2. Πόσες διαφορετικές αντιστοιχίσεις 1-1 υπάρχουν μεταξύ δύο συνόλων με: Β. 8 στοιχεία το καθένα

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ Χειµερινό Εξάµηνο Ρόδος, εκέµβριος 2014 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Ι ΑΚΤΙΚΗΣ και ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Μάθηµα: ΥΓ00003 "ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΒΑΣΕΙΣ και στις ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι" ιδάσκων: Ευγένιος Αυγερινός Εργασία Προόδου #2 φυλλάδιο 1 αϖό 2 ίνονται Οµάδες Ερωτήσεων, Προβληµάτων και Ασκήσεων, Παρακαλούµε να απαντήσετε µε προσοχή δίνοντας έµφαση σε όσα ακούσατε στις διαλέξεις του µαθήµατος, αλλά και σε όσα µπορείτε να βρείτε στα αντίστοιχα κεφάλαια των συγγραµµάτων της προτεινόµενης βιβλιογραφίας. Θα πρέπει να απαντήσετε: ΟΛΟΙ οι φοιτητες σε όλα τα προβληµατα της ΟΜαδας Η Και οι φοιτητές µε άρτιο αριθµό µητρώου σε τέσσερις από τις άρτια αριθµηµένες Ασκήσεις Προβληµατα, Ερωτησεις της αρεσκείας σας ολων των Οµάδων (δηλ 4 από κάθε οµαδα) και οι φοιτητές µε περιττό αριθµό µητρώου σε τέσσερις από τις περιττά αριθµηµένες Ασκήσεις Προβληµατα, Ερωτησεις της αρεσκείας σας ολων των Οµάδων (δηλ 4 από κάθε οµαδα) Παράδοση Εργασίας Η Εργασία Προόδου #2 (και τα δυο φυλλάδια) θα πρέπει να παραδοθεί την ευτέρα 26 Ιανουαρίου 2014 και ώρες στο Εργαστήριο Μαθηµατικών στον 1ο όροφο στο κτήριο 7 η ς Μαρτίου. Ρόδος, ΕΥΤΕΡΑ 1 εκεµβρίου 2014 Για το Εργαστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Ι ΑΚΤΙΚΗΣ και Πολυµέσων Ευγένιος Αυγερινός ήµητρα Ρεµούνδου Ελένη Χρυσαφινα 1

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΗΘΟΣΥΝΟΛΩΝ-ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ Οµάδα Α 1. Να γίνει η γραφική (καρτεσιανή) αναπαράσταση των εξής σχέσεων: R 1 = {(x, y) R 2 : -1 x 1, -3 y 2} R 2 = {(x, y) N 2 : 1 x 2, 2 y 3} R 3 = {(x, y) Z 2 : x 2, y 3} R 4 = {(x, y) R 2 : -1 < x < 4, -3 < y 2} R 5 = {(x, y) R 2 : y < x 2, -1 x 1} 2. Να γίνει η γραφική παράσταση των εξής σχέσεων: 3 0, x 0 x, x 0 y = f(x) = { y = f(x) = { 2 2 x, x> 0 x, x< 0 R 1 = {(x, y) R 2 : y 2 y y 1, y 1 = x 2, y 2 = -x 3 } R 2 = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4} R 3 = {(x, y) R 2 : 1 x 2 + y 2 4} R 4 = {(x, y) R 2 : xy 1} 3. Όµοιως: S 1 = {(x, y) R 2 : (x 1) 2 + (y + 3) 2 9} S 2 = {(x, y) Ζ 2 : x + y > 1 x > 0} S 3 = {(x, y) Ρ 2 : x + y > 1 x > 0} 4. Όµοιως: S 1 = {(x, y) R 2 : (x + 1) 2 + (y -5) 2 9} S 2 = {(x, y) R 2 : 2x + y > 1 y > 0} Οµάδα Β 1. Να γίνει ένας πίνακας µε 5 τουλάχιστον τιµές για τις παρακάτω συναρτήσεις. Στη συνέχεια να γίνει η γραφική τους παράσταση Α f(x) = 3x 2 Β f(x) = x 2 9x g(x) = x + 9 F 6 (x) = x 2 +4x-5 h(x) = 120x + 25 f 2 (x) = ( 2 1 ) x F 3 (x) = 3 2 x 3 4 F 4 (x) = 3 2 x 3 x Αν µε f(x) = [x] συµβολίζουµε το ακέραιο µέρος του x δηλ. ο [x] είναι ο µεγαλύτερος ακέραιος, ο µικρότερος ή και του x. Π.χ. [-4,1] = -5 [2,5] = 2 Να γίνει το γράφηµα της f(x) = [x] για -3 x 3 3. Να γίνει επίσης το γράφηµα των f(x) = [x + 1], 0 x 4 h(x) = 6 [x], 0 x 6 4. Να γίνει το γράφηµα των: s(x) = 6 x,2 x 6 g(x) = [3 x], -1 x 3 2 f(x) = x 2, f 2 (x) = 2x 2, f 3 (x) = 2 1 x 2, f 4 (x) = -3x ιερευνήστε πως επηρεάζει ο συντελεστής του x 2 το γράφηµα της f. 2

3 5. 1 Όµοια: των F(x) = ( ) x 2, f(x) = ( ) x, γ(x) = 10 3x 3 5 ιερευνήστε πως επηρεάζει η βάση της δύναµης το γράφηµα της κάθε συνάρτησης. Οµάδα Γ 1. Α. Χρησιμοποιώντας έναν υπολογιστή εάν είναι απαραίτητο, εκτιμήστε τον χρόνο που θα έπαιρνε σ ένα κομπιούτερ να κάνει λίστα όλα τα θέματα από {1, 2, 3, 64}. Υποθέτουμε ότι το γρηγορότερο κομπιούτερ μπορεί να καταγράψει ένα θέμα περίπου σε 1 εκατομμυριοστό δευτερολέπτου. a. Β. Βρείτε τον χρόνο που θα πάρει στο κομπιούτερ να ολοκληρώσει όλες τις αντιστοιχήσεις 1-1 ανάμεσα στα σύνολα {1, 2, 3,, 64} και {65, 66, 67,, 128} 2. Πόσες διαφορετικές αντιστοιχίσεις 1-1 υπάρχουν μεταξύ δύο συνόλων με: Α. 5 στοιχεία το καθένα Β. 8 στοιχεία το καθένα Γ. ν στοιχεία το καθένα 3. Είναι δυνατό να βρεθεί ένα άπειροσύνολο Α τέτοιο ώστε : i. Α. το A είναι πεπερασμένο Β. το A άπειρο. 4. Είναι το σύνολο των Ζ αριθμήσιμο; Οµάδα Βασικές ασκήσεις και εφαρµογές στις Πιθανότητες 1. Δίνονται τα γεγονότα Α, Β και C. Να εκφρασθούν με τη βοήθεια της Θεωρίας Συνόλων τα γεγονότα: α. Μόνο το Β συμβαίνει. β. Τα Α και Β συμβαίνουν αλλά όχι το C. γ. Τουλάχιστον ένα από τα Α, Β, C συμβαίνει. δ. Ακριβώς ένα συμβαίνει. ε. Τουλάχιστον δύο από τα Α, Β, C, συμβαίνουν. 2. Αν Α, Β και C παριστάνουν τα σύνολα των φοιτητών που διαβάζουν τα περιοδικά Μ1, Μ2, και Μ3 αντίστοιχα, τότε: Ι) Να εκφράσεις με προτάσεις τα σύνολα: α. Α Β C γ. (A B) ε. ABC β. ΑBC δ. Α Β C ζ. Α Β C ΙΙ) Να εκφράσεις με σύνολα τις φράσεις: α. Οι φοιτητές που διαβάζουν τουλάχιστον δύο από τα τρία περιοδικά. Β. Οι φοιτητές που διαβάζουν ακριβως δύο από τα τρία περιοδικά. Γ. Οι φοιτητές που διαβάζουν το πολύ ενα από τα τρία περιοδικά Μ1, Μ2, και Μ3. 3. Δίνονται: Ρ(Α ) = 0.3, Ρ(Β) = 0.4 και Ρ(ΑΒ )= 0.5. Να βρεθούν : α) Ρ(Α), β) Ρ(ΑΒ), γ) Ρ(Α Β). 4. α) Δίνονται : Ρ(Α) = x, Ρ(Β) = y, P(AB) = z. Να βρεθεί η πιθανότητα του γεγονότος: «Συμβαίνει ακριβώς ένα από τα Α, Β»; 5) Ένα παλιό αυτοκίνητο χαλάει 65% από βλάβη μηχανής, 20% από αμέλεια οδηγού, 5% από βλάβη μηχανής και αμέλεια οδηγού, και επίσης χαλάει από άλλες αιτίες. Ποια η πιθανότητα να χαλάσει το αυτοκίνητο «μόνο από βλάβη μηχανής ή μόνο από αμέλεια οδηγού»; 5. Αν Α, Β είναι γεγονότα και Ρ(Α) =x, P(B) = y, P(AB) = z (i) Να βρεθεί η πιθανότητα των γεγονότων C = {Συμβαίνει ακριβώς ένα από τα Α, Β} 3

4 D = {Δεν συμβαίνει κανένα από τα Α, Β} E = {Συμβαίνει μόνο το Α} (ii) Αν P(C) = 0.7, P(D) = 0.1, P(E) = 0.3, να βρεθούν τα x, y, z. 6. Δίνονται τα γεγονότα Α, Β και C. Χρησιμοποιώντας τα αξιώματα (i), (ii), και (iii), δείξτε ότι: P (A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(BC) P(CA) + P(ABC) 7. Δίνονται τα γεγονότα Α, Β, Γ και οι πιθανότητες Ρ (ΑΒΓ) = 0.1. Ρ(Α Β Γ )) = 0.05, Ρ(ΑΒ Γ) = 0.2, Ρ(ΑΒ Γ ) = 0.15, Ρ(Α ΒΓ)= 0.12, Ρ(Α ΒΓ ) = 0.08, Ρ(Α Β Γ) = Να βρεθούν οι πιθανότητες: Ρ(Α (ΒΓ)), Ρ(Β Γ), Ρ(Α Β Γ). 8. Δίνονται τα γεγονότα Α, Β, Γ και οι πιθανότητες Ρ(Α) = Ρ(Β) = Ρ(Γ) = p, P(AB) = P(AΓ) = Ρ(ΒΓ) = q, Ρ(ΑΒΓ) = r. Να βρεις τις πιθανότητες των γεγονότων (i) Δ = {Να συμβαίνει τουλάχιστο ένα από τα Α, Β, Γ}. (ii) Ε = {Να συμβαίνουν τουλάχιστον δύο από τα Α, Β, Γ}. (iii) Ζ = {Να συμβαίνει ακριβώς ένα από τα Α, Β, Γ}. (iv) Η = {Να συμβαίνουν ακριβώς δύο από τα Α, Β, Γ}. 9. Δίνονται τα γεγονότα Α, Β, Γ και οι πιθανότητες Ρ(Α) = 0.48 Ρ(Β) = 0.40 Ρ(Γ) = 0.56, Ρ(ΑΒ) = 0.20, Ρ(ΑΓ) = 0.43, Ρ(ΒΓ) = 0.23, Ρ(ΑΒΓ) = Να υπολογιστούν οι πιθανότητες των γεγονότων. (i) Δ = {Να συμβαίνει τουλάχιστο ένα από τα Α, Β, Γ}. (ii) Ε = {Να συμβαίνουν τουλάχιστον δύο από τα Α, Β, Γ}. (iii) Ζ = {Να συμβαίνει ακριβώς ένα από τα Α, Β, Γ}. (iv) Η = {Να συμβαίνουν ακριβώς δύο από τα Α, Β, Γ}. 10. α) Ένα κιβώτιο έχει 5 λαμπτήρες από τους οποίους οι 3 είναι ελαττωματικοί. Ελέγχουμε τους λαμπτήρες, έναν, έναν χωρίς επανάθεση ίσαμε που να βρούμε τον πρώτο ελαττωματικό. Ποιος ο δειγματοχώρος; 11. Ρίχνουμε δύο ζάρια μια φορά, και Α, Β δυο γεγονότα με Ρ(Α) = 0.4 Ρ(Β) = 0.35 Να βρεθεί η πιθανότητα των γεγονότων C = {Συμβαίνει ακριβώς ένα από τα Α, Β} D = {Δεν συμβαίνει κανένα από τα Α, Β} Ε = {Συμβαίνει μόνο το Α} 12. Ρίχνουμε 4 ζάρια μια φορά. Να βρεθεί ο δειγματοχώρος του πειράματος και τα γεγονότα: Α = {Έρχεται τουλάχιστον ένας άσσος}. Β = { Το άθροισμα των τεσσάρων ενδείξεων είναι 13}. 13. Στην Προηγούμενη άσκηση μας δίνουν, ότι η πιθανότητα του καθένα από τα 6 4 σημεία του δειγματοχώρου είναι 6-4. Βρέστε τις πιθανότητες των γεγονότων Α και Β. 14. Ρίχνουμε δύο ζάρια 24 φορές και υποθέτουμε ότι όλα τα σημεία του δειγματοχώρου έχουν την ίδια πιθανότητα. Να βρεθεί η πιθανότητα να φέρουμε δύο άσσους τουλάχιστον μια φορά και να συγκρίνετε με την πιθανότητα του γεγονότος Α του προηγούμενου προβλήματος. Υπάρχει παράδοξο: 15. Δίνεται ο δειγματοχώρος Ω = [0, 1] και ο νόμος Ρ([α, β]) = β α 0 α β 1. (i) Ποια είναι τα γεγονότα: α) Α 1 = {x: Το πρώτο δεκαδικό ψηφίο του x δεν είναι 0} β) Α n = {x: Τα πρώτα n δεκαδικά ψηφία του x δεν είναι 0} (ii) Ποιες είναι οι πιθανότητες των Α 1, Α n. 16. Με δύο ζάρια παίζουμε το παρακάτω παιχνίδι: Αν στην πρώτη προσπάθεια έχουμε άθροισμα 2, 3, 7, 11 ή 12 σταματούμε, αν όχι συνεχίζουμε ίσαμε που να έχουμε άθροισμα 7 ή το άθροισμα που είχαμε την πρώτη προσπάθεια. Ποιος είναι ο δειγματοχώρος. 17. Στον προηγούμενο δειγματοχώρο ορίζουμε τον παρακάτω νόμο πιθανοτήτων: Η πιθανότητα n διατεταγμένων ζευγαριών είναι 6-2n (π.χ. {(2, 5), (3, 4), (2, 3)}έχει πιθανότητα 6-6 ). Ο πρώτος παίκτης κερδίζει αν φέρει άθροισμα 7 ή 11 στην πρώτη προσπάθεια ή όταν τελειώσει το παιχνίδι φέρνοντας το ίδιο άθροισμα στην πρώτη και τελευταία προσπάθεια. Να βρεθεί η πιθανότητα: α) Να κερδίσει το παιχνίδι ο πρώτος παίκτης στις τρεις προσπάθειες (δύο δικές του και μια του άλλου παίκτη). β) Να τελειώσει το παιχνίδι στις τρεις πρώτες προσπάθειες. γ) Να κερδίσει το παιχνίδι τελικά ο πρώτος παίκτης. δ) Να κερδίσει το παιχνίδι τελικά ο δεύτερος παίκτης. 4

5 ΟΜΑ Α Ζ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ και Συνδυαστικής 1. Εάν πέσει μια πινέζα μπορεί να προσγειωθεί ( ) με το κεφάλι κάτω, ή ( ) με το κεφάλι πάνω. Το πείραμα επαναλήφθηκε 80 φορές με τα ακόλουθα αποτελέσματα. Με την κεφαλή προς τα πάνω: 56 φορές με την κεφαλή προς τα κάτω: 24 φορές. Α) Ποια είναι η πιθανότητα η πινέζα να προσγειωθεί με το κεφάλι πάνω. Β) Ποια η πιθανότητα να προσγειωθεί με το κεφάλι κάτω. Γ) Εάν επιχειρήσετε το πείραμα αυτό άλλες 80 φορές θα πάρετε τα ίδια αποτελέσματα; γιατί; Δ) Περιμένετε να πλησιάσετε σχεδόν τα πρώτα αποτελέσματα από τη δεύτερη προσπάθεια; Γιατί; 2. Σε ένα πείραμα συλλέξτε το τελευταίο νούμερο τηλεφωνικών αριθμών. Ας υποθέσουμε ότι κάθε ένα από τα 10 ψηφία έχει τις ίδιες πιθανότητες να παρουσιαστεί σαν τελικό ψηφίο. Καταγράψτε τα ακόλουθα. Α) Ένα διάστημα δειγμάτων Β) Τα αποτελέσματα εκείνα που το ψηφίο αυτό είναι μικρότερο του 5. Γ) Τα αποτελέσματα που το ψηφίο είναι μονός αριθμός. Δ) Τα αποτελέσματα που το ψηφίο δεν είναι το 2. Ε) Βρες τις πιθανότητες κάθε ενός από τα αποτελέσματα (Β) (Δ). 3. Γυρίζουμε τον παρακάτω τροχό Βρες τις πιθανότητες να λάβουμε τα κάθε ένα από τα ακόλουθα. Α) Ρ(παράγοντες του 35) Β) Ρ(πολλαπλάσιο του 3) Γ) Ρ(ζυγό αριθμό), Δ) Ρ(6 ή 2) Ε) Ρ(11) Στ) Ρ(σύνθετος αριθμό) Ζ) Ρ(ούτε ένας πρώτος ούτε ένας σύνθετος αριθμός) 4. Τραβάμε ένα χαρτί από μια τράπουλα 52 καρτών. Βρες την πιθανότητα για κάθε ένα από τα ακόλουθα. Α) Μια κόκκινη κάρτα Β) Μια κόκκινη κάρτα ή ένα 10 Γ) Μια φιγούρα Δ) Μια Ντάμα Ε) Όχι μια Ντάμα Στ) Μια φιγούρα ή ένα μπαστούνι Ζ) Μια φιγούρα και ένα μπαστούνι Η) Ούτε φιγούρα ούτε μπαστούνι. 5. Ένα συρτάρι περιέχει 6 μαύρες κάλτσες 4 καφέ και 2 πράσινες. Ας υποθέσουμε ότι τραβάμε μια κάλτσα από το συρτάρι. Βρες την πιθανότητα να συμβεί κάθε ένα από τα ακόλουθα. Α) Η κάλτσα είναι καφέ. Β) Η κάλτσα είναι η μαύρη ή πράσινη. Γ) Η κάλτσα είναι κόκκινη. Δ) Η κάλτσα δεν είναι μαύρη. 5

6 6. Κάθε γράμμα της αλφαβήτου γράφεται σε ένα ξεχωριστό χαρτί και τοποθετείται μέσα σ ένα κουτί. Στην συνέχεια τραβάμε ένα χαρτί στην τύχη. Α) Ποια είναι η πιθανότητα το χαρτί να έχει γραμμένο πάνω του ένα φωνήεν, Β) Ποια η πιθανότητα να έχει γραμμένο ένα σύμφωνο; 7) Εάν η πιθανότητα να καταφέρεις να ταξιδέψεις με την πτήση για Βοστόνη είναι 0,2, ποια είναι η πιθανότητα να χάσεις την πτήση; 8) Η Σοφία έχει 6 δισκέτες κομπιούτερ χωρίς καμία ένδειξη στην επιφάνειά τους. Αυτές περιέχουν Αγγλικά, Μαθηματικά, Αμερικάνικη Ιστορία, Χημεία και Φυσική. Απάντησε στις ακόλουθες ερωτήσεις. Α) Εάν επιλέξει μια δισκέτα στην τύχη ποια είναι η πιθανότητα να έχει επιλέξει το CD με τα αγγλικά; Β) Ποια η πιθανότητα το CD που θα επιλέξει να μην είναι ούτε Μαθηματικά ούτε Χημεία. 9) Οι ακόλουθες ερωτήσεις αναφέρονται σ ένα πολύ δημοφιλές παιχνίδι ζαριών seven-eleven στο οποίο κάθε παίχτης ρίχνει δύο ζάρια. Α) Φέρνοντας άθροισμα 7 ή 11 στην πρώτη ρήψη κερδίζεις. Ποια η πιθανότητα να κερδίσεις με την πρώτη ρήψη; Β) Φέρνοντας 2, 3, ή 12 στην πρώτη ρήψη χάνεις. Ποια η πιθανότητα να χάσεις στην πρώτη ρήψη; Γ) Αν φέρεις 4, 5, 6, 8, 9, ή 10 στην πρώτη ρήψη ούτε χάνεις ούτε κερδίζεις. Ποια η πιθανότητα ούτε να χάσεις ούτε να κερδίσεις στην πρώτη ρήψη; Δ) Εάν φέρεις 4, 5, 6, 8, 9, ή 10 ο παίκτης πρέπει να φέρει ξανά το ίδιο νούμερο πριν φέρει 7. Ποιο ποσό από τα 4, 5, 6, 8, 9, ή 10 έχει την μεγαλύτερη πιθανότητα να ληφθεί ξανά; Ε. Ποια η πιθανότητα να φέρουμε το άθροισμα 1 σε οποιαδήποτε ρήψη; Στ. Ποια η πιθανότητα να φέρουμε άθροισμα μικρότερο του 13 σε οποιαδήποτε ρήψη; 10. Εάν ρίξουμε τα ζάρια 60 φορές υποθέστε πόσες φορές θα εμφανιστεί άθροισμα το 7; 11. Ποια είναι η πιθανότητα να συμβεί το κάθε ένα από τα παρακάτω συγκεκριμένα γεγονότα με το πέταγμα του ζαριού; 1 Ένα μονό νούμερο. Ένας αριθμός μικρότερος του 7. 2 Ένας ζυγός αριθμός Ένας αριθμός διαφορετικός του 0 3 Ένα νούμερο μεγαλύτερο Ο αριθμός 0. από το 2 4 Ένας αριθμός μικρότερος του 4. Ένα νούμερο διαφορετικό του Ποια είναι η πιθανότητα να συμβεί κάθε ένα από τα παρακάτω συγκεκριμένα γεγονότα τραβώντας ένα χαρτί από μια συνηθισμένη τράπουλα 52 χαρτιών; Ένας άσσος. Ένα μπαστούνι. Ένας βασιλιάς Ένα κόκκινο χαρτί μέλη μιας τάξης δίνουν χειραψίες ο ένας με τον άλλο την μέρα που ανοίγει το σχολείο. Α) πόσες χειραψίες έγιναν στο σύνολο; Β) πόσες θα γίνουν εάν συμπληρωματικά κάθε ένας δίνει τα χέρια επίσης και με τον διευθυντή; 14. Μια τάξη πρόκειται να διαιρεθεί σε δύο ομάδες με τουλάχιστον ένα μαθητή η κάθε μια. Πόσα διαφορετικά ζευγάρια ομάδων μπορούν να γίνουν από μια τάξη 8 μαθητών; 15. Πόσα διαφορετικά ζευγάρια ομάδων από τέσσερις σπουδαστές η κάθε μια μπορούν να γίνουν από μια τάξη εννέα μαθητών; 6

7 16. Προβλήματα μέτρησης μπορούν να προκύψουν μέσα από πολλά μαθηματικά πάζλς. Δείτε το σχέδιο παρακάτω και βρείτε για παράδειγμα τα ακόλουθα πάζλς με στόχους: Επιτρέπεται να ρίξεις τέσσερα βέλη και ας υποθέσουμε ότι δεν αστοχείς. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορείς να επιτύχεις το σκορ 70 πόντων; Παρατήρησε και τοποθέτησε με την σειρά τα 2 τελευταία ψηφία από 20 πινακίδες αυτοκινήτων που βρίσκονται στο πάρκιν. Επανέλαβε αυτή τη διαδικασία για 5 τουλάχιστον σετ από 20 διψήφιους αριθμούς. Για κάθε σετ από 20 νούμερα παρατήρησε πόσο συχνά βρίσκεις μια επανάληψη από κάθε ζευγάρι ψηφίων. (το ίδιο διψήφιο νούμερο να εμφανίζεται τουλάχιστον δυο φορές). ΟΜΑ Α Η Προβλήµατα Αριθµητικής για Λύση 1. Ο πατέρας του Νίκου χρησιµοποίησε 36 σακιά λίπασµα καθαρού βάρους 49,5 κιλών το καθένα. Πόσα κιλά λίπασµα χρησιµοποίησε; 2. Από την υλοτόµηση µιας δασικής έκτασης παράγονται ηµερησίως κατά µέσο όρο, 7, κµ. ξυλεία ελάτου και 8, κµ. ξυλεία πεύκου. Πόση ξυλεία παράγεται συνολικά σε 1 µήνα (30 ηµ.) ; 3. Το Υπουργείο Υγείας προειδοποιεί: Το κάπνισµα βλάπτει σοβαρά την υγεία. Ένα τσιγάρο περιέχει 0,008 γρ. νικοτίνη και 0,015 γρ. πίσσα. Ένας καπνιστής καπνίζει 20 τσιγάρα την ηµέρα. Πόση πίσσα και πόση νικοτίνη περιέχουν τα τσιγάρα που καπνίζει 35 ολόκληρα χρόνια. 4. Ο πατέρας έβαλε 20 λτ. Βενζίνη. Στο ταξίδι του έκαψε τα 1/3 της βενζίνης που έβαλε. Πόσα λτ. έκαψε ; 5. Η µητέρα για να πάει στη δουλειά της χρειάζεται 5/6 της ώρας. Τα 2/5 του χρόνου αυτού πηγαίνει µε τα πόδια. Πόση ώρα βαδίζει η µητέρα; 6. Οι φυσιολάτρες διάνυσαν 10,875 χµ. σε 3 ώρες. Πόσα χµ. διάνυσαν κατά µέσο όρο την ώρα. 7. Το πλοίο εκτελεί τακτικά το δροµολόγιο του σε 10 ώρες µε σταθερή ταχύτητα 24,5 µίλια την ώρα. Αφού ταξίδεψε 4 ώρες έπαθε βλάβη και καθυστέρησε 2 ώρες. Με πόση ταχύτητα την ώρα πρέπει να συνεχίσει το ταξίδι του για να φτάσει χωρίς καθυστέρηση στον προορισµό του; 8. Το 15 πλάσιο ενός αριθµού αυξηµένο κατά 0,0085 είναι 3,4585. Ποίος είναι ο αριθµός; 9. Το ωφέλιµο φορτίο ενός αυτοκινήτου είναι τόνοι. Στο αυτοκίνητο έχουν φορτωθεί 35 κιβώτια των 25 κιλ. Πόσα κιβώτια των 60 κιλών µπορούν να φορτωθούν ακόµα; 10. Για να καλυφτούν 1530 µ. χρησιµοποιήθηκαν σωλήνες των 4,5 µέτρ. Ο καθένας. Πόσοι σωλήνες χρησιµοποιήθηκαν ; 7

8 11. Το καφεκοπτείο παραλαµβάνει 100 κιλά ωµό καφέ που στο καβούρδισµα και το άλεσµα έχει φύρα 3,250 κιλά. Συσκευάζει τον αλεσµένο καφέ σε πακέτο των 0,250 κιλά. Πόσα είναι τα πακέτα ; 12. Ένα λεωφορείο µετέφερε σε µια βδοµάδα 438 επιβάτες και εισέπραξε δρχ. Πόσο κάνει το ένα εισιτήριο ; 13. Το καφεκοπτείο παρέλαβε 50 κιλά ωµό καφέ. Στο καβούρδισµα και στο άλεσµα είχε φύρα 3,75 κιλά. Καφεκοπτείο συσκεύασε οµοιόµορφα του αλεσµένο καφέ σε 370 πακέτα. Ποιο είναι το βάρος του καφέ σε κάθε πακέτο ; 8