικής Στατιστικής μπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε απογραφές που γίνονταν στην Βαβυλώνα και την Αίγυπτο ( πχ). Ο Ρωμαίος αυτοκράτορας Αύγουστος έκανε καταγραφή των γεννήσεων και θανάτων των πολιτών της Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας όπως επίσης της περιουσίας καθενός από αυτούς και του μεγέθους της ετήσιας (τους) σοδειάς όσων ασχολούνταν με την γεωργία. Έτσι στην Αρχαία Ρώμη είχαν αναπτύξει μεθόδους συλλογής, οργάνωσης και τρόπους να συνοψίζουν τα δεδομένα. Κατά την διάρκεια του 14 ου αιώνα άρχισαν να κρατούνται αρχεία των γεννήσεων και θανάτων των πολιτών διαφόρων κοινοτήτων, με κύριο σκοπό τον καθορισμό του κόστους ασφαλειών που έκαναν. Ο Joh Graut ( ) μελέτησε τον αριθμό των ετήσιων γεννήσεων αγοριών και κοριτσιών, παρατήρησε δε ότι ενώ γεννιόνταν περισσότερα αγόρια, περισσότερα πέθαιναν και κατά την διάρκεια του πρώτου έτους της ζωής τους. Ο Gregor Medel ( ) χρησιμοποίησε τις πιθανότητες και την στατιστική στις μελέτες του για την κληρονομικότητα. Ο Fracis Galto ( ) έκανε διαφόρων ειδών συσχετίσεις χρησιμοποιώντας αρακά, σκόρο, σκυλιά και ανθρώπους. Ο Roald Fisher ( ) ανέπτυξε μεθόδους επαγωγικής στατιστικής, πειραματικού σχεδιασμού, εκτίμησης και ανάλυσης διασποράς. Μετά το 1900 η στατιστική αναπτύχθηκε ραγδαία και τέλος με την εξέλιξη της τεχνολογίας και την χρήση Η.Υ. είναι δυνατή πλέον η ταυτόχρονη επεξεργασία μεγάλου πλήθους δεδομένων. Στο βιβλίο αυτό, αν και εισαγωγικό, ορίζονται με αυστηρά μαθηματικά (χρήση θεωρίας μέτρου) οι περισσότερες από τις έννοιες που συναντά κανείς στην Θ.Π., όπως επίσης αποδεικνύονται αναλυτικά (ή δίνονται αναφορές για την απόδειξής τους) θεωρήματα και προτάσεις που σχετίζονται με τις έννοιες αυτές. Προαπαιτούμενο για την μελέτη του είναι η γνώση του περιεχόμενου ενός ή δύο εξαμηνιαίων μαθημάτων απειροστικού λογισμού. Τυχόν αναφορές σε έννοιες, προτάσεις, τρόπους απόδειξης κ.α. από την θεωρία μέτρου παρουσιάζονται εδώ αναλυτικά. Στο πρώτο κεφάλαιο δίνεται αρχικά η έννοια του πειράματος τύχης και κατόπιν της πιθανότητας γεγονότος (με τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις). Στην συνέχεια περιγράφονται τεχνικές απαρίθμησης των στοιχείων ενός συνόλου (Συνδυαστική), απαραίτητες στον υπολογισμό πιθανοτήτων. Ακολουθεί ο ορισμός της έννοιας της δεσμευμένης πιθανότητας γεγονότος και αποδεικνύονται σημαντικά θεωρήματα της Θ.Π. (όπως πολλαπλασιαστικό, ολικής πιθανότητας

8 Πρόλογος - Ιστορική Ανασκόπηση xi και Bayes). Τέλος εξετάζεται η έννοια της ανεξαρτησίας γεγονότων και υπολογίζεται η λεγόμενη αξιοπιστία συστημάτων. Στο δεύτερο κεφάλαιο δίνεται η έννοια της τυχαίας μεταβλητής και ορίζονται ποσότητές της όπως η συνάρτηση κατανομής, η πυκνότητα πιθανότητας και η κατανομή της. Στην συνέχεια αναφέρονται οι κυριότερες διακριτές και συνεχείς κατανομές. Τέλος υπολογίζεται η κατανομή συναρτήσεων τ.μ. (θεώρημα μετασχηματισμού) Τα κυριότερα αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τ.μ. όπως οι παράμετροι θέσης, μεταβλητότητας, συμμετρίας και κυρτότητας περιγράφονται στο τρίτο κεφάλαιο. Αναφέρονται ακόμα τα είδη ροπών μιας τ.μ. και αποδεικνύονται οι κυριότερες ανισότητες σχετικές με ροπές τ.μ (Markov, Chebyshev, Jese) απαραίτητες σε αρκετές περιπτώσεις για τον υπολογισμό φραγμάτων ζητούμενων πιθανοτήτων. Τέλος δίνεται ο γενικός ορισμός της μέσης τιμής για να γίνει κατανοητή η σύνδεση της Θεωρίας Πιθανοτήτων με την Θεωρία Μέτρου. Το τέταρτο κεφάλαιο αναφέρεται στις πολυδιάστατες τ.μ., τις ροπές τους και τις δεσμευμένες κατανομές. Ορίζεται ο συντελεστής συσχέτισης δύο τ.μ., αποδεικνύονται οι ιδιότητες του και θεωρήματα όπως η ισότητα Bieayme και η ανισότητα Cauchy-Schwarz. Περιγράφεται η ευθεία παλινδρόμησης και η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων. Ορίζεται η χρήσιμη έννοια της δεσμευμένης μέσης τιμής και τέλος αναφέρονται μερικές πολυδιάστατες τ.μ. Στο πρώτο μέρος του πέμπτου κεφαλαίου ορίζεται η ανεξαρτησία τ.μ., έννοια βασική και μια από αυτές που διαφοροποιεί την Θεωρία Πιθανοτήτων από την Θεωρία Μέτρου. Δίνονται ισοδύναμοι ορισμοί της, περιγράφεται η σχέση της ανεξαρτησίας με την μέση τιμή, την δεσμευμένη μέση τιμή, την συσχέτιση τ.μ. κ.α. και αποδεικνύονται οι δύο ταυτότητες του Wald. Στο δεύτερο μέρος δίνεται τρόπος υπολογισμού της κατανομής του αθροίσματος, διαφοράς, γινομένου και πηλίκου τ.μ. Τέλος, στο τρίτο μέρος υπολογίζεται η κατανομή συναρτήσεων τ.μ. (θεωρήματα μετασχηματισμού). Στο έκτο κεφάλαιο δίνεται ο ορισμός της γεννήτριας συνάρτησης. Περιγράφονται τα τρία κυριότερα είδη γεννητριών συναρτήσεων τ.μ. (πιθανογεννήτρια, ροπογεννήτρια, χαρακτηριστική συνάρτηση τ.μ.). Υπολογίζονται οι γεννήτριες συναρτήσεις γνωστών κατανομών και τέλος αποδεικνύονται θεωρήματα που συνδέουν τις γεννήτριες συναρτήσεις με την κατανομή, τις ροπές τ.μ. καθώς και την ανεξαρτησία τ.μ. Στο έβδομο κεφάλαιο περιγράφονται τα διάφορα είδη σύγκλισης τ.μ καθώς και οι τρόποι σύνδεσής τους. Αποδεικνύονται, οριακά θεωρήματα όπως, οι λεγόμενοι νόμοι των μεγάλων αριθμών και το Κεντρικό Οριακό θεώρημα, το

9 xii Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές σπουδαιότερο ίσως θεώρημα που συναντά κανείς στην θεωρία πιθανοτήτων. Τα Οριακά Θεωρήματα μας βοηθούν: (i) στο να προσεγγίσουμε ήδη γνωστές κατανομές με την κανονική κατανομή (Κ.Ο.Θ.), κάνοντας πολλές φορές υπολογισμούς αρκετά εύκολους, (ii) μελετούν την Οριακή συμπεριφορά κατανομών (αναγκαία στο να προσεγγίσουμε κατανομές από άλλες γνωστές κατανομές.) κ.α.. Στο όγδοο κεφάλαιο δίνονται αρχικά οι ορισμοί των βασικών εννοιών της Στατιστικής (πληθυσμός, δείγμα, μεταβλητή, δειγματοληψία, δεδομένα, κ.α.), αναφέρονται οι τρόποι παρουσίασης στατιστικών δεδομένων (στατιστικοί πίνακες, διαγράμματα). Στο δεύτερο μέρος παρουσιάζονται τα κυριότερα στατιστικά περιγραφικά μέτρα (κεντρικής τάσης, διασποράς, ασυμμετρίας, κύρτωσης), δηλαδή αριθμητικές ποσότητες που συνοψίζουν σε μεγάλο βαθμό τις πληροφορίες που περιέχονται στα δεδομένα (ενός δείγματος). Το βιβλίο περιέχει αρκετά λυμένα παραδείγματα ή αντιπαραδείγματα και εφαρμογές, ένα σχεδόν για κάθε νέα έννοια που εισάγεται ή για κάθε θεώρημα ή πρόταση που αποδεικνύεται. Περιέχει ακόμα πάνω από 500 άλυτες ασκήσεις για περαιτέρω εξάσκηση του αναγνώστη. Είναι αποτέλεσμα της μακρόχρονης διδασκαλίας, από τους συγγραφείς, α- ντίστοιχων μαθημάτων σε πανεπιστημιακά τμήματα τόσο της Ελλάδας αλλά και του εξωτερικού. Σκοπός του είναι να γίνει το αρχικό (αλλά συνάμα και αυστηρά Μαθηματικό) μέσο προετοιμασίας για μια παραπέρα πιο προχωρημένη μελέτη στην Θεωρία Πιθανοτήτων. Ευχαριστούμε θερμά όσους βοήθησαν στην συγγραφή του, όπως και τις εκδόσεις Ζήτη για την επιμελημένη έκδοσή του. Χανιά Σεπτέμβρης 2010 Τρύφων Ι. Δάρας Παναγιώτης Θ. Σύψας

10 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 0. Θεωρία Συνόλων, Σ-άλγεβρες Θεωρία Συνόλων Σ-άλγεβρες Ασκήσεις Κεφάλαιο 1. Πιθανότητες Εισαγωγή Πείραμα τύχης (Α) Κλασσικός ορισμός Πιθανότητας (Β) Η σχετική συχνότητα σαν πιθανότητα (Γ) Αξιωματικός ορισμός της Πιθανότητας (κατά Kolmogorov) Συνδυαστική (Α) Βασική Αρχή Απαρίθμησης (Β) Διατάξεις Συνδυασμοί (α) Δειγματοληψία χωρίς επαναλήψεις (β) Δειγματοληψία με επαναλήψεις (Γ) Κατανομή σφαιριδίων σε κελιά (Δ) Μοντέλα στην Στατιστική Μηχανική (Ε) Πρόβλημα των γενεθλίων Δεσμευμένη Πιθανότητα (Α) Πολλαπλασιαστικό Θεώρημα (Β) Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας (Γ) Θεώρημα Bayes (Δ) Υποκειμενική πιθανότητα (Ε) Γεωμετρική Πιθανότητα Ανεξαρτησία (Α) Ανεξαρτησία δύο γεγονότων

11 xiv Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές (Β) Ανεξαρτησία τριών ή περισσότερων γεγονότων (Γ) Αξιοπιστία συστήματος Ασκήσεις Κεφάλαιο 2. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές τυχαίων μεταβλητών Τυχαίες μεταβλητές Διακριτές τ.μ Συνήθεις διακριτές τ.μ (Α) Σταθερή τ.μ (Β) Δείκτρια τ.μ (Γ) Ομοιόμορφη διακριτή κατανομή (Δ) Κατανομή Beroulli (Ε) Διωνυμική κατανομή (ΣΤ) Κατανομή Poisso Προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής από την Poisso (Ζ) Γεωμετρική κατανομή (Η) Αρνητική διωνυμική κατανομή (Θ) Υπεργεωμετρική κατανομή Συνεχείς τ.μ Συνήθεις συνεχείς κατανομές (Α) Ομοιόμορφη κατανομή (Β) Κανονική κατανομή Προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής από την κανονική Προσέγγιση της κατανομής Poisso από την κανονική (Γ) Αρνητική εκθετική κατανομή (Δ) Γάμμα κατανομή (Ε) Βήτα κατανομή (ΣΤ) Κατανομή Weibull (Ζ) Κατανομή Maxwell (Η) Κατανομή Rayleigh (Θ) Λογαριθμική κανονική κατανομή (Ι) Κατανομή του Cauchy (K) Κατανομή του Laplace ή διπλή εκθετική (Λ) Κατανομή Pareto (Μ) t κατανομή ή κατανομή του studet

12 Περιεχόμενα xv (N) F Κατανομή (Ξ) Τριγωνική κατανομή Μετασχηματισμοί τ.μ Ασκήσεις Κεφάλαιο 3. Αριθμητικά χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών Εισαγωγή Μέση τιμή Ροπές Ροπές βασικών κατανομών (Α) Διωνυμική κατανομή (Β) Κατανομή Poisso (Γ) Γεωμετρική κατανομή (Δ) Ομοιόμορφη κατανομή (Ε) Κανονική κατανομή (ΣΤ) Αρνητική εκθετική κατανομή (Ζ) Υπεργεωμετρική κατανομή Ανισότητες Διάμεσος Επικρατούσα τιμή ή κορυφή Ποσοστιαία σημεία Συντελεστής λοξότητας Συντελεστής Κύρτωσης Γενικός ορισμός της μέσης τιμής Ασκήσεις Κεφάλαιο 4. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Πολυδιάστατες τ.μ Διακριτές πολυδιάστατες τ.μ Συνεχείς τ.μ Δεσμευμένες κατανομές (Α) Διακριτές τ.μ (Β) Συνεχείς τ.μ Ροπές πολυδιάστατων τ.μ Ευθεία παλινδρόμησης-μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων

13 xvi Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές 4.7 Δεσμευμένη μέση τιμή Καμπύλη παλινδρόμησης Μερικές πολυδιάστατες κατανομές (Α) κ-διάστατη Πολυωνυμική κατανομή (Β) κ-διάστατη Υπεργεωμετρική κατανομή (Γ) 2-διάστατη Κανονική κατανομή Ασκήσεις Κεφάλαιο 5. Στοχαστική Ανεξαρτησία τυχαίων μεταβλητών Στοχαστική ανεξαρτησία τ.μ Κατανομή αθροίσματος τ.μ Διατεταγμένες στατιστικές συναρτήσεις Κατανομή συναρτήσεων τυχαίων μεταβλητών (Α) Άμεσος υπολογισμός (Β) Θεώρημα μετασχηματισμού Ασκήσεις Κεφάλαιο 6. Γεννήτριες συναρτήσεις Εισαγωγή Πιθανογεννήτριες (Α) Αναμενόμενο μέγεθος του πληθυσμού (Β) Πιθανότητα εξάλειψης Ροπογεννήτριες Χαρακτηριστικές συναρτήσεις Ασκήσεις Κεφάλαιο 7. Σύγκλιση τυχαίων μεταβλητών Οριακά Θεωρήματα Εισαγωγή Σχεδόν βέβαια σύγκλιση Σύγκλιση με την έννοια της πιθανότητας Σύγκλιση με την έννοια της κατανομής Σύγκλιση με την έννοια του τετραγωνικού μέσου Σχέσεις μεταξύ των διαφόρων ειδών συγκλίσεων Νόμοι των Μεγάλων Αριθμών

14 Περιεχόμενα xvii 7.7 Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Ασκήσεις Κεφάλαιο 8. Περιγραφική Στατιστική Εισαγωγή Μεταβλητές Συλλογή στατιστικών στοιχείων Στοιχεία δειγματοληψίας Συλλογή στοιχείων δειγματοληψίας Δειγματοληπτικές μέθοδοι Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων (Α) Στατιστικοί πίνακες (Β) Διαγράμματα Στατιστικά περιγραφικά μέτρα Μέτρα κεντρικής τάσης (Α) Μέτρα τάσης (1) Μέση τιμή (2) Γεωμετρικός μέσος (3) Μέσος Αρμονικός (Β) Μέτρα Θέσης (1) Διάμεσος (2) Τεταρτημόρια (3) Επικρατούσα τιμή Μέτρα διασποράς (Α) Εύρος (Β) Ενδοτεταρτημοριακό εύρος (Γ) Μέση απόλυτη απόκλιση (Δ) Διασπορά-Τυπική απόκλιση Μέτρα ασυμμετρίας (A) Ο πρώτος συντελεστής ασυμμετρίας του Pearso (B) Ο δεύτερος συντελεστής ασυμμετρίας του Pearso (Γ) Ο δείκτης ασυμμετρίας του Yule (Δ) Ο συντελεστής ασυμμετρίας του Pearso (ε) Ο συντελεστής ασυμμετρίας του Fisher Μέτρα κύρτωσης (Α) Ο συντελεστής κύρτωσης του Pearso

15 xviii Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές (Β) Ο συντελεστής κύρτωσης του Fisher (Γ) Ο συντελεστής κύρτωσης του Kelly Ασκήσεις Πίνακες (Α) Διωνυμικοί πίνακες (Β) Πίνακες Poisso (Γ) Κανονική κατανομή (Δ) χι-τετράγωνο κατανομή (Ε) t κατανομή (ΣΤ) Αριθμητικά χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών (Ζ) Γεννήτριες συναρτήσεις κατανομών Βιβλιογραφία Ευρετήριο όρων

16 Θεωρία Συνόλων, σ-άλγεβρες Κεφάλαιο 0 Ένα από τα βασικά εργαλεία που χρησιμοποιούμε στην Θεωρία Πιθανοτήτων είναι η Θεωρία Συνόλων. Δίνουμε παρακάτω μερικούς βασικούς ορισμούς της εν λόγω θεωρίας και αποδεικνύουμε σχετικές προτάσεις. 0.1 Θεωρία Συνόλων Σε ότι ακολουθεί θα αναφερόμαστε σε ένα βασικό σύνολο, το οποίο συμβολίζουμε με Ω, δηλαδή μια συλλογή αντικειμένων καλά ορισμένων και διακεκριμένων μεταξύ τους. Εάν ένα αντικείμενο α ανήκει στο σύνολο Ω, το συμβολίζουμε με α Ω, λέμε ότι είναι στοιχείο του Ω ή μέλος του. Ένα σύνολο Α λέμε ότι είναι υποσύνολο ενός συνόλου Β, συμβολικά Α Β, εάν κάθε στοιχείο του συνόλου Α είναι και στοιχείο του συνόλου Β, δηλαδή εάν α Α έπεται ότι α Β. Όλα τα σύνολα με τα οποία θα ασχοληθούμε, υποθέτουμε ότι είναι υποσύνολα του βασικού συνόλου Ω. Ω Ένας από τους τρόπους για να αντιληφθεί κανείς διαισθητικά (γραφικά) τις βασικές έννοιες της Θεωρίας Συνόλων, είναι τα λεγόμενα διαγράμματα του Ve. Στα διαγράμματα Α αυτά, το βασικό σύνολο Ω παριστάνεται με

17 2 Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, τα δε υποσύνολά του με επίπεδα (κυκλικά συνήθως) κλειστά χωρία. Παρατήρηση Όταν χρησιμοποιεί κανείς τα διαγράμματα του Ve, πρέπει να είναι αρκετά προσεχτικός. Τα διαγράμματα αυτά είναι μια πρώτη ένδειξη του αν ισχύει κάτι, ιδιαίτερα στις ιδιότητες των πράξεων μεταξύ συνόλων που θα ορίσουμε παρακάτω. Δεν αποτελούν όμως (αποδεκτή μαθηματική) απόδειξη, γιατί όταν προσπαθεί να αποδείξει με την βοήθειά τους ιδιότητες σε πλήρη γενικότητα, τα σύνολα δεν είναι συγκεκριμένα οπότε οι αποδείξεις εξαρτώνται από τον τρόπο κατασκευής τους (σε κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις υπάρχουν συνήθως περισσότερα του ενός τέτοια διαγράμματα). Δύο σύνολα Α, Β λέγονται ίσα εάν έχουν τα ίδια στοιχεία, συμβολικά Α=Β. Για να αποδείξουμε ότι δύο σύνολα Α,Β είναι ίσα, αρκεί να δείξουμε ότι A B και B A. Το συμπλήρωμα ενός συνόλου Α, συμβολικά c A, είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α, δηλαδή c A {xω/ x Α}. Α Ω Η ένωση δύο συνόλων Α,Β, συμβολικά A B, είναι το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν σε ένα τουλάχιστον από τα δύο σύνολα, δηλαδή AB={xA η x Β}. Α B Ω Με τον ίδιο τρόπο ορίζεται και η ένωση περισσότερων των δύο συνόλων. Ανάλογα με την περίπτωση συνήθως γράφουμε: 1 2 k k1 (α) για πεπερασμένο πλήθος συνόλων A A... A A (β) για αριθμήσιμο πλήθος συνόλων A1A 2... Ak k1

18 Κεφ. 0: Θεωρία Συνόλων, σ-άλγεβρες 3 (γ) για μια (μη-αριθμήσιμη) οικογένεια συνόλων όπου Ι ένα σύνολο δεικτών. A, ki k Η τομή δύο συνόλων Α,Β, συμβολικά A B, είναι το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των δύο συνόλων, δηλαδή AB={xA και x Β}. Α B Ω Με τον ίδιο τρόπο ορίζεται και η τομή περισσότερων των δύο συνόλων. Ανάλογα με την περίπτωση συνήθως γράφουμε: 1 2 k k1 (α) για πεπερασμένο πλήθος συνόλων A A... A A (β) για αριθμήσιμο πλήθος συνόλων A1A 2... Ak k1 (γ) για μια (μη-αριθμήσιμη) οικογένεια συνόλων όπου Ι ένα σύνολο δεικτών. Ak, ki Πρόταση Η ένωση και η τομή συνόλων ικανοποιούν τις παρακάτω ιδιότητες: (1) (αντιμεταθετική) (α) ABB A (β) ABB A (2) (προσεταιριστική) (α) (AB) Γ A (B Γ) (β) (AB) Γ A (B Γ) (3) (επιμεριστική) (α) A (BΓ) (AB) (A Γ) ή γενικότερα (αʹ) i ii (βʹ) i (β) A (BΓ) (AB) (A Γ) A A (AA ) ii ii A A (AA ) ii i i

19 4 Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές (4) (κανόνες του De Morga) (α) (β) c c c (AB) A B c c c (AB) A B i ii ii ή γενικότερα (αʹ) c A A c Απόδειξη. Αφήνεται σαν άσκηση. k i. ii ii (βʹ) c A A c i Παρατήρηση Οι πράξεις της ένωσης και της τομής πολλές φορές καλούνται δυϊκές, γιατί εάν μια ιδιότητα ισχύει για τις ενώσεις (τομές) συνόλων, τότε εναλλάσσοντας τις ενώσεις (τομές) με τομές (ενώσεις) η πρόταση εξακολουθεί (συνήθως) να ισχύει. Η διαφορά του συνόλου Β από το σύνολο Α, συμβολικά A B, είναι το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν στο Α αλλά όχι στο Β, δηλαδή Ω AB {xa και x Β}. Α B Τα σύνολα A B και B Α δεν είναι ίσα εν γένει. Επίσης c ABΑ Β. Η συμμετρική διαφορά δύο συνόλων Α, Β, συμβολικά A B, είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν σε ένα ακριβώς από τα σύνολα Α,Β, δηλαδή Ω AΔB (A B) (B A) Α B Μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι AΔB (AB) (A B). Το σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο καλείται το κενό σύνολο, συμβολίζεται δε με. Δύο σύνολα Α, Β λέγονται ξένα ή ασυμβίβαστα εάν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, δηλαδή εάν η τομή τους είναι το κενό σύνολο (AB ). Α B Ω

20 Κεφ. 0: Θεωρία Συνόλων, σ-άλγεβρες 5 Ορισμός Εάν Ω,Ω 1 2 δύο σύνολα και AΩ 1,B Ω2, τότε το καρτεσιανό γινόμενο των συνόλων Α και Β, συμβολικά A B, είναι το σύνολο των διατεταγμένων ζευγαριών (x,y) όπου xa, y B, δηλαδή AB {(x,y)/xa, y B}. Στην περίπτωση αυτή σαν Ω θεωρούμε το σύνολο Ω1 Ω2 (δηλαδή Ω= Ω 1 Ω 2 ). Παράδειγμα Εάν A=[α,β], B=[γ,δ], α,β,γ,δ, Ω1Ω2, τότε το A B είναι όλα τα σημεία του (επιπέδου) ορθογωνίου με κορυφές τα σημεία (α,γ), (β,γ), (α,δ), (β,δ). y δ (α,δ) (β,δ) Α B γ (α,γ) (β,γ) α β x Ορισμός Μια ακολουθία συνόλων A (υποσυνόλων του Ω) καλείται αύξουσα, 1 συμβολικά A, εάν A1A 2... A... Ακόμα, μια ακολουθία συνόλων A καλείται φθίνουσα, συμβολικά 1 A, εάν A1A 2... A.... Ορισμός Εάν η ακολουθία συνόλων A A 1 είναι αύξουσα, τότε το όριό της ορίζεται να είναι: lim A k. Εάν η ακολουθία είναι φθίνουσα, τότε το όριό της k1 A ορίζεται να είναι lim A k. k1

21 6 Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές Παράδειγμα Η ακολουθία συνόλων A 1 x /0xx και το όριό της lim A [0,1). Η ακολουθία των συνόλων B 1 x /0xx, 1,2,... είναι φθίνουσα και το όριό της, 1,2,... είναι αύξουσα lim B [0,1]. Ορισμός Το ανώτερο όριο μίας ακολουθίας συνόλων A A limsupa, είναι το σύνολο: A limsupa A 1 k, συμβολικά 1 (0.1.10) Από τον ορισμό του είναι φανερό ότι, το ανώτερο όριο μίας ακολουθίας συνόλων, είναι ισοδύναμα το σύνολο: A limsupa {α Ω/ το α ανήκει σε άπειρο πλήθος από τα A, 1,2,...} k Ορισμός Το κατώτερο όριο μίας ακολουθίας συνόλων A 1, συμβολικά A limif A, είναι το σύνολο: A limifa A (0.1.12) 1 k Από τον ορισμό του είναι φανερό ότι, το κατώτερο όριο μίας ακολουθίας συνόλων, είναι ισοδύναμα το σύνολο: A limif A {α Ω/ το α ανήκει σε όλα εκτός από πεπερασμένο πλήθος από τα A } k Παράδειγμα Εάν τα σύνολα Α,Β είναι υποσύνολα του Ω και ορίσουμε τα σύνολα: A A, A B, 1,2,

22 Κεφ. 0: Θεωρία Συνόλων, σ-άλγεβρες 7 Τότε είναι φανερό ότι limsupa AB, limif A A B. Πρόταση Για μια ακολουθία συνόλων A, ισχύουν τα εξής: 1 (α) A A (β) Εάν η ακολουθία A είναι μονότονη (δηλαδή φθίνουσα ή αύξουσα) 1 τότε: AA lim A. Απόδειξη Εύκολη και αφήνεται σαν άσκηση (προκύπτει άμεσα από τους ορισμούς). 0.2 σ-άλγεβρες Μια από τις έννοιες που είναι απαραίτητη για την αυστηρή (μαθηματική) θεμελίωση της Θεωρίας των Πιθανοτήτων είναι και εκείνη της σ-άλγεβρας. Στην παράγραφο αυτή λοιπόν δίνουμε τον ορισμό μίας σ-άλγεβρας, αναφέρουμε χαρακτηριστικά παραδείγματα και τέλος αποδεικνύουμε μερικές βασικές προτάσεις. Ορισμός (σ-άλγεβρα) Μια κλάση υποσυνόλων του Ω, δηλαδή ένα σύνολο από υποσύνολα του Ω, καλείται σ-άλγεβρα ή σ-σώμα (σ-algebra ή σ-field) εάν ικανοποιούνται οι παρακάτω τρεις ιδιότητες: (Σ1) H κλάση είναι μη-κενή (δηλαδή περιέχει ένα τουλάχιστον υποσύνολο του Ω). (Σ2) Εάν το σύνολο A, τότε συνεπάγεται ότι και το c A. (Σ3) Εάν τα σύνολα A, 1,2,... (αριθμήσιμο πλήθος συνόλων) τότε A k1 έπεται ότι και το σύνολο k.

23 8 Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές Παρατήρηση (α) Εάν η κλάση είναι μία σ-άλγεβρα και τα σύνολα τότε έπεται ότι και το σύνολο Πράγματι, η A, 1,2,..., Ak (αριθμήσιμες τομές). k1 c c Ak Ak k1 k1. Αλλά από το ότι k c A k, k 1,2,... A και είναι μία σ- άλγεβρα έπεται ότι. Από την ιδιότητα (Σ3) έπεται ότι c c c A k, οπότε από την ιδιότητα (Σ2) έπεται ότι Ak Ak. k1 k1 k1 Στην πραγματικότητα η ιδιότητα (Σ3) του ορισμού μίας σ-άλγεβρας, είναι ισοδύναμη με (οπότε μπορεί να αντικατασταθεί από) την: (Σ3ʹ) Εάν τα σύνολα A, 1, 2, (αριθμήσιμο πλήθος συνόλων) τότε έπεται ότι και το σύνολο A. k1 k (β) Εάν η ιδιότητα (Σ3) ισχύει μόνον για πεπερασμένα πλήθη συνόλων, τότε η κλάση καλείται άλγεβρα ή σώμα. (γ) Η ιδιότητα (Σ2) μας αναφέρει ότι μια σ-άλγεβρα είναι κλειστή ως προς τα συμπληρώματα, ενώ η ιδιότητα (Σ3) μας αναφέρει ότι μια σ-άλγεβρα είναι κλειστή ως προς τις αριθμήσιμες ενώσεις συνόλων της (δ) Το (οπότε και το Ω) ανήκει πάντα σε μια, οποιαδήποτε, σ-άλγεβρα του Ω. Παράδειγμα (1) Η κλάση 1 {,Ω} είναι μια σ-άλγεβρα. Είναι η μικρότερη δυνατή και καλείται η τετριμμένη σ-άλγεβρα (trivial σ-algebra). c (2) Η κλάση 2 {,Α,Α,Ω}, όπου A Ω είναι μια σ-άλγεβρα. Είναι η μικρότερη δυνατή, μετά την τετριμμένη σ-άλγεβρα. (3) Η κλάση 3 P (Ω) {όλα τα υποσύνολα του Ω} είναι μια σ-άλγεβρα. Είναι η μεγαλύτερη δυνατή και καλείται δυναμοσύνολο του Ω ή διακριτή σ- άλγεβρα (discrete σ-algebra). (4) Εάν είναι μία σ-άλγεβρα και A Ω, τότε ορίζουμε την κλάση των συνόλων

24 Κεφ. 0: Θεωρία Συνόλων, σ-άλγεβρες 9 A BA/ BAΓ, Γ Η A είναι μία σ-άλγεβρα (υποσυνόλων του Α) και καλείται η σ-άλγεβρα που επάγεται από το σύνολο Α. Δηλαδή το βασικό μας σύνολο Ω αντικαθίσταται από το σύνολο Α και τα συμπληρώματα λαμβάνονται αναφορικά με το σύνολο Α. Παρατήρηση Εάν είναι μια άλγεβρα, τότε η δεν είναι απαραίτητα μια σ-άλγεβρα. (Αντι) Παράδειγμα Θεωρούμε την κλάση των υποσυνόλων ενός συνόλου Ω: c C ={A Ω/Α η Α ειναι πεπερασμενο} Η είναι (πάντα) μια άλγεβρα, αλλά εάν το Ω είναι ένα μη-αριθμήσιμο σύνολο, τότε η δεν είναι μια σ-άλγεβρα. Η σχέση που συνδέει άλγεβρες και σ-άλγεβρες περιγράφεται στην παρακάτω πρόταση. Πρόταση Εάν είναι μια άλγεβρα, τότε η είναι μια σ-άλγεβρα αν και μόνον αν η είναι κλειστή κάτω από τις αριθμήσιμες αύξουσες ενώσεις. [ Δηλαδή: εάν A 1 ( A, 1,2,..., A1 A 2... A... Πρόταση μια αύξουσα ακολουθία στοιχείων της A k1. ] ), τότε: το σύνολο k Εάν για κάθε i I, όπου Ι ένα σύνολο δεικτών, η i είναι μια σ-άλγεβρα, τότε κλάση είναι μια σ-άλγεβρα. ii i Θεώρημα Εάν C είναι μια οποιαδήποτε κλάση υποσυνόλων του Ω, τότε υπάρχει μία μοναδική ελάχιστη (δηλαδή η μικρότερη δυνατή) σ-άλγεβρα που περιέχει την C. Η σ-άλγεβρα καλείται σ-άλγεβρα που παράγεται ή γεννιέται από την κλάση C ( σ-algebra geerated by C ) και συμβολίζεται με =σ(c ).

25 10 Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές Απόδειξη Έστω i η οικογένεια όλων των σ-αλγεβρών που περιέχουν την κλάσηc. ii Η οικογένεια αυτή είναι μη-κενή αφού απαραίτητα περιέχει την διακριτή σ- άλγεβρα. Εάν ορίσουμε ως σ C i τότε από την προηγούμενη πρόταση η είναι μία σ-άλγεβρα. Είναι η μικρότερη δυνατή, αφού κάθε άλλη σ-άλγεβρα που περιέχει την κλάση C, θα είναι μία από τις σ-άλγεβρες j, οπότε σ C. ii i j ii Είναι φανερό ότι η =σ(c ) είναι και μοναδική. Παράδειγμα (α) Είναι φανερό ότι, εάν C είναι μια σ-άλγεβρα, τότε C = σ(c ). (β) Εάν C,Ω. ή C Πρόταση Ω, τότε: C Εάν C1, C 2 είναι δύο κλάσεις υποσυνόλων του Ω, τ.ω. C1C 2, τότε: σ C σ C. 1 2 Παράδειγμα (σ-άλγεβρα του Borel) Εάν Ω και θεωρήσουμε σαν κλάση C την: C ={όλα τα διαστήματα του } = [x,y],(x,y],(x,y),[x,y),[x,+ ), (,x],(x,+ ),(,x): x,y, x<y τότε η σ-άλγεβρα που παράγεται ή γεννιέται από την κλάση C καλείται σ- B. άλγεβρα του Borel στο και συμβολίζεται συνήθως με Παρατήρηση (1) Εάν ορίσουμε τις κλάσεις C C C C C1= [x,y]: x,y, x<y, 2= (x,y]: x,y, x<y C3= (x,y): x,y, x<y, 4= [x,y): x,y, x<y C5=[x,+ ):x, 6=(,x]:x C =(x,+ ):x, =(,x):x 7 8

26 Κεφ. 0: Θεωρία Συνόλων, σ-άλγεβρες 11 Τότε μπορεί να αποδειχθεί ότι η σ-άλγεβρα του Borel παράγεται από κάθε μία από τις παραπάνω κλάσεις. Πράγματι, θα δείξουμε π.χ. ότι η κλάση C 1 παράγει την σ-άλγεβρα του Borel. Κατ αρχάς C 1 C, οπότε έπεται ότι σc 1σC B. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι σc σc 1 ή ότι C σc 1. Τώρα το [x,y]c αλλά και [x,y]c 1. Για να δείξουμε ότι [x,y) σc 1, έστω y y, τότε: + + [x,y)= [x,y ] σ C =1 C. Το [x,+ ) = [x,x ) σ =1 1 1 c Επειδή (,x) =[x,+ ) έπεται ότι (, x) σ 1 + Ακόμα (x,y) = x+ 1,x 1 σ C 1. =1 + C. Επίσης (x,+ ) = (x,x ) σc. Τέλος (x,y] = (,y] (x,+ ) σ 1 =1 1 C. Ανάλογα αποδεικνύεται ότι και κάθε μια από τις υπόλοιπες κλάσεις γεννούν την σ-άλγεβρα του Borel. (2) Η σ-άλγεβρα του Borel είναι ένα γνήσιο υποσύνολο του δυναμοσυνόλου του, δηλαδή B P. Με άλλα λόγια υπάρχουν υποσύνολα του που δεν είναι Borel μετρήσιμα. Παράδειγμα Εάν Ω και θεωρήσουμε την κλάση των συνόλων C ={[x 1,y 1] [x 2,y 2], (x 1,y 1] [x 2,y 2],[x 1,y 1) [x 2,y 2], (x 1,y 1) [x 2,y 2],... (,x 1] (,x 2],(,x 1) (,x 2],(,x 1] (,x 2),(,x 1) (,x 2) [x 1,+ ) [x 2,+ ), (x 1,+ ) [x 2,+ ),[x 1,+ ) (x 2,+ ), (x 1,+ ) (x 2,+ ): x, y,x,y,x<y &x<y} τότε η σ-άλγεβρα που παράγεται ή γεννιέται από την κλάση C καλείται σ- άλγεβρα του Borel στο 2 η σ-άλγεβρα του Borel 2-διαστάσεων και συμβολίζεται συνήθως με B 2. Ανάλογα ορίζεται και η σ-άλγεβρα του Borel k-διαστάσεων.

27 12 Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές 0.3 Ασκήσεις 1. Να δειχθεί ότι ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: (α) ABAAB AB B (β) ABABA B (γ) c c AB A BA B (δ) ABΓΕ AΓB Δ (ε) Εάν ABΓΕAΓ BΔΕ 2. Να αποδείξετε ότι: (α) (β) A limsupa {α Ω/το α ανήκει σε άπειρο πλήθος από τα A, 1,2,...} A limif A {α Ω/το α ανήκει σε όλα εκτός από πεπερασμένο πλήθος από τα A } 3. Εάν η κλάση είναι μια άλγεβρα, τότε δείξτε ότι η: (α), είναι μια αντιμεταθετική ομάδα. (β),, είναι ένας δακτύλιος. 4. Εάν μια κλάση υποσυνόλων ενός συνόλου Ω τέτοια ώστε: (i) Ω (ii) A,Β A Β Δείξτε ότι η είναι μια άλγεβρα 5. Εάν μια κλάση υποσυνόλων ενός συνόλου Ω τέτοια ώστε: (i) Ω c (ii) A A (iii) A,B & AB AB (δηλαδή η κλάση είναι μη-κενή, κλειστή ως προς τα συμπληρώματα και τις πεπερασμένες ξένες ενώσεις). Δείξτε (δίνοντας ένα αντιπαράδειγμα) ότι η δεν είναι απαραίτητα μια άλγεβρα 6. Έστω είναι μια σ-άλγεβρα υποσυνόλων του Ω. Εάν τα σύνολα A,B και η, τότε να δείξετε ότι η περιέχει και τα σύνολα: AB,AB,A B.

28 Κεφάλαιο 2 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές τυχαίων μεταβλητών 2.1 Τυχαίες μεταβλητές Πολλές φορές σε ένα πείραμα τύχης δεν μας ενδιαφέρει ο δειγματοχώρος του (ο οποίος όπως είδαμε μπορεί να είναι ένα οποιοδήποτε σύνολο ακόμα και μηαριθμητικό), αλλά ένα σύνολο το οποίο είναι αποτέλεσμα μιας απεικόνισης (συνάρτησης) των στοιχείων του δειγματοχώρου στους πραγματικούς αριθμούς (μας ενδιαφέρει ένα ποσοτικό χαρακτηριστικό των στοιχείων του Ω). Σχηματικά έχουμε: πείραμα τύχης αποτελέσματα a 1 a 2 X x 2 a 3 x 1 a x 3 Ω x

29 152 Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές Για να γίνει αυτό κατανοητό δίνουμε το παρακάτω παράδειγμα: έστω ότι ρίχνουμε δύο νομίσματα, τότε ως γνωστόν ο δειγματοχώρος του πειράματος είναι ίσος με: Ω {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} Ας υποθέσουμε ότι μας ενδιαφέρει ο αριθμός των Κ τα οποία εμφανίζονται, και ας συμβολίσουμε τον αριθμό αυτό με Χ. Τότε εάν κατά την εκτέλεση του πειράματος συμβεί το γεγονός ΚΚ, η αντίστοιχη τιμή του Χ είναι 2. Εάν συμβεί το γεγονός ΚΓ ή το ΓΚ, η αντίστοιχη τιμή του Χ είναι 1, και εάν τέλος συμβεί το γεγονός ΓΓ η αντίστοιχη τιμή του Χ είναι 0. Έτσι ορίσαμε έναν τρόπο με την βοήθεια του οποίου, σε κάθε δειγματοσημείο αντιστοιχούμε έναν πραγματικό αριθμό, μ άλλα λόγια ορίσαμε μια συνάρτηση Χ με πεδίο ορισμού τον δειγματοχώρο και πεδίο τιμών το υποσύνολο {0, 1, 2} των πραγματικών αριθμών. Αν θεωρήσουμε ότι ένα δοχείο περιέχει λάμπες, μερικές από τις οποίες είναι ελαττωματικές και ας υποθέσουμε ότι διαλέγουμε μια λάμπα, με επανατοποθέτηση, μέχρι ότου διαλέξουμε μία ελαττωματική. Ο δειγματοχώρος του π.τ. είναι: Ω {Ε, ΚΕ, ΚΚΕ,..., ΚΚΚ... ΚΕ,...} Αν μας ενδιαφέρει το πόσες φορές επαναλαμβάνουμε την δειγματοληψία, τότε πάλι ορίζουμε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Ω και πεδίο τιμών το σύνολο {1,2,...,,..} (αριθμήσιμο). Ορισμός Μια τυχαία μεταβλητή Χ (τ.μ.) (radom variable), είναι μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού έναν δειγματοχώρο Ω και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών ( δηλαδή η X: Ω R ). Παρατήρηση (Μετροθεωρητικός ορισμός μιας τ.μ.) Στην πραγματικότητα, εάν θεωρήσουμε μια οποιαδήποτε συνάρτηση X: Ω R, όπου στο δειγματοχώρο Ω έχει οριστεί μια σ-άλγεβρα γεγονότων, τότε η εν λόγω συνάρτηση θεωρείται ότι είναι μια τυχαία μεταβλητή εάν ικανοποιεί την συνθήκη: 1 για κάθε AB, όπου X (A) {ω/χ(ω) A} (2.1.3) B η σ-άλγεβρα του Borel στο. Μια συνάρτηση Χ που ικανοποιεί την συνθήκη αυτή καλείται μετρήσιμη (measurable).

30 Στοχαστική ανεξαρτησία τ.μ. Κεφάλαιο Στοχαστική ανεξαρτησία τ.μ. Η έννοια της ανεξαρτησίας τ.μ είναι μια γενίκευση της έννοιας της ανεξαρτησίας γεγονότων. Είναι από τα πιο χρήσιμα εργαλεία που διαθέτει κανείς στην Θεωρία Πιθανοτήτων. Ορισμός Δύο τ.μ X,X 1 2, ορισμένες στον ίδιο πιθανοθεωρητικό χώρο, καλούνται (στοχαστικά) ανεξάρτητες εάν: B,B 1 2 P{X1B 1,X2B 2}=P{X1B 1} P{X2 B 2} (5.1.2) B, όπου B η σ-άλγεβρα του Borel στο. Ο έλεγχος της ανεξαρτησίας δυο τ.μ γίνεται συνήθως με την βοήθεια ισοδύναμων ορισμών (κριτήρια), μερικά από τα οποία δίνονται στο παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα Έστω X,X 1 2 δύο τ.μ. με α.κ.σ.κ F X,X και α.κ.π.π. 1 2 f X,X. Οι τ.μ X,X είναι (στοχαστικά) ανεξάρτητες εάν και μόνον εάν ισχύει μια από τις παρακάτω σχέσεις:

31 444 Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές (α) P{a<X b, c X d} P{a<X b} P{c X d}, a,b,c,d, a b,c d (β) F (x,x )=F (x ) F (x ), x,x (γ) X,X X1 1 X f (x, x )=f (x ) f (x ), x,x. X,X X1 1 X Απόδειξη (α) ( ) Εάν οι τ.μ. X,X 1 2 είναι ανεξάρτητες και θέσουμε B=(a,b],B 1 2 (c,d] τότε είναι προφανές ότι ισχύει η (α). ( ) Η απόδειξη γίνεται με την βοήθεια ενός συνηθισμένου τρόπου, σε τέτοιες περιπτώσεις, από την θεωρία μέτρου (αποδεικνύουμε την συνεπαγωγή για δείκτριες τ.μ., κατόπιν για μη-αρνητικές τ.μ. και τέλος για τυχούσες τ.μ.). (β) ( ) Εάν a,b,c,d, a b,c d, τότε χρησιμοποιώντας γνωστή ιδιότητα της α.κ.σ.κ. έχουμε: P{aX b,cx d} F (b,d) F (a,d) F (b,c) F (a,c) 1 2 X,X 1 2 X,X 1 2 X,X 1 2 X,X 1 2 F (b)f (d) F (a)f (d) F (b)f (c) F (a)f (c) X1 X2 X1 X2 X1 X2 X1 X2 F X (b) F 1 X (a) 1 F X (d)f 2 X (c) 2 P{a X1b} P{c X2 d} δηλαδή ισχύει η (α) που είναι ισοδύναμη με την ανεξαρτησία. ( ) Εάν οι X,X 1 2 είναι ανεξάρτητες τότε ισχύει η (α). Εάν a,c, a x 1,c x2, τότε P{a<X1x 1, c X2x 2} P{a<X1x 1} P{c X2 x 2}. Παίρνοντας όρια και χρησιμοποιώντας την συνέχεια του πιθανοθεωρητικού μέτρου, έχουμε lim lim P{a X x, c X x } ac lim P{a<X x } lim P{c X x } a - c - P{ X1x 1, X2x 2} P{ X1x 1} P{ X2 x 2} F (x,x ) F (x ) F (x ). X, X 1 2 X 1 X (β)

32 Κεφ. 5: Στοχαστική ανεξαρτησία τ.μ. 445 (γ) ( ) Εάν οι τ.μ. X,X 1 2 είναι ανεξάρτητες και έστω ότι είναι συνεχείς τ.μ, τότε ισχύει η (β), δηλαδή: F (x,x )=F (x ) F (x ), x,x. X,X X1 1 X Παραγωγίζοντας την σχέση ως προς x 1,x 2 (στα σημεία συνέχειας (x 1,x 2) της F X,X (x 1,x 2)), έχουμε: X,X X,X x1x2 f (x,x) F (x,x) F (x ) F (x ) 1 2 F (x)f (x) f (x)f (x). x x x x 2 X 1 X 2 X1 1 X2 2 X1 1 X Ανάλογη είναι και η απόδειξη για διακριτές τ.μ. ( ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι ισχύει η (β). Έστω ότι οι τ.μ. X,X 1 2 είναι συνεχείς, τότε: x1 x2 x1 x2 X 1,X2 1 2 X 1,X X1 1 X x1 x2 f X (t 1 1)dt1 f X (t 2 2)dt2 F X (x 1 1) F X (x 2 2). F (x,x ) f (t,t )dt dt f (t )f (t )dt dt δηλαδή ισχύει η (β), που είναι όπως δείξαμε ισοδύναμη με την ανεξαρτησία. Παρατήρηση (α) Η έννοια της ανεξαρτησίας μπορεί να επεκταθεί σε: (i) οποιοδήποτε πεπερασμένο πλήθος τ.μ. Οι τ.μ. λοιπόν X 1,X 2,...,X, ορισμένες στον ίδιο πιθανοθεωρητικό χώρο, καλούνται (στοχαστικά) ανεξάρτητες εάν: P{X B,X B,...,X B }=P{X B } P{X B } P{X B } B 1,B 2,...,BB. (ii) αριθμήσιμο πλήθος τ.μ. Οι τ.μ. X 1,X 2,...,X,... καλούνται ανεξάρτητες εάν οι τ.μ X,X,...,X, k, i,i,...,i =1,2,..(i... i ) είναι ανε- i i i 1 2 k 1 k 1 1 k

33 446 Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές ξάρτητες (δηλαδή εάν οποιοδήποτε πεπερασμένο πλήθος από τις X,X,...,X,... είναι ανεξάρτητες). 1 2 (β) Είναι εύκολο να δειχθεί ότι, το θεώρημα καθώς και προτάσεις και συμπεράσματα που αναφέρονται στην ανεξαρτησία δύο μεταβλητών, γενικεύονται και ισχύουν στην περίπτωση οποιουδήποτε πεπερασμένου (ακόμα και αριθμήσιμου, με κατάλληλη διατύπωση) πλήθους τ.μ. (γ) Εάν οι τ.μ Χ 1, Χ 2,, Χ είναι ανεξάρτητες, τότε είναι και ανά δύο ανεξάρτητες. Το αντίστροφο δεν ισχύει εν γένει. Γενικότερα ισχύει η εξής πρόταση: Πρόταση Εάν οι τ.μ. X 1,X 2,...,X είναι ανεξάρτητες και f,g είναι δύο μετρήσιμες συναρτήσεις που ορίζονται στο, τότε οι τ.μ. fx 1,X 2,...,X m, gx m+1,...,x είναι ανεξάρτητες. Παράδειγμα Έστω ότι η τ.μ. (X 1,X 2) είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στον μοναδιαίο κύκλο, οπότε η α.κ.π.π. τους είναι ίση με: f X,X 1 2 Εάν θεωρήσουμε τα γεγονότα x +y 1 (x,y)= π. 0 αλλού 2 2 A X 1, B X2, τότε είναι φανερό ότι: PX 1>, X 2> =0 2 2 ενώ P X 2 2 π 1 1 P X 2, δηλαδή PA B PA PB, οπότε λόγω της 5.1.3(α), οι τ.μ. X,X 1 2 δεν είναι ανεξάρτητες.

34 Κεφάλαιο 8 Περιγραφική Στατιστική 8.1 Εισαγωγή Έστω ότι έχουμε ένα σύνολο από αντικείμενα και θέλουμε να το εξετάσουμε ως προς ένα, ή περισσότερα από τα χαρακτηριστικά του. ç Έχουμε τους ψηφοφόρους του Ελληνικού κράτους και θέλουμε να ξέρουμε το ποσοστό εκείνων που πρόκειται να ψηφίσει ένα συγκεκριμένο κόμμα σε μια εκλογική αναμέτρηση ή ç Έχουμε το σύνολο των φοιτητών ενός Πανεπιστημίου και θέλουμε να ξέρουμε τον αριθμό των μαθημάτων που περνούν επιτυχώς σε μια ακαδημαϊκή χρονιά ή ç Έχουμε το σύνολο των ελαστικών αυτοκινήτου που παράγει μια βιομηχανία και θέλουμε να γνωρίζουμε την απόκλιση στην διάρκεια ζωής τους από αυτή που αναφέρει ο εν λόγω κατασκευαστής. Το σύνολο των αντικειμένων ονομάζεται πληθυσμός (populatio), το δε χαρακτηριστικό του, το οποίο μελετάμε το ονομάζουμε μεταβλητή και κάθε ένα από τα αντικείμενα του πληθυσμού καλείται στατιστική μονάδα. Η Στατιστική είναι το κομμάτι εκείνο των Μαθηματικών που ασχολείται με την: συλλογή καταγραφή

35 666 Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές ταξινόμηση ανάλυση παρουσίαση στοιχείων που αφορούν την μεταβλητή ενός πληθυσμού την εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με την μεταβλητή αυτή ή παραμέτρους της. Τα στοιχεία αυτά ονομάζονται (στατιστικά) δεδομένα (data). Το μέρος της Στατιστικής που ασχολείται με: ç την ανάλυση και παρουσίαση των στοιχείων που αφορούν την μεταβλητή του πληθυσμού καλείται Περιγραφική Στατιστική. ç με την εξαγωγή συμπερασμάτων, καλείται Επαγωγική Στατιστική. 8.2 Μεταβλητές Οι μεταβλητές ενός πληθυσμού χωρίζονται σε τρία είδη: ç Ποσοτικές: όταν οι τιμές της μεταβλητής είναι αριθμητικές. Π.χ. ο αριθμός των παιδιών μιας οικογένειας, ο αριθμός των δίσκων (CD) μουσικής που αγοράζει ένας καταναλωτής το ποσό των χρημάτων που ξοδεύει κάποιος στις διακοπές του Οι ποσοτικές μεταβλητές χωρίζονται σε: Διακριτές: αν το πλήθος των τιμών της μεταβλητής είναι πεπερασμένο ή το πολύ αριθμήσιμο. Ο αριθμός των παιδιών μιας οικογένειας ή ο αριθμός των δίσκων (CD) είναι διακριτές μεταβλητές. Συνεχείς: αν το πλήθος των τιμών της μεταβλητής είναι μη-αριθμήσιμο. Το ποσό των χρημάτων ή το ποσό ενός τύπου αποβλήτων που εκπέμπει μια βιομηχανία είναι συνεχείς μεταβλητές (η μεταβλητή μπορεί θεωρητικά να πάρει όλες τις τιμές μεταξύ δύο τιμών). ç Ποιοτικές: οι τιμές της μεταβλητής είναι μη-αριθμητικές και επιδέχονται κάποιου είδους διάταξη π.χ. η διάκριση των καθηγητών ενός πανεπιστημίου σε τακτικούς, αναπληρωτές, επίκουρους ή λέκτορες είναι (υπάρχει ιεράρχηση στα κλιμάκια αυτά) ç Κατηγορικές: οι τιμές της μεταβλητής και σ αυτή την περίπτωση είναι μηαριθμητικές αλλά δεν επιδέχονται κάποιου είδους διάταξη. Π.χ. το χρώμα των μαλλιών ενός ατόμου (μαύρο, καστανό, ξανθό κ.ο.κ.).

36 Κεφ. 8: Περιγραφική Στατιστική Συλλογή στατιστικών στοιχείων Το πρώτο βήμα στην μελέτη της (μιας) μεταβλητής ενός πληθυσμού είναι η συλλογή των στατιστικών δεδομένων, των παρατηρήσεων (τιμών) δηλαδή της μεταβλητής για την οποία ενδιαφερόμαστε. Η συλλογή αυτή μπορεί να γίνει με δύο τρόπους: A. Απογραφή (cesus), όταν τα δεδομένα προκύπτουν από όλες τις μονάδες του πληθυσμού. Μερικά από τα μειονεκτήματα των απογραφών είναι και τα εξής. ç Πολλές φορές αν και μια απογραφή είναι δυνατή είναι άσκοπη π.χ. αν ο ιδιοκτήτης μιας βιοτεχνίας κατασκευής πυροτεχνημάτων ήθελε να γνωρίζει το ποσοστό των πυροτεχνημάτων που είναι ελαττωματικά θα έπρεπε να τα εξετάσει (χρησιμοποιήσει) όλα, πράγμα φυσικά ανώφελο. ç Άλλες φορές, όταν ο πληθυσμός που πρόκειται να εξετάσουμε δεν είναι γνωστός, είναι πρακτικά αδύνατη. ç Το κόστος μιας απογραφής είναι συνήθως υψηλό (απαιτείται ειδική προετοιμασία για την πραγματοποίηση της, καθώς και ένα μεγάλο πλήθος εξειδικευμένων ατόμων για την εκτέλεσή της κ.α.). ç Ο αριθμός των ειδικευμένων ατόμων που απαιτούνται για την πραγματοποίησή της είναι συνήθως μεγάλος με αποτέλεσμα να χρησιμοποιούνται και άτομα μη-ειδικευμένα. Αυτό έχει σαν συνέπεια την ύπαρξη σφαλμάτων στην συλλογή των δεδομένων οπότε έχουμε λάθος εικόνα για χαρακτηριστικά του πληθυσμού. ç Απαιτείται συνήθως αρκετός χρόνος για την επεξεργασία των (τόσο πολλών) δεδομένων, οπότε τα αποτέλεσμα χάνουν την επικαιρότητά τους. Οι απογραφές διακρίνονται ανάλογα με τον τομέα του ενδιαφέροντός μας σε: ç Οικονομικές Απογραφές: στις οποίες συγκεντρώνονται στοιχεία αναφορικά με την οικονομική κατάσταση των στατιστικών μονάδων για τα οποία ενδιαφερόμαστε (π.χ. εισόδημα, δαπάνες, δάνεια κ.λπ.). ç Βιομηχανικές Απογραφές: στις οποίες συγκεντρώνονται στοιχεία αναφορικά με δραστηριότητες των Βιομηχανιών για τις οποίες ενδιαφερόμαστε (π.χ. εξαγωγές, αριθμός εργαζομένων, παραγωγή κ.λπ.). ç Γεωργικές Απογραφές: στις οποίες συγκεντρώνονται στοιχεία αναφορικά με την γεωργική παραγωγή (π.χ. έκταση καλλιεργούμενων εκτάσεων, είδος λι-

37 668 Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές πασμάτων είδος καλλιέργειας κ.λπ.). Απογραφή του πληθυσμού της Ελλάδας, γίνεται κάθε 10 χρόνια (την πρώτη χρονιά κάθε δεκαετίας, 1991, 2001). B. Δειγματοληψία (samplig), όταν τα δεδομένα προκύπτουν από ένα μέρος του πληθυσμού (αντιπροσωπευτικό υποσύνολο), το λεγόμενο δείγμα. Η δειγματοληψία είναι συνήθως προτιμότερη της απογραφής για λόγους: ç κόστους: συνήθως το κόστος είναι μικρότερο λόγω χρήσης μικρότερου αριθμού υπαλλήλων στην διεξαγωγή της έρευνας, λιγότερου υλικού κ.λπ. ç χρόνου: ο χρόνος διεξαγωγής μιας δειγματοληψίας είναι κλάσμα του χρόνου που απαιτείται για μια απογραφή ç ακρίβειας: γίνεται συνήθως καλύτερη εκπαίδευση των ερευνητών που πραγματοποιούν την δειγματοληψία, δίνεται μεγαλύτερη προσοχή σε κάθε μια από τις στατιστικές μονάδες κ.λπ. Στην Ελλάδα στατιστικά στοιχεία συλλέγονται και δημοσιεύονται κυρίως από: ç Την Ανεξάρτητη Στατιστική Αρχή (πρώην Εθνική Στατιστική Υπηρεσία (Ε.Σ.Υ.Ε.)), συλλέγει στοιχεία που αφορούν τους περισσότερους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας τα οποία δημοσιεύει σε έντυπα όπως το μηνιαίο στατιστικό δελτίο και την ετήσια στατιστική επετηρίδα. ç Τις εταιρείες δημοσκόπησης (συλλέγουν συνήθως στοιχεία κατόπιν παραγγελίας των πολιτικών κομμάτων, της τηλεόρασης, των εφημερίδων, των περιοδικών κ.α.) ç Επιστημονικά Ιδρύματα, την Τοπική Αυτοδιοίκηση, Εταιρείες ή ακόμα και μεμονωμένα άτομα. Στις χώρες της Ευρωπαϊκής Ένωσης, στατιστικά στοιχεία συλλέγει και δημοσιεύει η Eurostat. 8.4 Στοιχεία δειγματοληψίας Είδαμε παραπάνω ότι η συλλογή των στατιστικών δεδομένων (παρατηρήσεων) αναφορικά με μια μεταβλητή για την οποία ενδιαφερόμαστε, γίνεται συνήθως από ένα μέρος του πληθυσμού, το οποίο ονομάσαμε δείγμα (sample). Η καταγραφή των δεδομένων από το δείγμα ονομάζεται δειγματοληψία (samplig).

38 Κεφ. 8: Περιγραφική Στατιστική 669 Σκοπός της δειγματοληψίας είναι λοιπόν η επιλογή ενός δείγματος, με την βοήθεια του οποίου θα «προσεγγίσουμε» την περιγραφή της μεταβλητής του πληθυσμού. Σχηματικά, έχουμε: Πληθυσμός Δειγματοληψία Δείγμα Εξαγωγή συμπερασμάτων Μεταβλητή (χαρακτηριστικό πληθυσμού) Μεταβλητή Δεδομένα Ανάλυση Παρουσίαση Απαραίτητη προϋπόθεση για να γενικεύσει κανείς τα συμπεράσματα από το δείγμα στον πληθυσμό, είναι το δείγμα να είναι αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού. Ο σχηματισμός ενός δείγματος γίνεται λαμβάνοντας υπ όψιν: ç Η επιλογή των (στατιστικών) μονάδων ενός δείγματος να γίνεται συνήθως κατά τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε μια από αυτές τις μονάδες αυτές (του πληθυσμού) να έχει την ίδια δυνατότητα (πιθανότητα) να επιλεγεί. Η δειγματοληψία σ αυτή την περίπτωση καλείται τυχαία (radom). Είναι η προτιμότερη από τις δειγματοληψίες γιατί συνήθως παίρνουμε δείγματα αντιπροσωπευτικά και γιατί στην επαγωγή των συμπερασμάτων από το δείγμα στον πληθυσμό χρησιμοποιείται η Θεωρία Πιθανοτήτων.

ISBN 978-960-456-191-9

ISBN 978-960-456-191-9 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-191-9 Copyright, Ιανουάριος 2010, Σέμος Αναστάσιος, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Βοβός - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ISBN 978-96-46-28-9 Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 211 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ Ι. ΠΑΝΑΡΕΤΟΥ & Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγητών του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ (Εισαγωγή στις Πιθανότητες και την Στατιστική Συμπερασματολογία)

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών που εμβαθύνει σε μεθόδους συλλογής δεδομένων, οργάνωσης, παρουσίασης των δεδομένων και εξαγωγής συμπερασμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: 003- ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης Περιγραφική Στατιστική Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο Κ. Πολίτης 1 2 Η στατιστική ασχολείται με τη συλλογή, οργάνωση, παρουσίαση και ανάλυση πληροφοριών. Οι πληροφορίες αυτές, πολύ συχνά αριθμητικές,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις και ενδεχόμενα. Πληθυσμοί και δείγματα

Παρατηρήσεις και ενδεχόμενα. Πληθυσμοί και δείγματα Ενότητα 0 Εισαγωγή Βασικές Έννοιες. Παρατηρήσεις και ενδεχόμενα. Πληθυσμοί και δείγματα Τα δεδομένα με τα οποία ασχολείται η Στατιστική προέρχονται από παρατηρήσεις και πειράματα που εμπίπτουν σε οποιονδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. Δ. Α. Γεωργίου. Μάθημα 1ο

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. Δ. Α. Γεωργίου. Μάθημα 1ο ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Δ. Α. Γεωργίου 1 Εισαγωγή Μαθηματική Θεωρία Μέτρου Εισάγει το μέτρο της αβεβαιότητας για την εξέλιξη των φυσικών φαινομένων Διαισθητική αντίληψη της έννοιας. Τι εννοεί ο μη ειδήμων όταν

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Περιγραφικοί παράµετροι ή περιγραφικά µέτρα Τα περιγραφικά µέτρα διακρίνονται σε: µέτρα θέσης των στατιστικών δεδο- µένων ή παράµετροι κεντρικής τάσης µέτρα διασποράς µέτρα ή συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisagwg Οι δυναμοσειρές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα κατηγορία σειρών. Βρίσκουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στον ορισμό συναρτήσεων καθώς και σε διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ISBN 978-960-456-278-7

ISBN 978-960-456-278-7 ISBN 978-960-456-278-7 Copyright: Δ. Iωαννίδης, Eκδόσεις Zήτη, Μάϊος 2011, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993 όπως έχει

Διαβάστε περισσότερα