Ισοπαραµετρικά πεπερασµένα στοιχεία

Transcript

1 5 Ισοπαραµετρικά πεπερασµένα στοιχεία. Εισαγωγή Στο προγούµενο κεφάλαιο εετάσαµε πεπερασµένα στοιχεία για τα οποία οι συναρτήσεις παρεµβολής (που περιλαµβάνονται στο µτρώο παρεµβολής των µετατοπίσεων H) εκφράζονται µε βάσ τις γενικευµένες συντεταγµένες a. Επιπλέον, είδαµε ότι µέθοδος υπολογισµού των α από τις κοµβικές µετατοπίσεις û απαιτεί τν αντιστροφή του µτρώου συνεκτικόττας A. Είναι προφανές ότι για µία κατασκευή οποία αποτελείται από ένα µεγάλο αριθµό στοιχείων, ο υπολογιστικός χρόνος που απαιτείται για τν αντιστροφή όλων των αντιστοίχων µτρώων είναι σµαντικός και ότι αυτό καθιστά τν διαδικασία αυτή λιγότερο ελκυστική. Ας σ- µειωθεί επίσς ότι για πιο σύνθετα στοιχεία είναι δυνατό, για ορισµένους συνδυασµούς των συντεταγµένων των κόµβων των στοιχείων, να µν είναι δυνατή αντιστροφή του µτρώου συνεκτικόττας Α. Οι δυσκολίες αυτές οδήγσαν στ αναζήτσ µεθόδων ώστε να ορισθεί απευθείας συσχέτισ των µετατοπίσεων u(, ) µε τις αντίστοιχες κοµβικές µετατοπίσεις, χωρίς να υπολογίζεται το µτρώο A -. Οι µέθοδοι αυτές αναφέρονται ως σύγχρονοι τρόποι διατύπωσς πεπερασµένων στοιχείων και βασίζονται στν χρήσ τοπικών συντεταγµένων οι οποίες καλούνται φυσικές συντεταγµένες. Οι φυσικές συντεταγµένες επιλέγονται µε βάσ τν γεωµετρία ενός στοιχείου και συνήθως παίρνουν τιµές µεταύ και ή µεταύ και. Η εύρεσ των ζτουµένων συναρτήσεων παρεµβολής διευκολύνεται σµαντικά κάνοντας χρήσ των φυσικών συντεταγµένων.. Οι φυσικές συντεταγµένες και χρήσ τους. Μια διάστασ Η εισαγωγή φυσικών συντεταγµένων κατά τ διατύπωσ των µτρώων ακαµψίας των πεπερασµένων στοιχείων είναι µία απλή υπόθεσ που διευκολύνει τ διατύπωσ των χαρακτριστικών µτρώων των στοιχείων. Ας δούµε όµως πως χρσιµοποιούνται οι φυσικές συντεταγµένες στν περίπτωσ του στοιχείου-ράβδου (Σχήµα ). Οι φυσικές συντεταγµένες και ορίζονται από τις παρακάτω σχέσεις: L L L (α-β) L 6

2 6 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές L L O L /L L L L /L L Σχήµα Φυσικές συντεταγµένες και κατά µήκος ευθύγραµµου τµήµατος Εφόσον L L L, οι συντεταγµένες και είναι εαρτµένες και ικανοποιούν τν σχέσ: () Οι συντεταγµένες και έχουν µέγεθος ή στα σµεία και, οι δε σχέσεις (α), (β) είναι ανεάρττες του συστήµατος αναφοράς. Η απόστασ ενός τυχαίου σµείου P εκφράζεται συναρτήσει των και µε τ σχέσ: () Για παράδειγµα, το σµείο διχοτόµσς τς ευθείας - ορίζεται από τις τιµές /, /, όπου ( )/. Οι σχέσεις () και () και οι αντίστροφές τους, που εκφράζουν τις και συναρτήσει τς, γράφονται ως: (α) και L - (β) Οι παραπάνω σχέσεις εκφράζουν γραµµική απεικόνισ των δύο συστµάτων αναφοράς. Παρεµβολή κατά µήκος τς ευθείας - µπορεί τώρα να γίνει µε τις φυσικές συντεταγµένες. L/ L/ N (-) N (-) Ν Σχήµα ευτεροτάιες συναρτήσεις µορφής µε φυσικές συντεταγµένες και σε µήκος L, όπου ο κόµβος διχοτοµεί το διάστµα -

3 Ισοπαραµετρικά πεπερασµένα στοιχεία 65 Η γραµµική παρεµβολή συνάρτσς µε τιµές φ, φ στους κόµβους, επιτυγχάνεται µε χρήσ τς σχέσς: φ φ N όπου Ν [ ] (5) φ Στ συγκεκριµέν περίπτωσ Ν και Ν. Εάν θέλουµε να κάνουµε δευτεροβάθµια παρεµβολή µεταύ τιµών φ στο, φ στο και φ στο /, θα έχουµε: ( ) φ ( ) φ φ φ (6) Η σχέσ (6) µπορεί να αποκτθεί µε δύο τρόπους: (α) από τν γενικής µορφής δευτεροτάια συνάρτσ φα α α, όπου υπολογίζουµε τους συντελεστές α από τις ισχύουσες συνθήκες στους κόµβους, όπως φφ για, σε συνδυασµό µε τν σχέσ (), και (β) από τις ισχύουσες συνθήκες στους κόµβους και συγκρίνοντας τις αντίστοιχες καµπύλες που περιλαµβάνονται στα Σχήµατα και, απ όπου προκύπτει ότι: N N και N N Το µτρώο ακαµψίας διατυπώνεται συναρτήσει των φυσικών συντεταγµένων ως εής: θεωρούµε ότι ευθεία - συνιστά στοιχείο-ράβδο δύο κόµβων µε σταθερό εµβαδόν διατοµής Α και µέτρο ελαστικόττας Ε. Από τ σχέσ (5) µε φu µετατόπισ κατά µήκος του άονα είναι u u u. Συνεπώς, αονική παρα- µόρφωσ είναι: du u u ε u u d L L (7) όπου οι όροι ±/L αποκτώνται από τ σχέσ (β). λαδή, L L L L (8α) (8β) Το µτρώο ακαµψίας των u και u είναι:

4 66 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές k L AE B T Bd όπου B L L (9) Αντικαθιστώντας αποκτάται αµέσως γνωστή σχέσ για το µτρώο ακαµψίας k µίας ράβδου.. ύο διαστάσεις Είδαµε ότι στν περίπτωσ τς ευθείας γραµµής, οι φυσικές συντεταγµένες ορίζονται ως λόγοι µκών. Αντίστοιχα µπορούµε να ορίσουµε στν περίπτωσ διδιάστατων σχµάτων τις φυσικές συντεταγµένες ως λόγους εµβαδών. Στο Σχήµα περιγράφονται τα χαρακτριστικά του τριγώνου. Το (τυχαίο) σµείο P υποδιαιρεί το εµβαδόν Α σε τρεις χώρους, τους Α, Α και Α. Οι συντεταγµένες ορίζονται τώρα ως λόγοι εµβαδών: A A A A A () A όπου A είναι το εµβαδόν του τριγώνου --. Εφόσον ΑΑ Α Α οι δεν είναι ανεάρττες αλλά ικανοποιoύν τν είσωσ: () Το κέντρο βάρους του τριγώνου βρίσκεται στο σµείο /. Η παραπάνω σχέσ (είσωσ περιορισµού) και γραµµική σχέσ µεταύ των καρτεσια A A A P Σχήµα Φυσικές συντεταγµένες τριγώνου

5 Ισοπαραµετρικά πεπερασµένα στοιχεία 67 νών συντεταγµένων και των συντεταγµένων των εµβαδών εκφράζονται από τις παρακάτω σχέσεις: A και A (α-β) όπου, εάν και, A (α) και A A (β) Εύκολα επιβεβαιώνεται µε αντικατάστασ για επιλεγµένα σµεία τς περιφέρειας του τριγώνου (ακµές) ότι σχέσ (α) ισχύει. Το διπλάσιο του εµβαδού του τριγώνου δίνεται από τ σχέσ: det A A () όπου - - κλπ. Η παραπάνω σχέσ προκύπτει από αλγεβρικές πράεις επί τς ορίζουσας. Η σχέσ (α) δίνει τις συντεταγµένες κάθε σµείου στο ορθογώνιο σύστµα αναφοράς για δεδοµένες συντεταγµένες εµβαδών, οι οποίες βέβαια πρέπει να ικανοποιούν τν είσωσ περιορισµού (). Η διατύπωσ των µτρώων του στοιχείου βασίζεται στ δυνατόττα παραγώγισς µίας συνάρτσς φ ως προς τις καρτεσιανές συντεταγµένες. Ο κανόνας αλλλουχίας, για συνάρτσ φφ(,, ), δίνει: φ φ φ φ (5α) φ φ φ φ (5β) Από τν σχέσ (β) προκύπτει,

6 68 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές A A A (6α-γ) A A A (6δ-στ) όπου - κ.ο.κ. Οι σχέσεις (6α-στ) ισχύουν για τρίγωνα µε ευθύγραµµες πλευρές και κανονικά διατεταγµένους πλευρικούς κόµβους (εφόσον υπάρχουν).. Πεδία παρεµβολής Για να αναπτύουµε πεπερασµένα στοιχεία αναζτούµε συναρτήσεις παρεµβολής (µορφής) όπως Ν N (,, ) στ σχέσ φσ(ν φ ) όπου οι φ είναι κοµβικοί βαθµοί ελευθερίας. Η χρήσ πολυωνύµων που περιέχουν απροσδιόριστες σταθερές α είναι ένας τρόπος διατύπωσς των N. Εάν φ φ(,, ) φ(, ), όπου φ δίνεται από τ σχέσ: n a q r s φ (7) όπου q, r και s είναι µ-αρντικοί ακέραιοι που ικανοποιούν τ σχέσ qrsp για n δυνατούς συνδυασµούς. Συνεπώς φ είναι πλήρες πολυώνυµο βαθµού p στο ορθογώνιο σύστµα αναφοράς. Για παράδειγµα, για το τρίγωνο δευτέρου βαθµού του Σχήµατος 5, n6, p και φ a (8) a a a a5 a6 Η σχέσ αυτή για τν περίπτωσ ενός τριγώνου µε ευθύγραµµες πλευρές αντιστοιχεί µε τν σχέσ: φ b (9) b b b b5 b6 όπου οι όροι b είναι σταθερές που συνδέονται µε τις σταθερές α τς είσωσς (8). Οι συναρτήσεις µορφής λαµβάνονται από τ σχέσ (7) εκφράζοντας τους συντελεστές a συναρτήσει των κοµβικών βαθµών ελευθερίας φ. Ας θεωρήσουµε πάλι το τρίγωνο δευτέρου βαθµού. Ο πλευρικός κόµβος κείται στο σµείο / και, ο πλευρικός κόµβος 5 κείται στο σµείο / και και ο πλευρικός κόµβος 6 κείται στο σµείο / και. Μπορούµε λοιπόν να επιλύσουµε για κάθε πλευρά του τριγώνου ως προς τους αντίστοιχους συντελε-

7 Ισοπαραµετρικά πεπερασµένα στοιχεία 69 στές a και να αποκτήσουµε τις συναρτήσεις µορφής, οι οποίες και θα είναι οι συντελεστές των φ. Συνεπώς για το τρίγωνο δευτέρου βαθµού βρίσκουµε ότι: N ( ) N ( ) Ν ( ) N 5 N N 6 Θα επανεετάσουµε το τρίγωνο σταθερών παραµορφώσεων που περιγράφκε στο Κεφάλαιο. Στν περίπτωσ αυτή τα πεδία µετατοπίσεων u(, ), (, ) παρεµβάλλονται µεταύ των τιµών των µετατοπίσεων στους κόµβους, u,. Έχουµε λοι- u ˆ T u u u και πόν [ ] u H uˆ όπου H () Οι παραµορφώσεις ε B ˆ u υπολογίζονται από τν σχέσ B H (Κεφάλαιο ). Προκύπτει λοιπόν ότι: B H () A Το γραµµικό τρίγωνο Τρίγωνο Pascal Βαθµός πολυωνύµου Αριθµός όρων Τριγωνικό στοιχείο (αριθµ. κόµβωναριθµ. όρων) n (p)(p) 6 5 Σχήµα Τρίγωνα και αντίστοιχοι συντελεστές πολυωνύµων παρεµβολής

8 7 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές (α) Γραµµικό (β) ευτεροβάθµιο (γ) Τριτοβάθµιο Σχήµα 5 Τριγωνικά στοιχεία Για δεδοµένο µτρώο ελαστικόττας Ε αποκτάται το µτρώο ακαµψίας k: T k B E B dv () V Εάν το µτρώο Ε και το πάχος t είναι σταθερά, k tαβ T ΕΒ. Αίζει να σµειώσουµε ότι επειδή λείπουν όροι και το στοιχείο αυτό δεν έχει αιόλογ επίδοσ σε προβλήµατα οµοεπίπεδς κάµψς. Αυτό αντιµετωπίζεται στν πρά είτε µε τ χρήσ µεγάλου αριθµού στοιχείων (Κεφάλαιο ) είτε µε τ χρήσ στοιχείου που να έχει τους απαιτούµενους βαθµούς ελευθερίας.. Τα ισοπαραµετρικά στοιχεία. Γενικά. Θα µιλήσουµε τώρα για µία σµαντική κατγορία στοιχείων που τα ιδιαίτερα χαρακτριστικά τους επιτρέπουν τν ακριβέστερ περιγραφή τς γεωµετρίας πολλών κατασκευών. Τα στοιχεία αυτά βασίζονται στν ισοπαραµετρική διατύπωσ που δίνει τ δυνατόττα απόκτσς στοιχείων µε καµπυλόγραµµες πλευρές. Για να εκτιµθεί ανάγκ τέτοιων χαρακτριστικών παρατίθεται το Σχήµα 6 που δείχνει το µοντέλο πτερυγίου στροβίλου. Τα ισοπαραµετρικά στοιχεία βρίσκουν εφαρµογή σε προβλήµατα επιπέδων κατασκευών, στερεών κατασκευών, ελασµάτων και κελυφών. Υπάρχουν επίσς στοιχεία για προβλήµατα θραυστοµχανικής και στοιχεία για µ-µχανικά προβλήµατα. Η διατύπωσ των ισοπαραµετρικών στοιχείων προϋποθέτει τ χρήσ φυσικού συστήµατος αναφοράς, οι δε µετατοπίσεις εκφράζονται συναρτήσει των φυσικών συντεταγµένων. Επειδή όµως πρέπει να παραγωγισθούν ως προς το γ.σ.α. απαιτείται να γίνει πρώτα µετασχµατισµός σε αυτό. Αυτό επιτυγχάνεται µε το µτρώο µετασχµατισµού J, το οποίο καλείται Ιακωβιανό. Ένα άλλο χαρακτριστικό των ισοπαραµετρικών στοι χείων είναι το ότι σε µ-ορθογώνια στοιχεία οι ολοκλρώσεις πρέπει να γίνουν αριθµτικά. Αυτό γίνε-

9 Ισοπαραµετρικά πεπερασµένα στοιχεία 7 Σχήµα 6 Προσοµοίωσ πτερυγίου στροβίλου µε τρισδιάστατα στοιχεία ται διότι είτε αναλυτική ολοκλήρωσ οδγεί σε πολύ σύνθετες αλγεβρικές σχέσεις, είτε διότι δεν είναι δυνατή. Ο όρος ισοπαραµετρικό αναφέρεται στν χρήσ τς ίδιας συνάρτσς µορφής για τν απόκτσ των πεδίων µετατοπίσεων αλλά και των συντεταγµένων των σ- µείων στο εσωτερικό κάθε στοιχείου. Έτσι, στν περίπτωσ των ισοπαραµετρικών στοιχείων ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: u Huˆ H c H H () όπου T [ z] και c είναι το µτρώο των συντεταγµένων των κόµβων. Εάν οι συναρτήσεις µορφής που περιλαµβάνονται στο µτρώο H είναι υψλότερς τάς των αντιστοίχων συναρτήσεων στο µτρώο H τότε το στοιχείο καλείται υποπαρα- µετρικό ενώ εάν συµβαίνει το αντίστροφο τότε καλείται υπερπαραµετρικό.

10 7 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές. Μτρώο ακαµψίας ισοπαραµετρικού στοιχείου-ράβδου Το Σχήµα 7 απεικονίζει το στοιχείο-ράβδος για το οποίο υποθέτουµε, προς απλοποίσ των µαθµατικών σχέσεων, ότι ο άονας τς ράβδου συµπίπτει µε τον άονα O στο γενικό σύστµα αναφοράς. Στο γενικό σύστµα αναφοράς, συντεταγµέν εκφράζεται συναρτήσει των συντεταγµένων στο φυσικό σύστµα αναφοράς µε τ µεταβλτή, όπου -. Ο µετασχµατισµός αυτός δίνεται από τ σχέσ: Y X U X U Ζ -,u Σχήµα 7 Στοιχείο-ράβδος σε γενικό και φυσικό σύστµα συντεταγµένων ( ) ( ) (α) ή N (β) όπου Ν /(-) και Ν /() είναι οι συναρτήσεις παρεµβολής. Οι () ορίζουν µία και µοναδική σχέσ µεταύ των συντεταγµένων και τς µεταβλτής τς ράβδου. Στο γενικό σύστµα αναφοράς οι µετατοπίσεις εκφράζονται όπως και οι συντεταγµένες, δλαδή, u N U (5) όπου στν περίπτωσ αυτή οι µετατοπίσεις µεταβάλλονται γραµµικά. Η χρήσ τς ίδιας συνάρτσς για τν παρεµβολή των τεταγµένων και των µετατοπίσεων των στοιχείων που ορίζονται στο φυσικό σύστµα αναφοράς, συνιστά το θεµελιώδες γνώρισµα τς ισοπαραµετρικής διατύπωσς των πεπερασµένων στοιχείων. Για να υπολογίσουµε το µτρώο ακαµψίας του στοιχείου πρέπει πρώτα να προσδιορισθούν οι παραµορφώσεις εdu/d. Η σχέσ γίνεται: du d ε (6) d d

11 Ισοπαραµετρικά πεπερασµένα στοιχεία 7 όπου, από τ σχέσ (5) έχουµε: d u U U (7) d και κάνοντας χρήσ τς (β) έχουµε: d L (8) d όπου L είναι το µήκος τς δοκού. Συνεπώς καταλήγουµε στ γνωστή σχέσ: U U ε (9) L Το µτρώο συµβιβαστού των παραµορφώσεων B που αντιστοιχεί στ σχέσ ε Buˆ είναι συνεπώς: B [ ] () L Το µτρώο αυτό κατά κανόνα είναι συνάρτσ των φυσικών συντεταγµένων και γι αυτό υπολογίζουµε το µτρώο ακαµψίας (σχέσ ()) ολοκλρώνοντας στο φυσικό σύστµα αναφοράς. Στο παράδειγµα αυτό θα έχουµε: k V B A T EB dv B T EB d A B T EB J d AEL B T B J d [dvad (σταθερή διατοµή)] όπου Α είναι το εµβαδόν τς διατοµής, Ε είναι το µέτρο ελαστικόττας και J είναι Ιακωβιανή σχέσ djd, όπου d είναι το στοιχειώδες µήκος στο γενικό σύστµα αναφοράς και d είναι το αντίστοιχο µήκος στο φυσικό σύστµα αναφοράς. Από τ σχέσ (8) έχουµε JL/ και αντικαθιστώντας στ ανωτέρω σχέσ κατα-

12 7 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές λήγουµε στ γνωστή σχέσ για το µτρώο ακαµψίας µίας ράβδου σταθερής διατο- µής: AEL k [- ] d L AE d L AE {( ) ( ) } L ή AE - k () L Γενικά για το στοιχείο ράβδος χρσιµοποιείται παρακάτω σχέσ για τν παρεµβολή τς συντεταγµένς : q N ( ) όπου είναι συντεταγµέν ενός τυχαίου σµείου στο εσωτερικό του στοιχείου, είναι οι αντίστοιχες συντεταγµένες των q κόµβων του, και είναι µεταβλτή στο φυσικό σύστµα αναφοράς. Στν παραπάνω σχέσ οι συντεταγµένες των σ- µείων του στοιχείου εκφράζονται στο τοπικό σύστµα αναφοράς και το διάνυσµα των κοµβικών συντεταγµένων στο γενικό σύστµα αναφοράς, X T [X X... X q ], βρίσκεται από τν συνήθ σχέσ TX όπου T είναι το αντίστοιχο µτρώο µετασχµατισµού. Ο µετασχµατισµός µεταύ του τοπικού και φυσικού συστήµατος αόνων δίνεται τώρα από τν σχέσ (). Η χαρακτριστική ιδιόττα των συναρτήσεων παρεµβολής Ν () είναι ότι στο φυσικό σύστµα αναφοράς έχουν τιµή ίσ µε τν µονάδα στον αντίστοιχο κόµβο και είναι ίσες µε το µδέν στους υπόλοιπους κόµβους. Εποµένως ένα σµαντικό πλεονέκτµα του ισοπαραµετρικού στοιχείου-ράβδου είναι ότι εύκολα ορίζουµε ένα µεταβλτό αριθµό κόµβων οι οποίοι δεν είναι απαραίττο να είναι οµοιόµορφα διατεταγµένοι. Η διαδικασία για να προσδιορισθούν οι αντίστοιχες συναρτήσεις παρεµβολής εγείται στο παρακάτω παράδειγµα. Παράδειγµα Να διατυπωθούν οι συναρτήσεις παρεµβολής του στοιχείου-ράβδου του Σχήµατος 8 για και κόµβους. ()

13 Ισοπαραµετρικά πεπερασµένα στοιχεία 75,L,7L Ν - -,L L - Ν (-)- (- ) ()- Ν (- ) - - Σχήµα 8 Στοιχείο-ράβδος και συναρτήσεις παρεµβολής µίας διάστασς Λύσ Παρατρούµε ότι για το στοιχείο µε κόµβους συνάρτσ παρεµβολής πρέπει να περιέχει όρους µε υψλότερ δύναµ τ δεύτερ. Η παρεµβολή θα έχει συνεπώς παραβολική µορφή. Η παραβολή που ικανοποιεί τις απαιτούµενες συνθήκες (δλαδή ίσ µε το µδέν στα σµεία ± και ίσ µε τ µονάδα για ) είναι (- ). Οι υπόλοιπες συναρτήσεις παρεµβολής (Ν και Ν ) αποκτώνται µε υπέρθεσ µιας γραµµικής συνάρτσς και µίας παραβολής. Ας θεωρήσουµε τ συνάρτσ παρεµβολής Ν. Η συνθήκ µδενισµού τς συνάρτσς στα σµεία - και ικανοποιείται χρσιµοποιώντας τ σχέσ (/)(). Για να εασφαλισθεί ο µδενισµός τς h και στο σµείο χρσιµοποιείται σχέσ h (/)()-(/)(- ). Με παρόµοιο τρόπο αποκτάται και συνάρτσ παρεµβολής h. Η διαδικασία που χρσιµοποιήθκε στν περίπτωσ του στοιχείου µε τρεις κόµβους µπορεί να εφαρµοσθεί και για στοιχεία µε περισσότερους κόµβους. Στο παρακάτω σχήµα περιγράφεται στοιχείο-ράβδος µε τέσσερις κόµβους οι οποίοι και πάλι δεν είναι οµοιόµορφα διατεταγµένοι κατά µήκος τς ράβδου. Οι αντίστοιχες συναρτήσεις παρεµβολής δίνονται στον Πίνακα. Αρχικά προσδιορίζονται οι συναρτήσεις για ένα στοιχείο µε δύο κόµβους. Για τν χρήσ ενός τρίτου κόµβου ορίζουµε µία τρίτ συνάρτσ παρεµβολής και προστίθενται διορθωτικοί όροι στις δύο υπάρχουσες συναρτήσεις. Η διαδικασία αυτή επαναλαµβάνεται για τον τέταρτο κόµβο. Πίνακας Συναρτήσεις παρεµβολής µονοδιάστατου στοιχείου κόµβοι κόµβοι N (-)/ -(- )/ (-9 9-)/6 N ()/ -(- )/ (9-9-)/6 N (- ) ( )/6 N ( )/6

14 76 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές - ( κόµβοι) - -/ / ( κόµβοι). Ορθογωνικά στοιχεία Σχήµα 9 Στοιχείο-ράβδος µε µεταβλτό αριθµό κόµβων Σχήµα ιδιάστατο καµπυλόγραµµο ισοπαραµετρικό στοιχείο Η διατύπωσ των ισοπαραµετρικών µτρώων δύο και τριών διαστάσεων γίνεται κατά τον ίδιο τρόπο. Για στοιχείο δύο διαστάσεων οι παρεµβολές των συντεταγµένων γίνονται µε τις παρακάτω σχέσεις: q N q N (α-β) όπου και είναι οι συντεταγµένες τυχαίου σµείου του στοιχείου και, (,... q) είναι οι συντεταγµένες των q κόµβων του στοιχείου. Οι συναρτήσεις παρεµβολής Ν ορίζονται στο φυσικό σύστµα αναφοράς µε µεταβλτές, που λαµβάνουν τιµές από - έως. Η ανωτέρω διαδικασία που χρσιµοποιήθκε για τον προσδιορισµό των συναρτήσεων παρεµβολής στν µία διάστασ µπορεί να εφαρµοσθεί γενικότερα για δύο και τρεις διαστάσεις. Η γενική µορφή του τετράπλευρου ισοπαραµετρικού στοιχείου δίνεται στο Σχήµα. Ένα από τα βασικά πλεονεκτήµατα των ισοπαραµετρικών σε σύγκρισ µε τα συµβατικά στοιχεία είναι ότι µπορούν να έχουν καµπυ-

15 Ισοπαραµετρικά πεπερασµένα στοιχεία 77 λόγραµµες πλευρές και µεταβλτό αριθµό κόµβων. Μέγιστ ακρίβεια αποκτάται όταν τα στοιχεία µε µεταβλτό αριθµό κόµβων πλσιάζουν το ορθογώνιο σχήµα (διδιάστατα στοιχεία) και οι µ γωνιακοί κόµβοι βρίσκονται στις αντίστοιχες θέσεις τους στο φ.σ.α. (δλαδή οι πλευρικοί κόµβοι βρίσκονται στο κέντρο των αντιστοίχων πλευρών). Ένα άλλο πλεονέκτµα των στοιχείων αυτών είναι σχετική ευκολία µε τν οποία αποκτώνται οι συναρτήσεις µετατοπίσεων των στοιχείων. Για τα ισοπαραµετρικά στοιχεία λοιπόν παρεµβολή των µετατοπίσεων των στοιχείων γίνεται κατά τον ίδιο τρόπο µε τις παρεµβολές των συντεταγµένων των κόµβων (σχέσεις (α), (β)), δλαδή, µε µεταβλτό αριθµό κόµβων ( έως 9): Πίνακας Συναρτήσεις παρεµβολής για διδιάστατα στοιχεία µε µεταβλτό αριθµό κόµβων (Οι παρακάτω όροι προστίθενται εάν το στοιχείο περιλαµβάνει τον κόµβο ) N ()()/ -N 5 / -N 8 / -N 9 / N (-)()/ -N 5 / -N 6 / -N 9 / N (-)(-)/ -N 6 / -N 7 / -N 9 / N ()(-)/ -N 7 / -N 8 / -N 9 / N 5 (- )()/ -N 9 / N 6 (- )(-)/ -N 9 / N 7 (- )(-)/ -N 9 / N 8 (- )()/ -N 9 / N 9 (- )(- )/ q u N u q N () όπου u και είναι οι µετατοπίσεις οποιουδήποτε σµείου στο σύστµα αναφοράς του στοιχείου και u,, (,...q) είναι οι αντίστοιχες µετατοπίσεις στους κόµβους.. Υπολογισµός µτρώου ακαµψίας ισοπαραµετρικού στοιχείου Για να επιτευχθεί ο υπολογισµός του µτρώου ακαµψίας, k, πρέπει να υπολογισθεί πρώτα το µτρώο του συµβιβαστού των παραµορφώσεων B. Οι παραµορφώσεις λαµβάνονται συναρτήσει των παραγώγων των µετατοπίσεων στο τοπικό σύστµα

16 78 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές αναφοράς (για παράδειγµα, ε u/). Επειδή όµως οι µετατοπίσεις ορίζονται στο φυσικό σύστµα αναφοράς, (σχέσ ()), πρέπει να αποκτήσουµε τ σχέσ µεταύ των παραγώγων ως προς και µε τις παραγώγους ως προς και. Η διαδικασία για τον υπολογισµό του k είναι παρόµοια στις µία, δύο ή τρεις διαστάσεις. Συνεπώς χρσιµοποιούµε στ συνέχεια τις τρεις διαστάσεις ώστε να δοθεί πιο γενική διατύπωσ τς διαδικασίας αυτής. Οι σχέσεις () έχουν τν γενική µορφή (,, θ) όπου το διάνυσµα T [ z] και εποµένως στο τοπικό σύστµα αναφοράς οι παράγωγοι /, /, /z κλπ υπολογίζονται κάνοντας χρήσ του κανόνα αλλλουχίας: θ θ (5) Ανάλογες σχέσεις ισχύουν για τις παραγώγους ως προς και z. Βλέπουµε ότι για να υπολογισθούν οι ζτούµενες παράγωγοι πρέπει να γνωρίζουµε τις τιµές των θ/, /, / κλπ οι οποίες υπολογίζονται από τις αντίστοιχες σχέσεις (,, z) όπου T ( θ). Επειδή σε πολλές περιπτώσεις οι παραστάσεις αυτές δεν µπορούν να εκφρασθούν αναλυτικά, είναι προτιµότερο να διατυπωθεί το πρόβλµα στν παρακάτω µορφή: z z z z θ θ θ θ (6) ή J (6 ) όπου J είναι το Ιακωβιανό µτρώο, το οποίο συνδέει τις παραγώγους στο φυσικό σύστµα αναφοράς µε τις παραγώγους στο τοπικό σύστµα αναφοράς. Το Ιακωβιανό µτρώο υπολογίζεται εύκολα από τις σχέσεις (). Επιλύνοντας ως προς / έχουµε: J (7) Η παράγωγος / ορίζεται εφόσον υπάρχει το αντίστροφο του J (εφόσον δλαδή υπάρχει αµφιµονοσήµαντ αντιστοιχία µεταύ των συντεταγµένων του στοι-

17 Ισοπαραµετρικά πεπερασµένα στοιχεία 79 χείου στο φυσικό και στο τοπικό σύστµα αναφοράς). Κάνοντας χρήσ των σχέσεων () και (7) βρίσκουµε τις µερικές παραγώγους u/, u/, u/z, /, /, /z, w/, w/, w/z. Ακόλουθα συγκροτείται το µτρώο του συµβιβαστού των παραµορφώσεων, Β, όπου: ε B uˆ (8) και û είναι το διάνυσµα των µετατοπίσεων στους κόµβους, δλαδή: T û [u w... u q q w q ] Το µτρώο ακαµψίας του στοιχείου είναι τότε: T k B EBdV (9) V Τα στοιχεία του µτρώου Β είναι συναρτήσεις των µεταβλτών,, θ στο φυσικό σύστµα αναφοράς. Συνεπώς ολοκλήρωσ στον όγκο γίνεται στο φυσικό σύστµα αναφοράς και το διαφορικό dv πρέπει επίσς να γραφεί στο φυσικό σύστµα αναφοράς. Στ γενική περίπτωσ ισχύει: dv det J d d dθ () όπου detj είναι ορίζουσα του Ιακωβιανού µτρώου. Για να υπολογισθεί το µτρώο ακαµψίας k πρέπει να γίνει ολοκλήρωσ ως προς το όγκο V του στοιχείου. Στα ισοπαραµετρικά στοιχεία χρσιµοποιούνται κυρίως συναρτήσεις παρεµβολής υψλής τάς και συνεπώς το k αποκτάται ευκολότερα µε αριθµτική ολοκλήρωσ. Παροµοίως γίνεται χρήσ αριθµτικής ολοκλήρωσς για τον υπολογισµό του µτρώου µάζας και των διανυσµάτων των φορτίων που ασκούνται σε κάθε στοιχείο. Η σχέσ (9) εποµένως γράφεται ως εής: V k F d ddθ () όπου FB T EBdetJ και ολοκλήρωσ γίνεται στο φυσικό σύστµα αναφοράς του στοιχείου. Το µτρώο ακαµψίας k υπολογίζεται µε αριθµτική ολοκλήρωσ και γι αυτό διατυπώνεται στν παρακάτω µορφή: k α k Fk (),, k όπου F k είναι τιµή του µτρώου F που υπολογίζεται στο σµείο µε συντεταγµένες,, θ k. Οι σταθερές α k είναι σταθµικοί παράγοντες που εαρτώνται από τις

18 8 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές συντεταγµένες των,, και θ k. Οι τιµές και ο απαιτούµενος αριθµός των µεταβλτών και των σταθµικών παραγόντων επιλέγονται µε κατάλλλο τρόπο έτσι ώστε να µεγιστοποιθεί ακρίβεια τς ολοκλήρωσς. Στα ισοπαραµετρικά στοιχεία χρσιµοποιείται ευρέως για τν αριθµτική ολοκλήρωσ µέθοδος κατά Gauss οποία και περιγράφεται παρακάτω στο εδάφιο 5. Παράδειγµα Να υπολογισθούν α) το µτρώο παρεµβολής των µετατοπίσεων Η, β) το µτρώο συµβιβαστού των παραµορφώσεων Β και γ) το Ιακωβιανό J του στοιχείου-ράβδου του Σχήµατος. -,u Σχήµα Στοιχείο-ράβδος ( κόµβοι) Λύσ Οι συναρτήσεις παρεµβολής του στοιχείου αυτού περιλαµβάνονται στον Πίνακα. Έχουµε λοιπόν: H - ( ) ( ) ( - ) () Το µτρώο του συµβιβαστού των παραµορφώσεων, Β, λαµβάνεται από τν παραγώγισ του Η ως προς και στ συνέχεια πολλαπλασιάζοντας το αποτέλεσµα µε το αντίστροφο του Ιακωβιανού µτρώου. λαδή, B J - () Το Ιακωβιανό J υπολογίζεται από τ σχέσ: ( ) ( )( L) ( ) L (5)

19 Ισοπαραµετρικά πεπερασµένα στοιχεία 8 άρα L L (6) Επειδή ο κόµβος διχοτοµεί τ ράβδο, το παρεµβάλλεται γραµµικά µεταύ των άκρων. Η σχέσ (6) δίνει ότι J[L/] και J - [/L], det J L/. Τα µτρώα Κ, Μ, R b, R s και R υπολογίζονται παροµοίως από τις σχέσεις (-6). Παράδειγµα,,u Σχήµα Τετράκοµβο διδιάστατο στοιχείο Να προσδιορισθούν οι σχέσεις που απαιτούνται για τον υπολογισµό του µτρώου ακαµψίας του ισοπαραµετρικού τετράκοµβου στοιχείου του Σχήµατος για επίπεδες εντατικές ή παραµορφωσιακές καταστάσεις. Λύσ Οι συναρτήσεις παρεµβολής N -N δίνονται στον Πίνακα. Συνεπώς, οι συντεταγ- µένες και στο καρτεσιανό σύστµα αναφοράς είναι: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) (7α) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) (7β) Αντίστοιχα, οι µετατοπίσεις είναι: u ( )( ) u ( )( ) u

20 8 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές ( )( ) ( )( ) u u (8α) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) (8β) Οι παραµορφώσεις του στοιχείου είναι ε Τ [ε ε γ ] όπου ε u/, ε / και γ u//. Για το στοιχείο του Σχήµατος, (6) γίνεται: (9α) ή J (9β) Από τις σχέσεις (9α) και (9β) προκύπτουν οι παρακάτω: ( ) ( ) ( ) ( ) (5α) ( ) ( ) ( ) ( ) (5β) ( ) ( ) ( ) ( ) (5γ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5δ) όπου -,. Στο σµείο (, ) του στοιχείου το Ιακωβιανό µτρώο και ορίζουσά του έχουν τιµές J και detj. Τότε, στο σµείο,, J (5)

21 Ισοπαραµετρικά πεπερασµένα στοιχεία 8 Για να υπολογισθούν οι παραµορφώσεις του στοιχείου στο φυσικό σύστµα αναφοράς απαιτούνται οι παρακάτω σχέσεις, που προκύπτουν αντιστοίχως από τις σχέσεις (8α) και (8β): ( ) ( ) ( ) ( ) u u u u u (5α) ( ) ( ) ( ) ( ) u u u u u (5β) ( ) ( ) ( ) ( ) (5γ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5δ) Εποµένως, στο σµείο (, ), ( ) ( ) ( ) ( ) u J ˆ u u (5α) και ( ) ( ) ( ) ( ) u J ˆ (5β) όπου T û [u w... u q q w q ]. Το µτρώο συµβιβαστού των παραµορφώσεων υπολογίζεται τώρα από τις σχέσεις (5α) και (5β) και έχουµε: B û ε (5) όπου οι δείκτες και ορίζουν ότι το µτρώο Β υπολογίζονται στα σµεία (, ). Για παράδειγµα, εάν οι εισώσεις παρεµβολής των συντεταγµένων ενός σµείου του στοιχείου (α), (β) είναι,, όπως συµβαίνει στν περίπτωσ ενός τετράγωνου στοιχείου µε πλευρά µήκους µονάδων, τότε το Ιακωβιανό είναι το µοναδιαίο µτρώο και συνεπώς:

22 8 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές B - ( ) - ( - ) ( ) - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Το µτρώο F τς σχέσς () ισούται µε: F B EB det J T (56) όπου E E ν ( ) -ν / ή E E( ) ( )( ) ν -ν - ν ( ) -ν για επίπεδες εντατικές ή παραµορφωσιακές καταστάσεις αντίστοιχα. Ολοκλρώνουµε στο πεδίο (, ) και υποθέτουµε ότι συνάρτσ F δεν µεταβάλλεται κατά το πάχος t του στοιχείου. Για δεδοµένες τιµές των συντελεστών α το µτρώο ακαµψίας είναι: k α F (ι) t, όπου t είναι το πάχος στο σµείο (, ) του στοιχείου.. Μτρώα στοιχείων στο γενικό σύστµα αναφοράς Στο εδάφιο υπολογίσθκαν τα διάφορα µτρώα ως πρoς το τ.σ.α. κάνοντας χρήσ των τοπικών βαθµών ελευθερίας του ισοπαραµετρικού στοιχείου (π.χ. παραδείγµατα και ). Όπως είδαµε και στο εδάφιο 5 του Κεφαλαίου πρέπει στν συνέχεια να γίνει ο µετασχµατισµός στο γ.σ.α. και τους γενικούς βαθµούς ελευθερίας. Για τα ισοπαραµετρικά στοιχεία µπορεί να γίνουν απευθείας οι υπολογισµοί των µτρώων στο γενικό σύστµα αναφοράς τς κατασκευής χωρίς να προγθεί ο µετασχµατισµός στο τ.σ.α. Αυτό είναι εφικτό εάν ο αριθµός των µετα-

23 Ισοπαραµετρικά πεπερασµένα στοιχεία 85 βλτών στο φυσικό σύστµα αναφοράς είναι ίσος µε τον αριθµό των µεταβλτών στο γενικό σύστµα. Για παράδειγµα, στν περίπτωσ διδιάστατων στοιχείων που εκτείνονται σε ένα επίπεδο το οποίο συµπίπτει µε ένα από τα επίπεδα του γ.σ.α (µία περίπτωσ ανάλογ του του στοιχείου ράβδου που εετάσθκε στο εδάφιο.) ή για τρισδιάστατα εαεδρικά στοιχεία. Τότε το Ιακωβιανό είναι ένα τετράγωνο µτρώο που ορίζεται όπως στν σχέσ (6β), τα δε µτρώα των στοιχείων ορίζονται απευθείας στις γενικές συνιστώσες των µετατοπίσεων. Όταν όµως τά του γενικού συστήµατος αναφοράς (για παράδειγµα τρεις διαστάσεις) είναι υψλότερ αυτής του φυσικού συστήµατος αναφοράς (π.χ. δύο διαστάσεις), ευπρετεί να γίνεται πρώτα ο υπολογισµός των µτρώων στο τοπικό σύστµα και να επακολουθεί ο µετασχµατισµός τους στο γενικό σύστµα. Παραδείγµατα αυτής τς περίπτωσς είναι µία ράβδος-δοκός ή ένα διδιάστατο στοιχείο επίπεδς εντατικής κατάστασς που καταλαµβάνουν αντιστοίχως τυχαίες θέσεις στον τρισδιάστατο χώρο. Εναλλακτικά, µπορούµε να συµπεριλάβουµε το µετασχµατισµό απευθείας στ διατύπωσ τς λύσς. Αυτό επιτυγχάνεται εισάγοντας στις συναρτήσεις παρεµβολής τον κατάλλλο µετασχµατισµό ο οποίος εκφράζει τις τοπικές κοµβικές µετατοπίσεις συναρτήσει των αντιστοίχων συνιστωσών στο γ.σ.α. Αυτή εναλλακτική λύσ περιγράφεται επίσς στο παρακάτω Παράδειγµα. Παράδειγµα Να υπολογισθεί το µτρώο ακαµψίας του στοιχείου-ράβδου του Σχήµατος στο γενικό σύστµα αναφοράς. Λύσ Σχήµα Στοιχείο-ράβδος σε γενικό σύστµα αναφοράς Το µτρώο ακαµψίας του στοιχείου-ράβδου δίνεται από τ σχέσ: V T k B EB dv (57)

24 86 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές όπου Β είναι το µτρώο συµβιβαστού των παραµορφώσεων και Ε είναι το µτρώο ελαστικόττας. Για το στοιχείο αυτό έχουµε ότι, u ( ) U ( ) U α (58) ( ) V ( ) V [ cos snα ] Η είσωσ του γεωµετρικού συµβιβαστού (εu/) στο φυσικό σύστµα αναφοράς γράφεται ε(/l)u/ και εποµένως το µτρώο Β που αντιστοιχεί στο διάνυσµα των µετατοπίσεων, U T [U V U V ] είναι: B L [ cosα snα cosα snα ] - - Έχουµε επίσς dval/ d. Αντικαθιστώντας στ σχέσ (57) καταλήγουµε στ σχέσ: cos α cosα sn α - cos α - cosα snα AE sn α cosα sn α - sn α cosα - sn α k (59) L cos α - cosα snα cos α cosα sn α - sn α cosα - sn α sn α cosα sn α 5. Αριθµτική ολοκλήρωσ κατά Gauss Επειδή το Ιακωβιανό µτρώο είναι συνάρτσ του, το µτρώο Β περιλαµβάνει όρους στον αριθµτή και στον παρονοµαστή και έτσι κατά κανόνα δε µπορεί να γίνει υπολογισµός του ολοκλρώµατος σε κλειστή µορφή. Για το λόγο αυτό απαιτείται να γίνει αριθµτική ολοκλήρωσ. Για στοιχείο όπως το στοιχείο-ράβδος και τα στοιχεία επίπεδς εντατικής κατάστασς, πλέον κατάλλλ µέθοδος ολοκλήρωσς είναι ολοκλήρωσ Gauss. Μία ολοκλήρωσ µεταύ τυχαίων ορίων µπορεί να µετατραπεί σε ολοκλήρωσ µεταύ των τιµών - και. Για ff() και µε τον µετασχµατισµό (/)(-) (/)()

25 Ισοπαραµετρικά πεπερασµένα στοιχεία 87 φ φφ() φ φφ() φ φ φ - - (α) Ένα σµείο ολοκλήρωσς (β) ύο σµεία ολοκλήρωσς Σχήµα Ολοκλήρωσ κατά Gauss για τον υπολογισµό του εµβαδού που περικλείεται από τ καµπύλ φ φ( ) το ολοκλήρωµα γίνεται I f d I φ d (6) Η συνάρτσ ff () γίνεται φ φ( ), όπου φ περιλαµβάνει εδώ και το Ιακωβιανό του µετασχµατισµού, Jd/d (/)( - ). Η αποκτθείσα µορφή επιτρέπει τν ευχερέστερ διατύπωσ τύπων ολοκλήρωσς. Μία πρώτ προσέγγισ στο ολοκλήρωµα Ι αποκτάται πολλαπλασιάζοντας τν τιµή τς φ στο σµείο µε το µήκος του διαστήµατος ( - ) και συνεπώς Ι φ (Σχήµα α). Η γενίκευσ τς παραπάνω σχέσς οδγεί στον παρακάτω τύπο αριθµτικής ολοκλήρωσς: I φ d α φ α φ... α nφn (6) Στν περίπτωσ του Σχήµατος α έχουµε Ι φ και n, α. Ο Gauss υπολόγισε τις συντεταγµένες των σµείων ολοκλήρωσς και τους σταθµικούς παράγοντες α έτσι ώστε να αποκτθεί µέγιστ δυνατή ακρίβεια για κάθε αριθµό σ- µείων ολοκλήρωσς. Τα σµεία ολοκλήρωσς είναι συµµετρικά διατεταγµένα περί τν αρχή του άονα και επειδή οι συντεταγµένες τους είναι ρίζες πολυωνύµων Legendre συχνά καλούνται σµεία Gauss-Legendre. Για ολοκλήρωσ σε δύο διαστάσεις, ο γενικός τύπος παίρνει τν παρακάτω µορφή:

26 88 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές I φ (, ) d d αφ (, ) d α aφ (, ) α α φ, (6) ( ) Ο Πίνακας περιλαµβάνει τιµές των, α για n,, Εποµένως για ένα ορθογωνικό στοιχείο στο οποίο γίνεται χρήσ σµείων για τν αριθµτική ολοκλήρωσ ( σµείων στν διεύθυνσ και δύο σµείων στν διεύθυνσ ), σύµφωνα µε τον Πίνακα, α α και ισχύει σχέσ: (, ) φ(, ) φ(, ) φ( ) I φ φ φ φ φ, Πίνακας Συντεταγµένες και σταθµικοί παράγοντες σµείων αριθµτικής ολοκλήρωσς Gauss-Legendre (- έως ) n α (τά ολοκλήρωσς),, ±, , ±, , ,, ±, , ±, , ±, , ±, , ,, ±, , ±, , ±, , Παράδειγµα 5 Να γίνει ολοκλήρωσ του πολυωνύµου φα α α α από - έως, όπου τα α είναι σταθερές, και να συγκριθούν τα αποτελέσµατα για n,. Λύσ Το ακριβές αποτέλεσµα είναι:

27 Ισοπαραµετρικά πεπερασµένα στοιχεία 89 ( / ) I φd a a (6) Το προσεγγιστικό ολοκλήρωµα µε ένα σµείο ολοκλήρωσς είναι Ι α. Με δύο σµεία ολοκλήρωσς έχουµε p, p και p/. Άρα, ( a a p a p a p ), ( a a p a p a ) I, p a / a ( ) Από τα παραπάνω αποτελέσµατα συµπεραίνουµε ότι πολυώνυµα τάς n- ολοκλρώνονται ακριβώς µε n σµεία ολοκλήρωσς Gauss. Ο βαθµός ακρίβειας ενός κανόνα ολοκλήρωσς είναι τά του πολυωνύµου µε τον υψλότερο βαθµό που ολοκλρώνεται ακριβώς. Συνεπώς, ολοκλήρωσ Gauss µε δύο σµεία (σε κάθε διεύθυνσ) έχει βαθµό ακριβείας. Γενικά εάν συνάρτσ φ φ( ) δεν είναι πολυωνυµική ολοκλήρωσ είναι ανακριβής, προσεγγίζει όµως το ακριβές αποτέλεσµα όταν αυάνεται ο αριθµός των σµείων ολοκλήρωσς. Παράδειγµα 6 Χρσιµοποιήστε τν µέθοδο ολοκλήρωσς Gauss µε δύο σµεία για να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα: Λύσ Εφαρµόζουµε τ σχέσ (6): ( ) ( ) d αφ ( ) α φ( ) d όπου α, α είναι σταθµικοί παράγοντες και, είναι οι συντεταγµένες των σ- µείων ολοκλήρωσς. Από τον Πίνακα, (/)(-/ ) (/)(/ ) Για δύο σµεία ολοκλήρωσς α α (/).. Αντικαθιστώντας βρίσκουµε ότι: ( ) d 5,56555 (65)

28 9 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές 6. Η επιλογή ισοπαραµετρικών στοιχείων. Ορισµός ιδιοτήτων τους. Έχοντας καταστρώσει τις σχέσεις που διέπουν τα µτρώα των ισοπαραµετρικών στοιχείων πρέπει να εετάσουµε και ορισµένα θέµατα που αφορούν τν πρακτική τους χρήσ. ύο σµαντικά ερωτήµατα που προκύπτουν είναι:. Η επιλογή στοιχείου (-ων). Το είδος και τά τς απαιτούµενς αριθµτικής ολοκλήρωσς Η µέθοδος τς ολοκλήρωσς κατά Gauss για τν αριθµτική ολοκλήρωσ των µτρώων των στοιχείων αποτελεί στις περισσότερες περιπτώσεις τν καλύτερ δυνατή επιλογή για γραµµικά προβλήµατα. Εάν όµως το πρόβλµα είναι µ-γραµ- µικό τότε συνιστώνται οι σχέσεις Νewton-Coates, οι οποίες και περιγράφονται εκτενώς στν βιβλιογραφία. Η τά ολοκλήρωσς είναι επίσς ένα θέµα που απασχολεί τον χρήστ των προγραµµάτων πεπερασµένων στοιχείων. Εάν γίνει ολοκλήρωσ χαµλής τάς ελαττώνεται µεν το κόστος, πιθανότατα όµως να προκύψουν σφάλµατα κατά τους υπολογισµούς των µτρώων του στοιχείου. Κατά κανόνα, τά τς ολοκλήρωσς εαρτάται από το είδος του υπολογιζόµενου µτρώου και το είδος του στοιχείου. Εάν τά είναι επαρκώς υψλή, τότε όλα τα µτρώα υπολογίζονται µε απόλυτ ακρίβεια. Στν περίπτωσ του µτρώου ακαµψίας, εάν τά είναι χαµλότερ από τν απαιτούµεν τότε εµφανίζεται µεγαλύτερος αριθµός µδενικών ιδιοτιµών από τους βαθµούς ελευθερίας των µετατοπίσεων του (άκαµπτου) σώµατος. Χρειάζεται λοιπόν οι βαθµοί ελευθερίας που αντιστοιχούν σε µδενικές ιδιοτιµές να περιορίζονται διότι διαφορετικά το µτρώο γίνεται µοναδιαίο. Για παράδειγµα, εάν θεωρήσουµε το στοιχείο-δοκός µε τρεις κόµβους και χρσιµοποιήσουµε τ µέθοδο Gauss µε ένα σµείο ολοκλήρωσς, στήλ και σειρά που αντιστοιχούν στο βαθµό ελευθερίας του ενδιάµεσου κόµβου θα είναι µδενικά διανύσµατα, και θα οδγήσουν σε µοναδιαίο µτρώο ακαµψίας. Η τά ολοκλήρωσς, οποία θα πρέπει να είναι µεγαλύτερ από µία ελάχιστ υπολογίζεται µε βάσ τν τά τς συνάρτσς που ολοκλρώνεται. Στν περίπτωσ του µτρώου ακαµψίας πρέπει να υπολογισθεί σχέσ: k V B T EBdet J dv F dv (66) V Το µτρώο F υπολογίζεται σχετικά εύκολα στν περίπτωσ του διδιάστατου τετράκοµβου στοιχείου. Η τά ολοκλήρωσς για το στοιχείο αυτό εαρτάται από τις τιµές των και που χρσιµοποιούνται στ σχέσ (66). Για ορθογώνιο στοιχείο µε πλευρές a, b έχουµε τις σχέσεις παρεµβολής a, b και συνεπώς το Ιακωβιανό J είναι:

29 Ισοπαραµετρικά πεπερασµένα στοιχεία 9 a J b Επειδή τα στοιχεία του J είναι σταθερά, τα στοιχεία του µτρώου Β είναι συναρτήσεις των και µόνο. Το Ιακωβιανό µτρώο J όµως είναι επίσς σταθερά. Συνεπώς το µτρώο F είναι συνάρτσ των, και. (,, ) F f (67) Εάν χρσιµοποιθεί µέθοδος Gauss µε δύο σµεία ολοκλήρωσς στις κατευθύνσεις και, όλες οι συναρτήσεις τρίτου βαθµού που περιλαµβάνουν τις και ολοκλρώνονται χωρίς σφάλµα. λαδή, για τά ολοκλήρωσς n, τά τς πολυωνυµικής συνάρτσς των και που ολοκλρώνεται ακριβώς είναι (n-). Συνεπώς χρήσ δύο σµείων επαρκεί. Στν περίπτωσ µ-παραλλλόγραµµων στοιχείων το Ιακωβιανό δεν έχει σταθερή τιµή και απαιτείται ολοκλήρωσ υψλότερς τάς. Θεωρτικές αναλύσεις καταλήγουν στο συµπέρασµα ότι διατύπωσ τς ΜΠΣ µε τ µέθοδο των µετατοπίσεων οδγεί σε κάτω όριο τς ενέργειας παραµόρφωσς του θεωρούµενου συστήµατος. Με άλλα λόγια, το αριθµτικό µοντέλο τς κατασκευής είναι περισσότερο άκαµπτο από τν πραγµατική κατασκευή. Εάν όµως τά ολοκλήρωσς είναι χαµλότερ από αυτήν που απαιτείται για απόλυτ ακρίβεια, τότε τα αποτελέσµατα τς αριθµτικής ολοκλήρωσς µπορούν να προσεγγίσουν καλύτερα τ συ- µπεριφορά τς πραγµατικής κατασκευής. Αυτό µπορεί να επιτευχθεί εφόσον το σφάλµα που προκύπτει αντισταθµίζει τν πλεονάζουσα ακαµψία του µοντέλου τς κατασκευής. Η διαδικασία αυτή καλείται ελάττωσ τς τάς ολοκλήρωσς, µπορεί δε να συνδυασθεί και µε επιλεκτική ολοκλήρωσ, κατά τν οποία οι τάεις ολοκλήρωσς των διαφόρων παραµορφώσεων διαφέρουν µεταύ τους. Ο Πίνακας τς επόµενς σελίδας περιλαµβάνει πιθανά στοιχεία και αντίστοιχες τάεις ολοκλήρωσς για τ µέθοδο Gauss όταν επιλύονται προβλήµατα επίπεδς εντατικής και παραµορφωσιακής κατάστασς. Η επιλογή του απαραίττου στοιχείου (-ων) αποτελεί επίσς ένα σµαντικό θέµα που δεν πρέπει να αγνοθεί. εν είναι δυνατόν να ειπωθεί ότι κάποιο συγκεκρι- µένο στοιχείο είναι προτιµότερο ενός άλλου, δεδοµένς τς µεγάλς ποικιλίας προβλµάτων για τα οποία απαιτούνται λύσεις. Εάν όµως περιορισθούµε στα ισοπαραµετρικά στοιχεία µπορούµε να πούµε πως, εκτός του δίκοµβου στοιχείου-δοκού τα στοιχεία που συνιστώνται είναι τα υψλότερς τάς, ιδιαίτερα δε τα παραβολικά (των οποίων το πολυώνυµο παρεµβολής N( ) είναι δευτέρου βαθµού). Ο λόγος είναι πως ο χρόνος τρείµατος στν περίπτωσ αυτή αντισταθµίζεται από τν ακρίβεια των αποτελεσµάτων τς ανάλυσς. Όταν απαιτούνται στοιχεία-ελάσµατα συνιστώνται τα στοιχεία Lagrange 9 και 6 κόµβων. Είσου σµαντικό θέµα είναι ο τρόπος διακριτοποίσς τς κατασκευής. Γενικοί κανόνες δεν υπάρχουν και διακριτοποίσ εαρτάται άµεσα από το συγκεκριµένο πρόβλµα. Μπορούµε να πούµε πως το µέγεθος των ασυνεχειών των κα-

30 9 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές τανοµών των τάσεων µεταύ των στοιχείων αποτελεί έναν γνώµονα αιολόγσς τς διακριτοποίσς. Σε περιοχές µε µεταβαλλόµενο πλέγµα χρσιµοποιούνται διάφορες τεχνικές, για παράδειγµα: Στοιχεία µε διαφορετικούς αριθµούς κόµβων Συνθήκες περιορισµών (Σχήµα, Κεφάλαιο 7) Παραµορφωµένα στοιχεία Αυµένος αριθµός στοιχείων Πίνακας ιδιάστατα ορθογώνια στοιχεία και προτεινόµενες τάεις αριθµτικής ολοκλήρωσς κατά Gauss Στοιχείο Κόµβοι Τά ολοκλήρωσς (παραµ.) 8 8 (παραµ.) 9 9 (παραµ.) 6 6 (παραµ.)

31 Ισοπαραµετρικά πεπερασµένα στοιχεία 9 κόµβο στοιχείο Β Α κόµβο στοιχείο κόµβο στοιχείο L L Β Β Γ u Β Α u Α Γ Γ u A (u B u Γ ) u Γ Βιβλιογραφία Σχήµα 5 Μετάβασ από ένα σε δύο τετράκοµβα ορθογώνια στοιχεία. Cook R.D., Malkus D.S., Plesha M.E. Concepts and Applcatons of Fnte Element Analss. rd edton, John Wle & Sons, New York, Bathe K.J. Fnte element procedures n engneerng analss. Prentce Hall Inc, Englewood Clffs, New Jerse, U.S.A., 98.