ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε στην τύχη ένα μαθητή. Να βρείτε τις πιθανότητες ο μαθητής: α) Να έχει παπί και ποδήλατο. β) Να έχει μόνο ποδήλατο. γ) Να έχει μόνο μηχανή. δ) Να έχει ακριβώς ένα από τα δύο μέσα μετακίνησης. 1. Σε ένα χωριό (τον i-λια), το 30% των κατοίκων του έχει i-pad, το 15% έχει i-phone, ενώ το 8% έχει και τις δύο συσκευές. Διαλέγουμε ένα κάτοικο στη τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες ο κάτοικος: α) Να έχει μία τουλάχιστον από τις δύο συσκευές. β) Να έχει μόνο i-pad. γ) Να μην έχει καμιά από τις δύο συσκευές. δ) Να έχει ακριβώς μία από τις δύο συσκευές. 1.3 Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω και ισχύει ότι P ( A) 0,4 P ( B) 0,7, ί ό : ) 0,1 P ( A B) 0,4 ) 0,3 P ( B A) 0,6 1.4 Αν για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι A B οι πιθανότητες P(A) και P(B) είναι ρίζες της εξίσωσης: 3x 1 (x 1) (4x 1) 0, να υπολογίσετε:, ενώ α) Τις πιθανότητες P(A) και P(B) β) Τα P ( A B), P ( A B) P ( B A) Αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα, ενώ για την πιθανότητα κ του ενδεχομένου (A B ) ισχύει η σχέση k k 1, να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα Α και Β είναι συμπληρωματικά. 1.6 Σε μια γραμμή παραγωγής CD, ελέγχουμε το προϊόν το οποίο μπορεί να χαρακτηρισθεί ως άριστο (Α), μέτριο (Μ) ή κακό (Κ). Ο έλεγχος σταματά όταν καταγραφούν δύο CD όμοιας ποιότητας ή το πολύ στην 3 η δοκιμή και καταγράφουμε το αποτέλεσμα. Αφού βρείτε το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος τύχης, να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων: α) Να έχει βρεθεί ένα τουλάχιστον άριστο CD. β) Να έχει βρεθεί ένα το πολύ κακό CD. γ) Να έχει βρεθεί ένα άριστο και ένα μέτριο CD.

2 1.7 Αν η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δ.χ Ω, ισούται με την πιθανότητα να πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α, Β, να δείξετε ότι τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. 1.8 Επιλέγουμε στην τύχη ένα φύλλο από μια τράπουλα (κλασσική, με 5 φύλλα). Να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων: α) Να είναι κόκκινη φιγούρα. β) να είναι μαύρος άσσος. γ) να είναι σπαθί ή άσσος. 1.9 Σε ένα «πειραγμένο» ζάρι, ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις για τις πιθανότητες: Ρ(1)=Ρ()=Ρ(3)=Ρ(4)=Ρ(5)=Ρ(6). Να βρείτε την πιθανότητα να φέρει κάποιος άρτια ένδειξη Σε ένα παιχνίδι συμμετέχουν οι παίκτες Α, Β, Γ και Δ. Αν για τις πιθανότητες που έχει καθένας να κερδίσει ισχύουν οι σχέσεις: Ρ(Α)=Ρ(Β)=3Ρ(Γ)=4Ρ(Δ), να βρείτε την πιθανότητα που έχει κάθε ένας από τους παίκτες να κερδίσει Σε ένα λύκειο αρρένων, με το ποδόσφαιρο ασχολείται το 55% των παιδιών, με το μπάσκετ ασχολείται το 45%, ενώ με ένα ακριβώς από τα δύο αθλήματα ασχολείται το 70% των μαθητών. Να βρείτε τις πιθανότητες αν επιλέξουμε ένα μαθητή στην τύχη, των παρακάτω ενδεχομένων: α) Να ασχολείται με ένα τουλάχιστον από τα δύο αθλήματα. β) Να ασχολείται και με τα δύο αθλήματα. γ) Να ασχολείται μόνο με το μπάσκετ. δ) Να μην αθλείται. 1.1 Σε ένα χωριό με πολλούς φιλόζωους, μόνο το 0% των σπιτιών δεν έχουν σκύλο ή γάτα. Το 55% των νοικοκυριών έχει σκύλο, ενώ το 45% έχουν μόνο σκύλο. Επιλέγουμε ένα σπίτι στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες: α) Να έχει γάτα. β) Να έχει μόνο γάτα. γ) Να έχει μόνο σκύλο ή μόνο γάτα Οι πελάτες μιας τράπεζας σε ποσοστό 1% έχουν κάρτα DINERS και VISA. Το 35% έχει μόνο VISA ενώ το 75% έχει μία τουλάχιστον από τις δύο κάρτες. Διαλέγουμε ένα πελάτη στην τύχη. Να βρείτε την πιθανότητα ο πελάτης: α) Να έχει DINERS. β) Να έχει μόνο DINERS γ) Να μην διαθέτει καμία κάρτα. δ) Να διαθέτει ακριβώς μία από τις δύο κάρτες.

3 Σε ένα σχολείο υπάρχουν 5 μαθητές που δεν διδάσκονται καμιά από τις δύο προσφερόμενες γλώσσες (Αγγλικά και Γαλλικά) και 148 μαθητές που διδάσκονται μία τουλάχιστον από τις δύο ξένες γλώσσες. Αν υπάρχουν 110 μαθητές που μαθαίνουν Αγγλικά και 80 μαθητές που μαθαίνουν Γαλλικά και επιλέξουμε ένα μαθητή στην τύχη, να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων: α) Ο μαθητής να μαθαίνει και τις δύο ξένες γλώσσες. β) Ο μαθητής να μαθαίνει μία ακριβώς από τις δύο ξένες γλώσσες. γ) ο μαθητής να μιλά μόνο Γαλλικά Σε μια κάλπη βάζουμε 10 κόκκινες μπάλες, 8 άσπρες και κάποιες πράσινες. Επιλέγουμε μια μπάλα στην τύχη. Να βρείτε πόσες πράσινες μπάλες πρέπει να βάλουμε στην κάλπη σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) Η πιθανότητα να έχουμε επιλέξει άσπρη μπάλα να είναι 1/3. β) Η πιθανότητα να προκύψει πράσινη ή άσπρη να είναι 7/1 γ) Η πιθανότητα να επιλέξουμε πράσινη μπάλα να είναι διπλάσια από την πιθανότητα να βγάλουμε άσπρη μπάλα Σε σχολείο με 00 μαθητές, οι 140 μιλούν Αγγλικά, οι 80 μιλούν Γαλλικά ενώ η πιθανότητα ένα παιδί να μιλάει και τις δύο ξένες γλώσσες είναι διπλάσια από την πιθανότητα να μη μιλά καμιά από τις δύο ξένες γλώσσες. Να υπολογίσετε: α) Πόσα παιδιά μιλούν και τις δύο ξένες γλώσσες. β) Πόσα παιδιά μιλούν ακριβώς μία από τις δύο ξένες γλώσσες Να αποδείξετε τις παρακάτω σχέσεις, αν γνωρίζετε ότι το ενδεχόμενο Α δεν είναι βέβαιο και δεν είναι αδύνατο ενδεχόμενο. a P A P A P A ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 1 ) P ( A) P ( A) Δίνεται το σύνολο K,,,. Οι πιθανότητες των ενδεχομένων A B, A B A είναι τιμές που ανήκουν στο σύνολο Κ. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες: α) Να πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Β. β) Να πραγματοποιείται μόνο το Α. γ) Ένα τουλάχιστον από τα Α, Β να μην πραγματοποιείται. δ) Να πραγματοποιείται ένα ακριβώς από τα Α και Β.

4 Αν σε μια κάλπη τοποθετήσουμε χ άσπρες μπάλες, όπου για το χ ισχύει η σχέση x 64 16x και κάποιες μαύρες μπάλες και γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα εκλογής μαύρης μπάλας είναι τα ¾ της πιθανότητας να εκλεγεί άσπρη μπάλα, να βρείτε πόσες είναι οι μαύρες μπάλες. 1.0 Σε ένα τμήμα με 5 μαθητές, φοιτούν 10 αγόρια και 15 κορίτσια. Τα 6 αγόρια και τα 9 κορίτσια έχουν μαύρα μάτια. Επιλέγουμε στην τύχη ένα άτομο από την τάξη. Να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων: α) Να είναι αγόρι ή να έχει μαύρα μάτια. β) Να είναι κορίτσι ή να μην έχει μαύρα μάτια.. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΑ ΡΙΖΕΣ.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x x 4xy 16 4 y 4. 4x 9 y 6 yz z a x 4b x 9a y 9b y 6. 3a x 3b x 6bx 3x xy( x y) 6 x( x y) x( x y ) 8. x y 4x y 3 9. x ( y w) y ( w x) w ( x y) 10. ( ) ( ). Να απλοποιήσετε αφού πρώτα κάνετε ομώνυμα τα παρακάτω κλάσματα: ( ) x y x y x 3 x 3 x 4x 7 3 x y x xy xy y x x x x x x x Να αποδείξετε ότι: 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3( )( )( )

5 5 4. ( x 1)( y 1)( w 1) ( x yw)( y wx)( w xy) ( xyw 1)( x y w xyw 1).4 Να απλοποιήσετε χρησιμοποιώντας ιδιότητες δυνάμεων τις παρακάτω παραστάσεις και στη συνέχεια να βρείτε την τιμή τους για τις τιμές των μεταβλητών που δίνονται κάθε φορά: 1 1 x ( y ) 3 1. x, x 015, y x y y 3 1 x 1 x : y 3. y x, x 4,5 y0, x x : x 1 3 y y.5 Αν γνωρίζετε ότι : 1 x 1 1 y, να βρείτε σε ποια διαστήματα 3 πραγματικών αριθμών ανήκουν οι παρακάτω παραστάσεις: 3 a. x 3y 5 b. 3 4 x c. 1 d.4 6xy y 4 3 x y e. f. 4x 9y 1xy.6 Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις, με τη βοήθεια των συνθηκών που δίνονται σε κάθε περίπτωση: A x 3 x x, av x 3. B x x 3 5 x x 1, av 3 x. a x b y a b y x, av x a y b..7 Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές A 3 x x B x 1 x 1 x 1 x x 1 x.8 Αν γνωρίζετε ότι α =3 και β =, να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των παραστάσεων: Κ= α-β και Λ= 4-α + β-.

6 6.9 Αν ισχύει -3<χ<0 να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α= χ +3χ - χ+ + χ-1 και Β=χ χ- + χ -4χ+4 +6 χ και Γ= χ-χ - 4χ+1 - χ 3- χ.10 α. Να αποδείξετε την ισοδυναμία: β. Να λύσετε την ανίσωση: χ-3 < 4+χ a b a b ά a, b. γ. Αν τα για τους πραγματικούς αριθμούς α, b ισχύουν οι σχέσεις: a b 1 ab a b, να αποδείξετε ότι: a 1 b ή b 1 a..11 Αν για τους μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμούς α και b ισχύει ότι: a b a b, να αποδείξετε ότι: α. Οι α και b είναι ετερόσημοι. β. Ισχύει η σχέση: a b b a 0 γ. Αν επιπλέον των προηγούμενων σχέσεων ισχύει ότι , να a b αποδείξετε ότι α<0 και b<0..1 Αν ισχύουν οι σχέσεις: x, y x z 5 να αποδείξετε ότι: xy z α. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α και b ισχύει έστω και μία από τις σχέσεις: a b 0, a b 0, a b 0, να δικαιολογήσετε ότι a=b=0. β. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις-ανισώσεις: i. x x ii. x x x iii. x y Δίνονται οι παραστάσεις: A xy 3x y 3, B 4x y 4 xy, x α. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της ποσότητας Α + Β + Γ. β. Για ποια τιμή του χ η ποσότητα παίρνει την ελάχιστη τιμή της;.15 Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. x 6x 9 x x 1, 1 x 3.. 4x 1x 9 1 x x, 1 x..16 Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

7 7.17 Να μετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε άλλες με ρητό παρονομαστή: x x 3,,,,, x 4x 6.18 Να μετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε άλλες με ρητό παρονομαστή: 3 5 3x x,,,,. x x x x x x Να λυθεί η εξίσωση: 3 9x 1x 4 4x 1x 9, x. 3.0 Να εκτελέσετε τις παρακάτω πράξεις, ενοποιώντας σε μια ρίζα κάθε παράσταση: A a a a a, 0. B a a 6 5 a, a0..1 Να βρείτε το αποτέλεσμα των παρακάτω παραστάσεων: A ( 3 3) ( 3 6)( 3 ) ( 3 3) B ( ) ( ) ( 9 4 )( 3 ). Να βρείτε το αποτέλεσμα των παρακάτω παραστάσεων: ( 1) ( 1) a b c a b c, a, b 3, c 3.3 Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: A B Να γράψετε σαν μια ρίζα τις παρακάτω παραστάσεις:

8 8.5 Να αποδείξετε ότι: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3.1 Να λύσετε, κάνοντας και διερεύνηση όπου απαιτείται, τις παρακάτω εξισώσεις: 3 1. ( a 3) x a 1. a( x ) x( a 3) 3. ( x 1) x( 1) 4. x 1 x 1 x ( ) x 7.(1 ) x 1 8.( ) 9.( ) 10.( ) 1 x a x a a a x a 3. Βρείτε την τιμή του α, ώστε η εξίσωση: ( a a) x a 1 να δέχεται άπειρες λύσεις. Στη συνέχεια, για την τιμή του α που βρήκατε, να λύσετε την εξίσωση: ( a ) x a. 3.3 Δίνονται οι παραμετρικές εξισώσεις: 3 ( ) x ( 7 0) x 1. Να βρείτε αν υπάρχει τιμή του πραγματικού αριθμού λ ώστε να είναι και οι δύο αδύνατες. Υπάρχει τιμή του λ ώστε να δέχονται και οι δύο άπειρες λύσεις; 3.4 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 1. x x 8 3. x 3x 4. x 3 x 3 1 x 1 3(1 1 x ) x x 1 1 4x 9 x Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 4 1. x 3x x 4x x 56x x 18x 0

9 9 3.6 Φροντίστε να βρείτε σωστά τις ρίζες που βλέπετε δίπλα σε κάθε μία. Προσπαθήστε να είστε όσο το δυνατόν γρηγορότεροι και γράψτε το αποτέλεσμα σε μορφή γινομένου: 1. x 5x 3 0 1,. 3x 5x 0, 3. 6x 5x 1 0, x 7x 8 0 1,8 5. x 3x 5 0, x x 1 0, 3.7. Στις παρακάτω δευτεροβάθμιες, οι διακρίνουσες είναι τέλεια τετράγωνα ή αναπτύγματα τετραγώνων. Βρείτε τις ρίζες των εξισώσεων: 1. x 3ax 5a 0. a x ax 1 0, a x ax 4a 0 4. x (3a ) x 6a 0 5. x 1 3a x 3a 0 5a 1 1 4a ( ή : 1. a,., 3., a 4. 3 a, 5. 1,3 a ) a a Ότι είπαμε και στην 3.7 άσκηση, αλλά με δύο παραμέτρους αυτή τη φορά: b a 3 b a a b 1. x ( a b) x ab 0 ( a, b). ax ( a b) x b 0 1, 3. ax (3a b) x 3b 0, 4. bx a b x a 0, Δοκιμάστε με ριζικά τώρα: x ( 3 ) x 3 0 3,. 3 x ( 3 ) x 0, x 3 1 x 0 3, 4. x 5 x 5 0, Δείξτε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν ρίζες: 1. x ( a b) x ab 0. 3 x (a 3 b) x ab Να λύσετε τις παρακάτω δευτεροβάθμιες εξισώσεις: 1. x 7x 6 0. x ( 3 ) x x 1x x 5x 0 5. x (1 6) x ax 5ax a 0, a 0 7. x (a 3 ) x 6a Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:

10 1. x 3 x (0, 6). x 4 3 x 7 0 (3, 1) 3. 1 x 4x 3 0 (0, 1) 4. 3x x 1 0 (5, 1) x 35x 50 0,, 3, x x w 4w 1 0 1, 1,, 3 3 x x , 1 x 1 x 1 x x x x , Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: x x 1. x (1 5, ). x , Να βρείτε την τιμή των παραμέτρων ώστε οι παρακάτω εξισώσεις να έχουν διπλή ρίζα και στη συνέχεια βρείτε τη διπλή ρίζα: 19 8 x x ή x ή x ,. x 1 x ή 3, x 3 ή x Να δείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πάντα λύση και στη συνέχεια βρείτε τη λύση. 1. x ( a ) x a 0. ax ( a ) x 0 3. x a x a 4 4a 0 x a 3a x a x a a x Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: a. x b. 4 x 3 c. x x Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: a. x x x b. x x x x c. x 3 x 6x 9 0 d. x x 1 x x 1 x Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:

11 a x x x x x b x x x x c x x x d x x x x Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 11 a x x x x b x x x Να λύσετε τις εξισώσεις: a. d(x, 5) d(3, x) b. d(y, 3) d(x,1) 0 c. d(x,1) 9x 6x Δίνεται η εξίσωση α. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: a a 3 3 K a, L a, M x 3x 0 και έστω α και β οι ρίζες της. β. Να βρείτε το τριώνυμο με ρίζες τους αριθμούς γ. Να λύσετε την εξίσωση: x L x M 0 3. Δίνεται η εξίσωση x k 1 x 16 0, k.. a a. α. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες για κάθε τιμή του k. β. Αν γνωρίζετε ότι ο λόγος των ριζών του είναι ίσος με -4, να βρείτε τις ρίζες και τον αριθμό k. 3.3 Δίνεται η εξίσωση x kx k 7 0,. α. Αν υποθέσετε ότι έχει δύο άνισες ρίζες με τη μία να είναι τριπλάσια της άλλης, να βρείτε την τιμή του k καθώς και τις ρίζες. β. Είναι δεκτές οι τιμές που βρήκατε; Ελέγξτε τη διακρίνουσα. 3.4 Δίνεται η εξίσωση: x k x k ( ) 8 0,. α. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες για κάθε τιμή του πραγματικού k. β. Αν η μία ρίζα ισούται με το τετράγωνο της άλλης, να βρείτε τις ρίζες και τον k. 3.5 Αν ο αριθμός α είναι ρίζα της εξίσωσης x ax a 3 0,,, να 4 δείξετε ότι ο αριθμός β είναι ρίζα της εξίσωσης: 3x 8a x 4a 0. Μπορείτε να βρείτε το πρόσημο των ριζών καθώς και την άλλη ρίζα του 1 ου τριωνύμου; 3.6 Δίνεται η εξίσωση: x k 1 x k 0, k. α. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες. β. Να βρείτε για ποιες τιμές του k η εξίσωση έχει: i. Δύο θετικές ρίζες ii. Δύο αρνητικές ρίζες iii. Δύο ετερόσημες ρίζες iv. Δύο αντίθετες ρίζες v. Δύο αντίστροφες ρίζες.

12 1 3.7 Δίνεται η εξίσωση: x k x k k 1 0,. α. Βρείτε για ποιες τιμές του k η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες. β. Να βρείτε το k ώστε να έχει δύο αντίστροφες ρίζες. γ. Να βρείτε το k ώστε να έχει δύο αντίθετες ρίζες. 3.8 Δίνεται η εξίσωση : x a x a a a ( 1) 0, 1,0. α) Να βρείτε τις ρίζες του τριωνύμου ως συνάρτηση του α. β) Να βρείτε το πρόσημο των ριζών του τριωνύμου. x a 1 x 1 0 γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης: 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 Να βρείτε αν συναληθεύουν τα παρακάτω ζεύγη ανισώσεων και να γράψετε τα αποτελέσματα σε μορφή ένωσης διαστημάτων: 3x 1 x 3(1 x) 5x 3 7( x 3) x 5 ( x 3) x 1 4(1 x) 5( x) 4. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: 1. x x 8 3. x 3x 4. x 3 x 1 x 1 x 1 3(1 1 x ) x x 1 1 4x 9 x Να λύσετε την ανίσωση: 3 1 x 5 και να γράψετε το αποτέλεσμα σε μορφή ένωσης διαστημάτων. 4.4 Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: x 1 1 4x x 1 x x 1 x a ή :. x (, ] [1, ). x, x x 4. 3 x x 7, 4,1. x, 1,. x 3, Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:

13 13 3 a x x x x x x 1. 4x 4x 1 0 ύ. 4x 4x 1 0 ύ x x 0 x,. x 16 0 x 4, (,1] [, ) , (,1] [1,5, ) x x x x x x, 5, x ύ x ύ x ( ). 3x 6x 3 0 ( x 1). x 1x 18 0 ( ύ x ). x x 5 0 ( ύ x ). x x 1 0 ( ύ ). x x 3 0 x [ 3,1]. 3x 9x 0 x (,0] [, ). 3x 1 x 0 x,0 0,. x x 0 x 1, x 4x 0 x 0,. 4x 5x 0 x 0, Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου α, ώστε οι παρακάτω ανισώσεις να ισχύουν για κάθε πραγματικό αριθμό χ. a x a x ax x a x a x a a. a,. a,. a, Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: a x x x x x x 5. ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 Δίνεται η ακολουθία με γενικό τύπο α ν =7-4ν. Να αποδείξετε ότι είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της. 5. Αν σε μια αριθμητική πρόοδο, η διαφορά του 7 ου από τον 15 ο όρο της είναι ίση με 40, να βρείτε τη διαφορά του 0 ου από τον 3 ο όρο της. 5.3 Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα: a b Αν σε αριθμητική πρόοδο ο 1 ος όρος της ισούται με 31 και ο 3 ος όρος της με 13, να βρείτε το άθροισμα των 1 πρώτων όρων της. 5.5 Αν σε αριθμητική πρόοδο, το άθροισμα των 1 πρώτων όρων της είναι 300, ενώ το άθροισμα των 16 πρώτων όρων της είναι 58, να βρείτε το άθροισμα των 0 πρώτων όρων

14 14 της. 5.6 Να βρείτε το πλήθος των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου, 5, 8, που απαιτούνται, ώστε το άθροισμά τους να μην ξεπερνάει το Έστω η πρόοδος : -0, -16, -1,. Να βρείτε το ελάχιστο πλήθος των όρων που απαιτούνται ώστε το άθροισμα τους να είναι θετικός αριθμός. 5.8 Αν σε μια αριθμητική πρόοδο με 015 όρους, ο μεσαίος είναι ίσος με 4, να βρείτε το άθροισμα των 015 όρων της. 5.9 Σε μια αριθμητική πρόοδο, ο 1 ος όρος της ισούται με 5, το άθροισμα των ν πρώτων όρων της με 400 και ο ν-οστός όρος της με 55, να βρείτε το πλήθος των όρων της καθώς και την διαφορά της προόδου Σε μια αριθμητική πρόοδο δίνεται ότι: S 16 -S 15 =400 και S 8 -S 7 =4. Να υπολογίσετε τo άθροισμα : α 11 +α 1 +α 13 +α 14 +α 15 +α Να λυθούν οι εξισώσεις: a x 80 b. ( x 1) ( x 4) ( x 7)... ( x 8) Δίνονται οι ακολουθίες με τύπους: a 17 5 v, 1 4 v. Να βρείτε τον v μοναδικό κοινό όρο των δύο ακολουθιών και στη συνέχεια να βρείτε τους μικρότερης τάξης όρους τους που να διαφέρουν κατά 10 μονάδες. v 5.13 Σε ένα αμφιθέατρο με 15 σειρές, το πλήθος των καθισμάτων από σειρά σε σειρά διαφέρει κατά σταθερό πλήθος θέσεων. Αν η μεσαία σειρά έχει 33 καθίσματα, να βρείτε το συνολικό πλήθος των θέσεων Δίνονται οι ακολουθίες α ν, β ν : -1, 4, 9, 14, και 5, 9, 13, 17,. Καθώς παρατηρείτε, είναι α 3 =β. Ποιοι είναι οι αμέσως επόμενοι ίσοι όροι τους; Τι άθροισμα έχουν οι 10 πρώτοι ίσοι όροι τους; 5.15 Σε ένα θέατρο, στην πρώτη σειρά υπάρχουν 1 θέσεις,στη δεύτερη 16 θέσεις, στην τρίτη 0 θέσεις κ.ο.κ. Σε μια παράσταση, στην 1 η σειρά υπάρχει μια κενή θέση, στη η σειρά 3 κενές, στην 3 η σειρά 5 κενές θέσεις κ.ο.κ.. Το θέατρο διαθέτει 16 σειρές καθισμάτων. Να βρείτε πόσοι θεατές παρακολουθούν την παράσταση Μεταξύ των αριθμών 7 και 40 να παρεμβάλλετε 10 όρους έτσι ώστε να φτιάχνουν μαζί με τους 7 και 40 μια αριθμητική πρόοδο Έστω ότι οι αριθμοί α=x-3, β=x+1 και γ=x+3 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Αν ο α είναι ο 3 ος όρος της προόδου αυτής, να υπολογίσετε το άθροισμα: α 1 +α 4 +α 7 + +α Σε πρόοδο με 1 ο όρο και διαφορά ίση με 3, να βρείτε το πλήθος των όρων που πρέπει να πάρουμε από τον 7 ο και μετά, ώστε το άθροισμα τους να είναι ίσο με 130. Στη συνέχεια να

15 15 υπολογίσετε το: α 7 +α 8 +α 9 + +α Να βρείτε τέσσερις διαδοχικούς όρους Α.Π με άθροισμα 0 και γινόμενο Να βρείτε το άθροισμα όλων των αριθμών από 1 έως 300 που δεν είναι πολλαπλάσια του 5 ή του Σε πρόοδο για την οποία γνωρίζουμε ότι α 1 =3 και ω=4, να βρείτε το άθροισμα των όρων της από τον 7 ο μέχρι και τον 0 ο και να υπολογίσετε το άθροισμα: α 1 +α 5 +α 9 +α α Αν ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας α ν είναι : v1 * 5, v, av να δείξετε ότι 3 αυτή είναι γεωμετρική πρόοδος. Στη συνέχεια να βρείτε το άθροισμα των 4 πρώτων όρων της. 5.3 Να βρείτε το άθροισμα των 6 πρώτων όρων της ακολουθίας με τύπο: a v 5 v. 5.4 Σε μια γεωμετρική πρόοδο ισχύει ότι: α 4 =4 και α 7 =19. Να βρείτε το λόγο και τον πρώτο όρο της προόδου και στη συνέχεια να υπολογίσετε το άθροισμα α 1 +α 3 +α 5 +α 7 + +α 11. Να βρείτε γεωμετρική πρόοδο σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: i. a a 4 a a ii. a a iii. a a 576 a a iv. a 14 a Να βρεθεί το άθροισμα των 100 πρώτων όρων της ακολουθίας: 1+α, +α, 4+3α, 8+4α,. 5.6 Να βρείτε τρεις ακέραιους αριθμούς α, β, γ αν γνωρίζετε ότι είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά ω, ενώ οι α, β+, γ+1 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με λόγο λ=ω Να βρείτε τρεις αριθμούς για τους οποίους γνωρίζουμε ότι α) Είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου β) Αν αυξηθεί ο πρώτος κατά 1, η πρόοδος γίνεται γεωμετρική και γ) αν αυξηθεί ο τρίτος κατά, η πρόοδος γίνεται πάλι γεωμετρική. 5.8 Να βρείτε τρεις διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, αν γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των δύο πρώτων είναι 10 και το άθροισμα των δύο τελευταίων είναι Δύο πρόοδοι, η πρώτη αριθμητική και η δεύτερη γεωμετρική, έχουν κοινούς τους δύο πρώτους όρους τους. Στην αριθμητική πρόοδο, ο 4 ος είναι 10 μονάδες μεγαλύτερος του ου ενώ στη γεωμετρική, η διαφορά 4 ου και ου όρου είναι 30 μονάδες. Να βρείτε τις προόδους Να λυθεί η εξίσωση: χ =

16 Μεταξύ των αριθμών 31 και 496, να παρεμβάλλετε τρεις όρους ώστε όλοι μαζί να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. 5.3 Να βρείτε την τιμή του χ ώστε: x 5.33 Αν γνωρίζετε ότι η ακολουθία (α ν ) είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ, να δείξετε ότι και η ακολουθία ( β ν ) με β ν =α 3ν-, είναι επίσης γεωμετρική πρόοδος Ο πρώτος όρος μιας αριθμητικής προόδου (α ν ) είναι 4 και οι α 1, α 5, α 11 αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. Να βρείτε τη διαφορά της αριθμητικής και το λόγο της γεωμετρικής προόδου Σε μια γεωμετρική πρόοδο ισχύει ότι: S3 168 a4 a5 a6 1. Να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου Να βρείτε τέσσερις διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου, αν γνωρίζετε ότι το γινόμενό τους είναι 79 και ο τέταρτος ισούται με το γινόμενο των δύο μεσαίων όρων. 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: x x 1 x f ( x), g( x), h( x) x, s( x) x x x x x x 3 6. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 3 x x x 3 x 1 x f ( x), g( x), h( x), s( x). x x x 5 x 10x 9 x x 6.3 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x), g(x) με τύπους: x x 1, x1, x0 f ( x) x 1, x g( x) x 3, x 0 a, x α. Να βρείτε τα: f(-3)+f(5), f(0)+g(0), f()-g(4). β. Να υπολογίσετε το α, αν f(-)+g(3)=0. γ. Να γράψετε την παράσταση: f(x )+g(x +1) Έστω η συνάρτηση με τύπο x 1 f( x). x 3 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

17 17. Nα υπολογίσετε σαν συνάρτηση του χ τις ποσότητες f(x), f(1-x). 3. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x), f(1-x). x 1 4. Να υπολογίσετε σαν συνάρτηση του χ την ποσότητα: f ( ). x 3 5. Να λύσετε την εξίσωση: x1 x1 f( ) f( ) 6 0. x3 x3 6.5 Να βρείτε αν υπάρχουν - τα σημεία τομής με τους άξονες των παρακάτω συναρτήσεων: 3 1. f(x) x x. g(x) 4 x 3. h(x) x x x 4. k(x) x 5 x x x 5. l(x) 6. m(x) 6.6 Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους: f(x) x 7x 6 g(x) x, x. a. Να βρείτε αν υπάρχουν σημεία τομής τους. β. Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες η C f είναι κάτω από την C g. 6.7 Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους: f(x) x 4x 4 g(x) x 4x, x. a. Να βρείτε αν υπάρχουν σημεία τομής τους. β. Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες η C f είναι κάτω από την C g. 6.8 Να ελέγξετε αν κάποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις, έχουν άξονα συμμετρίας τον χχ ή τον yy f(x) x 6x 9. g(x) x 4x 3. h(x) 3 x 1 x 4. l(x) 5. m(x) x x 6. k(x) x 3 x 1 x 1 x 7. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 7.1 Έστω α, β ρίζες της εξίσωσης : x -3x-=0. 1. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: Α=α β+αβ και Β=α +β +αβ.. Να γράψετε την δευτεροβάθμια εξίσωση που έχει ρίζες τους Α, Β. 3. Να γράψετε την δευτεροβάθμια εξίσωση με ρίζες τους α+3, β+3. x 1 x 7. Δίνεται η δευτεροβάθμια εξίσωση: ρίζες της είναι το (-1) και το. x a k x a ( ) 3 0. Γνωρίζουμε ότι οι

18 18 1. Να δείξετε ότι 9a1k.. Να δείξετε ότι η εξίσωση: 9x 15x14 0 έχει ρίζες τους α και k. 3. Να δείξετε ότι: 81a k 108ak Δίνεται η εξίσωση: x (1) x Να περιορίσετε κατάλληλα τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε να έχει δύο άνισες ρίζες.. Να περιορίσετε κατάλληλα τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε να έχει δύο θετικές ρίζες. 3. Να βρείτε αν υπάρχει τιμή του λ ώστε να έχει δύο αντίστροφες ρίζες. 7.4 Δίνεται η εξίσωση: x a x a ( 3 ) Αν x 1, x είναι οι ρίζες της και ισχύει η σχέση: x 1 +x (+x 1 )=1, να βρείτε τον αριθμό β.. Για την τιμή του β που βρήκατε, να υπολογίσετε την διακρίνουσα της αρχικής εξίσωσης σαν συνάρτηση του α. 3. Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα. 4. Για τη μεγαλύτερη από τις τιμές του α που βρήκατε να λύσετε την αρχική εξίσωση. 7.5 Δίνεται η εξίσωση: x a x a a ( ) 0,. 1. Να δείξετε ότι έχει δύο άνισες ρίζες για κάθε πραγματικό αριθμό α.. Αν το γινόμενο των ριζών του είναι 6, να βρείτε τον α. 3. Για την τιμή του α που προσδιορίσατε, να λύσετε την εξίσωση. 7.6 Έστω δύο τριώνυμα Τ1 και Τ με διακρίνουσες Δ 1 και Δ αντίστοιχα, για τις οποίες ισχύει η σχέση: Να δείξετε ότι το Τ1 έχει δύο άνισες ρίζες, ενώ το Τ καμία.. Αν για τα Τ1, Τ γνωρίζουμε ότι έχουν ίσα τα α και β με α=3, β=- να βρείτε τις ρίζες του Τ1. 3. Να βρείτε τους τύπους των δύο τριωνύμων. 7.7 Δίνεται η εξίσωση: x ( a 1) x a 4 0, a. 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή του α.. Να βρείτε σε ποιο διάστημα πραγματικών αριθμών πρέπει να ανήκει ο α, ώστε η εξίσωση να έχει δύο αρνητικές ρίζες. 3. Αν το α πάρει τη μεγαλύτερη ακέραια τιμή του διαστήματος που προσδιορίσατε στο προηγούμενο ερώτημα, να λύσετε την ανίσωση: 004 x ax ( a 5) 0.

19 Έστω η συνάρτηση με τύπο: f ( x) x ax a 1, a. 1. Να βρείτε τη διακρίνουσα της ως συνάρτηση του α.. Να αποδείξετε ότι έχει δύο ρίζες για κάθε τιμή του α. 3. Αν η εξίσωση f(x)=0 έχει δύο άνισες ρίζες, να λυθεί η εξίσωση: ( a )( a a ) Δίνεται η εξίσωση: x x 1 0,. α. Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση είναι πρώτου και για ποιες δεύτερου βαθμού; β. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει δύο ίσες ρίζες, καθώς και τις ρίζες αυτές. γ. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει δύο άνισες ετερόσημες ρίζες. δ. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει δύο αρνητικές ρίζες. ε. Να βρείτε το λ ώστε το πρώτο μέλος της εξίσωσης να παίρνει μόνο θετικές τιμές για κάθε πραγματικό αριθμό χ. στ. Βρείτε αν υπάρχουν τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο αντίθετες ρίζες Να λύσετε την ανίσωση: 7.11 Δ ίνεται η εξίσωση: x x 3 x 0 3 x 4 0,, για την οποία ισχύει ότι το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών της ισούται με 13. Να βρείτε τις ρίζες και το λ, αν επιπλέον γνωρίζετε ότι οι δύο ρίζες της είναι θετικές. 7.1 Δίνεται η εξίσωση: x x 0, {} α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για κάθε β. Αν ρ 1 και ρ ( όπου η ρ εξαρτάται από το λ) είναι οι ρίζες της, να βρείτε το λ ώστε να ισχύει: Δίνεται η εξίσωση: x x 3 3 0,. Να βρείτε το λ και τις δύο ρίζες της, αν γνωρίζετε ότι η μία ισούται με το τετράγωνο της άλλης. x 3 x 4 0, Δίνεται η εξίσωση: α. Να εκφράσετε τη διακρίνουσα ως συνάρτηση του λ και να τη φέρετε σε μορφή γινομένου πρωτοβάθμιων παραγόντων. β. Να βρείτε για ποιες αρνητικές ακέραιες τιμές του λ η εξίσωση είναι αδύνατη. γ. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει δύο θετικές ρίζες.

20 0 δ. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει δύο αντίστροφες ρίζες. ε. Αν η αρχική εξίσωση έχει δύο ίσες ρίζες, να δείξετε ότι η εξίσωση: x ( 4 1) x 1 0, έχει επίσης πραγματικές ρίζες Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το Α(0,1). α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να δείξετε ότι α=1. β. Να λύσετε την ανίσωση: f( x) 0. f ( x) x ax a x x 1, a 0, της γ. Αν x ( 1, ), να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης. x, να λύσετε την ανίσωση: f 3 x f x δ. Αν (0,) f f x 1 x ά x. x 1 x 1 ε. Να αποδείξετε ότι: 7.16 Σε ένα σχολείο φοιτούν 00 άτομα. Από τους μαθητές, 150 άτομα μιλούν Αγγλικά, 110 άτομα μιλούν Γαλλικά ενώ 60 άτομα μιλούν μόνο Αγγλικά. Διαλέγουμε ένα μαθητή στην τύχη. Αν επιλέξουμε ένα μαθητή στην τύχη, να βρείτε την πιθανότητα: α) Να μιλά και τις δύο ξένες γλώσσες β) Να μιλά μια τουλάχιστον από τις δύο γλώσσες. γ) Να μη μιλά καμιά από τις δύο ξένες γλώσσες. δ) Να μιλά ακριβώς μία από τις δύο γλώσσες Δίνεται το τριώνυμο με τύπο: f x x ax a a ( ), (0,3) 1. Να δείξετε ότι το τριώνυμο διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε x.. Να βρείτε το α ώστε η εξίσωση : a f ( x) ( x a) ( a 1) να έχει δύο ίσες ρίζες. 3. Να βρείτε τις τιμές του α, ώστε η ελάχιστη τιμή του f(x) να είναι τουλάχιστον Δίνεται η αριθμητική πρόοδος για την οποία γνωρίζουμε ότι: a 4, a α) Να δείξετε ότι a 5, 3. 1 β) Να βρείτε ποιος όρος της προόδου ισούται με -61. γ) Να υπολογίσετε το άθροισμα: δ) Να υπολογίσετε το άθροισμα: a a a... a ε) Να βρείτε πόσους το πολύ όρους της προόδου πρέπει να πάρουμε, ώστε το άθροισμά τους να ξεπερνά τον αριθμό (-55). Δίνεται ότι:

21 Δίνονται οι αριθμοί: 4 x, x, 8 x. α) Να βρείτε την τιμή του χ ώστε να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. β) Αν γνωρίζετε ότι ο πρώτος όρος της παραπάνω προόδου είναι ο αριθμός (-64), να βρείτε ποιοι όροι είναι οι τρεις που δόθηκαν. γ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: a a a... a α) Να βρείτε την τιμή του χ, ώστε οι αριθμοί:, x, 1 x να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. β) Αν ο μεσαίος από αυτούς είναι ο 5 ος όρος της προόδου, να βρείτε τον 1 ο όρο της. γ) Υπολογίστε το άθροισμα: a a a... a Δίνεται η εξίσωση: x ( x1),. (*) 1. Να δείξετε ότι η (*) έχει δύο άνισες ρίζες για κάθε λ. x1 x. Αν για τις ρίζες x1, x (*) ύ : 5, x x να βρείτε το λ Να βρείτε την εξίσωση με ρίζες τα x11, x Έστω η συνάρτηση με τύπο: f x x x ( ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.. Να λύσετε την ανίσωση f( x) 1 3. Να λύσετε την εξίσωση f ( x) x 3 4. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β για τους οποίους ισχύει η σχέση f( ) f( ) Δίνεται η παράσταση: k 3 k 1 A Για τις τιμές του k που επαληθεύουν την εξίσωση Α=0, να λυθεί η εξίσωση: kx kx k 9 0. (1). Για τις τιμές του κ που επαληθεύουν την ανίσωση Α<0, να βρείτε το πλήθος των ριζών της (1) δικαιολογώντας την απάντησή σας. 7.4 Δίνεται η εξίσωση : x (a )x (a a ) Να δείξετε ότι έχει δύο άνισες ρίζες για κάθε α πραγματικό.. Αν γνωρίζετε ότι x 1 x, όπου x 1, x ρίζες της εξίσωσης, να υπολογίσετε το α και τις ρίζες της.

22 7.5 Δίνεται η εξίσωση: x x 1 0,. α. Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση είναι πρώτου και για ποιες δεύτερου βαθμού; β. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει δύο ίσες ρίζες, καθώς και τις ρίζες αυτές. γ. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει δύο άνισες ετερόσημες ρίζες. δ. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει δύο αρνητικές ρίζες. ε. Να βρείτε το λ ώστε το πρώτο μέλος της εξίσωσης να παίρνει μόνο θετικές τιμές για κάθε πραγματικό αριθμό χ. στ. Βρείτε αν υπάρχουν τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο αντίθετες ρίζες. 7.6 Δίνεται η εξίσωση: x 3 x 4 0,, για την οποία ισχύει ότι το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών της ισούται με 13. Α. Να βρείτε τις ρίζες και το λ, αν επιπλέον γνωρίζετε ότι οι δύο ρίζες της είναι θετικές. Β. Για τη μεγαλύτερη από τις τιμές του λ που βρήκατε, να λύσετε την ανίσωση: (x 1) x Δίνεται η εξίσωση: x x 0, {} α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για κάθε β. Αν ρ 1 και ρ ( όπου η ρ εξαρτάται από το λ) είναι οι ρίζες της, να βρείτε το λ ώστε να ισχύει: 4 1 x 3 x 4 0,. 7.8 Δίνεται η εξίσωση: α. Να εκφράσετε τη διακρίνουσα ως συνάρτηση του λ και να τη φέρετε σε μορφή γινομένου πρωτοβάθμιων παραγόντων. β. Να βρείτε για ποιες αρνητικές ακέραιες τιμές του λ η εξίσωση είναι αδύνατη. γ. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει δύο θετικές ρίζες. δ. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει δύο αντίστροφες ρίζες. ε. Αν η αρχική εξίσωση έχει δύο ίσες ρίζες, να δείξετε ότι η εξίσωση: x ( 4 1) x 1 0, έχει επίσης πραγματικές ρίζες. 7.9 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x) 3 x x x x 4x 3 α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να δείξετε ότι. x x f(x). x 3 β. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής της παράστασης με τους άξονες. γ. Να βρείτε αν υπάρχουν σημεία τομής της C f με την ευθεία με εξίσωση

23 3 y 3x δ. Να λύσετε την ανίσωση: x 3 f(x) x 16f(1) Δίνονται ο δειγματικός χώρος Ω με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης, καθώς και τα σύνθετα ενδεχόμενά του Α, Β που περιγράφονται ως εξής: x x x 3x 4 0, A x x x 1 4 B x x ύ x 8x 0 α. Να βρείτε τα σύνολα Ω, Α και Β. β. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων A, B, A B, A B, A B. γ. Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιείται ένα ακριβώς από τα ενδεχόμενα Α,Β καθώς και την πιθανότητα να πραγματοποιείται το Α ή να μην πραγματοποιείται το Β Έστω δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία γνωρίζουμε ότι A B, καθώς και ότι οι πιθανότητες των δύο ενδεχομένων, είναι οι ρίζες της εξίσωσης 6x 5x 1 0. α. Να βρείτε τις πιθανότητες P(A) και P(B). β. Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα Α και Β. γ. Να βρείτε την εξίσωση δευτέρου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς P(A B ) P(A B ). 7.3 Δίνονται οι ακέραιοι αριθμοί : 3x 5, x 5, 6x οι οποίοι αποτελούν διαδοχικούς όρους μιας γεωμετρικής προόδου. α. Να βρείτε το x, τους όρους καθώς και το λόγο της προόδου β. Αν χ=-1 και οι όροι,, είναι οι πιθανότητες 3x 5 x 5 6x P(A), P(A B), P(A B) δύο ενδεχομένων Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, να υπολογίσετε: i. Ta P(A), P(A B), P(A B) P(B). ii. Τις πιθανότητες: P(A B), P(A B ) P((A B) (B A)) Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος: 1, P(A), P(B), P(A B),, α. Να βρείτε το λόγο της προόδου καθώς και τις πιθανότητες των ενδεχομένων P(A), P(A B), P(A B) P(B). β. Να δείξετε ότι η πιθανότητα πραγματοποίησης του (Β-Α) είναι επίσης όρος της παραπάνω γεωμετρικής προόδου.

24 4 γ. Ανάμεσα στα P(A) P(A B), να παρεμβάλλετε τρεις όρους, ώστε οι 5 αριθμοί να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. x x x x β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: 7.35 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: x x f ( x) 1, να δείξετε ότι αβ+1=0. f x x a x a a ( ) ( ),,. α. Αν τέμνει τον οριζόντιο άξονα στα σημεία Α(,0) και Β(3,0), να βρείτε τα α και β. β. i. Για α=- και β=3, να βρείτε για ποιες τιμές του χ η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι πάνω από τον χχ. ii. Να λύσετε την εξίσωση: f( x 1) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. f( x) 4 x x β. Να δείξετε ότι f(x)=f(-x) για κάθε χ που ανήκει στο πεδίο ορισμού της. γ. Να δείξετε ότι: f ( a) f ( b) 0, ό α και b ρίζες της εξίσωσης : x k k 0, [,0) (0,]. δ. Να βρείτε για ποιες τιμές του χ ορίζεται η συνάρτηση με τύπο: g( x) f ( x ) 7.37 Δίνεται η εξίσωση (ε): και ισχύει ότι : ρ =ρ 1 τότε: x a x a a ( ) 1 0,. Αν ρ 1, ρ οι ρίζες της (ε) α. Να δείξετε ότι έχει δύο ρίζες για κάθε α πραγματικό και να τις εκφράσετε σαν συνάρτηση του α. β. Να υπολογίσετε τα ρ 1,ρ και α Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: x x f( x) x 1. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και στη συνέχεια να απλοποιήσετε τον τύπο της. β. Να αποδείξετε ότι f(-x)=f(x). γ. Να λύσετε την ανίσωση: f( x) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να απλοποιήσετε τον τύπο της. gx ( ) x x x x 3

25 5 γ. Να βρείτε τα κοινά σημεία της f με την ευθεία με εξίσωση y=. δ. Να βρείτε για ποιες τιμές του χ, η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα ψψ Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α ώστε η σχέση: ( a 3) x 5x a 3 0, να ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό x Δίνονται τα τριώνυμα : T x x x K x x x x ( ) 3 1 ( ),. α. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το Τ(χ) έχει δύο ίσες ρίζες. β. Να βρείτε τα λ και μ ώστε το Τ(χ) να έχει δύο ίσες ρίζες και το Κ(χ) να έχει δύο άνισες και αντίστροφες ρίζες. γ. Για λ=-5 και μ=1, να υπολογίσετε τις δύο αντίστροφες ρίζες του Κ(χ). 7.4 Δίνεται ότι : -<χ<1 καθώς και οι παραστάσεις : A x x 1 x x 3 α. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α και Β. β. Να λύσετε την εξίσωση Α=Β. γ. Να αποδείξετε ότι 1 A B 0, ά x. 8. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΣΩΣΤΟΥ»- «ΛΑΘΟΥΣ» 1. Ισχύει ότι x x, ά x.. Ισχύει ότι a a ά, (0, ). 3. Ισχύει ότι xy x y. 4. Δύο ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα αν AB 5. Η εξίσωση x v =α, έχει πάντα πραγματική λύση για ν περιττό. 6. Η τομή δύο ενδεχομένων είναι σύνολο. 7. Ισχύει η σχέση: d(x,y)=d(x-1,y-1) 8. Για θετικούς αριθμούς x, y ισχύει ότι: d(x,y)=d(x,-y) 9. Ισχύει ότι: α+β < α + β για οποιουσδήποτε πραγματικούς α,β. 10.Το τετράγωνο ενός πραγματικού αριθμού είναι θετικός αριθμός. 11. Η εξίσωση χ+1 =- είναι αδύνατη. 1.Για μια γνήσια αύξουσα συνάρτηση f, ισχύει ότι: f( x ) f( x ), ά x. 13. Ισχύει η σχέση: x y x y, ά x,y. 14. Αν μια ανίσωση ου βαθμού αληθεύει για κάθε χ πραγματικό, η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι θετική.

26 6 15. Ένα τριώνυμο για το οποίο ισχύει αγ<0, έχει δύο ετερόσημες ρίζες. 16. Αν η Δ ενός τριωνύμου είναι μηδέν, το τριώνυμο γράφεται σαν τετράγωνο διωνύμου. 17. Αν σε ένα τριώνυμο ισχύει 0, τότε έχει δύο άνισες ρίζες. a 18. Ένα σύστημα μιας πρωτοβάθμιας με μια δευτεροβάθμια εξίσωσης, μπορεί να έχει από καμία έως τέσσερις λύσεις. 19. Η σχέση x1 x αληθεύει και στην περίπτωση που Δ=0. 0. Η ισότητα a a, ισχύει μόνο αν α=0 ή β=0. 1. Αν -1<χ<0, η παράσταση Α= -χ + 1+χ είναι ανεξάρτητη του χ.. Η σχέση x 9 x 9, αληθεύει μόνο αν 3 x Η ισότητα x x, είναι αληθής μόνο αν χ>. 4. Δύο τριώνυμα που έχουν τις ίδιες άνισες ρίζες, ταυτίζονται. 5. Μία συνάρτηση μπορεί να είναι ή γνήσια φθίνουσα ή γνήσια αύξουσα. 6. Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα τότε ισχύει η σχέση: f x f x ά x ( 1) ( ), 1 7. Η εξίσωση 8. Η εξίσωση 015 x a, a 0, είναι αδύνατη. 016 x a, a 0,έχει πάντοτε μία λύση. 9. Η ποσότητα αριθμών α και x. 30. Αν χ <1, τότε 4 ax είναι ίση με την x x x ax για κάθε τιμή των πραγματικών 31. Μια δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να έχει το πολύ δύο ρίζες. 3. Ισχύει η σχέση: 4 4 x x, ά x. 33. Μια δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να έχει δύο ίσες και αντίστροφες ρίζες.

27 7 34. Αν α, β ετερόσημοι αριθμοί, ισχύει ότι α+β = α - β 35. Αν α, β ομόσημοι, ισχύει η ισοδυναμία: a a v v 36. Αν α, β ομόσημοι, ισχύει η ισοδυναμία: a 1 1 a 37. Αν η εξίσωση αχ +βχ+γ=0 έχει αντίθετες ρίζες, τότε β= Ένα τριώνυμο με Δ<0 παίρνει μόνο αρνητικές τιμές. 39. Σε αριθμητική πρόοδο ισχύει πάντα α ν+1 +α ν-1 =α ν 40. Η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου πρέπει να είναι μη αρνητικός αριθμός. 41. Αν οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, ισχύει β-α=γ-α. 4. Σε κάθε πρόοδο ισχύει η ισότητα S v+1 -S v =a v Αν η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος, τότε και η (β ν ) με β ν =α ν - είναι επίσης αριθμητική πρόοδος. 44. Αν η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος, τότε και η (β ν ) με β ν =-α ν είναι επίσης αριθμητική πρόοδος. 45. Σε μια γεωμετρική πρόοδο ισχύει πάντα η σχέση: a a v 015 a a v Σε μια αριθμητική πρόοδο ισχύει πάντα η σχέση: a a a a v 015 v Αν Α, Β δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα, ισχύει ότι: P(A B) P(A) 48. Αν Α, Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δ.χ Ω, ισχύει ότι P(A B) P(A B) 49. Αν Α, Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δ.χ Ω, ισχύει ότι P(A B) P(A) 50. Αν Α, Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δ.χ Ω, ισχύει ότι P(A) P(B) 1 P(A B)

28 8 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΩΣΤΑ-ΛΑΘΟΣ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Σ Σ Σ Λ Σ Σ Λ Λ Σ Λ Σ Λ Λ Λ Λ Σ Λ Λ Λ Λ Σ Λ Σ Σ Λ Σ Σ Λ Σ Λ Λ Σ Σ Λ Σ Σ Σ Λ Σ Σ 9.ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι είναι δειγματικός χώρος; Τι ονομάζουμε ενδεχόμενο; Ποιο ενδεχόμενο χαρακτηρίζεται ως βέβαιο και ποιο ως αδύνατο; (1,). Πότε δύο ενδεχόμενα χαρακτηρίζονται ασυμβίβαστα και πότε συμπληρωματικά; Είναι τα ασυμβίβαστα συμπληρωματικά; Είναι τα συμπληρωματικά ασυμβίβαστα; (3) 3. Να παραστήσετε με τη βοήθεια διαγραμμάτων τα:,,,,. Στη συνέχεια να διατυπώσετε σε κοινή γλώσσα τις αντίστοιχες πράξεις. (,3,4) 4. Να δώσετε τον ορισμό της πιθανότητας, για ισοπίθανα ενδεχόμενα (3) 6. Να αποδείξετε ότι: P( A) 1 P( A) (33) 7. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε τον προσθετικό νόμο για τις πιθανότητες (33) 8. Να αποδείξετε ότι: P( A B) P( A) P( A B) (33) 9. Να αποδείξετε ότι αν A B ό P( A) P( B) (34) 10. Τι έχουμε δικαίωμα να κάνουμε στα δύο μέλη μιας ανίσωσης; Τι πράξεις επιτρέπεται να κάνουμε μεταξύ δύο ομόρροπων ανισώσεων; (55)

29 9 11. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού. Να δικαιολογήσετε ότι: α =α. (61,6) 1. Να αποδείξετε ότι: αβ = α β. Ισχύει για περισσότερους από δύο παράγοντες; (6) 13. Να αποδείξετε ότι: a a (6,63) 14. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ανισώσεις παραλείποντας τις απόλυτες τιμές: x x p x x p o 15. Πως ορίζεται η τετραγωνική και πως η ν-οστή ρίζα ενός πραγματικού αριθμού α; (69,70) 16. Να αποδείξετε την παρακάτω ιδιότητα πραγματικών αριθμών: a a. Επεκτείνεται και για περισσότερους από δύο όρους; (71) v v v o 17. Να αναφέρετε και όποιες άλλες ιδιότητες ριζών γνωρίζετε. Η ισότητα με ποιες προϋποθέσεις για τους α, ν, k ισχύει; (7) k v k v a a 18. Να διερευνήσετε την εξίσωση: αx=β (79) 19. Να διερευνήσετε την εξίσωση: v x a (86) 0. Να διερευνήσετε την εξίσωση ax x a 0, 0 (89) 1. Να αποδείξετε τους τύπους που δίνουν το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών ενός τριωνύμου. Να δείξετε πως αν το άθροισμα δύο αριθμών είναι s και το γινόμενο p, οι αριθμοί είναι ρίζες του τριωνύμου x -sx+p=0 (90). Να διατυπώσετε τα συμπεράσματα από τη μελέτη για το πρόσημο τριωνύμου (πινακάκι σελ.109) 3. Να δώσετε τον ορισμό της αριθμητικής προόδου και να αποδείξετε ότι: a a v (16) v Να αποδείξετε ότι οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, αν και μόνο αν β=α+γ. Να γράψετε τους τύπους που δίνουν το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου (17) 5. Να δώσετε τον ορισμό της γεωμετρικής προόδου και να αποδείξετε ότι: 1 (133) 1

30 30 6. Να αποδείξετε ότι τρεις μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν. (134) 7. Να γράψετε τον τύπο που δίνει το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο 1. (134) 8. Να γράψετε τον ορισμό της συνάρτησης. Τι ονομάζουμε πεδίο ορισμού και τι σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f ; (146 και 148) 9. Ποιες συντεταγμένες έχουν τα συμμετρικά ενός σημείου Μ(α, β) ως προς τον χχ, τον ψψ και το σημείο Ο(0,0) αντίστοιχα; (153,154) 30. Πώς βρίσκουμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης με τους άξονες; Πως βρίσκουμε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων; 31. Τι ονομάζουμε κλίση μιας ευθείας; Τι τιμές παίρνει; Για ποιες ευθείες δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης; (159,160) 3. Πότε δύο ευθείες είναι παράλληλες; Πότε δύο ευθείες τέμνουν τον ψψ στο ίδιο σημείο; (16).

31 31

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 Να

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 4ο Λύκειο Περιστερίου Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν ααννάά εεννόόττηητταα ΑΛΓΕΒΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α Α ΟΜΑ Α Πιθανότητες: 1. Να βρείτε τον δ.χ. των παρακάτω πειραµάτων τύχης. ι) Ρίχνουµε ένα νόµισµα και σταµατάµε όταν έρθουν 3 κεφαλές και γράµµατα ιι) Ρίχνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΏΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ της Α Λυκείου δίνοντας τους τις εκφωνήσεις μαζί με τις λύσεις (ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

-1- ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

-1- ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ . GI_A_ALG 474 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Θεωρούμε την ακολουθία α των θετικών περιττών αριθμών:,3,5,7,... ν --. Να αιτιολογήσετε

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr 1 Πρόσημο τριωνύμου - λύση ανίσωσης ου βαθμού Έστω το τριώνυμο f(x) = x - 4x - 1. Θέλουμε να εξετάσουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής x το τριώνυμο f(x) γίνεται θετικό, για ποιες τιμές του x γίνεται αρνητικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 6.3 Ασκήσεις: όλες Άσκηση 1 Δίνεται η συνάρτηση f, με x 5x+ 6 f ( x) =. x 3 α) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

1η έκδοση Αύγουστος2014

1η έκδοση Αύγουστος2014 mat hemat i c a. gr η έκδοση Αύγουστος04 Μία παρέα διαδικτυακών μαθηματικών φίλων, μελών του http://www.mathematica.gr, μοιράστηκε την ευθύνη, να παρουσιάσει στην κοινότητα τις λύσεις των Μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου 4 ΓΛΧ. Μ. Παπαγρηγοράκης Χανιά. Άλγεβρα 12.09

Α Λυκείου 4 ΓΛΧ. Μ. Παπαγρηγοράκης Χανιά. Άλγεβρα 12.09 Α Λυκείου ΓΛΧ Μ Παπαγρηγοράκης Χανιά Άλγεβρα 9 Ευχαριστώ το συνάδελφο Θανάση Νικολόπουλο από το Γυμνάσιο ΛΤ Βολιμών Ζακύνθου για τις εύστοχες παρατηρήσεις και τις διορθώσεις που έκανε στην αρχική έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις θεμάτων Άλγεβρας Τράπεζας θεμάτων ανά ενότητα. 2ο θέμα

Εκφωνήσεις θεμάτων Άλγεβρας Τράπεζας θεμάτων ανά ενότητα. 2ο θέμα .497 Πιιθαννότητεεςς ο θέμα Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες: η Ειρήνη (Ε)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων.

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων. Άλγεβρα Α Λυκείου Το υλικό αυτό αποτελείται από μικρές θεωρητικές υποδείξεις και ασκήσεις και προβλήματα που έχω αξιοποιήσει στην τάξη μου για τη διδασκαλία της Άλγεβρας της Α Λυκείου (Ημερήσιο Γενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών 1. Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i. 5 7 ii. 8 6 iii. 6 4 iv. 9 5 v. 15 15 vi. 17 0 vii. 0 15 viii. 13 14 ix. 12 16 2. Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i. 6,35

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4. Δίνεται η εξίσωση. α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η εξίσωση να είναι 1 ου βαθμού. (Μονάδες 5)

ΘΕΜΑ 4. Δίνεται η εξίσωση. α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η εξίσωση να είναι 1 ου βαθμού. (Μονάδες 5) Δίνεται η εξίσωση (8-λ)x 2-2(λ-2)x+1=0, με παράμετρο λ R. α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η εξίσωση να είναι 1 ου βαθμού. (Μονάδες 5) β) Αν η εξίσωση είναι 2 ου βαθμού, να βρείτε τις τιμές του λ ώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ; Το «σωσίβιό» σου στον ωκεανό της Γ Λυκείου! ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΛΙΑΤΣΟΣ ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΗ ΣΥΜΠΕΠΛΗΡΩΜΕΝΗ ΕΚΔΟΣΗ!

ΠΩΣ; Το «σωσίβιό» σου στον ωκεανό της Γ Λυκείου! ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΛΙΑΤΣΟΣ ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΗ ΣΥΜΠΕΠΛΗΡΩΜΕΝΗ ΕΚΔΟΣΗ! ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΛΙΑΤΣΟΣ Καθηγητής Μαθηµατικών άμιλλα φροντιστήρια ΠΩΣ; Βασικά στοιχεία από την Άλγεβρα της Α και Β Λυκείου, αλλά και από την Κατεύθυνση της Β Λυκείου, που είναι απαραίτητα στα Μαθηµατικά Κατεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 5.2 Ασκήσεις: 1-17 Θεωρία ως και την 5.3 Ασκήσεις: 18-24 Άσκηση 1 Θεωρούμε την ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Άλγεβρα Α Λυκείου, Κεφάλαιο ο ΘΕΩΡΙΑ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ [ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 5% συμμετέχει στη ομάδα, το 30% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα ποδοσφαίρου και το 15%

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΜΟΥ

ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΜΟΥ 5 ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ου ΒΑΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Για να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου αχ +βχ+γ βρίκουμε την διακρίνουσα Δ=β - 4αγ και αν: Δ>0,το τριώνυμο έχει δυο ρίζες χ 1,χ και το προσημό

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα