Μάθηση µε αναλογίες & µεταφορές

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μάθηση µε αναλογίες & µεταφορές"

Transcript

1 Μάθηση µε αναλογίες & µεταφορές αναλογική σκέψη και µάθηση οι µεταφορές και ο ρόλος τους στη κατασκευή της µαθηµατικής γνώσης

2 Συλλογισµός µε χρήση αναλογίας

3 αναλλογικός συλλογισµός Η Γη είναι σφαιρική... σαν µια µπάλα

4 Αναλογική Σκέψη Αναλογία είναι µια γνωστική διαδικασία µεταφοράς πληροφοριών ή νοήµατος από ένα συγκεκριµένο θέµα (τοµέας «βάσης») σε ένα άλλο συγκεκριµένο θέµα (τοµέας «στόχος»), και η γλωσσική έκφραση που αντιστοιχεί σε αυτή τη διαδικασία. Όταν χρησιµοποιούνται πληροφορίες από ένα τοµέα (τοµέας «βάσης») µε σκοπό να βοηθηθούµε να σκεφτούµε για έναν άλλο τοµέα (τοµέας «στόχος») Απαραίτητες διεργασίες: αναγνώριση της αναλογίας - χαρτογράφηση οµοιοτήτων και διαφορών µεταβίβαση λύσης αξιολόγηση

5 η αναλογία ανάµεσα στο ηλιακό σύστηµα και τη δοµή του ατόµου

6 Αναλογικός συλλογισµός

7 Συλλογισµός µε αναλογία Μια αναλογία είναι µια σύγκριση πραγµάτων που βασίζεται στις οµοιότητες που αυτά µοιράζονται. οι αναλογίες είναι ενδιαφέρουσες και σηµαντικές για πολλούς λόγους, συµπεριλαµβανοµένης της χρήσης τους στην ποίηση και τη λογοτεχνία και το χιούµορ, εδώ θα επικεντρωθώ στη σηµασία τους στην κατασκευή επαγωγικών επιχειρηµάτων στη σκέψη στη κατανόηση στη διδασκαλία

8 Η συλλογιστική σκέψη Απαγωγικός Συλλογισµός Επαγωγικός Συλλογισµός Συλλογισµός µε Αναλογία

9 Απαγωγική Λογική - Παραγωγικός συλλογισµός

10 Παραγωγικός συλλογισµός Τα συµπεράσµατα είναι ειδικές περιπτώσεις ενός γενικού κανόνα Αρχίζουµε µε µία γενική πρόταση που θεωρείται αληθής και µε την επικουρία ενός ακόµη δεδοµένου τερµατίζουµε σε µία άλλη πρόταση που επιβάλλεται µε λογική αναγκαιότητα ως ακολουθία (λογικό προϊόν) των προηγούµενων προτάσεων. Όλοι οι άνθρωποι είναι θνητοί Ο Σωκράτης είναι άνθρωπος Ο Σωκράτης είναι θνητός Το συµπέρασµα είναι αληθές αν οι προκείµενες είναι αληθείς και τα βήµατα του συλλογισµού είναι τα ενδεδειγµένα Το συµπέρασµα δεν επικυρώνεται εµπειρικά αλλά εξαρτάται µόνο από τις προκείµενες και το συλλογισµό

11 Παραγωγικός συλλογισµός Ένα παράδειγµα παραγωγικού συλλογισµού είναι ο κατηγορηµατικός συλλογισµός. Οι κατηγορικές προτάσεις: Όλα τα Α είναι Β: Γενική καταφατική Κανένα Α δεν είναι Β: Γενική αποφατική Μερικά Α είναι Β: Μερική καταφατική Μερικά Α δεν είναι Β: Μερική αποφατική Κανόνες συλλογισµού: α=>β, Αν α τότε β (Modus Ponens) Όχι β τότε όχι α (Modus Tollens) Θεωρείται ο πιο έγκυρος συλλογισµός καθώς δεν επηρεάζεται από εµπειρικά δεδοµένα.

12 Επαγωγικός Συλλογισµός

13 Επαγωγικός Συλλογισµός Ο επαγωγικός συλλογισµός ξεκινά από το ειδικό και το συγκεκριµένο και καταλήγει στο γενικό και το αφηρηµένο. Όταν το αντικείµενο Α δεν στηρίζεται πέφτει Όταν το αντικείµενο Β δεν στηρίζεται πέφτει Όταν το αντικείµενο Γ δεν στηρίζεται πέφτει... Άρα τα αντικείµενα που δε στηρίζονται πέφτουν

14 Επαγωγικός Συλλογισµός Το συµπέρασµα αποτελεί γενίκευση (αφαίρεση) από µια σειρά δεδοµένων από το ειδικό στο γενικό Είναι ατελής συλλογισµός καθώς το συµπέρασµα δεν αποτελεί λογική αναγκαιότητα Βάση του επιστηµονικού τρόπου σκέψης και της επιστηµονικής ανακάλυψης (βλ. Λογικό θετικισµό) Βάση για την έκφραση θεωριών...αλλά, τα συµπεράσµατά του αντανακλούν βαθµούς πιθανότητας (πιθανά, ίσως,...σχεδόν σίγουρα) π.χ., όλοι οι κύκνοι είναι λευκοί

15 Η γαλοπούλα του Russell Bertrand Russell's Inductivist Turkey ``The turkey found that, on his first morning at the turkey farm, that he was fed at 9 a.m. Being a good inductivist turkey he did not jump to conclusions. He waited until he collected a large number of observations that he was fed at 9 a.m. and made these observations under a wide range of circumstances, on Wednesdays, on Thursdays, on cold days, on warm days. Each day he added another observation statement to his list. Finally he was satisfied that he had collected a number of observation statements to inductively infer that ``I am always fed at 9 a.m.''. However on the morning of Christmas eve he was not fed but instead had his throat cut.''

16 συλλογισµός µε χρήση αναλογίας

17 Συλλογισµός µε αναλογία Είδος επαγωγικού συλλογισµού Οπότε: Είναι ατελής συλλογισµός καθώς το συµπέρασµα δεν αποτελεί λογική αναγκαιότητα συµπεράσµατά του δεν αντανακλούν βαθµούς πιθανότητας (πιθανά, ίσως,...σχεδόν σίγουρα) Ο συλλογισµός µε βάση την αναλογία λαµβάνει υπόψη το γεγονός ότι δύο ή περισσότερα πράγµατα είναι παρόµοια σε ορισµένα σηµεία και καταλήγει στο συµπέρασµα ότι είναι πιθανόν να είναι επίσης παρόµοια και σε κάποια ακόµη σηµεία Σε µια στενότερη έννοια, το «κατ αναλογία συµπέρασµα» είναι ένα επιχείρηµα από ένα συγκεκριµένο σε ένα άλλο συγκεκριµένο, σε αντίθεση µε την αφαίρεση, την επαγωγή και την απαγωγή, όπου τουλάχιστον µία από τις προκείµενες ή το συµπέρασµα είναι γενική.

18 η αναλογία του σύµπαντος µε µπαλόνι

19 Συλλογισµός µε αναλογία Η Αναλογία παίζει σηµαντικό ρόλο στην επίλυση προβλήµατος, λήψη αποφάσεων, την αντίληψη, τη µνήµη, τη δηµιουργικότητα, το συναίσθηµα, την επεξήγηση και την επικοινωνία. Βρίσκεται πίσω από βασικές νοητικές διεργασίες, όπως την αναγνώριση αντικειµένων τόπων ή και ανθρώπων, για παράδειγµα, στην αναγνώριση προσώπων. Έχει υποστηριχθεί ότι η αναλογία είναι «ο πυρήνας της γνώσης». βλ. «Εύρηκα!!!» του Αρχιµήδη

20 είδη οµοιοτήτων Η αναλογία αποτελεί µία σχέση οµοιότητας Είδη οµοιοτήτων: Κυριολεξία: το µανταρίνι είναι σαν το πορτοκάλι Μεταφορά: Η ζωή είναι σαν ένα κουτί από σοκολατάκια Αναλογία: Το Άµστερνταµ είναι η Βενετία του Βορρά Ανωµαλία: Το Άµστερνταµ είναι σαν το πορτοκάλι

21 Αναλογίες vs Μεταφορές Ενώ οι παροµοιώσεις και οι µεταφορές συγκρίνουν πράγµατα που είναι στην ουσία εντελώς διαφορετικά αλλά έχουν µία οµοιότητα, στις αναλογίες συγκρίνονται πράγµατα που είναι όµοια ως προς όλα τα ουσιώδη σηµεία (σε θεµελιώδη δοµικά ή διαδικαστικά χαρακτηριστικά) ώστε στη συνέχεια να ισχυριστεί κανείς ότι µοιάζουν και ως προς ένα ακόµα χαρακτηριστικό. Μεταφορά: η ζωή είναι σαν ένα κουτί από σοκολατάκια...ποτέ δεν ξέρεις τι θα σου τύχει Αναλογία: η Γη είναι σαν µπάλα

22 βασικά είδη αναλογιών Δοµικές βασίζεται σε οµοιότητες ως προς την εµφάνιση ή τη δοµή π.χ., η Γη είναι σαν πορτοκάλι, στρόγγυλη, έχει φλοιό, κτλ. Διαδικαστικές βασίζεται σε οµοιότητες ως προς τη λειτουργία π.χ., ο νους λειτουργεί σαν η/υ, δέχεται πληροφορία, την επεξεργάζεται & βγάζει συµπεράσµατα Δοµικές & Διαδικαστικές π.χ., το ηλεκτρικό κύκλωµα ~ υδραυλικό σύστηµα: η µπαταρία ~δεξαµενή & τα καλώδια ~ σωλήνες ύδρευσης

23 ο αναλλογικός συλλογισµός Στα αρχαία ελληνικά η λέξη αναλογία σήµαινε αρχικά την αναλογικότητα, µε τη µαθηµατική έννοια του όρου (π.χ., διπλάσιο), και µερικές φορές µεταφράζεται στα Λατινικά ως proportio. Από εκεί ο αναλογικός συλλογισµός έγινε κατανοητός ως η σχέση ανάµεσα σε οποιοδήποτε ζεύγος πραγµάτων, είτε είναι µαθηµατικής φύσεως είτε όχι.

24 χρήση της αναλογίας Αναλογικές σχέσεις Στα µαθηµατικά: το 5 για το 10 είναι ότι το 10 για το... (x). (το 20 (γιατί η σχέσξ είναι το διπλάσιο) To πάνω είναι για το κάτω ότι το δεξιά για το...; (αριστερά γιατί η σχέση είναι: το αντίθετο) 1 ο Βήµα αναγνώριση της αναλογίας - χαρτογράφηση (mapping): να καταλάβεις τη σχέση που περιγράφεται 2 ο Βήµα µεταφορά (transfer): να µεταφέρεις χαρακτηριστικά από την πηγή στο στόχο 3 ο Βήµα: αξιολόγηση στοχασµός επί της λύσης που προέκυψε

25 Κεφάλι Μάτι Κερατοειδής Στόµα Στοµάχι Έντερο Πρωκτός Σκελετός Καρδιά Πόδι Γούνα Γάτα Αυτοκίνητο Ουρανός Προβολείς Γλυαλί προβολέα Στόµιο βενζίνης Ντεπόζιτο Θάλαµος καύσης Εξάτµιση Σασί Μηχανή Τροχός Βαφή

26 παράγοντες που ενισχύουν την αναλογία ο τοµέας βάσης να είναι όσο το δυνατόν πιο οικείος να γίνει καλή χαρτογράφηση των οµοιοτήτων το πλαίσιο όπου χρησιµοποιείται η αναλογία να είναι το κατάλληλο

27 δυσκολίες κατανόησης αναλογίας µη οικείος τοµέας βάσης δυσκολία µεταφοράς της γνώσης από τον τοµέα βάσης στον τοµέα στόχο η αναπαράσταση του προβλήµατος δεν έχει γίνει στη βάση των θεµελιωδών του χαρακτηριστικών αλλά των επιφανειακών

28 Μοντέλο προώθησης δηµιουργικότητας Gordon Δηµιουργικότητα Μπορεί να είναι συνειδητή διαδικασία Έχει έντονη συναισθηµατική βάση - εφευρετικότητα Ο άλογος χαρακτήρας του συναισθήµατος πρέπει να ελέγχεται συνειδητά Μάθηση µε αναλογίες (Analogical reasoning) & συγκρίσεις Ευθείες- άµεσες: σύγκριση προσώπων, γεγονότων, καταστάσεων Προσωπικές: ταύτιση µε κάτι άλλο, κάποιον άλλο µε στόχο την κατανόηση της θέσης του Αντιφατικές: εκφράζεται µε αντιθετικές σχέσεις που δίνουν πληροφορία, π.χ., «η καταστροφή είναι δηµιουργία»

29 αναλογία: ο δάσκαλος είναι ηθοποιός/performer

30 Μάθηση µε αναλογία Στρατηγική δηµιουργίας νέου αντικειµένου Κατανόηση νέας πληροφορίας µέσα από αναλογία µε κάτι ήδη γνωστό Φάση Α : Εισαγωγή στη νέα γνώση Φάση Β : Παρουσίαση άµεσης αναλογίας Φάση Γ : Προσωποποίηση της αναλογίας Φάση Δ : Σύγκριση, οµοιότητες διαφορές Φάση Ε : Επανεξέταση αρχικού θέµατος Φάση Στ : Νέες άµεσες αναλογίες Φάση Ζ : Αξιολόγηση

31 Μοντέλο προώθησης δηµιουργικότητας Gordon Στρατηγική δηµιουργίας νέου αντικειµένου Χρήση παλιών εργαλείων, γνώσεων εµπειριών για τη δηµιουργία νέας γνώσης µε νέες προοπτικές Φάση Α : Περιγραφή κατάστασης- Παρουσίαση θέµατος Περιγραφή ενός θέµατος, σηµείωση των όρων που χρησιµοποιήθηκαν Φάση Β : Εύρεση άµεσων αναλογιών Δηµιουργία αναλογιών µε βάση τους προηγούµενους όρους - Επιλογή µιας αναλογία για περαιτέρω επεξεργασία Φάση Γ : Δηµιουργία προσωπικής αναλογίας Οι µαθητές προσοµοιώνουν τους εαυτούς τους ως κοµµάτι της αναλογίας Φάση Δ : Εντοπισµός αντιφατικών αναλογιών Αναπτύσσονται αντιφατικές συνδέσεις ανάµεσα στις αναλογίες επιλέγεται µια από αυτές Φάση Ε : Δηµιουργία νέας άµεσης αναλογίας Φάση Στ : Επανεξέταση της αρχικής κατάστασης µέσα από την αναλογία που προέκυψε Φάση Ζ : Αξιολόγηση

32 Μάθηση µε αναλογία Αυξηµένη συµµετοχή καλών και κακών µαθητών Ικανοποίηση από τη συµµετοχή Κίνητρα Κοινωνικοποίηση- συνεργασία Μαθητοκεντρικό Κατάκτηση της γνώσης γνώση µε νόηµα Ευέλικτο µοντέλο, αυτοσχεδιασµός Μειωµένο κόστος, εύκολο στην εφαρµογή Ανεξάρτητα ηλικίας, τάξης, φύλο, κτλ.

33 παραδείγµατα αναλογίας

34 Ένα πρόβληµα αναλογίας To πρόβληµα της ακτινοβολίας, (Duncker, 1945) Ένας γιατρός προσπαθεί να καταστρέψει έναν κακοήθη όγκο µε ακτινοβολία. Αν ο γιατρός χρησιµοποιήσει ισχυρή ακτινοβολία, τότε ο όγκος θα καταστραφεί, αλλά θα καταστραφεί και ο υγιής ιστός που περιβάλλει τον όγκο Αν ο γιατρός χρησιµοποιήσει ασθενή ακτινοβολία, τότε ο υγιής ιστός θα διασωθεί, αλλά ο όγκος θα επιβιώσει Η λύση της σύγκλισης ασθενών ακτίνων: Ο γιατρός στοχεύει τον όγκο µε ασθενείς ακτίνες, από πολλές διαφορετικές διευθύνσεις. Οι ασθενείς ακτίνες συγκλίνουν στον όγκο, η συνολική τους ισχύς αθροίζεται και τελικά καταστρέφει τον όγκο, ενώ ο υγιής ιστός δεν επηρεάζεται (Ποσοστό επιτυχίας 10%)

35 Το ανάλογο πρόβληµα Ένας στρατηγός επιτίθεται µε το στρατό του σε ένα οχυρό. Ο στρατηγός δεν µπορεί να χρησιµοποιήσει όλο το στρατό του για επιτεθεί από µια µεριά στο οχυρό, γιατί οι δρόµοι που οδηγούν σε αυτό έχουν νάρκες που ενεργοποιούνται όταν µια µεγάλη οµάδα στρατιωτών δοκιµάσει να περάσει από το δρόµο. Η λύση των µικρών οµάδων: Ο στρατηγός χωρίζει το στρατό του σε µικρές οµάδες και επιτίθεται στο οχυρό από πολλούς διαφορετικούς δρόµους.

36

37

38

39

40

41 Πώς χρησιµοποιείται η αναλογία; Λίγοι από τους συµµετέχοντες παρατηρούσαν και χρησιµοποιούσαν την αναλογία Όταν δίνονταν η οδηγία ότι τα δύο προβλήµατα είναι ανάλογα, 80% έλυναν το πρόβληµα του ογκολόγου (βλ. Gick and Holyoak, 1983). Συµπεράσµατα Οµοιότης επί επιφανειακών χαρακτηριστικών συχνά δηµιουργεί την εντύπωση αναλογίας ανάµεσα σε καταστάσεις Επίσης, αν δύο ανάλογες καταστάσεις διαφέρουν ως προς τα επιφανειακά χαρακτηριστικά ή/και από σηµιολογικής άποψης, συχνά η αναλογία δεν γίνεται αντιληπτή Η αναλογία γίνεται πιο εύκολα αντιληπτή όταν υποστηρίζεται από προφανείς οµοιότητες ανάµεσα στον τοµέα-βάσης και τον τοµές-στόχο

42 µαθηµατικές αναλογίες

43 43

44

45 λόγος/αναλογία 6:9::10:15 «το σύστηµα των δύο αριθµών 6 και 9 είναι ανάλογο µε το σύστηµα των αριθµών 10 και 15, από τη στιγµή που τα δύο συστήµατα συµφωνούν ως προς το λόγο των αντίστοιχων όρων». Polya (1954)

46 Το γραµµικό πολ/κό µοντέλο Γραµµικές σχέσεις σχέσεις λόγου ή αναλογίας ο σταθερός ρυθµός αλλαγής µιας µεταβλητής συνδέεται µε έναν σταθερό ρυθµό αλλαγής µιας άλλης µεταβλητής. π.χ., Ένα κουτί έχει 8 µπισκότα. Πόσα µπισκότα θα περιέχει η συσκευασία των 3 κουτιών;

47 αλλά... Ένα πουκάµισο στεγνώνει σε 25 λεπτά αν εκτεθεί στον ήλιο. Σε πόσα λεπτά θα στεγνώσουν 3 ίδια πουκάµισα αν εκτεθούν σε ακριβώς ανάλογες συνθήκες µε το πρώτο;

48 Ανάλογες/µη-ανάλογες σχέσεις Αναλογική σχέση Χρειάζεστε περίπου 6 ώρες για να πλεύσετε γύρω από ένα κυκλικό νησί µε διάµετρο 70χλµ. Πόσες ώρες θα χρειαστείτε για να πλεύσετε (µε την ίδια ταχύτητα) γύρω από ένα κυκλικό νησί µε διάµετρο 140χλµ; (Απ. 12 ώρες) Μη αναλογική σχέση Χρειάζεστε περίπου 400 γραµµάρια σπόρου λουλουδιών για ένα κυκλικό παρτέρι µε διάµετρο 10µ. Πόσα γραµµάρια σπόρου θα χρειαζόσασταν για ένα κυκλικό παρτέρι µε διάµετρο 20µ; (Απ γραµµάρια)

49 Ανάλογες/µη-ανάλογες σχέσεις Αναλογική σχέση Στον χάρτη της Ελλάδας η απόσταση Πάτρας -Ζακύνθου είναι περίπου 5εκ. και η απόσταση Πάτρας-Κέρκυρας περίπου 11εκ. Σε έναν άλλο χάρτη της Ελλάδας η απόσταση Πάτρας-Ζακύνθου είναι περίπου 20εκ. Πόσο µεγάλη είναι η απόσταση Πάτρας Κέρκυρας σε αυτό το χάρτη; (Απ. 44 εκ) Μη αναλογική σχέση Σε ένα χάρτη της Ελλάδας η απόσταση Πάτρας-Αθήνας είναι 2εκ και το εµβαδόν της Ελλάδας είναι 250 τ.εκ. Σε άλλο χάρτη η απόσταση Αθήνας-Πατρας είναι 6εκ. Πόσο είναι το εµβαδόν της Ελλάδας σε αυτόν τον άλλο χάρτη; (Απ τ.εκ)

50 Ανάλογες/µη-ανάλογες σχέσεις

51 Ανάλογες/µη-ανάλογες σχέσεις

52 Ανάλογες/µη-ανάλογες σχέσεις

53 Ανάλογες/µη-ανάλογες σχέσεις Μοδέστου, Σ, Μ.(2007)

54

55 Ερµηνείες/τρόποι αντιµετώπισης Ερµηνείες Προϋπάρχουσα γνώση µε γενικευµένη χρήση γραµµικών προβληµάτων Η γραµµική σχέση είναι έντονα επιβεβαιωµένη από την καθηµερινή µαθηµατική πρακτική Τρόποι αντιµετώπισης Γνωστική σύγκρουση (βλ. µάθηση µε εννοιολογική αλλαγή) Αναπαράσταση-µοντελλοποίηση του προβλήµατος Μεταγνωστική επίγνωση

56 Αναλογίες: γεφυρώνοντας Υποθετικό παράδειγµα γεφύρωσης

57 Αναλογίες: γεφυρώνοντας Υποθετικό παράδειγµα γεφύρωσης

58 where mathematics come from? Lakoff & Nunez οι µεταφορές και η οντολογία των µαθηµατικών

59 Eννοιολογικές µεταφορές κατά Lakoff & Nunez πως καταλαβαίνουµε αφηρηµένες έννοιες όπως το Ευκλείδειο σηµείο; Στο µεγαλύτερο µέρος, οι άνθρωποι νοηµατοδοτούν τις αφηρηµένες έννοιες µε συγκεκριµένους όρους, χρησιµοποιώντας ιδέες και τρόπους συλλογισµού βασισµένες στο αισθησιοκινητικό τους σύστηµα. Ο µηχανισµός µε τη βοήθεια του οποίου το αφηρηµένο γίνεται κατανοητό µε συγκεκριµένους όρους λέγεται εννοιολογική µεταφορά. Τα µαθηµατικά χρησιµοποιούν εννοιολογικές µεταφορές. Για παράδειγµα, µέσω εννοιολογικής µεταφοράς οι αφηρηµένοι αριθµοί αντιστοιχίζονται στα σηµεία µιας ευθείας

60 Eννοιολογικές µεταφορές κατά Lakoff & Nunez οι Lakoff & Nunez πρότειναν ότι αυτές οι εξιδανικευµένες αφηρηµένες τεχνικές οντότητες στα Μαθηµατικά δηµιουργούνται από την ανθρώπινη φαντασία, µέσω µιας πολύ συγκεκριµένης χρήσης γνωστικών µηχανισµών που στηρίζονται στην καθηµερινή σωµατική εµπειρία, όπως οι: εννοιολογικές µεταφορές (Ε.Μ) οι εννοιολογικοί συνδυασµοί (blend), αναλογικοί συλλογισµοί, πλασµατική κίνηση, σχήµατα (aspectual) του τρόπου

61 Eννοιολογικές µεταφορές κατά Lakoff & Nunez Οι Lakoff και Núñez (2000) τονίζουν ότι καθώς οι εννοιολογικές µεταφορές διατηρούν τη συµπερασµατική δοµή τους, η κατανόηση της αριθµητικής συνίσταται στην προηγούµενη κατανόηση καθηµερινών κοινότοπων φυσικών δραστηριοτήτων, όπως: απαρίθµηση - µέτρηση Πρόσθεση κι αφαίρεση µικρών ποσοτήτων Συλλογή αντικειµένων σε οµάδες ή στοίβες Χειρισµός αντικειµένων (περιστροφή, επιµήκυνση, διάσπαση σύνθεση) Βηµατισµός Κίνηση Επαναλαµβανόµενες ενέργειες

62 Eννοιολογικές µεταφορές κατά Lakoff & Nunez δοµή της κάθε εννοιολογικής µεταφοράς: είναι µια αντιστοίχιση (mapping) οντοτήτων από ένα γνωστικό «πεδίο πηγή» (source domain) σε αντίστοιχες οντότητες σε ένα άλλο γνωστικό «πεδίο στόχος» (target domain) π.χ. µεταφοράς: οι αριθµοί είναι συλλογές αντικειµένων ή οι αριθµοί είναι σηµεία σε ευθεία, ή κίνηση σε άξονα π.χ.: το 0 µπορεί να είναι είτε ένα σηµείο σε µια γραµµή ή το κενό σύνολο, και τα δυο ή τίποτα από τα δυο, και κάθε απόφαση είναι θέµα επιλογής της κατάλληλης εννοιολογικής µεταφοράς. τα σύνολα είναι δοχεία

63 µεταφορές των µαθηµατικών στην καθηµερινή γλώσσα κατά Lakoff & Nunez Η µεταφορά Οι ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΝΑΙ ΣΑΝ ΣΥΛΛΟΓΕΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ συναντάται σε εκφράσεις της καθηµερινής ζωής π.χ., «πρόσθεσε κρεµµύδι στη σούπα», «βγάλε τα βιβλία από το χαρτόκουτο» για την πράξη της πρόσθεσης κι αφαίρεσης αντίστοιχα. Η µεταφορά ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΕΙΝΑΙ ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΤΡΟΧΙΑ συναντάται σε εκφράσεις της καθηµερινής ζωής: «το 3 είναι µακριά από το 77» «µέτρα µέχρι το 1123 αρχίζοντας από το 11, το x τείνει στο µηδέν

64 µεταφορές των µαθηµατικών κατά Lakoff & Nunez Η µεταφορά της ΡΑΒΔΟΥ που αποτελείται από τµήµατα που ενώννονται για να σχηµατίσουν µεγαλύτερα µέρη. Έτσι, υπάρχουν και µέρη σώµατος που µπορούν να επιτελέσουν αυτή τη λειτουργία όπως για παράδειγµα η µέτρηση ενός µήκους µε µονάδα το µήκος του ποδιού, ο δείκτης του χεριού, ο βραχίονας κλπ Η µεταφορά Η ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΙΝΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ συναντάται στο Λατινικό Σύστηµα Αρίθµησης όπου για παράδειγµα προσθέτω ένα αριθµητικό µέρος στο VI για να πάρω το VII. ο αριθµός ως µέγεθος (βλ. κλάσµα µέρος όλου) ο αριθµός ως ποσότητα

65 µεταφορές των µαθηµατικών στην καθηµερινή γλώσσα κατά Lakoff & Nunez Η αναπαράσταση των αριθµών µε την αριθµογραµµή, µε το µοντέλου του θερµοµέτρου, ή µε ένα ασανσέρ που ανεβοκατεβαίνει τους ορόφους, είναι διαφορετικοί τρόποι αναπαράστασής τους κάνοντας χρήση της εννοιολογικής µεταφοράς ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΤΑ ΜΗΚΟΣ ΤΟΥ ΜΟΝΟΠΑΤΙΟΥ

66 µεταφορά και πράξεις Ένας µαθητής ανέφερε για την πράξη -5+8: «το 5 είναι πέντε τρύπες», και τις ζωγράφισε στο χαρτί του, «και το 8 είναι οκτώ βόλοι», ζωγράφισε 8 κουκίδες για βόλους «κι έτσι οι πέντε τρύπες καταπίνουν πέντε από τους βόλους κι έτσι αποµένουν τρείς βόλοι κι άρα η απάντηση είναι συν τρία»

67 µοντέλα αναλογίας στη διδασκαλία των µαθηµατικών και µεταφορές άλλα παραδείγµατα

68 η αναλογία της συνάρτησης ως µηχανή η συνάρτηση είναι µια µηχανή που παίρνει πρώτη ύλη x και το µετατρέπει σε κάτι άλλο, π.χ., 2x frames_asid_191_g_3_t_1.html

69 η αναλογία της συνάρτησης ως µηχανή η σύνθετη συνάρτηση δύο µηχανές όπου η δεύτερη µετατρέπει τα αποτελέσµατα της πρώτης

70 αναλογία στη µεταβλητή διανοµέας/πουρµπουάρ: «όποιος κι αν είναι ο διανοµέας, δώστου πουρµπουάρ 1e» = όποια κι είναι η µεταβλητή θα πάρει τη συγκεκριµένη τιµή Ρόλοι/ηθοποιοί: οι µεταβλητές είναι οι ηθοποιοί που µετέχουν στην παράσταση που «ανεβαίνει» στην σκηνή του θεάτρου

71 η εξίσωση ως ζυγαριά ή τραµπάλα ό,τι πράξη κάνω στο πρώτο µέλος πρέπει να την κάνω και στο δεύτερο ΌΜΩΣ: δεν λειτουργεί για αρνητική λύση της εξίσωσης ActivityDetail.aspx?ID=10

72 το µοντέλο της αριθµογραµµής οι αρνητικοί αριθµοί και οι πράξεις ως αλλαγή θερµοκρασίας ή ασανσέρ

73 κι άλλες µεταφορές στις πράξεις µε αριθµούς οι θετικοί αριθµοί είναι έσοδα και οι αρνητικοί έξοδα/χρέη η συνάρτηση είναι η διαδροµή που κάνει κάποιος και που εξαρτάται από τις διαδροµές δύο άλλων ταξιδιωτών υποστηρίζει τη γραφική παράσταση στο καρτεσιανό σύστηµα

74 το µοντέλο των παράλληλων ευθειών Στις σκανδιναβικές χώρες π.χ στην Νορβηγία χρησιµοποιούν το παρακάτω ρεαλιστικό µοντέλο για την αισθητοποίηση των παράλληλων ευθειών. Δίνουν την εικόνα του σκιέρ που φορώντας τα χιονοπέδιλά του σκι. Τα χιονοπέδιδα αποτυπώνουν παράλληλες ευθείες καθώς ο σκιέρ διασχίζει τη πίστα. Μοιάζει µάλιστα να προσπαθεί να αποδείξει ότι οι γραµµές αυτές που αποτυπώνονται µπορεί και να συναντηθούν.

75 χωρισµός γνωστών από αγνώστους...σαν αναλογία Σε µια ωραία φυσική τοποθεσία υπήρχε ένα ποτάµι. Στην δυτική και ανατολική πλευρά του ζούσαν κάτι περίεργα πλάσµατα που τα λέγανε γνωστά και άγνωστα. Τα άγνωστα τα καταλάβαινες από µακριά από ένα χαρακτηριστικό σηµάδι στο κούτελό τους. Είχαν το σηµάδι x. Τα γνωστά πάλι ήταν αριθµοί.για πολλούς αιώνες γνωστά και άγνωστα πλάσµατα ζούσαν ειρηνικά και ανάµικτα µεταξύ τους δίπλα - δίπλα. Όταν όµως βασιλιάς τους έγινε ο Χωριστέας ο Α ( όχι ο Χαριστέας ), έβγαλε µια αλλόκοτη απόφαση. Στην δυτική όχθη του ποταµού έπρεπε να ζουν µόνο τα άγνωστα πλάσµατα και στην ανατολική τα γνωστά. Έτσι βάλθηκαν όλοι να µεταφέρονται µε τους µισθωµένους βαρκάρηδες του βασιλιά από τη µια µεριά στην άλλη ή αντίστροφα. Όσοι λοιπόν χρειαζόταν να περάσουν απέναντι πλήρωναν ένα περίεργο εισητήριο. Έπρεπε να δεκτούν να τους αλλάξουν ( όχι τα φώτα ) τα πρόσηµά τους οι µισθωµένοι φοροεισπράκτορες του βασιλιά. Έτσι γιγόταν δεκτοί στη βάρκα και µπάρκαραν για την αντίπερα όχθη κουνώντας το µαντήλι στους προηγούµενους γείτονες.

76 κι άλλα προβλήµατα τέτοιων συλλογισµών

77 προβλήµατα των µεταφορών/αναλογιών στη καθηµερινή χρήση τους παράδειγµα: Πριν από τους εθνοαπελευθερωτικούς αγώνες κάποιοι βασιλόφρονες υποστήριξαν ότι οι αποικίες ήταν σαν τα παιδιά της µητέρας πατρίδας, και ακριβώς όπως τα παιδιά θα πρέπει να παραµείνουν για πάντα πιστά στους γονείς τους, οι αποικίες δεν θα πρέπει να επαναστατήσουν ενάντια στην Αγγλία. Από την άλλη πλευρά, οι επαναστάτες υποστήριξαν ότι οι αποικίες είναι όπως τα φρούτα στα δέντρα, και όταν οι καρποί ωριµάσουν, είναι φυσικό ότι θα πρέπει να πέσουν από το δέντρο.

78 προβλήµατα αυτών των επιχειρηµάτων Σχεδόν οτιδήποτε µπορεί να αποδειχθεί επιλέγοντας προσεκτικά τις συγκρίσεις. Αν θέλουµε να εξιδανικεύσουµε την τρίτη ηλικία µπορούµε να τη συγκρίνουµε µε την ωρίµανση ενός καλού κρασιού ή να πούµε ότι το άτοµο επιτυγχάνει ανώτερη θέση στην κοινότητα, αποκτά υποµονή και σοφία, και απελευθερώνεται από την τυραννία των παθών. Από την άλλη πλευρά, θα µπορούσαµε να δείξουµε τη θλίψη των γηρατειών συγκρίνοντάς την µε ένα σπίτι που είναι ετοιµόρροπο και καταρρέει, ένα θλιβερό ερείπιο που σε τίποτα δε θυµίζει την παλιά του αίγλη και αξιοπρέπεια.

79 προβλήµατα αυτών των επιχειρηµάτων Ο Άγγλος θεολόγος William Paley ( ) παρουσίασε ένα από τα πιο γνωστά επιχειρήµατα αναλογίας στην προσπάθειά του να υποστηρίξει την άποψη του Αγίου Θωµά Ακινάτη ότι ο κόσµος αποτελεί έναν σκόπιµο σχεδιασµό και αυτό αποδεικνύει την ύπαρξη ενός ευφυούς σχεδιαστή, δηλαδή, το Θεό. Ο Paley το έκανε αυτό µε τη σύγκριση του κόσµου µε τον µηχανισµό ενός ρολογιού. Αν ήµασταν σε ένα έρηµο νησί και να βρίσκαµε ένα ρολόι σε τέλεια κατάσταση και να δουλεύει, θα υποθέταµε ότι ένας ωρολογοποιός είχε φτιάξει αυτό το ρολόι. Το να υποστηρίξει κανείς ότι όλα του τα τµήµατα εννώθηκαν τυχαία και σχηµάτισαν αυτό τον πολύπλοκο µηχανισµό φαίνεται απίθανο. Με τον ίδιο τρόπο, είναι µάλλον απίθανο ότι ο κόσµος αυτός µπορεί και να προέκυψε από µια µεγάλη έκρηξη όπως το big bang.

80 προβλήµατα αυτών των επιχειρηµάτων Ωστόσο, θα µπορούσαµε επίσης να συγκρίνουµε τον κόσµο µε έναν οργανισµό, και όχι ένα µηχανισµό, που έχει βιολογικά µέρη και που µπορεί να νοσήσει. Με τα συστήµατα, τα ζωτικά όργανα, και τα άκρα που αναπτύσσονται και εκφυλίζονται. Και µε ύλη και ενέργεια κάπου στο κέντρο, όχι µυαλό ή πνεύµα. Ένας τέτοιος πολύπλοκος µηχανισµός µπορεί και να προκύψει όχι από ευφυή σχεδιασµό αλλά από διαδικασίες όπως της φυσικής επιλογής βλ. The blind watchmaker (Richard Dawkins)

81 τα προβλήµατα στις αποδόσεις µεταφορών Οι µεταφορές για τη νόσο: η φυµατίωση και οι µεταφορές της ο καρκίνος, το σώµα και ο πόλεµος η διαχείριση της νόσου οι Εβραίοι και τα καρκινώµατα βλ. «Η νόσος ως µεταφορά. Το AIDS και οι µεταφορές του» Σούζαν Σόντακ, Ύψιλον, 2006

82 Κουλέτση Ε (2010). Οι Εννοιολογικές Μεταφορές και η Χρήση τους από τους Καθηγητές στη διδασκαλία των Μαθηµατικών. Αδηµοσίευτη διπλωµατική εργασία. Διαπανεπιστηµιακό Διατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών Διδακτική και µεθοδολογία των Μαθηµατικών», Πανεπιστήµιο Αθηνών Lakoff, G., & Núñez, R. (2000). Where Mathematics Comes From? how the embodied mind brings mathematics into being, Basic Books. Vosniadou, S. & Ortony, A. (Eds.) (1989) Similarity and Analogical Reasoning, New York: NY: Cambridge University Press. Μοδέστου, Σ, Μ.(2007) Μαθηµατική αναλογική σκέψη στο Δηµοτικό και Γυµνάσιο: Ένα πολυδιάστατο γνωστικό και µεταγνωστικό µοντέλο, Προβλήµατα Μάθησης Των Μαθηµατικών Κατά τη Μετάβαση από το Δηµοτικό στο Γυµνάσιο, ,

Παραγωγικός συλλογισµός

Παραγωγικός συλλογισµός ΑναλογικήΣκέψη Στέλλα Βοσνιάδου Πανεπιστήµιο Αθηνών Παραγωγικός συλλογισµός Οι παραγωγικοί συλλογισµοί αρχίζουν από µια γενική πρόταση που θεωρείται ή υποτίθεται αληθής και µε την επικουρία ενός ακόµη

Διαβάστε περισσότερα

Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 1 Κριτήρια: Διδακτική διαδικασία Μαθητοκεντρικά Δασκαλοκεντρικά Αλληλεπίδρασης διδάσκοντα διδασκόµενου Είδος δεξιοτήτων που θέλουν να αναπτύξουν Επεξεργασίας Πληροφοριών Οργάνωση-ανάλυση πληροφοριών, λύση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΕΨΗ 30/11/2001. Εισαγωγή στην Ψυχολογία Σκέψη Στέλλα Βοσνιάδου

ΣΚΕΨΗ 30/11/2001. Εισαγωγή στην Ψυχολογία Σκέψη Στέλλα Βοσνιάδου ΣΚΕΨΗ Έννοιες Κλασσική θεωρία: αναγκαία και επαρκεί καθοριστικά γνωρίσµατα Θεωρία των προτύπων: Rosch Medin & Murphy Barsalou Αριθµός µετασχηµατισµών από το πρότυπο Η αναγνώριση των γεωµετρικών σχηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ (ΨΧ 00) Πέτρος Ρούσσος ΔΙΑΛΕΞΗ 5 Έννοιες και Κλασική Θεωρία Εννοιών Έννοιες : Θεμελιώδη στοιχεία από τα οποία αποτελείται το γνωστικό σύστημα Κλασική θεωρία [ή θεωρία καθοριστικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ

5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ 5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ 5.4.1. Αποτελέσματα από το πρόγραμμα εξ αποστάσεως επιμόρφωσης δασκάλων και πειραματικής εφαρμογής των νοερών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΟΠΟΙ ΠΕΙΘΟΥΣ. Επίκληση στη λογική Επίκληση στο συναίσθημα Επίκληση στο ήθος

ΤΡΟΠΟΙ ΠΕΙΘΟΥΣ. Επίκληση στη λογική Επίκληση στο συναίσθημα Επίκληση στο ήθος ΤΡΟΠΟΙ ΠΕΙΘΟΥΣ Επίκληση στη λογική Επίκληση στο συναίσθημα Επίκληση στο ήθος ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΕΚΜΗΡΙΑ (ΜΕΣΑ ΠΕΙΘΟΥΣ ΕΠΙΚΛΗΣΗ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ) Όταν θέλουμε να πείσουμε με λογικές αποδείξεις, τότε χρησιμοποιούμε:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατική. Μοντελοποίηση

Μαθηµατική. Μοντελοποίηση Μαθηµατική Μοντελοποίηση Μοντελοποίηση Απαιτητική οικονοµία και αγορά εργασίας Σύνθετες και περίπλοκες προβληµατικές καταστάσεις Μαθηµατικές και τεχνολογικές δεξιότητες Επίλυση σύνθετων προβληµάτων Μαθηµατικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού στην προσχολική ηλικία

Εισαγωγή στην ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού στην προσχολική ηλικία Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Εισαγωγή στην ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού στην προσχολική ηλικία Ενότητα 1: Εισαγωγή Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών ένα απλό πρόβλημα Η οικογένεια

Διαβάστε περισσότερα

Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών).

Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών). Μάθημα 5ο Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών). Ο δεύτερος ηλικιακός κύκλος περιλαμβάνει την ηλικιακή περίοδο

Διαβάστε περισσότερα

Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο. Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος

Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο. Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Γενικός τίτλος «Ένας μαγικός αλλά άγνωστος κόσμος» Ένας μαγικός αλλά

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστική Ψυχολογία 3

Γνωστική Ψυχολογία 3 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Γνωστική Ψυχολογία 3 Ενότητα #10: Αναπαραστάσεις Διδάσκων: Οικονόμου Ηλίας ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι μαθηματικές έννοιες και γενικότερα οι μαθηματικές διαδικασίες είναι αφηρημένες και, αρκετές φορές, ιδιαίτερα πολύπλοκες. Η κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΊΕς ΜΆΘΗΣΗς ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ

ΘΕΩΡΊΕς ΜΆΘΗΣΗς ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ΘΕΩΡΊΕς ΜΆΘΗΣΗς ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ΔΟΜΕΣ Δομή Ομάδας Σύνολο Α και μια πράξη η πράξη είναι κλειστή ισχύει η προσεταιριστική ιδότητα υπάρχει ουδέτερο στοιχείο υπάρχει αντίστροφο στοιχείο ισχύει η αντιμεταθετική

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογική συλλογιστική: Η σκέψη βασισμένη σε αναλογίες, μοντέλα και παραδείγματα

Αναλογική συλλογιστική: Η σκέψη βασισμένη σε αναλογίες, μοντέλα και παραδείγματα 5 Γνωστική Ψυχολογία ΙΙ (ΨΧ 05) Αναλογική συλλογιστική: Η σκέψη βασισμένη σε αναλογίες, μοντέλα και παραδείγματα Αναλογική σκέψη «Η Η αναλογία διεισδύει δύ σε ολόκληρη λ τη σκέψη μας» (Polya, 1957) Χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ

Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Ομάδα Γ Βότσης Ευστάθιος Γιαζιτσής Παντελής Σπαής Αλέξανδρος Τάτσης Γεώργιος Προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι αρχάριοι προγραμματιστές Εισαγωγή Προβλήματα Δυσκολίες Διδακτικό

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Προλογικό Σημείωμα 9

Περιεχόμενα. Προλογικό Σημείωμα 9 Περιεχόμενα Προλογικό Σημείωμα 9 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.1. Εισαγωγή 14 1.2 Τα βασικά δεδομένα των Μαθηματικών και οι γνωστικές απαιτήσεις της κατανόησης, απομνημόνευσης και λειτουργικής χρήσης τους 17 1.2.1. Η

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Γιατί η Ρομποτική στην Εκπαίδευση; A) Τα παιδιά όταν σχεδιάζουν, κατασκευάζουν και προγραμματίζουν ρομπότ έχουν την ευκαιρία να μάθουν παίζοντας και να αναπτύξουν δεξιότητες Η

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια 18 ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια χαρακτηριστικά αποδίδουμε σε ένα πρόσωπο το οποίο λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ψυχολογία Ενότητα 13: Σκέψη

Εισαγωγή στην Ψυχολογία Ενότητα 13: Σκέψη Εισαγωγή στην Ψυχολογία Ενότητα 13: Σκέψη Διδάσκουσα: Ειρήνη Σκοπελίτη Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης και της Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Σκοπός ενότητας Εισαγωγή στις βασικές διεργασίες της ανθρώπινης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς,

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη στην πρώτη σχολική περίοδο (Νηπιαγωγείο Δημοτικό) μαρία καλδρυμίδου

άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη στην πρώτη σχολική περίοδο (Νηπιαγωγείο Δημοτικό) μαρία καλδρυμίδου άλγεβρα και αλγεβρική σκέψη στην πρώτη σχολική περίοδο (Νηπιαγωγείο Δημοτικό) μαρία καλδρυμίδου κάποια ερωτήματα τι είναι η άλγεβρα; τι περιλαμβάνει η άλγεβρα; ποια η σχέση της με την αριθμητική; γιατί

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 5: Οι διαδοχικές επεκτάσεις της έννοιας του αριθμού: ακέραιος, κλάσμα, ρητός και πραγματικός αριθμός Δημήτρης Χασάπης

Διαβάστε περισσότερα

Περί της «Αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων»

Περί της «Αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων» Περί της «Αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων» Παρακολουθώ στο δίκτυο τις τελευταίες µέρες να γίνεται συζήτηση για την «Αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων» ή την «επαλληλία εξισώσεων κίνησης». Προσπαθώ στο µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση: Έστω ότι έχουμε τους παίκτες Χ και Υ. Ο κάθε παίκτης, σε κάθε κίνηση που κάνει, προσπαθεί να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να κερδίσει. Ο Χ σε κάθε κίνηση που κάνει

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση 1. Εισαγωγή Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Το εκπαιδευτικό λογισμικό «Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση» δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 5 Μαίου 2012

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 5 Μαίου 2012 ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική 5 Μαίου 2012 Συµπληρώστε τα στοιχεία σας στο παρακάτω πίνακα τώρα Ονοµατεπώνυµο Αρ. Ταυτότητας Username Password Δηµιουργήστε ένα φάκελο στο home directory σας µε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΜΣ «ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ» Παραδείγματα Variation Μεταπτυχιακός Φοιτητής:

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΑΞΟΝΑΣ της ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ στο ψηφιακό μουσικό ανθολόγιο ΕΥΤΕΡΠΗ ΜΑΙΗ ΚΟΚΚΙΔΟΥ

Ο ΑΞΟΝΑΣ της ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ στο ψηφιακό μουσικό ανθολόγιο ΕΥΤΕΡΠΗ ΜΑΙΗ ΚΟΚΚΙΔΟΥ Ο ΑΞΟΝΑΣ της ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ στο ψηφιακό μουσικό ανθολόγιο ΕΥΤΕΡΠΗ ΜΑΙΗ ΚΟΚΚΙΔΟΥ Διαθεματικότητα -Ιδανικό της ολιστικής γνώσης -Διασυνδέσεις με νόημα μεταξύ γνωστικών περιοχών -Μελέτη σύνθετων ερωτημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων

Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων Βασίλης Κόμης, Επίκουρος Καθηγητής Ερευνητική Ομάδα «ΤΠΕ στην Εκπαίδευση» Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης και της

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Ρεαλιστικά Μαθηματικά. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Ρεαλιστικά Μαθηματικά. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Διδακτική Μαθηματικών I Ρεαλιστικά Μαθηματικά Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά Ε. Κολέζα Α. Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας µαθηµατικής ενότητας: Βήµατα για τη συγγραφή του σχεδίου Β. Θεωρητικό υπόβαθρο της διδακτικής πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστική Ανάπτυξη. Ενότητα 12: Επίλυση Προβλημάτων Επιμέρους διαδικασίες

Γνωστική Ανάπτυξη. Ενότητα 12: Επίλυση Προβλημάτων Επιμέρους διαδικασίες Γνωστική Ανάπτυξη Ενότητα 12: Επίλυση Προβλημάτων Επιμέρους διαδικασίες Διδάσκουσα: Ειρήνη Σκοπελίτη Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης και της Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Σκοποί ενότητας Παρουσίαση των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.9 Αναγνωρίζουν και ονομάζουν τους όρους: άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο, μειωτέος, αφαιρετέος, προσθετέος,

Διαβάστε περισσότερα

O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική. Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών

O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική. Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών Η έννοια της δραστηριότητας Δραστηριότητα είναι κάθε ανθρώπινη δράση που έχει ένα κίνητρο και ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου Αθήνα, Φεβρουάριος 2008 ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «Ο ΚΥΚΛΟΣ» Νικόλαος Μπαλκίζας Ιωάννα Κοσμίδου 1.

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ ΝΟΕΡΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΛΟΓΑΡΕΖΩ ΜΕ ΤO TΖΙΜΙΔΙ Μ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Γενικά θεωρητικά θέματα των νοερών υπολογισμών

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ ΝΟΕΡΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΛΟΓΑΡΕΖΩ ΜΕ ΤO TΖΙΜΙΔΙ Μ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Γενικά θεωρητικά θέματα των νοερών υπολογισμών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ ΝΟΕΡΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΛΟΓΑΡΕΖΩ ΜΕ ΤO TΖΙΜΙΔΙ Μ Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Γενικά θεωρητικά θέματα των νοερών υπολογισμών 1.1.: Η θέση των νοερών υπολογισμών στο σύγχρονο διδακτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Φαινόμενα Εμπειρίες φαινομένων Οργάνωση φαινομένων Νοούμενα (πρώτες μαθηματικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηση µε µοντέλα. & εννοιολογικοί χάρτες. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Μάθηση µε µοντέλα. & εννοιολογικοί χάρτες. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Μάθηση µε µοντέλα & εννοιολογικοί χάρτες µοντέλα - ορισµός Ένα επιστηµονικό µοντέλο είναι µια αναπαράσταση ενός συστήµατος. Είναι συµβολικά κατασκευάσµατα που µιµούνται ή αναπαριστούν σε µια ιδεατή µορφή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.9 Αναγνωρίζουν και ονομάζουν τους όρους: άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο, μειωτέος, αφαιρετέος, προσθετέος,

Διαβάστε περισσότερα

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού Νοέμβρης 2012 Χρύσω Αθανασίου (Σύμβουλος Μαθηματικών ) Ελένη Δεληγιάννη (Συγγραφική Ομάδα) Άντρη Μάρκου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Ελένη Μιχαηλίδου (Σύμβουλος Μαθηματικών)

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

THE ROLE OF IMPLICIT MODELS IN SOLVING VERBAL PROBLEMS IN MULTIPLICATION AND DIVISION

THE ROLE OF IMPLICIT MODELS IN SOLVING VERBAL PROBLEMS IN MULTIPLICATION AND DIVISION THE ROLE OF IMPLICIT MODELS IN SOLVING VERBAL PROBLEMS IN MULTIPLICATION AND DIVISION E F R A I M F I S C H B E I N, T E L - A V I V U N I V E R S I T Y M A R I A D E R I, U N I V E R S I T Y O F P I S

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση της διδακτικής πράξης

Αξιολόγηση της διδακτικής πράξης Αξιολόγηση της διδακτικής πράξης 1 } Ορισµός: Απόδοση αξίας Απόδοση προσήµου σε κάτι που αξιολογείται Σύγκρισης δύο πραγµάτων } Αξιολόγηση Αποτίµηση στόχου (σύγκριση του στόχου µε το αποτέλεσµα) Σηµασία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ: «Αριθμοί στην καθημερινή ζωή»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ: «Αριθμοί στην καθημερινή ζωή» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΙ ΘΕΜΑ: «Αριθμοί στην καθημερινή ζωή» Βόκα Δέσποινα & Δούρου

Διαβάστε περισσότερα

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d

Διαβάστε περισσότερα

4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ

4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 4. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Με τις ερωτήσεις του τύπου αυτού καλείται ο εξεταζόµενος να επιλέξει την ορθή απάντηση από περιορισµένο αριθµό προτεινόµενων απαντήσεων ή να συσχετίσει µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση;

Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Ξεκινώντας θα ήθελα να θυµίσω κάποια στοιχεία που σχετίζονται µε τον ορισµό της συχνότητας σε ένα περιοδικό φαινόµενο, άρα και στην ΑΑΤ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Γ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Γ Γυμνασίου» των Δημητρίου Αργυράκη, Παναγιώτη Βουργάνα, Κωνσταντίνου Μεντή, Σταματούλας Τσικοπούλου, Μιχαήλ Χρυσοβέργη, έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Κατηγορίες προβλημάτων - Ρεαλιστικά Μαθηματικά. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Κατηγορίες προβλημάτων - Ρεαλιστικά Μαθηματικά. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Διδακτική Μαθηματικών I Κατηγορίες προβλημάτων - Ρεαλιστικά Μαθηματικά Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση

Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση Ανάλυση των δραστηριοτήτων κατά γνωστική απαίτηση Πέρα όµως από την Γνωσιακή/Εννοιολογική ανάλυση της δοµής και του περιεχοµένου των σχολικών εγχειριδίων των Μαθηµατικών του Δηµοτικού ως προς τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΧΝΕΥΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ (ΑΔΜΕ) ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ. Σ. Παπαϊωάννου, Α. Μουζάκη Γ. Σιδερίδης & Π. Σίμος

ΑΝΙΧΝΕΥΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ (ΑΔΜΕ) ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ. Σ. Παπαϊωάννου, Α. Μουζάκη Γ. Σιδερίδης & Π. Σίμος ΑΝΙΧΝΕΥΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ (ΑΔΜΕ) ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Σ. Παπαϊωάννου, Α. Μουζάκη Γ. Σιδερίδης & Π. Σίμος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αναπόσπαστο μέρος της ανθρώπινης δραστηριότητας Βασικό στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα.

Βοηθήστε τη ΕΗ. Ένα µικρό νησί απέχει 4 χιλιόµετρα από την ακτή και πρόκειται να συνδεθεί µε τον υποσταθµό της ΕΗ που βλέπετε στην παρακάτω εικόνα. Γιώργος Μαντζώλας ΠΕ03 Βοηθήστε τη ΕΗ Η προβληµατική της Εκπαιδευτικής ραστηριότητας Η επίλυση προβλήµατος δεν είναι η άµεση απόκριση σε ένα ερέθισµα, αλλά ένας πολύπλοκος µηχανισµός στον οποίο εµπλέκονται

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών. σύμβολα αριθμών. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου. Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών. σύμβολα αριθμών. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου. Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών σύμβολα αριθμών επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 1 αναπαραστάσεις των αριθμών Εμπράγματες Υλικά αντικείμενα ($$$) Εικονικές (***) Λεκτικές (τρία) Συμβολικές, (3, τρία) Διαφορετικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΧΡΙ ΤΟ

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΧΡΙ ΤΟ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 10 Η ενότητα 7 περιλαμβάνει την ανάλυση και τη σύνθεση των αριθμών μέχρι το 10, στρατηγικές πρόσθεσης/αφαίρεσης και επίλυση προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης. ΔΕΙΚΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝ ΕΣΜΟΛΟΓΙΑ ΑΝΤΙΣΤΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ

ΣΥΝ ΕΣΜΟΛΟΓΙΑ ΑΝΤΙΣΤΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΥΝ ΕΣΜΟΛΟΓΙΑ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ Λογισµικό: PhET ιάρκεια : 2 διδακτικές ώρες Στόχος : Μετρήσεις τάσεων / εντάσεων του ηλεκτρικού ρεύµατος σε κύκλωµα µε παραπάνω από µια αντιστάσεις και εύρεση του

Διαβάστε περισσότερα

EDUP-332 Διδασκαλία των Μαθηματικών στο Νηπιαγωγείο

EDUP-332 Διδασκαλία των Μαθηματικών στο Νηπιαγωγείο EDUP-332 Διδασκαλία των Μαθηματικών στο Νηπιαγωγείο Συνάντηση 2 Βασικές πρωτομαθηματικές δεξιότητες: σύγκριση, σειροθέτηση, εκτίμηση Ο Τζέρεμι και η Τζάκι Ο Τζέρεμι και η αδερφή του η Τζάκι συζητούσαν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ

ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ 176 1 ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΑΠΟ ΤΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Ή ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ; ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=ax+b ΜΕ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Σωτηρόπουλος Παναγιώτης 1 -

Διαβάστε περισσότερα

Κοσμολογία & Αστροσωματιδική Φυσική Μάγδα Λώλα CERN, 28/9/2010

Κοσμολογία & Αστροσωματιδική Φυσική Μάγδα Λώλα CERN, 28/9/2010 Κοσμολογία & Αστροσωματιδική Φυσική Μάγδα Λώλα CERN, 28/9/2010 Η φυσική υψηλών ενεργειών µελετά το µικρόκοσµο, αλλά συνδέεται άµεσα µε το µακρόκοσµο Κοσµολογία - Μελέτη της δηµιουργίας και εξέλιξης του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100

ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.9 Αναγνωρίζουν και ονομάζουν τους όρους: άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο, αφαιρέτης, αφαιρετέος, προσθετέος, διαιρέτης,

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός του μαθήματος των μαθηματικών 3o-4o μάθημα

Σχεδιασμός του μαθήματος των μαθηματικών 3o-4o μάθημα Σχεδιασμός του μαθήματος των μαθηματικών 3o-4o μάθημα Webb s Depth Of Knowledge (DOK) συνθετότητα της δραστηριότητας και των πληροφοριών που περιέχει, οι προηγούμενες γνώσεις των μαθητών για το θέμα που

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο Χρυσή Κ. Καραπαναγιώτη Τμήμα Χημείας Αντικείμενο και Αναγκαιότητα Μετασχηματισμός της φυσικοεπιστημονικής γνώσης στη σχολική της εκδοχή.

Διαβάστε περισσότερα

Η Καινοτοµία στη Διδασκαλία των Μαθηµατικών. Ε. Κολέζα

Η Καινοτοµία στη Διδασκαλία των Μαθηµατικών. Ε. Κολέζα Η Καινοτοµία στη Διδασκαλία των Μαθηµατικών Ε. Κολέζα Κάτω υπό ποιες προϋποθέσεις το σχολείο θα αποτελέσει κέντρο δράσης και δηµιουργικότητας; 1. Εκπαίδευση των µαθητών µέσα από τη δηµιουργία «µαθησιακών

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις και Βασικές Έννοιες των Φυσικών Επιστηµών. Εισαγωγή

Βάσεις και Βασικές Έννοιες των Φυσικών Επιστηµών. Εισαγωγή Βάσεις και Βασικές Έννοιες των Φυσικών Επιστηµών Εισαγωγή Δοµή Μαθήµατος Εισαγωγή Τι είναι Φ.Ε. ερωτήµατα για τον κόσµο (ιδεοθύελλα) Εµπειρίες µε Φ.Ε. Ζωγράφισε ένα επιστήµονα Γιατί είναι σηµαντική η διδασκαλία

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός διαφοροποίησης για την πρωτοβάθµια

Οδηγός διαφοροποίησης για την πρωτοβάθµια Οδηγός διαφοροποίησης για την πρωτοβάθµια Γιατί χρειάζεται να κάνουµε τόσο ειδική διαφοροποίηση; Τα παιδιά που βρίσκονται στο φάσµα του αυτισµού έχουν διαφορετικό τρόπο σκέψης και αντίληψης για τον κόσµο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ1.15 Αναπτύσσουν την έννοια του πολλαπλασιασμού ως αθροιστικής επανάληψης ίσων προσθετέων και διαισθητικά την έννοια της

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα της διάλεξης. ιδασκαλία και µάθηση. Ποιος παίρνει τις αποφάσεις; παραγωγικότητας

Περιεχόµενα της διάλεξης. ιδασκαλία και µάθηση. Ποιος παίρνει τις αποφάσεις; παραγωγικότητας ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ, ΠΘ - ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ Ανάπτυξη της δηµιουργικότητας: Η µέθοδος της αποκλίνουσας παραγωγικότητας ιγγελίδης Νικόλαος Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας ΤΕΦΑΑ, Τρίκαλα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Με τις ερωτήσεις του τύπου αυτού καλείται ο εξεταζόμενος να επιλέξει την ορθή απάντηση από περιορισμένο αριθμό προτεινόμενων απαντήσεων ή να συσχετίσει μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών

Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Αναλυτικό Πρόγραμμα Μαθηματικών Σεπτέμβριος 2013 Συγγραφική ομάδα: Συντονιστές: Επιστημονικός Συνεργάτης: Σύνδεσμος Επιθεωρητής: Eνδοτμηματική Επιτροπή Μαθηματικών: Σύμβουλοι Μαθηματικών:

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική 2. Τεχνητή νοημοσύνη

Πληροφορική 2. Τεχνητή νοημοσύνη Πληροφορική 2 Τεχνητή νοημοσύνη 1 2 Τι είναι τεχνητή νοημοσύνη; Τεχνητή νοημοσύνη (AI=Artificial Intelligence) είναι η μελέτη προγραμματισμένων συστημάτων τα οποία μπορούν να προσομοιώνουν μέχρι κάποιο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscorses.wordpress.com/ Βασικές Έννοιες Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία.

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες Θεµατικής Ενότητας Α ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Ο ΥΣΣΕΑΣ ΦΥΛΛΟ ραστηριοτήτων 1

ραστηριότητες Θεµατικής Ενότητας Α ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Ο ΥΣΣΕΑΣ ΦΥΛΛΟ ραστηριοτήτων 1 ραστηριότητες Θεµατικής Ενότητας Α ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Ο ΥΣΣΕΑΣ ΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ 4 Ο ΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΜΕΛΙΣΣΙΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Α: ΠΗΓΕΣ ΦΩΤΟΣ, ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ, ΤΟ ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ, ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ, ΥΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κυριακή, 17 Μαίου, 2009 Ώρα: 10:00-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ

Κυριακή, 17 Μαίου, 2009 Ώρα: 10:00-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ ΕΝΩΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΙΚΩΝ 5 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΙΟΥ Κυριακή, 17 Μαίου, 2009 Ώρα: 10:00-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ 1. α) Ζεύγος δυνάμεων Δράσης Αντίδρασης είναι η δύναμη που ασκεί ο μαθητής στο έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Γνωστική Ψυχολογία. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Εισαγωγή στη Γνωστική Ψυχολογία. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Εισαγωγή στη Γνωστική Ψυχολογία Inside the black box για µια επιστήµη του Νου Επιστροφή στο Νου Γνωστική Ψυχολογία / Γνωσιακή Επιστήµη Inside the black box για µια επιστήµη του Νου Επιστροφή στο Νου Γνωστική

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν είχες τη δυνατότητα να «φτιάξεις» εσύ έναν ιδανικό κόσμο, πώς θα ήταν αυτός;

β) Αν είχες τη δυνατότητα να «φτιάξεις» εσύ έναν ιδανικό κόσμο, πώς θα ήταν αυτός; 1 α) H πραγματική ζωή κρύβει χαρά, αγάπη, στόχους, όνειρα, έρωτα, αλλά και πόνο, απογοήτευση, πίκρες, αγώνα. αν λείπουν όλα αυτά τα συναισθήματα και οι ανατροπές, αν χαθεί η καρδιά και η ψυχή, η ελευθερία,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία στο εκπαιδευτικό λογισµικό Function Probe

Εργασία στο εκπαιδευτικό λογισµικό Function Probe Γιάννης Π. Πλατάρος -1-20/10/2003 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΕΚΦΡΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΙΑΤΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Εργασία στο εκπαιδευτικό λογισµικό Function Probe Περίληψη: ίνεται στους µαθητές η διαπραγµάτευση ενός προβλήµατος

Διαβάστε περισσότερα

A ΤΑΞΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ

A ΤΑΞΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 A ΤΑΞΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΚΑΝΩ ΟΜΑΔΕΣ, ΜΟΤΙΒΑ, ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ -Ομαδοποίηση αντικειμένων με διαφορετικούς τρόπους. -Εντοπισμός ομοιοτήτων και

Διαβάστε περισσότερα

BELIEFS ABOUT THE NATURE OF MATHEMATICS, MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING AMONG TRAINEE TEACHERS

BELIEFS ABOUT THE NATURE OF MATHEMATICS, MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING AMONG TRAINEE TEACHERS BELIEFS ABOUT THE NATURE OF MATHEMATICS, MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING AMONG TRAINEE TEACHERS Effandi Zakaria and Norulpaziana Musiran The Social Sciences, 2010, Vol. 5, Issue 4: 346-351 Στόχος της

Διαβάστε περισσότερα