Μάθηση µε αναλογίες & µεταφορές

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μάθηση µε αναλογίες & µεταφορές"

Transcript

1 Μάθηση µε αναλογίες & µεταφορές αναλογική σκέψη και µάθηση οι µεταφορές και ο ρόλος τους στη κατασκευή της µαθηµατικής γνώσης

2 Συλλογισµός µε χρήση αναλογίας

3 αναλλογικός συλλογισµός Η Γη είναι σφαιρική... σαν µια µπάλα

4 Αναλογική Σκέψη Αναλογία είναι µια γνωστική διαδικασία µεταφοράς πληροφοριών ή νοήµατος από ένα συγκεκριµένο θέµα (τοµέας «βάσης») σε ένα άλλο συγκεκριµένο θέµα (τοµέας «στόχος»), και η γλωσσική έκφραση που αντιστοιχεί σε αυτή τη διαδικασία. Όταν χρησιµοποιούνται πληροφορίες από ένα τοµέα (τοµέας «βάσης») µε σκοπό να βοηθηθούµε να σκεφτούµε για έναν άλλο τοµέα (τοµέας «στόχος») Απαραίτητες διεργασίες: αναγνώριση της αναλογίας - χαρτογράφηση οµοιοτήτων και διαφορών µεταβίβαση λύσης αξιολόγηση

5 η αναλογία ανάµεσα στο ηλιακό σύστηµα και τη δοµή του ατόµου

6 Αναλογικός συλλογισµός

7 Συλλογισµός µε αναλογία Μια αναλογία είναι µια σύγκριση πραγµάτων που βασίζεται στις οµοιότητες που αυτά µοιράζονται. οι αναλογίες είναι ενδιαφέρουσες και σηµαντικές για πολλούς λόγους, συµπεριλαµβανοµένης της χρήσης τους στην ποίηση και τη λογοτεχνία και το χιούµορ, εδώ θα επικεντρωθώ στη σηµασία τους στην κατασκευή επαγωγικών επιχειρηµάτων στη σκέψη στη κατανόηση στη διδασκαλία

8 Η συλλογιστική σκέψη Απαγωγικός Συλλογισµός Επαγωγικός Συλλογισµός Συλλογισµός µε Αναλογία

9 Απαγωγική Λογική - Παραγωγικός συλλογισµός

10 Παραγωγικός συλλογισµός Τα συµπεράσµατα είναι ειδικές περιπτώσεις ενός γενικού κανόνα Αρχίζουµε µε µία γενική πρόταση που θεωρείται αληθής και µε την επικουρία ενός ακόµη δεδοµένου τερµατίζουµε σε µία άλλη πρόταση που επιβάλλεται µε λογική αναγκαιότητα ως ακολουθία (λογικό προϊόν) των προηγούµενων προτάσεων. Όλοι οι άνθρωποι είναι θνητοί Ο Σωκράτης είναι άνθρωπος Ο Σωκράτης είναι θνητός Το συµπέρασµα είναι αληθές αν οι προκείµενες είναι αληθείς και τα βήµατα του συλλογισµού είναι τα ενδεδειγµένα Το συµπέρασµα δεν επικυρώνεται εµπειρικά αλλά εξαρτάται µόνο από τις προκείµενες και το συλλογισµό

11 Παραγωγικός συλλογισµός Ένα παράδειγµα παραγωγικού συλλογισµού είναι ο κατηγορηµατικός συλλογισµός. Οι κατηγορικές προτάσεις: Όλα τα Α είναι Β: Γενική καταφατική Κανένα Α δεν είναι Β: Γενική αποφατική Μερικά Α είναι Β: Μερική καταφατική Μερικά Α δεν είναι Β: Μερική αποφατική Κανόνες συλλογισµού: α=>β, Αν α τότε β (Modus Ponens) Όχι β τότε όχι α (Modus Tollens) Θεωρείται ο πιο έγκυρος συλλογισµός καθώς δεν επηρεάζεται από εµπειρικά δεδοµένα.

12 Επαγωγικός Συλλογισµός

13 Επαγωγικός Συλλογισµός Ο επαγωγικός συλλογισµός ξεκινά από το ειδικό και το συγκεκριµένο και καταλήγει στο γενικό και το αφηρηµένο. Όταν το αντικείµενο Α δεν στηρίζεται πέφτει Όταν το αντικείµενο Β δεν στηρίζεται πέφτει Όταν το αντικείµενο Γ δεν στηρίζεται πέφτει... Άρα τα αντικείµενα που δε στηρίζονται πέφτουν

14 Επαγωγικός Συλλογισµός Το συµπέρασµα αποτελεί γενίκευση (αφαίρεση) από µια σειρά δεδοµένων από το ειδικό στο γενικό Είναι ατελής συλλογισµός καθώς το συµπέρασµα δεν αποτελεί λογική αναγκαιότητα Βάση του επιστηµονικού τρόπου σκέψης και της επιστηµονικής ανακάλυψης (βλ. Λογικό θετικισµό) Βάση για την έκφραση θεωριών...αλλά, τα συµπεράσµατά του αντανακλούν βαθµούς πιθανότητας (πιθανά, ίσως,...σχεδόν σίγουρα) π.χ., όλοι οι κύκνοι είναι λευκοί

15 Η γαλοπούλα του Russell Bertrand Russell's Inductivist Turkey ``The turkey found that, on his first morning at the turkey farm, that he was fed at 9 a.m. Being a good inductivist turkey he did not jump to conclusions. He waited until he collected a large number of observations that he was fed at 9 a.m. and made these observations under a wide range of circumstances, on Wednesdays, on Thursdays, on cold days, on warm days. Each day he added another observation statement to his list. Finally he was satisfied that he had collected a number of observation statements to inductively infer that ``I am always fed at 9 a.m.''. However on the morning of Christmas eve he was not fed but instead had his throat cut.''

16 συλλογισµός µε χρήση αναλογίας

17 Συλλογισµός µε αναλογία Είδος επαγωγικού συλλογισµού Οπότε: Είναι ατελής συλλογισµός καθώς το συµπέρασµα δεν αποτελεί λογική αναγκαιότητα συµπεράσµατά του δεν αντανακλούν βαθµούς πιθανότητας (πιθανά, ίσως,...σχεδόν σίγουρα) Ο συλλογισµός µε βάση την αναλογία λαµβάνει υπόψη το γεγονός ότι δύο ή περισσότερα πράγµατα είναι παρόµοια σε ορισµένα σηµεία και καταλήγει στο συµπέρασµα ότι είναι πιθανόν να είναι επίσης παρόµοια και σε κάποια ακόµη σηµεία Σε µια στενότερη έννοια, το «κατ αναλογία συµπέρασµα» είναι ένα επιχείρηµα από ένα συγκεκριµένο σε ένα άλλο συγκεκριµένο, σε αντίθεση µε την αφαίρεση, την επαγωγή και την απαγωγή, όπου τουλάχιστον µία από τις προκείµενες ή το συµπέρασµα είναι γενική.

18 η αναλογία του σύµπαντος µε µπαλόνι

19 Συλλογισµός µε αναλογία Η Αναλογία παίζει σηµαντικό ρόλο στην επίλυση προβλήµατος, λήψη αποφάσεων, την αντίληψη, τη µνήµη, τη δηµιουργικότητα, το συναίσθηµα, την επεξήγηση και την επικοινωνία. Βρίσκεται πίσω από βασικές νοητικές διεργασίες, όπως την αναγνώριση αντικειµένων τόπων ή και ανθρώπων, για παράδειγµα, στην αναγνώριση προσώπων. Έχει υποστηριχθεί ότι η αναλογία είναι «ο πυρήνας της γνώσης». βλ. «Εύρηκα!!!» του Αρχιµήδη

20 είδη οµοιοτήτων Η αναλογία αποτελεί µία σχέση οµοιότητας Είδη οµοιοτήτων: Κυριολεξία: το µανταρίνι είναι σαν το πορτοκάλι Μεταφορά: Η ζωή είναι σαν ένα κουτί από σοκολατάκια Αναλογία: Το Άµστερνταµ είναι η Βενετία του Βορρά Ανωµαλία: Το Άµστερνταµ είναι σαν το πορτοκάλι

21 Αναλογίες vs Μεταφορές Ενώ οι παροµοιώσεις και οι µεταφορές συγκρίνουν πράγµατα που είναι στην ουσία εντελώς διαφορετικά αλλά έχουν µία οµοιότητα, στις αναλογίες συγκρίνονται πράγµατα που είναι όµοια ως προς όλα τα ουσιώδη σηµεία (σε θεµελιώδη δοµικά ή διαδικαστικά χαρακτηριστικά) ώστε στη συνέχεια να ισχυριστεί κανείς ότι µοιάζουν και ως προς ένα ακόµα χαρακτηριστικό. Μεταφορά: η ζωή είναι σαν ένα κουτί από σοκολατάκια...ποτέ δεν ξέρεις τι θα σου τύχει Αναλογία: η Γη είναι σαν µπάλα

22 βασικά είδη αναλογιών Δοµικές βασίζεται σε οµοιότητες ως προς την εµφάνιση ή τη δοµή π.χ., η Γη είναι σαν πορτοκάλι, στρόγγυλη, έχει φλοιό, κτλ. Διαδικαστικές βασίζεται σε οµοιότητες ως προς τη λειτουργία π.χ., ο νους λειτουργεί σαν η/υ, δέχεται πληροφορία, την επεξεργάζεται & βγάζει συµπεράσµατα Δοµικές & Διαδικαστικές π.χ., το ηλεκτρικό κύκλωµα ~ υδραυλικό σύστηµα: η µπαταρία ~δεξαµενή & τα καλώδια ~ σωλήνες ύδρευσης

23 ο αναλλογικός συλλογισµός Στα αρχαία ελληνικά η λέξη αναλογία σήµαινε αρχικά την αναλογικότητα, µε τη µαθηµατική έννοια του όρου (π.χ., διπλάσιο), και µερικές φορές µεταφράζεται στα Λατινικά ως proportio. Από εκεί ο αναλογικός συλλογισµός έγινε κατανοητός ως η σχέση ανάµεσα σε οποιοδήποτε ζεύγος πραγµάτων, είτε είναι µαθηµατικής φύσεως είτε όχι.

24 χρήση της αναλογίας Αναλογικές σχέσεις Στα µαθηµατικά: το 5 για το 10 είναι ότι το 10 για το... (x). (το 20 (γιατί η σχέσξ είναι το διπλάσιο) To πάνω είναι για το κάτω ότι το δεξιά για το...; (αριστερά γιατί η σχέση είναι: το αντίθετο) 1 ο Βήµα αναγνώριση της αναλογίας - χαρτογράφηση (mapping): να καταλάβεις τη σχέση που περιγράφεται 2 ο Βήµα µεταφορά (transfer): να µεταφέρεις χαρακτηριστικά από την πηγή στο στόχο 3 ο Βήµα: αξιολόγηση στοχασµός επί της λύσης που προέκυψε

25 Κεφάλι Μάτι Κερατοειδής Στόµα Στοµάχι Έντερο Πρωκτός Σκελετός Καρδιά Πόδι Γούνα Γάτα Αυτοκίνητο Ουρανός Προβολείς Γλυαλί προβολέα Στόµιο βενζίνης Ντεπόζιτο Θάλαµος καύσης Εξάτµιση Σασί Μηχανή Τροχός Βαφή

26 παράγοντες που ενισχύουν την αναλογία ο τοµέας βάσης να είναι όσο το δυνατόν πιο οικείος να γίνει καλή χαρτογράφηση των οµοιοτήτων το πλαίσιο όπου χρησιµοποιείται η αναλογία να είναι το κατάλληλο

27 δυσκολίες κατανόησης αναλογίας µη οικείος τοµέας βάσης δυσκολία µεταφοράς της γνώσης από τον τοµέα βάσης στον τοµέα στόχο η αναπαράσταση του προβλήµατος δεν έχει γίνει στη βάση των θεµελιωδών του χαρακτηριστικών αλλά των επιφανειακών

28 Μοντέλο προώθησης δηµιουργικότητας Gordon Δηµιουργικότητα Μπορεί να είναι συνειδητή διαδικασία Έχει έντονη συναισθηµατική βάση - εφευρετικότητα Ο άλογος χαρακτήρας του συναισθήµατος πρέπει να ελέγχεται συνειδητά Μάθηση µε αναλογίες (Analogical reasoning) & συγκρίσεις Ευθείες- άµεσες: σύγκριση προσώπων, γεγονότων, καταστάσεων Προσωπικές: ταύτιση µε κάτι άλλο, κάποιον άλλο µε στόχο την κατανόηση της θέσης του Αντιφατικές: εκφράζεται µε αντιθετικές σχέσεις που δίνουν πληροφορία, π.χ., «η καταστροφή είναι δηµιουργία»

29 αναλογία: ο δάσκαλος είναι ηθοποιός/performer

30 Μάθηση µε αναλογία Στρατηγική δηµιουργίας νέου αντικειµένου Κατανόηση νέας πληροφορίας µέσα από αναλογία µε κάτι ήδη γνωστό Φάση Α : Εισαγωγή στη νέα γνώση Φάση Β : Παρουσίαση άµεσης αναλογίας Φάση Γ : Προσωποποίηση της αναλογίας Φάση Δ : Σύγκριση, οµοιότητες διαφορές Φάση Ε : Επανεξέταση αρχικού θέµατος Φάση Στ : Νέες άµεσες αναλογίες Φάση Ζ : Αξιολόγηση

31 Μοντέλο προώθησης δηµιουργικότητας Gordon Στρατηγική δηµιουργίας νέου αντικειµένου Χρήση παλιών εργαλείων, γνώσεων εµπειριών για τη δηµιουργία νέας γνώσης µε νέες προοπτικές Φάση Α : Περιγραφή κατάστασης- Παρουσίαση θέµατος Περιγραφή ενός θέµατος, σηµείωση των όρων που χρησιµοποιήθηκαν Φάση Β : Εύρεση άµεσων αναλογιών Δηµιουργία αναλογιών µε βάση τους προηγούµενους όρους - Επιλογή µιας αναλογία για περαιτέρω επεξεργασία Φάση Γ : Δηµιουργία προσωπικής αναλογίας Οι µαθητές προσοµοιώνουν τους εαυτούς τους ως κοµµάτι της αναλογίας Φάση Δ : Εντοπισµός αντιφατικών αναλογιών Αναπτύσσονται αντιφατικές συνδέσεις ανάµεσα στις αναλογίες επιλέγεται µια από αυτές Φάση Ε : Δηµιουργία νέας άµεσης αναλογίας Φάση Στ : Επανεξέταση της αρχικής κατάστασης µέσα από την αναλογία που προέκυψε Φάση Ζ : Αξιολόγηση

32 Μάθηση µε αναλογία Αυξηµένη συµµετοχή καλών και κακών µαθητών Ικανοποίηση από τη συµµετοχή Κίνητρα Κοινωνικοποίηση- συνεργασία Μαθητοκεντρικό Κατάκτηση της γνώσης γνώση µε νόηµα Ευέλικτο µοντέλο, αυτοσχεδιασµός Μειωµένο κόστος, εύκολο στην εφαρµογή Ανεξάρτητα ηλικίας, τάξης, φύλο, κτλ.

33 παραδείγµατα αναλογίας

34 Ένα πρόβληµα αναλογίας To πρόβληµα της ακτινοβολίας, (Duncker, 1945) Ένας γιατρός προσπαθεί να καταστρέψει έναν κακοήθη όγκο µε ακτινοβολία. Αν ο γιατρός χρησιµοποιήσει ισχυρή ακτινοβολία, τότε ο όγκος θα καταστραφεί, αλλά θα καταστραφεί και ο υγιής ιστός που περιβάλλει τον όγκο Αν ο γιατρός χρησιµοποιήσει ασθενή ακτινοβολία, τότε ο υγιής ιστός θα διασωθεί, αλλά ο όγκος θα επιβιώσει Η λύση της σύγκλισης ασθενών ακτίνων: Ο γιατρός στοχεύει τον όγκο µε ασθενείς ακτίνες, από πολλές διαφορετικές διευθύνσεις. Οι ασθενείς ακτίνες συγκλίνουν στον όγκο, η συνολική τους ισχύς αθροίζεται και τελικά καταστρέφει τον όγκο, ενώ ο υγιής ιστός δεν επηρεάζεται (Ποσοστό επιτυχίας 10%)

35 Το ανάλογο πρόβληµα Ένας στρατηγός επιτίθεται µε το στρατό του σε ένα οχυρό. Ο στρατηγός δεν µπορεί να χρησιµοποιήσει όλο το στρατό του για επιτεθεί από µια µεριά στο οχυρό, γιατί οι δρόµοι που οδηγούν σε αυτό έχουν νάρκες που ενεργοποιούνται όταν µια µεγάλη οµάδα στρατιωτών δοκιµάσει να περάσει από το δρόµο. Η λύση των µικρών οµάδων: Ο στρατηγός χωρίζει το στρατό του σε µικρές οµάδες και επιτίθεται στο οχυρό από πολλούς διαφορετικούς δρόµους.

36

37

38

39

40

41 Πώς χρησιµοποιείται η αναλογία; Λίγοι από τους συµµετέχοντες παρατηρούσαν και χρησιµοποιούσαν την αναλογία Όταν δίνονταν η οδηγία ότι τα δύο προβλήµατα είναι ανάλογα, 80% έλυναν το πρόβληµα του ογκολόγου (βλ. Gick and Holyoak, 1983). Συµπεράσµατα Οµοιότης επί επιφανειακών χαρακτηριστικών συχνά δηµιουργεί την εντύπωση αναλογίας ανάµεσα σε καταστάσεις Επίσης, αν δύο ανάλογες καταστάσεις διαφέρουν ως προς τα επιφανειακά χαρακτηριστικά ή/και από σηµιολογικής άποψης, συχνά η αναλογία δεν γίνεται αντιληπτή Η αναλογία γίνεται πιο εύκολα αντιληπτή όταν υποστηρίζεται από προφανείς οµοιότητες ανάµεσα στον τοµέα-βάσης και τον τοµές-στόχο

42 µαθηµατικές αναλογίες

43 43

44

45 λόγος/αναλογία 6:9::10:15 «το σύστηµα των δύο αριθµών 6 και 9 είναι ανάλογο µε το σύστηµα των αριθµών 10 και 15, από τη στιγµή που τα δύο συστήµατα συµφωνούν ως προς το λόγο των αντίστοιχων όρων». Polya (1954)

46 Το γραµµικό πολ/κό µοντέλο Γραµµικές σχέσεις σχέσεις λόγου ή αναλογίας ο σταθερός ρυθµός αλλαγής µιας µεταβλητής συνδέεται µε έναν σταθερό ρυθµό αλλαγής µιας άλλης µεταβλητής. π.χ., Ένα κουτί έχει 8 µπισκότα. Πόσα µπισκότα θα περιέχει η συσκευασία των 3 κουτιών;

47 αλλά... Ένα πουκάµισο στεγνώνει σε 25 λεπτά αν εκτεθεί στον ήλιο. Σε πόσα λεπτά θα στεγνώσουν 3 ίδια πουκάµισα αν εκτεθούν σε ακριβώς ανάλογες συνθήκες µε το πρώτο;

48 Ανάλογες/µη-ανάλογες σχέσεις Αναλογική σχέση Χρειάζεστε περίπου 6 ώρες για να πλεύσετε γύρω από ένα κυκλικό νησί µε διάµετρο 70χλµ. Πόσες ώρες θα χρειαστείτε για να πλεύσετε (µε την ίδια ταχύτητα) γύρω από ένα κυκλικό νησί µε διάµετρο 140χλµ; (Απ. 12 ώρες) Μη αναλογική σχέση Χρειάζεστε περίπου 400 γραµµάρια σπόρου λουλουδιών για ένα κυκλικό παρτέρι µε διάµετρο 10µ. Πόσα γραµµάρια σπόρου θα χρειαζόσασταν για ένα κυκλικό παρτέρι µε διάµετρο 20µ; (Απ γραµµάρια)

49 Ανάλογες/µη-ανάλογες σχέσεις Αναλογική σχέση Στον χάρτη της Ελλάδας η απόσταση Πάτρας -Ζακύνθου είναι περίπου 5εκ. και η απόσταση Πάτρας-Κέρκυρας περίπου 11εκ. Σε έναν άλλο χάρτη της Ελλάδας η απόσταση Πάτρας-Ζακύνθου είναι περίπου 20εκ. Πόσο µεγάλη είναι η απόσταση Πάτρας Κέρκυρας σε αυτό το χάρτη; (Απ. 44 εκ) Μη αναλογική σχέση Σε ένα χάρτη της Ελλάδας η απόσταση Πάτρας-Αθήνας είναι 2εκ και το εµβαδόν της Ελλάδας είναι 250 τ.εκ. Σε άλλο χάρτη η απόσταση Αθήνας-Πατρας είναι 6εκ. Πόσο είναι το εµβαδόν της Ελλάδας σε αυτόν τον άλλο χάρτη; (Απ τ.εκ)

50 Ανάλογες/µη-ανάλογες σχέσεις

51 Ανάλογες/µη-ανάλογες σχέσεις

52 Ανάλογες/µη-ανάλογες σχέσεις

53 Ανάλογες/µη-ανάλογες σχέσεις Μοδέστου, Σ, Μ.(2007)

54

55 Ερµηνείες/τρόποι αντιµετώπισης Ερµηνείες Προϋπάρχουσα γνώση µε γενικευµένη χρήση γραµµικών προβληµάτων Η γραµµική σχέση είναι έντονα επιβεβαιωµένη από την καθηµερινή µαθηµατική πρακτική Τρόποι αντιµετώπισης Γνωστική σύγκρουση (βλ. µάθηση µε εννοιολογική αλλαγή) Αναπαράσταση-µοντελλοποίηση του προβλήµατος Μεταγνωστική επίγνωση

56 Αναλογίες: γεφυρώνοντας Υποθετικό παράδειγµα γεφύρωσης

57 Αναλογίες: γεφυρώνοντας Υποθετικό παράδειγµα γεφύρωσης

58 where mathematics come from? Lakoff & Nunez οι µεταφορές και η οντολογία των µαθηµατικών

59 Eννοιολογικές µεταφορές κατά Lakoff & Nunez πως καταλαβαίνουµε αφηρηµένες έννοιες όπως το Ευκλείδειο σηµείο; Στο µεγαλύτερο µέρος, οι άνθρωποι νοηµατοδοτούν τις αφηρηµένες έννοιες µε συγκεκριµένους όρους, χρησιµοποιώντας ιδέες και τρόπους συλλογισµού βασισµένες στο αισθησιοκινητικό τους σύστηµα. Ο µηχανισµός µε τη βοήθεια του οποίου το αφηρηµένο γίνεται κατανοητό µε συγκεκριµένους όρους λέγεται εννοιολογική µεταφορά. Τα µαθηµατικά χρησιµοποιούν εννοιολογικές µεταφορές. Για παράδειγµα, µέσω εννοιολογικής µεταφοράς οι αφηρηµένοι αριθµοί αντιστοιχίζονται στα σηµεία µιας ευθείας

60 Eννοιολογικές µεταφορές κατά Lakoff & Nunez οι Lakoff & Nunez πρότειναν ότι αυτές οι εξιδανικευµένες αφηρηµένες τεχνικές οντότητες στα Μαθηµατικά δηµιουργούνται από την ανθρώπινη φαντασία, µέσω µιας πολύ συγκεκριµένης χρήσης γνωστικών µηχανισµών που στηρίζονται στην καθηµερινή σωµατική εµπειρία, όπως οι: εννοιολογικές µεταφορές (Ε.Μ) οι εννοιολογικοί συνδυασµοί (blend), αναλογικοί συλλογισµοί, πλασµατική κίνηση, σχήµατα (aspectual) του τρόπου

61 Eννοιολογικές µεταφορές κατά Lakoff & Nunez Οι Lakoff και Núñez (2000) τονίζουν ότι καθώς οι εννοιολογικές µεταφορές διατηρούν τη συµπερασµατική δοµή τους, η κατανόηση της αριθµητικής συνίσταται στην προηγούµενη κατανόηση καθηµερινών κοινότοπων φυσικών δραστηριοτήτων, όπως: απαρίθµηση - µέτρηση Πρόσθεση κι αφαίρεση µικρών ποσοτήτων Συλλογή αντικειµένων σε οµάδες ή στοίβες Χειρισµός αντικειµένων (περιστροφή, επιµήκυνση, διάσπαση σύνθεση) Βηµατισµός Κίνηση Επαναλαµβανόµενες ενέργειες

62 Eννοιολογικές µεταφορές κατά Lakoff & Nunez δοµή της κάθε εννοιολογικής µεταφοράς: είναι µια αντιστοίχιση (mapping) οντοτήτων από ένα γνωστικό «πεδίο πηγή» (source domain) σε αντίστοιχες οντότητες σε ένα άλλο γνωστικό «πεδίο στόχος» (target domain) π.χ. µεταφοράς: οι αριθµοί είναι συλλογές αντικειµένων ή οι αριθµοί είναι σηµεία σε ευθεία, ή κίνηση σε άξονα π.χ.: το 0 µπορεί να είναι είτε ένα σηµείο σε µια γραµµή ή το κενό σύνολο, και τα δυο ή τίποτα από τα δυο, και κάθε απόφαση είναι θέµα επιλογής της κατάλληλης εννοιολογικής µεταφοράς. τα σύνολα είναι δοχεία

63 µεταφορές των µαθηµατικών στην καθηµερινή γλώσσα κατά Lakoff & Nunez Η µεταφορά Οι ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΝΑΙ ΣΑΝ ΣΥΛΛΟΓΕΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ συναντάται σε εκφράσεις της καθηµερινής ζωής π.χ., «πρόσθεσε κρεµµύδι στη σούπα», «βγάλε τα βιβλία από το χαρτόκουτο» για την πράξη της πρόσθεσης κι αφαίρεσης αντίστοιχα. Η µεταφορά ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΕΙΝΑΙ ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΤΡΟΧΙΑ συναντάται σε εκφράσεις της καθηµερινής ζωής: «το 3 είναι µακριά από το 77» «µέτρα µέχρι το 1123 αρχίζοντας από το 11, το x τείνει στο µηδέν

64 µεταφορές των µαθηµατικών κατά Lakoff & Nunez Η µεταφορά της ΡΑΒΔΟΥ που αποτελείται από τµήµατα που ενώννονται για να σχηµατίσουν µεγαλύτερα µέρη. Έτσι, υπάρχουν και µέρη σώµατος που µπορούν να επιτελέσουν αυτή τη λειτουργία όπως για παράδειγµα η µέτρηση ενός µήκους µε µονάδα το µήκος του ποδιού, ο δείκτης του χεριού, ο βραχίονας κλπ Η µεταφορά Η ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ συναντάται στο Λατινικό Σύστηµα Αρίθµησης όπου για παράδειγµα προσθέτω ένα αριθµητικό µέρος στο VI για να πάρω το VII. ο αριθµός ως µέγεθος (βλ. κλάσµα µέρος όλου) ο αριθµός ως ποσότητα

65 µεταφορές των µαθηµατικών στην καθηµερινή γλώσσα κατά Lakoff & Nunez Η αναπαράσταση των αριθµών µε την αριθµογραµµή, µε το µοντέλου του θερµοµέτρου, ή µε ένα ασανσέρ που ανεβοκατεβαίνει τους ορόφους, είναι διαφορετικοί τρόποι αναπαράστασής τους κάνοντας χρήση της εννοιολογικής µεταφοράς ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΤΑ ΜΗΚΟΣ ΤΟΥ ΜΟΝΟΠΑΤΙΟΥ

66 µεταφορά και πράξεις Ένας µαθητής ανέφερε για την πράξη -5+8: «το 5 είναι πέντε τρύπες», και τις ζωγράφισε στο χαρτί του, «και το 8 είναι οκτώ βόλοι», ζωγράφισε 8 κουκίδες για βόλους «κι έτσι οι πέντε τρύπες καταπίνουν πέντε από τους βόλους κι έτσι αποµένουν τρείς βόλοι κι άρα η απάντηση είναι συν τρία»

67 µοντέλα αναλογίας στη διδασκαλία των µαθηµατικών και µεταφορές άλλα παραδείγµατα

68 η αναλογία της συνάρτησης ως µηχανή η συνάρτηση είναι µια µηχανή που παίρνει πρώτη ύλη x και το µετατρέπει σε κάτι άλλο, π.χ., 2x frames_asid_191_g_3_t_1.html

69 η αναλογία της συνάρτησης ως µηχανή η σύνθετη συνάρτηση δύο µηχανές όπου η δεύτερη µετατρέπει τα αποτελέσµατα της πρώτης

70 αναλογία στη µεταβλητή διανοµέας/πουρµπουάρ: «όποιος κι αν είναι ο διανοµέας, δώστου πουρµπουάρ 1e» = όποια κι είναι η µεταβλητή θα πάρει τη συγκεκριµένη τιµή Ρόλοι/ηθοποιοί: οι µεταβλητές είναι οι ηθοποιοί που µετέχουν στην παράσταση που «ανεβαίνει» στην σκηνή του θεάτρου

71 η εξίσωση ως ζυγαριά ή τραµπάλα ό,τι πράξη κάνω στο πρώτο µέλος πρέπει να την κάνω και στο δεύτερο ΌΜΩΣ: δεν λειτουργεί για αρνητική λύση της εξίσωσης ActivityDetail.aspx?ID=10

72 το µοντέλο της αριθµογραµµής οι αρνητικοί αριθµοί και οι πράξεις ως αλλαγή θερµοκρασίας ή ασανσέρ

73 κι άλλες µεταφορές στις πράξεις µε αριθµούς οι θετικοί αριθµοί είναι έσοδα και οι αρνητικοί έξοδα/χρέη η συνάρτηση είναι η διαδροµή που κάνει κάποιος και που εξαρτάται από τις διαδροµές δύο άλλων ταξιδιωτών υποστηρίζει τη γραφική παράσταση στο καρτεσιανό σύστηµα

74 το µοντέλο των παράλληλων ευθειών Στις σκανδιναβικές χώρες π.χ στην Νορβηγία χρησιµοποιούν το παρακάτω ρεαλιστικό µοντέλο για την αισθητοποίηση των παράλληλων ευθειών. Δίνουν την εικόνα του σκιέρ που φορώντας τα χιονοπέδιλά του σκι. Τα χιονοπέδιδα αποτυπώνουν παράλληλες ευθείες καθώς ο σκιέρ διασχίζει τη πίστα. Μοιάζει µάλιστα να προσπαθεί να αποδείξει ότι οι γραµµές αυτές που αποτυπώνονται µπορεί και να συναντηθούν.

75 χωρισµός γνωστών από αγνώστους...σαν αναλογία Σε µια ωραία φυσική τοποθεσία υπήρχε ένα ποτάµι. Στην δυτική και ανατολική πλευρά του ζούσαν κάτι περίεργα πλάσµατα που τα λέγανε γνωστά και άγνωστα. Τα άγνωστα τα καταλάβαινες από µακριά από ένα χαρακτηριστικό σηµάδι στο κούτελό τους. Είχαν το σηµάδι x. Τα γνωστά πάλι ήταν αριθµοί.για πολλούς αιώνες γνωστά και άγνωστα πλάσµατα ζούσαν ειρηνικά και ανάµικτα µεταξύ τους δίπλα - δίπλα. Όταν όµως βασιλιάς τους έγινε ο Χωριστέας ο Α ( όχι ο Χαριστέας ), έβγαλε µια αλλόκοτη απόφαση. Στην δυτική όχθη του ποταµού έπρεπε να ζουν µόνο τα άγνωστα πλάσµατα και στην ανατολική τα γνωστά. Έτσι βάλθηκαν όλοι να µεταφέρονται µε τους µισθωµένους βαρκάρηδες του βασιλιά από τη µια µεριά στην άλλη ή αντίστροφα. Όσοι λοιπόν χρειαζόταν να περάσουν απέναντι πλήρωναν ένα περίεργο εισητήριο. Έπρεπε να δεκτούν να τους αλλάξουν ( όχι τα φώτα ) τα πρόσηµά τους οι µισθωµένοι φοροεισπράκτορες του βασιλιά. Έτσι γιγόταν δεκτοί στη βάρκα και µπάρκαραν για την αντίπερα όχθη κουνώντας το µαντήλι στους προηγούµενους γείτονες.

76 κι άλλα προβλήµατα τέτοιων συλλογισµών

77 προβλήµατα των µεταφορών/αναλογιών στη καθηµερινή χρήση τους παράδειγµα: Πριν από τους εθνοαπελευθερωτικούς αγώνες κάποιοι βασιλόφρονες υποστήριξαν ότι οι αποικίες ήταν σαν τα παιδιά της µητέρας πατρίδας, και ακριβώς όπως τα παιδιά θα πρέπει να παραµείνουν για πάντα πιστά στους γονείς τους, οι αποικίες δεν θα πρέπει να επαναστατήσουν ενάντια στην Αγγλία. Από την άλλη πλευρά, οι επαναστάτες υποστήριξαν ότι οι αποικίες είναι όπως τα φρούτα στα δέντρα, και όταν οι καρποί ωριµάσουν, είναι φυσικό ότι θα πρέπει να πέσουν από το δέντρο.

78 προβλήµατα αυτών των επιχειρηµάτων Σχεδόν οτιδήποτε µπορεί να αποδειχθεί επιλέγοντας προσεκτικά τις συγκρίσεις. Αν θέλουµε να εξιδανικεύσουµε την τρίτη ηλικία µπορούµε να τη συγκρίνουµε µε την ωρίµανση ενός καλού κρασιού ή να πούµε ότι το άτοµο επιτυγχάνει ανώτερη θέση στην κοινότητα, αποκτά υποµονή και σοφία, και απελευθερώνεται από την τυραννία των παθών. Από την άλλη πλευρά, θα µπορούσαµε να δείξουµε τη θλίψη των γηρατειών συγκρίνοντάς την µε ένα σπίτι που είναι ετοιµόρροπο και καταρρέει, ένα θλιβερό ερείπιο που σε τίποτα δε θυµίζει την παλιά του αίγλη και αξιοπρέπεια.

79 προβλήµατα αυτών των επιχειρηµάτων Ο Άγγλος θεολόγος William Paley ( ) παρουσίασε ένα από τα πιο γνωστά επιχειρήµατα αναλογίας στην προσπάθειά του να υποστηρίξει την άποψη του Αγίου Θωµά Ακινάτη ότι ο κόσµος αποτελεί έναν σκόπιµο σχεδιασµό και αυτό αποδεικνύει την ύπαρξη ενός ευφυούς σχεδιαστή, δηλαδή, το Θεό. Ο Paley το έκανε αυτό µε τη σύγκριση του κόσµου µε τον µηχανισµό ενός ρολογιού. Αν ήµασταν σε ένα έρηµο νησί και να βρίσκαµε ένα ρολόι σε τέλεια κατάσταση και να δουλεύει, θα υποθέταµε ότι ένας ωρολογοποιός είχε φτιάξει αυτό το ρολόι. Το να υποστηρίξει κανείς ότι όλα του τα τµήµατα εννώθηκαν τυχαία και σχηµάτισαν αυτό τον πολύπλοκο µηχανισµό φαίνεται απίθανο. Με τον ίδιο τρόπο, είναι µάλλον απίθανο ότι ο κόσµος αυτός µπορεί και να προέκυψε από µια µεγάλη έκρηξη όπως το big bang.

80 προβλήµατα αυτών των επιχειρηµάτων Ωστόσο, θα µπορούσαµε επίσης να συγκρίνουµε τον κόσµο µε έναν οργανισµό, και όχι ένα µηχανισµό, που έχει βιολογικά µέρη και που µπορεί να νοσήσει. Με τα συστήµατα, τα ζωτικά όργανα, και τα άκρα που αναπτύσσονται και εκφυλίζονται. Και µε ύλη και ενέργεια κάπου στο κέντρο, όχι µυαλό ή πνεύµα. Ένας τέτοιος πολύπλοκος µηχανισµός µπορεί και να προκύψει όχι από ευφυή σχεδιασµό αλλά από διαδικασίες όπως της φυσικής επιλογής βλ. The blind watchmaker (Richard Dawkins)

81 τα προβλήµατα στις αποδόσεις µεταφορών Οι µεταφορές για τη νόσο: η φυµατίωση και οι µεταφορές της ο καρκίνος, το σώµα και ο πόλεµος η διαχείριση της νόσου οι Εβραίοι και τα καρκινώµατα βλ. «Η νόσος ως µεταφορά. Το AIDS και οι µεταφορές του» Σούζαν Σόντακ, Ύψιλον, 2006

82 Κουλέτση Ε (2010). Οι Εννοιολογικές Μεταφορές και η Χρήση τους από τους Καθηγητές στη διδασκαλία των Μαθηµατικών. Αδηµοσίευτη διπλωµατική εργασία. Διαπανεπιστηµιακό Διατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών Διδακτική και µεθοδολογία των Μαθηµατικών», Πανεπιστήµιο Αθηνών Lakoff, G., & Núñez, R. (2000). Where Mathematics Comes From? how the embodied mind brings mathematics into being, Basic Books. Vosniadou, S. & Ortony, A. (Eds.) (1989) Similarity and Analogical Reasoning, New York: NY: Cambridge University Press. Μοδέστου, Σ, Μ.(2007) Μαθηµατική αναλογική σκέψη στο Δηµοτικό και Γυµνάσιο: Ένα πολυδιάστατο γνωστικό και µεταγνωστικό µοντέλο, Προβλήµατα Μάθησης Των Μαθηµατικών Κατά τη Μετάβαση από το Δηµοτικό στο Γυµνάσιο, ,

Παραγωγικός συλλογισµός

Παραγωγικός συλλογισµός ΑναλογικήΣκέψη Στέλλα Βοσνιάδου Πανεπιστήµιο Αθηνών Παραγωγικός συλλογισµός Οι παραγωγικοί συλλογισµοί αρχίζουν από µια γενική πρόταση που θεωρείται ή υποτίθεται αληθής και µε την επικουρία ενός ακόµη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο. Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος

Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο. Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Γενικός τίτλος «Ένας μαγικός αλλά άγνωστος κόσμος» Ένας μαγικός αλλά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογική συλλογιστική: Η σκέψη βασισμένη σε αναλογίες, μοντέλα και παραδείγματα

Αναλογική συλλογιστική: Η σκέψη βασισμένη σε αναλογίες, μοντέλα και παραδείγματα 5 Γνωστική Ψυχολογία ΙΙ (ΨΧ 05) Αναλογική συλλογιστική: Η σκέψη βασισμένη σε αναλογίες, μοντέλα και παραδείγματα Αναλογική σκέψη «Η Η αναλογία διεισδύει δύ σε ολόκληρη λ τη σκέψη μας» (Polya, 1957) Χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά Ε. Κολέζα Α. Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας µαθηµατικής ενότητας: Βήµατα για τη συγγραφή του σχεδίου Β. Θεωρητικό υπόβαθρο της διδακτικής πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ

Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Ομάδα Γ Βότσης Ευστάθιος Γιαζιτσής Παντελής Σπαής Αλέξανδρος Τάτσης Γεώργιος Προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι αρχάριοι προγραμματιστές Εισαγωγή Προβλήματα Δυσκολίες Διδακτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Γιατί η Ρομποτική στην Εκπαίδευση; A) Τα παιδιά όταν σχεδιάζουν, κατασκευάζουν και προγραμματίζουν ρομπότ έχουν την ευκαιρία να μάθουν παίζοντας και να αναπτύξουν δεξιότητες Η

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση 1. Εισαγωγή Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Το εκπαιδευτικό λογισμικό «Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση» δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΑΞΟΝΑΣ της ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ στο ψηφιακό μουσικό ανθολόγιο ΕΥΤΕΡΠΗ ΜΑΙΗ ΚΟΚΚΙΔΟΥ

Ο ΑΞΟΝΑΣ της ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ στο ψηφιακό μουσικό ανθολόγιο ΕΥΤΕΡΠΗ ΜΑΙΗ ΚΟΚΚΙΔΟΥ Ο ΑΞΟΝΑΣ της ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ στο ψηφιακό μουσικό ανθολόγιο ΕΥΤΕΡΠΗ ΜΑΙΗ ΚΟΚΚΙΔΟΥ Διαθεματικότητα -Ιδανικό της ολιστικής γνώσης -Διασυνδέσεις με νόημα μεταξύ γνωστικών περιοχών -Μελέτη σύνθετων ερωτημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηση µε µοντέλα. & εννοιολογικοί χάρτες. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Μάθηση µε µοντέλα. & εννοιολογικοί χάρτες. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Μάθηση µε µοντέλα & εννοιολογικοί χάρτες µοντέλα - ορισµός Ένα επιστηµονικό µοντέλο είναι µια αναπαράσταση ενός συστήµατος. Είναι συµβολικά κατασκευάσµατα που µιµούνται ή αναπαριστούν σε µια ιδεατή µορφή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.9 Αναγνωρίζουν και ονομάζουν τους όρους: άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο, μειωτέος, αφαιρετέος, προσθετέος,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ: «Αριθμοί στην καθημερινή ζωή»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ: «Αριθμοί στην καθημερινή ζωή» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΙ ΘΕΜΑ: «Αριθμοί στην καθημερινή ζωή» Βόκα Δέσποινα & Δούρου

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Παναγάκος Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Δημοτικής Εκπαίδευσης Βασικοί Στόχοι ενός Προγράμματος Σπουδών Ένα πρόγραμμα σπουδών επιδιώκει να επιτύχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Κοσμολογία & Αστροσωματιδική Φυσική Μάγδα Λώλα CERN, 28/9/2010

Κοσμολογία & Αστροσωματιδική Φυσική Μάγδα Λώλα CERN, 28/9/2010 Κοσμολογία & Αστροσωματιδική Φυσική Μάγδα Λώλα CERN, 28/9/2010 Η φυσική υψηλών ενεργειών µελετά το µικρόκοσµο, αλλά συνδέεται άµεσα µε το µακρόκοσµο Κοσµολογία - Μελέτη της δηµιουργίας και εξέλιξης του

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο Χρυσή Κ. Καραπαναγιώτη Τμήμα Χημείας Αντικείμενο και Αναγκαιότητα Μετασχηματισμός της φυσικοεπιστημονικής γνώσης στη σχολική της εκδοχή.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα της διάλεξης. ιδασκαλία και µάθηση. Ποιος παίρνει τις αποφάσεις; παραγωγικότητας

Περιεχόµενα της διάλεξης. ιδασκαλία και µάθηση. Ποιος παίρνει τις αποφάσεις; παραγωγικότητας ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ, ΠΘ - ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ Ανάπτυξη της δηµιουργικότητας: Η µέθοδος της αποκλίνουσας παραγωγικότητας ιγγελίδης Νικόλαος Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας ΤΕΦΑΑ, Τρίκαλα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΗ Η πλέον διαδεδοµένη και αποδεκτή θεωρία είναι η τριµερής θεωρία της γνώσης που ορίζει τη γνώση ως δικαιολογηµένη αληθή πεποίθηση (justified true belief). Ανάλυση της τριµερούς

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Γνωστική Ψυχολογία. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Εισαγωγή στη Γνωστική Ψυχολογία. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Εισαγωγή στη Γνωστική Ψυχολογία Inside the black box για µια επιστήµη του Νου Επιστροφή στο Νου Γνωστική Ψυχολογία / Γνωσιακή Επιστήµη Inside the black box για µια επιστήµη του Νου Επιστροφή στο Νου Γνωστική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ

ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ 176 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Σωτηρόπουλος Παναγιώτης 1 -

Διαβάστε περισσότερα

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Α Τάξης Δημοτικού. Νοέμβρης 2012 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Α Τάξης Δημοτικού. Νοέμβρης 2012 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Α Τάξης Δημοτικού Νοέμβρης 2012 Χρύσω Αθανασίου (Σύμβουλος Μαθηματικών ) Ελένη Δεληγιάννη (Συγγραφική Ομάδα) Άντρη Μάρκου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Ελένη Μιχαηλίδου (Σύμβουλος Μαθηματικών)

Διαβάστε περισσότερα

Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση;

Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Ξεκινώντας θα ήθελα να θυµίσω κάποια στοιχεία που σχετίζονται µε τον ορισµό της συχνότητας σε ένα περιοδικό φαινόµενο, άρα και στην ΑΑΤ.

Διαβάστε περισσότερα

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d

Διαβάστε περισσότερα

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο

Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μια από τις πιο όμορφες εφαρμογές του τριωνύμου στη φυσική είναι η μεγιστοποίηση κάποιου μεγέθους μέσα από αυτό. Η ιδέα απλή και βασίζεται στη λογική επίλυσης του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις και Βασικές Έννοιες των Φυσικών Επιστηµών. Εισαγωγή

Βάσεις και Βασικές Έννοιες των Φυσικών Επιστηµών. Εισαγωγή Βάσεις και Βασικές Έννοιες των Φυσικών Επιστηµών Εισαγωγή Δοµή Μαθήµατος Εισαγωγή Τι είναι Φ.Ε. ερωτήµατα για τον κόσµο (ιδεοθύελλα) Εµπειρίες µε Φ.Ε. Ζωγράφισε ένα επιστήµονα Γιατί είναι σηµαντική η διδασκαλία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση

Κεφάλαιο 8. Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Κεφάλαιο 8 Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Αναπαράσταση Γνώσης Σύνολο συντακτικών

Διαβάστε περισσότερα

Κυριακή, 17 Μαίου, 2009 Ώρα: 10:00-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ

Κυριακή, 17 Μαίου, 2009 Ώρα: 10:00-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ ΕΝΩΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΙΚΩΝ 5 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΙΟΥ Κυριακή, 17 Μαίου, 2009 Ώρα: 10:00-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ 1. α) Ζεύγος δυνάμεων Δράσης Αντίδρασης είναι η δύναμη που ασκεί ο μαθητής στο έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Επιχειρηµατολογίας µε τη Χρήση του Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Ανάπτυξη Επιχειρηµατολογίας µε τη Χρήση του Ηλεκτρονικού Υπολογιστή ΠΙΛΟΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΝΣΩΜΑΤΩΣΗΣ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΜΑΘΗΣΙΑΚΗ ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ Ανάπτυξη Επιχειρηµατολογίας µε τη Χρήση του Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γιαννάκης Βασιλειάδης Εκπαιδευτικός Υποψήφιος ιδάκτορας Ανάπτυξη Προγραµµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΟΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Χ. ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΟΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 Στη διδασκαλία συνήθως τα παιδιά αρχικά διδάσκονται τις

Διαβάστε περισσότερα

Στόχοι Προϋπάρχουσες γνώσεις

Στόχοι Προϋπάρχουσες γνώσεις Στόχοι Να παραστήσουν την αφαίρεση με τη χρήση αντικειμένων, εικόνων και μαθηματικών προτάσεων. Να ερμηνεύουν προβλήματα αφαίρεσης βασισμένα σε εικόνες Να φτιάχνουν δικά τους προβλήματα βασισμένα σε εικόνες.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ Ένταξη των Τ.Π.Ε. στην διδασκαλία και τη µάθηση I) ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Παύλος Γ. Σπυράκης (google: Paul Spirakis) Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Ικανότητες. Μηδέν είναι μήτε τέχνην άνευ μελέτης μήτε μελέτην άνευ τέχνης ΠΡΩΤΑΓΟΡΑΣ

Ικανότητες. Μηδέν είναι μήτε τέχνην άνευ μελέτης μήτε μελέτην άνευ τέχνης ΠΡΩΤΑΓΟΡΑΣ Ικανότητες Υπολογιστική ικανότητα Μαθηματική ικανότητα Μηχανική ικανότητα Ικανότητα αντίληψης χώρου Γλωσσική ικανότητα Ικανότητα για δουλειές γραφείου Επιδεξιότητα Εικαστική ικανότητα Επαγγελματικές κατευθύνσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙ ΜΕΡΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΚΑΤΑ ΤΙΣ ΔΥΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΑΡΕΜΒΑΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙ ΜΕΡΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΚΑΤΑ ΤΙΣ ΔΥΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΑΡΕΜΒΑΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙ ΜΕΡΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΚΑΤΑ ΤΙΣ ΔΥΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΑΡΕΜΒΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στο μέρος αυτό της εργασίας παρουσιάζονται ο συχνότητες και τα ποσοστά στις απαντήσεις των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Κίνηση σε µία διάσταση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 2 Κίνηση σε µία διάσταση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο Κίνηση σε µία διάσταση Copyright 9 Pearson Education, Inc. Περιεχόµενα Κεφαλαίου Συστήµατα Αναφοράς και µετατόπιση Μέση Ταχύτητα Στιγµιαία Ταχύτητα Επιτάχυνση Κίνηση µε σταθερή επιτάχυνση Προβλήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι:

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: ΗΛΙΑΚΑ ΩΡΟΛΟΓΙΑ Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: Οριζόντια Κατακόρυφα Ισημερινά Το παρακάτω άρθρο αναφέρεται στον τρόπο λειτουργίας αλλά και κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Τα ερωτήματα που προκύπτουν από την εισαγωγή της Φυσικής στην Α γυμνασίου είναι :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1).

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1). . Ερωτήσεις διάταξης. Οι συναρτήσεις f (x) = x, g (x) = x, h (x) = x, φ (x) = 3x, ρ (x) = 5x, t (x) = 7x έχουν κοινό πεδίο ορισµού το Α = [- 3, 3]. Να γράψετε τις συναρτήσεις σε µια σειρά έτσι ώστε η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 1 (για µαθητές της Γ' και ' τάξης ηµοτικού)

Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 1 (για µαθητές της Γ' και ' τάξης ηµοτικού) Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 1 (για µαθητές της Γ' και ' τάξης ηµοτικού) Ερωτήσεις 3 πόντων: 1) Η γάτα θέλει να πάει στο γάλα και το ποντίκι στο τυρί, ακολουθώντας τους δρόµους του κήπου. Οι διαδροµές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Το ταξίδι στην 11η διάσταση

Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το κείμενο αυτό δεν αντιπροσωπεύει το πώς παρουσιάζονται οι 11 διστάσεις βάση της θεωρίας των υπερχορδών! Είναι περισσότερο «τροφή για σκέψη» παρά επιστημονική άποψη. Οι σκέψεις

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Λυκείου. Γενικής. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Λυκείου. Γενικής. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Λυκείου Γενικής Μαρίνος Παπαδόπουλος Πίνακας Περιεχοµένων Τίτλος Θεµατικές Ενότητες Σελίδες Προλογικό Σηµείωµα υο λόγια προς τους µαθητές 5-6 Μάθηµα Έννοια συνάρτησης Πεδίο ορισµού 7-4 Μάθηµα

Διαβάστε περισσότερα

Η ασφάλεια στον LHC Ο Μεγάλος Επιταχυντής Συγκρουόµενων εσµών Αδρονίων (Large Hadron Collider, LHC) είναι ικανός να επιτύχει ενέργειες που κανένας άλλος επιταχυντής έως σήµερα δεν έχει προσεγγίσει. Ωστόσο,

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Mα θ η μ α τ ι κ ά Γ Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς στον Αλέξη, το Σπύρο, τον Ηλία και το Λούη, στην παντοτινή φιλία Πρό λ ο γ ο ς Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο

Διαβάστε περισσότερα

Γενική οργάνωση σεναρίου. 1. Προαπαιτούμενες γνώσεις και πρότερες γνώσεις των μαθητών

Γενική οργάνωση σεναρίου. 1. Προαπαιτούμενες γνώσεις και πρότερες γνώσεις των μαθητών Παράρτημα 1: Τεχνική έκθεση τεκμηρίωσης σεναρίου Το εκπαιδευτικό σενάριο που θα σχεδιαστεί πρέπει να συνοδεύεται από μια τεχνική έκθεση τεκμηρίωσής του. Η τεχνική αυτή έκθεση (με τη μορφή του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Η πειθώ. Επίκληση στην λογική

Η πειθώ. Επίκληση στην λογική Η πειθώ Ο όρος πειθώ περιγράφει την λογική ικανότητα ερµηνείας εννοιών, γεγονότων, φαινοµένων σύµφωνα µε την κρίση µας, ώστε να πείσουµε τους δέκτες για την ορθότητα των απόψεών µας και να επηρεάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 4: Οι αριθμητικές πράξεις: Πρόσθεση - Αφαίρεση Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Οι

Διαβάστε περισσότερα

Τσάπελη Φανή ΑΜ: 2004030113. Ενισχυτική Μάθηση για το παιχνίδι dots. Τελική Αναφορά

Τσάπελη Φανή ΑΜ: 2004030113. Ενισχυτική Μάθηση για το παιχνίδι dots. Τελική Αναφορά Τσάπελη Φανή ΑΜ: 243113 Ενισχυτική Μάθηση για το παιχνίδι dots Τελική Αναφορά Περιγραφή του παιχνιδιού Το παιχνίδι dots παίζεται με δύο παίχτες. Έχουμε έναν πίνακα 4x4 με τελείες, και σκοπός του κάθε παίχτη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

Μετεωρολογία. Αν σήμερα στις 12 τα μεσάνυχτα βρέχει, ποια είναι η πιθανότητα να έχει λιακάδα μετά από 72 ώρες;

Μετεωρολογία. Αν σήμερα στις 12 τα μεσάνυχτα βρέχει, ποια είναι η πιθανότητα να έχει λιακάδα μετά από 72 ώρες; Ονόματα Η μητέρα της Άννας έχει άλλους τρεις μεγαλύτερους γιους. Επειδή έχει πάθος με τα χρήματα, τους έχει βαφτίσει ως εξής: Τον μεγάλο της γιο "Πενηνταράκη", τον μεσαίο "Εικοσαράκη" και τον μικρότερο

Διαβάστε περισσότερα

Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών

Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών Μέχρι πριν λίγα χρόνια ηαντίληψη που επικρατούσε ήταν ότι ημαθηματική γνώση είναι ένα αγαθό που έχει παραχθεί και καλούνται οι μαθητές να το καταναλώσουν αποστηθίζοντάς

Διαβάστε περισσότερα

Δ Φάση Επιμόρφωσης. Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού Παιδαγωγικό Ινστιτούτο Γραφείο Διαμόρφωσης Αναλυτικών Προγραμμάτων. 15 Δεκεμβρίου 2010

Δ Φάση Επιμόρφωσης. Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού Παιδαγωγικό Ινστιτούτο Γραφείο Διαμόρφωσης Αναλυτικών Προγραμμάτων. 15 Δεκεμβρίου 2010 Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Δημοτικής, Προδημοτικής και Ειδικής Εκπαίδευσης για τα νέα Αναλυτικά Προγράμματα (21-22 Δεκεμβρίου 2010 και 7 Ιανουαρίου 2011) Δ Φάση Επιμόρφωσης Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ (µικρές τάξεις ηµοτικού) Σχεδιασµός σεναρίου µε θέµα «Ανανεώσιµες πηγές ενέργειας» µε τη χρήση λογισµικών γενικής χρήσης, οπτικοποίησης, διαδικτύου και λογισµικών εννοιολογικής

Διαβάστε περισσότερα

8. Η ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΤΑΛΕΝΤΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

8. Η ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΤΑΛΕΝΤΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 8. Η ΚΑΛΛΙΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΤΑΛΕΝΤΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Πολυάριθµες είναι οι περιοχές όπου ένα ταλέντο ή µία χαρακτηριστική κλίση µπορεί να εκδηλωθεί. Το ταλέντο στα µαθηµατικά έχει ιδιαίτερα απασχολήσει την επιστηµονική

Διαβάστε περισσότερα

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 4: Οι αριθμητικοί πράξεις: Πολλαπλασιασμός - Διαίρεση Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ Ενότητα 2: Επαγωγική-περιγραφική στατιστική, παραµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

g 0 5 0, των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου

g 0 5 0, των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ή ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου Με τη φράση «πρόσημο τριωνύμου» δηλώνουμε τη μέθοδο με την οποία μπορούμε να γνωρίζουμε ποιο πρόσημο

Διαβάστε περισσότερα

Η Διδασκαλια των Εξισωσεων ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Η Διδασκαλια των Εξισωσεων ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Η Διδασκαλια των Εξισωσεων ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Στόχοι Υποστόχοι Δραστηριότητες Πετράκη Ζαχαρούλα Προύντζου Δέσποινα Χριστοπούλου Ευθαλεία Κανονικότητες Συναρτήσεις Αλγεβρικές Παραστάσεις Ισότητα Ανισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα