ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΧΑΤΖΗΜΙΧΑΗΛ ΜΑΡΙΝΑ ΤΡΑΜΠΑΚΟΣ ΜΑΝΩΛΗΣ ΣΚΟΥΤΕΛΑΣ ΣΠΥΡΟΣ ΛΕΒΑΚΗΣ ΜΑΝΩΛΗΣ

Transcript

1 ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΧΑΤΖΗΜΙΧΑΗΛ ΜΑΡΙΝΑ ΤΡΑΜΠΑΚΟΣ ΜΑΝΩΛΗΣ ΣΚΟΥΤΕΛΑΣ ΣΠΥΡΟΣ ΛΕΒΑΚΗΣ ΜΑΝΩΛΗΣ

2 ΔΙΑΝΕΜΕΤΑΙ ΔΩΡΕΑΝ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Τα Μαθηματικά εργαλεία της Φυσικής Κεφάλαιο 1 ο Ευθύγραμμη Κίνηση.. 18 Κεφάλαιο ο Δυναμική σε μια Διάσταση 80 Κεφάλαιο 3 ο Δυναμική στο Επίπεδο.15 Κεφάλαιο 4 o Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας.158 Κεφάλαιο 5 ο Διατήρηση της ολικής ενέργειας και υποβάθμιση της ενέργειας..03 Κεφάλαιο 6 ο Συνεχές ηλεκτρικό ρεύμα 10

4 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ «ΕΡΓΑΛΕΙΑ» ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Ορισμός Διανύσματος Διάνυσμαλέμε κάθε προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα, του οποίου γνωρίζουμε την αρχή και το τέλος, ( έχει διατεταγμένα άκρα). Φορέα διανύσματος λέμε την ευθεία πάνω στην οποία ανήκει το διάνυσμα. Διεύθυνση διανύσματος λέμε το φορέα του διανύσματος ή κάθε ευθεία παράλληλη προς το φορέα του. Φορά διανύσματος λέμε τον τρόπο διαγραφής του ευθύγραμμου τμήματος, δηλαδή ποια είναι η αρχή και ποιο το τέλος. Η διεύθυνση και η φορά μαζί λέγεται κατεύθυνση του διανύσματος. Μέτρο διανύσματος λέμε το θετικό αριθμό που εκφράζει το μήκος του διανύσματος, όταν το μετράμε με καθορισμένη μονάδα μέτρησης. Συγγραμμικά λέμε τα διανύσματα που έχουν την ίδια διεύθυνση, δηλαδή βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες. Ομόρροπα λέμε τα διανύσματα που έχουν την ίδια διεύθυνση (συγγραμμικά) και την ίδια φορά. Αντίρροπα λέμε τα διανύσματα που έχουν την ίδια διεύθυνση (συγγραμμικά) και έχουν αντίθετη φορά. a a, ό ύ Ίσα διανύσματα λέμε τα διανύσματα που έχουν ίδια κατεύθυνση (ομόρροπα) και ίσα μέτρα. Αντίθετα διανύσματα λέμε τα αντίρροπα διανύσματα (ίδια διεύθυνση αντίθετη φορά) που έχουν ίσα μέτρα. Όπως καταλαβαίνουμε δεν ισχύει ο όρος «ίσα και αντίθετα διανύσματα». Διαδοχικά διανύσματα ονομάζουμε αυτά που το τέλος του ενός είναι αρχή του άλλου.. Πράξεις στα Διανύσματα Πρόσθεση Για δυο διανύσματα a, ί ύ, β υπάρχει διάνυσμα, τέτοιο ώστε. a Διανύσματα διαδοχικά (, β ) Διανύσματα με κοινή αρχή (, β ) Μέτρο διανύσματος : γ α Όπου: γ, α, β = μέτρα των διανυσμάτων,, φ β αβσυνφ θ a 4

5 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Διεύθυνση διανύσματος : βημφ εφθ α βσυνφ Ειδικότερα Διανύσματα ομόρροπα a Μέτρο γ=α+β Κατεύθυνση ίδια με αυτά Διανύσματα αντίρροπα a έ : ύ : ή έ, (δηλαδή του β ) Διανύσματα κάθετα a θ έ : ύ : Aφαίρεση Για δυο διανύσματα a, β υπάρχει διάνυσμα τέτοιο ώστε :. Εδώ θυμήσου ότι ( ) και δες την αφαίρεση ως πρόσθεση του αντιθέτου. Πολλαπλασιασμός Διανύσματος επί πραγματικό αριθμό Για κάθε διάνυσμα και κάθε πραγματικόαριθμό k, υπάρχει διάνυσμα, τέτοιο ώστε: β k α 5

6 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ To διάνυσμα ομόρροπο του αν k θετικός αριθμός και αντίρροπα αν k αρνητικός. Ανάλυση διανυσμάτων σε δύο κάθετα διανύσματα Όπως ένα διάνυσμα F μπορεί να αντικαταστήσει δυο διανύσματα F x, F y έτσι και ένα διάνυσμα F μπορεί να αντικατασταθεί από δυο διανύσματα F x, F y. Η αντικατάσταση του F από τα διανύσματα F x, F y λέγεται ανάλυση του F σε συνιστώσες. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση που οι άξονες x'x και y'y είναι κάθετοι μεταξύ τους y ΔΓ F y F φ Α Για να αναλύσουμε το διάνυσμα F του διπλανού σχήματος στους άξονες x'x, y'y φέρνουμε από το τέλος του Fευθείες παράλληλες στους άξονες., (κανόνας παραλληλογράμμου) Τα σημεία που οι ευθείες αυτές συναντούν τους άξονες ορίζουν τις δύο συνιστώσες F x, F y. Ο F x x Fy F Fx F F F y x F F Διεύθυνση διανύσματος Η διεύθυνση ενός διανύσματος καθορίζεται πάντα σε σχέση με μια γνωστή διεύθυνση, (συνήθως με τον άξονα x x αν έχουμε άξονες ή με την διεύθυνση ενός άλλου γνωστού διανύσματος). α θ γνωστή διεύθυνση Η διεύθυνση καθορίζεται προσδιορίζοντας τη γωνία θ που σχηματίζει ο φορέας του α με τη γνωστή διεύθυνση. Συνήθως αντί για την θ προσδιορίζουμε κάποιο τριγωνομετρικό της αριθμό, κυρίως την εφθ. 6

7 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Τριγωνομετρικοί Αριθμοί σε Ορθογώνιο Τρίγωνο Α Β έ ά ί ί ί ί ά ί ί ί έ ά έ ί ί ά ί ά έ ί έ ά,,,,. Πίνακας Τριγωνομετρικών Αριθμών Βασικών Γωνιών Γωνία θ 0 ο 30 ο (π/6) 45 ο (π/4) 60 ο (π/3) 90 ο (π/) 180 ο (π) 70 ο (3π/) 360 ο (π) ημθ 3 0 1/ συνθ 3 1 1/ εφθ σφθ Συμπληρωματικά Παραπληρωματικά Τόξα ημ(90-φ)=συνφ ημ(180-φ)=ημφ συν(90-φ)=ημφ συν(180-φ)=-συνφ εφ(90-φ)=σφφ εφ(180-φ)=-εφφ σφ(90-φ)=εφφ σφ(180-φ)=-σφφ 7

8 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ y ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Έστω x Ox, y Oy δύο κάθετοι άξονες με κοινή αρχή Ο. Οι δύο άξονες αποτελούν ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα αναφοράς xoy. Κάθε ζεύγος αριθμών (x,y) παριστάνει ένα σημείο στο επίπεδο των αξόνων. Τα x, y λέγονται (καρτεσιανές) συντεταγμένες του σημείου αυτού. Το x λέγεται τετμημένη και το yτεταγμένη. Εφαρμογή: Αν το σημείο Α έχει συντεταγμένες (3,), να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Β, Γ, Δ. Γ Δ A(,3) B x x O y Η σταθερή συνάρτηση y α, x. Κάθε συνάρτηση της μορφής αυτής παριστάνει ευθεία παράλληλη στον x Ox άξονα και τέμνει τον y Oy στο σημείο α. Αν α>0 α -α Αν α<0 Η συνάρτηση y α x, α 0,Κάθε συνάρτηση της μορφής αυτής παριστάνει ευθεία που x διέρχεται από την αρχή των αξόνων, αφού y x 0 y 0. Έτσι έχουμε ένα σημείο το (0,0) και βρίσκουμε άλλο ένα για τυχαίο x. 8

9 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ α>0 α<0 Η συνάρτηση y α x β, α 0, β 0, Κάθε συνάρτηση της μορφής αυτής παριστάνει ευθεία που όμως δεν διέρχεται από την αρχή x0 y x y των αξόνων, αφού. Για να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση μας χρειάζονται δύο σημεία. Σαν πρώτο συνήθως παίρνουμε εκείνο που προκύπτει για x=0, δηλαδή το (0,β), και εκείνο που προκύπτει από το y=0, y0 y x 0 x x, δηλαδή το (-β/α, 0) α>0 α<0 β β -β/α -β/α 9

10 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Η συνάρτηση y α x, α 0, Η συνάρτηση αυτή παριστάνει μια καμπύλη που λέγεται παραβολή. Επειδή y x x0 y 0, η γραφική παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων, δηλαδή από το σημείο (0,0). α>0 α<0 Η συνάρτηση y α x β x, α 0, β 0, Η συνάρτηση αυτή παριστάνει επίσης μια παραβολή. Επειδή y x x0 x y 0, η γραφική παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων, δηλαδή από το σημείο (0,0). α>0 α<0 10

11 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ α Η συνάρτηση y, α 0 x Η συνάρτηση αυτή παριστάνει μια καμπύλη που λέγεται υπερβολή. Όσο μεγαλύτερη είναι η σταθερά α, τόσο πιο μακριά από την αρχή των αξόνων είναι η καμπύλη. α>0 α<0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. 1 ου Βαθμού:. ου Βαθμού: x 0 x ax x 0 4 x 1, ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Πυθαγόρειο θεώρημα, (Ορθογώνια τρίγωνα) Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας. ( ά) ( ύ ) Εμβαδό τριγώνου: E ( ά μεγάλη) ( ά μικρή) Εμβαδό τραπεζίου: E ( ύ ) Εμβαδό ορθογωνίου: E ( ή ) ( ά ) Εμβαδό τετραγώνου πλευράς α: E Εμβαδό κύκλου ακτίνας R: E R Περίμετρος (μήκος) κύκλου ακτίνας R: E R 11

12 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ R φ Ο ρόμβος είναι τετράπλευρο με όλες τις πλευρές του ίσες. Κάθε διαγώνιος διχοτομεί τις γωνίες του.το τετράγωνο είναι και ρόμβος. Η Γωνία στη Φυσική Για να ορίσουμε τη γωνία που σχηματίζουν δύο μη παράλληλες ευθείες, θεωρούμε ένα κύκλο που γράφεται με κέντρο την τομή τους και τυχαία ακτίνα. R 1 φ=s 1 /R 1 =S /R S 1 S Το πηλίκο του μήκους του τόξου που περιέχεται μεταξύ των ευθειών προς την ακτίνα το ορίζουμε γωνία φ. Δηλαδή: S φ R Μονάδα μέτρησης: Aν S=R τότε έχουμε φ=1, αυτή τη γωνία ονομάζουμε ακτίνιο (rad) Σχέση Μοίρας και Ακτινίου Αν στη σχέση φ=s/r πάρουμε μια ολόκληρη περιφέρεια (360 ο ) τότε S=πR τότε φ=πr/r οπότε φ=π rad. Άρα σε 360 ο αντιστοιχούν π rad Άρα x= π φ φ ο x; 360 ο Επομένως για να μετατρέψουμε τις μοίρες σε radπολ/ζουμε με την ποσότητα π. 360 ο Πράξεις με δυνάμεις του δέκα 1. Πολλαπλασιασμός: Διαίρεση: Πρόσθεση Αφαίρεση: ( ) a 10 a

13 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Εισαγωγή στη Φυσική 1. Φαινόμενα Φαινόμενα λέμε τις μεταβολές που γίνονται στη φύση. Φυσικά φαινόμενα λέγονται οι μεταβολές που γίνονται στη φύση κατά τις οποίες δεν αλλάζει ριζικά η σύσταση των σωμάτων και έτσι αυτά μπορούν να επανέλθουν στην αρχική τους κατάσταση. Αντίθετα αν αλλάζει ριζικά η σύσταση των σωμάτων και έτσι αυτά δεν μπορούν να επανέλθουν στην αρχική τους κατάσταση τότε τα φαινόμενα λέγονται χημικά φαινόμενα.. Φυσικές Επιστήμες Με τον όρο Φυσικές Επιστήμες εννοούμε κυρίως τη μέθοδο που χρησιμοποιούν οι επιστήμονες με σκοπό να περιγράψουν και να ερμηνεύσουν τα φαινόμενα που λαμβάνουν χώρα στο φυσικό περιβάλλον, καθώς και το σύνολο της γνώσης που έχει προκύψει από τη μελέτη αυτή. Στις Φυσικές επιστήμες υπάρχουν διάφορες μέθοδοι έρευνας, από αυτές ξεχωρίζουν: Η πειραματική επαγωγική μέθοδος κατά την οποία ξεκινάμε από την παρατήρηση, κάνουμε κάποια υπόθεση, ελέγχουμε την ορθότητά της με κατάλληλο πείραμα και αν αποδειχθεί ότι είναι επιστημονικά ορθή εξελίσσεται σε θεωρία νόμο ή αρχή. Η παραγωγική μέθοδος κατά την οποία ακολουθούμε την αντίστροφη πορεία και ξεκινάμε από μια θεωρία. 3. Φυσικά Μεγέθη Φυσικά Μεγέθη λέμε τα μεγέθη που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή των φυσικών φαινομένων. Για να μετρήσουμε ένα φυσικό μέγεθος, το συγκρίνουμε με ένα άλλο ομοειδές μέγεθος που το παίρνουμε αυθαίρετα ως μονάδα. Ο αριθμός που προκύπτει από τη σύγκριση αυτή λέγεται αριθμητική τιμή του μεγέθους. Η αριθμητική τιμή μαζί με τη μονάδα μέτρησης λέγεται μέτρο του μεγέθους. Τα φυσικά μεγέθη τα διακρίνουμε σε θεμελιώδη και παράγωγα: Θεμελιώδη: είναι τα μεγέθη τα οποία (επιλέγουμε αυθαίρετα και δεχόμαστε) ότι δεν εκφράζονται με τη βοήθεια άλλων απλούστερων. Αυτά είναι αξής: Μήκος, Μάζα, Χρόνος, Ένταση ηλεκτρικού ρεύματος, Θερμοκρασία, Ποσότητα ύλης, Φωτεινή Ένταση. Παράγωγα: είναι τα μεγέθη τα οποία εκφράζονται με τη βοήθεια των θεμελιωδών μεγεθών, (π.χ. ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη, ορμή κ.α.) 4. Μονάδες Μέτρησης Για τις μονάδες μέτρησης των φυσικών μεγεθών χρησιμοποιείται το Διεθνές Σύστημα (SI). Θεμελιώδες Μέγεθος Σύμβολο Μονάδα Όνομα Μονάδας 1 Μήκος L 1m Μέτρο Μάζα m 1kgr Χιλιόγραμμο 3 Χρόνος t 1sec Δευτερόλεπτα 4 Ένταση Ρεύματος I 1A Αμπέρ 5 Θερμοκρασία T 1K Κέλβιν 6 Χημική Μονάδα Μάζας n 1mol Μολ 7 Ένταση Φωτεινής Πηγής Ι 1cd Καντέλα 13

14 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 5. Πολλαπλάσια Υποπολλαπλάσια Για τα Πολλαπλάσια και τα Υποπολλαπλάσια των διαφόρων μονάδων χρησιμοποιούνται ορισμένα προθέματα, τα πιο συνήθη από αυτά είναι: Υποπολλαπλάσια Πολλαπλάσια c - centi 10 - h hecto 10 m - milli 10-3 k - kilo 10 3 μ -micro 10-6 M - Mega 10 6 n - nano 10-9 G - Giga 10 9 p - pico 10-1 T - Tera Μονόμετρα Διανυσματικά Μεγέθη Μονόμετρα λέμε τα μεγέθη που ορίζονται πλήρως όταν δοθεί το μέτρο τους, (όγκος, μάζα, έργο, χρόνος κ.α.) Διανυσματικά λέμε τα μεγέθη που παριστάνονται με διανύσματα και ορίζονται πλήρως όταν δοθούν τα χαρακτηριστικά των διανυσμάτων που τα παριστάνουν, δηλαδή όταν δοθούν: 1. Μέτρο. Διεύθυνση 3. Φορά 4. Σημείο Εφαρμογής κατεύθυνση Στη Μηχανική διανυσματικά μεγέθη είναι η δύναμη, η ταχύτητα, η ορμή, η επιτάχυνση κ.α. 7. Διαστάσεις Διαστάσεις ενός μεγέθους είναι η σχέση του μεγέθους αυτού με τα θεμελιώδη μεγέθη. Παράδειγμα: Η ταχύτητα, μήκος L 1 υ LT, εξίσωση διαστάσεων χρόνος T 8. Μεταβολή ενός Φυσικού Μεγέθους Όταν ένα φυσικό μέγεθος Χ μεταβάλλεται τότε η μεταβολή του δίνεται από τη σχέση: ΔΧ=Χ τελ -Χ αρχ Όταν το μέγεθος αυξάνει τότε Χ τελ >Χ αρχ οπότε ΔΧ>0. Όταν το μέγεθος μειώνεται τότε Χ τελ <Χ αρχ οπότε ΔΧ<0. Όταν το μέγεθος είναι σταθερό τότε Χ τελ =Χ αρχ οπότε ΔΧ=0. Όταν μας ζητάνε τη μείωση ή ελάττωση ενός μεγέθους τότε παίρνουμε Χ αρχ -Χ τελ. 9. Ρυθμός Μεταβολής Ρυθμός Μεταβολής ενός φυσικού μεγέθους (ή ταχύτητα μεταβολής του μεγέθους αυτού)ονομάζουμε το πηλίκο: ΔX X τελ Xαρχ (1), όπου ΔΧ η μεταβολή που έγινε σε χρόνο Δt Δt t τελ t αρχ Αν η χρονική διάρκεια μικραίνει απεριόριστα, «τείνει στο μηδέν», (Δt 0), Τότε ο ρυθμός μεταβολής ονομάζεται στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής. Όταν το μέγεθος δεν μεταβάλλεται ομαλά με το χρόνο, τότε ο ρυθμός μεταβολής δεν είναι σταθερός, οπότε το πηλίκο (1) θα το ονομάζουμε μέσο ρυθμό μεταβολής του Χ στο χρόνο Δt. Όταν μας ζητάνε το ρυθμό μείωσης (ή ελάττωσης) ενός μεγέθους τότε παίρνουμε το, X Χ αρχ Δt τελ 14

15 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 10. Πηλίκο Λόγος Πηλίκο: είναι η διαίρεση μη ομοειδών μεγεθών. Το πηλίκο έχει πάντα μονάδα ίση προς το πηλίκο των μονάδων των μεγεθών. Λόγος: είναι η διαίρεση ομοειδών μεγεθών. Ο λόγος δεν έχει μονάδες γιατί απλοποιούνται, είναι δηλαδή καθαρός αριθμός. 11. Κλίση της ευθείας y α x, α 0 Η γωνία ω που διαγράφει ο ημιάξοναςox μέχρι να συναντήσει την ευθεία ε, λέγεται γωνία κλίσης της ε. Η γωνία κλίσης παίρνει τιμές: y Α(x,y) Γ(y) 1. Πυκνότητα Η πυκνότητα είναι ένα μέγεθος χαρακτηριστικό του υλικού ενός σώματος (σε αντίθεση με τη μάζα και τον όγκο, που χαρακτηρίζουν το σώμα και όχι το υλικό του) και εκφράσει τη μάζα του m υλικού ανά μονάδα όγκου. Συγκεκριμένα, d. V Μονάδα πυκνότητας είναι το 1 kg/m 3. Η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης ονομάζεται, κλίση της ευθείας ή συντελεστής διεύθυνσής της. y & ΟΒx a ω Ο Β(x) x ω=γωνία κλίσης Αν είναι 0 90, η εφω>0 άρα η κλίση είναι θετική, o Αν είναι , η εφω<0 άρα η κλίση είναι αρνητική, Αν είναι ω=0, η εφω=0 άρα η κλίση είναι μηδενική, Αν είναι ω=90 ο, η εφωδεν ορίζεται άρα και η κλίση δεν ορίζεται. 15

16 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά. Να δώσετε παραδείγματα.. Πόσες θεμελιώδεις μονάδες έχει το Διεθνές Σύστημα Μονάδων (S.I.). Να γράψετε τα σύμβολα αυτών. 3. Να μετατρέψετε σε μέτρα τις παρακάτω αποστάσεις. Α. 8cm B. 1km Γ. 5μm 4. Ποια ταχύτητα είναι μεγαλύτερη; Α. 80m/s B. 36km/h Γ. 144m/h Δ. 0.1km/s 5. Nα μετατρέψετε τα παρακάτω μεγέθη στο S.I. Α. 30cm Β. 13mm Γ. 3cm 3 6. Να μετατρέψετε στο Διεθνές Σύστημα τα παρακάτω μεγέθη: Α. 36cm/h, Β. 8km/s, Γ. 6000mm/min, Δ. 10cm 3 7. Να βρείτε τις μεταβολές των παρακάτω μεγεθών. Α. t 1 =3s, t =7s Β. V 1 =5m 3, V =1m 3 Γ. υ 1 =15m/s, υ =7m/s ΠΡΟΣΟΧΗ Η μεταβολή του χρόνου Δtονομάζεται και χρονικήδιάρκεια. 8. Να κάνετε τη γραφική παράσταση τον παρακάτω συναρτήσεων και να υπολογίσετε την κλίση αυτών. Α. y=5x B. y=+3x Γ. y=8-x 9. Να κάνετε τη γραφική παράσταση τον παρακάτω συναρτήσεων. Α. y=x Β. y=x+5x Γ. y=4x-x 10. Αν η θέση ενός σημειακού αντικειμένου είναι 5cm τότε η θέση ενός άλλου που απέχει από αυτό 8cm θα είναι: A. 13cm B.+13cm Γ. +3cm Να σημειώσετε Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). 16

17 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 11. Σε ένα ρολόι του τοίχου ο λεπτοδείκτης έχει μήκος 30cm και ο ωροδείκτης 0cm. Διαλέξτε ένα κατάλληλο ορθογώνιο σύστημα αξόνων και προσδιορίστε τις θέσεις των άκρων των δεικτών όταν το ρολόι δείχνει ότι η ώρα είναι: Α. 7 ακριβώς, Β. 5 ακριβώς, Γ. 1 και 10 λεπτά, Δ. 9 και 5 λεπτά 17

18 Ευθύγραμμη Κίνηση 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ευθύγραμμη Κίνηση 1. Εισαγωγή Πως μπορεί μια ευθεία να γίνει άξονας; Μια ευθεία x x γίνεται άξονας ως εξής: i. Επιλέγουμε ένα σημείο της Ο, (όποιο μα εξυπηρετεί), ως αρχή μετρήσεων. ii. Επιλέγουμε αυθαίρετα μια θετική φορά μετρήσεων την οποία σημειώνουμε με την αιχμή ενός βέλους. Θετικός ημιάξονας iii. Επιλέγουμε τη μονάδα μέτρησης μήκους που μας εξυπηρετεί. Σημείο αναφοράς Ο άξονας χρησιμεύει στο να παριστάνουμε σ αυτόν τις τιμές ή αρχή οποιουδήποτε μεταβλητού μεγέθους. Ο t (sec) Oυ (m/s) Αρνητικός ημιάξονας Πότε θεωρούμε ένα αντικείμενο ως σημειακό αντικείμενο( ή σωμάτιο); Πως μελετούμε την κίνηση ενός αντικειμένου που δεν είναι σημειακό; i. Ένα αντικείμενο θεωρείται σημειακό όταν έχει αμελητέες διαστάσεις, σε σχέση με τις διαστάσεις των σωμάτων που βρίσκονται γύρο του. Ένα τέτοιο αντικείμενο θεωρείται χωρίς διαστάσεις, (σημείο). Το σημειακό αντικείμενο έχει μάζα. ii. Αν το αντικείμενο έχει διαστάσεις εξετάζουμε την κίνησή του, παρατηρώντας την κίνηση ενός συγκεκριμένου σημείου του. Τι λέμε θέση ενός αντικειμένου πάνω σε άξονα και τι διάνυσμα θέσης του αντικειμένου αυτού; i. Ονομάζουμε θέση, ενός σημειακού αντικειμένου πάνω σε άξονα μια δεδομένη χρονική στιγμή, το σημείο στο οποίο βρίσκεται εκείνη τη στιγμή. ii. Ονομάζουμε διάνυσμα θέσης του αντικειμένου, το διάνυσμα OM, όπου Μ είναι η θέση του. x Κ -1 O 1 Mx Παρατήρηση: σε κάθε σημείο Μ ενός άξονα αντιστοιχεί ένας αριθμός που συμβολίζεται με x ή x M και λέγεται συντεταγμένη του Μ(ή τετμημένη). Συγκεκριμένα x M =3, x K =-. Τι ονομάζουμε τιμή διανύσματος που βρίσκεται σε άξονα; Πως συμβολίζεται η τιμή και από ποιο τύπο δίνεται; Ονομάζουμε τιμή ενός διανύσματος που βρίσκεται σε άξονα, το μέτρο του διανύσματος όταν έχει θετική κατεύθυνση και το αντίθετο του μέτρου του όταν έχει αρνητική κατεύθυνση. 18

19 Ευθύγραμμη Κίνηση Τιμή διανύσματος (Δx) = (τετμημένη τέλους) (τετμημένη αρχής) Προσοχή:Το μέτρο ενός διανύσματος AB είναι: ΑΒ = (τετμημένη τέλους) (τετμημένη αρχής) Παράδειγμα: Δ Γ Ο Α Β x x (m) Τιμή του AB : Δx=5-1=4m Τιμή του : Δx=-3-(-1)=-m Εφαρμογή: Στον άξονα του σχήματος δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε. Να βρείτε i. Τις θέσεις των σημείων. ii. Τα διανύσματα θέσεις και τις κατευθύνσεις τους. iii. Τις κατευθύνσεις των διανυσμάτων AB, A,,,,, και τις τιμές τους. iv. Τις τιμές των διανυσμάτων θέσεις. Τι παρατηρείται; x B Γ Ο Ε Α Δ x (m). Η Κίνηση Όταν λέμε ότι ένα σώμα Α κινείται ή ηρεμεί θα πρέπει ταυτόχρονα να αναφέρουμε και ένα άλλο σώμα Β ως προς το οποίο το Α κινείται ή ηρεμεί 1. Επομένως για τη μελέτη της κίνησης θεωρείται αυθαίρετα, ως ακίνητο, ένα σύστημα συντεταγμένων (αναφοράς). Έτσι για παράδειγμα για να μελετηθούν οι κινήσεις που συμβαίνουν στη γη ή κοντά σ αυτή θεωρείται η ίδια η γη ακίνητη. Για να μελετηθεί η κίνηση της γης θεωρείται ο ήλιος ακίνητος κ.λπ. Όμως όπως είναι φανερό δεν υπάρχει κανένα σύστημα αναφοράς που να παραμένει ακίνητο, γι αυτό και όλες οι κινήσεις λέγονται σχετικές κινήσεις. Σαν σύστημα αναφοράς ορίζουμε ένα σύστημα συντεταγμένων με την αρχή του Ο να ταυτίζεται με το σώμα Β, ενώ ως αδρανειακό σύστημα αναφοράς ονομάζουμε αυτό που είναι ακίνητο ή κινείται με σταθερή ταχύτητα ως προς τους απλανείς αστέρες. Οι νόμοι της Φυσικής που θα μάθουμε ισχύουν για αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Επομένως θα λέμε ότι ένα αντικείμενο κινείται, όταν χρονικά αλλάζει θέση σε σχέση με κάποιο σύστημα αναφοράς, το οποίο θεωρούμε κατά συνθήκη ακίνητο. o Το κινούμενο σώμα λέγεται απλώς κινητό. Όταν το κινητό είναι σημειακό αντικείμενο τότε το σύνολο των θέσεων τις οποίες λαμβάνει (δηλαδή η γραμμή την οποία διαγράφει κατά την κίνησή του) ονομάζεται τροχιά 3. Η τροχιά είναι πολύ χρήσιμο στοιχείο της κίνησης. Αν η τροχιά είναι ευθεία, τότε η κίνηση λέγεται 1 Οι κινήσεις εκδηλώνονται ως αποτέλεσμα των διαφόρων αλληλεπιδράσεων μεταξύ των υλικών σωμάτων. Λέγονται αδρανειακά συστήματα αναφοράς γιατί για αυτά ισχύει ο νόμος της αδράνειας (1 ος Νόμος Νεύτωνα). 3 Η εξίσωση τροχιάς όταν το κινητό κινείται στο επίπεδο xoy δίνεται από τη σχέση y=f(x). Avy=f(x) είναια βαθμού η κίνηση θα είναι ευθύγραμμη,ενώ αν είναι ανωτέρου βαθμού η κίνηση θα είναι καμπυλόγραμμη. 19

20 Ευθύγραμμη Κίνηση o ευθύγραμμη, ενώ όταν είναι καμπύλη λέγεται καμπυλόγραμμη. Ειδική περίπτωση καμπυλόγραμμης κίνησης είναι η κυκλική στην οποία η τροχιά είναι κύκλος. Η κίνηση ενός σημειακού αντικειμένου θεωρείται γνωστή όταν είναι γνωστή η θέση του κινητού κάθε χρονική στιγμή και η οποία καθορίζεται όταν δίνονται οι χρονικές συναρτήσεις των συντεταγμένων του, (εξισώσεις κίνησης). Στην περίπτωση μιας κίνησης στο επίπεδο έχουμε δυο χρονικές συναρτήσεις x=x(t), y=y(t). Για εξίσωση σε μια διάσταση έχουμε μια εξίσωση x=x(t). Ευθύγραμμη κίνηση, (Κίνηση σε μία διάσταση) Απομάκρυνση (x), Η απομάκρυνση είναι η αλγεβρική τιμή του διανύσματος θέσης σημειακού αντικειμένου, που βρίσκεται πάνω σε καθορισμένο άξονα. (Απομάκρυνση x σημειακού αντικειμένου που βρίσκεται πάνω σε καθορισμένο άξονα, ονομάζεται η τετμημένη της θέσης του). Μετατόπιση ( Δ x ), Λέμε το διανυσματικό μέγεθος που παριστάνεται με διάνυσμα το οποίο έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού, τέλος την τελική θέση του κινητού, και εκφράζει τη μεταβολή της θέσης, x x x. Αλγεβρική τιμή μετατόπισης = (τετμημένη τέλους) (τετμημένη αρχής) Προσοχή: Το μέτρο της μετατόπισης είναι Δx = x -x 1 Διάστημα ή Απόσταση (S), Λέμε το μονόμετρο (βαθμωτό) μέγεθος που μας δείχνει το μήκος της διαδρομής (τροχιάς), που διέτρεξε ένα κινητό σε χρόνο Δt, χωρίς να μας ενδιαφέρει η φορά της κίνησής του. Το διάστημα έχει πάντα θετικές τιμές, (και άρα συμπίπτει με την τιμή της μετατόπισης μόνο όταν η κατεύθυνση της κίνησης είναι θετική). Παρατηρήσεις: Η έννοια της χρονικής στιγμής t στη Φυσική αντιστοιχεί στην ένδειξη του ρολογιού ή του χρονομέτρου, ενώ η μεταβολή των χρονικών στιγμών ονομάζεται χρονική διάρκεια Δt. Η απομάκρυνση αναφέρεται σε δεδομένη χρονική στιγμή t Η μετατόπιση αναφέρεται σε σημειακό αντικείμενο, σε συγκεκριμένο άξονα (εφόσον η κίνηση είναι ευθύγραμμη) και σε δεδομένη χρονική διάρκεια Δt. Το διάστημα (ή απόσταση) αναφέρεται σε χρονική διάρκεια Δt Δεν υπάρχει αρνητικό χρονικό διάστημα Δt, γιατί πάντοτε είναι t >t 1. 0

21 Ευθύγραμμη Κίνηση Εφαρμογές 1. Το σημειακό αντικείμενο στον άξονα του σχήματος εκτελεί διαδοχικά τις μετατοπίσεις AB, BΓ, ΓΔ κάθε μια με σταθερή φορά. Να υπολογίσετε: i. την τιμή της μετατόπισης και το διάστημα σε κάθε μετατόπιση. ii. το ολικό διάστημα και την ολική μετατόπιση x(m) A ΓΒΔ Λύση Μετατόπιση AB : Μετατόπιση : Μετατόπιση : Δx 1 = 0-(-0)=40m S 1 = Δx 1 =40m Δx = -10-0=-30m S = Δx =30m Δx 3 = 40-(-10)=50m S 3 = Δx 3 =50m ΠΡΟΣΟΧΗ Θετική φορά κίνησης: Δx>0 (=S) Αρνητική φορά κίνησης: Δx<0 ( Δx =S) Δx=x τελ -x αρχ ToSείναι πάντα θετικό. S ολ =S 1 +S + ΆραΔx oλ =Δx 1 +Δx +Δx 3 =60m, S ολ =S 1 +S +S 3 =10m. To διάγραμμα (x-t) του σχήματος αντιστοιχεί σε ευθύγραμμη κίνηση. Από ένα τέτοιο διάγραμμα μπορούμε να βγάλουμε κάποια συμπεράσματα. Να αναπαραστήσετε την x(m) t (sec) κίνηση του κινητού σε ευθύγραμμο άξονα. 1

22 Ευθύγραμμη Κίνηση ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Ερωτήσεις συμπλήρωσης κενών 1. Οι φυσικές ποσότητες με τις οποίες εκφράζονται οι νόμοι της φυσικής ονομάζονται.. Τα φυσικά μεγέθη τα διακρίνουμε σε.. και 3. Λέμε ότι ένα σώμα κινείται όταν αλλάζει θέση στο χώρο σε σχέση με κάποιο. το οποίο θεωρούμε ακίνητο, αλλιώς το σώμα 4. Το διάνυσμα που έχει ως «αρχή» την αρχή των μετρήσεων και ως «τέλος» τη θέση του σημειακού αντικειμένου κάποια στιγμή t, ονομάζεται 5. Η είναι η αλγεβρική τιμή του διανύσματος θέσης του σημειακού αντικειμένου. Όταν το σημειακό αντικείμενο κινείται σε προσανατολισμένο άξονα, τότε η.. είναι ίση με την της θέσης του. 6. Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που συνδέει την αρχική με την τελική θέση ενός κινητού ονομάζεται 7. Η γραμμή που ενώνει τις διαδοχικές θέσεις από τις οποίες περνάει το κινητό ονομάζεται.. του κινητού. 8. Το μήκος της τροχιάς που διατρέχει ένα κινητό σε χρόνο Δt ονομάζεται. Το διάστημα είναι μέγεθος, ενώ η μετατόπιση Ερωτήσεις αντιστοίχισης 9. Έστω ότι ένα κινητό κινείται σε προσανατολισμένη ευθεία γραμμή και η θέση του x x x O t O t O t A B Γ κάθε στιγμή δίνεται από τα παρακάτω διαγράμματα. Το Ο είναι το σημείο αναφοράς ή «αρχή». Αντιστοιχίστε κάθε πρόταση που ακολουθεί στο αντίστοιχο διάγραμμα. i. Το κινητό απομακρύνεται από την «αρχή» κινούμενο με θετική κατεύθυνση. ii. Το κινητό πλησιάζει προς την «αρχή» των μετρήσεων. iii. Το κινητό δεν κινείται. iv. Το κινητό κινείται με αρνητική κατεύθυνση ξεκινώντας από την «αρχή».

23 Ευθύγραμμη Κίνηση 10. Αντιστοιχίστε, Μεγέθη Μονάδα μέτρησης στο S.I. Α. Μήκος 1. 1m Β. Μάζα. 1 kg Γ. Χρόνος 3. 1 m/s Δ. Ταχύτητα 4. 1 s Ερωτήσεις Σωστού - Λάθους 11. Αν χαράξουμε την γραμμή που ενώνει την αρχική και τελική θέση του κινητού που κινείται σε ευθεία, παίρνουμε πάντα την τροχιά του. 1. Ως απομάκρυνση ενός κινητού ορίζουμε το μέτρο του διανύσματος που έχει ως αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική του θέση. 13. Η χρονική στιγμή στη φυσική αντιστοιχεί στην ένδειξη του ρολογιού ή του χρονομέτρου. 14. Στην καθημερινότητα η έκφραση «περίμενε μια στιγμή» περιέχει διάρκεια και δεν αντιστοιχεί στην ένδειξη ρολογιού. 15. Η μετατόπιση είναι διάνυσμα που έχει ως αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική του θέση. 16. Η απόσταση είναι ένας θετικός αριθμός που μας δείχνει τη θέση του κινητού κάθε στιγμή από την αρχή των μετρήσεων. 17. Η απόσταση μπορεί να είναι και αρνητικός αριθμός όταν το κινητό κινείται προς αρνητικές τιμές του προσανατολισμένου άξονα. 18. Η θέση ενός κινητού που κινείται σε ευθεία, με σύστημα αναφοράς την ίδια την ευθεία, προσδιορίζεται από έναν αριθμό που μπορεί να είναι θετικός ή αρνητικός. 19. Για τον προσδιορισμό της θέσης ενός κινητού που κινείται στο επίπεδο αρκεί μόνο η τετμημένη x της θέσης του. 0. Σημειώστε με Σ ή Λ τις παρακάτω προτάσεις, i. Το διάστημα και η μετατόπιση ενός κινητού, που κινείται ευθύγραμμα ταυτίζονται. ii. Το διάστημα και η τιμή της μετατόπισης ενός κινητού, που κινείται ευθύγραμμα προς τη θετική φορά του άξονα, ταυτίζονται. iii. Το διάστημα και η τιμή της μετατόπισης δεν ταυτίζονται σε καμιά περίπτωση. 3

24 Ευθύγραμμη Κίνηση 1. Ένα κινητό κινείται σε προσανατολισμένη ευθεία. Τη στιγμή t 1 περνά από τη θέση Α με τετμημένη x A =-m και τη στιγμή t από τη θέση Β με τετμημένη x B =-11m. Σημειώστε με Σ ή Λ τις παρακάτω προτάσεις, i. Η απόσταση των Α, Β είναι ΑΒ=9μ. ii. Η απομάκρυνση του κινητού σε χρόνο Δt=t -t 1 είναι 9m. iii. Η μετατόπιση του κινητού στη διάρκεια Δt=t -t 1 είναι 9m. iv. Το διάστημα που διανύει το κινητό στη διάρκεια Δt=t -t 1 είναι 9m.. Η τροχιά ενός κινητού μεταξύ δύο θέσεων μπορεί να είναι καμπύλη, ενώ η μετατόπισή του είναι πάντα ευθύγραμμο προσανατολισμένο τμήμα που ενώνει αυτές τις δύο θέσεις. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Είναι σωστό να λέμε πως όταν ένα σώμα έχει θετική μετατόπιση, τότε κινείται στον θετικό ημιάξονα;. Όταν μελετάμε την κίνηση στην εθνική οδό, ποιο από τα παρακάτω θεωρούμε συνήθως ότι είναι ακίνητο; Α. Η Γη Β. Ο Ήλιος Γ. Η Σελήνη Δ. Ο επιβάτης ενός διπλανού οχήματος Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. 3. Σε ένα σύστημα δύο ορθογωνίων αξόνων να βρείτε τα σημεία τα οποία έχουν συντεταγμένες: Α. (, 3) Β. (-3, 4) Γ. (1, -3) 4. Η μετατόπιση ενός σώματος είναι: Α. Το μήκος της τροχιάς του. Β. Το διάστημα που διένυσε Γ. Το διάνυσμα με αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική του θέση. Δ. Το διάνυσμα θέσης του. 5. Περιγράφουμε την ευθύγραμμη κίνηση ενός αντικειμένου, χρησιμοποιώντας άξονα που συμπίπτει με την τροχιά του. Κατά τις χρονικές στιγμές t 1, t και t 3 οι αντίστοιχες τιμές των θέσεων του αντικειμένου ήταν x 1 =6cm, x =10cm, x 3 =1cm. Προσδιορίστε τι τιμές των μετατοπίσεων του αντικειμένου κατά τις χρονικές διάρκειες: i. Από t 1 ως t. ii. Από t ως t 3. iii. Από t 1 ως t 3. (Απ. Δx 1 =4cm, Δx =-9cm, Δx 3 =-5cm ) 4

25 Ευθύγραμμη Κίνηση 6. Ποιες από τις μετατοπίσεις του διπλανού σχήματος είναι θετικές και ποιες αρνητικές; x x (m) Δx 1 Δx Δx 3 7. Ένας ποδηλάτης λέει σε έναν φίλο του «Πήγα από την τοποθεσία Α στην τοποθεσία Β και διέτρεξα μια απόσταση ίση με τη μετατόπισή μου». Τι μπορούμε να συμπεράνουμε για το είδος της τροχιάς του ποδηλάτη; 8. Ένας ποδηλάτης ξεκινά από την πόλη Α και κινούμενος ευθύγραμμα φτάνει στην πόλη Β. Οι δύο πόλεις απέχουν μεταξύ τους 0km. Στη συνέχεια επιστρέφει στην πόλη Α. Η συνολική μετατόπιση του ποδηλάτη έχει μέτρο: Α. 0km B. 40km Γ. 0km Δ. 10km 9. Ένα κινητό που κινείται ευθύγραμμα, τη χρονική στιγμή t 1 βρίσκεται στη θέση x 1 και τη χρονική στιγμή t (t >t 1 ) βρίσκεται στη θέση x. Να βρείτε τη μετατόπιση του κινητού στο χρονικό διάστημα Δt=t -t 1 για τις περιπτώσεις όπου: Α. x 1 =4cm και x =7cm Β. x 1 =0cm και x =6cm Γ. x 1 =9cm και x =3cm Δ. x 1 =cm και x =-cm Ε. x 1 =-3cm και x =-9cm 10. Δύο αντικείμενα Α και Β βρίσκονται στην αρχή του άξονα x Ox και τη χρονική στιγμή t 1 αρχίζουν ταυτόχρονα να κινούνται πάνω στον άξονα προς τα δεξιά. Το αντικείμενο Α, αφού μετακινήθηκα κατά 10m, αλλάζει κατεύθυνση κίνησης και τη χρονική στιγμή t συναντά το αντικείμενο Β στο σημείο Μ του άξονα, το οποίο απέχει 5m από την αρχή Ο. Από τη χρονική στιγμή t 1 μέχρι τη χρονική στιγμή t : (Σημειώστε με Σ ή Λ τις παρακάτω προτάσεις) i. Το μέτρο της μετατόπισης του αντικειμένου Α είναι μεγαλύτερο από το μέτρο της μετατόπισης του αντικειμένου Β. ii. Τα δύο αντικείμενα έχουν την ίδια μετατόπιση. iii. Το αντικείμενο Α διένυσε τριπλάσια απόσταση από το αντικείμενο Β. Αιτιολογήστε την απάντησή σας. 11. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές; Α. Όταν ένα κινητό δεν έχει σταθερή κατεύθυνση κίνησης, για να βρούμε τη μετατόπισή του, δεν μας ενδιαφέρει η διαδρομή του κινητού, αλλά η αρχική και η τελική του θέση. Β. Στη διαδρομή ΑΒΓ η μετατόπιση είναι μικρότερη από ότι στη διαδρομή ΑΒΓΔ Γ. Στη διαδρομή ΑΒΓΔ έχουμε ίδια μετατόπιση με αυτή της διαδρομής ΒΓΔ. Δ. Η μετατόπιση στη διαδρομή ΒΓΔ είναι ίδια με τη μετατόπιση στη διαδρομή ΑΒΓ. Α Β Γ Δ 5

26 Ευθύγραμμη Κίνηση 1. Ένας μαθητής πραγματοποιεί πάνω στον άξοναx x τη διαδρομή ΑΒΓΔ που φαίνεται στο διπλανό σχήμα (τα σημεία Α και Δ συμπίπτουν με το Ο). Για τη διαδρομή αυτή του μαθητή να βρείτε: Α. Πόση είναι η μετατόπισή του; Β. Πόση είναι η απόσταση που διέτρεξε x(m) ΓΔ Α 13. Δίνεται η παρακάτω γραφική παράσταση x t που αναφέρεται σε σημειακό αντικείμενο, σε ευθύγραμμη κίνηση πάνω σε άξονα που συμπίπτει με την τροχιά του. Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: i. Πότε αλλάζει η φορά κίνησης του αντικειμένου. ii. Επί πόσο χρονικό διάστημα το αντικείμενο κινείται στον αρνητικό ημιάξονα iii. Σημειώστε με Σ ή Λ τις παρακάτω προτάσεις Στο χρονικό διάστημα από 0 ως sec: Α. Το αντικείμενο κινείται στον θετικό ημιάξονα. Β. Η μετατόπιση του αντικειμένου έχει θετική φορά. Στο χρονικό διάστημα από 8 ως 11sec: Γ. το αντικείμενο κινείται προς την αρχή Ο του άξονα. Δ. η μετατόπιση του αντικειμένου έχει αλγεβρική τιμή +15m.(Aπ. t=8s, Δt=6s, Σ, Λ, Σ, Σ) Β x(m) t (sec)

27 Ευθύγραμμη Κίνηση 3. Η Ταχύτητα Γενικά, ταχύτητα είναι το φυσικό μέγεθος που εκφράζει πόσο γρήγορα κινείται ένα σώμα και προς τα που κατευθύνεται. Μέση ταχύτητα (σύμβολο ή ) Ορίζουμε σαν μέση ταχύτητα του κινητού για το χρονικό διάστημα Δt το μονόμετρο μέγεθος που έχει μέτρο, ίσο με το πηλίκο του διαστήματος S ολ που διέτρεξε το κινητό στο χρονικό διάστημα Δt, προς το Δt. S t Μέση διανυσματική ταχύτητα Ορίζουμε σαν μέση διανυσματική ταχύτητα του κινητού για το χρονικό διάστημα Δt το διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο, ίσο με το πηλίκο της μετατόπισης x που διέτρεξε το κινητό στο χρονικό διάστημα Δt, προς το Δt και με κατεύθυνση την κατεύθυνση της μετατόπισης. x t x t x1 t Στιγμιαία ταχύτητα Ορίζουμε σαν στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγμή t, την οριακή τιμή που παίρνει η μέση διανυσματική ταχύτητα του κινητού όταν Δt τείνει στο μηδέν. Δηλαδή, 1 x t 0 t Η στιγμιαία ταχύτητα είναι μέγεθος διανυσματικό και το διάνυσμα που την παριστάνει έχει τα εξής χαρακτηριστικά, Σημείο εφαρμογής: το κινητό. Διεύθυνση: τη διεύθυνση της τροχιάς. Φορά: τη φορά της κίνησης και Μέτρο: ίσο με το όριο του μέτρου της μέσης ταχύτητας όταν Δt τείνει στο μηδέν, δηλαδή, x t 0 t Μονάδες ταχύτητας: στο Διεθνές Σύστημα (S.I.) είναι το 1m/sec. 4. Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση λέμε την κίνηση που κάνει ένα κινητό όταν κινείται σε ευθεία γραμμή (τροχιά) κατά την ίδια πάντα φορά και σε ίσους χρόνους διανύει ίσες μετατοπίσεις, δηλαδή το διάνυσμα της ταχύτητας είναι σταθερό (ομαλή). 7

28 Ευθύγραμμη Κίνηση Ταχύτητα στην EυθύγραμμηOμαλήKίνηση Ονομάζουμε ταχύτητα ενός κινητού που κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, ένα σταθερό φυσικό μέγεθος που είναι διανυσματικό και δίνεται από τη σχέση, x. x t, εξίσωση κίνησης t Το διάνυσμα της ταχύτητας έχει, Σημείο εφαρμογής: το κινητό Φορέα: την ευθεία που κινείται το κινητό Φορά: την φορά κίνησης του κινητού Μέτρο ίσο με το σταθερό πηλίκο του μέτρου της μετατόπισης που διανύει σε Δx t x o 0, xo 0 χρόνο t, δια του χρόνου t, υ υ x υ t, εξίσωση Δt t κίνησης. Προσοχή: Α.Στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση το διάστημα, που διανύει ένα κινητό σε χρόνο Δt,ισούται με το μέτρο της μετατόπισης του στον ίδιο χρόνο. Β.Στην Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση οι τιμές της στιγμιαίας και της μέσης ταχύτητας συμπίπτουν. Γραφικές παραστάσεις στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, Διάγραμμα ταχύτητας χρόνου, (Θεωρούμε ότι t o =0 και x o =0). Γ Β υ Ο υ=σταθ. Eμβαδό Αt Το εμβαδό της γραφικής παράστασης μας δίνει το μέτρο της μετατόπισης Δx=x-x o =x. Εμβαδό=υΔt=Δx Διάγραμμα διαστήματος χρόνου, (Θεωρούμε ότι t o =0 και x o =0). x ΓΒ θ O A t Η κλίση της ευθείας, (δηλαδή η εφαπτομένη της γωνίας φ), είναι το πηλίκο Δx/Δtκαι μας δίνει την ταχύτητα υ. εφθ=δx/δt=υ 8

29 Ευθύγραμμη Κίνηση Σχόλια: 1) Στη σχέση Δx = x x 0 x : η τελική θέση του σώματος, x 0 : η αρχική θέση του σώματος και Δx: η μετατόπιση του σώματος. Δt = t t 0 t: η τελική χρονική στιγμή, t 0 : η αρχική χρονική στιγμή και Δt: το χρονικό διάστημα της συγκεκριμένης κίνησης. ) Στις περισσότερες ασκήσεις παίρνουμε t 0 = 0. 3) Συνήθως παίρνουμε και x 0 = 0, εκτός αν η άσκηση μας λέει κάτι άλλο. 4) Αν x = 0 και t 0 = 0, το διάγραμμα x-t είναι αυτό της σελίδας 8. 5) Αν x 0 0 και t 0 = 0, το διάγραμμα x-t είναι το εξής: x χ 0 0 t 6) Αν x 0 0 και t 0 0, το διάγραμμα x-t είναι το εξής: x χ 0 0 t 1 t 7) Αν x 0 = 0 και t 0 = 0, ισχύει: Δx = x 0 = x. Δt = t 0 = t. Άρα η σχέση Δx = υ Δt στην περίπτωση αυτή γράφεται x = υ t 9

30 Ευθύγραμμη Κίνηση 8) Αν ένα σώμα έχει x 0 = 0 και t 0 = 0 και κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση, το διάγραμμα x-t είναι το εξής: x 0 t 9) Αν ένα σώμα κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση, δηλαδή Δx< 0, η ταχύτητά του είναι επίσης αρνητική (υ < 0) και το διάγραμμα υ-t είναι το εξής: υ 0 t 10) Αν ένα σώμα είναι ακίνητο (υ = 0) σε μια θέση x 1 > 0, τότε τα διαγράμματα x-t και υ-t είναι τα εξής: x υ x 1 0 t 0 t 30

31 Ευθύγραμμη Κίνηση Παραδείγματα 1) Ένα σώμα βρίσκεται στη θέση x 1 = 0 τη χρονική στιγμή t 1 = 0 και στη θέση x = 10m τη χρονική στιγμή t = s. Αν το σώμα κινείται ευθύγραμμα και ομαλά να βρεθεί η ταχύτητά του και να γίνουν τα διαγράμματα ταχύτητας-χρόνου και θέσης-χρόνου. Λύση x 1 = 0 είναι η αρχική θέση του σώματος. x = 10m είναι η τελική θέση του σώματος. Δx = x x 1 = 10 0 = 10m. t 1 = 0 είναι η αρχική στιγμή. t = s είναι η τελική στιγμή. Δt = t t 1 = 0 = s. x 10 m m Άρα υ = = =5. t s s Τα διαγράμματα υ-t και x-t είναι τα εξής: 0 10 (m) υ ( s m ) 5 x (m) t (s) t (s) ) Ένα κινητό κινείται για χρονικό διάστημα 10s, με σταθερή ταχύτητα 0 s m. Αν η αρχική θέση του κινητού ήταν η x 1 = -35m, να βρεθεί η τελική του θέση. Να γίνουν τα διαγράμματα θέσης-χρόνου και ταχύτητας-χρόνου. 31

32 Ευθύγραμμη Κίνηση Λύση Η ταχύτητα είναι θετική, άρα το σώμα κινήθηκε προς τη θετική κατεύθυνση (m) υ = 0 s m και Δt = 10s. Δx = υ Δt Δx = 0 10 = 00 m. Δx = x x 1 00 = x (-35) x = = 165 m. Τα διαγράμματα x-t και υ-t, είναι τα εξής: υ ( s m ) x (m) t (s) ,75 10 t (s) Πως βρήκαμε τη χρονική στιγμή t = 1,75 s που το σώμα βρίσκεται στη θέση x = 0 ; Θέτοντας x = 0, οπότε απ την εξίσωση Δx = υ Δt, έχουμε 0 ( - 35) = 0 Δt 35 = 35 0 Δt Δt = = 1,75 s. 0 (Θεωρήσαμε την αρχική χρονική στιγμή t 1 = 0). 3) Ένα κινητό κινείται με σταθερή ταχύτητα υ = - 10 s m και τη χρονική στιγμή t = 15s βρίσκεται στη θέση x = m. Που βρισκόταν το σώμα τη χρονική στιγμή t 1 = 3s ; Να γίνουν τα διαγράμματα θέσης-χρόνου και ταχύτητας-χρόνου. 3

33 Ευθύγραμμη Κίνηση Λύση Τελική θέση = x = m. Αρχική θέση = x 1 = ; Τελική χρονική στιγμή = t = 15s Αρχική χρονική στιγμή = t 1 = 3s. Ταχύτητα = υ = -10m/s. Άρα: Δx = υ Δt x x 1 = υ (t t 1 ) x 1 = x - υ (t t 1 ) Αντικαθιστούμε και έχουμε: x 1 = - (-10) (15 3) x 1 = 1 m. Τα διαγράμματα x-t και υ-t είναι τα εξής: 0 1 (m) x (m) 1 υ ( s m ) t (s) 0-10 t (s) 4) Τα διαγράμματα ταχύτητας-χρόνου για δυο σώματα Α και Β, είναι τα παρακάτω: υ ( s m ) 10 Σώμα Α t (s) -0 Σώμα Β 33

34 Ευθύγραμμη Κίνηση i. Ποιο απ τα δύο σώματα έχει μεγαλύτερη ταχύτητα; ii. Ποιο απ τα δυο σώματα κινείται για περισσότερο χρόνο; iii. Ξέρουμε που βρίσκονται τα σώματα τις χρονικές στιγμές 0, s, 7s ; iv. Ξέρουμε τις ταχύτητες των δυο σωμάτων τις παραπάνω χρονικές στιγμές; Λύση i. Το σώμα Β έχει ταχύτητα μεγαλύτερου μέτρου απ ότι το Α. ii. Το Α κινείται για 8s, ενώ το Β για 6s. iii. Δεν ξέρουμε που βρίσκονται τα σώματα οποιαδήποτε χρονική στιγμή, διότι έχουμε το διάγραμμα υ-t και όχι το διάγραμμα x-t. iv. Τις στιγμές t 1 = 0 και t = s, το Α έχει ταχύτητα 10 s m και το Β -0 s m. Τη στιγμή t 3 = 7s, το Α έχει ταχύτητα 10 s m και το Β έχει ταχύτητα μηδέν. 5) Τα διαγράμματα θέσης-χρόνου για δυο σώματα Α και Β, είναι τα παρακάτω: Ποιο απ τα δυο σώματα έχει μεγαλύτερη ταχύτητα; x A Λύση x B x Σώμα Α Σώμα Β Μεγαλύτερη ταχύτητα έχει το σώμα Α, διότι σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή έχει διανύσει μεγαλύτερο διάστημα απ ότι το σώμα Α. Για μια τυχαία χρονική στιγμή t 1 ισχύει x A >x B. Αυτό ισχύει για όλες τις χρονικές στιγμές, όπως φαίνεται απ το σχήμα. t 1 t 34

35 Ευθύγραμμη Κίνηση 35

36 Ευθύγραμμη Κίνηση Κριτήρια Αξιολόγησης Ερωτήσεις Αντιστοίχισης 1. Αντιστοιχίστε τις τιμές των ταχυτήτων στα αντίστοιχα διαγράμματα. Α. 10m/s B.,5m/s Γ. 5m/s Δ. 5m/s x(m) x(m) x(m) O t(s) O 4 t(s) O t(s). Αντιστοιχίστε τις τιμές των μετατοπίσεων στα αντίστοιχα διαγράμματα. Α. 10m B.0m Γ.8m Δ.1m υ (m/s) υ (m/s) υ (m/s) O t(s) O 1 t(s) O 1 t(s) 4 3. Αντιστοιχίστε τις εξισώσεις κίνησης στα αντίστοιχα διαγράμματα. A. x=υt B. x=x o +υt Γ. x=x o -υt Δ. x=x o +υ(t-t o ) x(m) x(m) x(m) O t(s) O t(s) O t(s) a. b. c. 36

37 Ευθύγραμμη Κίνηση Ερωτήσεις Σωστού Λάθους 4. Το διάγραμμα (x-t) του σχήματος παριστάνει τις κινήσεις δύο κινητών Α και Β, τα οποία κινούνται στην ίδια ευθεία χ χ. x(m) t(s) i. Τα δύο κινητά κινούνται ομαλά, το Α με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ Α =5m/s και το Β με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ Β =10m/s. ii. Οι εξισώσεις κίνησης των δύο κινητών είναι x A =10+5t, x B =-0+10t. iii. Στο χρονικό διάστημα κατά το οποίο το κινητό Β κινείται στον αρνητικό ημιάξονα, οι μετατοπίσεις των δύο κινητών έχουν ίσες αλγεβρικές τιμές. iv. Τη χρονική στιγμή t=3s το κινητό Β έχει πλησιάσει το κινητό Α στο μισό της αρχικής του απόστασης. 5. Στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση το διάστημα, που διανύει ένα κινητό σε χρόνο Δt, ισούται με το μέτρο της μετατόπισης του στον ίδιο χρόνο. 6. Στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση όταν η ταχύτητα είναι θετική το κινητό πλησιάζει τον παρατηρητή (αρχή του άξονα), ενώ όταν είναι αρνητική απομακρύνεται από αυτόν. 7. Το σχήμα που ακολουθεί παριστάνει τα διαγράμματα θέσης δύο δρομέων Α και Β x B A i. Οι δρομείς ξεκινούν ταυτόχρονα από την ίδια θέση. ii. Ο δρομέας Β τρέχει πιο γρήγορα από το δρομέα Α. iii. Οι δρομείς κάποια στιγμή συναντώνται. O t που κινούνται ευθύγραμμα. 8. Στο διπλανό διάγραμμα έχουμε σχεδιάσει τη γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου για κινητό που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση στη χρονική διάρκεια Δt=t -t 1. υ i. Το σκιαγραφημένο εμβαδό εκφράζει τη μετατόπιση του κινητού στη διάρκεια Δt=t -t 1, αλλά όχι το διάστημα. ii. Το σκιαγραφημένο εμβαδό εκφράζει τη μετατόπιση και το διάστημα του κινητού στη διάρκεια Δt=t -t 1. Ο t 1 t t 37

38 Ευθύγραμμη Κίνηση x(m) 4 O 4 6 t(s) Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής 9. Μια κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή όταν, i. Η μετατόπιση είναι σταθερή ii. Σε ίσους χρόνους διανύει ίσα διαστήματα iii. Η ταχύτητα, διανυσματικά, είναι σταθερή iv. Η ταχύτητα, κατά μέτρο, είναι ανάλογη με το χρόνο 10. Δύο αυτοκίνητα Α και Β κινούνται σε προσανατολισμένη ευθεία, ομαλά. Οι ταχύτητες των αυτοκινήτων είναι υ Α =5m/s και υ Β =-10m/s. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή; i. Τα δύο αυτοκίνητα πλησιάζουν το ένα το άλλο ii. Τα δύο αυτοκίνητα κινούνται με αντίθετες κατευθύνσεις iii. Τα δύο αυτοκίνητα απομακρύνονται iv. Το Α «τρέχει» γρηγορότερα από το Β. 11. Η χρονική εξέλιξη της συντεταγμένης θέσης ενός σώματος που κάνει ευθύγραμμη κίνηση φαίνεται στο διάγραμμα. i. Η ταχύτητα είναι 1m/s ii. Η ταχύτητα του σώματος είναι 1m/s iii. Η μετατόπιση του σώματος από 0 έως sec είναι m iv. Το σώμα κινείται προς την αρνητική μεριά του άξονα κίνησης 1. Το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου μιας ευθύγραμμης κίνησης φαίνεται στο υ (m/s) i. Από 0 εώς 0 sec το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ii. Η μέση ταχύτητα του κινητού είναι 0m/s iii. Η μέση ταχύτητα του κινητού είναι,5m/s iv. Το σώμα από 15s εώς 0s επιστρέφει στην αρχή. Ο t(s) διάγραμμα. 38

39 Ευθύγραμμη Κίνηση 13. Το διάγραμμα αναφέρεται στην ευθύγραμμη κίνηση ενός σώματος. υ 0 (m/s) O 5 10 t(s) -0 i. Το σώμα στη διάρκεια των 10 sec εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ii. Οι ταχύτητες στις διάρκειες (0 5 s) και (5s 10s) είναι ίσες iii. Το σώμα τη στιγμή 5s αλλάζει κατεύθυνση κίνησης διατηρώντας το μέτρο της ταχύτητάς του Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. Μετά να φτιάξετε τη γραφική παράσταση x t. 14. Στο σχ. φαίνεται η γραφική παράσταση υ-t, να κάνετε τη γραφική παράσταση x-t. υ (m/s) υ Ο t 1 t t(s) -υ 15 Στο σχήμα βλέπουμε το διάγραμμα x-t. Να βρείτε, x(m) 30 A 0 10 B O 4 6 t (s) i. Τι κίνηση κάνει το καθένα, από τα δύο αυτά κινητά ii. Να βρείτε τις εξισώσεις κίνησης των δύο κινητών. iii. Ποια χρονική στιγμή συναντώνται και πόσο έχει μετατοπιστεί το καθένα. iv. Την ταχύτητα του καθενός 39

40 Ευθύγραμμη Κίνηση ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μεθοδολογία: Ασκήσεων Ευθύγραμμης Ομαλής Κίνησης. Πριν προχωρήσουμε στη λύση μιας άσκησης τη διαβάζουμε πολλές φορές ώστε να θυμόμαστε απ έξω τα δεδομένα και τα ζητούμενα. Κάθε φορά που δεν μπορούμε να προχωρήσουμε στη λύση ξαναδιαβάζουμε την άσκηση και προσπαθούμε να αξιοποιήσουμε ένα ένα τα δεδομένα. Αν η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή και δεν είναι απαραίτητη η χρήση άξονα το πρόβλημα θα λύνεται με τον τύπο υ=x/t, (θεωρούμε t o =0, x o =0). Αν δύο κινητά ξεκινούν ταυτόχρονα, κάθε στιγμή ο χρόνος κίνησής τους είναι ίδιος. Αν ένα κινητό Β καθυστερεί να ξεκινήσει από ένα κινητό Α, θέτουμε t τον χρόνο κίνησης του Α, τ το χρόνο καθυστέρησης του Β, οπότε ο χρόνος κίνησής του Β θα είναι t-τ. Αν δύο κινητά Α, Β κινούνται στον ίδιο άξονα και γνωρίζουμε τις εξισώσεις κίνησής τους: x A =x o +υ Α t και x Β =x o +υ Β t θα συναντηθούν όταν x A =x B. Από την ισότητα αυτή θα βρίσκουμε και το χρόνο συνάντησης t σ. Στον υπολογισμό της μέσης ταχύτητας στο χρόνο t ολ θα υπολογίζουμε και τον χρόνο που τυχόν το κινητό θα έχει σταματήσει. Όταν το x είναι αρνητικό (x<0), τότε το κινητό κινείται στον αρνητικό ημιάξονα. Όταν το κινητό κινείται προς τα δεξιά (θετικά), ανεξάρτητα αν βρίσκεται στον θετικό ή στον αρνητικό ημιάξονα, η ταχύτητά του είναι θετική (υ>0). Όταν το κινητό κινείται προς τα αριστερά (αρνητικά), ανεξάρτητα αν βρίσκεται στον θετικό ή στον αρνητικό ημιάξονα, η ταχύτητά του είναι ορμητική (υ<0). Σε γραφική παράσταση x-t, η κλίση ορίζεται ως Δx/Δt. 1. Ένα αυτοκίνητο κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με ταχύτητα υ=30m/s. Να βρείτε το διάστημα που διατρέχει σε χρόνο Δt=4min. (Απ. Δx=700m ). Η ταχύτητα των παλμών στα νεύρα των θηλαστικών είναι 100m/s. Εάν ο καρχαρίας δαγκώσει την ουρά μιας φάλαινας μήκους 5m, μετά από πόσο χρόνο θα το καταλάβει η φάλαινα; (Απ. t=0.5s ) 3. Ένας αθλητής που κινείται ευθύγραμμα και με σταθερή φορά, διανύει σε χρόνο Δt 1 =5s διάστημα s 1 =50m με σταθερή ταχύτητα. Στη συνέχεια κινείται για χρόνο Δt =30s με τη μισή ταχύτητα από ότι προηγουμένως. Να βρείτε τη μετατόπιση του αθλητή στο χρονικό διάστημα Δt καθώς και το συνολικό διάστημα που διένυσε. (Απ. S ολ =00m ) 4. Όχημα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με ταχύτητα υ=m/s. Να βρείτε τη θέση του οχήματος τη χρονική στιγμή t=10s στις παρακάτω περιπτώσεις: Α. Τη χρονική στιγμή t o =0 το όχημα ήταν στην αρχή του άξονα. Β. Τη χρονική στιγμή t 1 =1s το όχημα ήταν στη θέση x 1 =+5m. 40

41 Ευθύγραμμη Κίνηση (Απ. x=0m, x=+3m ) 5. Ένα κινητό εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση πάνω στον άξονα x x. Την χρονική στιγμή t 1 =1s το κινητό περνά από τη θέση x 1 =-0m, ενώ τη χρονική στιγμή t =6s περνά από τη θέση x =-5m. Σε ποια θέση θα βρίσκεται το κινητό τη χρονική στιγμή t 3 =1s; (Απ. x 3 =13m ) 6. Κινητό κινείται πάνω στον άξονα x x προς τα θετικά με σταθερή ταχύτητα υ=0m/s. Α. Να βρείτε την εξίσωση της κίνησης. Β. Να βρείτε τη σχέση που δίνει τη θέση του κινητού σε συνάρτηση με το χρόνο όταν: 1. Τη χρονική στιγμή t o =0 το όχημα ήταν στην αρχή του άξονα.. Τη χρονική στιγμή t ο =0 το όχημα ήταν στη θέση x ο =+5m. (Απ. Δx=0Δt, x=0t, x=5+0tm ) 7. Η εξίσωσης κίνησης ενός τρένου το οποίο κινείται ευθύγραμμα είναι x=30t (S.I.). Α. Ποια είναι η ταχύτητα του τρένου; Β. Ποια είναι η θέση του τη χρονική στιγμή t=5s; Γ. Ποια είναι η μετατόπιση του τρένου στη διάρκεια του 5 ου δευτερολέπτου της κίνησής του; (Απ. υ=30m/s, x=150m, Δx=30m ) 8. Ένα τρένο έχει μήκος d 1 =00m και κινείται ευθύγραμμα ομαλά με ταχύτητα υ=0m/s. Το τρένο περνά από μια σήραγγα μήκους d =4000m. Για πόσο χρόνο θα υπάρχουν τμήματα του τρένου μέσα στη σήραγγα; (Απ. Δt=10s ) 9. Από δύο σημεία Α και Β μιας ευθείας περνάνε ταυτόχρονα δύο κινητά και κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση με σταθερές ταχύτητες υ Α =10 m/s και υ Β =4 m/s. Αν τα δύο σημεία απέχουν 7m να βρείτε μετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν και σε πόση απόσταση από το σημείο Β θα συναντηθούν. (Απ. t=1sec, S=48m) 10. Δύο πόλεις Α, Β απέχουν μεταξύ τους 780 km. Δύο αυτοκίνητα ξεκινούν ταυτόχρονα από αυτές με κατεύθυνση από τη μια πόλη προς την άλλη. Υποθέτουμε ότι η κίνησή τους γίνεται σε ευθεία και με σταθερές ταχύτητες υ 1 =50 km/h, υ =80 km/h αντίστοιχα. Να βρείτε: i. Μετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν. ii. Σε πόση απόσταση από την πόλη Α. (Απ. t = 6 h, S 1 =300 km από την πόλη Α) 11. Στα άκρα Α και Β ενός ευθύγραμμο δρόμου μήκους d=km βρίσκονται δύο ποδηλάτες. Ο ποδηλάτης που βρίσκεται στο Α αρχίζει τη χρονική στιγμή t o =0 να κινείται προς το Β με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ Α =5m/s. Ο ποδηλάτης που 41

42 Ευθύγραμμη Κίνηση βρίσκεται στο Β αρχίζει να κινείται ευθύγραμμα και ομαλά προς τον Α με ταχύτητα υ Β τη χρονική στιγμή t 1 =15s. Να βρείτε την ταχύτητα του Β ποδηλάτη ώστε να συναντήσει τον Α στο μέσο Μ του ευθύγραμμου δρόμου. (Απ. υ Β =40m/s ) 1. Τα κινητά Α και Β κινούνται πάνω στην ευθεία x x με ταχύτητες υ 1 =10m/s και υ =5m/s αντίστοιχα. Τη χρονική στιγμή t 1 =s τα κινητά βρίσκονται στις θέσεις x A =- 5m και x B =+10m αντίστοιχα. Να βρείτε σε ποια χρονική στιγμή θα συναντηθούν τα δύο κινητά και τη θέση του σημείου συνάντησης. (Απ. x=5m, t=5s ) 13. Αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα υ. Όταν το αυτοκίνητο βρίσκεται σε απόσταση d από τοίχο που είναι κάθετος στο δρόμο, ο οδηγός του πατά την κόρνα. Η κόρνα εκπέμπει ήχο μικρής διάρκειας που ανακλάται στον τοίχο. Αν ο οδηγός ακούει τον ήχο, μετά την ανάκλασή του, σε απόσταση από τον τοίχο d =33d/35, να βρείτε την ταχύτητα του αυτοκινήτου. Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι 340 m/s. (Απ. υ=10m/s ) 14. Ένας αθλητής ξεκινά από κάποιο σημείο Α και κινούμενος ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ 1 =5m/s φτάνει στο σημείο Β. Στη συνέχεια επιστρέφει στο σημείο Α με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ =10m/s. Αν η συνολική διάρκεια της κίνησής του ήταν Δt=30s, να υπολογίσετε: Α. Τη συνολική μετατόπισή του Β. Την απόσταση των σημείων Α και Β, Γ. Τη μέση ταχύτητά του. (Απ. 0, 100m, υ μ =0/3 m/s ) 15. Ένα αυτοκίνητο διανύει απόσταση 10m σε χρόνο 4s με σταθερή ταχύτητα. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του αυτοκινήτου και στη συνέχεια να κάνετε το διάγραμμα ταχύτητας- χρόνου και διαστήματος χρόνου. (Απ. υ=30m/s ) 16. Ένα λεωφορείο ξεκινά από την αφετηρία και κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα υ=15m/s. Να σχεδιάσετε το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου για την κίνηση του λεωφορείου και στη συνέχεια με τη βοήθεια αυτού να υπολογίσετε: Α. Το διάστημα που διανύει το λεωφορείο στα πρώτα 5s. Β. Τον χρόνο που χρειάζεται το λεωφορείο για να μετατοπιστεί κατά Δx=5m. (Απ. s=75m, t=15s ) 17. Κινητό τη χρονική στιγμή to=0 βρίσκεται στη θέση Α με x A =0m και κινείται προς τα αριστερά με σταθερή ταχύτητα. Αν τη χρονική στιγμή t 1 =5s το κινητό περνά από το σημείο αναφοράς, Α. Να βρείτε την ταχύτητά του, 4

43 Ευθύγραμμη Κίνηση Β. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της θέσης του κινητού με το χρόνο. Πόση είναι η κλίση της ευθείας; (Απ. υ=-4m/s, x=0-4t, Δx/Δt=-4m/s ) 18. Δύο οχήματα Α και Β κινούνται στον ίδιο ευθύγραμμο δρόμο προς την ίδια κατεύθυνση και με ταχύτητες υ Α =80km/h και υ Β =100km/h αντίστοιχα. Τη χρονική στιγμή t o =0 τα οχήματα απέχουν x 1 =100m μεταξύ τους. Α. Σε ποια χρονική στιγμή t 1 τα οχήματα θα απέχουν μεταξύ τους πάλι 100m; Β. Ποια θα είναι η μετατόπιση καθενός οχήματος από την αρχική του θέση τη χρονική στιγμή t 1 ; (Απ. t 1 =36s, x A =800m, x B =1000m ) 19. Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται το διάγραμμα θέσης χρόνου για ένα κινητό που κινείται ευθύγραμμα. Α. Να περιγράψετε το είδος της κίνησης σε καθένα από τα επιμέρους χρονικά διαστήματα. Β. Να υπολογίσετε τη μέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστημα από 0 έως 30s. Γ. Να κάνετε το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου. (Απ. 0-5s: Ε.Ο.Κ., 5s-0s: ηρεμεί, 0s-30s: Ε.Ο.Κ. αντίθετης φοράς, υ μ =10/3m/s ) x 10 (m) O t(s) 0. Όχημα κάνει ευθύγραμμη κίνηση και το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Α. Να περιγράψετε την κίνηση σε καθένα από τα επιμέρους χρονικά διαστήματα. Β. Να βρεθεί το συνολικό διάστημα που διανύει το όχημα. Γ. Ποια είναι η τιμή της μέσης ταχύτητας του οχήματος; Δ. Να γίνει το διάγραμμα θέσης χρόνου όταν για t o =0, x o =0. (Απ. 0-10s: Ε.Ο.Κ., 10s-0s: ηρεμεί, 0s-40s: Ε.Ο.Κ., S=500m, υ μ =1,5m/s ) υ (m/s) 0 10 O t(s) 43

44 Ευθύγραμμη Κίνηση 1. Για ένα κινητό που κινείται ευθύγραμμα, το διάγραμμα θέσης χρόνου φαίνεται στο σχήμα. Να κατασκευάσετε το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου. x 10 (m) O t(s) Δύο σημεία Α, Β απέχουν μεταξύ τους απόσταση 30 m. Τη στιγμή t o =0 ξεκινάει από το Α και κινείται με κατεύθυνση προς το Β ένα κινητό, με ταχύτητα 10 m/s. Πέντε δευτερόλεπτα αργότερα ξεκινάει από το Β άλλο κινητό και κινείται με κατεύθυνση προς το Α με σταθερή ταχύτητα 8 m/s. Αν υποθέσουμε ότι οι κινήσεις γίνονται πάνω στην ευθεία ΑΒ να βρείτε ποια στιγμή θα συναντηθούν και το σημείο συνάντησης. (Απ. t=0 sec, S 1 =00 m ) 3. Τη χρονική στιγμή t o =0 ένας ποδηλάτης διέρχεται με σταθερή ταχύτητα υ π από ένα σημείο Ο της ευθείας κίνησης. Μετά από χρόνο 10min συναντάει αυτοκίνητο που κινείται αντίθετα με σταθερή ταχύτητα 54 km/h. Το αυτοκίνητο φτάνει στο Ο μετά 00 sec από τη στιγμή συνάντησης. Να βρείτε την ταχύτητα του ποδηλάτη. (Απ. υ π =5m/s) 4. Ένα περιπολικό αρχίζει να καταδιώκει ένα μηχανάκι που απέχει εκείνη τη στιγμή κατά 400m από το μηχανάκι. Το μηχανάκι έχει ταχύτητα 90 km/h ενώ το περιπολικό έχει ταχύτητα 16 km/h. Να βρείτε: i. Μετά πόσο χρόνο το περιπολικό θα φτάσει το μηχανάκι. ii. Το διάστημα που θα έχει διανύσει μέχρι τότε κάθε κινητό. (Απ. t=40 sec, S μ =1000m, S π =1400m) 5. Ένα αντικείμενο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση πάνω σε άξονα. Τη στιγμή t o =0 διέρχεται από την αρχή του άξονα και μετατοπίζεται θετικά κατά 100m σε χρόνο 0 sec. Στη συνέχεια αναστρέφει τη φορά κίνησης (υποθέτουμε σε αμελητέο χρόνο) και μετατοπίζεται κατά 400m σε χρόνο 0 sec. i. Να γίνει διάγραμμα ταχύτητας χρόνου. ii. Να υπολογίσετε το ολικό διάστημα. (Απ. S=500m) 6. Ένα αυτοκίνητο (Α) και μια μηχανή (Μ) περνάνε ταυτόχρονα μπροστά από ένα βενζινάδικο και κινούνται ευθύγραμμα με σταθερές ταχύτητες υ Α =0m/s και υ Β =30m/s. Να βρείτε μετά από πόσο χρόνο θα απέχουν μεταξύ τους 1km, αν κινούνται: i. Ομόρροπα 44

45 Ευθύγραμμη Κίνηση ii. Αντίρροπα Να γίνουν τα διαγράμματα ταχύτητας χρόνου για κάθε περίπτωση. (Απ. t o =100s, t α =0s) 7. Ένα κινητό που κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με ταχύτητα μέτρου υ 1 =0 m/s περνάει από ένα σημείο Α μιας ευθείας, τη χρονική στιγμή t=0. Μετά από χρόνο sec περνάει από το σημείο Α δεύτερο κινητό που κάνει επίσης ευθύγραμμη κίνηση με ταχύτητα υ =5 m/s και φοράς ίδια με του προηγούμενου. Να βρείτε πόσο θα απέχουν μεταξύ τους τα κινητά μετά από χρόνο t=8sec από τη στιγμή που πέρασε από το Α το πρώτο κινητό. (Απ. S 1 =160m, S =150m, x=10m) S 1 A B Γ S x 8. Ένας παρατηρητής βρίσκεται ακίνητος σε ένα βενζινάδικο Ο της εθνικής οδού. Τη στιγμή t o =0 διέρχεται από το Ο αυτοκίνητο με ταχύτητα 7 km/h. Δέκα δευτερόλεπτα αργότερα διέρχεται άλλο αυτοκίνητο κινούμενο αντίθετα με σταθερή ταχύτητα 108 km/h. i. Ποια χρονική στιγμή τα αυτοκίνητα θα απέχουν μεταξύ τους κατά 1700m. ii. Αν τη στιγμή εκείνη κορνάρουν ταυτόχρονα με ποια διαφορά χρόνου θα ακούσει ο παρατηρητής τα κορναρίσματα. Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι 340 m/s και οι κινήσεις είναι ευθύγραμμες. (Απ. t=40s, Δt=5/17 s) 9. Δύο κινητά Α και Β κινούνται ευθύγραμμα ομαλά πάνω στον ίδιο δρόμο και προς την ίδια κατεύθυνση, το πρώτο με ταχύτητα υ 1 =144km/h και το δεύτερο με ταχύτητα υ =7km/h. Τη χρονική στιγμή t o =0 το πρώτο κινητό βρίσκεται 1000m πίσω από το δεύτερο. i. Ποια χρονική στιγμή και σε πόση απόσταση από την αρχική θέση του κινητού Α θα συναντηθούν τα δύο κινητά; ii. Ποια χρονική στιγμή θα απέχουν 500m για δεύτερη φορά; (Απ. x=000m, t =75s ) 30. To βλήμα ενός όπλου βγαίνει από την κάνη με ταχύτητα υ=400m/s και κινούμενο ευθύγραμμα και ομαλά φθάνει στο στόχο και σκάει. Αν ο πυροβολητής ακούει τον ήχο από την έκρηξη μετά από 1s, να βρείτε την απόσταση του πυροβόλου από τον στόχο. Δίνεται η ταχύτητα του ήχου υ 1 =340m/s. (Απ. s=05,4m ) 45

46 Ευθύγραμμη Κίνηση 31. Ένα πυροβόλο απέχει από το στόχο 100m και ρίχνει βλήμα προς αυτόν με ταχύτητα 400m/s. Να βρείτε σε πόση απόσταση πίσω από το πυροβόλο πρέπει να βρίσκεται ένας άνθρωπος ώστε να ακούσει τον ήχο από την εκπυρσοκρότηση τη στιγμή που το βλήμα χτυπά τον στόχο. Καθώς το βλήμα χτυπά τον στόχο εκρήγνυται. Με πόση διαφορά χρόνου θα ακούσει ο άνθρωπος τους δύο ήχους; Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι 340 km/h και η τροχιά του βλήματος θεωρείται ευθύγραμμη. Η ταχύτητα του βλήματος είναι σταθερή. (Απ. x=867m, Δt=5,55 s ) 3. Από ένα σημείο Ο μιας ευθείας διέρχεται τη στιγμή t o =0 ένα κινητό Α με ταχύτητα 10 m/s. Πέντε δευτερόλεπτα αργότερα διέρχεται από το Ο άλλο κινητό Β με ταχύτητα 0 m/s και ίδια κατεύθυνση κίνησης. Να βρείτε: i. Μετά από πόσο χρόνο το κινητό Β θα έχει προσπεράσει το Α κατά 100m. ii. Πόσο διάστημα θα έχει διανύσει μέχρι τότε κάθε κινητό. (Απ. t=10 s, S 1 =100m, S =100m) 33. Η διαδρομή από μια πόλη Α σε μια πόλη Β είναι 100 km και από τη Β σε μια πόλη Γ είναι 00 km. Ένα αυτοκίνητο διανύει την πρώτη απόσταση σε h και τη δεύτερη σε 3h ενώ κάνει στάση στη Β για μια ώρα. Ποια η μέση αριθμητική του ταχύτητα κατά τη μετάβαση από την πόλη Α στην Γ. (Απ. υ μ =50km/h) 34. Ένα αυτοκίνητο διανύει το ¼ μιας διαδρομής με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ 1 =40m/s και τα υπόλοιπα ¾ της διαδρομής με ταχύτητα 30m/s. Να βρείτε τη μέση αριθμητική ταχύτητα. (Απ. υ μ =3m/s) 35. Μια μηχανή διανύει μια διαδρομή σε χρόνο t. Αν κατά τα /5 του χρόνου αυτού έχει ταχύτητα 10m/s και κατά τα υπόλοιπα 3/5 του χρόνου είχε ταχύτητα 0m/s να βρείτε τη μέση ταχύτητά της. (Απ. υ μ =16m/s) 36. Ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύ δρόμο με σταθερή ταχύτητα 144km/h. Τη στιγμή t=0 αρχίζουμε να μελετούμε την κίνησή του. i. Να βρείτε μια εξίσωση που να περιγράφει την κίνησή του στο SI. ii. Να βρείτε την μετατόπισή του από το τέταρτο μέχρι το έκτο δευτερόλεπτο iii. Το διάστημα που διανύει στα δέκα πρώτα δευτερόλεπτα της κίνησής του. (Απ. x=10t, Δx=80m, S=400m) 37. Ένας ποδηλάτης ξεκινάει από μια πόλη Α και κατευθύνεται σε μια πόλη Β που απέχει από την πόλη Α 0km κινούμενος με ταχύτητα5km/h. στο δρόμο τον προσπερνά λεωφορείο που κινείται με ταχύτητα 50km/h. Ο ποδηλάτης προλαβαίνει και πιάνεται από το πίσω μέρος του λεωφορείου και συνεχίζει έτσι την υπόλοιπη διαδρομή του οπότε φτάνει στην πόλη Β 14min νωρίτερα από ότι θα έφτανε μόνος του. 46

47 Ευθύγραμμη Κίνηση i. Σε πόσο χρόνο θα διέτρεχε ο ποδηλάτης τη διαδρομή ΑΒ αν δεν υπήρχε το λεωφορείο; ii. Πότε το λεωφορείο φτάνει τον ποδηλάτη; iii. Ποια η μέση ταχύτητά του; (Απ. t=48min, t 1 =0min, t =14min, υ μ =9,8m/s) 38. Ένα κινητό κινείται σε άξονα με σταθερή ταχύτητα. Τη στιγμή t o =0 βρίσκεται στη θέση x o =m, ενώ τη στιγμή t=5s, βρίσκεται στη θέση x=-48m. Να βρείτε: i. Την εξίσωση της κίνησης ii. Τη θέση του τη χρονική στιγμή 3s. iii. Ποια χρονική στιγμή βρίσκεται στη θέση 3m. iv. Τη μετατόπιση και το διάστημα που διανύει από το δεύτερο μέχρι το όγδοο δευτερόλεπτο της κίνησής του (Απ. υ=-10m/s, x=-10t, x 1 =-8m, t =,5s, Δx=-60m, S=60m) 39. Ένα τρένο μήκους 10m περνάει πάνω από μια γέφυρα με σταθερή ταχύτητα 7 km/h. Αν το πέρασμα του τρένου διαρκεί 10s, να βρείτε το μήκος της γέφυρας. Πόσο διάστημα διανύει το τρένο το 4 ο δευτερόλεπτο της κίνησής του; (Απ. L=80m, Δx=0m) 40. Ένα τραίνο κινείται με σταθερή ταχύτητα υ. Περνά από μια γέφυρα μήκους x 1 =1000m σε χρόνο t 1 =80s, ενώ μια άλλη γέφυρα μήκους x =800m σε χρόνο t =70s. Να βρείτε το μήκος και την ταχύτητα του τρένου. (Απ. 600m, 0m/s ) 41. Η εξίσωση κίνησης ενός οχήματος είναι: x=0t (SI) i. Να γίνει το διάγραμμα x = x ( t ) για τα πρώτα 10s της κίνησης. Τι κίνηση κάνει το όχημα; ii. Να γίνει το διάγραμμα υ = υ ( t ) iii. Να υπολογίσετε το διάστημα που διάνυσε το όχημα σε 10s. (Aπ. 00m) 4. Δύο λεωφορεία Α και Β με μήκος 1m κινούνται σε ευθύγραμμο δρόμο με την ίδια κατεύθυνση και ταχύτητες υ Α =16m/s και υ Β =0m/s. Το λεωφορείο Β βρίσκεται πίσω από το λεωφορείο Α και το πλησιάζει. Να βρεθεί ο χρόνος που απαιτείται να προσπεράσει το ένα λεωφορείο το άλλο καθώς και το διάστημα που θα διανύσει το λεωφορείο Α. (Απ. t=6s, S=96m ) 43. Δύο σημειακά αντικείμενα ξεκινούν ταυτόχρονα από το ίδιο σημείο μιας ευθείας και κινούνται με σταθερές ταχύτητες υ 1 =8m/s και υ =m/s. Να βρείτε πόσο θα απέχουν μεταξύ τους μετά από 0 s. (Aπ. 10m (ομόρροπα), 00m (αντίρροπα) ) 47

48 Ευθύγραμμη Κίνηση 44. Ένα αντικείμενο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση πάνω σε άξονα. Τη στιγμή t o =0 διέρχεται από την αρχή του άξονα και μετατοπίζεται θετικά με ταχύτητα υ 1 =5m/s. Στη συνέχεια αναστρέφει τη φορά κίνησης (υποθέτουμε σε αμελητέο χρόνο) και κινείται με ταχύτητα υ =10m/s. Να βρείτε: i. Την ολική μετατόπιση ii. Το ολικό διάστημα κίνησης iii. Πόσο διάστημα διανύει το κινητό το 3 ο δευτερόλεπτο της κίνησής του iv. Να γίνει το διάγραμμα μετατόπισης χρόνου. (Απ. Δx=-300m, S=500m, Δx=5m ) υ (m/s) 45. Δύο σημεία απέχουν μεταξύ τους 400m. Από τα σημεία αυτά ξεκινούν ταυτόχρονα δύο κινητά με ταχύτητες 0m/s και 15 m/s και κινούνται κατά την ίδια φορά πάνω στην ευθεία που ορίζουν τα σημεία. Να βρείτε: i. Σε πόσο χρόνο θα συναντηθούν ii. Πόσο διάστημα έχει διανύσει μέχρι τότε το καθένα. (Απ. 8min, 9,6km, 7,km) 46. Ένα πυροβόλο απέχει από το στόχο απόσταση d=100m και βάλει βλήμα με σταθερή οριζόντια ταχύτητα υ βλ =400m/s. Να βρεθεί σε ποιο σημείο της ευθείας πυροβόλου στόχου πρέπει να στέκεται ένας παρατηρητής για να ακούσει ταυτόχρονα τον ήχο της εκπυρσοκρότησης του πυροβόλου και τον ήχο του χτυπήματος του βλήματος στο στόχο. Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι υ ηχ =340m/s. (Απ. x=7,5m από το στόχο) 47. Για ένα κινητό που κινείται ευθύγραμμα το διάγραμμα θέσης χρόνου δίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Να υπολογιστούν: i. Η μετατόπιση του κινητού στο χρονικό διάστημα 0-5sec. ii. Το διάστημα που διένυσε το κινητό σε 5s. iii. Να γίνει το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου. (Απ. Δx=-10m, S=30m, υ 1 =10m/s, υ 1 =0m/s, υ 1 =-10m/s ) x (m) 10 5 O t(s) -10 O t(s)

49 Ευθύγραμμη Κίνηση 48. Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα υ κάθετα προς ένα τοίχο. Κάποια στιγμή που η απόστασή του από τον τοίχο είναι d εκπέμπει έναν ήχο ο οποίος ανακλάται στον τοίχο και ξαναγυρίζει στο αυτοκίνητο αφού στο μεταξύ αυτό διέτρεξε το 1/9 της αρχικής του απόστασης από τον τοίχο. Να βρείτε την ταχύτητα του αυτοκινήτου αν η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι υ ηχ =340m/s. (Απ. υ=0m/s) 49. Ένα αυτοκίνητο διατρέχει μια απόσταση d με σταθερή ταχύτητα υ α =0m/s σε χρόνο t. Την ίδια απόσταση διατρέχει μια μηχανή που κινείται με σταθερή ταχύτητα υ μ =30m/s σε χρόνο 15s λιγότερο από το χρόνο t. Να βρείτε: i. Την απόσταση d ii. Το χρόνο t (Απ. 45s, 900m) 50. Ένα τρένο κινείται με σταθερή ταχύτητα υ και χρειάζεται 0s για να περάσει από μια σήραγγα 30m και 3sec για να περάσει από μια σήραγγα 560m. Να βρείτε την ταχύτητα του τρένου και το μήκος του. (Απ. 0m/s, 80m) 51. Δύο αυτοκίνητα Α, Β κινούνται ομόρροπα σε ευθύ δρόμο με ταχύτητες υ Α =5m/s και υ Β =15m/s. Κάποια στιγμή διέρχονται ταυτόχρονα από ένα βενζινάδικο και λίγο αργότερα διέρχονται από μια γέφυρα με διαφορά χρόνου 16s. Βρείτε την απόσταση βενζινάδικου γέφυρας. (Απ. 600m) 5. Από δύο σημεία Α και Β μιας ευθείας που απέχουν 40m διέρχονται δύο κινητά Κ Α και Κ Β. Τα κινητά κινούνται κατά μήκος της ευθείας κατά την αυτή φορά με ταχύτητες αντίστοιχα υ Α =8m/s και υ Β =6m/s. Αν το Κ Β καθυστέρησε στη διέλευσή του από το Β κατά τ=sec, να βρείτε σε ποιο σημείο θα συναντηθούν και σε πόσο χρόνο από τότε που πέρασε το Κ Α από το Α. (Aπ. x A =11m, t=14sec) 53. Δύο αυτοκίνητα Α, Β κινούνται αντίθετα πάνω σε ευθύγραμμο δρόμο με σταθερές ταχύτητες μέτρων υ Α =5m/s και υ Β =15m/s και κατευθύνονται προς συνάντησή τους. Τη στιγμή t o =10 sec βρίσκονται σε απόσταση 1000m. i. Να επιλέξετε κατάλληλο άξονα και να γράψετε τις εξισώσεις κίνησής τους ii. Να βρείτε πότε και που θα συναντηθούν iii. Να γίνουν στο ίδιο σχήμα οι γραφικές παραστάσεις των εξισώσεων x=x(t). (Απ. x A =5t-50, x B =-15t+1150, t σ =35 s, x σ =65 m ) 54. Στο σχήμα βλέπουμε τη γραφική παράσταση x-t για δύο κινητά Α, Β που κινούνται στην ίδια ευθεία. i. Να βρείτε τις ταχύτητές τους και να γίνει διάγραμμα ταχύτητας χρόνου στο ίδιο σχήμα. ii. Τι εκφράζει το κοινό σημείο Γ. 49

50 Ευθύγραμμη Κίνηση iii. Να βρείτε την εξίσωση κίνησης του κινητού Β και ύστερα τη χρονική στιγμή που το κινητό θα βρεθεί στην αρχή του άξονα. (Απ. υ Α =5m/s, υ Β =-,5m/s, t=1s, x=-,5t+30) x(m) 30 A 0 B 4 t(s) 55. Ένας στρατιώτης βαδίζει 100 μέτρα Βόρεια, μετά 100 μέτρα Δυτικά και τέλος 100 μέτρα Νότια. Να βρείτε πόση είναι η συνολική απόσταση (διάστημα) που κάλυψε και πόση είναι η μετατόπισή του. 56. Ένα κινητό κάνει τη διαδρομή ΟΑΒΓ σε χρόνο t=0,4 h. Να βρείτε την μέση ταχύτητα του κινητού και την μετατόπιση από την αφετηρία του. (Απ. υ μ =30 km/h, Δx=10km) Α 3 km 4 km 5 km O B Γ 57. Δύο τρένα που το καθένα έχει ταχύτητα υ=30km/h κινούνται αντίθετα σε γειτονικές παράλληλες γραμμές. Ένα πουλί που πετά με σταθερή ταχύτητα υ 1 =60km/h και φεύγει από το ένα τρένο και κατευθύνεται προς το άλλο, όταν αυτά απέχουν 60km. Φτάνοντας στο άλλο τρένο πετά πάλι πίσω προς το πρώτο κ.ο.κ. Ποια η συνολική απόσταση θα διανύσει το πουλί πριν συναντηθούν τα τρένα; (Απ. 60km ) 50

51 Ευθύγραμμη Κίνηση 5. Μεταβαλλόμενη κίνηση Μια κίνηση λέγεται μεταβαλλόμενη όταν μεταβάλλεται το διάνυσμα της ταχύτητας του κινητού. Αυτό συμβαίνει στις παρακάτω περιπτώσεις, Όταν μεταβάλλεται μόνο το μέτρο της ταχύτητας. Όταν μεταβάλλεται μόνο η διεύθυνση της ταχύτητας. Όταν μεταβάλλεται και το μέτρο και η διεύθυνση της ταχύτητας. Ονομάζουμε επιτάχυνση (α), ενός κινητού το φυσικό μέγεθος που μας πληροφορεί πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η ταχύτητά του.γενικά Η επιτάχυνση ορίζεται ως το πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας ( ), προς τη χρονική διάρκεια (Δt) που έγινε η μεταβολή αυτή. a t Μονάδα μέτρησης της επιτάχυνσης στο Διεθνές Σύστημα (SI) είναι το 1m/s. Μέση επιτάχυνση Ορίζουμε σαν μέση επιτάχυνση, (διανυσματικό μέγεθος), του κινητού το πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας σε χρόνο Δt, δια του χρόνου Δt. Δηλαδή, a t Στιγμιαία επιτάχυνση Αν πάρουμε το χρονικό διάστημα Δt να τείνει στο μηδέν, τότε η μεταβολή της ταχύτητας είναι πολύ μικρή και η μέση επιτάχυνση του κινητού παίρνει μια οριακή τιμή που λέγεται στιγμιαία επιτάχυνση. Δηλαδή, a t0 t Η στιγμιαία επιτάχυνση είναι μέγεθος διανυσματικό και το διάνυσμα που την παριστάνει έχει τα παρακάτω χαρακτηριστικά, Σημείο εφαρμογής το κινητό, Διεύθυνση, τη διεύθυνση του διανύσματος, Φορά, τη φορά του διανύσματος, Μέτρο που δίνεται από τη σχέση. t 0 t 51

52 Ευθύγραμμη Κίνηση 6. Ευθύγραμμη Ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση, λέμε την κίνηση που κάνει ένα κινητό όταν κινείται σε ευθεία γραμμή και η μεταβολή της ταχύτητάς του είναι σταθερή για ίδιες μεταβολές του χρόνου, (δηλαδή η επιτάχυνσή του είναι σταθερή). Επιτάχυνση στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση Αν σε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση το μέτρο της ταχύτητας αυξάνει τότε η κίνηση λέγεται επιταχυνόμενη, ενώ όταν το μέτρο της ταχύτητας μικραίνει η κίνηση λέγεται επιβραδυνόμενη. Ονομάζουμε επιτάχυνση ενός κινητού που εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση το εξής σταθερό διανυσματικό μέγεθος, a (=σταθερή) t Σημείο εφαρμογής το κινητό Φορέα την ευθεία που κινείται το κινητό Φορά, την ίδια (επιταχυνόμενη κίνηση), ή αντίθετη (επιβραδυνόμενη κίνηση), από τη φορά κίνησης του κινητού Μέτρο ίσο με το σταθερό πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας που έγινε σε χρόνο Δt, δια του χρόνου Δt. Δηλαδή, Δυ υ υο α Δt t t Επισημάνσεις: Αν το κινητό ξεκινάει από την ηρεμία, (δηλ. τη χρονική στιγμή t o =0 είναι υ ο =0), τότε η επιτάχυνση δίνεται από τη σχέση α=υ/t. Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης είναι ομόρροπα, ενώ στην επιβραδυνόμενη είναι αντίρροπα. o Δυ>0 Επιταχυνόμενη: υ>0 Δυ<0 Επιβραδυνόμενη: υ>0 α>0 α<0 υ<0 Δυ<0 υ<0 Δυ>0 α<0 α>0 5

53 Ευθύγραμμη Κίνηση Ταχύτητα στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση Αν πάρουμε για αρχή των χρόνων το t o, δηλαδή t o =0, τότε a t o 0 a at υ υ t t t t αt ο o Αν το κινητό δεν έχει αρχική ταχύτητα, δηλαδή υ ο =0, τότε η εξίσωση γίνεται υ=αt. Στην επιβραδυνόμενη κίνηση το α θεωρείται αρνητικό οπότε η εξίσωση γίνεται υ=υ ο - α t. Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση Ένα σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση όταν κινείται σε ευθεία τροχιά και έχει σταθερή επιτάχυνση. Η ταχύτητα του σώματος έχει την ίδια φορά και αυξάνεται με σταθερό ρυθμό. Εξισώσεις της ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης χωρίς αρχική ταχύτητα Επιτάχυνση: α = σταθερή. Ταχύτητα: υ = α t Θέση: x = 1 α t Σχόλια 1) Όταν λέμε ότι ένα σώμα που κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση δεν έχει αρχική ταχύτητα, εννοούμε ότι την χρονική στιγμή που τη λαμβάνουμε σαν αρχική, το σώμα έχει ταχύτητα μηδέν. Λέμε τότε ότι το σώμα ξεκινά απ την ηρεμία ή ότι αρχικά ήταν ακίνητο. ) Συνήθως η αρχική χρονική στιγμή είναι η t 0 = 0. Άρα το σώμα έχει υ 0 = 0 τη χρονική στιγμή t 0 = 0. 3) Ας σχολιάσουμε λίγο τη σχέση x = 1 α t. Δεχόμαστε ότι το σώμα αρχικά βρισκόταν στη θέση x 0 = 0. Αν το σώμα την αρχική στιγμή x 0 0, η εξίσωση της θέσης γράφεται: t 0 = 0 βρίσκεται σε μια θέση x = x α t, x 0 0 (αρχική θέση) για t 0 = 0 (αρχική στιγμή) 53

54 Ευθύγραμμη Κίνηση Διαγράμματα της ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης χωρίς αρχική ταχύτητα Το εμβαδό της γραφικής παράστασης μας δίνει την ταχύτητα υ. Εμβαδό=αΔt=Δυ α Επιτάχυνση-χρόνος (α-t): t Ταχύτητα-χρόνος (υ-t): υ i)με την κλίση εφθ υπολογίζουμε την επιτάχυνση ii)με το εμβαδόν υπολογίζουμε τη μετατόπιση θ t x Θέση-χρόνος (x-t): θ t Σημείωση Η καμπύλη στο διάγραμμα θέσης-χρόνου (x-t) είναι τμήμα παραβολής. ΠΡΟΣΟΧΗ Η κλίση της καμπύλης είναι αριθμητικά ίση με την ταχύτητα την συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Παρατηρούμε ότι η κλίση αυξάνεται. 54

55 Ευθύγραμμη Κίνηση Εξισώσεις της ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης με αρχική ταχύτητα Επιτάχυνση: α = σταθερή. Ταχύτητα: υ = υ 0 + α t Θέση: x = υ 0 t + 1 α t Σχόλια 1) Όταν λέμε ότι ένα σώμα έχει αρχική ταχύτητα, εννοούμε ότι τη χρονική στιγμή που τη λαμβάνουμε σαν αρχική, το σώμα έχει μια ταχύτητα που δεν είναι μηδέν. Η αρχική ταχύτητα συμβολίζεται με υ 0. ) Συνήθως η αρχική χρονική στιγμή είναι η t 0 = 0. Άρα το σώμα έχει υ 0 0 τη χρονική στιγμή t 0 = 0. 3) Η εξίσωση της θέσης που γράψαμε, ισχύει όταν το σώμα την αρχική χρονική στιγμή t 0 = 0, βρίσκεται στη θέση x 0 = 0 ( και έχει ταχύτητα υ 0 0). Αν το σώμα αρχικά βρισκόταν σε μια άλλη θέση x 0 0 (και έχει ταχύτητα υ 0 0), η εξίσωση γράφεται: x = x 0 + υ 0 t + 1 α t, x 0 0 (αρχική θέση)για t 0 = 0(αρχική στιγμή) 4) Η αρχική ταχύτητα υ 0 και η επιτάχυνση α, είναι ομόρροπα διανύσματα στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Επομένως έχουν το ίδιο πρόσημο. Αν η φορά τους είναι η θετική είναι και τα δυο θετικά ενώ αν είναι αρνητική είναι αρνητικά. 5) Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα υ 0 η κατεύθυνση της ταχύτητας του σώματος κάθε στιγμή είναι η ίδια με την κατεύθυνση της υ 0, και το μέτρο της ταχύτητας συνεχώς αυξάνεται. Σχέση στιγμιαίας ταχύτητας και μετατόπισης (υ-δx) στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. x t 1 at tt x 1 υ υ ο αδx 55

56 Ευθύγραμμη Κίνηση Διαγράμματα της ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης με αρχική ταχύτητα. Επιτάχυνση-χρόνος (a-t): α t Ταχύτητα-χρόνος (υ-t): υ υ 0 0 t Θέση-χρόνος (x-t): x Σχόλιο για τα διαγράμματα θέσης-χρόνου (x-t) Το διάγραμμα x-t έγινε με την προϋπόθεση ότι η αρχική θέση του σώματος είναι μηδέν (x 0 = 0). Αν το σώμα βρισκόταν στη θέση x 0 0, την αρχική χρονική στιγμή t 0 = 0, το διάγραμμα x-t είναι το εξής: 0 t x υ 0 0 υ 0 = 0 x 0 0 t 56

57 Ευθύγραμμη Κίνηση Ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση Ένα σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση όταν κινείται σ ευθεία τροχιά και έχει σταθερή επιβράδυνση. Η ταχύτητα του σώματος έχει αντίθετη φορά με την επιβράδυνση και μειώνεται με σταθερό ρυθμό. Εξισώσεις της ευθύγραμμης ομαλά επιβραδυνόμενης κίνησης Επιβράδυνση: α = σταθερή Ταχύτητα: υ = υ 0 ΙαΙ t Θέση: x = υ 0 t - 1 Ια Ι t Σχόλια 1) Όταν ένα σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση, έχει πάντα αρχική ταχύτητα υ 0. Δηλαδή την αρχική στιγμή, που τη λαμβάνουμε συνήθως t 0 = 0, το σώμα έχει μια ταχύτητα υ 0 0. ) Η επιβράδυνση α και η αρχική ταχύτητα υ 0, είναι αντίρροπα διανύσματα. Αυτό φαίνεται και στις εξισώσεις κίνησης.η α και η υ 0 έχουν αντίθετα πρόσημα. Ολικό διάστημα και ολικός χρόνος στην ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση Η ταχύτητα ενός σώματος που κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση μειώνεται με σταθερό ρυθμό. Επομένως κάποια χρονική στιγμή το σώμα μπορεί και να ακινητοποιηθεί (υ = 0). Ο χρόνος που χρειάζεται το σώμα για να σταματήσει, βρίσκεται απ τη σχέση ταχύτητας-χρόνου. υ = υ 0 α t, και αφού υ = 0 0 = υ 0 α υ 0 = α t t = 0. Το διάστημα που διανύει το σώμα μέχρι να σταματήσει είναι: x = υ 0 t - 1 α t 0 x = υ α x = 0. 57

58 Ευθύγραμμη Κίνηση Αν η σταθερή δύναμη που ασκείται στο σώμα εξακολουθεί ν ασκείται, το σώμα αφού σταματήσει στιγμιαία, θα αρχίσει να επιταχύνεται σταθερά κατά την αντίθετη φορά απ αυτή που κινείτο πριν. ( 0ς νόμος τουnewton) Δηλαδή τώρα θα κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα. επιβραδυνόμενη κίνηση, (x o =0 και t o =0). x Ο t 1 t t 3 t x=υ ο t-(1/) α t ΠΡΟΣΟΧΗ Το κινητό αρχικά (t=0) κινείται επιβραδυνόμενα και τη χρονική στιγμή t 1 =υ ο / α σταματάει (υ=0). Ακολούθως αρχίζει να κινείται προς τα πίσω επιταχυνόμενα (t 1< t <t 3 ) και τη χρονική στιγμή t 3 περνά από τη θέση που άρχισε την επιβραδυνόμενη κίνησή του. 3) Η εξίσωση της θέσης που γράψαμε ισχύει όταν η αρχική θέση του σώματος είναι μηδέν x 0 = 0. Αν η αρχική θέση του σώματος δεν είναι μηδέν χ 0 0, η εξίσωση της θέσης είναι: x = x 0 + υ 0 t - 1 α t, x 0 0 (αρχική θέση) για t 0 = 0 (αρχική στιγμή). 58

59 Ευθύγραμμη Κίνηση Διαγράμματα της ευθύγραμμης ομαλά επιβραδυνόμενης κίνησης Επιβράδυνση-χρόνος (α-t): α 0 t Ταχύτητα-χρόνος (υ-t): υ υ 0 Θέση-χρόνος (x-t): x t Σχόλια 1) Τα διαγράμματα έγιναν με την προϋπόθεση ότι υ 0 > 0. ) Το διάγραμμα x-t, έγινε με την επιπλέον προϋπόθεση ότι η αρχική θέση του σώματος είναι μηδέν (x 0 = 0). Αν σώμα βρισκόταν στη θέση x 0 0 τη χρονική στιγμή t 0 = 0, το διάγραμμα x-t είναι το εξής: x 0 t x 0 0 t 59

60 Ευθύγραμμη Κίνηση Παραδείγματα 1) Ένα σώμα βρίσκεται ακίνητο στη θέση x 0 = 0 και αρχίζει να κινείται με σταθερή m επιτάχυνση α = 5. Σε ποια θέση θα βρίσκεται το σώμα μετά από χρονικό διάστημα s Δt = 10s; Ποια θα είναι η ταχύτητα του σώματος τότε; Να γίνουν τα διαγράμματα α-t, υ-t και x-t. Λύση Το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα. Ξέρουμε τη σταθερή επιτάχυνση και το χρόνο κίνησης του σώματος. Η θέση του θα είναι η εξής: x = 1 α t x = = 50m. Η ταχύτητά του θα είναι η εξής: υ = α t υ = 5 10 = 50 s m. Τα διαγράμματα είναι τα εξής: α ( s m ) 5 υ ( s m ) 50 x (m) t (s) 0 10 t (s) 0 10 t (s) ) Ένα σώμα έχει αρχική ταχύτητα 10 s m (τη στιγμή t0 = 0). Ποια χρονική στιγμή η ταχύτητά του έχει γίνει 18 s m αν έχει σταθερή επιτάχυνση α = s m ; Που βρίσκεται το σώμα εκείνη τη στιγμή αν ξεκινά απ το x 0 = -30m; Να γίνουν τα διαγράμματα υ-t και x-t. 60

61 Ευθύγραμμη Κίνηση Λύση Το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα. Η χρονική στιγμή βρίσκεται ως εξής: υ = υ 0 + α t 18 = 10 + t t = 9s. Το σώμα τη στιγμή 9s βρίσκεται στη θέση: x = = 141m. (Χρησιμοποιήσαμε τη σχέση x = x 0 + υ 0 t + 1 α t ) Τα διαγράμματα είναι τα εξής: υ ( s m ) x (m) t (s) -30,4 9 t (s) Πως βρήκαμε την τιμή t =,4s ; Στην εξίσωση θέσης-χρόνου στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα, θέτουμε x = 0 (γιατί το σώμα βρίσκεται στιγμιαία στη θέση μηδέν), x 0 = - m 30m και α =. Λύνουμε ως προς t τη δευτεροβάθμια εξίσωση που προκύπτει και s βρίσκουμε δυο λύσεις: t 1 =,4s και t = -1,4s. Κρατάμε τη θετική ρίζα διότι ο χρόνος παίρνει μόνο θετικές τιμές. Άρα t = t 1 =,4s. 3) Ένα σώμα Α, ξεκινάει τη στιγμή t 0 = 0 απ το σημείο x 0A = 1,5m και κινείται με σταθερή επιτάχυνση α Α = - 4 s m. Ένα άλλο σώμα Β περνάει τη στιγμή t 0 = 0 απ το σημείο x 0B = 0 με ταχύτητα υ 0 = 10 s m και κινείται με σταθερή επιτάχυνση αβ = 8 s m. i.ποια χρονική στιγμή θα συναντηθούν τα δύο σώματα; ii.σε ποιο σημείο θα συναντηθούν; iii.να γίνουν στα ίδια συστήματα αξόνων τα διαγράμματα x-t και υ-t των δυο σωμάτων. 61

62 Ευθύγραμμη Κίνηση Λύση Τα δύο σώματα κινούνται στην ίδια ευθεία. Το σώμα Α κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα (ξεκινάει τη στιγμή t 0 = 0). Η επιτάχυνσή του λαμβάνεται αρνητική γιατί έχει την αρνητική φορά. Το σώμα Β κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα υ 0 = 10 m. Η επιτάχυνσή του λαμβάνεται θετική γιατί έχει τη θετική φορά. Η θετική φορά s συμβολίζεται με ένα βέλος και + στο παρακάτω σχήμα. Β α Β υ 0 0 1,5 x B + M S = 1,5m x A α Α Α (m) i.έστω ότι τα δυο σώματα θα συναντηθούν στο σημείο Μ. Βλέπουμε απ το σχήμα ότι είναι x B + x A = S. x B = υ 0 t + 1 αb t x A = 1 αα t Ο χρόνος t είναι ίδιος και στις δυο εξισώσεις γιατί τα δύο σώματα κινούνται για το ίδιο χρονικό διάστημα, από t 0 = 0 έως τη στιγμή που θα συναντηθούν. υ 0 t + 1 αβ t + 1 αα t = S 10 t t t = 1,5 10 t + 4 t + t = 1,5 6 t + 10 t 1,5 =0 Καταλήξαμε σε μια δευτεροβάθμια εξίσωση. Διακρίνουσα = 400 Άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες t 1 = ,83s 6

63 Ευθύγραμμη Κίνηση και t = ,5s Απ τις δυο ρίζες σωστή είναι η θετική γιατί ο χρόνος παίρνει θετικές τιμές. Επομένως τα δύο σώματα θα συναντηθούν τη χρονική στιγμή t = 0,83s. 1 1 ii.x A = αα t x A = 4 (0,83) = 1,38m. Άρα η θέση του σημείου Μ είναι 1,5 1,38 = 11,1 m. iii.τα διαγράμματα είναι τα εξής: υ ( s m ) x (m) 16,64 11,1 Α 0 Β 0,83 t (s) 10 Β -3,3 0 Α 0,83 t (s) Τα διαγράμματα των δύο σωμάτων στο σύστημα x-t είναι τμήματα παραβολής. Η παραβολή που περιγράφει την κίνηση του Β είναι πιο απότομη απ αυτή που περιγράφει την κίνηση του Α, γιατί το Β έχει μεγαλύτερη επιτάχυνση απ το Α. 4) Ένα σώμα έχει σταθερή ταχύτητα υ 0 = 0 s m και τη στιγμή t = 10s αποκτά σταθερή επιβράδυνση α = s m. i. Σε πόσο χρόνο το σώμα θα σταματήσει να κινείται αν επιλέξουμε αρχική στιγμή την t 0 = 0; ii. Πόσο διάστημα θα διανύσει το σώμα στον παραπάνω χρόνο; iii. Τι κίνηση θα κάνει το σώμα μετά τη στιγμή t = 0s αν υποθέσουμε ότι η σταθερή δύναμη που δρα στο σώμα έχει χρόνο δράσης t = 1min ; 63

64 Ευθύγραμμη Κίνηση iv. Σε ποια θέση θα βρίσκεται το σώμα τη χρονική στιγμή t = 30s, αν πάρουμε σημείο αναφοράς το σημείο που το σώμα σταματά στιγμιαία και ποια η ταχύτητα του σώματος τότε; v. Να γίνουν τα διαγράμματα υ-t και x-t από t 0 =0 έως t = 30s. Λύση i. Το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση απ τη στιγμή t = 10s έως τη στιγμή που ακινητοποιείται στιγμιαία. υ = υ 0 α t 0 = 0 t t = 10s Το σώμα κινείται για 10s με σταθερή επιβράδυνση μέχρι να σταματήσει. Επειδή κινούνταν για άλλα 10s με σταθερή ταχύτητα ακινητοποιείται τη στιγμή t = 10s + 10s = 0s. ii.από t 0 = 0 έως t = 10s το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με σταθερή ταχύτητα υ 0 = 0 s m. Επομένως διανύει διάστημα: x = υ (t t 0 ) = 0 10 = 00m. Από 10s έως 0s το σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. Επομένως διανύει διάστημα: x = υ 0 t - 1 α t = = 100m. Το διάστημα που διανύει το σώμα από 0 έως 0s είναι 00m + 100m = 300m. iii.μετά τη στιγμή t = 0s και έως τη στιγμή t = 80s, το σώμα θα κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με φορά αντίθετη της φοράς της υ 0 με επιτάχυνση α = s m. iv.x = 1 α t = 1 (30 0) = 100m. Επειδή όμως το σώμα κινείται πια αντίθετα απ τη φορά της υ 0 που λαμβάνεται θετική, η θέση του είναι x = -100m. v.τα διαγράμματα είναι τα εξής: 64

65 Ευθύγραμμη Κίνηση υ ( s m ) t (s) x (m) t (s) Βρήκαμε ότι η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας τη στιγμή t = 30s, είναι -0 s m και τη χρησιμοποιήσαμε στο διάγραμμα υ-t. Πως το βρήκαμε; Ξέρουμε ότι το σώμα από t = 0s έως t = 30s, δηλαδή για χρονικό διάστημα Δt = 10s, κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα. Επομένως τη στιγμή t = 30s η ταχύτητά του είναι υ = α Δt = 10 = 0 s m. Επειδή το σώμα από t = 0s έως t = 30s κινείται με αρνητική φορά, η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας είναι -0 s m. Ας πούμε και δυο λόγια για το διάγραμμα x-t. Πήραμε σαν σημείο αναφοράς της θέσης (x 0 = 0), το σημείο στο οποίο η ταχύτητα του σώματος μηδενίστηκε στιγμιαία. Επομένως η αλγεβρική τιμή της θέσης του σώματος για t 0 =0, ήταν x = -300m. Όταν βρέθηκε στη θέση x = -100m άρχισε να επιβραδύνεται σταθερά και στη θέση x 0 = 0, σταμάτησε στιγμιαία. Μετά άρχισε να επιταχύνεται σταθερά προς την αντίθετη κατεύθυνση (την αρνητική) και την στιγμή t=30s η θέση του ήταν -100m. 65

66 Ευθύγραμμη Κίνηση ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Ερωτήσεις Συμπλήρωσης κενών 1. Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση ονομάζεται η κίνηση στην οποία έχουμε... μεταβολές της... σε ίσα χρονικά διαστήματα.. Η επιτάχυνση είναι μέγεθος Το πηλίκο... ισούται με την επιτάχυνση. Η μονάδα μέτρησης της επιτάχυνσης στο S.I. είναι το Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, με αρχική ταχύτητα, οι εξισώσεις της ταχύτητας και της μετατόπισης είναι, υ=... και x= Η μετατόπιση στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση είναι... του τετραγώνου του χρόνου. 6. Η κλίση της ευθεία στο διάγραμμα ταχύτητας χρόνου δίνει την..., στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. 7. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω διαγράμματα. υ α>0 υ α<0 υ ο υ ο Ο tot 8. Το παρακάτω διάγραμμα δίνει την... σε σχέση με το χρόνο. Το εμβαδό της γραφικής παράστασης ισούται με την... της... στη χρονική διάρκεια Δt. α Ο t 1 t t 9. Στο σχήμα έχει παρασταθεί γραφικά το διάγραμμα... χρόνου για ένα κινητό που εκτελεί ευθύγραμμα ομαλά... κίνηση. Το εμβαδό ισούται με την... του κινητού μέχρι την χρονική στιγμή t 1. υ υ ο υ 1 Ο t 1 t 66

67 Ευθύγραμμη Κίνηση 10. To διάγραμμα Ι παριστάνει τη... του κινητού σε σχέση με το χρόνο στην ευθύγραμμη ομαλά... κίνηση με α, ενώ το διάγραμμα ΙΙ παριστάνει τη... του κινητού σε σχέση με το χρόνο στην ευθύγραμμη ομαλά... κίνηση με α. x I x II O t O t 67

68 Ευθύγραμμη Κίνηση Ερωτήσεις Αντιστοίχισης 11. Αντιστοιχίστε τις τιμές της επιτάχυνσης στα αντίστοιχα διαγράμματα, Α. 1,5m/s B..5m/s Γ. 1.5m/s Δ. 10m/s E. 0 υ (m/s) υ (m/s) υ (m/s) υ (m/s) Ο 4 t(s) Ο 4 t(s) Ο 4 t(s) O 4 t(s) Αντιστοιχίστε τη μεταβολή της ταχύτητας στα αντίστοιχα διαγράμματα. Α. 8m/s B. 8m/s Γ. 1m/s Δ. 0 α (m/s ) α (m/s ) α (m/s ) 4 O 1 4 t(s) O 4 t(s) 13 O - t(s) 13. Να αντιστοιχίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις με τα διαγράμματα. Όλα αναφέρονται σε ευθύγραμμες κινήσεις. i. Ευθύγραμμη Ομαλή ii. Ευθύγραμμη Ομαλά μεταβαλλόμενη χωρίς αρχική ταχύτητα. iii. Ευθύγραμμη Ομαλά μεταβαλλόμενη με αρνητική επιτάχυνση. iv. Ευθύγραμμη Ομαλά μεταβαλλόμενη με αρχική ταχύτητα και θετική επιτάχυνση. υ υ υ υ 134 t t t t 68

69 Ευθύγραμμη Κίνηση Ερωτήσεις Σωστού - Λάθους 14. Στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση έχουμε ίσες μεταβολές της ταχύτητας σε ίσους χρόνους. 15. Η επιτάχυνση είναι μέγεθος διανυσματικό και έχει πάντα την κατεύθυνση της ταχύτητας. 16. Στις ομαλά μεταβαλλόμενες κινήσεις ο ρυθμός μεταβολής της θέσης είναι σταθερός. 17. Στις ευθύγραμμες ομαλά μεταβαλλόμενες κινήσεις η κατεύθυνση της επιτάχυνσης α είναι ίδια με την κατεύθυνση της μεταβολής της ταχύτητας Δυ. 18. Στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση τα διανύσματα υ ο, υ, Δυ, α έχουν την ίδια κατεύθυνση. 19. Στην ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας είναι σταθερός. 0. Η γραφική παράσταση της θέσης σε σχέση με το χρόνο στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση είναι ευθεία γραμμή. 1. Στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση τη στιγμή που μηδενίζεται η ταχύτητα μηδενίζεται και η επιτάχυνση.. Βλέποντας το διάγραμμα, που αναφέρεται σε ευθύγραμμη κίνηση, ένας μαθητής έβγαλε τα ακόλουθα συμπεράσματα: i. H κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή και η συνολική μετατόπιση του σώματος είναι 00m. υ (m/s) ii. Η κίνηση είναι ομαλά μεταβαλλόμενη με αρχική ταχύτητα 0 υ ο =10m/s. iii. Η ταχύτητα αυξάνει με σταθερό ρυθμό και τη χρονική 10 στιγμή t=8s γίνεται 18m/s. iv. Η μετατόπιση από τη στιγμή t=5s ως τη στιγμή t=10s είναι O 10 t(s) 87,5m. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής 3. Ο τύπος υ=αt ισχύει στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση, i. πάντοτε ii. όταν το κινητό δεν έχει αρχική ταχύτητα. iii. όταν για t o =0 έχουμε υ ο =0. iv. 1 όταν ταυτόχρονα ισχύει η σχέση x t at 69

70 Ευθύγραμμη Κίνηση 4. Το διάγραμμα δείχνει την εξέλιξη της ταχύτητας ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα. υ i. Το κινητό εκτελεί ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. ii. Το κινητό εκτελεί επιταχυνόμενη κίνηση. iii. Το κινητό αρχικά επιταχύνεται και μετλα επιβραδύνεται. iv. Όλα τα παραπάνω είναι λάθος. t 5. Δύο κινητά Α και Β κινούνται στην ίδια ευθεία και οι ταχύτητές του μεταβάλλονται όπως δείχνει το διπλανό διάγραμμα. Έχουν ξεκινήσει από το ίδιο σημείο της ευθείας. i. Το Α έχει μεγαλύτερη επιτάχυνση από το Β. υ (m/s) ii. Τα δύο κινητά συναντώνται τη στιγμή t=s. Α iii. Τη στιγμή t=1s το Β τρέχει πιο γρήγορα από το Α, Β αλλά τη στιγμή t=3s συμβαίνει το αντίθετο. iv. Η κίνηση και των δύο κινητών χαρακτηρίζεται ως ομαλά μεταβαλλόμενες. 6. Ένα κινητό που κινείται ευθύγραμμα, έχει Ο t (s) αρχική ταχύτητα υ ο και επιτάχυνση α. Για τις αλγεβρικές στιγμές αυτών ισχύει υ ο α<0. Το ολικό διάστημα που διανύει το κινητό, μέχρι να σταματήσει είναι: i. S ολ =υ ο / α ii. S ολ = υ ο / α iii. S ολ = υ ο t, με t=υ ο /α iv. Δεν μπορεί να βρεθεί. 70

71 Ευθύγραμμη Κίνηση ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η Κατηγορία: Επιταχυνόμενη χωρίς αρχική ταχύτητα υ ο. Μεθοδολογία:Το κινητό ξεκινάει από την ηρεμία τη στιγμή t o =0 και κινείται με σταθερή επιτάχυνση α. Σ αυτές τις ασκήσεις: Θεωρούμε αρχή Ο το σημείο που ξεκίνησε. Θεωρούμε θετική την κατεύθυνση κίνησης. Μετατόπιση Δx, θέση x και διάστημα S συμπίπτουν (αφού ξεκινάει από την αρχή του άξονα). 1 Οι εξισώσεις κίνησης θα έχουν τη μορφή: x x s at, t 1. Ένα κινητό ξεκινάει από την ηρεμία και κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση α=0,5m/s. Να βρείτε το διάστημα που θα έχει διανύσει και την ταχύτητα που θα έχει αποκτήσει σε χρόνο 8s. (Απ. s=16m, υ=4m/s ). Ένα κινητό ξεκινάει από την ηρεμία και εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή επιτάχυνση. Μέχρι τη στιγμή t 1 διανύει διάστημα 40m και μέχρι το 8 ο δευτερόλεπτο διανύει διάστημα 160m. Να βρεθεί η στιγμή t 1. (Απ. t 1 =4s ) 3. Ένα κινητό ξεκινάει από την ηρεμία και κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση 3m/s. Αν το διάστημα που διανύει είναι 150m να βρείτε τη μέση ταχύτητά του. (Απ. υ μ =15m/s ) 4. Ένα κινητό εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή επιτάχυνση και χωρίς αρχική ταχύτητα. Αν στο όγδοο δευτερόλεπτο της κίνησης έχει αποκτήσει ταχύτητα 6,4m/s ποιά είναι η επιτάχυνση και ποιο το διάστημα που θα έχει διανύσει..πόσο διάστημα θα διανύσει το 10 ο δευτερόλεπτο της κίνησής του; (Απ. α=0,8m/s, s=5.6m, ΔS=7.6m ) 5. Μια σφαίρα βγαίνει από την κάνη ενός όπλου με ταχύτητα 400m/s. Αν η κάνη έχει μήκος 0,8m και υποθέσουμε ότι η κίνηση της σφαίρας μέσα στην κάνη έχει σταθερή επιτάχυνση, να βρείτε την επιτάχυνση της σφαίρας και τον χρόνο κίνησής της μέσα στην κάνη. (Απ. t=4*10-3 s, α=10 5 m/s ) 6. Από ένα σημείο Ο μιας ευθείας ξεκινάει αυτοκίνητο Α και κινείται με σταθερή επιτάχυνση α=1m/s. Δώδεκα δευτερόλεπτα αργότερα συναντάει ένα αυτοκίνητο που κινείται αντίθετα με σταθερή ταχύτητα 9m/s. Να βρείτε πόσο θα απέχει το κινητό Α από το Ο, όταν το Β περάσει από το Ο. (Απ. d=00m ) 71

72 Ευθύγραμμη Κίνηση 7. Δύο αυτοκίνητα Α, Β βρίσκονται σε ένα ευθύγραμμο τμήμα της εθνικής οδού, το Α σταματημένο ενώ το Β κινείται με σταθερή ταχύτητα υ Β κινούμενο προς το Α. Τη στιγμή to που απέχουν μεταξύ τους x=450m το Α αρχίζει να κινείται προς το Β με σταθερή επιτάχυνση. Αν τα αυτοκίνητα συναντηθούν μετά από χρόνο t=15s στο μέσο της απόστασης x να βρείτε: i. την ταχύτητα του Β ii. την επιτάχυνση του Α iii. την ταχύτητα του Α τη στιγμή της συνάντησης. (Απ. υ Β =15m/s, α=m/s, υ Α =30m/s ) 8. Σε ένα σημείο Α ενός ευθύγραμμου τμήματος της εθνικής οδού βρίσκεται σταματημένο ένα περιπολικό. Τη στιγμή t o =0 περνάει από μπροστά του ένα αυτοκίνητο που κινείται με σταθερή ταχύτητα 144km/h. Ταυτόχρονα ένα περιπολικό αρχίζει να το καταδιώκει εκτελώντας κίνηση με σταθερή επιτάχυνση 5m/s. Να βρείτε: i. Πότε το περιπολικό θα φτάσει το αυτοκίνητο. ii. Σε πόση απόσταση από το Α. (Απ. t=16s, d=640m ) 9. Δύο σημεία Α, Β μιας ευθείας απέχουν μεταξύ τους απόσταση 160m. Τη στιγμή t o =0 ξεκινάει από το Α κινητό με σταθερή επιτάχυνση α=4m/s κατευθυνόμενο προς το Β. Τέσσερα δευτερόλεπτα αργότερα ξεκινάει από το Β και κινείται προς το Α ένα άλλο κινητό με επιτάχυνση ίσου μέτρου. Βρείτε πότε και που θα συναντηθούν τα κινητά. (Απ. t=8s, s=18m ) 10. Ένα κινητό ξεκινάει από την ηρεμία και τα πρώτα 5 sec κινείται με σταθερή επιτάχυνση 4m/s. Στη συνέχεια και για χρόνο 10 sec επιβραδύνεται μέχρι να σταματήσει. Να βρείτε το διάστημα που θα διανύσει συνολικά το κινητό και να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις υ=f(t), x=f(t), α=f(t). (Aπ. S ολ =150m) 11. Ένα κινητό ξεκινάει από την ηρεμία και κινείται με σταθερή επιτάχυνση α=3m/sec πάνω σε ευθεία. Αν κατά τη διάρκεια του τελευταίου δευτερολέπτου της κίνησης του διανύει διάστημα 11m να βρείτε την τελική του ταχύτητα. (Aπ. υ τ =1,5m/s) 1. Ένα κινητό ξεκινάει από την ηρεμία και κατά τη διάρκεια του όγδοου δευτερολέπτου της κίνησής του διανύει διάστημα 3m. Ποια είναι η επιτάχυνση του κινητού και ποια θα είναι η ταχύτητα του κινητού το δέκατο δευτερόλεπτο της κίνησής του από τη γραφική παράσταση υ-t. (Απ. α=0,4m/s, υ=4m/s) 13. Κινητό αναχωρεί από την ηρεμία με σταθερή επιτάχυνση α=3m/s και καλύπτει απόσταση x 1 σε χρόνο t. Αν είναι γνωστό ότι κατά τα δύο τελευταία δευτερόλεπτα 7

73 Ευθύγραμμη Κίνηση της χρονικής περιόδου t, κάλυψε 600m να υπολογίσετε την απόσταση x 1 και το χρόνο t. (Απ. t=101sec, x 1 =15301,5m) 14. Ένα κινητό τη χρονική στιγμή t=0 περνάει από σημείο Σ μιας ευθείας. Την ίδια χρονική στιγμή ξεκινάει από το Σ άλλο κινητό Β κινούμενο προς την ίδια κατεύθυνση με το προηγούμενο. Οι γραφικές παραστάσεις υ Α =f(t), υ Β =f(t) φαίνονται στο σχήμα. Να βρείτε: i. πόσο θα απέχουν μεταξύ τους τα κινητά sec μετά από τη στιγμή t=0, ii. πόση είναι η επιτάχυνση του Β, iii. πότε θα συναντηθούν τα δύο κινητά; iv. να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις x=f(t), α=f(t). (Απ. ΔS=4m, α Β =m/s, t=4s) υ Α 4 (m/s) υ Β (m/s) 4 O t(s) O t(s) 15. Έχουμε τη γραφική παράσταση υ=f(t). υ Α (m/s) Να βρείτε: Την επιτάχυνση και την επιβράδυνση της κίνησης. 4 Το S ολ. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις α=f(t), S=f(t). (Aπ. α 1 =1m/s, α =-m/s, S oλ =1m) O 4 6 t(s) 16. Κινητό εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση με γραφική παράσταση υ=f(t) όπως στο σχήμα. Να περιγράψετε την κίνηση του κινητού από την αρχή έως το 8 ο sec, να βρείτε τη συνολική μετατόπιση και να κάνετε τη γραφική παράσταση α=f(t). (S=60m, a 1 =5m/s, a =0, a 3 =-5m/s) υ (m/s) t(sec) 73

74 Ευθύγραμμη Κίνηση η Κατηγορία: Επιταχυνόμενη με αρχική ταχύτητα υ ο. Μεθοδολογία: Είναι ασκήσεις στις οποίες το κινητό εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή επιτάχυνση α και υπάρχει αρχική ταχύτητα υ ο ομόρροπη της α. Σ αυτές τις ασκήσεις: Θεωρούμε αρχή Ο τη θέση στην οποία βρίσκεται το κινητό όταν έχει την ταχύτητα υ ο και αποκτά επιτάχυνση α. Θεωρούμε t o =0 όταν το κινητό βρίσκεται στο Ο. Θεωρούμε θετική την κατεύθυνση κίνησης. Μετατόπιση Δx, θέση x και διάστημα S συμπίπτουν (αφού την t o =0 είναι στην αρχή του άξονα). 1 Οι εξισώσεις κίνησης θα έχουν τη μορφή: x x s t at, t Σε σπανιότερες περιπτώσεις όπου t o 0 και x o 0 χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις: 1 x t at και t. 17. Ένα κινητό εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή επιτάχυνση α=4m/sec και αρχική ταχύτητα u 0 =1m/sec. α) να βρείτε μετά από 10 sec το διάστημα που θα έχει διανύσει και την ταχύτητα του. β) να γίνουν τα διαγράμματα u=u (t) και α=α (t). (Απ. S=10m, υ=41m/s) 18. Ένα κινητό κινείται σε ευθεία με σταθερή ταχύτητα 5m/sec. Τη στιγμή t 0 =0 αρχίζει να επιταχύνεται με σταθερή επιτάχυνση m/sec ομόρροπη της ταχύτητας. Να βρείτε πόσο θα έχει μετατοπιστεί μέχρι να τριπλασιαστεί η ταχύτητά του. (Aπ. Δx=50m) 19. Ένα υλικό σημείο κινείται σε ευθεία με σταθερή ταχύτητα u 0 0. Τη στιγμή t 0 =0 δέχεται σταθερή επιτάχυνση ομόρροπη της ταχύτητας και σε χρόνο 8sec αποκτάει ταχύτητα 17m/sec. Να βρείτε την αρχική ταχύτητα και την επιτάχυνση του αν σ αυτή τη χρονική διάρκεια μετατοπίζεται κατά 7m. (Απ. α=m/s, υ ο =1m/s ) 0. Ένα κινητό εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή ταχύτητα μέτρου u 0 =7,km/h. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 αρχίζει να επιταχύνεται με σταθερή επιτάχυνση 4m/sec. Να βρείτε την ταχύτητά του και το χρόνο που πέρασε όταν έχει διανύσει διάστημα 84m. (Απ. t=6s, υ=6m/s) 74

75 Ευθύγραμμη Κίνηση 1. Ένα κινητό εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή επιτάχυνση. Η ταχύτητα από u 0 =4m/sec τη στιγμή t 0 =0 αυξάνει σε 8m/sec τη στιγμή t. Σ αυτή τη χρονική διάρκεια το διάστημα που διανύει είναι 10m. Να βρείτε: α) το χρόνο t β) την επιτάχυνση και γ) την ταχύτητα του κινητού στο τριακοστό δευτερόλεπτο και το αντίστοιχο διάστημα. (Απ. t=0s, α=0,m/s, υ 1 =10m/s, s=10m ). Ένα αυτοκίνητο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή επιτάχυνση. Τη στιγμή t 0 =0 περνάει από μια στάση με ταχύτητα u 0 και 6 sec αργότερα περνάει από ένα περίπτερο με ταχύτητα 36m/sec. Αν η απόσταση του περίπτερου από τη στάση είναι 144m να βρείτε: α) την επιτάχυνση β) την ταχύτητα u 0 γ) τη μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου κατά τη διαδρομή αυτή. (Aπ. α=4m/s, υ ο =1m/s, υ μ =4m/s) 3. Ένα κινητό που κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση διανύει διάστημα 30 m κατά τη διάρκεια του τέταρτου δευτερολέπτου και διάστημα 46m κατά τη διάρκεια του έκτου δευτερολέπτου τηςκίνησής του. Να βρείτε την αρχική ταχύτητα και την επιτάχυνσή του. (Απ. υ ο =m/s, α=8m/s ) 4. Από δύο σημεία Α και Β μιας ευθείας αναχωρούν ταυτόχρονα δύο κινητά με επιταχύνσεις α Α =4m/s και α Β =5m/s και αντίθετες φορές. Αν ΑΒ=7m να βρείτε πότε και σε ποιο σημείο θα συναντηθούν. (Aπ. 4sec, 3m). 5. Από δύο σημεία Α και Β μιας ευθείας διέρχονται ταυτόχρονα δύο κινητά με ταχύτητες υ A =5m/s, υ B =8m/s και επιταχύνσεις α Α =4m/s,α Β =m/s κινούμενα με αντίθετες φορές. Αν τα κινητά συναντηθούν μετά 10s να βρείτε την απόσταση ΑΒ. (Απ. (AB)=30m) 75

76 Ευθύγραμμη Κίνηση 3 η Κατηγορία: Επιβραδυνόμενη κίνηση. Μεθοδολογία: Είναι ασκήσεις στις οποίες το κινητό εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση με αρχική ταχύτητα υ ο και δέχεται σταθερή επιτάχυνση α αντίρροπη της υ ο (επιβράδυνση). Σ αυτές τις ασκήσεις: Θεωρούμε αρχή Ο τη θέση στην οποία βρίσκεται το κινητό όταν έχει την ταχύτητα υ ο και δέχεται επιτάχυνση α. Θεωρούμε t o =0 όταν το κινητό βρίσκεται στο Ο. Θεωρούμε θετική την κατεύθυνση της υ ο, οπότε η κατεύθυνση της α είναι αρνητική (υ ο >0, α<0). Μετατόπιση Δx και θέση x συμπίπτουν (αφού την t o =0 είναι στην αρχή του άξονα). 1 Οι εξισώσεις κίνησης θα έχουν τη μορφή: x x t a t, t Επειδή η α είναι αντίρροπη της υ ο το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται και σε ένα σημείο Α μηδενίζεται οριστικά ή στιγμιαία. Λέμε οριστικά όταν το κινητό σταματάει για κάποιο χρονικό διάστημα. Μια τέτοια κίνηση μπορούμε να την χαρακτηρίσουμε και επιβραδυνόμενη. Ο ολικός χρόνος κίνησης και το ολικό διάστημα κίνησης υπολογίζεται από τις σχέσεις, o t, S. Αν όμως σταματήσει στιγμιαία, τότε θα γυρίσει πίσω κινούμενο με επιτάχυνση α. Τώρα το μέτρο της ταχύτητας αυξάνει και η κίνηση δεν χαρακτηρίζεται ως επιβραδυνόμενη αλλά ως επιταχυνόμενη με αρνητική επιτάχυνση. 6. Ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθεία με σταθερή ταχύτητα u 0. Τη στιγμή t 0 =0 ο οδηγός φρενάρει και τα φρένα προκαλούν σταθερή επιτάχυνση αντίρροπη της u 0. Μετά sec το αυτοκίνητο έχει διανύσει διάστημα 70m και η ταχύτητά του είναι τότε 30m/sec. Να βρείτε το ολικόδιάστημα που θα διανύσει και τον ολικό χρόνο κίνησης μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητά του. (Απ. S ολ =160m, t ολ =8s) 7. Ένα κινητό ξεκινάει από την ηρεμία και κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση α για χρόνο 10sec. Αμέσως μετά δέχεται επιτάχυνση αντίθετης φοράς με μέτρο α/ και τελικά σταματάει. Να βρείτε το μέτρο της επιτάχυνσης αν, i. Διανύσει κατά την επιβραδυνόμενη κίνηση διάστημα 300m. ii. Διανύσει συνολικό διάστημα 300m. (Απ. α=3m/s, α =m/s ) 8. Δύο τρένα κινούνται αντίθετα πάνω στην ίδια γραμμή με σταθερές ταχύτητες u 1 =7km/h και u =36km/h. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 αντιλαμβάνεται ο ένας τον 76

77 Ευθύγραμμη Κίνηση άλλον και αμέσως αρχίζουν να φρενάρουν οπότε τα τρένα αποκτούν σταθερές επιταχύνσεις (επιβραδύνσεις) με μέτρα α 1 =0,4m/sec και α =0,5m/sec. Ποιά πρέπει να είναι η ελάχιστη απόσταση d των τρένων τη στιγμή t 0 =0 ώστε να μην συγκρουστούν. (Απ. d=600m) 9. Ένα αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα μέτρου u 0 =30m/sec. Τη στιγμή t 0 =0 ο οδηγός φρενάρει και το αυτοκίνητο αποκτά σταθερή αρνητική επιτάχυνση. Το φρενάρισμα διαρκεί 4 sec και το διάστημα κατά το φρενάρισμα είναι 100m. Αμέσως μετά το αυτοκίνητο συνεχίζει να κινείται ευθύγραμμα και ομαλά με την ταχύτητα που είχε στο τέλος του φρεναρίσματος για 7sec ακόμη. Να βρεθούν: α) Η ταχύτητα της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης και β) το διάστημα που διανύει σ αυτή την κίνηση. (Aπ. υ 1 =0m/s, S 1 =140m) 30. Ένα κινητό τη χρονική στιγμή t=0 έχει ταχύτητα υ ο =0m/s. Το κινητό αρχίζει να επιβραδύνεται με σταθερή επιβράδυνση οπότε μετά από sec η ταχύτητά του έχει μέτρο ίσο με το ¼ της αρχικής. Να βρείτε το μέτρο της επιβράδυνσης του κινητού και το διάστημα που διένυσε το κινητό το δεύτερο δευτερόλεπτο. (Απ. α=-7,5m/s, S=8,75m) 31. Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα υ ο =7km/h. Κάποια χρονική στιγμή ο οδηγός αντιλαμβάνεται εμπόδιο σε απόσταση S=35m οπότε πατάει φρένο και προκαλεί σταθερή επιβράδυνση στο αυτοκίνητο α=10m/s. Αν ο χρόνος που πέρασε από τη στιγμή που αντελήφθη το εμπόδιο μέχρι να πατήσει το φρένο είναι τ. Να βρείτε αν το αυτοκίνητο προλάβει να σταματήσει μπροστά ακριβώς στο εμπόδιο, το χρόνο τ. (Απ. τ = 0,75sec) 3. Ένα κινητό που κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση έχει τη στιγμή t 0 =0 ταχύτητα u 0 =0m/sec και επιτάχυνση α=-m/sec. Να βρείτε τη μέση ταχύτητά του μέχρι τη στιγμή t=4sec. (Απ. υ μ =16m/s) 33. Δύο κινητά Α,Β ξεκινούν ταυτόχρονα από το ίδιο σημείο μιας ευθείας και κινούνται ομόρροπα με σταθερές επιταχύνσεις α 1 =m/sec και α =4m/sec αντίστοιχα. Μετά 10sec το κινητό Β δέχεται επιτάχυνση α=-5m/sec. Να βρείτε πόσο θα απέχουν τα δύο κινητά τη στιγμή που μηδενίζεται η ταχύτητα του Β. (Απ. d=36m) 34. Κινητό ξεκινάει από την ηρεμία και κινείται με σταθερή επιτάχυνση α 1 =1m/s μέχρι να αποκτήσει ταχύτητα υ=10m/s. Στη συνέχεια κινείται με σταθερή ταχύτητα και μετά επιβραδύνεται με σταθερή επιβράδυνση α =5m/s μέχρι να σταματήσει. Αν το συνολικό διάστημα που διανύει είναι S=100m 77

78 Ευθύγραμμη Κίνηση α)να υπολογίσετε τον ολικό χρόνο κίνησής του. β) να κάνετε τα διαγράμματα υ=f(t),s=f(t),α=f(t) (Aπ. t ολ =16s). 35. Κινητό ξεκινά τη χρονική στιγμή t 0 =0 και κινείται ευθύγραμμα με επιτάχυνση α 1 =4m/s μέχρι τη χρονική στιγμή 4s. Στη συνέχεια επιβραδύνεται με α και σταματά τη χρονική στιγμή 1s. Να υπολογιστούν: α)η ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή 4s β)η επιβράδυνση α γ)το συνολικό διάστημα που διάνυσε το κινητό καθώς και η μέση ταχύτητά του. (Απ. α)υ=16m/s, β) α =m/s, γ)s=96m, υ μ =8m/s. 36. Kινητό ξεκινά από την ηρεμία τη χρονική στιγμή t 0 =0 και κινείται με σταθερή επιτάχυνση. Τη χρονική στιγμή t 1 =4s η ταχύτητά του είναι υ 1 =0m/s. Στη συνέχεια κινείται ομαλά μέχρι τη χρονική στιγμή t =6s και τέλος επιβραδύνεται με σταθερή επιβράδυνση, οπότε σταματά τη χρονική στιγμή t 3 =10s. α) Να υπολογίσετε το συνολικό διάστημα που διανύει το κινητό β)να παραστήσετε γραφικά την ταχύτητα και το διάστημα σε σχέση με το χρόνο. (Απ. S=10m). 37. Για ένα όχημα που κινείται ευθύγραμμα, η αλγεβρική τιμή της ταχύτητάς του μεταβάλλεται με το χρόνο όπως φαίνεται στο διάγραμμα υ(m/s) t(s) -0 α)να περιγράψετε τις κινήσεις β)να κάνετε το διάγραμμα επιτάχυνσης χρόνου 78

79 Ευθύγραμμη Κίνηση γ)αν χ 0 =0 να βρείτε την τελική θέση του κινητού. δ)πόσο το διάστημα που έχει διανύσει; ε)ποια η μέση ταχύτητά του; (Aπ.S=175m, υ μ =19,1m/s). a(m/s ) 38. Ένα σώμα που έχει αρχική ταχύτητα υ 0 =0m/s επιταχύνεται με α 1 =m/s για Δt 1 =s.στη συνέχεια επιβραδύνεται με α =m/s για Δt =1s.Tέλος κινείται ευθύγραμμα ομαλά για Δt 3 =4s. α)να βρείτε το συνολικό διάστημα που διένυσε το σώμα. β) Να κάνετε τα διαγράμματα α-t, υ-t και χ-t (για t=0, χ 0 =0m). (Απ. 155m) 39. Η κίνηση ενός κινητού είναι ευθύγραμμη. Την χρονική στιγμή t=0 η ταχύτητά του είναι υ 0 =10m/s και η επιτάχυνσή του μεταβάλλεται με το χρόνο όπως φαίνεται στο διάγραμμα t(s) -6 α)να περιγράψετε την κίνηση του κινητού. β)να κάνετε το διάγραμμα της ταχύτητας με το χρόνο. γ)να βρείτε το συνολικό διάστημα και την ολική μετατόπιση. (Aπ. S ολ =650m, Δχ=-100m). 79

80 Ευθύγραμμη Κίνηση 80

81 Δυναμική σε μια Διάσταση ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΥΝΑΜIKH Σε Μια Διάσταση 1. Γενικά Στο προηγούμενο κεφάλαιο ασχοληθήκαμε με τις κινήσεις των σωμάτων χωρίς να μας ενδιαφέρουν οι αιτίες που τις προκαλούν. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε την κινητική κατάσταση των σωμάτων σε σχέση με τις δυνάμεις που τους ασκούνται. Σώμα & Περιβάλλον Κάθε υλικό σώμα θεωρείται ως «άμεσα ή έμμεσα αισθητή ενότητα» που ξεχωρίζει από τα άλλα σώματα του σύμπαντος. Λέμε ότι τα άλλα σώματα αποτελούν το «περιβάλλον» του συγκεκριμένου σώματος. Έτσι για παράδειγμα το μολύβι σας αποτελεί ένα σώμα και όλα τα άλλα σώματα αποτελούν το περιβάλλον του μολυβιού. Υλικό σημείο - Στερεό Σώμα Υπάρχουν σώματα που οι διαστάσεις τους είναι πολύ μικρές σε σχέση με τις διαστάσεις άλλων σωμάτων του περιβάλλοντός τους. Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι τα σώματα αυτά δεν έχουν καθόλου διαστάσεις και τα λέμε υλικά σημεία. Στην περίπτωση αυτή θεωρούμε ότι η μάζα του σώματος είναι συγκεντρωμένη σε ένα σημείο. Έτσι, υλικό σημείο λέμε κάθε σώμα που θεωρούμε ότι έχει μάζα αλλά δεν έχει διαστάσεις. Όλα τα σώματα που θεωρούμε ότι έχουν διαστάσεις τα λέμε στερεά σώματα. Κάθε στερεό σώμα αποτελείται από πολλά υλικά σημεία. Στην προσπάθειά μας να απλοποιήσουμε τη μελέτη της κίνησης των σωμάτων, θα αντιμετωπίζουμε όλα τα σώματα ως υλικά σημεία. Αλληλεπίδραση σωμάτων Τα σώματα αλληλεπιδρούν (δηλαδή επιδρούν το ένα στο άλλο) με δύο τρόπους: Μέσω δυνάμεων και Μέσω μεταφοράς θερμότητας ή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Έτσι για παράδειγμα ένα σώμα Α μπορεί να ασκεί δύναμη σε ένα σώμα Β, είτε να μεταφέρεται θερμότητα (ενέργεια) από το Α στο Β λόγω διαφοράς θερμοκρασίας. Έτσι έχουμε και στις δύο περιπτώσεις αλληλεπίδραση σωμάτων. (Οι δύο αυτοί τρόποι αλληλεπίδρασης δεν είναι σαφώς διαχωρισμένοι γιατί και η δύναμη μεταφέρει ενέργεια απ το ένα σώμα στο άλλο ή μετασχηματίζει την ενέργεια ενός σώματος). Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε μόνο με την αλληλεπίδραση μέσω δυνάμεων. 81

82 Δυναμική σε μια Διάσταση. Δύναμη Δύναμη λέμε το αίτιο που προκαλεί την παραμόρφωση ή τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων. Αυτό αποτελεί περιγραφή της δύναμης και όχι ορισμό. Τι είναι δύναμη δεν μπορούμε να πούμε (ως αρχική έννοια δεν ορίζεται), την περιγράφουμε μόνο από το αποτέλεσμά της. F Σ Σχήμα Α Φυσικό μήκος Ελατηρίου Χρησιμοποιούμε τις εκφράσεις: Η δύναμη ασκείται σε ένα σώμα. Η δύναμη ενεργεί σε ένα σώμα. Ένα σώμα δέχεται δύναμη. Μια δύναμη εφαρμόζεται σε ένα σώμα. Το σώμα Α ασκεί δύναμη στο σώμα Β. Μονάδα Μέτρησης δύναμης στο S.I. είναι το 1 Newton ( 1N ), που θα ορίσουμε παρακάτω. Η δύναμη συμβολίζεται με F, (αρχικό της αγγλικής λέξης Force=δύναμη). Οι δυνάμεις σε ολόκληρο το σύμπαν εμφανίζονται πάντα ανά ζεύγη, δηλαδή σε κάθε δράση αντιστοιχεί μια αντίδραση. Η δύναμη είναι μέγεθος διανυσματικό Στο σχήμα Β η δύναμη προκαλεί διαφορετικά αποτελέσματα όταν επιμηκύνουμε ή όταν συμπιέζουμε το ελατήριο. Δηλαδή το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται μόνο από το μέτρο της δύναμης αλλά και από τον τρόπο που ασκείται (κατεύθυνση). Αυτό σημαίνει ότι η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος και γι' αυτό παριστάνεται με ένα διάνυσμα που συμβολίζεται συνήθως με F. Η δύναμη ως διανυσματικό μέγεθος παριστάνεται με ένα βέλος και έχει τα εξής χαρακτηριστικά: Μέτρο, μιας δύναμης είναι το γινόμενο της τιμής της επί τη μονάδα μέτρησης. (Για παράδειγμα μια δύναμη πέντε Νιούτον έχει: τιμή 5, μονάδα το 1Ν και μέτρο F=5Ν). Διεύθυνση, μιας δύναμης λέμε το σύνολο των παραλλήλων ευθειών προς τον φορέα της (μαζί με το φορέα). Φορά, μιας δύναμης είναι το προς τα πού δείχνει η δύναμη. Πάνω στον φορέα της δύναμης ορίζουμε θετική και αρνητική φορά. (Η δύναμη θεωρείται θετική αν το διάνυσμά της έχει τη θετική φορά του φορέα, αλλιώς θεωρείται αρνητική). Διεύθυνση και φορά λέγονται μαζί κατεύθυνση. Σημείο εφαρμογής, ονομάζουμε το σημείο στο οποίο ενεργεί η δύναμη. ΠΡΟΣΟΧΗ Θυμίζουμε ότι δύο δυνάμεις που έχουν ίδια διεύθυνση λέγονται: ομόρροπες αν έχουν ίδια φορά, αντίρροπες αν έχουν αντίθετες φορές, ίσες αν έχουν ίσα μέτρα και ίδιες φορές και αντίθετες αν έχουν ίσα μέτρα και αντίθετες φορές. (Δεν ισχύει η έκφραση «ίσες και αντίθετες» δυνάμεις). F F 8

83 Δυναμική σε μια Διάσταση Η δύναμη αλλάζει την ταχύτητα του σώματος στο οποίο ασκείται. Όταν λέμε την αλλάζει εννοούμε είτε την κατεύθυνση είτε το μέτρο της ταχύτητας. Η δύναμη ασκείται πάντα σε υλικό σώμα, από κάποιο άλλο ή κάποια άλλα υλικά σώματα. Δεν γίνεται ν ασκείται από το τίποτα. 3. Μέτρηση δύναμης Νόμος Hooke Μπορούμε να μετρήσουμε μια δύναμη π.χ. με ζυγό ελατηρίου ή δυναμόμετρο. Η μέτρηση στηρίζεται και στις δύο περιπτώσεις στην ελαστική παραμόρφωση ελατηρίου, (δηλαδή το ελατήριο αποκτά το αρχικό του σχήμα μόλις παύει η δύναμη να το παραμορφώνει 4 ). Θεωρούμε όλες τις παραμορφώσεις των ελατηρίων ελαστικές και τα ελατήρια ιδανικά (δηλαδή με αμελητέα μάζα και οι παραμορφώσεις τους ελαστικές). Στο σχήμα το ελατήριο με την επίδραση της δύναμης F x x F F επιμηκύνεται κατά x, με δύναμη F επιμηκύνεται κατά x κτλ. Δηλαδή, Οι ελαστικές παραμορφώσεις ενός ελαστικού σώματος είναι ανάλογες προς τη δύναμη που τις προκαλεί. Η πρόταση αυτή λέγεται νόμος του Hooke και για την περίπτωση ελατηρίου εκφράζεται μαθηματικά με τον τύπο: F F=kx Κλίση=εφθ=k Όπου: F=μέτρο δύναμης (1Ν), x=παραμόρφωση (επιμήκυνση ή συσπείρωση) του ελατηρίου θ (1m), x k=σταθερά του ελατηρίου (1Ν/M) Η σταθερά k είναι χαρακτηριστική για κάθε ελατήριο, εξαρτάται από το υλικό του ελατηρίου και τα γεωμετρικά του χαρακτηριστικά (μήκος, πάχος κτλ.), εκφράζει τη σκληρότητα του ελατηρίου (μεγάλοk, σκληρό ελατήριο). 0 1 Η μέτρηση δύναμης με ελατήριο στηρίζεται στο νόμο Hooke. Κρεμάμε από το ελατήριο το πρότυπο βάρος και σημειώνουμε στο άκρο του ελατηρίου το 1. Αν κρεμάσουμε διπλάσιο, τριπλάσιο κτλ. Βάρος, η παραμόρφωση γίνεται αντίστοιχα διπλάσια, τριπλάσια, κτλ. Έτσι μπορούμε να βαθμολογήσουμε το όργανο αυτό που λέγεται δυναμόμετρο και να μετράμε δυνάμεις. 4 Πλαστική παραμόρφωση: λέγεται η παραμόρφωση που διατηρείται και μετά την παύση της δύναμης. 83

84 Δυναμική σε μια Διάσταση 4. Σύνθεση Δυνάμεων Συνισταμένη Δυνάμεων Συνισταμένη δύο (ή περισσοτέρων) δυνάμεων λέμε μια δύναμη που προκαλεί το ίδιο αποτέλεσμα με αυτό που προκαλούν οι δύο (ή περισσότερες) δυνάμεις μαζί. F ΣF F1 FF 1 F F : Συνισταμένη Δύναμη F 1, F : Συνιστώσες της F Τη διαδικασία που ακολουθούμε για να αντικαταστήσουμε δύο ή περισσότερες δυνάμεις με τη συνισταμένη τους την ονομάζουμε σύνθεση δυνάμεων. Εφαρμογή: Πως βρίσκουμε τη συνισταμένη δύο δυνάμεων που έχουν κοινό σημείο εφαρμογής. Α) Όταν οι F 1, F σχηματίζουν γωνία φ. Τότε το μέτρο της F δίνεται από τη σχέση, ΣF F F 1 F1F συνφ Και η διεύθυνση από τη σχέση, F ημφ εφω F 1 F συνφ Β) Όταν F 1, F έχουν την ίδια διεύθυνση και φορά, δηλαδή φ=0 ο (συν0 ο =1) Μέτρο : ΣF=F 1 +F Διεύθυνση : αυτή των F 1, F Γ) Όταν F 1, F έχουν την ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά, δηλαδή φ=180 ο (συν180 ο =-1) Μέτρο : ΣF= F 1 -F Διεύθυνση : αυτή του μεγαλύτερου μεταξύ των F 1, F Δ) Όταν F 1, F είναι κάθετες μεταξύ τους, δηλαδή φ=90 ο (συν90 ο =0) Το Μέτρο και η Διεύθυνση της Μέτρο : Διεύθυνση : F F 1 F F F 1 F δίνονται από τις σχέσεις: Στις δύο πρώτες περιπτώσεις (Α, Β), έχουμε σύνθεση συγγραμμικών δυνάμεων. 84

85 Δυναμική σε μια Διάσταση 5. Αδράνεια Αδράνεια των σωμάτων (η αδράνεια της ύλης) είναι η ιδιότητα που έχουν τα σώματα ν αντιστέκονται στη μεταβολή της κινητικής τους κατάστασης. Δηλαδή η αδράνεια είναι μια εγγενής ιδιότητα της ύλης και εκφράζει το ότι τα σώματα δεν αλλάζουν μόνα τους την κινητική τους κατάσταση, αλλά μόνο με την επίδραση δυνάμεων σ αυτά. Αν σπρώξουμε ένα βιβλίο πάνω στο τραπέζι αυτό θα κινηθεί και μετά από λίγο θα σταματήσει λόγω της τριβής που του ασκείται απ το τραπέζι και όχι επειδή έχει την ιδιότητα να σταματάει. Η αδράνεια είναι μια ιδιότητα που χαρακτηρίζει όλα τα υλικά σώματα, ανεξάρτητα από το αν αυτά κινούνται η όχι. Παραδείγματα: όταν ένα ακίνητο αυτοκίνητο επιταχύνεται απότομα, οι επιβάτες του κινούνται προς τα πίσω («κολλάνε» στα καθίσματα), ή όταν ένα αυτοκίνητο που κινείται φρενάρει απότομα οι επιβάτες κινούνται προς τα εμπρός. Έστω (στο ίδιο δάπεδο) δύο σώματα με μάζες m 1, m όπου m 1 <m. Ασκούμε μια δύναμη F στο Σ ώστε να κινηθεί. Στη συνέχεια ασκούμε την ίδια δύναμη στο Σ 1 και παρατηρούμε ότι κινείται πιο γρήγορα. Αυτό σημαίνει ότι το σώμα μα μεγάλη μάζα εμφανίζει μεγαλύτερη αδράνεια από το σώμα με μικρή μάζα. Καταλήγουμε λοιπόν στο εξής, η μάζα ενός σώματος εκφράζει το μέτρο της αδράνειάς του. Αν είναι βρεγμένα τα χέρια μας για να απομακρύνουμε τις σταγόνες του νερού που υπάρχουν σ' αυτά τα τινάζουμε. Όταν σταματήσει η κίνηση των χεριών μας οι σταγόνες του νερού συνεχίζουν να κινούνται λόγω αδράνειας και απομακρύνονται από τα χέρια μας. Ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα Αν η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σ ένα σώμα είναι μηδέν, τότε το σώμα είτε ηρεμεί είτε κινείται ευθύγραμμα και ομαλά. Αν F 0 τότε =0 ή =σταθ. Ισορροπία Ισορροπία ενός σώματος ονομάζουμε την κατάσταση εκείνη όπου το σώμα είτε δεν κινείται είτε κινείται με σταθερή ταχύτητα. Όταν ένα σωμάτιο ισορροπεί, τότε η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σ αυτό είναι μηδέν: F 0 Η σχέση αυτή αποτελεί συνθήκη ισορροπίας ενός σωματίου. Όπως πρόκυψε από τον πρώτο νόμο του Νεύτωνα, η κατάσταση «ακινησίας» και η κατάσταση «ευθύγραμμης ομαλής κίνησης» είναι ισοδύναμες. Όταν ένα σώμα είναι ακίνητο η κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα, τότε λέμε ότι ισορροπεί. Για τις δυνάμεις που ασκούνται σε σώμα το οποίο ισορροπεί χρησιμοποιούμε τη διατύπωση «οι δυνάμεις ισορροπούν». 85

86 Δυναμική σε μια Διάσταση Eφαρμογές 1. Αν ένα σώμα ισορροπεί με την επίδραση δύο μόνο δυνάμεων F 1, F τότε: Απάντηση F 1 F F 0 F F F F Άρα αν ένα σώμα ισορροπεί με την επίδραση δύο μόνο δυνάμεων, τότε οι δυνάμεις είναι αντίθετες, (δηλαδή έχουν ίσα μέτρα και αντίθετη φορά).. Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα και ομαλά. Κάποια στιγμή του ασκούνται ταυτόχρονα δύο αντίθετες δυνάμεις. Πως θα μεταβληθεί η κινητική του κατάσταση; Απάντηση Δεν θα μεταβληθεί καθόλου, γιατί οι δυνάμεις ως αντίθετες έχουν συνισταμένη μηδέν άρα δεν προκαλούν μεταβολή της κινητικής του κατάστασης. 3. Στο σώμα Σ του σχήματος ασκούνται οι δυνάμεις F 1, F, F 3 ευθεία. Δίνονται F 1 =10N και F =0N., πάνω στην ίδια Α. Αν το σώμα είναι ακίνητο, τότε: i. F 3 =0N ii. F 3 =00N iii. F 3 =30N iv. Tίποτα από όλα αυτά. Β. Αν το σώμα κινείται με υ=σταθ., τότε: i. F 3 =0N ii. F 3 =00N F 3 F 1 F Γ. Αν F 3 =40N αποκλείεται το σώμα Σ να μείνει ακίνητο ή να κινηθεί ευθύγραμμα και ομαλά. Απάντηση Είτε το σώμα είναι ακίνητο, είτε κινείται ευθύγραμμα και ομαλά, ισχύει ο πρώτος νόμος του Νεύτων: F 0, άρα F F F F 30N απάντηση η iii, για τα Α, Β , άρα σωστή Αν η δύναμη F 3 είναι ίση με 40Ν τότε F 0, δεν ισχύει ο πρώτος νόμος Νεύτων άρα το σώμα ούτε θα μείνει ακίνητο, ούτε θα κινείται ευθύγραμμα και ομαλά (θα επιταχύνεται). 86

87 Δυναμική σε μια Διάσταση ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΧΩΡΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1. Αδράνεια λέμε την της ύλης να αντιδρά σε κάθε της κατάστασης της. Ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα σχετίζεται με της ύλης.. Όταν η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα είναι μηδέν τότε το σώμα ή η κινείται και ομαλά. 3. Σωστό (Σ), Λάθος (Λ) : α. Ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα λέγεται και νόμος της αδράνειας β. Αν η ταχύτητα υ δεν είναι σταθερή, δεν ισχύει ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα. γ. για ένα σώμα που δεν ασκούνται καθόλου δυνάμεις ισχύει ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα. δ. Για να ισχύει ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα για ένα σώμα θα πρέπει να είναι ακίνητο. 4. Να δικαιολογήσετε σε ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις ισχύει ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα. F 1 =10N F =10N F =10N F =10N F 1 =10N F =10N F 1 =10N F 1 =10N (α) (β) (γ) (δ) 5. α. Στο σώμα Σ του σχήματος να σχεδιάσετε και μια δύναμη F στο Σ ώστε να ισορροπεί. β. Το μέτρο της F είναι: F 1 =10N Σ α.100ν β.1ν γ. -100Ν δ.50ν 87

88 Δυναμική σε μια Διάσταση ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Στις περιπτώσεις όπου έχουμε σύνθεση περισσότερων από δύο συγγραμμικών δυνάμεων εργαζόμαστε ως εξής: Επιλέγουμε αυθαίρετα μια θετική φορά. Προσθέτουμε τα μέτρα των δυνάμεων με θετική φορά. Προσθέτουμε τα μέτρα των δυνάμεων με αρνητική φορά. Αφαιρούμε από το πρώτο άθροισμα το δεύτερο άθροισμα. Η απόλυτη τιμή του αριθμού που προκύπτει είναι το μέτρο της συνισταμένης δύναμης, ενώ το πρόσημό του δείχνει τη φορά της συνισταμένης δύναμης. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Το σώμα Σ του σχήματος κινείται πάνω στην ευθεία x x. Αν F 1 =100N και F =40N να βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση μιας δύναμης F 3 που πρέπει να του ασκηθεί ώστε να κινείται με σταθερή ταχύτητα. x F F 1 x Λύση Για να είναι υ=σταθ., σύμφωνα με τον πρώτο νόμο του Νεύτωνα θα πρέπει ΣF=0. Αλλά F 1 >F. Άρα η F 3 θα έχει την κατεύθυνση της F και θα είναι: F 1 - F - F 3 =0 F 1 -F =F 3 F 3 =100Ν- 40Ν F 3 =60Ν. Στο σχήμα της άσκησης τα νήματα έχουν σταθερό μήκος και αμελητέα μάζα. Αν Β 1 =0Ν και Β =40Ν: α. να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε σώμα και β. Να υπολογίσετε τα μέτρα των δυνάμεων αυτών. Σ 1 Σ Λύση Α. Το σώμα Σ 1 δέχεται τις δυνάμεις: Το βάρος Β 1 (από απόσταση) και τη δύναμη Τ 1 από το νήμα (δύναμη επαφής). Επειδή ηρεμεί είναι: ΣF = 0 (1 ος νόμος Νεύτωνα) Με θετική κατεύθυνση προς τα πάνω παίρνουμε: Τ1-Β1=0 Τ1=Β1 Τ1=0Ν Τ 1 Β 1 88

89 Δυναμική σε μια Διάσταση Β. Το σώμα Σ δέχεται τη δύναμη Β του βάρους του και τις δυνάμεις Τ, Τ 3 από τα νήματα (δυνάμεις επαφής). Είναι Τ =Τ 1 άρα Τ =0Ν γιατί το νήμα ασκεί στα σώματα δυνάμεις ίσου μέτρου. Το σώμα Σ ηρεμεί άρα ΣF=0 (ομοίως από πρώτο νόμο Νεύτωνα άρα Τ 3 -Τ -Β =0 Τ 3 =Τ +Β =0Ν+40Ν άρα Τ 3 =60Ν Τ 3 Β Τ 3. Ένα αερόστατο βάρους Β=000Ν κινείται κατακόρυφα με σταθερή ταχύτητα και δέχεται από τον αέρα αντίσταση 100Ν. Να βρείτε την άνωση του αεροστάτου από τον αέρα όταν: α. ανεβαίνει και β. Κατεβαίνει. Λύση Στο αερόστατο ασκούνται οι δυνάμεις: α. το βάρος του Β β. Η άνωση Α κατακόρυφη με φορά προς τα πάνω γ. Η αντίσταση F του αέρα που είναι αντίρροπη της ταχύτητας. Έτσι όταν το αερόστατο ανεβαίνει η F έχει φορά προς τα κάτω και όταν κατεβαίνει, η φορά της είναι προς τα πάνω. α. θεωρούμε κατακόρυφο άξονα ψψ με θετική φορά προς τα πάνω. Επειδή υ=σταθ. από τον πρώτο νόμο του Νεύτωνα είναι: ΣF Ψ =0 άρα Α- F-Β=0 Α= F+Β=100Ν+000Ν= 100Ν+000Ν άρα Α=100Ν. β. Θεωρούμε κατακόρυφο άξονα ψψ με θετική φορά προς τα κάτω ομοίως από τον πρώτο νόμο του Νεύτωνα είναι: ΣF Ψ =0 Β-Α - F=0 Β- F=Α άρα Α =Β- F=000Ν 100Ν= 000Ν-100Ν άρα Α =1900Ν 4. Από το ελεύθερο άκρο ενός δυναμόμετρου κρεμάμε ένα σώμα βάρους Β 1 =40Ν και παρατηρούμε ότι το ελατήριο του δυναμόμετρου επιμηκύνεται κατά x 1 =5cm. i. Να βρείτε την επιμήκυνση που υφίσταται το ελατήριο όταν από το δυναμόμετρο κρεμάσουμε σώμα βάρους Β =60Ν. ii. Ποιο είναι το βάρος Β 3 του σώματος, που όταν το κρεμάσουμε από το δυναμόμετρο, το ελατήριο επιμηκύνεται κατά x 3 =0cm; iii. Να κάνετε τη γραφική παράσταση του βάρους του σώματος που επιμηκύνει το δυναμόμετρο σε συνάρτηση με την επιμήκυνση. (Απ. x =7.5cm, B 3 =160N ) 5. Δύο δυνάμεις ενεργούν στο ίδιο σημειακό αντικείμενο και σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ. Αν είναι F 1 =F =10N να καθορίσετε πλήρως τη συνισταμένη τους, στις περιπτώσεις: i. φ=0 ο ii. φ=60 ο iii. φ=90 ο iv. φ=180 ο 89

90 Δυναμική σε μια Διάσταση (Απ. φ=0 ο : ΣF=0N, φ=60 ο : ΣF=10 3 N, θ=30 ο, φ=90 ο : ΣF=10 N, θ=45 ο, φ=180 ο : ΣF=0 ) 6. Το σώμα Σ του σχήματος είναι κρεμασμένο με νήμα. Αν έχει βάρος 70Ν να σχεδιάσετε και να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκούνται. Αν το σώμα Σ το κρεμάσουμε από κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k=700n/m, να βρείτε την επιμήκυνση του ελατηρίου. (Απ. Β=70Ν, Τ=70Ν, y=0.1m ) 7. Το σώμα του σχήματος κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης F. Αν F=100N και η ταχύτητα του σώματος είναι σταθερή, να εξηγήσετε ότι υπάρχει τριβή, να τη σχεδιάσετε και να βρείτε το μέτρο της. (Απ. Τ=100Ν) υ F 8. Ένα σώμα βάρους 30Ναφήνεται στην επιφάνεια της θάλασσας. Το σώμα βυθίζεται στο νερό και μετά από λίγο κατεβαίνει με σταθερή ταχύτητα. Άν ή άνωση που δέχεται από το νερό είναι 7Ν: α. Να δικαιολογήσετε ότι το σώμα δέχεται αντίσταση από το νερό και β. Να υπολογίσετε το μέτρο της. [Απ. F 3= 3Ν] 9. Στο σχήμα της άσκησης τα νήματα έχουν σταθερό μήκος αμελητέα μάζα. Δίνεται Β 1 =5Ν. Άν η τροχαλία έχει ασήμαντη μάζα και αμελητέες τριβές, να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκεί το ελατήριο στο σώμα που ισορροπεί. [Απ. F =5Ν] 90

91 Δυναμική σε μια Διάσταση Δεύτερος Νόμος του Νεύτωνα 5, (Θεμελιώδης Νόμος της Μηχανικής) Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα (Newton), διατυπώνεται και ως εξής, Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σ ένα σώμα, προκαλεί στο σώμα επιτάχυνση. Η επιτάχυνση αυτή έχει κατεύθυνση την κατεύθυνση της δύναμης και μέτρο ίσο με το πηλίκο της συνισταμένης δύναμης προς τη μάζα του σώματος. ΣF α ΣF mα (1) m Ως μονάδα δύναμης ορίζουμε τη δύναμη η οποία ασκούμενη σε σώμα μάζας m 1Kgr προκαλεί επιτάχυνση 1m/sec. Η μονάδα αυτή λέγεται 1 Newton. 1N 1kg s F Η σχέση (1) αριθμητικά γράφεται F m m (). Ο συντελεστής αναλογίας m του τύπου (1) ορίζεται από τον τύπο () και λέγεται μάζα αδράνειας (ή αδρανειακή μάζα) ή απλά μάζα του σώματος. Μονάδα μάζας στο S.I. είναι το 1kg. Αν ΣF=0τότε Διερεύνηση της σχέσης ΣF=mα F 0 m0 1 F ma m t Δηλαδή η κίνηση του σώματος είναι ευθύγραμμη ομαλή (ή το σώμα παραμένει ακίνητο). ΑνΣF = σταθερή, τότε Θα είναι και α = σταθερή, πράγμα που σημαίνει ότι το σώμα θα κάνει ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενη (ή επιβραδυνόμενη) κίνηση. ΑνΣF = μεταβλητή, τότε Θα είναι και α = μεταβλητή, πράγμα που σημαίνει ότι και η κίνηση του σώματος θα είναι μεταβαλλόμενη. Αν η ΣF είναι μεταβλητή η α = F/m είναι η στιγμιαία τιμή της επιτάχυνσης. 5 Με τη σημερινή ορολογία η πρόταση του Νεύτωνα διατυπώνεται ως εξής, ο ρυθμός μεταβολής της ορμής ενός σώματος είναι ανάλογος της συνολικής δύναμης που εφαρμόζεται σ' αυτό και η μεταβολή γίνεται κατά τη διεύθυνση αυτής της δύναμης. P P P m m m ( ) m F t F m t t t t t 91

92 Δυναμική σε μια Διάσταση Διάγραμμα δύναμης-επιτάχυνσης: Η σχέση δύναμης επιτάχυνσης είναι γραμμική (F=mα), επομένως η γραφική παράσταση είναι ευθεία γραμμή. F 0 θ α Η κλίση της ευθείας ισούται με τη μάζα του σώματος. Δηλαδή εφθ=m. Μάζα σώματος A. Όπως είδαμε τα σώματα έχουν την ιδιότητα να αντιστέκονται σε κάθε μεταβολή της κινητικής τους κατάστασης. Την ιδιότητα αυτή ονομάσαμε αδράνεια. Μέτρο της αδράνειας ενός σώματος είναι η μάζα του, (ένα σώμα μεγάλης μάζας έχει μεγάλη αδράνεια και γι' αυτό απαιτείται μεγάλη δύναμη προκειμένου να αποκτήσει ορισμένη επιτάχυνση). Για παράδειγμα δυσκολευόμαστε να μετακινήσουμε ένα βαρύ σώμα ενώ μετακινούμε εύκολα ένα ελαφρύ. Η μάζα m ενός σώματος μπορεί να μετρηθεί, αν συγκρίνουμε τις επιταχύνσεις α, α ο που αποκτάει το σώμα και το πρότυπο χιλιόγραμμο (m o ), αν και στα δύο ασκηθεί η ίδια δύναμη F. Θα ισχύει, F=mα (1), F=m o α ο () Και διαιρώντας τις δυο αυτές σχέσεις κατά μέλη, (1)/() έχουμε, m/m o = α o /α όπως φαίνεται από αυτή τη σχέση ο λόγος των μαζών των δυο σωμάτων είναι ανεξάρτητος της δύναμης που εφαρμόζεται και αντιστρόφως ανάλογος της επιτάχυνσης που αποκτούν, όταν σ' αυτά εφαρμοστεί η ίδια δύναμη. Aπό την σχέση αυτή παίρνουμε τελικά, m=m o (α ο /α) (3) Από τη σχέση (3) μπορούμε να υπολογίσουμε τη μάζα m, που ονομάζεται μάζα αδράνειας 6. B. Η μάζα εκτός από την αδράνεια έχει και μια άλλη χαρακτηριστική ιδιότητα. Να έλκει άλλες μάζες και να έλκεται από αυτές, σύμφωνα με το Νόμο της Παγκόσμιας Έλξης. Ονομάζουμε βάρος Β ενός σώματος, τη δύναμη με την οποία το έλκη η Γη. Το βάρος έχει κατακόρυφη διεύθυνση και φορά προς το κέντρο της Γης. Το βάρος ενός σώματος εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος και από το ύψος από την επιφάνεια της Γης, ενώ είναι ανεξάρτητο από το υλικό που περιβάλλει το σώμα. Το διάνυσμα που παριστάνει το βάρος ενός σώματος διέρχεται από το κέντρο βάρους του σώματος. 6 Το σταθερό πηλίκο της δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα προς την τιμή της επιτάχυνσης που αποκτά το σώμα το ορίζουμε ως μάζα αδράνειας του σώματος, (m=f/α). 9

93 Δυναμική σε μια Διάσταση Έστω ότι έχουμε ένα σώμα που κάνει ελεύθερη πτώση. Τότε το βάρος είναι η μοναδική δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα και συνεπώς είναι αυτό που προκαλεί τη βαρυτική επιτάχυνση g. Σύμφωνα με το Δεύτερο νόμο του Νεύτωνα έχουμε, B=mg Έτσι μπορούμε να υπολογίσουμε τη μάζα ενός σώματος βασισμένοι στη δύναμη του βάρους του. Έστω Β το βάρος ενός σώματος μάζας m και Β ο το βάρος του πρότυπου χιλιόγραμμου m o Θα ισχύει, B=mg (1), B o =m o g () Και διαιρώντας τις δυο αυτές σχέσεις κατά μέλη, (1)/() έχουμε, B/B o = m/m ο όπως φαίνεται από αυτή τη σχέση ο λόγος των μαζών δυο σωμάτων ισούται με το λόγο των βαρών τους. Από τη σχέση αυτή παίρνουμε τελικά, m=m o (B/B o ) (3) Από τη σχέση (3) μπορούμε να υπολογίσουμε τη μάζα m, που ονομάζεται βαρυτική μάζα. Μετά από πολύχρονες πειραματικές μετρήσεις διαπιστώθηκε ότι η μάζα αδρανείας είναι ίση με τη μάζα βαρύτητας για μικρές ταχύτητες, και γι' αυτό το λόγο έχουν το ίδιο πρότυπο χιλιόγραμμο. Για τις δυο μάζες χρησιμοποιείται ο γενικός όρος μάζα. Η μάζα είναι μονόμετρο μέγεθος. Ως μονάδα μέτρησης της μάζας λαμβάνεται το 1Kg, (που είναι η μάζα του πρότυπου χιλιόγραμμου μάζας που φυλάσσεται στο μουσείο μέτρων και σταθμών των Σεβρών της Γαλλίας). Σύμφωνα με τη θεωρεία της σχετικότητας του Αϊνστάιν η αδρανειακή μάζα ενός σώματος αυξάνει, όταν η ταχύτητά του πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός, ενώ η βαρυτική μάζα παραμένει σταθερή. 93

94 Δυναμική σε μια Διάσταση ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ (Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα) Αναφέρεται σε ταχύτητες των σωμάτων πολύ μικρότερες από την ταχύτητα του φωτός, οπότε η μάζα m=σταθερή (σύμφωνα με τη θεωρία της σχετικότητας η μάζα των σωμάτων αυξάνεται με την ταχύτητα). Αναφέρεται σε κάθε πρόβλημα που σχετίζεται με επιτάχυνση. Το είδος της κίνησης δεν εξαρτάται μόνο από τη συνισταμένη δύναμη ΣF αλλά και από την αρχική κινητική κατάσταση: α. Αν το σώμα αρχικά ηρεμεί (υ 0 =0) και ΣF= σταθ. Τότε και α= ΣF/ m= σταθ. Άρα κάνει κίνηση ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη χωρίς αρχική ταχύτητα. β. Αν υπάρχει υ 0 ομόρροπη της ΣF=σταθ. η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά υ επιταχυνόμενη. ΣF γ. Αν ΣF=σταθ. και αντίρροπη της ταχύτητας, η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά υ επιβραδυνόμενη. ΣF δ. Από τις περιπτώσεις που η ΣF έχει διαφορετική διεύθυνση από την ταχύτητα υ, θα μας απασχολήσουν αργότερα η οριζόντια βολή και η ομαλή κυκλική κίνηση. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ με Απάντηση 1. Για το σώμα του σχήματος είναι F=mα. Να δικαιολογήσετε αν είναι σωστό. Τ Σ F Απάντηση Λάθος. Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα δεν ισχύει για μία μόνο από τις δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σώμα αλλά για τη συνισταμένη τους. Το σωστό είναι: ΣF= mα F-T= mα.. Η συνισταμένη δύο αντίρροπων δυνάμεων είναι μηδέν. Να δικαιολογήσετε αν είναι σωστό και με παράδειγμα F =40N Σ F 1 =100N Απάντηση Οι δυνάμεις F 1,F στο σχήμα είναι αντίρροπες και έχουν συνισταμένη ΣF μέτρου ΣF= F 1 -F = =100Ν-40Ν =60Ν. Άρα η πρόταση είναι λάθος. Για να έχουν συνισταμένη μηδέν πρέπει να είναι αντίθετες (ίσα μέτρα και αντίθετες κατευθύνσεις). 3. Η ταχύτητα υ ενός σώματος έχει την κατεύθυνση της συνισταμένης δύναμης. Να δικαιολογήσετε αν είναι σωστό. υ Τ 94

95 Δυναμική σε μια Διάσταση Απάντηση Στο σχήμα της άσκησης καθώς το αυτοκίνητο κινείται προς τα δεξιά, ο οδηγός φρενάρει. Το αυτοκίνητο δέχεται μία συνισταμένη δύναμη ΣF=Τ (λόγω τριβών και αντιστάσεων) που είναι αντίρροπη της ταχύτητας. Άρα η πρόταση είναι λάθος. Επομένως: Ενώ η ΣF έχει πάντα ίδια κατεύθυνση με την επιτάχυνση α, ΔΕΝ έχει πάντα ίδια κατεύθυνση με την ταχύτητα υ. 4. Το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου στο σχήμα αντιστοιχεί σε ευθύγραμμη κίνηση σώματος μάζας kg. Να γίνει το διάγραμμα δύναμης-χρόνου. υ(m/s) 10 Ο t (s) Απάντηση Από Ος έως 1 ος. Το διάγραμμα είναι ευθεία άρα κίνηση ευθύγραμμη ομαλά 10 0 μεταβαλλόμενη. Έτσι 1m / s t 10 0 Οπότε F m F Από Ος έως 3 ος, υ=σταθ. άρα α=0 F=0 Από 3oς έως 5 ος είναι ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη με m / s. t Οπότε F m F 1 Το διάγραμμα F-t στο σχήμα. F (N) Ο t (s) -1 95

96 Δυναμική σε μια Διάσταση 5. Να βρείτε το είδος της κίνησης του σώματος σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις. Υποθέτουμε ότι οι δυνάμεις ενεργούν πάνω στην ίδια ευθεία. υ ο =0 F =80N F 1 =50N F =5N F 1 =70N F 4 =4N F 1 =5N F 1 =8N υ ο F 3 =3N F 3 =50N υ ο =5m/s F 3 =6N F =3N F =40N F 4 =90N υ ο F 3 =30N Απάντηση (α) Είναι υ 0 =0 και ΣF= F 1 -F F 3 =8Ν-5Ν-3Ν=0. Άρα το σώμα θα παραμείνει ακίνητο (β) Με θετική κατεύθυνση προς τα πάνω: ΣF= F 1 +F F 3 - F 4 = 70Ν+80Ν-50Ν-90Ν=10Ν. Άρα ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα υ 0 =5m/s. (γ) Με θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά ΣF= F 1 +F F 3 - F 4 = 5Ν+3Ν-6Ν-4Ν=-Ν. Άρα η ΣF αντίρροπη της υ 0 οπότε κίνηση ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη. (δ) Με θετική κατεύθυνση των F,F 3 : ΣF= F +F 3 - F 1 = 40Ν+30Ν-50Ν=0Ν. Τα ΣF, υ 0 ομόρροπα άρα κίνηση ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη με αρχική ταχύτητα υ 0. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΧΩΡΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1. Η επιτάχυνση α που αποκτά ένα σώμα προς τη που του ασκείται και έχει την κατεύθυνσή της. Το μέτρο της επιτάχυνσης είναι προς τη του σώματος.. Δύναμη 1Ν είναι η δύναμη που όταν ενεργήσει σε σώμα μάζας του προσδίδει επιτάχυνση α= Χρησιμοποιώντας τη σχέση ΣF= m*α να καταλήξετε από δεύτερο νόμο του Νεύτωνα στον πρώτο νόμο του. 4. Είναι ισοδύναμες οι εκφράσεις: γνωρίζουμε τη δύναμη F και γνωρίζουμε τη δύναμη F ; Δικαιολογήστε. 5. Πως μπορούμε να μεταβάλλουμε την επιτάχυνση ενός σώματος σταθερής μάζας; 6. Δύο σώματα με μάζες m 1,m δέχονται την ίδια συνισταμένη δύναμη ΣF. Άν είναι m 1 <m τότε: Α. α. α 1 <α β. α 1 >α γ. α 1 =α δ. α 1 =α =0 Β. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 96

97 Δυναμική σε μια Διάσταση 7. Δύο σώματα έχουν ίδια μάζα m και δέχονται συνισταμένες δυνάμεις ΣF 1 και ΣF αντίστοιχα. Αν για τις επιταχύνσεις τους είναι α 1 <α τότε: Α. α. ΣF 1 < ΣF β. ΣF 1 = ΣF γ. ΣF 1 > ΣF Β. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 8. Στο σχήμα βλέπουμε το διάγραμμα του μέτρου της συνισταμένης δύναμης με το μέτρο της επιτάχυνσης που αποκτά ένα σώμα: ΣF (N) 40 8 α (m/s ) Α. η μάζα του σώματος είναι: α. 8kg β. 40 kg γ. 5 kg δ. δεν μπορεί να υπολογιστεί Β. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 9. Να χαρακτηρίσετε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή (Σ) η λάθος (Λ) δικαιολογώντας την απάντησή σας: α. Αιτία της κίνησης είναι η δύναμη β. Αν σ ένα σώμα ασκείται σταθερή συνισταμένη δύναμη ΣF, τότε αποκτά σταθερή επιτάχυνση α γ. Μπορεί σε ένα σώμα να ασκείται μια μόνο δύναμη F και όμως να μην επιταχύνεται. δ. Ένα ακίνητο σώμα θα κινηθεί, μόνο όταν γι αυτό ασκηθεί συνισταμένη δύναμη ΣF Να αντιστοιχίσετε τα μεγέθη της αριστερής στήλης με τις μονάδες τους στη δεξιά στήλη: Α. ταχύτητα 1. m/s Β. Επιτάχυνση. kgm/s Γ. Μάζα 3. m/s Δ. Δύναμη 4. kg 5. Nm 11. Στο σχήμα βλέπουμε το διάγραμμα του μέτρου της συνισταμένης δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα σε συνάρτηση με το χρόνο. Αν το σώμα είναι αρχικά ακίνητο και η ΣF έχει σταθερή κατεύθυνση, να βρείτε το είδος της κίνησης του. ΣF (N) F t 1 t t 97

98 Δυναμική σε μια Διάσταση 1. Σώμα αρχικά ακίνητο δέχεται σταθερή συνισταμένη δύναμη ΣF=F. Να εκφράσετε τα μεγέθη υ,δx (μετατόπιση) ως συνάρτηση των μεγεθών F,m,t. 13. Πετάμε μια πέτρα κατακόρυφα προς τα πάνω. Να δικαιολογήσετε σε κάθε περίπτωση την απάντησή σας, (αντιστάσεις ασήμαντες): υ=0 υ υ Α. όταν ανεβαίνει η επιτάχυνση είναι: α. προς τα πάνω, β. Προς τα κάτω, γ. Μηδέν Β. Όταν κατεβαίνει η επιτάχυνση είναι: α. προς τα πάνω, β. Προς τα κάτω, γ. Μηδέν Γ. Στο ανώτατο σημείο η επιτάχυνση είναι: α. προς τα πάνω, β. Προς τα κάτω, γ. Μηδέν Κίνηση σε Ανελκυστήρα Έστω ένα σώμα Σ που βρίσκεται μέσα σε ανελκυστήρα και ακουμπάει στο δάπεδο. Οι δυνάμεις που ενεργούν στο σώμα είναι, το βάρος του Β και η δύναμη F που ενεργεί από το δάπεδο. Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: Ανελκυστήρας ακίνητος, (υ=0, α=0) F Αφού ο ανελκυστήρας είναι ακίνητος και το σώμα Σ θα είναι ακίνητο. Έτσι θα έχουμε, F 0 F B 0 F B 0 F B B Ο Ανελκυστήρας ανεβαίνει ή κατεβαίνει με σταθερή ταχύτητα, (υ=σταθ., α=0) F υ Αφού ο ανελκυστήρας ανεβαίνει (ή κατεβαίνει) με σταθερή ταχύτητα και το σώμα Σ θα ανεβαίνει (ή κατεβαίνει) με σταθερή ταχύτητα. Έτσι θα έχουμε, F 0 F B 0 F B 0 F B B 98

99 Δυναμική σε μια Διάσταση Ο Ανελκυστήρας ανεβαίνει με σταθερή επιτάχυνση (α=σταθ.) α Αφού ο ανελκυστήρας ανεβαίνει με σταθερή επιτάχυνση και το σώμα Σ θα ανεβαίνει με σταθερή επιτάχυνση. Έτσι θα έχουμε, (+) F F m F B m F B m F B m B Ο Ανελκυστήρας κατεβαίνει με σταθερή επιτάχυνση (α=σταθ.) α (+) F Αφού ο ανελκυστήρας κατεβαίνει με σταθερή επιτάχυνση και το σώμα Σ θα κατεβαίνει με σταθερή επιτάχυνση. Έτσι θα έχουμε, F m F B m F B m F B m (1) B Ο Ανελκυστήρας κατεβαίνει με επιτάχυνση ίση με την επιτάχυνση της βαρύτητας, (α=g) Σ' αυτήν την περίπτωση και με βάση τα προηγούμενα, ισχύει, g ( 1) F B m F B B F 0 Ο Ανελκυστήρας κατεβαίνει με επιτάχυνση α>g Στην περίπτωση αυτή έχουμε, g ( 1) F B m F mg m F m( g ) F 0 Αυτό σημαίνει ότι η δύναμη που ασκεί ο ανελκυστήρας στο σώμα έχει φορά προς τα κάτω, δηλαδή το σώμα δεν ακουμπάει στο δάπεδο, αλλά στην οροφή του ανελκυστήρα. Εφαρμογή Άνθρωπος βρίσκεται μέσα σε ανελκυστήρα που κατεβαίνει με επιβράδυνση α=g/4. Αν το βάρος του ανθρώπου είναι Β=60Ν, να βρείτε το μέτρο της δύναμης που ασκεί ο άνθρωπος στο πάτωμα του ανελκυστήρα. (F'=75Ν). 99

100 Δυναμική σε μια Διάσταση AΣΚΗΣΕΙΣ 1. Συμβολίζουμε με ΣF τη συνισταμένη δύναμη που άσκησε ένα σώμα, με m τη μάζα του και α την επιτάχυνσή του. α. αν m = 3 kg και α=4 m/s βρείτε την ΣF β. Άν ΣF 10Ν, α=8 m/s βρείτε την m γ. Αν ΣF = 36Ν, m=4kg βρείτε το α. (Aπ. 1Ν, 15kg, 9m/s ). Σώμα μάζας m 1 =kg δέχεται δύναμη F και αποκτά επιτάχυνση α 1 =4m/s. Ένα άλλο σώμα μάζας m =5kg δέχεται την ίδια δύναμη F. Να βρεθεί η επιτάχυνση που αποκτά το δεύτερο σώμα. [Απ. α =1,6m/s ] 3. Σ ε σώμα μάζας m=0kg που είναι ακίνητο, ασκείται σταθερή συνισταμένη δύναμη μέτρου 80Ν. Να βρείτε: α. το μέτρο της επιτάχυνσης του σώματος β. Σε πόσο χρόνο θα διανύσει διάστημα 50m γ. Την ταχύτητα που θα έχει τότε. (Aπ. α=4m/s, t=5s, υ=0m/s ) 4. Ένα σώμα μάζας m=4kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη στιγμή t 0 = 0 του ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=16N Να βρείτε: α. το είδος της κίνησης και την επιτάχυνσή του β. Την ταχύτητα που θα έχει μετά από 10 s γ. Τη μετατόπιση του μέχρι τη στιγμή εκείνη δ.το διάγραμμα επιτάχυνσης-χρόνου και συνισταμένης δύναμης χρόνου. (Απ. α=4m/s, υ=40m/s, Δx=00m ) 5. Ένα σώμα μάζας m=6kg είναι ακίνητο. Τη στιγμή t 0 =0 του ασκείται σταθερή συνισταμένη δύναμη F για χρόνο 10 s. Αν στο χρόνο αυτό διανύει διάστημα 150m να βρείτε: α. το μέτρο της επιτάχυνσης. β.την ταχύτητα. γ. Το μέτρο της συνισταμένης δύναμης δ. το μέτρο της επιτάχυνσης αν διπλασιαστεί το μέτρο της συνισταμένης δύναμης και ταυτόχρονα υποδιπλασιαστεί η μάζα. (Απ. α=3m/s, υ=30m/s, ΣF=18N, α =1m/s ) 6. Σώμα μάζας m=3kg κινείται σε άξονα με την επίδραση δύο δυνάμεων F 1, F που έχουν τη διεύθυνση του άξονα. Το σώμα αποκτά θετική επιτάχυνση μέτρου α=4m/s,ενώ η F 1 έχει θετική κατεύθυνση με μέτρο 18Ν. Να βρείτε : α. την κατεύθυνση της συνισταμένης δύναμης και το μέτρο της β. Την κατεύθυνση και το μέτρο της F γ. Αν πάψει να ασκείται η F, ποια η μεταβολή της επιτάχυνσης 100

101 Δυναμική σε μια Διάσταση δ. ποιά η επί τοις % μεταβολή της επιτάχυνσης στην περίπτωση αυτή. (Aπ. ΣF=1N, F =6N, Δα=m/s, x%=50% ) 7. Ένα σώμα μάζας m=0kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Τη στιγμή t 0 =0 ασκείται στο σώμα σταθερή οριζόντια δύναμη F μέτρου 50Ν οπότε αποκτά ταχύτητα 6m/s αφού διανύσει διάστημα 0m. Να βρείτε: α. το μέτρο της επιτάχυνσης β. Το χρόνο στον οποίο αποκτά την παραπάνω ταχύτητα γ. Να δικαιολογήσετε ότι υπάρχει τριβή και να την υπολογίσετε δ. την επιτάχυνση που θα είχε το σώμα αν δεν υπήρχε τριβή. (Απ. α=0,9m/s, t=0/3s, T=3N, α 1 =,5m/s ) 8. Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα μέτρου u 0 =0m/s. Ξαφνικά του ασκούνται ταυτόχρονα δύο δυνάμεις F 1 = Ν, F =1N η μεν F 1 αντίρροπη η δε F ομόρροπη της υ 0. Το σώμα επιβραδύνεται και σταματάει αφού μετατοπιστεί κατά 40m από τη θέση που είχε όταν του ασκήθηκαν οι δυνάμεις. Να βρείτε: α. τη συνισταμένη δύναμη β. Το μέτρο της επιβράδυνσης γ. Το ολικό χρόνο κίνησης δ. το βάρος του σώματος. Το g=10m/s (Απ. ΣF=-10N, α=5m/s, t=4s, B=0N ) 9. Ένας άνθρωπος μάζας m=70kg βρίσκεται σε ανελκυστήρας (ασανσέρ). Να βρείτε το μέτρο της δύναμης που ασκεί το δάπεδο στον άνθρωπο, όταν ο ανελκυστήρας: α. κινείται με σταθερή ταχύτητα (ανεβαίνει ή κατεβαίνει) β. Ανεβαίνει με σταθερή επιτάχυνση μέτρου α=m/s γ. Κατεβαίνει με σταθερή επιτάχυνση μέτρου α=m/s. Δίνεται g =10m/s (Απ. F=700Ν, F=840Ν, F=560Ν ) 10. Σώμα μάζας m=4kg κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα u 0. Κάποια στιγμή που βρίσκεται σε ένα σημείο Α του ασκείται σταθερή δύναμη 0Ν αντίρροπη της u 0 και χρειάζεται χρόνος 10 s για να επιστρέψει στο Α. Να βρείτε: α. το μέτρο της επιτάχυνσης β. Την ταχύτητα u 0 γ. Μια εξίσωση θέσης χρόνου και ταχύτης χρόνου στο S.I που να περιγράφουν την κίνηση δ. πότε η ταχύτητα μηδενίζεται στιγμιαία ε. Το ολικό διάστημα μέχρι το κινητό να επιστρέψει στο Α. (Απ. α=5m/s, υ ο =5m/s, x=5t-.5t, υ=5-5t, t 1 =5s, S=15m ) 11. Σώμα μάζας m, δέχεται συνισταμένη ΣF και αποκτά επιτάχυνση α. Α. αν m=0,5kg και α=8m/s βρείτε το ΣF β. Αν ΣF = 30Ν και m =6 kg βρείτε το α γ. Αν ΣF =4Ν και α=16m/s βρείτε το m [Απ. α. 4Ν, β. 5m/s γ. 0,5 kg] 101

102 Δυναμική σε μια Διάσταση 1. Ένα σώμα μάζας m=4kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο τη στιγμή t 0 = 0 ασκείται στο σώμα σταθερή οριζόντια δύναμη F οπότε το σώμα μετατοπίζεται κατά 60m στα τέσσερα πρώτα δευτερόλεπτα της κίνησής του. Να βρείτε: α. την επιτάχυνση β. Το μέτρο της δύναμης γ. Την επιτάχυνση που θα αποκτούσε το σώμα αν είχε μάζα kg. [Απ.α. 7,5m/s, β.30ν, γ.15m/ s ] 13. Ένα αυτοκίνητο μάζας 1000kg ξεκινάει από την ηρεμία και κινείται σε οριζόντιο δρόμο με σταθερή επιτάχυνση. Σε χρόνο Δt=15s η ταχύτητα του αυξάνει από u 1 =54km/h σε u = 108km/n. Να βρείτε: α. τις παραπάνω ταχύτητες στο S.I. και το μέτρο της επιτάχυνσης β. Τη συνισταμένη δύναμη που επιταχύνει το αυτοκίνητο γ. Τη μετατόπιση στ χρονικό διάστημα των 15s. [Απ. α. 15m/s, 1m/s β. 1000Ν γ. 337,5m ] 14. Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη στιγμή t 0 = 0 του ασκούνται ταυτόχρονα δύο οριζόντιες και αντίρροπες δυνάμεις F 1, F με F 1 =17Ν και F =7Ν. Τη στιγμή που το σώμα έχει διανύσει διάστημα 50m η ταχύτητά του είναι 10m/s. Να βρείτε: α.την επιτάχυνση του σώματος β.σε πόσο χρόνο διανύει το παραπάνω διάστημα γ.τη μάζα του σώματος δ. το βάρος του, αν g=10m/s [Απ. α. 1m/s β. 10s γ. 10kg, δ. 100N] 15. Όταν σε ένα σώμα μάζας m 1 ασκείται σταθερή συνισταμένη δύναμη F, αποκτά επιτάχυνση α 1 =5m/s. όταν η F ασκείται σε σώμα μάζας m, το σώμα αποκτά επιτάχυνση α =3 m/s. α. να βρείτε το λόγο m 1 / m β. Αν ενώσουμε τις μάζες m 1, m ώστε να αποτελούν ένα σώμα και ασκήσουμε σ αυτό τη δύναμη F, πόσο θα είναι το μέτρο της επιτάχυνσής του; [Απ. α. 3/5, β. 15/8 m/s ] 16. Σώμα μάζας m=kg κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ 0 = 10m/s. Κάποια στιγμή ασκούμε στο σώμα δύναμη F ομόρροπη της ταχύτητας μέτρου F=4Ν. Να βρείτε: α. το μέτρο της επιτάχυνσης β. Το μέτρο της ταχύτητας και το διάστημα που θα έχει διανύσει σε χρόνο s. γ. Για να πενταπλασιαστεί το μέτρο της επιτάχυνσης πόσο πρέπει να γίνει το μέτρο της δύναμης; δ. όταν F=4Ν πόση μάζα πρέπει να έχει το σώμα ώστε να είναι α=0,5m/s ; [Απ. α. m/s β. 4 m/s,4m γ. 0Ν, 8kg ] 10

103 Δυναμική σε μια Διάσταση 17. Ένα σώμα μάζας m=4kg κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ 0 =0m/s. Τη στιγμή t 0 = 0 του ασκείται σταθερή δύναμη F αντίρροπη της ταχύτητας, οπότε το σώμα σταματάει μετά από s. Να βρείτε: α. το μέτρο της επιβράδυνσης β. Το μέτρο της δύναμης γ. Το διάστημα που διανύει από την t 0 = 0 μέχρι να σταματήσει δ.την ταχύτητά του τη στιγμή t 1 =1s. [Απ. α.10m/s, β. 40Ν γ. 0m, δ. 10m/s ] 18. Ένα αυτοκίνητο μάζας 100kg κινείται οριζόντια με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ 0 = 7km/n. Τη στιγμή t 0 = 0 ο οδηγός πατάει φρένο και αναγκάζει το αυτοκίνητο να σταματήσει αφού διανύσει διάστημα 80m. Αν υποθέσουμε ότι κατά το φρενάρισμα το αυτοκίνητο δέχεται σταθερή συνισταμένη δύναμη να βρείτε: α.το μέτρο της επιβράδυνσης β. Το χρόνο μέχρι να σταματήσει γ. Το μέτρο της συνισταμένης δύναμης που το επιβραδύνει. [Απ. α.,5m/s, β. 8s, γ. 3000Ν] 19. Ένα σώμα μάζας m=40kg κινείται ευθύγραμμα πάνω στο λείο οριζόντιο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ 0 =30m/s. Τη στιγμή t 0 = 0 επιδρά στο σώμα σταθερή οριζόντια δύναμη F =00Ν. Να βρείτε την ταχύτητα και τη μετατόπιση του μετά από χρόνο t 0 = 6s όταν η δύναμη F είναι: α. ομόρροπη της υ 0 β. Αντίρροπη της υ 0 [Απ. α. 60m/s, β.0m/s,90m ] 0. Μία σφαίρα μάζας 6g βγαίνει από την κάνη του όπλου με ταχύτητα 300m/s. Αν η κάνη έχει μήκος l=0,9m και δεχθούμε ότι η σφαίρα μέσα στην κάνη δέχεται σταθερή συνισταμένη δύναμη, να βρείτε: α. το χρόνο κίνησης της σφαίρας μέσα στην κάνη β. Το μέτρο της επιτάχυνσης γ. Το μέτρο της συνισταμένης δύναμης στη σφαίρα. [Απ. α. 6m s, β. 5*10 4 m/s,,γ. 300Ν ] 1. Σε ένα ασανσέρ έχουν μπει τρείς άνθρωποι με μάζες m 1 =60kg, m =70kg και m 3 = 80kg. Αν το ασανσέρ άδειο έχει μάζα 390kg να βρείτε τη δύναμη που ασκεί το συρματόσχοινο στο ασανσέρ όταν αυτό: α. ανεβαίνει με σταθερή επιτάχυνση α=g/3 β. Βγουν σε κάποιον όροφο οι δύο πρώτοι άνθρωποι και στη συνέχεια το ασανσέρ κατεβαίνει με σταθερή επιτάχυνση g/5 όπου g=10m/s [Απ. α. 8000Ν β. 3760Ν]. Σώμα βάρους 00Ν ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο σώμα ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη 40Ν για χρόνο 5s. Αμέσως μετά η τιμή της δύναμης διπλασιάζεται 103

104 Δυναμική σε μια Διάσταση χωρίς να μεταβληθεί η κατεύθυνσή της και το σώμα συνεχίζει να κινείται για 4s ακόμη. Να βρείτε: α. το μέτρο της επιτάχυνσης σε κάθε κίνηση. β. Το ολικό διάστημα γ. Την τελική ταχύτητα του σώματος. Το g=10m/s [Απ. α. m/s,m/s β.97m γ.6m/s ] 3. Σώμα μάζας m=kg υπό την επίδραση σταθερής δύναμης μέτρου F=10N ξεκινά να κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Αφού το σώμα διανύσει 40m η δύναμη F καταργείται. Ποια η ταχύτητα του σώματος και ποιο το διάστημα που διανύει το σώμα σε χρόνο 10s από τη στιγμή που άρχισε η επίδραση της F; [Απ. υ=0m/s, S=160m ] 4. Σώμα μάζας m=600kg δέχεται δύναμη F 1 =100N και αρχίζει να κινείται. Μετά από χρόνο t 1 =10s, ταυτόχρονα με την F 1 ασκείται στο σώμα και μια άλλη δύναμη μέτρου F =700N και αντίθετης φοράς με την F 1. α. Να βρεθεί ο συνολικός χρόνος κίνησης του σώματος μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητά του, καθώς και η συνολική απόσταση που διανύει το σώμα στο παραπάνω χρονικό διάστημα. β. Να παρασταθούν γραφικά σε συνάρτηση με το χρόνο η συνολική δύναμη που ασκείται στο σώμα και η ταχύτητά του. [Απ. t=18s, S=180m ] 5. Σώμα μάζας m=500kg κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα υ 0 =7km/n για χρόνο t 1. Στο τέλος αυτού του χρόνου ασκείται στο κινητό σταθερή δύναμη μέτρου F=50N αντίρροπη της υ 0 λόγο της οποίας σταματάει. Αν ο ολικός χρόνος και των δύο κινήσεων είναι 60 s να βρείτε: α. το μέτρο της επιβράδυνσης που προκαλεί η F β. Το χρόνο t 1 γ. Το διάστημα που διανύει το κινητό κατά την ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. [Απ. α. 0,5m/s β. 0s γ. 400 m] 6. Δύο σώματα Α και Β με μάζες m 1 =4kg και m =8kg αντίστοιχα βρίσκονται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t o =0 το σώμα Α είναι ακίνητο και το σώμα Β κινείται με ταχύτητα υ ο =8m/s απομακρυνόμενο από το Α. Η αρχική απόσταση των δύο σωμάτων είναι d=10m. Στα σώματα αρχίζουν να ενεργούν τη χρονική στιγμή t o =0 δύο σταθερές ομόρροπες δυνάμεις με μέτρα F 1 =1N και F =16N. Οι δυνάμεις είναι ομόρροπες με την υ ο και η F 1 ασκείται στο σώμα Α ενώ η F στο σώμα Β. Να βρεθεί, α. Η μέγιστη απόσταση των δύο σωμάτων. β. Μετά από πόσο χρόνο τα δύο σώματα συναντιούνται. [Απ. d=4m, t=17.7s ] 7. Σε σώμα μάζας 9kg που ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη στιγμή t 0 =0 του ασκείται σταθερή οριζόντια δύναμη F 1 = 36Ν για χρόνο t 1 =5s. Αμέσως μετά 104

105 Δυναμική σε μια Διάσταση ασκείται στο σώμα μαζί με την F 1 και μια άλλη δύναμη F σταθερού μέτρου και αντίρροπη της F 1 για χρόνο t =10s οπότε τελικά το σώμα αποκτά ταχύτητα 30m/s. Να βρείτε: α. την επιτάχυνση, το διάστημα και την τελική ταχύτητα όταν ασκείται στο σώμα μόνο F 1 β. Την επιτάχυνση του σώματος όταν του ασκούνται και οι δύο δυνάμεις. γ. Τη συνισταμένη δύναμη και το μέτρο της F όταν ασκούνται και οι δύο δυνάμεις δ. το ολικό διάστημα. [Απ. α. 4m/s, 50m, 0m/s β. 1m/s γ. 9N, 7N δ. 300m ] 8. Ένα σώμα κινείται κατά τη θετική φορά και τη χρονική στιγμή t o =0 περνά με ταχύτητα υ ο =10m/s από τη θέση x o =0 του άξονα. Τη χρονική στιγμή αυτή ασκείται στο σώμα συνισταμένη δύναμη μέτρου F=10N η οποία αναγκάζεινα σταματήσει τη χρονική στιγμή t=s. Στη συνέχεια το σώμα με την επίδραση της δύναμης επιστρέφει στην αρχή του άξονα. Να βρεθούν: i. Η μάζα του σώματος ii. Η θέση μηδενισμού της ταχύτητας του σώματος. iii. Η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή που επιστρέφει στην αρχή του άξονα. iv. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις υ-t, α-t. [Απ. m=kgm x=10m, υ=10m/s] 105

106 Δυναμική σε μια Διάσταση Ελεύθερη Πτώση των Σωμάτων Ελεύθερη πτώσηλέμε την κίνηση που κάνει ένα σώμα όταν το αφήσουμε (χωρίς αρχική ταχύτητα) από κάποιο ύψος και η μόνη δύναμη που επιδρά πάνω του είναι το βάρος του. Να προσέξουμε ότι στην ελεύθερη πτώση η αρχική ταχύτητα είναι μηδέν. Ελεύθερη πτώση πραγματοποιείται μόνο στο κενό. Οταν έχουμε ελεύθερη πτώση στον αέρα θεωρούμε αμελητέα την αντίσταση του αέρα. Η πτώση στον αέρα ή στο νερό δεν είναι ελεύθερη. Σε αυτή την περίπτωση καθώς το σώμα κινείται προς τα κάτω δέχεται τρεις δυνάμεις, το βάρος του Β, την αντίσταση του αέρα (ή του νερού) Τ και την άνωση Α (από τον αέρα ή το νερό). Το βάρος είναι σταθερή δύναμη με κατεύθυνση προς το κέντρο της Γης. Η άνωση είναι σταθερή (εξαρτάται από τον όγκο του σώματος και από την πυκνότητα του αέρα) και είναι αντίρροπή του βάρους. Η αντίσταση Τ είναι αντίρροπη του βάρους αλλά η τιμή της αυξάνει γρήγορα όσο αυξάνει η ταχύτητα του σώματος, είναι τόσο μεγαλύτερη, όσο μεγαλύτερη είναι η μετωπική (μπροστινή επιφάνεια) του σώματος. Επίσης είναι τόσο μικρότερη, όσο πιο «αεροδυναμικό» είναι το σχήμα του σώματος. Τελικά το σώμα αποκτά μια σταθερή ταχύτητα που λέγεται οριακή ταχύτητα. Το ίδιο συμβαίνει και με την πτώση των αλεξιπτωτιστών. Στην ελεύθερη πτώση η μόνη δύναμη που ασκείται είναι το βάρος άρα, F B Bm g F m B m mg m α g Βρέθηκε πως σε ένα τόπο όλα τα σώματα που εκτελούν ελεύθερη πτώση, κινούνται με την ίδια επιτάχυνση.η επιτάχυνση στην ελεύθερη πτώση ονομάζεται επιτάχυνση της βαρύτητας και συμβολίζεται με g (το αρχικό γράμμα της λέξης gravity = βαρύτητα). Παράγοντες που επηρεάζουν την g Α. Ύψος: Το μέτρο της επιτάχυνσης ελαττώνεται όσο το ύψος του σώματος από την επιφάνεια της Γης μεγαλώνει. Β. Γεωγραφικό πλάτος: Το μέτρο της επιτάχυνσης εξαρτάται και από το γεωγραφικό πλάτος που βρίσκεται το σώμα πάνω στην επιφάνεια της Γης. Σε γεωγραφικό πλάτος 45 ο και στην επιφάνεια της θάλασσας είναι g=9,81m/s, στον Ισημερινό είναι g I =9,78m/s και στους πόλους g π =9,83m/s.Σε πολλές ασκήσεις για λόγους ευκολίας στις πράξεις, η g δίνεται ίση με 10 s m. 106

107 Δυναμική σε μια Διάσταση Νόμοι της ελεύθερης πτώσης 1. Η ελεύθερη πτώση των σωμάτων είναι κίνηση ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη και γίνεται πάνω στην κατακόρυφο με φορά προς το κέντρο της Γης.. Η επιτάχυνση της βαρύτητας στον ίδιο τόπο και για ίδια ύψη, είναι σταθερή και ίδια για όλα τα σώματα. Οι τύποι που ισχύουν στην ελεύθερη πτώση υ=gt (1) 1 y gt () ΠΡΟΣΟΧΗ Η Ελεύθερη πτώση είναι ουσιαστικά Ευθύγραμμη Ομαλά Επιταχυνόμενη Κίνηση, με υ ο =0 και α=g. 1 y gt gtt g 1 y g g g gy υ gy Γραφικές παραστάσεις Για α=g α g Β ε Ο α=σταθ. Εμβαδό Αt Το εμβαδό της γραφικής παράστασης μας δίνει την ταχύτητα υ. Εμβαδό=gt=υ Για υ=gt υ Γ Α Η εφαπτομένη της γωνίας φ μας δίνει την επιτάχυνση g. εφφ=υ/t=g, Άρα υ=gt Το εμβαδό της γραφικής παράστασης μας δίνει το y. εμβαδό=y φ O Β 1 όπου, y gt t επιταχυνόμενη κίνηση, (t o =0). 107

108 Δυναμική σε μια Διάσταση y y=(1/) gt O t Σχόλια 1) Τη στιγμή που το σώμα αφήνεται να πέσει τη λαμβάνουμε συνήθως ως t 0 = 0. ) Η εξίσωση της θέσης y = 1 g t, ισχύει όταν θεωρούμε σαν σημείο αναφοράς το σημείο απ το οποίο αφήνουμε το σώμα. Δηλαδή η εξίσωση της θέσης σ αυτή την περίπτωση μας δίνει σε κάθε χρονική στιγμή τη μετατόπιση του σώματος, απ το σημείο που αφήνεται να πέσει. Για παράδειγμα αφήνουμε ένα σώμα να πέσει από κάποιο ύψος h απ το έδαφος. Μια τυχαία χρονική στιγμή t, έχει διανύσει διάστημα y = 1 g t. h y = 1 g t h = h - y υ = g t έδαφος 3) Το ύψος απ το έδαφος στο οποίο βρίσκεται το σώμα κάθε χρονική στιγμή, όπως φαίνεται και απ το σχήμα, δίνεται απ την σχέση: 108

109 Δυναμική σε μια Διάσταση 1 h = h y= h - g t. (Τώρα θεωρούμε σαν σημείο αναφοράς το σημείο του εδάφους στο οποίο φτάνει το σώμα). 4) Ο συνολικός χρόνος κίνησης του σώματος (το χρονικό διάστημα απ τη στιγμή που το αφήνουμε μέχρι τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος), υπολογίζεται ως εξής: Θέτουμε y = h στην εξίσωση της θέσης και τη λύνουμε ως προς το χρόνο. h = 1 g t t = h g. 5) Αν αντικαταστήσουμε τον ολικό χρόνο κίνησης στην εξίσωση της ταχύτητας, βρίσκουμε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος. υ = g t υ = g h g g h. Βλέπουμε ότι το μέτρο της ταχύτητας με την οποία φτάνει το σώμα στο έδαφος αλλά και ο ολικός χρόνος κίνησης του σώματος, εξαρτάται μόνο απ το ύψος h απ το οποίο αφήνεται να πέσει. 6) Η κατεύθυνση της ταχύτητας που έχει το σώμα κατά την ελεύθερη πτώση είναι κάθε χρονική στιγμή κατακόρυφη με φορά προς το έδαφος. υ 0 = 0 h Ολικός χρόνος κίνησης t ολικό = h g έδαφος υ = g h 109

110 Δυναμική σε μια Διάσταση ΟΥΡΑΝΙΑ ΣΩΜΑΤΑ g (m/s ) Γη 9,81 σημεία, είναι τμήμα παραβολής. Άρα το διάγραμμα είναι το εξής: Ας κάνουμε το διάγραμμα h - t, με βάση την εξίσωση h = h - 1 g t. Τη στιγμή t 0 = 0, το σώμα βρίσκεται σε ύψος h. Τη στιγμή t = h g, το σώμα βρίσκεται στο έδαφος δηλαδή σε ύψος h = 0. Η γραμμή που συνδέει αυτά τα δυο Ύψος απ το έδαφος-χρόνος (h -t) h h 0 h g t Επισήμανση Η επιτάχυνση της βαρύτητας αλλάζει από τόπο σε τόπο. Στην ελεύθερη πτώση ενός σώματος, η g είναι σταθερή. Για να ισχύει αυτό πρέπει το σώμα να κινείται σε σχετικά μικρή περιοχή γιατί σε μικρές περιοχές θεωρούμε ότι η g έχει παντού την ίδια τιμή. Σε άλλους πλανήτες η g έχει διαφορετικές τιμές. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τις μέσες τιμές της επιτάχυνσης της βαρύτητας στην επιφάνεια ορισμένων ουράνιων σωμάτων. 110

111 Δυναμική σε μια Διάσταση Σελήνη 1,67 Αφροδίτη 8,93 Άρης 3,73 Δίας 6,39 Ήλιος 73,70 Πλούτωνας 0,59 Παραδείγματα 1) Ένα σώμα αφήνεται να πέσει στο έδαφος από ύψος h = 80m. i. Σε πόσο χρόνο θα φτάσει στο έδαφος; ii. Με πόση ταχύτητα θα φτάσει στο έδαφος; iii. Σε τι ύψος απ το έδαφος θα βρίσκεται τη χρονική στιγμή t = 3s; iv. Να γίνουν τα διαγράμματα g-t, υ-t, x-t, h -t. m (Δίνεται ότι g = 10 s Λύση i. h = 1 g t t = h g 80 = 4s. 10 ii. υ = g t ολικό = 10 4 = 40 s m. iii. h = h - 1 g t h = = 35m. 111

112 Δυναμική σε μια Διάσταση iv. Τα διαγράμματα είναι τα εξής: g ( s m ) 10 υ ( s m ) t (s) t (s) x (m) h (m) t (s) 0 4 t (s) ) Δύο σώματα το ένα με μάζα 1kg και το άλλο με μάζα 100kg αφήνονται σε κενό αέρα να πέσουν απ το ίδιο ύψος. i. Ποιο θα φτάσει με μεγαλύτερη ταχύτητα στη Γη; ii. Ποιο θα φτάσει πρώτο στη Γη; Λύση i. Και τα δύο σώματα θα φτάσουν στο έδαφος με την ίδια ταχύτητα αφού πέφτουν απ το ίδιο ύψος, ανεξάρτητα απ τη μάζα που έχουν. Το μέτρο της ταχύτητας είναι υ = g h 11

113 Δυναμική σε μια Διάσταση ii. Και τα δύο σώματα θα φτάσουν ταυτόχρονα στη Γη, αφού ο χρόνος της πτώσης είναι ανεξάρτητος της μάζας και εξαρτάται απ το ύψος απ το οποίο πέφτουν τα σώματα. Ο χρόνος είναι t = h g. 3) Ένα σώμα αφήνεται να πέσει στο έδαφος από h 1 = 5m και ένα άλλο αφήνεται να πέσει από h = 0m. Τα δυο σώματα αφήνονται ταυτόχρονα. i. Να συγκρίνετε τις ταχύτητες με τις οποίες φτάνουν στο έδαφος τα δυο σώματα. ii. Να συγκρίνετε τους χρόνους κίνησής τους. iii. Σε ποιο ύψος βρίσκεται το δεύτερο σώμα όταν το πρώτο φτάνει στο έδαφος; m (Δίνεται ότι g = 10 s Λύση i. υ 1 = g h και υ 1 = g h. Είναι: g h h. g 0 h h ii. t 1 = h 1 g και t = h g. Είναι: t t g g h h h h 1 iii. Το πρώτο σώμα θα φτάσει στο έδαφος σε χρόνο t 1 = h 5 1 1s g 10. Τη στιγμή 1s το δεύτερο σώμα βρίσκεται σε ύψος: h = h - 1 g t = = 15m.. 4) Δύο όμοια σώματα αφήνονται να πέσουν από ίδιο ύψος h = 10m το ένα στη Γη και το άλλο στη Σελήνη. i. Ποιο σώμα θα φτάσει πρώτο στο έδαφος; 113

114 Δυναμική σε μια Διάσταση ii. iii. Ποιο σώμα θα φτάσει με μεγαλύτερη ταχύτητα στο έδαφος; Να γίνουν τα διαγράμματα g-t, υ-t και x-t για τα δυο σώματα. ( g γης = 9,8 s m και g σελήνης = 1,7 s m ). Λύση Είναι: t σελήνης = h 10 3, 4s. g 1,7 ή t γης = h g 10 9,8 1,4s. Άρα το σώμα στη Γη θα φτάσει πρώτο στο έδαφος. i. Είναι: υ γης = h g 10 9,8 14 m υ σελήνης = h g 10 1,7 5, 8. ή s Άρα το σώμα στη Γη θα φτάσει με μεγαλύτερη ταχύτητα στο έδαφος. m s. ii. Τα διαγράμματα είναι τα g ( m ) 9,8 Β Α 1,7 0 1,4 3,4 t (s) υ ( m 14 5,8 Β Α 0 1,4 3,4 t (s) εξής: x (m) 10 Β Α 0 1,4 3,4 t (s) Τα διαγράμματα με το Α είναι του σώματος που πέφτει στο έδαφος της Σελήνης ενώ με το Β είναι τα διαγράμματα του σώματος που πέφτει στο έδαφος της Γης. 114

115 Δυναμική σε μια Διάσταση ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1. Σιδερένια μπίλια και μια τούφα από βαμβάκι αφήνονται ταυτόχρονα να πέσουν από το ίδιο ύψος. Ποιό από τα δύο θα φθάσει πρώτο στο έδαφος όταν πέφτουν: α. Στο κενό, β. Στον αέρα Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Α Α α 1 α Β Β Απάντηση α. Στο κενό θα πέσουν ταυτόχρονα. Γιατί όλα τα σώματα στο κενό πέφτουν με την ίδια επιτάχυνση g β. Στον αέρα θα πέσει πρώτη μπίλια γιατί το βάρος της είναι πολύ μεγαλύτερο από την αντίσταση και θα κινηθεί με μεγαλύτερη επιτάχυνση απ ότι το βαμβάκι. (πολλές φορές αντί για βαμβάκι ρίχνουμε φελλό).. Πετάμε μια πέτρα κατακόρυφα προς τα πάνω. Για λόγους ευκολίας σχεδιάζουμε την τροχιά της όπως στο σχήμα. Άνωση και αντιστάσεως αμελητέες. Α. μεγαλύτερη δύναμη δέχεται η πέτρα α. Στο σημείο Α (καθώς ανεβαίνει), β. Στο Γ, γ. Στο Δ. δ. Σε κανένα σημείο. Β. Μεγαλύτερη επιτάχυνση έχει η πέτρα: α. Στο Α, β. Στο Γ, γ.στο Δ, δ. Είναι παντού ίδια. Δικαιολογήστε. Γ υ=0 Α Δ υ ο Απάντηση Α. Η πέτρα σε όλη τη διάρκεια της κίνησης δέχεται την ίδια δύναμη που είναι το βάρος της Β, που είναι πάντα προς τα κάτω, (δύναμη από απόσταση). Προφανώς δύναμη από επαφή δεν υπάρχει. Σωστό το δ. Β. Είναι α=g (που είναι πάντα προς τα κάτω ) σε όλη τη διάρκεια της κίνησης. Σωστό το δ. 115

116 Δυναμική σε μια Διάσταση 3. Πετάμε μια πέτρα κατακόρυφα προς τα πάνω. Α. Σε ποιά σημεία της τροχιάς τα διανύσματα ταχύτητας- επιτάχυνσης είναι ομόρροπα και σε ποιά αντίρροπα; Β. Υπάρχει περίπτωση η ταχύτητα να είναι μηδέν αλλά η επιτάχυνση να μην είναι μηδέν; υ=0 g υ g g υ Απάντηση Α. Όταν ανεβαίνει τα u,g αντίρροπα. Όταν κατεβαίνει είναι ομόρροπα Β. Στο ανώτερο σημείο της τροχιάς είναι υ=0 αλλά α=g 0 116

117 Δυναμική σε μια Διάσταση ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΧΩΡΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1. Ένα σώμα εκτελεί ελεύθερη πτώση όταν αφήνεται να κινηθεί από κάποιο ύψος με ταχύτητα και κινείται μόνο με την επίδραση του του.. Οι σφαίρες Α, Γ με m A =1kg και m Γ =10kg, αφήνονται ταυτόχρονα από το ίδιο ύψος. Άν η αντίσταση και ή άνωση είναι αμελητέες τότε στο έδαφος θα φθάσει, α. η Α β. η Β γ. Ταυτόχρονα. Δικαιολογήστε. 3. Σε μια ελεύθερη πτώση να αντιστοιχήσετε τα μεγέθη της πρώτης σειράς με τις γραφικές παραστάσεις: α. μετατόπιση β.ταχύτητα γ. Επιτάχυνση t t t 4. θεωρούμε αμελητέα την έλξη του Ήλιου στη Σελήνη. Η Σελήνη δέχεται μοναδική έλξη από τη Γη ( το βάρος της). Γιατί η σελήνη δεν εκτελεί ελεύθερη πτώση ώστε να πέσει πάνω στη Γη; 5. Να φτιάξετε τις γραφικές παραστάσεις που ισχύουν στην ελεύθερη πτώση, δηλαδή τις α=f(t), υ=f(t), y=f(t). 6. Αφήνουμε μια πέτρα από σημείο Α που βρίσκεται σε ύψος Η πάνω από το έδαφος, όπως στο σχήμα. Να σχεδιάσετε τα διανύσματα της ταχύτητα και της επιτάχυνσης στα σημεία Α, Β, Γ. Α Β Γ 7. Ένα σώμα εκτελεί ελεύθερη πτώση όταν αφήνεται να κινηθεί από κάποιο ύψος, χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται μόνο με την επίδραση του... του. 117

118 Δυναμική σε μια Διάσταση ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μεθοδολογία: Ασκήσεων ελεύθερης πτώσης. Για να έχουμε ελεύθερη πτώση πρέπει να ικανοποιούνται τρεις προϋποθέσεις: i. Το σώμα να αφήνεται ελεύθερο από κάποιο ύψος με μηδενική ταχύτητα. ii. Σε όλη τη διάρκεια της κίνησης το βάρος (άρα και το g) να παραμένει σταθερό, (δηλαδή να μην αφήνεται από πολύ μεγάλο ύψος). iii. Η άνωση και η αντίσταση του αέρα να είναι αμελητέες. Κατά την ελεύθερη πτώση: i. Η κίνηση γίνεται μόνο με την επίδραση του βάρους ii. Η επιτάχυνση α=g είναι σταθερή σε όλη τη διάρκεια της κίνησης iii. Η ταχύτητα έχει μηδενική τιμή όταν το σώμα αφήνεται, στη συνέχεια αυξάνει και παίρνει τη μέγιστη τιμή της μόλις θα φτάσει στο έδαφος. y H Ένα σώμα αφήνεται από ύψος Η να εκτελέσει ελεύθερη πτώση. Κάποια στιγμή πριν 1 φτάσει στο έδαφος θα βρίσκεται στη θέση y gt. Eκείνη τη στιγμή βρίσκεται 1 σε ύψος h από το έδαφος, όπου h=h-y=h- y gt. Ο t o =0 1 h=h-y=h- gt 1. Ένα σώμα αφήνεται να πέσει από ύψος Η=45m εκτελώντας ελεύθερη πτώση. Να βρείτε ποια χρονική στιγμή θα βρίσκεται σε ύψος h=5m από το έδαφος και την ταχύτητά του αυτή τη χρονική στιγμή. Δίνεται g=10m/s. (Απ. t=s, υ=0m/s ). Ένα σώμα εκτελεί ελεύθερη πτώση από ύψος h=45m. α.. να γράψετε τις ταχύτητες y=y(t) και u=u(t) στο S.I. β. Να βρείτε τον ολικό χρόνο πτώσης γ. Να βρείτε την ταχύτητα τις χρονικές στιγμές 0s, 1s, s, 3s. δ. να βρείτε τη θέση y τις ίδιες χρονικές στιγμές. ε. Σε κάθε μία από αυτές τις χρονικές στιγμές να σχεδιάσετε τη θέση του κινητού. στ. να σχηματίσετε πίνακες τιμών για την ταχύτητα και τη θέση σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνουν τα αντίστοιχα διαγράμματα. Το g=10m/s. {Απ. y=5t, υ=10t, t=3s ] 118

119 Δυναμική σε μια Διάσταση 3. Από την ταράτσα μιας πολυκατοικίας ύψους h=45m αφήνουμε να πέσει μια μικρή μεταλλική σφαίρα. Θεωρώντας την αντίσταση του αέρα αμελητέα: i. Να βρείτε το χρόνο που απαιτείται για να φτάσει η σφαίρα στο έδαφος καθώς και την ταχύτητα με την οποία φτάνει. ii. Να φτιάξετε τα διαγράμματα ταχύτητας χρόνου και διαστήματος χρόνου. Δίνεται g=10m/s. (Απ. t=3s, υ=30m/s ) 4. Σώμα αφήνεται από ύψος h να εκτελέσει ελεύθερη πτώση. Σε κάποιο σημείο Α έχει ταχύτητα 30m/s και χρειάζεται s ακόμη για να φθάσει από το Α στο έδαφος. Να βρείτε: α. τον ολικό χρόνο πτώσης του σώματος β. Την ταχύτητα με την οποία θα φθάσει στο έδαφος γ. Το ύψος h από το οποίο αφέθηκε. Δίνεται g=10m/s. [Απ. t=5s, υ=50m/s, h=15m] 5. Ένα σώμα εκτελεί ελεύθερη πτώση από ύψος h=5m. Να βρείτε: i. Την ταχύτητά του μετά από 0,5s. ii. Το ύψος που βρίσκεται πάνω από το έδαφος την ίδια χρονική στιγμή. iii. Τον ολικό χρόνο πτώσης. iv. Την τελευταία ταχύτητα με την οποία θα φτάσει στο έδαφος. Δίνεταιg=10m/s. (Απ. 5m/s, 3.75m, 1s, 10m/s ) 6. Ένα σώμα αφήνεται από ένα σημείο Ο τη στιγμή t o =0 και εκτελεί ελεύθερη πτώση. Να βρείτε: i. Ποια χρονική στιγμή βρίσκεται σε ένα σημείο Α όπου έχει ταχύτητα υ 1 =10m/s. ii. Ποια χρονική στιγμή βρίσκεται σε ένα σημείο Β όπου έχει ταχύτητα υ =30m/s. iii. Τα διαστήματα που έχει διανύσει στις χρονικές στιγμές αυτές. iv. Την απόσταση ΑΒ. Δίνεται g=10m/s. (Απ. 1s, 3s, 5m, 45m, 40m ) 7. Ένα σώμα εκτελεί ελεύθερη πτώση από ύψος h. Αν κατά τα τελευταία δύο δευτερόλεπτα της κίνησης του μετατοπίζεται κατά 100m να βρείτε: α. το ολικό χρόνο πτώσης του β. Το ύψος h από το οποίο αφέθηκε γ. Την τελική ταχύτητα με την οποία φθάνει στο έδαφος. Το g=10m/s. [Απ. t=6s, h=180m, υ=60m/s] 8. Ένα σώμα εκτελεί ελεύθερη πτώση από ύψος h=405m. Να βρείτε: α. το διάστημα που διανύει στα τελευταία τρία δευτερόλεπτα της κίνησής του. β.πόσο χρόνο χρειάζεται για να διανύσει τα τελευταία 160m 119

120 Δυναμική σε μια Διάσταση γ. Πόσο τις % αυξάνει η ταχύτητα του από το τέταρτο μέχρι το έκτο δευτερόλεπτο της κίνησης. Δίνεται g=10m/s. [Απ. s=5m, Δt=s, x%=50%] 9. Ένα σώμα αφήνεται να πέσει από σημείο Α που βρίσκεται σε μεγάλο ύψος. Μετά από χρόνο t=1s αφήνεται να πέσει ένα άλλο σώμα από σημείο Β που βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφο με το Α και 45m κάτω από το Α. Με την υπόθεση ότι τα σώματα εκτελούν ελεύθερη πτώση να βρείτε: α. μετά πόσο χρόνο θα συναντηθούν από τη στιγμή που αφέθηκε το πρώτο σώμα β. Ποιες θα είναι οι ταχύτητές τους τη στιγμή εκείνη γ. Ποιο διάστημα θα έχει διανύσει μέχρι τότε κάθε σώμα. Το g=10m/s. [Απ. t=5s, υ 1 =50m/s, υ =40m/s, s 1 =5m, s =15m] 10. Από την ταράτσα μιας πολυκατοικίας ύψους H=45m αφήνουμε να πέσουν πέτρες διαδοχικά ανά ένα δευτερόλεπτο. Αν η αντίσταση του αέρα θεωρηθεί αμελητέα και g=10m/s, να υπολογίσετε: i. Που βρίσκεται η πρώτη πέτρα όταν ξεκινάει η τρίτη; ii. Πόσο απέχουν η πρώτη και η δεύτερη πέτρα όταν ξεκινάει η τρίτη; iii. Όταν φτάσει η πρώτη πέτρα στο έδαφος, σε ποιο ύψος βρίσκεται η δεύτερη; (Απ. 5m από το έδαφος, 15m, 5m από το έδαφος ) 11. Σώμα αφήνεται από ύψος h να εκτελέσει ελεύθερη πτώση. Σε κάποιο σημείο Α έχει ταχύτητα 30m/s και χρειάζεται s ακόμη για να φτάσει από το Α στο έδαφος. Να βρείτε: i. Τον ολικό χρόνο πτώσης του σώματος. ii. Την ταχύτητα με την οποία θα φτάσει στο έδαφος. iii. Το ύψος h από το οποίο αφέθηκε. Δίνεται g=10m/s. (Απ. t ολ =5s, υ τ =50m/s, h=15m ) 1. Διαθέτουμε θάλαμο που δεν γνωρίζουμε αν είναι κενός ή έχει αέρα. Αφήνουμε από ύψος h=10m μια πέτρα να πέσει. Όταν φτάσει η πέτρα στο κάτω μέρος του θαλάμου έχει ταχύτητα υ=10m/s. Να εξετάσετε αν υπάρχει αέρας εντός του σωλήνα. Δίνεται g=10m/s. (Απ. έχει αέρα ) 13. Σώμα αφήνεται ελεύθερο από ύψος h στη Γη και στη Σελήνη. Στη Γη ο χρόνος που απαιτείται για να φτάσει το σώμα στο έδαφος είναι t 1 =6s, ενώ στη σελήνη ο αντίστοιχος χρόνος είναι t =15s. Αν g Γ =10m/s να υπολογίσετε: i. Το ύψος h ii. Την επιτάχυνση της βαρύτητας της Σελήνης g Σ. 10

121 Δυναμική σε μια Διάσταση iii. Την ταχύτητα με την οποία φτάνει το σώμα στο έδαφος, στη Γη και στη Σελήνη αντίστοιχα. (Απ. h=180m, g Σ =1.6m/s, υ 1 =60m/s, υ =4m/s ) 14. Σώμα αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος Η=15m. i. Τι διάστημα έχει διανύσει στο τέταρτο δευτερόλεπτο της κίνησής του; ii. Όταν η ταχύτητα του σώματος είναι υ=30m/s, σε τι ύψος από το έδαφος βρίσκεται το σώμα; (Απ. 35m, 80m ) 15. Ένα σώμα αφήνεται τη στιγμή to=0 να εκτελέσει ελεύθερη πτώση από ύψος h. Ο χρόνος πτώσης του σώματος είναι 4s. Να βρείτε: i. Το ύψος h ii. Την ταχύτητα του σώματος στο μισό του χρόνου πτώσης. iii. Την ταχύτητα του σώματος όταν βρίσκεται σε ύψος 7h/16 από το έδαφος. iv. Τη χρονική στιγμή που βρίσκεται στο ύψος αυτό. (Απ. 80m, 30m/s, 0m/s, 3s ) 17. Ένα σώμα αφήνεται να εκτελέσει ελεύθερη πτώση από ύψος h=15m. Να βρείτε: α. το χρόνο πτώσης του. β. Την ταχύτητά του 3s πριν φθάσει στο έδαφος γ. Τη μετατόπισή του στα δύο τελευταία δευτερόλεπτα της κίνησής του. Τοg=10m/s. [Απ. α.5s β. 0m/s γ.80m] 18. Ένα σώμα Α αφήνεται τη στιγμή t 0 =0 να εκτελέσει ελεύθερη πτώση από μεγάλο ύψος. Τη στιγμή t=1s αφήνεται να εκτελέσει ελεύθερη πτώση και ένα άλλο σώμα Β που βρίσκεται 45m κάτω από την αρχική θέση του Α, στην ίδια κατακόρυφο με αυτό. Να βρείτε: α. μετά πόσο χρόνο θα συναντηθούν από τη στιγμή που αφέθηκε το Α. β. Πόσο διάστημα θα έχει διανύσει μέχρι τότε κάθε σώμα γ. Τις ταχύτητες των σωμάτων όταν συναντηθούν. Τοg=10m/s. [Απ. α.5s β.15m,80m γ.50m/s,40m/s] 19. Ένα πηγάδι έχει βάθος H=180m. Από το χείλος του πηγαδιού αφήνεται να πέσει ελεύθερα μία πέτρα Α και λίγο αργότερα αφήνεται από το ίδιο σημείο μία πέτρα Β. Τη στιγμή που η πέτρα Α φθάνει στον πυθμένα, η πέτρα Β βρίσκεται 55m ψηλότερα. Να βρείτε: α. το χρόνο πτώσης της Α β. Πόσο αργότερα αφέθηκε η Β γ. Την ταχύτητα της Β, όταν η Α φθάνει στον πυθμένα. Τοg=10m/s. [Απ. α.6s β. 1s γ. 50m/s] 11

122 Δυναμική σε μια Διάσταση 0. Μεταλλική σφαίρα εκτελεί ελεύθερη πτώση από ύψος h. Αν σε ύψος h 1 =7*h/16 από το έδαφος έχει ταχύτητα υ 1 και όταν φθάνει στο έδαφος έχει ταχύτητα υ t να βρείτε: α. το λόγο υ 1 / υ t. β. Την ταχύτητα υ 1 άν υ t =3m/s [Απ. α. 3/4 β.4 m/s] Κατακόρυφη βολή προς τα κάτω- προς τα πάνω 1. Ένα σώμα βάλλεται κατακόρυφα προς τα κάτω από ύψος h με αρχική ταχύτητα υ 0. Το σώμα φθάνει στο έδαφος μετά από 35 και με ταχύτητα 50 m/s. Οι αντιστάσεις και η άνωση θεωρούνται αμελητέες. Να βρείτε: α. την αρχική ταχύτητα υ 0 β. Το ύψος h γ. Σε ποιό ύψος βρίσκεται το σώμα όταν έχει ταχύτητα 30 m/s δ. ποιά χρονική στιγμή βρίσκεται 45m πάνω από το έδαφος. Το g=10m/s. [Απ. α 0 m/s. β. 105m γ.80m δ.s.]. Ένα σώμα βάλλεται από ύψος Η = 51m κατακόρυφα προς τα κάτω με ταχύτητα u 0 =m/s. Αν θεωρήσουμε αμελητέες την αντίσταση του αέρα και την άνωση, να βρείτε: α. το χρόνο πτώσης του β. Την ταχύτητα με την οποία θα φθάσει στο έδαφος γ. Το διάστημα που θα διανύσει στο τελευταίο δευτερόλεπτο της κίνησής του δ. την ταχύτητα που έχει στο μισό του χρόνου πτώσης του. Το g=10m/s. [Απ. t=3s, υ τ =3m/s, s=7m, υ 1 =17m/s] 3. Από το άκρο της ταράτσας διώροφης οικοδομής ύψους 6,5m βάλλεται κατακόρυφα προς τα πάνω ένα σώμα με αρχική ταχύτητα 10m/s. Να βρείτε: α. τον ολικό χρόνο που χρειάζεται το σώμα για να φθάσει στο έδαφος β. Την ταχύτητα με την οποία θα φθάσει στο έδαφος γ. Την ολική μετατόπιση και το ολικό διάστημα. Άνωση αντιστάσεις αμελητέες και g=10m/s [Απ.α.,5s β. -15m/s γ.-6,5m και 16,5m.] 4. Ένα σώμα εκτοξεύεται από το έδαφος κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα υ 0 =50m/s. Θεωρούμε κατακόρυφο άξονα με αρχή το σημείο βολής και θετική κατεύθυνση προς τα πάνω. Άνωση και αντιστάσεις αμελητέες. α. να γράψετε τις εξισώσεις θέσης χρόνου και ταχύτητας χρόνου στο S.I. β.να βρείτε τη θέση και την ταχύτητα του σώματος τις στιγμές 1s και 6s γ. Ποιός ο ολικός χρόνος κίνησής του 1

123 Δυναμική σε μια Διάσταση δ. ποιά η ταχύτητά του όταν βρίσκεται σε ύψος 80m; Το g=10m/s. [Απ. α. y=50t-5t,υ=50t-10t β.y 1 = 45m υ 1 =40m/sy =10m υ =10m/s γ. 10s δ. 30m/s(ανεβαίνει), -30m/s (κατεβαίνει)]. 5. Ένα σώμα βάλλεται (δηλ. Εκτοξεύεται ) από το έδαφος κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα u 0 =40m/s. Η αντίσταση του αέρα και η άνωση θεωρούνται αμελητέες. Να βρείτε: α. σε πόσο χρόνο το σώμα θα φθάσει στο ανώτατο σημείο της τροχιάς του (δηλαδή το χρόνο ανόδου t αν ) β. Ποιο μέγιστο ύψος h max που θα φθάσει γ. Σε πόσο χρόνο θα επιστρέψει στο έδαφος δ.ποια η μετατόπιση και ποιο το ολικό διάστημα μέχρι τότε ε. Με ποιά ταχύτητα θα επιστρέψει στο έδαφος. Το g=10m/s. [Απ. t=4s, h=80m, t ολ =8s, υ=-40m/s, Δx=0, S=160m] 6. Ένα σώμα Α βάλλεται κατακόρυφα προς τα πάνω από το έδαφος με ταχύτητα υ 0 =50m/s. Ταυτόχρονα από ύψος h=00m και στη ίδια κατακόρυφο με το Α βάλλεται κατακόρυφα προς τα κάτω άλλο σώμα Β με ταχύτητα επίσης υ 0 =50m/s. Θεωρούμε κατακόρυφο άξονα με θετική προς τα πάνω και αρχή το σημείο βολής του Α. να βρείτε: α. τις εξισώσεις μετατόπισης χρόνου και θέσης χρόνου και ταχύτητας χρόνου για τα κινητά β. Πότε θα συναντηθούν γ. Που θα συναντηθούν δ. ποιές ταχύτητες τους τη στιγμή της συνάντησης. Το g=10m/s. [Απ.α.Δy Α = y Α =50t-5t, υ Α =50-10t, Δy Β =50t -5t Υ Β =00-50t-5t υ Β =-50-10t, β. s γ. υ Σ =80m δ. υ Α =30m/s, υ Β =-70m/s.] 7. Από ένα σημείο Ο του εδάφους τη χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω ένα βλήμα Α με αρχική ταχύτητα υ 1 =100m/s. Την ίδια χρονική στιγμή από ένα σημείο Μ της κατακόρυφου που περνάει από το σημείο Ο εκτοξεύεται επίσης κατακόρυφα προς τα πάνω, ένα άλλο λύμα Β με αρχική ταχύτητα υ =60 m/s. Η απόσταση ΟΒ είναι α=10m. Να βρείτε: α. έπειτα από πόσο χρόνο θα συναντηθούν β. Σε ποιό ύψος γ. Ποιές οι ταχύτητες που θα έχουν τότε. Τοg=10m/s. [Απ.α. 3s β.55m. γ. 70m/s., 30 m/s] 4. Σώμα ρίχνεται κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα υ ο =0m/s. Θεωρώνταςτην αντίσταση του αέρα αμελητέα, να υπολογιστούν: α. Το μέγιστο ύψος στο οποίο θα φτάσει το σώμα και ο χρόνος ανόδου. 13

124 Δυναμική σε μια Διάσταση β. Ο συνολικός χρόνος μέχρι να επιστρέψει το σώμα στο έδαφος και η ταχύτητα με την οποία θα επιστρέψει. γ. Να βρεθεί η ταχύτητα που έχει το σώμα σε ύψος h=15m από το έδαφος. Τοg=10m/s. [Απ. h=0m, t=4s, υ=-0m/s, υ 1 =10m/s, υ =-10m/s] 5. Από ύψος h=11.5m ρίχνουμε κατακόρυφα προς τα πάνω πέτρα με αρχική ταχύτητα υ ο =0m/s. Να υπολογίσετε μετά από πόσο χρόνο το σώμα επιστρέφει στο σημείο βολής και την ταχύτητα με την οποία φτάνει η πέτρα στο έδαφος. Τοg=10m/s. [Απ. t=4s, υ=-5m/s ] 14

125 15

126 Δυναμική στο Επίπεδο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Δυναμική Στο Επίπεδο Τρίτος Νόμος του Νεύτων, (Αξίωμα Δράσης - Αντίδρασης 7 ) Όταν ένα σώμα Α ασκεί μια δύναμη F σε ένα σώμα Β, τότε και το σώμα Β ασκεί στο Α μια δύναμη F 1 που είναι αντίθετη της F. m 1 m F 1 F Οι δυνάμεις F 1 και F έχουν το ίδιο μέτρο την ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά. Η μια από τις δύο (όποια θέλουμε) λέγεται δράση και η άλλη αντίδραση. Παράδειγμα Είναι γνωστό ότι η μάζα της Γης ασκεί μια ελκτική δύναμη στη μάζα ενός σώματος και τη δύναμη αυτή τη λέμε βάρος του σώματος. Αλλά και η μάζα του σώματος ασκεί στη μάζα της Γης μια δύναμη που είναι αντίθετη της προηγούμενης. Όταν ένας μαγνήτης έλκει ένα σιδερένιο σώμα με μια δύναμη F και το σώμα έλκει τον μαγνήτη με μια δύναμη F' αντίθετη της F. Προσοχή: Δεν μπορούμε να βρούμε τη συνισταμένη της δράσης και της αντίδρασης γιατί ενεργούν σε διαφορετικά σώματα. (Συνισταμένη δυνάμεων βρίσκουμε μόνο στην περίπτωση που ασκούνται στο ίδιο σώμα). Σε κάθε περίπτωση το μέτρο της δράσης και της αντίδρασης είναι το ίδιο ανεξάρτητα αν το σώμα έχει μεγάλη μάζα και το άλλο μικρή μάζα, (περίπτωση Γης - σώματος). 7 Στη Φύση όλες οι δυνάμεις εμφανίζονται κατά ζεύγη. 16

127 Δυναμική στο Επίπεδο Δυνάμεις από επαφή και από απόσταση 8 Δυνάμεις από επαφή Καθώς ο άνθρωπος σπρώχνει ένα κιβώτιο, του ασκεί μια δύναμη F που λέγεται δύναμη από επαφή, επειδή τα χέρια του ακουμπάνε, (εφάπτονται) στο κιβώτιο. Γενικά αν ένα σώμα ασκεί δύναμη σε ένα άλλο επειδή βρίσκεται σε επαφή με αυτό, η δύναμη αυτή λέγεται δύναμη από επαφή. Παραδείγματα δυνάμεων από επαφή: Τ υ Τριβή Τ Τάση F ελ Δύναμη ελατηρίου Ν Κάθετη υ=0 Δύναμη F υ Αντίσταση Αέρα Α Άνωση υγρό Για να βρούμε τις δυνάμεις από επαφή που ασκούνται σε ένα σώμα, αρκεί να βρούμε πόσα σώματα έρχονται σε επαφή μ αυτό. Όσα είναι τα σώματα που έρχονται σε επαφή μ αυτό τόσες είναι και οι δυνάμεις επαφής που του ασκούνται. Δυνάμεις από απόσταση Είναι δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ σωμάτων τα οποία βρίσκονται σε απόσταση. Θα μας απασχολήσουν τρεις περιπτώσεις: Α.Βαρυτικές δυνάμεις μεταξύ μαζών m 1 m F 1 F Β. Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων. Q 1 >0 Q <0 F 1 F Γ. Δυνάμεις μεταξύ μαγνητών. S N S N F 1 F 8 Σήμερα θεωρούμε ότι οι βασικές δυνάμεις της Φύσης είναι οι εξής: 1. Η δύναμη της βαρύτητας,. Η ηλεκτρομαγνητική δύναμη, 3. Η ασθενής πυρηνική δύναμη, 4. Η ισχυρή πυρηνική δύναμη. Η Ηλεκτρομαγνητική δύναμη και η ασθενής πυρηνική ενοποιήθηκαν τελευταία στην ηλεκτρασθενή. 17

128 Δυναμική στο Επίπεδο 5. Σύνθεση Δυνάμεων Συνισταμένη Δυνάμεων Συνισταμένη δύο (ή περισσοτέρων) δυνάμεων λέμε μια δύναμη που προκαλεί το ίδιο αποτέλεσμα με αυτό που προκαλούν οι δύο (ή περισσότερες) δυνάμεις μαζί. F ΣF F1 FF 1 F F : Συνισταμένη Δύναμη F 1, F : Συνιστώσες της F Τη διαδικασία που ακολουθούμε για να αντικαταστήσουμε δύο ή περισσότερες δυνάμεις με τη συνισταμένη τους την ονομάζουμε σύνθεση δυνάμεων. Εφαρμογή: Πως βρίσκουμε τη συνισταμένη δύο δυνάμεων που έχουν κοινό σημείο εφαρμογής. Α) Όταν οι F 1, F σχηματίζουν γωνία φ. Τότε το μέτρο της F δίνεται από τη σχέση, ΣF F F 1 F1F συνφ Και η διεύθυνση από τη σχέση, F ημφ εφω F 1 F συνφ Β) Όταν F 1, F έχουν την ίδια διεύθυνση και φορά, δηλαδή φ=0 ο (συν0 ο =1) Μέτρο : ΣF=F 1 +F Διεύθυνση : αυτή των F 1, F Γ) Όταν F 1, F έχουν την ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά, δηλαδή φ=180 ο (συν180 ο =-1) Μέτρο : ΣF= F 1 -F Διεύθυνση : αυτή του μεγαλύτερου μεταξύ των F 1, F Δ) Όταν F 1, F είναι κάθετες μεταξύ τους, δηλαδή φ=90 ο (συν90 ο =0) Το Μέτρο και η Διεύθυνση της Μέτρο : Διεύθυνση : F F 1 F F F 1 F δίνονται από τις σχέσεις: Στις δύο πρώτες περιπτώσεις (Α, Β), έχουμε σύνθεση συγγραμμικών δυνάμεων. 18

129 Δυναμική στο Επίπεδο Ανάλυση Δύναμης σε συνιστώσες Όπως μια δύναμη F μπορεί να αντικαταστήσει δυο δυνάμεις μια δύναμη F μπορεί να αντικατασταθεί από δυο δυνάμεις έχουν το ίδιο αποτέλεσμα με την F. F x, F y έτσι και F x, F y που να Η αντικατάσταση της F από τις δυνάμεις F x, F y λέγεται ανάλυση της F σε συνιστώσες. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση που οι άξονες x'x και y'y είναι κάθετοι μεταξύ y τους Δ F y Γ F φ Α Ο F x x Για να αναλύσουμε τη δύναμη F του διπλανού σχήματος στους άξονες x'x, y'y φέρνουμε από το τέλος της F ευθείες παράλληλες στους άξονες. Τα σημεία που οι ευθείες αυτές συναντούν τους άξονες ορίζουν τις δύο συνιστώσες F x, F y. Fy F Fx F F F y x F F Πως βρίσκουμε τη συνισταμένη δυνάμεων που έχουν κοινό σημείο εφαρμογής. Έστω οι δυνάμεις F, K, T με το ίδιο σημείο εφαρμογής Ο. Τη συνισταμένη τους την βρίσκουμε με τον εξής τρόπο: Φέρνουμε δύο ορθογώνιους άξονες x'x, y'y και αναλύουμε όλες τις δυνάμεις πάνω στους άξονες. K K y F y F K x T x F x T T y 19

130 Δυναμική στο Επίπεδο Στη συνέχεια βρίσκουμε το μέτρο της συνισταμένης των δυνάμεων στον άξονα x'x, y'y προσθέτοντας αλγεβρικά τα μέτρα τους, Άξονας x : ΣF x = F x - K x - T x Άξονας y : ΣF y = F y + K y - T y Με τον τρόπο αυτό βρίσκουμε τελικά δυο δυνάμεις ΣF x, ΣF y κάθετες. y ΣF ΣF y O ΣF x x Το μέτρο της συνισταμένης είναι: F F x F y και η διεύθυνσή της καθορίζεται από τη γωνία φ, F y F x 6. Ισορροπία υλικού σημείου υπό την επίδραση πολλών ομοεπίπεδων δυνάμεων 9 Για να ισορροπεί ένα υλικό σημείο με την επίδραση πολλών δυνάμεων θα πρέπει η συνισταμένη όλων των δυνάμεων που ενεργούν σ' αυτό να είναι μηδέν. Fx 0 Fx 0 Δηλαδή για να ισορροπεί ένα σώμα θα πρέπει: F 0 F 0 Fy 0 y Η λύση των προβλημάτων γίνονται με τις αλγεβρικές σχέσεις. Eφαρμογή 1 Αν ένα σώμα ισορροπεί με την επίδραση τριών δυνάμεων F 1, F, F 3 τότε: F 1 F 1, F 0 F1 F F3 0 F3 ( F1 F ) F F 3 Άρα αν ένα σώμα ισορροπεί με την επίδραση τριών δυνάμεων, τότε κάθε μια από αυτές είναι αντίθετη προς τη συνισταμένη των δύο άλλων. 9 Όλες οι δυνάμεις που εμφανίζονται στο κεφάλαιο αυτό τις θεωρούμε ομοεπίπεδες. 130

131 Δυναμική στο Επίπεδο Εφαρμογή (κεκλιμένο επίπεδο) Το κεκλιμένο επίπεδο στο σχήμα είναι λείο, σχηματίζει γωνία θ με το οριζόντιο επίπεδο και το σώμα Σ ισορροπεί σ αυτό με την επίδραση της δύναμης F. y Εκτός από τη δύναμη F ασκούνται στο σώμα η δύναμη N από το κεκλιμένο επίπεδο (κάθετη σ αυτό, γιατί είναι λείο) και το βάρος B. Επιλέγουμε, όπως στο σχήμα, σύστημα ορθογωνίων ω αξόνων x x, y y. Β y Ισχύει ότι, ως οξείες γωνίες με πλευρές θ κάθετες. B x N B F x Αναλύουμε το βάρος στις συνιστώσες του, x y x, y Το σώμα ισορροπεί άρα, Fx 0 F Bx 0 F Bx F Bημθ F 0 Fy 0 N B y 0 N B y N Bσυνθ 131

132 Δυναμική στο Επίπεδο Ερωτήσεις με Απάντηση 1. Ένα σώμα έχει βάρος Β. Να σχεδιάσετε την αντίδραση του βάρους του. Λύση Βάρος είναι η δύναμη που ασκεί η Γη στο σώμα. Αντίδραση του βάρους είναι μια δύναμη Β =-Β που ασκεί το σώμα στη Γη. Η Β έχει σημείο εφαρμογής το κέντρο της Γης και κατεύθυνση κατακόρυφη προς τα πάνω (σχήμα).. Τα σώματα Σ 1, Σ είναι δεμένα με λεπτό νήμα αμελητέας μάζας και σταθερού υ μήκους. Το Σ 1 κινείται προς τα δεξιά τραβώντας και το Σ. Σ νήμα Σ 1 α. Nα σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούν τα σώματα στο νήμα. β. Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκεί το νήμα στα σώματα. γ. Να δικαιολογήσετε ότι όλες αυτές οι δυνάμεις έχουν ίσα μέτρα. Απάντηση α. Στο (σχ.α) φαίνονται οι δυνάμεις F 1, F που ασκούν τα σώματα στο νήμα. υ F Σ Σ 1 F 1 B ΓΗ B m β. Στο (σχ.β) φαίνονται οι δυνάμεις που ασκεί το νήμα στα σώματα. υ Σ T T 1 Σ 1 γ. Είναι F 1 =T 1 ως δράση αντίδραση και ομοίως F =T. Για το νήμα: Σ F=m νημ *α F 1 - F =0*α=0 F 1 =F. Επομένως: F 1 =T 1 = T = F 13

133 Δυναμική στο Επίπεδο 3. Στο σχήμα βλέπουμε τη συνισταμένη Σ F δύο δυνάμεων F 1, F και τη δύναμη F 1. Α. Να σχεδιάσετε τη δύναμη F Β. Το μέτρο της F είναι: α. 14Ν β.48ν. γ. 10Ν. δ.ν. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. F 1 =6N Απάντηση Α. σχεδιάζουμε το παραλληλόγραμμο ΟΑΓΒ με τρεις κορυφές τα Ο,Α,Γ. Επειδή OB OA είναι OB F 1 F θα είναι OB F η ζητούμενη δύναμη. F 1 A O A Γ ΣF=8N O ΣF Γ F B Β. ΑΓ =ΟΑ + ΟΓ άρα F = F 1 +:Σ F =(6Ν) +(8Ν) =36Ν +64Ν =100Ν F =10Ν. Σωστό το γ. 4. Κρατάμε το σώμα Σ στο λείο κεκλιμένο επιπέδο. Κάποια στιγμή ο αφήνουμε ελεύθερο και ταυτόχρονα του ασκούμε δύναμη F παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο με F=80Ν. Η μάζα του σώματος είναι 4kg, φ=30 0 και g=10m/s. Α. Αν η F έχει φορά προς τα πάνω η επιτάχυνση του σώματος είναι: α. 5m/s β. 0m/ s γ. 15 m/s δ.0 Β. Αν η F έχει φορά προς τα κάτω η επιτάχυνση είναι: α. 5 m/s β. 5 m/s γ. 1 m/s δ.0 Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Απάντηση φ Σ B x Ν B φ F B y Α. F m x F B m x F B 15m / s m Σωστό το γ. F Ν B x φ Β. F m x F B m x F B 5m / s m Σωστό το β. B B y 133

134 Δυναμική στο Επίπεδο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΧΩΡΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1. Όταν δύο σώματα αλληλεπιδρούν και το πρώτο ασκεί μια δύναμη F στο δεύτερο, τότε και το δεύτερο ασκεί στο πρώτο δύναμη Σε κάθε δράση αντιστοιχεί μια Επομένως οι δυνάμεις εμφανίζονται στη φύση πάντα ανά α.η δράση και η αντίδραση μπορεί να είναι δυνάμεις από η δυνάμεις από β. Δράση και αντίδραση βρίσκονται στον ίδιο έχουν ίσα και κατευθύνσεις. 3. Λέμε ότι ένα σώμα όταν η συνισταμένη των δυνάμεων είναι μηδέν. Τότε το σώμα ή είναι η κινείται α.ένα φορτηγό συγκρούεται μετωπικά με μια μηχανή. Ποιο από τα δύο κινητά ασκεί μεγαλύτερη δύναμη στο άλλο κατά την κρούση; β. Οι δυνάμεις F 1, F του σχήματος είναι αντίθετες. Μπορεί να έχουν σχέση δράσης αντίδρασης; F 1 F 5. Να σχεδιάσετε τη δύναμη που ασκεί η Γη στον Ήλιο και τη δύναμη που ασκεί ο Ήλιος στη Γη. Να συγκρίνετε ύστερα τα μέτρα τους. ΓΗ ΗΛΙΟΣ 6. Τα ηλεκτρικά φορτία αλληλεπιδρούν με ελκτικές δυνάμεις. Να σχεδιάσετε τη δύναμη που ασκεί το φρορτίοq 1 στο Q και να συγκρίνετε τα μέτρα των δύο δυνάμεων. Q 1 >0 Q <0 F 1 7. Το ελατήριο τουσχήματος επιμηκύνεται με την επίδραση της δύναμης F. α. Να σχεδιάσετε την αντίδραση της F β. Να εξηγήσετε ποιο σώμα ασκεί την αντίδραση της F και ποιο σώμα τη δέχεται F 134

135 Δυναμική στο Επίπεδο 8. α.πότε ένα σώμα ισορροπεί; β.ποια η συνθήκη ισορροπίας ενός σώματος που του ασκούνται δύο δυνάμεις; γ. ομοίως ποια η συνθήκη ισορροπίας όταν ασκούνται τρεις δυνάμεις; 9. Σωστό Λάθος α. Η συνισταμένη δύο δυνάμεων έχει πάντα μέτρο μεγαλύτερο από το άθροισμα των μέτρων τους.σ Λ β. Είναι δυνατό σε ένα σώμα να ασκούνται δυνάμεις και όμως να είναι ακίνητο. Σ Λ γ. Αν σε ένα ακίνητο σώμα ασκήσουμε μια δύναμη τότε θα κινηθεί δ. Αν σε ένα σώμα ασκείται μια μόνο δύναμη, τότε εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση ε. Σε ένα αρχικά ακίνητο σώμα ασκούνται ταυτόχρονα δύο μόνο σταθερές κάθετες δυνάμεις. Τότε το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. ε. Το σώμα Σ ηρεμεί σε οριζόντιο τραπέζι. Τότε η αντίδραση του βάρους του, είναι η δύναμη Ν από το τραπέζι. N Σ Σ 10. Αν F=50N, ημφ=4/5, συνφ=3/5 τότε: Α. F x =40N και F y =30N Β. F x =40N καιf y =10N Γ. F x =30N καιf y =40N Δ. F x =5N καιf y =5N Δικαιολογήστε ποιο είναι το σωστό. y ΣF F y O F x x 11. Σε ένα σώμα ασκούνται ταυτόχρονα δύο δυνάμεις F 1 =5N και F =3N. Η συνισταμένη τους είναι: Α. 8Ν Β. Ν Γ. 15Ν Δ. Δεν μπορούμε να απαντήσουμε. 1. Οι δυνάμεις F 1, F του σχήματος έχουν μέτρα F 1 =8Ν, F =6N και ασκούνται στο σημειακό αντικείμενο Σ. Α. Να σχεδιάσετε μια τρίτη δύναμη F 3 ώστε το σημειακό αντικείμενο να ισορροπεί. F F 1 B. Το μέτρο της F 3 είναι, α. 14Ν β. Ν γ. 100Ν δ. 10Ν Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας 135

136 Δυναμική στο Επίπεδο 13. Το σώμα Σ ολισθαίνει προς τα κάτω στο λείο κεκλιμένο επίπεδο. Η δύναμη που το επιταχύνει έχει μέτρο ίσο με, Ν α. Β β. Ν γ. Βημφ δ. Βσυνφ Δικαιολογήστε. Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ Σώμα ακίνητο στο επίπεδο Για τη λύση τέτοιων προβλημάτων εργαζόμαστε ως εξής: α. λέμε: επειδή το σώμα είναι ακίνητο ισχύει ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα. Άρα ΣF =0 (1). β. Βρίσκουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα: Υπάρχουν τόσες δυνάμεις από επαφή, όσα και τα σώματα που ακουμπάνε σ αυτό. Αν το σώμα ακουμπάει σε λείο επίπεδο η δύναμη Ν που ασκεί το επίπεδο είναι κάθετη στο επίπεδο. Δύναμη από απόσταση για τη Φυσική της Α Λυκείου είναι μόνο το βάρος. γ. Επιλέγουμε κατάλληλο σύστημα ορθογωνίων αξόνων Χ Χ Υ Υ και αναλύουμε τις δυνάμεις σ αυτούς. δ. Η (1) είναι ισοδύναμη με τις αλγεβρικές σχέσεις: ΣF X =0 () και ΣF Υ =0 (3). Από τις (), (3) θα λύνεται το πρόβλημα. 1. Δύο δυνάμεις με μέτρα F 1 =15N και F =0N έχουν κοινό σημείο εφαρμογής και κάθετες διευθύνσεις. Να βρείτε το μέτρο και τη διεύθυνση της συνισταμένης τους.. Αν ΣF=50N, ημφ=4/5, συνφ=3/5 τότε πόσο πρέπει να είναι το μέτρο των F x, F y. (Aπ. F x =30N, F y =40N ) y ΣF F y O F x x 3. Δύο δυνάμεις με ίσα μέτρα F 1 =F =10N έχουν κοινό σημείο εφαρμογής και οι διευθύνσεις τους σχηματίζουν γωνία φ=60 ο. Να βρείτε το μέτρο και τη διεύθυνση της συνισταμένης τους. 4. Στο σχήμα βλέπουμε τη συνισταμένη F δύο δυνάμεων F 1, F και τη δύναμη F 1. Να σχεδιάσετε τη δύναμη F και να υπολογίσετε το μέτρο της. 136

137 Δυναμική στο Επίπεδο (Απ. 10Ν ) F 1 =6N ΣF=8N 5. Τέσσερις δυνάμεις ενεργούν στο ίδιο υλικό σημείο και έχουν μέτρα, F 1 =13N, F =0N, F 3 =7N, F 4 =1N. αν οι διευθύνσεις των δυνάμεων σχηματίζουν ανά δύο γωνία 90 ο να βρείτε το μέτρο και τη διεύθυνση της συνισταμένης τους. [Απ. ΣF=10Ν, εφθ=4/3] 6. Σε σημειακό αντικείμενο που βρίσκεται στο σημείο Ο του σχήματος ασκούνται οι δυνάμεις F 1,F,F 3, με F 1 =10Ν, F =5Ν, F 3 =1Ν. Δίνονται ημ60 0 =0,85 y και συν60 0 =0,5. Για τις δυνάμεις να βρείτε: F 1 α. τη συνισταμένη ΣF Χ στον άξονα χ χ 60 o β. Τη συνισταμένη ΣF y στον άξονα y y F x γ. τη συνισταμένη ΣF όλων των δυνάμεων F 3 δ. ισχύει στην περίπτωση αυτή ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα; [Απ.α.0 β.-3,5ν γ..-3,5ν δ.όχι] 7. Οι δυνάμεις του σχήματος ενεργούν στο ίδιο υλικό σημείο. Δίνεται, F 1 =8N, F =4N, F 3 = 3 N, F 4 =(5+4 3 )N, φ=30 ο και ω=60 ο. Να υπολογίσετε τη συνισταμένη όλων των δυνάμεων. y (Aπ. ΣF=5N, εφθ=4/3 ) φ F 4 ω F 3 x F 1 F 8. Σε υλικό σημείο ενεργούν οι δυνάμεις F 1 =0N, F =10N, F 3 =0N. Αν φ=30 ο να βρείτε το μέτρο της συνισταμένης των δυνάμεων. F 3 φ F 1 F 9. Να βρείτε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα Α, με m A =5kg, και στο Β με m B =10kg. (Aπ. Β A =T A =50N, B B =T B =F=100N) m A m B 137

138 Δυναμική στο Επίπεδο 10. Το σώμα Σ 1 του σχήματος είναι τοποθετημένο σε λείο οριζόντιο τραπέζι και είναι δεμένο με τα νήματα (α), (β) που έχουν σταθερό μήκος και αμελητέα μάζα. Άν το Σ 1 έχει βάρος 60Ν και το Σ έχει βάρος 30Ν να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκούνται: α. στο σώμα Σ 1 β. Στο σώμα Σ. Οι τριβές στην τροχαλία αμελητέες. [Απ. α. Β 1 = Ν 1 = 60Ν, Τ 1 =Τ =30Ν β. Τ =Β =30Ν] (α) Σ 1 (β) Σ 11. Το σώμα Σ έχει τοποθετηθεί σε λείο οριζόντιο τραπέζι. Τα νήματα έχουν σταθερό μήκος αμελητέα μάζα και οι τριβές στις τροχαλίες είναι αμελητέες. Τα βάρη των σωμάτων είναι Β 1 =30Ν και Β =70Ν. α. να βρείτε την οριζόντια δύναμη που πρέπει να ασκηθεί στο Σ για να παραμείνει ακίνητο. β. Αν το Σ έχει βάρος Β=80Ν να υπολογίσετε τις δυνάμεις που του ασκούνται. [Απ. α.40ν β. Τ 1 =30Ν, Τ =70Ν, Ν=Β=80Ν] Σ Σ 1 Σ 1. Το σώμα Σ του σχήματος έχει βάρος 10Ν, είναι ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και τα σχοινιά (α), (β) έχουν σταθερό μήκος και αμελητέα μάζα. Το σχοινί Β διέρχεται μέσω ιδανικής τροχαλίας και στο άλλο άκρο του έχουμε κρεμάσει σώμα βάρους Β 1 =8Ν. Αν φ=30 0 να βρείτε: α. το μέτρο της δύναμης Τ 1 που ασκεί το σχοινί (α) στο σώμα Σ. β. Το μέτρο της δύναμης Ν που ασκεί το επίπεδο σώμα. γ. τη μάζα του Σ και του σώματος βάρους Β 1. Το g=10m/s και 3 =1,73. [Απ. α. 6,9Ν β. 6Ν γ.1kg και 0,8kg] (β) Σ (α) φ Σ 1 138

139 Δυναμική στο Επίπεδο 13. Το σώμα Σ του σχήματος είναι δεμένο με τρία νήματα (α), (β), (γ) σταθερού μήκους αμελητέας μάζας. Δίνεται ότι τα σώματα Σ Σ 1 έχουν αντίστοιχα βάρη Β=00Ν και Β 1 =100Ν. Αν είναι ημφ=3/5 και συνφ=4/5 να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα Σ. [Απ. 100Ν, 80Ν, 60Ν] (β) (α) Σ φ (γ) Σ Το σώμα Σ του σχήματος κρέμεται από τα σχοινιά (α), (β) που είναι δεμένα σε οριζόντια οροφή. Τα σχοινιά έχουν αμελητέα μάζα, σταθερό μήκος και οι γωνίες που σχηματίζουν με την οροφή είναι φ=30 ο και θ=60 ο. Αν το σώμα έχει βάρος 0Ν να βρείτε τις δυνάμεις που ασκούν τα σχοινιά στο σώμα. (Απ. Τ 1 =10Ν, Τ =10 3 Ν ) φ θ (α) (β) Σ 15. Ένα σώμα Σ βάρους Β=8 3 Ν κρέμεται από λεπτό νήμα, σταθερού μήκους και αμελητέας μάζας. Ασκούμε στο σώμα σταθερή οριζόντια δύναμη, οπότε εκτρέπεται από τη θέση ισορροπίας και παραμένει ακίνητο σε μια νέα θέση, ώστε το νήμα να σχηματίζει γωνία 60 ο με την κατακόρυφο. Να βρείτε: i. Το μέτρο της δύναμης που ασκούμε. ii. Το μέτρο της δύναμη που ασκεί το νήμα στο σώμα. (Απ. F=4N, T=16 3 N ) φ F 139

140 Δυναμική στο Επίπεδο 16. Το σώμα του σχήματος έχει βάρος Β=0 3 Ν η γωνία φ=60 0, τα νήματα έχουν σταθερό μήκος, αμελητέα μάζα, είναι ευθύγραμμα και το δαχτυλίδι Δ έχει αμελητέα μάζα. Να βρείτε τις δυνάμεις που ασκούν τα νήματα στο δαχτυλίδι. [Απ. α. 0 3 Ν, 40Ν, 0Ν] φ Δ Β 17. Ένα σώμα με βάρος Β=00Ν είναι τοποθετημένο σε λείο κεκλιμένο επίπεδο και είναι δεμένο με σχοινί ΚΛ όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν η γωνία κλίσης του επιπέδου είναι φ=30 ο να βρείτε τις δυνάμεις που δέχεται το σώμα από το επίπεδο και το σχοινί. [Απ. T=100N, N=100 3 N] 18. Ένα σώμα με βάρος Β=8 Ν είναι τοποθετημένο σε λείο κεκλιμένο επίπεδο και είναι δεμένο με σχοινί ΚΛ όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν το σχοινί και το κεκλιμένο επίπεδο ασκούν στο σώμα δυνάμεις ίσου μέτρου, να βρείτε: iii. Τη γωνία φ του κεκλιμένου επιπέδου iv. Τις δυνάμεις που δέχεται το σώμα από το επίπεδο και το σχοινί. (Απ. φ=45 ο, Τ=8Ν, Ν=8Ν ) 140

141 Δυναμική στο Επίπεδο 19. Το σύστημα των σωμάτων Σ 1 και Σ που φαίνεται στο σχήμα ισορροπεί. Αν το βάρος του Σ 1 είναι Β 1 =400Ν και το βάρος του Σ είναι Β =300Ν να βρείτε τις δυνάμεις που τείνουν τα σχοινιά καθώς και τη δύναμη που ασκεί το κεκλιμένο επίπεδοστο σώμα Σ 1. Δίνεται ότι το επίπεδο είναι λείο και φ=30 ο. Σ 1 Σ 0. Το σώμα Σ του σχήματος ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο γωνίας φ=30 0 και έχει μάζα 6kg. Το σώμα είναι δεμένο με νήμα που είναι παράλληλο στο κεκλιμένο επίπεδο, ενώ στο άλλο άκρο του νήματος έχει κρεμαστεί ένα άλλο σώμα βάρους Β 1. Το νήμα αυτό διέρχεται μέσω ιδανικής τροχαλίας. Το σώμα Σ δέχεται σταθερή οριζόντια δύναμη F που τείνει να απομακρύνει το σώμα από το κεκλιμένο επίπεδο. Αν το κεκλιμένο επίπεδο ασκεί στο Σ δύναμη Ν= 10 3 Ν να βρείτε: α. το μέτρο της δύναμης F β. Το βάρος Β 1. Δίνεται το g=10m/s [Απ. α Ν β. 90Ν] F Σ B 1 φ 141

142 Δυναμική στο Επίπεδο Κίνηση στο επίπεδο Για τη μελέτη της κίνησης ενός σώματος που κινείται με την επίδραση ομοεπίπεδων δυνάμεων εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα και το είδος της κίνησης. Το είδος της κίνησης το προσδιορίζουμε από τις δυνάμεις αλλά και από την αρχική κινητική κατάσταση του σώματος. Αν το σώμα κινείται ευθύγραμμα ορίζουμε άξονα x x πάνω στην ευθεία αυτή με θετική κατεύθυνση, την κατεύθυνση της κίνησης και άξονα y y κάθετο σ αυτόν. Α. Αν υ=σταθ. τότε θέτουμε ΣF x =0 και ΣF y =0. Β. Αν α=σταθ. τότε θέτουμε ΣF x =mα και ΣF y =0. Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις κίνησης, που είναι γνωστές από προηγούμενα κεφάλαια. 3. Σώμα μάζας 5kg αφήνεται να κινηθεί χωρίς τριβές κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου γωνίας Να βρείτε: α. το μέτρο της επιτάχυνσης β. Τη δύναμη που ασκεί το κεκλιμένο επίπεδο στο σώμα γ. σε πόσο χρόνο το σώμα θα έχει διανύσει διάστημα 10m πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο δ. την ταχύτητα που θα έχει τότε. Το g=10m/s. [Απ. α.5m/s β. 5 3 Νγ. s δ. 10m/s] 0. Σώμα μάζας m αφήνεται να κινηθεί πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ. α. Αν το σώμα κινείται με επιτάχυνση α=5 m/s βρείτε τη γωνία φ. β. Αν η κάθετη δύναμη Ν που ασκείται από το επίπεδο στο σώμα έχει μέτρο 10 3 Ν βρείτε τη μάζα m. γ.να γίνει το διάγραμμα της θέσης του κινητού με την ταχύτητα. Δίνεται g=10m/s. [Απ. α.30 0 β.kg γ. x=υ /10 (παραβολή)] 1. Ένα σώμα μάζας m=10kg είναι ακίνητο στη βάση λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας 30 0 και μήκους 9m. Τη στιγμή t 0 =0 ασκείται στο σώμα δύναμη F=70Ν παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο με φορά προς τα πάνω. α. να δικαιολογήσετε ότι το σώμα θα κινηθεί β. Να βρείτε το μέτρο της επιτάχυνσής του γ. να βρείτε σε πόσο χρόνο θα φθάσει στην κορυφή του επιπέδου δ. την ταχύτητα που θα έχει τότε. Δίνεται g=10m/s [Απ. α. Β Χ =50Ν<F β. m/s γ.3s δ. 6m/s ] 14

143 Δυναμική στο Επίπεδο. Σώμα μάζας m=5kg ολισθαίνει χωρίς τριβές σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ. Να βρείτε το μέτρο της σταθερής οριζόντιας δύναμης F που πρέπει να τουασκηθεί όπως στο σχήμα ώστε το σώμα: α. να ανεβαίνει με σταθερή επιτάχυνση α=4 m/s β. Να ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα υ=4 m/s γ.ποιο το μέτρο της δύναμης που ασκεί το επίπεδο στο σώμα στην πρώτη περίπτωση. Το ημφ=0,6 το συνφ=0,8 και g=10m/s [Απ.α. 50Ν β. 37,5Ν γ. 70Ν ] F Κίνηση συστήματος σωμάτων Όταν δύο ή περισσότερα σώματα κινούνται μαζί, (παράδειγμα, το ένα να σπρώχνει το άλλο ή το ένα είναι δεμένο στο άλλο), τότε έχουμε την κίνηση ενός συστήματος σωμάτων. Στην περίπτωση αυτή: Τα σώματα έχουν κάθε στιγμή ίδιο μέτρο ταχύτητας και ίδιο μέτρο επιτάχυνσης. Μπορούμε να εφαρμόσουμε το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, Α. Για το σύστημα των σωμάτων σαν να ήταν ένα σώμα με μάζα m ολ. Β. Για κάθε σώμα ξεχωριστά. Να προσεχθεί ότι αν τα σώματα δεν κινούνται στην ίδια ευθεία η σχέση ΣF=mα ισχύει μόνο αριθμητικά, αλλά όχι διανυσματικά. 3. Στο σχήμα της άσκησης το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο, οι τροχαλίες έχουν αμελητέα μάζα, τα νήματα έχουν αμελητέα μάζα και είναι τεντωμένα. Αρχικά το σύστημα των σωμάτων είναι ακίνητο. Τη στιγμή t 0 =0 τα σώματα αφήνονται ελεύθερα να κινηθούν. Δίνονται m 1 =5kg, m =1kg και m 3 =kg. Να βρείτε: α. το μέτρο της επιτάχυνσης που θα κινηθούν τα σώματα β.τα μέτρα των δυνάμεων που ασκούν τα νήματα στα σώματα. Το g=10m/s [Απ. α. 5m/s β.5ν και 15Ν] Σ 3 Σ Σ 1 143

144 Δυναμική στο Επίπεδο 4. Στο σχήμα της άσκησης τα σώματα Σ 1, Σ είναι δεμένα με νήμα αμελητέας μάζας και σταθερού μήκους. Το κεκλιμένο επίπεδο είναι λείο, η φ=30 0 και οι τριβές στην τροχαλία αμελητέες. Οι μάζες των σωμάτων είναι αντίστοιχα m 1 =1kg, m =8kg και g=10m/s. Κρατάμε το σύστημα των σωμάτων ακίνητο και τη στιγμή t 0 =0 το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Να βρείτε: α. το μέτρο της επιτάχυνσης των σωμάτων β. Το μέτρο της δύναμης που ασκεί το νήμα Σ γ. το μέτρο της επιτάχυνσης αν εναλλάξουμε τις θέσεις των σωμάτων [Απ. α. 4m/s β. 7Ν γ. 1m/s ]. Σ Σ 1 φ 5. Τα σώματα του σχήματος με μάζες Μ=10kg και m=kg είναι ακίνητα σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη στιγμή t 0 =0 ασκείται στο σώμα μάζας Μ σταθερή οριζόντια δύναμη F με μέτρο F=4N όπως στο (σχ.α). Να βρείτε: α. Το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία θα κινηθούν β. Το μέτρο της δύναμης που ασκεί η μάζα m στη μάζα Μ. γ. Αν η F ασκηθεί στην m όπως στο (σχ.β) ποιο είναι τότε το μέτρο της δύναμης που ασκεί η m στη Μ; [Απ. α.3,5m/s β. 7Ν Β.35Ν] F Μ m Μ m F 144

145 Δυναμική στο Επίπεδο Ο Νόμος της Τριβής Τριβή Δύναμη τριβής Τ, εμφανίζεται κάθε φορά που δύο όχι λείες επιφάνειες σωμάτων βρισκόμενες σε επαφή ολισθαίνουν ή τείνουν να ολισθήσουν η μια σχετικά ως προς την άλλη. Η δύναμη τριβής ασκείται στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο σωμάτων 10.Στην περίπτωση που το ένα σώμα τείνει να ολισθήσει (αλλά δεν ολισθαίνει) σχετικά ως προς το άλλο, μιλάμε για δύναμη στατικής τριβής Τ σ, ενώ στην περίπτωση που έχουμε ολίσθηση μιλάμε για τριβή ολίσθησης Τ 11. A. Στατική Τριβή Τ σ Στο σχήμα β έχουμε εξασκήσει πάνω στο σώμα μια δύναμη F, που είναι αρκετά μικρή ώστε να μην προκαλεί ολίσθηση του σώματος. Η αντίδραση Α από κάθετη αρχικά (σχήμα α), πριν την επίδραση της δύναμης, παίρνει κλίση προς τα αριστερά ώστε να περνά από το σημείο τομής των δυνάμεων (F,B) αφού είναι τρεις δυνάμεις και το σώμα ισορροπεί. Αναλύουμε την Α στην κάθετη συνιστώσα Ν (κάθετη δύναμη στήριξης) και στην παράλληλη προς την επιφάνεια Τ σ, την οποία ονομάζουμε δύναμη στατικής τριβής. Αφού το σώμα ισορροπεί, ισχύει: F y 0 N ΑAΝ ΒB Σχήμα α Τ σ F Σχήμα β Αν αυξήσουμε τη δύναμη F θα φτάσει μια στιγμή που κάποια πολύ μικρή ακόμα αύξηση της F θα προκαλέσει ολίσθηση του σώματος. Η οριακή τιμή της δύναμης F max προσδιορίζει τη μέγιστη τιμή της στατικής τριβής, (αφού η Τ σ είναι πάντα ίση με τη δύναμη F), την οποία ονομάζουμε μέγιστη στατική τριβή Τ σ max. Όταν το σώμα αρχίζει να κινείται (ολισθαίνει) η τιμή μέγιστης στατικής τριβής πέφτει απότομα και γίνεται ίση με την σταθερή τιμή της τριβής ολίσθησης. Το διάγραμμα τριβής-χρόνου είναι το εξής: 10 Σε ατομική κλίμακα ακόμα και η πιο τέλεια στιλβωμένη επιφάνεια απέχει πολύ από το να είναι επίπεδη. Έτσι όταν δυο σώματα εφάπτονται, η πραγματική επιφάνεια επαφής μικροσκοπικά είναι πολύ μικρότερη από τη φαινόμενη επιφάνεια επαφής, (αυτές μπορούν να έχουν λόγο 1 προς 10 4 ). Η πραγματική (μικροσκοπική) επιφάνεια επαφής είναι ανάλογη της κάθετης δυνάμεως, γιατί τα σημεία επαφής παραμορφώνονται πλαστικά κάτω από τις μεγάλες τάσεις που αναπτύσσονται στα σημεία αυτά. Πολλά σημεία επαφής παθαίνουν "ψυχρή συγκόλληση", (το φαινόμενο αυτό, η επιφανειακή συνάφεια, παρατηρείται γιατί στα σημεία επαφής τα μόρια των δυο επιφανειών είναι τόσο κοντά το ένα στο άλλο, ώστε εξασκούν μεταξύ τους ισχυρές ενδομοριακές δυνάμεις).για να κινηθεί ένα σώμα πρέπει να του ασκηθεί κατάλληλη δύναμη ικανή να σπάσει αυτές τις συγκολλήσεις. 11 Τόσο η τριβή ολίσθησης όσο και στατική τριβή υπάρχουν μόνο εφόσον υπάρχει κάθετη δύναμη στήριξης. F x 0 F T Δηλαδή η στατική τριβή Τ σ δεν έχει σταθερό μέτρο αλλά προσδιορίζεται από τη συνθήκη ισορροπίας ΣF x =0. 145

146 Δυναμική στο Επίπεδο Τ Στατική τριβή Τ σ (max) Πειραματικά βρίσκεται ότι η μέγιστη στατική τριβή δεν εξαρτάται από το εμβαδόν της κοινής επιφάνειας επαφής, αλλά εξαρτάται μόνο από τη φύση των δύο επιφανειών και είναι ανάλογη της κάθετης δύναμης στήριξης. Έτσι έχουμε Τ σ max =μ σ Ν, όπου μ σ καθαρός αριθμός που ονομάζεται συντελεστής στατικής τριβής και εξαρτάται από την φύση των επιφανειών που βρίσκονται σε επαφή. Άρα εφόσον υπάρχει σχετική ισορροπία, η τιμή Τ σ της στατικής τριβής μπορεί να είναι οποιαδήποτε μέσα στην περιοχή 0 Τ σ μ σ Ν.Τη στιγμή που επίκειται ολίσθηση η στατική τριβή έχει πάρει τη μεγαλύτερη τιμή της, που είναι ίση με το γινόμενο Τ σ max =μ σ Ν. B. Τριβή Ολίσθησης Η τελευταία φάση είναι εκείνη που το σώμα ολισθαίνει ως προς την επιφάνεια. Τότε η συνιστώσα της αντίδρασης η παράλληλη προς την επιφάνεια επαφής ονομάζεται τριβή ολίσθησης Τ, είναι ανεξάρτητη από τη δύναμη F και δύνεται από τη σχέση, Τ=μΝ, όπου μ καθαρός αριθμός που εξαρτάται από τη φύση των επιφανειών που βρίσκονται σε επαφή. A Τριβή ολίσθησης t Ν Τ F B Πειραματικά βρίσκεται ότι για τις ίδιες επιφάνειες που βρίσκονται σε επαφή η μέγιστη στατική τριβή είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη τριβή ολίσθησης. Δηλαδή Τ σ max >T και επομένως μ σ >μ. Αυτό σημαίνει ότι η οριζόντια δύναμη που απαιτείται για να διατηρήσει μια ομαλή ολίσθηση σε οριζόντιο επίπεδο, είναι λίγο μικρότερη από εκείνη που χρειάστηκε για να ξεκινήσει το σώμα. Η τριβή ολίσθησης εμφανίζεται κατά την επαφή δύο αντικειμένων τα οποία αλληλοσυμπιέζονται ενώ το ένα ολισθαίνει ως προς το άλλο. 146

147 Δυναμική στο Επίπεδο Παρατηρήσεις Η στατική τριβή εμφανίζεται στις επιφάνειες δύο σωμάτων τα οποία αλληλοσυμπιέζονται ενώ βρίσκονται σε σχετική ισορροπία και συνυπάρχει πάντοτε, (όπως και η τριβή ολίσθησης), με την κάθετη δύναμη στήριξης. Οι εμπειρικοί νόμοι της τριβής ολίσθησης είναι οι εξής Α. είναι ανεξάρτητη του εμβαδού συνεπαφής, Β. είναι ανεξάρτητη της σχετικής ταχύτητας των σωμάτων, Γ. εξαρτάται από τη φύση των επιφανειών επαφής, Δ. είναι ανάλογη της κάθετης αντίδρασης. Ε. Η εξίσωση είναι Τ=μΝ, όπου μ καθαρός αριθμός που εξαρτάται από τη φύση των επιφανειών που βρίσκονται σε επαφή. Η τριβή ολίσθησης εμφανίζεται αμέσως με την ολίσθηση μιας επιφάνειας σχετικά ως προς άλλη και η κατεύθυνσή της είναι αντίθετη από την κατεύθυνση της ταχύτητας του σώματος και της δύναμης που κινεί το σώμα. Συχνά στα προβλήματα δίνεται ένας μόνο συντελεστής τριβής τόσο για τη στατική όσο και για την τριβή ολίσθησης, δηλαδή θεωρούμε πως μ ορ =μ. Πλεονεκτήματα Μειονεκτήματα τριβής Χωρίς τριβή : Δεν θα μπορούσαμε να περπατήσουμε, να ξεκινήσει η να σταματήσει ένα αυτοκίνητο, να κρατήσουμε ένα ποτήρι με το χέρι μας, να γράψει το μολύβι στο χαρτί κτλ. Λόγω τριβών : Υπερθερμαίνονται τα κινητά μέρη των μηχανών με αποτέλεσμα να προκαλούνται φθορές και απώλεια ενέργειας. Στην περίπτωση αυτή οι τριβές μειώνονται με λιπαντικά μέσα (λάδια, γράσα κτλ)). Θεαματική μείωση τριβών μπορούμε να πετύχουμε με διαβίβαση πεπιεσμένου αέρα μεταξύ των τριβομένων επιφανειών (π.χ. αεροτρένα στην Ιαπωνία). 147

148 Δυναμική στο Επίπεδο ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ Οι τρεις νόμοι του Νεύτωνα δεν επαρκούν για τη μελέτη της κινητικής κατάστασης ενός σώματος υπό την επίδραση δυνάμεων. Μας χρειάζονται ακόμη οι νόμοι της τριβής, της κυκλικής κίνησης και της παγκόσμιας έλξης. Οι νόμοι της τριβής ολίσθησης είναι πειραματικοί και δεν έχουν τη μεγάλη ακρίβεια των θεωρητικών νόμων (π.χ. του Νεύτωνα). Η σχέση : Τ=μΝ είναι σχέση μέτρων και θα είναι λάθος αν τη γράψετε διανυσματικά : Τ= μν αφού Τ, Ν έχουν κάθετες διευθύνσεις Για τη μελέτη ευθύγραμμης κίνησης επιλέγουμε ως άξονα χ χ την ευθεία κίνησης με θετική φορά τη φορά κίνησης και άξονα y y κάθετο σ αυτόν. Αν η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή θα είναι ΣF Χ =0 και ΣF y =0. Αν είναι ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη τότε ΣF Χ =Μ*α και ΣF y =0. Σε κάθε περίπτωση όμως Τ= μν. Όλα λοιπόν τα προβλήματα που σχετίζονται με τριβή ολίσθησης θα λύνονται με τις συνθήκες: α. ΣF Χ =0 ή ΣF=Μ*α β. ΣF y =0 γ. Τ= μν ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Υπολογισμός του Συντελεστή Οριακής Τριβής Τοποθετούμε ένα σώμα μάζας m σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ. Αν η γωνία κλίσης του επιπέδου είναι τέτοια ώστε το σώμα μόλις τοποθετηθεί να είναι στην κατάσταση εκείνη που πρόκειται να αρχίσει η ολίσθησή του τότε οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα θα είναι, Ν Βημφ Τ ορ φ Βσυνφ Β Επειδή το σώμα ισορροπεί (ΣF=0), θα ισχύουν οι σχέσεις, Fx 0 0 (:) Fy 0 N 0 N N μ ορ εφφ Αν το σώμα ολίσθαινε στο κεκλιμένο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα τότε με την ίδια ακριβώς μέθοδο θα υπολογίζαμε το συντελεστής τριβής ολισθήσεως και όχι τον συντελεστή οριακής τριβής, θα είχαμε τελικά, μ=εφφ. 148

149 Δυναμική στο Επίπεδο Ερωτήσεις με απάντηση 1. Το σώμα του σχήματος κινείται στην ίδια οριζόντια επιφάνεια. Στην πρώτη περίπτωση με κίνηση ευθύγραμμη ομαλή και στη δεύτερη με κίνηση ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη. Για τις τριβές ολίσθησης Τ 1, Τ ισχύει: α. Τ 1 < Τ β. Τ 1 = Τ γ. Τ 1 >Τ δ. τίποτα από αυτά. Δικαιολογήστε. υ α Τ 1 Τ Απάντηση Η τριβή είναι ανεξάρτητη της ταχύτητας (για μικρές ταχύτητες). Επομένως και στις δύο περιπτώσεις είναι ίδια. Σωστό το β.. Το σώμα του σχήματος γλιστράει στο κεκλιμένο επίπεδο και συνεχίζει την κίνησή του στο οριζόντιο επίπεδο. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μ είναι ίδιος στα δύο επίπεδα. Για τις τριβές ολίσθησης Τ 1, Τ είναι : α. Τ 1 < Τ β. Τ 1 >Τ γ. Τ 1 =Τ δ. τίποτα από αυτά. Δικαιολογήστε. υ 1 Τ 1 υ Τ φ Απάντηση Κεκλιμένο επίπεδο: Τ 1 = μ*ν 1 = μ*βy=μ*βσυνφ (1) N Ν 1 Τ 1 Β x Οριζόντιο επίπεδο: Τ = μ*ν = μ*β () B Τ φ Β Β y Αλλά η φ οξεία άρα συνφ<1 μβ συνφ<μβ (πολ/σαμε επί μ*β ) και λόγω των (1), () : Τ 1 < Τ άρα σωστό το α. Προσοχή: για το ίδιο σώμα και το ίδιο μ οι τριβές ολίσθησης στο κεκλιμένο και στο οριζόντιο επίπεδο είναι διαφορετικές. 149

150 Δυναμική στο Επίπεδο 3. Τα σώματα Σ 1, Σ του σχήματος έχουν μάζες m 1 m αντίστοιχα και m =m 1. Α. για τις τριβές ολίσθησης Τ 1, Τ είναι: Σ 1 α. Τ 1 < Τ β. Τ 1 = Τ γ. Τ >Τ 1 Β. Για τα μέτρα α 1, α των επιβραδύνσεων α 1, α είναι : α. α 1 < α β. α 1 = α γ. α 1 > α Σ Γ. για τα ολικά διαστημάταs 1, s είναι: α.s 1 <s β. s 1 =s γ. s 1 >s Δ. Για τους ολικούς χρόνους κίνησης είναι: α. t 1 <t β. t 1 = t γ. t 1 >t Λύση Για σώμα που κινείται οριζόντια: Α.ΕίναιΤ=μ*Ν και Ν=Β=mg άρα Τ=Μmg (1) Τ 1 =μm 1 g και Τ =μm g=μ*mg=(μ*mg)= Τ 1. Άρα Τ >Τ 1, σωστό το γ. υ ο υ ο Β Είναι ΣF Χ =m*a -Τ=m*α μmg=m*α α=-μg άρα α = μg. Παρατηρούμε ότι το μέτρο της επιβράδυνσης είναι ανεξάρτητο από τη μάζα άρα α 1 = α. Σωστό το β. Γ. Αν α 1 = α =α τότε S 1 S,σωστό το β. Δ. ομοίως t 1 =u 0 /a= t, σωστό το β. 150

151 Δυναμική στο Επίπεδο Ερωτήσεις χωρίς απάντηση 1. Να σχεδιάσετε την τριβή ολίσθησης σε κάθε περίπτωση:. Η τριβή α. είναι χρήσιμη για τον άνθρωπο β. Βλάπτει τις ανθρώπινες δραστηριότητες γ. αλλού ωφελεί αλλού βλάπτει. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και δικαιολογήστε με παραδείγματα 3. Σωστό λάθος α. οριακή τριβή είναι μέγιστη τιμή της στατικής τριβής β. Οριακή τριβή και τριβή ολίσθησης είναι ίσες γ. η οριακή τριβή έχει τιμή λίγο μεγαλύτερη από την τριβή δ. η τριβή ολίσθησης Τ είναι κάθετη στη διεύθυνση κίνησης ε. Η τριβή ολίσθησης Τ είναι δύναμη επαφής. στ. ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι καθαρός αριθμός 4. Σωστό λάθος Έστω Τ σ η στατική τριβή και Τ η τριβή ολίσθησης. Τότε : α. η Τ σ εμφανίζεται σε σώμα που είναι σε σχετική κίνηση με σώμα που βρίσκεται σε επαφή β. Η Τ σ εμφανίζεται μόνο όταν το σώμα τείνει να κινηθεί πάνω σε μια επιφάνεια γ. η Τ εμφανίζεται σε ακίνητο σώμα δ. η Τ αυξάνει όταν αυξάνει η ταχύτητα (για μικρές ταχύτητες) ε. Η Τ είναι πάντα ανάλογη του βάρους στ. αν δεν υπήρχαν οι τριβές δεν θα μπορούσαμε να κρατάμε τίποτα στα χέρια μας 5. Έστω Τ σ,τ η στατική και η τριβή ολίσθησης για ένα σώμα που βρίσκεται σε μια επιφάνεια τότε: α. Οι Τ σ Τ έχουν σταθερή τιμή β. Η Τ σ έχει σταθερή τιμή και η Τ μεταβλητή γ. Η Τ σ έχει μεταβλητή και η Τ σταθερή. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση 6. Το σώμα Σ του σχήματος κινείται σε οριζόντιο επίπεδο. Για την τριβή ολίσθησης Τ είναι: α.τ>μmg β. Τ<μmg γ. Τ=μmg δ. τίποτα από αυτά. Δικαιολογήστε: 151

152 Δυναμική στο Επίπεδο 7. Το σώμα Σ κινείται οριζόντια σε δύο επιφάνειες Α, Β με τις οποίες παρουσιάζει συντελεστές τριβής ολίσθησης μ 1 =0,3 και μ =0,4 αντίστοιχα. Η μάζα του είναι m=0kg και g=10m/s. Για τις τριβές Τ 1, Τ είναι: α. Τ 1 =60Ν και Τ =80Ν β. Τ 1 =80Ν και Τ =60Ν γ. Τ 1 =Τ =60Ν δ. Τ 1 =Τ =80Ν Δικαιολογήστε: Σ Σ Τ 1 Τ 8. Αντιστοιχίστε τα διανύσματα Α, Β, Γ του σχήματος με τα φυσικά μεγέθη της δεξιάς στήλης: α. Α 1.Στατική τριβή β. Β. τριβή ολίσθησης γ. Γ 3. κάθετη δύναμη 4.βάρος του σώματος φ Γ Α Β 9. Το σώμα του σχήματος ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα. Για την τριβή ολίσθησης Τ είναι: α.τ=μmg β. Τ=μmgσυνφ γ. Τ=μmgημφ δ. Τ=μmgεφφ. Δικαιολογήστε: 15

153 Δυναμική στο Επίπεδο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Σώμα μάζας m=0kg κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης F=80N οπότε αποκτά σταθερή επιτάχυνση m/s. Να βρείτε: α. το συντελεστή τριβής ολίσθησης β. Το μέτρο τριβής ολίσθησης. Το g=10m/s. [Απ. α. 0, β. 40Ν]. Σώμα μάζας m=10kg κινείται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης F. Αν η ταχύτητά του υ είναι σταθερή και οσυντελεστής τριβής ολίσθησης είναι μ=0,4 να βρείτε: α. το μέτρο της τριβής ολίσθησης Τ β. Το μέτρο της F γ. το μέτρο της κάθετης δύναμης Ν που ασκεί το επίπεδο στο σώμα. Δίνεται g=10m/s [Απ. Τ=40Ν, F=40N, N=100N] 3. Ένα σώμα μάζας m=5kg κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση οριζόντιας δύναμης F. Αν το σώμα αποκτά επιτάχυνση m/s και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι 0,. Να βρείτε: α. το μέτρο της τριβής ολίσθησης Τ β. Το μέτρο της F γ. το μέτρο της κάθετης δύναμης Ν που ασκεί το επίπεδο στο σώμα. Το g=10m/s [Aπ. T=10N, F=0N, N=50N] 4. Σώμα μάζας 0kg κινείται ευθύγραμμα σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης μέτρου 400Ν. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι μ=0,. Να βρείτε: α. το μέτρο της τριβής ολίσθησης β. Το μέτρο της επιτάχυνσης γ. αν τη στιγμή t 0 =0 έχει ταχύτητα u 0 =3m/s ποιά η μετατόπισή του μέχρι τη στιγμή t=10s. Δίνεται το g=10m/s. [Απ. α. 40Ν, β.18m/s, γ. 930m] 5. Ένα σώμα μάζας m=1kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγμή ασκείται στο σώμα σταθερή δύναμη F μέτρου 10Ν που βρίσκεται πάνω από το επίπεδο και σχηματίζει γωνία φ μ αυτό. Το σώμα αρχίζει να κινείται με σταθερή επιτάχυνση α. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ επιπέδου και σώματος είναι μ=0,6 να βρείτε: α. το μέτρο της κάθετης δύναμης Ν που ασκεί το επίπεδο στο σώμα. β. το μέτρο της τριβής Τ γ. την επιτάχυνση του σώματος. Δίνονται :ημφ=3/5, συνφ=4/5 και g=10m/s [Aπ. Ν=4Ν, Τ=,4Ν, α=5,6m/s ] 6. Σώμα μάζας 3kg κατεβαίνει με σταθερή ταχύτητα κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου γωνίας Να βρείτε: 153

154 Δυναμική στο Επίπεδο 7. α.. το μέτρο της τριβής ολίσθησης Τ β. το μέτρο της κάθετης δύναμης Ν που ασκεί το επίπεδο στο σώμα γ. το συντελεστή τριβής ολίσθησης. Το g=10m/s [Aπ. T=15N, N=15 3 N, μ= 3 /3 ] m m 1 Τα σώματα του σχήματος έχουν μάζες m 1 =8Kg και m =1Kg. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ της m και της οριζόντιας επιφάνειας είναι μ=0,5. Τα σώματα αφήνονται ελεύθερα να κινηθούν από την ηρεμία. Να υπολογιστούν: α) η επιτάχυνση των σωμάτων. β)η απόσταση που θα διανύσει κάθε σώμα κατά τη διάρκεια των δύο πρώτων sec της κίνησης. Δίνεται g=10m/s. 8. Από τη βάση κεκλιμένου επιπέδου γωνίας φ εκτοξεύεται κατά μήκος του και με φορά προς τα πάνω ένα σώμα με ταχύτητα υ 0 =0m/s. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι μ=0,5. Να βρείτε: α. το μέτρο (α) της επιβράδυνσης α β. Το χρόνο μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητά του γ. τη μετατόπιση μέχρι τη στιγμή εκείνη δ. το μέτρο της τριβής ολίσθησης αν η μάζα του σώματος είναι m=kg. Δίνονται ημφ=0,6, συνφ=0,8 και g=10m/s [Απ. α =10m/s, t ολ =s, S ολ =0m, T=8N] 9. Ένα παιδί βρίσκεται 0m μπροστά από μια παγωμένη λίμνη. Κάποια στιγμή το παιδί αρχίζει να τρέχει προς τη λίμνη με επιτάχυνση 0,4m/s και μόλις φθάσει στο παγωμένο νερό συνεχίζει την κίνησή του γλιστρώντας πλέον πάνω στον πάγο. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ παπουτσιών και πάγου είναι μ=0,01. Να βρείτε: α. με ποια ταχύτητα φθάνει το παιδί στη λίμνη β. Ποιος ο χρόνος κίνησης πάνω στη λίμνη μέχρι να σταματήσει και ποιος ο ολικός χρόνος κίνησης; γ. ποιά η ολική μετατόπισή του δ. να γίνουν τα διαγράμματα ταχύτητας χρόνου και επιτάχυνσης χρόνου. Η κίνηση θεωρείται ευθύγραμμη και g=10m/s. [Aπ. υ τ =4m/s, t 1 =40s, t ολ =50s, Δx=100m] 10. Σώμα μάζας Μ=10kg κινείται ευθύγραμμα πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση οριζόντιας δύναμης μέτρου F=00Ν. Ο συντελεστής τριβής είναι μ=0,5 και g=10m/s 154

155 Δυναμική στο Επίπεδο α. την επιτάχυνση α του σώματος. β. Καθώς το σώμα κινείται τοποθετείται πάνω του άλλο σώμα μάζας m=μ/4. Να βρείτε το μέτρο της νέας επιτάχυνσης α 1 γ. ποιά η διαφορά και ποιά η μεταβολή των τιμών των προηγούμενων επιταχύνσεων; δ. ποιά η επί τοις % μεταβολή του μέτρου της τριβής; [Aπ. α=15m/s, α 1 =11m/s, Δα=4m/s, Δα =-4m/s, x=5%] 11. Στο σώμα Σ του σχήματος ασκείται η οριζόντια δύναμη F που έχει μέτρο 00Ν οπότε επιταχύνεται προς τα πάνω. Η μάζα του σώματος είναι 10kg και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι μ=0,4. α. Να βρείτε τις συνιστώσες της F και του βάρους Β σε διεύθυνση παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο και σε διεύθυνση κάθετη σ αυτήν. β. Να βρείτε το μέτρο της τριβής ολίσθησης γ. να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης δ. Αν το σώμα τη στιγμή t 0 =0 βρίσκεται στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου και έχει ταχύτητα 1m/s παράλληλη σ αυτό με φορά προς τα πάνω, ποιο είναι το μήκος του κεκλιμένου επιπέδου αν φθάνει στην κορυφή του μέσα s. Δίνονται : ημθ=3/5, συνθ=4/5, και g=10m/s. [Απ. B x =60N, B y =80N, F x =160N, F y =10N, T=80N, α=m/s, S=6m, F 1. Σώμα μάζας m=4kg είναι ακίνητο σε οριζόντιο επίπεδο και σε απόσταση s 1 από τη βάση κεκλιμένου επιπέδου γωνίας φ. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και δύο επιπέδων είναι μ=0,. Τη στιγμή t 0 =0 το σώμα εκτοξεύεται οριζόντια με ταχύτητα υ 0 =10m/s, φθάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου και αρχίζει να ανεβαίνει κατά μήκος του. Να βρείτε: α. το μέτρο της τριβής ολίσθησης στο οριζόντιο επίπεδο β. Το μέτρο της τριβής ολίσθησης στο κεκλιμένο επίπεδο γ. το λόγο των μέτρων της επιβράδυνσης στο οριζόντιο προς την επιβράδυνση στο κεκλιμένο επίπεδο. Δίνονται : ημφ=0,6, συνφ=0,8 και g=10m/s [Απ. Τ 1 =8Ν, α 1 =-m/s, T =6.4N, α =-7,6m/s, α 1 /α =5/ Ένα κιβώτιο μάζας m=0kg σύρεται ευθύγραμμα πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης F. Το σώμα κινείται με σταθερή επιτάχυνση 8m/s και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ κιβωτίου και επιπέδου είναι μ=0,4. α. να βρείτε το μέτρο της τριβής Τ. β. Να βρείτε το μέτρο της F 155

156 Δυναμική στο Επίπεδο γ. Από ένα σημείο και πέρα το οριζόντιο επίπεδο είναι από διαφορετικό υλικό, οπότε το μέτρο της τριβής ολίσθησης αυξάνει κατά 5%. Ποιος ο νέος συντελεστής τριβής ολίσθησης; δ. ποια η μεταβολή του συντελεστή τριβής ολίσθησης; Το g=10m/s. [Απ. α. 80Ν β.40ν γ. 0,5 δ.0,1] 14. Το σώμα του σχήματος έχει μάζα m=10kg και είναι αρχικά ακίνητο. Τη στιγμή t 0 =0 αρχίζει να κινείται οριζόντια με την επίδραση σταθερής δύναμης F μέτρου 50Ν που σχηματίζει γωνία θ πάνω από το οριζόντιο επίπεδο. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι μ=0,, ημθ=0,6, συνθ=0,8 και g=10m/s. Να βρείτε: α. το μέτρο της τριβής ολίσθησης β. Την κάθετη δύναμη που ασκεί το επίπεδο στο σώμα γ. το μέτρο της επιτάχυνσης δ.την ταχύτητα και τη μετατόπιση τη στιγμή 0s. [Απ. α.14ν β.. 70Ν γ.,6m/s, δ. 5 m/s και ΔΧ=50m] θ F 15. Ένα σώμα μάζας 5kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα αρχίζει να επιταχύνεται με την επίδραση σταθερής δύναμης F μέτρου 100Ν που σχηματίζει γωνία 30 0 με το οριζόντιο επίπεδο κάτω από αυτό. Δίνονται : ημ30 0 =0,5, συν30 0 =0,86 g=10m/s και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μ=0,5. Να βρείτε: α. το μέτρο της κάθετης δύναμης Ν που ασκεί το επίπεδο στο σώμα β. Το μέτρο της τριβής ολίσθησης γ. το λόγο της επιτάχυνσης του σώματος προς την επιτάχυνση της βαρύτητας δ. τη μεταβολή της ταχύτητας του σώματος από το πέμπτο μέχρι το δέκατο δευτερόλεπτο της κίνησης. [Απ. α. 100Ν β. 5Ν γ. 1, δ. 61m/s] α φ F 16. Ένα σώμα γλιστρά προς τα κάτω, πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ. Αν η ταχύτητα του σώματος είναι σταθερή και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι 3 /3 να βρείτε τη γωνία φ. [Απ ] 156

157 Δυναμική στο Επίπεδο 17. Από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου μήκους,5m και γωνίας 30 0 αφήνεται να γλιστρήσει προς τα κάτω σώμα μάζας 1kg. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι 3 /4 και g=10m/s. Να βρείτε : α. το μέτρο της τριβής ολίσθησης β. Το μέτρο της επιτάχυνσης γ. σε πόσο χρόνο θα φθάσει το σώμα στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου δ. την ταχύτητα που θα έχει τότε. [Απ. α3,75νβ. 1,5 m/s γ. s δ.,5 m/s] 18. Ένα σώμα ολισθαίνει προς τα κάτω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας θ. Το σώμα ξεκινάει από την ηρεμία και σε χρόνο s διανύει διάστημα 8m κινούμενο με σταθερή επιτάχυνση. Να βρείτε : α. το μέτρο της επιτάχυνσης β. Το συντελεστή τριβής ολίσθησης γ. το μέτρο της τριβής ολίσθησης αν m=3kg. Δίνονται : ημθ=3/5, συνθ=4/5, g=10m/s. [Απ.α.4m/s β. 0,5 γ. 6Ν] 19. Σώμα μάζας 8kg ανεβαίνει κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης 30 0 με την επίδραση δύναμης F παράλληλης στο κεκλιμένο επίπεδο που έχει φορά προς τα πάνω και μέτρο 7Ν. Αν η επιτάχυνση του σώματος είναι 1,5m/s να βρείτε: α. το μέτρο της τριβής ολίσθησης β.το μέτρο της κάθετης δύναμης Ν που ασκεί το κεκλιμένο επίπεδο στο σώμα γ. τον συντελεστή τριβής ολίσθησης. Το g=10m/s [Απ. α. 0Ν β. 3 Ν γ. 3 /6 ] 0. Από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου που βρίσκεται σε ύψος h=7,5m πάνω από το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από τη βάση του επιπέδου, αφήνεται να κινηθεί κατά μήκος του επιπέδου σώμα μάζας m=kg. Στο σώμα ασκείται δύναμη F με μέτρο 4Ν παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο με φορά προς τα κάτω. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι 0,5 να βρείτε: α. το μέτρο της τριβής ολίσθησης Τ β. Την επιτάχυνση του σώματος γ. σε πόσο χρόνο το σώμα θα φθάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου Για τη γωνία φ του κεκλιμένου επιπέδου δίνονται : ημφ=0,6, συνφ=0,8 και g=10m/s [Απ. α. 8Ν β. 4m/s γ.,5s ] 157

158 Δυναμική στο Επίπεδο 1. Ένα σώμα βάλλεται σε οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ ο =30m/s και σταματάει αφού διανύσει διάστημα S=150m. Να βρείτε το συντελεστή τριβής μεταξύ σώματος και επιπέδου, το χρόνο κίνησης του σώματος και το διάστημα που θα είχε διανύσει το σώμα στον παραπάνω χρόνο αν το επίπεδο ήταν λείο. Δίνεται g=10m/s. (Απ. μ=0,3, t=10s, S'=300m).. Ένα σώμα μάζας m=00kg βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Στο σώμα ασκείται οριζόντια δύναμη οπότε αυτό αρχίζει να κινείται αν το μέτρο της είναι F=80Nt. Να βρείτε το διάστημα που θα διανύσει το σώμα σε χρόνο t=10s αν σ' αυτό δεν ασκηθεί η F αλλά η F'=100N. Δίνεται g=10m/s. (S=50m). 3. Ένα σώμα βάλλεται σε οριζόντιο επίπεδο με αρχική ταχύτητα μέτρου υ ο =30m/s. μετά από χρόνο t=5s η ταχύτητα του σώματος είναι η μισή της αρχικής. Να βρείτε τον συντελεστή τριβής μεταξύ σώματος και επιπέδου και τον χρόνο που θα κάνει το σώμα από τη στιγμή που το βάλαμε μέχρι να σταματήσει. Δίνεται g=10m/s. (Απ. μ=0,3, S=150m). 4. Ένα σώμα βάλλεται σε οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ ο =0m/s και σταματάει αφού διανύσει διάστημα S=100m. Να βρείτε τον συντελεστή τριβής μεταξύ σώματος και επιπέδου, τον χρόνο κίνησης του σώματος και το διάστημα που θα διανύσει το σώμα στον παραπάνω χρόνο αν το επίπεδο ήταν λείο. Δίνεται g=10m/s. (Απ. μ=0,, t=10s, S'=00m). 5. Ποια δύναμη απαιτείται για να μετακινήσει σώμα σε κεκλιμένο επίπεδο, όταν σχηματίζει γωνία φ=30 ο με τον ορίζοντα. Ποια δύναμη απαιτείται για να διατηρήσει την κίνησή του σώματος με σταθερή ταχύτητα. Δίνεται m=10kg, μ σ =0,4, μ=0,, g=10m/s. (Απ. F=705N, F'=4,14N). 6. Σώμα μάζας m=10kg αφήνεται στην κορυφή κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ=30 ο. Το ύψος του κεκλιμένου επιπέδου είναι h=5m και ο συντελεστής τριβής μεταξύ σώματος και επιπέδου μ=0,1. Να βρείτε αν το σώμα θα κινηθεί στο κεκλιμένο επίπεδο και αν κινηθεί τι κίνηση θα κάνει καθώς και με ποια ταχύτητα θα φτάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Δίνεται g=10m/s. (Απ. υ=9m/s). 7. Ένα σώμα μάζας m=4kg βάλλεται από τη βάση κεκλιμένου με αρχική ταχύτητα υ ο =0m/s. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ σώματος και κεκλιμένου επιπέδου είναι μ=0, και η γωνία κλίσης του επιπέδου είναι φ=30 ο. Να βρείτε το διάστημα που θα διανύσει το σώμα στο κεκλιμένο επίπεδο και να εξετάσετε αν το σώμα θα επιστρέψει στη βάση του επιπέδου. Δίνεται g=10m/s. (Απ.S=9,85m). 158

159 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας Κεφάλαιο 4. Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας Ενέργεια Γενικά για την ενέργεια Η έννοια της ενέργειας άρχισε να απασχολεί αρκετά τους ειδικούς στα χρόνια της βιομηχανικής επανάστασης. Στην προσπάθεια να βρεθούν τρόποι για βελτίωση της απόδοσης των μηχανών, η ενέργεια είχε σημαντικό ρόλο. Για παράδειγμα πώς μπορεί να εξηγηθεί η δύναμη που κρύβεται μέσα στα κάρβουνα η στον ατμό; Τι χρειάζεται για να γεννηθεί μια δύναμη; Οι απαντήσεις σε τέτοια ερωτήματα οδηγούν στην ενέργεια. Δεν είναι καθόλου εύκολο να πούμε τι ακριβώς είναι η ενέργεια. Ξέρουμε όμως ότι είναι μια πολύ σημαντική φυσική έννοια με μεγάλη πρακτική αξία. Αυτό συμβαίνει διότι η ενέργεια χρησιμοποιείται στη μελέτη όλων των φυσικών φαινομένων, με αποτέλεσμα να συνδέει τους κλάδους της φυσικής. Πραγματικά μέσω της ενέργειας κατόρθωσαν να ενοποιηθούν πράγματα που αρχικά φαινόταν να είναι άσχετα μεταξύ τους π.χ. η κίνηση, η θερμότητα, ο ηλεκτρισμός, ο ήχος, το φώς, η δυνατότητα που έχουν τα καύσιμα να προκαλούν κίνηση κτλ. Ένα μεγάλο μέρος της δαπανώμενης σήμερα ενέργειας προέρχεται από την ενέργεια που περικλείεται στα καύσιμα (χημική ενέργεια). Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα μεταφέρουν ενέργεια και μέσα στο κενό (π.χ. η ηλιακή ακτινοβολία). Μια πολύ βολική ιδιότητα της ενέργειας είναι ότι διατηρείται. Η συνολική ενέργεια που υπάρχει στο σύμπαν δεν μειώνεται αλλά ούτε αυξάνεται. Η ενέργεια στα διάφορα φυσικά φαινόμενα, μεταφέρεται απ το ένα σώμα στο άλλο και αλλάζει μορφή (μετασχηματίζεται). Με την πάροδο του χρόνου, όλες οι μορφές της ενέργειας γίνονται θερμότητα η οποία είναι η λιγότερο εκμεταλλεύσιμη μορφή ενέργειας (θερμικός θάνατος του σύμπαντος). Πάντως ο νόμος διατήρησης της ενέργειας διέπει όλα τα γνωστά μέχρι σήμερα φυσικά φαινόμενα. Πότε μπορούμε να πούμε ότι ένα σώμα έχει ενέργεια; Ένα σώμα λοιπόν έχει ενέργεια εάν μπορεί να προκαλέσει μια μεταβολή στον εαυτό του ή στο περιβάλλον. 159

160 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας Μερικές από τις ιδιότητες της ενέργειας είναι οι εξής: Είναι αόρατη Στον μακρόκοσμο εμφανίζεται με πολλές μορφές, (π.χ. ως Μηχανική (Κινητική + Δυναμική), Χημική, Θερμική, Ηλεκτρική, Φωτεινή, Πυρηνική κτλ.) Μπορεί να περιέχεται σ ένα σώμα Μπορεί να μεταβιβάζεται από ένα σώμα (ή σύστημα) σε ένα άλλο Μπορεί να μετατρέπεται από μια μορφή σε μια άλλη Ούτε δημιουργείται από το μηδέν, ούτε καταστρέφεται. Επομένως σε κάθε απομονωμένο σύστημα (δηλ. σύστημα που δεν ανταλλάσσει ενέργεια με το περιβάλλον) η ολική ενέργεια παραμένει σταθερή, όσες μετατροπές της και αν γίνουν. Η μεταφορά ενέργεια ή η μετατροπή της σε άλλη μορφή γίνεται ουσιαστικά με δύο τρόπους: Μέσω του έργου δύναμης και μέσω θερμότητας. Μεταφορά ή μετατροπή ενέργειας Έργο δύναμης Θερμότητα Η ενέργεια είναι το αίτιο εκδήλωσης δυνάμεων. Η μπάλα του μπιλιάρδου συγκρούεται με μια άλλη και προκαλεί μεταβολή στην ταχύτητά της. Επομένως περιέχει ενέργεια. Η ακίνητη μπουλντόζα με σβηστή μηχανή δε μπορεί να παρασύρει τα χώματα που είναι μπροστά της. Αν βάλουμε σε λειτουργία τη μηχανή και πατήσουμε γκάζι η μπουλντόζα θα ασκήσει δύναμη στα χώματα και θα τα παρασύρει. Ή άσκηση δύναμης από τη μπουλντόζα προέρχεται από την ενέργεια που περιέχεται στα καύσιμα η οποία χαρακτηρίζεται ως χημική ενέργεια. Ορισμός της ενέργειας μέσω των αποτελεσμάτων της: Ονομάζουμε ενέργεια το φυσικό μέγεθος που θεωρείται το αίτιο για την εκδήλωση δυνάμεων σ ένα σώμα (ή σύστημα). Όταν ένα σύστημα μεταβαίνει από μια κατάσταση σε μια άλλη, τότε η ενέργεια μετασχηματίζεται από μια μορφή σε μια άλλη αλλά συνολικά παραμένει σταθερή. Παρατήρηση Από τις πολλές μορφές που εμφανίζεται η ενέργεια στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε μόνο δύο: την κινητική και τη δυναμική ενέργεια. 160

161 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας Έργο Χρησιμοποιώντας ένα μοχλό μπορούμε να μεγαλώσουμε κάποια δύναμη, όμως όπως παρατηρούμε η μετατόπιση που θα πρέπει να προκαλέσουμε θα μεγαλώσει ανάλογα με το πόσο μεγάλωσε η δύναμη. Δηλαδή αν θέλουμε να πάρουμε μέσο του μοχλού τριπλάσια δύναμη από εκείνη που ασκήσαμε, θα χρειαστεί η μετατόπιση που θα προκαλέσουμε στο σημείο που εμείς ασκούμε τη δύναμη να είναι τουλάχιστον τριπλάσια για να πετύχουμε το ίδιο αποτέλεσμα. Παρατηρούμε πως ότι κερδίζουμε σε δύναμη το χάνουμε σε δρόμο και μάλιστα όσες φορές κερδίζουμε σε δύναμη τόσες φορές χάνουμε σε δρόμο. Αυτός είναι ο Χρυσός Κανόνας της Μηχανικής. Άρα ο μοχλός (μια δύναμη) μπορεί να μας μεγαλώσει τη δύναμη αλλά την ποσότητα δύναμη x μετατόπιση δεν μπορεί να μας τη μεγαλώσει. Το γινόμενο (δύναμη) x (μετατόπιση) το λέμε έργο δύναμης (W). Το έργο μιας δύναμης είναι μονόμετρο μέγεθος. Ως μονάδα μετρήσεως του έργου χρησιμοποιούμε το 1 Joule, που είναι το έργο που παράγει μια δύναμη 1Ν η οποία προκαλεί κατά τη διεύθυνσή της μετατόπιση 1m. Το έργο στη Φυσική συνδέεται με, - Παραμόρφωση κάποιου σώματος, - Μεταβολή στην κίνησή του. Για τη Φυσική είναι γεγονός ότι η ενέργεια μπορεί να μετατρέπεται από μια μορφή σε μια άλλη ή να μεταφέρεται από ένα σώμα σε ένα άλλο με την επίδραση δύναμης που μετακινεί το σημείο εφαρμογής του για όσο χρόνο διαρκεί η μεταφορά ή η μετατροπή της ενέργειας. Έτσι στη Φυσική το έργο είναι σαν το "εργαλείο" που λογαριάζει την ενέργεια που μεταφέρεται από ένα σώμα σε κάποιο άλλο ή που μετατρέπεται από μια μορφή σε άλλη χωρίς το ίδιο να είναι ενέργεια. Μεταβιβαζόμενη ενέργεια = (Δύναμη) x (Μετατόπιση) 161

162 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας Έργο Σταθερής Δύναμης F F φ S Διερεύνηση: W=FSσυνφ φ=0 ο W=FS φ=90 ο W=0 φ=180 ο W=-FS 0 ο <φ<90 ο W>0 (έργο κινητήριο) 90 ο <φ<180 ο W<0 (έργο ανθιστάμενο) Ποιά η φυσική σημασία του έργου (ή τι εκφράζει το έργο); Ποιά η σημασία του θετικού και ποιά του αρνητικού έργου; Το έργο εκφράζει την ενέργεια που μεταφέρεται από ένα σώμα σε ένα άλλο η που μετατρέπεται από μια μορφή σε μια άλλη. Έστω F μια δύναμη που ασκείται σ ένα σώμα και w F το έργο της. i. Άνw F > 0 τότε ενέργεια ίση με w F μεταφέρεται από το αίτιο της F στο σώμα (μέσω του έργου αυτού). ii. Αν w F < 0 τότε ενέργεια ίση προς w F μεταφέρεται από το σώμα στο αίτιο της F (μέσω του έργου αυτού). Μπορεί ν ασκούνται σ ένα σώμα δυνάμεις με συνισταμένη μηδέν και το σώμα να είναι ακίνητο. Τότε κάθε δύναμη δεν παράγει έργο (W=0) διότι το σώμα δεν κινείται. Οι δυνάμεις που είναι κάθετες στην κίνηση επίσης δεν παράγουν έργο (π.χ. η κεντρομόλος δύναμη στην κυκλική κίνηση και το βάρος σε οριζόντια κίνηση). Θετικό έργο (w F >0) σημαίνει ότι το σώμα στο οποίο ασκείται η F κερδίζει ενέργεια ίση με w F. Αν w F < 0 τότε χάνει ενέργεια ίση με w F. Έτσι π.χ. w F = 100 J σημαίνει ότι ενέργεια ίση 100 J μεταφέρεται από το αίτιο της F στο σώμα μέσω έργου της F. Το σώμα κέρδισε 100 J. Αν π.χ. w F = -0 J τότε ενέργεια 0 j μεταφέρθηκε από το σώμα στο αίτιο της F μέσω του έργου της F. Τώρα το σώμα έχασε 0 J. 16

163 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας Παράδειγμα Αν είναι F =10Ν, F 1 =0Ν, Β=15Ν, Τ=8Ν και συνφ=4/5 να βρείτε το έργο κάθε δύναμης και τι σημαίνει για την ενέργεια του σώματος. Συνολικά το σώμα κερδίζει ή χάνει ενέργεια και πόσο; Δίνεται x=100m N F 1 Τ φ F Β Λύση w F = F x συν0 o = F x =10Ν 100m άρα w F = 100 J. Το σώμα κερδίζει 1000 J που μεταφέρονται σ αυτό από το αίτιο της F μέσω του έργου της F. w F1 = F 1 x συνφ = 0Ν 100 4/5 άρα w F1 = 1600 J. Το σώμα κερδίζει 1600 J που μεταφέρονται σ αυτό από το αίτιο της F 1 μέσω του έργου της F 1. W Β = w Ν = 0 γιατί οι δυνάμεις Β, Ν είναι κάθετες στη μετατόπιση. W Τ = Τ x συν180 0 = 8Ν 100 (-1) άρα W Τ = J. Το σώμα χάνει 800 J που μεταφέρονται από το σώμα στο αίτιο της Τ μέσω του έργου της Τ. Η συνολική ενέργεια για το σώμα : Ε ολ = 1000 J J -800 J = 1800 j (κέρδος) Εφαρμογές Έργο της Τριβής Ολίσθησης. Έστω ένα σώμα που κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά. Το έργο της τριβής ολίσθησης για μετατόπιση x δίνεται από τη σχέση, W Tx180 W Tx T Το έργο της τριβής είναι πάντα αρνητικό. Σε μια κλειστή διαδρομή είναι αδύνατο να έχουμε έργο τριβής μηδέν. Η Τριβή ολίσθησης είναι μια δύναμη μη διατηρητική. Επομένως η τριβή αφαιρεί ενέργεια από το σώμα και τη μεταβιβάζει στο περιβάλλον με μορφή θερμότητας (π.χ. στο έδαφος). T 163

164 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας Έργο του Βάρους. Θα υπολογίσουμε το έργο του Βάρους για μετατοπίσεις μικρής έκτασης έτσι ώστε να μπορούμε να θεωρήσουμε την βαρυτική επιτάχυνση (g) να είναι σταθερή. B x h x h x B B (A) (B) (Γ) Υποθέτουμε ότι η κίνηση γίνεται σε κατακόρυφο επίπεδο. Θεωρούμε πάνω σ αυτό κατακόρυφο και οριζόντιο άξονα. Α. το βάρος Β καιι η μετατόπιση x είναι ομόρροπα. Άρα : W Β = Β x. αλλά x = h οπότε W Β = mgh κίνηση κατακόρυφη προς τα κάτω. Β. το βάρος Β αντίρροπο της μετατόπισης x.άρα W Β = -Β x = - Β h δηλ. W Β = -mgh κίνηση κατακόρυφη προς τα πάνω. Γ. το βάρος Β κάθετο στη μετατόπιση άρα W Β = 0 W Β = 0κίνηση οριζόντια Κίνηση τυχαία. Το σώμα μεταφέρεται από μια αρχική θέση Α 1 που βρίσκεται σε ύψος h 1, σε μια τελική θέση Α σε ύψος h ακολουθώντας τυχαία διαδρομή. Ο ορισμός του έργου σταθερής δύναμης είναι ίδιος ακόμη και όταν η κίνηση δεν είναι ευθύγραμμη. h 1 A 1 h A Μπορούμε να υποθέσουμε ότι το σώμα πηγαίνει από το Α 1 στο Α μέσω μεγάλου πλήθους οριζόντιων και κατακόρυφων μετατοπίσεων. Στις οριζόντιες το βάρος δεν εκτελεί έργο ενώ οι κατακόρυφες έχουν άθροισμα την υψομετρική διαφορά h 1 h. Αν το πλήθος των μετατοπίσεων είναι πάρα πολύ μεγάλο μπορούμε να υποθέσουμε ότι η κίνηση γίνεται πάνω στην πραγματική διαδρομή Α 1 Α οπότε: W Β = mg (h 1 h ) (1) h 1 αρχικό ύψος, h τελικό ύψος από κάποια επιφάνεια έργο βάρους για τυχαία μετακίνηση. 164

165 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας Συμπεράσματα: Από τον τύπο (1) βλέπουμε ότι: i. Το έργο του βάρους δεν εξαρτάται από το είδος της διαδρομής. ii. Η τιμή του W Β εξαρτάται από το βάρος mg και την υψομετρική διαφορά h 1 h iii. Όταν h 1 > h (κατεβαίνει) είναι h 1 h >0 άρα W Β >0 iv. Όταν h 1 < h (ανεβαίνει) είναι h 1 h <0 άρα W Β <0 Όταν το αντικείμενο χάνει ύψος, το έργο του βάρους είναι θετικό Όταν κερδίζει ύψος, το έργο του βάρους είναι αρνητικό. - Για μια τυχαία μετατόπιση ενός σημειακού αντικειμένου από τη θέση Α 1 στη θέση Α και αντίστροφα, Υ A 1 y mg y 1 A O x 1 x X To έργο του Βάρους θα είναι, W ή W ( A A ) 1 ( A A ) 1 mg( y mg( y 1 y ) 1 y ) Το έργο του βάρους είναι ανεξάρτητο από το είδος της διαδρομής, καθώς ένα αντικείμενο μετακινείται από μια θέση σε άλλη. Η τιμή του εξαρτάται από το βάρος του σώματος και από την υψομετρική διαφορά των δύο θέσεων. Το έργο του βάρους είναι θετικό (ή αρνητικό) αν ένα αντικείμενο κατεβαίνει (ή ανεβαίνει) μέσα στο βαρυτικό πεδίο. Είναι φανερό ότι το έργο του βάρους για κλειστή διαδρομή είναι μηδέν. Η δύναμη του βάρους είναι διατηρητική δύναμη 1. 1 Διατηρητική ή Συντηρητική δύναμη είναι εκείνη που: Το έργο της κατά μήκος κλειστής διαδρομής είναι μηδέν. Το έργο της μεταξύ δυο σημείων είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή και εξαρτάται μόνο από τις θέσεις των δυο σημείων. Προκαλεί την ίδια μεταβολή στη δυναμική ενέργεια ενός υποθέματος κατά τη μεταφορά του από μια θέση σε μια άλλη ανεξαρτήτως της διαδρομής. (π.χ. οι βαρυτικές δυνάμεις, οι ελαστικές δυνάμεις των παραμορφωμένων ελατηρίων, οι δυνάμεις του ηλεκτρικού πεδίου) Μη διατηρητικήή μη συντηρητική δύναμη λέμε τη δύναμη που το έργο της σε μια κλειστή διαδρομή είναι διάφορο του μηδενός, (π.χ. η δύναμη τριβής ολίσθησης Τ) 165

166 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας Έργο δύναμης μεταβλητού μέτρου Από τις μεταβλητές δυνάμεις θα ασχοληθούμε με εκείνες που έχουν σταθερή διεύθυνση παράλληλη στη μετατόπιση του κινητού και μεταβλητό μέτρο. Όμως ο υπολογισμός του έργου τους γίνεται με μαθηματικά που δε γνωρίζουμε ακόμη γι αυτό καταφεύγουμε στη μέθοδο της εμβαδομέτρησης (δηλ.υπολογισμός έργου από τον υπολογισμό εμβαδού). F Ο Ε x Όταν το μέτρο F της δύναμης δεν είναι σταθερό, το διάγραμμα F x δεν είναι ευθεία. Αποδεικνύεται ότι και σ αυτή την περίπτωση το έργο της F ισούται αριθμητικά με το εμβαδό μεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα μετατοπίσεων. W F = (γραμμοσκιασμένο εμβαδό) Παραδείγματα: Να γίνει το διάγραμμα F x του μέτρου της δύναμης με το μέτρο της μετατόπισης όταν η δύναμη F έχει τη διεύθυνση της μετατόπισης. Πως από το διάγραμμα αυτό υπολογίζουμε το έργο της δύναμης. Πως υπολογίζεται το έργο μιας τέτοιας δύναμης με μεταβλητό μέτρο; F x Αφού F = σταθερή και το μέτρο της F θα είναι σταθερό. Άρα το διάγραμμα F x θα είναι ευθεία παράλληλη στον άξονα της μετατόπισης. Από το σχήμα βλέπουμε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου ΟΑΒΓ είναι: Ε= (ΟΓ) (ΟΑ) = F x = W F. Συμπέρασμα : Το έργο της σταθερής δύναμης F σε διάγραμμα F x ισούται αριθμητικά με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου. Έτσι αν π.χ. το εμβαδόν είναι Ε=50m τότε W F = 50j 166

167 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας Έργο δύναμης ελατηρίου F ελ F Το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος o όταν δεν του ασκείται καμία εξωτερική δύναμη. Το ελατήριο παραμορφώνεται (επιμηκύνεται η συμπιέζεται) κατά x με την επίδραση εξωτερικής δύναμης F παράλληλης στον άξονα του. Ταυτόχρονα το ελατήριο ασκεί στο αίτιο της F μια δύναμη F ελ αντίρροπη της F που λέγεται ΔΥΝΑΜΗ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ. Για να βρούμε το W Fελ παραμορφώνουμε το ελατήριο αργά, έτσι ώστε οι F, F ελ να είναι αντίθετες. Τότε W Fελ = - W F (1) Αρκεί λοιπόν να βρούμε το έργο της F. Σύμφωνα με το νόμο Hooke είναι F = k x () Η () είναι της μορφής y = αx άρα παριστάνει ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Το διάγραμμα F x φαίνεται στο σχήμα. Είναι W F = Ε ΟΑΒ = 1/ (ΟΑ) (ΑΒ) = 1/ x κ x = 1/ κx άρα: W F = 1/ κx έργο δύναμης που παραμορφώνει ελατήριο W Fελ = - 1/ κx Έργο δύναμης ελατηρίου για παραμόρφωση x Αν το ελατήριο παραμορφώνεται από x 1 σε x ομοίως βρίσκουμε: W Fελ = 1/ κ x 1 1/ κx F kδl O Δl Νόμος Hooke: F=kΔl, Όπου: k=σταθερά του ελατηρίου Δl=επιμήκυνση ή συσπείρωση Έργο δύναμης ελατηρίου, W F = 1 kδl 167

168 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Σώμα μάζας m=4kgr κινείται πάνω σε οριζόντιο δρόμο με σταθερή υ=m/sec με την επίδραση δύναμης F που σχηματίζει γωνία φ=30 ο με τον ορίζοντα. Αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι μ=0.7 να βρεθούν η δύναμη F και το έργο της σε χρόνο t=15sec. (Απ. F=3,0Nt, W F =598,J). Σε σώμα βάρους Β=5N που βρίσκεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30 ο ασκούνται οι δυνάμεις, F 1 =N, F =6N, F 3 =3N. Να υπολογιστούν τα έργα των δυνάμεων για μετατόπιση προς τα πάνω του σώματος κατά S=1m. Προσοχή ισχύει : A F 1 F 3 F φ Β (Απ. W F1 =J, W F =5,J, W F3 =-3J, W B =-,5J, W A =0) 3. Σε σώμα μάζας m=0, kg που βρίσκεται ακίνητο πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30 ο. Στο σώμα ασκείται σταθερή δύναμη, F=N που σχηματίζει γωνία ω=45 ο με το κεκλιμένο επίπεδο και έτσι το σώμα ανεβαίνει. Αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ σώματος και κεκλιμένου επιπέδου είναι μ=0,3, να υπολογιστούν τα έργα των δυνάμεων μετά από χρόνο t=8sec. Τι εκφράζουν αυτά τα έργα; Δίνεται g=10m/sec. (Απ. W F =7,1J, W B =51J, W N =0, W T =-4,86J). 4. Άνθρωπος που έχει μάζα Μ=70kgr έχει στα χέρια του ένα σώμα μάζας m=1kg. O άνθρωπος θέλει να ανεβεί μια σκάλα που έχει ν=7 σκαλοπάτια που το ύψος του καθένα είναι d=0,3m. Να βρεθεί η χημική ενέργεια που θα ξοδέψει. Δίνεται g=10m/s. (Απ. Ε ΧΗΜ =1491J). 5. Ελατήριο που έχει το φυσικό του μήκος επιμηκύνεται κατά Χ 1 με την επίδραση κάποιας δύναμης. Αν μετά από αυτή τη θέση επιμηκύνουμε το ελατήριο κατά Χ =Χ 1 / επιπλέον, να βρεθεί σε ποια από τις προηγούμενες περιπτώσεις δαπανήσαμε περισσότερο έργο. (Απ. W >W 1 ) 168

169 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας 6. Σώμα μάζας m=1kg κινείται σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές. Αν η ταχύτητα του σώματος μεταβάλλεται όπως δείχνει η γραφική παράσταση. Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης που ασκείται στο σώμα για χρόνο t=5sec. (Aπ. W F =18J) u(m/s) t(sec) 169

170 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας Μορφές Ενέργειας Η Ενέργεια εμφανίζεται και με τις εξής μορφές, Κινητική Ενέργεια χαρακτηρίζεται η ενέργεια την οποία έχει ένα σώμα λόγω της κίνησής του. Δυναμική Ενέργεια χαρακτηρίζεται η ενέργεια ενός σώματος (ή συστήματος σωμάτων) λόγω θέσεως ή καταστάσεως σε ένα καθορισμένο σύστημα αναφοράςκαι έχει φυσική σημασία και πρακτική αξία όταν αναφέρεται σε σώματα που βρίσκονται μέσα σε διατηρητικά πεδία. - Βαρυτική Δυναμική Ενέργεια χαρακτηρίζεται η ενέργεια η οποία είναι αποθηκευμένη σε ένα αντικείμενο (μάζα) λόγω της θέσης του στο βαρυτικό πεδίο. - Ελαστική Δυναμική Ενέργεια χαρακτηρίζεται η ενέργεια η οποία είναι αποθηκευμένη σε ένα σώμα λόγω της ελαστικής του παραμόρφωσης. - Ηλεκτρική Δυναμική Ενέργεια χαρακτηρίζεται η ενέργεια η οποία είναι αποθηκευμένη σε ένα αντικείμενο (φορτίο) λόγω της θέσης του στο ηλεκτρικό πεδίο. Ας δούμε αναλυτικότερα αυτές τις μορφές Ενέργειας, Κινητική Ενέργεια Ονομάζουμε κινητική ενέργεια (Κ) ενός σημειακού αντικειμένου μάζας (m) που κινείται με ταχύτητα (υ) ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς, το μισό του γινομένου της μάζας του επί το τετράγωνο του μέτρου της ταχύτητάς του. Κ= 1/ m υ Θα υπολογίσουμε τη σχέση Έργου και Κινητικής Ενέργειας για τη κίνηση ενός σημειακού αντικειμένου μάζας m που εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση υπό την επίδραση σταθερής δύναμης F, ενώ αρχικά ήταν ακίνητο (t o =0, υ ο =0) ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς. W Fx F m W 1 x t mx W 1 m t W 1 m( t) t W 1 m Η Ενέργεια δηλαδή που μεταβιβάστηκε στο αρχικά ακίνητο αντικείμενο είναι ίση με (1/)mυ και λέγεται Κινητική Ενέργεια. Γενικότερα, Σώμα κινείται ευθύγραμμα με ταχύτητα υ 0. Τη στιγμή t 0 του ασκείται σταθερή δύναμη F ομόρροπη της υ 0. Αν τη στιγμή t>0 έχει μετατοπιστεί κατά x βρείτε το γινόμενο F*x ως συνάρτηση της μάζας m και των ταχυτήτων. Απάντηση Κίνηση ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη. Με αρχική ταχύτητα. Εξισώσεις κίνησης: υ=υ 0 + αt (1) x= υ 0 t +1/αt (). Απαλείφουμε το χρόνο. Από την (1): υ-υ 0 = αt άρα t = υ-υ 0 /α και από τη () 170

171 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας x = υ 0 υ-υ 0 /α +1/ α (υ-υ 0 /α ) = υ 0 ( υ-υ 0 )/α +1/ α (υ-υ 0 ) /α =υ 0 ( υ-υ 0 )+ ( υ-υ 0 ) /α = υ υ 0 -υ 0 +υ =υυ 0 +υ 0 /α οπότε x = υ υ 0 /α άρα αx = α υ υ 0 / α. Πολλαπλασιάζουμε με m: m αx = m ( υ υ 0 )/ άρα F X =1/m υ -1/mυ 0 (1) Η Κινητική Ενέργεια είναι μονόμετρο μέγεθος και είναι ανεξάρτητη από τη φορά και τη διεύθυνση της ταχύτητας και εξαρτάται μόνο από το μέτρο της (εφόσον η μάζα δεν μεταβάλλεται) και είναι πάντα θετική. Η Κινητική Ενέργεια έχει μονάδα μέτρησης στο S.I. το Joule. Η Φυσική σημασία της Κινητικής Ενέργειας σχετίζεται με την ανθρώπινη εμπειρία και βασίζεται στο ότι κάθε κινούμενο αντικείμενο, εξαιτίας και μόνο του γεγονότος ότι κινείται, έχει την ικανότητα να μεταδώσει κίνηση και να εκτελέσει έργο. Η ικανότητα ακριβώς αυτή μας κάνει να λέμε πως έχει Κινητική Ενέργεια. Η κινητική Ενέργεια ενός συστήματος σημειακών αντικειμένων με μάζες m 1, m, m n και ταχύτητες υ 1, υ, υ n ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς υπολογίζεται ως εξής, K 1 m m... 1 m n n Η Κινητική Ενέργεια ενός σώματος μάζας m, με διαστάσεις, που εκτελεί μεταφορική κίνηση υπολογίζεται ως εξής, K Παράδειγμα Σώμα μάζας kg ξεκινάει από την ηρεμία τη στιγμή t 0 = 0 και κινείται με επιτάχυνση 4m/s. Βρείτε την κινητική του ενέργεια τις στιγμές 0 sec, sec και 5sec. Λύση Είναι Κ=1/ mυ. Αλλά υ=αt οπότε Κ=1/mα t (1). t 0 = 0, K= 1/ 4 0 j=0 j t = sec, K= 1/ 4 j = 16 4 j=64 j. t = sec, K= 1/ 4 5 j=16 5 j=400 j. 1 m 171

172 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ Η Κινητική ενέργεια: Από τον ορισμό της είναι μέγεθος μονόμετρο. Επειδή η ταχύτητα αναφέρεται σε δεδομένο σύστημα αναφοράς και η κινητική ενέργεια θα αναφέρεται σε δεδομένο σύστημα αναφοράς: Έτσι π.χ. ο επιβάτης Β δεν έχει κινητική ενέργεια ως προς τον παρατηρητή Α, έχει όμως ως προς τον ακίνητο παρατηρητή Γ. Η τιμή της Κ αναφέρεται σε δεδομένη χρονική στιγμή. Επειδή Κ=1/ m υ είναι Κ=0 μόνο όταν υ=0 (τα ακίνητα σώματα δεν έχουν κινητική ενέργεια). Επειδή Κ=1/ m υ και m>0, υ είναι Κ0 δηλαδή : Η κινητική ενέργεια παίρνει θετικές τιμές πάντα. Είναι Κ= m (1/υ ). Έτσι άνυ=σταθερή, η Κ είναι ανάλογη της μάζας. Άρα το διάγραμμα κινητικής ενέργειας μάζας είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Είναι Κ=(1/ m)υ. Αν m σταθερό, η σχέση είναι δεύτερου βαθμού ως προς υ άρα το διάγραμμα κινητικής ενέργειας ταχύτητας είναι παραβολή. Στον ορισμό της κινητικής ενέργειας μας ενδιαφέρει μόνο το μέτρο υ της ταχύτητας και όχι η κατεύθυνσή της. Για παράδειγμα στην ομαλή κυκλική κίνηση η ταχύτητα συνέχεια αλλάζει επειδή αλλάζει η κατεύθυνσή της. Όμως το μέτρο υ = σταθερό άρα και η κινητική ενέργεια Κ= ½ mυ = σταθερή. 17

173 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Σώμα μάζας m = 5 kg κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ 0 = 4 m/s. Τη στιγμή t 0 = 0 δέχεται σταθερή δύναμη F ομόρροπη της υ 0, μέτρου 0Ν. Να βρείτε: α) Την αρχική κινητική του ενέργεια Κ 0. β) Τις κινητικές του ενέργειες Κ 1, Κ τις στιγμές t=sec, t = 9sec αντίστοιχα. γ) τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας μεταξύ των στιγμών t 0, t 1 και t 0, t. (Απ. K o =40J, K 1 =360J, K =4000J, ΔK=30J, ΔΚ =3960J ). Σώμα μάζας kg βάλλεται κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα υ 0 = 40 m/sec. Να βρείτε: α) Την αρχική του κινητική ενέργεια κα τις κινητικές του ενέργειες τις στιγμές t 1 = 1 sec, t = 4 sec και t 3 = 6 sec. β) Τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας μεταξύ των στιγμών t 1 και t καθώς και μεταξύ t, και t 3 Δίνεται g=10 m/sec (Απ. Κ ο =1600J, K 1 =900J, K =0, K 3 =400J, ΔΚ=-900J, ΔΚ =400J ) 3. Αυτοκίνητο μάζας m= 1000kg κινείται με ταχύτητα υ 0 = 0 m/s.κάποια στιγμή ο οδηγός φρενάρει. Βρείτε το μέτρο της ταχύτητάς του όταν η κινητική του ενέργεια έχει μειωθεί κατά 50%; [Απ. 10 m/s] 4. Ένα σύστημα τριών σωμάτων με μάζες m 1 = 1kg, m = 4kg m 3 =10kg έχουν αντίστοιχα ταχύτητες υ 1 = 3 m/sec, υ = 5 m/sec και υ 3 = m/sec. Να βρείτε την κινητική ενέργεια του συστήματος τους [Απ. 74,5J] 173

174 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας Δυναμική Ενέργεια Στα προηγούμενα μιλήσαμε για την κινητική ενέργεια. Κάθε σώμα λόγω της κίνησής του, έχει την ικανότητα να μεταδώσει κίνηση και να εκτελέσει έργο. Για παράδειγμα καθώς καρφώνουμε, το σφυρί λίγο προτού συναντήσει την πρόκα έχει κινητική ενέργεια. Όταν συναντά την πρόκα της ασκεί δύναμη, αλλάζει την ταχύτητά της που σημαίνει ότι της μεταδίδει ενέργεια. Μια άλλη μορφή ενέργειας διαφορετική από την κινητική είναι η δυναμική. Την ενέργεια αυτή έχει ένα σώμα λόγω της θέσης που βρίσκεται ή λόγω της κατάστασής του. Ας δούμε μερικά παραδείγματα. Στο (σχ. α) η σιδερένια μπίλια Μ είναι ακίνητη με το νήμα κατακόρυφο. Η μπίλια σ αυτή τη θέση δεν έχει καμία δυνατότητα να ασκήσει δύναμη στο σώμα Σ και να κινήσει. (α) (β) α. Στο σχήμα (α) η μπίλια είναι ακίνητη στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με το σώμα. Προφανώς δεν έχει κινητική ενέργεια. Αν όμως την αφήσουμε από κάποιο ύψος να πέσει στο σώμα, θα προκαλέσει στο σώμα μια παραμόρφωση ή θα το μετακινήσει. Επομένως η μπάλα λόγω της θέσης που βρισκόταν στο σχήμα (β) έχει δυναμική ενέργεια. β. Στο (σχ.α) το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος με το σώμα Σ δεμένο στο άκρο του. Το σύστημα ελατήριο μπίλια στην κατάσταση που βρίσκεται δεν έχει τη δυνατότητα να ασκήσει δύναμη στη μπίλια Μ και να την κινήσει. Στο (σχ.β) το σύστημα ελατήριο σώμα Σ βρίσκεται σε μια νέα κατάσταση. Το ελατήριο έχει συσπειρωθεί κατά x και το σώμα Σ είναιακίνητο. Το σύστημα και πάλι δεν έχει κινητική ενέργεια. Λόγω όμως της κατάστασης που βρίσκεται έχει αποκτήσει μια δυνατότητα. Αν το Σ αφεθεί ελεύθερο θα κινηθεί, θα χτυπήσει, την μπίλια Μ και θα την θέσει σε κίνηση. Θα ασκήσει δηλ. Δύναμη και θα εκτελέσει έργο. Συνεπώς το παραμορφωμένο ελατήριο και το σώμα Σ περικλείουν ενέργεια λόγω της κατάστασης που βρίσκονται. Η ενέργεια αυτή λέγεται επίσης δυναμική ενέργεια. Ειδικότερα επειδή οφείλεται στην ελαστική παραμόρφωση του ελατηρίου, λέγεται ελαστική δυναμική ενέργεια. x (β) M (α) 174

175 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας Πιο γενικά η δυναμική ενέργεια. i. Ποτέ δεν εμφανίζεται σε ένα μεμονωμένο σώμα. ii. Εμφανίζεται μεταξύ σωμάτων η συστήματος σωμάτων με την προϋπόθεση ότι. αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Αν δεν υπάρχει αλληλεπίδραση δεν υπάρχει δυναμική ενέργεια. iii. Η δυναμική ενέργεια αναφέρεται στο σύστημα των σωμάτων και όχι σε κάθε σώμα χωριστά. iv. Σώμα μάζας m βρίσκεται ψηλότερα από το έδαφος. Σώμα και Γη αλληλεπιδρούν μέσω της βαρυτικής έλξης. Συνεπώς στο σύστημα τους έχει αποθηκευτεί βαρυτική δυναμική ενέργεια. Ομοίως έχει αποθηκευτεί βαρυτική δύναμη ενέργεια στο σύστημα Γη Σελήνη, Γη Ήλιος κτλ. Και γενικά στο σύστημα οποιονδήποτε μαζών που αλληλεπιδρούν. v. Κάθε ελαστικά παραμορφωμένο σώμα (που θεωρείται ως σύστημα μεγάλου πλήθους μορίων) περικλείει ελαστική δυναμική ενέργεια. Έχουμε ήδη αναφέρει το παράδειγμα του παραμορφωμένου ελατηρίου. Άλλα παραδείγματα: το ελαστικά παραμορφωμένο τόξο με το βέλος του. Μόλις αφεθεί ελεύθερο το βέλος εκτοξεύεται. Η τεντωμένη σφεντόνα και η πέτρα. vi. Σε ένα σύστημα δύο ηλεκτρικών φορτίων που βρίσκονται σε μικρή απόσταση ώστε να αλληλεπιδρούν αποθηκεύεται ηλεκτρική δυναμική ενέργεια. Γενικά η δυναμική ενέργεια με τις διάφορες μορφές της εμφανίζεται από το μακρόκοσμο ως το μικρόκοσμο από τα ουράνια σώματα, το νερό της βροχής το βράχο στην πλαγιά του βουνού αλλά και σε όλα τα μόρια των υλικών σωμάτων. Θα υπολογίσουμε τη σχέση ανάμεσα στο έργο μιας διατηρητικής δύναμης και τη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας. - Όταν ένα αντικείμενο ανυψώνεται, η δυναμική του ενέργεια αυξάνεται, πράγμα που σημαίνει ότι η μεταβολή της είναι θετική, ενώ το έργο του βάρους είναι αρνητικό. Όταν ένα αντικείμενο κινείται προς το έδαφος, η δυναμική του ενέργεια ελαττώνεται, ενώ το έργο του βάρους είναι θετικό. - Όταν ένα ελατήριο συσπειρώνεται (ή επιμηκύνεται), η δυναμική του ενέργεια αυξάνει, ενώ το έργο της δύναμης του ελατηρίου είναι αρνητικό. - Όμοια ακριβώς ισχύει και για τη διατηρητική δύναμη Ηλεκτρικού Πεδίου. Άρα μπορούμε να πούμε ότι η μεταβολή της Δυναμικής Ενέργειας είναι αντίθετη από το έργο της διατηρητικής δύναμης που ασκείται και να γράψουμε, W F ή U U U 175

176 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας ΒΑΡΥΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ 13 Σώμα μάζας m βρίσκεται σε ύψος h πάνω από το έδαφος (μικρό σε σχέση με την ακτίνα της Γής). Να περιγράψετε τη δυναμική του ενέργεια 14 και να την υπολογίσετε. h m Απάντηση Λόγω της βαρυτικής έλξης στο σύστημα σώμα Γη αποθηκεύεται βαρυτική δυναμική ενέργεια (U β ). επειδή όμως το σώμα έχει ασήμαντη μάζα σε σχέση με τη Γη, οι μετακινήσεις του σώματος δεν επηρεάζουν την κίνηση της Γης γι αυτό: i. Θεωρούμε ακίνητο σύστημα αναφοράς συνδεδεμένο με τη Γη. ii. Λέμε ότι το σώμα βρίσκεται στο βαρυτικό πεδίο της Γης. iii. Συμφωνούμε να θεωρούμε όλη τη βαρυτική δυναμική ενέργεια του συστήματος σώμα Γη ως βαρυτική δυναμική ενέργεια του σώματος μάζας m. Η βαρυτική δυναμική ενέργεια της μάζας m ισούται με το έργο που δαπανήθηκε για τη μεταφορά της απο το έδαφος στο ύψος h. Για τούτο θεωρούμε ότι η μετακίνηση γίνεται αργά με σταθερή ταχύτητα υπό την επίδραση κατακόρυφης δύναμης F. Τότε η F θα είναι αντίθετη του βάρους, άρα κατά μέτρο. F = Β = m g (1) Συνεπώς: U β = W F = F h = (1) mgh. Δηλαδή: U β = mgh, Βαρυτική δυναμική ενέργεια 13 Η δυναμική ενέργεια είναι μια ιδιότητα δύο τουλάχιστον σωμάτων (συστήματος) και όχι του καθενός ξεχωριστά. 14 Μια σημειακή μάζα που βρίσκεται μέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης, (για μικρές αποστάσεις από την επιφάνεια της Γης, λόγω της θέσης μέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης), κατέχει βαρυτική δυναμική ενέργεια, 176

177 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας Παρατήρηση Έστω ότι το σώμα μάζας m μεταφέρεται από μια θέση (1) σε ύψος h 1, σε μια θέση () σε ύψος h. Η διαφορά στη δυναμική του ενέργεια είναι: (1) U 1 U = mgh. - mgh. = mg (h 1 h ) = mgh = W Β(1,) U 1 U = mg (h 1 h ) = mgh = W Β(1,) h h 1 () h Αν θεωρήσουμε ότι τα σώματα στη θέση () έχουν δυναμική ενέργεια μηδέν τότε U 1 =mgh=w ( 1 ). Το οριζόντιο επίπεδο στο οποίο U β = 0 το επιλέγουμε αυθαίρετα. Γιατί κατά τη λύση των προβλημάτων το σώμα μεταφέρεται από μια αρχική θέση (1) σε μια τελική θέση () οπότε εμφανίζονται πάντα διαφορές U 1 U της δυναμικής ενέργειας και όχι οι τιμές U 1, U χωριστά. Γι αυτό παίρνουμε ως επίπεδο αναφοράς μηδενικής δυναμικής ενέργειας οποιοδήποτε οριζόντιο επίπεδο μας εξυπηρετεί στο πρόβλημα.συνήθως παίρνουμε εκείνο που διέρχεται από την κατώτερη θέση του σώματος στο πρόβλημα. Από τη στιγμή που ορίζουμε το επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας, κάθε σώμα που βρίσκεται σ αυτό έχει U β = 0, όσα έιναι πάνω απ αυτό έχει U β > 0 και κάθε ένα που είναι κάτω απ αυτό έχει U β < 0. Έτσι π.χ. άν για το τελευταίο σχήμα είναι m=10kg, h 1 = 0 m = h τότε: U β(α) = mgh. 1 = J = 000J U β(γ) = mg 0 =0 U β(δ) = - mgh = J = -000J. h 1 A Γ U ΔΥΝ =0 Δ h 177

178 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας Ελαστική δυναμική ενέργεια (ελατηρίου) Με τι ισούται η ελαστική δυναμική ενέργεια ελατηρίου; Απάντηση Όταν ένα ελατήριο παραμορφώνεται με την επίδραση δύναμης F παράλληλης στον άξονά του, αποθηκεύεται σ αυτό ελαστική δυναμική ενέργεια ίση προς το έργο της F. Έχουμε βρει ήδη ότι, W F = 1/ Κ x. Επομένως: Ένα επιμηκυμένο ή συσπειρωμένο ελατήριο κατέχει δυναμική (ελαστική) U ενέργεια, πάντα θετική και ίση με, 1 kx Κινητική & Δυναμική Ενέργεια Στον μικρόκοσμο η Κινητική και η Δυναμική Ενέργεια αποτελούν τις θεμελιώδεις μορφές ενέργειας. Για παράδειγμα, Θερμική ενέργεια: είναι η κινητική ενέργεια που συνδέεται με την άτακτη κίνηση των δομικών λίθων. Χημική ενέργεια: είναι η δυναμική ενέργεια που σχετίζεται με τις δυνάμεις μεταξύ των μορίων ή των ατόμων. Η πυρηνική ενέργεια: είναι η δυναμική ενέργεια που οφείλεται στις δυνάμεις μεταξύ των νουκλεονίων, (πρωτονίων και νετρονίων), του πυρήνα. Συμπερασματικά όλες οι μορφές ενέργειας που μπορούμε να διακρίνουμε στο Σύμπαν ανάγεται σε Δυναμική ή σε Κινητική ενέργεια. Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε.) Έργο συνισταμένης δύναμης Όταν σε κινούμενο σώμα ασκούνται παραπάνω από μια δυνάμεις, κάθε μια από αυτές εκτελεί το έργο της ανεξάρτητα από τις άλλες. Το αλγεβρικό άθροισμα όλων των έργων λέγεται ολικό έργο W ολ και αποδεικνύεται ότι είναι ίσο με το έργο της συνισταμένης των δυνάμεων. Το έργο λοιπόν συστήματος δυνάμεων κατά μια μετατόπιση Δx είναι ίσο με το έργο της συνισταμένης τους για την ίδια μετατόπιση. Το Θεώρημα της Κινητικής Ενέργειας Θεωρούμε ένα αντικείμενο μάζας m. Ας υποθέσουμε ότι σε κάποια χρονική στιγμή, που τη θεωρούμε αρχή των χρόνων, η ταχύτητά του είναι υ ο και 178

179 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας ότι από τη στιγμή εκείνη η ασκούμενη σ' αυτό (συνισταμένη) δύναμη F έχει την κατεύθυνση της ταχύτητας και παραμένει σταθερή. Ισχύει: 1 x t t tt x x x 1 W Fx F m W x mx W 1 m 1 m Όμως, Αν σε ένα σώμα ασκούνται οι εξωτερικές δυνάμεις F 1,F,,F v και το σώμα μετατοπίζεται κατά διάστημα S, τότε η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος δίνεται από τη σχέση: ΔΕ ΚΙΝ =ΣWF ΕΞ Τι λέμε ολικό έργο δύο η περισσοτέρων δυνάμεων που ασκούνται σ ένα σώμα; Τι σχέση έχει το έργο αυτό με το έργο της συνισταμένης τους; Απάντηση Ένα σώμα κινείται με την επίδραση δύο ή περισσοτέρων δυνάμεων. Τότε κάθε δύναμη εκτελεί το έργο της ανεξάρτητα από τις άλλες. Ονομάζουμε ολικό έργο (W ολ ) των δυνάμεων που ασκούνται σ ένα κινούμενο σώμα, το αλγεβρικό άθροισμα των έργων όλων των δυνάμεων. Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις F 1, F,.F ν το ολικό τους έργο θα είναι W ολ = W F1 + W F + W Fν (τα θετικά έργα με + και τα αρνητικά με -) Αποδεικνύεται ότι: Το ολικό έργο δύο η περισσοτέρων δυνάμεων, ισούται με το έργο της συνισταμένης τους. Επομένως έχουμε δύο τρόπους για να βρούμε το W ολ : α. να βρούμε χωριστά το έργο κάθε δύναμης και να προσθέσουμε αλγεβρικά β. να βρούμε πρώτα τη συνισταμένη του και μετά το έργο της. Προφανώς το ολικό έργο και στις δύο περιπτώσεις θα είναι το ίδιο. Να διατυπώσετε το θεώρημα κινητικής ενέργειας (ΘΚΕ) Απάντηση Έστω ότι ένα σώμα έχει τη στιγμή t 1 κινητική ενέργειαk 1 και τη στιγμή t κινητική ενέργεια K. Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας είναι Κ - Κ

180 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας Σε κάθε μετατόπιση ενός σώματος, το ολικό έργο των δυνάμεων που του ασκήθηκαν ισούται με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος. Έτσι αν στο σώμα ασκούναι οι δυνάμεις F 1, F,.., F ν έχουμε: Κ - Κ 1 = W ολ = W 1 + W W ν Η πρόταση χαρακτηρίζεται ως θεώρημα γιατί δεν αποτελεί κάποιον ξεχωριστό νόμο της Φυσικής, αλλά προκύπτει από τον θεμελιώδη νόμο της δυναμικής. Το Θ.Μ.Κ.Ε. ισχύει για οποιεσδήποτε δυνάμεις (σταθερές ή όχι, διατηρητικές ή όχι). Είναι πολύ χρήσιμο γιατί μ αυτό λύνονται εύκολα πολλά προβλήματα κίνησης. Θεώρημα διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας (Θ.Δ.Ε. ΜΗΧ. ) Ένα σώμα εκτελεί ελεύθερη πτώση από ύψος Η. Να αποδείξετε ότι σε κάθε σημείο της τροχιάς του το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας είναι σταθερό. Τι ονομάζουμε μηχανική ενέργεια; A m Γ H h U=0 Απάντηση Το σώμα αφήνεται να εκτελέσει ελεύθερη πτώση από ένα σημείο Α σε ύψος Η. Στο Α έχει ταχύτητα μηδέν άρα κινητική ενέργεια Κ = 0. Έτσι στο Α: Κ + U = 0+mgΗ = mgη (1) Σε ένα σώμα Γ της τροχιάς που βρίσκεται σε ύψος h από το έδαφος είναι: Κ + U = 1/mυ + mgh () Αλλά υ= gt και (ΑΓ) = Η-h = 1/ gt t = (Η-h)/ g. Άρα από (): Κ + U = 1/mg t - mgh = 1/ mg *(Η-h)/g + mgh = mgη mgh + mgh = mgη οπότε λόγω και της (1) συμπεραίνουμε ότι κάθε στιγμή κατά την πτώση του σώματος είναι Κ + U = mgη = σταθερό (3) 180

181 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας Ονομάζουμε μηχανική ενέργεια (Ε Μ ) ενός σώματος η συστήματος σωμάτων, το άθροισμα της κινητικής και δυναμικής του ενέργειας: Ε = Κ + U Μηχανική ενέργεια Από την (3) καταλήγουμε στο συμπέρασμα: Αν ένα σώμα κινείται μόνο με την επίδραση του βάρους του, η μηχανική του ενέργεια παραμένει σταθερή. Σώμα μάζας m μετακινείται κοντά στην επιφάνεια της Γης ώστε το ύψος του να μεταβάλλεται. Να συγκρίνετε: α. τη διαφορά: αρχική δυναμική ενέργεια μείον h τελική δυναμική ενέργεια με το έργο του βάρους. 3 3Γ β. τη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας με το h 1 1 A έργο του βάρους h γ.τη μεταβολή της δυναμικής με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας Απάντηση Το σώμα π.χ. κατεβαίνει από τη θέση (1) σε ύψος h 1, στη θέση () σε ύψος h και ύστερα ανεβαίνει στη θέση (3) σε ύψος h 3. Δυναμικές ενέργειες: U 1 = mgh 1, U = mgh, U 3 = mgh 3. α. U 1 U = mg (h 1 h ) και W Β = mg (h 1 h ) άρα U 1 U = W Β. Ομοίως όταν ανεβαίνει U U 3 = mg (h h 3 )<0 και W Β = mg (h h 3 ) <0 άρα U 1 U = W Β πάλι. Η διαφορά αρχική δυναμική ενέργεια μείον τελική δυναμική ενέργεια ισούται με το έργο του βάρους. U 1 U = W Β (1) β. όπως ξέρουμε μεταβολή μεγέθους = (τελική τιμή) (αρχική τιμή). Άρα : μεταβολή δυναμικής ενέργειας : ΔU = U 1 U = - (U 1 U ) = (1) - W Β. Η μεταβολή της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας είναι αντίθετη από το έργο του βάρους: U U 1 = - W Β () Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι ενώ η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ισούται με το έργο (Κ Κ 1 = W από Θ.Μ.Κ.Ε.), η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας είναι αντίθετη του έργου [λόγω της () ] γ. κατά τη μετακίνηση του σώματος π.χ. από τη θέση (1) στη θέση () είναι: ΔΚ = Κ Κ 1 = W Β(1 ) και ΔU = U U 1 = - W Β(1,) δηλ. ΔU = - ΔΚ ή ΔΚ + ΔU = 0 Επομένως: Κατά τη μετακίνηση ενός σώματος στο βαρυτικό πεδίο της Γης, η μεταβολή της δυναμικής του ενέργειας είναι αντίθετη με τη μεταβολή της κινητικής του ενέργειας η ισοδύναμα οι μεταβολές δυναμικής και κινητικής ενέργειας έχουν άθροισμα μηδέν. Συνεπώς η δυναμική του ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική και αντίστροφα. 181

182 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΗ ΔΙΑΤΗΡΙΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Ποιές δυνάμεις λέγονται συντηρητικές η διατηρητικές. Να γράψετε παραδείγματα συντηρητικών δυνάμεων. A h Απάντηση Ένα σώμα μάζας m βρίσκεται σε ύψος h πάνω από το έδαφος σε ένα σημείο Α. Μετακινούμε το σώμα και αφού ακολουθήσει τυχαία διαδρομή επανέρχεται στο Α. Το έργο του βάρους κατά τη μετακίνηση αυτή είναι: W Β = mg [(αρχικό ύψος) (τελικό ύψος)] = mg (h h) = 0. Αφού το βάρος στην κλειστή διαδρομή δεν εκτελεί έργο η μηχανική ενέργεια του σώματος διατηρείται σταθερή γι αυτό το βάρος λέγεται διατηρητική δύναμη. Γενικά : Μια δύναμη λέγεται διατηρητική η συντηρητική, άν το έργο της σε κλειστή διαδρομή του σώματος είναι μηδέν. Συντηρητικές δυνάμεις, που θα συναντήσουμε είναι: i. Το βάρος (και γενικά η βαρυτική δύναμη όπως δίνεται από το νόμο της παγκόσμιας έλξης). ii. Δυνάμεις ελαστικών παραμορφώσεων (π.χ. ελατηρίων) iii. Ηλεκτροστατική δύναμη Coulomb. iv. Άνωση. Να γράψετε τις ιδιότητες των συντηρητικών δυνάμεων. Απάντηση i. Έστω ότι το σώμα μεταβαίνει από μια θέση Α σε μια θέση Γ και ύστερα πάλι από τη Γ στην Α από την ίδια διαδρομή. Αν του ασκείται μια συντηρητική δύναμη F τότε για το έργο της : W ΑΓΑ, = 0 W + W ΓΑ = 0 W ΑΓ = - + W ΓΑ άρα σε αντίθετες διαδρομές τα έργα είναι αντίθετα. A Γ ii. Έστω τώρα ότι εκτελεί την κλειστή διαδρομή ΑΜΓΝΑ. Αφού F συντηρητική είναι W ΑΜΓΝΑ = 0 W ΑΜΓ + W ΓΝΑ = 0 W ΑΓΜ = - W ΓΝΑ W ΑΓΜ = W ΑΝΓ. Αυτό σημαίνει ότι το έργο της συντηρητικής δύναμης F κατά τη μεταφορά του σώματος από τη θέση Α στη Γ είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή του. Α Μ Ν Γ 18

183 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας iii. Για το έργο του βάρους βρήκαμε ότι: ΔU = - W Β. Η ιδιότητα αυτή ισχύει για κάθε συντηρητική δύναμη, δηλαδή ισχύει: Η μεταβολή ΔU της δυναμικής ενέργειας ενός σώματος η συστήματος που οφείλεται σε συντηρητικές δυνάμεις είναι αντίθετη από το έργο των συντηρητικών αυτών δυνάμεων: ΔU = - W Fσυντ. Ποιες δυνάμεις λέγονται μη συντηρητικές; Παραδείγματα τέτοιων δυνάμεων. Απάντηση Μια δύναμη λέγεται μη συντηρητική αν το έργο της σε κλειστή διαδρομή του σώματος στο οποίο ασκείται είναι διάφορο του μηδενός. Μη συντηρητική δύναμη είναι η τριβή. Έχουμε μάθει ότι το έργο της τριβής είναι αρνητικό. Επομένως το έργο της και σε κλειστή θα είναι αρνητικό, άρα διάφορο του μηδενός, που σημαίνει ότι είναι δύναμη μη συντηρητική. Μη συντηρητικές δυνάμεις είναι γενικά οι αντιστάσεις (αέρα, νερού και γενικά ρευστών), η δύναμη ενός κινητήρα, η δύναμη που ασκεί ένας άνθρωπος. Να διατυπώσετε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας Απάντηση Αν σ ένα σώμα ή σύστημα σωμάτων ασκούνται μόνο συντηρητικές δυνάμεις (ή ασκούνται και μη συντηρητικές που όμως εκτελούν μηδενικό έργο), τότε η μηχανική τους ενέργεια παραμένει σταθερή. Αρχή διατήρησης μηχανικής ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε) Έστω ένα κλειστό σύστημα στο οποίο ασκούνται μόνο συντηρητικές δυνάμεις τότε ισχύει, W W F U U ή F 1 U U1) ( U U 1 1 Άρα σε κάθε κλειστό σύστημα, στο οποίο ασκούνται μόνο συντηρητικές δυνάμεις και συμβαίνουν μετατροπές της δυναμικής σε κινητική ενέργεια και αντίστροφα, η μηχανική ενέργεια του συστήματος (δηλαδή το άθροισμα κινητικής και δυναμικής ενέργειας) διατηρείται σταθερή. Δηλαδή: Ε ΜΗΧ(1) =Ε ΜΗΧ() = Κ 1 +U 1 =K +U Προσοχή:H μηχανική ενέργεια ΔΕΝ διατηρείται στις περιπτώσεις στις οποίες στο σώμα ασκείται μια μη συντηρητική δύναμη, (Τριβή ολίσθησης, Αντίσταση αέρα κ.λπ.). Θα πρέπει να προσεχθεί ότι η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε) δεν έχει γενική ισχύ αλλά εφαρμόζεται μόνο στην περίπτωση που έχουμε μόνο 183

184 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας συντηρητικές δυνάμεις. Ωστόσο όπου εφαρμόζεται δίνει πολύ σύντομες και όμορφες λύσεις γι αυτό την προτιμούμε από τους νόμους του Νεύτωνα. Με τι ισούται η μεταβολή της μηχανικής ενέργειας ενός σώματος η συστήματος σωμάτων; Απάντηση Από το Θ.Μ.Κ.Ε. έχουμε ΔΚ = W ολ = W συντ + W μησυντ. Ξέρουμε όμως ότι ΔU = W συντ άρα ΔΚ = - ΔU + W μησυντ ΔΚ + ΔU = W μησυντ ΔΕ ΜΗΧ = W μησυντ. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι Η μεταβολή της μηχανικής ενέργειας ενός σώματος η συστήματος σωμάτων ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των έργων, όλων των μη συντηρητικών δυνάμεων που του ασκούνται: ΔΕ ΜΗΧ = W μησυντ Απόδοση Ισχύς Γενικά Πρόκειται να μεταφέρουμε 100kg άμμο από το έδαφος σε ένα ύψωμα 50m. Άρα πρέπει να δαπανήσουμε έργο W= mgh = j = 50000j. Μια μηχανή ανεβάζει την άμμο σε λίγα λεπτά ενώ ένας άνθρωπος σε αρκετές ώρες. Παρατηρούμε ότι το έργο είναι ίδιο αλλά παράγεται σε διαφορετικούς χρόνους. Χρειάζεται λοιπόν να ορίσουμε ένα μέγεθος που να μας πληροφορεί πόσο γρήγορα παράγεται η δαπανάται ένα έργο ή πόσο γρήγορα παράγεται η δαπανάται μια ενέργεια. Το μέγεθος αυτό λέγεται ισχύς (Power) Ένα μέγεθος που μπορεί να βαθμολογήσει τις δυνατότητες μιας μηχανής είναι η ισχύς, το πηλίκο δηλαδή της μεταβιβαζόμενης ενέργειας προς το χρόνο στον οποίο μεταβιβάστηκε. Το ποσό της μεταβιβαζόμενης ενέργειας, εκφράζεται μέσω του έργου. Ορίζουμε την ισχύ (Ρ) και ως το πηλίκο αυτού του έργου (W) προς το χρόνο (t) στον οποίο εκτελέστηκε. Ισχύς: P = ΔW Δt - Η Ισχύς εκφράζει το ρυθμό με τον οποίο αφαιρείται ή προσφέρεται ενέργεια. - Ο παραπάνω ορισμός ισχύει εφόσον η ενέργεια μεταβιβάζεται με σταθερό ρυθμό. - Μονάδα Ισχύος είναι το 1 Watt που είναι η ισχύς που αντιστοιχεί σε 1 Joule ανά δευτερόλεπτο, (1 W=1 J/s). Την ισχύ που μας δίνει μια μηχανή καθώς λειτουργεί τη χαρακτηρίζουμε ωφέλιμη (Ρ ωφ ), ενώ την ισχύ με την οποία την τροφοδοτούμε τη λέμε 184

185 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας καταναλισκόμενη (Ρ κατ ). εξής λόγο, Συντελεστή απόδοσης μια μηχανής ονομάζουμε τον Aπόδοση = Ρ ωφέλιμη x 100% Ρ απορροφούμενη Ο συντελεστής απόδοσης μιας μηχανής είναι ένας αριθμός πάντα μικρότερος από τη μονάδα και εκφράζει την ποιότητα της μηχανής από την άποψη της εκμετάλλευσης της προσφερόμενης ενέργειας. Να ορίσετε τη μέση και τη στιγμιαία ισχύ. Ποιά η μονάδα στο S.I. και ποιά πολλαπλάσια της χρησιμοποιούμε; Απάντηση Έστω ότι μια δύναμη εκτελεί έργο ΔW σε χρόνο Δt. Ονομάζουμε μέση ισχύ (Ρ) της δύναμης το φυσικό μέγεθος που ισούται με το πηλίκο του έργου ΔW προς το χρόνο Δt: Ρ = ΔW/ Δt Μέση ισχύς (1) Η ισχύς μπορεί να αναφέρεται τόσο στη δύναμη όσο και στο αίτιο της δύναμης. Λέμε για παράδειγμα, η ισχύς μιας μηχανής, η ισχύς μιας υδατόπτωσης. Αν είναι ΔΕ = ΔW η ενέργεια που παράγεται η καταναλώνεται από τη δύναμη στο χρόνο Δt τότε: Ρ = ΔΕ / Δt () Μέση ισχύς είναι ο μέσος ρυθμός μεταβολής του έργου. Όταν η δύναμη δεν παράγει έργο με σταθερό ρυθμό, τότε μας ενδιαφέρει η ισχύς σε κάποια συγκεκριμένη στιγμή t. Γι αυτό θεωρούμε πολύ μικρή χρονική διάρκεια Δt που περιέχει την t. Γι αυτό θεωρούμε πολύ μικρή χρονική διάρκεια Δt που περιέχει την t και τότε: Ρ = ΔW/ Δt, Δt πολύ μικρό Στιγμιαία ισχύς (3) Επειδή Δt πού μικρό μπορούμε να θεωρήσουμε ότι αντιστοιχεί στη στιγμή t και θέτοντας ΔW = W μπορούμε να γράψουμε: Ρ = W / t (4) Η μονάδα ισχύος στο S.I. ορίζεται από την (4) είναι ίση με 1j / sec και λέγεται βαt (1watt) συμβολισμός 1w. Συνεπώς: 1Watt = 1J/ sec Πολλαπλάσια του w είναι: 1kw = 10 3 w (κιλοβάτ) 1MW = 10 6 W (μεγαβάτ) 1HP = 745,7W (ίππος) Από την (4) παίρνουμε W = P * t. Αν θέσουμε Ρ=1kw και t = 1h παίρνουμε μια μεγάλη μονάδα ενέργειας που λέγεται κιλοβατώρα 1 kwh (μετράμε την ενέργεια ηλεκτρικού ρεύματος). Προφανώς 1 kwh = 1000 w * 3600 sec άρα 1 kwh = J 185

186 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας Αν η δύναμη F είναι σταθερή και η υ σταθερή, η ισχύς της F είναι Ρ F = W F / Δt = F * ΔX* συνφ// Δt = F * ΔΧ/ Δt * συνφ άρα Ρ F = F * υ * συνφ (5). Άν φ = 0 τότε Ρ F = F * υ (6) Τύποι που δίνουν τόσο τη μέση όσο και τη στιγμιαία ισχύ. Αν όμως η F ή η ταχύτητα δεν είναι σταθερά, τότε οι τύποι (5), (6) δίνουν μόνο τη στιγμιαία ισχύ. ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ Δυναμική ενέργεια δεν μπορεί να οριστεί σε ένα μεμονωμένο σώμα. Δυναμική ενέργεια μπορεί να οριστεί μόνο σε σύστημα δύο ή περισσοτέρων σωμάτων και υπάρχει μόνο εφ όσον αυτά αλληλεπιδρούν μέσω δύναμης. Αν τα σώματα δεν αλληλεπιδρούν δεν υπάρχει στο σύστημά τους δυναμική ενέργεια. Οι διατηρητικές δυνάμεις δεν μπορούν να μεταβάλουν την ολική ενέργεια του συστήματος, η μηχανική του ενέργεια διατηρείται άρα μπορούμε να εφαρμόζουμε την Α.Δ.Μ.Ε. για τη λύση προβλημάτων. Ένα σύστημα λέγεται μονωμένο όταν δεν ανταλλάσει ενέργεια με το περιβάλλον (ούτε παίρνει ούτε δίνει). Σε κάθε μονωμένο σύστημα η ολική του ενέργεια διατηρείται σταθερή. Αυτό αποτελεί την αρχή διατήρησης της ενέργειας (Α.Δ.Ε). i. Η Α.Δ.Ε. έχει γενική ισχύ ( και προφανώς ισχύει για τα έργα όλων των δυνάμεων). ii. Το Θ.Μ.Κ.Ε. έχει γενική ισχύ αφού εκφράζει την Α.Δ.Ε. iii. Η Α.Δ.Μ.Ε. δεν έχει γενική ισχύ γιατί ισχύει μόνο για συντηρητικές δυνάμεις. Η δυναμική ενέργεια εμφανίζεται με πολλές μορφές π.χ. βαρυτική δυναμική ενέργεια, ελαστική δυναμική ενέργεια, ηλεκτρική δυναμική ενέργεια. Εφ όσον δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης σε κάθε περίπτωση λέμε απλά: δυναμική ενέργεια. Με τη χρήση της ενέργειας πολλά προβλήματα λύνονται πολύ πιο εύκολα από ότι με τους νόμους του Νεύτωνα ενώ άλλα λύνονται μόνο μέσω ενέργειας. Ο ανθρώπινος οργανισμός αποτελεί ένα μετατροπέα ενέργειας και ταυτόχρονα αποθήκη ενέργειας. Οποιαδήποτε δραστηριότητα του ανθρώπου απαιτεί δαπάνη ενέργειας που προέρχεται από τη χημική ενέργεια των τροφών. Υπενθυμίζουμε ότι υπάρχουν δύο μόνο τρόποι αλληλεπίδρασης των σωμάτων: μέσω δυνάμεων και μέσω ενέργειας. 186

187 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας Ρυθμός μεταβολής της ενέργειας είναι η ισχύς: Ρ = ΔΕ/ Δt και ομοίως ο ρυθμός μεταβολής έργου. Προσοχή : Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας υπολογίζεται από το Θ.Μ.Κ.Ε. ως εξής: Κ τελ Κ αρχ = W Fολ ΔΚ = W Fολ Διαιρούμε με Δt: ΔΚ/ Δt = W Fολ / Δt = F ολ ΔΧ/Δt = F ολ υ (όπου F ολ, x ομόρροπα αλλιώς ΔΚ/ Δt = F ολ υ 0 συνθ). Αν φ+θ = 90 0 τότε ημφ = συνθ και συνφ = ημθ Αν φ+θ = τότε ημφ = ημθ και συνφ= - συνθ Είναι ημ(-φ) = -ημφ, συ(-φ) = συνφ Δεν είναι υποχρεωτικό να συμβολίζουμε τη μετατόπιση με x. Μπορεί να τη συμβολίζουμε και με s, h κτλ. Θυμίζουμε ότι για τις τιμές μεγέθους ορίζουμε: i. Μεταβολή = (τελική τιμή) (αρχική τιμή) ii. Διαφορά = (αρχική τιμή) (τελική τιμή) Ποσοστό επι τοις εκατό (%). Έστω Χ το μέγεθος. Βρίσκουμε : i. Την αρχική τιμή Χ αρχ. ii. Την τελική τιμή Χ τελ και τη μεταβολή ΔΧ = Χ τελ Χ αρχ. Ύστερα λέμε : Για αρχική τιμή Χ αρχ η μεταβολή είναι ΔΧ 100 α; Χ αρχ α = ΔΧ 100 α= ΔΧ/ Χ αρχ 100% (1). Μπορείτε να εφαρμόζεται κατ ευθείαν τον τύπο (1). Π.χ. για κινητική ενέργεια: α= ΔΚ/ Κ αρχ 100% Αν το σώμα ανεβαίνει στο κεκλιμένο επίπεδο, το έργο του βάρους είναι: W Β = mg [(αρχικό ύψος) (τελικό ύψος)] = mg ( 0- h) = - mgh W Β = -mgh (άνοδος) και W Β = mgh (κάθοδος). Να προτιμάτε τους τύπους αυτούς από τον ορισμό του έργου W Β = Β * x * συνθ προφανώς από το σχήμα: h = s ημθ. Η θερμότητα λόγω τριβών ισούται με την απόλυτη τιμή του έργου των τριβών : Q = W T. 187

188 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΡΙΣΕΩΣ 1. Ποιά είναι η φυσική σημασία της έννοιας κινητική ενέργεια; Παράδειγμα Απάντηση Η φυσική σημασία στηρίζεται στην ανθρώπινη εμπειρία. Κάθε σώμα που κινείται κρύβει μια δυνατότητα : Να ασκήσει δύναμη και να εκτελέσει έργο. Για παράδειγμα το σφυρί λίγο πριν χτυπήσει την πρόκα έχει κινητική ενέργεια. Την έχει επειδή: i. Για να την αποκτήσει εκτελέσαμε έργο. Αρχικά ήταν ακίνητο. Ασκώντας σ αυτό δύναμη εκτελούμε έργο που ισούται με την κινητική ενέργεια που αποκτά. ii. Έχει τη δυνατότητα χτυπώντας την πρόκα ν ασκήσει δύναμη και να εκτελέσει έργο.. Πως μπορούμε να μετρήσουμε την κινητική ενέργεια ενός αντικειμένου; Απάντηση Με δύο τρόπους. α. συνδεόμενοι με το παρελθόν του. Αρκεί να μετρήσουμε το έργο που εκτελέστηκε για να την αποκτήσει β. συνδεόμενοι με το μέλλον του. Μετρώντας την ενέργεια που χρειάζεται να μεταβιβάσει για να ακινητοποιηθεί. 3. Να αιτιολογήσετε αν είναι σωστές η λάθος οι παρακάτω προτάσεις α) η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος ισούται με το άθροισμα των έργων που ασκούνται στο σώμα. β) το έργο της δύναμης ενός σώματος είναι W F = F * x * συνθ γ) Η Α.Δ.Μ.Ε. και το Θ.Κ.Ε ισχύουν για ένα μόνο σώμα δ) Αν μια δύναμη είναι μη διατηρητική, το έργο της σε κλειστή διαδρομή είναι θετικό. Απάντηση α) Λάθος: Τα έργα δεν ασκούνται. Οι δυνάμεις ασκούνται. Το σωστό:...των έργων των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα. β) Λάθος : Η δύναμη δεν ανήκει στο σώμα. Ασκείται στο σώμα. Το σωστό: το έργο της δύναμης που ασκείται σε σώμα... γ) Λάθος:Α.Δ.Μ.Ε. και Θ.Κ.Ε. ισχύουν και για μεμονωμένο σώμα αλλά και για σύστημα σωμάτων. δ) Λάθος: Μπορεί το έργο της να είναι αρνητικό. Γενικά είναι μη διατηρητική αν το έργο της σε κλειστή διαδρομή είναι διάφορο του μηδενός. 4. Ομοίως για τις ερωτήσεις α) Το βάρος είναι διατηρητική δύναμη β) Η δύναμη ελατηρίου (για ελαστική παραμόρφωση) είναι μη διατηρητική γ) Η τριβή είναι διατηρητική δ) Σώμα που επιβραδύνεται από ταχύτητα υ 0 σε ταχύτητα υ < υ 0 έχει κινητική ενέργεια Κ = - 1/ mυ 188

189 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας ε) Μια δύναμη είναι μηδέν αν το έργο της είναι μηδέν. Απάντηση α) Σωστό β) Λάθος. Οι δυνάμεις ελαστικών παραμορφώσεων είναι διατηρητικές γ) Λάθος. Είναι μη διατηρητική δ) Λάθος. Ποτέ η κινητική ενέργεια δεν είναι αρνητική ε) Λάθος θα πρέπει το έργο της σε κλειστή διαδρομή να είναι μηδέν. 5. Ομοίως για τις ερωτήσεις: α) Για το Θ.Κ.Ε. ισχύει Ε Κ(αρχ) - Ε Κ(τελ) = W ol β) Το Θ.Κ.Ε. δεν ισχύει για διατηρητικές δυνάμεις. γ) Όσα προβλήματα λύνονται με Α.Δ.Μ.Ε. λύνονται και με Θ.Κ.Ε. δ) Αν σ ένα σώμα είναι ΣF 0 η κινητική του ενέργεια αυξάνει. Απάντηση α) Λάθος. Θέλει Ε κ(τελ) Ε κ(αρχ) = W ολ β) Λάθος. Το Θ.Κ.Ε.ισχύει για όλα τα είδη δυνάμεων. γ) Σωστό σύμφωνα και με το β. δ) Λάθος. Γιατί π.χ. στην ομαλή κυκλική κίνηση: ΣF 0 αλλά Κ= 1/ mυ = στ 6. Ένα σώμα μάζας m αλλάζει κατεύθυνση κίνησης έτσι ώστε η ταχύτητά του από υ να γίνει υ. Πότε η κινητική του ενέργεια είναι μεγαλύτερη; Απάντηση: Είναι Κ 1 = 1/ mυ = 1/ m(-υ ) =Κ 7. Πότε το έργο μιας σταθερής δύναμης είναι αρνητικό; Απάντηση : Επειδή W F = F * x συνθ και είναι πάντα F > 0, x >0 πρέπει συνθ< 0 άρα 90 0 < θ Τα σώματα του σχήματος βρίσκονται στο ίδιο ύψος h έχουν μάζα m και μέτρο ταχύτητας υ. Ποιό από αυτά έχει μεγαλύτερη: α) κινητική β) βαρυτική δυναμική και γ) μηχανική ενέργεια; Απάντηση α) έχουν και τα τρία ίδια κινητική ενέργεια Κ 1 = 1/ mυ β) έχουν και τα τρία ίδια βαρυτική δυναμική ενέργεια U = mgh γ) έχουν και τα τρία ίδια μηχανική ενέργεια Ε ΜΗΧ = Κ + U = 1/ mυ + mgh υ m m υ m h υ U=0 9. Ποιές από τις παρακάτω λέξεις θεωρούνται σωστές; α) το έργο: παράγεται, καταναλώνεται, περιέχεται, μεταφέρεται 189

190 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας β) Η ενέργεια: παράγεται, καταναλώνεται, περιέχεται, μεταφέρεται, μετατρέπεται. Απάντηση α) το έργο παράγεται, καταναλώνεται (σωστά), δεν περιέχεται δε μεταφέρεται. β) όλα σωστά. 10. Σ ένα σώμα που μετατοπίζεται κατά 0m ασκούνται δύο δυνάμεις F 1 =10N και F =100N. Επιλέξτε τη σωστή ή τις σωστές απαντήσεις. α) Το έργο της F είναι δεκαπλάσιο από το έργο της F 1 β) Το έργο της F είναι μεγαλύτερο από το έργο της F 1 γ) Υπάρχει περίπτωση και τα δύο έργα να είναι μηδέν δ) Δεν επαρκούν τα στοιχεία για σύγκριση των έργων. Απάντηση Το έργο δεν εξαρτάται μόνο από το μέτρο της δύναμης αλλά και από τη γωνία που σχηματίζει με τη μετατόπιση. Γι αυτό είναι σωστό το δ) ενώ είναι λάθος τα α), β). Επίσης και το γ) σωστό όταν και οι δύο δυνάμεις είναι κάθετες στη μετατόπιση. 11. Η τριβή αφαιρεί ενέργεια από το περιβάλλον και τη μεταβιβάζει στο σώμα. Απάντηση Λάθος : Συμβαίνει ακριβώς το αντίθετο. Η τριβή αφαιρεί ενέργεια από το σώμα και τη μεταβιβάζει στο περιβάλλον (ως θερμική ενέργεια). 1. Για το σχήμα έχουμε: W F = F * x * συν 5 0 (1) 5 ο x F Απάντηση Στον ορισμό του έργου W F = F * x* συνθ< 0 δεχόμαστε Ότι 0 θ Άρα δεν πρέπει να πάρουμε τη μορφή (1) αλλά τη () με θ= = παρ όλο που και με την (1) θα προκύψει σωστό αποτέλεσμα (συν 5 0 = συν135 0 ) 13. Το έργο και η ενέργεια αναφέρονται στο σώμα που ασκείται η δύναμη Απάντηση Λάθος : Το έργο αναφέρεται στη δύναμη αλλά όχι στο σώμα Η ενέργεια αναφέρεται στο σώμα αλλά όχι στη δύναμη. 14. Υπάρχει περίπτωση η μετατόπιση ενός σώματος να είναι μηδέν και όμως το έργο μιας δύναμης που ασκείται στο σώμα να μην είναι μηδέν; Απάντηση Ναι. Για παράδειγμα για μια κλειστή διαδρομή η μετατόπιση είναι μηδέν,αλλά το έργο της τριβής διάφορο του μηδενός. 190

191 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας 15. Το οριζόντιο επίπεδο U β = 0 είναι τυχαίο (επίπεδο αναφοράς βαρυτικής δυναμικής ενέργειας). Προσοχή. Το επίπεδο με U β =0 πάντα οριζόντιο. Απάντηση Σωστό : Εξυπηρετεί όμως να παίρνουμε οριζόντιο επίπεδο με U β = 0 εκείνο το οποίο διέρχεται από το κατώτερο σημείο που αναφέρεται στο πρόβλημα. 16. Σε ποιά προβλήματα (ενέργειας) δεν παίρνουμε υπ όψην μας τη βαρυτική δυναμική ενέργεια; Απάντηση Σε κείνα που το σώμα ή το σύστημα σωμάτων οι κινήσεις γίνονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Θεωρώντας U β = 0 για το επίπεδο αυτό η δυναμική ενέργεια θα είναι συνέχεια μηδέν. 17. Να αναφέρετε παραδείγματα στα οποία μιλάμε ή όχι για δυναμική ενέργεια βαρυτική ή ελαστική. Απάντηση i. Σώμα κινείται οριζόντια και δεν υπάρχει ελατήριο ούτε U β, ούτε U ελ ii. Σώμα κινείται οριζόντια και αλληλεπιδρά με ελατήριο. Υπάρχει U ελ, δεν υπάρχει U β iii. Σώμα κινείται σε κεκλιμένο και δεν υπάρχει ελατήριο. Έχουμε U β αλλά όχι U ελ iv. Σώμα κινείται σε κεκλιμένο επίπεδο και αλληλεπιδρά με ελατήριο. Υπάρχει και U β και U ελ. 18. Κατά τη λύση του προβλήματος είναι σωστή η έκφραση : εφαρμόζουμε Α.Δ.Μ.Ε. ; Απάντηση Όχι. Κάθε φορά εφαρμόζουμε Α.Δ.Μ.Ε. πρέπει να τονίζουμε για ποιό σώμα η σύστημα σωμάτων την εφαρμόζουμε. 19. Εξηγείστε γιατί το έργο σταθερής δύναμης ισούται με το έργο της προβολής της στη μετατόπιση. Απάντηση Αναλύουμε την F στις συνιστώσες F x πάνω στη διεύθυνση της μετατόπισης και στην κάθετη συνιστώσα F κ. Γνωρίζουμε ότι W Fκ =0 και W F = W Fx + W Fκ. Άρα W F = W Fx 0. Θυμίζουμε ότι: Το έργο μιας δύναμης ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των συνιστωσών της. 1. Κατά τη λύση προβλήματος είναι σωστή η φράση: εφαρμόζουμε Θ.Κ.Ε. ; Απάντηση Όχι. Κάθε φορά που εφαρμόζουμε Θ.Κ.Ε. πρέπει να τονίζουμε ποιά η αρχική και ποιά η τελική κατάσταση μεταξύ των οποίων το εφαρμόζουμε καθώς και για ποιό σώμα. 191

192 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας. Σώμα βάρους ανεβαίνει κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου μήκους x και γωνίας φ. Να υπολογίσετε με τρεις τρόπους το βάρος του. Απάντηση y Μετατόπιση ΑΓ = x. α) Αναλύουμε το βάρος στην παράλληλη συνιστώσα Β Χ προς τη μετατόπιση x και στην κάθετη Βy. Τότε W Β = W ΒΧ = - Β Χ * x = - Βημφ*x άρα W Β = - mgxημφ β)η γωνία του Β και της μετατόπισης x είναι ΒΣΓ = φ Από ορισμό έργου: W Β = Β Χ * x * συν (90 0 +φ) = mgx * (-ημφ) = mgxημφ [γιατί συν(90 0 +φ) = - ημφ] B x x N F Γh =h θ Β y B Α θ h 1 =0 γ) W Β = mg [(αρχικό ύψος) (τελικό ύψος)] = mg (0 h ) = -mgh. Αλλά h = (ΓΔ) = (ΑΓ) ημφ = χημφ άρα W Β = - mgxημφ 3. Πότε το έργο σταθερής δύναμης είναι μηδέν; Απάντηση α) όταν δε μετατοπίζεται το σώμα. Τότε x = 0 άρα W F = F * 0 * συνθ = 0 β) όταν η δύναμη είναι κάθετη στη μετατόπιση: W F = F * x * συν90 0 = 0 γ) Όταν η δύναμη είναι διατηρητική και η τροχιά του σώματος κλειστή 4. Σε ένα ιδανικό ελατήριο: α) ποιά είναι η κινητική ενέργεια β) ποιά η βαρυτική δυναμική ενέργεια (όταν είναι κατακόρυφο) και γ) ποιά η ελαστική δυναμική ενέργειά του; Απάντηση Ιδανικό λέμε το ελατήριο που έχει αμελητέα μάζα (m = 0) α) Αν το ελατήριο κινείται έχει Κ= 1/ m * υ = 1/ *0*υ = 0 β) Αν π.χ. συσπειρώνεται κατακόρυφα κατά h είναι U β = mgh = 0* g * h = 0 γ) Αν δεν είναι παραμορφωμένο (x=0) τότε U ελ = 1/ Κ* 0 = 0 Αν είναι παραμορφωμένο κατά x τότε U ελ = 1/ Κ x. Συμπέρασμα: Σ ένα ιδανικό ελατήριο (m=0) μπορεί να αποθηκευτεί ελαστική δυναμική ενέργεια U ελ = 1/ Κx αλλά δεν μπορεί να αποθηκευτεί ούτε κινητική ούτε βαρυτική δυναμική. Προσοχή όμως: Να μη γίνει σύγχυση ανάμεσα σ αυτή την περίπτωση και στην περίπτωση συστήματος: ελατήριο σώμα. Σε ποιά περίπτωση η ελαστική δυναμική ενέργεια ελατηρίου είναι αρνητική. Απάντηση Σε καμία. Επειδή U ελ = 1/ Κ* x και Κ> 0, x 0 είναι πάντα U ελ 0 και U ελ = 0 όταν δεν είναι παραμορφωμένο (x = 0) Άρα : Η ελαστική δυναμική ενέργεια ελατηρίου παίρνει πάντα μη αρνητικές τιμές, ανεξάρτητα αν επιμηκύνεται η συσπειρώνεται. 19

193 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΡΓΟΥ - ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 1. Στο σχήμα της άσκησης η μετατόπιση του σώματος είναι ΑΓ = x. Να βρείτε το έργο κάθε δύναμης αν δίνονται τα στοιχεία : F = 10 N, F 1 = 0N, B = 15N, N=3N, T=8N, X=100m, συνφ=4/5. N F 1 Τ φ F x Β (Απ. W F =1000J, W F1 =1600J, W N =0, W T =-800J, W B =0 ). Για το σχήμα της άσκησης δίνονται: F = 15 N, F 1 = 10N, F = 5Ν, F 3 =6Ν, φ=60 0, θ=30 0, x=0m, συν30 0 =0,86. Να βρείτε το έργο κάθε δύναμης. Οι F, F 3 έχουν κάθετες διευθύνσεις. F 1 φ θ F x F F 3 (Απ. W F =300J, W F1 =-17J, W F =-86, W F3 =60J ) 3. Το σώμα στο σχήμα της άσκησης έχει μάζα m = 0kg. Δίνονται : F=0Ν, F1 = 100Ν, F=40Ν, g=10m/sec, h=3m, ημφ=0,6 και συνφ=0,8. Να βρείτε το έργο των δυνάμεων F, F1, F, B, όταν το σώμα μετατοπίζεται από την κορυφή Α στη βάση Γ του κεκλιμένου επιπέδου. Η δύναμη F είναι οριζόντια. Δίνονται : συν(90+φ)=-ημφ, συν(90-φ)=ημφ και g=10 m/sec F F 1 F B (Απ. W F =-100J, W F1 =-300J, W F =160J, W B =600J) 193

194 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας 4. Το σώμα του σχήματος έχει μάζα 30kg και ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα. Βρείτε το έργο κάθε δύναμης που του ασκείται για μετατόπιση 1,m. Το g=10 m/sec [Απ. W F = 360J, W B = - 360J] F 5. Το σώμα της άσκησης κινείται οριζόντια. Δίνονται F1 = 10N, F = 80N, m=0kg, 3 = 1,7 και συν10 0 = - 0,5. Συντελεστής τριβής ολίσθησης μ=0,. Να σχεδιάσετε και τις άλλες δυνάμεις που του ασκούνται. Να βρείτε ύστερα το έργο κάθε μιας για μετατόπιση του σώματος κατά 10m. Ποιό το συνολικό έργο όλων των δυνάμεων; Μπορείτε να συμπεράνετε αν το σώμα επιταχύνεται η επιβραδύνεται; Το g=10 m/sec [Απ. WF1 = 600j WF = -400j, WB = WN = 0, WT = -740j Wολ = -540j επιβραδύνεται] υ 60 ο 60 ο F F 1 6. Το σώμα του σχήματος έχει μάζα 8kg και ανεβαίνει στο λείο κεκλιμένο επίπεδο. Δίνονται F = 500 N, F 1 = 100N, g=10 m/sec Να βρείτε τα έργα όλων των δυνάμεων που του ασκούνται για μετατόπιση 8 m (συν150 0 = -συν30 0 ) [Απ.. W F = 150j W F1 = -500j, W B = 00 3 j, W N = 0] υ F F 1 60 ο 194

195 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας ΕΡΓΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ 7. Στο σχήμα βλέπουμε δύο διαγράμματα δύναμης- μετατόπισης. Βρείτε το έργο της δύναμης για μετατόπιση 50m στο (α) και 30m στο (β) και η δύναμη έχει διεύθυνση της μετατόπισης. F(N) x F(N) x(m) 8. Σε σώμα που κινείται ευθύγραμμα ασκείται δύναμη που έχει τη διεύθυνση της μετατόπισης και της οποίας το μέτρο μεταβάλλεται με τη μετατόπιση σύμφωνα με την εξίσωση F=8-x. Να βρείτε: i. Σε ποιά θέση η δύναμη μηδενίζεται. ii. Το έργο της F για μετατόπιση 6m F(N) χ(m) 9. Σε σώμα που κινείται ευθύγραμμα ασκείται δύναμη που έχει διεύθυνση της μετατόπισης και η αλγεβρική της τιμή μεταβάλλεται με τη μετατόπιση ως εξής: F=8, 0 x 4 F=16-x, x>4 ( τα μεγέθη S.I) Να βρείτε το έργο δύναμης για μετατόπιση 1 m. [Απ. W F =3J] 10. Πρόκειται να σηκώσουμε κατακόρυφα με γερανό ένα τσουβάλι με άμμο μάζας 60kg. Αλλά το τσουβάλι είναι τρύπιο και η μάζα του μειώνεται με το ύψος σύμφωνα με την εξίσωση m=10y (S.I).Σε ποιό ύψος θα έχει αδειάσει το τσουβάλι; Πόσο το έργο της δύναμης του γερανού και πόσο το έργο του βάρους μέχρι τότε: [Απ. 6m, 1800J, -1800J] 195

196 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας 11. Σε σώμα που είναι ακίνητο στο οριζόντιο επίπεδο ασκείται δύναμη F μεταβλητού μέτρου αλλά σταθερής διεύθυνσης όπως στο σχήμα. Το σώμα αρχίζει να κινείται αμέσως και δέχεται τριβή που η τιμή της δίνεται από την εξίσωση Τ=80-5x. Σε ποιά θέση το σώμα θα εγκαταλείψει το έδαφος (αυτό θα συμβεί όταν Τ=0). Ποιό θα είναι μέχρι τότε το έργο της τριβής; Δίνεται g=10 m/sec T F ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (Θ.Μ.Κ.Ε) ή (Θ.Κ.Ε) Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των έργων, όλων των δυνάμεων που του ασκούνται. K K 1 = W ολ Κατά την εφαρμογή του Θ.Κ.Ε Πρέπει να ξεκαθαρίσουμε σε ποιό σώμα (ή σύστημα σωμάτων ) θα εφαρμόζουμε το θεώρημα. Ποια είναι η αρχική κατάσταση (1) και ποιά η τελική κατάσταση () Ποιές δυνάμεις ασκούνται στο σώμα και πόσο είναι το έργο κάθε μιάς. Εφαρμόζεται για όλα τα είδη των δυνάμεων: σταθερού μέτρου, μη σταθερού μέτρου, συντηρητικές, μη συντηρητικές. Είναι ένα θαυμάσιο εργαλείο για τη λύση προβλημάτων κίνησης στα οποία δεν εμφανίζεται ο χρόνος. W ολ είναι το έργο όλων των δυνάμεων. Το έργο όμως αυτό ισούται με το έργο της συνισταμένης τους. Επομένως: Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος ισούται με το έργο της συνισταμένης δύναμης. Άρα : Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος, ισούται με το έργο της συνισταμένης των δυνάμεων που του ασκούνται. 1. Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα σε οριζόντιο επίπεδο και κάποια στιγμή έχει ταχύτητα 10m/sec. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι 0,5. Με εφαρμογή του Θ.Κ.Ε. να βρείτε το διάστημα που θα διανύσει το σώμα, από τη στιγμή αυτή, μέχρι να σταματήσει. Το g=10 m/sec [Aπ. x=10m] 13. Ένα σώμα μάζας m= 3kg κινείται ευθύγραμμα σε οριζόντιο επίπεδο. Τη στιγμή t 0 =0 που το μέτρο της ταχύτητάς του είναι 410 m/s, του ασκείται οριζόντια δύναμη μέτρου 18Ν ομόρροπη της ταχύτητας. Όταν έχει διανύσει διάστημα 6m από την αρχική του θέση, έχει ταχύτητα μέτρου 8 m/s. Να βρείτε τον συντελεστή τριβής ολίσθησης με εφαρμογή του Θ.Κ.Ε. Το g=10 m/s 196

197 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας [Aπ. μ=0,] 14. Σώμα βάλλεται από τη βάση λείου κεκλιμένου επιπέδου κατά μήκος αυτού (προς τα πάνω) με ταχύτητα μέτρου 10m/sec. Το μήκος του επιπέδου είναι 3,6 και η γωνία του Να βρείτε με εφαρμογή του Θ.Κ.Ε. το μέτρο της ταχύτητας του, όταν φθάσει στην κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου. Το g=10 m/sec [Απ. υ=8m/s] 15. Σώμα βάλλεται από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου κατά μήκος αυτού (προς τα κάτω) με ταχύτητα 5m/sec. Το μήκος του επιπέδου είναι,75 m και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης σώματος επιπέδου είναι ο,5. Με εφαρμογή του Θ.Κ.Ε. να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας με την οποία θα φθάσει το σώμα στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Δίνονται g=10 m/s, ημφ=3/5, συνφ4/5. [Απ. υ =6m/s] 16. Ένα σώμα μάζας m=kg κινείται ευθύγραμμα σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα 5 m/s. Τη στιγμή t 0 =0 ασκείται σ αυτό σταθερή δύναμη F= 10Ν ομόρροπη της ταχύτητας. Να εφαρμόσετε το Θ.Κ.Ε και να βρείτε την ταχύτητα του, όταν έχει μετατοπισθεί κατά 0m από τη θέση που είχε τη στιγμή t 0 =0. [Απ. 15 m/s] 17. Ένα σώμα μάζας m=5kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγμή ενεργεί σ αυτό σταθερή οριζόντια δύναμη F που το μετατοπίζει κατά Δx 1 = 0 m. Στο τέλος της Δx 1 έχει αποκτήσει ταχύτητα μέτρου υ=10 m/s οπότε παύει να ενεργεί και η F. Στη συνέχεια το σώμα σταματάει αφού μετατοπισθεί ακόμη κατά Δx = 5m. Να βρείτε το μέτρο της δύναμης F και της τριβής Τ (Η άσκηση να λυθεί με Θ.Μ.Κ.Ε.) [Απ. Τ=50Ν, F=6,5N] 18. Σώμα μάζας 8kg ισορροπεί στη βάση λείου κεκλιμένου επιπέδου, μήκους 5m και γωνίας φ. Κάποια στιγμή ασκούνται ταυτόχρονα σ αυτό δύο δυνάμεις F 1, F. Η δύναμη F είναι οριζόντια με φορά προς το κεκλιμένο επίπεδο ενώ η F 1 είναι παράλληλη προς το κεκλιμένο επίπεδο με φορά προ τα πάνω. Αν είναι F=80N και F 1 = 3,Ν να βρείτε: i. Το έργο κάθε δύναμης που ασκείται στο σώμα μέχρι να φθάσει στην κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου. ii. Την ταχύτητα που θα έχει στην κορυφή του επιπέδου Δίνονται ημφ=3/5, συνφ=4/5, g=10 m/sec [Απ. 7 m/s] 19. Σώμα εκτοξεύεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με αρχική ταχύτητα υ 0 =10m/s.Tο σώμα επιβραδύνεται λόγω της τριβής ολίσθησης και τελικά σταματάει, αφού διανύσει διάστημα 50m. Να βρεθεί ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος και του επιπέδου. Δίνεται g=10m/s. 197

198 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας 0. Σώμα μάζας m=kg είναι αρχικά ακίνητο πάνω σε οριζόντιο δάπεδο. Σε κάποια στιγμή, αρχίζει να ασκείται στο σώμα οριζόντια δύναμη μέτρου F=0N. Μεταξύ του σώματος και του επιπέδου υπάρχει τριβή με συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,4. α)ποιο το έργο των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα για μετατόπιση Δχ=75cm; β)ποια η κινητική ενέργεια και ποιο το μέτρο της ταχύτητας του σώματος στο τέλος της μετατόπισης Δχ;Δίνεται g=10m/s. 1. Σώμα μάζας m=kg κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ 0 =10m/s και του ασκείται κάποια χρονική στιγμή δύναμη που έχει σταθερό μέτρο F=0N και σχηματίζει γωνία φ με την ταχύτητα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. φ F Aν ημφ=0,6, συνφ=0,8 και μ=0,5, να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος για μετατόπιση Δχ=4m από τη στιγμή που του ασκήθηκε η F.Δίνεται g=10m/s.. Στο σώμα του παρακάτω σχήματος δίνουμε αρχική ταχύτητα υ 0 =10m/s. Το σώμα διανύει την απόσταση ΑΓ=7,5m στο οριζόντιο επίπεδο και αρχίζει να ανεβαίνει στο κεκλιμένο επίπεδο με την ταχύτητα που απέκτησε στο Γ. υ 0 φ Α Γ Δίνονται : ημφ=0,6, συνφ=0,8,g=10m/s και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μ=0,5 και στα δύο επίπεδα. Να βρεθούν: α) Η ταχύτητα με την οποία φθάνει το σώμα στο Γ. β)το διάστημα που θα διανύσει το σώμα στο κεκλιμένο μέχρι να σταματήσει. [Απ. α) 5m/s, β)1,5m] 198

199 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας ΒΑΡΥΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Πρώτη μας δουλειά είναι να θέσουμε επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας:u β = 0 (επίπεδο αναφοράς). Σε απόσταση h από το επίπεδο αυτό είναι U β = mgh. Αντίθετα από την κινητική ενέργεια που παίρνει τιμές θετικές ή μηδέν, η βαρυτική δυναμική ενέργεια παίρνει τιμές θετικές ή μηδέν αλλά και αρνητικές. Έτσι π.χ. στο σχήμα για τις βαρυτικές ενέργειες των σωμάτων είναι : U β1 = mgh> 0, U β = 0, U β3 = - mgh 3 < 0 Στον τύπο U β = mgh, g είναι το μέτρο της επιτάχυνσης g, άρα g > 0 Αντίθετα θα είναι h > 0 όταν το σώμα βρίσκεται πάνω από το επίπεδο με U β = 0 και h < 0 όταν βρίσκεται κάτω απ αυτό. Ως προς το επίπεδο (Π) ένα σώμα που το φέρουμε στα σημεία (1), () έχει δυναμικές ενέργειες : U β1 = mgh 1, U β = mgh άρα η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας: ΔU β = U β - U β1 = mg (h h 1 ) = mgn (1) Ως προς το επίπεδο (Π ) έχουμε ομοίως: ΔU β = U β U β1 = mg [α + h ( α + h 1 )] = mg (h h 1 ) = mgn (). Από (1), () συμπεραίνουμε: (Π) h h h 1 α (Π ) Ενώ η δυναμική ενέργεια εξαρτάται από το επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας, οι μεταβολές (ΔU) της δυναμικής ενέργειας, ΔΕΝ εξαρτώνται από το επίπεδο αυτό. 3. Από την ταράτσα πολυκατοικίας ύψους 5m πετάμε κατακόρυφα προς τα πάνω μια πέτρα βάρους 00g. Η πέτρα φθάνει σε μέγιστο ύψος h 1 = 0 m πάνω στην ταράτσα και τελικά πέφτει σε έδαφος. Να βρείτε τη βαρυτική δυναμική ενέργεια της πέτρας: α) στο ανώτατο σημείο Α της τροχιάς της. β) όταν διέρχεται από το σημείο Γ, ακριβώς δίπλα από το σημείο εκτόξευσης και γ) στο έδαφος. Να πάρετε ως επίπεδο αναφοράς δυναμικής ενέργειας. i ) την ταράτσα ii) το έδαφος. δ) Παίρνοντας U β στο έδαφος να συγκρίνετε τη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας του σώματος ΔU με το έργο του βάρους κατά τη μετάβαση από το Ο στο Α. [Απ. U A =40J, U Γ =0, U Z =-50J, U A =90J, U Γ =50, U Z =0J, ΔU OA =-W B ] A υ ο Γ h 1 h Ζ 199

200 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια (Ε Μ ) ενός σώματος ή ενός συστήματος σωμάτων λέμε το άθροισμα της κινητικής (Κ) και της δυναμικής ενέργειας (U) Ε Μ = Κ + U Αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε.) Σε ένα αποκλεισμένο σύστημα σωμάτων (δηλ. Σύστημα που δεν ανταλλάσσει ενέργεια με το περιβάλλον) στο οποίο ασκούνται μόνο συντηρητικές δυνάμεις, η μηχανική ενέργεια παραμένει σταθερή. Με απλά λόγια:αν δεν υπάρχουν στην άσκηση τριβές, αντιστάσεις, δυνάμεις μηχανής η ζωικού παράγοντα θα εφαρμόζουμε την Α.Δ.Μ.Ε Όπου εφαρμόζεται η Α.Δ.Μ.Ε δίνει πολύ εύκολες και όμορφες λύσεις. Θυμίζουμε ότι κατά την εφαρμογή της Α.Δ.Μ.Ε παίρνουμε U β = 0 στο οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το κατώτερο σημείο του προβλήματος (συνήθως). Πολλές ασκήσεις που λύνονται με τους νόμους κινηματικής και του Νεύτωνα λύνονται πιο εύκολα με την ενέργεια. 4. Σώμα αφήνεται από ύψος h = 3,m. Να βρείτε με ποιά ταχύτητα θα φθάσει στο έδαφος. Αντιστάσεις αμελητέες και g=10 m/sec [Απ. υ=8m/s] 5. Από ύψος 45 m βάλλεται σώμα με ταχύτητα μέτρου 40 m/s. Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας όταν φθάσει στο έδαφος. α) Βάλλεται πλάγια προς τα πάνω και β) Βάλλεται οριζόντια. Αντιστάσεις αμελητέες και g=10 m/sec. Να συγκρίνετε τα δύο αποτελέσματα. [Aπ. υ=50m/s] 6. Ένα σώμα βάλλεται από τη βάση κεκλιμένου επιπέδου προς τα πάνω και παράλληλα σ αυτό με αρχική ταχύτητα 0 m/s. Αν το μήκος του επιπέδου είναι 17,5 m να βρείτε με ποιά ταχύτητα θα φθάσει στην κορυφή του. Τριβές αντιστάσεις αμελητέες g=10 m/sec και η γωνία του κεκλιμένου επιπέδου [Aπ. υ=15m/s] 7. Να βρείτε το ελάχιστο ύψος h από το οποίο πρέπει να αφήσουμε το σώμα ώστε να εκτελέσει ανακύκλωση. Η ακτίνα της κυκλικής στεφάνης είναι R. Τριβές αμελητέες.. [Aπ. h=.5r ] Α Γ h R O R 00

201 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας 8. Ένα παιδί κάνει κούνια και το μήκος του σχοινιού είναι,5 m. Η μέγιστη γωνία που σχηματίζει το σχοινί με την κατακόρυφο είναι Να βρείτε την ταχύτητα που έχει το παιδί στοκατώτερο σημείο της τροχιάς του. Το g=10 m/sec. Αντιστάσεις αμελητέες. [Aπ. υ=5m/s] 9. Ημικυκλική στεφάνη είναι κρεμασμένη από τα άκρα της Κ, Λ έτσι ώστε η ευθεία ΚΛ να είναι οριζόντια. Από το άκρο της Κ αφήνεται να κινηθεί (χωρίς να κυλίεται) στο εσωτερικό της στεφάνης σώμα βάρους 0,5 Ν μικρών διαστάσεων. Να βρείτε τη δύναμη που ασκεί στη στεφάνη στο κατώτερο σημείο της. Τριβές αντιστάσεις αμελητέες. [Απ. F=3B] 30. Σώμα εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω από το έδαφος με αρχική ταχύτητα U 0 = 6 m/s. Με Α.Δ.Μ.Ε. να βρείτε το μέγιστο ύψος που θα φθάσει. Αντιστάσεις αμελητέες. Το g=10 m/sec [Απ. 1,8 m] 31. Σώμα βάλλεται από ύψος h=11,5m με ταχύτητα U 0 = 0 m/s. Να βρείτε με ποιά ταχύτητα θα φθάσει στο έδαφος όταν βάλλεται: α) κατακόρυφα προς τα πάνω και β) κατακόρυφα προς τα κάτω. Οι αντιστάσεις αμελητέες και g=10 m/s. [Απ. U = 5 m/s] 3. Από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου μήκους 4,9 m και γωνίας 30 0 αφήνεται ένα σώμα. Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας με την οποία θα φθάσει στη βάση στου επιπέδου. Τριβές αντιστάσεις αμελητέες και g=10 m/s [Απ. 7m/s] 33. Από ύψος Η = 50 m αφήνεται να εκτελέσει ελεύθερη πτώση ένα σώμα. Να βρείτε με Α.Δ.Μ.Ε. σε ποιό ύψος h πάνω στο έδαφος η ταχύτητά του θα είναι 30m/s. Το g=10 m/s [Απ.h = H U /g=5m] 34. Βλήμα μάζας 100gεκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω από το έδαφος με υ 0 =100m/s. Σε πόση απόσταση από το έδαφος: α. Η δυναμική ενέργεια είναι ίση με την κινητική σε αυτό το σημείο. β. Η δυναμική ενέργεια είναι ίση με την αρχική κινητική ενέργεια. Επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας το έδαφος.g=10 m/s [Απ. α.50m, β.500m] 01

202 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μας ενδιαφέρει μόνο η περίπτωση του ελατηρίου. α) δυναμική ενέργεια ελατηρίου Για τυχαία παραμόρφωση x (επιμήκυνση η συσπείρωση) είναι U ελ = 1/ Κx Είναι πάντα θετική η μηδέν όταν x=0 Από παραμόρφωση x 1 σε παραμόρφωση x η μεταβολή της ελαστικής δυναμικής ενέργειας: ΔU ελ = 1/ Κx - 1/ Κx 1 β) έργο εξωτερικής δύναμης σε ελατήριο (W Fεξ ) (είναι η εξωτερική δύναμη που παραμορφώνει το ελατήριο ) Για παραμόρφωση από x 1 σε x είναι: W Fεξ = 1/ Κx - 1/ Κx 1 = ΔU ελ γ) Έργο δύναμης ελατηρίου W Fελ είναι η δύναμη που ασκεί το ελατήριο στο σώμα (αίτιο) που του ασκεί την F εξ και το παραμορφώνει. Κάθε στιγμή F εξ, F ελ ως δράση αντίδραση είναι αντίθετες. Είναι : W Fελ = 1/ Κx 1-1/ Κx = -W Fεξ = U ελ1 U ελ Δηλαδή, Έργο δύναμης ελατηρίου = (αρχική δυναμική ενέργεια ) (τελική δυναμική ενέργεια) Η ισότητα είναι πολύ χρήσιμη για τον υπολογισμό του W Fελ (π.χ. κατά την εφαρμογή του Θ.Κ.Ε. σε ελατήριο). 35. Σώμα μάζας m= 1kg κινείται ευθύγραμμα σε οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα 10m/sec. Κάποια στιγμή συναντάει το ελεύθερο άκρο ενός ελατηρίου, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο. Ο άξονας του ελατηρίου συμπίπτει με την ευθεία κίνησης του σώματος. Αν η σταθερά του ελατηρίου είναι 400N/m να βρείτε τη μέγιστη συσπείρωσή του. Τριβές δεν υπάρχουν. [Απ. x=50cm] 36. Σε ένα όχημα είναι προσαρμοσμένο πυροβόλο όπλο και η συνολική τους μάζα είναι 900kg. Το όχημα είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ=10.000Ν/m το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Κάποια στιγμή ένα βλήμα μάζας 1kg βγαίνει από την κάνη του πυροβόλου με ταχύτητα 360m/sec. Αν ο άξονας του ελατηρίου και της κάνης συμπίπτουν, να βρείτε τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου. Τριβές αμελητέες. [Απ. x=-1cm] 0

203 Διατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας ΙΣΧΥΣ 37. Να υπολογίσετε, α) Μηχανή παράγει έργο 60000J σε 10sec. ποιά η ισχύς της; β) πόσο έργο παράγει μια δύναμη σε 1min αν η ισχύς της είναι 00W. γ) σε πόσο χρόνο ένα σεσουάρ ισχύος 600 W καταναλώνει ενέργεια 3000 J [Aπ. 6kW, 1kW, 5s] 38. Ένα αυτοκίνητο μάζας 000kg κινείται με σταθερή ταχύτητα υ=54κm/h σε ανηφορικό δρόμο γωνίας κλίσης φ. Η συνολική αντίσταση του αέρα και των τριβών είναι 300Ν. να βρείτε: Την ισχύ του κινητήρα. Το ημφ = 0,16 (περίπου κλίση 10%) και g=10 m/sec [Aπ. Ρ=5,5kW] 39. Το σώμα του σχήματος έχει μάζα m=kgκαι κινείται με σταθερή ταχύτητα 4m/s. φ F Αν F=0Nκαι φ=30 0 να βρείτε: α. τον συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ του δαπέδου και του σώματος. β. την ισχύ της Fκαι της τριβής. g=10 m/sec 3 [Απ., PF 40 3W, PT 40 3W ] 3 03

204 Διατήρηση της Ολικής Ενέργειας και Υποβάθμιση της Ενέργειας Κεφάλαιο 5 ο Διατήρηση της ολικής ενέργειας και υποβάθμιση της ενέργειας Εισαγωγή 1.Τρόποι θέρμανσης-ψύξης υλικών σωμάτων Με αγωγή θερμότητας:δύο σώματα διαφορετικής θερμοκρασίας βρίσκονται σε επαφή μεταξύ τους. Με μεταφορά:ένα ρευστό(αέριο ή υγρό) μεταφέρει ενέργεια υπό τη μορφή θερμότητας από σώμα υψηλότερης θερμοκρασίας προς σώμα χαμηλότερης. Με ακτινοβολία:όταν ενέργεια μεταφέρεται από ένα σώμα σε άλλο με ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία..γραμμική διαστολή σώματος Όταν τα υλικά σώματα θερμαίνονται διαστέλλονται. Η διαστολή ενός σώματος κατά τη μία διάστασή του ονομάζεται γραμμική διαστολή. Πειραματικά έχει βρεθεί ότι η διαστολή είναι ανάλογη της μεταβολής της θερμοκρασίας. 3.Αλλαγές φάσεων Το παρακάτω σχήμα δείχνει πως μεταβάλλεται η θερμοκρασία όταν προσφέρεται θερμότητα συνεχώς σε ένα κομμάτι πάγο αρχικής θερμοκρασίας κάτω από 0 0 C. θ( 0 C) αέρια φάση(ατμός) θερμοκρασία 100 βρασμού Υγρή φάση(νερό) 0 θερμοκρασία Στερεή φάση(πάγος) τήξης -5 χρόνος Η θερμοκρασία αυξάνει ώσπου να φθάσει στο σημείο τήξης. Καθώς προσφέρεται περισσότερη θερμότητα η θερμοκρασία παραμένει σταθερή έως ότου λιώσει όλος ο πάγος. Η θερμοκρασία τότε αρχίζει να αυξάνει και πάλι έως ότου φθάσει στο σημείο βρασμού, όπου εκ νέου θα παραμείνει σταθερή έως ότου μετατραπεί σε ατμό όλο το νερό. Η διαδικασία επηρεάζεται από την ατμοσφαιρική πίεση. 04

205 Διατήρηση της Ολικής Ενέργειας και Υποβάθμιση της Ενέργειας 4.Ορισμός Πίεσης(Ρ) S F Πίεση(p) : είναι το μονόμετρο μέγεθος που ορίζεται με το πηλίκο του μέτρου της δύναμης F που ασκείται κάθετα σε μία επιφάνεια εμβαδού Α, προς το εμβαδόν της επιφάνειας αυτής. p F N Μονάδα πίεσης στο S.I: 1 Pa 1 m 5 Άλλη μονάδα: 1atm 1, Pa. Η πίεση στα αέρια οφείλεται στη δύναμη που δέχονται τα τοιχώματα του δοχείου από τα μόρια του αερίου, καθώς προσκρούουν σε αυτά. Κινητική θεωρία της ύλης Αέρια Τα μόρια ενός σώματος κινούνταιάρα έχουν κινητική ενέργεια και αλληλεπιδρούνμεταξύ τους ασκώντας δυνάμεις από απόσταση, άρα έχουν και δυναμική ενέργεια. Τα μόρια ενός αερίου τα θεωρούμε μικρές συμπαγείς σφαίρες που κινούνται άτακτα προς όλες τις κατευθύνσεις. Αύξηση της θερμοκρασίας του αερίου σχετίζεται με την αύξηση της ταχύτητας των μορίων του. Μέση κινητική ενέργεια των μορίων ενός αερίου Αν Κ 1,Κ,..,Κ Ν είναι η κινητική ενέργεια λόγω μεταφορικής κίνησης Ν μορίων ενός αραιού μονοατομικού αερίου, τότε η μέση μεταφορική κινητική ενέργεια των μορίων του αερίου υπολογίζεται από τον τύπο: K1 K... K K Εσωτερική ενέργεια ενός αερίου Η εσωτερική ενέργεια ενός ιδανικού μονοατομικού αερίου οφείλεται μόνο στη μεταφορική κίνηση των μορίων του, δηλαδή έχει τη μορφή κινητικής ενέργειας. U N K όπου Ν ο αριθμός των μορίων του αερίου και K η μέση μεταφορική κινητική ενέργεια των μορίων του. 05

206 Διατήρηση της Ολικής Ενέργειας και Υποβάθμιση της Ενέργειας Θερμότητα και διατήρηση της ολικής ενέργειας Θερμότητα (Q) είναι η ενέργεια που μεταφέρεται από ένα σώμα σ ένα άλλο λόγω της διαφοράς θερμοκρασίας τους. Μονάδα της θερμότητας στο S.I είναι το 1J(Joule). Πολύ συχνά χρησιμοποιείται το 1cal. (1cal=4,186J). Το ποσό της θερμότητας (Q) που απαιτείται για να αυξηθεί η θερμοκρασία ενός σώματος μάζας m, κατά Δθδίνεται από τη σχέση: Q=m.c.Δθ όπου c: η ειδική θερμότητα του υλικού σε J/Kg.K. Η θερμότητα Qκαι το έργο Wείναι δύο μορφές με τις οποίες ένα κλειστό σύστημα(σταθερής μάζας) μπορεί να ανταλλάξει ενέργεια με το περιβάλλον του. Το έργο W μετρά την ενέργεια που μεταφέρεται λόγω της δράσης κάποιας δύναμης, ενώ η θερμότητα Qμετρά την ενέργεια που μεταφέρεται λόγω διαφοράς θερμοκρασίας. Η θερμότητα είναι θετική όταν προσφέρεται από το περιβάλλον στο σύστημα και αρνητική όταν αποδίδεται από το σύστημα στο περιβάλλον. Περιβάλλον W<0 Aέριο W>0 Q > 0 Περιβάλλον Q < 0 Το έργο είναι θετικό (παραγόμενο από το σύστημα), όταν το περιβάλλον παίρνει ενέργεια από το σύστημα. Διατήρηση της ενέργειας κατά τη θέρμανση αερίου με σταθερό όγκο Το αέριο βρίσκεται σε δοχείο με ανένδοτα τοιχώματα, δηλαδή ο όγκος του είναι σταθερός. Προσφέροντας θερμότητα στο αέριο αυξάνεται μόνο η εσωτερική ενέργεια των μορίων του. Q=ΔU 06

207 Διατήρηση της Ολικής Ενέργειας και Υποβάθμιση της Ενέργειας Διατήρηση της ενέργειας κατά τη θέρμανση αερίου υπό σταθερή πίεση Το αέριο βρίσκεται μέσα σε ογκομετρικό δοχείο που κλείνεται με έμβολο. Πάνω στο έμβολο τοποθετείται ένα σώμα σταθερού βάρους έτσι ώστε σε κάθε θέση του εμβόλου η πίεση του αερίου να είναι σταθερή w ( p p ) A Το αέριο θερμαίνεται με αργό ρυθμό και το έμβολο μετακινείται πολύ αργά, πετυχαίνοντας έτσι μεταβολή του όγκου του χωρίς να μεταβληθεί η πίεσή του. Η προσφερόμενη θερμότητα Q μετατρέπεται κατά ένα μέρος της σε εσωτερική ενέργεια του αερίου (αυξήθηκε η θερμοκρασία του) και το υπόλοιπο σε ενέργεια που δόθηκε στο περιβάλλον μέσω του έργου της δύναμης που άσκησε το αέριο στο έμβολο(μετακινήθηκε το έμβολο κατά Δχ). Για το έργο της δύναμης του αερίου ισχύει: W=F.Δχ ή W=P.S.Δχ ή W=P.ΔV Η αρχή διατήρησης της ενέργειας δίνει: Q=ΔU+W που είναι και ο πρώτος θερμοδυναμικός νόμος. Μηχανές και ενέργεια Οι μηχανές μετατρέπουν την ενέργεια από τη μία μορφή στην άλληκαι αποβάλλουν θερμότητα. Ενέργεια μορφής Α Μηχανή Ενέργεια μορφής Β Q Απόδοση μηχανής Η ενέργεια που εισέρχεται στη μηχανή προς μετατροπή ονομάζεται δαπανώμενη ενέργεια Ε δαπ,ενώ η ενέργεια που αποδίδει η μηχανή ονομάζεται ωφέλιμη ενέργεια Ε ωφ. Η απόδοση της μηχανής υπολογίζεται : έ ό 100% έ Συντελεστής απόδοσης της μηχανής [αφού Ρ(ΙΣΧΥΣ)=Ε(ΕΝΕΡΓΕΙΑ)/ΧΡΟΝΟ] πχ. Απόδοση 0% δίνει συντελεστή απόδοσης α= 0,. (0<α<1). 07

208 Διατήρηση της Ολικής Ενέργειας και Υποβάθμιση της Ενέργειας Εφαρμογές 1)Μια μηχανή με απόδοση 10% απορροφά ενέργεια Ε και αποδίδει ενέργεια Ε 1. Η απώλεια ενέργειας της μηχανής είναι: α)ε απωλ =10Ε 1 β)ε απωλ =9Ε 1 γ)ε απωλ =0,1Ε 1 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να τη δικαιολογήσετε. ΛΥΣΗ E1 E1 0,1 E 10E1 (1) E E E E E1 E 9E (1) 1 Σωστή η β) )Πόση θερμότητα ανταλλάσσεται μεταξύ αερίου περιβάλλοντος σε μια διαδικασία κατά την οποία το παραγόμενο έργο είναι 60Jκαι η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου 40J; ΛΥΣΗ W=+60J ΔU=+40J Q=ΔU+W ή Q=40J+60J=100J Q=; 3)Aέριο ψύχεται με αργό ρυθμό αποβάλλοντας θερμότητα 30J,με αποτέλεσμα η εσωτερική του ενέργεια να μειωθεί κατά 10J. Να υπολογιστεί το έργο του αερίου σε αυτή τη διεργασία. ΛΥΣΗ Q=-30J ΔU=-10J Q=ΔU+W ή W=Q-ΔU W=; W= - 30J -(-10J)=-0J 4)Ένα αυτοκίνητο έχει μάζα 1000Κgκαι κινείται σε οριζόντιο δρόμο με σταθερή ταχύτητα 108Κm/h. Η συνολική δύναμη που αντιστέκεται στην κίνηση του αυτοκινήτου είναι 450Ν. Α)Πόση είναι η κινητική ενέργεια του αυτοκινήτου; Β)Πόση ενέργεια απαιτείται για να διανύσει το αυτοκίνητο 1Κmμε την ταχύτητα αυτή; Γ) Ένα λίτρο βενζίνης όταν καεί αποδίδει Jκαι ο κινητήρας του αυτοκινήτου έχει απόδοση 30%. Πόση απόσταση διανύει το αυτοκίνητο κινούμενο με 108Km/hόταν καταναλώσει 1L βενζίνης; ΛΥΣΗ Km m Α) h s Άρα η κινητική ενέργεια του αυτοκινήτου είναι: 1 5 K m 4,5 10 J 08

209 Διατήρηση της Ολικής Ενέργειας και Υποβάθμιση της Ενέργειας Β)Το αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα συνεπώς ΣF=0 ή F κιν = F αντ =450Ν. Το έργο της δύναμης του κινητήρα είναι: W=F κιν.δχ= J. Η ενέργεια που απαιτείται ισούται με το έργο της δύναμης του κινητήρα, δηλαδή είναι J. Γ)Από την εκφώνηση κατά την καύση 1Lβενζίνης ο κινητήρας απορροφά Jδηλ. Ε δαπ = J ή 0,9 10 J 100 Όμως η ωφέλιμη ενέργεια είναι ίση με το έργο της δύναμης του κινητήρα ανά 1Lβενζίνης έτσι: 7 W1 4 W1 0,9 10 J και επειδή W1 F m F 5)Σε κυλινδρικό δοχείο περιέχονται 100gνερού σε θερμοκρασία 30 0 C. Να υπολογίσετε τη θερμότητα που απορρόφησε το νερό για να αυξήσει τη θερμοκρασία του στους 40 0 C. Δίνονται: c v =1cal/g. 0 Cκαι 1cal=4,18J. ΛΥΣΗ cal 0 Q m cv ή Q 100g 1 10 C 1000cal 4180J 0 g. C 09

210 Διατήρηση της Ολικής Ενέργειας και Υποβάθμιση της Ενέργειας ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Μονοατομικό αέριο βρίσκεται σε δοχείο υπό χαμηλή πίεση και η μέση μεταφορική κινητική ενέργεια των μορίων του είναι K 10 J. Αν στο δοχείο περιέχονται η=10molαερίου, να υπολογιστεί η εσωτερική ενέργεια του αερίου. Δίνεται ο αριθμός Avogadro N (Aπ. 60 J) 6, μόρια/mol.. Κυλινδρικό δοχείο που στο επάνω μέρος του κλείνεται με έμβολο περιέχει αέριο εσωτερικής ενέργειας U 1 =3000J. Το αέριο υποβάλλεται σε μεταβολή κατά την οποία παράγει έργο 500Jκαι η εσωτερική του ενέργεια γίνεται U =000J. Να βρείτε τη θερμότητα που αντάλλαξε το αέριο με το περιβάλλον. (Απ. Q= - 500J). 3. To κυλινδρικό δοχείο του σχήματος κλείνεται με έμβολο αμελητέου βάρους που ολισθαίνει χωρίς τριβές.toεμβαδόν του εμβόλου είναι S=0cm. Toδοχείο περιέχει ποσότητα αερίου σε πίεση Ρ που ασκεί στο έμβολο δύναμη 00Ν. α)ποια η πίεση Ρ του αερίου; β) Θερμαίνουμε αργά το αέριο,το έμβολο μετακινείται αργά προς τα επάνω,η εσωτερική ενέργεια του αερίου έχει αυξηθεί κατά 700Jκαι το αέριο έχει απορροφήσει θερμότητα 1500J. i)ποιο το έργο του αερίου; Ii)Πόσο μετακινήθηκε το έμβολο προς τα επάνω; Η πίεση του αερίου σε όλη τη διαδικασία έμεινε σταθερή. (Απ.α)Ρ=.10 5 Ν/m,β)i)W=800J,ii)m) 4. Κατά τη θέρμανση του αερίου που περιέχει το διπλανό δοχείο, το έμβολο δέχτηκε από το αέριο σταθερή δύναμη 1500Ν και μετακινήθηκε κατά 0,1mπρος τα επάνω. Η εσωτερική ενέργεια του αερίου αυξήθηκε κατά 50J. Ποιο το ποσό της θερμότητας που απορρόφησε το αέριο; (Απ.400J) 10