ISBN

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ISBN 978-960-456-235-0"

Transcript

1

2 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN Copyright, 2010, Eκδόσεις ZHTH, Τρύφων Ι. Δάρας, Παναγιώτης Θ. Σύψας Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του ελληνικού νόμου (N.2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Βιβλιοδεσία Π. ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας T.Θ Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: Fax: BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ.: , Fax: BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) AΘHNA Tηλ.-Fax: AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Aσκληπιού 60 - Eξάρχεια , Aθήνα Tηλ.-Fax: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

3 Στην Ελενίτσα Χαμόγελο μιάς στιγμής, πολύτιμη παρακαταθήκη μιάς ζωής.

4 Πρόλογος - Ιστορική Ανασκόπηση Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εκτεταμένη εισαγωγή στην Θεωρία Πιθανοτήτων, περιέχει και ένα κεφάλαιο Περιγραφικής Στατιστικής, για να μπορέσει να γίνει αντιληπτή, μια αρχική σχέση μεταξύ των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Η Θεωρία των Πιθανοτήτων, αν και αναπτύχθηκε από την ανάγκη αντιμετώπισης καθημερινών προβλημάτων (ικανότητα «διαχείρισης του κινδύνου»), έχει τις ρίζες της στα τυχερά παιχνίδια (ζάρια, χαρτιά κ.α.). Είναι δύσκολο να πει κανείς πόσο παλιά είναι η συνήθεια να παίζει κάποιος τυχερά παιχνίδια. Επιτραπέζια παιχνίδια τα οποία «περιείχαν» το στοιχείο της τύχης φαίνεται (σε ανασκαφές που έγιναν στις πυραμίδες) να είχαν κατασκευαστεί, στην αρχαία Αίγυπτο από το 3000 π.χ. Το τυχαίο στοιχείο σε αυτά προερχόταν από το ρίξιμο κυρίως των αστραγάλων των προβάτων (κότσια), οι τέσσερες πλευρές των οποίων (στις οποίες μπορούσαν να στηριχθούν) παρίσταναν τους αριθμούς 4, 3, 1 και 6. Τα γνωστά μας ζάρια προήλθαν από αυτά, με λείανση των καμπύλων επιφανειών τους, και κατασκευάστηκαν μάλλον για πρώτη φορά από τους Έλληνες οι οποίοι τα αποκαλούσαν «τέσσερα». Αγγεία που βρέθηκαν, στην Ελλάδα, απεικονίζουν νέους να ρίχνουν οστά μέσα σε μια κυκλική περιοχή. Ακόμα, στην αρχαία Ελληνική μυθολογία αναφέρεται ότι θεοί του Ολύμπου αποφάσιζαν για το ριζικό των ανθρώπων ρίχνοντας ζάρια, όπως επίσης ο Δίας, ο Ποσειδώνας και ο Άδης έγιναν «κυβερνήτες» του ουρανού, της θάλασσας και του κάτω κόσμου αντίστοιχα παίζοντας το σύμπαν σε ένα παιχνίδι με ζάρια. Κυβικά ζάρια φτιαγμένα από κοκάλα ή πηλό βρέθηκαν σε αρχαίους Αιγυπτιακούς και Ελληνικούς τάφους, όπως επίσης στο Ιράκ και την Ινδία. Παιχνίδια με ζάρια ήταν αρκετά δημοφιλή και στην αρχαία Ρώμη. Αναφέρεται ακόμα ότι, ο Πόντιος Πιλάτος έβαλε σε κλήρο τον χιτώνα του Χριστού κατά την διάρκεια της σταύρωσής του. Ο Αριστοτέλης είναι από τους πρώτους που καταπιάστηκαν με θέματα Πιθανοτήτων, θεωρούσε όμως «τυχαίο» κάθε τι το οποίο έχουμε αδυναμία (λόγω έλλειψης γνώσης) να το ερμηνεύσουμε. Ένα πράγμα που φαίνεται παράξενο είναι ότι, αν και οι αρχαίοι Έλληνες είχαν αναπτύξει τα μαθηματικά και τις φυσικές

5 viii Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές επιστήμες σε εξαιρετικό για την εποχή τους βαθμό, εν τούτοις δεν είχαν παρατηρήσει ότι, τα αποτελέσματα ενός παιχνιδιού που επαναλαμβάνεται παρουσιάζουν κάποιες αριθμητικές «κανονικότητες» (σχετικές συχνότητες). Η εξήγηση σε αυτό είναι ότι, τα οστά (ζάρια) που χρησιμοποιούσαν δεν είχαν ακριβώς ομοιόμορφες έδρες ώστε να εμφανίζονται, κατά την ρίψη τους, οι κανονικότητες που αναφέραμε. Λόγω λοιπόν αυτής της αδυναμίας παρατήρησης κανονικοτήτων ή με άλλα λόγια επειδή δεν είχε γίνει αντιληπτό ότι είναι δυνατόν να ποσοτικοποιηθεί η δυνατότητα (πιθανότητα) πραγματοποίησης μελλοντικών γεγονότων, τίποτε σημαντικό δεν έγινε στην Θεωρία των Πιθανοτήτων μέχρι την εποχή του Μεσαίωνα. Γεγονότα που δεν ήταν καθορισμένα, βρίσκονταν πέρα από κάθε ανάλυση και καθορίζονταν από ένα «υπέρτατο ον» (Θεός). Οι πρώτες «δειλές» προσπάθειες ανάπτυξης των πιθανοτήτων φαίνεται να ξεκινούν στα τέλη του 15 ου αιώνα. Το 1494 ο Luca Pacioli, στο βιβλίο του Summa de arithmetica, geometrica proportioi et proportioalita (Τα πάντα για την αριθμητική, την γεωμετρία και τις αναλογίες) δημοσίευσε το πρόβλημα των πόντων, όπως ονομάζεται, και το οποίο αργότερα ήταν μια από τις αρχικές αιτίες ανάπτυξης των Πιθανοτήτων. Το πρόβλημα αναφέρεται στο πως πρέπει να κατανεμηθεί το ποσό ενός στοιχήματος, όταν ένα παιχνίδι πολλών γύρων διακόπτεται χωρία να έχει ολοκληρωθεί. Ο Giralomo Gardaο ( ), αστρολόγος φιλόσοφος φυσικός μαθηματικός και τζογαδόρος είναι αυτός που έγραψε, γύρω στα 1564 αν και το βιβλίο δημοσιεύτηκε εκατό χρόνια αργότερα στα 1663, το πρώτο βιβλίο στις πιθανότητες με τίτλο Liber De Ludo Aleae (Βιβλίο για παιχνίδια με ζάρια). Στο βιβλίο αυτό ανέφερε τεχνικές στο πως να κλέβει κάποιος σε τυχερά παιχνίδια ή πως να καταλάβει ότι άλλοι κλέβουν. Επίσης, σωστά, απαρίθμησε τα αποτελέσματα της ρίψης δύο ζαριών, είναι δε ο πρώτος (μαζί με τον G. Galilaio) που διατύπωσε το ισοπίθανο των εδρών ενός αμερόληπτου ζαριού και επίσης ο πρώτος που εισήγαγε την πιθανότητα με την μορφή κλάσματος, δηλαδή το λόγο του πλήθους των ευνοϊκών περιπτώσεων προς το συνολικό πλήθος των ισοπίθανων περιπτώσεων. Ακόμα διατύπωσε τον προσθετικό νόμο των πιθανοτήτων (ξένα γεγονότα) και τον πολλαπλασιαστικό νόμο των πιθανοτήτων (ανεξάρτητα γεγονότα). Με το πρόβλημα των πόντων καταπιάστηκαν, χωρίς να έχουν ουσιαστική συμβολή στην λύση του και άλλοι μετέπειτα Ιταλοί μαθηματικοί όπως ο Nicolo Tartaglia και ο Lorezo Forestai. Ακόμα, ο Galilei Galilaio στο άρθρο του Sopra le scoperte dei dadi (Περί μιας ανακάλυψης αναφορικά με τα ζάρια) ανέφερε, σωστά όλους τους τρόπους με τους οποίους το άθροισμα τριών ζαριών μπορεί να πάρει την τιμή 9 ή 10. Η συνεισφορά αυτή είναι σημαντική λόγω του ότι, προ-

6 Πρόλογος - Ιστορική Ανασκόπηση ix σέγγισε το για πρώτη φορά πρόβλημα επιστημονικά ξεκινώντας από μια εμπειρική παρατήρηση και αναζήτησε μια μαθηματική εξήγηση γι αυτό. Έθεσε έτσι τα θεμέλια για ότι θα ακολουθούσε στις Πιθανότητες. Στα μέσα του 17 ου αιώνα, ένας επαγγελματίας παίχτης ο Chevalier de Mere απέκτησε αρκετά χρήματα ποντάροντας σε τυχερά παιχνίδια. Στοιχημάτιζε ότι σε 4 ρίψεις ενός ζαριού θα μπορούσε να φέρει τουλάχιστον ένα 6. Σύντομα η φήμη του διαδόθηκε με αποτέλεσμα άλλοι παίκτες να αρνούνται να παίξουν μαζί του το παιχνίδι αυτό. Αποφάσισε λοιπόν ότι χρειαζόταν κάποιο άλλο παιχνίδι για να συνεχίσει να κερδίζει. Σκεφτόμενος «λογικά», θεώρησε ότι θα μπορούσε να φέρει δύο τουλάχιστον 6 σε 24 ρίψεις δύο ζαριών, αλλά η λογική του ήταν λάθος με αποτέλεσμα να χάνει συστηματικά. Ανίκανος να διαπιστώσει τι ήταν λάθος, απευθύνθηκε στον διάσημο μαθηματικό της εποχής του, τον Blaise Pascal ( ). O Pascal ενδιαφέρθηκε και άρχισε να μελετά τις Πιθανότητες. Αλληλογραφούσε με τον Pierre de Fermat, έναν κυβερνητικό υπάλληλο, ο οποίος ασχολιόταν με τα Μαθηματικά από hobby. Στις μεταξύ τους επιστολές ασχολήθηκαν με την ερώτηση του de Mere όπως επίσης και με το πρόβλημα των πόντων. Μαζί διατύπωσαν τις πρώτες βασικές αρχές τις Θεωρίας Πιθανοτήτων. Στα τέλη του 17 ου αιώνα ο Ελβετός Jacob Beroulli ( ) ήταν ο πρώτος που προσπάθησε να μετασχηματίσει, όλα όσα ήταν γνωστά μέχρι τότε για τα τυχερά παιχνίδια, σε μία τυπική μαθηματική θεωρία. Στο βιβλίο του Ars Cojectadi (Η Τέχνη του εικάζειν) διατύπωσε τον κλασσικό ορισμό της πιθανότητας ενός γεγονότος. Ο ορισμός, όπως επίσης και μεγάλο μέρος της ανάπτυξης της Θεωρίας των Πιθανοτήτων βασισμένη στο κλασσικό αυτό ορισμό, πήρε την οριστική του μορφή από τον Pierre de Laplace (Theorie Aalytique des Probabilites). Σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων έπαιξαν επίσης ο Ολλανδός Christia Huyges (De Ratiociiis i Aleae Ludo), ο Gauss και ο de Motmort. Ακόμα, σημαντική είναι η προσφορά, τον 19 ο αιώνα, των Ρώσων Μαθηματικών P.L. Chebyshev, A.A. Markov, A.M. Lyapuov. Στις αρχές του 20 ου αιώνα, η εκτεταμένη χρήση πιθανοθεωρητικών μεθόδων στην Φυσική και την τεχνολογία έκανε επιτακτική την ανάγκη ενός πιο «εκλεπτυσμένου» ορισμού της Πιθανότητας, γεγονός που τονίστηκε και από τον D. Hilbert στον κατάλογο των άλυτων προβλημάτων που παρουσίασε το Μία αποτυχημένη προσπάθεια να δοθεί ένας τέτοιος γενικός ορισμός της πιθανότητας ενός γεγονότος, με την βοήθεια της σχετικής συχνότητας εμφάνισής του, έγινε από τον Γερμανό Richard vo Mises. Η αυστηρά μαθηματική θεμελίωση της θεωρίας των Πιθανοτήτων (μετροθεωρητική προσέγγιση) οφείλεται στον

7 x Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές Ρώσο μαθηματικό A.N. Kolmogorov (The basic otios of the Probability Theory, το 1936 στα Ρώσικα). Η αρχή της Περιγραφικής Στατιστικής μπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε απογραφές που γίνονταν στην Βαβυλώνα και την Αίγυπτο ( πχ). Ο Ρωμαίος αυτοκράτορας Αύγουστος έκανε καταγραφή των γεννήσεων και θανάτων των πολιτών της Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας όπως επίσης της περιουσίας καθενός από αυτούς και του μεγέθους της ετήσιας (τους) σοδειάς όσων ασχολούνταν με την γεωργία. Έτσι στην Αρχαία Ρώμη είχαν αναπτύξει μεθόδους συλλογής, οργάνωσης και τρόπους να συνοψίζουν τα δεδομένα. Κατά την διάρκεια του 14 ου αιώνα άρχισαν να κρατούνται αρχεία των γεννήσεων και θανάτων των πολιτών διαφόρων κοινοτήτων, με κύριο σκοπό τον καθορισμό του κόστους ασφαλειών που έκαναν. Ο Joh Graut ( ) μελέτησε τον αριθμό των ετήσιων γεννήσεων αγοριών και κοριτσιών, παρατήρησε δε ότι ενώ γεννιόνταν περισσότερα αγόρια, περισσότερα πέθαιναν και κατά την διάρκεια του πρώτου έτους της ζωής τους. Ο Gregor Medel ( ) χρησιμοποίησε τις πιθανότητες και την στατιστική στις μελέτες του για την κληρονομικότητα. Ο Fracis Galto ( ) έκανε διαφόρων ειδών συσχετίσεις χρησιμοποιώντας αρακά, σκόρο, σκυλιά και ανθρώπους. Ο Roald Fisher ( ) ανέπτυξε μεθόδους επαγωγικής στατιστικής, πειραματικού σχεδιασμού, εκτίμησης και ανάλυσης διασποράς. Μετά το 1900 η στατιστική αναπτύχθηκε ραγδαία και τέλος με την εξέλιξη της τεχνολογίας και την χρήση Η.Υ. είναι δυνατή πλέον η ταυτόχρονη επεξεργασία μεγάλου πλήθους δεδομένων. Στο βιβλίο αυτό, αν και εισαγωγικό, ορίζονται με αυστηρά μαθηματικά (χρήση θεωρίας μέτρου) οι περισσότερες από τις έννοιες που συναντά κανείς στην Θ.Π., όπως επίσης αποδεικνύονται αναλυτικά (ή δίνονται αναφορές για την απόδειξής τους) θεωρήματα και προτάσεις που σχετίζονται με τις έννοιες αυτές. Προαπαιτούμενο για την μελέτη του είναι η γνώση του περιεχόμενου ενός ή δύο εξαμηνιαίων μαθημάτων απειροστικού λογισμού. Τυχόν αναφορές σε έννοιες, προτάσεις, τρόπους απόδειξης κ.α. από την θεωρία μέτρου παρουσιάζονται εδώ αναλυτικά. Στο πρώτο κεφάλαιο δίνεται αρχικά η έννοια του πειράματος τύχης και κατόπιν της πιθανότητας γεγονότος (με τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις). Στην συνέχεια περιγράφονται τεχνικές απαρίθμησης των στοιχείων ενός συνόλου (Συνδυαστική), απαραίτητες στον υπολογισμό πιθανοτήτων. Ακολουθεί ο ορισμός της έννοιας της δεσμευμένης πιθανότητας γεγονότος και αποδεικνύονται σημαντικά θεωρήματα της Θ.Π. (όπως πολλαπλασιαστικό, ολικής πιθανότητας

8 Πρόλογος - Ιστορική Ανασκόπηση xi και Bayes). Τέλος εξετάζεται η έννοια της ανεξαρτησίας γεγονότων και υπολογίζεται η λεγόμενη αξιοπιστία συστημάτων. Στο δεύτερο κεφάλαιο δίνεται η έννοια της τυχαίας μεταβλητής και ορίζονται ποσότητές της όπως η συνάρτηση κατανομής, η πυκνότητα πιθανότητας και η κατανομή της. Στην συνέχεια αναφέρονται οι κυριότερες διακριτές και συνεχείς κατανομές. Τέλος υπολογίζεται η κατανομή συναρτήσεων τ.μ. (θεώρημα μετασχηματισμού) Τα κυριότερα αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τ.μ. όπως οι παράμετροι θέσης, μεταβλητότητας, συμμετρίας και κυρτότητας περιγράφονται στο τρίτο κεφάλαιο. Αναφέρονται ακόμα τα είδη ροπών μιας τ.μ. και αποδεικνύονται οι κυριότερες ανισότητες σχετικές με ροπές τ.μ (Markov, Chebyshev, Jese) απαραίτητες σε αρκετές περιπτώσεις για τον υπολογισμό φραγμάτων ζητούμενων πιθανοτήτων. Τέλος δίνεται ο γενικός ορισμός της μέσης τιμής για να γίνει κατανοητή η σύνδεση της Θεωρίας Πιθανοτήτων με την Θεωρία Μέτρου. Το τέταρτο κεφάλαιο αναφέρεται στις πολυδιάστατες τ.μ., τις ροπές τους και τις δεσμευμένες κατανομές. Ορίζεται ο συντελεστής συσχέτισης δύο τ.μ., αποδεικνύονται οι ιδιότητες του και θεωρήματα όπως η ισότητα Bieayme και η ανισότητα Cauchy-Schwarz. Περιγράφεται η ευθεία παλινδρόμησης και η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων. Ορίζεται η χρήσιμη έννοια της δεσμευμένης μέσης τιμής και τέλος αναφέρονται μερικές πολυδιάστατες τ.μ. Στο πρώτο μέρος του πέμπτου κεφαλαίου ορίζεται η ανεξαρτησία τ.μ., έννοια βασική και μια από αυτές που διαφοροποιεί την Θεωρία Πιθανοτήτων από την Θεωρία Μέτρου. Δίνονται ισοδύναμοι ορισμοί της, περιγράφεται η σχέση της ανεξαρτησίας με την μέση τιμή, την δεσμευμένη μέση τιμή, την συσχέτιση τ.μ. κ.α. και αποδεικνύονται οι δύο ταυτότητες του Wald. Στο δεύτερο μέρος δίνεται τρόπος υπολογισμού της κατανομής του αθροίσματος, διαφοράς, γινομένου και πηλίκου τ.μ. Τέλος, στο τρίτο μέρος υπολογίζεται η κατανομή συναρτήσεων τ.μ. (θεωρήματα μετασχηματισμού). Στο έκτο κεφάλαιο δίνεται ο ορισμός της γεννήτριας συνάρτησης. Περιγράφονται τα τρία κυριότερα είδη γεννητριών συναρτήσεων τ.μ. (πιθανογεννήτρια, ροπογεννήτρια, χαρακτηριστική συνάρτηση τ.μ.). Υπολογίζονται οι γεννήτριες συναρτήσεις γνωστών κατανομών και τέλος αποδεικνύονται θεωρήματα που συνδέουν τις γεννήτριες συναρτήσεις με την κατανομή, τις ροπές τ.μ. καθώς και την ανεξαρτησία τ.μ. Στο έβδομο κεφάλαιο περιγράφονται τα διάφορα είδη σύγκλισης τ.μ καθώς και οι τρόποι σύνδεσής τους. Αποδεικνύονται, οριακά θεωρήματα όπως, οι λεγόμενοι νόμοι των μεγάλων αριθμών και το Κεντρικό Οριακό θεώρημα, το

9 xii Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές σπουδαιότερο ίσως θεώρημα που συναντά κανείς στην θεωρία πιθανοτήτων. Τα Οριακά Θεωρήματα μας βοηθούν: (i) στο να προσεγγίσουμε ήδη γνωστές κατανομές με την κανονική κατανομή (Κ.Ο.Θ.), κάνοντας πολλές φορές υπολογισμούς αρκετά εύκολους, (ii) μελετούν την Οριακή συμπεριφορά κατανομών (αναγκαία στο να προσεγγίσουμε κατανομές από άλλες γνωστές κατανομές.) κ.α.. Στο όγδοο κεφάλαιο δίνονται αρχικά οι ορισμοί των βασικών εννοιών της Στατιστικής (πληθυσμός, δείγμα, μεταβλητή, δειγματοληψία, δεδομένα, κ.α.), αναφέρονται οι τρόποι παρουσίασης στατιστικών δεδομένων (στατιστικοί πίνακες, διαγράμματα). Στο δεύτερο μέρος παρουσιάζονται τα κυριότερα στατιστικά περιγραφικά μέτρα (κεντρικής τάσης, διασποράς, ασυμμετρίας, κύρτωσης), δηλαδή αριθμητικές ποσότητες που συνοψίζουν σε μεγάλο βαθμό τις πληροφορίες που περιέχονται στα δεδομένα (ενός δείγματος). Το βιβλίο περιέχει αρκετά λυμένα παραδείγματα ή αντιπαραδείγματα και εφαρμογές, ένα σχεδόν για κάθε νέα έννοια που εισάγεται ή για κάθε θεώρημα ή πρόταση που αποδεικνύεται. Περιέχει ακόμα πάνω από 500 άλυτες ασκήσεις για περαιτέρω εξάσκηση του αναγνώστη. Είναι αποτέλεσμα της μακρόχρονης διδασκαλίας, από τους συγγραφείς, α- ντίστοιχων μαθημάτων σε πανεπιστημιακά τμήματα τόσο της Ελλάδας αλλά και του εξωτερικού. Σκοπός του είναι να γίνει το αρχικό (αλλά συνάμα και αυστηρά Μαθηματικό) μέσο προετοιμασίας για μια παραπέρα πιο προχωρημένη μελέτη στην Θεωρία Πιθανοτήτων. Ευχαριστούμε θερμά όσους βοήθησαν στην συγγραφή του, όπως και τις εκδόσεις Ζήτη για την επιμελημένη έκδοσή του. Χανιά Σεπτέμβρης 2010 Τρύφων Ι. Δάρας Παναγιώτης Θ. Σύψας

10 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 0. Θεωρία Συνόλων, Σ-άλγεβρες Θεωρία Συνόλων Σ-άλγεβρες Ασκήσεις Κεφάλαιο 1. Πιθανότητες Εισαγωγή Πείραμα τύχης (Α) Κλασσικός ορισμός Πιθανότητας (Β) Η σχετική συχνότητα σαν πιθανότητα (Γ) Αξιωματικός ορισμός της Πιθανότητας (κατά Kolmogorov) Συνδυαστική (Α) Βασική Αρχή Απαρίθμησης (Β) Διατάξεις Συνδυασμοί (α) Δειγματοληψία χωρίς επαναλήψεις (β) Δειγματοληψία με επαναλήψεις (Γ) Κατανομή σφαιριδίων σε κελιά (Δ) Μοντέλα στην Στατιστική Μηχανική (Ε) Πρόβλημα των γενεθλίων Δεσμευμένη Πιθανότητα (Α) Πολλαπλασιαστικό Θεώρημα (Β) Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας (Γ) Θεώρημα Bayes (Δ) Υποκειμενική πιθανότητα (Ε) Γεωμετρική Πιθανότητα Ανεξαρτησία (Α) Ανεξαρτησία δύο γεγονότων

11 xiv Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές (Β) Ανεξαρτησία τριών ή περισσότερων γεγονότων (Γ) Αξιοπιστία συστήματος Ασκήσεις Κεφάλαιο 2. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές τυχαίων μεταβλητών Τυχαίες μεταβλητές Διακριτές τ.μ Συνήθεις διακριτές τ.μ (Α) Σταθερή τ.μ (Β) Δείκτρια τ.μ (Γ) Ομοιόμορφη διακριτή κατανομή (Δ) Κατανομή Beroulli (Ε) Διωνυμική κατανομή (ΣΤ) Κατανομή Poisso Προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής από την Poisso (Ζ) Γεωμετρική κατανομή (Η) Αρνητική διωνυμική κατανομή (Θ) Υπεργεωμετρική κατανομή Συνεχείς τ.μ Συνήθεις συνεχείς κατανομές (Α) Ομοιόμορφη κατανομή (Β) Κανονική κατανομή Προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής από την κανονική Προσέγγιση της κατανομής Poisso από την κανονική (Γ) Αρνητική εκθετική κατανομή (Δ) Γάμμα κατανομή (Ε) Βήτα κατανομή (ΣΤ) Κατανομή Weibull (Ζ) Κατανομή Maxwell (Η) Κατανομή Rayleigh (Θ) Λογαριθμική κανονική κατανομή (Ι) Κατανομή του Cauchy (K) Κατανομή του Laplace ή διπλή εκθετική (Λ) Κατανομή Pareto (Μ) t κατανομή ή κατανομή του studet

12 Περιεχόμενα xv (N) F Κατανομή (Ξ) Τριγωνική κατανομή Μετασχηματισμοί τ.μ Ασκήσεις Κεφάλαιο 3. Αριθμητικά χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών Εισαγωγή Μέση τιμή Ροπές Ροπές βασικών κατανομών (Α) Διωνυμική κατανομή (Β) Κατανομή Poisso (Γ) Γεωμετρική κατανομή (Δ) Ομοιόμορφη κατανομή (Ε) Κανονική κατανομή (ΣΤ) Αρνητική εκθετική κατανομή (Ζ) Υπεργεωμετρική κατανομή Ανισότητες Διάμεσος Επικρατούσα τιμή ή κορυφή Ποσοστιαία σημεία Συντελεστής λοξότητας Συντελεστής Κύρτωσης Γενικός ορισμός της μέσης τιμής Ασκήσεις Κεφάλαιο 4. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Πολυδιάστατες τ.μ Διακριτές πολυδιάστατες τ.μ Συνεχείς τ.μ Δεσμευμένες κατανομές (Α) Διακριτές τ.μ (Β) Συνεχείς τ.μ Ροπές πολυδιάστατων τ.μ Ευθεία παλινδρόμησης-μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων

13 xvi Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές 4.7 Δεσμευμένη μέση τιμή Καμπύλη παλινδρόμησης Μερικές πολυδιάστατες κατανομές (Α) κ-διάστατη Πολυωνυμική κατανομή (Β) κ-διάστατη Υπεργεωμετρική κατανομή (Γ) 2-διάστατη Κανονική κατανομή Ασκήσεις Κεφάλαιο 5. Στοχαστική Ανεξαρτησία τυχαίων μεταβλητών Στοχαστική ανεξαρτησία τ.μ Κατανομή αθροίσματος τ.μ Διατεταγμένες στατιστικές συναρτήσεις Κατανομή συναρτήσεων τυχαίων μεταβλητών (Α) Άμεσος υπολογισμός (Β) Θεώρημα μετασχηματισμού Ασκήσεις Κεφάλαιο 6. Γεννήτριες συναρτήσεις Εισαγωγή Πιθανογεννήτριες (Α) Αναμενόμενο μέγεθος του πληθυσμού (Β) Πιθανότητα εξάλειψης Ροπογεννήτριες Χαρακτηριστικές συναρτήσεις Ασκήσεις Κεφάλαιο 7. Σύγκλιση τυχαίων μεταβλητών Οριακά Θεωρήματα Εισαγωγή Σχεδόν βέβαια σύγκλιση Σύγκλιση με την έννοια της πιθανότητας Σύγκλιση με την έννοια της κατανομής Σύγκλιση με την έννοια του τετραγωνικού μέσου Σχέσεις μεταξύ των διαφόρων ειδών συγκλίσεων Νόμοι των Μεγάλων Αριθμών

14 Περιεχόμενα xvii 7.7 Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Ασκήσεις Κεφάλαιο 8. Περιγραφική Στατιστική Εισαγωγή Μεταβλητές Συλλογή στατιστικών στοιχείων Στοιχεία δειγματοληψίας Συλλογή στοιχείων δειγματοληψίας Δειγματοληπτικές μέθοδοι Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων (Α) Στατιστικοί πίνακες (Β) Διαγράμματα Στατιστικά περιγραφικά μέτρα Μέτρα κεντρικής τάσης (Α) Μέτρα τάσης (1) Μέση τιμή (2) Γεωμετρικός μέσος (3) Μέσος Αρμονικός (Β) Μέτρα Θέσης (1) Διάμεσος (2) Τεταρτημόρια (3) Επικρατούσα τιμή Μέτρα διασποράς (Α) Εύρος (Β) Ενδοτεταρτημοριακό εύρος (Γ) Μέση απόλυτη απόκλιση (Δ) Διασπορά-Τυπική απόκλιση Μέτρα ασυμμετρίας (A) Ο πρώτος συντελεστής ασυμμετρίας του Pearso (B) Ο δεύτερος συντελεστής ασυμμετρίας του Pearso (Γ) Ο δείκτης ασυμμετρίας του Yule (Δ) Ο συντελεστής ασυμμετρίας του Pearso (ε) Ο συντελεστής ασυμμετρίας του Fisher Μέτρα κύρτωσης (Α) Ο συντελεστής κύρτωσης του Pearso

15 xviii Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές (Β) Ο συντελεστής κύρτωσης του Fisher (Γ) Ο συντελεστής κύρτωσης του Kelly Ασκήσεις Πίνακες (Α) Διωνυμικοί πίνακες (Β) Πίνακες Poisso (Γ) Κανονική κατανομή (Δ) χι-τετράγωνο κατανομή (Ε) t κατανομή (ΣΤ) Αριθμητικά χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών (Ζ) Γεννήτριες συναρτήσεις κατανομών Βιβλιογραφία Ευρετήριο όρων

16 Θεωρία Συνόλων, σ-άλγεβρες Κεφάλαιο 0 Ένα από τα βασικά εργαλεία που χρησιμοποιούμε στην Θεωρία Πιθανοτήτων είναι η Θεωρία Συνόλων. Δίνουμε παρακάτω μερικούς βασικούς ορισμούς της εν λόγω θεωρίας και αποδεικνύουμε σχετικές προτάσεις. 0.1 Θεωρία Συνόλων Σε ότι ακολουθεί θα αναφερόμαστε σε ένα βασικό σύνολο, το οποίο συμβολίζουμε με Ω, δηλαδή μια συλλογή αντικειμένων καλά ορισμένων και διακεκριμένων μεταξύ τους. Εάν ένα αντικείμενο α ανήκει στο σύνολο Ω, το συμβολίζουμε με α Ω, λέμε ότι είναι στοιχείο του Ω ή μέλος του. Ένα σύνολο Α λέμε ότι είναι υποσύνολο ενός συνόλου Β, συμβολικά Α Β, εάν κάθε στοιχείο του συνόλου Α είναι και στοιχείο του συνόλου Β, δηλαδή εάν α Α έπεται ότι α Β. Όλα τα σύνολα με τα οποία θα ασχοληθούμε, υποθέτουμε ότι είναι υποσύνολα του βασικού συνόλου Ω. Ω Ένας από τους τρόπους για να αντιληφθεί κανείς διαισθητικά (γραφικά) τις βασικές έννοιες της Θεωρίας Συνόλων, είναι τα λεγόμενα διαγράμματα του Ve. Στα διαγράμματα Α αυτά, το βασικό σύνολο Ω παριστάνεται με

17 2 Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, τα δε υποσύνολά του με επίπεδα (κυκλικά συνήθως) κλειστά χωρία. Παρατήρηση Όταν χρησιμοποιεί κανείς τα διαγράμματα του Ve, πρέπει να είναι αρκετά προσεχτικός. Τα διαγράμματα αυτά είναι μια πρώτη ένδειξη του αν ισχύει κάτι, ιδιαίτερα στις ιδιότητες των πράξεων μεταξύ συνόλων που θα ορίσουμε παρακάτω. Δεν αποτελούν όμως (αποδεκτή μαθηματική) απόδειξη, γιατί όταν προσπαθεί να αποδείξει με την βοήθειά τους ιδιότητες σε πλήρη γενικότητα, τα σύνολα δεν είναι συγκεκριμένα οπότε οι αποδείξεις εξαρτώνται από τον τρόπο κατασκευής τους (σε κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις υπάρχουν συνήθως περισσότερα του ενός τέτοια διαγράμματα). Δύο σύνολα Α, Β λέγονται ίσα εάν έχουν τα ίδια στοιχεία, συμβολικά Α=Β. Για να αποδείξουμε ότι δύο σύνολα Α,Β είναι ίσα, αρκεί να δείξουμε ότι A B και B A. Το συμπλήρωμα ενός συνόλου Α, συμβολικά c A, είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α, δηλαδή c A {xω/ x Α}. Α Ω Η ένωση δύο συνόλων Α,Β, συμβολικά A B, είναι το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν σε ένα τουλάχιστον από τα δύο σύνολα, δηλαδή AB={xA η x Β}. Α B Ω Με τον ίδιο τρόπο ορίζεται και η ένωση περισσότερων των δύο συνόλων. Ανάλογα με την περίπτωση συνήθως γράφουμε: 1 2 k k1 (α) για πεπερασμένο πλήθος συνόλων A A... A A (β) για αριθμήσιμο πλήθος συνόλων A1A 2... Ak k1

18 Κεφ. 0: Θεωρία Συνόλων, σ-άλγεβρες 3 (γ) για μια (μη-αριθμήσιμη) οικογένεια συνόλων όπου Ι ένα σύνολο δεικτών. A, ki k Η τομή δύο συνόλων Α,Β, συμβολικά A B, είναι το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των δύο συνόλων, δηλαδή AB={xA και x Β}. Α B Ω Με τον ίδιο τρόπο ορίζεται και η τομή περισσότερων των δύο συνόλων. Ανάλογα με την περίπτωση συνήθως γράφουμε: 1 2 k k1 (α) για πεπερασμένο πλήθος συνόλων A A... A A (β) για αριθμήσιμο πλήθος συνόλων A1A 2... Ak k1 (γ) για μια (μη-αριθμήσιμη) οικογένεια συνόλων όπου Ι ένα σύνολο δεικτών. Ak, ki Πρόταση Η ένωση και η τομή συνόλων ικανοποιούν τις παρακάτω ιδιότητες: (1) (αντιμεταθετική) (α) ABB A (β) ABB A (2) (προσεταιριστική) (α) (AB) Γ A (B Γ) (β) (AB) Γ A (B Γ) (3) (επιμεριστική) (α) A (BΓ) (AB) (A Γ) ή γενικότερα (αʹ) i ii (βʹ) i (β) A (BΓ) (AB) (A Γ) A A (AA ) ii ii A A (AA ) ii i i

19 4 Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές (4) (κανόνες του De Morga) (α) (β) c c c (AB) A B c c c (AB) A B i ii ii ή γενικότερα (αʹ) c A A c Απόδειξη. Αφήνεται σαν άσκηση. k i. ii ii (βʹ) c A A c i Παρατήρηση Οι πράξεις της ένωσης και της τομής πολλές φορές καλούνται δυϊκές, γιατί εάν μια ιδιότητα ισχύει για τις ενώσεις (τομές) συνόλων, τότε εναλλάσσοντας τις ενώσεις (τομές) με τομές (ενώσεις) η πρόταση εξακολουθεί (συνήθως) να ισχύει. Η διαφορά του συνόλου Β από το σύνολο Α, συμβολικά A B, είναι το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν στο Α αλλά όχι στο Β, δηλαδή Ω AB {xa και x Β}. Α B Τα σύνολα A B και B Α δεν είναι ίσα εν γένει. Επίσης c ABΑ Β. Η συμμετρική διαφορά δύο συνόλων Α, Β, συμβολικά A B, είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν σε ένα ακριβώς από τα σύνολα Α,Β, δηλαδή Ω AΔB (A B) (B A) Α B Μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι AΔB (AB) (A B). Το σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο καλείται το κενό σύνολο, συμβολίζεται δε με. Δύο σύνολα Α, Β λέγονται ξένα ή ασυμβίβαστα εάν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, δηλαδή εάν η τομή τους είναι το κενό σύνολο (AB ). Α B Ω

20 Κεφ. 0: Θεωρία Συνόλων, σ-άλγεβρες 5 Ορισμός Εάν Ω,Ω 1 2 δύο σύνολα και AΩ 1,B Ω2, τότε το καρτεσιανό γινόμενο των συνόλων Α και Β, συμβολικά A B, είναι το σύνολο των διατεταγμένων ζευγαριών (x,y) όπου xa, y B, δηλαδή AB {(x,y)/xa, y B}. Στην περίπτωση αυτή σαν Ω θεωρούμε το σύνολο Ω1 Ω2 (δηλαδή Ω= Ω 1 Ω 2 ). Παράδειγμα Εάν A=[α,β], B=[γ,δ], α,β,γ,δ, Ω1Ω2, τότε το A B είναι όλα τα σημεία του (επιπέδου) ορθογωνίου με κορυφές τα σημεία (α,γ), (β,γ), (α,δ), (β,δ). y δ (α,δ) (β,δ) Α B γ (α,γ) (β,γ) α β x Ορισμός Μια ακολουθία συνόλων A (υποσυνόλων του Ω) καλείται αύξουσα, 1 συμβολικά A, εάν A1A 2... A... Ακόμα, μια ακολουθία συνόλων A καλείται φθίνουσα, συμβολικά 1 A, εάν A1A 2... A.... Ορισμός Εάν η ακολουθία συνόλων A A 1 είναι αύξουσα, τότε το όριό της ορίζεται να είναι: lim A k. Εάν η ακολουθία είναι φθίνουσα, τότε το όριό της k1 A ορίζεται να είναι lim A k. k1

21 6 Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές Παράδειγμα Η ακολουθία συνόλων A 1 x /0xx και το όριό της lim A [0,1). Η ακολουθία των συνόλων B 1 x /0xx, 1,2,... είναι φθίνουσα και το όριό της, 1,2,... είναι αύξουσα lim B [0,1]. Ορισμός Το ανώτερο όριο μίας ακολουθίας συνόλων A A limsupa, είναι το σύνολο: A limsupa A 1 k, συμβολικά 1 (0.1.10) Από τον ορισμό του είναι φανερό ότι, το ανώτερο όριο μίας ακολουθίας συνόλων, είναι ισοδύναμα το σύνολο: A limsupa {α Ω/ το α ανήκει σε άπειρο πλήθος από τα A, 1,2,...} k Ορισμός Το κατώτερο όριο μίας ακολουθίας συνόλων A 1, συμβολικά A limif A, είναι το σύνολο: A limifa A (0.1.12) 1 k Από τον ορισμό του είναι φανερό ότι, το κατώτερο όριο μίας ακολουθίας συνόλων, είναι ισοδύναμα το σύνολο: A limif A {α Ω/ το α ανήκει σε όλα εκτός από πεπερασμένο πλήθος από τα A } k Παράδειγμα Εάν τα σύνολα Α,Β είναι υποσύνολα του Ω και ορίσουμε τα σύνολα: A A, A B, 1,2,

22 Κεφ. 0: Θεωρία Συνόλων, σ-άλγεβρες 7 Τότε είναι φανερό ότι limsupa AB, limif A A B. Πρόταση Για μια ακολουθία συνόλων A, ισχύουν τα εξής: 1 (α) A A (β) Εάν η ακολουθία A είναι μονότονη (δηλαδή φθίνουσα ή αύξουσα) 1 τότε: AA lim A. Απόδειξη Εύκολη και αφήνεται σαν άσκηση (προκύπτει άμεσα από τους ορισμούς). 0.2 σ-άλγεβρες Μια από τις έννοιες που είναι απαραίτητη για την αυστηρή (μαθηματική) θεμελίωση της Θεωρίας των Πιθανοτήτων είναι και εκείνη της σ-άλγεβρας. Στην παράγραφο αυτή λοιπόν δίνουμε τον ορισμό μίας σ-άλγεβρας, αναφέρουμε χαρακτηριστικά παραδείγματα και τέλος αποδεικνύουμε μερικές βασικές προτάσεις. Ορισμός (σ-άλγεβρα) Μια κλάση υποσυνόλων του Ω, δηλαδή ένα σύνολο από υποσύνολα του Ω, καλείται σ-άλγεβρα ή σ-σώμα (σ-algebra ή σ-field) εάν ικανοποιούνται οι παρακάτω τρεις ιδιότητες: (Σ1) H κλάση είναι μη-κενή (δηλαδή περιέχει ένα τουλάχιστον υποσύνολο του Ω). (Σ2) Εάν το σύνολο A, τότε συνεπάγεται ότι και το c A. (Σ3) Εάν τα σύνολα A, 1,2,... (αριθμήσιμο πλήθος συνόλων) τότε A k1 έπεται ότι και το σύνολο k.

23 8 Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές Παρατήρηση (α) Εάν η κλάση είναι μία σ-άλγεβρα και τα σύνολα τότε έπεται ότι και το σύνολο Πράγματι, η A, 1,2,..., Ak (αριθμήσιμες τομές). k1 c c Ak Ak k1 k1. Αλλά από το ότι k c A k, k 1,2,... A και είναι μία σ- άλγεβρα έπεται ότι. Από την ιδιότητα (Σ3) έπεται ότι c c c A k, οπότε από την ιδιότητα (Σ2) έπεται ότι Ak Ak. k1 k1 k1 Στην πραγματικότητα η ιδιότητα (Σ3) του ορισμού μίας σ-άλγεβρας, είναι ισοδύναμη με (οπότε μπορεί να αντικατασταθεί από) την: (Σ3ʹ) Εάν τα σύνολα A, 1, 2, (αριθμήσιμο πλήθος συνόλων) τότε έπεται ότι και το σύνολο A. k1 k (β) Εάν η ιδιότητα (Σ3) ισχύει μόνον για πεπερασμένα πλήθη συνόλων, τότε η κλάση καλείται άλγεβρα ή σώμα. (γ) Η ιδιότητα (Σ2) μας αναφέρει ότι μια σ-άλγεβρα είναι κλειστή ως προς τα συμπληρώματα, ενώ η ιδιότητα (Σ3) μας αναφέρει ότι μια σ-άλγεβρα είναι κλειστή ως προς τις αριθμήσιμες ενώσεις συνόλων της (δ) Το (οπότε και το Ω) ανήκει πάντα σε μια, οποιαδήποτε, σ-άλγεβρα του Ω. Παράδειγμα (1) Η κλάση 1 {,Ω} είναι μια σ-άλγεβρα. Είναι η μικρότερη δυνατή και καλείται η τετριμμένη σ-άλγεβρα (trivial σ-algebra). c (2) Η κλάση 2 {,Α,Α,Ω}, όπου A Ω είναι μια σ-άλγεβρα. Είναι η μικρότερη δυνατή, μετά την τετριμμένη σ-άλγεβρα. (3) Η κλάση 3 P (Ω) {όλα τα υποσύνολα του Ω} είναι μια σ-άλγεβρα. Είναι η μεγαλύτερη δυνατή και καλείται δυναμοσύνολο του Ω ή διακριτή σ- άλγεβρα (discrete σ-algebra). (4) Εάν είναι μία σ-άλγεβρα και A Ω, τότε ορίζουμε την κλάση των συνόλων

24 Κεφ. 0: Θεωρία Συνόλων, σ-άλγεβρες 9 A BA/ BAΓ, Γ Η A είναι μία σ-άλγεβρα (υποσυνόλων του Α) και καλείται η σ-άλγεβρα που επάγεται από το σύνολο Α. Δηλαδή το βασικό μας σύνολο Ω αντικαθίσταται από το σύνολο Α και τα συμπληρώματα λαμβάνονται αναφορικά με το σύνολο Α. Παρατήρηση Εάν είναι μια άλγεβρα, τότε η δεν είναι απαραίτητα μια σ-άλγεβρα. (Αντι) Παράδειγμα Θεωρούμε την κλάση των υποσυνόλων ενός συνόλου Ω: c C ={A Ω/Α η Α ειναι πεπερασμενο} Η είναι (πάντα) μια άλγεβρα, αλλά εάν το Ω είναι ένα μη-αριθμήσιμο σύνολο, τότε η δεν είναι μια σ-άλγεβρα. Η σχέση που συνδέει άλγεβρες και σ-άλγεβρες περιγράφεται στην παρακάτω πρόταση. Πρόταση Εάν είναι μια άλγεβρα, τότε η είναι μια σ-άλγεβρα αν και μόνον αν η είναι κλειστή κάτω από τις αριθμήσιμες αύξουσες ενώσεις. [ Δηλαδή: εάν A 1 ( A, 1,2,..., A1 A 2... A... Πρόταση μια αύξουσα ακολουθία στοιχείων της A k1. ] ), τότε: το σύνολο k Εάν για κάθε i I, όπου Ι ένα σύνολο δεικτών, η i είναι μια σ-άλγεβρα, τότε κλάση είναι μια σ-άλγεβρα. ii i Θεώρημα Εάν C είναι μια οποιαδήποτε κλάση υποσυνόλων του Ω, τότε υπάρχει μία μοναδική ελάχιστη (δηλαδή η μικρότερη δυνατή) σ-άλγεβρα που περιέχει την C. Η σ-άλγεβρα καλείται σ-άλγεβρα που παράγεται ή γεννιέται από την κλάση C ( σ-algebra geerated by C ) και συμβολίζεται με =σ(c ).

25 10 Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές Απόδειξη Έστω i η οικογένεια όλων των σ-αλγεβρών που περιέχουν την κλάσηc. ii Η οικογένεια αυτή είναι μη-κενή αφού απαραίτητα περιέχει την διακριτή σ- άλγεβρα. Εάν ορίσουμε ως σ C i τότε από την προηγούμενη πρόταση η είναι μία σ-άλγεβρα. Είναι η μικρότερη δυνατή, αφού κάθε άλλη σ-άλγεβρα που περιέχει την κλάση C, θα είναι μία από τις σ-άλγεβρες j, οπότε σ C. ii i j ii Είναι φανερό ότι η =σ(c ) είναι και μοναδική. Παράδειγμα (α) Είναι φανερό ότι, εάν C είναι μια σ-άλγεβρα, τότε C = σ(c ). (β) Εάν C,Ω. ή C Πρόταση Ω, τότε: C Εάν C1, C 2 είναι δύο κλάσεις υποσυνόλων του Ω, τ.ω. C1C 2, τότε: σ C σ C. 1 2 Παράδειγμα (σ-άλγεβρα του Borel) Εάν Ω και θεωρήσουμε σαν κλάση C την: C ={όλα τα διαστήματα του } = [x,y],(x,y],(x,y),[x,y),[x,+ ), (,x],(x,+ ),(,x): x,y, x<y τότε η σ-άλγεβρα που παράγεται ή γεννιέται από την κλάση C καλείται σ- B. άλγεβρα του Borel στο και συμβολίζεται συνήθως με Παρατήρηση (1) Εάν ορίσουμε τις κλάσεις C C C C C1= [x,y]: x,y, x<y, 2= (x,y]: x,y, x<y C3= (x,y): x,y, x<y, 4= [x,y): x,y, x<y C5=[x,+ ):x, 6=(,x]:x C =(x,+ ):x, =(,x):x 7 8

26 Κεφ. 0: Θεωρία Συνόλων, σ-άλγεβρες 11 Τότε μπορεί να αποδειχθεί ότι η σ-άλγεβρα του Borel παράγεται από κάθε μία από τις παραπάνω κλάσεις. Πράγματι, θα δείξουμε π.χ. ότι η κλάση C 1 παράγει την σ-άλγεβρα του Borel. Κατ αρχάς C 1 C, οπότε έπεται ότι σc 1σC B. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι σc σc 1 ή ότι C σc 1. Τώρα το [x,y]c αλλά και [x,y]c 1. Για να δείξουμε ότι [x,y) σc 1, έστω y y, τότε: + + [x,y)= [x,y ] σ C =1 C. Το [x,+ ) = [x,x ) σ =1 1 1 c Επειδή (,x) =[x,+ ) έπεται ότι (, x) σ 1 + Ακόμα (x,y) = x+ 1,x 1 σ C 1. =1 + C. Επίσης (x,+ ) = (x,x ) σc. Τέλος (x,y] = (,y] (x,+ ) σ 1 =1 1 C. Ανάλογα αποδεικνύεται ότι και κάθε μια από τις υπόλοιπες κλάσεις γεννούν την σ-άλγεβρα του Borel. (2) Η σ-άλγεβρα του Borel είναι ένα γνήσιο υποσύνολο του δυναμοσυνόλου του, δηλαδή B P. Με άλλα λόγια υπάρχουν υποσύνολα του που δεν είναι Borel μετρήσιμα. Παράδειγμα Εάν Ω και θεωρήσουμε την κλάση των συνόλων C ={[x 1,y 1] [x 2,y 2], (x 1,y 1] [x 2,y 2],[x 1,y 1) [x 2,y 2], (x 1,y 1) [x 2,y 2],... (,x 1] (,x 2],(,x 1) (,x 2],(,x 1] (,x 2),(,x 1) (,x 2) [x 1,+ ) [x 2,+ ), (x 1,+ ) [x 2,+ ),[x 1,+ ) (x 2,+ ), (x 1,+ ) (x 2,+ ): x, y,x,y,x<y &x<y} τότε η σ-άλγεβρα που παράγεται ή γεννιέται από την κλάση C καλείται σ- άλγεβρα του Borel στο 2 η σ-άλγεβρα του Borel 2-διαστάσεων και συμβολίζεται συνήθως με B 2. Ανάλογα ορίζεται και η σ-άλγεβρα του Borel k-διαστάσεων.

27 12 Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές 0.3 Ασκήσεις 1. Να δειχθεί ότι ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: (α) ABAAB AB B (β) ABABA B (γ) c c AB A BA B (δ) ABΓΕ AΓB Δ (ε) Εάν ABΓΕAΓ BΔΕ 2. Να αποδείξετε ότι: (α) (β) A limsupa {α Ω/το α ανήκει σε άπειρο πλήθος από τα A, 1,2,...} A limif A {α Ω/το α ανήκει σε όλα εκτός από πεπερασμένο πλήθος από τα A } 3. Εάν η κλάση είναι μια άλγεβρα, τότε δείξτε ότι η: (α), είναι μια αντιμεταθετική ομάδα. (β),, είναι ένας δακτύλιος. 4. Εάν μια κλάση υποσυνόλων ενός συνόλου Ω τέτοια ώστε: (i) Ω (ii) A,Β A Β Δείξτε ότι η είναι μια άλγεβρα 5. Εάν μια κλάση υποσυνόλων ενός συνόλου Ω τέτοια ώστε: (i) Ω c (ii) A A (iii) A,B & AB AB (δηλαδή η κλάση είναι μη-κενή, κλειστή ως προς τα συμπληρώματα και τις πεπερασμένες ξένες ενώσεις). Δείξτε (δίνοντας ένα αντιπαράδειγμα) ότι η δεν είναι απαραίτητα μια άλγεβρα 6. Έστω είναι μια σ-άλγεβρα υποσυνόλων του Ω. Εάν τα σύνολα A,B και η, τότε να δείξετε ότι η περιέχει και τα σύνολα: AB,AB,A B.

28 Κεφάλαιο 2 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές τυχαίων μεταβλητών 2.1 Τυχαίες μεταβλητές Πολλές φορές σε ένα πείραμα τύχης δεν μας ενδιαφέρει ο δειγματοχώρος του (ο οποίος όπως είδαμε μπορεί να είναι ένα οποιοδήποτε σύνολο ακόμα και μηαριθμητικό), αλλά ένα σύνολο το οποίο είναι αποτέλεσμα μιας απεικόνισης (συνάρτησης) των στοιχείων του δειγματοχώρου στους πραγματικούς αριθμούς (μας ενδιαφέρει ένα ποσοτικό χαρακτηριστικό των στοιχείων του Ω). Σχηματικά έχουμε: πείραμα τύχης αποτελέσματα a 1 a 2 X x 2 a 3 x 1 a x 3 Ω x

29 152 Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές Για να γίνει αυτό κατανοητό δίνουμε το παρακάτω παράδειγμα: έστω ότι ρίχνουμε δύο νομίσματα, τότε ως γνωστόν ο δειγματοχώρος του πειράματος είναι ίσος με: Ω {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} Ας υποθέσουμε ότι μας ενδιαφέρει ο αριθμός των Κ τα οποία εμφανίζονται, και ας συμβολίσουμε τον αριθμό αυτό με Χ. Τότε εάν κατά την εκτέλεση του πειράματος συμβεί το γεγονός ΚΚ, η αντίστοιχη τιμή του Χ είναι 2. Εάν συμβεί το γεγονός ΚΓ ή το ΓΚ, η αντίστοιχη τιμή του Χ είναι 1, και εάν τέλος συμβεί το γεγονός ΓΓ η αντίστοιχη τιμή του Χ είναι 0. Έτσι ορίσαμε έναν τρόπο με την βοήθεια του οποίου, σε κάθε δειγματοσημείο αντιστοιχούμε έναν πραγματικό αριθμό, μ άλλα λόγια ορίσαμε μια συνάρτηση Χ με πεδίο ορισμού τον δειγματοχώρο και πεδίο τιμών το υποσύνολο {0, 1, 2} των πραγματικών αριθμών. Αν θεωρήσουμε ότι ένα δοχείο περιέχει λάμπες, μερικές από τις οποίες είναι ελαττωματικές και ας υποθέσουμε ότι διαλέγουμε μια λάμπα, με επανατοποθέτηση, μέχρι ότου διαλέξουμε μία ελαττωματική. Ο δειγματοχώρος του π.τ. είναι: Ω {Ε, ΚΕ, ΚΚΕ,..., ΚΚΚ... ΚΕ,...} Αν μας ενδιαφέρει το πόσες φορές επαναλαμβάνουμε την δειγματοληψία, τότε πάλι ορίζουμε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Ω και πεδίο τιμών το σύνολο {1,2,...,,..} (αριθμήσιμο). Ορισμός Μια τυχαία μεταβλητή Χ (τ.μ.) (radom variable), είναι μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού έναν δειγματοχώρο Ω και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών ( δηλαδή η X: Ω R ). Παρατήρηση (Μετροθεωρητικός ορισμός μιας τ.μ.) Στην πραγματικότητα, εάν θεωρήσουμε μια οποιαδήποτε συνάρτηση X: Ω R, όπου στο δειγματοχώρο Ω έχει οριστεί μια σ-άλγεβρα γεγονότων, τότε η εν λόγω συνάρτηση θεωρείται ότι είναι μια τυχαία μεταβλητή εάν ικανοποιεί την συνθήκη: 1 για κάθε AB, όπου X (A) {ω/χ(ω) A} (2.1.3) B η σ-άλγεβρα του Borel στο. Μια συνάρτηση Χ που ικανοποιεί την συνθήκη αυτή καλείται μετρήσιμη (measurable).

30 Στοχαστική ανεξαρτησία τ.μ. Κεφάλαιο Στοχαστική ανεξαρτησία τ.μ. Η έννοια της ανεξαρτησίας τ.μ είναι μια γενίκευση της έννοιας της ανεξαρτησίας γεγονότων. Είναι από τα πιο χρήσιμα εργαλεία που διαθέτει κανείς στην Θεωρία Πιθανοτήτων. Ορισμός Δύο τ.μ X,X 1 2, ορισμένες στον ίδιο πιθανοθεωρητικό χώρο, καλούνται (στοχαστικά) ανεξάρτητες εάν: B,B 1 2 P{X1B 1,X2B 2}=P{X1B 1} P{X2 B 2} (5.1.2) B, όπου B η σ-άλγεβρα του Borel στο. Ο έλεγχος της ανεξαρτησίας δυο τ.μ γίνεται συνήθως με την βοήθεια ισοδύναμων ορισμών (κριτήρια), μερικά από τα οποία δίνονται στο παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα Έστω X,X 1 2 δύο τ.μ. με α.κ.σ.κ F X,X και α.κ.π.π. 1 2 f X,X. Οι τ.μ X,X είναι (στοχαστικά) ανεξάρτητες εάν και μόνον εάν ισχύει μια από τις παρακάτω σχέσεις:

31 444 Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές (α) P{a<X b, c X d} P{a<X b} P{c X d}, a,b,c,d, a b,c d (β) F (x,x )=F (x ) F (x ), x,x (γ) X,X X1 1 X f (x, x )=f (x ) f (x ), x,x. X,X X1 1 X Απόδειξη (α) ( ) Εάν οι τ.μ. X,X 1 2 είναι ανεξάρτητες και θέσουμε B=(a,b],B 1 2 (c,d] τότε είναι προφανές ότι ισχύει η (α). ( ) Η απόδειξη γίνεται με την βοήθεια ενός συνηθισμένου τρόπου, σε τέτοιες περιπτώσεις, από την θεωρία μέτρου (αποδεικνύουμε την συνεπαγωγή για δείκτριες τ.μ., κατόπιν για μη-αρνητικές τ.μ. και τέλος για τυχούσες τ.μ.). (β) ( ) Εάν a,b,c,d, a b,c d, τότε χρησιμοποιώντας γνωστή ιδιότητα της α.κ.σ.κ. έχουμε: P{aX b,cx d} F (b,d) F (a,d) F (b,c) F (a,c) 1 2 X,X 1 2 X,X 1 2 X,X 1 2 X,X 1 2 F (b)f (d) F (a)f (d) F (b)f (c) F (a)f (c) X1 X2 X1 X2 X1 X2 X1 X2 F X (b) F 1 X (a) 1 F X (d)f 2 X (c) 2 P{a X1b} P{c X2 d} δηλαδή ισχύει η (α) που είναι ισοδύναμη με την ανεξαρτησία. ( ) Εάν οι X,X 1 2 είναι ανεξάρτητες τότε ισχύει η (α). Εάν a,c, a x 1,c x2, τότε P{a<X1x 1, c X2x 2} P{a<X1x 1} P{c X2 x 2}. Παίρνοντας όρια και χρησιμοποιώντας την συνέχεια του πιθανοθεωρητικού μέτρου, έχουμε lim lim P{a X x, c X x } ac lim P{a<X x } lim P{c X x } a - c - P{ X1x 1, X2x 2} P{ X1x 1} P{ X2 x 2} F (x,x ) F (x ) F (x ). X, X 1 2 X 1 X (β)

32 Κεφ. 5: Στοχαστική ανεξαρτησία τ.μ. 445 (γ) ( ) Εάν οι τ.μ. X,X 1 2 είναι ανεξάρτητες και έστω ότι είναι συνεχείς τ.μ, τότε ισχύει η (β), δηλαδή: F (x,x )=F (x ) F (x ), x,x. X,X X1 1 X Παραγωγίζοντας την σχέση ως προς x 1,x 2 (στα σημεία συνέχειας (x 1,x 2) της F X,X (x 1,x 2)), έχουμε: X,X X,X x1x2 f (x,x) F (x,x) F (x ) F (x ) 1 2 F (x)f (x) f (x)f (x). x x x x 2 X 1 X 2 X1 1 X2 2 X1 1 X Ανάλογη είναι και η απόδειξη για διακριτές τ.μ. ( ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι ισχύει η (β). Έστω ότι οι τ.μ. X,X 1 2 είναι συνεχείς, τότε: x1 x2 x1 x2 X 1,X2 1 2 X 1,X X1 1 X x1 x2 f X (t 1 1)dt1 f X (t 2 2)dt2 F X (x 1 1) F X (x 2 2). F (x,x ) f (t,t )dt dt f (t )f (t )dt dt δηλαδή ισχύει η (β), που είναι όπως δείξαμε ισοδύναμη με την ανεξαρτησία. Παρατήρηση (α) Η έννοια της ανεξαρτησίας μπορεί να επεκταθεί σε: (i) οποιοδήποτε πεπερασμένο πλήθος τ.μ. Οι τ.μ. λοιπόν X 1,X 2,...,X, ορισμένες στον ίδιο πιθανοθεωρητικό χώρο, καλούνται (στοχαστικά) ανεξάρτητες εάν: P{X B,X B,...,X B }=P{X B } P{X B } P{X B } B 1,B 2,...,BB. (ii) αριθμήσιμο πλήθος τ.μ. Οι τ.μ. X 1,X 2,...,X,... καλούνται ανεξάρτητες εάν οι τ.μ X,X,...,X, k, i,i,...,i =1,2,..(i... i ) είναι ανε- i i i 1 2 k 1 k 1 1 k

33 446 Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές ξάρτητες (δηλαδή εάν οποιοδήποτε πεπερασμένο πλήθος από τις X,X,...,X,... είναι ανεξάρτητες). 1 2 (β) Είναι εύκολο να δειχθεί ότι, το θεώρημα καθώς και προτάσεις και συμπεράσματα που αναφέρονται στην ανεξαρτησία δύο μεταβλητών, γενικεύονται και ισχύουν στην περίπτωση οποιουδήποτε πεπερασμένου (ακόμα και αριθμήσιμου, με κατάλληλη διατύπωση) πλήθους τ.μ. (γ) Εάν οι τ.μ Χ 1, Χ 2,, Χ είναι ανεξάρτητες, τότε είναι και ανά δύο ανεξάρτητες. Το αντίστροφο δεν ισχύει εν γένει. Γενικότερα ισχύει η εξής πρόταση: Πρόταση Εάν οι τ.μ. X 1,X 2,...,X είναι ανεξάρτητες και f,g είναι δύο μετρήσιμες συναρτήσεις που ορίζονται στο, τότε οι τ.μ. fx 1,X 2,...,X m, gx m+1,...,x είναι ανεξάρτητες. Παράδειγμα Έστω ότι η τ.μ. (X 1,X 2) είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στον μοναδιαίο κύκλο, οπότε η α.κ.π.π. τους είναι ίση με: f X,X 1 2 Εάν θεωρήσουμε τα γεγονότα x +y 1 (x,y)= π. 0 αλλού 2 2 A X 1, B X2, τότε είναι φανερό ότι: PX 1>, X 2> =0 2 2 ενώ P X 2 2 π 1 1 P X 2, δηλαδή PA B PA PB, οπότε λόγω της 5.1.3(α), οι τ.μ. X,X 1 2 δεν είναι ανεξάρτητες.

34 Κεφάλαιο 8 Περιγραφική Στατιστική 8.1 Εισαγωγή Έστω ότι έχουμε ένα σύνολο από αντικείμενα και θέλουμε να το εξετάσουμε ως προς ένα, ή περισσότερα από τα χαρακτηριστικά του. ç Έχουμε τους ψηφοφόρους του Ελληνικού κράτους και θέλουμε να ξέρουμε το ποσοστό εκείνων που πρόκειται να ψηφίσει ένα συγκεκριμένο κόμμα σε μια εκλογική αναμέτρηση ή ç Έχουμε το σύνολο των φοιτητών ενός Πανεπιστημίου και θέλουμε να ξέρουμε τον αριθμό των μαθημάτων που περνούν επιτυχώς σε μια ακαδημαϊκή χρονιά ή ç Έχουμε το σύνολο των ελαστικών αυτοκινήτου που παράγει μια βιομηχανία και θέλουμε να γνωρίζουμε την απόκλιση στην διάρκεια ζωής τους από αυτή που αναφέρει ο εν λόγω κατασκευαστής. Το σύνολο των αντικειμένων ονομάζεται πληθυσμός (populatio), το δε χαρακτηριστικό του, το οποίο μελετάμε το ονομάζουμε μεταβλητή και κάθε ένα από τα αντικείμενα του πληθυσμού καλείται στατιστική μονάδα. Η Στατιστική είναι το κομμάτι εκείνο των Μαθηματικών που ασχολείται με την: συλλογή καταγραφή

35 666 Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές ταξινόμηση ανάλυση παρουσίαση στοιχείων που αφορούν την μεταβλητή ενός πληθυσμού την εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με την μεταβλητή αυτή ή παραμέτρους της. Τα στοιχεία αυτά ονομάζονται (στατιστικά) δεδομένα (data). Το μέρος της Στατιστικής που ασχολείται με: ç την ανάλυση και παρουσίαση των στοιχείων που αφορούν την μεταβλητή του πληθυσμού καλείται Περιγραφική Στατιστική. ç με την εξαγωγή συμπερασμάτων, καλείται Επαγωγική Στατιστική. 8.2 Μεταβλητές Οι μεταβλητές ενός πληθυσμού χωρίζονται σε τρία είδη: ç Ποσοτικές: όταν οι τιμές της μεταβλητής είναι αριθμητικές. Π.χ. ο αριθμός των παιδιών μιας οικογένειας, ο αριθμός των δίσκων (CD) μουσικής που αγοράζει ένας καταναλωτής το ποσό των χρημάτων που ξοδεύει κάποιος στις διακοπές του Οι ποσοτικές μεταβλητές χωρίζονται σε: Διακριτές: αν το πλήθος των τιμών της μεταβλητής είναι πεπερασμένο ή το πολύ αριθμήσιμο. Ο αριθμός των παιδιών μιας οικογένειας ή ο αριθμός των δίσκων (CD) είναι διακριτές μεταβλητές. Συνεχείς: αν το πλήθος των τιμών της μεταβλητής είναι μη-αριθμήσιμο. Το ποσό των χρημάτων ή το ποσό ενός τύπου αποβλήτων που εκπέμπει μια βιομηχανία είναι συνεχείς μεταβλητές (η μεταβλητή μπορεί θεωρητικά να πάρει όλες τις τιμές μεταξύ δύο τιμών). ç Ποιοτικές: οι τιμές της μεταβλητής είναι μη-αριθμητικές και επιδέχονται κάποιου είδους διάταξη π.χ. η διάκριση των καθηγητών ενός πανεπιστημίου σε τακτικούς, αναπληρωτές, επίκουρους ή λέκτορες είναι (υπάρχει ιεράρχηση στα κλιμάκια αυτά) ç Κατηγορικές: οι τιμές της μεταβλητής και σ αυτή την περίπτωση είναι μηαριθμητικές αλλά δεν επιδέχονται κάποιου είδους διάταξη. Π.χ. το χρώμα των μαλλιών ενός ατόμου (μαύρο, καστανό, ξανθό κ.ο.κ.).

36 Κεφ. 8: Περιγραφική Στατιστική Συλλογή στατιστικών στοιχείων Το πρώτο βήμα στην μελέτη της (μιας) μεταβλητής ενός πληθυσμού είναι η συλλογή των στατιστικών δεδομένων, των παρατηρήσεων (τιμών) δηλαδή της μεταβλητής για την οποία ενδιαφερόμαστε. Η συλλογή αυτή μπορεί να γίνει με δύο τρόπους: A. Απογραφή (cesus), όταν τα δεδομένα προκύπτουν από όλες τις μονάδες του πληθυσμού. Μερικά από τα μειονεκτήματα των απογραφών είναι και τα εξής. ç Πολλές φορές αν και μια απογραφή είναι δυνατή είναι άσκοπη π.χ. αν ο ιδιοκτήτης μιας βιοτεχνίας κατασκευής πυροτεχνημάτων ήθελε να γνωρίζει το ποσοστό των πυροτεχνημάτων που είναι ελαττωματικά θα έπρεπε να τα εξετάσει (χρησιμοποιήσει) όλα, πράγμα φυσικά ανώφελο. ç Άλλες φορές, όταν ο πληθυσμός που πρόκειται να εξετάσουμε δεν είναι γνωστός, είναι πρακτικά αδύνατη. ç Το κόστος μιας απογραφής είναι συνήθως υψηλό (απαιτείται ειδική προετοιμασία για την πραγματοποίηση της, καθώς και ένα μεγάλο πλήθος εξειδικευμένων ατόμων για την εκτέλεσή της κ.α.). ç Ο αριθμός των ειδικευμένων ατόμων που απαιτούνται για την πραγματοποίησή της είναι συνήθως μεγάλος με αποτέλεσμα να χρησιμοποιούνται και άτομα μη-ειδικευμένα. Αυτό έχει σαν συνέπεια την ύπαρξη σφαλμάτων στην συλλογή των δεδομένων οπότε έχουμε λάθος εικόνα για χαρακτηριστικά του πληθυσμού. ç Απαιτείται συνήθως αρκετός χρόνος για την επεξεργασία των (τόσο πολλών) δεδομένων, οπότε τα αποτέλεσμα χάνουν την επικαιρότητά τους. Οι απογραφές διακρίνονται ανάλογα με τον τομέα του ενδιαφέροντός μας σε: ç Οικονομικές Απογραφές: στις οποίες συγκεντρώνονται στοιχεία αναφορικά με την οικονομική κατάσταση των στατιστικών μονάδων για τα οποία ενδιαφερόμαστε (π.χ. εισόδημα, δαπάνες, δάνεια κ.λπ.). ç Βιομηχανικές Απογραφές: στις οποίες συγκεντρώνονται στοιχεία αναφορικά με δραστηριότητες των Βιομηχανιών για τις οποίες ενδιαφερόμαστε (π.χ. εξαγωγές, αριθμός εργαζομένων, παραγωγή κ.λπ.). ç Γεωργικές Απογραφές: στις οποίες συγκεντρώνονται στοιχεία αναφορικά με την γεωργική παραγωγή (π.χ. έκταση καλλιεργούμενων εκτάσεων, είδος λι-

37 668 Πιθανότητες και Στατιστική Θεωρία και εφαρμογές πασμάτων είδος καλλιέργειας κ.λπ.). Απογραφή του πληθυσμού της Ελλάδας, γίνεται κάθε 10 χρόνια (την πρώτη χρονιά κάθε δεκαετίας, 1991, 2001). B. Δειγματοληψία (samplig), όταν τα δεδομένα προκύπτουν από ένα μέρος του πληθυσμού (αντιπροσωπευτικό υποσύνολο), το λεγόμενο δείγμα. Η δειγματοληψία είναι συνήθως προτιμότερη της απογραφής για λόγους: ç κόστους: συνήθως το κόστος είναι μικρότερο λόγω χρήσης μικρότερου αριθμού υπαλλήλων στην διεξαγωγή της έρευνας, λιγότερου υλικού κ.λπ. ç χρόνου: ο χρόνος διεξαγωγής μιας δειγματοληψίας είναι κλάσμα του χρόνου που απαιτείται για μια απογραφή ç ακρίβειας: γίνεται συνήθως καλύτερη εκπαίδευση των ερευνητών που πραγματοποιούν την δειγματοληψία, δίνεται μεγαλύτερη προσοχή σε κάθε μια από τις στατιστικές μονάδες κ.λπ. Στην Ελλάδα στατιστικά στοιχεία συλλέγονται και δημοσιεύονται κυρίως από: ç Την Ανεξάρτητη Στατιστική Αρχή (πρώην Εθνική Στατιστική Υπηρεσία (Ε.Σ.Υ.Ε.)), συλλέγει στοιχεία που αφορούν τους περισσότερους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας τα οποία δημοσιεύει σε έντυπα όπως το μηνιαίο στατιστικό δελτίο και την ετήσια στατιστική επετηρίδα. ç Τις εταιρείες δημοσκόπησης (συλλέγουν συνήθως στοιχεία κατόπιν παραγγελίας των πολιτικών κομμάτων, της τηλεόρασης, των εφημερίδων, των περιοδικών κ.α.) ç Επιστημονικά Ιδρύματα, την Τοπική Αυτοδιοίκηση, Εταιρείες ή ακόμα και μεμονωμένα άτομα. Στις χώρες της Ευρωπαϊκής Ένωσης, στατιστικά στοιχεία συλλέγει και δημοσιεύει η Eurostat. 8.4 Στοιχεία δειγματοληψίας Είδαμε παραπάνω ότι η συλλογή των στατιστικών δεδομένων (παρατηρήσεων) αναφορικά με μια μεταβλητή για την οποία ενδιαφερόμαστε, γίνεται συνήθως από ένα μέρος του πληθυσμού, το οποίο ονομάσαμε δείγμα (sample). Η καταγραφή των δεδομένων από το δείγμα ονομάζεται δειγματοληψία (samplig).

38 Κεφ. 8: Περιγραφική Στατιστική 669 Σκοπός της δειγματοληψίας είναι λοιπόν η επιλογή ενός δείγματος, με την βοήθεια του οποίου θα «προσεγγίσουμε» την περιγραφή της μεταβλητής του πληθυσμού. Σχηματικά, έχουμε: Πληθυσμός Δειγματοληψία Δείγμα Εξαγωγή συμπερασμάτων Μεταβλητή (χαρακτηριστικό πληθυσμού) Μεταβλητή Δεδομένα Ανάλυση Παρουσίαση Απαραίτητη προϋπόθεση για να γενικεύσει κανείς τα συμπεράσματα από το δείγμα στον πληθυσμό, είναι το δείγμα να είναι αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού. Ο σχηματισμός ενός δείγματος γίνεται λαμβάνοντας υπ όψιν: ç Η επιλογή των (στατιστικών) μονάδων ενός δείγματος να γίνεται συνήθως κατά τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε μια από αυτές τις μονάδες αυτές (του πληθυσμού) να έχει την ίδια δυνατότητα (πιθανότητα) να επιλεγεί. Η δειγματοληψία σ αυτή την περίπτωση καλείται τυχαία (radom). Είναι η προτιμότερη από τις δειγματοληψίες γιατί συνήθως παίρνουμε δείγματα αντιπροσωπευτικά και γιατί στην επαγωγή των συμπερασμάτων από το δείγμα στον πληθυσμό χρησιμοποιείται η Θεωρία Πιθανοτήτων.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-353-1 Copyright: Π. Δ. Τσαχαγέας, Eκδόσεις ZHTH, Θεσσαλονίκη, 2012 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

ISBN 978-960-456-278-7

ISBN 978-960-456-278-7 ISBN 978-960-456-278-7 Copyright: Δ. Iωαννίδης, Eκδόσεις Zήτη, Μάϊος 2011, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993 όπως έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Περιγραφικοί παράµετροι ή περιγραφικά µέτρα Τα περιγραφικά µέτρα διακρίνονται σε: µέτρα θέσης των στατιστικών δεδο- µένων ή παράµετροι κεντρικής τάσης µέτρα διασποράς µέτρα ή συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η κανονική κατανομή ανακαλύφθηκε γύρω στο 720 από τον Abraham De Moivre στην προσπάθειά του να διαμορφώσει Μαθηματικά που να εξηγούν την τυχαιότητα. Γύρω στο 870, ο Βέλγος

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

3. Η Έννοια και Βασικές Ιδιότητες της Πιθανότητας

3. Η Έννοια και Βασικές Ιδιότητες της Πιθανότητας 3 Η Έννοια και Βασικές Ιδιότητες της Πιθανότητας Όπως ήδη έχουμε αναφέρει στην εισαγωγική ενότητα αλλά και όπως θα διαπιστώσουμε στις ενότητες που ακολουθούν, βεβαιότητες για συμπεράσματα που αφορούν σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Αν το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι - ένας αριθμός R, τότε μπορεί να εκφραστεί με μία τ.μ. Χ R - αριθμοί R τότε μπορεί να εκφραστεί με ένα τ.δ. Χ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Πιθανότητας

Βασικές Έννοιες Πιθανότητας Βασικές Έννοιες Πιθανότητας 0 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ, ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ, ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα.. Δειγματοχώρος και Δειγματοσημεία..3 Σύνθετος Δειγματοχώρος...4

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Η καταληκτική ημερομηνία για την παραλαβή

Διαβάστε περισσότερα

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress.

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress. 3-4 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ttp://cutemats.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η παρούσα εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-07 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Με σκοπό την καλύτερη μελέτη τους και ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους, τα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Άσκηση Φ8.1 Τρεις λαμπτήρες επιλέγονται τυχαία από ένα σύνολο 15 λαμπτήρων εκ των οποίων οι 5 είναι ελαττωματικοί. (α) Βρέστε την πιθανότητα κανείς από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Τµήµα Επιστήµης και Τεχνολογίας Υλικών Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Νίκος Λαζαρίδης Για το µάθηµα Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά (ΤΕΤΥ 116) Αναθεώρηση, συµπληρώσεις : Μαρία Καφεσάκη 1 Κεφάλαιο 1: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 22559 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 1561 17 Αυγούστου 2007 ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Αριθμ. 85038/Γ2 Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών του Τομέα Οικονομικών και Διοικητικών Υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ Επιλογή κειμένων των καθηγητών: Μ. GRAWITZ Καθηγήτρια Κοινωνιολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998!

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998! Η Κατανομή Poisso Ας δούμε ένα πρόβημα: Σε μια κτηνοτροφική περιοχή υπάρχουν 3 αιγοπρόβατα. Κάθε χρόνο όα τα αιγοπρόβατα εμβοιάζονται για προστασία από κάποια ασθένεια. Σύμφωνα με την άδεια χρήσης του

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Κεφ. I Εισαγωγή.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Η ανάγκη µαθηµατικής περιγραφής και µοντελοποίησης συστηµάτων τα οποία εξελίσσονται χρονικά κατά τρόπο που περιέχει, σε µικρό ή µεγάλο βαθµό, τυχαιότητα,

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2014-2015 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ A.0. Σύνολα Μια οποιαδήποτε συλλογή αντικειμένων λέγεται * ότι είναι ένα σύνολο και τα αντικείμενα λέγονται στοιχεία του συνόλου. Αν με Α συμβολίσουμε ένα σύνολο και α είναι

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα