ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΓΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ (ΠΜΣ-Ο.ΔΙ.Μ) ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΞΙΑΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ (VALUE AT RISK) ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΑΓΟΡΑ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Γ. ΣΥΡΡΗΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΤΙΜΟΘΕΟΣ Θ. ΑΓΓΕΛΙΔΗΣ ΧΙΟΣ 2006

2 ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΞΙΑΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ (VALUE AT RISK) ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΑΓΟΡΑ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: ΔΗΜΗΤΡΗΣ Γ. ΣΥΡΡΗΣ Α.Μ.: 233Μ/05/008 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΤΙΜΟΘΕΟΣ ΑΓΓΕΛΙΔΗΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΑΝΔΡΕΑΣ ΑΝΔΡΙΚΟΠΟΥΛΟΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΟΥΛΑΚΙΩΤΗΣ 2

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην συγκεκριμένη εργασία θα ασχοληθούμε με την μέτρηση του VaR (Value-at- Risk) το οποίο τα τελευταία χρόνια αποκτά όλο και μεγαλύτερο βάρος σαν μέτρο μέτρησης απώλειας. Η θεωρία και οι πρακτικές εφαρμογές της εξελίσσονται συνεχώς μετά την πρωτοποριακή εργασία του Harry Markowitz την δεκαετία του 950 η οποία αναφερόταν στη θεωρεία χαρτοφυλακίου. Η θεωρεία διαχείρισης ρίσκου θεωρείτε πλέον ένα ξεχωριστό πεδίο της χρηματοοικονομικής. Στον πυρήνας της διαχείρισης ρίσκου περιέχετε την έννοια της καλής πρακτικής στην διαχείριση του. Πολλοί ήταν οι παράγοντες που οδήγησαν στην ανάδειξη της διαχείρισης του χρηματοοικονομικού ρίσκου και ο κυριότερος από αυτούς ήταν η αύξηση του όγκου συναλλαγών στα τέλη της δεκαετίας του 960. Η ανάδειξη αυτού του τομέα οφείλετε κατά ένα μεγάλο μέρος στην τεράστια αύξηση των χρηματοοικονομικών προϊόντων τα οποία έκαναν την εμφάνισή τους στις διεθνής χρηματαγορές τα τελευταία 20 χρόνια. Η μεγάλη αύξηση στην δραστηριότητα που αφορά τα παράγωγα όπως η αγορά ή πώληση δικαιωμάτων, swaps κλπ. οδήγησε και αυτή με την σειρά της στην εύρεση νέων μεθόδων μέτρησης και διαχείρισης των κινδύνων που εμπεριέχονται στα περισσότερα χρηματοοικονομικά προϊόντα. Η ανάπτυξη της εμπορικής δραστηριότητας πολλές φορές προέκυψε μέσα σε ένα περιβάλλον το οποίο ήταν ρευστό. Ένα τέτοιο περιβάλλον εξέθετε και εξακολουθεί να εκθέτει τις επιχειρήσεις σε ένα υψηλότερο επίπεδο χρηματοοικονομικού ρίσκου και παρέχει κίνητρα σε αυτές να βρουν νέους και καλύτερους τρόπους να διαχειριστούν το ρίσκο τους. Η εργασία αυτή παρουσιάζει τις κυριότερες μεθοδολογίες εφαρμογής της διαχείρισης των κινδύνων. Συγκεκριμένα, αφού παρουσιάσουμε παλαιότερες τεχνικές μέτρησης του ρίσκου, θα γίνει εκτενής αναφορά στην μέτρηση ρίσκου με την χρήση παραμετρικών, ημή-παραμετρικών και μη παραμετρικών μεθόδων. Τέλος θα παρουσιάσουμε μια εμπειρική εφαρμογή πρόβλεψης ρίσκου, με χρήση δεδομένων αποδόσεων του Γενικού δείκτη ΧΑΑ. 3

4 Αφιερώνεται με αγάπη στους γονείς μου, για την συμπαράστασή τους 4

5 ΕΥΧΑΡΙΣΤΊΕΣ Θα ήθελα να εκφράσω τις ειλικρινής μου ευχαριστίες σε όλους όσους βοήθησαν στην ολοκλήρωση της εργασίας. Απευθύνω λοιπών ένα μεγάλο ευχαριστώ στον κύριο Τιμόθεο Αγγελίδη, Καθηγητή στο μεταπτυχιακό πρόγραμμα «Οικονομική και Διοίκηση για Μηχανικούς», για την ανεκτίμητη και συνεχή υποστήριξή του κατά την συγγραφή αυτής της εργασίας. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους τους καθηγητές μου κατά την διάρκεια των προπτυχιακών μου και μεταπτυχιακών μου σπουδών ώστε να μπορέσω ανταποκριθώ σε αυτές. Τέλος νιώθω την ανάγκη να ευχαριστήσω τον συνάδελφο και φίλο Θοδωρή Εμμανουηλίδη. 5

6 Περιεχόμενα ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 3 Περιεχόμενα... 6 Περιεχόμενα Πινάκων... 8 Περιεχόμενα διαγραμμάτων... 8 Περίληψη... 9 Κεφάλαιο ο Διαχείριση Ρίσκου Εισαγωγή Διαχείριση ρίσκου πριν το VaR Gap Analysis Duration Analysis Scenario Analysis Portfolio Theory Μέτρα ρίσκου παραγώγων Value-at-Risk Πλεονεκτήματα του VaR Περιορισμοί του VaR ως μέτρο ρίσκου Κεφάλαιο 2 ο Υπολογίζοντας το VaR H υπόθεση της κανονικότητας Τα βασικά για το VaR Tο Expected Shortfall ως μέτρο ρίσκου Backtesting Expected Shortfall Μη παραμετρικό Value-at-Risk Historical Simulation Σύνταξη Δεδομένων Ιστορικής Προσομοίωσης (HS) Βασική Historical Simulation Bootstrapped Historical Simulation Historical Simulation χρησιμοποιώντας μη παραμετρική εκτίμηση πυκνότητας Εκτίμηση καμπυλών για τα VaR και ES Εκτίμηση διαστημάτων εμπιστοσύνης για την HS VaR and ES Θεωρεία των order-statistics για την εκτίμηση των διαστημάτων εμπιστοσύνης των HS VaR και ES Μια Bootstrap προσέγγιση για την εκτίμηση των διαστημάτων εμπιστοσύνης των HS VaR και ES Σταθμησμένη Historical Simulation Age-Weighted Historical Simulation Μεταβλητότητας-Σταθμισμένης Historical Simulation Συσχέτιση-Σταθμισμένης Historical Simulation Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα των μη παραμετρικών μεθόδων Πλεονεκτήματα Μειονεκτήματα Συμπεράσματα Παραμετρικό Value-at-Risk

7 2.3. Πρόβλεψη μεταβλητοτήτων, συνδιακυμάνσεων και συσχετίσεων Πρόβλεψη μεταβλητοτήτων Πρόβλεψη ιστορικής μεταβλητότητας Exponentially Weighted Moving Average Volatility Μοντέλο Garch To μοντέλο GARCH(,) Integrated GARCH Components GARCH Factor GARCH Πρόβλεψη συνδιακυμάνσεων και συσχετίσεων Συνδιακυμάνσεις GARCH Πρόβλεψη Μητρών Συνδιακυμάνσεων Multivariate GARCH Ημι-παραμετρικό Value at Risk Filtered Historical Simulation Extreme Value Theory Γενικευμένη Extreme-Value Theory Μια σύντομη μέθοδος EV Εκτίμηση των παραμέτρων EV Μέθοδοι μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδοι παλινδρόμησης Ημι-παραμετρικές μέθοδοι εκτίμησης Κεφάλαιο 3 ο Backtesting Value-at-Risk Η μηδενική υπόθεση Μη δεσμευμένη Coverage Δεσμευμένη Coverage Loss Function Εκτίμηση των εκτιμητών VaR χρησιμοποιώντας την regulatory Loss Function Εφαρμογή της Loss Function με την διωνυμική μέθοδο Η Loss Function που καταδεικνύει το μέγεθος των παραβιάσεων Κεφάλαιο 4 ο Εμπειρική Εφαρμογή Ιστορικές Αναφορές Παραμετρικό VaR Μη παραμετρικό VaR Ημη-παραμετρικό VaR Dataset Στατιστική εκτίμηση Περίληψη κύριων ευρημάτων Συμπεράσματα Βιβλιογραφία Παράρτημα Παράρτημα Κεφαλαίου Άσκηση προσομοίωσης Loss Function

8 Εφαρμογή της μεθόδου Loss Function... 0 Περιεχόμενα Πινάκων Πίνακας Πολλαπλασιαστής που βασίζετε στον αριθμό των εξαιρέσεων Πίνακας 2 Ζώνες ακριβείας του VaR Πίνακας 3 Σύγκριση διαστημάτων εμπιστοσύνης για τα VaR και ES Πίνακας 4 Σύνολο παραβιάσεων, Ποσοστά παραβίασης Kupieq, για 95% και 99% επίπεδο εμπιστοσύνης Πίνακας 5 Αποτελέσματα προσομοίωσης Περιεχόμενα διαγραμμάτων Διάγραμμα Αποδοτική Καμπύλη Αγοράς... 8 Διάγραμμα 2 Αποδοτική Καμπύλη Αγοράς με στοιχείο μηδενικού κινδύνου... 9 Διάγραμμα 3 Τυπική κανονική κατανομή και VaR με 95% επίπεδο εμπιστοσύνης Διάγραμμα 4 Σύγκριση κατανομών Διάγραμμα 5 Historical Simulation VaR και ES Διάγραμμα 6 VaR και ES ανάλογα με το διάστημα εμπιστοσύνης Διάγραμμα 7 Bootstrapped VaR Διάγραμμα 8 Bootstrapped ES Διάγραμμα 9 Μεταβλητότητα GARCH (,)... 6 Διάγραμμα 0 Συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας Frechet και Gumbel... 7 Διάγραμμα Hill Διάγραμμα 2 Hill Horror Plot Διάγραμμα 3 Hill happy plot... 8 Διάγραμμα 4 Συγκέντρωση παραβιάσεων Διάγραμμα 5 Συναρτήσεις Loss Function Διάγραμμα 6 Περιγραφικές στατιστικές Διάγραμμα 7 Απόδοση FHS-G 95% δείκτη από 30/07/2002 έως 28/06/ Διάγραμμα 8 Απόδοση FHS-G 99% δείκτη από 30/07/2002 έως 28/06/ Διάγραμμα 9 Απόδοση GARCH Student δείκτη από 30/07/2002 έως 28/06/

9 Περίληψη Η εργασία αυτή παρουσιάζει τις κυριότερες μεθοδολογίες εφαρμογής της διαχείρισης των κινδύνων και συγκεκριμένα επικεντρώνεται στην παρουσίαση των διαφορετικών μεθόδων του VaR (Value-at-Risk). Στο πρώτο κεφάλαιο αυτής της εργασίας θα παρουσιάσουμε παλαιότερες τεχνικές μέτρησης του ρίσκου, τους κυριότερους λόγους που οδήγησαν στην ανάγκη εύρεσης ενός νέου μέτρου απώλειας και συγκεκριμένα του VaR καθώς επίσης τα σημαντικότερα πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα του. Στη συνέχεια στο δεύτερο κεφάλαιο θα αναφερθούμε αναλυτικά στις μεθόδους μέτρησης του VaR με τη χρήση παραμετρικών, μη παραμετρικών και ημι-παραμετρικών μεθόδων. Στην συγκεκριμένη εργασία θα επικεντρωθούμε στην εκτίμηση των VaR και ES (Expected Shortfall). Στο τρίτο μέρος θα αναφερθούμε στο Backtesting Value-at-Risk. Ο στόχος του κεφαλαίου είναι να βρεθεί ένα εκ των υστέρων μέτρο πρόβλεψης και να συγκριθεί με την εκ των προτέρων πραγματική απόδοση χαρτοφυλακίου. Θέλουμε να είμαστε σε θέση να κάνουμε εκ των υστέρων έλεγχο για κάθε ένα από τα μέτρα ρίσκου που μας ενδιαφέρουν. Η διαδικασία Backtesting που αναπτύσσετε εδώ μοιάζει με ένα τελικό διαγνωστικό τεστ για το αθροιστικό ρίσκο του μοντέλου που ολοκληρώνει τους τρόπους διάγνωσης που αναπτύξαμε. Στο τέταρτο μέρος θα γίνει παρουσίαση μίας εμπειρικής εφαρμογής στην Ελληνική χρηματαγορά, χρησιμοποιώντας παραμετρικές (GARCH, APARCH, TARCH), μη παραμετρικές (Historical Simulation) και ημη-παραμετρικές (Filtered Historical Simulation) μεθόδους. Ειδικότερα θα κάνουμε χρήση των αποδόσεων του Γενικού Δείκτη του ΧΑΑ (από την 0/0/993 έως 28/06/2006), τις οποίες θα χωρίσουμε σε δύο ομάδες. Στη συνέχεια θα εκτιμήσουμε το day Value at Risk για τη δεύτερη ομάδα. Θα χρησιμοποιήσουμε τις πρώτες 2500 παρατηρήσεις για την εκτίμηση των 877 παρατηρήσεων της δεύτερης ομάδας. 9

10 Κεφάλαιο ο. Διαχείριση Ρίσκου. Εισαγωγή Το χρηματοοικονομικό ρίσκο γίνεται αντιληπτό σαν ένα ρίσκο το οποίο σχετίζεται με χρηματοοικονομικά αποτελέσματα, αλλά είναι πολύ δύσκολο να δώσουμε έναν ακριβή ορισμό στην έννοιά του. Η έννοια του ρίσκου έχει σχετιστεί με την αβεβαιότητα, την τυχαιότητα και τα πιθανά αποτελέσματα. Τα τυχαία αποτελέσματα που μπορεί να προκύψουν μπορεί να είναι καλά ή άσχημα και εμείς μπορεί (ή όχι) να προτιμήσουμε να εστιάσουμε σε ρίσκο το οποίο σχετίζετε με άσχημα γεγονότα καθώς θα προσπαθούμε να προστατέψουμε τους εαυτούς μας από αυτά. Στην εργασία που θα ακολουθήσει ανακύπτει επίσης το ερώτημα της ποσοτικοποίησης. Αρκετοί ερευνητές κάνουν διαχωρισμό ανάμεσα στο ρίσκο και την αβεβαιότητα. Θεωρούν ότι το ρίσκο είναι ένα μετρίσιμο μέγεθος, ενώ η αβεβαιότητα είναι η μη μετρήσιμη παράμετρος του. Οπότε το ρίσκο σε μια ευρύτερη έννοια έχει πολλές πτυχές και δεν υπάρχει ένας και μοναδικός ορισμός ο οποίος θα μπορούσε να μας καλύψει σε κάθε περίπτωση. Παρόλα αυτά για τους σκοπούς της εργασίας μας εδώ θεωρούμε το χρηματοοικονομικό ρίσκο ως το ενδεχόμενο χρηματοοικονομικής ζημιάς ή κέρδους λόγω μη προβλέψιμων ή τυχαίων μεταβολών σε παραμέτρους ρίσκου που μελετάμε. Στην εργασία αυτή θα ασχοληθούμε με την μέτρηση μιας συγκεκριμένης μορφής χρηματοοικονομικού ρίσκου. Συγκεκριμένα θα ασχοληθούμε με το ρίσκο αγοράς ή το ρίσκο της ζημιάς (ή κέρδους) που προκύπτει από απρόβλεπτες μεταβολές στις τιμές αγοράς (πχ στις τιμές ομολόγων) ή στους δείκτες αγοράς (πχ μεταβολές στα επιτόκια ή στις συναλλαγματικές ισοτιμίες). Στη συνέχεια το ρίσκο της αγοράς μπορεί να ταξινομηθεί σε ρίσκο επιτοκίου, ρίσκο μετοχών, ρίσκο από τις μεταβολές στις συναλλαγματικές ισοτιμίες κλπ, ανάλογα με το εάν η παράμετρος του ρίσκου είναι το επιτόκιο, η τιμή μετοχής ή κάποια άλλη τυχαία μεταβλητή. Το ρίσκο αγοράς διαφοροποιείτε από άλλες μορφές χρηματοοικονομικού ρίσκου και συγκεκριμένα το πιστωτικό ρίσκο και το λειτουργικό ρίσκο. 0

11 Η θεωρία που αφορά την διαχείριση του ρίσκου καθώς και οι πρακτικές εφαρμογές αυτής εξελίσσονται συνεχώς τα τελευταία χρόνια μετά την πρωτοποριακή εργασία του Harry Markowitz την δεκαετία του 950. Η θεωρεία έχει εξελιχθεί σε τέτοιο σημείο όπου η διαχείριση ρίσκου θεωρείτε ένα ξεχωριστό πεδίο της χρηματοοικονομικής. Το συγκεκριμένο πεδίο έρευνας έχει προσελκύσει επιστήμονες από αρκετούς επιστημονικούς χώρους όπως τη στατιστική, τα μαθηματικά, τη μηχανική, τη πληροφορική, τη φυσική λόγω των ποικίλων προβλημάτων που τίθενται κατά καιρούς. Το συγκεκριμένο θέμα δεν είναι αμιγώς ποσοτικό. Στον πυρήνα της διαχείρισης ρίσκου υπάρχει η έννοια της καλής πρακτικής στην διαχείριση του. Πάνω απ όλα όμως απαιτεί την γνώση ποιοτικών και οργανωτικών θεμάτων πάνω στην διαχείριση του ρίσκου. Ειδικότερα απαιτείτε καλή κρίση, γνώση όλων των στοιχείων τα οποία μπορεί να μην έχουν το αναμενόμενο αποτέλεσμα, κατανόηση της ιστορίας της αγοράς κλπ. Τα παραπάνω επίσης σημαίνουν ότι μερικές από τις ποιο βασικές αρχές στη διαχείριση κινδύνου προέρχονται από τομείς εκτός της χρηματοοικονομικής όπως τη λογιστική, την οικονομική, τη διοίκηση επιχειρήσεων και την νομική. Ένα ερώτημα που τίθεται από αρκετούς αφορά το ώφελος που θα αποκομίσει κάποιος από την ενασχόλησή του με την διαχείριση του χρηματοοικονομικού ρίσκου. Σε πρώτο επίπεδο τα οφέλη είναι προφανή καθώς μειώνουμε τον κίνδυνο εμφάνισης επιβλαβών γεγονότων. Η πρώτη αυτή απάντηση όμως δεν δικαιολογεί το λόγω για τον οποίο θα πρέπει οι επιχειρήσεις να ασχοληθούν με την διαχείριση ρίσκου. Ακόμα και αν οι επενδυτές οι οποίοι είναι ουδέτεροι κινδύνου διαχειρίζονται το ρίσκο που προκύπτει από επένδυση σε χαρτοφυλάκια δεν συνεπάγεται ότι οι επιχειρήσεις θα πρέπει να διαχειρίζονται το ολικό επιχειρησιακό ρίσκο. Αν οι επενδυτές έχουν πρόσβαση σε τέλειες κεφαλαιαγορές μπορεί να επιτύχουν το βαθμό διαφοροποίησης που επιθυμούν μέσα από δικές τους ενέργειες οπότε η διαχείριση επιχειρησιακού ρίσκου δεν θα σχετίζεται με αυτές. Παρόλα αυτά προκύπτουν πολλά πλεονεκτήματα απ την διαχείριση χρηματοοικονομικού ρίσκου μέσα σε μία επιχείρηση: Η διαχείριση ρίσκου βοηθάει στην αύξηση της αξίας της επιχείρησης καθώς ελαχιστοποιεί την πιθανότητα χρεοκοπίας της.

12 Η ύπαρξη ασυμμετρίας στην πληροφόρηση σημαίνει ότι η χρήση εξωτερικών χρηματοοικονομικών συμβούλων κοστίζει περισσότερο στην επιχείρηση από ότι η χρήση εσωτερικής χρηματοοικονομικής διαχείρισης καθώς είναι εύκολο να χαθούν καλές επενδυτικές ευκαιρίες. Η διαχείριση ρίσκου βοηθάει στην εξάλειψη αυτών των προβλημάτων μειώνοντας την μεταβλητότητα των επιχειρησιακών χρηματικών ροών. Η διαχείριση κινδύνου βοηθάει τους επενδυτές να επιτύχουν καλύτερη τοποθέτηση στο ρίσκο καθώς η επιχείρηση θα έχει καλύτερη πρόσβαση στις κεφαλαιαγορές. Λόγω της παρουσίας φορολόγησης, η διαχείριση κινδύνου μπορεί να βοηθήσει στην μείωση του φόρου που θα πρέπει να αποδώσει η επιχείρηση καθώς το ύψος του φόρου συναρτάτε με τα κέρδη της. Αυτό σημαίνει ότι χαμηλότερη μεταβλητότητα στα κέρδη θα οδηγήσει σε μείωση της φορολόγησης. Πολλοί παράγοντες οδήγησαν στην ανάδειξη της διαχείρισης του χρηματοοικονομικού ρίσκου. Ο πρώτος από αυτούς ήταν η αύξηση στον όγκο συναλλαγών στα τέλη της δεκαετίας του 960. Επίσης έχει σημειωθεί μια τεράστια αύξηση στα χρηματοοικονομικά προϊόντα τα οποία συναλλάσσονται στις τελευταίες δύο ή τρεις δεκαετίες. Τα νέα αυτά χρηματοοικονομικά προϊόντα προέκυψαν από κεφάλαια τα οποία ήταν πριν μη ρευστοποιήσιμα όπως καταναλωτικά, εμπορικά και βιομηχανικά τραπεζικά δάνεια καθώς επίσης και άλλα παρόμοια προϊόντα. Υπήρξε επίσης μια μεγάλη αύξηση στην δραστηριότητα που αφορά τα παράγωγα όπως η αγορά ή πώληση δικαιωμάτων, swaps κλπ. Αυτή η ανάπτυξη στην εμπορική δραστηριότητα πολλές φορές δημιουργήθηκε μέσα σε ένα περιβάλλον το οποίο ήταν πολύ ρευστό. Ένα τέτοιο περιβάλλον εκθέτει τις επιχειρήσεις σε ένα υψηλότερο επίπεδο χρηματοοικονομικού ρίσκου και παρέχει κίνητρα σε επιχειρήσεις να βρουν νέους και καλύτερους τρόπους να διαχειριστούν το ρίσκο τους. Η μεταβλητότητα του οικονομικού περιβάλλοντος γίνεται αντιληπτή μέσω: Της μεταβλητότητας της κεφαλαιαγοράς. Της μεταβλητότητας στις συναλλαγματικές ισοτιμίες. Της μεταβλητότητας στα επιτόκια. 2

13 Της μεταβλητότητας στις αγορές εμπορευμάτων. Η ανάπτυξη της χρηματοοικονομικής διαχείρισης οφείλεται επίσης στις αυξημένες ανησυχίες για την κακή χρήση των παραγώγων, όπως στο παράδειγμα της χρεοκοπίας της τράπεζας Barings PLC, το Φεβρουάριο του 995. Η τράπεζα αυτή με ιστορία 233 ετών κατέρρευσε λόγω της ανταλλαγής παραγώγων ενός και μόνο επενδυτή, του 28χρονου Nicolas Leeson. Ένας άλλος λόγος που οδήγησε στην ανάπτυξη της διαχείρισης ρίσκου ήταν η ταχύτατη εξέλιξη στην επιστήμη της πληροφορικής. Οι βελτιώσεις στον τομέα αυτό μας έδωσαν μεγαλύτερη υπολογιστική δύναμη και υψηλές ταχύτητες κατά το υπολογισμό δεδομένων. Με την χρήση προσομοιώσεων ξεπεράστηκαν μερικά από τα ποιο δύσκολα υπολογιστικά προβλήματα. Οι βελτιώσεις στην υπολογιστική ταχύτητα μας δίνουν λύσεις σε πραγματικό χρόνο και κυρίως σε περιπτώσεις όπου είναι σημαντικό να λάβουμε γρήγορες απαντήσεις. Η τεχνολογική βελτίωση μείωσε σημαντικά το κόστος πληροφόρησης από 25%-30% τα τελευταία σαράντα χρόνια. Οι managers μπορούν πλέον να χρησιμοποιήσουν εξειδικευμένα προγράμματα υπολογιστών και να ανταπεξέλθουν σε υπολογισμούς σε πραγματικό χρόνο..2 Διαχείριση ρίσκου πριν το VaR.2.Gap Analysis Μια πρώτη προσέγγιση στη θεωρεία διαχείρισης ρίσκου είναι η Gap Analysis η οποία αναπτύχθηκε από χρηματοοικονομικούς οργανισμούς για να μας δώσει μία βασική ιδέα για την έκθεση στο ρίσκο επιτοκίου. Η Gap Analysis ξεκινά με την επιλογή ενός κατάλληλου χρονικού ορίζοντα πχ ενός έτους. Αμέσως μετά ορίζουμε ποιο μέρος από το κεφάλαιό μας ή από τις υποχρεώσεις μας θα αλλάξει αξία κατά την διάρκεια αυτής της περιόδου. Τα ποσά αυτά θα μας δώσουν το ποσοστό της ευαισθησίας του ενεργητικού μας καθώς και του παθητικού μας για την περίοδο που επιλέξαμε. Το Gap είναι η διαφορά μεταξύ αυτών. Η έκθεσή μας στο επιτόκιο δίνεται από την μεταβολή που λαμβάνουμε στο καθαρό τοκισμένο εισόδημα λόγω της μεταβολής των επιτοκίων. 3

14 Ορίζουμε ΔΝΙΙ: μεταβολή στο καθαρό τοκισμένο εισόδημα. Δr : μεταβολή στα επιτόκια. ( GAP) ΔΝΙΙ = Δr Η Gap Analysis είναι εύκολη στην εφαρμογή της αλλά έχει κάποιους περιορισμούς. Εφαρμόζεται μόνο στο ρίσκο επιτοκίου του ισολογισμού αλλά ακόμα και τότε έχει μικρή αξιοπιστία. Επικεντρώνεται στην επίδραση των επιτοκίων στο εισόδημα και όχι στην αξία των υποχρεώσεων και των περιουσιακών στοιχείων μας. Τα αποτελέσματα αυτής της μεθόδου παρουσιάζουν μεγάλη ευαισθησία ανάλογα με τον χρονικό ορίζοντα τον οποίο θα επιλέξουμε..2.2 Duration Analysis Μια δεύτερη μέθοδος που χρησιμοποιούν οι χρηματοοικονομικοί οργανισμοί για την μέτρηση του ρίσκου επιτοκίου είναι η Duration Analysis. Η χρονική διάρκεια D ενός ομολόγου (ή οποιουδήποτε άλλου χρεογράφου σταθερού εισοδήματος) ορίζεται σαν ο σταθμισμένος μέσος όρος των χρηματικών ροών του ομολόγου, όπου ο σταθμισμένος μέσος όρος είναι η παρούσα αξία κάθε χρηματικής ροής προς την παρούσα αξία του συνόλου των χρηματικών ροών. D = n i= n i PVCF i= PVCF PVCF i είναι η παρούσα αξία της χρηματικής ροής την περίοδο i προεξοφλημένη την κατάλληλη χρονική περίοδο. Η Duration Analysis είναι χρήσιμη καθώς μας παρέχει μια ακριβή ένδειξη της ευαισθησίας της τιμής του ομολόγου σε μεταβολές στις αποδόσεις. DΔy % change in bond price + i i ( y) Kevin Dowd Measuring market risk. Wiley second edition. Κεφ. 4

15 Όπου y είναι η απόδοση και Δy η μεταβολή στην απόδοση. Όσο μεγαλύτερη είναι η χρονική διάρκεια τόσο μεγαλύτερες είναι οι μεταβολές στη αξία του ομολόγου σε σχέση με την μεταβολή στις αποδόσεις. Η προσέγγιση μέσω της Duration Analysis είναι εύχρηστη καθώς τα μέτρα διάρκειας είναι πολύ εύκολο να υπολογιστούν και η διάρκεια του ομολόγου είναι απλά ο σταθμισμένος μέσος όρος όλων των χρονικών περιόδων των ατομικών ομολόγων που περιλαμβάνονται στο χαρτοφυλάκιο. Είναι πολύ καλύτερη από την Gap Analysis καθώς μετρά την μεταβολή στα περιουσιακά στοιχεία και όχι μόνο την μεταβολή στο καθαρό εισόδημα. Παρόλα αυτά η Duration Analysis παρουσιάζει κάποιους περιορισμούς. Αγνοεί άλλα είδη ρίσκου εκτός του ρίσκου επιτοκίου. Δεν είναι ακριβής παρόλο που χρησιμοποιεί μεθόδους για βελτιστοποίηση. Ο βασικός λόγος που χρησιμοποιούσαν αυτή τη μέθοδο στο παρελθόν ήταν λόγω της ευκολίας στους υπολογισμούς. Πλέον όμως με την χρήση εξελιγμένων λογισμικών πακέτων έχει παύσει η χρήση της..2.3 Scenario Analysis Μια άλλη μέθοδος είναι η Scenario Analysis όπου χρησιμοποιώντας εναλλακτικά σενάρια ερευνούμε το πόσο μπορούμε να χάσουμε ή να κερδίσουμε κάτω από αυτά. Για να εφαρμόσουμε την Scenario Analysis επιλέγουμε ένα σύνολο από σενάρια που περιγράφουν πως οι μεταβλητές που σχετίζονται μεταξύ τους, όπως τιμές μετοχών, επιτόκια, συναλλαγματικές ισοτιμίες, μπορεί να εξελιχθούν στο μέλλον. Αμέσως μετά θεωρούμε την εξέλιξη των χρηματικών ροών κάτω από κάθε σενάριο και χρησιμοποιούμε τα αποτελέσματα για να καταλήξουμε σε ένα συμπέρασμα σε σχέση με την έκθεσή μας στο ρίσκο. Η Scenario Analysis κάποιες φορές μπορεί να είναι περισσότερο ή λιγότερο αξιόπιστη ανάλογα με την επιλογή σεναρίων που κάνουμε. Η συγκεκριμένη μέθοδος μπορεί να δώσει στην επιχείρηση μια γενική ιδέα για το πόσο ρεαλιστικά είναι αυτά κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες. Η Scenario Analysis δεν είναι εύκολη στην εφαρμογή της. Βρίσκουμε πολλά εμπόδια στην προσπάθεια μας να εντοπίσουμε τα κατάλληλα σενάρια καθώς υπάρχουν περιορισμένοι κανόνες που θα μας βοηθήσουν στην επιλογή τους. Πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι οι υποθέσεις μας είναι λογικές και δεν έρχονται η μία σε αντίθεση με 5

16 την άλλη. Επίσης πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι έχουμε λάβει υπόψη όλα τα σενάρια, και τις σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών. Η Scenario Analysis δεν υπολογίζει την πιθανότητα εμφάνισης κάθε σεναρίου, σε αντίθεση με την Monte Carlo Simulation η οποία λαμβάνει υπόψη της την πιθανότητα εμφάνισης των ενδεχομένων. Η συγκεκριμένη μέθοδος είναι υποκειμενική και η επιτυχία της εξαρτάτε σε μεγάλο βαθμό από την ικανότητα του αναλυτή..2.4 Portfolio Theory Μια σχετικά διαφορετική προσέγγιση για την μέτρηση του ρίσκου δίνεται από την Portfolio Theory. Η θεωρεία αυτή ξεκινάει από το γεγονός ότι οι επενδυτές επιλέγουν εναλλακτικά χαρτοφυλάκια ανάλογα με την αναμενόμενη απόδοσή τους και την τυπική απόκλισή τους. Η τυπική απόκλιση της απόδοσης του χαρτοφυλακίου θεωρείται σαν ένα μέτρο του ρίσκου χαρτοφυλακίου. Αν θεωρήσουμε όλους τους άλλους παράγοντες σταθερούς ο επενδυτής θα επιλέξει αυτό το χαρτοφυλάκιο το οποίο έχει υψηλή αναμενόμενη αξία και χαμηλή τυπική απόκλιση. Αυτοί οι στόχοι μας δείχνουν ότι ο επενδυτής θα επιλέξει το χαρτοφυλάκιο που μεγιστοποιεί την αναμενόμενη απόδοση για κάθε δεδομένη τυπική απόκλιση χαρτοφυλακίου. Το χαρτοφυλάκιο που ανταποκρίνεται σε αυτούς τους όρους είναι αποδοτικό και κάθε λογικός επενδυτής θα επιλέξει αυτό. Πολλά αποδοτικά χαρτοφυλάκια θα έχουν μεγαλύτερο ρίσκο από άλλα, αλλά αυτά με το μεγαλύτερο ρίσκο θα έχουν και μεγαλύτερες αποδόσεις. Ένας επενδυτής ο οποίος αποστρέφεται το ρίσκο θα επιλέξει ένα ασφαλές χαρτοφυλάκιο με χαμηλή τυπική απόκλιση και χαμηλή αναμενόμενη απόδοση. Ένας άλλος επενδυτής που αποστρέφεται λιγότερο τον κίνδυνο θα επιλέξει ένα χαρτοφυλάκιο με μεγαλύτερο ρίσκο και μεγαλύτερη αναμενόμενη απόδοση. Ένα στοιχείο κλειδί στην Portfolio Theory είναι ότι το ρίσκο κάθε περιουσιακού στοιχείου δεν είναι η τυπική απόκλιση της απόδοσης αυτού, αλλά ο βαθμός στο οποίο το στοιχείο αυτό συνεισφέρει στο συνολικό ρίσκο χαρτοφυλακίου. Ένα στοιχείο του χαρτοφυλακίου μπορεί να έχει υψηλό ρίσκο όταν το εξετάζουμε ξεχωριστά, αλλά η απόδοσή του μπορεί να σχετίζεται με τις αποδόσεις των άλλων στοιχείων του χαρτοφυλακίου με τέτοιο τρόπο ώστε αν συμπεριληφθεί στο χαρτοφυλάκιό μας να μην 6

17 αυξάνει την συνολική τυπική απόκλιση του χαρτοφυλακίου. Η απόκτηση του νέου αυτού στοιχείου δεν θα επιφέρει επιπλέον ρίσκο. Όσο ποιο χαμηλή είναι η συσχέτιση όταν όλοι οι άλλοι παράγοντες παραμένουν σταθεροί τόσο λιγότερο το στοιχείο αυτό συνεισφέρει στο ολικό ρίσκο. Πραγματικά, εάν η συσχέτιση είναι αρνητική θα εξαλειφθεί το υπάρχον ρίσκο και θα μειωθεί η τυπική απόκλιση του χαρτοφυλακίου. Η Portfolio Theory μας παρέχει ένα χρήσιμο πλαίσιο για να χειριστούμε τα διάφορα είδη ρίσκου, όταν λάβουμε υπόψη τον τρόπο με τον οποίο αλληλεπιδρούν. Η συγκεκριμένη θεωρεία χρησιμοποιείται ευρέος. Παρόλα αυτά συναντάμε πολλά προβλήματα κατά την εκτίμηση και την επιλογή των δεδομένων. Δεν είναι δύσκολο να υπολογίσουμε το risk free αλλά είναι αρκετά δύσκολο να υπολογίσουμε τις αναμενόμενες αποδόσεις της αγοράς καθώς και το συντελεστή beta. σ i b i = ri M σμ Όπου σ i τυπική απόκλιση μετοχής, σ Μ τυπική απόκλιση αγοράς και r im είναι η συσχέτιση ανάμεσα στην αναμενόμενη απόδοση της μετοχής και στην αναμενόμενη απόδοση της αγοράς. Για να υπολογίσουμε τον συντελεστή beta με ακρίβεια χρειαζόμαστε δεδομένα για τις αποδόσεις του νέου στοιχείου χαρτοφυλακίου και της απόδοσης πάνω σε όλα τα υπάρχοντα στοιχεία. Ο παραπάνω τύπος μας λέει ότι μία μετοχή με υψηλή τυπική απόδοση θα έχει και υψηλό beta. Αντιλαμβανόμαστε ότι για να το επιτύχουμε αυτό θα πρέπει να επιλέξουμε μια μεγάλη βάση δεδομένων ώστε να εξασφαλίσουμε ότι οι τεχνικές εκτίμησης είναι αξιόπιστες. Ο συντελεστής beta εξαρτάται επίσης από το υπάρχον χαρτοφυλάκιο και θεωρητικά θα πρέπει να επανεκτιμήσουμε όλους τους συντελεστές beta κάθε φορά που υπάρχει μία μεταβολή στο χαρτοφυλάκιο. Για να εξαλειφθούν κάποια προβλήματα της Portfolio Theory αναπτύχθηκε το διάσημο μοντέλο CAPM (Capital Asset Pricing Model). To μοντέλο CAPM έκανε την Portfolio Theory πολύ ποιο πρακτική δεδομένης της υπολογιστικής ισχύς που ήταν διαθέσιμη την δεκαετία του 960. Το συγκεκριμένο μοντέλο μας δίνει καλές απαντήσεις εάν η εκτιμημένη beta του χαρτοφυλακίου είναι κοντά στην πραγματική beta. Εάν δύο χαρτοφυλάκια είναι σημαντικά διαφορετικά η πραγματική beta μπορεί να είναι διαφορετική από την beta που έχουμε υπολογίσει από το CAPM μοντέλο. Σε αυτή την περίπτωση το μοντέλο CAPM θα είναι παραπλανητικό. Ακόμα και στην γενικότερη 7

18 μορφή της η Portfolio Theory δεν είναι αξιόπιστη καθώς οι υποθέσεις στις οποίες βασίζεται (το ρίσκο προσεγγίζει κανονική κατανομή) δεν είναι κατάλληλες. Για να δείξουμε πως λειτουργεί αυτή η προσέγγιση ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα χαρτοφυλάκιο με διαφορετικά στοιχεία. Ενδιαφερόμαστε για την αναμενόμενη απόδοση του χαρτοφυλακίου καθώς επίσης και για την διακύμανση ή την τυπική απόκλιση των αποδόσεων του. Η αναμενόμενη απόδοση και η τυπική απόκλιση των αποδόσεων εξαρτώνται από την σύνθεση των χαρτοφυλακίων και υποθέτοντας ότι το χαρτοφυλάκιο δεν περιέχει κανένα στοιχείο το οποίο είναι απαλλαγμένο κινδύνου, τα πιθανά σενάρια απεικονίζονται στην αποδοτική καμπύλη αγοράς (διάγραμμα ): Αναμενόμενη απόδοση Αποδοτική καμπύλη αγοράς Τυπική απόκλιση χαρτοφυλακίου Διάγραμμα Αποδοτική Καμπύλη Αγοράς 2 Απ την στιγμή που κάθε επενδυτής ενδιαφέρεται να αυξήσει την προσδοκώμενη απόδοση και να μειώσει την τυπική απόκλιση θα ενδιαφέρεται για τα χαρτοφυλάκια εκείνα που βρίσκονται επάνω στην καμπύλη. Το εάν κάποιος προτιμήσει ένα χαρτοφυλάκιο με ελάχιστο ρίσκο χαρτοφυλακίου ή ένα άλλο με μέγιστη απόδοση χαρτοφυλακίου εξαρτάται απ το πόσο του αρέσει ή όχι να πάρει περισσότερο ρίσκο. Εάν υποθέσουμε ότι το χαρτοφυλάκιό μας περιέχει ένα στοιχείο απαλλαγμένο κινδύνου μπορούμε να λάβουμε περισσότερα εναλλακτικά σενάρια. Αυτό σημαίνει ότι θα έχουμε μία σαφέστατη βελτίωση στην αποδοτική καμπύλη αγοράς. Δοθέντος ενός 2 Kevin Dowd Measuring market risk. Wiley second edition. Σελ. 22 8

19 r f =4,5% ο επενδυτής τώρα μπορεί να επιτύχει κάθε σημείο κατά μήκος της ευθείας γραμμής αγοράς η οποία ξεκινάει από το ύψος του r f και εφάπτεται στην αποδοτική καμπύλη αγοράς στο σημείο m. Αυτό το σημείο είναι το χαρτοφυλάκιο αγοράς. Πλέον ο επενδυτής μπορεί να επιλέξει ανάμεσα σε μία ευρύτερη γκάμα εναλλακτικών χαρτοφυλακίων, και να πετύχει υψηλότερη αναμενόμενη απόδοση για κάθε δεδομένο επίπεδο ρίσκου. Αναμενόμενη απόδοση Αποδοτική καμπύλη αγοράς Χαρτοφυλάκιο αγοράς 0,045 r f Τυπική απόκλιση χαρτοφυλακίου Διάγραμμα 2 Αποδοτική Καμπύλη Αγοράς με στοιχείο μηδενικού κινδύνου 3 Η συγκεκριμένη μέθοδος επιλύει δύο προβλήματα. Πρώτον πως θα γίνει μέτρηση του ρίσκου και δεύτερον πως θα γίνει η επιλογή ανάμεσα σε διαφορετικά επίπεδα ρίσκου. Παρόλα αυτά η τυπική απόκλιση δεν είναι ικανοποιητικό μέτρο ρίσκου όταν ασχολούμαστε με μη κανονικές κατανομές. Σε κάθε μέτρο ρίσκου εμπεριέχεται μία προσπάθεια για την κατασκευή μίας συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας..2.5 Μέτρα ρίσκου παραγώγων Όταν ασχολούμαστε με τα παράγωγα μπορούμε να εκτιμήσουμε το ρίσκο τους χρησιμοποιώντας τις «ελληνικές» παραμέτρους. 3 Kevin Dowd Measuring market risk. Wiley second edition. Σελ. 23 9

20 Η παράμετρος delta μας δίνει την μεταβολή στην τιμή των παραγώγων σε σχέση με μία μικρή μεταβολή στην ονομαστική τους αξία. Η παράμετρος gamma όπου δίνει την μεταβολή στην delta σε σχέση με μία μικρή μεταβολή στην ονομαστική τους αξία. Η παράμετρος rho μας δίνει την μεταβολή στην τιμή του παραγώγου σε μια μικρή μεταβολή του επιτοκίου. Η παράμετρος vega μας δίνει την μεταβολή στην τιμή του παραγώγου σε σχέση με μία μεταβολή στην τιμή της μεταβλητότητας. Η παράμετρος theta μας δίνει την μεταβολή στην τιμή του παραγώγου σε σχέση με το χρόνο κλπ. Ένας καλά καταρτισμένος ερευνητής μπορεί να κάνει καλή χρήση αυτών των παραμέτρων και να καταλήξει σε καλά αποτελέσματα, αλλά απαιτείται επιδεξιότητα. Αυτοί οι παράμετροι για την διαχείριση χρηματοοικονομικού ρίσκου έχουν σημασία μόνο κάτω από περιορισμούς. Αποδίδουν καλά μόνο όταν υπάρχουν μικρές μεταβολές σε παραμέτρους ρίσκου και όταν επανεκτιμώνται συχνά. Τα μέτρα αυτά και οι στρατηγικές που θα ακολουθήσουμε είναι πολύ πιθανόν να μην μας καλύψουν σε περίπτωση που παρατηρούνται μεγάλες κινήσεις στην κεφαλαιαγορά. Επίσης υπάρχει κίνδυνος να παρατηρηθεί χαμηλή ρευστότητα στην αγορά την στιγμή που οι επενδυτές θέλουν να πουλήσουν. Ένας συνδυασμός μεγάλης κίνησης της αγοράς και ξαφνικής έλλειψης ρευστότητας θα οδηγήσει σε μεγάλες απώλειες σε σχέση με τη θέση που είχαμε λάβει στην αγορά, ακόμα και αν προστατευόμαστε από δυναμικές προστατευτικές στρατηγικές..3 Value-at-Risk Στα τέλη της δεκαετίας του 970 και στις αρχές της δεκαετίας του 980 πολλοί χρηματοπιστωτικοί οργανισμοί ξεκίνησαν να εργάζονται πάνω σε εσωτερικά μοντέλα ώστε να μετρήσουν το ρίσκο του οργανισμού τους σαν σύνολο. Η μελέτη πάνω σε αυτά τα μοντέλα ξεκίνησε ώστε να διαχειριστούν το ρίσκο εντός του οργανισμού καθώς αυξανόταν σταδιακά η περιπλοκότητα του, και γινόταν συνεχώς δυσκολότερο αλλά 20

21 ταυτόχρονα σημαντικό γι αυτούς να είναι σε θέση να υπολογίζουν το ρίσκο λαμβάνοντας υπόψη τον τρόπο που τα διάφορα ήδη ρίσκου αλληλεπιδρούν. Οι επιχειρήσεις επίσης αντιμετώπιζαν σημαντικά προβλήματα στην προσπάθειά τους να διαχειριστούν το ρίσκο. Έθεταν περιορισμούς στους συναλλασσόμενους και στους διαχειριστές περιουσιακών στοιχείων λαμβάνοντας υπόψη μόνο τις πληροφορίες που ήταν διαθέσιμες κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Οι περιορισμοί αυτοί ήταν ιδιαίτερα πεσιμιστικοί με αποτέλεσμα να λαμβάνονται λανθασμένες αποφάσεις. Επενδύσεις με υψηλή απόδοση απορρίπτονταν λόγω των παραπάνω περιορισμών, ενώ από την άλλη πλευρά αναλάμβαναν υψηλό ρίσκο σε άλλους τομείς αγνοώντας πλήρως την ολική επίδραση τους στην επιχείρηση. Πολλές φορές επίσης υπονομεύτηκε η καλή τοποθέτηση κεφαλαίων με τον ίδιο τρόπο. Το μεγαλύτερο πρόβλημα όμως ήταν η απουσία τμήματος εσωτερικής διαχείρισης ρίσκου. Επίσης υπήρχε χαμηλή συνέπεια μεταξύ των ορίων που έθετε η επιχείρηση καθώς οι διαχειριστές που ήταν επιβαρυμένοι με την διαχείριση του ρίσκου δεν διέθεταν τα κατάλληλα εργαλεία για το σκοπό αυτό. 4 Καθώς οι επιχειρήσεις είχαν να αντιμετωπίσουν αυτά τα προβλήματα δημιουργήθηκε η συνείδηση για την ανάγκη εύρεσης νέων εργαλείων. Αναπτύχθηκε έτσι η έννοια του VaR (Value-at-Risk) που επέτρεψε στις επιχειρήσεις να κατανοήσουν το ρίσκο σαν σύνολο και να επιτύχουν τελικά μια καλύτερη τοποθέτηση των ορίων και των κεφαλαίων στα τμήματα της επιχείρησης. Το γνωστότερο από τα συστήματα που αναπτύχθηκαν ήταν το σύστημα RiskMetrics το οποίο εφαρμόστηκε στην JP Morgan. Το σύστημα αυτό ξεκίνησε όταν ο πρόεδρος της εταιρείας Dennis Weatherstone ζήτησε από το προσωπικό της εταιρείας να του καταθέτουν σε ημερήσια βάση έκθεση μίας σελίδας που θα παρουσίαζε τις πιθανές πηγές ζημιάς της επιχείρησης τις επόμενες 24 ώρες. Για να επιτευχθεί ο στόχος αυτός το προσωπικό θα έπρεπε να αναπτύξει ένα σύστημα το οποίο θα μετρούσε το ρίσκο κάτω από διαφορετικές τοποθετήσεις και θα ήταν σε θέση να αθροίσει τα διάφορα ήδη ρίσκου. Το μέτρο που χρησιμοποιήθηκε ήταν το VaR ή η μέγιστη δυνατή ζημία την οποία θα μπορούσε να υποστεί η επιχείρηση την επόμενη μέρα των συναλλαγών. Το VaR υπολογιζόταν από ένα σύστημα το οποίο ήταν βασισμένο στην τυπική θεωρία χαρτοφυλακίου και χρησιμοποιούσε τις τυπικές αποκλίσεις και τις συσχετίσεις μεταξύ 4 Kevin Dowd Measuring market risk. Wiley second edition. Κεφ. 2

22 των αποδόσεων διαφορετικών επενδυτικών προϊόντων. Για να γίνει το συγκεκριμένο σύστημα αποδοτικό απαιτήθηκε τεράστιος όγκος εργασίας. Θα έπρεπε να επιλεχθούν οι βάσεις δεδομένων, να τεθούν οι υποθέσεις και οι περιορισμοί, να επιλεχθούν οι διαδικασίες για την εκτίμηση της μεταβλητότητας και των συσχετίσεων και τέλος να δημιουργηθούν τα κατάλληλα υπολογιστικά συστήματα τα οποία θα έβγαζαν σε πέρας το σύνολο των υπολογισμών. Η ολοκλήρωση της διαδικασίας απαίτησε πολύ χρόνο και οι μηχανισμοί ήταν έτοιμοι για λειτουργία περίπου το 990. Τότε αποφασίσθηκε να ξεκινήσει η χρήση της κατάθεσης της έκθεσης των 6:5. Σύντομα έγινε αντιληπτό ότι η χρήση του συγκεκριμένου συστήματος είχε μεγάλη θετική επίδραση. Το νέο σύστημα παρουσιάστηκε σε ένα συνέδριο της JP Morgan το 993 και αμέσως προσέλκυσε το ενδιαφέρον δυνητικών πελατών που θέλησαν είτε να το νοικιάσουν είτε να το αγοράσουν. Η έκθεση των G30 και άλλες εκθέσεις την ίδια περίοδο τόνισαν τα δυνητικά οφέλη από την χρήση του συστήματος VaR και η μέχρι τότε άγνωστη μέθοδος βρέθηκε στο επίκεντρο των συζητήσεων στον τομέα της διαχείρισης κινδύνου. Πολύ σύντομα μεγάλοι χρηματοοικονομικοί οργανισμοί θέλησαν να αποκτήσουν το δικό τους σύστημα VaR. Το ίδιο χρονικό διάστημα άλλοι χρηματοοικονομικοί οργανισμοί εργαζόταν πάνω στην ανάπτυξη δικών τους εσωτερικών μοντέλων. Επίσης ειδικευμένες εταιρείες ανάπτυξης λογισμικού κατασκεύασαν λογισμικά πακέτα για τον υπολογισμό του VaR χωρίς να είναι όμως σε θέση να παρέχουν δεδομένα. Τα συστήματα που αναπτύχθηκαν διέφεραν σημαντικά το ένα από το άλλο. Παρόλο που βασίζονταν πάνω στην ίδια θεωρητική βάση διέφεραν μεταξύ τους σε σχέση με τις εναλλακτικές υποθέσεις, την χρήση δεδομένων και τις διαδικασίες εκτίμησης των παραμέτρων. Επίσης θα πρέπει να τονίσουμε ότι μερικά συστήματα που αναπτύχθηκαν για τη μέθοδο VaR δεν χρησιμοποιούσαν την θεωρία χαρτοφυλακίου σαν βάση. Αρκετά κατασκευάστηκαν χρησιμοποιώντας προσεγγίσεις με ιστορική προσομοίωση ενώ άλλα χρησιμοποίησαν μεθόδους προσομοίωσης όπως την Monte Carlo. Αυτές οι επιχειρήσεις γνώριζαν τους περιορισμούς των μοντέλων τους και ήταν ιδιαίτερα διστακτικές στο να μοιράσουν αυτή τη γνώση. Ενώ οι περισσότερες εταιρείες κρατούσαν μυστικά τα μοντέλα τους, η JP Morgan αποφάσισε να διαθέσει τα δεδομένα 22

23 και την μεθοδολογία της ώστε οι υπόλοιποι ενδιαφερόμενοι να τα χρησιμοποιήσουν και να αναπτύξουν το δικό τους λογισμικό διαχείρισης ρίσκου. Τον Οκτώβρη του 994 η Morgan διέθεσε δωρεάν το σύστημα RiskMetrics μέσω του διαδικτύου και έτσι εξωτερικοί χρήστες είχαν πλέον πρόσβαση στο σύστημα, τοποθετώντας τα δικά τους δεδομένα. Η κίνηση αυτή προσέλκυσε το ενδιαφέρον της κοινής γνώμης και ξεκίνησε ένας δημόσιος διάλογος για το σύστημα RiskMetrics. Η δωρεάν διάθεση του συστήματος έδωσε τεράστια ώθηση στην ανάπτυξη παρόμοιων συστημάτων παρέχοντας στις εταιρίες ανάπτυξης λογισμικού και στους πελάτες τους σύνολα δεδομένων που θα ήταν αδύνατο να αποκτήσουν. Επίσης ενθάρρυνε μικρότερους παροχείς λογισμικού να υιοθετήσουν το σύστημα RiskMetrics και να κάνουν τα συστήματά τους συμβατά με αυτό. Η υιοθέτηση των συστημάτων VaR ήταν ταχύτατη σε χρηματοοικονομικούς οίκους, σε εμπορικές τράπεζες, σε ασφαλιστικούς οργανισμούς και άλλους οικονομικούς και μη οργανισμούς. Το σύστημα VaR κυριάρχησε σύντομα και συνεχώς βελτιωνόταν. Οι χρήστες και οι κατασκευαστές του απέκτησαν σύντομα μεγαλύτερη εμπειρία πάνω στη χρήση του. Αυξήθηκε σημαντικά η υπολογιστική δύναμη και η ταχύτητα του συστήματος, ενώ πλέον μπορούσε να χειριστεί και άλλους τύπους ρίσκου όπως το πιστωτικό ρίσκο, το ρίσκο ρευστότητας και το λειτουργικό ρίσκο. Ας δούμε τώρα τις σημαντικότερες διαφορές ανάμεσα στην θεωρία χαρτοφυλακίου και την θεωρία VaR. Η θεωρία χαρτοφυλακίου μεταφράζει το ρίσκο σε όρους τυπικής απόκλισης της απόδοσης ενώ η προσέγγιση μέσω VaR το ορίζει με βάση την μέγιστη δυνατή απώλεια. Η θεωρία χαρτοφυλακίου προϋποθέτει την ύπαρξη κανονικής κατανομής ενώ η θεωρία VaR μπορεί να κάνει χρήση μιας μεγάλης γκάμας πιθανών κατανομών. Αντιλαμβανόμαστε ότι η προσέγγιση μέσω VaR είναι περισσότερο ελαστική. Οι προσεγγίσεις μέσω VaR έχουν ευρύτερη εφαρμογή στην επίλυση προβλημάτων ρίσκου. Η θεωρία χαρτοφυλακίου περιορίζετε στο ρίσκο αγοράς. Η προσέγγιση που αφορά την διακύμανση και την συνδιακύμανση μέσω VaR έχει την ίδια θεωρητική βάση με αυτήν της θεωρίας χαρτοφυλακίου. Όμως δύο άλλες προσεγγίσεις για το VaR (ιστορική προσομοίωση, προσέγγιση προσομοίωσης) δεν έχουν 23

24 την ίδια θεωρητική βάση με την θεωρία χαρτοφυλακίου. Τα συστήματα VaR βασίζονται σε ευρύτερο πεδίο μεθόδων εκτίμησης. Το χρηματοοικονομικό ρίσκο είναι το θεμέλιο στοιχείο που επηρεάζει την χρηματοοικονομική συμπεριφορά καθώς περιγράφει μη ορατές αλλαγές σε παράγοντες ρίσκου. Τα είδη ρίσκου κατηγοριοποιούνται σε πέντε περιοχές. Ρίσκο αγοράς, ρευστότητας, επιχειρησιακό, πιστωτικό και λειτουργικό. Πιο συγκεκριμένα το ρίσκο αγοράς ορίζετε σαν το ρίσκο που προκύπτει από μη προβλέψιμες κινήσεις στις τιμές της αγοράς. Το ρίσκο ρευστότητας προκύπτει από το γεγονός ότι ο επενδυτής δεν μπορεί να ρευστοποιήσει τα στοιχεία που κρατάει χωρίς να προκαλέσει σημαντική αλλαγή στις τιμές. Το επιχειρησιακό ρίσκο περιγράφει το ρίσκο που ανακύπτει από τη συγκεκριμένη βιομηχανία και αγορά που λειτουργεί η επιχείρηση. Το πιστωτικό ρίσκο ανακύπτει όταν το άλλο μέρος δεν μπορεί να εξοφλήσει τις υποχρεώσεις του κατά μέρος ή σαν σύνολο. Τέλος το λειτουργικό ρίσκο σχετίζετε με σφάλματα των εσωτερικών συστημάτων, φυσικές καταστροφές ή ανθρώπινα λάθη. Αυτή η μελέτη εστιάζει στο ακραίο ρίσκο καθώς το VaR χρησιμοποιείτε ευρέως για την μέτρησή του. Η πρώτη μη άμεση αναφορά για το VaR έγινε από το NYSE το 922 καθώς είχε επιβληθεί στα μέλη του να διαγράψουν κεφάλαια ίσα με το 0% του συνόλου τους. Ο Leavens (945) παρουσίασε το πρώτο ποσοτικό παράδειγμα για το VaR, ενώ ο Markowitz (952) και ο Roy (952) σε διαφορετικές εργασίες πρότειναν μέτρα VaR που βασίζονται στην συνδιακύμανση παραγόντων ρίσκου που αντικατοπτρίζουν επιδράσεις (hedging) και διαφοροποιήσεις. Ο Baumol (963) πρότεινε ένα μέτρο που βασιζόταν στην τυπική απόκλιση, η οποία διορθωνόταν για ένα επίπεδο εμπιστοσύνης ώστε να δείχνει την συμπεριφορά του χρήστη στο ρίσκο. Αυτό το μέτρο δεν διαφέρει από το γνωστό μας VaR, όμως επειδή οι υπολογιστικές απαιτήσεις του VaR είναι υψηλές και η έλλειψη υπολογιστικής δύναμης το μέτρο VaR δεν εφαρμόστηκε σε παραδείγματα πραγματικής ζωής. Η εξάπλωση της χρήσης του VaR έγινε το 994 καθώς η JP Morgan διέθεσε το σύστημα RiskMetrics στο Internet. Η δωρεάν πρόσβαση στο RiskMetrics και η πληθώρα διαθέσιμων βάσεων δεδομένων, ώθησε τους ακαδημαϊκούς και τους διαχειριστές ρίσκου να βρουν την καλύτερη δυνατή τεχνική μέτρησης του ρίσκου. 24

25 Το VaR υιοθετήθηκε από χρηματοπιστωτικούς οργανισμούς για να καθορίσουν τις απαιτήσεις κεφαλαίων των τραπεζών ενάντια σε ρίσκο που μπορεί να αντιμετώπιζαν. Ειδικότερα σύμφωνα με την Επιτροπή Basle, οι τράπεζες μπορούν να χρησιμοποιούν τα δικά τους μοντέλα ρίσκου για να καθορίσουν την ημερησία χρέωση κεφαλαίων ακολουθώντας αυτές τις προτάσεις: Με 99% επίπεδο εμπιστοσύνης. Η περίοδος διακράτησης πρέπει να είναι 0 εμπορεύσιμες μέρες. Οι τράπεζες μπορούν να υπολογίσουν το VaR χρησιμοποιώντας δικά τους εσωτερικά μοντέλα. Ειδικότερα το Απαιτούμενο Κεφάλαιο Αγοράς (MRC) υπολογίζεται ως εξής: MRC t = max k VaR, VaR t-i t- i= Όπου VaR t είναι το VaR την μέρα t το οποίο συγκρίνετε με τo μέσο όρο VaR κατά την διάρκεια των προηγούμενων 60 ημερών και το k είναι πολλαπλασιαστής που παίρνει τιμές από 3 έως 4 ανάλογα με τα αποτελέσματα της εκ των υστέρων διαδικασίας και χρησιμοποιείτε για να μοντελοποιήσουμε το λειτουργικό και συγκεκριμένα είδη ρίσκου που δεν μπορούμε να τα μελετήσουμε χρησιμοποιώντας μοντέλα ρίσκου που έχουν αναπτυχθεί από τραπεζικούς οργανισμούς. Συγκεκριμένα για μια περίοδο ενός έτους (250 ημέρες) και με 99% επίπεδο εμπιστοσύνης, εάν ο αριθμός των εξαιρέσεων είναι χαμηλότερος του 4 ο πολλαπλασιαστής k είναι ίσος με 3, ενώ αν είναι μεγαλύτερος του 9 ο πολλαπλασιαστής k είναι ίσος με 4. Μέσα στην πράσινη ζώνη (τέσσερις ή λιγότερες εξαιρέσεις),ένα VaR μοντέλο θεωρείται ακριβές, ενώ στην κίτρινη ζώνη (πέντε έως εννέα εξαιρέσεις το k αυξάνεται με ρυθμό ανάλογα με τον αριθμό των εξαιρέσεων. Τέλος στην κόκκινη ζώνη (δέκα και πάνω εξαιρέσεις) το μοντέλο VaR θεωρείται μη ακριβές, το k αυξάνει σε 4 και ο οργανισμός-επιχείρηση θα πρέπει να βελτιώσει το μοντέλο μέτρησης ρίσκου και το σύστημα διαχείρισης. Οι συγκεκριμένες τιμές του k παρουσιάζονται στον πίνακα και στον πίνακα 2. 25

26 Αριθμός των Εξαιρέσεων Πολλαπλασιαστής (k) 4 ή λιγότερες 3,00 5 3,40 6 3,50 7 3,65 8 3,75 9 3,85 0 ή περισσότερες 4,00 Πίνακας Πολλαπλασιαστής που βασίζετε στον αριθμό των εξαιρέσεων. 5 Μα τι είναι τελικά το VaR; Έστω P t είναι η παρατηρούμενη τιμή του χαρτοφυλακίου το χρόνο t και το (P/L) ισούται με P t -P t-. Η πιθανότητα του P/L να είναι μικρότερο από το προκαθορισμένο ισούται με το VaR. Εκφραζόμενα με μαθηματική ορολογία και κάτω από την υπόθεση της τυπικής κανονικής κατανομής, ορίζετε ως: X 2 Pr χ X = exp - χ dx [ ] 2π 2 - όπου Χ είναι μια τυχαία κατανεμημένη μεταβλητή του P/L. Το διάγραμμα δείχνει αυτή τη σχέση. Η πιθανότητα απώλειας μικρότερης από Χ=-,645 ισούται με το ακρότατο τμήμα της κάθετης γραμμής και δεδομένου ότι Χ Ν(0,), ισούται με 5%. Εκφραζόμενοι με διαφορετικό τρόπο η τιμή αυτή (-,645) είναι το VaR με 95% επίπεδο εμπιστοσύνης. Για παράδειγμα για ένα κεφάλαιο το VaR ισούται με Timotheos Angelidis, Stavros Degianakiis. Econometric Modeling of Value at Risk, Σελ. 4 26

27 # of exceptions in 250 days Biz zones Multipliers (hysteria factor) ,4 3,5 3,65 3,85 3,75 4 Πίνακας 2 Ζώνες ακριβείας του VaR 6 6 Timotheos Angelidis, Stavros Degianakiis. Econometric Modeling of Value at Risk, Σελ. 5 27

28 0,4 0,35 0,3 Χ=-,645 0,25 0,2 Pr[X<-,645] 0,5 0, 0, Διάγραμμα 3 Τυπική κανονική κατανομή και VaR με 95% επίπεδο εμπιστοσύνης 7.3. Πλεονεκτήματα του VaR Ας δούμε τώρα γιατί είναι τόσο σημαντικό το VaR. Οι Linsmeier και Pearson κατέθεσαν την παρακάτω. Υπάρχει μικρή πιθανότητα να υποστούμε απώλειες που είναι μεγαλύτερες από το VaR. Δεδομένων των απλών υποθέσεων που χρησιμοποιούμε για τον υπολογισμό του, το VaR αθροίζει όλα τα ήδη ρίσκου σε έναν αριθμό που είναι εύκολος στην χρήση για οποιουδήποτε τύπου αναφορές. Μόλις ξεπεραστεί το εμπόδιο της στατιστικής μέτρησης το VaR μπορεί να γίνει εύκολα αντιληπτό σαν μέγεθος. Είναι ένας απλός τρόπος για να περιγραφεί το μέγεθος της πιθανής ζημίας σε ένα χαρτοφυλάκιο. Τα πλεονεκτήματα τα οποία παρέχει το VaR είναι τα εξής: Μας παρέχει ένα κοινό τυπικό μέτρο ρίσκου ανάμεσα σε διαφορετικές τοποθετήσεις και παραμέτρους ρίσκου. Μπορεί να έχει εφαρμογή σε κάθε είδος χαρτοφυλακίου και μας επιτρέπει να συγκρίνουμε το ρίσκο ανάμεσα σε διαφορετικά χαρτοφυλάκια. Μας επιτρέπει να μετρήσουμε το ρίσκο που σχετίζετε με μια σταθερή 7 Timotheos Angelidis, Stavros Degianakiis. Econometric Modeling of Value at Risk, Σελ. 6 28

29 τοποθέτηση εισοδήματος. Γι αυτό το λόγο η μέθοδος Var είναι μια σαφής βελτίωση σε σχέση με τις παλαιότερες μεθόδους. Η συγκεκριμένη μέθοδος μας επιτρέπει να υπολογίσουμε το ρίσκο από διάφορες τοποθετήσεις χρησιμοποιώντας ένα ολικό μέτρο ρίσκου χαρτοφυλακίου. Με αυτήν την προσέγγιση λαμβάνουμε υπόψη τον τρόπο με τον οποίο τα διάφορα είδη ρίσκου αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Το VaR είναι ολικό μέγεθος αφού λαμβάνει υπόψη όλους τους κύριους παράγοντες κινδύνου. Εστιάζει στην αποτίμηση ενός χαρτοφυλακίου, κυρίως σε επίπεδο επιχείρησης, και όχι μόνο σε κάθε μία τοποθέτηση αυτού. Το VaR δίνει στους διαχειριστές ρίσκου χρήσιμες πληροφορίες για τις πιθανότητες που σχετίζονται με συγκεκριμένα επίπεδα απώλειας. Το VaR εκφράζεται σαν μία μονάδα μεγέθους η οποία είναι εύκολα κατανοητή, αφού μας δίνει την απώλεια χρημάτων. Παρακάτω απαριθμούμε τους λόγους για τους οποίους το VaR έγινε τόσο δημοφιλές. Οι πληροφορίες που μας δίνει το VaR μπορούν να χρησιμοποιηθούν με πολλούς τρόπους. Οι διαχειριστές μίας επιχείρησης μπορούν να το χρησιμοποιήσουν για να θέσουν το στόχο ολικού κινδύνου. Εάν θελήσουν να αυξήσουν τον κίνδυνο της επιχείρησης θα αυξήσουν τον ολικό στόχο για το VaR και το αντίστροφο. Το VaR μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να καθοριστούν οι ανάγκες σε κεφάλαια. Όσο μεγαλύτερο κίνδυνο διατρέχει μία δραστηριότητα τόσο υψηλότερο είναι το VaR και τόσο μεγαλύτερες οι ανάγκες σε κεφάλαια. Επίσης είναι χρήσιμο να εμφανίζεται σε εσωτερικές αναφορές της επιχείρησης, ενώ πολύ συχνά εμφανίζεται και σε ετήσιες αναφορές που γίνονται γνωστές στο κοινό. Οι κανόνες που στηρίζονται στην μέθοδο VaR μπορεί να καθοδηγήσουν την επενδυτική και συναλλακτική συμπεριφορά μας, καθώς επίσης και στη διαχείριση του ρίσκου χαρτοφυλακίου. Οι πληροφορίες που μας παρέχει το VaR μπορεί να χρησιμοποιηθούν για την εύρεση νέων κανόνων ανταμοιβής των επενδυτών, των διαχειριστών και άλλων υπαλλήλων οι οποίοι λαμβάνοντας υπόψη το ρίσκο στο οποίο εκτίθενται μπορούν να πάρουν καλύτερες αποφάσεις. Τα συστήματα που βασίζονται στη μέθοδο VaR μπορεί να χρησιμοποιηθούν για την μέτρηση και άλλων ειδών ρίσκου όπως το πιστωτικό, το ρίσκο ρευστότητας και το λειτουργικό ρίσκο. 29

30 Τελικά το VaR μπορεί να δώσει μια ποιο συνεπή και ενιαία προσέγγιση στη διαχείριση διαφόρων χρηματοοικονομικών κινδύνων και φυσικά να οδηγήσει σε καλύτερη διαχείριση του σαν σύνολο..4 Περιορισμοί του VaR ως μέτρο ρίσκου Οι περισσότεροι επαγγελματίες διαχειριστές ρίσκου αγκάλιασαν το VaR με διαφορετικό βαθμό ενθουσιασμού, όμως υπήρχαν και εκείνοι που προειδοποιούσαν ότι το VaR είχε βαθύτερα προβλήματα και θα μπορούσε να αποδειχθεί πολύ επικίνδυνο. Ένα σημείο κλειδί ήταν η εγκυρότητα των υποθέσεων του VaR. Οι Nassim Taleb(997) και Richard Hoppe(998) άσκησαν κριτική στον ανόητο τρόπο με τον οποίο έγινε η μεταφορά μαθηματικών και στατιστικών μοντέλων από τις θετικές επιστήμες σε κοινωνικά συστήματα στα οποία δεν είχαν συχνά ισχύ. Τέτοιου είδους εφαρμογές πολλές φορές αγνοούν σημαντικά χαρακτηριστικά στοιχεία των κοινωνικών συστημάτων, στοιχεία που υπονομεύουν την εγκυρότητα πολλών μοντέλων και αφήνουν τις εκτιμήσεις του VaR εκτεθειμένες σε σφάλματα. Ένα άλλο επιχείρημα το οποίο σχετίζεται με τη μη ακρίβεια των εκτιμήσεων του VaR, αναφέρεται στο γεγονός ότι διαφορετικά μοντέλα VaR μας δίνουν τελείως διαφορετικές εκτιμήσεις. Ακόμα και θεωρητικά παρόμοια μοντέλα μπορούν να δώσουν διαφορετικές εκτιμήσεις για το VaR λόγω των διαφορετικών τρόπων εφαρμογής των μοντέλων. Ο κίνδυνος εδώ είναι εμφανής. Εάν οι εκτιμήσεις μέσου του VaR είναι αρκετά ανακριβής και τις λάβουμε σοβαρά υπόψη, τότε κινδυνεύουμε να υποστούμε πολύ μεγαλύτερο ρίσκο από αυτό που είχαμε υπολογίσει αρχικά. Ο Nassim Taleb(997) είχε διατυπώσει την παρακάτω φράση «Είναι καλύτερα να μην έχεις καθόλου πληροφόρηση απ το να έχεις παραπλανητική πληροφόρηση». Ένα άλλο βαθύτερο πρόβλημα είναι ότι το ρίσκο είναι ενδογενές. Εάν το VaR χρησιμοποιείτε για τον έλεγχο ή την εύρεση της αμοιβής μας, λόγω ανάληψης ρίσκου, θα προσκρούσει στους περιορισμούς του. Για παράδειγμα οι συναλλασσόμενοι θα έχουν κίνητρο να τοποθετηθούν σε επιλογές όπου το ρίσκο είναι υπερεκτιμημένο ή υποεκτιμημένο, με αποτέλεσμα να αναλάβουν περισσότερο ρίσκο από αυτό που 30

31 προτείνει η εκτίμηση VaR. Τα όρια που θέτει το VaR μπορεί να ενθαρρύνουν τους επενδυτές να αναλάβουν υψηλό ρίσκο το οποίο όμως έχει μικρή πιθανότητα παρουσίασης. Επίσης υπάρχουν πολύ λόγοι να πιστεύουμε ότι η χρήση του VaR μπορεί να μας αποθαρρύνει απ την χρήση καλών πρακτικών διαχείρισης ρίσκου. Άλλοι υποστηρίζουν ότι η χρήση του VaR μπορεί να αποσταθεροποιήσει το οικονομικό σύστημα. Αν όλοι χρησιμοποιούν το VaR τότε θα πρέπει όλοι να επανεκτιμήσουν τις θέσεις τους καθώς θα αναμένουν αλλαγές στις τιμές της αγοράς. Η χρήση του VaR δίνει στους διαχειριστές κινδύνου ένα κίνητρο να προστατέψουν τους εαυτούς τους από μικρές απώλειες, αλλά όχι από μεγάλες. Ένας άλλος σημαντικός περιορισμός στην χρήση του VaR είναι ο εξής. Μας λέει μόνο την μέγιστη απώλεια που θα υποστούμε στην περίπτωση που ένα γεγονός δεν εμφανιστεί. Εάν μία δυνητική επένδυση έχει υψηλή αναμενόμενη απόδοση αλλά επίσης περιέχει υψηλή πιθανότητα απώλειας, η απόφαση που θα λάβουμε μέσω της μεθόδου VaR μπορεί να οδηγήσει έναν επενδυτή σε αυτή, ειδικά στην περίπτωση που η υψηλή απώλεια δεν επηρεάζει το VaR (καθώς μπορεί να υπερβαίνει το VaR). Εάν το VaR οδηγήσει έναν επενδυτή που δουλεύει για τον εαυτό του να λάβει παράλογες αποφάσεις τότε δημιουργούνται ακόμα περισσότερα προβλήματα, ειδικότερα στην περίπτωση όπου ανακύπτει θέμα ανάμεσα σε εντολέα και διεκπεραιωτή. Στην περίπτωση που κάποιος επενδυτής επιλέξει προσεκτικά να αγοράσει δικαιώματα, τότε υπάρχει χαμηλή πιθανότητα να υποστεί απώλειες σε ομαλή περίοδο για την αγορά. Επειδή το VaR δεν λαμβάνει υπόψη τι θα συμβεί, σε περίπτωση που υπάρχει μία ανωμαλία στην αγορά, μπορεί να δώσει κίνητρο και να ενθαρρύνει τους επενδυτές να θέσουν έναν στόχο VaR προωθώντας τα δικά τους συμφέροντα ακόμα και σε βάρος του οργανισμού για τον οποίο εργάζονται. Πολλοί υποστηρίζουν ότι στις περιπτώσεις που το VaR είναι αξιόπιστο δεν το χρειαζόμαστε, ενώ όταν το χρειαζόμαστε δεν είναι αξιόπιστο. Γι αυτό το λόγω υπάρχει η ανάγκη εύρεσης ενός εναλλακτικού πλαισίου το οποίο θα μας παρέχει χρήσιμα μέτρα υπολογισμού του ρίσκου. 3

32 Κεφάλαιο 2 ο 2. Υπολογίζοντας το VaR 2. H υπόθεση της κανονικότητας Οι παραδοσιακές προσεγγίσεις χρησιμοποιούσαν το πλαίσιο μέσου-διακύμανσης για την μέτρηση του χρηματοοικονομικού ρίσκου. Η μοντελοποίηση του ρίσκου γινόταν σε όρους μέσου και διακύμανσης (ή τυπικής απόκλισης) του P/L (ή των αποδόσεων). Σημείο εκκίνησης θεωρούσαν την υπόθεση ότι οι ημερήσιες αποδόσεις υπάκουαν στην κανονική κατανομή. Μία τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται κανονικά με μέσο μ και διακύμανση σ 2 (ή τυπική απόκλιση σ), εάν η πιθανότητα το Χ να πάρει την τιμή x, η f(x) υπακούει στην ακόλουθη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: f( x) = exp σ 2π ( x μ ) 2 2 2σ Όπου το x ορίζεται < x <. Μία κανονική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας με μέσο 0 και τυπική απόκλιση, ορίζεται σαν τυπική κανονική. Μία συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας παρουσιάζει όλα τα πιθανά τυχαία αποτελέσματα. Δείχνει ποια αποτελέσματα είναι δυνατά και πόσο πιθανά είναι. 8 Η υπόθεση της κανονικότητας είναι ελκυστική για πολλούς λόγους. Ένας λόγος είναι ότι έχει περιορισμένη πιθανοφάνεια, ειδικά σε περιπτώσεις όπου μπορούμε να κάνουμε χρήση του κεντρικού οριακού θεωρήματος. Επίσης παρέχει πλαίσια ανάλυσης αθροιστικών πιθανοτήτων και κλασματημορίων: Pr [ ] ( x μ ) 2 x X x = exp dx 2 2 2σ σ π q a = μ + σ z Όπου το α είναι το επιλεγμένο διάστημα εμπιστοσύνης και το z α είναι τυπική κανονική απόκλιση για αυτό το διάστημα εμπιστοσύνης. Η παραπάνω συνάρτηση δίνει την a 8 Kevin Dowd Measuring market risk. Wiley second edition. Κεφ. 2 32

33 πιθανότητα το X να είναι μικρότερο ή ίσο με x, και μας επιτρέπει να απαντήσουμε σε ερωτήσεις πιθανοτήτων. Η δεύτερη συνάρτηση μας επιτρέπει να απαντήσουμε σε ποσοτικές ερωτήσεις, αφού μας δείχνει την χαμηλότερη τιμή που μπορούμε να αναμένουμε σε ένα δεδομένο επίπεδο εμπιστοσύνης. Ένα άλλο πλεονέκτημα της κανονικής κατανομής είναι ότι απαιτεί μόνο δύο παραμέτρους, το μέσο και την τυπική απόκλιση. Όπου ο μέσος είναι η αναμενόμενη απόδοση μίας επένδυσης και η τυπική απόκλιση είναι το ρίσκο που σχετίζεται με αυτήν την επένδυση. Τα στοιχείο κλειδί αυτής της μεθόδου είναι ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την τυπική απόκλιση σαν μέτρο ρίσκου. 2.. Τα βασικά για το VaR Όπως έχουμε είδη δει το πλαίσιο μέσου-διακύμανσης δίνει αρκετά καλά αποτελέσματα σε ελλειπτικές κατανομές, αλλά δεν είναι αξιόπιστο όταν έχουμε να αντιμετωπίσουμε μη κανονικές κατανομές. Οπότε θα πρέπει να βρούμε ένα εναλλακτικό πλαίσιο του οποίου τα αποτελέσματα σχετικά με το ρίσκο θα έχουν ισχύ σε περιπτώσεις μη κανονικών κατανομών. Μειώνοντας τους περιορισμούς στην P/L κατανομή και εστιάζοντας στα άκρα της (αυτό είναι το χειρότερο p% των αποτελεσμάτων που λαμβάνουμε) βρίσκουμε το VaR. Με επίπεδο σημαντικότητας α και ορίζοντας το p=-α, καθώς επίσης αν q p είναι το p-κλασματημόριο του ενδεχόμενου P/L του χαρτοφυλακίου κατά την διάρκεια μιας χρονικής περιόδου, το VaR δίνεται από: Το VaR ορίζεται από δύο παραμέτρους: VaR = q p. Το επίπεδο σημαντικότητας α, το οποίο μας δίνει την πιθανότητα να λάβουμε ένα αποτέλεσμα και να μην είναι χειρότερο από το VaR. 2. Είναι η περίοδος που κρατάμε το χαρτοφυλάκιό μας, η οποία μπορεί να είναι μία ημέρα, μία εβδομάδα, ένας μήνας κλπ. 33

34 2..2 Tο Expected Shortfall ως μέτρο ρίσκου Οι υπολογισμοί για το VaR που βασίζονται σε ποσοστό κάλυψης %, μπορεί να καλύπτουν το γεγονός ότι τα άκρα της κατανομής δεν προσαρμόζονται στην κανονική κατανομή. 9 0,03 0,025 0,02 % VaR for Normal Distribution and for EVT 0,05 0,0 0, ,00-4,83-4,65-4,47-4,30-4,2-3,95-3,77-3,60-3,42-3,25-3,07-2,90-2,72-2,55-2,37 Διάγραμμα 4 Σύγκριση κατανομών 0 Το διάγραμμα 4 δείχνει το αριστερό άκρο της κανονικής κατανομής καθώς και την EVT κατανομή με ξ=0,5. Οι δύο κατανομές έχουν το ίδιο VaR αλλά τελείως διαφορετικά άκρα. Το άκρο της κανονικής κατανομής πολύ γρήγορα τείνει στο 0, ενώ η κατανομή EVT έχει μακρύτερα άκρα. Το σχήμα μας δείχνει ότι μπορεί να έχουμε το ίδιο VaR αλλά τελείως διαφορετικό προφίλ ρίσκου. Το χαρτοφυλάκιο της EVT κατανομής περιέχει περισσότερο ρίσκο. Μεγάλες αποκλίσεις από το VaR μπορεί να προκαλέσουν οικονομικούς κινδύνους, όπως χρεοκοπία, οπότε και χρειαζόμαστε ένα μέτρο ρίσκου που υπολογίζει το μέγεθος των μεγάλων απωλειών καθώς επίσης και την πιθανότητα εμφάνισής τους. Το καλύτερο μέτρο μεγάλων απωλειών είναι χωρίς αμφιβολία το σχήμα των άκρων της κατανομής απώλειας πέρα από το VaR. Όταν μοντελοποιήσουμε σωστά τα 9 Philippe Jorion,. 200.Value at Risk. Mc Graw Hill second edition. Κεφ. 6 0 Peter F. Christoffersen Elements of Financial Risk Management, Chapter 4: Modeling the Conditional Distribution. McGill University and CIRANO. Σελ

35 άκρα της κατανομής αποδόσεων χαρτοφυλακίου, καταδεικνύουν στον διαχειριστή ρίσκου ότι χρειάζεται για τις μελλοντικές απώλειες. Η πρόκληση ήταν να βρεθεί ένα μέτρο ρίσκου χαρτοφυλακίου το οποίο εξακολουθεί να έχει την απλότητα του VaR αλλά περιλαμβάνει στοιχεία για το σχήμα των άκρων. Το Expected Shortfall (ES) ή διαφορετικά το VaR των άκρων κάνει ακριβώς το παραπάνω. Το ES ορίζεται ως: p p ESt = E t Rt Rt < VaR t το αρνητικό πρόσημο μπροστά από το VaR χρειάζεται καθώς το VaR συχνά ορίζετε σαν θετικός αριθμός. Το ES δίνει πληροφορίες στον διαχειριστή ρίσκου για το ποια θα είναι η αναμενόμενη απώλεια αν εμφανιστεί κάποιο ακραίο γεγονός. Το ES μας δείχνει την αναμενόμενη τιμή της αυριανής απόδοσης, δεδομένου ότι είναι χειρότερη από το VaR. Το σχήμα των άκρων της κατανομής είναι ένα αντικείμενο δύο διαστάσεων που μας δίνει πληροφόρηση για το εύρος των πιθανών απωλειών στον άξονα Χ και την πιθανότητα που σχετίζετε με κάθε αποτέλεσμα στον άξονα Y. Το ES αθροίζει αυτές τις δύο διαστάσεις σε έναν αριθμό υπολογίζοντας το μέσο των αποτελεσμάτων των άκρων σταθμισμένο με τις πιθανότητές του. Ενώ το VaR δείχνει την απώλεια, έτσι ώστε μόνο το % των πιθανών απωλειών να είναι χειρότερο, το ES μας δίνει την αναμενόμενη απώλεια με δεδομένου ότι θα λάβουμε απώλεια από το % των άκρων. Ενώ δεν λαμβάνουμε όλη την πληροφόρηση από το σχήμα των άκρων όταν χρησιμοποιούμε την ES, είναι το κλειδί πέρα από το μέτρο VaR. Για να δούμε καλύτερα πως λειτουργεί το ES σαν μέτρο ρίσκου ας δούμε αρχικά την κανονική κατανομή. Η αναμενόμενη τιμή μιας κανονικής μεταβλητής με μέσο 0 είναι: όπου φ ( ) οπότε έχουμε: φ ES = E R R VaR = σ Φ p ( VaRt σ t) ( VaRt σ t) p p t t t t t t p δείχνει την πυκνότητα της τυπικής κανονικής κατανομής. Γνωρίζουμε ότι: VaR = σ Φ p t t ( p) 35

36 ES p t φ = σ t ( Φ ( p) ) p το οποίο έχει δομή περίπου ίδια με το VaR. Ο δείκτης ES VaR είναι: p t p t ( Φ ( p) ) Φ ( ) ES φ = VaR p p Εάν για παράδειγμα p=0,0, έχουμε ( p) ES VaR 0,0 t 0,0 t Φ 2,33 και δείκτη: ( ) ( π ) ( ) 0,0( 2,33) exp 2,33 2 =,5 Καθώς η πιθανότητα κάλυψης του VaR p τείνει στο 0, ο δείκτης του ES VaR τείνει στο. Ο δείκτης ES VaR για τα χοντρά άκρα θα είναι υψηλότερος από αυτόν της κανονικής κατανομής. Για την EVT κατανομή καθώς το p τείνει στο 0 ο δείκτης ES VaR συγκλίνει στο: ES VaR ξ p 0 t p 0 t Σε κατανομές με χοντρά άκρα όπου το ξ>0, το ES θα είναι μεγαλύτερο από το VaR, ανεξάρτητα από το ποσοστό κάλυψης p. Αυτό στη συνέχεια μας δείχνει ότι όταν το % των VaRs από μία κανονική και μία EVT κατανομή είναι ίδια, η EVT με ξ>0 θα έχει υψηλότερο ES. Το μέτρο ES είναι πιο αποκαλυπτικό από το VaR σε σχέση με το μέγεθος των απωλειών που υπερβαίνουν το VaR Backtesting Expected Shortfall Στην ενότητα 2..2 είδαμε ότι το μέτρο VaR έχει κάποιο μειονέκτημα σαν μέτρο ρίσκου και ορίσαμε το ES: ES = E R R < VaR p p t+ t PF, t+ PF, t+ t+ σαν εναλλακτική λύση. Τώρα θα δούμε πως θα κάνουμε εκ των υστέρων έλεγχο στο ES. 36

37 Έστω ένας πίνακας μεταβλητών Χ t, που είναι γνωστός στον διαχειριστή ρίσκου, οι οποίες μπορούν να τον βοηθήσουν να επεξηγήσει απώλειες πέρα από αυτές που επεξηγεί το μοντέλο ρίσκου. Το ES υπόσχετε ότι όποτε έχουμε παραβίαση στο VaR η p αναμενόμενη τιμή της παραβίασης θα είναι ίση με ES +. Μπορούμε οπότε να ελέγχουμε το μέτρο ES ελέγχοντας εάν ο πίνακας Χ t έχει την ικανότητα να εξηγήσει την απόκλιση της παρατηρούμενης απώλειας R PF, t +, από την αναμενόμενη απώλεια των ημερών όπου το VaR παραβιάστικε. Αλγεβρικά έχουμε: R ES = b + b Χ + e, για t+ όπου R < VaR + p p PF, t+ t+ 0 t t+ PF, t+ t όπου t+ αναφέρετε μόνο στις μέρες που το VaR παραβιάστηκε. Οι παρατηρήσεις όπου το VaR δεν παραβιάστικε αφερέθηκαν από το δείγμα. Το σφάλμα e t+ είναι ανεξάρτητο από τον regressor (ανεξάρτητη μεταβλητή) Χ t. Για να ελεγχθεί η μηδενική υπόθεση, ότι δηλαδή το μοντέλο ρίσκου από το οποίο έγιναν οι προβλέψεις ES χρησιμοποιεί όλη την πληροφόρηση (b =0) και δεν παραβιάζετε (b 0 =0) μπορούμε να κάνουμε συνδυασμένο έλεγχο b 0 = b = 0. Το μέτρο ES δεν έχει κάποιες συγκεκριμένες ιδιότητες σε σχέση με την υπόλοιπη κατανομή και γι αυτό χρησιμοποιούμε μόνο τις παρατηρήσεις όπου οι απώλειες ήταν μεγαλύτερες από το VaR. t 2.2 Μη παραμετρικό Value-at-Risk Οι μη παραμετρικές προσεγγίσεις για την εκτίμηση του ρίσκου είναι οι πιο διαδεδομένες καθώς δεν κάνουν ισχυρές υποθέσεις για την κατανομή και είναι πιο εύκολες στην εφαρμογή τους. Το βασικό χαρακτηριστικό αυτών των προσεγγίσεων είναι ότι προσπαθούμε να αφήσουμε τα δεδομένα Profit/Loss να μιλήσουν από μόνα τους χρησιμοποιώντας εμπειρικές κατανομές για το Profit/Loss για να εκτιμήσουμε τα μέτρα ρίσκου χωρίς να κάνουμε χρήση κάποιας θεωρητικής κατανομής. Όλες οι μη παραμετρικές προσεγγίσεις βασίζονται στην υπόθεση ότι το κοντινό μέλλον θα μοιάζει με το πρόσφατο παρελθόν, οπότε χρησιμοποιώντας δεδομένα από το πρόσφατο παρελθόν θα μπορούμε να κάνουμε προβλέψεις για το ρίσκο στο κοντινό μέλλον. Στην απόφαση μας για την χρήση των μη παραμετρικών μεθόδων θα πρέπει να κρίνουμε σε ποιο βαθμό 37

38 τα δεδομένα που έχουμε για το πρόσφατο παρελθόν είναι πιθανόν να μας δώσουν ένα καλό οδηγό για το ρίσκο που πρόκειται να αντιμετωπίσουμε για μικρό χρονικό ορίζοντα. Στο συγκεκριμένο κεφάλαιο θα επικεντρωθούμε στην εκτίμηση των μη παραμετρικών VaR και ES (Expected Shortfall). Θα δώσουμε ιδιαίτερο βάρος στην εκτίμηση μέσο της ιστορικής προσομοίωση καθώς επίσης στην μέθοδο σταθμισμένης ιστορικής προσομοίωσης Historical Simulation Σύνταξη Δεδομένων Ιστορικής Προσομοίωσης (HS) Το πρώτο που πρέπει να κάνουμε είναι να κατασκευάσουμε μία κατάλληλη χρονοσειρά P/L για το χαρτοφυλάκιό μας. Αυτό απαιτεί ένα σύνολο από ιστορικά δεδομένα για το P/L ή για τις παρατηρούμενες αποδόσεις των στοιχείων του χαρτοφυλακίου μας. Τα παραπάνω δεδομένα πρέπει να έχουν μία συγκεκριμένη συχνότητα, πχ ημερήσια και χρειαζόμαστε ένα σχετικά μεγάλο σύνολο δεδομένων. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα χαρτοφυλάκιο με n στοιχεία και για κάθε στοιχείο i διαθέτουμε δεδομένα για τις αναμενόμενες αποδόσεις σε κάθε T υποπερίοδο. Εάν R i,t είναι η απόδοση του στοιχείου i την περίοδο t, και αν w i είναι το ποσό που έχουμε επενδύσει στο στοιχείο i τότε το P/L του ιστορικά προσομοιωμένου χαρτοφυλακίου, για την υποπερίοδο t, δίνεται από την συνάρτηση: PL t n = wr i Η παραπάνω ισότητα είναι η βάση της ιστορικής προσομοίωσης για το VaR και το ES. Τα αποτελέσματα για το P/L μπορεί να μην είναι ακριβώς όμοια με το πραγματικό P/L που θα κερδίζαμε από το χαρτοφυλάκιό μας καθώς αυτό μπορεί να είχε αλλάξει σύνθεση κατά την διάρκεια του χρόνου. Η ιστορική προσομοίωση δίνει ποιο αξιόπιστα i= i, t Kevin Dowd Measuring market risk. Wiley second edition. Κεφ. 4 38

39 αποτελέσματα αν το χαρτοφυλάκιο έχει μη μεταβαλλόμενη σύνθεση κατά την περίοδο που μελετάμε. Καθώς με την μη παραμετρική προσομοίωση καταλήγουμε σε ένα και μοναδικό HS P/L, αντιλαμβανόμαστε ότι η μέθοδος αυτή προσαρμόζεται σε προβλήματα πολλών διαστάσεων. Αυτό σημαίνει ότι η μέθοδος αυτή θα επιλέγετε σε περιπτώσεις όπου έχουμε να χειριστούμε προβλήματα πολλών παραμέτρων Βασική Historical Simulation Η εκτίμηση του VaR μπορεί να γίνει με τη χρήση ενός ιστογράμματος όπου παρουσιάζει τα δεδομένα σε σχέση με το P/L καθώς και τη συχνότητά του. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε 000 παρατηρήσεις για το P/L, με επίπεδο σημαντικότητας 95%, το VaR δίνεται από την τιμή η οποία βρίσκεται στο υψηλότερο 5% των μεγαλύτερων απωλειών. Απλούστερα με δεδομένες 000 παρατηρήσεις η τιμή του VaR θα δίνεται από την τιμή 5 ης υψηλότερης απώλειας. Το ES θα είναι τότε ο μέσος όρος των 50 υψηλότερων απωλειών. 39

40 Διάγραμμα 5 Historical Simulation VaR και ES Bootstrapped Historical Simulation Μία βελτίωση της μεθόδου HS είναι να εκτιμήσουμε το VaR και το ES από Bootstrapped δεδομένα. Η διαδικασία Bootstrapped αφορά την επαναδειγματοληψία απ τα υπάρχοντα δεδομένα μας με αντικατάσταση. Η συγκεκριμένη διαδικασία είναι συχνά πολύ ακριβής και εύκολη στην εφαρμογή της. Για να εφαρμόσουμε την μέθοδο αυτή χρειαζόμαστε έναν μεγάλο αριθμό δειγμάτων ίδιου μεγέθους με το αρχικό, τα οποία δημιουργούνται ύστερα από την τυχαία επιλογή στοιχείων από το αρχικό δείγμα. Κάθε νέο δείγμα μας δίνει μία νέα εκτίμηση για το VaR. Η καλύτερη εκτίμηση του VaR είναι ο μέσος όρος αυτών. Η ίδια προσέγγιση μπορεί να πραγματοποιηθεί για την εκτίμηση του ES. Η άριστη εκτίμηση του ES θα είναι ο μέσος όρος των εκτιμήσεων που έχουμε λάβει από τα νέα δείγματα 2 Kevin Dowd Measuring market risk. Wiley second edition. Σελ

41 Historical Simulation χρησιμοποιώντας μη παραμετρική εκτίμηση πυκνότητας Για τη βελτίωση της μεθόδου HS έχει προταθεί η μέθοδος της εκτίμησης μη παραμετρικής πυκνότητας. Η βασική μέθοδος ιστορικής προσομοίωσης δεν κάνει καλή χρήση της πληροφόρησης που διαθέτουμε. Μας επιτρέπει μόνο να εκτιμήσουμε το VaR σε διακριτά διαστήματα εμπιστοσύνης τα οποία καθορίζονται με βάση το μέγεθος του συνόλου των δεδομένων που διαθέτουμε. Με την χρήση της εκτίμησης μη παραμετρικής πυκνότητας επιλύονται τα δύο παραπάνω προβλήματα. Η βασική ιδέα είναι να χειριστούμε τα δεδομένα μας σαν να είχαν ληφθεί από μία μη συγκεκριμένη ή άγνωστη εμπειρική συνάρτηση κατανομής. Αυτή η προσέγγιση μας επιτρέπει να λάβουμε αποφάσεις σχετικά με το πλάτος των ράβδων του ιστογράμματος και για το σημείο στο οποίο θα βρίσκεται το κέντρο των ράβδων. Μετά την κατασκευή του συνόλου των δεδομένων λαμβάνουμε απόφαση σχετικά με το πλάτος των ράβδων και για την χρήση ή μη ιστογράμματος. Αν η απόφασή μας είναι σωστή θα λάβουμε καλύτερους εκτιμητές για το VaR και το ES. Η μη παραμετρική εκτίμηση πυκνότητας πιθανότητας μας επιτρέπει επίσης να εκτιμήσουμε τα VaR και ES για οποιοδήποτε επίπεδο εμπιστοσύνης, ώστε να αποφύγουμε τους περιορισμούς που τίθενται από το μέγεθος του συνόλου των δεδομένων μας. Μας επιτρέπει δηλαδή να τραβήξουμε γραμμές πάνω ή δίπλα στις άκρες των ράβδων και όχι ακριβώς στη μέση. Μια μέθοδος είναι να χειριστούμε το ιστόγραμμα σαν μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, αφού υποθέτουμε ότι το ύψος του ιστογράμματος μετρά την σχετική συχνότητα. Δυστυχώς η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας θα είναι περίεργη, οπότε θα ήταν καλύτερο να προσεγγίσουμε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας τραβώντας γραμμές ενώνοντας τα υψηλότερα σημεία του ιστογράμματος. Ένας εύκολος τρόπος είναι να τραβήξουμε ευθείες γραμμές που ενώνουν τα μέσα των ράβδων του ιστογράμματος. Αφού σχεδιαστεί η γραμμή ξεχνάμε το ιστόγραμμα και θεωρούμε την γραμμή που σχηματίσαμε σαν μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Το παραπάνω μας επιτρέπει να εκτιμήσουμε το VaR σε καλό επίπεδο εμπιστοσύνης. Φυσικά αυτό δεν είναι και το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε. Μπορούμε να σχεδιάσουμε ομαλές καμπύλες που να ενώνουν αυτά τα σημεία. Αυτή είναι η ουσία της 4

42 μη παραμετρικής εκτίμησης πυκνότητας πιθανότητας. Ο στόχος της είναι να μας παρέχει έναν οδηγό βέλτιστης σχεδίασης και ένωσης των σημείων που διαθέτουμε. Ενώ η μέθοδος είναι καλή στην θεωρεία δεν παράγει απαραίτητα καλύτερους εκτιμητές. Υπάρχουν όμως πρακτικοί λόγοι για την χρήση της καθώς η σχεδίαση ευθειών που ενώνουν τα μέσα των ράβδων είναι ευκολότερη Εκτίμηση καμπυλών για τα VaR και ES Είναι εύκολο να σχεδιάσουμε διάγραμμα που να παρουσιάζει την σχέση ανάμεσα στο επίπεδο εμπιστοσύνης και στα VaR και ES. Η καμπύλη VaR είναι σχετικά μη σταθερή, καθώς αντικατοπτρίζει την τυχαιότητα των παρατηρούμενων απωλειών. Η καμπύλη ES είναι πιο ομαλή καθώς κάθε ES είναι ο μέσος όρος των μέσων απωλειών. Μπορούν επίσης να κατασκευαστούν καμπύλες που δείχνουν πώς τα μη παραμετρικά VaR και ES αλλάζουν στην διάρκεια της περιόδου διακράτησης του χαρτοφυλακίου. Οι μέθοδοι που συζητήθηκαν ως τώρα μας επιτρέπουν να εκτιμήσουμε το VaR και ES για μια περίοδο διακράτησης χαρτοφυλακίου. Εάν θελήσουμε να εκτιμήσουμε το VaR για την διάρκεια μίας εβδομάδας, τότε θα πρέπει να κατασκευάσουμε μία εβδομαδιαία σειρά δεδομένων και να εκτιμήσουμε το VaR από αυτή. Υπάρχει όμως ένα σημαντικό πρακτικό πρόβλημα. Καθώς αυξάνεται η διάρκεια διακράτησης του χαρτοφυλακίου ο αριθμός των δεδομένων πέφτει και σύντομα θα βρούμε ότι δεν έχουμε αρκετά δεδομένα. Για παράδειγμα, αν έχουμε 000 παρατηρήσεις ημερησίου P/L μπορεί να μειωθούν σε 200 εβδομαδιαίες παρατηρήσεις ή 50 μηνιαίες παρατηρήσεις. Σε σχέση με τα αρχικά δεδομένα, ο αριθμός των αποτελεσματικών παρατηρήσεων φθίνει συνεχώς καθώς αυξάνει η διάρκεια διακράτησης του χαρτοφυλακίου. Σε κάθε περίπτωση οι πολύ παλιές παρατηρήσεις μπορεί να μην σχετίζονται με τις σημερινές συνθήκες αγοράς. 42

43 Διάγραμμα 6 VaR και ES ανάλογα με το διάστημα εμπιστοσύνης Εκτίμηση διαστημάτων εμπιστοσύνης για την HS VaR and ES Οι μέθοδοι που αναπτύξαμε ως τώρα είναι καλές καθώς μας δίνουν εκτιμήσεις για το VaR και το ES, όμως δεν μας δίνουν καμία ένδειξη για την ακρίβεια αυτών των εκτιμήσεων, καθώς και για το επίπεδο εμπιστοσύνης των VaR και ES. Παρόλα αυτά υπάρχουν μέθοδοι που μας βοηθούν να ξεπεράσουμε αυτούς τους περιορισμούς και να παράγουμε επίπεδα εμπιστοσύνης για τα μέτρα ρίσκου. 3 Kevin Dowd Measuring market risk. Wiley second edition. Σελ

44 Θεωρεία των order-statistics για την εκτίμηση των διαστημάτων εμπιστοσύνης των HS VaR και ES Μια από τις καλύτερες μεθόδους είναι να εφαρμόσουμε την θεωρεία των orderstatistics. Αυτή η μέθοδος δεν μας δίνει απλά το VaR ή το ES, αλλά μια ολόκληρη συνάρτηση κατανομής από την οποία μπορούμε να διαβάσουμε τα διαστήματα εμπιστοσύνης για το VaR και το ES. Αυτή η προσέγγιση είναι σχετικά εύκολη και γενική στην εφαρμογή της. Εφαρμοσμένη στο παράδειγμα που αναφέραμε παραπάνω, για το P/L η προσέγγιση OS μας δίνει εκτιμήσεις για το 5% και 95% της συνάρτησης κατανομής του VaR, οπότε είμαστε 90% σίγουροι ότι η πραγματική τιμή του VaR βρίσκεται μεταξύ του 5% και 95% της κατανομής Μια Bootstrap προσέγγιση για την εκτίμηση των διαστημάτων εμπιστοσύνης των HS VaR και ES Μπορούμε επίσης να εκτιμήσουμε τα διαστήματα εμπιστοσύνης χρησιμοποιώντας την προσέγγιση Bootstrap. Κατασκευάζουμε ένα ιστόγραμμα Bootstrap από επαναδειγματισμό εκτιμήσεων για το VaR και το ES. Έπειτα διαβάζουμε το διάστημα εμπιστοσύνης από το διάγραμμα του ιστογράμματος. Για παράδειγμα, παίρνουμε 000 Bootstrapped δείγματα από το σύνολο δεδομένων για το P/L, και εκτιμάμε στη συνέχεια το 95% του VaR για το καθένα. Μετά τα σχεδιάζουμε σε ένα ιστόγραμμα όπου θα βρούμε ένα 90% διάστημα εμπιστοσύνης για το VaR. Το προσομοιωμένο ιστόγραμμα (διάγραμμα 7) έχει κενά ανάμεσα στις ράβδους. Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε το Bootstrap για να εκτιμήσουμε το ES με παρόμοιο τρόπο, καθώς όπως έχουμε ξαναπεί το ES είναι ο μέσος όρος των απωλειών που υπερβαίνουν το VaR. Εάν επαναλάβουμε πολλές φορές την διαδικασία λαμβάνουμε ένα μεγάλο αριθμό εκτιμήσεων για το ES και μπορούμε να τις παρουσιάσουμε σε ιστόγραμμα (διάγραμμα 8) με το ίδιο τρόπο όπως και του VaR. Το ιστόγραμμα για το ES έχει καλύτερη συμπεριφορά από αυτό του VaR καθώς το ES είναι ο μέσος όρος των άκρων της κατανομής του VaR. Εάν συγκρίνουμε τα αποτελέσματα με την μέθοδο OS και Bootstrap, παρατηρούμε ότι είναι παρόμοια. 44

45 Διάγραμμα 7 Bootstrapped VaR 4 4 Kevin Dowd Measuring market risk. Wiley second edition. Σελ

46 Διάγραμμα 8 Bootstrapped ES 5 90% επίπεδο εμπιστοσύνης για μη παραμετρικά VaR και ES Προσέγγιση Κατώτατο όριο Ανώτατο όριο 95% VaR Order statistics,552,797 Bootstrap,554,797 95% ES Order statistics 2,02 2,224 Bootstrap,986 2,27 Πίνακας 3 Σύγκριση διαστημάτων εμπιστοσύνης για τα VaR και ES 6 5 Kevin Dowd Measuring market risk. Wiley second edition. Σελ. 9 6 Kevin Dowd Measuring market risk. Wiley second edition. Σελ. 9 46