ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΗΜΑ ΤΕΥΧΟΣ ΚΑ' ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2004 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΕΚΔΟΣΗΣ ΓΡΗΓΟΡΗΣ ΜΑΚΡΙΔΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΚΑΡΑΜΑΝΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΦΙΛΙΠΠΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΗΜΑ ΤΕΥΧΟΣ ΚΑ' ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2004 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΕΚΔΟΣΗΣ ΓΡΗΓΟΡΗΣ ΜΑΚΡΙΔΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΚΑΡΑΜΑΝΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΦΙΛΙΠΠΟΥ"

Transcript

1

2

3 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΗΜΑ ΤΕΥΧΟΣ ΚΑ' ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 004 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΕΚΔΟΣΗΣ ΓΡΗΓΟΡΗΣ ΜΑΚΡΙΔΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΚΑΡΑΜΑΝΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΦΙΛΙΠΠΟΥ

4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΗΜΑ ΤΕΥΧΟΣ ΚΑ ΕΚΔΟΣΗ ΚΥΠΡΙΑΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 004 ISSN ΓΕΝΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΣΤΑΣ ΚΑΡΑΜΑΝΟΣ ΤΥΠΩΘΗΚΕ ΣΤΑ ΤΥΠΟΓΡΑΦΕΙΑ ΑΛΩΝΕΥΤΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΤΔ

5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η η έκδοση του ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΒΗΜΑΤΟΣ της Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας περιέχει όλους τους διαγωνισμούς της ΚΥΜΕ κατά τη σχολική χρονιά , τους διεθνείς διαγωνισμούς, όλες τις ενιαίες και απολυτήριες εξετάσεις, τις εισαγωγικές εξετάσεις για τα ανώτατα και ανώτερα εκπαιδευτικά ι- δρύματα της Κύπρου και της Ελλάδας, εργασίες συναδέλφων Μαθηματικών και θέματα από εκδηλώσεις και συνέδρια. Στόχος της Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας είναι η καλύτερη ενημέρωση για θέματα Μαθηματικής Παιδείας τόσο των μαθητών όσο και των συναδέλφων Μαθηματικών. Θέλουμε να πιστεύουμε ότι με αυτή την έκδοση επιτυγχάνουμε σ ένα μεγάλο βαθμό το σκοπό αυτό ο οποίος συμπληρώνεται με τα διάφορα σεμινάρια, συνέδρια και το καλοκαιρινό μαθηματικό σχολείο που η ΚΥΜΕ οργανώνει κάθε χρόνο. Η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία ενθαρρύνει τους συναδέλφους Μαθηματικούς να στέλνουν εργασίες τους οι οποίες θα είναι χρήσιμες για εκπαιδευτικούς και μαθητές και ανάλογα με το συνολικό όγκο της έκδοσης, να δημοσιεύονται στο επόμενο «Μαθηματικό Βήμα» Ευχαριστώ όλους τους συναδέλφους οι οποίοι βοηθούν στην προώθηση του Μαθηματικού Βήματος στα σχολεία και τους μαθητές και ειδικότερα όσους βοήθησαν στην έκδοση του τεύχους αυτού. Δρ Γρηγόρης Μακρίδης Πρόεδρος Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας Δεκέμβριος 004

6

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ... 7 ΧΑΙΡΕΤΙΣΜΟΣ... 8 ΤΟΥ ΠΡΟΕΔΡΟΥ ΤΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ, ΔΡΑ ΓΡΗΓΟΡΗ ΜΑΚΡΙΔΗ ΣΤΙΣ ΤΕΛΕΤΕΣ ΒΡΑΒΕΥΣΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 004 ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΚΥΜΕ... 0 ΧΟΡΗΓΟΙ ΚΥΠΡΙΑΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΟΜΑΔΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ «ΖΗΝΩΝ»... 5 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ... 6 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ... 7 MATHEU... 8 ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ, ΚΙΝΗΤΡΑ ΚΑΙ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΑΛΕΝΤΩΝ ΣΕ ΕΥΡΩΠΑΪΚΑ ΣΧΟΛΕΙΑ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ... 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ... 6 ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΑ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΠΡΟΥ... 8 ΕΝΙΑΙΕΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΛΥΚΕΙΩΝ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΕΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΛΥΚΕΙΩΝ... 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΕΝΙΑΙΕΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΧ. ΣΧΟΛΩΝ... 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (4ωρο) ΕΝΙΑΙΕΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΧ. ΣΧΟΛΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ωρο) ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠ. ΙΔΡΥΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠ. ΙΔΡΥΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Για αποφοίτους Τεχνικών Σχολών) ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΑ ΕΚΠ. ΙΔΡΥΜΑΤΑ (T.E.I.) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ T.E.I. ΕΠΑΡΧΙΑΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΕΥΚΩΣΙΑΣ Β ΚΑΙ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

8 ΕΠΑΡΧΙΑΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΕΜΕΣΟΥ... 0 Β ΚΑΙ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟΣ ΔΙΑΓ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΑΡΝΑΚΑΣ ΑΜΜΟΧΩΣΤΟΥ Β ΚΑΙ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΦΟΥ... Β ΚΑΙ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ... 5 ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ... 9 ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΚΑΤΩ ΤΩΝ 5 ½ ΕΤΩΝ... 9 ΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΚΑΤΩ ΤΩΝ 5 ½ ΕΤΩΝ... 0 ΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΚΑΤΩ ΤΩΝ 5 ½ ΕΤΩΝ... ΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΩΝ... ΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΩΝ... ΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΩΝ η ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΝΕΩΝ JBMO η ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ BMO η ΔΙΕΘΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ IMO ΑΙΤΗΣΗ ΕΓΓΡΑΦΗΣ ΓΙΑ ΤΑΚΤΙΚΑ ΜΕΛΗ ΑΙΤΗΣΗ ΕΓΓΡΑΦΗΣ ΓΙΑ ΕΚΤΑΚΤΑ ΜΕΛΗ... 59

9 ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΚΥΠΡΙΑΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ Πρόεδρος: Αντιπρόεδρος: Γενικός Γραμματέας: Ταμίας: Οργανωτικός Γραμματέας: Βοηθός Ταμίας: Σύμβουλος: Σύμβουλος: Σύμβουλος: Σύμβουλος: Σύμβουλος: Σύμβουλος: Σύμβουλος: Σύμβουλος: Σύμβουλος: Μακρίδης Γρηγόρης Γαγάτσης Αθανάσιος Αντωνίου Σάββας Φιλίππου Ανδρέας Χρυσαφίνης Μιχάλης Ευσταθίου Μάριος Ζαμπυρίνης Παντελής Καραμάνος Κώστας Καραντάνος Δημήτρης Παπαγιάννη Όλγα Παπαχριστοδούλου Χρίστος Παραγυίου Θεόκλητος Σαββίδης Ανδρέας Συμεού Δώρα Χριστοδούλου Αντρούλα Εξελεγκτική Επιτροπή Πρόεδρος: Σύμβουλος: Σύμβουλος: Πέτρου Πέτρος Αντωνιάδης Μάριος Νικολάου Κατερίνα ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 7

10 ΧΑΙΡΕΤΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΕΔΡΟΥ ΤΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ, ΔΡΑ ΓΡΗΓΟΡΗ ΜΑΚΡΙΔΗ ΣΤΙΣ ΤΕΛΕΤΕΣ ΒΡΑΒΕΥΣΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 004 Είναι τιμή δική μας σήμερα που αυτοί οι μαθητές μας έδωσαν την ευκαιρία να έχουμε μια προσωπική επικοινωνία μαζί τους. Αυτή η ομάδα μαθητών είναι μια ομάδα αυριανών επιστημόνων της Κυπριακής κοινωνίας και το αποτέλεσμα της πνευματικής επένδυσης που έκαναν οι εκπαιδευτικοί μας, εσείς οι γονείς αλλά ιδιαίτερα οι ίδιοι οι μαθητές. Σας διαβεβαιώ ότι αυτοί οι μαθητές θα είναι οι αυριανοί ηγέτες της Κυπριακής Κοινωνίας και Πολιτείας και ο λόγος είναι γιατί απέδειξαν ότι έχουν την ικανότητα να σκέφτονται σωστά και γρήγορα σε ένα τομέα όπως η Μαθηματική Επιστήμη η οποία εξηγεί όλο το φυσικό οικοδόμημα που ζούμε καθημερινά και λειτουργεί ως ο καταλύτης της εξέλιξης τόσο της επιστήμης όσο και της ανθρώπινης ζωής. Η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία άρχισε την οργάνωση Μαθηματικών διαγωνισμών από το 98 τόσο για την αναβάθμιση της Μαθηματικής Επιστήμης και Παιδείας όσο και για την κατάρτιση των Εθνικών Ομάδων που εκπροσωπούν την Κύπρο σε Διεθνείς Διαγωνισμούς. Η οργάνωση όλων των διαγωνισμών σε συνδυασμό με τη Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα έχουν στόχο τη διάχυση της μαθηματικής σκέψης στη μεγαλύτερη δυνατή κλίμακα αλλά και του εντοπισμού των μαθηματικών ταλέντων τα οποία θα μπορούν να εκπροσωπήσουν την Κύπρο στο εξωτερικό. Η σημαντική διαπίστωση και γεγονός που πρέπει να γίνει βίωμα σε όλους είναι ότι «τα μαθηματικά είναι κλειδί ανάπτυξης και εξέλιξης». Η οποιαδήποτε επένδυση στα μαθηματικά μπορεί να θεωρηθεί μέρος μιας επιτυχημένης πολιτικής μιας πολιτείας. Η επιβίωση του Κυπριακού λαού στον αυξανόμενο τεχνολογικά ο αιώνα επιβάλλει αυξημένες ικανότητες αναλυτικής και κριτικής σκέψης για τις οποίες παίζουν πρωταγωνιστικό ρόλο πάντοτε τα μαθηματικά. Η ευθύνη για αυτή την ανάγκη δεν βρίσκεται μόνο στον εκπαιδευτικό κόσμο και στους μαθηματικούς αλλά βρίσκεται επίσης στην αφύπνιση εσάς των γονιών οι οποίοι έχετε το δικαίωμα να έχετε απαιτήσεις. Μη δεχτείτε ποτέ τις μετριότητες. Πρέπει να έχετε απαιτήσεις από τα παιδιά σας και για τα παιδιά σας. Ταυτόχρονα οι συνάδελφοι εκπαιδευτικοί πρέπει να έχουν απαιτήσεις για ποιότητα. Τα ταμπού και οι ισοπεδώσεις πρέπει επιτέλους να σταματήσουν. Οι ηγέτες της εκπαίδευσης πρέπει να πολεμούν την ισοπέδωση και να επιλέγουν το καλύτερο και ταυτόχρονα να πράττουν αυτό που πιστεύουν είναι σωστό για το καλό του συνόλου του εκπαιδευτικού συστήματος. Να ξέρετε ότι η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία, με τις περιορισμένες δυνατότητες που έχει θα πολεμήσει για να τεθούν τα Μαθηματικά στις προτεραιότητες του κράτους όπως αυτό καθορίζει και η Ευρωπαϊκή Επιτροπή με πρόσφατες αποφάσεις. 8 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

11 Η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία προσπαθώντας πάντοτε για την αναβάθμιση και δημιουργία καλύτερων αποτελεσμάτων και επιτυχιών χωρίς να λέμε ότι είναι αυτοσκοπός επιλέγει, σχεδιάζει, εφαρμόζει, αξιολογεί και αναπτύσσει νέες μεθόδους και πρακτικές για ειδική εκπαίδευση των μαθητών μας. Φέτος εφαρμόζεται ένα νέο σύστημα προετοιμασίας των μαθητών το οποίο τους συγκεντρώνει κάθε Σάββατο από το Φεβρουάριο μέχρι τον Ιούνιο. Οι μαθητές θα περάσουν από τρεις διαγωνισμούς επιλογής επιπρόσθετα του Παγκυπρίου και για επιλογή για την ΙΜΟ για μαθητές λυκείου θα ληφθεί ακόμη υπόψη ο βαθμός την ΒΜΟ. Δηλαδή, λαμβάνοντας υπόψη τον επαρχιακό διαγωνισμό οι μαθητές του Λυκείου θα περάσουν από 6 εξετάσεις για να επιλεγούν ως μέλη της Εθνικής ομάδας για την ΙΜΟ. Ελπίζουμε αυτό σε συνδυασμό με τα εντατικά μαθήματα να δημιουργήσει μια πιο ισχυρή εθνική ομάδα μαθητών για μια καλύτερη εκπροσώπηση της Κύπρου στο εξωτερικό. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 9

12 ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΚΥΜΕ IMO 004 Αθήνα Η Κυπριακή ομάδα μαζί με τον Πρόεδρο της Ε.Μ.Ε. Νικόλαο Αλεξανδή στο Μέγαρο Μουσικής Αθηνών όπου έγινε η τελετή λήξης της Διεθνούς Μαθηματικής Ολυμπιάδας Ο Σοφοκλής Ζαμπυρίνης μέλος της Κυπριακής Ομάδας στην απονομή των μεταλλίων της ΙΜΟ 004 όπου βραβεύτηκε με χάλκινο μετάλλιο 0 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

13 ΒMO 004 Βουλγαρία Η Κυπριακή αποστολή κατά την τελετή λήξης της Βαλκανικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας HONK KONG 004 Η Κυπριακή αποστολή κατά την τελετή λήξης ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

14 Τελετή έναρξης ΣΤ Παγκύπριου Συνέδριου Ε Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

15 ΧΟΡΗΓΟΙ ΚΥΠΡΙΑΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ 004 ΑΡΧΗ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΥΠΡΟΥ (Α.ΤΗ.Κ.) ΧΡΥΣΟΣ ΧΟΡΗΓΟΣ Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Καλοκαιρινό Μαθηματικό Σχολείο Συνέδρια ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ Διεθνείς Διαγωνισμοί Μαθηματικών ΚΥΠΡΙΑΚΑ ΔΙΥΛΙΣΤΗΡΙΑ ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ Αθλοθέτης Παγκύπριου Διαγωνισμού Α Λυκείου ΓΛΑΥΚΟΣ ΑΝΤΩΝΙΑΔΗΣ Βραβείο Εθνικών Ομάδων ΒΜΟ ΙΜΟ ΜΑΡΙΑ ΑΚΥΛΑ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΙΔΟΥ Αθλοθέτης Επαρχιακού Διαγωνισμού Λεμεσού ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΜΟΡΦΑΚΗΣ Αθλοθέτης Παγκύπριου Διαγωνισμού ΖΗΝΩΝ ΚΑΝΙΚΛΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ Αθλοθέτης Επαρχιακού Διαγωνισμού Λευκωσίας ΚΕΟ Αθλοθέτης Παγκύπριου Διαγωνισμού Γ Γυμνασίου ΤΡΑΠΕΖΑ ΚΥΠΡΟΥ Αθλοθέτης Παγκύπριου Διαγωνισμού Μθηματικών ΚΛΑΙΛΙΑ ΣΟΥΡΜΕΛΗ ΣΚΟΤΕΙΝΟΥ Βραβείο για τη πιο ψηλή βαθμολογία στην ΙΜΟ ΜΟΝΗ ΚΥΚΚΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΚΥΠΡΟΥ (παράρτημα Πάφου) Αθλοθέτης Επαρχιακού Διαγωνισμού Πάφου Σας Ευχαριστούμε! ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

16 ΕΘΝΙΚΕΣ ΟΜΑΔΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 004 Διεθνής Ολυμπιάδα Μαθηματικών (IMO) Αθήνα, 6 8 Ιουλίου 004 Κάτω των 0 ετών: Μάρκος Χαραλαμπίδης Αχιλλέας Κρύφτης Βασίλης Μαληκίδης Σοφοκλής Ζαμπυρίνης (στρατεύσιμος) Μιχάλης Χριστοφή Χρίστος Ζαχαρίας (στρατεύσιμος) Χάλκινο Μετάλλιο Συνοδοί καθηγητές: Ανδρέας Φιλίππου και Θεόκλητος Παραγιού. Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων (JBMO) Σερβία 8 Ιουνίου 004. Κάτω των 5,5 ετών: Κυριάκος Ασπρομάλλης Μάριος Ζαχαρία Αντρέας Κασής Σοφία Κυριάκου Λαμπριανή Παπαγεωργίου Χριστόδουλος Σάββα Συνοδοί καθηγητές: Ευθύβουλος Λιασίδης και Νίκος Γιασουμής. Κάτω των 4 ετών: Διεθνή Ολυμπιάδα Χόνγκ-Κόνγκ 5 0 Ιουλίου 004. Μαρκέλα Νεοφύτου Νικόλας Μαυρέας Δημήτρης Σκουρουμούνης Μαρία Πρωτοπαπά Συνοδοί καθηγητές: Ευθύβουλος Λιασίδης και Όλγα Παπαγιάννη 4 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

17 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ «ΖΗΝΩΝ» ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ ο Βραβείο: Μιχάλης Χριστοφή Χαραλάμπους, Λύκειο Πολεμιδιών Λεμεσού ο Βραβείο: Μάρκος Χαραλαμπίδης Ιωάννη, Foley s Grammar School ο Βραβείο: Βασίλης Μαληκίδης Γεώργιου, Λανίτειο Λύκειο Α Λεμεσού Έπαινος απονέμεται κατά σειρά επιτυχίας στους: Αχιλλέας Κρύφτης Γεώργιος, Λύκειο Ακρόπολης Λευκωσίας Χριστόδουλος Χριστοδούλου, Ανδρέας Λύκειο Απ. Πέτρου και Παύλου Λεμεσού Ζωσιμάς Ζωσιμάς Κωνσταντίνος, Λύκειο Αγίου Γεωργίου Λάρνακας Λουίζα Μιχαήλ Γιώργος, Λύκειο Κύκκου Α Λευκωσίας Μάριος Παύλου Γεώργιος, Λύκειο Αγίου Γεωργίου Λάρνακας Ζαχαρίας Νικολάου Μαρίνος, Λύκειο Πολεμιδιών Λεμεσού Ελένη Βρυωνίδου Χριστάκης, Λύκειο Αγίας Φυλάξεως Λεμεσού Δόμνα Φανίδου Χαράλαμπος, Λύκειο Α Εθνάρχη Μακαρίου Γ Πάφου Προκρίθηκαν οι πιο κάτω στρατεύσιμοι: Σοφοκλής Ζαμπυρίνης Παντελής Χρίστος Ζαχαρίας Σίμος Κυριάκος Ματσικάρης Γεώργιος Χαράλαμπος Βαρνάβα Βαρνάβας Μιχάλης Χρίστου Μανώλης Μουρούζης Θεοδόσης Χριστόδουλος Μαθητές που προκρίνονται για τους διαγωνισμού επιλογής: Μιχάλης Μοουράο Joseph Menuel, Παγκύπριο Γυμνάσιο Λευκωσίας Αποστόλης Αρσένης Νίκου, Α Λύκειο Πάφου Κωνσταντίνος Βασιάδης Εμμανουήλ, Λύκειο Απ. Πέτρου και Παύλου Λεμεσού Στέλλα Βασιλείου Κυριάκου, Λύκειο Αγίου Νεοφύτου Πάφου Ζήνα Χ Βασιλείου Μιχάλη, Λανίτειο Λύκειο Α Λεμεσού Νικόλας Παναγή Παναγιώτη, Λύκειο Απ. Πέτρου και Παύλου Λεμεσού Αναστάσης Κελίρης Παναγιώτη, Παγκύπριο Λύκειο Λάρνακας Μηνάς Ιακώβου Χαράλαμπου, Λύκειο Αγίου Νεοφύτου Πάφου Αυγουστίνος Καδής Χριστάκη, Λύκειο Αγίου Γεωργίου Λακατάμιας Μαρίνος Ευθυμίου Μιχαήλ, Α Λύκειο Πάφου Άννα Γιασουμή Κώστα, Λύκειο Εθνομάρτυρα Κυπριανού Μαρία Παρασκευά Ηλία, Λύκειο Παραλιμνίου ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 5

18 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο Βραβείο: Σολέα Αναστασία Λεωνίδα, Λύκειο Απ. Πέτρου και Παύλου, Λεμεσός ο Βραβείο: Χρίστου Κωνσταντίνο Ματθαίου, Λύκειο Αγ. Φυλάξεως, Λεμεσός ο Βραβείο: Ρωσσίδη Μιχάλη Γεωργίου, Παγκύπριο Λύκειο, Λάρνακα Έπαινος απονέμεται κατά σειρά επιτυχίας στους: Χατζηπέτρου Κωνσταντίνο Ευγένιου, Λύκειο Αγ. Ιωάννη, Λεμεσός Γουώρρεν Μαριάννα Τζών, Λύκειο Αγ. Φύλαξης, Λεμεσός Κυριάκου Σοφία Θεμιστοκλή, Λύκειο Κύκκου Β, Λευκωσία Ευθυμίου Μαρίνος Μιχάλη, Α Λύκειο, Πάφος Δράκου Νάνσια Γεωργίου, Λύκειο Αρχ. Μακαρίου Γ Εύφημη μνεία στους παρακάτω: Χαραλάμπους Χρίστο Γιαννάκη, Α Λύκειο, Πάφος Καραολίδου Λητώ Χαραλάμπους, Α Λύκειο, Πάφος Ανθής Ανδρέας Ιωάννη, Α Λύκειο, Πάφος Όλοι οι πιο πάνω μαθητές έχουν δικαίωμα συμμετοχής στον Παγκύπριο Διαγωνισμό Μαθηματικών «ΖΗΝΩΝ» για το Λύκειο. Όσοι από τους μαθητές δεν συμπληρώνουν ηλικία 5,5 ετών μέχρι 0 Ιουνίου 004 δικαιούνται επίσης να λάβουν μέρος στους διαγωνισμούς επιλογής για την Βαλκανιάδα κάτω των 5,5 ετών. 6 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

19 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΏΝ ΓΙΑ ΤΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ο Βραβείο: Παπαγεωργίου Λαμπριανή Λάμπρου, Περιφερ.Γυμν. Ξυλοτύμπου ο και ο Βραβείο εξίσου στους: Λιμνατίτου Υβόνη του Χρίστου, Λανίτειο Γυμνάσιο Λεμεσού Σάββα Χριστόδουλο Στέλιου, Γυμνάσιο Γερίου Έπαινος απονέμεται κατά σειρά επιτυχίας στους:. Αγαθοκλέους Ελένη Κυριάκου, Γυμνάσιο Ύψωνα. Ζαχαρία Μάριο Σίμου, Γυμνάσιο Αγ. Θεοδώρου Πάφου. Σταυρινίδη Αλέξανδρο Χριστάκη, Γυμνάσιο Αγ. Θεοδώρου Πάφου 4. Καϊμακλιώτη Ευανθία Γιώργου, Γυμνάσιο Αραδίππου Εύφημη μνεία κατά σειρά επιτυχίας στους:. Ασπρομάλλη Κυριάκο Νίκου, Γυμνάσιο Γεροσκήπου. Ξενή Ειρήνη Ξένιου, Γυμνάσιο Σταυρού. Χαραλάμπους Άννα Χαράλαμπου, Γυμνάσιο Ξυλοτύμπου 4. Παναγιώτου Φειδία Σταύρου, Γυμνάσιο Ύψωνα 5. Κασής Ανδρέα Κων/νου, Γυμνάσιο Κιτίου 6. Πίτρο Παναγιώτη Ντίνου, Γυμνάσιο Απ. Παύλου, Πάφος 7. Αντωνίου Μαίρη Ελενόδωρου, Γυμνάσιο Φανερωμένης Λάρνακα 8. Χ Πολυκάρπου Μάριο Πολύκαρπου, Γυμνάσιο Διανέλλου και Θεοδότου Όλοι οι παραπάνω μαθητές έχουν δικαίωμα συμμετοχής στους διαγωνισμούς επιλογής για την Εθνική Ομάδα που θα εκπροσωπήσει την Κύπρο στη Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα για μαθητές κάτω των 5,5 ετών. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 7

20 MATHEU ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ, ΚΙΝΗΤΡΑ ΚΑΙ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΑΛΕΝΤΩΝ ΣΕ ΕΥΡΩΠΑΪΚΑ ΣΧΟΛΕΙΑ (Identification, Motivation and Support of Mathematical Talets in European Schools) Δρ Γρηγόρης Μακρίδης, Συντονιστής Πρόεδρος Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας Πρόεδρος Ευρωπαϊκού Συνδέσμου Συντονιστών ERASMUS Διευθυντής Διοίκησης Εισδοχής Φοιτητών, Intercollege ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Σε πολλά Ευρωπαϊκά σχολεία το αναλυτικό πρόγραμμα των μαθηματικών είναι σχεδιασμένο να εξυπηρετεί τις ανάγκες του μέσου μαθητή ή του μαθητή με ειδικές ανάγκες, δίχως να παρέχεται η δυνατότητα να αναγνωρίζονται και να καλλιεργούνται οι δεξιότητες των εν δυνάμει ταλαντούχων μαθητών. Ο σκοπός του παρόντος προγράμματος είναι να αναπτύξει μεθόδους και εκπαιδευτικά εργαλεία τα οποία θα βοηθήσουν τους εκπαιδευτικούς να εντοπίζουν και να ενθαρρύνουν μαθητές ταλαντούχους στα μαθηματικά, καθώς και να ενισχύσουν την απρόσκοπτη ανάπτυξή τους μέσα στα πλαίσια της Ευρωπαϊκής Ένωσης. Το πρόγραμμα προσδοκά να συγκεντρώσει όλο το υπάρχον δυναμικό και να καταρτίσει ένα πλέγμα μέσω του οποίου οι κατά τόπους Εθνικές Μαθηματικές Εταιρείες και τα Πανεπιστήμια να προσέλθουν ως αρωγοί του προγράμματος. Επίσης προσδοκάτε η χρήση νέων τεχνολογιών για την ενίσχυση, την διάδοση και σταθεροποίηση των δομών συνεργασίας που θα αναπτυχθούν. Οι κύριες δραστηριότητες του προγράμματος θα είναι: () Η ανάλυση της προσαρμοστικότητας των υπαρχουσών αναλυτικών προγραμμάτων στα Ευρωπαϊκά σχολεία, ιδίως των κρατών που συμμετέχουν στο πρόγραμμα, με επίκεντρο την μέριμνα που παρέχεται στους ταλαντούχους μαθητές, () Την ανάλυση των μεθόδων και εργαλείων που χρησιμοποιούνται στις Ευρωπαϊκές χώρες για την αναγνώριση, τα παρεχόμενα κίνητρα και την υποστήριξη μαθητών ταλαντούχων στα μαθηματικά. () Τον σχεδιασμό μεθόδων και εργαλείων για τον εντοπισμό των εν δυνάμει ταλαντούχων μαθητών τόσο της Πρωτοβάθμιας όσο και της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης. Επίσης, στην επιμόρφωση εκπαιδευτικών οι οποίοι με τη σειρά τους θα είναι σε θέση να δημιουργούν τις συνθήκες ώστε να έχουν οι μαθητές τη δυνατότητα να εκδηλώσουν το 8 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

21 ΜΑΤΗΕU ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΛΕΝΤΑ ΣΤΑ ΕΥΡΩΠΑΪΚΑ ΣΧΟΛΕΙΑ «ταλέντο» τους στα μαθηματικά (με την έννοια ταλέντο εννοούμε την δεξιότητά τους να αντιμετωπίζουν και να επιλύουν προβληματικές καταστάσεις, αλλά και να αντιλαμβάνονται τον ρόλο της θεωρητικής σκέψης). (4) Τον σχεδιασμό ειδικών παιδαγωγικών μεθόδων και διδακτικού υλικού για την ανάπτυξη και προαγωγή ταλαντούχων μαθητών στα Ευρωπαϊκά σχολεία. (5) Την ανάπτυξη μεθόδων/λύσεων καθώς και ένα πρόγραμμα για βελτίωση των απόψεων των Κυβερνήσεων, Πανεπιστημίων και Ιδρυμάτων για παροχή υποτροφιών και υποστήριξης, ώστε να παραμένουν στην Ευρώπη οι μαθηματικά μυαλά. (6) Την ανάπτυξη ειδικών ιστοσελίδων αφιερωμένων στους σκοπούς του προγράμματος, οι οποίες θα βοηθήσουν στην μακροχρόνια επιβίωση των στόχων του. Με την ολοκλήρωση του σχεδίου θα παραδοθούν: (i) Ένα Ευρωπαϊκό εγχειρίδιο με μεθόδους και εργαλεία για τον εντοπισμό, την παροχή κινήτρων και την υποστήριξη μαθητών με ταλέντο στα μαθηματικά, (ii) Πληροφοριακό υλικό για Κυβερνήσεις, Πανεπιστήμια και Ιδρύματα, (iii) Πρόγραμμα για Επιμορφωτικά μαθήματα για το εκπαιδευτικό προσωπικό της Πρωτοβάθμιας και Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, ώστε να τους καθιστούν ικανούς να εντοπίζουν και να καλλιεργούν μαθητές με ταλέντο στα μαθηματικά. Το πρόγραμμα θα βοηθήσει την «εισροή εγκεφάλων» στην Ευρωπαϊκή Ένωση και θα συνδράμει στην επίτευξη των στόχων του Ευρωπαϊκού Συμβουλίου, όπως διατυπώθηκε στις Φεβρουαρίου 00 στη Στοκχόλμη, να θεσπίσει τα μαθηματικά ως ένα από τα πρωτεύοντα μαθήματα. Το πρόγραμμα συντονίζεται από το INTERCOLLEGE σε συνεργασία με τα ακόλουθα πανεπιστήμια: Βουλγαρία (ACADEMY OF SCIENCES) Κύπρος (UNIVERSITY OF CYPRUS) Τσεχία (CHARLES UNIVERSITY) Γερμανία (UNIVERSITY DUISBURG-ESSEN) Ελλάδα (UNIVERSITY OF CRETE) Ιταλία (UNIVERSITY OF PALERMO) Ρουμανία (NORTH UNIVERSITY) Ουγγαρία (UNIVERSITY OF MISKOLC) Περισσότερες πληροφορίες για το σχέδιο που άρχισε τον Οκτώβρη του 00 μπορείτε να μελετήσετε στην ιστοσελίδα ή επικοινωνήστε με τη γραμματεία του προγράμματος στο ηλεκτρονικό ταχυδρομείο ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 9

22 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ( ) ( ) ( ) ln χ α ln α χ ln χ α ψ =, ψ =, ψ = χ α α χ χ β Χαράλαμπος Λουγκρίδης Μαθηματικός Στο άρθρο που ακολουθεί θα δούμε το πεδίο ορισμού των πιο πάνω συναρτήσεων και στη συνέχεια θα βρούμε τις οριζόντιες και τις κατακόρυφες ασύμπτωτές τους, παραθέτοντας παραδείγματα για την κάθε περίπτωση.. Το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) της μορφής: β) της μορφής: γ) της μορφής: δ) της μορφής: ( α) ln χ ψ = χ α ( χ) ln α ψ = α χ ( α) ln χ ψ = χ β ( α) ln χ ψ = χ β είναι το ( α, + ) είναι το (,α) με β < α είναι το ( α, ) με β> α είναι το ( α,β) ( β, + ). Διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε τα πιο κάτω θεωρήματα: Θεώρημα. Όλες οι πιο πάνω συναρτήσεις έχουν οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία ψ = 0. α) Απόδειξη ln ( χ α) + χ α lim = = ( απροσδ) = lim = = 0, x χ α + x + άρα η ψ = 0 είναι Ο.Α. της καμπύλης στην περιοχή του +. β) x ( ) ln α χ + lim = = ( απροσδ) = lim = = 0, α χ + x α χ + 0 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

23 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ άρα η ψ = 0 είναι Ο.Α. της καμπύλης στην περιοχή του. γ) ( ) ln χ α + lim = = ( απροσδ) = lim = = 0, x χ β + x χ α + άρα η ψ = 0 είναι Ο.Α. της καμπύλης στην περιοχή του +. Θεώρημα. Όλες οι πιο πάνω συναρτήσεις έχουν κατακόρυφη ασύμπτωτη τη χ = α, την τιμή δηλαδή του χ για την οποία μηδενίζεται η υπολογαριθμική ποσότητα. Απόδειξη α) lim + x α ( ) + ln χ α ln 0 = = = + + χ α 0 0 άρα η χ = α είναι Κ.Α. προς τα κάτω. Παράδειγμα: ln ( χ ) Η ψ = έχει πεδίο ορισμού (, + ) και κατακόρυφη ασύμπτωτη την χ ευθεία χ =. Η γραφική παράσταση της ψ πλησιάζει την ευθεία χ = από τα δεξιά της. β) x α ( ) + ln α χ ln 0 lim = = =, + + α χ 0 0 άρα η χ = α είναι Κ.Α. προς τα κάτω. Παράδειγμα: ln ( χ) Η ψ = χ παράσταση της ψ πλησιάζει την ευθεία χ = από τα αριστερά της. έχει Π.Ο το (,) και Κ.Α. την ευθεία χ =. Η γραφική Θεώρημα. Οι συναρτήσεις της μορφής ln ( χ α) ψ = χ β με α β έχουν επί πλέον κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία χ = β μόνο αν β α. i) Αν β < α τότε το Π.Ο. της ψ είναι το ( α, + ). Ισχύει α β > 0 και επομένως: + ln ( χ α) ln 0 lim = = = + x α χ β α β α β άρα η χ = α είναι Κ.Α. της ψ προς τα κάτω. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

24 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Παραδείγματα ( ) έχει πεδίο ορισμού (, + ) και Κ.Α. την ευθεία χ =. Το διά- ln χ. Η ψ = χ γραμμα της ψ πλησιάζει την ευθεία χ = από τα δεξιά της. ( + ) ln χ. Η ψ = χ + 5 διάγραμμα της ψ πλησιάζει την ευθεία χ = από τα δεξιά της. έχει πεδίο ορισμού (, + ) και Κ.Α. την ευθεία χ =. Το. Η ( ) ln χ 5 ψ = χ + έχει πεδίο ορισμού ( 5, + ) και Κ.Α. την ευθεία χ = 5. ii) Αν β > α τότε το πεδίο ορισμού της ψ είναι ( α,β) ( β, ) χ = α που είναι Κ.Α. είναι δυνατό και η χ = β να είναι Κ.Α. Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις: α) Αν β α= έχουμε: ( ) ( ) + οπότε, εκτός από τη ln χ α ln β α ln 0 lim = = = = ( απροσδ) = lim = = = x β χ β x β χ α β α + ln ( χ α) 0 Επίσης βρίσκουμε ότι: lim = = = + x β χ β 0 Οι δυο αυτές σχέσεις μας λέγουν ότι η χ = β δεν είναι Κ. Α. της ψ. Παραδείγματα ( ) ln χ. Η ψ = με πεδίο ορισμού (,) (, + ) έχει Κ.Α. μόνο την ευθεία χ =. Η χ = δεν είναι Κ.Α., γιατί β α= =. χ. Η ( + ) ln χ 5 ψ = χ + 4 με πεδίο ορισμού ( 5, 4) ( 4, + ) έχει Κ.Α. μόνο την ευθεία χ = 5. Η χ 4 β) Αν 0 β α τότε έχουμε: Άρα η χ lim = δεν είναι Κ.Α., γιατί ( ) ( ) ( ) ln χ α ln β α γ = = =+ χ β 0 0 x β lim ( ) ( ) ln χ α ln β α γ = = = χ β x β β α= 4 5 = = β είναι Κ.Α. προς τα πάνω από αριστερά και προς τα κάτω από δεξιά. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

25 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ln χ Παράδειγμα: Η ψ 5 = με πεδίο ορισμού, (, + ) έχει Κ.Α. την ευθεία χ = ( το διάγραμμα της ψ την πλησιάζει προς τα πάνω και από δεξιά της) και χ 5 5 την ευθεία χ =, γιατί β α= = <. Στην περίπτωση αυτή το διάγραμμα της ψ την πλησιάζει προς τα κάτω από αριστερά της και προς τα πάνω από δεξιά της. γ) Αν β α έχουμε: lim x β lim + x β ( ) ( ) ln χ α ln β α γ = = = χ β 0 0 ( ) ( ) ln χ α ln β α γ = = =+ + + χ β 0 0 Άρα η χ = β είναι Κ.Α. προς τα κάτω από αριστερά και προς τα πάνω από δεξιά. ln χ Παράδειγμα: Η ψ = με πεδίο ορισμού, (, + ) έχει Κ.Α. την χ ευθεία χ = και την ευθεία χ =. Η γραφική παράσταση της ψ προσεγγίζει την ευθεία χ = προς τα κάτω από αριστερά και προς τα πάνω από δεξιά. Β Μέρος Θεώρημα 4. Οι συναρτήσεις της μορφής ( + β) ln αχ ψ = γχ+ δ έχουν οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία ψ = 0 και κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία αδ Στην περίπτωση που ισχύει: β = + τότε και η ευθεία γ β χ =. α δ χ = είναι Κ.Α. γ Για την εύρεση του πεδίου ορισμού: α) Αν α 0 και γ 0 τότε πρέπει: αχ + β 0 και γχ+ δ 0, β δ χ >, χ α γ Αν δ β γ > α τότε το πεδίο ορισμού της ψ είναι: β δ δ,, + α γ γ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

26 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εξετάζοντας για οριζόντια ασύμπτωτη, βρίσκουμε: lim ψ = = 0, οπότε η ψ = 0 είναι Ο.Α. x γ αχ+ β ( ) Για κατακόρυφες ασύμπτωτες με: + β χ α, δ χ γ βρίσκουμε για την πρώτη περίπτωση δηλαδή για: και δ χ γ β ln 0 χ, limψ= = =+ ή α βγ βγ + δ + δ α α β οπότε η ευθεία χ = είναι Κ.Α. α Για τη δεύτερη περίπτωση, δηλ. για δ χ γ βρίσκουμε: αδ ln + β γ αδ lim ψ= =± αν + β, οπότε η ευθεία 0 γ δ χ = είναι Κ.Α., γ ή αδ ln + β γ 0 αδ lim ψ= = αν + β=, οπότε η ευθεία 0 0 γ δ χ = δεν είναι Κ.Α. γ Στην τρίτη περίπτωση, δηλ. για δ χ γ και πάλιν η ευθεία δ χ = είναι Κ.Α γ όταν lim ψ =±. β) Ανάλογα εργαζόμαστε στις περιπτώσεις που τα α και γ είναι ομόσημοι αρνητικοί αριθμοί ή είναι ετερόσημοι. Καταλήγουμε έτσι ότι η συνάρτηση ( + β) ln αχ ψ = γχ+ δ με πεδίο ορισμού β δ δ,, + α γ γ έχει μια μόνο Κ.Α., τη β αδ χ = αν ισχύει β = + (). α γ αδ Στην περίπτωση που β +, τότε η ψ έχει ακόμη μια Κ.Α. την ευθεία γ δ χ =. γ 4 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

27 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Παραδείγματα. Για α=4, β=7, γ=, δ= ισχύει η πιο πάνω συνθήκη () άρα η συνάρτηση: ( + ) ln 4χ 7 ψ = χ + έχει μια μόνο Κ.Α. ασύμπτωτη, τη 7 χ =, διότι 4 4 7= +. Παρόμοια ισχύουν για τις συναρτήσεις: ln ( χ ) ln( χ ) α) ψ =, β) ψ = χ 6 4χ + 8 Οι ευθείες χ = και χ = είναι Κ.Α, ενώ οι ευθείες χ = και χ = αντίστοιχα δεν είναι Κ.Α.. Η. Η ( ) 7 με πεδίο ορισμού,5 ( 5, + ) ln χ 7 ψ = χ 5 έχει Κ.Α. τις ευθείες ( + ) 7 χ = και χ = 5, διότι ln χ 5 ψ = με Π.Ο. 5 5,, χ 6 5 έχει Κ.Α. μόνο τη χ =. ( + ) ln 4χ 9 4. Η ψ = με Π.Ο. το 9,, 5χ έχει Κ.Α. τις ευθείες χ =, χ =. 5 4 ( + ) ln 4χ H ψ = με Π.Ο.,,, 5χ έχει Κ.Α. τις ευθείες χ = και χ =. 5 4 ( + β) ( 5) 7 +. ln αχ Γ ε ν ι κ ά: Για τη συνάρτηση ψ = διαπιστώνουμε ότι: γχ+ δ α) Αν για χ = τ μηδενίζεται η υπολογαριθμική ποσότητα τότε η ευθεία χ = τ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη. β) Αν για χ = ρ μηδενίζεται ο παρονομαστής της συνάρτησης ψ και συγχρόνως η υπολογαριθμική ποσότητα γίνεται ίση με τη μονάδα τότε η ευθεία χ = ρ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 5

28 ΜΙΑ ΑΠΛΗ ΛΥΣΗ ΣΕ ΕΝΑ (ΦΑΙΝΟΜΕΝΙΚΑ) ΑΠΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Μιχάλης Κολοσσιάτης Μαθηματικός Πρόβλημα: Στον πιο κάτω m x n πίνακα, ξεκινώντας από το πάνω αριστερά τετράγωνο, θέλουμε να καταλήξουμε στο κάτω δεξιά τετράγωνο, περνώντας από κάθε τετράγωνο ακριβώς μια φορά, κινούμενοι μόνο οριζόντια ή κάθετα από τετράγωνο σε τετράγωνο. Λύση: Λόγω του ότι μπορούμε να κινηθούμε μόνο οριζόντια ή κάθετα, μπορούμε να αναλύσουμε την κίνηση σε οριζόντιες και κάθετες κινήσεις ενός βήματος. Οριζόντιες κινήσεις: Συνολικά θα έχουμε n + k κινήσεις (k N ), επειδή στο τέλος θέλουμε να είμαστε στο ακρινό δεξιό τετράγωνο, άρα οριζοντίως πρέπει να κάνουμε n βήματα (αφού ξεκινάμε από το ακρινό αριστερό τετράγωνο) και όσα βήματα κάνουμε προς τα αριστερά, άλλα τόσα βήματα πρέπει να κάνουμε και προς τα δεξιά. 6 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

29 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Κάθετες κινήσεις: Όπως πριν, συνολικά θα έχουμε m-+λ ( λ є Ν ). Άρα, συνολικά θα έχουμε: m + n + (k + λ ) = m + n + t, t = k + λ, t N. Από την άλλη, αφού πρέπει να περάσουμε από κάθε τετράγωνο ακριβώς μια φορά και αφού ξεκινάμε ήδη από κάποιο τετράγωνο, ο συνολικός αριθμός κινήσεων θα είναι m n. Τότε:. Αν m και n: άρτιοι, τότε m + n + t: άρτιος ενώ mn : περιττός. Άρα το πιο πάνω πρόβλημα δεν έχει λύση.. Αν m ή/και n : περιττοί, τότε πιθανόν να υπάρχει λύση. Πράγματι, αν κινηθούμε με τέτοιο τρόπο ώστε να σαρώνουμε μια-μια τις οριζόντιες ή τις κάθετες γραμμές, ανάλογα με το αν οι στήλες ή οι γραμμές είναι περιττές στον αριθμό. Μάλιστα, εκτός των περιπτώσεων xn, nx, x και x, η λύση δεν είναι μοναδική. Γενίκευση: Αν έχουμε το ίδιο πρόβλημα όπως πριν, με τη γενίκευση να ξεκινήσουμε από το ένα γωνιακό τετράγωνο και να καταλήξουμε στο απέναντι γωνιακό τετράγωνο. Τα αποτελέσματα θα είναι τα ίδια. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 7

30 ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΑ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΠΡΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΕΤΟΣ 005 Ιωάννης Φάκας Μαθηματικός ΕΠΟΧΕΣ ΤΟΥ ΕΤΟΥΣ. Ο Ήλιος ευρίσκεται στο περίγειο στις Ιανουαρίου στις 0ω. Αρχή του έτους.. Ο Ήλιος ευρίσκεται στο απόγειο στις 5 Ιουλίου και ώρα 07ω. Μέσον του έτους.. Ο Ήλιος εισέρχεται εις τον Κριό την 0ην Μαρτίου εις τις 4ω λ. Αρχή του Έαρος. 4. Ο Ήλιος εισέρχεται εις τον Καρκίνο την ην Ιουνίου εις τις 08ω 46λ. Αρχή του Θέρους. 5. Ο Ήλιος εισέρχεται εις τον Ζυγό στις Σεπτεμβρίου εις τις 00ω λ. Αρχή του Φθινοπώρου. 6. Ο Ήλιος εισέρχεται εις τον Αιγόκερω την ην Δεκεμβρίου εις τις 0ω 5λ. Αρχή του Χειμώνα. Οι χρόνοι δίδονται σε χειμερινή ώρα Κύπρου. 8 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

31 ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΑ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΠΡΟΥ ΕΚΛΕΙΨΕΙΣ ΚΑΤΑ ΤΟ ΕΤΟΣ 005 Το έτος 005 υπάρχουν 4 εκλείψεις, του Ηλίου και της Σελήνης.. Δακτυλιοειδής - Ολική Έκλειψη Ηλίου, 8-9 Απριλίου 005. Αόρατη από την Κύπρο. Η έκλειψη αυτή θα είναι ορατή από μία περιοχή που ξεκινά από την Νέα Ζηλανδία, Ανταρκτική, διασχίζει το νότιο μέρος του Ειρηνικού Ωκεανού, περιλαμβάνει τη Νότια Αμερική, το νότιο μέρος της Β. Αμερικής και τελειώνει μέσα στον Ατλαντικό Ωκεανό. Η έκλειψη αρχίζει στις 9ω 5λ και τελειώνει στις 0ω και 0λ της 9 ης Απριλίου.. Έκλειψη Σελήνης εκ της παρασκιάς. 4 Απριλίου 005. Αόρατη από την Κύπρο. Η Έκλειψη θα αρχίσει στις 9ω 49,8λ και θα τελειώσει στις ω 59,8λ. Κατά τη διάρκεια αυτή, η Σελήνη θα ευρίσκεται κάτω από τον ορίζοντα της Κύπρου. Η έκλειψη θα είναι ορατή σε μία μεγάλη περιοχή γύρω από τον Ειρηνικό Ωκεανό. Μέγεθος της έκλειψης εκ της παρασκιάς 0,89.. Δακτυλιοειδής Έκλειψη Ηλίου Οκτωβρίου 005. Ορατή ως Μερική Έ- κλειψη από την Κύπρο. Στοιχεία Έκλειψης για την Κύπρο: Πρώτη επαφή στις Οκτωβρίου 005 στις 0ω λ. Μέσον της Έκλειψης στις ω 55λ. Έξοδος του δίσκου της Σελήνης στις ω 0λ. Μέγεθος της έκλειψης 0, Μερική Έκλειψη Σελήνης 7 Οκτωβρίου 005. Αόρατη από την Κύπρο. Η Έκλειψη θα αρχίσει στις ω 5λ και θα τελειώσει στις 6ω 5λ. Θα είναι ορατή στην Αυστραλία, στην Άπω Ανατολή, Δυτική Αμερική και στον Ειρηνικό Ωκεανό. Μέγεθος της έκλειψης εκ της σκιάς 0,068. Οι χρόνοι δίδονται σε χειμερινή ώρα Κύπρου. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 9

32 ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΑ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΑΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΠΡΟΥ Φάσεις της Σελήνης για το έτος 005 Νέα Σελήνη Πρώτον Τέταρτον Πανσέληνος Τελ. Τέταρτον ημ ω λ ημ ω λ ημ ω λ ημ ω λ Ιαν Ιαν Ιαν Ιαν 5 Φεβ Φεβ Φεβ Φεβ Μαρ Μαρ. 0 0 Μαρ. 7 9 Μαρ Απρ Απρ. 08 Απρ Απρ Μάης Μάης Μάης Μάης 8 Μάης 0 47 Ιούνης Ιούνης 5 0 Ιούνης 06 4 Ιούνης 8 0 Ιούλης Ιούλης Ιούλης 00 Ιούλης Αύγου Αύγου 04 8 Αύγου Αύγου Σεπτ Σεπτ 7 Σεπτ Σεπτ Οκτ 0 8 Οκτ 0 0 Οκτ Οκτ Νιόβ Νιο Νιο Νιόβ 4 00 Δεκ Δεκ 08 6 Δεκ Δεκ 6 Δεκ Οι χρόνοι δίδονται σε χειμερινή ώρα Κύπρου. 0 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

33 ΕΝΙΑΙΕΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΛΥΚΕΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Χρόνος: Ώρες και 0 λεπτά Ιούνιος 004 ΜΕΡΟΣ Α': Να απαντήσετε σε μόνο από τις 5 ερωτήσεις. Κάθε ορθή απάντηση βαθμολογείται με 5 μονάδες.. Να βρείτε το ολοκλήρωμα: 4x e dx. (α) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο (,) και ακτίνα 4. (β) Να βρείτε τη θέση του σημείου (, 5) ως προς τον κύκλο αυτό.. Να βρείτε και να χαρακτηρίσετε τα ακρότατα της συνάρτησης: y = x x Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της λέξης: ΟΛΥΜΠΙΣΜΟΣ. Πόσοι από αυτούς αρχίζουν και τελειώνουν με το γράμμα Ο; 5. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης με εστίες τα σημεία (± 4, 0) και κορυφές τα σημεία (± 5, 0). Να βρείτε τις εξισώσεις των διευθετουσών της έλλειψης αυτής Αν A = και B =, να βρείτε τον πίνακα Χ για τον οποίο ισχύει η σχέση Α Χ + Β = Ο, όπου Ο είναι μηδενικός πίνακας. 7. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την ευθεία y = χ 4 και την παραβολή y = x. 8. Αν x = e t και y = ημ t συν t, να δείξετε ότι dy dy x + x + y= 0 dx dx 9. Να βρείτε το lim[(x ) ln( x)] x ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

34 ΕΝΙΑΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΙΟΥΝΙΟΣ Σε μια εταιρεία η ωριαία αμοιβή των 49 υπαλλήλων δίνεται από τον πιο κάτω πίνακα: Αμοιβή Αρ. υπαλλήλων Αν X είναι ο μέση ωριαία αμοιβή και s είναι η τυπική απόκλιση των αμοιβών αυτών, να υπολογίσετε την τιμή του αριθμού y για τον οποίο ισχύει η σχέση: y X 7 = s. Να δώσετε τον ορισμό της κατακόρυφης ασύμπτωτης του διαγράμματος μιας συνάρτησης. Με βάση τον ορισμό αυτό να δείξετε ότι η ευθεία x = είναι x κατακόρυφη ασύμπτωτη της καμπύλης με εξίσωση y = x. Να βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται από την πλήρη περιστροφή γύρω από τον άξονα των x του χωρίου που ορίζεται από τις ανισώσεις: y x και y x. Χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό τρόπο, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα π 0 x t = εφ, ή με οποιοδήποτε άλλο dx 5 4συν x 4. Θέλω να σχηματίσω μια αντιπροσωπεία η οποία να αποτελείται από έως 6 άτομα τα οποία θα επιλεγούν από μια ομάδα 0 ατόμων, 8 κοριτσιών και αγοριών. Πρώτα ρίχνω ένα ζάρι για να αποφασίσω πόσα άτομα θα έχει η αντιπροσωπεία και ακολούθως επιλέγω από την ομάδα των 0 ατόμων στην τύχη τόσα άτομα όσα ήταν η ένδειξη του ζαριού. Να υπολογίσετε την πιθανότητα η αντιπροσωπεία να είναι: (α) τριμελής, ανεξάρτητα από το φύλο των μελών. (β) διμελής και να αποτελείται μόνο από κορίτσια. (γ) μονομελής ή διμελής και να αποτελείται μόνο από αγόρια. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

35 ΕΝΙΑΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΙΟΥΝΙΟΣ (α) Αν F(κ) = 4κ, να δείξετε ότι: 4 F(κ) F(κ ) = (4κ )(κ ) (β) Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα αυτό, ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο, να 0 4 βρείτε το άθροισμα: (4κ )(κ ) κ= ΜΕΡΟΣ Β': Να απαντήσετε σε 4 μόνο από τις 6 ερωτήσεις. Κάθε ορθή απάντηση βαθμολογείται με 0 μονάδες.. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x (x 4) 9 (α) Να βρείτε το πεδίον ορισμού, τα σημεία τομής με τους άξονες των συντεταγμένων, τα διαστήματα μονοτονίας, τα ακρότατα και τα σημεία καμπής της συνάρτησης. (β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f(x) στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω. (γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x). (δ) Σε ξεχωριστούς άξονες να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x). Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα e+ 4x ln x dx. Ένα κομμάτι σύρμα μήκους 40 cm κόβεται σε ένα σημείο και τα δύο κομμάτια σχηματίζουν την περίμετρο ενός τετραγώνου και ενός ισόπλευρου τριγώνου αντίστοιχα. Να βρείτε το μήκος που αντιστοιχεί στην περίμετρο του τριγώνου ώστε το άθροισμα τω εμβαδών των δύο σχημάτων να είναι το ελάχιστο δυνατόν. 4. Να λύσετε την εξίσωση: + x + x + x + x = 0 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

36 ΕΝΙΑΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΙΟΥΝΙΟΣ Ένα σημείο Τ κινείται έτσι ώστε η απόσταση του από το σημείο Σ(8, 0) να είναι διπλάσια από την απόσταση του από την ευθεία x =. x y (α) Να δείξετε ότι ο Γ.Τ. του σημείου Τ είναι η υπερβολή = 6 48 (β) Να βρείτε την εκκεντρότητα e της υπερβολής και τις εξισώσεις των ασυμπτώτων της. (γ) Αν η εφαπτομένη της υπερβολής στο σημείο Α(5, ) τέμνει τις ασύμπτωτες της στα σημεία Β και Γ και η κάθετη της υπερβολής στο Α τέμνει ΔΖ τους άξονες στα σημεία Δ και Ζ, να δείξετε ότι = e ΒΓ 6. (α) Να δείξετε ότι αν η f(x) είναι συνεχής στο διάστημα [0, α] και παραγωγίσιμη στο (0, α) τότε α f(α x)dx = f(x)dx α 0 0 (β) Με τη χρήση του μετασχηματισμού u = α x, ή με οποιοδήποτε άλλο α τρόπο, να δείξετε ότι [ + ] = xf(x) f(α x) dx α f(x)dx 0 0 (γ) Με τη χρήση του πιο πάνω αποτελέσματος, ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο, να βρείτε την τιμή του ολοκληρώματος π 0 α x[ημx + συνx]dx ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ. = + 4x 4x e dx e c. α) (x ) + (y ) = 6 x + y 4x y = 0 β) ( ) + 5 4( ) 5 = 9 > 0 το σημείο (, 5) είναι εξωτερικό του κύκλου. y = x x + 4 y = x y = 6x y = 0 x = ± Αν x = y = 6 > 0 min (, ) Αν x = y = 6 < 0 max (, 6) 4 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

37 ΕΝΙΑΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΙΟΥΝΙΟΣ α) 0! 45600!!! = β) 8! 0080!! = 4 5. α = 5 και α ε = 4 ε = β= α ( ε ) = 5 x y Εξίσωση έλλειψης: + = Διευθετούσες: x =± 4 6. Α Χ + Β = Ο Α Χ = B X = A B 6 A = X= A B= = Τα σημεία τομής των y = x 4 και y = x είναι (, ) και (8, 4) y y = x 4 4 ( 8, 4 ) x (, - ) y =x E = y y y (x x )dy = y + 4 dy = + 4y = 8 τ.μ x = e t και y = ημ t συν t dy dy dt συνt + ημt t = = = e(συνt + ημt) t dx dx e dt ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 5

38 ΕΝΙΑΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 004 d dy t t dy dt dx e(συνt + ημt) e ( ημt + συνt) t = = = e συνt t dx dx e dt dy dy t t t t x + x + y= e (e συνt) + e [ e (συνt + ημt)] + (ημt συνt) = dx dx συν t συν t + ημt ημt συν t = ln( x) lim(x ) ln( x) = 0 ( ) απρ.μορφή= lim = = απρ.μορφή x x x κανόνας L Hôspital = lim x = lim( x) = 0 x x ( x) x i f i x i f i ( x X) ( ) i x X f f = 49 x f = 94 x X f = 576 i i i ( ) i i i i Μέση αμοιβή 94 X = = 6 Τυπική απόκλιση s = = 49 7 y X 7 = y= 8 s. Η ευθεία x = α λέγεται ασύμπτωτη του διαγράμματος της συνάρτησης y = f(x) αν ισχύει μια από τις σχέσεις: i) lim f (x) = + x α x lim = = x x ii) lim f (x) = x α iii) limf (x) = x α Άρα η ευθεία x = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της x y = x 6 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

39 ΕΝΙΑΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 004. Τα σημεία τομής των y = x και y = x είναι (0, 0) και (, ) y y = x y = x x 7 6 x x 5π V = π ( y y) dx = π ( x x ) dx = π = κ.μ x x dt = = = + t dt dx dt π = + t = = τοξεφ(t) = 5 4συνx t + 9t t + t εφ dt τεμ dx dx π α) 6 β) 8 4 = γ) + = F(κ) F(κ ) = = 4κ 4(κ ) (4κ )(κ ) = F(κ) F(κ ) = F(0) F(0) = = (4κ )(κ ) [ ] ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 7

40 ΕΝΙΑΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 004 ΜΕΡΟΣ Β. f(x) = x (x 4) 9 α) Πεδίο ορισμού: R Σημεία τομής με άξονες: (0, 0) και (4, 0) 4 f '(x) = x (x ) 9 x 0 + f (x) f(x) 0 Η συνάρτηση είναι αύξουσα για x [, + ) Η συνάρτηση είναι φθίνουσα για x (, ] Η συνάρτηση έχει ελάχιστο στο σημείο (, ) 4 f ''(x) = x(x ) x 0 + f (x) f(x) Η συνάρτηση έχει σημεία καμπής στα σημεία (0, 0) και, 9 β) Η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω για: x (, 0] και για x [, + ) γ) y y = f(x) 4 5 x 8 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

41 ΕΝΙΑΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 004 δ) y = f(x) 4 y 4 5 x. e+ e+ 4xln x dx = x ln(x ) Κατά παράγοντες ολοκλήρωση dx Έστω u = ln (x ) και dv = xdx du =, v = x x e+ e+ e+ e+ x 4x ln x dx = x ln(x ) dx = (e + ) x + + dx = x x e+ (e + ) + x + ln(x ) = x e + 5. x 40 x x 40 x 4 x 40 x 9+ 4 E = + = x 5x de = x 5= 0 x =,6cm dx de 9+ 4 dx 7 = > 0 έχουμε ελάχιστο ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 9

42 ΕΝΙΑΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΙΟΥΝΙΟΣ x + x + x + x 4+ x 4+ x + x 4+ x + x 4+ x + x = 0 = 0 Αντικαθιστώ τη στήλη με το άθροισμα όλων των στηλών Βγάζω παράγοντα το (4 + x) από την πρώτη στήλη. + x (4 + x) = 0 + x + x Αφαιρώ την πρώτη γραμμή από κάθε μια από τις υπόλοιπες γραμμές. 0 x 0 0 (4 + x) = 0 Αναπτύσσω κατά την πρώτη στήλη 0 0 x x x 0 0 x = 0 + = + = x = x (4 x) 0 x 0 0 (4 x)x 0 5. α) Έστω ότι το σημείο Τ έχει συντεταγμένες (x, y). Η απόσταση του Τ από την ευθεία x = είναι x και η απόσταση του από το Σ είναι (x 8) + y Έχουμε τη σχέση (x 8) + y = x ( (x 8) y ) ( x ) + = (x 8) + y = 4(x ) x y x y = 48 = 6 48 β) γ α + β e= = = α α Εξισώσεις ασυμπτώτων: x y = 0 y=± x ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

43 ΕΝΙΑΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 004 γ) A( 5, ). Εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής στο Α: 5x y = 6 5x y = 6 5x y = 6 Λύνουμε τα συστήματα: και y= x y= x βρίσκουμε τα σημεία Β( 8, 8 ) και Γ(, ) ΒΓ = 6 Εξίσωση της κάθετης της υπερβολής στο Α: y = (x 5) 5 Σημεία τομής της καθέτου με τους άξονες: Δ(0, 4 ), Ζ(0, 0) ΔΖ = 448 ΔΖ 448 = = 4 = = e ΒΓ 6 6. α) Θέτουμε u = α x du = dx, όταν x = 0, u = α και όταν x = α, u = 0 α 0 α α f(α x)dx = f (u)du =+ f (u)du = f (x)dx 0 α 0 0 β) Με την ίδια αντικατάσταση όπως στο α) έχουμε: α 0 I= x[f(x) + f(α x)]dx = (α u)[f(α u) + f(u)]du = α 0 α f(α u)[f(α u) + f(u)]du = 0 α α α f(α u) + f(u)du u[f(α u) + f(u)]du = 0 0 α α α α α f(α u)du + α f(u)du u[f(α u) + f(u)]du = α f(x)dx I (χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα στο α) πιο πάνω) α α I = α f(x)dx I= α f(x)dx 0 0 γ) Στο πιο πάνω αποτέλεσμα, αν θέσουμε π f(α x) = f x = συνx π π π π π π x(ημ x + συν x)dx = ημ xdx = ( συν x) = 0 0 π α = και f(x) = ημ x έχουμε: 0 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 4

44 ΕΝΙΑΙΕΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΛΥΚΕΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Χρόνος: Ώρες και 0 λεπτά Ιούνιος 004 ΜΕΡΟΣ Α' Να απαντήσετε σε μόνο από τις 5 ερωτήσεις. Κάθε ερώτηση βαθμολογείται με 5 μονάδες.. Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της λέξης Ε Π Ι Μ Ε Λ Ε Ι Α.. Να βρείτε τη μέση τιμή, τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή των παρατηρήσεων:, 5,, 7,, 6,, 7,, 6,. Να βρείτε το εμβαδόν σφαίρας η οποία έχει όγκο 88π cm. 4. Ανθοπώλης διαθέτει 08 τριαντάφυλλα, 9 γαρύφαλλα και 44 κρίνους, και θέλει να φτιάξει ομοιόμορφες ανθοδέσμες. Να βρείτε πόσες το πολύ ομοιόμορφες ανθοδέσμες μπορεί να κάμει και πόσα άνθη από το κάθε είδος θα έχει η κάθε ανθοδέσμη. 5. Κατά τη διάρκεια των εκπτώσεων μια τηλεόραση αξίας 600 λιρών πουλήθηκε προς 46 λίρες. Ποιο το ποσοστό (%) έκπτωσης της; 6. Σ' ένα δείγμα 50 οικογενειών καταγράφηκε ο αριθμός των παιδιών τους όπως φαίνεται στον πιο κάτω πίνακα: Αριθμός παιδιών (x i ) Αριθμός οικογενειών (f i ) (α) (β) Να βρείτε το ποσοστό (%) των οικογενειών που δεν έχουν παιδιά. Πόσες οικογένειες έχουν το πολύ δύο παιδιά; 7. Δίνεται κανονική τετραγωνική πυραμίδα με ακμή βάσης cm και όγκο 84cm. Να βρείτε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας της πυραμίδας. 4 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

45 ΕΝΙΑΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου και ισχύει βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Α') P(A) 7 =, να P(A') 9 9. Η τιμή πώλησης ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή μαζί με 5% Φ.Π.Α. είναι 897 λίρες. Να βρείτε την τιμή του ηλεκτρονικού υπολογιστή χωρίς Φ.Π.Α. 0. Να βρείτε πόσους αριθμούς μικρότερους του 00 μπορούμε να σχηματίσουμε με τα ψηφία 0,,,, 4, 6, αν δεν επιτρέπεται η επανάληψη.. Ορθό πρίσμα έχει βάση ισόπλευρο τρίγωνο. Αν το ύψος του πρίσματος είναι 9 cm και η περίμετρος της βάσης του cm, να βρείτε: (α) το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος, (β) τον όγκο του πρίσματος.. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Να βρείτε το δειγματικό χώρο και στη συνέχεια να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: (α) Α : δύο από τις ενδείξεις να είναι οι ίδιες, (β) Β : τουλάχιστο μια ένδειξη να είναι κεφαλή.. Να λύσετε την εξίσωση: ν = Ο κ. Πέτρος ρωτήθηκε πόσες κότες έχει και απάντησε ως εξής: «Έχω περισσότερες από 400 και λιγότερες από 500. Όταν τις μετρώ ανά 5 ή 8 ή δεν περισσεύει καμιά». Να βρείτε πόσες είναι οι κότες του κ. Πέτρου. 5. Ένας μοτοσικλετιστής τρέχει με ταχύτητα 80 km/h σε κατοικημένη περιοχή. Αστυνομικός του κάνει σήμα να σταματήσει αλλά αυτός τον αγνοεί και συνεχίζει με την ίδια ταχύτητα. Τρία λεπτά αργότερα ο αστυνομικός αρχίζει να τον καταδιώκει με ταχύτητα 00 km/h. Σε πόση ώρα θα τον ανακόψει και σε ποια απόσταση από το σημείο ελέγχου; ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 4

46 ΕΝΙΑΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 004 ΜΕΡΟΣ Β' Να απαντήσετε σε 4 μόνο από τις 6 ερωτήσεις. Κάθε ερώτηση βαθμολογείται με 0 μονάδες.. Ένας μανάβης αγόρασε 60 κιλά μήλα προς 80 σεντ το κιλό και 50 κιλά σταφύλι προς 90 σεντ το κιλό. Πώλησε τα μήλα με ζημιά 5% και το σταφύλι με κέρδος 0%. Να βρείτε το ποσό των χρημάτων που κέρδισε ή ζημίωσε.. Τα αποτελέσματα ενός διαγωνίσματος στα Γαλλικά σ' ένα τμήμα Λυκείου φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα: Βαθμός (x i ) Αριθμός μαθητών (f i ) Να βρείτε τη μέση τιμή x, τη διάμεσο x δ, την επικρατούσα τιμή x ε και την τυπική απόκλιση της πιο πάνω κατανομής με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων.. Κάποιος τόκισε με απλό τόκο τα των χρημάτων του στην τράπεζα Α με επιτόκιο 6,5%, το των υπολοίπων χρημάτων στην τράπεζα Β με επιτόκιο 4% και τα χρήματα που του απέμειναν τα τόκισε στην τράπεζα Γ με ε- 4 πιτόκιο 5%. Αν σε δύο χρόνια πήρε και από τις τρεις τράπεζες συνολικό τόκο 5680 λίρες, να βρείτε πόσα χρήματα είχε. 4. Το μέσο ύψος παικτών μιας ομάδας μπάσκετ είναι 95cm. (α) Για να αυξηθεί το μέσο ύψος της ομάδας ο προπονητής πήρε ακόμη ένα παίκτη με ύψος 07cm. Ποιο είναι το νέο μέσο ύψος της ομάδας; (β) Αν ο προπονητής θέλει να αυξήσει το μέσο ύψος της αρχικής ομάδας κατά cm, ποιο πρέπει να είναι το ύψος του νέου παίκτη που πρέπει να προσλάβει; 5. Ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓΔ με A = Δ = 90, ΑΒ = 8α cm, ΓΔ = α cm και ΑΔ = 4α cm, περιστρέφεται πλήρη στροφή γύρω από τη μικρή βάση του. Να βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας και τον όγκο του στερεού που παράγεται. 6. Σ' ένα χωριό της Κύπρου το 5% των κατοίκων ξέρει να κολυμπά, το 0% ξέρει να ψαρεύει και το 5% ξέρει και να κολυμπά και να ψαρεύει. Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα κάτοικο, ποια η πιθανότητα των ενδεχομένων: 44 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

47 ΕΝΙΑΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 004 (α) να ξέρει να ψαρεύει ή να κολυμπά, (β) να ξέρει μόνο να κολυμπά, (γ) να μη ξέρει ούτε να κολυμπά ούτε να ψαρεύει. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α :. Υπάρχουν συνολικά 9 γράμματα Υπάρχουν τρία Ε Υπάρχουν δύο Ι Πλήθος αναγραμματισμών = 9! 4 9 = = 040!!. α) x = = = 4 Η μέση τιμή είναι 4. β),,,,,, 5, 6, 6, 7, 7 Η διάμεσος είναι γ) Η παρατήρηση με το μεγαλύτερο πλήθος είναι η Άρα, η επικρατούσα τιμή είναι η.. 4πR 4πR V = 88π = R = 6 R = 6cm Ε = 4πR E = 4 π 6 Ε = 44π cm = 9= 6 44= 4 ΜΚΔ(08, 9, 44) = = ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 45

48 ΕΝΙΑΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 004 Θα γίνουν το πολύ ανθοδέσμες Η κάθε ανθοδέσμη θα περιέχει: 08 : = 9 τριαντάφυλλα 9 : = 6 γαρύφαλλα 44 : = κρίνους 5. Έκπτωση = = 8 λίρες Έστω x (%) το ποσοστό έκπτωσης x = x = % Απ.: Tο ποσοστό της έκπτωσης είναι %. 6. (α) Έξι οικογένειες δεν έχουν παιδιά = % ;άρα % των οικογενειών δεν έχουν παιδιά 50 (β) = ;άρα οικογένειες έχουν το πολύ παιδιά 7. Ε β = α Ε β = Ε β = 44 cm υ h Ε υ 44 υ = = = β V 84 υ 8cm υ + (ΟΑ) = h = h h = 0cm α Ο Α Π h 40 E = E = E = 40cm β π π π Ε ολ = Ε π + Ε β Ε ολ = = 84 cm Απ.: To εμβαδόν της ολικής επιφάνειας της πυραμίδας είναι 84 cm. 8. P(A) 7 P(A) 7 = = 9P(A) = 7[ P(A)] = 7 7P(A) P(A') 9 -P(A) P(A) = 7 P(A) = P(A') = = ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

49 ΕΝΙΑΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ Έστω x η τιμή πώλησης του Η.Υ., χωρίς ΦΠΑ 5 x + x = x + 5x = x = x = 780 λίρες 00 Απ. Η τιμή πώλησης του Η.Υ. χωρίς ΦΠΑ είναι 780 λίρες 0. Μονοψήφιοι: 0,,,, 4, 6 6 Διψήφιοι: Δεκάδες Μονάδες = 5 Τριψήφιοι: Εκατοντάδες Δεκάδες Μονάδες = = 7 Απ.: Μπορούμε να σχηματίσουμε 7 αριθμούς μικρότερους του 00 χωρίς επανάληψη ψηφίου.. α) Περίμετρος = α Πλευρά βάσης α = : = 4 cm α 4 β Eβ = E = = 4 cm 4 4 β) V = E β υ V = 4 9 V = 08cm. Κ: κεφαλή Γ: γράμματα Δειγματικός χώρος: Ω = {ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ} α) Α= {ΚΓΓ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΚΚ, ΚΓΚ, ΚΚΓ} N(A) 6 P(A) = = = N(Ω) 8 4 β) Β= {ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ} N(Β) 7 P(Β) = = N(Ω) 8. ν ν! = 45 = 45!(ν )! (ν )! (ν )ν = 45 ν ν= 90 (ν )!! ν ν 90 = 0 (ν 0)(ν + 9) = 0 ν 0 = 0 ν = 0 ν + 9 = 0 ν = 9 απορρίπτεται. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 47

50 ΕΝΙΑΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ = 5 8 = ΕΚΠ(5,8,) = 5 = 0 = Το πολλαπλάσιο του 0 μεταξύ του 400 και του 500 είναι το 480 Απ.: Ο κ. Πέτρος έχει 480 κότες 5. Έστω ότι θα τον ανακόψει σε x ώρες από τη στιγμή που ο αστυνομικός αρχίζει την καταδίωξη. Στα λεπτά ο μοτοσικλετιστής θα καλύψει km Σε x ώρες ο μοτοσικλετιστής θα καλύψει 80x km. Σε x ώρες ο αστυνομικός θα καλύψει 00x km. ΜΕΡΟΣ Β' 00x = 80x x 80x = 4 0x = 4 4 x = = της ώρας = λεπτά 0 5 Ο αστυνομικός θα καλύψει 00 = 0 km. 5 Απ.: Ο αστυνομικός θα τον ανακόψει σε λεπτά από τη στιγμή που άρχισε τη καταδίωξη και σε απόσταση 0 km από το σημείο ελέγχου.. Μήλα: = σεντ Σταφύλι: = 500 σεντ Πλήρωσε: = 69 λίρες Είσπραξε από μήλα: = ,0 = 97,80 λίρες 00 Είσπραξε από σταφύλι: = ,50 = 9,50 λίρες 00 Συνολική είσπραξη: 97,80 + 9,50 = 690,0 λίρες Ζημίωσε : 69,00 690,0 =,70 λίρες. α) Βαθμός Αρ. Μαθητών f (x i ) (f i ) i x i ( x-x ) i f ( ) i xi -x ( 5) 6 5 = ( 4) 6 = 6 ( ) 4 = = = = ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

51 ΕΝΙΑΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ x = = x = Τυπική απόκλιση: σ= σ=, 6 8 β) Η διάμεσος είναι η μέση τιμή του 4 ου και 5 ου βαθμού όταν αυτοί είναι τοποθετημένοι σε αύξουσα σειρά. Υπάρχει 6 φορές το 9 6 Υπάρχει φορές το = 8 Υπάρχει φορές το 8 + = Υπάρχει 8 φορές το 5 Άρα ο 4 ος είναι το 5 και ο 5 ος είναι το Η διάμεσος είναι: xδ = = 5 γ) Επικρατούσα τιμή είναι ο βαθμός με τη μεγαλύτερη συχνότητα, δηλ. το 5. Έστω ότι είχε x λίρες. x (6,5) 6x Τόκος από τη τράπεζα Α: Τ = = x 4 x Τόκος από τη τράπεζα Β: Τ 4 = = x 5 4 x Τόκος από τη τράπεζα Γ: Τ = = x x x + + = x + 4x + 5x = x = x = λίρες 4. α) Το άθροισμα των υψών των παικτών είναι 95 = 45 Το άθροισμα των υψών των παικτών είναι = 5 Το νέο μέσο ύψος είναι: 5 96 cm = β) Έστω ότι το ύψος του νέου παίκτη που θα προσλάβει είναι x 45 + x = x = 64 x = 9cm ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 49

52 ΕΝΙΑΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ Δ Γ Α 4α 8α Β Ζ Δ α Γ (ΒΓ) = α 8α = α cm (ΒΓ) = (ΒΖ) + (ΖΓ) (ΒΓ) = 9α + 6α = 5α (ΒΓ) = 5α cm Ε ολ = Ε ΑΔ + Ε ΔΓ +Ε ΓΒ Ε ΑΔ = π r = π (ΑΔ) = π (4α) = 6πα cm Ε ΔΓ = πrh = π (ΑΔ)(ΓΔ) = π(4α)(α) = 88πα cm Ε ΒΓ = πrλ = π (ΑΔ)(ΒΓ) = π(4α)(5α) = 0πα cm Ε ολ = 6πα + 88πα +0πα = 4πα cm V = V κυλ V κων V = πr h πr υ πr V = (h υ) π(αδ) π(4α) V = [((ΔΓ) (ΒΖ)] V = [((α) α] V = π6α 0α V = 60πα cm 6. K: ξέρει να κολυμπά Ψ: ξέρει να ψαρεύει Ρ(Κ) =, Ρ(Ψ) = Ρ(Κ Ψ) = α) Ρ(Κ Ψ) = Ρ(Κ) + Ρ(Ψ) Ρ(Κ Ψ) Ρ(Κ Ψ) = Ρ(Κ Ψ) = = ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

53 ΕΝΙΑΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 004 β) Ρ(Κ Ψ') = Ρ(Κ) Ρ(Κ Ψ) Ρ(Κ Ψ') = = = γ) Ρ(Κ ' Ψ ') = Ρ[(Κ Ψ)'] = Ρ(Κ Ψ) Ρ(Κ ' Ψ ') = 5 Ρ(Κ ' Ψ ') = 5 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 5

54 ΕΝΙΑΙΕΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (4ωρο) Χρόνος: Ώρες και 0 λεπτά Ιούνιος 004 ΜΕΡΟΣ Α': Να απαντήσετε σε μόνο από τις 5 ερωτήσεις. Κάθε ορθή απάντηση βαθμολογείται με 5 μονάδες.. Κύβος έχει ακμή cm. Να υπολογίσετε τον όγκο και το ολικό του εμβαδόν.. Να λύσετε το σύστημα: x y = xy = 4. Να βρείτε τη γενική λύση της εξίσωσης : ημx = 4. Η μέση τιμή οκτώ αριθμών είναι 5. Οι έξι από αυτούς είναι: 9,,, 5, 7 και 8. Να υπολογίσετε τους άλλους δύο αν ο ένας είναι κατά 4 μεγαλύτερος από τον άλλο. 5. Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση x + y 4x y 4 = 0. Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου και την ακτίνα του. 6. Να υπολογίσετε πόσους τριψήφιους αριθμούς μπορώ να σχηματίσω με τα ψηφία,,, 4 και 5 αν δεν επιτρέπεται η επανάληψη του ιδίου ψηφίου στον ίδιο αριθμό. Πόσοι από αυτούς είναι άρτιοι; 7. Κώνος έχει ύψος 8cm και περίμετρο βάσης π cm. Να υπολογίσετε την α- κτίνα, τον όγκο και το εμβαδόν ολικής επιφάνειας του. 8. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x x + 4. Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων της συνάρτησης για τα οποία f '(x) = Κάποιος αγόρασε μια μοτοσικλέτα και τη μεταπώλησε προς 400 ζημιώνοντας έτσι 0% πάνω στην τιμή που την αγόρασε. Να υπολογίσετε την τιμή στην οποία την αγόρασε. 5 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 57-2278101 Φαξ: 57-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 015 Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4-ΩΡΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ Ημερομηνία και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ (ΚΥ.Μ.Ε.) ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 2013-2014

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ (ΚΥ.Μ.Ε.) ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 2013-2014 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τ. 357-22378101 Φ: 357-22379122 cms@cms.org.cy www.cms.org.cy ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ (ΚΥ.Μ.Ε.) ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κ.κ.

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κ.κ. ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357-22378101 Φαξ: 357-22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κ.κ. Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ, ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ και ΣΥΝΕΔΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 2012-2013

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ, ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ και ΣΥΝΕΔΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 2012-2013 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τ. 357-22378101 Φ: 357-22379122 cms@cms.org.cy www.cms.org.cy ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ, ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ και ΣΥΝΕΔΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 2012-2013 ΕΠΑΡΧΙΑΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007 A-PDF Merger DEMO : Purchase from www.a-pdf.com to remove the watermark ΥΠΟΥΡΓΙΟ ΠΑΙΔΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΚΠΑΙΔΥΣΗΣ ΥΠΗΡΣΙΑ ΞΤΑΣΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΣ ΞΤΑΣΙΣ 007 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013. Όνομα μαθητή /τριας: Τμήμα: Αρ.

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013. Όνομα μαθητή /τριας: Τμήμα: Αρ. ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΤΑΞΗ: B ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ώρες ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 12 / 6 / 2013 Βαθμός: Ολογράφως: Υπογραφή: Όνομα μαθητή

Διαβάστε περισσότερα

Λευκωσία, 13 Μαΐου 2010 ρα Ζήνα Πουλλή ιευθύντρια Μέσης Εκπαίδευσης Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού

Λευκωσία, 13 Μαΐου 2010 ρα Ζήνα Πουλλή ιευθύντρια Μέσης Εκπαίδευσης Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού Λευκωσία, 13 Μαΐου 2010 ρα Ζήνα Πουλλή ιευθύντρια Μέσης Εκπαίδευσης Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού Αξιότιμη Κυρία, ΘΕΜΑ: Αποτελέσματα Παγκύπριας Ολυμπιάδας Χημείας 2009 2010 για τις τάξεις Α, Β και

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ (4) Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Δευτέρα, 25/5/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΛΥΣΕΙΣ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 01 Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Παρασκευή 1/5/01 8:00

Διαβάστε περισσότερα

Α/Α ΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ ΟΝΟΜΑ ΕΠΑΡΧΙΑ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΚΑΤΑΤΑΞΗ 1 ΖΑΒΡΟΣ ΑΝΝΙΝΟΣ ΛΕΜΕΣΟΣ ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ 1 2 ΓΕΡΟΥ ΜΑΡΙΟΣ ΛΕΥΚΩΣΙΑ ΛΥΚΕΙΟ ΣΤΡΟΒΟΛΟΥ

Α/Α ΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ ΟΝΟΜΑ ΕΠΑΡΧΙΑ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΚΑΤΑΤΑΞΗ 1 ΖΑΒΡΟΣ ΑΝΝΙΝΟΣ ΛΕΜΕΣΟΣ ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ 1 2 ΓΕΡΟΥ ΜΑΡΙΟΣ ΛΕΥΚΩΣΙΑ ΛΥΚΕΙΟ ΣΤΡΟΒΟΛΟΥ Α/Α ΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ ΟΝΟΜΑ ΕΠΑΡΧΙΑ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΚΑΤΑΤΑΞΗ 1 ΖΑΒΡΟΣ ΑΝΝΙΝΟΣ ΛΕΜΕΣΟΣ ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ 1 2 ΓΕΡΟΥ ΜΑΡΙΟΣ ΛΕΥΚΩΣΙΑ ΛΥΚΕΙΟ ΣΤΡΟΒΟΛΟΥ 2 3 ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΛΕΥΚΩΣΙΑ ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΤΣΙΩΝ 3

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΑΝΩΜΑΛΟΣ ΔΡΟΜΟΣ ΛΕΜΕΣΟΣ 13/1/2015 ΤΕΛΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΡΡΕΝΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΑΝΩΜΑΛΟΣ ΔΡΟΜΟΣ ΛΕΜΕΣΟΣ 13/1/2015 ΤΕΛΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΡΡΕΝΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΑΤΟΜΙΚΗ ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΑΡΙΘ. ΑΘΛΗΤΗ ΧΡΟΝΟΣ ΕΤΟΣ ΓΕΝΝΗΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΑΝΩΜΑΛΟΣ ΔΡΟΜΟΣ ΛΕΜΕΣΟΣ 13/1/2015 ΤΕΛΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΡΡΕΝΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΤΕΛΙΚΗ ΑΤΟΜΙΚΗ ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΑΡΡΕΝΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΟΝΟΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

log( x 7) log( x 2) log( x 1)

log( x 7) log( x 2) log( x 1) ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 01-13 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 013 Ημερομηνία: 0/5/013 Ημέρα:Δευτέρα Μάθημα (Μαθηματικά Κατεύθυνσης) Τάξη Β Ώρα:10.30-13.00 Χρόνος:,5 ώρες Οδηγίες:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΟΣ A ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 1, Στρόβολος 3, Λευκωσία Τηλ. 357-37811 Φαξ: 357-3791 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Πέμτη, 3/5/13

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. σας προτείνουν για άλλη μια χρονιά, ένα ολοκληρωμένο

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. σας προτείνουν για άλλη μια χρονιά, ένα ολοκληρωμένο ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αγαπητοί μαθητές και μαθήτριες, Τα σας προτείνουν για άλλη μια χρονιά, ένα ολοκληρωμένο επαναληπτικό υλικό στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΕΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΩΝ ΜΕΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΕΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΩΝ ΜΕΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΕΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΩΝ ΜΕΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Το Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού ανακοινώνει τις ακόλουθες τοποθετήσεις και μετακινήσεις Εκπαιδευτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΑΝΩΜΑΛΟΣ ΔΡΟΜΟΣ ΛΕΜΕΣΟΣ 13/1/2015 ΤΕΛΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΡΡΕΝΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΑΝΩΜΑΛΟΣ ΔΡΟΜΟΣ ΛΕΜΕΣΟΣ 13/1/2015 ΤΕΛΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΡΡΕΝΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΤΟΜΙΚΗ ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΑΡΙΘ. ΑΘΛΗΤΗ ΧΡΟΝΟΣ ΕΤΟΣ ΓΕΝΝΗΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΑΝΩΜΑΛΟΣ ΔΡΟΜΟΣ ΛΕΜΕΣΟΣ 13/1/2015 ΤΕΛΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΡΡΕΝΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΕΛΙΚΗ ΑΤΟΜΙΚΗ ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΑΡΡΕΝΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΝΟΜΑ ΑΘΛΗΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ Κ.Σ.Α. ΛΕΥΚΩΣΙΑΣ

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ Κ.Σ.Α. ΛΕΥΚΩΣΙΑΣ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ Υποβολή αιτήσεων για εισαγωγή στα Ανώτερα και Ανώτατα Εκπαιδευτικά Ιδρύματα (ΑΑΕΙ) της Ελλάδας για τους αποφοίτους/τελειοφοίτους Κυπριακών Σχολείων Μέσης Εκπαίδευσης (Μ.Ε.) Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) 4 - + β) f () = - - + 3 4 - - γ) f () = δ) f () = - + - - 5-3

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 11 Ιουνίου 2007 (πρωί)

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 11 Ιουνίου 2007 (πρωί) ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2007 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 11 Ιουνίου 2007 (πρωί) ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ : 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΥΛΙΚΑ : Ευρωπαϊκό τυπολόγιο Υπολογιστής τσέπης απλός (χωρίς δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Αρ. Φακ.: 7.24.07/4 προσ. Αρ. Τηλ.:22800698/735 Αρ. Φαξ:22428268 19 Απριλίου 2011 E-mail:circularsec@schools.ac.cy

Αρ. Φακ.: 7.24.07/4 προσ. Αρ. Τηλ.:22800698/735 Αρ. Φαξ:22428268 19 Απριλίου 2011 E-mail:circularsec@schools.ac.cy ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αρ. Φακ.: 7.24.07/4 προσ. Αρ. Τηλ.:22800698/735 Αρ. Φαξ:22428268 19 Απριλίου 2011 E-mail:circularsec@schools.ac.cy Διευθυντές/Διευθύντριες,

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε μόνο τις 12. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με πέντε μονάδες.

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε μόνο τις 12. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με πέντε μονάδες. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α : Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε μόνο τις 1. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με πέντε μονάδες. 1. Να κάνετε τις πράξεις: (α) 4αβ +10αβ αβ = (β) 3χψ4χ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΕΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΩΝ ΜΕΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΕΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΩΝ ΜΕΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΕΙΣ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΙΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΩΝ ΜΕΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Το Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού ανακοινώνει τις ακόλουθες συμπληρωματικές τοποθετήσεις και μετακινήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56)

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56) ΓΕΝΙΚEΣ AΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Κώστας Βακαλόπουλος, Κώστας Παπαϊωάννου, Θανάσης Χριστόπουλος Άσκηση ( λ) λ λ 5 Δίνεται η συνάρτηση F(x) x λx. α) Να βρεθεί η F (x). Ν(Β) Άρα: Β = {5}, οπότε

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 0-0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 0 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής). THE G

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Επιµόρφωση Εκπαιδευτικών Μέσης Εκπαίδευσης στα Αναλυτικά Προγράµµατα (Κεντρικές Επιμορφώσεις) 2013-2014

Θέμα: Επιµόρφωση Εκπαιδευτικών Μέσης Εκπαίδευσης στα Αναλυτικά Προγράµµατα (Κεντρικές Επιμορφώσεις) 2013-2014 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ Το Έργο συγχρηματοδοτείται από το Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο (ΕΚΤ) κατά 85% και από εθνικούς πόρους κατά 15% στα πλαίσια του Άξονα Προτεραιότητας 1 «Ανάπτυξη του Ανθρώπινου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΩΝ ΣΧΟΛΕΙΩΝ ΚΡΑΤΩΝ-ΜΕΛΩΝ ΤΗΣ Ε.Ε. ΜΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΓΩΓΗΣ.

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΩΝ ΣΧΟΛΕΙΩΝ ΚΡΑΤΩΝ-ΜΕΛΩΝ ΤΗΣ Ε.Ε. ΜΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΓΩΓΗΣ. ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ Υποβολή αιτήσεων για εισαγωγή στα Ανώτερα και Ανώτατα Εκπαιδευτικά Ιδρύματα (ΑΑΕΙ) της Ελλάδας για τους αποφοίτους/τελειοφοίτους Κυπριακών Σχολείων Μέσης Εκπαίδευσης (Μ.Ε.) Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΙ ΑΓΩΝΕΣ ΣΤΙΒΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ 8 /4/2014 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΡΡΕΝΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΙ ΑΓΩΝΕΣ ΣΤΙΒΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΑΡΡΕΝΩΝ 8/4/2014 ΔΡΟΜΟΣ 80 ΜΕΤΡΩΝ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΙ ΑΓΩΝΕΣ ΣΤΙΒΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ 8 /4/2014 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΡΡΕΝΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΙ ΑΓΩΝΕΣ ΣΤΙΒΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΑΡΡΕΝΩΝ 8/4/2014 ΔΡΟΜΟΣ 80 ΜΕΤΡΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΙ ΑΓΩΝΕΣ ΣΤΙΒΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΑΡΡΕΝΩΝ 8/4/2014 ΔΡΟΜΟΣ 80 ΜΕΤΡΩΝ 1 ΣΕΒΑΣΤΟΥ ΑΝΔΡΕΑΣ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣ ΛΣΟΣ 1999 9.48 2 ΗΡΟΔΟΤΟΥ ΑΝΤΡΕΑΣ ΑΓ. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΛΣΙΑ 1999 9.50 3 ΔΙΟΓΕΝΟΥΣ ΒΑΛΕΝΤΙΝΟΣ ΑΓ. ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΠΦΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: 16 Μαρτίου 2012, ώρα 7.30 μ.μ.. 1

Ημερομηνία: 16 Μαρτίου 2012, ώρα 7.30 μ.μ.. 1 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αρ. Φακ.: 7.24.07.6.2 Αρ. Τηλ.:22800698/735 Αρ. Φαξ:22428268 E-mail:circularsec@schools.ac.cy 5 Ιανουαρίου 2012 Διευθυντές/τριες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧ. ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ - ΠΛΑΤΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 015 ΒΑΘΜΟΣ : ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμητικά.. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 1/6/015 ΒΑΘΜΟΣ:... ΤΑΞΗ: Α Ολογράφως:... ΧΡΟΝΟΣ: ώρες

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Κατάλογος συμμετεχόντων στην ημερίδα με θέμα «Πρόληψη και Προαγωγή της Ψυχικής Υγείας και Κοινωνική και Συναισθηματική Αγωγή»

ΘΕΜΑ: Κατάλογος συμμετεχόντων στην ημερίδα με θέμα «Πρόληψη και Προαγωγή της Ψυχικής Υγείας και Κοινωνική και Συναισθηματική Αγωγή» ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ Το Έργο δύναται να συγχρηματοδοτηθεί από το Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο (ΕΚΤ) κατά 85% και από εθνικούς πόρους κατά 15% στα πλαίσια του Άξονα Προτεραιότητας 1 «Ανάπτυξη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ : 3 ώρες (180 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ: Ευρωπαϊκό τυπολόγιο Υπολογιστής τσέπης χωρίς δυνατότητα προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα