7. ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΡΟΕΣ, ΠΕΡΑΣΜΕΝOI ΟΓΚΟΙ

Transcript

1 7. ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΡΟΕΣ, ΠΕΡΑΣΜΕΝOI ΟΓΚΟΙ Σύνοψ Στο Κεφάλαιο 7 «Δισδιάστατες Ροές, Πεπερασμένοι Όγκοι» παρατίθενται προγράμματα δισδιάστατς ροής με τ χρήσ: α τς τεχνικής των πεπερασμένων όγκων με μετασχματισμούς, όπως σταθερής ή ασταθούς ροής ελεύθερς επιφάνειας, ροής σε κλειστούς αγωγούς, διαχύσς-μεταφοράς και ροής σε πορώδ μέσα και β τς τεχνικής των πεπερασμένων όγκων στον φυσικό χώρο ροής χωρίς μετασχματισμούς για επίλυσ προβλμάτων ελεύθερς επιφάνειας. Η χρήσ των υπολογιστικών τεχνικών για επίλυσ προβλμάτων δισδιάστατς ροής είναι το πρώτο βήμα για τν ανάπτυ τρισδιάστατων προβλμάτων ροής. H παράθεσ έχει ως εής: 1. fvcom: Συμπιεστή ροή, ρτή τεχνική πεπερασμένων όγκων,. fvincom: Ασυμπίεστ ροή, ρτή τεχνική πεπερασμένων όγκων, 3. fvunsat: Ακόρεστ ροή, ρτή τεχνική πεπερασμένων όγκων, 4. fvunstd: Ασταθής ροή ελεύθερς επιφάνειας, ρτή τεχνική πεπερασμένων όγκων, 5. fvocfimp: Σταθερή ροή ελεύθερς επιφάνειας, τεχνική πεπερασμένων, 6. pgοcfep: Σταθερή ροή ελεύθερς επιφάνειας, ρτή τεχνική σε φυσικό υπολογιστικό δίκτυο. Προαπαιτούμεν γνώσ Αριθμτική ανάλυσ, Γραμμική άλγεβρα,μχανική Ρευστών, Υδραυλική Μχανική,Ροή ελεύθερς επιφάνειας, Συμπιεστή ροή, Ακόρεστ ροή 7.1 ΣΥΜΠΙΕΣΤΗ ΡΟΗ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ, fvcom Τεχνική των πεπερασμένων όγκων Το μαθματικό πλαίσιο στο οποίο βασίεται ο υπολογισμός των ροών είναι ένα σύστμα μερικών διαφορικών εισώσεων, οι οποίες περιγράφουν τους νόμους διατήρσς μάας, ορμής και ενέργειας. Επειδή τα περισσότερα εφαρμοσμένα προβλήματα τς Υδραυλικής Μχανικής αναφέρονται σε πολύπλοκες γεωμετρικές κατασκευές, το σύστμα συντεταγμένων στο οποίο καταστρώνονται οι μερικές διαφορικές εισώσεις, πρέπει να προσεγγίσει με ακρίβεια τ μορφή του πεδίου ροής κοντά στα καμπυλωμένα όρια. Το σύστμα συντεταγμένων πρέπει να λαμβάνει υπόψ τν κίνσ των ορίων, οποία θα μπορούσε να υπάρει στο πρόβλμα, όπως τν κίνσ βαλβίδων, τ ροή ελεύθερς επιφάνειας ύδατος, τν κίνσ δικλείδων και εμβόλων, των παλμικών κινήσεων τς κατασκευής. Σε πολλές περιπτώσεις απαιτείται πύκνωσ του υπολογιστικού πλέγματος σε περιοχές έντονς μεταβολής των φυσικών ποσοτήτων τς ροής, όπως στ μεταβολή τς πυκνόττας σε κρουστικό κύμα, στ μεταβολή του βάθους του ύδατος στο σχματισμό υδραυλικού άλματος, στ μεταβολή των ταχυτήτων σε περιοχές αναστροφής ροής. Αντίθετα, σε περιοχές όπου οι μεταβολές των φυσικών χαρακτριστικών είναι σχετικά μικρές, ενδείκνυται χρήσ αραιού υπολογιστικού πλέγματος για το σκοπό εοικονόμσς υπολογιστικού χρόνου (Central Processing Unit, CPU και μνήμς. Επίσς, αριθμτική τεχνική μπορεί να εφαρμοστεί σε χρονικά μεταβαλλόμενο μετασχματισμό συστήματος συντεταγμένων. Για τν αντιμετώπισ των παραπάνω περιπτώσεων οι μερικές διαφορικές εισώσεις διατρήσεως τς μάας, των ορμών και τς ενέργειας γράφονται σε γενικευμένο σύστμα συντεταγμένων (Σούλς & Μπέλλος, Η πύκνωσ ή αραίωσ του υπολογιστικού πλέγματος μπορεί να γίνει βάσει των προσδοκώμενων μεταβολών των φυσικών ποσοτήτων ροής ή αυτόματα χρσιμοποιώντας κάποια από τις γνωστές τεχνικές κατασκευής υπολογιστικών πλεγμάτων, π.χ. επιλυτής Poisson. Τα ανωτέρω υπολογιστικά πλέγματα έχουν το πλεονέκτμα, όσον αφορά τα δισδιάστατα προβλήματα ροής, να ταυτίουν τα καμπύλα όρια του πεδίου με υπολογιστικές γραμμές. Ανάλογ είναι συμπεριφορά του μετασχματισμού στον χώρο των τριών διαστάσεων, όπου οι καμπύλες οριακές επιφάνειες ταυτίονται με επίπεδες επιφάνειες (Soulis, Με τον μετασχματισμό το δίκτυο καταλήγει σ ένα σύνολο αλλλοσυνδεδεμένων πεπερασμένων όγκων ή στοιχείων, π.χ. τετραγώνων προκειμένου για δισδιάστατα προβλήματα ή κύβων προκειμένου για 150

2 τρισδιάστατα προβλήματα. Οι αριθμτικοί υπολογισμοί εκτελούνται κυρίως στον υπολογιστικό χώρο, όπου λόγω τς ισαποστάσεως των κόμβων μπορεί να χρσιμοποιθεί οποιοδήποτε αριθμτικό σχήμα πεπερασμένων διαφορών άρα και ευκολία προγραμματισμού. Το μεγαλύτερο πλεονέκτμα είναι ευκολία και ακρίβεια υπολογισμού των διάφορων τύπων οριακών συνθκών των εφαρμοσμένων προβλμάτων Υδραυλικής Μχανικής, όπως συνθήκ μδενικής ταχύττας κάθετς σε αδιαπέρατο τοίχωμα ή προδιαγραφείσα συνθήκ ταχυτήτων ή πιέσεων σε τμήμα του πεδίου ροής. Πολύ στενά συνδεδεμέν με τις μεθόδους των πεπερασμένων διαφορών και των πεπερασμένων στοιχείων είναι και μέθοδος των πεπερασμένων όγκων. Η σχετικά νέα αυτή τεχνική φιλοδοεί να συνδυάσει τα πλεονεκτήματα των πεπερασμένων διαφορών και των πεπερασμένων στοιχείων χωρίς να έχει τα μειονεκτήματά τους (Σούλς, 1986; Soulis, Επιγραμματικά, θα μπορούσε κάποιος να ισχυριστεί ότι το μεγαλύτερο μειονέκτμα των πεπερασμένων διαφορών είναι δυσκολία με τν οποία εφαρμόονται οι οριακές συνθήκες, ιδίως όταν τα όρια του προβλήματος έχουν περίπλοκ γεωμετρία. Ενώ το μέγιστο των πλεονεκτμάτων τους είναι ότι απαιτείται ελάχιστο μαθματικό υπόβαθρο, συνεπώς μπορεί να χρσιμοποιθεί από πλειάδα ερευντών. Τα πεπερασμένα στοιχεία ήρθαν για να καλύψουν το κενό των πεπερασμένων διαφορών στις περιπτώσεις περίπλοκς γεωμετρίας. Επειδή τα περισσότερα προβλήματα Μχανικής απαιτούν τρισδιάστατ ανάλυσ με πολύπλοκ γεωμετρία, μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων είχε μεγάλ ανάπτυ. Ναι μεν, τα προβλήματα αυτά λύθκαν, όμως βασική θεωρία των πεπερασμένων στοιχείων απαιτεί τον σχματισμό εισώσεων ροής, ο οποίος, μολονότι δεν είναι δύσκολος να πραγματοποιθεί, εντούτοις αποτρέπει τ χρήσ τους από μεγάλο τμήμα τς ερευντικής κοινόττας. Η μέθοδος των πεπερασμένων όγκων, στ βασική τς εκδοχή, θα μπορούσε να χαρακτριστεί ως μέθοδος πεπερασμένων διαφορών, όπου όμως ο φυσικός χώρος έχει μετασχματιστεί σε υπολογιστικό ή ως μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων, όπου όμως δεν ακολουθείται ούτε ο λογισμός των μεταβολών ούτε μέθοδος των σταθμισμένων υπολοίπων. Η μέθοδος των πεπερασμένων όγκων αρχίει με πεπερασμένα στοιχεία, δλαδή χρήσ συναρτήσεων παρεμβολών ως βασικό μέσο μετασχματισμού και καταλήγει στον σχματισμό των κλασικών υπολογιστικών σχματισμών των πεπερασμένων διαφορών. Η ανωτέρω περιγραφή είναι επικρατούσα αντίλψ για το τι υπονοείται με τον όρο «πεπερασμένοι όγκοι». Με τν ίδια ονομασία εμφανίεται και τεχνική τς επίλυσς των εισώσεων ροής σε φυσικό σύστμα συντεταγμένων, όπου δεν γίνεται κανένας μετασχματισμός εισώσεων ροής, βλέπε Παράγραφο 7.6. Προκειμένου, λοιπόν, να αυθούν απόδοσ, ακρίβεια και ευκολία εφαρμογής των οριακών συνθκών ενός υπολογιστικού σχήματος, είναι δόκιμο να εκτελεστεί ένας μετασχματισμός από τον φυσικό χώρο ροής στον υπολογιστικό χώρο. Ο μετασχματισμός επιτρέπει τν τοποθέτσ πάρα πολλών υπολογιστικών κόμβων σε περιοχές ροής με μεγάλ μεταβολή των κλίσεων των φυσικών ποσοτήτων ροής. Ο υπολογιστικός χώρος μπορεί, σε μία εκδοχή, να είναι τετράπλευρα σε D ροές ή εάεδρα σε 3D ροές και διαιρείται σε ένα σύστμα κόμβων οι οποίοι ισαπέχουν μεταύ τους. Για να επιλυθούν οι εισώσεις στον υπολογιστικό χώρο, πρέπει πρώτα να μετασχματισθούν από τον φυσικό χώρο ή γενικευμένο (global στον υπολογιστικό ή τοπικό (local Εισώσεις ροής σε μετασχματισμένο (τοπικό σύστμα συντεταγμένων σε τρεις διαστάσεις Εστω i, i=1,, 3 οι συντεταγμένες ενός σμείου σ ένα σύστμα αναφοράς. Η ανάλυσ θα μπορούσε να περιλάβει Ν συντεταγμένες. Εδώ θεωρούνται οι τρεις διαστάσεις του χώρου και μία του χρόνου. Εστω, λοιπόν, ότι i, i=1,, 3 είναι οι συντεταγμένες αυτού του σμείου σε ένα νέο σύστμα αναφοράς. Ας υποτεθεί ότι υπάρχουν οι εής γραμμικώς ανεάρττες σχέσεις μεταύ των συντεταγμένων αυτών: i (,, i 1 3 i (,, i 1 3 i = 1,, 3 151

3 (7.1 Εάν συναρτσιακή ορίουσα: h (, 1 (, 1,, 3 3 (7. είναι διάφορ του μδενός, τότε οι Ε. 7.1 αποτελούν έναν μετασχματισμό από το σύστμα συντεταγμένων i στο i και αντίστροφα. Εάν οι ποσόττες Ε 1, Ε, Ε 3 σ ένα σύστμα συντεταγμένων 1,, 3, συνδέονται με τις ποσόττες E,E, σ ένα άλλο σύστμα συντεταγμένων 1,, 3 με τις εισώσεις μετασχματισμού: 1 E3 E i E 1 i 1 E i E 3 i 3 i = 1,, 3 (7.3 τότε οι ποσόττες E 1,E, E3 ονομάονται «ανταλλοίωτες συνιστώσες ενός διανύσματος» ή «συνιστώσες ανταλλοίωτου τανυστή πρώτς τάς». Από τ θεωρία τς τανυστικής ανάλυσς είναι γνωστό ότι απόκλισ ενός διανύσματος E με συνιστώσες Ε 1, Ε, Ε 3 στο σύστμα 1,, 3 μετασχματίεται ως (Σούλς & Μπέλλος, 1988: dive 1 ( he1 h 1 ( he ( he 3 3 ( Εισώσεις συνάρτσς δυναμικού σε μετασχματισμένο (τοπικό σύστμα συντεταγμένων σε τρεις διαστάσεις Πολλά από τα προβλήματα Μχανικής Ρευστών απαιτούν επίλυσ με χρήσ τς συνάρτσς δυναμικού Φ. Εάν Φ είναι συνάρτσ δυναμικού, τότε Λαπλασιανή τς είναι Φ = div( gradφ, μετασχματίεται δε σύμφωνα με τν Ε. 7.4 ως (Soulis, 1991: Φ 1 i h g i1 ( he 1 1 g i ( he g i 3 ( he 3 3 i = 1,,3 (7.5 όπου ο επαναλαμβανόμενος δείκτς i δλώνει άθροισμα και g ij είναι τα στοιχεία του αντίστροφου πίνακα, G -1, όπου ο G είναι ο πίνακας: G H T H (7.6 15

4 153 με Η τον πίνακα του μετασχματισμού και Η T τον ανάστροφο αυτού. Η ορίουσα h του μετασχματισμού Η από το σύστμα συντεταγμένων,, στο,, είναι: h (7.7 Πρέπει να χρσιμοποιθούν οι παρακάτω εισώσεις: h -, h -, h - h -, h -, h - h -, h -, h - (7.8 H πλήρς έκφρασ των g ij (i, j= 1,,3 είναι: G ( - ( ( g 11 G ( ( G ( ( - g n 1 G ( ( - G ( ( g n 13 G ( - G ( ( g

5 154 G ( ( G ( ( g n 3 G ( - G ( ( g 33 (7.9 με, g 1 =g 1, g 31 =g 13, g 3 =g 3 (7.10 ( ( ( ( G ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Θεωρτικό υπόβαθρο και αριθμτική τεχνική συνάρτσς δυναμικού σε μετασχματισμένο (τοπικό σύστμα συντεταγμένων σε δύο διαστάσεις, fvcom (Finite-volume compressible Η ανάπτυ τς αριθμτικής τεχνικής θα γίνει στον χώρο των δύο διαστάσεων για ευκολότερ κατανόσή τς. Η μετάβασ σε μια διάστασ θα είναι πολύ απλή. Η δισδιάστατ μορφή των ανωτέρω εισώσεων μπορεί να λφθεί θέτοντας στις ανωτέρω εισώσεις, 0 0, = = ενώ ισχύει 1 1, = =. Με ανάλογο συλλογισμό προκύπτει μονοδιάστατ μορφή. O υπολογισμός των μερικών παράγωγων ως προς,, είναι ευχερής, γιατί οι διαφορές Δ, Δ, Δ μπορούν να πάρουν σταθερή τιμή (μονάδα και να μν συμπεριλφθούν στους υπολογισμούς. Ας εφαρμοστεί μετασχματισμός στριόμενος σε μ γραμμικές παρεμβολές δεύτερς τάς. Έτσι, στρεβλά τετράπλευρα του φυσικού χώρου (Σχήμα 7.1 απεικονίονται σε τετράγωνα του υπολογιστικού χώρου (Σχήμα 7.. Στν περίπτωσ αυτή, οι συναρτήσεις παρεμβολής είναι οκτώ (8, ήτοι Ν 1, Ν, Ν 8, και αντιστοιχούν με τους κόμβους του μ γραμμικού πεπερασμένου στοιχείου. Ισχύει:

6 i i i Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν ( i i i Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν (7.13 όπου: 4 1 ( ( 1 ( 1 Ν ( ( 1 ( 1 Ν 4 1 ( ( 1 ( 1 Ν ( ( 1 ( 1 Ν 4 4 ( 1 ( 1 Ν 5 4 ( 1 ( 1 Ν 6 4 ( 1 ( 1 Ν 7 4 ( 1 ( 1 Ν 8 (7.14 Σχήμα 7.1 Μ γραμμικές παρεμβολές δεύτερς τάς. Στρεβλά τετράπλευρα του φυσικού χώρου,.

7 Σχήμα 7. Τοπικές συντεταγμένες (Local (, για το αντίστοιχο στοιχείο του Σχήματος 7.1. Υπολογιστικός χώρος ροής. Ας θεωρθεί ότι ροή είναι δύο διαστάσεων, σταθερή, μ-συνεκτική και αστρόβιλ. Η ανάλυσ δεν περιορίεται σε ασυμπίεστ ροή, αλλά επεκτείνεται και στον χώρο τς συμπιεστής ροής, όπως διχτική ροή, (transonic flow. Στον φυσικό χώρο, όπου χρσιμοποιείται το Καρτεσιανό σύστμα συντεταγμένων, οι εισώσεις ροής είναι (Soulis, 1991: Φ Φ ρ ρ 0 (7.15 όπου ρ πυκνόττα του ρευστού, Φ συνάρτσ δυναμικού πεδίου και ισχύει, Φ u, Φ v (7.16 όπου u, v οι ταχύττες κατά τις και διευθύνσεις του φυσικού (Καρτεσιανού ή γενικευμένου συστήματος συντεταγμένων αντίστοιχα. Προκειμένου ανωτέρω είσωσ να εφαρμοστεί σε ροή συμπιεστών αερίων, είναι: 1 γ -1 u v ρ ρο1 1- C p T o1 (7.17 και p ρ pο1 ρο1 γ (

8 όπου, ρ ο1 ολική πυκνόττα του ρευστού, p ο1 ολική πίεσ του ρευστού, Τ ο1 ολική θερμοκρασία του ρευστού και γ=c p/c v ο λόγος των ειδικών θερμοχωρτικοτήτων με σταθερή πίεσ c p και με σταθερό όγκο c v. Όταν εισαχθεί ο μετασχματισμός του γενικευμένου, συστήματος συντεταγμένων στο τοπικό, σύστμα, Ε σε συνδυασμό με τν Ε. 7.5 γράφεται: h( g g [ h( g g ] 0 (7.19 ή ( ρhu ( ρhv 0 (7.0 όπου οι ταχύττες U, V του τοπικού συστήματος συντεταγμένων, δίνονται ως: U g 11 Φ g 1 Φ, V g 1 Φ g Φ ( g G 1 g - G (7. (7.3 1 g g 1 (7.4 g G (7.5 G H T H ( ( - ( (7.6 Η ορίουσα h του μετασχματισμού Η είναι: h - (7.7 Οι φυσικές ταχύττες συνδέονται με τις υπολογιστικές με τις εισώσεις: 157

9 u U v U V V (7.8 (7.9 Eνα πρωτεύον πεπερασμένο στοιχείο, το οποίο είναι ένα στρεβλό τετράπλευρο του φυσικού χώρου (Σχήμα 7.3 αποτελείται από οκτώ (8 κόμβους, ενώ ένα δευτερεύον πεπερασμένο στοιχείο καλύπτει οκτώ (8 πρωτεύοντα πεπερασμένα στοιχεία (Σχήμα 7.4. Στο κέντρο του δευτερεύοντος πεπερασμένου στοιχείου αναφέρονται οι δείκτες i, j. Οι τοπικές συντεταγμένες μεταβάλλονται ως: -1 1, -1 1, (7.30 έτσι ώστε οι ακμές του τετραγώνου να βρίσκονται στα =±1 και =±1. Οι μερικές παράγωγοι τς μεταβλτής, π.χ., στα κέντρα των πεπερασμένων στοιχείων, τα οποία βρίσκονται στα σμεία =0 και =0 υπολογίονται από τις εισώσεις: i, j1 - i, j-1, Δ i1, j - Δ i-1, j (7.31 με ανάλογες εισώσεις για τις μερικές παράγωγους των, ρhu, ρhv ως προς και. Τα Δ και Δ είναι ίσα με το μοναδιαίο μήκος και έτσι παραλήφθκαν από τους υπολογισμούς. Η Ε. 7.0 μπορεί να αναπτυχθεί εφαρμόοντάς τν στα δευτερεύοντα στοιχεία κέντρου i, j και χρσιμοποιώντας τις Ε Έτσι: ( ρhu i, j 1 - ( ρhu i, j-1 ( ρhv i1, j - ( ρhv i-1, j 0 (7.3 Σχήμα 7.3 Ενα δευτερεύον στοιχείο καλύπτει οκτώ (8 πρωτεύοντα στοιχεία του φυσικού χώρου ροής. 158

10 Σχήμα 7.4 Ενα δευτερεύον στοιχείο καλύπτει οκτώ (8 πρωτεύοντα στοιχεία του υπολογιστικού χώρου ροής. Η αριθμτική προσέγγισ των U, V στο κέντρο ενός πρωτεύοντος στοιχείου δίνεται (Ε. 7.1 ως: U i, j g 11 i, j Φ i, j1 - Φ i, j-1 g 1 i, j Φ i1, j - Φ i-1, j (7.33 V i, j g 1 i, j Φ i, j1 - Φ i, j -1 g i, j Φ i1, j - Φ i-1, j (7.34 Αντικατάστασ των ανωτέρω τιμών στν Ε. 7.3, μετά τν εκτέλεσ αριθμτικών πράεων, δίνει: α1φi-1, j-1 αφi-1, j 1 α3φi1, j1 α4φi1, j-1 α5φi-, j α6φi, j α7φi, j α8φi, j- α9φi, j 0 (7.35 όπου: α α α α ( ρhg i, j-1 ( ρhg i-1, j 1 1 -( ρhg i, j1 - ( ρhg i-1, j ( ρhg i, j1 - ( ρhg i1, j ( ρhg i, j-1 - ( ρhg i1, j α α α 5 ( ρhg i-1, j 11 6 ( ρhg i, j1 7 ( ρhg i1, j α 11 8 ( ρhg i, j ρgh ι, j1 ρgh i, j1 ρgh i1, j ρ i1, j α9 gh (7.36 Το σύνολο των Ε λύνεται με αριθμτικές επαναλπτικές τεχνικές αρχίοντας με αρχική κατανομή των Φ i,j. Για τν επίλυσ των προβλμάτων των πεπερασμένων όγκων του παρόντος συγγράμματος εφαρμόεται 159

11 παντού αριθμτική τεχνική τς χαλαρώσεως κατά Gauss-Seidel. Η υπορουτίνα trans.for επιλύει το πρόβλμα τς διχτικής ροής (βλέπε Appendi Ι στο Παράρτμα Ι. Οι υπορουτίνες two.for και three.for, που εφαρμόουν τις οριακές συνθήκες, επιλύουν τν αστρόβιλ ροή κατά μήκος τς πρώτς και δεύτερς υπολογιστικής γραμμής, μέχρι να προχωρήσει υπολογιστική διαδικασία από το στερεό όριο (Παράρτμα ΙΙ Two-dimensional unsaturated flow in irregularl shaped regions, Σχήματα 3a και 3b αντιστοίχως. Ακολουθεί ο κυρίως χώρος υπολογισμού τς αστρόβιλς ροής που εκφράεται με τν υπορουτίνα mid.for που σαρώνει όλες τις υπολογιστικές γραμμές μέχρι τν προγούμεν από τν προτελευταία. Ακολουθούν οι υπορουτίνες ims.for και imsp1.for, που εφαρμόουν τις οριακές συνθήκες, για τον υπολογισμό του δυναμικού στν προτελευταία και τελευταία υπολογιστική σειρά του πεδίου ροής. Τέλος, καλείται υπορουτίνα perbou.for για τον υπολογισμό τς αστρόβιλς ροής στα περιοδικά όρια (Σχήμα 7.5. Λεπτομερής περιγραφή του θεωρτικού υποβάθρου και τς αριθμτικής τεχνικής fvcom παρατίθεται στο Παράρτμα I: A finite volume method for two dimensional transonic potential flow through turbomachiner blade rows Πρόβλμα για επίλυσ μέσω του προγράμματος fvcom Στο Σχήμα 7.5 απεικονίεται γεωμετρία τς σειράς πτερυγίων για συμπιεστή ροή. Η ολική πίεσ Ρ ο1 (=PO1 στν είσοδο του πεδίου είναι (N/m, ολική θερμοκρασία επίσς στν είσοδο είναι Τ ο1 (=ΤΟ1 ίσ με ο (Κ και γωνία β 1 (=Β 1, με τν οποία εισέρχεται το αέριο, είναι 0.76 (rad μετρούμεν από τν αονική διεύθυνσ. Καθορίεται μια μέσ ταχύττα U (=UIN ίσ με (m/s για τον υπολογισμό του λόγου p /p o1. R (=ROO είναι σταθερά των τελείων αερίων ίσ με 87.5 (kj/kg K. C p (=CP είναι θερμική χωρτικόττα των αερίων με σταθερή πίεσ ίσ με σε (kj/kg K. Ο λόγος Cp/Cv (=GA, όπου Cv είναι θερμική χωρτικόττα των αερίων με σταθερό όγκο ίσ με 1.4. Ανάντ και κατάντ τς σειράς των πτερυγίων και επί των οριακών γραμμών ροή είναι περιοδική. Ζτείται να υπολογιστεί κατανομή τς πυκνόττας, των ταχυτήτων ροής και του αριθμού Mach στις επιφάνειες πίεσς και υποπίεσς τς σειράς των πτερυγίων με τν θεωρία τς συνάρτσς δυναμικού Φ (=F(I,J. Να γίνει γραφική παράστασ τς μεταβολής του αριθμού Mach με τν αονική απόστασ. Σχήμα 7.5 Γεωμετρία σειράς πτερυγίων για συμπιεστή ροή. Ανάντ και κατάντ τς σειράς εφαρμόονται περιοδικές συνθήκες ροής. Ο δείκτς Ι μεταβάλλεται κατά μήκος του άονα και o δείκτς J κατά μήκος του άονα. 160

12 ΔΦ Φεόδου _Φεισόδου Ο καθορισμός UIN = = μεταύ τς εισόδου και τς εόδου εκ του χώρου ροής Δ _ επιβάλλει μια διαφορά δυναμικού Φ εόδου εόδου _ Φ ειsόδου εισόδου, οποία παραμένει πάντα σταθερή, διότι τιμή τς Φ εισόδου τίθεται πάντα ίσ με μια σταθερή τιμή, έστω 0.0 (m /s, κατά τ διάρκεια των επαναλήψεων για τν επίλυσ του προβλήματος. Εφόσον διαφορά παραμένει σταθερή, σταθερή παραμένει και τιμή του δυναμικού Φ εόδος στν έοδο. Η αονική απόστασ Δ παραμένει πάντα σταθερή. Η επίλυσ του προβλήματος να γίνει σε μετασχματισμένο, σύστμα συντεταγμένων Δεδομένα του προγράμματος fvcom Στν αρχή του προγράμματος fvcom.for υπό τ μορφή Comment ή C δίνονται επεγήσεις για τ χρήσ των σταθερών του προγράμματος. Οι συντεταγμένες τοποθετήθκαν κατά μήκος του άονα των πτερυγίων και οι συντεταγμένες ακολούθσαν τα άνω και κάτω όρια των πτερυγίων που αντιστοιχούν σε κάθε τιμή του. Ο δείκτς Ι μεταβάλλεται κατά μήκος του άονα και o δείκτς J κατά μήκος του άονα. Πιο αναλυτικά, τα δεδομένα παρουσιάονται στο αρχείο fvcom.dat και έχουν ως κατωτέρω: 1 Γραμμή. 7 (=ΙΜ στο πρόγραμμα fvcom.for είναι ο αριθμός των Δ υποδιαιρέσεων, 33 (=JΜ είναι ο αριθμός των Δ υποδιαιρέσεων, 7 (=JLE είναι ο αριθμός J του εμπρόσθιου στερεού ορίου, 6 (=JΤE είναι ο αριθμός J του οπίσθιου στερεού ορίου, 000 (=MAX είναι ο μέγιστος αριθμός επαναλήψεων. Γραμμή. 10 (=ΙRE εκτυπώνει για τ σύγκλισ κάθε 10 επαναλήψεις, 5 (=ΙCΟ εφαρμόει το κριτήριο Kutta σε κάθε 1 επανάλψ, 1 (=ISMO εφαρμόει εομάλυνσ σε κάθε επανάλψ, 1 (=ΙCUSP εφαρμόει εομάλυνσ σε κάθε 1 επανάλψ στ αρχή του στερεού ορίου. 3 Γραμμή- συντεταγμένες , , , (=X(,J είναι οι (m συντεταγμένες του γεωμετρικού χώρου ροής. Να αναφερθεί ότι οι συντεταγμένες είναι ακριβώς ίδιες στο κάτω και στο άνω όριο. Τα δεδομένα εαντλούνται με τν περιγραφή τς γεωμετρίας μετά από 33 σειρές τιμών. 4 Γραμμή- συντεταγμένες , , , (=Y(,J είναι οι (m συντεταγμένες του κάτω ορίου του χώρου ροής. Τα δεδομένα εαντλούνται με τν περιγραφή τς γεωμετρίας μετά από 33 σειρές τιμών. 5 Γραμμή- συντεταγμένες , , 0.040, (=Y(IMP1,J με ΙMP1=IM+1 είναι οι (m συντεταγμένες του άνω ορίου του χώρου ροής. Τα δεδομένα εαντλούνται με τν περιγραφή τς γεωμετρίας μετά από 33 σειρές τιμών. 5 Γραμμή από το τέλος (=ROO είναι σταθερά R των τελείων αερίων, (=CP είναι θερμική χωρτικόττα Cp με σταθερή πίεσ, 1.4 (=GA είναι ο λόγος Cp/Cv, (=ΟΜΕGΑ είναι ο συντελεστής υπερχαλαρώσεως. 0.0 (=ΑLF είναι ο συντελεστής για αονική και εφαπτομενική εομάλυνσ. 4 Γραμμή από το τέλος (=PO1 ολική πίεσ στν είσοδο του χώρου ροής, (=ΤΟ1 είναι ολική θερμοκρασία στν είσοδο, 0.76 (=Β1 είναι γωνία εισόδου τς ροής μετρούμεν από τν αονική διεύθυνσ, 0.95 (=OO είναι ο συντελεστής εομάλυνσς για περιοδικά όρια. 3 Γραμμή από το τέλος (=OCT είναι συντελεστής υπερχαλαρώσεως για διχτική ροή, 1.0 (=COC ενισχυτικός συντελεστής, 1.0 (=C1 συντελεστής για διχτικές περιοχές, 0.0 (=DT συντελεστής μειούμενος με τον αριθμό επαναλήψεων. Προτελευταία γραμμή. 150 (=UIN μέσ ταχύττα για καθορισμό του λόγου p/po1, 0.95 (=RFJUMP ο συντελεστής χαλαρώσεως για περιοδικά όρια, 0.0 (=AHELP ο συντελεστής χαλαρώσεως για τις πρώτες επαναλήψεις. Τελευταία γραμμή. 1000, 000, 3000, 4000, 5000, (=(IPRINT(I είναι ο αριθμός επαναλήψεων τς αριθμτικής τεχνικής, στον οποίο τούνται αναλυτικά οι τιμές των φυσικών ποσοτήτων ροής. Πιο αναλυτικά, από τν παράθεσ του προγράμματος fvcom.dat: IM=7, JM=33, JLE=7, JTE=6, MAX=000 IRE=00, ICO=1, ISMO=1, ICUSP=1 X(,J (J=1,JM= , , Y(,J (J=1,JM= , , Y(IMP1,J (J=1,JM= 0.003, , ROO=87.5, CP=1005.0, GA=1.4, OMEGA=1.466, ALF=

13 PO1= , TO1=300.0, B1=0.76, OO=0.95 OCT=1.566, COC=1.0, C1=1.0, DT=0.0 UIN=150, RFJUMP=0.95, AHELP=0.0 IPRT(I (I=1,5 1000, 000, 3000, 4000, 5000 Η παράθεσ των δεδομένων εισόδου δίνεται στον φάκελο fvcom.dat και έχει ως εής: Παράθεσ του προγράμματος fvcom Το πρόγραμμα fvcom.for δίνεται στο αρχείο λογισμικών Αποτελέσματα του προγράμματος fvcom Τα αποτελέσματα δίνονται στον φάκελο fvcom.out και έχουν ως εής: E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-0 16

14 E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E X (m Y (m X (m Y (m X (m Y (m X (m Y (m X (m 0.15 Y (m X (m Y (m Iteration step = 1980, Ma error in U (% = at I= and J= 3 Outlet angle (deg = Aial smooth=0.000 Relaation factor = Iteration step = 1990, Ma error in U (% = at I= and J= Outlet angle (deg = Aial smooth=0.000 Relaation factor = Iteration step = 000, Ma error in U (% = at I= and J= 163

15 Outlet angle (deg = Aial smooth=0.000 Relaation factor = U (m/s U (m/s U (m/s U (m/s U (m/s U (m/s U (m/s U (m/s U (m/s V (m/s V (m/s V (m/s V (m/s V (m/s V (m/s V (m/s V (m/s V (m/s

16 Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Mach = Στο Σχήμα 7.6 δείχνεται κατανομή του αριθμού Mach στις επιφάνειες πίεσς και υποπίεσς κατά μήκος τς αονικής απόστασς τς σειράς των πτερυγίων. 165

17 Σχήμα 7.6 Κατανομή αριθμού Mach στ σειρά των πτερυγίων. Η μ ακριβής περιγραφή τς γεωμετρίας επιφέρει διαφοροποιήσεις στν κατανομή Mach. 7. ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΗ ΡΟΗ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ, fvincom 7..1 Θεωρτικό υπόβαθρο και αριθμτική τεχνική fvincom (Finite volume incomepressible Η αριθμτική τεχνική fvincom είναι ακριβώς ίδια με αυτή που αναπτύχθκε στν Παράγραφο Η μόν διαφορά είναι ότι ροή τώρα είναι ασυμπίεστ, συνεπεία του οποίου Ε απλοποιείται κατά πολύ. Η Ε. 7.0, χωρίς τν πυκνόττα ρ, μπορεί να αναπτυχθεί εφαρμόοντάς τν στα δευτερεύοντα στοιχεία κέντρου i, j. Έτσι: ( hu i, j 1 - ( hu i, j-1 ( hv i1, j - ( hv i-1, j 0 (7.37 Η αριθμτική προσέγγισ των U, V στο κέντρο ενός πρωτεύοντος στοιχείου δίνεται (Ε. 7.1, ως: U i, j g 11 i, j Φ i, j1 -Φ i, j-1 g 1 i, j Φ i1, j -Φ i-1, j (7.38 V i, j g 1 i, j Φ i, j1 -Φ i, j 1 g i, j Φ i1, j -Φ i-1, j (7.39 Η αντικατάστασ των ανωτέρω τιμών στν Ε. 7.37, μετά τν εκτέλεσ αριθμτικών πράεων, δίνει: α Φ 1 α Φ 5 i-1, j-1 i-, j α Φ α Φ 6 i i-1, j1, j α Φ α Φ 7 3 i, j i1, j1 α Φ α Φ 8 i 4, j- i1, j-1 α Φ 9 i, j 0 (

18 όπου: α α α α α ( hg i, j-1 ( hg i-1, j 1 1 -( hg i, j1 - ( hg i-1, j ( hg i, j1 - ( hg i1, j ( hg i, j-1 - ( hg i1, j α α α 5 ( hg i-1, j 11 6 ( hg i, j1 7 ( hg i1, j α 11 8 ( hg i, j ( hg i, j1 - ( hg i, j-1 - ( hg i1, j - ( hg i-1, j (7.41 Λεπτομερής περιγραφή τς αριθμτικής τεχνικής για τν περιοδικόττα των ορίων παρατίθεται στο Παράρτμα I: A finite volume method for two dimensional transonic potential flow through turbomachiner blade rows. Το σύνολο των Ε επιλύεται με αριθμτικές επαναλπτικές τεχνικές αρχίοντας με αρχική κατανομή των Φ i,j. Για τν επίλυσ των προβλμάτων των πεπερασμένων όγκων του παρόντος συγγράμματος εφαρμόεται παντού αριθμτική τεχνική τς χαλαρώσεως κατά Gauss-Seidel. 7.. Πρόβλμα για επίλυσ μέσω του προγράμματος fvincom Τα πτερύγια Hobson (Σχήμα 7.7 αποτελούν μια τυπική κατασκευή σειράς πτερυγίων. Η παραδοχές που έγιναν, θεωρούν ότι ροή είναι δισδιάστατ, ασυμπίεστ και μ συνεκτική. Οι συνθήκες ροής στν είσοδο απαιτούν τν ολική πίεσ Ηο (=H0 να είναι (m. H γωνία β1 (=Β1, με τν οποία εισέρχεται το ρευστό, είναι 0.76 (rad μετρούμεν από τν αονική διεύθυνσ. Ορίεται μια ταχύττα ροής (βλέπε Ε U (=UIN έστω 4.5 (m/s, οποία καθορίει το δυναμικό στν έοδο, δεδομένου ότι το δυναμικό στν είσοδο μπορεί να λάβει οποιαδήποτε τιμή π.χ. 0.0 (m /s: ΔΦ U μεταύ εισόδου και εόδου χώρου ροής Δ (

19 Σχήμα 7.7 Γεωμετρία πτερυγίων Hobson. Ανάντ και κατάντ τς σειράς των πτερυγίων εφαρμόονται περιοδικές συνθήκες ροής. Καθορίεται λόγος εόδου φορτίου προς ολικό φορτίο εισόδου h /Η o=0.78 μέσω τς U=UIN=4.5 (m/s. Η ροή εισέρχεται με γωνία β 1=0.76 (rad. Ο δείκτς Ι μεταβάλλεται κατά μήκος του άονα και o δείκτς J κατά μήκος του άονα. Έτσι, οριοθετείται παροχή ανά μονάδα πλάτους διά τς σειράς των πτερυγίων, δεδομένου ότι γεωμετρία του χώρου ροής είναι δεδομέν (Q=UA. Στα στερεά όρια ροή βαίνει εφαπτομενικώς προς αυτά ή κάθετος ταχύττα q n προς τα τοιχώματα είναι μδενική: q n Φ n 0 (7.43 όπου n το κάθετο προς το τοίχωμα μοναδιαίο διάνυσμα. Ζτείται, λοιπόν, να υπολογιστεί κατανομή των ταχυτήτων U, V κατά τις, διευθύνσεις των φορτίων και των πιέσεων h/ηo στις επιφάνειες πίεσς και υποπίεσς κατά μήκος τς αονικής απόστασς τς σειράς των πτερυγίων για h /Ηo =0.78 με χρήσ τς θεωρίας τς συνάρτσς δυναμικού Φ (=F(I,J. Να γίνει γραφική παράστασ τς μεταβολής του λόγου των πιέσεων h/ηo με τν αονική απόστασ. Η επίλυσ να γίνει σε μετασχματισμένο, σύστμα συντεταγμένων. Να μν θεωρθούν περιοδικά όρια Δεδομένα του προγράμματος fvincom Στν αρχή του προγράμματος fvincom.for υπό τ μορφή Comment ή C δίνονται επεγήσεις για τ χρήσ των σταθερών του προγράμματος. Οι συντεταγμένες τοποθετήθκαν κατά μήκος του άονα των πτερυγίων και οι συντεταγμένες ακολούθσαν τα άνω και κάτω όρια των πτερυγίων που αντιστοιχούν σε κάθε τιμή του. Ο δείκτς Ι μεταβάλλεται κατά μήκος του άονα και o δείκτς J κατά μήκος του άονα. Πιο αναλυτικά, τα δεδομένα παρουσιάονται στο αρχείο fvincom.dat και έχουν ως κατωτέρω: 1 Γραμμή. 7 (=ΙΜ στο πρόγραμμα fvincom.for είναι ο αριθμός των Δ υποδιαιρέσεων, 33 (=JΜ είναι ο αριθμός των Δ υποδιαιρέσεων, 1 (=JLE είναι ο αριθμός J του ανάντ στερεού ορίου, 33 (=JΤE είναι ο αριθμός J του κατάντ στερεού ορίου, 1000 (=MAX είναι ο μέγιστος αριθμός επαναλήψεων. Γραμμή. 10 (=ΙRE να εκτυπώνει για τν σύγκλισ κάθε 10 επαναλήψεις, 1 (=ΙCΟ να εφαρμόει το κριτήριο Kutta κάθε 1 επανάλψ, 50 (=ISMO εφαρμόει εομάλυνσ κάθε 50 επαναλήψεις. 168

20 3 Γραμμή- συντεταγμένες , , , , 0.15, (= X(,J είναι οι συντεταγμένες του γεωμετρικού χώρου ροής. Να αναφερθεί ότι οι συντεταγμένες είναι ακριβώς ίδιες στο κάτω και στο άνω όριο. Τα δεδομένα εαντλούνται με τν περιγραφή τς γεωμετρίας μετά από 33 σειρές τιμών. 4 Γραμμή- συντεταγμένες , , , , , (=Y(,J είναι οι συντεταγμένες του κάτω ορίου του χώρου ροής. Τα δεδομένα εαντλούνται με τν περιγραφή τς γεωμετρίας μετά από 33 σειρές τιμών. 5 Γραμμή-συντεταγμένες. 0.05, , 0.047, , , , (=Y(IMP1,J με ΙMP1=IM+1 είναι οι συντεταγμένες του άνω ορίου του χώρου ροής. Τα δεδομένα εαντλούνται με τν περιγραφή τς γεωμετρίας μετά από 33 σειρές τιμών. 4 Γραμμή από το τέλος (=GA είναι επιτάχυνσ τς βαρύττας, (=ΟΜΕGΑ είναι ο συντελεστής υπερχαλαρώσεως, 0.0 (=ALF είναι ο συντελεστής εομάλυνσς. 3 Γραμμή από το τέλος (=ΗΟ είναι το ολικό φορτίο, 0.76 (=Β1 γωνίας εισόδου τς ροής, 0.1 (=ΟΟ είναι ο συντελεστής εομάλυνσς για περιοδικά όρια. Προτελευταία γραμμή. 0.9 (=RFJUMP συντελεστής χαλαρώσεως για περιοδικά όρια, 0.9 (=AHELP συντελεστής χαλαρώσεως για τις πρώτες επαναλήψεις, 4.5 (=UIN μέσ ταχύττα για τον καθορισμό του λόγου h /Ho. Τελευταία γραμμή. 1000, 3000, 8000, 9000, (=(IPRINT(I είναι ο αριθμός επαναλήψεων τς αριθμτικής τεχνικής, στον οποίο τούνται αναλυτικά οι τιμές των φυσικών ποσοτήτων ροής. Πιο αναλυτικά, από τν παράθεσ του προγράμματος fvincom.dat: IM=7, JM=33, JLE=1,JTE=33,MAX=1000 IRE=0, ICO=1, ΙSMO=50 X(,J(J=1,JM , ,-0.075, , 0.15, Y(,J(J=1,JM , ,-0.086, , , Y(IMP1,J(J=1,JM0.05, , 0.047, ,-0.034, GA= 9.807, OMEGA=1.466, ALF=0.0 HO=00.0, B1=0.76, OO=0.1 RFJUMP=0.9, AHELP=0.9, UIN=4.5 IPRT(I ( I=1,5 1000, 3000, 8000, 9000, Η παράθεσ των δεδομένων εισόδου δίνεται στον φάκελο fvincom.dat και έχει ως εής:

21 Παράθεσ του προγράμματος fvincom Για οικονομία χώρου παράθεσ του προγράμματος fvincom.for δίνεται στο DVD, δεδομένου ότι όλ ανάπτυ του κώδικα ακολουθεί τα βήματα του προγράμματος fvincom.for (Παράγραφος 7.1. Βεβαίως, το πρόβλμα αφορά ασυμπίεστ ροή και οι κατάλλλες υπορουτίνες τς συμπιεστής ροής του προγράμματος fvincom.for πρέπει να αφαιρεθούν Αποτελέσματα του προγράμματος fvincom Τα αποτελέσματα δίνονται στον φάκελο fvincom.out και έχουν ως εής: E E E E E X (m Y (m X (m Y (m X (m Y (m X (m.1175 Y (m X (m.15 Y (m X (m.175 Y (m Iteration step = 980, Ma error in U (% = at I= and J= 8 Outlet angle (deg = , Aial smooth=0.000 Relaation factor = Iteration step = 1000, Ma error in U (% = at I= and J= 6 Outlet angle (deg = , Aial smooth=0.000 Relaation factor = U (m/s

22 U (m/s U (m/s U (m/s U (m/s U (m/s U (m/s U (m/s U (m/s U (m/s V (m/s V (m/s V (m/s V (m/s V (m/s V (m/s V (m/s V (m/s V (m/s h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho =

23 4 h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = h/ho = Στο Σχήμα 7.8 παρουσιάεται κατανομή των πιέσεων h/ηo στις επιφάνειες πίεσς και υποπίεσς κατά μήκος τς αονικής απόστασς τς σειράς των πτερυγίων για h /Ηo=0.78 από τν είσοδο μέχρι τν έοδο του χώρου ροής. Σχήμα 7.8 Κατανομή h /Ηo στ σειρά των πτερυγίων για h /Ηo= OΡΙΖΟΝΤΙA/ΚΑΤΑΚΟΡΥΦH ΡΟΗ ΥΓΡΑΣΙΑΣ, ΤΕΧΝΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΟΓΚΩΝ, fvunsat Θεωρτικό υπόβαθρο και αριθμτική τεχνική fvunsat (Finite volume unsaturated Στν περίπτωσ που ροή τς υγρασίας είναι ακόρεστ και κατακόρυφ, τότε για τον χώρο των δύο διαστάσεων είσωσ ροής γράφεται ως (Tsakiris et al., 1991: θ t θ D θ D k (7.44 όπου D, D οι συντελεστές διάχυσς στις δύο διευθύνσεις και k ο συντελεστής υδραυλικής αγωγιμόττας με θ τν υγρασία. Ο κατακόρυφος άονας θεωρείται θετικός προς τα κάτω. Η ανωτέρω είσωσ μετασχματίεται με παρόμοιο με τν Ε. 7.0 τρόπο ως: 17

24 173 k θ g θ g D h k θ g θ g D h t hθ (7.45 με: G g 11 (7.46 G g 1 ( g g (7.48 G g (7.49 ( - ( ( G (7.50 Η ορίουσα h του μετασχματισμού Η είναι: - h (7.51 Η Ε με προς τα εμπρός χρονικές μεταβολές και με κεντρικές χωρικές μεταβολές γράφεται ως: n n n 1 n i,j i,j i, j 1 i, j-1 n n i, j 1 i, j-1 D hu k D hu k hθ - hθ - Δt Δ Δ D hv k ] D hv k - Δ Δ (7.5 όπου:

25 U g 11 θ g 1 θ k, V g 1 θ g θ k (7.53 Στν Ε. 7.5 τίθεται ενιαίος ο συντελεστής διάχυσς D=D=D που υπολογίεται από εμπειρική συνάρτσ και οποία για δοθέν έδαφος (Ida silt loam δύναται να πάρει τ μορφή: D e 9.34C (cm /min (7.54 Η υδραυλική αγωγιμόττα υπολογίεται ως: K e 54.11C (cm/min (7.55 H εκτέλεσ των αριθμτικών πράεων δίνει εισώσεις παρόμοιες των E και 7.36 με διαφορετικούς συντελεστές α i. Η επίλυσ γίνεται με αριθμτική τεχνική Gauss-Seidel με χαλάρωσ. Οι υπορουτίνες two.for, three.for, mid.for, ims.for και imsp1.for για τον υπολογισμό του δυναμικού έχουν τ συνήθ εφαρμογή, όπως αυτή αναπτύχθκε στν Παράγραφο Η υπορουτίνα sdk επιλύει τις Ε και 7.55, ενώ upbound.for υπολογίει τ συγκέντρωσ στα όρια του προβλήματος. Λεπτομερής περιγραφή του θεωρτικού υπόβαθρου και τς αριθμτικής τεχνικής fvunsat παρατίθεται στο Παράρτμα II: Two-dimensional unsaturated flow in irregularl shaped regions using a finite volume method Πρόβλμα για επίλυσ μέσω του προγράμματος fvunsat Η χρήσ πεπερασμένων όγκων, όπως έχει ήδ αναφερθεί, ενδείκνυται για εφαρμογές, στις οποίες γεωμετρία του χώρου ροής είναι πολύπλοκ. Μια τέτοια εφαρμογή δίνεται και στο Παράρτμα II: Two-dimensional unsaturated flow in irregularl shaped regions using a finite volume method. Εδώ το πρόβλμα επί τούτου αναφέρεται σε ορθογωνική γεωμετρία του χώρου ροής. Nα υπολογιστεί μετάδοσ τς υγρασίας θ (=TH(I,J (cm 3 /cm 3 (βαθμωτού μεγέθους συναρτήσει του χρόνου t (=T σε (min εντός εδάφους ορθογωνικής διατομής συνολικού μήκους L=70.0 (m και βάθους W=30.0 (m, του οποίου ο συντελεστής διάχυσς D (=D(I,J σε μονάδες (cm /min είναι ομοιογενής και ισότροπος και δίνεται από τν Ε. 7.54, ενώ υδραυλική αγωγιμόττα K (=K(I,J σε μονάδες (cm/min δίνεται από τν Ε H είσωσ που περιγράφει τ ροή είναι Ε Το πορώδες υλικό, μέσα στο οποίο μεταδίδεται το βαθμωτό μέγεθος, έχει αρχικά συγκέντρωσ θ (=ΤΗΑRX, ίσ προς 0. (cm 3 /cm 3 παντού. Σ όλες τις χρονικές στιγμές εφαρμόεται θ (=ΤΗΟΡΙΟΝ με τιμή 0.5 (cm 3 /cm 3, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.9, οποία διατρείται σταθερή κατά τ διάρκεια τς διήθσς. Οι χωρικές αποστάσεις Δ (=DX και Δ (=DY να λφθούν ίσες προς.5 (m και (m αντιστοίχως και να γίνει χρήσ ρτής αριθμτικής τεχνικής πεπερασμένων όγκων. 174

26 Σχήμα 7.9 Υπολογιστικό δίκτυο και χώρος εφαρμογής τς συγκέντρωσς τς θ=0.5 (cm 3 /cm 3 από τ θέσ A(,9 μέχρι και τ θέσ B(,11 για όλους τους χρόνους. Παντού αρχική συγκέντρωσ τς υγρασίας θ είναι 0. (cm 3 /cm 3. O δείκτς J μεταβάλλεται κατά τ διεύθυνσ (οριόντια, ενώ ο δείκτς I κατά τν διεύθυνσ (κατακόρυφ Δεδομένα του προγράμματος fvunsat Στν αρχή του προγράμματος fvunsat.for υπό τ μορφή Comment ή C δίνονται επεγήσεις για τ χρήσ των σταθερών του προγράμματος. Οι συντεταγμένες τοποθετήθκαν κατά μήκος τς οριόντιας κατεύθυνσς και οι συντεταγμένες κατά μήκος τς κατακόρυφς κατεύθυνσς. Ο δείκτς Ι μεταβάλλεται κατά μήκος του άονα και o δείκτς J κατά μήκος του άονα. Πιο αναλυτικά, τα δεδομένα παρουσιάονται στο αρχείο fvunsat.dat και έχουν ως κατωτέρω: 1 Γραμμή. 0 (=ΙΜ στο πρόγραμμα fvunsat.for είναι ο αριθμός των Δ υποδιαιρέσεων, 9 (=JΜ είναι ο αριθμός των Δ υποδιαιρέσεων, 9 (=JLE είναι ο αριθμός του ανάντ ορίου, όπου εφαρμόεται αυμέν συγκέντρωσ, 11 (=JΤE είναι ο αριθμός του κατάντ ορίου, όπου εφαρμόεται αυμέν συγκέντρωσ. Γραμμή (=MAX μέγιστος αριθμός επαναλήψεων, 1 (=ΙCUSP εφαρμόει εομάλυνσ κάθε 1 επανάλψ στν αρχή του στερεού ορίου, 99 (=ΜΜ1 μέγιστος αριθμός επαναλήψεων εντός κάθε Δt, 5 (=ISMO μέγιστος αριθμός επαναλήψεων για αρχική εομάλυνσ, 500 (=ΙRΕ επιλογή για εκτύπωσ. 3 Γραμμή- συντεταγμένες. 0.0,.5, 5.0, (=X(,J είναι οι (m συντεταγμένες του γεωμετρικού χώρου ροής. Να σμειωθεί ότι οι συντεταγμένες είναι ακριβώς ίδιες στο άνω και στο κάτω όριο. Τα δεδομένα εαντλούνται με τν περιγραφή τς γεωμετρίας μετά από 9 σειρές τιμών. 4 Γραμμή- συντεταγμένες. 0.0,.5, 5.0, (=X(IMP1,J όπου IMP1=IM+1 είναι οι (m συντεταγμένες του δειού άκρου του γεωμετρικού χώρου ροής. Οι συντεταγμένες είναι ακριβώς ίδιες στο άνω και στο κάτω όριο. Τα δεδομένα εαντλούνται με τν περιγραφή τς γεωμετρίας μετά από 9 σειρές τιμών. 5 Γραμμή- συντεταγμένες. 0.0, 0.0, 0.0, (= Υ(,J είναι οι (m συντεταγμένες του άνω άκρου του γεωμετρικού χώρου ροής. Τα δεδομένα εαντλούνται με τν περιγραφή τς γεωμετρίας μετά από 9 σειρές τιμών. 175

27 6 Γραμμή- συντεταγμένες. 30.0, 30.0, 30.0, (=Υ (IMP1,J, όπου IMP1=IM+1 είναι οι συντεταγμένες του κάτω άκρου του γεωμετρικού χώρου ροής. Τα δεδομένα εαντλούνται με τν περιγραφή τς γεωμετρίας μετά από 9 σειρές τιμών. 3 Γραμμή από το τέλος. 0.5 (=YGRO1 είναι τιμή του βαθμωτού μεγέθους θ στο όριο που εφαρμόεται. 0. (=YGRΑRΧ είναι αρχική τιμή του βαθμωτού μεγέθους θ στο πεδίο ροής, (=ΟΜΕGΑ είναι συντελεστής υπερχαλαρώσεως. Προτελευταία γραμμή. 0.0 (=ΑLF είναι ο συντελεστής για αονική και εφαπτομενική εομάλυνσ, 0.0 (=AHELP συντελεστής εομάλυνσς για τις πρώτες επαναλήψεις, (=EPSILON είναι το κριτήριο σύγκλισς, 0.01 (=DELTA είναι χρονική επαύσ Δt (s. Τελευταία γραμμή. 10.0, 15.0, 30.0, 47., 50.0 (=(PRINT(I είναι ο αριθμός τς χρονικής στιγμής t για τν οποία τείται λύσ και στν οποία δίνονται αναλυτικά οι τιμές των φυσικών ποσοτήτων ροής. Πιο αναλυτικά, από τν παράθεσ του προγράμματος fvunsat.dat: IM=0, JM=9, JLE=9, JTE=11 MAX=0000, ICUSP=1,MM1=99,ISMO=5,IRE=500 X(,J (J=1,JM 0.0,.5, 5.0, , 67.5, 70.0 X(IMP1,J (J=1,JM 0.0,.5, 5.0, , 67.5, 70.0 Y(,J (J=1,JM 0.0, 0.0, 0.0,...0.0, 0.0, 0.0 Y(IMP1,J (J=1,JM30.0,30.0,30.0, , 30.0, 30.0 YGRO1=0.5, YGRARX=0.,OMEGA=1.466 ALF=0.0, AHELP=0.0, EPSILON= , DELTA=0.01 PRINT(I (I=1,5 10.0, 15.0, 30.0, 47., 50.0 Η παράθεσ των δεδομένων εισόδου δίνεται στον φάκελο fvunsat.dat και έχει ως εής: Παράθεσ του προγράμματος fvunsat Η παράθεσ του προγράμματος fvunsat.for δίνεται στο DVD, δεδομένου ότι όλ ανάπτυ του κώδικα ακολουθεί τα βήματα του προγράμματος fvcom.for (βλέπε Παράγραφο

28 7.3.5 Αποτελέσματα του προγράμματος unsat Τα αποτελέσματα δίνονται στον φάκελο unsat.out E E E E E E Total elapsed time in minutes = Number of iterations within Dt = 13 Total elapsed time in minutes = Number of iterations within Dt = 13 Total elapsed time in minutes = Moisture (cm3/cm Moisture (cm3/cm Moisture (cm3/cm Moisture (cm3/cm Moisture (cm3/cm Moisture (cm3/cm Στο Σχήμα 7.10 δείχνεται κατανομή τς υγρασίας κατά μήκος τς απόστασς στις κατακόρυφες θέσεις =0.0 (m, =5.0 (m και =10.0 (m μετά από (min. 177

29 Σχήμα 7.10 Κατανομή τς υγρασίας θ (cm3/cm3 στις κατακόρυφες θέσεις =0.0 (m, =5.0 (m και =10.0 (m κατά μήκος του άονα μετά από (min. 7.4 ΑΣΤΑΘΗΣ ΡΟΗ ΕΛΕΥΘΕΡHΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ (ΡΗΞΗ ΦΡΑΓΜΑΤΟΣ, fvunstd Θεωρτικό υπόβαθρο και αριθμτική τεχνική fvunstd (Finite volume unstead Ροή με ελεύθερ επιφάνεια εμφανίεται σε ανοικτούς αγωγούς, όπου ελεύθερ επιφάνεια υπόκειται συνήθως μόνο σε ατμοσφαιρική πίεσ. Η θραύσ φράγματος είναι το φαινόμενο κατά το οποίο προκαλείται μερική ή ολική κατάρρευσ ενός φράγματος, έχοντας ως αποτέλεσμα τ μ ελεγχόμεν απελευθέρωσ νερού, με καταστροφικές συνέπειες για τις κατάντ του φράγματος περιοχές. Λόγω τς κρισιμόττας του θέματος αλλά και των ραγδαίων και μεγάλς κλίμακας επιπτώσεων που μπορεί να προκαλέσει θραύσ ενός φράγματος, πλήθος ερευντών έχουν μελετήσει στο παρελθόν πειραματικά, αναλυτικά αλλά και υπολογιστικά το εν λόγω φαινόμενο. Για τν επίλυσ τς θραύσς φράγματος θεωρείται ότι ροή τς ελεύθερς επιφάνειας είναι ασταθής, ομοιογενής, ασυμπίεστ και συνεκτική με υδροστατική κατανομή τς πίεσς. Με τν απουσία δυνάμεων Coriolis και δυνάμεων λόγω πνέοντος ανέμου οι εισώσεις που περιγράφουν τ ροή γράφονται ως (Soulis, 1991: h t ( hu hv hu gh / hu huv t hv gh / hv huv t 178 gh S gh S o o S S f f (7.56 (7.57 (7.58

30 Εδώ,, είναι οι Καρτεσιανές συντεταγμένες, t είναι ο χρόνος, u, v είναι οι μέσες κατά το βάθος ροής συνιστώσες τς ταχύττας κατά τν και διεύθυνσ αντίστοιχα, h είναι το βάθος ροής, g είναι επιτάχυνσ b τς βαρύττας και Sο = - και Sο = b - είναι οι κλίσεις του πυθμένα όπου b είναι το υψόμετρο του πυθμένα, με S f, S f τις κλίσεις τριβών: S f n u u h v n v u h, S 4 3 f 4 3 v (7.59 και n ο συντελεστής τριβής κατά Manning. Όλ αντίστασ ροής προέρχεται από τν τριβή τς ροής με τον πυθμένα. Ο ν t είναι ο συντελεστής κινματικού ιώδους τς ροής που απλοποιεί τις εισώσεις (Navier-Stokes (Renolds Stresses και δίνεται ως: ν t g C h u v ( h με C = τον συντελεστή τριβής κατά Che (προς το παρόν δεν έχει προγραμματισθεί για να περιλάβει n και τν εσωτερική τριβή του ρευστού. Το σύστμα των Ε μπορεί να γραφεί, σε μτρωϊκή μορφή ως: W t F G D (7.61 όπου: h hu hv 0 W hu, F gh / hu, G huv, D gh( So S f hv huv gh / hv gh( So S f (7.6 Στο νέο σύστμα συντεταγμένων,, t μτρωϊκή μορφή των Ε βάσει των Ε.7.4 είναι: W' F' G' t D' (7.63 με: F' F G,G' F G (

31 h, -1 W J hu hv hu F J huu gh / -1 huv gh / hv G' J hvu gh / -1 hvv gh / 0-1 D' J gh( So S f gh( S S o f (7.65 και - J 1 - (7.66 Ακόμ, U, V είναι οι συνιστώσες των ταχυτήτων κατά μήκος των, συντεταγμένων (Σχήματα 7.11 και 7.1 και συνδέονται με τις ταχύττες u, v του φυσικού συστήματος συντεταγμένων με τις εισώσεις: u v J -1 U V (

32 Σχήμα 7.11 Φυσικές, (Global Καρτεσιανές συντεταγμένες για ένα τετράπλευρο. Γραμμικό πεπερασμένο στοιχείο. Σχήμα 7.1 Τοπικές, (Local συντεταγμένες για το αντίστοιχο τετράπλευρο του Σχήματος Για τον όγκο ελέγχου ΔV με μοναδιαίο ύψος και για το χρονικό βήμα Δt οι Ε γράφονται: Δ J h Δ J hu Δ Δ J hv Δ ΔΔ Δt Δ J hu Δ J huu gh / Δ Δ J hvu gh / Δ ΔΔ 1 J gh So S f Δt Δ J hv Δ J huv gh / Δ Δ J hvv gh / Δ ΔΔ 1 J gh So S f Δt Δt Δt (7.68 (7.69 (

33 Για τ ροή μάας δμιουργείται στο σμείο i, j μια ποσόττα XFLUX ως: XFLUX J -1 hu J -1 hu i, j i1, j i, j (7.71 και YFLUX ως: YFLUX J -1 hv J -1 hv i, j i, j i, j1 Δ (7.7 Οι όροι Δ( J 1 - hu και Δ( J - 1 hv τς Ε γράφονται ως: -1 J hu XFLUX - XFLUX i, j i,j1-1 ( J hv = ( YFLUX i 1, j ( YFLUX + i, j Δ - (7.73 (7.74 και όμοια για τις Ε.7.69 και Πρόβλμα για επίλυσ μέσω του προγράμματος fvunstd Ο αγωγός έχει μήκος L=0.0 (m με γραμμική αονική κλίσ που μειώνει το υψόμετρο του πυθμένα από 0.04 (m στα 0.0 (m. Η γεωμετρία του αγωγού με τ στένωσ για τ δμιουργία δισδιάστατς ροής φαίνεται στο Σχήμα Η έοδος παραμένει ελεύθερ. Ο συντελεστής τριβής n (=EN κατά Manning τέθκε ίσος προς Ξαφνικά, το φράγμα που συγκρατεί το νερό ανάντ με βάθος 0.89 (m θραύεται. To νερό διοχετεύεται ορμτικά προς τα κατάντ με ρό πυθμένα. Ζτείται να επιλυθεί το πρόβλμα με τν εύρεσ των κατανομών όλων των φυσικών χαρακτριστικών του ύδατος κατά μήκος του αγωγού και σε ικανό χρονικό διάστμα. Να γίνει γραφική παράστασ τς μεταβολής τς ταχύττας U (=U(I,J και του αριθμού Froude κατά μήκος του αγωγού σε μετασχματισμένο, σύστμα συντεταγμένων. 18