Παραγώγοι - Ορια. lim Μέρος Α 4) Να υπολογίσετε το όριο 2006 Μέρος Α Β σειρά 3) Να υπολογίσετε το όριο. lim. lim.

Transcript

1 6 Μέρος Α 4) Να υπολογίσετε το όριο 6 Μέρος Α Β σειρά 3) Να υπολογίσετε το όριο 7 Μέρος Α Παραγώγοι - Ορια x ln x lim. x x e lnx x lim x x 9) Να αποδείξετε ότι: Toξημx, x (, ) 7-Μέρος Α Β σειρά x 4) Να υπολογίσετε την παράσταση : y = ημ [ τοξεφ 4 3 ] 8) Αν x e t d y dy και y t, να δείξετε ότι: x x dx dx 8 Μέρος Α x x 3) Να υπολογίσετε το όριο: lim x x x 9- Μέρος Α συνx ) Να υπολογίσετε το όριο lim x 3x 9-Μέρος Α Β σειρά ) Να υπολογίσετε το όριο : lim χ συνχ - ημ3χ 9) Αν x = e t ημt και y = e -t d y συνt, να δείξετε ότι : = dx e 3t. συνt ημt -Μέρος Α ) Να υπολογίσετε το όριο: ημχ συνχ e lim χ χ χ. -ΜΕΡΟΣ Α- Β σειρά χ ημχ 3) Να υπολογίσετε το lim χ e χ χ. -ΜΕΡΟΣ A- Β σειρά 3) Να βρείτε το χ e συνχ lim. χ ημχ συνχ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ.

2 -ΜΕΡΟΣ A- Β σειρά ) Να υπολογίσετε το: χ ημχ lim. χ χ ημχ 3-ΜΕΡΟΣ Α x+ημx ) Να υπολογίσετε τo όριο lim x e x - 3-ΜΕΡΟΣ A- Β σειρά x x e e x 4) Να υπολογίσετε το όριο lim x x x 6) Αν x t και t, να δείξετε ότι d dx 3-ΜΕΡΟΣ Β- Β σειρά ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ.

3 Μονοτονία Μελέτη Γραφικής Εμβαδόν - Ογκος 6 Μέρος Α 3) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη με εξίσωση y 6x, τις ευθείες x, x και τον άξονα των x. 6 Μέρος Β x ) Δίνεται η συνάρτηση y. Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού, τα x 4 σημεία τομής με τους άξονες, τα τοπικά ακρότατα και τις ασύμπτωτες της συνάρτησης, να την παραστήσετε γραφικά. ) Δίνεται η καμπύλη με εξίσωση y x, x και το σημείο A, (α) Να εκφράσετε σε συνάρτηση του x την απόσταση του σημείου Α από τυχαίο σημείο x,y της καμπύλης. (β) Να βρείτε το σημείο της καμπύλης που απέχει την ελάχιστη απόσταση από το σημείο Α και να βρείτε την ελάχιστη αυτή απόσταση. 6-Μέρος Α Β σειρά 5) Δίνεται η καμπύλη με εξίσωση 3y-4xy=-5. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο της (,). 6) Να βρείτε τις τιμές των α και β για τις οποίες η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία με τετμημένες x = και x =-4 και να τα χαρακτηρίσετε. 6 Μέρος Β- Β Σειρά x ) Δίνεται η συνάρτηση y x τομής με τους άξονες, τα τοπικά ακρότατα και τις ασύμπτωτες της συνάρτησης, να κάνετε τη γραφική της παράσταση. 9. Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού, τα σημεία 4 ) Δίνεται η ευθεία ε : y=x-3. (α) Να αποδείξετε ότι η απόσταση τυχαίου σημείου Α(x,y) της ευθείας ε από την αρχή των αξόνων είναι d(x) 5x x 9. (β) Να αποδείξετε ότι το σημείο της ευθείας ε το οποίο απέχει την ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων είναι το σημείο 6 3 M(, ). Στη συνέχεια να βρείτε την ελάχιστη αυτή απόσταση Μέρος Α ) Το σημείο (, ) είναι τοπικό ακρότατο της συνάρτησης y=αx + 4x. Να υπολογίσετε το α και να προσδιορίσετε το είδος του ακρότατου. 7) Να υπολογίσετε τον όγκο του στερεού που παράγεται από την πλήρη περιστροφή γύρω από τον άξονα των x του χωρίου που περικλείεται από το διάγραμμα της καμπύλης y=x +, την ευθεία x= και τους άξονες Ox και Oy. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 3

4 7 ΜΕΡΟΣ Β : ) Δίνεται η συνάρτηση y=x e x. Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού, τα σημεία τομής με τους άξονες, τα τοπικά ακρότατα και τις ασύμπτωτες, να την παραστήσετε γραφικά. ) Ένα παράθυρο έχει περίμετρο m και αποτελείται από ένα ορθογώνιο και ένα ημικύκλιο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου έτσι ώστε από το παράθυρο να διέρχεται ο μέγιστος φωτισμός, δηλαδή να έχει τη μέγιστη δυνατή επιφάνεια. 7 ΜΕΡΟΣ Α - Β Σειρά ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης x y. x x ) Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο με ακτίνα 6 cm, να βρείτε τις διαστάσεις εκείνου που έχει μέγιστο εμβαδόν. 7 ΜΕΡΟΣ Β - Β Σειρά x ) Δίνεται η συνάρτηση y (x ) e. (α) Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού της πιο πάνω συνάρτησης, τα σημεία τομής της με τους άξονες, τα διαστήματα μονοτονίας, τα ακρότατα και τις ασύμπτωτες, να την παραστήσετε γραφικά. (β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την καμπύλη και τους άξονες των συντεταγμένων. 8 ΜΕΡΟΣ Α : 5) Αν το σημείο Α(,) είναι σημείο καμπής της συνάρτησης y=αx 3 +6x -βx+5, να υπολογίσετε τις τιμές των α και β. 8 ΜΕΡΟΣ Β : x x 4 ) Δίνεται η συνάρτηση y. Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού της, τα x σημεία τομής της με τους άξονες, τα τοπικά ακρότατά της και τις ασύμπτωτές της, να την παραστήσετε γραφικά. 5) Aπό όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με σταθερή περίμετρο c (c>), να βρείτε τις γωνίες εκείνου του ορθογωνίου τριγώνου, του οποίου το μήκος της υποτείνουσας είναι ελάχιστο. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 4

5 8-Μέρος Α Β Σειρά 4) (α) Να αναφέρετε το θεώρημα της μέσης τιμής. (β) Δίνεται η συνάρτηση στο διάστημα. Να βρείτε τον αριθμό που ικανοποιεί το συμπέρασμα του θεωρήματος της μέσης τιμής. 5) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης 8-Μέρος Β Β Σειρά ) Δίνεται η συνάρτηση. Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού, τα σημεία τομής με τους άξονες, διαστήματα μονοτονίας, τα τοπικά ακρότατα και τις ασύμπτωτες, να την παραστήσετε γραφικά. 5) Δίνονται τα σημεία και. Να βρείτε σημείο,, της ευθείας με εξίσωση, έτσι ώστε η γωνία να είναι μέγιστη. 9 ΜΕΡΟΣ Α : 7) Δίνεται η πραγματική συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο R και για 3 x την οποία ισχύει f (x) f(x) e, για κάθε x R. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. ) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) xe i) Να βρείτε το τοπικό ακρότατό της και να το χαρακτηρίσετε. ii) Να δείξετε ότι x x e x, για κάθε xr. 9-ΜΕΡΟΣ Β : x ) Δίνεται η συνάρτηση f(x) x 3x Να βρείτε το πεδίο ορισμού, τα σημεία τομής της με τους άξονες, τα τοπικά ακρότατα, τις ασύμπτωτες της συνάρτησης, και στη συνέχεια να την παραστήσετε γραφικά. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 5

6 4) Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) x x και η ευθεία (ε): y λ(x ), λ (, ). Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f τον άξονα xx και την ευθεία (ε). Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα και την ευθεία (ε). a. Να εκφράσετε τα εμβαδά Ε και Ε συναρτήσει του λ. yy b. Να δείξετε ότι η διαφορά των δύο εμβαδών δίνεται από τη σχέση λ λ E(λ) Ε Ε λ 3 c. Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η διαφορά των δύο εμβαδών, E(λ) έχει ακρότατη τιμή και να τη χαρακτηρίσετε. 3 9-ΜΕΡΟΣ Β- Β σειρά 4x ) Δίνεται η καμπύλη με εξίσωση f(x) =. x 4 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της, τα σημεία τομής με τους άξονες των συντεταγμένων και τις εξισώσεις των ασύμπτωτων της. β) Να βρείτε τα ακρότατα της και να τα χαρακτηρίσετε. γ) Nα κάνετε τη γραφική παράσταση της. -ΜΕΡΟΣ Α 3) Δίνεται η συνάρτηση f χ =χ +4χ+α. Αν το (, ) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, να υπολογίσετε τον αριθμό α. Στη συνέχεια, να προσδιορίσετε το ακρότατο της συνάρτησης και να το χαρακτηρίσετε. )α) Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού. β) Δίνεται η συνάρτηση f χ χ χ, χ, 4. Να βρείτε αριθμό ξ, 4 έτσι ώστε να ικανοποιείται το συμπέρασμα του Θεωρήματος Μέσης Τιμής για την συνάρτηση f. -ΜΕΡΟΣ Β ) Δίνεται η συνάρτηση f χ χ 4χ 4 χ 4. Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού της, τα σημεία τομής της με τους άξονες, τα τοπικά ακρότατά της, τα διαστήματα μονοτονίας της και τις ασύμπτωτές της, να την παραστήσετε γραφικά. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 6

7 χ, χ R. χ e a) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και ότι στρέφει τα κοίλα της προς τα πάνω, στο πεδίο ορισμού της. 5) Δίνεται η συνάρτηση f χ α b) Να δείξετε ότι για κάθε α, β R, με α β, ισχύει η σχέση: β c) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: f χ dχ. e αβ -ΜΕΡΟΣ Α- Β σειρά 4) Το σημείο, είναι τοπικό ακρότατο της συνάρτησης βρείτε τα α και β και τις ασύμπτωτες της συνάρτησης. β ψ αχ. Να χ 8) Δίνεται η συνεχής και παραγωγίσιμη συνάρτηση f(χ) χ lnχ, χ, e. Να βρείτε τον αριθμό ξ, e που ικανοποιεί το συμπέρασμα του Θεωρήματος Μέσης Τιμής. -ΜΕΡΟΣ Β- Β σειρά χ 4 ψ ) Δίνεται η συνάρτηση χ. Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού της, τα σημεία τομής της με τους άξονες, τα τοπικά ακρότατά της και τις ασύμπτωτές της, να την παραστήσετε γραφικά. ) Ένα ορθογώνιο φύλλο χαρτιού έχει εμβαδόν 4cm. Να βρείτε τις διαστάσεις του φύλλου ώστε η διαγώνιος του να έχει ελάχιστο μήκος. -ΜΕΡΟΣ Α 4) Να δώσετε τον ορισμό της οριζόντιας ασύμπτωτης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f, ορισμένης στο R. αχ 5 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με τύπο: f χ, χ β α,β R, έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία ψ και κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία χ, να υπολογίσετε τις τιμές των α και β. 3 9) Δίνεται συνάρτηση: f χ αχ βχ γχ δ, χ R και α. Αν η συνάρτηση f έχει τοπικά ακρότατα για χ χ και χ χ, χ χ, να δείξετε χ χ ότι η συνάρτηση f έχει σημείο καμπής για χ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 7

8 -ΜΕΡΟΣ Β 3t ) Δίνεται η καμπύλη (Κ) με παραμετρικές εξισώσεις: χ και 3 t t R. 3t, ψ t 3 a) Αν ft είναι η απόσταση τυχαίου σημείου της καμπύλης (Κ) από την ευθεία ε : χ ψ, να δείξετε ότι: t f t, t R t t b) Δίνεται η συνάρτηση: χ ψ χ χ. Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού της, τα σημεία τομής με τους άξονες, τα διαστήματα μονοτονίας, τα ακρότατα και τις ασύμπτωτές της, να κάνετε την γραφική της παράσταση. 5) Δίνεται η συνάρτηση: f χ χlnχ χ, χ,. a) Να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα, και να βρείτε το όριο lim f χ. b) Να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση: c) Να αποδείξετε ότι: χ χ χ χ e για κάθε χ. β χ β α με α β α e χ dχ e e. -ΜΕΡΟΣ A- Β σειρά ) Δίνεται η συνάρτηση f χ lnχ και αβ. Να δικαιολογήσετε ότι ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα α,β και να δείξετε ότι: lnβ lnα β β α α. -ΜΕΡΟΣ Β- Β σειρά ) Δίνεται η καμπύλη (Κ) με παραμετρικές εξισώσεις: χ t και t ψ, t tr. a) Να βρείτε την καρτεσιανή εξίσωσή της καμπύλης (Κ) και να την αναγνωρίσετε. [μονάδες ] f t είναι το τετράγωνο της απόστασης τυχαίου σημείου της b) Αν καμπύλης (Κ) από το σημείο Α,, να δείξετε ότι: t f t, t R, και [μονάδες ] t χ c) Να παραστήσετε γραφικά την ψ, χ R. [μονάδες 6] χ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 8

9 -ΜΕΡΟΣ Α 4) Η συνάρτηση: 3 ψ χ αχ βχ 5, α,β R, έχει σημείο καμπής το σημείο Σ,. Να βρείτε τις τιμές των σταθερών α και β. 9) Δίνεται συνάρτηση f : R, η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, στο πεδίο ορισμού της, και ικανοποιεί τη σχέση: f χ f χ, χ R. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο πεδίο ορισμού της. -ΜΕΡΟΣ Β ) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: f χ χ 3 χ a) Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού, τα σημεία τομής με τους άξονες, τα τοπικά ακρότατα και τις ασύμπτωτες της συνάρτησης παραστήσετε γραφικά στο πεδίο ορισμού της. f χ, να την b) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη ψ f χ και τις ευθείες ψ χ, χ και χ λ, λ, είναι ίσο με 4τμ. Να υπολογίσετε την τιμή του λ., 5) Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με πλευρές ΑΒ α και ΒΓ β. Με διαμέτρους τις πλευρές ΑΒ και ΒΓ φτιάχνουμε ημικύκλια εκτός του ορθογωνίου, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Μεταβλητή ευθεία (ε) που περνά από το Β τέμνει τα δυο ημικύκλια και σχηματίζει δυο κυκλικά τμήματα (τα σκιασμένα μέρη). c) Να βρείτε την τιμή θ ελ της γωνίας θ για την οποία το άθροισμα των εμβαδών των δυο κυκλικών τμημάτων να είναι ελάχιστον. d) Αν ΑΒ ΒΓ να βρείτε την τιμή της γωνίας θ ελ. Υπενθύμιση: Το εμβαδόν κυκλικού τομέα γωνίας θ (ακτίνια) και ακτίνας R είναι Ε R θ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 9

10 -ΜΕΡΟΣ A- Β σειρά 9) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης: 3 χ χ 5χ ψ. χ χ -ΜΕΡΟΣ Β- Β σειρά χ ) Δίνεται η συνάρτηση με εξίσωση: ψ. χ a) Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού, τα σημεία τομής με τους άξονες, τα τοπικά ακρότατα και τις ασύμπτωτες, να την παραστήσετε γραφικά. b) Στη συνέχεια, να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη, τον άξονα των χ και τις ευθείες χ και χ 4. ) Σε ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα αξόνων, δίνεται η καμπύλη χ 4ψ 4 Μ χ, ψ στο Α τεταρτημόριο. και το σημείο της Αν η εφαπτόμενη της καμπύλης στο σημείο Μ τέμνει τον άξονα χχ στο σημείο Κ και τον άξονα ψψ στο σημείο Λ, να βρεθεί η θέση του σημείο Μ έτσι, ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΚΛ να είναι ελάχιστο. 3-ΜΕΡΟΣ Α 3) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία καμπής της συνάρτησης, αν υπάρχουν. ) Συνάρτηση, με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο, παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και η καμπύλη της περνά από το σημείο. Αν ισχύει ( ), να υπολογίσετε το. 3-ΜΕΡΟΣ Β ) Δίνεται η συνάρτηση Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού, τα σημεία τομής με τους άξονες των συντεταγμένων, τα τοπικά ακρότατα και τις ασύμπτωτες της συνάρτησης, να την παραστήσετε γραφικά. 3-ΜΕΡΟΣ A- Β σειρά ) Δίνεται η συνάρτηση ακρότατα 3 x 3x x. Να βρείτε τα τοπικά της 3 ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ.

11 3-ΜΕΡΟΣ Β- Β σειρά x. Δίνεται η συνάρτηση x α) Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού, τα σημεία τομής με τους άξονες, τα τοπικά ακρότατα και τις ασύμπτωτες, να την παραστήσετε γραφικά. β) Στη συνέχεια, να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη, τον άξονα των x και τις ευθείες x και x 3 3. α) Δίνεται η καμπύλη x. Η ευθεία x,, τέμνει τον άξονα των x στο σημείο και την καμπύλη στο σημείο. Παράλληλη ευθεία προς τον άξονα των x που περνά από το σημείο τέμνει τον άξονα των στο σημείο. Το ορθογώνιο (όπου είναι η αρχή των αξόνων) περιστρέφεται πλήρη στροφή γύρω από τον άξονα των x και παράγει κύλινδρο όγκου V Να υπολογίσετε την τιμή της παραμέτρου έτσι ώστε ο όγκος V να είναι μέγιστος. β) Η ευθεία 9 τέμνει την καμπύλη x στα σημεία και. Να βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται από την πλήρη περιστροφή γύρω από τον άξονα των x της επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη και το ευθύγραμμο τμήμα. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ.

12 Ολοκληρώματα 6 Μέρος Α ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα : 3x xdx. ) Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση u x, ή με οποιοδήποτε 3 x άλλο τρόπο, να βρείτε το ολοκλήρωμα: dx. x 6 Μέρος Β 4) Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f και g ορισμένες στο διάστημα, Αν για κάθε x, ισχύουν οι σχέσεις fx f x και g x g x, χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση x y ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο, να αποδείξετε ότι fx gxdx fxdx συνέχεια να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 6 Μέρος Α Β σειρά ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα (5x 4 ) dx x x dx. x.. Στη 3x ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα: x e dx. 6 Μέρος Β Β σειρά t e ) (α)να αποδείξετε ότι : για κάθε πραγματικό αριθμό t. t t e e (β)δίνεται η συνάρτηση f με συνεχή πρώτη παραγώγο στο [, ] για την οποία ισχύει: dt f (x)dx ln( e) t e 7 Μέρος Α Να αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός ξє (, ), για τον οποίο ισχύει f (ξ)-=ln. ) Nα υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: x dx. 7) Να υπολογίσετε τον όγκο του στερεού που παράγεται από την πλήρη περιστροφή γύρω από τον άξονα των x του χωρίου που περικλείεται από το διάγραμμα της καμπύλης y=x +, την ευθεία x= και τους άξονες Ox και Oy. ) Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση u = e x, ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : ln 3 e x dx e x. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ.

13 7 Μέρος Β 5) Δίνεται συνεχής συνάρτηση f, ορισμένη στο R με τις ιδιότητες: (i) Η f έχει συνεχή πρώτη παράγωγο στο R. (ii) f( x)=f(x), (iii) f(x+α)=f(x), (iv) f()=. Να αποδείξετε: (α) f x fx (β) f x α fx (γ) x R., x R. x R, όπου α, σταθερός αριθμός., x R. x f(x)dx xf (x)dx. (δ) Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση x=α y, ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, να αποδείξετε: α xf(x)dx α f(x)dx. (ε) Χρησιμοποιώντας το (γ) και (δ) να δείξετε ότι: 7 Μέρος Α Β σειρά 7x 9 x ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 7 Μέρος Β Β σειρά dx α α x f(x)dx α α f(x)dx ) Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση t=εφx, ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: 4 dx 4 5συν x 8-Μέρος Α ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: (x )dx 7) Δίνεται η καμπύλη κ με εξίσωση y=lnx. Το χωρίο που περικλείεται από την πιο πάνω καμπύλη κ, την ευθεία y= και τους άξονες Οx και Οy, περιστρέφεται πλήρη στροφή γύρω από τον άξονα των y. Να υπολογίσετε τον όγκο του στερεού που παράγεται. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 3

14 ) Δίνεται η συνάρτηση f με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, για την οποία ισχύει f 3 και [f(x) f ''(x)] xdx. Να υπολογίσετε το f (). 8 Μέρος Β 4) Δίνονται οι συναρτήσεις f και g οι οποίες είναι συνεχείς στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, με f(-x)=f(x) και g(x)+g(-x)=, για κάθε πραγματικό αριθμό x. (α) Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση u = -x, ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο, να δείξετε ότι: f(x)g(x)dx f(x)dx,. (β) Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα του (α), ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: 8 Μέρος Α Β Σειρά ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( ) 8) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 8 Μέρος Β Β Σειρά 3) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 9-Μέρος Α ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 3x x dx. x e x dx ) Δίνεται η παραβολή ψ 4x. i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης (ε) της παραβολής στο σημείο της A(, ). ii) Το χωρίο που περικλείεται από την παραβολή, την εφαπτομένη (ε) και τον άξονα xx στρέφεται πλήρη στροφή γύρω από τον άξονα Να υπολογίσετε τον όγκο του στερεού που παράγεται από την περιστροφή 8) Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση u x, x, ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο να βρείτε το ολοκλήρωμα ln x dx xx. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 4

15 9 Μέρος Β 5) Δίνεται η συνάρτηση f που είναι συνεχής στο [α,β] και για την οποία ισχύει η σχέση f(α β x) f(x) για κάθε x R. a) Χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό, x α β u να δείξετε ότι β α α β x f(x) dx β α f(x) dx b) Με τη βοήθεια της πιο πάνω σχέσης ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα π x συν x dx 9- Μέρος Α Β σειρά ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : ( x 3) dx 3 7) Nα υπολογίσετε το εμβαδό μεταξύ της καμπύλης y x 4x και της ευθείας y x x 8) Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση t= ή με οποιοδήποτε άλλο dx τρόπο, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: συνx -ημx 9-Μέρος Β Β σειρά 3) Να βρεθεί ο όγκος του στερεού που παράγεται αν το χωρίο που περικλείεται από τους άξονες την καμπύλη y=lnx και την ευθεία y= στραφεί πλήρη στροφή γύρω από τον άξονα των x. x 3 (α) Nα δείξετε ότι : fx dx = xf x dx, α (β) Με την χρήση του πιο πάνω αποτελέσματος, ή με οποιοδήποτε άλλο -ΜΕΡΟΣ Α τρόπο να βρείτε την τιμή του ολοκληρώματος: ) Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα: x 7) Δίνονται οι καμπύλες ψ x 3 e χ ημχ e dχ. 4χ και χψ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις δυο καμπύλες, την ευθεία χ 4 και τον άξονα των χ. x dx ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 5

16 -ΜΕΡΟΣ Β ) Αν π συνχ A dχ και ημχ π ημχ Β dχ, ημχ να υπολογίσετε τα: Α, Α Β και Β. -ΜΕΡΟΣ Α- Β σειρά 3 ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: 8χ 6χ 5 dχ 7) Δίνεται η παραβολή ψ 8χ. a) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο της Α,4. b) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την παραβολή, την εφαπτομένη της στο σημείο Α και τον άξονα των χ. ) Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση χ u, ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: 3 χ χ dχ. -ΜΕΡΟΣ Β- Β σειρά 5) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα α,β και κ, χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση t να αποδείξετε ότι: β κα f(χ)dχ f(κ χ)dχ α κβ κ χ, ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο Με τη βοήθεια της πιο πάνω σχέσης να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: 3 I χ χ 5 dχ. -ΜΕΡΟΣ Α ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα: 6χ 4 8) Δίνεται η συνάρτηση: χ dχ. f χ, χ. Έστω Α το χωρίο που περικλείεται χ από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα των χ και τις ευθείες με εξισώσεις χ και χ e. Να βρείτε την ευθεία χ λ η οποία χωρίζει το χωρίο Α σε δύο ισεμβαδικά χωρία. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 6

17 -ΜΕΡΟΣ Β 3) Δίνεται συνάρτηση f : R, οποία ισχύουν: με συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την 3 f, f και χ f χdχ fχdχ 3. a) Να δείξετε ότι: f 4. b) Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση u fχ, όπου f η πιο πάνω συνάρτηση, ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: χ f dχ. f χ 5f χ 6 5) Δίνεται η συνάρτηση: f χ χlnχ χ, χ,. a) Να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα, και να βρείτε το όριο lim f χ. b) Να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση: c) Να αποδείξετε ότι: χ χ χ χ e για κάθε χ. β χ β α με α β α e χ dχ e e. -ΜΕΡΟΣ A- Β σειρά ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: 3χ συνχ dχ. 7) Να υπολογιστεί το εμβαδόν της επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη ψ χ χ 6 και τον άξονα των ψ χ. 9) Το χωρίο που περικλείεται από την καμπύλη ψ 3χ χ, τον άξονα των χ και τις ευθείες χ και χ 3, στρέφεται πλήρη στροφή γύρω από τον άξονα των χ. Να υπολογίσετε τον όγκο του στερεού που παράγεται. -ΜΕΡΟΣ Β- Β σειρά 3) (α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο,, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό χ f χ dχ χ f χ dχ α α 3 t χ να δείξετε ότι: α [μονάδες 4] π 3 (β) Χρησιμοποιώντας το πιο πάνω να υπολογίσετε το χ ημχ [μονάδες 6] dχ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 7

18 -ΜΕΡΟΣ Α ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα: 4 χ 6) Δίνεται παραβολή ψ κχ, κ 5χ e 3 dχ, και σημείο Ρ χ,ψ της παραβολής στο πρώτο τεταρτημόριο. Από το Ρ φέρνουμε τις κάθετες προς τους άξονες των χ και ψ και σχηματίζεται ορθογώνιο. Το ορθογώνιο χωρίζεται από την παραβολή σε δυο χωρία τα οποία περιστρέφονται πλήρως γύρω από τον άξονα των ψ. Να δείξετε ότι ο λόγος των όγκων των δυο στερεών που σχηματίζονται είναι 4:. 7) Δίνεται η συνάρτηση: f χ t χ t e dt a) Να δείξετε ότι: f χ χ χ e χ b) Να υπολογίσετε το όριο: lim f χ χ -ΜΕΡΟΣ Β ) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: f χ χ 3 χ a) Αφού βρείτε το πεδίο ορισμού, τα σημεία τομής με τους άξονες, τα τοπικά ακρότατα και τις ασύμπτωτες της συνάρτησης παραστήσετε γραφικά στο πεδίο ορισμού της. f χ, να την b) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη ψ f χ και τις ευθείες ψ χ, χ και χ λ, λ, είναι ίσο με 4τμ. Να υπολογίσετε την τιμή του λ., 4) Δίνονται τα ολοκληρώματα: α f χ Α dχ και f χ f α χ Β α f α χ f χ f α χ a) Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό: u α χ, να δείξετε ότι A Β. b) Να υπολογίσετε το Α. c) Με τη βοήθεια των πιο πάνω, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: Γ e χ e χ χ e e e χ dχ dχ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 8

19 -ΜΕΡΟΣ A- Β σειρά 3 κ 3) Να υπολογίσετε την τιμή του κ ώστε: χ dχ 6. 7) Το χωρίο που περικλείεται από την καμπύλη ψ χ χ και τις ευθείες χ και χ 3 και τον άξονα των χ, περιστρέφεται πλήρη στροφή γύρω από τον άξονα των χ. Να υπολογίσετε τον όγκο του στερεού που παράγεται. ) Δίνονται οι καμπύλες: ψ συνχ και ψ ημχ. Να βρείτε: a) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις καμπύλες και τον ημιάξονα των Οψ. b) τον όγκο του στερεού που παράγεται όταν το πιο πάνω χωρίο περιστρέφεται γύρω από τον άξονα των χ. -ΜΕΡΟΣ Β- Β σειρά 3) Δίνονται τα ολοκληρώματα: χ 6χ 6 e 6 e Α dχ και Β χ 6 χ e e dχ. χ 6χ e e d) Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό: u6 χ, να δείξετε ότι A Β. e) Με τη βοήθεια του πιο πάνω ή με άλλο τρόπο, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Β. 3-ΜΕΡΟΣ Α ) Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα. 9) Να υπολογίσετε: (α) Το εμβαδόν τoυ χωρίου που περικλείεται από τις καμπύλες, π, με, και τον άξονα Ο. (β) Τον όγκο του στερεού που παράγεται από την πλήρη περιστροφή του πιο πάνω χωρίου γύρω από τον άξονα Ο. 3-ΜΕΡΟΣ Β ) Δίνεται η καμπύλη και σημείο της Α κ λ, κ. (α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο Α. (β) Αν η εφαπτομένη στο σημείο Α τέμνει τους θετικούς ημιάξονες Ο και Ο σε σημεία Β και Γ αντίστοιχα, να δείξετε ότι το εμβαδόν Ε κ του τριγώνου ΟΒΓ (Ο η αρχή των αξόνων) είναι. (γ) Να βρείτε την τιμή του κ έτσι ώστε το εμβαδόν Ε κ του τριγώνου ΟΒΓ να είναι μέγιστο. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 9

20 5) Δίνονται δύο συνεχείς συναρτήσεις και, τέτοιες ώστε,. (α) Με τη βοήθεια της αντικατάστασης ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο, να δείξετε ότι. (β) Να βρείτε την τιμή του ολοκληρώματος 3-ΜΕΡΟΣ A- Β σειρά Ι x 3 5) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα dx. x x 9) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα e xdx. π 4 π 4 εφ x x dx 3 3-ΜΕΡΟΣ Β- Β σειρά x ) Να βρείτε το ολοκλήρωμα dx Στη συνέχεια με τη βοήθεια της x 4 αντικατάστασης x4 t, x 4 ή με οποιοδήποτε άλλο τρόπο να βρείτε το ολοκλήρωμα x 4 dx x 3) α) Δίνεται η καμπύλη x. Η ευθεία x,, τέμνει τον άξονα των x στο σημείο και την καμπύλη στο σημείο. Παράλληλη ευθεία προς τον άξονα των x που περνά από το σημείο τέμνει τον άξονα των στο σημείο. Το ορθογώνιο (όπου είναι η αρχή των αξόνων) περιστρέφεται πλήρη στροφή γύρω από τον άξονα των x και παράγει κύλινδρο όγκου V Να υπολογίσετε την τιμή της παραμέτρου έτσι ώστε ο όγκος V να είναι μέγιστος. β) Η ευθεία 9 τέμνει την καμπύλη x στα σημεία και. Να βρείτε τον όγκο του στερεού που παράγεται από την πλήρη περιστροφή γύρω από τον άξονα των x της επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη και το ευθύγραμμο τμήμα. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ.

21 Συνδυαστική-Πιθανότητες 6 Μέρος Α 5) Πόσους τριψήφιους αριθμούς μπορούμε να σχηματίσουμε χρησιμοποιώντας τα ψηφία,, 3, 4, 5, 6 αν δεν επιτρέπεται η επανάληψη ψηφίων; 8) Τα Α και Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω για τα 53 οποία ισχύει: P(A), P(A B) και P(B ) Να βρείτε τις πιθανότητες P (B), P(A B) και P(A B). 6 Μέρος Β 3) Μια βιομηχανία κατασκευάζει αυτοκίνητα σε δύο εργοστάσια. Το 3% των αυτοκινήτων που κατασκευάζει το εργοστάσιο Α και το % των αυτοκινήτων που κατασκευάζει το εργοστάσιο Β είναι ελαττωματικά. Το 5 το εργοστάσιο Α κατασκεύασε 5 αυτοκίνητα και το εργοστάσιο Β 5 αυτοκίνητα. Ελέγχουμε τυχαία ένα αυτοκίνητο της βιομηχανίας από την παραγωγή του 5. (α) Να βρείτε την πιθανότητα το αυτοκίνητο που ελέγξαμε να έχει κατασκευαστεί από το εργοστάσιο Α. (β) Να βρείτε την πιθανότητα το αυτοκίνητο που ελέγξαμε να είναι ελαττωματικό. (γ) Αν το αυτοκίνητο που ελέγξαμε είναι ελαττωματικό, ποια η πιθανότητα να έχει κατασκευαστεί από το εργοστάσιο Α; 6-Μέρος Α Β σειρά ) Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της λέξης ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ. Πόσοι από αυτούς αρχίζουν με Ε και τελειώνουν με Ε; 7) Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου με 3 9 P(A B ), P(A B) και πιθανότητες P(A), P(B) και P(A/B ). 6 Μέρος Β Β σειρά P(A B), να βρείτε τις 5 5) Το δοχείο Α περιέχει 5 κόκκινες και 3 άσπρες μπάλες. Το δοχείο Β περιέχει 3 κόκκινες και άσπρες μπάλες. Παίρνουμε τυχαία μια μπάλα από κάθε δοχείο. (α) Να βρείτε την πιθανότητα και οι δύο μπάλες να είναι κόκκινες. (β) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου «η μία μπάλα είναι κόκκινη και η άλλη άσπρη». (γ) Αν η μία μπάλα είναι κόκκινη και η άλλη άσπρη, ποια η πιθανότητα η άσπρη μπάλα να προήλθε από το δοχείο Α; ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ.

22 7 Μέρος Α 4) Με πόσους τρόπους μπορεί να επιλεγεί μία τριμελής επιτροπή από μία ομάδα 7 ατόμων; 8) Αν Α, Β είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου και P(A), P(A B) να βρείτε τις πιθανότητες P(B), P(A B) 5 και P(A B). 7 Μέρος Β 4) Μια κάλπη περιέχει μια άσπρη, 4 κόκκινες και 5 πράσινες μπάλες. Κάποιος παίρνει τυχαία μια μπάλα από την κάλπη. Αν πάρει κόκκινη ή πράσινη δεν παίρνει άλλη μπάλα. Αν όμως πάρει την άσπρη τότε, χωρίς να την επανατοποθετήσει, παίρνει και δεύτερη μπάλα από την κάλπη. (α) Να βρείτε τις πιθανότητες: (i) Να πήρε δύο μπάλες από την κάλπη. (ii) Να πήρε κόκκινη μπάλα. (β) Δεδομένου ότι πήρε κόκκινη μπάλα, να βρείτε την πιθανότητα αυτό να έγινε στην πρώτη επιλογή μπάλας. 7 Μέρος Α-Β σειρά 6) Δίνεται η λέξη «Π Α Γ Κ Υ Π Ρ Ι Ε Σ». (α) Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης. (β) Να βρείτε πόσοι αναγραμματισμοί της πιο πάνω λέξης αρχίζουν με Π και τελειώνουν σε Π. 7) Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου ενός πειράματος τύχης και P(A) P(A B ) και P(B) P(A B), να δείξετε ότι P(A) P(B) 7 Μέρος Β-Β σειρά 5) Τρία άτομα Α, Β, Γ, τοποθετούνται τυχαία σε τρία συνεχόμενα καθίσματα: (ι) Να βρείτε το δειγματικό χώρο. (ιι) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: α) Μ: Ο Α είναι δίπλα στον Β, β) Ν: Ο Α δεν είναι δίπλα στον Γ. 8 Μέρος Α 6) Σε μια διεθνή σύσκεψη συμμετέχουν Έλληνες, 4 Γάλλοι και 5 Γερμανοί. Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορούν να καθήσουν σε ευθεία γραμμή, έτσι ώστε όλα τα μέλη της ίδιας εθνικότητας να κάθονται σε συνεχόμενες θέσεις. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ.

23 9) (α) Να δώσετε τον ορισμό ώστε δύο ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, να είναι ανεξάρτητα. (β) Αν τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω είναι ανεξάρτητα, να αποδείξετε ότι και τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα 8 Μέρος Β ) Ένα δοχείο Α περιέχει 6 κόκκινες και 4 πράσινες σφαίρες, ενώ ένα δεύτερο δοχείο Β περιέχει 7 κόκκινες και 3 πράσινες σφαίρες. Μια σφαίρα επιλέγεται στην τύχη από το δοχείο Α και τοποθετείται στο δοχείο Β. Στη συνέχεια μια σφαίρα επιλέγεται στην τύχη από το δοχείο Β και τοποθετείται στο δοχείο Α. Μετά το τέλος του πειράματος να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: (α) Να επιλεγεί κόκκινη σφαίρα από το δοχείο Α και κόκκινη σφαίρα από το δοχείο Β. (β) Να μην αλλάξει η σύνθεση των δύο δοχείων, δηλαδή το δοχείο Α να περιέχει 6 κόκκινες και 4 πράσινες σφαίρες και το δοχείο Β να περιέχει 7 κόκκινες και 3 πράσινες σφαίρες. 8 Μέρος Α Β Σειρά 6) Δίνεται η λέξη «ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ» (α) Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης. (β) Να βρείτε πόσοι από τους πιο πάνω αναγραμματισμούς αρχίζουν από Ι και τελειώνουν σε Ι και έχουν όλα τα σύμφωνα συνεχόμενα. 9) Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος τύχης με, ( ) και. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες: (α), (β), (γ), (δ) ( ) ( ). 8 Μέρος Β Β Σειρά. ) Σε ένα διαγώνισμα δόθηκαν ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής και σε κάθε ερώτηση υπήρχαν τρεις απαντήσεις (μια σωστή και δύο λανθασμένες). Ένας μαθητής απάντησε τυχαία σε όλες τις ερωτήσεις. Να βρείτε την πιθανότητα: (α) Να έχει απαντήσει σωστά και στις ερωτήσεις. (β) Να έχει απαντήσει λάθος και στις ερωτήσεις. (γ) Να έχει απαντήσει σωστά σε μία τουλάχιστον ερώτηση. 9-Μέρος Α 4) Τα Α και Β είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω. Αν P(A) 3 και P(B) 3 4 α) P(A B) β) P(A B), να υπολογίσετε τις πιθανότητες: ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 3

24 γ) P(B / A ) 9) Δίνεται η λέξη «Π Α Ρ Α Σ Τ Α Σ Η». a. Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης. b. Αν πάρουμε στην τύχη ένα από τους πιο πάνω αναγραμματισμούς, να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: Κ: Ο αναγραμματισμός αρχίζει με Α και τελειώνει σε Α. Λ: Ο αναγραμματισμός έχει τα σύμφωνα σε συνεχόμενες θέσεις. Μ: Ο αναγραμματισμός δεν έχει δύο Α συνεχόμενα. 9-Μέρος Β ) Σε μια πτήση με αεροπλάνο το 6% των επιβατών είναι άνδρες και το 4% είναι γυναίκες. Το 5% των ανδρών επιβατών ταξιδεύει για επαγγελματικούς λόγους, ενώ το αντίστοιχο ποσοστό για τις γυναίκες είναι 5%. Επιλέγουμε στην τύχη ένα άτομο από τους επιβάτες της πτήσης αυτής. a. Να βρείτε την πιθανότητα το άτομο αυτό να ταξιδεύει για επαγγελματικούς λόγους. b. Αν το άτομο που επιλέξαμε στην τύχη ταξιδεύει για επαγγελματικούς λόγους, να βρείτε την πιθανότητα το άτομο αυτό να είναι άνδρας. 9-Μέρος Α Β σειρά 5) Τα Α και Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει : P(A) = 8 3, P(B) = 8 5 και P(AUB) = 4 3. Nα βρείτε τις πιθανότητες α) P(A B) β) P(B/A) γ) P(A Β). 6) Πόσοι αναγραμματισμοί της λέξης ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ υπάρχουν; Πόσοι από αυτούς έχουν τα τρία Α συνεχόμενα ; 9-Μέρος Α Β σειρά ) Η πιθανότητα να λύσουν σωστά μια άσκηση, τρεις μαθητές Α, Β, Γ είναι 3,, αντίστοιχα. 3 5 α) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου δύο μόνο μαθητές να λύσουν σωστά την άσκηση. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 4

25 β) Δεδομένου ότι δύο μόνο μαθητές έχουν λύσει σωστά την άσκηση, να βρείτε την πιθανότητα η λανθασμένη απάντηση, να δόθηκε από τον Γ. -ΜΕΡΟΣ Α 6) Σε ένα γραφείο εργάζονται 5 άνδρες και 6 γυναίκες. a) Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορεί να επιλεγεί μία τριμελής επιτροπή από τα άτομα που εργάζονται στο γραφείο. b) Να βρείτε σε πόσους από αυτούς τους τρόπους η επιτροπή αποτελείται από άτομα του ιδίου φύλου. Ω α, β, γ, δ ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και τα 9) Έστω ενδεχόμενα του Κ α, β, γ και Λ β, γ, δ. Συμβολίζουμε με Ε α Ε P Λ β, Ε γ και Ε δ. Αν είναι ΡΕ ΡΕ, PΚ , να υπολογίσετε τις πιθανότητες ΡΕ, ΡΕ και ΡΕ. 4, και 3 -ΜΕΡΟΣ Β 4) Ένα δοχείο Δ περιέχει 4 λαχνούς με αριθμούς,, 3,, 4. Παίρνουμε τυχαία λαχνούς από το Δ και τους τοποθετούμε σε κενό δοχείο Δ. Να υπολογίσετε την πιθανότητα των ενδεχομένων: Α: «το Δ περιέχει το λαχνό με αριθμό 34». Β: «το Δ περιέχει μόνο λαχνούς με άρτιο αριθμό». Γ: «το Δ περιέχει 6 λαχνούς με άρτιο αριθμό και 4 με περιττό αριθμό». -ΜΕΡΟΣ Α- Β σειρά 6) Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει PA, PB και PB A, να βρείτε τις πιθανότητες: 3 4 P A B P A B. PB, και 9) Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της λέξης «ΧΡΟΝΟΜΕΤΡΟ» που δεν έχουν δυο «Ο» συνεχόμενα. -ΜΕΡΟΣ Β- Β σειρά 3) Ένα δοχείο περιέχει 9 μπάλες, μαύρες και 3 άσπρες, 4 κόκκινες. Δύο μπάλες επιλέγονται τυχαία η μια μετά την άλλη με τον εξής περιορισμό: αν επιλεγεί μαύρη μπάλα πρώτη τότε επιλέγεται αυτόματα άσπρη μπάλα σαν δεύτερη. Για τις άλλες μπάλες δεν υπάρχει περιορισμός. a) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Δ «τουλάχιστον η μία μπάλα που έχει επιλεγεί είναι άσπρη». ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 5

26 b) Δεδομένου ότι έχει επιλεγεί τουλάχιστον η μία άσπρη μπάλα να βρείτε την πιθανότητα η άλλη μπάλα να μη είναι η μαύρη. -ΜΕΡΟΣ Α 5) Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα του ιδίου δειγματικού χώρου Ω με: ΡΑ Ρ Α Β Ρ Α 4 3, 4 / και ΡΒ / Α, να υπολογίσετε τις πιθανότητες: Β, ΡΑ Βκαι ΡΑ Β είναι ασυμβίβαστα. ΡΒ,, και να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α και Β 6) Δίνεται η λέξη ΦΑΕΙΝΗ. Να βρείτε: a) πόσοι είναι όλοι οι αναγραμματισμοί της πιο πάνω λέξης, και b) σε πόσους από αυτούς τους αναγραμματισμούς δεν περιέχεται η λέξη ΝΕΑ. -ΜΕΡΟΣ Β 4) Ένα δοχείο περιέχει 5 μαύρες και 3 λευκές μπάλες. Παίρνω τυχαία μια μπάλα από το δοχείο. Αν η μπάλα είναι μαύρη, την επανατοποθετώ στο δοχείο και επίσης τοποθετώ ακόμη λευκές μπάλες στο δοχείο. Αν η μπάλα είναι λευκή, την επανατοποθετώ στο δοχείο και επίσης τοποθετώ ακόμη μια μαύρη και μια λευκή μπάλα στο δοχείο. Στη συνέχεια παίρνω τυχαία μια δεύτερη μπάλα από το δοχείο. a) Να βρείτε την πιθανότητα η δεύτερη μπάλα που πήρα να είναι λευκή. b) Αν η δεύτερη μπάλα που πήρα είναι λευκή, ποια η πιθανότητα η πρώτη μπάλα που πήρα να είναι μαύρη; c) Αν τη δεύτερη φορά, αντί να πάρω μια μπάλα παίρνω τυχαία δύο μπάλες ταυτόχρονα, ποια η πιθανότητα οι δυο μπάλες να έχουν το ίδιο χρώμα; -ΜΕΡΟΣ A- Β σειρά 8) Από ένα τμήμα με πέντε μαθητές και οκτώ μαθήτριες θα επιλεγεί μια επιτροπή που θα αποτελείται από δύο μαθητές και τρεις μαθήτριες. c) Να βρείτε με πόσους τρόπους μπορεί να σχηματιστεί η επιτροπή. [μονάδες ] d) Να βρείτε την πιθανότητα μια συγκεκριμένη μαθήτρια να είναι στη επιτροπή. [μονάδες 3] ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 6

27 -ΜΕΡΟΣ Β- Β σειρά 4) Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου δίδονται οι πιθανότητες: ΡΑ Β 5, ΡΒ 4 και ΡΒ/ Α. Να βρείτε τις πιθανότητες: Ρ Α Β. ΡΑ Β β) ΡΑ γ) ΡΑ / Β δ) ΡΑ Β ε) -ΜΕΡΟΣ Α 5) Δίνονται τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν Α, Β είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα με ΡΑ και ΡΑ Β πιθανότητες των ενδεχομένων 4 ΡΒ, ΡΑ Β και ΡΑ Β, να βρείτε τις 5 /. ) Με ψηφία από το σύνολο 4, 5, 6, 7, 8 σχηματίζουμε τριψήφιους φυσικούς αριθμούς χωρίς επανάληψη ψηφίου. Να βρείτε: a) το πλήθος των τριψήφιων φυσικών αριθμών που σχηματίζονται και b) το άθροισμα όλων των τριψήφιων φυσικών αριθμών που σχηματίζονται. -ΜΕΡΟΣ Β ) Σε ένα διαγώνισμα Ιστορίας το οποίο έχει 5 ερωτήσεις, η πιθανότητα ένας μαθητής να απαντήσει σωστά σε μια οποιανδήποτε ερώτηση είναι a) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: Α: Ο μαθητής να απαντήσει σωστά σε ακριβώς ερωτήσεις Β: Ο μαθητής να απαντήσει σωστά σε ακριβώς ερωτήσεις που να είναι συνεχόμενες. b) Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να απάντησε σωστά σε μια τουλάχιστον ερώτηση. -ΜΕΡΟΣ A- Β σειρά 8) Δίνεται η λέξη «Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ε Σ». a) Να βρείτε το πλήθος των αναγραμματισμών της πιο πάνω λέξης. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 7

28 b) Να βρείτε σε πόσους αναγραμματισμούς της πιο πάνω λέξης το Ν προηγείται του Ι, το Ι προηγείται του Κ και το Κ προηγείται του Η. π.χ. «Ε Λ Ν Ε Σ Ι Λ Κ Η» και «Ν Ε Σ Ι Λ Κ Ε Η Λ» είναι δυο τέτοιοι αναγραμματισμοί. -ΜΕΡΟΣ Β- Β σειρά 4) Με τη βοήθεια των βασικών ιδιοτήτων των πιθανοτήτων, να δείξετε ότι: a. ΡΑ Β Ρ Α Β b. ΡΑ Β Ρ Α Β και c. Ρ Α Β / Γ Ρ Α / Γ Ρ Α Β / Γ. 3-ΜΕΡΟΣ Α 6) Δίνονται τα ψηφία,,, 3, 4, 5. Να βρείτε: (α) Πόσους τετραψήφιους αριθμούς μπορούμε να σχηματίσουμε με τα ψηφία αυτά αν δεν επιτρέπεται επανάληψη ψηφίων. (β) Πόσοι από τους πιο πάνω αριθμούς είναι άρτιοι. 8) Έστω και δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω. (α) Να γράψετε πότε τα ενδεχόμενα και είναι ασυμβίβαστα. (β) Να αποδείξετε ότι ( ). 3-ΜΕΡΟΣ Β 3) Έξι παντρεμένα ζευγάρια βρίσκονται σε μια αίθουσα. Επιλέγουμε τυχαία τέσσερα άτομα από αυτά. Να βρείτε: (α) Την πιθανότητα να επιλεγούν παντρεμένα ζευγάρια μόνο. (β) Την πιθανότητα να μην επιλεγεί κανένα παντρεμένο ζευγάρι. (γ) Την πιθανότητα να επιλεγεί ένα μόνο παντρεμένο ζευγάρι. 3-ΜΕΡΟΣ A- Β σειρά ) Να βρείτε όλους τους αναγραμματισμούς της λέξης ΕΥΤΥΧΙΑ. Να βρείτε πόσοι από αυτούς τους αναγραμματισμούς έχουν τα φωνήεντα μαζί; ) Πάνω στις πλευρές ενός τριγώνου παίρνουμε, 7 σημεία στην μια πλευρά, σημεία στην άλλη και 9 σημεία στην τρίτη πλευρά (όλα διαφορετικά από τις κορυφές του). Να βρείτε πόσα τρίγωνα μπορούμε να σχηματίσουμε με κορυφές αυτά τα σημεία. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 8

29 3-ΜΕΡΟΣ Β- Β σειρά 4) α) Σε ένα δειγματικό χώρο τα και είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα. Να αποδείξετε ότι και τα και είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα. β) Δίνονται δυο κύβοι ο και ο. Οι έδρες του είναι αριθμημένες με,, 3, 4, 5, 5 και του με,,, 3, 3, 4. Ρίχνουμε τους δυο κύβους από μια φορά τον καθένα και παρατηρούμε την ένδειξη της πάνω έδρας του καθενός. Θεωρούμε τα ακόλουθα ενδεχόμενα: : ο φέρνει άρτια ένδειξη : ο φέρνει άρτια ένδειξη : τουλάχιστο ο ένας κύβος φέρνει άρτια ένδειξη : μόνο ο φέρνει άρτια ένδειξη : μόνο ο ένας από τους δυο κύβους φέρνει άρτια ένδειξη. i) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων,,, και. ii) Δοθέντος ότι παρουσιάστηκε μόνο μια άρτια ένδειξη, ποια η πιθανότητα να είναι η ένδειξη του κύβου. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 9

30 Κύκλος 6 Μέρος Α ) Δίνονται τα σημεία Α(,) και Β(3, 5). Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο το ΑΒ. 6-Μέρος Α Β σειρά 4) Κύκλος με εξίσωση x +y -4μx+λy-5= έχει κέντρο (-4,). Να βρείτε το μήκος της ακτίνας του κύκλου. 9) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου με εξίσωση x +y =r στο σημείο του (x, y ) είναι x x+y y=r. 7 Μέρος Α 3) Δίνεται ο κύκλος : x + y 6x + 4y =. Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου του και το μήκος της ακτίνας του. 7 Μέρος Α Β σειρά 3) Δίνεται ο κύκλος x y 6. Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου του και να υπολογίσετε την ακτίνα του. 8 Μέρος Β 3) Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση (x-α) +y =R και το σημείο του T(α+Rσυνθ,Rημθ). Η εφαπτομένη του κύκλου στο Τ τέμνει τον άξονα των x στο Α και τον άξονα των y στο Β. (α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο Τ είναι: xσυνθ+yημθ=ασυνθ+r. (β) Να δείξετε ότι η εξίσωση της καμπύλης στην οποία ανήκει ο γεωμετρικός τόπος του μέσου Μ του ΑΒ είναι: y (x-α) =R (x +y ). 8 Μέρος Α Β σειρά ) Δίνεται κύκλος με εξίσωση. Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου του και το μήκος της ακτίνας του. 9-Μέρος Α 5) Δίνεται κύκλος με εξίσωση x y 6x y 96. a. Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου και το μήκος της ακτίνας του. b. Να βρείτε τη θέση του σημείου Α(4,3) ως προς τον κύκλο. c. Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση του σημείου Α από τον πιο πάνω κύκλο. 9-Μέρος Α Β σειρά 3) Δίνεται ο κύκλος x y 6x 4y 9. Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου του και να υπολογίσετε την ακτίνα του ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 3

31 -ΜΕΡΟΣ Α 8) Δίνονται οι κύκλοι: Κ : χ ψ 4 και Λ : χ ψ 8χ 4ψ. Να βρείτε την καρτεσιανή εξίσωση του γεωμετρικού τόπου των σημείων Σχ,ψ του επιπέδου, των οποίων η δύναμη τους ως προς τον κύκλο διπλάσια από τη δύναμη τους ως προς τον κύκλο Κ. Λ είναι -ΜΕΡΟΣ Β- Β σειρά 4) Κύκλος με κέντρο Κ α,β και ακτίνα R εφάπτεται εξωτερικά των δυο κύκλων χ ψ 4 και -ΜΕΡΟΣ Α χ ψ 6χ 8. Να δείξετε ότι: R 6 a. η τετμημένη του κέντρου Κ είναι: α. 3 b. η εξίσωση του σχήματος στο οποίο ανήκει ο γεωμετρικός τόπος ψ 8 χ χ του σημείου Κ είναι: ) Δίνεται ο κύκλος: χ ψ 6χ 8ψ 9. c) Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου και το μήκος της ακτίνας του κύκλου. d) Να γράψετε παραμετρικές εξισώσεις για τον πιο πάνω κύκλο. ) Δίνεται ο κύκλος: χ ψ 9 A χ,ψ. και σημείο του e) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο Α είναι: χχ ψψ 9. f) Έστω ότι Βχ,ψ είναι ένα άλλο σημείο του κύκλου. Αν οι εφαπτόμενες του κύκλου στα Α και Β τέμνονται στο σημείο Mχ,ψ, να δείξετε ότι η εξίσωση της χορδής ΑΒ είναι: χχ ψψ 9. g) Να βρείτε την καρτεσιανή εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του σημείου Μ αν η χορδή ΑΒ περνά από το σημείο Δ,. -ΜΕΡΟΣ A- Β σειρά ) Να βρείτε την ακτίνα και το κέντρο του κύκλου: χ ψ 4χ 6ψ 3 6) Να βρείτε τις τιμές του α ώστε η ευθεία ψ 3χ α να εφάπτεται του κύκλου χ ψ. -ΜΕΡΟΣ Α 3) Να βρείτε την θέση των δύο κύκλων: Κ : χ ψ 4 και Λ : χ ψ 6χ 8ψ 6 ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 3

32 -ΜΕΡΟΣ A- Β σειρά ) Κύκλος έχει κέντρο Κ, και ακτίνα κύκλου. R. Να βρείτε την εξίσωση του -ΜΕΡΟΣ Β- Β σειρά 5) Δίνονται οι κύκλοι Κ : χ ψ 6χ 8ψ και Λ : χ ψ 9. a) Να δείξετε ότι γεωμετρικός τόπος των σημείων Σχ,ψ του επιπέδου με ΔΚ Σ μδλ Σ, είναι κύκλος, για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού μ με μ. Συμβολίζουμε τον κύκλο αυτό με Κ μ. b) Να βρείτε την τιμή του μ ώστε ο κύκλος Κ μ να περνά από το σημείο Σ 7,5. c) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου αυτού. 3-ΜΕΡΟΣ Α 7) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της χορδής του κύκλου που έχει το μέσο της στο σημείο ( ) είναι η και στη συνέχεια να βρείτε τα σημεία τομής της με τον κύκλο. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 3

33 Παραβολή Έλλειψη Ισοσκελές Υπερβολή 6 Μέρος Α x y ) Δίνεται η έλλειψη. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών 9 4, των εστιών και την εκκεντρότητα της έλλειψης. 9) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής y 4x στο σημείο της x, y είναι η yy x x. 6 Μέρος Β x y 5) Δίνεται η έλλειψη. (α) Να δείξετε ότι το σχήμα, στο οποίο ανήκει ο γεωμετρικός τόπος των μέσων των χορδών της έλλειψης με κλίση,, είναι ευθεία (ε) με εξίσωση y x. (β) Η ευθεία (ε) τέμνει την έλλειψη σε δύο σημεία. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της έλλειψης σε οποιοδήποτε από αυτά έχει κλίση. 6 Μέρος Β Β Σειρά 4) Η εφαπτόμενη της υπερβολής xy=c c στο σημείο P (ct, ) τέμνει τον άξονα t των x στο Τ και τον άξονα των y στο Τ. Η κάθετη της υπερβολής στο Ρ τέμνει τον άξονα των x στο Ν και τον άξονα των y στο Ν. Αν Ε και Ε είναι τα εμβαδά των τριγώνων ΡΤΝ και ΡΝ Τ αντίστοιχα, να δείξετε ότι:. E E c 7 Μέρος Α x y 5) Δίνεται η έλλειψη :, α>β. Αν η εστιακή απόσταση είναι α β ΕΈ = 6 μονάδες και το μήκος του μικρού άξονα είναι Β Β = 8 μονάδες να βρείτε τα α και β και την εκκεντρότητά της. 7 Μέρος Β 3) Δίνεται η παραβολή y =8x και τα σημεία της Α(t,4t) και Β(ρ, 4ρ). (α) Αν το ΑΒ περνά από το σημείο Γ(5,) (i) να δείξετε ότι tρ+5= t+ρ, (ii) να βρείτε την εξίσωση του σχήματος στο οποίο ανήκει ο γεωμετρικός τόπος του μέσου του ΑΒ. (β) Αν επιπλέον το σημείο Γ είναι το μέσο του ΑΒ (i) να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας ΑΒ είναι η (ε): y=x 8. (ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την ευθεία (ε) και την παραβολή. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 33

34 7 Μέρος Α Β σειρά 9) Δίνεται η έλλειψη 5x 9y 8. Να βρείτε: (α) Τις συντεταγμένες των εστιών της. (β) Την εκκεντρότητά της. (γ) Αν Ρ( 6συνθ, ημθ ) ένα σημείο της έλλειψης, να βρείτε την εξίσωση της κάθετης της έλλειψης στο σημείο αυτό. 7 Μέρος Α Β σειρά c 3) Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή xy c και τα σημεία της A ct,, t c B ck,. Αν η ευθεία y x είναι κάθετη στην ΑΒ, να δείξετε ότι t k. k Από το Β φέρουμε ευθεία ΒΕ παράλληλη προς τον άξονα των y. Η εφαπτομένη στο Α τέμνει την ΒΕ στο Μ. Να βρείτε την εξίσωση του σχήματος στο οποίο ανήκει ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ. 4) Τα σημεία Τ(αt, αt) και Ρ(αρ, αρ) είναι δύο σημεία της παραβολής y 4αx. Αν η προέκταση της ΤΡ περνά από το σημείο Δ(-α, ). (α) Να δείξετε ότι tρ=. (β) Να βρείτε την εξίσωση του σχήματος στο οποίο ανήκει ο γεωμετρικός τόπος του μέσου Μ της ΤΡ. 8 Μέρος Α ) Αν η εστία της παραβολής y =4αx είναι το σημείο Ε(3,), να βρείτε την εξίσωση της διευθετούσας της. x y 8) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης στο xx yy σημείο της Τ(x,y ) είναι η. 8- Μέρος Α Β Σειρά 3) Δίνεται η έλλειψη Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών, των εστιών και την εκκεντρότητα της έλλειψης. ) Δίνεται η παραβολή. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι κάθετη στην ευθεία. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 34

35 8-Μέρος Β Β Σειρά 4) Δίνεται η έλλειψη και η εξίσωση,. (α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η εξίσωση παριστάνει κύκλο. (β) Να βρείτε την τιμή του,, έτσι ώστε ο κύκλος να περνά από τo σημείο. x x lim xln x e (γ) Να αποδείξετε ότι το σημείο, όπου x και ανήκει στην έλλειψη. (δ) Να βρείτε την τιμή του ώστε η εφαπτομένη της έλλειψης στο σημείο της, να εφάπτεται και του κύκλου. 9-Μέρος Α 6) Δίνεται η παραβολή ψ 4x. α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης (ε) της παραβολής στο σημείο της A(, ). Β. Το χωρίο που περικλείεται από την παραβολή, την εφαπτομένη (ε) και τον άξονα xx στρέφεται πλήρη στροφή γύρω από τον άξονα Να υπολογίσετε τον όγκο του στερεού που παράγεται από την περιστροφή. 9 Μέρος Β 3) Δίνεται η υπερβολή xy c και τα σημεία της c Bcρ, με ρ. ρ c A ct, t με t και a) Να δείξετε ότι η εξίσωση της χορδής ΑΒ είναι η b) Αν η ευθεία ΑΒ τέμνει τους άξονες xx και x tρy c t ρ. yy στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα, να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων αυτών. c) Αν η χορδή ΑΒ περνά από το σημείο c,c να δείξετε ότι t ρ tρ. xx. d) Να βρείτε την εξίσωση του σχήματος στο οποίο ανήκει ο γεωμετρικός τόπος του μέσου M του ευθύγραμμου τμήματος. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 35

36 9-Μέρος Α Β σειρά ) Η παραβολή y 4αx (α >) και η υπερβολή xy α τέμνονται στο Α. Η εφαπτομένη της παραβολής στο Α τέμνει την υπερβολή στο Β. Να βρεθεί η εξίσωση του Γεωμετρικού Τόπου των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ΜΑ=ΜΒ. 9-Μέρος Β Β σειρά x y 4) Από σημείο Μ x, y της έλλειψης φέρουμε εφαπτομένη η οποία τέμνει τους άξονες OX και OY στα σημεία Α και Β. Να βρείτε τις συντεταγμένες των Α και Β ώστε το τρίγωνο ΟΑΒ να έχει ελάχιστο εμβαδόν. (Ο το κέντρο της έλλειψης). -ΜΕΡΟΣ Α 5) Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή χψ. Να βρείτε τις τιμές του β έτσι ώστε η ευθεία ψ χ β να εφάπτεται της υπερβολής. -ΜΕΡΟΣ Β 3) Δίνεται η έλλειψη σε αυτή. χ ψ α, με α β β Ρ ασυνθ,βημθ πάνω, και σημείο a. Nα δείξετε ότι η εξίσωση της κάθετης της έλλειψης στο σημείο Ρ αημθ χ βσυνθ ψ α β ημθσυνθ. είναι: b. Αν η κάθετη της έλλειψης στο Ρ τέμνει τον άξονα των ψ στο σημείο Β, να βρείτε την εξίσωση της καμπύλης στην οποία ανήκει ο γεωμετρικός τόπος του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΡΒ καθώς το Ρ κινείται πάνω στην έλλειψη. -ΜΕΡΟΣ Α- Β σειρά ) Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που το κέντρο της είναι η αρχή των αξόνων B,4. και έχει εστία E3, και κορυφή -ΜΕΡΟΣ Α 7) α) Να δώσετε τον ορισμό της έλλειψης. χ ψ β) Δίνεται η έλλειψη με εξίσωση: και εστίες Ε και Ε. 9 4 Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της έλλειψης ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, να βρείτε την περίμετρο του τριγώνου ΤΔΕ, αν η ΤΔ είναι εστιακή χορδή που περνά από την Ε. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 36

37 -ΜΕΡΟΣ Β ) Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή χψ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε της υπερβολής που άγεται από το σημείο Β4,. Η εφαπτομένη ε τέμνει το θετικό ημιάξονα των ψ στο σημείο Γ. Από τυχαίο σημείο Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΒΓ φέρουμε τις κάθετες στους άξονες των συντεταγμένων και σχηματίζουμε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΟΗΜΔ, όπου Ο η αρχή των αξόνων και ΟΗ, ΟΔ βρίσκονται πάνω στους άξονες. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου να είναι μέγιστο. -ΜΕΡΟΣ A- Β σειρά 5) Παραβολή έχει εστία το σημείο, και διευθετούσα την ευθεία χ a) Βάση του ορισμού της παραβολής να δείξετε ότι η εξίσωση της είναι ψ 8χ. [μονάδες 3] b) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής στο σημείο της Α,4. [μονάδες ] -ΜΕΡΟΣ Β- Β σειρά ) Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή χψ c. c) Να δείξετε ότι η κάθετη της ισοσκελούς υπερβολής στο σημείο c 3 4 Αct, έχει εξίσωση t χ tψ ct c. [μονάδες 3] t d) Αν η κάθετη αυτή τέμνει την υπερβολή και στο σημείο Β, να βρείτε της συντεταγμένες του Β. [μονάδες 4] e) Αν Γ είναι το συμμετρικό του Α ως προς την αρχή των αξόνων, να δείξετε ότι η γωνία ΑΓΒ ˆ είναι ορθή. [μονάδες 3] 5) Δίνεται η έλλειψη ψ Κ : χ, ρ και τυχαίο σημείο της ρ Ρ συνθ,ρημθ. f) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης στο σημείο Ρ είναι: ψημθ χρσυνθ ρ [μονάδες 3] g) Από την αρχή των αξόνων Ο φέρνουμε ευθεία κάθετη στην εφαπτομένη και ονομάζουμε Α το σημείο που τέμνει την εφαπτομένη. Στη συνέχεια από το σημείο Ρ φέρνουμε ευθεία κάθετη στον άξονα Οχ που συναντά την ευθεία ΟΑ στο Μ. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η έλλειψη Κ : χ ρ ψ. [μονάδες 4] h) Αν Ε είναι μια εστία της Κ και Ε μια εστία της Κ να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου Ε Ε Ο. [μονάδες 3] ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 37

38 -ΜΕΡΟΣ Α 8) Δίνονται η υπερβολή: χψ και η παράσταση: Α χ ψ χ ψ Να δείξετε ότι: Α 3, για κάθε σημείο Σχ,ψ της υπερβολής στο πρώτο τεταρτημόριο. -ΜΕΡΟΣ Β 3) Δίνονται η έλλειψη: χ α ψ και Α τυχαίο σημείο της. Από την αρχή Ο β των αξόνων φέρνουμε ημιευθεία ε παράλληλη προς την εφαπτομένη της έλλειψης στο σημείο Α, η οποία τέμνει την έλλειψη στο σημείο Β. a) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου Μ της χορδής ΑΒ και να τον χαρακτηρίσετε. b) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ είναι σταθερό, καθώς το σημείο Α κινείται πάνω στην έλλειψη. -ΜΕΡΟΣ A- Β σειρά 4) Δίνεται η παραβολή ψ 4χ. Να δείξετε ότι εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής στο σημείο της Α9,6, είναι χ 3ψ 9. 6) Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή χψ c. Η εφαπτομένη της υπερβολής στο c σημείο Ρ ct, τέμνει τους άξονες των χ και ψ στα σημεία Α και Β, t αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το Ρ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. -ΜΕΡΟΣ Β- Β σειρά ) Σε ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα αξόνων, δίνεται η καμπύλη χ 4ψ 4 Μ χ, ψ στο Α τεταρτημόριο. και το σημείο της Αν η εφαπτόμενη της καμπύλης στο σημείο Μ τέμνει τον άξονα χχ στο σημείο Κ και τον άξονα ψψ στο σημείο Λ, να βρεθεί η θέση του σημείο Μ έτσι, ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΚΛ να είναι ελάχιστο. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 38

39 3-ΜΕΡΟΣ Α 4) Δίνεται η έλλειψη, με. Αν η εστιακή απόσταση του μονάδες και η εκκεντρότητα της είναι, να βρείτε τις τιμές του και και να γράψετε την εξίσωση της έλλειψης. 7) Δίνεται η υπερβολή και το σημείο της Α. (α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της κάθετης της υπερβολής στο σημείο Α είναι. (β) Η κάθετη της υπερβολής στο σημείο Α τέμνει ξανά την υπερβολή στο σημείο Β. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο την ΑΒ. 3-ΜΕΡΟΣ Β 4) Δίνεται η παραβολή με εστία Ε και τυχαίο σημείο της Α,. Φέρουμε ευθεία κάθετη στην ΑΕ στο σημείο Ε, η οποία τέμνει τη διευθετούσα της παραβολής στο σημείο. (α) Να δείξετε ότι η είναι η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο. (β) Να βρείτε την εξίσωση της καμπύλης στην οποία ανήκει ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής Γ του ορθογωνίου παραλληλογράμμου ΑΕΒΓ, καθώς το Α κινείται πάνω στην παραβολή. 3-ΜΕΡΟΣ A- Β σειρά x 8) Η εφαπτομένη της έλλειψης στο σημείο της (4,3 ), ( στο α 6 9 τεταρτημόριο) τέμνει τους άξονες x και στα σημεία και αντίστοιχα. Αν η 4 αρχή των αξόνων και να υπολογίσετε τη γωνία 3 3-ΜΕΡΟΣ Β- Β σειρά 5) α) Δίνεται η παραβολή 4x και ( t, t), ( t, t) δυο σημεία της. Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες της παραβολής στα σημεία και τέμνονται στο σημείο ( tt, ( t t)) β) Από τυχαίο σημείο ( t, t) της παραβολής 4x φέρουμε δυο ευθείες και με συντελεστές κατεύθυνσης και - αντίστοιχα που συναντούν την παραβολή (για δεύτερη φορά) στα σημεία ( t3, t3) και ( t4, t4). Να βρείτε την εξίσωση του σχήματος στο οποίο ανήκει ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής των εφαπτομένων της παραβολής στα σημεία και όταν το σημείο διαγράφει την παραβολή. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΩΝ 6-3 ΣΕΛ. 39